functions of one complex variable 2 - j conway

7/22/2019 Functions of One Complex Variable 2 - J Conway

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J o h n B . C o n w a y

F u n c t i o n s o fO n e C o m p l e xV a r i a b l e I I

S p r i n g e r - V e r l a g



G r a d u a t e T e x t s i n M a t h e m a t i c s 1 5 9

E d i t o r i a l B o a r d

J . H . E w i n g F . W . G e h r i n g P . R . H a l m o s



G r a d u a t e T e x t s i n M a t h e m a t i c s

I T A K E L J T I / Z A R I N G . I n t r o d u c t i o n t o A x i o m a t i cS e t T h e o r y . 2 n d e d .

2 O X T O R Y . M e a s u r e a n d C a t e g o r y . 2 n d e d .3 S C H A E F E R . T o p o l o g i c a l V e c t o r S p a c e s .

4 H I L r o N / S r A M M B A c H . A C o u r s e i n

H o m o l o g i c a l A l g e b r a .5 M A C L A N E . C a t e g o r i e s f o r t h e W o r k i n g

M a t h e m a t i c i a n .6 H U G H E S / P I P E R . P r o j e c t i v e P l a n e s .

7 A C o u r s e i n A r i t h m e t i c .8 T A K E U T I / Z A R I N G . A x i o m a t i c S e t T h e o r y .

9 H U M P I I R E Y S . i n t r o d u c t i o n t o L i e A l g e b r a sa n d R e p r e s e n t a t i o n T h e o r y .

1 0 C O H E N . A C o u r s e i n S i m p l e H o m o t o p yT h e o r y .

I I C O N W A Y . F u n c t i o n s o f O n e C o m p l e xV a r i a b l e 1 . 2 n d e d .

1 2 B E A L S . A d v a n c e d M a t h e m a t i c a l A n a l y s i s .1 3 A N D E R S O N / F U L L E R . R i n g s a n d C a t e g o r i e s o f

M o d u l e s . 2 n d e d .

1 4 G O L u B I T S K Y / G U I L L E M I N . S t a b l e M a p p i n g sa n d T h e i r S i n g u l a r i t i e s .

I S B E R R E R I A N . L e c t u r e s i n F u n c t i o n a l A n a l y s i sa n d O p e r a t o r T h e o r y .

1 6 W I N T E R . T h e S t r u c t u r e o f F i e l d s .l 7 R O S E N B L A T F . R a n d o m P r o c e s s e s . 2 n d e d .

1 8 H A L M O S . M e a s u r e T h e o r y .

1 9 H A L M O S . A H i l b e r t S p a c e P r o b l e m B o o k .2 n d e d .

2 0 H U S E M O L L E R . F i b r e B u n d l e s . 3 r d e d .2 1 H U M P H R E Y S . L i n e a r A l g e b r a i c G r o u p s .

2 2 B A R N E S / M A C K . A n A l g e b r a i c I n t r o d u c t i o n t oM a t h e m a t i c a l L o g i c .

2 3 G R E U B . L i n e a r A l g e b r a . 4 t h e d .2 4 H O L M E S . G e o m e t r i c F u n c t i o n a l A n a l y s i s a n d

I t s A p p l i c a t i o n s .2 5 H E W E T r / S T R O M B E R G . R e a l a n d A b s t r a c t

A n a l y s i s .

2 6 M A N E S . A l g e b r a i c T h e o r i e s .2 7 K E L L E Y . G e n e r a l T o p o l o g y .2 K Z A R I S K I / S A M U E L . C o m m u t a t i v e A l g e b r a .

V o l . 1 .

2 9 Z A R I S K I / S A M U E L . C o m m u t a t i v e A l g e b r a .V o l . 1 1 .

3 0 J A c o B s o N . L e c t u r e s i n A b s t r a c t A l g e b r a I .B a s i c C o n c e p t s .

3 1 J A c o B s o N . L e c t u r e s i n A b s t r a c t A l g e b r a I I .

L i n e a r A l g e b r a .3 2 J A c o B s o N L e c t u r e s i n A b s t r a c t A l g e b r a i l l .

T h e o r y o f F i e l d s a n d G a l o i s T h e o r y .

3 3 H I R S C H . D i f f e r e n t i a l T o p o l o g y .3 4 S P I T Z E R . P r i n c i p l e s o f R a n d o m W a l k . 2 n d e d .

3 5 W E R M E R . B a n a c h A l g e b r a s a n d S e v e r a lC o m p l e x V a r i a b l e s . 2 n d e d .

3 6 K E L L E Y / N A M I O K A e t a l . L i n e a r T o p o l o g i c a lS p a c e s .

3 7 M O N K . M a t h e m a t i c a l L o g i c .3 8 G R A U E R T / F R t T Z S C I I E . S e v e r a l C o m p l e x

V a r i a b l e s .3 9 A R V E S O N . A n I n v i t a t i o n t o C * . A l g e b r a s4 0 K E M E N Y / S N E L L J K N A P P . D e n u i n e r a b l e M a r k o v

C h a i n s . 2 n d e d .4 1 A P O S T O L . M o d u l a r F u n c t i o n s a n d D i r i c h l e t

S e r i e s i n N u m b e r T h e o r y . 2 n d e d .4 2 S E R R E . L i n e a r R e p r e s e n t a t i o n s o f F i n i t e

G r o u p s4 3 G I L L M A N / J E R I S O N . R i n g s o f C o n t i n u o u s

F u n c t i o n s .4 4 E l e m e n t a r y A l g e b r a i c G e o m e t r y .4 5 L o E v c . P r o b a b i l i t y T h e o r y 1 . 4 t h e d .

4 6 L O E v E . P r o b a b i l i t y T h e o r y I l . 4 t h e d .4 7 M o i s E . G e o m e t r i c T o p o l o g y i n D i m e n s i o n s 2

a n d 3 .4 8 S A c H S / W t J . G e n e r a l R e l a t i v i t y f o r

M a t h e m a t i c i a n s .4 9 G R U E N B E R G / W E I R . L i n e a r G e o m e t r y . 2 n d e d

5 0 E D W A R D S . F e r m a t ' s L a s t T h e o r e m .S I K L I N O E N B E R G A C o u r s e i n D i f f e r e n t i a l

G e o m e t r y .

5 2 H A R T S H O R N E . A l g e b r a i c G e o m e t r y .5 3 M A N I N . A C o u r s e i n M a t h e m a t i c a l L o g i c .5 4 G R A V E R J W A T K I N S . C o m b i n a t o r i c s w i t h

E m p h a s i s o n t h e T h e o r y o f G r a p h s .5 5 B R O W N / P E A R C Y . I n t r o d u c t i o n t o O p e r a t o r

T h e o r y I : E l e m e n t s o f F u n c t i o n a l A n a l y s i s .5 6 M A S S E Y . A l g e b r a i c T o p o l o g y : A n

I n t r o d u c t i o n .5 7 I n t r o d u c t i o n t o K n o t T h e o r y .

5 8 K O B U T Z . p - a d i c N u m b e r s , p - a d i c A n a l y s i s ,a n d Z e t a - F u n c t i o n s . 2 n d e d .

5 9 C y c l o t o m i c F i e l d s .6 0 A R N O L D . M a t h e m a t i c a l M e t h o d s i n C l a s s i c a l

M e c h a n i c s . 2 n d e d .6 1 W H I T E I 1 E A D . E l e m e n t s o f H o l n o t o p y T h e o r y6 2 K A R G A P O L O V / M E R L ? J A K O V . F u n d a m c n t a l s o f

t h e T h e o r y o f G r o u p s .6 3 B O L L O B A S . G r a p h T h e o r y .

6 4 E D W A R D S . F o u r i e r S e r i e s . V o l . 1 . 2 n d e d .

a f t e r



J o h n B . C o n w a y

F u n c t i o n s o f O n eC o m p l e x V a r i a b l e I I

W i t h 1 5 I l l u s t r a t i o n s



J o h n B . C o n w a yD e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c sU n i v e r s i t y o f T e n n e s s e eK n o x v i l l e , T N 3 7 9 9 6 - 1 3 0 0U S Ah t t p : / / w w w . m a t h . u t k . e d u / - c o n W a y !

E d i t o r i a l B o a r d

S . A x l e r F . W . G e h r i n g P . R . H a l m o sD e p a r t m e n t o f D e p a r t m e n t o f D e p a r t m e n t o f

M a t h e m a t i c s M a t h e m a t i c s M a t h e m a t i c sM i c h i g a n S t a t e U n i v e r s i t y U n i v e r s i t y o f M i c h i g a n S a n t a C l a r a U n i v e r s i t yE a s t L a n s i n g . M l 4 8 8 2 4 A n n A r b o r . M l 4 8 1 0 9 S a n t a C l a r a . C A 9 5 0 5 3

U S A U S A U S A

M a t h e m a t i c s S u b j e c t s C l a s s i f i c a t i o n s ( 1 9 9 1 ) : 0 3 - 0 1 , 3 1 A 0 5 , 3 1 A 1 5

L i b r a r y o f C o n g r e s s C a t a l o g i n g - i n - P u b l i c a t i o n D a t aC o n w a y , J o h n B .

F u n c t i o n s o f o n e c o m p l e x v a r i a b l e U / J o h n B . C o n w a y .p . c m . — ( G r a d u a t e t e x t s i n m a t h e m a t i c s ; 1 5 9 )

I n c l u d e s b i b l i o g r a p h i c a l r e f e r e n c e s ( p . — ) a n d i n d e x .I S B N 0 - 3 8 7 - 9 4 4 6 0 - 5 ( h a r d c o v e r a c i d - f r e e )I . F u n c t i o n s o f c o m p l e x v a r i a b l e s . 1 . T i t l e . 1 1 . T i t l e :

F u n c t i o n s o f o n e c o m p l e x v a r i a b l e 2 . I I I . T i t l e : F u n c t i o n s o f o n ec o m p l e x v a r i a b l e t w o . I V . S e r i e s .Q A 3 3 1 . 7 . C 3 6 5 1 9 9 5

5 1 5 ' . 9 3 — d c 2 O 9 5 - 2 3 3 1

P r i n t e d o n a c i d - f r e e p a p e r .

© 1 9 9 5 S p r i n g e r - V e r l a g N e w Y o r k . I n c .A l l r i g h t s r e s e r v e d . T h i s w o r k m a y n o t b e t r a n s l a t e d o r c o p i e d i n w h o l e o r i n p a r tw i t h o u t t h e w r i t t e n p e r m i s s i o n o f t h e p u b l i s h e r ( S p r i n g e r - V e r l a g N e w Y o r k , I n c . ,

1 7 5 F i f t h A v e n u e , N e w Y o r k , N Y 1 0 0 1 0 , U S A ) , e x c e p t f o r b r i e f e x c e r p t s i n c o n n e c -t i o n w i t h r e v i e w s o r s c h o l a r l y a n a l y s i s . U s e i n c o n n e c t i o n w i t h a n y f o r m o f i n f o r m a -t i o n s t o r a g e a n d r e t r i e v a l , e l e c t r o n i c a d a p t a t i o n , c o m p u t e r s o f t w a r e , o r b y s i m i l a ro r d i s s i m i l a r m e t h o d o l o g y n o w k n o w n o r h e r e a f t e r d e v e l o p e d i s f o r b i d d e n .

T h e u s e o f g e n e r a l d e s c r i p t i v e n a m e s , t r a d e n a m e s , t r a d e m a r k s , e t c . , i n t h i s p u b l i c a -t i o n , e v e n i f t h e f o r m e r a r e n o t e s p e c i a l l y i d e n t i f i e d , i s n o t t o b e t a k e n a s a s i g n t h a t

s u c h n a m e s , a s u n d e r s t o o d b y t h e T r a d e M a r k s a n d M e r c h a n d i s e M a r k s A c t , m a ya c c o r d i n g l y b e u s e d f r e e l y b y a n y o n e .

T h i s r e p r i n t h a s b e e n a u t h o r i z e d b y S p r i n g e r - V e r l a g ( B e r l i n / H e i d e l b e r g / N e w Y o r k ) f o r s a l e i n t h eP e o p l e ' s R e p u b l i c o f C h i n a o n l y a n d n o t f o r e x p o r t t h e r e f r o m .R e p r i n t e d i n C h i n a b y B e i j i n g W o r l d P u b l i s h i n g C o r p o r e t i o n , 1 9 9 7 .

I S B N 0 - 3 8 7 - 9 4 4 6 0 - 5 S p r i n g e r - V e r l a g N e w Y o r k B e r l i n H e i d e l b e r g S P I N 1 0 5 3 4 0 5 1



P r e f a c e

T h i s i s t h e s e q u e l t o m y b o o k R & n C t i O t Z S o f O n e C o m p l e x V a r i a b l e I , a n dp r o b a b l y a g o o d o p p o r t u n i t y t o e x p r e s s m y a p p r e c i a t i o n t o t h e m a t h e m a t -

i c a l c o m m u n i t y f o r i t s r e c e p t i o n o f t h a t w o r k . I n r e t r o s p e c t , w r i t i n g t h a tb o o k w a s a c r a z y v e n t u r e .A s a g r a d u a t e s t u d e n t I h a d h a d o n e o f t h e w o r s t l e a r n i n g e x p e r i e n c e s

o f m y c a r e e r w h e n I t o o k c o m p l e x a n a l y s i s ; a t r u l y b a d t e a c h e r . A s an o n - t e n u r e d a s s i s t a n t p r o f e s s o r , t h e d e p a r t m e n t a l l o w e d m e t o t e a c h t h eg r a d u a t e c o u r s e i n c o m p l e x a n a l y s i s . T h e y t h o u g h t I k n e w t h e m a t e r i a l ; Iw a n t e d t o l e a r n i t . I a d o p t e d a s t a n d a r d t e x t a n d s h o r t l y a f t e r b e g i n n i n gt o p r e p a r e m y l e c t u r e s I b e c a m e d i s s a t i s f i e d . A l l t h e b o o k s i n p r i n t h a d

v i r t u e s ; b u t I w a s e d u c a t e d a s a m o d e r n a n a l y s t , n o t a c l a s s i c a l o n e , a n dt h e y f a i l e d t o s a t i s f y m e .

T h i s s e t a p a t t e r n f o r m e i n l e a r n i n g n e w m a t h e m a t i c s a f t e r I h a d b e c o m ea m a t h e m a t i c i a n . S o m e t o p i c s I f o u n d s a t i s f a c t o r i l y t r e a t e d i n s o m e s o u r c e s ;s o m e I r e a d i n m a n y b o o k s a n d t h e n r e c a s t i n m y o w n s t y l e . T h e r e i s a l s o t h em a t t e r o f p h i l o s o p h y a n d p o i n t o f v i e w . G o i n g f r o m a c e r t a i n m a t h e m a t i c a lv a n t a g e p o i n t t o a n o t h e r i s t h o u g h t b y m a n y a s b e i n g i n d e p e n d e n t o f t h ep a t h ; c e r t a i n l y t r u e i f y o u r o n l y o b j e c t i v e i s g e t t i n g t h e r e . B u t g e t t i n g t h e r ei s o f t e n h a l f t h e f u n a n d o f t e n t h e r e i s t w i c e t h e v a l u e i n t h e j o u r n e y i f t h ep a t h i s p r o p e r l y c h o s e n .

O n e t h i n g l e d t o a n o t h e r a n d I s t a r t e d t o p u t n o t e s t o g e t h e r t h a t f o r m e dc h a p t e r s a n d t h e s e e v o l v e d i n t o a b o o k . T h i s n o w i m p r e s s e s m e a s c r a z yp a r t l y b e c a u s e I w o u l d n e v e r a d v i s e a n y n o n - t e n u r e d f a c u l t y m e m b e r t ob e g i n s u c h a p r o j e c t ; 1 h a v e , i n f a c t , d i s c o u r a g e d s o m e f r o m d o i n g i t . O nt h e o t h e r h a n d w r i t i n g t h a t b o o k g a v e m e i m m e n s e s a t i s f a c t i o n a n d i t s r e -

c e p t i o n , w h i c h h a s e x c e e d e d m y g r a n d e s t e x p e c t a t i o n s , m a J c . R t h a t d e c i s i o nt o w r i t e a b o o k s e e m l i k e t h e w i s e s t I e v e r m a d e . P e r h a p s I l u c k e d o u t b yb e i n g b o r n w h e n I w a s a n d f i n d i n g m y s e l f w i t h o u t t e n u r e i n a t i m e ( a n d

p o s s i b l y a p l a c e ) w h e n j u n i o r f a c u l t y w e r e g i v e n a l o t o f l e e w a y a n d a l l o w e dt o d e v e l o p a t a s l o w e r p a c e — s o m e t h i n g t h a t s o m e o n e w i t h m y b a c k g r o u n da n d t e m p e r a m e n t n e e d e d . I t s a d d e n s m e t h a t s u c h o p p o r t u n i t i e s t o d e v e l o pa r e n o t s o a b u n d a n t t o d a y .

T h e t o p i c s i n t h i s v o l u m e a r e s o m e o f t h e p a r t s o f a n a l y t i c f u n c t i o n

t h e o r y t h a t I h a v e f o u n d e i t h e r u s e f u l f o r m y w o r k i n o p e r a t o r t h e o r y o re n j o y a b l e i n t h e m s e l v e s ; u s u a l l y b o t h . M a n y a l s o f a l l i n t o t h e c a t e g o r y o ft o p i c s t h a t I h a v e f o u n d d i f f i c u l t t o d i g o u t o f t h e l i t e r a t u r e .

