Prelegerea 2

In aceasta prelegere vom nvata despre:

Multimi partial ordonate; Notiunea generala de latice.

2.1 Multimi partial ordonate

Definitia 2.1 O multime partial ordonata este o pereche (P ,) unde P esteo multime nevida, iar este o relatie binara care satisface axiomele:

1. x x x P (reflexivitate)2. x y & y x = x = y x, y P (antisimetrie)3. x y & y z = x z x, y, z P (tranzitivitate)

O relatie binara care satisface aceste axiome se numeste relatie de ordine(partiala). Pe baza ei se pot introduce si alte relatii, cum ar fi:

x y y x:x > y x y, x 6= y;x < y x y, x 6= y;

Propozitia 2.1 Daca (P ,) este o multime partial ordonata, atunci si (P ,)este tot o multime partial ordonata.

Demonstratie: Se arata imediat ca verifica cele trei axiome din Definitia 2.1.2

Relatia se numeste relatie duala relatiei. Intre ele este valabil principiuldualitatii: daca o afirmatie este adevarata pentru o multime partial ordonata(P ,), atunci ea este adevarata si pentru (P ,), prin nlocuirea lui cu .

De remarcat ca > si < nu sunt relatii de ordine (nu au proprietatile dereflexivitate si antisimetrie).

17

18 PRELEGEREA 2.

Exemplul 2.1 Fie multimea A = {a, b, c} si sa consideramP= 2A = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

Atunci (P ,) este o multime partial ordonata.Exemplul 2.2 Perechile (R,), (Q,), (Z,) sunt multimi partial ordo-nate, cu relatia de ordine obisnuita.

Exemplul 2.3

1. Fie P multimea dreptelor n plan, iar relatia de paralelism. Aceastarelatie este reflexiva (a||a) si tranzitiva (a||b, b||c = a||c) dar nu esteantisimetrica: din a||b si b||a nu rezulta a b.Daca se considera relatia de perpendicularitate, aceasta nu este tranzitiva(a b, b c = a||c).

2. Fie P multimea membrilor familiei Popescu, iar relatia urmas.Aceasta relatie este tranzitiva, dar nu este nici reflexiva (Vasile nueste urmasul sau) si nici antisimetrica (nu este posibil ca Vasile safie urmasul lui Ion si n acelasi timp Ion sa fie urmasul lui Vasile).

De fapt, se observa ca daca o relatie nu este reflexiva, atunci ea nu estenici antisimetrica (ncercati sa verificati acest lucru).

Observatia 2.1 Relatia nu este definita pentru orice pereche de elementeale multimii partial ordonate P. Doua elemente x, y P cu x 6 y, y 6 x senumesc incompatibile.

Exemplul 2.4 Elementele {a} si {b} din Exemplul 2.1 sunt incompatibile.Observatia 2.2 O relatie de forma x 6 y nu implica n mod necesar x < y.O multime partial ordonata P poate fi reprezentata printr-o diagrama Hasse,n care elementele distincte din P sunt marcate prin puncte distincte, iar fiecarerelatie x y este descrisa printr-un drum format din una sau mai multe liniicare coboara de la x la y. Faptul ca x este deasupra lui y n aceasta diagramaHasse nu este suficient pentru a decide ca x y. x si y sunt incompatibilenafara de cazul cand exista o linie care leaga direct cele doua puncte.

Exemplul 2.5 Pentru multimea partial ordonata definita n Exemplul 2.1 sepoate construi diagrama Hasse

{a, b, c}

{a, b} {b, c} {a, c}

{c}{b}{a}

!!!!!!

aaaaaa!!!!!!

!!!!!!

````````````aaaaaa

!!!!!!

2.2. ALTE DEFINITII SI PROPRIETATI ELEMENTARE 19

Doua multimi partial ordonate (P ,) si (Q,) au structuri identice daca potfi reprezentate prin aceeasi diagrama Hasse; atunci ele sunt izomorfe. Forma-lizat, doua sisteme P ,Q sunt izomorfe daca exista o corespondenta biunivocax x ntre elementele lui P si Q, astfel ca

x y x y

Corolarul 2.1 Daca doua multimi partial ordonate sunt izomorfe, atunci eleau acelasi numar de elemente.

Exemplul 2.6 Fie sistemul (Q,) unde Q= {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} six y y|x

Se verifica imediat ca aceasta este o multime partial ordonata. Diagramasa Hasse este

30

6 10 15

523

1!!!!!!

aaaaaa!!!!!!

!!!!!!

