fundaciones ii (texto docente)

5/24/2018 Fundaciones II (Texto Docente)

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CONTENIDO

CAPITULO I ______________________________________________1

FUNDACIONES SOMETIDAS A FUERZAS DE VUELCO. _______1

1.1 INTRODUCCION______________________________________________ 1

1.2. DESIGNACIONES ____________________________________________ 1

1.3. ZAPATAS AISLADAS SOMETIDAS A CARGA VERTICAL Y

MOMENTO EN UNA DIRECCION _________________________________ 2

1.3.1 ANLISIS DE LAS PRESINES EN LA BASE DE LA ZAPATA DEBIDO

A (P, M) _____________________________________________________________ 3

1.3.1.1 Caso I: Excentricidad6

ae< _______________________________________ 3

1.3.1.2 Caso II: Excentricidad6

ae= _________________________________________ 3

1.3.1.3 Caso III: Excentricidad6

ae> ________________________________________ 4

1.4. ZAPATAS AISLADAS CON COLUMNA EXCENTRICA___________ 5

1.4.1 ANLISIS DE LAS PRESIONES EN LA BASE DE LA ZAPATA DEBIDO

A (P, M, Mc)__________________________________________________________ 5

1.4.1.1. Debido a la carga vertical P ( Compresin)_______________________________ 5

1.4.1.2 Debido al momento flector M actuante ___________________________________ 6

1.4.1.3 Debido a la excentricidad de la columna Mc _______________________________ 6

1.4.2 ANALISIS DE LAS PRESIONES EN LA BASE DE LA ZAPATA PARA

CASOS ESPECIALES __________________________________________________ 7

1.4.2.1 Caso a: Cuando todas las cargas (P, M, Mc) actan sobre la fundacin. __________ 71.4.2.2 Caso b: Cuando no todas las cargas actan sobre la fundacin ________________ 10

1.5. ZAPATAS AISLADAS RECTANGULARES SOMETIDAS A CARGA

VERTICAL Y MOMENTOS BIAXIALES.___________________________ 12

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1.5.1. METODO 1, PARA EL ANLISIS DE PRESIONES EN LAS ZAPATAS

SOMETIDAS A CARGA VERTICAL Y MOMENTOS BIAXIALES ___________ 12

1.5.1.1 Zona I.- ___________________________________________________________ 13

1.5.1.2 Zona II.- __________________________________________________________ 13

1.5.1.3 Zona III.-__________________________________________________________ 14

1.5.2 METODO 2, PARA EL ANALISIS DE PRESIONES EN LAS ZAPATAS

SOMETIDAS A CARGA VERTICAL Y MOMENTOS BIAXIALES____________ 16

1.5.2.1 Caso I: Presin total en la base _________________________________________ 16

1.5.2.2 Caso II: Presin parcial - Zona no comprimida triangular_____________________ 17

1.5.2.3 Caso III: Presin parcial - Trapezoidal en la base.___________________________ 17

1.5.2.4 Caso IV: Presin parcial - Zona comprimida triangular ______________________ 20

BIBLIOGRAFA_________________________________________________ 21

CAPITULO II ____________________________________________22

MUROS DE CONTENCIN ________________________________22

2.1. INTRODUCCION____________________________________________ 22

2.2. DESIGNACIONES ___________________________________________ 22

2.3. TIPOS GENERALES DE MUROS DE CONTENCION ____________ 232.3.1 MUROS DE GRAVEDAD.-________________________________________ 23

2.3.2 MUROS MENSULA (EN VOLADIZO) .- ____________________________ 23

2.3.3 MUROS DE CONTRAFUERTES.- __________________________________ 24

2.3.4 MUROS DE BANDEJA.-__________________________________________ 24

2.3.5 MUROS CRIBAS Y OTROS MUROS PREFABRICADOS . - ____________ 25

2.4. TEORIAS DE PRESIN DEL TERRENO SOBRE MUROS DE

CONTENCIN __________________________________________________ 25

2.4.1 EMPUJE DE TIERRAS ( EMPUJE ACTIVO Y EMPUJE PASIVO ) ______ 25

2.4.2 CALCULO DEL EMPUJE ACTIVO Y PASIVO________________________ 25

2.4.2.1 Mtodo de Coulomb _________________________________________________ 25

2.4.2.2 Mtodo de Rankine __________________________________________________ 27

2.4.2.3 Presin de tierra activa y pasiva segn Rankine para relleno granular inclinado_ 28

- ii -


3/215

2.5. DISEO DE MUROS DE CONTENCIN _______________________ 28

2.5.1 MUROS DE GRAVEDAD.- ________________________________________ 29

2.5.1.1 Pre-dimensionamiento ________________________________________________ 29

2.5.1.2 Fase 1 verificacin de la estabilidad ___________________________________ 292.5.1.3 Fase 2- verificacin de esfuerzos________________________________________ 33

2.5.2 MUROS MENSULA .-____________________________________________ 37

2.5.2.1 Predimensionamiento_________________________________________________ 37

2.5.2.2 Fase 1 verificacin de la estabilidad ___________________________________ 37

2.5.2.3 Fase 2 verificacin de esfuerzos ______________________________________ 38

2.5.3 MUROS DE CONTRAFUERTE .- __________________________________ 42

2.5.3.1 Predimensionamiento_________________________________________________ 42

2.5.3.2. Fase 1 verificacin de la estabilidad ___________________________________ 42

2.5.3.3 Fase 2 verificacin de esfuerzos ______________________________________ 43

2.6. DISEO DE MUROS DE SOTANO .- ___________________________ 48

2.7. ESTABILIDAD DEL TALUD __________________________________ 50

2.8. DRENAJES IMPERMEABILIZACION Y PROVISION DE JUNTAS

EN LOS MUROS DE CONTENCIN Y SOTANOS .-_________________ 50

2.8.1 MUROS DE CONTENCIN _______________________________________ 50

2.8.2 SOTANOS ______________________________________________________ 52

BIBLIOGRAFA_________________________________________________ 54

CAPITULO III____________________________________________55

MEDIOS AUXILIARES PARA EXCAVACIN A CIELO ABIERTO

________________________________________________________55

TABLAESTACAS________________________________________________ 553.1. INTRODUCCIN. ATAGUIAS O TABLAESTACAS _____________ 55

3.2. MTODOS DE CONSTRUCCIN DE TABLAESTACAS.-_________ 57

3.3 TABLAESTACAS EN VOLADIZO.-_____________________________ 58

- iii -


4/215

3.4. TABLAESTACAS EN VOLADIZO EN SUELOS ARENOSOS.- _____ 59

3.4.1 PROCEDIMIENTO PASO A PASO PARA OBTENER EL DIAGRAMA DE

PRESIN ___________________________________________________________ 62

3.4.2 CLCULO DEL MXIMO MOMENTO DE FLEXIN _________________ 63

3.5. CASOS ESPECIALES DE MUROS EN VOLADIZO (EN SUELOS

ARENOSOS) ____________________________________________________ 64

3.5.1 CASO 1.- Sin la presencia del nivel fretico ____________________________ 64

3.5.2 CASO 2.- Muro en voladizo libre. ____________________________________ 65

3.6. TABLAESTACAS EN VOLADIZO EN SUELOS ARCILLOSOS.- ___ 66

3.6.1 PROCEDIMIENTO PASO A PASO PARA OBTENER EL DIAGRAMA DE

PRESIN. ___________________________________________________________ 683.6.2 CLCULO DEL MXIMO MOMENTO DE FLEXIN. ________________ 69