I h a v e s o m e d i f f i c u l t i e s w i t h t h e p r e s e n t a t i o n o f c e r t a i n t o p i c s i n t h el i t e r a t u r e . T h i s l a s t s t a t e m e n t m a y r e v e a l m o r e a b o u t m e t h a n a b o u t t h e

s t a t e o f t h e l i t e r a t u r e , b u t c e r t a i n n o t i o n s h a v e a l w a y s d i s t u r b e d m e e v e nt h o u g h e x p e r t s i n c l a s s i c a l f u n c t i o n t h e o r y t a k e t h e m i n s t r i d e . T h e b e s t

e x a m p l e o f t h i s i s t h e c o n c e p t o f a m u l t i p l e - v a l u e d f u n c t i o n . I k n o w t h e r ea r e w a y s t o m a k e t h e i d e a r i g o r o u s , b u t I u s u a l l y f i n d t h a t w i t h a l i t t l e



v i i i P r e f a c e

w o r k i t i s n ' t n e c e s s a r y t o e v e n b r i n g i t u p . A l s o t h e t e r m m u l t i p l e - v a l u e df u n c t i o n v i o l a t e s p r i m o r d i a l i n s t i n c t s a c q u i r e d i n c h i l d h o o d w h e r e I w a s

s t e r n l y t a u g h t t h a t f u n c t i o n s , b y d e f i n i t i o n , c a n n o t b e m u l t i p l e - v a l u e d .

T h e f i r s t v o l u m e w a s n o t w r i t t e n w i t h t h e p r o s p e c t o f a s e c o n d v o l u m et o f o l l o w . T h e r e a d e r w i l l d i s c o v e r s o m e t o p i c s t h a t a r e r e d o n e h e r e w i t hm o r e g e n e r a l i t y a n d o r i g i n a l l y c o u l d h a v e b e e n d o n e a t t h e s a m e l e v e l o f

s o p h i s t i c a t i o n i f t h e s e c o n d v o l u m e h a d b e e n e n v i s i o n e d a t t h a t t i m e . B u tI h a v e a l w a y s t h o u g h t t h a t i n t r o d u c t i o n s s h o u l d b e k e p t u n s o p h i s t i c a t e d .T h e f i r s t w h i t e w i n e w o u l d b e s t b e a V o u v r a y r a t h e r t h a n a C h a s s a g n e -M o n t r a c h e t .

T h i s v o l u m e i s d i v i d e d i n t o t w o p a r t s . T h e f i r s t p a r t , c o n s i s t i n g o f C h a p -

t e r s 1 3 t h r o u g h 1 7 , r e q u i r e s o n l y w h a t w a s l e a r n e d i n t h e f i r s t t w e l v e c h a p -t e r s t h a t m a k e u p V o l u m e 1 . T h e r e a d e r o f t h i s m a t e r i a l w i l l n o t i c e , h o w -e v e r , t h a t t h i s i s n o t s t r i c t l y t r u e . S o m e b a s i c p a r t s o f a n a l y s i s , s u c h a st h e C a u c h y - S c h w a r z I n e q u a l i t y , a r e u s e d w i t h o u t a p o l o g y . S o m e t i m e s r e -s u l t s w h o s e p r o o f s r e q u i r e m o r e s o p h i s t i c a t e d a n a l y s i s a r e s t a t e d a n d t h e i rp r o o f s a r e p o s t p o n e d t o t h e s e c o n d h a l f . O c c a s i o n a l l y a p r o o f i s g i v e n t h a tr e q u i r e s a b i t m o r e t h a n V o l u m e I a n d i t s a d v a n c e d c a l c u l u s p r e r e q u i s i t e .T h e r e s t o f t h e b o o k a s s u m e s a c o m p l e t e u n d e r s t a n d i n g o f m e a s u r e a n d

i n t e g r a t i o n t h e o r y a n d a r a t h e r s t r o n g b a c k g r o u n d i n f u n c t i o n a l a n a l y s i s .C h a p t e r 1 3 g a t h e r s t o g e t h e r a f e w i d e a s t h a t a r e n e e d e d l a t e r . C h a p t e r

1 4 , " C o n f o r m a l E q u i v a l e n c e f o r S i m p l y C o n n e c t e d R e g i o n s , " b e g i n s w i t h as t u d y o f p r i m e e n d s a n d u s e s t h i s t o d i s c u s s b o u n d a r y v a l u e s o f R i e m a n n

m a p s f r o m t h e d i s k t o a s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n . T h e r e a r e m o r e d i r e c tw a y s t o g e t t o b o u n d a r y v a l u e s , b u t I f i n d t h e t h e o r y o f p r i m e e n d s r i c h i nm a t h e m a t i c s . T h e c h a p t e r c o n c l u d e s w i t h t h e A r e a T h e o r e m a n d a s t u d y

o f t h e s e t S o f s c h l i c h t f u n c t i o n s .C h a p t e r 1 5 s t u d i e s c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e f o r f i n i t e l y c o n n e c t e d r e g i o n s .

I h a v e a v o i d e d t h e u s u a l e x t r e m a l a r g u m e n t s a n d r e l i e d i n s t e a d o n t h em e t h o d o f f i n d i n g t h e m a p p i n g f u n c t i o n s b y s o l v i n g s y s t e m s o f l i n e a r e q u a -

t i o n s . C h a p t e r 1 6 t r e a t s a n a l y t i c c o v e r i n g m a p s . T h i s i s a n e l e g a n t t o p i ct h a t d e s e r v e s w i d e r u n d e r s t a n d i n g . I t i s a l s o i m p o r t a n t f o r a s t u d y o f H a r d ys p a c e s o f a r b i t r a r y r e g i o n s , a t o p i c I o r i g i n a l l y i n t e n d e d t o i n c l u d e i n t h i sv o l u m e b u t o n e t h a t w i l l h a v e t o a w a i t t h e a d v e n t o f a n a d d i t i o n a l v o l u m e .

C h a p t e r 1 7 , t h e l a s t i n t h e f i r s t p a r t , g i v e s a r e l a t i v e l y s e l f c o n t a i n e dt r e a t m e n t o f d e B r a n g e s ' s p r o o f o f t h e B i e b e r b a c h c o n j e c t u r e . I f o l l o w t h ea p p r o a c h g i v e n b y F i t z g e r a l d a n d P o m m e r e n k e [ 1 9 8 5 J . I t i s s e l f c o n t a i n e de x c e p t f o r s o m e f a c t s a b o u t L e g e n d r e p o l y n o m i a l s , w h i c h a r e s t a t e d a n de x p l a i n e d b u t n o t p r o v e d . S p e c i a l t h a n k s a r e o w e d t o S t e v e W r i g h t a n dD o v A h a r o n o v f o r s h a r i n g t h e i r u n p u b l i s h e d n o t e s o n d e B r a n g e s ' s p r o o f

o f t h e B i e b e r b a c h c o n j e c t u r e .C h a p t e r 1 8 b e g i n s t h e m a t e r i a l t h a t a s s u m e s a k n o w l e d g e o f m e a s u r e

t h e o r y a n d f u n c t i o n a l a n a l y s i s . M o r e i n f o r m a t i o n a b o u t B a n a c h s p a c e s i su s e d h e r e t h a n t h e r e a d e r u s u a l l y s e e s i n a c o u r s e t h a t s u p p l e m e n t s t h es t a n d a r d m e a s u r e a n d i n t e g r a t i o n c o u r s e g i v e n i n t h e f i r s t y e a r o f g r a d u a t e



P r e f a c e i x

s t u d y i n a n A m e r i c a n u n i v e r s i t y . W h e n n e c e s s a r y , a r e f e r e n c e w i l l b e g i v e n

t o C o n w a y [ 1 9 9 0 1 . T h i s c h a p t e r c o v e r s a v a r i e t y o f t o p i c s t h a t a r e u s e d i nt h e r e m a i n d e r o f t h e b o o k . I t s t a r t s w i t h t h e b a s i c s o f B e r g m a n s p a c e s , s o m e

m a t e r i a l a b o u t d i s t r i b u t i o n s , a n d a d i s c o u r s e o n t h e C a u c h yt r a n s f o r m a n d

a n a p p l i c a t i o n o f t h i s t o g e t a n o t h e r p r o o f o f R u n g e ' s T h e o r e m . I t c o n c l u d e sw i t h a n i n t r o d u c t i o n t o F o u r i e r s e r i e s .

C h a p t e r 1 9 c o n t a i n s a r a t h e r c o m p l e t e e x p o s i t i o n o f h a r m o n i c f u n c t i o n so n t h e p l a n e . I t c o v e r s a b o u t a l l y o u c a n d o w i t h o u t d i s c u s s i n g c a p a c i t y ,w h i c h i s t a k e n u p i n C h a p t e r 2 1 . T h e m a t e r i a l o n h a r m o n i c f u n c t i o n s f r o mC h a p t e r 1 0 i n V o l u m e I i s a s s u m e d , t h o u g h t h e r e i s a b u i l t - i n r e v i e w .

C h a p t e r 2 0 i s a r a t h e r s t a n d a r d t r e a t m e n t o f H a r d y s p a c e s o n t h e d i s k ,

t h o u g h t h e r e a r e a f e w s u r p r i s i n g n u g g e t s h e r e e v e n f o r s o m e e x p e r t s .C h a p t e r 2 1 d i s c u s s e s s o m e t o p i c s f r o m p o t e n t i a l t h e o r y i n t h e p l a n e . I te x p l o r e s l o g a r i t h m i c c a p a c i t y a n d i t s r e l a t i o n s h i p w i t h h a r m o n i c m e a s u r ea n d r e m o v a b l e s i n g u l a r i t i e s f o r v a r i o u s s p a c e s o f h a r m o n i c a n d a n a l y t i cf u n c t i o n s . T h e f i n e t o p o l o g y a n d t h i n n e s s a r e d i s c u s s e d a n d W i e n e r ' s c r i -t e r i o n f o r r e g u l a r i t y o f b o u n d a r y p o i n t s i n t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e tp r o b l e m i s p r o v e d .

T h i s b o o k h a s t a k e n a l o n g t i m e t o w r i t e . I ' v e r e c e i v e d a l o t o f a s s i s t a n c e

a l o n g t h e w a y . P a r t s o f t h i s b o o k w e r e f i r s t p r e s e n t e d i n a p u b e s c e n t s t a g et o a s e m i n a r I p r e s e n t e d a t I n d i a n a U n i v e r s i t y i n 1 9 8 1 - 8 2 . I n t h e s e m -i n a r w e r e G r e g A d a m s , K e v i n C l a n c e y , S a n d y G r a b i n e r , P a u l M c G u i r e ,M a r c R a p h a e l , a n d B h u s h a n W a d h w a , w h o m a d e m a n y s u g g e s t i o n s a s t h e

y e a r p r o g r e s s e d . W i t h s u c h a n a u d i e n c e , h o w c o u l d t h e m a t e r i a l h e l p b u ti m p r o v e . P a r t s w e r e a l s o u s e d i n a c o u r s e a n d a s u m m e r s e m i n a r a t t h eU n i v e r s i t y o f T e n n e s s e e i n 1 9 9 2 , w h e r e J i m D u d z i a k , M i c h a e l G i l b e r t , B e t h

L o n g , J e f f N i c h o l s , a n d J e f f v a n E e u w e n p o i n t e d o u t s e v e r a l c o r r e c t i o n s a n di m p r o v e m e n t s . N a t h a n F e l d m a n w a s a l s o p a r t o f t h a t s e m i n a r a n d b e s i d e sc o r r e c t i o n s g a v e m e s e v e r a l g o o d e x e r c i s e s . T o w a r d t h e e n d o f t h e w r i t i n gp r o c e s s 1 m a i l e d t h e p e n u l t i m a t e d r a f t t o s o m e f r i e n d s w h o r e a d s e v e r a lc h a p t e r s . H e r e P a u l M c G u i r e , B i l l R o s s , a n d L i m i n g Y a n g w e r e o f g r e a th e l p . F i n a l l y , s p e c i a l t h a n k s g o t o D a v i d M i n d a f o r a v e r y c a r e f u l r e a d -i n g o f s e v e r a l c h a p t e r s w i t h m a n y s u g g e s t i o n s f o r a d d i t i o n a l r e f e r e n c e s a n de x e r c i s e s .

O n t h e t e c h n i c a l s i d e , S t e p h a n i e S t a c y a n d S h o n a W o l f e n b a r g e r w o r k e dd i l i g e n t l y t o c o n v e r t t h e m a n u s c r i p t t o J i n s h u i Q i n d r e w t h e f i g u r e s i nt h e b o o k . M y s o n , B l i g h , g a v e m e h e l p w i t h t h e i n d e x a n d t h e b i b l i o g r a p h y .

I n t h e f i n a l a n a l y s i s t h e r e s p o n s i b i l i t y f o r t h e b o o k i s m i n e .A l i s t o f c o r r e c t i o n s i s a l s o a v a i l a b l e f r o m m y W W W p a g e ( h t t p : / /

w w w .T h a n k s t o R . B . B u r c k e l .I w o u l d a p p r e c i a t e a n y f u r t h e r c o r r e c t i o n s o r c o m m e n t s y o u

w i s h t o m a k e .J o h n B C o n w a yU n i v e r s i t y o f T e n n e s s e e



C o n t e n t s o f V o l u m e I I

P r e f a c e V I j

1 3 R e t u r n t o B a s i c s 11 R e g i o n s a n d C u r v e s 1

2 D e r i v a t i v e s a n d O t h e r R e c o l l e c t i o n s 6

3 H a r m o n i c C o n j u g a t e s a n d P r i m i t i v e s 1 4

4 A n a l y t i c A r c s a n d t h e R e f l e c t i o n P r i n c i p l e 1 6

5 B o u n d a r y V a l u e s f o r B o u n d e d A n a l y t i c F u n c t i o n s 2 1

1 4 C o n f o r m a l E q u i v a l e n c e f o r S i m p l y C o n n e c t e d R e g i o n s 2 91 E l e m e n t a r y P r o p e r t i e s a n d E x a m p l e s 2 9

2 C r o a s c u t s 3 33 P r i m e E n d s 4 04 I m p r e s s i o n s o f a P r i m e E n d 4 55 B o u n d a r y V a l u e s o f R i e m a n n M a p s 4 86 T h e A r e a T h e o r e m 5 67 D i s k M a p p i n g s : T h e C l a s s S 6 1

1 5 C o n f o r m a l E q u i v a l e n c e f o r F i n i t e l y C o n n e c t e d R e g i o n s 7 11 A n a l y s i s o n a F i n i t e l y C o n n e c t e d R e g i o n 7 1

2 C o n f o r m a l E q u i v a l e n c e w i t h a n A n a l y t i c J o r d a n R e g i o n . . 7 63 B o u n d a r y V a l u e s f o r a C o n f o r m a l E q u i v a l e n c e B e t w e e n F i n i t e l y

C o n n e c t e d J o r d a n R e g i o n s 8 14 C o n v e r g e n c e o f U n i v a l e n t F u n c t i o n s 8 55 C o n f o r m a l E q u i v a l e n c e w i t h a C i r c u l a r l y S l i t A n n u l u s . . . 9 06

C o n f o r m a l E q u i v a l e n c e w i t h a C i r c u l a r l y S l i t D i s k 9 77 C o n f o r m a l E q u i v a l e n c e w i t h a C i r c u l a r R e g i o n 1 0 0

1 6 A n a l y t i c C o v e r i n g M a p s 1 0 91 R e s u l t s f o r A b s t r a c t C o v e r i n g S p a c e s 1 0 92 A n a l y t i c C o v e r i n g S p a c e s 1 1 3

3 T h e M o d u l a r F u n c t i o n 1 1 64 A p p l i c a t i o n s o f t h e M o d u l a r F u n c t i o n 1 2 3

5 T h e E x i s t e n c e o f t h e U n i v e r s a l A n a l y t i c C o v e r i n g M a p. . . 1 2 5

1 7 D e B r a n g e s ' s P r o o f o f t h e B i e b e r b a c h C o n j e c t u r e 1 3 31 S u b o r d i n a t i o n 1 3 3

2 L o e w n e r C h a i n s 1 3 63 L o e w n e r ' s D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n . . . . 1 4 24 T h e M u m C o n j e c t u r e 1 4 85 S o m e S p e c i a l F u n c t i o n s 1 5 6

6 T h e P r o o f o f d e B r a n g e s ' s T h e o r e m . 1 6 0



x i i C o n t e n t s

1 8 S o m e F u n d a m e n t a l C o n c e p t s f r o m A n a l y s i s 1 6 91 B e r g m a n S p a c e s o f A n a l y t i c a n d H a r m o n i c F u n c t i o n s . . . 1 6 9

2 P a r t i t i o n s o f U n i t y 1 7 4

3 C o n v o l u t i o n i n E u c l i d e a n S p a c e1 7 7

4 D i s t r i b u t i o n s 1 8 5

5 T h e C a u c h y T r a n s f o r m 1 9 2

6 A n A p p l i c a t i o n : R a t i o n a l A p p r o x i m a t i o n 1 9 6

7 F o u r i e r S e r i e s a n d C e s à r o S u m s 1 9 8

1 9 H a r m o n i c F u n c t i o n s R e d u x 2 0 51 H a r m o n i c F u n c t i o n s o n t h e D i s k 2 0 5