````````````aaaaaa

!!!!!!

deci acest sistem este izomorf cu cel construit n Exemplul 2.1, a carui dia-grama este data n Exemplul 2.5.

2.2 Alte definitii si proprietati elementare

Fie (P ,) o multime partial ordonata.Daca P are un element 0 cu proprietatea x 0 pentru orice x P , 0 se

numeste elementul nul al lui P . Este posibil ca P sa nu admita element nul.Propozitia 2.2 Daca elementul nul exista, atunci el este unic.

Demonstratie: Presupunem ca exista doua elemente nul 0 si 0. Din definitievom avea 0 0 si respectiv 0 0, deci 0 = 0. 2

Dual, se poate defini elementul total (universal) 1 prin 1 x, x P . Inmod similar, daca elementul total exista, atunci el este unic.

Exemplul 2.7 Multimea partial ordonata definita n Exemplul 2.1 are ca ele-ment nul multimea vida , iar ca element universal multimea {a, b, c}.

Fie multimea ordonata (Z,) din Exemplul 2.2. Aceasta nu are nici ele-ment nul si nici element universal.

20 PRELEGEREA 2.

De remarcat ca cele doua elemente (nul si total) nu sunt notate totdeauna cu0 respectiv 1. Astfel, n Exemplul 2.6, elementul nul este 1 (iar elementul 1este 30).

Daca x > y dar nu exista nici un z P astfel ca x > z > y, se spune ca xacopera y. Orice element care acopera pe 0 se numeste atom sau punct. Dual,orice element acoperit de 1 se numeste antiatom.

Exemplul 2.8 Sa revenim la multimea partial ordonata definita n Exemplul2.1. Aici elementele {a}, {b}, {c} sunt atomi, iar {a, b}, {b, c}, {a, c} sunt an-tiatomi. Elementul {a, b} de exemplu acopera pe {a} si pe {b}.

Evident, o multime partial ordonata fara 0 si 1 nu are atomi (si nici antiatomi).

P este total ordonata (sau este un lant) daca pentru orice x, y P , avemx y sau y x.

Orice doua lanturi de n elemente sunt izomorfe.

Exemplul 2.9 Toate multimile din Exemplul 2.2 sunt multimi total ordonate.

Propozitia 2.3 Din orice multime partial ordonata se poate extrage o submul-time total ordonata (cu aceiasi relatie de ordine).

Demonstratie: Sa consideram diagrama Hasse asociata acestei multimi si saluam doua elemente distincte, legate ntre ele printr-un drum. Se ia apoi casubmultime multimea elementelor aflate pe acest drum. Se verifica imediatfaptul ca ea formeaza o multime total ordonata. 2

Fie L P . x P este un majorant al lui L daca y L, x y.Un majorant x P este cel mai mic majorant (cmmM) al lui L daca

pentru orice majorant x P avem x x.In particular, daca x L este un majorant pentru L, atunci el este cmmM .Cel mai mic majorant poate sa nu existe. Daca exista nsa, este unic

(demonstrati aceasta afirmatie).

In mod dual se defineste notiunea de minorant si de cel mai mare minorant(cmMm).

Exemplul 2.10 Revenind la multimea partial ordonata din Exemplul 2.1, fieL= {{a}, {b}, {c}}. Atunci este cmmM , iar {a, b, c} este cmMm (ambeleunice).

Fie acum multimea (R,) din Exemplul 2.2 si L= (0, 1). 0, 0.99, 6 suntminoranti, iar 1, 2, 1.0001 sunt majoranti pentru L. L nu are cmmM si nicicmMm.