3.7. CASOS ESPECIALES PARA MUROS EN VOLADIZO (EN ARCILLA)

________________________________________________________________ 69

3.7.1 CASO 1.- En ausencia del nivel fretico _______________________________ 69

3.7.2 CASO 2.- Tabla estaca en voladizo libre(arcilla). ________________________ 70

3.8. TABLAESTACAS ANCLADAS ________________________________ 71

3.9. MTODO DE SOPORTE LIBRE DEL TERRENO PARA SUELOSGRANULARES. _________________________________________________ 71

3.10. DIAGRAMAS DE DISEO PARA EL MTODO DEL SOPORTE

LIBRE DEL TERRENO (SUELO GRANULAR)______________________ 74

3.11. MTODO DE SOPORTE LIBRE DE TERRENO PARA ARCILLAS77

3.12. MOMENTO DE REDUCCIN PARA TABLAESTACAS ANCLADAS.

________________________________________________________________ 78

3.13. MTODO DE CLCULO DEL DIAGRAMA DE PRESIN PARA

SUELO GRANULAR_____________________________________________ 81

3.14. MTODO DE SOPORTE FIJO DE TERRENO PARA SUELOS

ARENOSOS. ____________________________________________________ 83

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5/215

3.14.1 PROCEDIMIENTO PASO A PASO PARA OBTENER "D"______________ 84

3.15. ANCLAJES ________________________________________________ 85

3.15.1 COLOCACIN DE ANCLAJES. ___________________________________ 86

3.15.2 CALCULO DE LA RESISTENCIA LTIMA PROPORCIONADA POR

PLACAS Y VIGAS DE ANCLAJE EN ARENA. ____________________________ 86

3.15.3 RESISTENCIA LTIMA DE PLACAS Y VIGAS DE ANCLAJE EN

ARCILLA (condicin =0) _____________________________________________ 92

3.15.4 FACTOR DE SEGURIDAD PARA PLACAS Y VIGAS DE ANCLAJE ____ 95

3.15.5 ESPACIAMIENTO DE PLACAS DE ANCLAJE______________________ 95

3.15.6 RESISTENCIA LTIMA DE ATADURAS DE SOSTENIMIENTO_______ 95

ENTIBADOS ____________________________________________________ 96

3.16. INTRODUCCIN A ENTIBADOS ____________________________ 96

3.17. PRESIN LATERAL DE TIERRA EN ENTIBADOS. ____________ 97

3.17.1. CORTES EN ARENA ___________________________________________ 99

3.17.2 CORTES EN ARCILLA BLANDA Y MEDIA. ________________________ 99

3.17.3 CORTES EN ARCILLA RGIDA__________________________________ 100

3.17.4 LIMITACIONES PARA LAS CARTAS DE PRESIN. ________________ 101

3.17.5 CORTES EN SUELOS ESTRATIFICADOS._________________________ 101

3.18. CARTAS DE PRESIN DE TSCHEBOTARIOFF_______________ 102

3.19. DISEO DE LOS COMPONENTES DE UN CORTE APUNTALADO

_______________________________________________________________ 103

3.19.1 PUNTALES ___________________________________________________ 103

3.19.2 TABLAESTACAS______________________________________________ 105

3.19.3 WALES. _____________________________________________________ 106

3.20.- ESFUERZO DE LEVANTE EN LA BASE DE UN CORTE EN

ARCILLA _____________________________________________________ 106

3.21. ESTABILIDAD DE LA BASE DE UN CORTE EN ARENA _______ 110

3.22. DEFORMACIN LATERAL DE TABLAESTACAS Y

ASENTAMIENTO DEL SUELO. __________________________________ 113

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BIBLIOGRAFA________________________________________________ 115

CAPITULO IV___________________________________________116

CAPACIDAD DE CARGA, ASENTAMIENTO, ANLISIS Y DISEO

ESTRUCTURAL DE PILOTES DE FUNDACION _____________116

4.1. INTRODUCCION___________________________________________ 116

4.2. DESIGNACIONES __________________________________________ 116

4.3. CLASIFICACIN DE PILOTES ______________________________ 117

4.3.1 SEGN EL MATERIAL DEL QUE ESTN CONSTITUIDOS . __________ 1174.3.1.1 Pilotes de madera. __________________________________________________ 117

4.3.1.1. Pilotes de hormign. ________________________________________________ 117

4.3.1.2. Pilotes Pretensados_________________________________________________ 119

4.3.1.3 Pilotes metlicos ___________________________________________________ 120

4.3.1.4 Comparacin de pilotes fabricados con diferentes materiales. _Error! Marcador no

definido.

4.3.2 SEGN EL MECANISMO DE TRANSFERENCIA DE CARGA AL SUELO122

4.3.3. SEGN LA FORMA DE INSTALACIN DEL PILOTE EN EL SITIO____ 122

4.4. ESTIMACION DE LA CAPACIDAD ULTIMA DE CARGA EN

PILOTES ______________________________________________________ 123

4.4.1 PILOTES BAJO LA ACCIN DE UNA CARGA _____________________ 123

4.4.2. CAPACIDAD VERTICAL LTIMA DEL SUELO._________________ 124

4.4.2.1. Formulas estticas. _________________________________________________ 124

4.4.2.2. Ensayos de carga. __________________________________________________ 125

4.4.2.3 Frmulas de hinca (dinmicas). ________________________________________ 126

4.4.2.4. Ensayos in Situ . ___________________________________________________ 1264.4.3 CAPACIDAD DE CARGA PORTANTE EN LA PUNTA DEL PILOTE___ 127

4.4.3.1 Parte (a) __________________________________________________________ 127

Mtodo de Meyerhof ____________________________________________ 127

Mtodo de Vesic________________________________________________ 129

Mtodo de Janbu________________________________________________ 130

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7/215

4.4.3.2 Parte (b) __________________________________________________________ 132

Mtodo de Terzaghi Peck _______________________________________ 132

Mtodo de J. Brinch Hansen_______________________________________ 133

4.4.4 CAPACIDAD DE CARGA PORTANTE DEBIDA A LA RESISTENCIA POR

FRICCIN ENTRE EL SUELO Y EL PILOTE ____________________________ 133

4.4.4.1 Resistencia de friccin en arenas ______________________________________ 134

4.4.4.2 Resistencia de friccin en arcillas _____________________________________ 136

4.4.5. CONSIDERACIONES ESPECIALES PARA ESTIMAR LA CAPACIDAD DE

CARGA PORTANTE EN LA PUNTA DEL PILOTE _______________________ 140

4.4.5.1 Capacidad de apoyo en suelos no cohesivos ______________________________ 140

4.4.5.2. Mtodo basado en la prueba de penetracin standard (SPT). ________________ 140

4.4.5.3 Capacidad de apoyo en suelos cohesivos ________________________________ 142

4.4.6 CONSIDERACIONES ESPECIALES PARA ESTIMAR LA CAPACIDAD DECARGA PORTANTE DEBIDA A LA RESISTENCIA POR FRICCIN ENTRE EL

SUELO Y EL PILOTE ________________________________________________ 142

4.4.6.1 Capacidad de carga en suelos no cohesivos_______________________________ 142

4.4.6.2 Mtodo basado en la prueba de penetracin estndar (SPT) __________________ 143

4.4.6.3 Capacidad de carga en suelos cohesivos._________________________________ 144

4.5. CAPACIDAD DE CARGA ADMISIBLE (PERMISIBLE) EN PILOTES

_______________________________________________________________ 146

4.6. COYLE Y CASTELLO (DISEO DE CORRELACIN) __________ 147

4.7. PILOTES SOBRE ROCA CON RESISTENCIA DE PUNTA._______ 148

4.8. CALCULO DE ASENTAMIENTOS. ___________________________ 149

4.8.1. ASENTAMIENTO DE PILOTE AISLADO __________________________ 149

4.8.1.1 Determinacin de s1 , asentamiento por la deformacin axial del pilote ._______ 149

4.8.1.2 Determinacin de s2 , asentamiento causado por la carga en la punta del pilote. _ 150

4.8.1.3 Determinacin de s3 , asentamiento debido a la carga transmitida a lo largo del

fuste del pilote .__________________________________________________________ 1514.8.2 ASENTAMIENTO DE CONSOLIDACIN DE UN GRUPO DE PILOTES_ 152

4.8.3 ASENTAMIENTO DE CONSOLIDACION _________________________ 153

4.8.4. ASENTAMIENTO FINAL________________________________________ 155

4.9. GRUPO DE PILOTES. _______________________________________ 156

- vii -


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4.9.1 EFICIENCIA___________________________________________________ 156

4.9.2 PILOTES EN ARENA____________________________________________ 159

4.9.3 PILOTES EN ARCILLA __________________________________________ 159

4.9.4 PILOTES EN ROCA ____________________________________________ 160BIBLIOGRAFA________________________________________________ 160

CAPITULO V____________________________________________161

TUBULONES DE FUNDACIN____________________________161

5.1. DEFINICIONES Y PROCEDIMIENTOS GENERALES DE

PROYECTO.___________________________________________________ 161

5.1.1. TUBULONES A CIELO ABIERTO. ________________________________ 161

5.1.2. TUBULONES DE AIRE COMPRIMIDO.____________________________ 163

BIBLIOGRAFA________________________________________________ 168

CAPITULO VI___________________________________________169

PILARES Y ESTRIBOS DE PUENTES ______________________169

6.1. INTRODUCCIN ___________________________________________ 169

6.2. DESIGNACIONES.- _________________________________________ 169

6.3. ESTRIBOS DE PUENTE, (MESO-ESTRUCTURA).- _____________ 170

6.3.1. ESTRIBOS PARA PUENTES SIMPLEMENTE APOYADOS Y CONTINUOS

___________________________________________________________________ 171

6.3.1.1. Estribos de aletas rectas _____________________________________________ 171

6.3.1.2. Estribos con aletas oblicuas __________________________________________ 171

6.3.1.3. Estribos en forma de U ______________________________________________ 172

6.3.1.4. Estribos de cajn. __________________________________________________ 172

6.3.1.5. Estribos tramos de orilla. ___________________________________________ 173

6.3.1.6. Estribos sin aletas.- ________________________________________________ 173

6.3.2. ESTRIBOS PARA PUENTES DE PRTICOS RGIDOS _______________ 174

- viii -


9/215

6.3.3 ESTRIBOS PARA ARCOS________________________________________ 177

6.4. PILAS DE PUENTE, ( MESO ESTRUCTURA) __________________ 178

6.5. SOLICITACIONES EN EL ESTRIBO, Y LAS PILAS_____________ 180

6.5.1. CARGA PERMANENTE_________________________________________ 181

6.5.2 CARGAS MVILES_____________________________________________ 182

6.5.3 CARGAS DE VIENTO ___________________________________________ 183

6.5.4 FUERZAS ESPECIALES _________________________________________ 185

6.5.4.1.- Fuerzas ssmicas. __________________________________________________ 185

6.5.4.2.- Otras Fuerzas. ____________________________________________________ 185