2 F a t o u ' s T h e o r e m 2 1 03 S e m i c o n t i n u o u s F u n c t i o n s . . . 2 1 7

4 S u b h a r m o n i c F u n c t i o n s . . . . 2 2 0

5 T h e L o g a r i t h m i c P o t e n t i a l 2 2 9

6 A n A p p l i c a t i o n : A p p r o x i m a t i o n b y H a r m o n i c F u n c t i o n s . . 2 3 5

7 T h e D i r i c h i e t P r o b l e m 2 3 78 H a r m o n i c M a j o r a n t s 2 4 59 T h e G r e e n F u n c t i o n 2 4 6

1 0 R e g u l a r P o i n t s f o r t h e D i r i c h i e t P r o b l e m 2 5 31 1 T h e D i r i c h i e t P r i n c i p l e a n d S o b o l e v S p a c e s 2 5 9

2 0 H a r d y S p a c e s o n t h e D i s k 2 6 91 D e f i n i t i o n s a n d E l e m e n t a r y P r o p e r t i e s 2 6 9

2 T h e N e v a n l i n n a C l a s s 2 7 23 F a c t o r i z a t i o n o f F u n c t i o n s i n t h e N e v a n l i n n a C l a s s 2 7 84 T h e D i s k A l g e b r a 2 8 6

5 T h e I n v a r i a n t S u b s p a c e s o f f l P 2 9 06 S z e g o ' s T h e o r e m 2 9 5

2 1 P o t e n t i a l T h e o r y i n t h e P l a n e 3 0 11 H a r m o n i c M e a s u r e 3 0 1

2 T h e S w e e p o f a M e a s u r e 3 1 13 T h e R o b i n C o n s t a n t 3 1 3

4 T h e G r e e n P o t e n t i a l 3 1 5

5 P o l a r S e t s 3 2 06 M o r e o n R e g u l a r P o i n t s 3 2 87 L o g a r i t h m i c C a p a c i t y : P a r t 1 3 3 1

8 S o m e A p p l i c a t i o n s a n d E x a m p l e s o f L o g a r i t h m i c C a p a c i t y . 3 3 99 R e m o v a b l e S i n g u l a r i t i e s f o r F u n c t i o n s i n t h e B e r g m a n S p a c e 3 4 4

1 0 L o g a r i t h m i c C a p a c i t y : P a r t 2 3 5 21 1 T h e T r a n s f i n i t e D i a m e t e r a n d L o g a r i t h m i c C a p a c i t y . . . . 3 5 5

1 2

T h e R e f i n e m e n t o f a S u b h a r m o n i c F u n c t i o n 3 6 01 3 T h e F i n e T o p o l o g y 3 6 71 4 W i e n e r ' s c r i t e r i o n f o r R e g u l a r P o i n t s 3 7 6



C o n t e n t s x i i i

R e f e r e n c e s 3 8 4

L i s t o f S y m b o l s 3 8 9

I n d e x 3 9 1



C o n t e n t s o f V o l u m e I

P r e f a c e

1 T h e C o m p l e x N u m b e r S y s t e m1 T h e R e a l N u m b e r s2 T h e F i e l d o f C o m p l e x N u m b e r s3 T h e C o m p l e x P l a n e4 P o l a r R e p r e s e n t a t i o n a n d R o o t s o f C o m p l e x N u m b e r sS L i n e s a n d H a l f P l a n e s i n t h e C o m p l e x P l a n e6 T h e E x t e n d e d P l a n e a n d I t s S p h e r i c a l R e p r e s e n t a t i o n

2 M e t r i c S p a c e s a n d T o p o l o g y o f CI D e f i n i t i o n a n d E x a m p l e s o f M e t r i c S p a c e s2 C o n n e c t e d n e s s3 S e q u e n c e s a n d C o m p l e t e n e s s

4 C o m p a c t n e s s5 C o n t i n u i t y

6 U n i f o r m C o n v e r g e n c e

3 E l e m e n t a r y P r o p e r t i e s a n d E x a m p l e s o f A n a l y t i c F u n c t i o n sI P o w e r S e r i e s

2 A n a l y t i c F u n c t i o n s3 A n a l y t i c F u n c t i o n s a s M a p p i n g s , M ö b i u s T r a n s f o r m a t i o n s

4 C o m p l e x I n t e g r a t i o n1 R i e m a n n - S t i e l t j e s I n t e g r a l s

2 P o w e r S e r i e s R e p r e s e n t a t i o n o f A n a l y t i c F u n c t i o n s3 Z e r o s o f a n A n a l y t i c F u n c t i o n4 T h e I n d e x o f a C l o s e d C u r v e5 C a u c h y ' s T h e o r e m a n d I n t e g r a l F o r m u l a6 T h e H o m o t o p i c V e r s i o n o f C a u c h y ' s T h e o r e m a n d S i m p l e C o n n e c t i v i t y7 C o u n t i n g Z e r o s ; t h e O p e n M a p p i n g T h e o r e m8 G o u r s a t ' s T h e o r e m

5 S i n g u l a r I t i e s1 C l a s s i f i c a t i o n o f S i n g u l a r i t i e s

2 R e s i d u e s3 T h e A r g u m e n t P r i n c i p l e

6 T h e M a x i m u m M o d u l u s T h e o r e m1 T h e M a x i m u m P r i n c i p l e

2 S c h w a r z ' s L e m m a3 C o n v e x F u n c t i o n s a n d H a d a m a r d ' s T h r e e C i r c l e s T h e o r e m4 P h r a g m é n - L i n d e l o f T h e o r e m



x v i C o n t e n t s

7 C o m p a c t n e s s a n d C o n v e r g e n c e i n t h e S p a c e o f A n a l y t i c F u n c t i o n sI T h e S p a c e o f C o n t i n u o u s F u n c t i o n s C ( G , f l )

2 S p a c e s o f A n a l y t i c F u n c t i o n s

3 S p a c e s o f M e r o m o r p h i c F u n c t i o n s4 T h e R i e m a n n M a p p i n g T h e o r e m5 W e i e r s t r a s s F a c t o r i z a t i o n T h e o r e m6 F a c t o r i z a t i o n o f t h e S i n e F u n c t i o n7 T h e G a m m a F u n c t i o n8 T h e R i e m a n n Z e t a F u n c t i o n

S R u n g e ' s T h e o r e m1 R u n g e ' s T h e o r e m

2 S i m p l e C o n n e c t e d n e s s3 M i t t a g - L e f f l e r ' s T h e o r e m

9 A n a l y t i c C o n t i n u a t i o n a n d R i e m a n n S u r f a c e s1 S c h w a r z R e f l e c t i o n P r i n c i p l e

2 A n a l y t i c C o n t i n u a t i o n A l o n g a P a t h3 M o n o d r o m y T h e o r e m4 T o p o l o g i c a l S p a c e s a n d N e i g h b o r h o o d S y s t e m s5 T h e S h e a f o f G e r m s o f A n a l y t i c F u n c t i o n s o n a n O p e n S e t6 A n a l y t i c M a n i f o l d s7 C o v e r i n g S p a c e s

1 0 H a r m o n i c F u n c t i o n s1 B a s i c P r o p e r t i e s o f H a r m o n i c F u n c t i o n s

2 H a r m o n i c F u n c t i o n s o n a D i s k3 S u b h a r m o n i c a n d S u p e r h a r m o n i c F u n c t i o n s

4 T h e D i r i c h l e t P r o b l e m5 G r e e n ' s F u n c t i o n s

1 1 E n t i r e F u n c t i o n s1 J e n s e n ' s F o r m u l a

2 T h e G e n u s a n d O r d e r o f a n E n t i r e F u n c t i o n3 H a d a m a r d F a c t o r i z a t i o n T h e o r e m

1 2 T h e R a n g e o f a n A n a l y t i c F u n c t i o n1 B l o c h ' s T h e o r e m

2 T h e L i t t l e P i c a r d T h e o r e m3 S c h o t t k y ' s T h e o r e m

4 T h e G r e a t P i c a r d T h e o r e m

A p p e n d i x A : C a l c u l u s f o r C o m p l e x V a l u e d F u n c t i o n s o n a n I n t e r v a l

A p p e n d i x B : S u g g e s t i o n s f o r F u r t h e r S t u d y a n d B i b l i o g r a p h i c a l N o t e s

R e f e r e n c e s

I n d e x

L i s t o f S y m b o l s



C h a p t e r 1 3

R e t u r n t o B a s i c s

I n t h i s c h a p t e r a f e w r e s u l t s o f a s o m e w h a t e l e m e n t a r y n a t u r e a r e c o l l e c t e d .T h e s e w i l l b e u s e d q u i t e o f t e n i n t h e r e m a i n d e r o f t h i s v o l u m e .

§ 1 R e g i o n s a n d C u r v e s

I n t h i s f i r s t s e c t i o n a f e w d e f i n i t i o n s a n d f a c t s a b o u t r e g i o n s a n d c u r v e s i nt h e p l a n e a r e g i v e n . S o m e o f t h e s e m a y b e f a m i l i a r t o t h e r e a d e r . I n d e e d ,s o m e w i l l b e r e c o l l e c t i o n s f r o m t h e f i r s t v o l u m e .

B e g i n b y r e c a l l i n g t h a t a r e g i o n i s a n o p e n c o n n e c t e d s e t a n d a s i m p l yc o n n e c t e d r e g i o n i s o n e f o r w h i c h e v e r y c l o s e d c u r v e i s c o n t r a c t i b l e t o a

p o i n t ( s e e 4 . 6 . 1 4 ) . I n T h e o r e m 8 . 2 . 2 n u m e r o u s s t a t e m e n t s e q u i v a l e n t t o

s i m p l e c o n n e c t e d n e s s w e r e g i v e n . W e b e g i n b y r e c a l l i n g o n e o f t h e s e e q u i v -a l e n t s t a t e m e n t s a n d g i v i n g a n o t h e r . D o n o t f o r g e t t h a t d e n o t e s t h ee x t e n d e d c o m p l e x n u m b e r s a n d d e n o t e s t h e b o u n d a r y o f t h e s e t C i n

T h a t i s , C i s b o u n d e d a n d & 0 G = Ô G U { o o } w h e nC i s u n b o u n d e d .

I t i s o f t e n c o n v e n i e n t t o g i v e r e s u l t s a b o u t s u b s e t s o f t h e e x t e n d e d p l a n er a t h e r t h a n a b o u t C . I f s o m e t h i n g w a s p r o v e d i n t h e f i r s t v o l u m e f o r as u b s e t o f C . b u t i t h o l d s f o r s u b s e t s o f w i t h l i t t l e c h a n g e i n t h e p r o o f ,

w e w i l l n o t h e s i t a t e t o q u o t e t h e a p p r o p r i a t e r e f e r e n c e f r o m t h e f i r s t t w e l v ec h a p t e r s a s t h o u g h t h e r e s u l t f o r w a s p r o v e d t h e r e .

1 . 1 P r o p o s i t i o n . I f G i s a r e g i o n i n t h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t s a r ee q u i v a l e n t .

( a ) G i s s i m p l y c o n n e c t e d .

( b ) C i s c o n n e c t e d

( c ) i s c o n n e c t e d .

P r o o f . T h e e q u i v a l e n c e o f ( a ) a n d ( b ) h a s a l r e a d y b e e n e s t a b l i s h e d i n( 8 . 2 . 2 ) . I n f a c t , t h e e q u i v a l e n c e o f ( a ) a n d ( b ) w a s e s t a b l i s h e d w i t h o u t

a s s u m i n g t h a t C i s c o n n e c t e d . T h a t i s , i t w a s o n l y a s s u m e d t h a t C w a sa s i m p l y c o n n e c t e d o p e n s e t ; a n o p e n s e t w i t h e v e r y c o m p o n e n t s i m p l yc o n n e c t e d . T h e r e a d e r m u s t a l s o p a y a t t e n t i o n t o t h e f a c t t h a t t h e c o n -n e c t e d n e s s o f C w i l l n o t b e u s e d w h e n i t i s s h o w n t h a t ( c ) i m p l i e s ( b ) . T h i s

w i l l b e u s e d w h e n i t i s s h o w n t h a t ( b ) i m p l i e s ( c ) .



2 1 3 . R e t u r n t o B a s i c s

S o a s s u m e ( c ) a n d l e t u s p r o v e ( b ) . L e t F b e a c o m p o n e n t o f \ G ; s o

F i s c l o s e d . I t f o l l o w s t h a t F f l c l G 0 ( c i d e n o t e s t h e c l o s u r e o p e r a t i o n i nC w h i l e d e n o t e s t h e c l o s u r e i n t h e e x t e n d e d p l a n e . ) I n d e e d , i f i t w e r e

t h e c a s e t h a t F f l c l C = 0 , t h e n f o r e v e r y z i n F t h e r e i s a n e > 0 s u c h t h a tB ( z ; € ) f l G = 0 . T h u s F u B ( z ; e ) C , , \ G . B u t F U B ( z ; e ) i s c o n n e c t e d .S i n c e F i s a c o m p o n e n t o f \ C , B ( z ; € ) c F . S i n c e z w a s a n a r b i t r a r y

p o i n t , t h i s i m p l i e s t h a t F i s a n o p e n s e t , g i v i n g a c o n t r a d i c t i o n . T h e r e f o r e

F f l c l C ; s o z 0 B y ( c ) i s c o n n e c t e d , s o F U 8 ( x , Gi s a c o n n e c t e d s e t t h a t i s d i s j o i n t f r o m C . T h e r e f o r e F s i n c e F i s ac o m p o n e n t o f \ C . W h a t w e h a v e j u s t s h o w n i s t h a t e v e r y c o m p o n e n t

o f C m u s t c o n t a i n H e n c e t h e r e c a n b e o n l y o n e c o m p o n e n t a n ds o C i s c o n n e c t e d .

N o w a s s u m e t h a t c o n d i t i o n ( b ) h o l d s . S o f a r w e h a v e n o t u s e d f a c tt h a t C i s c o n n e c t e d ; n o w w e w i l l . L e t U = \ N o w \ U =

a n d i s c o n n e c t e d . S i n c e w e a l r e a d y h a v e t h a t ( a ) a n d ( b ) a r ee q u i v a l e n t ( e v e n f o r n o n - c o n n e c t e d o p e n s e t s ) , U i s s i m p l y c o n n e c t e d . T h u s

\ = G U U i s t h e u n i o n o f t w o d i s j o i n t s i m p l y c o n n e c t e d s e t s a n dh e n c e m u s t b e s i m p l y c o n n e c t e d . S i n c e ( a ) i m p l i e s ( b ) ,

i s c o n n e c t e d . 0

1 . 2 C o r o l l a r y . J I G i s a r e g i o n i n C , t h e n t h e m a p F — ' F f l 8 C X , G d e f i n e sa b i j e c t i o n b e t w e e n t h e c o m p o n e n t s o f C 0 0 \ G a n d t h e c o m p o n e n t s o f 0 0 0 G .

P r o o f . I f F i s a c o m p o n e n t o f C , t h e n a n a r g u m e n t t h a t a p p e a r e d i nt h e p r e c e d i n g p r o o f s h o w s t h a t F f l 0 0 0 G 0 . A l s o , s i n c e 8 0 0 G

C o f 0 0 0 G t h a t m e e t s F m u s t b e c o n t a i n e d i n F . I t m u s t

b e s h o w n t h a t t w o d i s t i n c t c o m p o n e n t s o f . 9 0 0 G c a n n o t b e c o n t a i n e d i n F .T o t h i s e n d , l e t G 1 = C 0 0 \ F . S i n c e C 1 i s t h e u n i o n o f C a n d t h e

c o m p o n e n t s o f C 0 0 \ C t h a t a r e d i s t i n c t f r o m F , C 1 i s c o n n e c t e d . S i n c eC 0 0 \ C 1 = F , a c o n n e c t e d s e t . C 1 i s s i m p l y c o n n e c t e d . B y t h e p r e c e d i n gp r o p o s i t i o n , i s c o n n e c t e d . N o w I n f a c t f o r a n y p o i n t z

0 B ( z ; e ) f l ( C 0 0 \ G 1 ) A l s o i f B ( z ; e ) f l G =0 , t h e n B ( z ; e ) C O O \ G a n d B ( z ; e ) c i F 0 ; t h u s z m t F , c o n t r a d i c t i n g

t h e f a c t t h a t z E T h u s

cT h e r e f o r e a n y o f

0 0 0 C t h a t m e e t s F m u s t c o n t a i n & 0 G 1 . H e n c e t h e r e c a n b e o n l y o n e s u c hc o m p o n e n t o f 8 0 0 G . T h a t i s , F f l 0 0 0 C i s a c o m p o n e n t o f 0 0 0 G .