2.3. PRIMA DEFINITIE A LATICILOR 21

2.3 Prima definitie a laticilor

Vom defini acum cea mai importanta notiune din fundamentele algebrice aleinformaticii: notiunea de latice.

Definitia 2.2 O latice L este o multime partial ordonata astfel ca orice douaelemente din L admit cmmM si cmMm.Fie x, y L. Cel mai mic majorant al lor se noteaza cu x y, iar cel mai mareminorant, cu x y.Exemplul 2.11 Fie (Z,) unde

a b a|bSe verifica imediat ca aceasta este o multime partial ordonata. Pentru oricedoua elemente a, b Z, avem cmmM(a, b) = cmmmc(a, b), cmMm(a, b) =cmmdc(a, b). Deci aceasta este o latice.

Exemplul 2.12 Fie A o multime finita nevida si P= 2A multimea partilor luiA. P poate fi ordonata partial cu relatia de incluziune. Ea formeaza o laticeunde cmmM(X,Y ) = X Y, cmMm(X, Y ) = X Y X, Y P.

Observatia 2.3 Orice multime total ordonata (L,) este o latice. Pentru aarata aceasta, fie x, y L. Sa presupunem ca x y (pentru relatia inversa seprocedeaza similar). Atunci cmmM(x, y) = x, cmMm(x, y) = y.

Teorema 2.1 Intr-o latice sunt adevarate urmatoarele relatii:

1. (a) x y = y x, (b) x y = y x (comutativitate);2. (a) x(yz) = (xy)z, (b) x(yz) = (xy)z (asociativitate);3. (a) x (x y) = x, (b) x (x y) = x (absorbtie).

Demonstratie: Relatiile (1) rezulta imediat din definitia operatiilor si .(2a): Sa notam s = y z si t = x s = x (y z). Atunci y s, z s,

x t, s t, deci y t, z t; n concluzie, t este un minorant pentru x, y, z.Din x t, y t rezulta xy t (xy este cel mai mare minorant pentru

x si y). Din xy t, z t obtinem (folosind acelasi argument) (xy)z t.Deci (x y) z x (y z).Relatia x (y z) (x y) z se arata n mod similar; din ele se obtine

(2a).Relatia (2b) se demonstreaza analog.(3a): Fie p = x y si q = x p = x (x y). Atunci p x, p y,

x q, p q. Din x x si p x obtinem x p x, adica q x. Cum six q, vom avea x = q = x (x y).

22 PRELEGEREA 2.

Dual se arata si (3b). 2

Teorema 2.1 permite sa eliminam parantezele si sa scriem xyz, respectivx y z; n general, x1 x2 . . . xn =

ni=1

xi este cmMm al multimii de

elemente {x1, x2, . . . , xn}, iar x1x2 . . .xn =ni=1

xi este cmmM al multimii

{x1, x2, . . . , xn}.Inlocuind n (3a) pe y cu x y avem x = x (x (x y)) = x x. Deci

x x = x, x x = x (Regulile de idempotenta) (1)Daca x y atunci y este un minorant pentru x si y, deci x y = y. Invers,

daca y = x y, atunci x x y = y. Deci avemy = x y x y x y = x. (2)

2.4 A doua definitie a laticii

Definitia 2.3 Se numeste latice L o multime nevida de elemente nzestratacu doua operatii binare notate si care verifica egalitatile din Teorema 2.1pentru orice x, y, z L.Teorema 2.2 Definitiile 2.2 si 2.3 sunt echivalente.

Demonstratie: Faptul ca din prima definitie rezulta a doua este evident.Sa aratam si invers, ca din Definitia 2.3 rezulta Definitia 2.2.Vom construi relatia partiala de ordine

x y y = x yAtunci, Teorema 2.1, (3b) da ca x y implica x y = x, iar (3a), ca x y = xconduce la y = (x y) y = x y.

Relatia (1) este o consecinta a acestor postulate, si de aici rezulta axioma1 din Definitia 2.1.