6.5.4.3.-Colisin. _________________________________________________________ 185

6.5.4.4.- Rozamiento.______________________________________________________ 186

6.6. CALCULO DE LA ESTABILIDAD ____________________________ 186

6.7. CIMENTACIONES PARA PUENTES (INFRAESTRUCTURA) ____ 187

6.7.1. EJECUCIN DE LAS FUNDACIONES_____________________________ 187

6.7.2. FUNDACIN DIRECTA_________________________________________ 187

6.7.3. FUNDACIN NEUMTICA. _____________________________________ 188

6.7.4. FUNDACIN MEDIANTE PILOTAJE _____________________________ 188

BIBLIOGRAFA________________________________________________ 188

CAPITULO VII __________________________________________189

RECALZOS _____________________________________________189

7.1. INTRODUCCIN __________________________________________ 189

7.2. DESIGNACIONES __________________________________________ 189

7.3. PRECAUCIONES GENERALES______________________________ 190

7.4. RECALZOS DE MUROS _____________________________________ 190

7.4.1. Longitudes normalmente aceptadas para los bataches ___________________ 191

7.4.2. Esquema de propagacin tpico de un recalce__________________________ 191

- ix -


10/215

7.5. RECALZOS CON PILOTES FRAGMENTARIOS MEGA ________ 193

7.6. RECALZOS DE PILOTES Y VIGAS DE HORMIGON ___________ 193

7.7. METODO DE RECALCE PYNFORD O DE LAS BANQUETAS__ 194

7.8. RECALZOS DE COLUMNAS_________________________________ 195

BIBLIOGRAFA________________________________________________ 196

CAPITULO VIII _________________________________________197

DISEO DE FUNDACIONES SOMETIDAS A VIBRACIN ____197

8.1. INTRODUCCIN ___________________________________________ 197

a) Resistencia al asiento vertical.- __________________________________ 197

b) Asentamiento diferencial.-______________________________________ 197

c) Vuelco.-______________________________________________________ 198

d) Torsin.-_____________________________________________________ 198

e) Provisiones para accesorios.- ____________________________________ 198

f) Dilatacin.- ___________________________________________________ 198

g) Proteccin.- __________________________________________________ 199

h) Vibracin.-___________________________________________________ 199

8.2. FUNDACIONES SOBRE EL TERRENO________________________ 202

8.3. FUNDACIONES SOBRE PILOTES ____________________________ 203

BIBLIOGRAFA________________________________________________ 205

- x -


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CAPITULO IFUNDACIONES SOMETIDAS A FUERZAS DE VUELCO.

_____________________________________________________________________________________

CAPITULO I

FUNDACIONES SOMETIDAS A FUERZAS DE VUELCO.

1.1 INTRODUCCION

La funcin de todo cimiento es la de soportar y transmitir al terreno sobre el

que descansa la combinacin de cargas debidas a la estructura que sostiene

de tal manera que no se produzcan asentamientos diferenciales u otros

movimientos que puedan comprometer la estabilidad, o causar daos a la

misma.

1.2. DESIGNACIONES

Tomando el tipo ms comn de zapatas aisladas, emplearemos las

designaciones que se indican en la figura. 1.1

a

d

Fig. 1.1

_____________________________________________________________________________________

FUNDACIONES II - 1 -


12/215


_____________________________________________________________________________________

1.3. ZAPATAS AISLADAS SOMETIDAS A CARGA VERTICAL Y

MOMENTO EN UNA DIRECCION

Informacin: qadm (capacidad admisible)

P (carga vertical)

M(Momento actuante)

I

cM

A

Pq

= Ec.1.1

Donde :ePM

baA

=

=

12

.

23ab

I

ac

=

=

Remplazando en Ec.1.1

12

23a

b

aeP

ba

Pq

=

2

6

ab

eP

ba

Pq

= Ec.1.2

Fig-1.2

_____________________________________________________________________________________



13/215


_____________________________________________________________________________________

1.3.1 ANLISIS DE LAS PRESINES EN LA BASE DE LA ZAPATA

DEBIDO A (P, M)

1.3.1.1 Caso I: Excentricidad 6

ae<

En este caso el esfuerzo directo de compresin es mayor que el esfuerzo de

flexin

Fig-1.3

De Ec.1.2

+

=a

e

ba

Pqmax

61 Ec. 1.3

=a

e

ba

Pqmin

61 Ec. 1.4

1.3.1.2 Caso II: Excentricidad6

ae=

En este caso el esfuerzo directo es igual al esfuerzo de flexin. De Ec.1.2

A

P

A

Pq

ab

aP

ba

Pq

=

=

26

6

A

Pqmax

2= Ec.1.5

0=minq Ec.1.6

_____________________________________________________________________________________



14/215


_____________________________________________________________________________________

Fig-1.4

1.3.1.3 Caso III: Excent ricidad 6

a

e>

Si la carga acta fuera del ncleo central de inercia, resulta esfuerzos de

traccin en el lado opuesto a la excentricidad. Para que exista equilibrio la

resultante de las tensiones R debe ser igual y estar alineada con P.

( ) PbqmR max == 321

Ec. 1.7

Donde : mea

+=2

Remplazando en Ec1.7( )bea

Pqmax 23

4

= Ec. 1.8

0=minq Ec. 1.9

Fig-1.5

_____________________________________________________________________________________



15/215


_____________________________________________________________________________________

1.4. ZAPATAS AISLADAS CON COLUMNA EXCENTRICA

Para evitar el caso anterior, movilizar la zapata de manera que se transforme

en zapata con columna excntrica, como en la figura. 1.6

Informacin: qadm(Capacidad de carga mxima admisible)

P (Carga vertical)

baA = (rea de la zapata)

Fig-1.6

1.4.1 ANLISIS DE LAS PRESIONES EN LA BASE DE LA ZAPATADEBIDO A (P, M, Mc)

1.4.1.1. Debido a la carga vertical P (Compresin)

Fig-1.7

_____________________________________________________________________________________



16/215


_____________________________________________________________________________________

A

Pq =1 Ec. 1.11

Donde: baA =

Remplazando en Ec. 1.11ba

Pq

=1 Ec. 1.12

1.4.1.2 Debido al momento flector M actuante

Fig-1.8

I

cMq

=2 Ec.1.13

Donde:12

;2

;'3

1

abI

acePM

===

Remplazando en Ec 1.13 21

2'6ab

ePq

= Ec1.14

1.4.1.3 Debido a la excentricidad de la columna Mc

Fig. 1.9

_____________________________________________________________________________________



17/215


_____________________________________________________________________________________

I

cMq c

=3 Ec.1.15

Donde:12

;2

;'3

2

abI

acePMc

===

Remplazando en Ec.1.15

22

3

'6

ab

ePq

= Ec1.16

1.4.2 ANALISIS DE LAS PRESIONES EN LA BASE DE LA ZAPATA PARACASOS ESPECIALES

1.4.2.1 Caso a: Cuando todas las cargas (P, M, Mc) actan sobre lafundacin.

Fig-1.10En el eje 1

= imin qq

321 qqqqmin +=

22

21 '6'6

ab

eP

ab

eP

ba

Pqmin

+

= Ec.1.17

0minq

En el eje 2

= imax qq

321 qqqqman +=

22

21 '6'6

ab

eP

ab

eP

ba

Pqman

+

= Ec.1.18

admmax qq

_____________________________________________________________________________________



18/215


_____________________________________________________________________________________

Cuando la resultante es una carga trapezoidal

Fig-1.11

minmax qq > Ec. 1.19

Remplazando Ec.17, Ec.18 en Ec.19

22

21

22

21 '6'6'6'6

ab

eP

ab

eP

ba

P

ab

eP

ab

eP

ba

P

+

>

+

21 ee > Ec. 1.20

Cuando la resultante es una carga triangular

Fig. 1.120=minq Ec.1.21

Remplazando Ec.1.21 en Ec.1.17ba

P

ab

eP

ab

eP

=

21

22 '6'6

Remplazando en Ec. 1.18

+

=

ba

P

ab

eP

ab

eP

ba

Pqmax 2

121 '6'6

ba

Pqmax

=2

Ec.1.22

Remplazando Ec.1.21 en Ec.1.17ba

P

ab

eP

ab

eP

=

21

22 '6'6

_____________________________________________________________________________________



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_____________________________________________________________________________________

=

ba

P

ab

eP

P

abe

21

2

2

'6

'6

P=P

612a

ee = Ec.1.23

Por otro lado de Figura. 1.6 21 2 e

aL =

Remplazando la Ec. 1.2362 11a

ea

L += 3

32 11

eaL

=

12 LaL =

Remplazando L1

=

3

32 12

eaaL

3

3 12

eaL

+=

1

1

2

13

32

ea

ea

L

L

+

= Ec. 1.24

Cuando la resultante es una carga uniforme

Fig. 1.13

minmax qq = Ec. 1.25

Remplazando Ec.1.17, Ec. 1.18 en Ec. 1.25

22

21

22

21 '6'6'6'6

ab

eP

ab

eP

ba

P

ab

eP

ab

eP

ba

P

+

=

+

21 ee = Ec. 1.26

ba

Pqmax

= Ec. 1.27

Por otro lado de Figura 1.6 21 2 e

aL =

_____________________________________________________________________________________



20/215


_____________________________________________________________________________________

Remplazando la Ec. 1.26 11 2 e

aL =

2

2 11

eaL

=

12 LaL =

Remplazando L1

= 12 2 e

a

aL 2

2 12

ea

L

=

1

1

2

1

2

2

ea

ea

L

L

+

= Ec 1.28

1.4.2.2 Caso b: Cuando no todas las cargas actan sobre la fundacin

Sin considerar el momento actuante o momento flector M

Fig. 1.14En el eje 1

= imax qq

31 qqqman +=

admmax qq

22'6

ab

eP

ba

Pqman

+

= Ec. 1.29

En el eje 2

= imin qq 31 qqqmin =

22'6

ab

eP

ba

Pqmin

= Ec. 1.30

0minq

Para mayor seguridad

030.1.

017.1.