T h i s e s t a b l i s h e s t h a t t h e m a p F — ' F f l 0 0 0 G d e f i n e s a m a p f r o m t h ec o m p o n e n t s o f C , \ C t o t h e c o m p o n e n t s o f 0 0 0 G . T h e p r o o f t h a t t h i sc o r r e s p o n d e n c e i s a b i j e c t i o n i s l e f t t o t h e r e a d e r . 0

R e c a l l t h a t a s i m p l e c l o s e d c u r v e i n C i s a p a t h [ a , b J — ' C s u c h t h a t

7 ( t ) = ' y ( s ) i f a n d o n l y i f t = s o r — = b — a . E q u i v a l e n t l y , a s i m p l ec l o s e d c u r v e i s t h e h o m e o m o r p h i c i m a g e o f O D . A n o t h e r t e r m f o r a s i m p l ec l o s e d c u r v e i s a J o r d a n c u r v e . T h e J o r d a n C u r v e T h e o r e m i s g i v e n h e r e ,



1 3 . 1 . R e g i o n s a n d C u r v e s

b u t a p r o o f i s b e y o n d t h e p u r p o s e o f t h i s b o o k . S e e W h y b u r n [ 1 9 6 4 J .

1 . 3 J o r d a n C u r v e T h e o r e m . 1 / 7 i s a s i m p l e c l o s e d c u r v e i n C , t h e n

C \ h a . , t w o c o m p o n e n t s , e a c h o f w h i c h h a s a s i t s b o u n d a r y .C l e a r l y o n e o f t h e t w o c o m p o n e n t s o f C \ y i s b o u n d e d a n d t h e o t h e r i s

u n b o u n d e d . C a l l t h e b o u n d e d c o m p o n e n t o f C \ t h e i n s i d e o f a n d c a l lt h e u n b o u n d e d c o m p o n e n t o f C \ t h e o u t s i d e o f D e n o t e t h e s e t w o s e t sb y i n s ' y a n d o u t - y , r e s p e c t i v e l y .

N o t e t h a t i f 7 i s a r e c t i f i a b l e J o r d a n c u r v e , s o t h a t t h e w i n d i n g n u m b e rn ( 7 ; a ) i s d e f i n e d f o r a l l a i n C \ t h e n n ( 7 ; a ) ± 1 f o r a i n i n s w h i l e

n f r y ; a ) 0 f o r a i n o u t y . S a y 7 i s p o s i t i v e l y o r i e n t e d i f n ( - y ; a ) = 1 f o r a l la i n i n s A c u r v e i s s m o o t h i f i s a c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o na n d ' y ' ( t ) 0 f o r a l l t . S a y t h a t i s a l o o p i f i s a p o s i t i v e l y o r i e n t e ds m o o t h J o r d a n c u r v e .

H e r e i s a c o r o l l a r y o f t h e J o r d a n C u r v e T h e o r e m

1 . 4 C o r o l l a r y . f f 7 i s a J o r d a n c u r v e , i n s a n d ( o u t ' y ) U { o o } a r e s i m p l yc o n n e c t e d r e g i o n s .

P r o o f . I n f a c t , C , 0 \ i n s y = - y ) a n d t h i s i s c o n n e c t e d b y t h eJ o r d a n C u r v e T h e o r e m . T h u s i n s i s s i m p l y c o n n e c t e d b y P r o p o s i t i o n 1 . 1 .S i m i b i r l y , o u t U { o o } i s s i m p l y c o n n e c t e d . 0

A p o s i t i v e J o r d a n s y s t e m i s a c o l l e c t i o n f = . . , I m } o f p a i r w i s ed i s j o i n t r e c t i f i a b l e J o r d a n c u r v e s s u c h t h a t f o r a l l p o i n t s a n o t o n a n y

o u t s i d e o f r a n d l e t i n s { a E C : n ( f ; a ) = 1 } = t h e i n s i d e o f f . T h u s= o u t I ' U i n s 1 ' . S a y t h a t r i s s m o o t h i f e a c h c u r v e i n i ' i s s m o o t h .N o t e t h a t i t i s n o t a s s u m e d t h a t i n s r i s c o n n e c t e d a n d i f 1 ' h a s m o r e

t h a n o n e c u r v e , o u t f i s n e v e r c o n n e c t e d . T h e b o u n d a r y o f a n a n n u l u s i sa n e x a m p l e o f . a p o s i t i v e J o r d a n s y s t e m i f t h e c u r v e s o n t h e b o u n d a r y a r eg i v e n a p p r o p r i a t e o r i e n t a t i o n . T h e b o u n d a r y o f t h e u n i o n o f t w o d i s j o i n t

c l o s e d a n n u l i i s a l s o a p o s i t i v e J o r d a n s y s t e m , a s i s t h e b o u n d a r y o f t h eu n i o n o f t w o d i s j o i n t c l o s e d d i s k s .

f f X i s a n y s e t i n t h e p l a n e a n d A a n d B a r e t w o n o n - e m p t y s e t s , s a y t h a tX s e p a r a t e s A f r o m B i f A a n d B a r e c o n t a i n e d i n d i s t i n c t c o m p o n e n t s o ft h e c o m p l e m e n t o f X . T h e p r o o f o f t h e n e x t r e s u l t c a n b e f o u n d o n p a g e3 4 o f W h y b u r n [ 1 9 6 4 J .

1 . 5 S e p a r a t i o n T h e o r e m . I f K i s a c o m p a c t s u b s e t o f t h e o p e n s e t U ,a e K , a n d b C , , \ U , t h e n t h e r e i s a J o r d a n c u r v e 7 f l U s u c h t h a t 7 i s

d i s j o i n t f r o m K a n d y s e p a r n t e s a f r u m b .I n t h e p r e c e d i n g t h e o r e m i t i s n o t p o s s i b l e t o g e t t h a t t h e p o i n t a l i e s

i n i n s y . C o n s i d e r t h e s i t u a t i o n w h e r e U i s t h e o p e n a n n u l u s a n n ( 0 ; 1 , 3 ) ,

K = = 3 / 2 } , a = 3 / 2 , a n d 6 = 0 .

1 . 6 C o r o l l a r y . T h e c u r v e - y i n t h e S e p a r a t i o n T h e o r e m c a n b e c h o s e n t ob e s m o o t h .

P r o o f . L e t c i = i n s - y a n d f o r t h e m o m e n t a s s u m e t h a t a E c i . T h e o t h e rc a s e i s l e f t t o t h e r e a d e r . L e t K 0 = K f l c i . S i n c e - y f l K 0 , i t f o l l o w s t h a tK o i s a c o m p a c t s u b s e t o f t h a t c o n t a i n s a . S i n c e c i i s s i m p l y c o n n e c t e d ,t h e r e i s a R i e m a n n m a p r : D — ' c i . B y a c o m p a c t n e s s a r g u m e n t t h e r e i sa r a d i u s r , 0 < r < 1 , s u c h t h a t r ( r D ) K o . S i n c e U i s o p e n a n d c U ,r c a n b e c h o s e n s o t h a t r ( r ô D ) U . L e t b e a p a r a i n e t e r i z a t i o n o f t h e

c i r c l e r O D a n d c o n s i d e r t h e c u r v e r o a . C l e a r l y r o a s e p a r a t e s a f r o m b , i s

d i s j o i n t f r o m K , a n d l i e s i n s i d e U . 0

N o t e t h a t t h e p r o o f o f t h e p r e c e d i n g c o r o l l a r y a c t u a l l y s h o w s t h a t y c a nb e c h o s e n t o b e a n a n a l y t i c c u r v e . T h a t i s , c a n b e c h o s e n s u c h t h a ti t i s t h e i m a g e o f t h e ! l n i t c i r c l e u n d e r a m a p p i n g t h a t i s a n a l y t i c i n an e i g h b o r h o o d o f t h e c i r c l e . ( S e e § 4 b e l o w . )

1 . 7 P r o p o s i t i o n . I f K z s a c o n n e c t e d s u b s e t o f t h e o p e n s e t U

a n d b i s a p o i n t i n t h e c o m p l e m e n t o f U , t h e n t h e r e i s a i o o p ' y i n U t h a ts e p a r a t e s K a n d b .

P r o o f . L e t a K a n d u s e ( 1 . 6 ) t o g e t a i o o p - y t h a t s e p a r a t e s a a n d b .L e t c i b e t h e c o m p o n e n t o f t h e c o m p l e m e n t o f - y t h a t c o n t a i n s a . S i n c eK n c i 0 . K f l = 0 . a n d K i s c o n n e c t e d , i t m u s t b e t h a t K c c i . 0

T h e n e x t r e s u l t i s u s e d o f t e n . A p r o o f o f t h i s p r o p o s i t i o n c a n b e g i v e n

s t a r t i n g f r o m P r o p o s i t i o n 8 . 1 . 1 . A c t u a l l y P r o p o s i t i o n 8 . 1 . 1 w a s n o t c o m -p l e t e l y p r o v e d t h e r e s i n c e t h e s t a t e m e n t t h a t t h e l i n e s e g m e n t s o b t a i n e d i nt h e p r o o f f o r m a f i n i t e n u m b e r o f c l o s e d p o l y g o n s w a s n e v e r p r o v e d i n d e . .t a i l . T h e d e t a i l s o f t h i s a r g u m e n t a r e c o m b i n a t o r i a l l y c o m p l i c a t e d . B a s i n gt h e a r g u m e n t o n t h e S e p a r a t i o n T h e o r e m o b v i a t e s t h e s e c o m p l i c a t i o n s .

1 . 8 P r o p o s i t i o n . I f E i s a c o m p a c t s u b s e t o f a n o p e n s e t C , t h e n t h e r ei s a s m o o t h p o s i t i v e l y o r i e n t e d J o r d a n s y s t e m r c o n t a i n e d i n C s u c h t h a t

E ç i n s r C G .P r o o f . N o w C c a n b e w r i t t e n a s t h e i n c r e a s i n g u n i o n o n o p e n s e t s C 8

s u c h t h a t e a c h C 8 i s b o u n d e d a n d C \ C 8 h a s o n l y a f i n i t e n u m b e r o fc o m p o n e n t s ( 7 . 1 . 2 ) . T h u s i t s u f f i c e s t o a s s u m e t h a t C i s b o u n d e d a n d C \ Gh a s o n l y a f i n i t e n u m b e r o f c o m p o n e n t s , s a y K 0 , K 1 , . . . , K 8 w h e r e K 0 i st h e u n b o u n d e d c o m p o n e n t .

I t i s a l s o s u f f i c i e n t t o a s s u m e t h a t C i s c o n n e c t e d . I n f a c t i f U 1 , U 2 , . . .

a r e t h e c o m p o n e n t s o f C , t h e n { U m } i s a n o p e n c o v e r o f E . H e n c e t h e r ei s a f i n i t e s u b c o v e r . T h u s f o r s o m e i n t e g e r m t h e r e a r e c o m p a c t s u b s e t sE k o f U k , 1 k m , s u c h t h a t E = E k . I f t h e p r o p o s i t i o n i s p r o v e d

1 3 . 1 . R e g i o n s a n d C u r v e s 5

u n d e r t h e a d d i t i o n a l a s s u m p t i o n t h a t C i s c o n n e c t e d , t h i s i m p l i e s t h e r ei s a s m o o t h p o s i t i v e l y o r i e n t e d J o r d a n s y s t e m F k i n U k s u c h t h a t E ki n s I ' ç U k ; l e t r = u r r k . N o t e t h a t s i n c e c i ( i n s F k ) = r k U i n s ç U k ,

c l ( i n s r k ) c i ( i n s = 0 f o r k i . T h u s F i s a l s o a p o s i t i v e l y o r i e n t e ds m o o t h J o r d a n s y s t e m i n C a n d E ç i n s I ' = u r i n s r k C .L e t e > 0 s u c h t h a t f o r 0 j n , { z : d i s t ( z , K 1 )

i s d i s j o i n t f r o m E a s w e l l a s t h e r e m a i n d e r o f t h e s e i n l l a t e d s e t s . A l s op i c k a p o i n t a 0 i n i n t K 0 . B y P r o p o s i t i o n 1 . 7 f o r 1 n t h e r e i s a

s m o o t h J o r d a n c u r v e y , i n { z : d i s t ( z , K , ) < e } t h a t s e p a r a t e s a 0 f r o m K , .N o t e t h a t 0 0 b e l o n g s t o t h e u n b o u n d e d c o m p o n e n t o f t h e c o m p l e m e n t o f

{ z : d i s t ( z , K , ) < e } . T h u s K , i n s a n d 0 0 E o u t G i v e ' y j a n e g a t i v e

o r i e n t a t i o n s o t h a t n ( - y , : z ) = — 1 f o r a l l z i n K , .N o t e t h a t U = C \ K 0 i s a s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n s i n c e i t s c o m p l e m e n ti n t h e e x t e n d e d p l a n e , K 0 , i s c o n n e c t e d . L e t r I ) — . U b e a R i e m a n n m a p .

F o r s o m e r , 0 < r < 1 , V = r ( r l t b ) c o n t a i n s K , a n d O VL e t = t 9 V w i t h p o s i t i v e o r i e n t a t i o n . C l e a r l y E U K , i n s a n d

E o u t 7 0 .I t i s n o t t o s e e t h a t F = . . i s a s m o o t h J o r d a n

s y s t e m c o n t a i n e d i n C . I f z E K , f o r 1 j n , t h e n n ( 1 ' , z ) n ( 7 , , z ) +n ( ' y o , z ) = — l + 1 = 0 . N o w 0 0 E o u t 1 ' ; b u t t h e f a c t t h a t F ç C a n d K 0 i sc o n n e c t e d i m p l i e s t h a t K 0 c F . I t f o l l o w s t h a t i n s F c G .

O n t h e o t h e r h a n d , i f z E , t h e n z E o u t f o r 1 < j < n a n d z E I f l S 7 o .T h u s E C i n s L ' . 0

1 . 9 C o r o l l a r y . S u p p o s e C 2 8 a b o u n d e d r e g i o n a n d K 0 , . . . a r e t h ec o m p o n e n t . s w i t h o o i n K 0 . I f E > 0 , t h e n t h e r e i s a s m o o t hJ o r d a n s y s t e m F

= { 7 o , .. . , i n C s u c h t h a t :

( a ) f o r l K , i n s y j ;( b ) K 0 ç o u t 7 0 ;

P r o o f . E x e r c i s e . 0

1 . 1 0 P r o p o s i t i o n . A n o p e n s e t C i n C i s s i m p l y c o n n e c t e d i f a n d o n l y i ff o r e v e r y J o r d a n c u r v e c o n t a i n e d i n C , i n s t C C .

P r o o f . A s s u m e t h a t C i s s i m p l y c o n n e c t e d a n d i s a J o r d a n c u r v e i n C .S o \ G i s c o n n e c t e d , c o n t a i n s o o , a n d i s c o n t a i n e d i n T h e r e f o r et h e J o r d a n C u r v e T h e o r e m i m p l i e s t h a t C \ C o u t H e n c e , c i ( i n s =C \ o u t 7 c G .

N o w a s s u m e t h a t C c o n t a i n s t h e i n s i d e o f a n y J o r d a n c u r v e t h a t l i e s i n

C . L e t b e a n y c l o s e d c u r v e i n C ; i t m u s t b e s h o w n t h a t g i s h o m o t o p i c

u n b o u n d e d c o m p o n e n t o f t h e c o m p l e m e n t o f B y P r o p o s i t i o n 1 . 7 t h e r e

i s a J o r d a n c u r v e i n { z : d i s t ( z , a ) < e } t h a t s e p a r a t e s t h e c o m p a c t s e ta a n d t h e p o i n t b . T h e u n b o u n d e d c o m p o n e n t o f t h e c o m p l e m e n t o fm u s t b e c o n t a i n e d i n t h e o u t s i d e o f s o t h a t b E o u t ' y ; t h u s a ç i n s 7 .

B u t i n s i s s i m p l y c o n n e c t e d ( 1 . 4 ) s o t h a t a i s b o m o t o p i c t o 0 i n i n sB u t b y a s e u m p t i o n C c o n t a i n s i n s s o t h a t o r i s h o m o t o p i c t o 0 i n C a n dC i s s i m p l y c o n n e c t e d . 0

1 . 1 1 C o r o l l a r y . 1 / 7 a n d a r e J o r d a n c u r v e s w i t h o r c l ( i n s 7 ) , t h e ni n s a c i n s 1 .

A g o o d r e f e r e n c e f o r t h e p a r t i c u l a r p r o p e r t i e s o f p l a n a r s e t s i s N e w m a n[ 1 9 6 4 J .

E x e r c i s e s

1 . G i v e a d i r e c t p r o o f o f C o r o l l a r y 1 . 1 1 t h a t d o e s n o t d e p e n d o n P r o p o -s i t i o n 1 . 1 0 .

2 . F o r a n y c o m p a c t s e t E , s h o w t h a t E e h a s a f i n i t e n u m b e r o f c o m p o -

n e n t s . I f E i s c o n n e c t e d , s h o w t h a t i s c o n n e c t e d .3 . S h o w t h a t a r e g i o n G i s s i m p l y c o n n e c t e d i f a n d o n l y i f e v e r y . J o r d a n

c u r v e i n C i s h o m o t o p i c t o 0 .

4 . P r o v e C o r o l l a r y 1 . 9 .

5 . T h i s e x e r c i s e s e e m s a p p r o p r i a t e a t t h i s p o i n t , e v e n t h o u g h i t d o e sn o t u s e t h e r e s u l t s f r o m t h i s s e c t i o n . T h e p r o o f o f t h i s i s s i m i l a r t ot h e p r o o f o f t h e L a u r e n t e x p a n s i o n o f a f u n c t i o n w i t h a n i s o l a t e d

s i n g u l a r i t y . U s i n g t h e n o t a t i o n o f C o r o l l a r y 1 . 9 , s h o w t h a t i f f i sa n a l y t i c i n G , t h e n f = f o + f 1 w h e r e f , i s a n a l y t i c o n

\ K , ( 0 j g n ) a n d f , ( o o ) = 0 f o r 1 j < n . S h o w t h a t t h ef u n c t i o n s a r e u n i q u e . A l s o s h o w t h a t i f f i s a b o u n d e d f u n c t i o n , t h e n

e a c h / , i s b o u n d e d .