Daca x y si y x, atunci y = x y = x, deci axioma 2.Daca x y, y z, atunci y = x y, z = y z, deci x z = x (y z) =

(x y) z = y z = z, adica x z.Deci L este o multime partial ordonata n raport cu relatia .Cum x x y si y x y, rezulta ca x y este minorant comun pentru x

si y. Daca z este un alt minorant (x z, y z), atunci z = x z, z = y z.Atunci Teorema 2.1, (2a) da (x y) z = x (y z) = x z = z, decix y z. Aceasta nseamna ca x y este cmMm; prin dualitate, x y estecmmM , ambele pentru orice x, y L.

Deci L este latice n raport cu prima definitie. 2Legatura dintre cele doua definitii este evident data de relatia (2).

2.5. PROPRIETATI ELEMENTARE ALE LATICILOR 23

Observatia 2.4 Cele sase postulate din Teorema 2.1 sunt independente.Intr-adevar, sistemul cu legile de compozitie

x yx x xy y y

x yx x xy x y

satisface toate postulatele teoremei nafara de (1a); deci (1a) nu poate fi oconsecinta a celorlaltor cinci postulate.

Analog, sistemul cu legile de compozitie

x yx x yy y x

x yx x yy y y

verifica totul nafara de (3a) (x (x y) = y 6= x).Fie acum un sistem cu cinci elemente, avand legea de compozitie

x1 x2 x3 x4 x5x1 x1 x2 x3 x4 x5x2 x2 x2 x5 x4 x5x3 x3 x4 x3 x4 x5x4 x4 x4 x4 x4 x5x5 x5 x5 x5 x5 x5

Aceasta lege verifica toate conditiile din Teorema 2.1 nafara de (2a). Aicix2 (x3 x4) = x2 x4 = x4, (x2 x3) x4 = x5 x4 = x5.

Deci (1a), (2a), (3a) nu se pot deduce din celelalte relatii.In mod similar, (1b), (2b), (3b) sunt si ele independente.

2.5 Proprietati elementare ale laticilor

Propozitia 2.4 Daca o latice L are 0 si 1, atunci x L,0 x = 0, 0 x = x,1 x = x, 1 x = 1

Demonstratie: Exercitiu.

Propozitia 2.5 Daca o latice L are 0 si 1, atunci x, y L,x y = 0 x = y = 0.

Demonstratie: Folosind (3a), avem x y = 0 = x = x (x y) = x 0 = 0.Implicatia inversa este triviala. 2

24 PRELEGEREA 2.

Dual, se obtine si relatiax y = 1 x = y = 1.

Propozitia 2.6 Intr-o latice L exista totdeauna cel mai mic majorant si celmai mare minorant pentru submultimi finite.

Demonstratie: Fie S= {x0, x1, . . . , xr} L. Atunci z =ri=0

xi este un majorant

pentru S. Acesta va fi chiar cel mai mic majorant, deoarece daca exista un altmajorant y pentru S (adica y xi i = 1, . . . , r) atunci folosind o inductiesimpla se poate arata ca y

ri=0

xi = z, deci z este cel mai mic majorant.

In mod similar se arata afirmatia pentru cel mai mare minorant. 2

Observatia 2.5 Propozitia 2.6 nu este nsa adevarata pentru submultimi in-finite. De exemplu, n laticea numerelor ntregi pozitive, cu o relatie de ordinedefinita

x y y|xsubmultimea 1, 2, 22, 23, . . . nu admite un cel mai mic majorant.

Definitia 2.4 O latice este completa daca orice submultime a sa admite celmai mare minorant si cel mai mic majorant.

Teorema 2.3 Orice latice care nu are submultimi total ordonate infinite estecompleta.

Demonstratie: Fie L o latice si M o submultime infinita a sa. Consideramx0 M. Daca x0 nu este un majorant pentru M, atunci exista x1 M cux1 6 x0. Atunci x0 x1 6= x0. Cum x0 x1 x0, avem x0 x1 > x0. Dacax0 x1 nu este un majorant pentru M, atunci procedeul se reia.

Deci, cum M este infinita, putem construi o secventa total ordonata x0 x0 y = x1. Procedeul se repeta, si se obtine un lant infinitdescrescator x0 > x1 > . . .. 2

Dual,

O latice care nu contine 1 admite un lant infinit crescator.