=

=

Ec

Ec30.1.17.1. EcEc =

_____________________________________________________________________________________



21/215


_____________________________________________________________________________________

Remplazando22

22

21 '6'6'6

ab

eP

ba

P

ab

eP

ab

eP

ba

P

=

+

21 2ee = Ec 1.31

Por otro lado0

'622 =

ab

eP

ba

P

'62 P

aPe

=

62a

e = Ec 1.32

Remplazando Ec.1.32 en Ec.1.31

31

ae = Ec 1.33

Por otro lado 21 2 e

aL =

Remplazando la Ec.1.33621aa

L = 31a

L =

12 LaL =

Remplazando L132a

aL = 3

22

aL =

2

1

2

1 =L

L

La relacin para la ubicacin de la columna en la base, esta dada por:

12 2LL = Ec 1.34 (figura 1.6)

Fig. 1.15

_____________________________________________________________________________________



22/215


_____________________________________________________________________________________

1.5. ZAPATAS AISLADAS RECTANGULARES SOMETIDAS A CARGAVERTICAL Y MOMENTOS BIAXIALES.

Para el anlisis de presiones se desarrolla a continuacin dos mtodos

1.5.1. METODO 1, Para el anlisis de presiones en las zapatassometidas a carga vertical y momentos biaxiales

Fig. 1.16

x

yx

y

xy

I

cM

I

cM

A

Pq

= Ec 1.35

Donde

2;

2

;;

bc

ac

ePMePMbaA

yx

yxxy

==

=== y

12;

12

33ab

Iba

I yx

=

=


66ba

eP

ba

eP

ba

Pq

yx

=

=

b

e

a

e

ba

Pq

yx66

1

Fig. 1.17

_____________________________________________________________________________________



23/215


_____________________________________________________________________________________

Siempre que: admcg qba

Pq

=

=b

e

a

e

ba

Pq

yx

max

661 Ec 1.36

Ubicacin de la resultante

Fig. 1.18

1.5.1.1 Zona I.-

Carga dentro del ncleo central de inercia. Solo existe compresin, para esto:

166

+

b

e

a

e yx Siendo ex ,ey los valores absolutos de la excentricidad

+

+

=

b

e

a

e

ba

Pq

yxmax

661 Ec 1.37

1.5.1.2 Zona II.-

Las excentricidades debern ser simultneamente4

aex y 4

bey 1

Para el equilibrio, la resultante R debe ser igual y estar alineada con P.

PqdcR max=

= 44

21

31 Ec 1.38

Donde: cea

x+=2 y de

by+=2

_____________________________________________________________________________________



24/215


_____________________________________________________________________________________

Fig. 1.19


( )( )yxmax

ebea

Pq

222

3

= Ec 1.39

La posicin de la lnea de presiones queda acotada por los valores:

( xeac 224 )= y yebd 224 =

1.5.1.3 Zona III.-

Los valores absolutos de las excentricidades deben cumplir:

166

+

b

e

a

e yx Y que simultneamente no sean4

aex y 4

bey .

Entrando en el grfico 1 con los valoresa

ec x= y

b

ed

y= , se obtienen los

valores n y m, que fijan conforme a la figura 1.20 la posicin de la lnea de

presiones nulas.

Fig. 1.20

_____________________________________________________________________________________



25/215


_____________________________________________________________________________________

El esfuerzo mximo es:ba

PKqmax

= Ec.1.40

El valor de K se obtiene del grfico. 2

Si c > d, entonces se debe intercambiar en los grficos c y d, Tambin sedebe considerar m en lugar de m, donde

b

amm=' .

Graf. 1

_____________________________________________________________________________________



26/215


_____________________________________________________________________________________

Graf. 2

1.5.2 METODO 2, Para el anlisis de presiones en las zapatas sometidasa carga vertical y momentos biaxiales

Se tiene IV casos

1.5.2.1 Caso I: Presin total en la base

Informacin: qadm(Capacidad de carga mxima admisible)P (Carga vertical)


Dondeyx

xy

ePM

ePM

=

=

6

aex y 6

bey

Fig. 1.21

_____________________________________________________________________________________



27/215


_____________________________________________________________________________________

a

ex= ,b

ey= Con y se ingresa en el grf 3 y se determina K y F.S.

Se obtieneA

PKqmax = Ec. 1.41

Condicin admmax qq

1.5.2.2 Caso II: Presin parcial - Zona no compr imida triangular



Dondeyx

xy

ePM

ePM

=

=

6

aex> y

6

bey

Fig. 1.22

a

ex= ;b

ey= Con y se ingresa en el grf 3 y se determina K; F.S.; x, y

Se obtieneA

PKqmax = Ec. 1.41

Condicin admmax qq

Con x, y, se determina la posicin de la lnea de presiones nulas. (fig 1.22)

1.5.2.3 Caso III: Presin parcial - Trapezoidal en la base.


_____________________________________________________________________________________



28/215


_____________________________________________________________________________________


Dondeyx

xy

ePM

ePM

=

=

6

aex y 6

bey >

Fig. 1.23

a

ex= ;b

ey= Con y se ingresa en el grf 3 y se determina K , F.S

Se obtieneA

PKqmax = Ec. 1.41

admmax qq Condicin

Para determinar la posicin de la lnea de presiones nulas, se tiene que:

yeb

bm += xea

an +=2

y2

m, n; y con n, se obtiene t del grf o. 4

O se puede usar la ecuacin:

De estas relaciones se obtiene ic

( ) ( ) ( ) 012613414 2 =+ ntntn

( )( )1113

+

=nt

mbR

( )tRN = 1

Referirse a la figura. 1.23

( )tqq max = 11

_____________________________________________________________________________________



29/215


_____________________________________________________________________________________

Factor de seguridad

Valores de = e x / a : Excentricidad longitudinallongitud de zapata

Las lneas llenas dan valores de K

Presin mxima = K Pb.aP = carga concentrada sobre la zapata

Valoresde

=

e

/b:

excentricidadtransversal

anchodezapata

1.31.2

Caso I

0

1.1

0.1

1.61.4

1.5

0.1

1.91.8

1.7

0.2

2.5

0.2

0.3

0.4

0.5

Caso III

Caso II

10 5 3.3 2.5

0.3

3

3.5

4

0.4

Caso III

10

0.5

5

3.3

12

7

5

6

9

8 10

15

25

20

2 1.75 1.5

Caso IV

50

1.75

2.5

2

1.5

Factordeseguridad

Graf. 3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

0.5 0.52 0.54 0.56 0.58 0.6 0.62 0.64 0.66 0.68 0.7 0.72 0.74 0.76 0.78 0.8

[ n ]

[t]

Graf. 4

_____________________________________________________________________________________



30/215


_____________________________________________________________________________________

1.5.2.4 Caso IV: Presin parcial - Zona comprimida tr iangular


baA = (rea de la zapata)Donde:

yx

xy

ePM

ePM

=

=

6

aex> y 6

bey >

Fig. 1.24

a

ex= ;b

ey= ; Con y se ingresa en el grfico 3y se determina K, F.S.

Se obtiene A

P

Kqmax = Ec. 1.41

Condicin admmax qq

Para determinar la posicin de la lnea de presiones nulas se tiene que:

xea

G =2

y yeb

H =2

(Ver Fig. 1.24)

_____________________________________________________________________________________



31/215


_____________________________________________________________________________________

BIBLIOGRAFA

- CONCRETO ARMADO II . Juan Ortega Garca.

- CIMENTACIONES TANQUES Y MUROS DE CONTENCION. Juan OrtegaGarca, 1ra. Edicin.

- CIMENTACIONES DE CONCRETO ARMADO EN EDIFICACIONES. Captulo de

Estudiantes de la Universidad Nacional de Ingeniera, 2da. Edicin.

- PRINCIPLES OF FOUNDATION ENGINEERING. Braja M. Das, 3ra. Edicin.

- REGLAMENTO PARA LAS CONSTRUCCIONES DE CONCRETO

ESTRUCTURAL Y COMENTARIOS ACI 318-95 y ACI 318R-95.

- CLCULO DE ESTRUCTRURAS DE CIMENTACIN, J. Calavera.

- FOUNDATION DESIGN, Joseph Bowles- CIMENTACIONES DISEO Y CONSTRUCCIN, J. Tomlinson

- FOUNDATION DESIGN, J. Cernica

_____________________________________________________________________________________



32/215

CAPITULO IIMUROS DE CONTENCIN

_____________________________________________________________________________________

CAPITULO II

MUROS DE CONTENCIN

2.1. INTRODUCCION

Los muros de contencin se utilizan fundamentalmente para estabilizar

masas de tierra u otros materiales sueltos, cuando las condiciones no

permiten dejar que estas masas asuman sus pendientes naturales. De

manera general los muros de contencin se utilizan para sostener taludes de

tierra de caras verticales o casi verticales, estas condiciones se presentan

cuando el ancho de una excavacin, corte o terrapln est restringido por

condiciones de propiedad, utilizacin de la estructura o economa.

Sin embargo, en ocasiones el muro desempea una segunda misin que es

la de transmitir cargas verticales al terreno en una funcin de cimiento.

2.2. DESIGNACIONES

Fig.-2.1

_____________________________________________________________________________________



33/215


_____________________________________________________________________________________

2.3. TIPOS GENERALES DE MUROS DE CONTENCION

2.3.1 MUROS DE GRAVEDAD.-

Son muros de hormign en masa ( fig 2.2) en los que la resistencia se

consigue por su propio peso

Fig. 2.2

Su ventaja fundamental es que no van armados. Pueden ser interesantes

para alturas moderadas.