§ 2 D e r i v a t i v e s a n d O t h e r R e c o l l e c t i o n s

I n t h i s s e c t i o n s o m e n o t a t i o n i s i n t r o d u c e d t h a t w i l l b e u s e d i n t h i s b o o ka n d s o m e f a c t s a b o u t d e r i v a t i v e s a n d o t h e r m a t t e r s w i l l b e r e c a l l e d .

F o r a n y m e t r i c s p a c e X , l e t C ( X ) d e n o t e t h e a l g e b r a o f c o n t i n u o u sf u n c t i o n s f r o m X i n t o C . I f n i s a n a t u r a l n u m b e r a n d C i s a n o p e n

s u b s e t o f C , l e td e n o t e t h e f u n c t i o n s f C — C s u c h t h a t fh a s c o n t i n u o u s p a r t i a l d e r i v a t i v e s u p t o a n d i n c l u d i n g t h e n . t h o r d e r .

C ° ( C ) = C ( C ) a n d = t h e i n f i n i t e l y d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n s o n



1 3 . 2 . D e r i v a t i v e s a n d O t h e r R e c o l l e c t i o n s 7

G . 1 1 0 n d e n o t e s t h o s e f u n c t i o n s f i n w i t h s u p p fs u p p o r t o f / c i { z E G : 1 ( z ) Q } c o m p a c t .

I t i s c o n v e n i e n t t o t h i n k o f f u n c t i o n s / d e f i n e d o n C a s f u n c t i o n s o f t h e

c o m p l e x v a r i a b l e s z a n d ! r a t h e r t h a n t h e r e a l v a r i a b l e s x a n d y . T h e s et w o s e t s o f v a r i a b l e s a r e r e l a t e d b y t h e f o r m u l a s

z — x + i y I = x — i y

2

T h u s f o r a d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n I o n a n o p e n s e t G , i t i s p o s s i b l e t o

d i s c u s s t h e d e r i v a t i v e s o f I w i t h r e s p e c t t o z a n d ! . N a m e l y , d e f i n e

8— 8 f _ 1 ( O f . 8 f \-

— a f _ i f o f + . o f8 1 8 y

T h e s e f o r m u l a s c a n b e j u s t i f i e d b y a n a p p l i c a t i o n o f t h e c h a i n r u l e . A

d e r i v a t i o n o f t h e f o r m u l a s c a n b e o b t a i n e d b y c o n s i d e r i n g d z = d x + i d ya n d d ! = d x — i d y a s a m o d u l e b a s i s f o r t h e c o m p l e x d i f f e r e n t i a l s o n C ,e x p a n d i n g t h e d i f f e r e n t i a l o f f , d f , i n t e r m s o f t h e b a s i s , a n d o b s e r v i n g t h a tt h e f o r m u l a s f o r O f a n d g i v e n a b o v e a r e t h e c o e f f i c i e n t s o f d z a n d d l ,r e s p e c t i v e l y .

T h e o r i g i n o f t h i s n o t a t i o n i s t h e t h e o r y o f f u n c t i o n s o f s e v e r a l c o m p l e xv a r i a b l e s , b u t i t i s v e r y c o n v e n i e n t e v e n h e r e . I n p a r t i c u l a r , a s a n e a s yc o n s e q u e n c e o f t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s , o r r a t h e r a r e f o r m u l a t i o n

o f t h e r e s u l t t h a t a f u n c t i o n i s a n a l y t i c i f a n d o n l y i f i t a r e a l a n d i m a g i n a r yp a r t s s a t i s f y t h e C a u c h y - R i e r m u i n e q u a t i o n s , w e h a v e t h e f o l l o w i n g .

S o t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n s a y s t h a t a f u n c t i o n i s a n a l y t i c p r e c i s e l yw h e n i t i s a f u n c t i o n o f z a l o n e a n d n o t o f ! .

W i t h s o m e e f f o r t ( n o t t o b e d o n e h e r e ) i t c a n b e s h o w n t h a t a l l t h e

l a w s f o r c a l c u l a t i n g d e r i v a t i v e s a p p l y t o 0 a n d a s w e l l . I n p a r t i c u l a r , t h er u l e s f o r d i f f e r e n t i a t i n g s u m s , p r o d u c t s , a n d q u o t i e n t s a s w e l l a s t h e c h a i nr u l e a r e v a l i d . T h e l a s t i s e x p l i c i t l y s t a t e d h e r e a n d t h e p r o o f i s l e f t t o t h er e a d e r .

2 . 2 C h a I n R u l e . L e G b e a n n a u b s e t o f C a n d l e t f E C ' ( G ) . i sa n o p e n s u b s e t o f C s u c h t h a t 1 ( G ) o n d g E t h e n g o f C ' ( C )a n d

8 ( g o f ) ==

S o i f a f o r m u l a f o r a f u n c t i o n f c a n b e w r i t t e n i n t e r m s o f e l e m e n t a r yf u n c t i o n s o f z a n d t h e n t h e r u l e s o f c a l c u l u s c a n b e a p p l i e d t o c a l c u l a t et h e d e r i v a t i v e s o f f t o a n y o r d e r . T h e n e x t r e s u l t c o n t a i n s s u c h a c a l c u l a -

t i o n .2 . 3 P r o p o s i t i o n .

( a ) 0 ( l o g ( z j ) = 1 { 2 z } =

( b )

I f i s t h e L a p l a c i a n , ++ ( 0 ) 2

t h e n =

4 a 0 = 4 8 0 .

P r o o f . F o r p a r t ( a ) , w r i t e l o g I z l = l o g = a n d a p p l y t h ec h a i n r u l e . T h e r e m a i n i n g p a r t s a r e l e f t t o t h e r e a d e r . 0

H e n c e a f u n c t i o n u G — ' C i s h a r m o n i c i f a n d o n l y i f 0 o n G .T h e r e f o r e , u i s h a r m o n i c i f a n d o n l y i f O u i s a n a l y t i c . ( N o t e t h a t w e a r ec o n s i d e r i n g c o m p l e x v a l u e d f u n c t i o n s t o b e h a r m o n i c ; i n t h e f i r s t v o l u m eo n l y r e a l - v a l u e d f u n c t i o n s w e r e h a r m o n i c . )

F o r a n y f u n c t i o n u d e f i n e d o n a n o p e n s e t , t h e n - t h o r d e r d e r i v a t i v e s o fu a r e a l l t h e d e r i v a t i v e s o f t h e f o r m w h e r e j + k =

A p o l y n o m i a l i n z a n d i s a f u n c t i o n o f t h e f o r mw h e r e a , k i s a c o m p l e x n u m b e r a n d t h e s u m m a t i o n i s o v e r s o m e f i n i t e s e to f n o n - n e g a t i v e i n t e g e r s . T h e n - t h d e g r e e t e r m o f p ( z , i s t h e s u m o f a l l

t h e t e r m s w i t h j + k = n . T h e p o l y n o m i a l p ( z , I ) h a s d e g r e e n i fi t h a s n o t e r m s o f d e g r e e l a r g e r t h a t n .I t i s a d v a n t a g e o u s t o r e w r i t e s e v e r a l r e s u l t s f r o m a d v a n c e d c a l c u l u s w i t h

t h i s n e w n o t a t i o n .

2 . 4 T a y l o r ' s F o r m u l a . 1 f f n 1 , a n d B ( a ; R ) c c , t h e n t h e r ei s a u n i q u e p o l y n o m i a l i n z a n d i o f d e g r e e n — 1 a n d t h e r e i s a

f u n c t i o n g i n C " ( G ) s u c h t h a t t h e f o l l o w i n g h o l d :

( a ) I = p + g ;

( b ) e a c h d e r i v a t i v e o f g o f o r d e r n — 1 v a n i s h e s a t a ;

( c ) f o r e a c h z i n B ( a ; R ) t h e r e i s a n s , 0 < s < 1 , ( s d e p e n d s o n z ) s u c ht h a t

k + j n

1 3 . 2 . D e r i v a t i v e s a n d O t h e r R e c o l l e c t i o n s 9

T h u s f o r e a c h z i n B ( a ; R )

< z — a I "m a x : 1 w — a l — a l } .

2 . 5 G r e e n ' s T h e o r e m . I f I ' i s a s m o o t h p o s i t i v e J o r d a n s y s t e m w i t hG i n s F , u C ( c l G ) , u E C ' ( G ) , a n d i s i n t e g r a b t e o v e r G , t h e n

W h i l e h e r e , l e t u s n o t e t h a t i n t e g r a l s w i t h r e s p e c t t o a r e a m e a s u r e o n Cw i l l b e d e n o t e d i n a v a r i e t y o f w a y s . i s o n e w a y ( i f t h e v a r i a b l e o f i n t e -g r a t i o n c a n b e s u p p r e s s e d ) a n d f ( J _ 4 = f ( z ) d A ( z ) i s a n o t h e r . W h i c hf o r m o f e x p r e s s i o n i s u s e d w i l l d e p e n d o n t h e c o n t e x t a n d p u r p o s e a tt h e t i m e . T h e n o t a t i o n f I d A w i l l m e a n t h a t i n t e g r a t i o n i s t o b e t a k e n

o v e r a l l o f C . F i n a l l y , d e n o t e s t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f t h e s e t K ;

t h e f u n c t i o n w h o s e v a l u e a t p o i n t s i n K i s 1 a n d w h o s e v a l u e i s 0 a t p o i n t so f t h e c o m p l e m e n t o f K .U s i n g G r e e n ' s T h e o r e m , a v e r s i o n o f C a u c h y ' s T h e o r e m t h a t i s v a l i d f o r

n o n - a n a J y t i c f u n c t i o n s c a n b e o b t a i n e d . B u t f i r s t a l e m m a i s n e e d e d . T h i sl e m m a w i l l a l s o b e u s e d l a t e r i n t h i s b o o k . A s s t a t e d , t h e p r o o f o f t h i s l e m m ar e q u i r e s k n o w l e d g e o f t h e L e b e s g u e i n t e g r a l i n t h e p l a n e , a v i o l a t i o n o f t h eg r o u n d r u l e s e s t a b l i s h e d i n t h e P r e f a c e . T h i s c a n b e o v e r c o m e b y r e p l a c i n gt h e c o m p a c t s e t K b e l o w b y a b o u n d e d r e c t a n g l e . T h i s m o d i f i e d v e r s i o n

o n l y u s e s t h e R i e m a n n i n t e g r a l , c a n b e p r o v e d w i t h t h e s a m e t e c h n i q u e sa s t h e p r o o f g i v e n , a n d w i l l s u f f i c e i n t h e p r o o f o f t h e s u c c e e d i n g t h e o r e m .

2 . 6 L e m m a . I f K i s a c o m p a c t s u b s e t o f C , t h e n f o r e v e r y z

I Kl z -

P r o o f . I f h ( ( ) = ' , t h e n u s i n g a c h a n g e o f v a r i a b l e s s h o w s t h a t

f Kl z — = —

J X K ( Z —

i _ K



1 0 1 3 . R e t u r n t o B a s i c s

I f R i s s u f f i c i e n t l y l a r g e t h a t z — K c B ( 0 ; R ) , t h e n

f I z — ( h d A ( ( )

fB ( O ; R Jp r

= I I d O d rJ o J o

= 2 i r R .

0

2 . 7 T h e C a u c h y - G r e e n F o r m u l a . f f 1 ' i s a s m o o t h p o s i t i v e J o r d a n s y s -t e m , C = i n s 1 ' , U E C ( d C ) , u E C ' ( G ) , a n d i s i n t e g r a b l e o n C , t h e n

f o r e v e r y z i n C

u ( z ) = f — z ) ' d ( — z ) _ 1 8 u

P r o o f

B ( w ; e ) a n d = C \ c I B e . N o w a p p l y G r e e n ' s T h e o r e m t o t h e f u n c t i o n( z — w ) _ t u ( z ) a n d t h e o p e n s e t ( N o t e t h a t = a n d , w i t hp r o p e r o r i e n t a t i o n , b e c o m e s a p o s i t i v e J o r d a n s y s t e m . ) O n

[ ( z — w ) _ 1 u } = ( z —

s i n c e ( z — i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n H e n c e

2 . 8 1 d z — f u ( z ) d z = 2 i IJ r 2 W J O B C Z W J G ,

B u t

l i m f = u r n i f u ( w ÷c — . O o

= 2 i r i u ( w ) .

B e c a u s e ( z — w ) ' i s l o c a l l y i n t e g r a b l e ( L e m m a 2 . 6 ) a n d b o u n d e d a w a yf r o m w a n d i s b o u n d e d n e a r w a n d i n t e g r a b l e a w a y f r o m w , t h e l i m i to f t h e r i g h t h a n d s i d e o f ( 2 . 8 ) e x i s t s . S o l e t t i n g 0 i n ( 2 . 8 ) g i v e s

f u ( z )d z — = 2 i 1

1d . 4 ( z ) .J r Z W J c z — w

0

N o t e t h a t i f , i n t h e p r e c e d i n g t h e o r e m , u i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n , t h e n= 0 a n d t h i s b e c o m e C a u c h y ' s I n t e g r a l F o r m u l a .

1 3 . 2 . D e n v a t i v e s a n d O t h e r R e c o l l e c t i o n s

2 . 9 C o r o l l a r y . I f u E a n d w E C , t h e n

T h e r e a r e r e s u l t s a n a l o g o u s t o t h e p r e c e d i n g o f l e s w h e r e t h e L a p l a c i a nr e p l a c e s

2 . 1 0 L e m m a . I f K i 3 a c o m p a c t s u b s e t o f t h e p l a f t e , t h e n

1 K< o o .

P r o o f . I f p o l a r c o o r d i n a t e s a r e u s e d , t h e n i t i s l e f t t o t h e r e a d e r t o s h o wt h a t f o r a n y R > 1

= i r E 2 + , r .

T h i sp r o v e s t h e l e m m a . 0

2 . 1 1 T h e o r e m . I f u E o n t h e p l a n e a n d w E C , t h e n

= f l o g J z - d A ( z ) .

P r o o f . L e t R b e p o s i t i v e s u c h t h a t s u p p ( u ) ç B ( w ; R ) a n d f o r e > 0

l e t = e < — w ( < R } a n d = { z ; I z — W I = e } w i t h s u i t a b l eo r i e n t a t i o n . G r e e n ' E T h e o r e m i m p l i e s

f — w l d z = 2 1 f

= 2 i j l o g I z — w I d A ( z )

+ 2 1 1

= f ( A u ) l o g l z - w I d A ( z )

+ 2 1 - _ d A ( z ) .J G , Z — i i )

N o w J , ( O u ) l o g — t u l d z I M e l o g e f o r s o m e c o n s t a n t M i n d e p e n d e n to f e . H e n c e t h e i n t e g r a l c o n v e r g e s t o 0 a s e — ' 0 . S i n c e — i s l o c a l l y

i n t e g r a b l e a n d 8 u h a s c o m p a c t s u p p o r t , [ O t t —J c o n v e r g e s a s

1 2 1 3 . R e t u r n t o B a s i c s

e 0 . B y C o r o l l a r y 2 . 9 a n d P r o p o s i t i o n 2 . 3 ( b ) t h i s l i m i t m u s t b eS i n c e i s c o n t i n u o u s a n d h a s c o m p a c t s u p p o r t , c o m b i n i n g t h i s l a t e s ti n f o r m a t i o n w i t h t h e a b o v e e q u a t i o n s , t h e t h e o r e m f o l l o w s . 0

W e e n d t h i s s e c t i o n w i t h s o m e r e s u l t s t h a t c o n n e c t a r e a s w i t h a n a l y t i cf u n c t i o n s . T h e f i r s t r e s u l t i s a c o n s e q u e n c e o f t h e c h a n g e o f v a r i a b l e s f o r -m u l a f o r d o u b l e i n t e g r a l s a n d t h e f a c t t h a t i f I i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n , t h e nt h e J a c o b i a n o f f c o n s i d e r e d a s a m a p p i n g f r o m R 2 i n t o R 2 i s I f ' 1 2 ( s e eE x e r c i s e 2 ) .

2 . 1 2 T h e o r e m . 1 f f i s a c o n f o r m a l b e t w e e n t h e o p e n s e t s G

a n d f l ,t h e n

A r e a ( 1 l ) = I I i i ' p 2 .J J a

2 . 1 3 C o r o l l a r y . I f I l i s a s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n , r D — Q i s a R i e m a n nm o p , a n d r ( z ) = i n D , t h e n

= J j 1 r 1 2 =

P r o o f . T h e f i r s t e q u a l i t y i s a r e s t a t e m e n t o f t h e p r e c e d i n g t h e o r e m f o rt h i s s p e c i a l c a s e , F o r t h e , s e c o n d e q u a l i t y , n o t e t h a t r ' ( z ) =

S o f o r r < 1 ,

F r ' ( r e * 8 ) J 2

=

1 ) 9 ) v n a m r m _ 1 e 1 ( m _ 1 ) 9 )

=

a n d t h i s s e r i e s c o n v e r g e s u n i f o r m l y i n 9 . U s i n g p o l a r c o o r d i n a t e s t o c a l c u -l a t e a n d t h e f a c t t h a t f " = 0 f o r n m , w e g e t

J j 1 r 1 2 =

=

= 7 r E n l a n l 2 .