Observatia 2.6 Existenta lui 0 si 1 nu este o conditie suficienta pentru ca olatice sa fie completa. De exemplu, multimea Q a numerelor rationale, com-pletata cu + (ca 1) si (ca 0) formeaza o latice cu relatia de ordineobisnuita ; dar aici, submultimea L= {x|3 > x2 > 2} nu are cel mai mareminorant si nici cel mai mic majorant.

O latice este finita daca are un numar finit de elemente; acest numar se numesteordinul laticii. Evident ca o latice finita L nu admite nici un lant infinit, decieste completa. In particular, daca ea are n elemente x1, x2, . . . , xn, atunci avem

1 =ni=1

xi, 0 =ni=1

xi.

Definitia 2.5 O sublatice M L este o submultime cu proprietateax, y M, x y, x y M.

Evident, o sublatice satisface postulatele unei latici.

Observatia 2.7 O submultime a lui L poate forma o latice conform Definitiei2.2, fara a fi totusi o sublatice. Este suficient ca cmmM si cmMm a douaelemente x si y, sa difere de x y respectiv x y, care sunt cel mai mareminorant respectiv cel mai mic majorant n L pentru x, y. De exemplu, pentruo latice L descrisa de diagrama Hasse de mai jos,

uu

u uu

@@@

@@

@

x1

x2 x3

x4

x5

si o submultimeM= {x1, x2, x3, x5}, avem x2x3 = x4, n timp ce minorantulcelor doua elemente n M este x5 (x4 nu exista n M).

26 PRELEGEREA 2.

2.6 Exercitii

Exercitiul 2.1 Fie (P ,) o multime partial ordonata si L P. Sa se arateca (L,) este tot o multime partial ordonata.

Afirmatia ramane valabila pentru multimile total ordonate ?

Exercitiul 2.2 Fie sistemul (R,) unde R este multimea numerelor reale,iar relatia este definita astfel:

x y 2|(x y)Este acest sistem o multime partial ordonata ? Cum se poate restrange

definitia lui astfel ca sa obtinem o astfel de multime ?Exercitiul 2.3 Fie A o multime cu 3 elemente. Cate relatii distincte de or-dine partiala se pot defini pe A ?

Sa se generalizeze problema la o multime nevida cu n elemente.

Exercitiul 2.4 Sa se construiasca corespondenta biunivoca dintre elementelemultimilor partial ordonate definite n Exemplul 2.6.

Este unica aceasta corespondenta ?

Exercitiul 2.5 Dati exemple de multimi partial ordonate care sa admita ele-ment nul dar sa nu aiba element universal, si invers.

Exercitiul 2.6 Dati exemplu de multime partial ordonata, care sa admita el-ement nul dar sa nu aiba atomi. Cate astfel de multimi exista ?

Exercitiul 2.7 Sa se arate ca o multime este total ordonata daca si numaidaca orice element este acoperit de cel mult un element.

Exercitiul 2.8 Fie (P ,) o multime partial ordonata si sa consideram multi-mea L a tuturor submultimilor sale total ordonate. Sa se arate ca (L,)formeaza o multime partial ordonata.

Cand are aceasta multime element nul si element universal ?Cand este (L,) o multime total ordonata ?

Exercitiul 2.9 Sa se arate ca daca exista cmmM (cmMm), atunci el esteunic.

Exercitiul 2.10 Demonstrati Propozitia 2.4.

Exercitiul 2.11 Fie M = {0, 1} si L= {f |f :M R}. Definim relatiaf1 f2 f1(0) < f1(0) sau [f1(0) = f2(0) si f1(1) f2(1)].

Este (L,) o latice ? Are ea elemente 0 si 1 ?Exercitiul 2.12 Aceeasi problema pentru L= {f |f :M [0,+)}.Exercitiul 2.13 Aratati ca multimea partial ordonata din Exemplul 2.1 for-meaza o latice. Generati toate sublaticile sale.

Exercitiul 2.14 Exista latici infinite complete ?