2.3.2 MUROS MENSULA (EN VOLADIZO).-

Son los de empleo ms corriente (fig 2.3) y aunque su campo de aplicacin

depende, lgicamente, de los costes relativos de excavacin ,hormign ,

acero, encofrado y relleno, puede en primera aproximacin pensarse que

constituye la solucin econmica hasta alturas de 10 a 12 m.

Fig. 2.3

_____________________________________________________________________________________



34/215


_____________________________________________________________________________________

2.3.3 MUROS DE CONTRAFUERTES.-

Constituyen una solucin evolucionada de la anterior, en la que al crecer la

altura y por tanto los espesores de hormign, compensa el aligerar las

piezas. Esto conduce a armadura y encofrados mas complicados y a un

hormigonado ms difcil y por lo tanto ms costoso, al manejarse espesores

mas reducidos. Sin embargo, a partir de los 10,12 m. de altura es una

solucin que debe tantearse para juzgar su inters. Pueden tener los

contrafuertes en trasds ( figura2.4 a) o en intrads ( figura2.4 b).

Fig. 2.4

2.3.4 MUROS DE BANDEJA.-

Su concepto es muy diferente del que origina el muro de contrafuertes. Aquno se trata de resistir el mismo momento flector, aumentando el canto y

aligerando la seccin, sino de reducir los momentos flectores debidos al

relleno mediante los producidos por la carga del propio relleno sobre las

bandejas.

Fig. 2.5

_____________________________________________________________________________________



35/215


_____________________________________________________________________________________

2.3.5 MUROS CRIBAS Y OTROS MUROS PREFABRICADOS. -

El concepto de muro criba de piezas prefabricadas tiene su origen en muros

anlogos realizados antiguamente con tronco de rboles. El nuevo sistema

emplea piezas prefabricadas de hormign de muy diversos tipos que forman

una red espacial que se rellena con el propio suelo.

2.4. TEORIAS DE PRESIN DEL TERRENO SOBRE MUROS DECONTENCIN

Uno de los problemas es la determinacin de los esfuerzos que se originan

en un macizo terroso durante su desplazamiento, ya que deben ser

evaluados previamente para poder construir elementos estructurales, comoson los muros de contencin.

2.4.1 EMPUJE DE TIERRAS ( EMPUJE ACTIVO Y EMPUJE PASIVO)

El empuje de tierras, es la accin ejercida por un macizo terroso sobre

cualquier elemento en contacto con l.

Esta accin puede ser denominada Estado de reposo, Empuje activo o

Empuje pasivo en funcin del sentido del desplazamiento.

Es decir, el empuje activo es aquel que corresponde a una expansin del

suelo y el pasivo a una compresin, los coeficientes respectivos Ka, Kp,

sern posteriormente calculados.

2.4.2 CALCULO DEL EMPUJE ACTIVO Y PASIVO

2.4.2.1 Mtodo de Coulomb

Presin activa

- Para el caso activo la presin activa ser:2

2

1HKP aa = Ec. 2.1

_____________________________________________________________________________________



36/215


_____________________________________________________________________________________

Donde : ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

coscos

sinsin1coscos

cos

+

+++

=

a

K Ec. 2.2

Presin pasiva

- Para el caso pasivo la presin pasiva ser:2

`2

1HKP pp = Ec. 2.3

Donde : ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

coscos

sinsin1coscos

cos

+

+++

=

aK Ec. 2.4

El procedimiento para tal calculo es mostrado en la figura. 2.6,considerando

un relleno granular.

Fig. 2.6

_____________________________________________________________________________________



37/215


_____________________________________________________________________________________

Rangos del ngulo de friccin del muro ()TABLA 2.1 Rango general de los ngulos de friccin del muro para muros de

albailera o muros de concreto.

MATERIAL DE RELLENO RANGO DE (GRAD)Grava 27-30

Arena gruesa 20-28Arena fina 15-25

Arcilla rgida 15-20Arcilla Limosa 12-16

2.4.2.2 Mtodo de Rankine

Presin activa

Antes de que la rotura por traccin ocurra ser:

2

2

1HKP

aa = Ec. 2.5

Despus de que la rotura por traccin ocurra ser:

)2)((2

1aaca KcHKzHP = Ec. 2.6

a

cKcz

2= Ec. 2.7

Donde :

=+

=2

45tansin1

sin1 2

aK Ec. 2.8

Presin pasiva

La fuerza pasiva por unidad de longitud del muro puede ser determinado por

el rea del diagrama de presiones:

pKcHHpKpP 2

2

2

1+= Ec. 2.9

Donde :

+=

245

2tan

pK Ec. 2.10

_____________________________________________________________________________________



38/215


_____________________________________________________________________________________

2.4.2.3 Presin de tierra activa y pasiva segn Rankine para relleno

granular inclinado

Ka=

+ coscos cos cos

cos cos cos

2 2

2 2

Ec 2.11

P K Ha a=1

2 12 Ec 2.12

Donde: H BC1 2=

= pendiente de la superficie de tierra

Pv= Pa sin Ec. 2.13 Componente vertical de la fuerza activaPa

Ph= Pa cos Ec. 2.14 Componente horizontal de la fuerza activa Pa

2.5. DISEO DE MUROS DE CONTENCIN

Son caractersticas fijas:

- El suelo de cimentacin y por lo tanto las presiones mximas

admisibles, el coeficiente de rozamiento hormign - suelo, y el empuje

pasivo eventualmente movilizable frente al muro.

- La cota de coronacin del muro

- La profundidad mnima de cimentacin. Como norma general un

muro no debe cimentarse a profundidad inferior a 1 m

Son en cambio caractersticas seleccionables:

- Las dimensiones del muro

- El material de relleno del trasds

- Las caractersticas resistentes de los materiales de muro.

Existen 2 fases importantes en el diseo de un muro de contencin.

1 Sabiendo la presin lateral del suelo, la estructura como un todo, es

verificada en su estabilidad, esto incluye verificar a vuelco, deslizamiento y

capacidad portante.

_____________________________________________________________________________________



39/215


_____________________________________________________________________________________

2 Cada componente de la estructura es verificada para los esfuerzos

adecuados y el acero de refuerzo es determinado para cada componente.

2.5.1 MUROS DE GRAVEDAD.-2.5.1.1 Pre-dimensionamiento

Fig. 2.82.5.1.2 Fase 1 verificacin de la estabilidad

Verificacin al volteo

( )

=O

volteo M

RM

Fs Ec. 2.15

Donde :M

R =Suma de momentos que resisten el vuelco al rededor del punto C.

Mo =Suma de momentos que tienden a voltear al muro alrededor del punto C

_____________________________________________________________________________________



40/215


_____________________________________________________________________________________

Fig. 2.9Momentos resistentes.

El momento de la fuerza Pv alrededor de C es:

Mv = PvB = Pa sin B Ec. 2.16

Entonces : MR M M Mw ws= + + v Ec. 2.17

Momentos actuantes

Como se muestra en lafigura. 2.9, Ph es la fuerza que contribuye al vuelco

=

3

HP

oM

h Ec. 2.18

Donde: Ph= Pa cos Ec. 2.14

++=

3cos

H

aP

vM

wsM

wM

Fs

Ec. 2.19

El factor de seguridad con respecto al vuelco es Fs = 1.5 a 2

vM

Ha

P

wsM

wM

Fs

+=

3cos Ec. 2.20

_____________________________________________________________________________________



41/215


_____________________________________________________________________________________

Verificacin al deslizamiento en la base

( )

=dntodeslizamie F

RF

Fs Ec. 2.21

Donde : = Suma de fuerzas horizontales resistentes.FR

Fd

= Suma de fuerzas horizontales deslizantes.

Fuerzas resistentes.

En la base del muro se desarrolla un esfuerzo de corte, que se representa

s= c+ tan Ec. 2.22

Y la mxima fuerza de resistencia, ser:

( )BcBssF cinladearear

+== tan)( sec Ec. 2.23

sin embargo:

( ) == VverticalesfuerzaslasdesumaB Ec. 2.24

Entonces :( ) BcVF

r += tan Ec. 2.25

En la figura. 2.9 se muestra que la fuerza pasiva Pp es tambin un fuerza

horizontal resistente, la expresin de Pp esta dada por la Ec. 2.9.

( ) ++= pPBcVRF tan Ec. 2.26

Fuerzas deslizantes.

La nica fuerza horizontal que tiende a causar el deslizamiento es la

componente horizontal de la fuerza activa Ph

= cosaPdF Ec. 2.27

El mnimo factor de seguridad con respecto al deslizamiento es Fs = 1.5

( )

( )

cos

tan

a

pV

P

PBcFs

ntodeslizamie

++=

Ec. 2.28

_____________________________________________________________________________________



42/215


_____________________________________________________________________________________

Verificacin de la capacidad portante .-

maxtan q

qFs u

tepor

capacidad =

Ec. 2.29

por lo tanto: q qadmmax

La magnitud de qmax y qminpuede ser determinado de la siguiente manera:

q V

A

M Y

I

net= Ec. 2.30

Donde: ( )eVnetM =

V W W PS V

=

+ +

A B h= * h=1

I B=1

121 2 momento de inercia por unidad de longitud de la seccin de la base

Para la presin mxima y mnima, el valor de Y en la Ec. 2.30, es igual a

B

2 , substituyendo los valores precedentes en la Ec. 2.30,resulta:

312

1 2

)(

1.B

BVe

BVq

=

Entonces :

+

==

B

e

B

V

punteraqq6

1max Ec. 2.31

Similarmente:

==

B

e

B

V

talnqq6

1min Ec. 2.32

Notas:

La suma vectorial de y . Dan la fuerza como resultanteV Ph R

El momento neto de estas fuerzas alrededor del punto C , figura . 2.10

,es:

Mnet

Mnet

MR

MO

=

_____________________________________________________________________________________



43/215


_____________________________________________________________________________________

La lnea de accin de la resultante , intersecta la base en el punto E

(figura2.10).La distancia CE es entonces:

R

CE XM

netV= = Ec. 2.33

La excentricidad de la resultante , puede expresarse entonces como:R

e B

CE= 2 Ec. 2.34

El factor de seguridad con respecto a la capacidad portante es Fs = 3

Fig. 2.10

2.5.1.3 Fase 2- verificacin de esfuerzos

Verificacin de corte y tensin de flexin en la puntera .-

Corte

V q x q qx

= + 1 2( max )1 (actuante t.) Ec. 2.35

Vu V= 1 7.