0

I f f f a i l s t o b e a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e , a v e r s i o n o f t h i s r e s u l t r e m a i n sv a l i d . N a m e l y , f I G 1 1 1 2 i s t h e a r e a o f 1 ( G ) " c o u n t i n g m u l t i p l i c i t i e s . " T h i si s m a d e s p e c i f i c i n t h e n e x t t h e o r e m . T h e p r o o f o f t h i s r e s u l t u s e s s o m e

1 3 . 2 . D e r i v a t i v e s a n d O t h e r R e c o l l e c t i o n s 1 3

m e a s u r e t h e o r y ; i n p a r t i c u l a r , t h e r e a d e r m u s t k n o w t h e V i t a l i C o v e r i n gT h e o r e m .

2 . 1 4 T h e o r e m . 1 f f : G — , I l v s a s u r j e c t i v e a n a l y t i c f l L n c t i o n a n d f o r e a c h

C i n 1 l , n ( C ) i s t h e n u m b e r o f p o i n t . s i n t h e n

f = fP r o o f . S i n c e f i s a n a l y t i c , { z f ( z ) = O } i s c o u n t a b l e a n d i t s c o m p l e m e n t

i n G i s a n o p e n s e t w i t h t h e s a m e m e a s u r e . T h u s w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t yw e m a y a s s u m e t h a t f ' n e v e r v a n i s h e s ; t h a t i s , I i s l o c a l l y o n e - t o - o n e .

T h u s f o r e a c h z i n G t h e r e a r e a r b i t r a i l y s m a l l d i s k s c e n t e r e d a t z o nw h i c h f i s o n e - t o - o n e . T h e c o l l e c t i o n o f a l l s u c h d i s k s f o r m s a V i t a l i c o v e r

o f C . B y t h e V i t a l i C o v e r i n g T h e o r e m t h e r e a r e a c o u n t a b l e n u m b e r o fp a i r w i s e d i s j o i n t o p e n d i s k s s u c h t h a t / i s o n e - t o - o n e o n e a c ha n d

A = = T h e s e t C \ U , D , c a n b e w r i t t e n a st h e c o u n t a b l e u n i o n o f c o m p a c t s e t s u 2 K 2 ( W h y ? ) . S i n c e j i s a n a l y t i c , i t

i s l o c a l l y L i p a c h i t z . T h u s A r e a f ( K , ) =0

f o r e a c h i 1 . T h u s= A r e a ( A ) . F o r l e t A k = { ( E A : n ( C ) k } ; s o A r e a ( A ) =E k A r e a ( A k ) . I f G k = I ' ( A k ) , t h e n T h e o r e m 2 . 1 2 i m p l i e s

f I u I 2 d — 4 = n - 1

=

= k A r e a ( A k )

s i n c e i s o n e - t o - o n e o n e a c h T h u s

f f1 < k < o o

k A r e a ( A k )I < k < c c

j n ( C ) d A ( C ) .

E x e r c i s e s1 . S h o w t h a t i f K a n d L a r e c o m p a c t s u b s e t s o f C , t h e n t h e r e i s a

c o n s t a n t M > 0 s u c h t h a t J K J z — ç J - ' d A ( ç ) M f o r a l l z i n L .



1 4 1 3 . R e t u r n t o B a s i c s

2 . S h o w t h a t i f f : C — . C i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n a n d w e c o n s i d e r I a sa f u n c t i o n f r o m t h e r e g i o n C i n R 2 i n t o R 2 , t h e n t h e J a c o b i a n o f Ii s 1 / 1 1 2 .

3 . L e t f b e d e f i n e d o n D b y f ( z ) = e x p [ ( z + 1 ) / ( z — 1 ) ) J a n d s h o w t h a tI fI f C i s a r e g i o n a n d u i s a r e a l - v a l u e d h a r m o n i c f u n c t i o n o n C s u c h

t h a t { z : u ( z ) = O } h a s p o s i t i v e a r e a , t h e n u i s i d e n t i c a l l y 0 .

§ 3 H a r m o n i c C o n j u g a t e s a n d P r i m i t i v e s

I n T h e o r e m 8 . 2 . 2 i t w a s s h o w n t h a t a r e g i o n C i n t h e p l a n e h a s t h e p r o p e r t yt h a t e v e r y h a r m o n i c f u n c t i o n o n C h a s a h a r m o n i c c o n j u g a t e i f a n d o n l yi f G i s s i m p l y c o n n e c t e d . I t w a s a l s o s h o w n t h a t t h e s i m p l e c o n n e c t i v i t yo f C i s e q u i v a l e n t t o t h e p r o p e r t y t h a t e v e r y a n a l y t i c f u n c t i o n o n C h a s ap r i m i t i v e .

T h e a b o v e m e n t i o n e d r e s u l t s n e g l e c t t h e q u e s t i o n o f w h e n a n i n d i v i d u a lh a r m o n i c f u n c t i o n h a s a c o n j u g a t e o r a n i n d i v i d u a l a n a l y t i c f u n c t i o n h a sa p r i m i t i v e . I n t h i s s e c t i o n t h e s e q u e s t i o n s w i l l b e a n s w e r e d a n d i t w i l l b es e e n t h a t e v e n o n a n i n d i v i d u a l b a s i s t h e s e p r o p e r t i e s a r e r e l a t e d .

W e b e g i n w i t h a n e l e m e n t a r y r e s u l t t h a t h a s b e e n u s e d i n t h e f i r s t v o l u m ew i t h o u t b e i n g m a d e e x p l i c i t . T h e p r o o f i s l e f t t o t h e r e a d e r .

3 . 1 P r o p o s i t i o n . I f f : C — . C i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n , t h e n f h a s ap r i m i t i v e i f a n d o n l y i f f , f = 0 f o r e v e r y c l o s e d r e c t i f i a b l e c u r v e i ' i n C .

A n o t h e r r e s u l t , a n e a s y e x e r c i s e i n t h e u s e o f t h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a -t i o n s , i s t h e f o l l o w i n g .

3 2 P r o p o s i t i o n . I f u : C — . C i s a C 2 f u n c t i o n , t h e n u i s a h a r m o n i cf u n c t i o n o n C i f a n d o n l y i f I = 2 = O u i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n

o n G .

I t t u r n s o u t t h a t t h e r e i s a c l o s e r e l a t i o n b e t w e e n t h e h a r m o n i c f u n c t i o n ua n d t h e a n a l y t i c f u n c t i o n f = t h i . I n d e e d , o n e f u n c t i o n o f t e n c a n b e s t u d i e dw i t h t h e h e l p o f t h e o t h e r . A k e y t o t h i s i s t h e f o l l o w i n g c o m p u t a t i o n . I fi s a n y c l o s e d r e c t i f i a b l e c u r v e i n C , t h e n

3 . 3

I n f a c t , J f ==

f . 7 + u , d d y ) = 0 s i n c e t h i s i s t h e i n t e g r a l o f a n e x a c t d i f f e r -e n t i a l .



1 3 . 3 . H a r m o n i c C o n j u g a t e s a n d P r i m i t i v e s 1 5

W e a r e n o w r e a d y t o p r e s e n t a d i r e c t r e l a t i o n b e t w e e n t h e e x i s t e n c e o f a

h a r m o n i c c o n j u g a t e a n d t h e e x i s t e n c e o f a p r i m i t i v e .

3 . 4 T h e o r e m . ! f G i a r e g i o nt h e n t h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t s a r e e q u i v a l e n t .

( a ) T h e f u n c t i o n u h a s a h a r m o n i c c o n j u g a t e .

( b ) T h e a n a l y t i c f u n c t i o n / = O n h a s a p r i m i t i v e i n C .

( c ) F o r e v e r y c l o s e d r e c t i f i a b l e c u r v e y i n C , - = 0 .

P r o o f . B y P r o p o s i t i o n 3 . 1 , ( 3 . 3 ) s h o w s t h a t ( b ) a n d ( c ) a r e e q u i v a l e n t .

( a ) i m p l i e s ( b ) . I f g i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n C s u c h t h a t g = u + i v ,t h e n t h e f a c t t h a t t h e C a u c h y - R i e m A n n e q u a t i o n s h o l d i m p l i e s t h a t g ' =— i n 1 , = 2 f .

( b ) i m p l i e s ( a ) . S u p p o s e g i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n C s u c h t h a t g ' = 2 /a n d l e t U a n d V b e t h e r e a l a n d p a r t s o f g . T h u s g ' = =2 f = u 1 — i u , , . I t i s n o w a n e a a y c o m p u t a t i o n t o s h o w t h a t u a n d V s a t i s f yt h e C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s , a n d s o V i s a h a r m o n i c c o n j u g a t e o f u . 0

F o r a f u n c t i o n u t h e d i f f e r e n t i a l i s c a l l e d t h e c o n j u g a t e d i f f e r -e n t i a l o f u a n d i s d e n o t e d d u . W h y ? S u p p o s e u i s a h a r m o n i c f u n c t i o n w i t h

a h a r m o n i c c o n j u g a t e v . U s i n g t h e C a u c b y - R i e m a n n e q u a t i o n s t h e d i f f e r -e n t i a l o f v i s d v + v 5 d y = + u 1 d y = d u . S o T h e o r e m 3 . 4 ( c )s a y s t h a t a h a r m o n i c f u n c t i o n u h a s a h a r m o n i c c o n j u g a t e i f a n d o n l y i f i t sc o n j u g a t e d i f f e r e n t i a l d u i s e x a c t . ( S e e a n y b o o k o n d i f f e r e n t i a l f o r m s f o rt h e d e f i n i t i o n o f a n e x a c t f o r m . )

T h e r e a d e r m i g h t q u e s t i o n w h e t h e r T h e o r e m 3 . 4 a c t u a l l y c h a r a c t e r i z e st h e h a r m o n i c f u n c t i o n s t h a t h a v e a c o n j u g a t e , s i n c e i t m e r e l y s t a t e s t h a tt h i s p r o b l e m i s e q u i v a l e n t t o a n o t h e r p r o b l e m o f e q u a l d i f f i c u l t y : w h e t h e ra g i v e n a n a l y t i c f u n c t i o n h a s a p r i m i t i v e . T h e r e i s s o m e v a l i d i t y i n t h i sc r i t i c i s m , t h o u g h t h i s d o e s n o t t h e v a l u e o f ( 3 . 4 ) ; i t i s a c r i t i c i s m

o f t h e r e s u l t a s i t r e l a t e s t h e o r i g i n a l l y s t a t e d o b j e c t i v e r a t h e r t h a n a n yi n t e r n a l d e f e c t .

C o n d i t i o n ( c ) o f t h e t h e o r e m s a y s t h a t t o c h e c k w h e t h e r a f u n c t i o n h a s

a c o n j u g a t e y o u m u s t s t i l l c h e c k a n i n f i n i t e n u m b e r o f c o n d i t i o n s . I n § 1 5 . 1b e l o w t h e r e a d e r w i l l s e e t h a t i n t h e c a s e o f a f i n i t e l y c o n n e c t e d r e g i o n t h i sc a n b e r e d u c e d t o c h e c k i n g a f i n i t e n u m b e r o f c o n d i t i o n s .

H e r e i s a f a c t c o n c e r n i n g t h e c o n j u g a t e d i f f e r e n t i a l t h a t w i l l b e u s e d i nt h e s e q u e l . R e c a l l t h a t O n / O n d e n o t e s t h e n o r m a l d e r i v a t i v e o f u w i t hr e s p e c t t o t h e o u t w a r d l y p o i n t e d n o r m a l t o a g i v e n c u r v e

3 . 5 P r o p o . i t l o n . I f u i s a c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n o n t h e r e -

g i o n G o n d - y s s a d o s e d r e c t i f i a b l e c u r v e i n C , t h e n! I7 r j . 7

1 6 1 3 . R e t u r n t o B a s i c s

P r o o f . T h e f i r s t e q u a l i t y i s a r e p h r a s i n g o f ( 3 . 3 ) u s i n g t h e l a t e s t e d i t i o no f t h e n o t a t i o n . T h e p r o o f o f t h e s e c o n d e q u a l i t y i s a m a t t e r o f u s i n g t h e

d e f i n i t i o n s o f t h e r e l e v a n t t e r m s . T h i s w i l l n o t b e u s e d h e r e a n d s o t h e

d e t a i l s a r e l e f t t o t h e r e a d e r . 0

E x e r c i s e s

1 . I f C i s a r e g i o n a n d u : C — i J R i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n , t h e n u i sh a r m o n i c i f a n d o n l y i f f o r e v e r y a i n C t h e r e i s a n 6 > 0 s u c h t h a t

u ( a ) = ( 2 i r ) _ ' f u ( a + r & ° ) d O f o r r < 6 . ( A s l i g h t w e a k e n i n g o f t h ef a c t t h a t f u n c t i o n s w i t h t h e M e a n V a l u e P r o p e r t y a r e h a r m o n i c . )

2 . I f u i s a r e a l - v a l u e d f u n c t i o n _ o n C , s h o w t h a t 9 u d z = 1 9 u =H e n c e O n d z

3 . P r o v e t h a t a r e g i o n C i s s i m p l y c o n n e c t e d i f a n d o n l y i f e v e r y c o m p l e xv a l u e d h a r m o n i c f u n c t i o n u : C C c a n b e w r i t t e n a s u = g + h f o ra n a l y t i c f u n c t i o n s g a n d h o n C .

4 . L e t C b e a r e g i o n a n d f C — ' C a n a n a l y t i c f u n c t i o n t h a t n e v e rv a n i s h e s . S h o w t h a t t h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t s a r e e q u i v a l e n t . ( a ) T h e r ei s a n a n a l y t i c b r a n c h o f l o g f ( z ) o n G ( t h a t i s , a n a n a l y t i c f u n c t i o n

g C C s u c h t h a t f ( z ) f o r a l l z i n C ) . ( b ) T h ef u n c t i o n f ' / f h a s a p r i m i t i v e . ( c ) F o r e v e r y c l o s e d r e c t i f i a b l e p a t h yi n C , f l / f = 0 .

5 . L e t r = p / q b e a r a t i o n a l f u n c t i o n , w h e r e p a n d q a r e p o l y n o m i a l sw i t h o u t a c o m m o n d i v i s o r . L e t a 1 b e t h e d i s t i n c t z e r o s o f pw i t h m u l t i p l i c i t i e s . . , i , , a n d l e t b 1 , . . . , b e t h e d i s t i n c t z e r o so f q w i t h m u l t i p l i c i t i e s 1 3 1 , . . . , 1 3 m . I f G i s a n o p e n s e t i n C t h a tc o n t a i n s n o n e o f t h e p o i n t s a 1 b 1 , . . . , s h o w t h a t t h e r e i sa n a n a l y t i c b r a n c h o f l o g r ( z ) i f a n d o n l y i f f o r e v e r y c l o s e d r e c t i f i a b l ep a t h i n G .

0 = — : b ) .

§ 4 A n a l y t i c A r c s a n d t h e R e f l e c t i o n P r i n c i p l e

I f i s a r e g i o n a n d f : D — ' i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n , u n d e r w h a t c i r c u m -s t a n c e s c a n f b e a n a l y t i c a l l y c o n t i n u e d t o a n e i g h b o r h o o d o f c I U I ? T h i sq u e s t i o n i s a d d r e s s e d i n t h i s s e c t i o n . B u t f i r s t , r e c a l l t h e S c h w a r z R e f l e c t i o nP r i n c i p l e ( 9 . 1 . 1 ) w h e r e a n a n a l y t i c f u n c t i o n i s e x t e n d e d a c r o s s t h e r e a l l i n e



1 3 . 4 . A n a l y t i c A r c s a n d t h e R e f l e c t i o n P r i n c i p l e

p r o v i d e d i t i s r e a l - v a l u e d o n t h e l i n e . I t i s p r o b a b l y n o s u r p r i s e t h a t t h i sc a n b e g e n e r a l i z e d b y e x t e n d i n g f u n c t i o n s a c r o s s a c i r c l e ; t h e d e t a i l s a r e

g i v e n b e l o w . I n t h i s s e c t i o n m o r e e x t e n s i v e f o r m u l a t i o n s o f t h e R e f l e c t i o n

P r i n c i p l e a r e f o r m u l a t e d . T h e r e l e v a n t c o n c e p t i s t h a t o f a n a n a l y t i c a r c .B e f o r e a d d r e s s i n g t h i s i s s u e , w e w i l l c o n c e n t r a t e o n c i r c l e s .S u p p o s e C i s a n y r e g i o n t h a t d o e s n o t i n c l u d e 0 . I f z E G } ,

t h e n i s t h e r e f l e c t i o n o f C a c r o s s t h e u n i t c i r c l e O D . I f f i s a n a n a l y t i c

f u n c t i o n o n G , t h e n f d e f i n e s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o nS i m i l a r l y i f C i s a n y r e g i o n a n d a i s a p o i n t n o t i n C , t h e n f o r s o m e r a d i u sr > O

4 . 1I ) I .

i s t h e r e f l e c t i o n o f C a c r o s s t h e c i r c l e O B ( a ; r ) . N o t e t h a t a G # a n d= C . I f I i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n C a n d G # i s a s a b o v e , t h e n

4 . 2 f # ( C ) f ( C + L )

i s a n a l y t i c o n H e r e i s o n e e x t e n s i o n o f t h e R e f l e c t i o n P r i n c i p l e .4 . 3 P r o p o s i t i o n . I f C i s a r e g i o n i n C , a g C , a n d G C # , l e t

G f l B ( a ; r ) , G 0 G f l O B ( a ; r ) , a n d G . . . 1 f f : G ÷ u0 0 — p C i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n t h a t i s a n a l y t i c o n f ( G 0 ) ç R , a n df # : C — ' C i s d e f i n e d b y l e t t i n g f # ( z ) = f ( z ) f o r z i n 0 ÷ U G 0 a n d l e t t i n gf # ( z ) b e d e f i n e d a s i n ( 4 . 2 ) f o r z i n G _ , t h e n f # i s a n a n a l y t i c

f I i s a c o n f o r m a l

e q u i v a l e n c e .P r o o f . E x e r c i s e 0

T h e r e s t r a i n t i n t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n t h a t f i s r e a l - v a l u e d o n 0 0c a n a l s o b e r e l a x e d .