VcV

h

u=.100 (Kg /cm

2) Ec. 2.36

_____________________________________________________________________________________



44/215


_____________________________________________________________________________________

Vcu

f c=0 53. =0.85 (esf. permisible cortante) Ec. 2.37

Vc Vcu Ec. 2.38

Fig. 2.11Momento

M qx

q q x= + 1

2

2 1

2

3max (actuante t.m) Ec. 2.39

MMu 7.1= Tensin

fMc

I

M

b h

M

h

u u= = =6

2

6

100 2. . (Kg/cm2

) Ec. 2.40ft f c= 1 33. =0.65 (esf. permisible flexin) Ec. 2.41

f ft Ec. 2.42

Verificacin de corte y tensin de flexin en el taln .-

Corte

V q q x q q x= + ( ) ( min)1 1 2 (actuante t.) Ec. 2.43

Vu V= 1 7.

VcV

h

u=.100 (Kg /cm

2) Ec. 2.36

Vcu


_____________________________________________________________________________________



45/215


_____________________________________________________________________________________

Vc Vcu Ec. 2.38

Fig. 2.12Momento

( )3

2

min12

2)1(

xqq

xqqM += (actuante t.m) Ec. 2.44

Mu M= 17. Tensin

fMc

I

M

b h

M

h

u u= = =6

2

6

100 2. . (Kg/cm2

) Ec. 2.40cff = 33.1 =0.65 (esf. permisible flexin) Ec. 2.41

f ft Ec. 2.42

Verificacin de corte, tensin de flexin y compresin en la pantalla .-

_____________________________________________________________________________________



46/215


_____________________________________________________________________________________

0 X H hi ( ) Wi= peso de l pantalla por encima de la seccin i i .

Mi= momento en i .Vi= corte en i.

Xi= distancia desde el coronamiento hasta la seccin i i

Corte

VciV

Bi

i=.100 (Kg /cm

2) Ec. 2.36

Vcu


Vci Vcu Ec. 2.38Tensin

fiM

b Bi

Mi

Bi

i= =6

26

100 2. . (Kg/cm2) Ec. 2.40

ft f c= 1 33. =0.65 (esf. permisible flexin) Ec. 2.41

fi ft Ec. 2.42Compresin

f iWi

b Bi

Mi

b Bi

. .= +

62 f i

Wi

Bi

Mi

Bi

. .= +

100

6

100 2 (Kg/cm2) Ec. 2.45

fc f c= 0 85. =0.65 (esf. permisible flexin) Ec. 2.46

f i fc Ec. 2.47

_____________________________________________________________________________________



47/215


_____________________________________________________________________________________

2.5.2 MUROS MENSULA .-2.5.2.1 Predimensionamiento

Fig. 2.13

2.5.2.2 Fase 1 verificacin de la estabilidad

Esta fase se la realiza de la misma forma que en la seccin anterior (Muros

de Gravedad )

Verificacin al volteo .-

( )

=O

volteo M

RM

Fs Ec. 2.15

Donde :M

R =Suma de momentos que resisten el vuelco al rededor del punto C.

Mo =Suma de momentos que tienden a voltear al muro alrededor del punto C



( )

= dntodeslizamie F

RF

Fs Ec. 2.21


Fd



_____________________________________________________________________________________



48/215


_____________________________________________________________________________________

Verificacin de la capacidad portante

maxtan q

qFs u

teporcapacidad=

Ec. 2.29

por lo tanto: q qadmmax El factor de seguridad con respecto a la capacidad portante es Fs = 3

2.5.2.3 Fase 2 veri ficacin de esfuerzos

Diseo del alzado o cuerpo .-La distribucin de la presin lateral de tierra

detrs del muro se muestra en la figura. 2.14 a. Note que, a cualquier

profundidad Z desde el tope del muro

a azK= Ec. 2.48La componente horizontal de la presin lateral es a h azK( ) cos= Ec. 2.49

Recordemos que :

Calculo del refuerzo de acero por flexin

Entonces el momento a cualquier profundidad del muro ser:

M z Ka=1

63 cos Ec. 2.50

El momento ultimo de diseo (ACI Seccin 9.2.4) es:

Mu M z Ka= =1717

63.

.cos Ec. 2.51

Reglamento para las construcciones de concreto estructural y Comentarios (ACI 318-95 y ACI318R-95)

_____________________________________________________________________________________



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_____________________________________________________________________________________

La variacin del momento a cualquier profundidad, ser calculada con la

ecuacin precedente, y una grfica (graf.1) parecida al de la figura. 2.14

Fig. 2.14

y

c

f

bafAs

=85.0 b=100cm Ec. 2.52

)2

( a

dAsfMu y = Con =0.9 y remplazando As de la Ec. 2.52 (Ec. 2.53)

La graf 2 y graf 3 se obtienen combinando las Ec. 2.52 y Ec.2.53 para

dimetros diferentes de acero.

Verificacin por corte

cos2

2

1aKzV= Ec. 2.54

El cortante ultimo de diseo es:

Vu V z K a= =1717

22

. .

cos Ec. 2.55

VcV

d

u=

.100 Ec. 2.36

Vcu fc= 0 53. =0.85 (esf. Permisible cortante ) Ec. 2.37

Vc Vcu (caso 1) Ec. 2.38

Vc Vcu2

3 (caso 2) Ec. 2.56

_____________________________________________________________________________________



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_____________________________________________________________________________________

Refuerzo de acero por contraccin y temperaturaDe acuerdo con el cdigo ACI seccin 14.3.2 y 14.3.3

Horizontal del muro

AgAsh

002.0=


51/215


_____________________________________________________________________________________

Refuerzo transversal de acero por contraccin y temperatura

De acuerdo con el cdigo ACI seccin 7.12.2.1 (b)

A s A g= 0 0 018.

Ag= rea de la seccin del muroDiseo del talnPara el diseo del taln, se debe tomar en cuenta que :

q q q q= + 1 2 3 Ec. 2.60

Donde : q1 =Carga causada por el suelo arriba del taln (s.H)q2=Carga causada por la losa de concreto (c.h)q3 =Reaccin del suelo

Verificacin por corte

= dxqV . (actuante ) Ec. 2.58Vu V=17.

VcV

d

u=.100 Ec. 2.36

Vcu fc= 0 53. =0.85 (esf. Permisible cortante) Ec. 2.37

Vc Vcu Ec. 2.38


= dxVM . Ec. 2.59Mu M=17.

As af b

f

c

y

=0 85.

b=100cm Ec. 2.52

=

2

adyAsfMu Con =0.9 y remplazando As de la Ec. 2.52 ( Ec. 2.53)

Refuerzo transversal de acero por contraccin y temperatura

De acuerdo con el cdigo ACI seccin 7.12.2.1 (b): A s A g= 0 0 01 8.

Ag= rea de la seccin del muro

Reglamento para las construcciones de concreto estructural y Comentarios (ACI 318-95 y ACI 318R-95)

Reglamento para las construcciones de concreto estructural y Comentarios (ACI 318-95 y ACI 318R-95)

_____________________________________________________________________________________



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_____________________________________________________________________________________

2.5.3 MUROS DE CONTRAFUERTE.-

2.5.3.1 Predimensionamiento

Fig. 2.15

2.5.3.2. Fase 1 verificacin de la estabil idad

Esta fase se la realiza de la misma forma que en la seccin anterior (Muros

de Gravedad)

Verificacin al volteo.-

( )

= Ovolteo MRM

Fs Ec. 2.15Donde :

MR =Suma de momentos que resisten el vuelco al rededor del punto C.

Mo =Suma de momentos que tienden a voltear al muro al rededor del punto C



( )

=d

ntodeslizamie F

RF

Fs Ec. 2.21


Fd



_____________________________________________________________________________________



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_____________________________________________________________________________________

Verificacin de la capacidad portante

maxtan q

qFs u

teporcapacidad =

Ec. 2.29

por lo tanto: q qadmmax

El factor de seguridad con respecto a la capacidad portante es Fs = 3

2.5.3.3 Fase 2 verificacin de esfuerzos

Diseo del alzado o cuerpo.-


La componente horizontal de la presin lateral es

a h azK( ) cos= Ec. 2.49

Acero horizontal M a h+ =1

162 ( )L Ec. 2.61

M a h =1

122 ( )L Ec. 2.62

El momento ltimo de diseo (ACI Seccin 9.2.4)es: Mu M=17. Ec. 2.51

As af b

f

c

y

=0 85.

b=100cm Ec. 2.52

=

2

adyAsfMu (Con =0.9 y As de la Ec. 2.52, d=const) Ec. 2.53

Fig. 2.16


_____________________________________________________________________________________



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_____________________________________________________________________________________

Acero vertical

Considerando la influencia de la zapata como apoyo .

Fig. 2.17M a h zL = 0 03. ( ) z=(H-h)

M M

+ = ( )4

El momento ultimo de diseo (ACI Seccin 9.2.4)es: Mu M=17. Ec. 2.51

As af b

f

c

y

=0 85.

b=100 cm. Ec. 2.52

=

2

adyAsfMu (Con =0.9 y As de la Ec.2.52, d= variable) Ec. 2.53

Refuerzo de acero por contraccin y temperaturaDe acuerdo con el cdigo ACI seccin 14.3.2 y 14.3.3

Horizontal del muro

AgAsh

002.0=


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_____________________________________________________________________________________

Diseo de los contrafuertes

Por flexin

Entonces el momento a cualquier profundidad del muro ser:

M z K La=1

6

3 cos Ec. 2.50

El momento ultimo de diseo (ACI Seccin 9.2.4)es:

Mu M z K La= =1717

6

3. .

cos Ec. 2.51

Fig. 2.18

De la figura. 2.18

Mu T du i=( cos ). Ec. 2.63

Mu T dt

up= cos ( )2

Ec. 2.64

AsT

u

fy=

Ec. 2.65

Reemplazando Ec. 2.64 en Ec .2.65

cos2

=p

y

tdf

MuAs = 0.9 Ec. 2.66


_____________________________________________________________________________________



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_____________________________________________________________________________________

Por fuerza cortante ( refuerzo horizontal )

Fig. 2.19

V z K La=1

22

cos Ec. 2.54

El cortante ultimo de diseo es:

v V z K Lui a= =1717

22.

.cos Ec. 2.55

Vu v T seni ui ui= (seccin variable) Ec. 2.67

tgt

d

MvVu

p

i

uuii

=

2

Ec. 2.68

Vu Vc Vs

Vs Vu

Vc

= +

=

y = 0.85 Ec. 2.69

Donde: Vc db fc= 0 53. Ec. 2.70

SA df

Vs

v y= S= separacin entre armadura Ec. 2.71

Por traccin de la pantalla al contrafuerte (refuerzo horizontal)

Tu La h= 1 7. ( ) Ec. 2.72

As Tu

fy=

y =0.9 Ec. 2.65

_____________________________________________________________________________________



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_____________________________________________________________________________________

Fig. 2.20NOTA:

Como refuerzo horizontal se considera el mayor de los dos refuerzoshorizontales (traccin o cortante)

Por traccin de la zapata al contrafuerte (refuerzo vertical )

Fig. 2.21Tu qL= 1 7. Ec. 2.72

As Tu

fy=

y =0.9 Ec. 2.65

Diseo de la puntera .-

Para el diseo de la puntera, ser igual al del muro en voladizo

Diseo del taln.--

Se analiza y disea en forma similar a la pantalla, es una losa que se apoya

en los contrafuertes.

_____________________________________________________________________________________



58/215


_____________________________________________________________________________________

2.6. DISEO DE MUROS DE SOTANO.-

En el contexto general de la edificacin, el stano se define como la planta

situada bajo la planta baja y que, por lo tanto, est construida debajo del nivel

del terreno.

Fig. 2.22

aha HK =)( Ec. 2.73

2

2

1HKP a= Ec. 2.1

2

6

1

3

1HKPH aA == Ec. 2.74

2

3

1

3

2HKPH aB == Ec. 2.75

azha zK =)( Ec. 2.48

Reemplazando Ec. 2.73 en Ec. 2.48

zH

ha

zha

)(

)(

= Ec. 2.76

Para encontrar MmxVz =0 Mmx

02

)( =

=

zz

HHV

ha

Az

Ec. 2.77

Despejando de Ec. 2.77)(

2 2

ha

AHHz

= Ec. 2.78

_____________________________________________________________________________________



59/215


_____________________________________________________________________________________

Reemplazando Ec.2.73 en Ec. 2.74

HA a h=1

6 ( )H Ec. 2.79

Reemplazando Ec. 2.79 en Ec. 2.78

z H= 13

para este valor de z se encuentra el Mmax. Ec. 2.80

6.

2)( z

zH

zHM ha

Amx

=

Ec. 2.81

Mu M= 17.

As af b

f

c

y

=085.

b=100 (cm) Ec. 2.52

=

2adyAsfMu Con =0.9 y remplazando As de la Ec. 2.52 (Ec. 2.53)

Fig. 2.23

Refuerzo de acero por contraccin y temperatura

Vertical

Si e 25 cm armadura en las dos cara A s A g= 0 0015.

Si e< 25 cm armadura en una cara A s A g= 0 00 18. Horizontal

As Agh

= 0 002.


60/215


_____________________________________________________________________________________

2.7. ESTABILIDAD DEL TALUD

En adicin a los posibles tipos de fallas discutidos con anterioridad, se

encuentra otros, como la posible inestabilidad del talud, en esta clase de falla

dos tipos generales pueden ocurrir:

Falla de cizallamiento superficial (figura.2.24 a)

Falla de cizallamiento profunda (figura. 2.24 b.

Fig. 2.24

En esta situacin el mnimo factor de seguridad tambin tiene que ser

determinado por ensayo error, cambiando los centros del circulo de prueba.

Existen muchos mtodos grficos, tales como las desarrolladas por Bishop

(1955), Teng (1962) y ahora con la tecnologa programas computacionales

2.8. DRENAJES IMPERMEABILIZACION Y PROVISION DE JUNTAS EN

LOS MUROS DE CONTENCIN Y SOTANOS.-

2.8.1 MUROS DE CONTENCIN

Las fallas o daos que ocurren ocasionalmente en los muros de contencin

se deben, en la mayor parte de los casos, a una de estas dos causas:

_____________________________________________________________________________________



61/215


_____________________________________________________________________________________

Sobrecarga del suelo bajo en muro con la consecuente inclinacin hacia

adelante o Drenaje insuficiente del relleno posterior

Fig. 2.25

En muros largos, debe tomarse precauciones contra los daos producidos

por expansin o por contraccin. La especificacin AASHTO exige que, para

muros de gravedad y de concreto reforzado, se incluyan juntas de expansin

a intervalos de 25 mts. o menos y juntas de contraccin a no ms de 9 mts

Los muros de contencin pueden ser construidos con una o ms de las

siguientes juntas:

1. Juntas de construccin (figura. 2.26)pueden ser verticales o horizontales.

Fig. 2.26

_____________________________________________________________________________________



62/215


_____________________________________________________________________________________

2. Juntas de contraccin (figura. 2.27 ) son verticales (ranuras) Las ranuras

pueden ser de 6 a 8 mm de ancho y de 12 a 16 mm de profundidad.

Fig. 2.273. juntas de expansin (figura. 2.28 ) Estas juntas deben ser rellenas con

material flexible.

Fig. 2.28

2.8.2 SOTANOS

Existen tres mtodos bsicos de impermeabilizacin de stanos, a saber:

1.-Empleo de hormign monoltico denso en paredes y suelo.

2.-Sellado como un deposito de agua .

3.-Sistema de cmara drenada.

Hormign monoltico compacto: el objetivo principal es formar un stano

impermeabilizado usando hormign armado o pretensado compacto de alta

calidad.

Sellado exterior con mstico asfltico

Sellado interior con mstico asfltico

_____________________________________________________________________________________



63/215


_____________________________________________________________________________________

interior

_____________________________________________________________________________________



64/215


_____________________________________________________________________________________

Sistema de cmara drenada

BIBLIOGRAFA

- MANUAL DE CONSTRUCCION DE EDIFICIOS. Roy Chudley.

- CONCRETO ARMADO II . Juan Ortega Garcia.

- MUROS DE CONTENCION Y MUROS DE SOTANO. J. Calavera, 2da. Edicin.- CIMENTACIONES DE CONCRETO ARMADO EN EDIFICACIONES. Captulo de

Estudiantes de la Universidad Nacional de Ingeniera, 2da. Edicin.

- PRINCIPLES OF FOUNDATION ENGINEERING. Braja M. Das, 3ra. Edicin.

- REGLAMENTO PARA LAS CONSTRUCCIONES DE CONCRETO

ESTRUCTURAL y COMENTARIOS ACI 318-95 y ACI 318R-95.