4 . 4 P r o p o s i t i o n . I f G i s a r e g i o n i n C , a 0 , a n d G = C # , l e t C . . . ,C o b e a s i n t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n . 1 f f : 0 ÷ U C 0 — + C i s a c o n t i n u o u s

f u n c t i o n t h a t i s a n a l y t i c o n G ÷ a n d t h e r e i s a p o i n t a n o t i n f ( G ÷ ) a n da p > 0 s u c h t h a t 1 ( G 0 ) c t 9 B ( a ; p ) l e s s o n e p o i n t a n d i f f # : C C i s

d e f i n e d b y l e t t i n g f # ( z ) = f ( z ) o n U G o a n d

f # ( z ) _ a + p

I \f ( a + 1 -\ z — a j

f o r z i n C _ . t h e n f # i s a n a l y t i c . 1 f f i s o n e - t o - o n e a n d f ( C ÷ ) i s c o n t a i n e de n t i r e l y i n e i t h e r t h e i n s i d e o r t h e o u t s i d e o f B ( c x ; p ) , t h e n f # i s a c o n f o r m a le q u i v a l e n c e .



1 8 1 3 . R e t u r n t o B a s i c s

P r o o f . L e t T b e a M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n t h a t m a p s O B ( a ; p ) o n t o I t U{ o o } a n d t a k e s t h e m i s s i n g p o i n t t o 0 0 ; S O T o f s a t i s f i e s t h e h y p o t h e s i s o ft h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n . T h e r e s t o f t h e p r o o f i s a n e x e r c i s e . 0

4 . 5 D e f i n i t i o n . I f i s a r e g i o n a n d L i s a c o n n e c t e d s u b s e t o f O f l , t h e n L i sa f r e e a n a l y t i c b o u n d a r y a r c o f i f f o r e v e r y w i n L t h e r e i s a n e i g h b o r h o o dA o f w a n d a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e h : D - . A s u c h t h a t :

( a ) h ( 0 ) =

( b ) h ( — 1 , 1 ) = L f l A ;( c )

N o t e t h a t t h e a b o v e d e f i n i t i o n i m p l i e s t h a t f l f l A i s a s i m p l y c o n n e c t e dr e g i o n . T h e f i r s t r e s u l t a b o u t f r e e a n a l y t i c b o u n d a r y a r c s i s t h a t e v e r y a r ci n Ô D i s a f r e e a n a l y t i c b o u n d a r y a r c o f D , a w e l c o m e r e l i e f . M o s t o f t h ep r o o f i s l e f t t o t h e r e a d e r . T h e s y m b o l H ÷ i s u s e d t o d e n o t e t h e u p p e r h a l fp l a n e , { z : I m z > O } .

4 . 6 L e m m a . I f w E O D a n d e > 0 , t h e n t h e r e i s a n e i g h b o r h o o d V o f ws u c h t h a t V B ( w ; e ) a n d t h e r e i s c o n f o r m a l h : D - e V s u c ht h a t h ( 0 ) = w , h ( — 1 , 1 ) = V f l Ô D ,

a n d t h a t p a s s e s t h r o u g h a a n d a l i e s i n s i d eB ( 1 ; e ) . L e t h b e t h e M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n t h a t t a k e s 0 t o 1 , 1 t o a ,

a n d o o t o — 1 . i t i s n o t h a r d t o s e e t h a t = O D a n d = D . I fh ( O D ) = C a n d V i s t h e i n s i d e c i r c l e C , t h e n t h e s e f u l f i l l t h e p r o p e r t i e ss t a t e d i n t h e c o n c l u s i o n o f t h e l e m m a . T h e d e t a i l s a r e l e f t t o t h e r e a d e r .0

T h e n e x t l e m m a i s u s e f u l , t h o u g h i t s p r o o f i s e l e m e n t a r y . I t s a y s t h a ta b o u t e a c h p o i n t i n a f r e e a n a l y t i c b o u n d a r y a r c t h e r e i s a n e i g h b o r h o o db a s i s c o n s i s t i n g o f s e t s s u c h a s a p p e a r i n t h e d e f i n i t i o n .

4 . 7 L e m m a . I f L i s a f r e e b o u n d a r y a r c o f w E L , a n d U i s a n yn e i g h b o r h o o d o f i . ' , t h e n t h e r e i s a n e i g h b o r h o o d A o f w i h A U a n d ac o n f o r m a l e q u i v a l e n c e h : D A s u c h t h a t :

( a ) h ( 0 ) =( b ) h T ( — 1 , 1 ) =( c )

P r o o f . A c c o r d i n g t o t h e d e f i n i t i o n t h e r e i s a n e i g h b o r h o o d A o f a n d ac o n f o r m a l e q u i v a l e n c e k : D — + A w i t h k ( 0 ) = w , k ( — 1 , 1 ) = A n L , a n d

1 3 . 4 . A n a l y t i c A r c s a n d t h e R e f l e c t i o n P r i n c i p l e

k ( D ÷ ) = C I f l A . T h e c o n t i n u i t y o f k i m p l i e s t h e e x i s t e n c e o f r , 0 < r < 1 ,s u c h t h a t k ( r D ) U . L e t = k ( r D ) a n d d e f i n e h D — + A b y h ( z ) = k ( r z ) .I t i s l e f t t o t h e r e a d e r t o c h e c k t h a t h a n d h a v e t h e d e s i r e d p r o p e r t i e s .

04 . 8 T h e o r e m . L e t C a n d C l b e r e g i o n s a n d l e t J a n d L b e f r e e a n a l y t i c

b o u n d a r y a r c s i n 8 ( 3 a n d O C 1 , r e s p e c t i v e l y . I f / i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o no n C U J t h a t i s a n a l y t i c o n C , f ( C ) C l , a n d 1 ( J ) c L , t h e n f o r a n yc o m p a c t s e t K c o n t a i n e d i n J , / h a s a n a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n t o a n o p e n

s e t c o n t a i n i n g C U K .

P r o o f . L e t z/ ( z ) ;

L . B y d e f i n i t i o n t h e r e i s an e i g h b o r h o o d o f w a n d a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e : D s u c h t h a t

= w , 1 ) = & n L , a n d = B y c o n t i n u i t y , t h e r ei s a n e i g h b o r h o o d a b o u t z s u c h t h a t I ( ( J r f l c i C ) = I n ( C u J ) ) c& f l c i C l = & f l ( C l U L ) . S i n c e J i s a f r e e a n a l y t i c b o u n d a r y a r c , t h e

p r e c e d i n g l e m m a i m p l i e s t h i s n e i g h b o r h o o d c a n b e c h o s e n s o t h a t t h e r e i sa c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e I c 2 : D — ' w i t h k 2 ( O ) = z , k 2 ( — 1 , 1 ) = U 2 f l J ,a n d k 2 ( l l ) ÷ ) = U 2 f l G .

T h u s 9 z 0 1 0 I c 2 i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o n D ÷ U ( — 1 , 1 ) t h a t i sa n a l y t i c o n a n d r e a l v a l u e d o n ( — 1 , 1 ) . I n f a c t , g 2 ( — 1 , 1 ) ( — 1 , 1 ) a n dA c c o r d i n g t o P r o p o s i t i o n 4 . 3 , h a s a n a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n

t o D . F r o m t h e f o r m u l a f o r g 2 # w e h a v e t h a t ç D . T h u s f ta k ; 1 i s a w e l l d e f i n e d a n a l y t i c f u n c t i o n o n L I 2 t h a t e x t e n d s / ( U 2 1 1 ( 3 ) .

E x t e n d I t o a f u n c t i o n I o n G U U Z b y l e t t i n g f = i o n C a n d 1 f t o nU 2 . I t i s e a s y t o s e e t h a t t h e s e t w o d e f i n i t i o n s o f f a g r e e o n t h e o v e r l a p s ot h a t I i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n C U U 2 .

N o w c o n s i d e r t h e c o m p a c t s u b s e t K o f J a n d f r o m t h e o p e n c o v e r { U 2 :z E K } e x t r a c t a f i n i t e s u b c o v e r { U , 1 j n } w i t h c o r r e s p o n d i n g

a n a l y t i c f u n c t i o n s : C u U , — . C s u c h t h a t 1 , e x t e n d s I . W r i t e K a s t h eu n i o n K 1 U K , , , w h e r e e a c h K , i s a c o m p a c t s u b s e t o f U , . ( T h e e a s i e s t

w a y t o d o t h i s i s t o c o n s i d e r a p a r t i t i o n o f u n i t y o n K s u b o r d i n a t e t o{ U , } ( s e e P r o p o s i t i o n 1 8 . 2 . 4 b e l o w ) a n d p u t K , { z E K : b , ( z ) 1 / n } . )

N o t e t h a t i f i t o c c u r s t h a t U 1 n U J 0 b u t U 1 1 1 U , f l G = 0 , t h e n K , n K , = 0 .I n d e e d , i f t h e r e i s a p o i n t z i n K 1 1 1 K , , t h e n z b e l o n g s t o t h e o p e n s e t U 1 f l U ,

a n d s o U 1 f l U , 1 1 C 0 . T h u s r e p l a c i n g a n d U , b y s m a l l e r o p e n s e t s t h a ts t i l l c o n t a i n t h e c o r r e s p o n d i n g c o m p a c t s e t s K 2 a n d K , , w e m a y a s s u m e

t h a t w h e n e v e r U 1 f l U , 0 w e h a v e t h a t U 1 1 1 U , f l C 0 .S o i f U 1 1 1 U , 0 , f t a n d f , a g r e e o n ( J 1 1 1 U , 1 1 ( 3 w i t h f ; t h u s t h e t w o

e x t e n s i o n s m u s t a g r e e o n U 1 1 1 L I , . T h u s w e c a n o b t a i n a n e x t e n s i o nI t o C u 1 U , , w h i c h i s a n o p e n s e t c o n t a i n i n g G u l ( . 0

W e c l o s e t h i s s e c t i o n w i t h a r e f l e c t i o n p r i n c i p l e f o r h a r m o n i c f u n c t i o n s .F i r s t w e a t t a c k t h e d i s k .

4 . 9 L e m m a . L e t u b e a c o n t i n u o u s r e a l - v a l u e d f u n c t i o n o n c I D t h a t i s

2 0 1 3 . R e t u r n t o B a s i c s

h O n i c o n D . I f t h e r e i s a n o p e n a r e J i n O D S u c h t h a t u u c o n s t a n t o nJ , t h e n t h e r e i s a r e g i o n W c o n t a i n i n g D U J a n d a h a r m o n i c f u n c t i o n u 1o n W s u c h t h a t u 1 u o n D U J .

P r o o f ./ 3 } , w h e r e a < / 3 B y u s i n g t h e P o i s s o n k e r n e l w e k n o w t h a t

u ( z ) = j P r ( 9 — t ) u ( e " ) d t

= { J " + f } P r ( O _ t ) u ( e " ) d t2 i r $

f o r z = r e ' i n D ( 1 0 . 2 . 9 ) . M o r e o v e r o n D , u = R e f w h e r e f i s t h e a n a l y t i cf u n c t i o n o n W C \ [ O D \ J J d e f i n e d b y

1 r " i i tf ( z ) = — j e Z u ( e l t ) d t .

— z

T h u s u 1 = R e f i s t h e s o u g h t f o r h a r m o n i c e x t e n s i o n . 0

4 . 1 0 T h e o r e m . S u p p o s e G i s a r e g i o n a n d J i s a f r e e a n a l y t i c b o u n d a r ya r c o f G . I f u : G U J R i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n t h a t i s h a r m o n i c i n Ga n d c o n s t a n t o n J , t h e n f o r a n y c o m p a c t s u b s e t K o f J , u h a s a h a r m o n i ce x t e n s i o n u 1 o n a r e g i o n W t h a t c o n t a i n s G U K .

P r o o f . T h e p r o o f i s s i m i l a r t o t h a t o f T h e o r e m 4 . 8 ; t h e d e t a i l s a r e l e f t t ot h e r e a d e r . 0

H e r e i s a s p e c i a l t y p e o f f i n i t e l y c o n n e c t e d r e g i o n .

4 . 1 1 D e f i n i t i o n . A r e g i o n C i s a J o r d a n r e g i o n o r J o r d a n d o m a i n i f i ti s b o u n d e d a n d t h e b o u n d a r y o f C c o n s i s t s o f a f i n i t e n u m b e r o f p a i r w i s ed i s j o i n t c l o s e d J o r d a n c u r v e s , i f t h e r e a r e n + 1 c u r v e s ' Y l , . . . t h a tm a k e u p t h e b o u n d a r y o f C , t h e n C i s c a l l e d a n n - J o r d a n r e g i o n .

S i n c e C i s a s s u m e d c o n n e c t e d , i t f o l l o w s t h a t o n e o f t h e s e c u r v e s f o r m st h e b o u n d a r y o f t h e p o l y n o m i a l c o n v e x h u l l o f c i C ; d e n o t e t h i s c u r v e b y 7 0a n d r e f e r t o i t a s t h e o u t e r b o u n d a r y o f C . I t t h e n f o l l o w s t h a t t h e i n s i d e s o ft h e r e m a i n i n g c u r v e s a r e p a i r w i s e d i s j o i n t . T h u s t h e c u r v e s c a n b e s u i t a b l yo r i e n t e d s o t h a t r = . i s a p o s i t i v e J o r d a n s y s t e m .

4 . 1 2 D e f i n i t i o n . S a y t h a t a J o r d a n c u r v e ' y i s a n a n a l y t i c c u r v e i f t h e r ei s a f u n c t i o n f a n a l y t i c i n a n e i g h b o r h o o d o f O D s u c h t h a t " y = 1 ( 0 1 ) ) .

S a y t h a t a J o r d a n r e g i o n i s a n a n a l y t i c J o r d a n r e g i o n i f e a c h o f t h e c u r v e sf o r m i n g t h e b o u n d a r y o f C i s a n a n a l y t i c c u r v e .

I t i s e a s y t o s e e t h a t f o r a n a n a l y t i c J o r d a n r e g i o n e v e r y a r c i n i t s b o u n d -a r y i s a f r e e a n a l y t i c b o u n d a r y a r c . A n a p p l i c a t i o n o f T h e o r e m 4 . 1 0 ( a n d

1 3 . 5 . B o u n d a r y V a l u e s 2 1

P r o p o s i t i o n 1 . 8 ) p r o v e s t h e f o l l o w i n g t w o r e s u l t s . T h e d e t a i l s a r e l e f t t o t h er e a d e r .

4 . 1 3 C o r o l l a r y . L e t G b e a n a n a l y t i c J o r d a n r e g i o n w i t h b o u n d a r y c u r v e s

I f u i s a c o n t i n u o u s r e a l - v a l u e d f u n c t i o n o n C u ' r n y , t h a t i sh a r m o n i c o n G a n d u i s a c o n s t a n t o n ' Y j , t h e n t h e r e i s a n a n a l y t i c J o r d a nr e g i o n C 1 c o n t a i n i n g C U a n d a h a r m o n i c f u n c t i o n

u o n C .

4 . 1 4 C o r o l l a r y . J I G i s a n a n a l y t i c J o r d a n r e g i o n a n d u : c i C — + R i s ac o n t i n u o u s f u n c t i o n t h a t i s h a r m o n i c o n C a n d c o n s t a n t o n e a c h c o m p o n e n to f t h e b o u n d a r y o f C , t h e n u h a s a h a r m o n i c e x t e n s i o n t o a n a n a l y t i c

J o r d a n r e g i o n c o n t a i n i n g d C .A s w a s p o i n t e d o u t a b o v e , i f C i s a n a n a l y t i c J o r d a n r e g i o n a n d z E O G ,

t h e n t h e r e i s a n e i g h b o r h o o d U o f z s u c h t h a t U f l Ô G i s a f r e e a n a l y t i cb o u n d a r y a r c . T h e c o n v e r s e i s a l s o t r u e . I f C i s a J o r d a n r e g i o n a n d e v e r y

p o i n t o f t h e b o u n d a r y h a s a n e i g h b o r h o o d t h a t i n t e r s e c t s 3 0 i n a n a n a l y t i cJ o r d a n b o u n d a r y a r c , t h e n C i s a n a n a l y t i c J o r d a n r e g i o n . T h i s i s a n o t h e ro f t h o s e r e s u l t s a b o u t s u b s e t s o f t h e p l a n e t h a t s e e m o b v i o u s b u t r e q u i r e a

s u r p r i s i n g a m o u n t o f w o r k t o p r o p e r l y p r o v e . S e e M i n d a [ 1 9 7 7 ] a n d J e n k i n s[ 1 9 9 1 ] .