- FOUNDATION ANLISIS AND DESIGN, J. Bowles

- FOUNDATION DESIGN, J. Cernica

- INGENIERIA DE FUNDACIONES, Manuel Delgado Vargas- CONSTRUCCIN DE CIMIENTOS, Hidalgo Bahamontes

- CIMENTACIONES DISEO Y CONSTRUCCIN, J. Tomlinson

- MECNICA DE SUELOS Y FUNDACIONES, Crespo

_____________________________________________________________________________________



65/215

CAPITULO IIIMEDIOS AUXILIARES PARA EXCAVACIN A CIELO ABIERTO

_____________________________________________________________________________________

CAPITULO III

MEDIOS AUXILIARES PARA EXCAVACIN A CIELO ABIERTO

TABLAESTACAS

3.1. INTRODUCCIN. ATAGUIAS O TABLAESTACAS

Tabla estacas conectadas o semi-conectadas se usan a menudo para

construir muros continuos para estructuras ribereas que van desde

pequeos embarcaderos hasta grandes muelles (figura 3.1a). En contraste

con la construccin de otros tipos de muros de retencin la construccin de

tabla estacas usualmente no requiere drenar el sitio de la construccin. Lastablaestacas tambin son usadas para algunas estructuras temporales tales

como entibados (figura 3.1b)

Fig. 3.1 Ejemplos de usos de tablaestacas:Muros tablaestacas ribereos; b) Entibados

Varios tipos de tabla estacas son de uso comn en construccin:

Tabla estacas de madera Tabla estacas de concreto precolado

Tabla estacas de acero

Las tablaestacas de madera se usan solo para estructuras temporarias que

estn sobre el nivel fretico

_____________________________________________________________________________________



66/215


_____________________________________________________________________________________

Las tablaestacas de concreto precolado son pesadas y se disean con

refuerzo para resistir los esfuerzos permanentes para los cuales la estructura

estar sujeta despus de la construccin y tambin para manejar los

esfuerzos producidos durante la construccin

Fig. 3.2 Tipos de tablaestacas de madera y concreto

Fig.3.3 Conexiones de tablaestacas (de acero)a) Pulgar y dedo; b) Pelota y hueco

El esfuerzo admisible de flexin de diseo

_____________________________________________________________________________________



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_____________________________________________________________________________________

Las tablaestacas de acero son convenientes por su resistencia a los altos

esfuerzos de hinca desarrollados cuando son hincados en suelos duros. Ellas

son tambin livianas y reutilizables.

3.2. MTODOS DE CONSTRUCCIN DE TABLAESTACAS.-

Las tablaestacas pueden ser divididas en dos categoras bsicas: a) En

voladizo y b) ancladas.

Los mtodos de construccin pueden ser divididos en dos categoras:

Estructuras rellenadas.

Estructuras drenadas.

La secuencia de construccin de estructuras rellenadas es: (figura 3.4)

Paso 1.- Drenar el suelo delante y detrs de la estructura propuesta.

Paso 2.- Hincar las tablaestacas.

Paso 3.-Rellenar hasta el nivel de anclamiento y colocar el sistema de

anclamiento.

Paso 4.- Rellenar hasta el nivel de la tablaestaca.

Fig. 3.4 Secuencia de construccin de una estructura rellenadaPara una tablaestaca en voladizo solo los pasos 1,2 y 4 son aplicables.

_____________________________________________________________________________________



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_____________________________________________________________________________________

La secuencia de construccin de una estructura drenada es: (figura 3.5)

Paso 1.- Hincar las tablaestacas.

Paso 2.- Rellenar hasta el nivel de anclamiento y colocar el sistema de

anclamiento.Paso 3.- Rellenar hasta el nivel de la tablaestaca.

Paso 4.- Drenar el lado frontal del muro.

Fig.3.5 Secuencia de construccin de una estructura drenadaPara tablaestacas en voladizo el paso 2 no es necesario.

3.3 TABLAESTACAS EN VOLADIZO.-

Estas son generalmente recomendadas para muros de altura moderada

alrededor de 20 ft (aprox. 6 mts) o menores, medidas de la lnea de drenado.

En estos muros, actan como una viga ancha en voladizo sobre la lnea de

drenado.

_____________________________________________________________________________________



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_____________________________________________________________________________________

Fig.3.6 Tablaestaca en voladizo hincada en arena

3.4. TABLAESTACAS EN VOLADIZO EN SUELOS ARENOSOS.-

Para desarrollar las relaciones para la apropiada profundidad de hundimiento

de las tablaestacas hincadas en suelos granulares, nos referiremos a la

figura 3.7a. El suelo retenido por la tabla estaca sobre la lnea de drenado es

tambin arena.

El nivel del agua esta a una profundidad de L1debajo del muro.

Deje que el ngulo de friccin de la arena sea . la intensidad de la presin

activa a la profundidad de z=L1es:

aKLp 11 = Ec. 3.1

donde coeficiente de presin activa de Rankine=a

k )2

45(2

=tan

= peso unitario del suelo sobre el nivel fretico.Similarmente la presin activa a la profundidad 21 LLz += (pe. al nivel de la

lnea de drenaje) es: ( ) aKLp 212 L' += Ec. 3.2

donde wsatsuelodelefectivounitariopeso' ==

_____________________________________________________________________________________



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_____________________________________________________________________________________

Note que, al nivel de la lnea de drenaje la presin hidrosttica de ambos

lados del muro es de la misma magnitud y se cancela la una con la otra.

Fig.3.7 Tablaestaca en voladizo hincada en arena:

a) Diagrama de presiones; b) diagrama de momentos

La presin activa a la profundidad z es:

( )( ) aa KLLzLLp 2121 '' ++= Ec. 3.3

y la presin pasiva a la misma profundidad es:

( ) pp KLLzp 21' = Ec. 3.4

donde: coeficiente de presin de tierra pasivo=pK ( )2/452 +=tan

ahora, combinando estas ecuaciones producimos la presin lateral neta:( ) ( )

( )( )apapapa

KKLzpp

KKLLzKLLppp

=

+==

'

''

2

2121

Ec. 3.5

donde: 21 LLL +=

_____________________________________________________________________________________



71/215


_____________________________________________________________________________________

La presin neta, p, es igual a cero a la profundidad L3 debajo la lnea de

drenaje, as de Ec. 3.5

( )

( )( )

ap

ap

KK

pLLz

KKLzp

==

=

'

0'

23

2

Ec. 3.6

Esta ecuacin nos indica que el talud de la lnea de distribucin de presiones

DEF es 1 vertical a (Kp Ka)horizontal. As en el diagrama de presiones.

'43 ap KKLpHB == Ec. 3.7

En la base de la tabla estaca, la presin pasiva pp, acta desde la derecha

hacia la izquierda y la presin activa de manera contraria. As a laprofundidad z = L + D

( pp KDLLp '' 21 ) ++= Ec. 3.8

y a la misma profundidad

aa DKp '= Ec. 3.9

Ahora, la presin lateral en la base de la tablaestaca es:

( )

( ) ( ) (( )ap

apapp

appap

KKLpp

KKLKKLKLLp

KKDKLLppp

+=+++= )

++==

454

43214

214

''''

''

Ec. 3.10

donde:( )

43

3215 ''

LLD

KKLKLLp app

+=

++= Ec. 3.11 y Ec. 3.12

Para la estabilidad del muro, los principios de la esttica ahora pueden ser

aplicados:

Suma de fuerzas horizontales por unidad de longitud del muro igual a

cero.

Suma de momentos por unidad de longitud del muro igual a cero.

Para la suma de fuerzas horizontales,

rea del diagrama de presin ACDE rea de EFHB + rea de FHBG =0

( ) 02

1

2

143543 =++ ppLLpP Ec. 3.13

_____________________________________________________________________________________



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_____________________________________________________________________________________

donde: P = rea del diagrama de presin ACDE

Sumando de todas las fuerzas alrededor del punto B se produce

( ) ( ) 0321

32

1 5435

4344 =

++

+

L

ppL

L

pLzLP Ec. 3.14

tenamos que:43

435

2

pp

PLpL

+

= Ec. 3.15

combinando estas ecuaciones y simplificndolas, se obtiene la ecuacin de

cuarto grado en trminos de L4:

04432

423

414

4 =+ ALALALAL Ec. 3.16donde:

( )

( )( )( )( )

( )

( )225

4

22

53

2

5

1

'

46

'

'26

'

8

'

ap

ap

ap

ap

ap

KK

PpzPA

KK

pKKzPA

KK

PA

KK

p

A

+=

+=

=

=

3.4.1 PROCEDIMIENTO PASO A PASO PARA OBTENER EL DIAGRAMADE PRESIN

basados en la teora precedente, el procedimiento es el siguiente:

1.- Calcular pa KK y

2.- Calcular datossonyquenoten,y 2121 LLpp

3.- Calcular 3L

4.- Calcular P 5.- Calcular z (que es el centro de presiones del rea ACDE) tomando

momentos alrededor de E.

6.- Calcular 5p

_____________________________________________________________________________________



73/215


_____________________________________________________________________________________

7.- Calcular 4321 y,, AAAA

8.- Resolver la ecuacin de 4 grado por ensayo y error para determinar 4L

9.- Calcular 4p

10.- Calcular 3p

11.- Calcular 5L

12.- Dibujar el diagrama de presiones como el mostrado en la figura.

13.- Obtener la profundidad terica de penetracin como . La actual

profundidad de penetracin se incrementa en un 20 a 30 %.

43 LL +

Nota: Algunos diseadores prefieren usar un factor de seguridad en el

coeficiente de presin de tierra pasivo en un comienzo. En tal caso en el

paso 1:

( )FS

KK

p

diseop =

donde: FS es el factor de seguridad (generalmente de 1.5 a 2.0)

Para este tipo de anlisis, seguir los pasos del 1 al 12 con el valor de

= 245

2 tanKa

y (en lugar de K(diseopK )

p.) La penetracin puede ahora

ser determinada aadiendo L3, obtenida del paso 3 y L4 obtenida del paso 8.

3.4.2 CLCULO DEL MXIMO MOMENTO DE FLEXIN

Para obtener el mximo momento por unidad de longitud de muro se requiere

determinar el punto de corte nulo. Para un nuevo eje z' (con origen en el

punto E) para corte nulo.

( )( )

( ) '2

'

'21 2

ap

ap

KK

Pz

KKzP

=

=

Ec. 3.21

_____________________________________________________________________________________



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_____________________________________________________________________________________

La magnitud del momento mximo puede obtenerse como:

( ) ( ) '3

1''

2

fundaciones ii (texto docente)

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