E x e r c i s e s

1 . L e t C , A , a n d Q b e s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n s a n d l e t f : C — + A b e ac o n f o r m a l e q u i v a l e n c e s a t i s f y i n g t h e f o l l o w i n g : ( a ) C D a n d C

( b ) A a n d A ( c ) 1 ( D ) = I f J i s a n y o p e n a r c o f G f l 3 D ,1 ( J ) i s a f r e e a n a l y t i c b o u n d a r y a r c o f

2 . P r o v e T h e o r e m 4 . 1 0 .

3 . G i v e t h e d e t a i l s o f t h e p r o o f o f C o r o l l a r i e s 4 . 1 3 a n d 4 . 1 4 .

§ 5 B o u n d a r y V a l u e s f o r B o u n d e d A n a l y t i c F u n c t i o n s

I n t h i s s e c t i o n w e w i l l s t a t e t h r e e t h e o r e m s a b o u t b o u n d e d a n a l y t i c f u n c -t i o n s o n D w h o s e p r o o f s w i l l b e p o s t p o n e d . B o t h t h e s t a t e m e n t s a n d t h e

p r o o f s o f t h e s e r e s u l t s i n v o l v e m e a s u r e t h e o r y , t h o u g h t h e s t a t e m e n t s o n l yr e q u i r e a k n o w l e d g e o f a s e t o f m e a s u r e 0 , w h i c h w i l l b e e x p l a i n e d h e r e .

L e t U b e a ( r e l a t i v e l y ) o p e n s u b s e t o f t h e w i l t c i r c l e , 3 D . H e n c e U i st h e u n i o n o f a c o u n t a b l e n u m b e r o f p a i r w i s e d i s j o i n t o p e n a r c s ( . J k } . L e t

J k = { e ' 9 : < 9 < b k ) , 0 < b k — a k < 2 i r . D e f i n e t h e l e n g t h o f 4 b y=

2 2 1 3 . R e t u r n t o B a s i c s

5 . 1 D e f i n i t I o n . A s u b s e t E o f 8 D h a s m e a s u r e z e ' v i f f o r e v e r y e > O t h e r ei s a n o p e n s e t U E w i t h t ( U ) < e .

T h e r e a r e s o m e e x e r c i s e s a t t h e e n d o f t h i s s e c t i o n d e s i g n e d t o h e l p t h en e o p h y t e f e e l m o r e c o m f o r t a b l e w i t h t h e c o n c e p t o f a s e t o f m e a s u r e 0 . I np a r t i c u l a r y o u a r e a s k e d t o s h o w t h a t c o u n t a b l e s e t s h a v e m e a s u r e 0 . T h e r e

a r e , h o w e v e r , s o m e u n c o u n t a b l e s e t s w i t h m e a s u r e 0 . F o r e x a m p l e , i f C i st h e u s u a l C a n t o r t e r n a r y s e t i n [ 0 , 1 1 a n d E = : t E C } , t h e n E i s a nu n c o u n t a b l e c l o s e d p e r f e c t s e t h a v i n g m e a s u r e 0 .

A s t a t e m e n t w i l l b e s a i d t o h o l d a l m o s t e v e r y w h e r e o n O D i f i t h o l d sf o r a l l a i n a s u b e e t X o f O D a n d O D \ X h a s m e a s u r e 0 ; a l t e r n a t e l y , i t

i s s a i d t h a t t h e s t a t e m e n t h o l d s f o r a l m o s t e v e r y a i n 8 1 ) . F o r e x a m p l e , i ff : 8 D — C i s s o m e f u n c t i o n , t h e n t h e s t a t e m e n t t h a t i s d i f f e r e n t i a b l ea l m o s t e v e r y w h e r e m e a n s t h a t t h e r e i s a s u b s e t X o f 8 0 s u c h t h a t O D \ Xh a s m e a a u r e o a n d f ' ( a ) e x i s t s f u r a l l a i n X ; a l t e r n a t e l y , f ' ( o ) e x i s t s f o ra l m o s t e v e r y a i n 8 0 . T h e w o r d s " a l m o s t e v e r y w h e r e " a r e a b b r e v i a t e d b ya . e . .

l f f : D — C i s a n y f u n c t i o n a n d e ' E O D , t h e n f b a s a n z d i a l l i m i t a te 0 i f a s r 1 — , t h e l i m i t o f e x i s t s a n d i s f i n i t e . T h e n e x t t h r e et h e o r e m s w i l l b e p r o v e d l a t e r i n t h i s b o o k . I m m e d i a t e l y a f t e r t h e s t a t e m e n to f e a c h r e s u l t t h e l o c a t i o n o f t h e p r o o f w i l l b e g i v e n .

5 . 2 T h e o r e m . I f / : D - . C i s a b o u n d e d a n a l y t i c f u n c t i o n , t h e n f h a sr a d i a l l i m i t s a l m o s t e v e r y w h e r e o n 8 1 ) .

T h i s i s a s p e c i a l c a s e o f T h e o r e m 1 9 . 2 . 1 2 b e l o w .I f f i s a b o u n d e d a n a l y t i c f u n c t i o n d e f i n e d o n 1 ) , t h e n t h e ' v a l u e s o f t h e

r a d i a l l i m i t s o f f , w h e n t h e y e x i s t , w i l l a l s o b e d e n o t e d b y u n l e s s i t i sf e l t t h a t i t i s n e c e s s a r y t o m a k e a d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e a n a l y t i c f u n c t i o nd e f i n e d o n 1 ) a n d i t s r a d i a l l i m i t 8 . N o t i c e t h a t f b e c o m e s a f u n c t i o n d e f i n e da . e . o n Ô D .

5 . 3 T h e o r e m . 1 f f : D - . C i s a b o u n d e d a n a l y t i c f u n c t i o n a n d t h e r a d i a ll i m i t s o f f e x i s t a n d a r e z e r o o n a s e t o f p o s i t i v e m e a s u r e , t h e n / 0 .

T h i s r e s u l t i s t r u e f o r a c l a s s o f a n a l y t i c f u n c t i o n s t h a t i s l a r g e r t h a n t h eb o u n d e d o n e s . T h i s m o r e g e n e r a l r e s u l t i s s t a t e d a n d p r o v e d i n C o r o l l a r y2 0 . 2 . 1 2 .

S o , i n p a r t i c u l a r , t h e p r e c e d i n g t h e o r e m s a y s t h a t i t i s i m p o s s i b l e f o ra n n o n - c o n s t a n t a n a l y t i c f u n c t i o n f d e f i n e d o n 1 ) t o h a v e a c o n t i n u o u se x t e n s i o n f : c l D — i C s u c h t h a t f v a n i s h e s o n s o m e a r c o f O D . T h i ss p e c i a l c a s e w i l l b e u s e d i n s o m e o f t h e p r o o f s p r e c e d i n g s o i t i sw o r t h n o t i n g t h a t t h i s i s a d i r e c t c o n s e q u e n c e o f t h e S c h w a r z R e f l e c t i o n

P r i n c i p l e . I t t u r n s o u t t h a t s u c h a f u n c t i o n t h a t i s c o n t i n u o u s o n c i 1 ) a n da n a l y t i c i n s i d e c a n h a v e m o r e t h a n a c o u n t a b l e s e t o f z e r o s w i t h o u t b e i n gc o n s t a n t l y 0 . T h a t , h o w e v e r , i s a n o t h e r s t o r y .

1 3 . 5 . B o u n d a r y V a l u e s 2 3

F i g u r e 1 3 . 1 .

W e n o w c o n s i d e r a m o r e g e n e r a l t y p e o f c o n v e r g e n c e f o r a f u n c t i o n a s t h ev a r i a b l e a p p r o a c h e s a b o u n d a r y p o i n t . F i x 0 , 0 9 2 i r , a n d c o n s i d e r t h ep o r t i o n o f t h e o p e n u n i t d i s k D c o n t a i n e d i n a n a n g l e w i t h v e r t e x = a ,

s y m m e t r i c a b o u t t h e r a d i u s z = r a , 0 r 1 , a n d h a v i n g o p e n i n g 2 a ,w h e r e 0 < a < S e e F i g u r e 1 3 . 1 .

C a l l s u c h a r e g i o n a S t o i z a n g l e w i t h v e r t e x a a n d o p e n i n g a . T h e v a r i a b l e

z i s s a i d t o a p p r o a c h a n o n - t a n g e n t i a l l y i f z - . a t h r o u g h S t o l z a n g l e .T h i s w i l l b e a b b r e v i a t e d z a ( n . t . ) . S a y t h a t f h a s a n o n - t a n g e n t i a l

t h r o u g h a n y S t o l z a n g l e w i t h v e r t e x a .

5 . 4 T h e o r e m . L e t 7 : 1 0 , 1 1 - , C b e a n a r c w i t h 7 ( 1 0 , 1 ) ) c D a n d s u p p o s ee n d s a t t h e p o i n t 7 ( 1 ) = a i n 8 1 ) . I f / : D C i s a b o u n d e d a n a l y t i c

f u n c t i o n s u c h t h a t f ( 7 ( t ) ) — ' a a s t - . 1 — , t h e n / h a s n o n - t a n g e n t i a l l i m i t

a a t a .

5 . 5 C o r o l l a r y . I f a b o u n d e d a n a l y t i c f u n c t i o n / h a s r a d i a l l i m i t a t a i n8 D , t h e n / h a s n o n - t a n g e n t i a l l i m i t ( a t a .

T h e o r e m 5 . 4 w i l l b e p r o v e d h e r e , b u t r e s u l t s ( E x e r c i s e s 6 a n d 7 ) a r en e e d e d t h a t h a v e n o t y e t b e e n p r o v e d . T h e s e w i l l b e p r o v e d l a t e r i n m o r eg e n e r a l i t y , b u t t h e s p e c i a l c a s e s n e e d e d a z e w i t h i n t h e g r a s p o f t h e r e a d e r

u s i n g t h e m e t h o d s o f t h e f i r s t v o l u m e . F o r t h e p r o o f a l e m m a i s n e e d e d . I nt h i s l e m m a a n d t h e p r o o f o f ( 5 . 4 ) , t h e S t o l z a n g l e a t z = 1 o f o p e n i n g 2 6i s d e n o t e d b y

5 . O L e n ' n i ' u . S u p p o s e o < r < 1 , B = B ( 1 ; r ) , I Z = B f l D , a n d l = { z €I m : 0 a n d I z I = 1 ) . I f w i s t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m

w i t h b u n d a e s t h e n f o r e v e n j c > 0 , t h e r e i s a p , O < p < r , s u c ht h a t i f I z — < p , 0 < 6 < , r / 2 , a n d z E S 6 , t h e n w ( z ) ( 1 / 2 ) — 6 / j r — e .

P r o o f . F o r w i n I l , l e t E ( 0 , 1 ) s u c h t h a t i r 4 i ( w ) i s t h e a n g l e f r o m t h ev e r t i c a l l i n e R e z = 1 c o u n t e r c l o c k w i s e t o t h e l i n e p a s s i n g t h r o u g h 1 a n dw . I t c a n b e v e r i f i e d t h a t = a r g ( — i ( w — 1 ) ) . T h u s 4 i s h a r m o n i c

2 4 1 3 . R e t u r n t o B a s i c s

f o r R e w < 1 a n d c o n t i n u o u s o n c i D \ ( 1 } . L e t b e t h e e n d p o i n t o f t h ea r c I d i f f e r e n t f r o m 1 .

C l a i m . i f w e d e f i n e— w ) ( 1 ) = 0 , t h e n — : c i c i — ' R i s c o n t i n u o u s

e x c e p t a t ( .

S i n c e i s h a r m o n i c o n a n d i s t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e mf o r i t s b o u n d a r y v a l u e s , w e n e e d o n l y v e r i l y t h a t — w ) : 0 D — . R i s

c o n t i n u o u s e x c e p t f o r t h e p o i n t ( ; b y E x e r c i s e 6 t h e o n l y p o i n t i n d o u b th e r e i s w = 1 . S u p p o s e i n — , 1 w i t h 1 m w < 0 . H e r e — ' 1 a n di s c o n s t a n t l y 1 . N o w s u p p o s e i n 1 w i t h 1 m w > 0 . H e r e 0 a n d

w ( w ) i s c o n s t a n t l y 0 . T h u s t h e c l a i m .T o f i n i s h t h e p r o o f o f t h e l e m m a , l e t p > 0 s u c h t h a t I w ( z ) — < ef o r z i n c i c i a n d z S 6 , t h e n ( 1 / 2 ) — 5 / i r . T h u sw ( z ) w ( z ) — + ( 1 / 2 ) — — e . 0

P r o o f o f T h e o r e m 5 . 4 . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y w e m a y a s s u m e t h a ta = 1 , a = 0 , a n d l f ( z ) I 1 f o r I z i < 1 . 1 ( 0 < r < 1 t h e r e i s a n u m b e rt , . < 1 s u c h t h a t 3 7 ( t ) — < , - f o r t r < t < 1 a n d — f . L e t

d e n o t e t h e c u r v e r e s t r i c t e d t o [ t v , I f e > 0 , t h e n r c a n b e c h o s e n s ot h a t < e f o r t , . t < 1 . F i x t h i s v a l u e o f r a n d l e t c i = D f l B ( 1 ; r ) .A s i n t h e p r e c e d i n g l e m m a , l e t = { z O i l u n z 0 a n d = 1 ) a n d1 2 = { z E O i l : l z n z 0 a n d I z I = 1 } . F o r k = 1 , 2 l e t W k b e t h e s o l u t i o no f t h e D i r i c h l e t p r o b l e m w i t h b o u n d a r y v a l u e s x i 1 ; s o b y E x e r c i s e 6 , I S

c o n t i n u o u s o n c i c i e x c e p t a t t h e e n d p o i n t s o f t h e a r c

C l a i m . F o r z i n c i , — l o g — ( l o g e ) w 2 ( z ) } .

O n c e t h i s c l a i m i s p r o v e d , t h e t h e o r e m f o l l o w s . I n d e e d , t h e p r e c e d i n gl e m m a i m p l i e s t h a t t h e r e i s a p , 0 < p < r , s u c h t h a t i f i f < p , 0 <. 5 < i r / 2 , a n d z E S o , t h e n f o r k = 1 , 2 , w k ( z ) ( 1 / 2 ) — 5 / i r — e . ( O b s e r v et h a t = H e n c e — l o g I f ( z ) I — ( l o g e ) [ ( 1 / 2 ) — 6 / i r — e J f o r

I z — 1 I < p a n d z E S 0 . T h e r e f o r e f o r s u c h z , I f ( z ) I < e e x p ( ( 1 / 2 ) — 6 / i r — e ] ,w h i c h c a n b e m a d e a r b i t r a r i l y s m a l l .

T o p r o v e t h e c l a i m , l e t v ( z ) = ( l o g I f ( z ) I ) / l o g e ; s o v i s a s u p e r h a r m o n i c

f u n c t i o n o n i l , v ( z ) O f o r a l l z i n i l , a n d v ( 7 ( t ) ) > 1 f o r t , . < t < 1 . S oi f z E ' y 1 1 c i , t h e n v ( z ) 1 W k ( Z ) . S u p p o s e t h a t z E c i \ a n d l e t Ub e t h e c o m p o n e n t o f c i \ ' y t h a t c o n t a i n s z . L e t ( k b e t h e e n d p o i n t o f t h e

a r c I k d i f f e r e n t f r o m 1 . L e t b e t h e p a t h t h a t s t a r t s a t 1 , g o e s a l o n g O Di n t h e p o s i t i v e d i r e c t i o n t o t h e p o i n t ( 2 , t h e n c o n t i n u e s a l o n g O B u n t i l i tm e e t s y ( t , . ) . S i m i l a r l y l e t 0 2 b e t h e p a t h t h a t s t a r t s a t ' y ( t r ) , g o e s a l o n gO B i n t h e p o s i t i v e d i r e c t i o n t o t h e p o i n t t h e n c o n t i n u e s a l o n g 0 D i n

t h e p o s i t i v e d i r e c t i o n t o t h e p o i n t 1 . N o t e t h a t a n d 0 2 t o g e t h e r f o r mt h e e n t i r e t y o f t h e b o u n d a r y o f C I . L e t r 1 = + d y , . a n d r 2 — S O

n ( r 1 ; z ) + n ( r 2 ; z ) = n ( 8 C l ; z ) = 1 . T h u s z ) 0 f o r a t l e a s t o n e v a l u e

1 3 . 5 . B o u n d a r y V a l u e s 2 5

o f k = 1 , 2 .S u p p o s e n ( F i ; z ) 0 . W e n o w s h o w t h a t 0 ( 1 F 1 . I n f a c t , g e n e r a l

t o p o l o g j r S 5 ) P 5 t h a t 9 ( J ç U 0 2 = F i B u t i f W i s t h e

u n b o u n d e d c o m p o n e n t o f C \ F 1 , t h e a s s u m p t i o n t h a t n ( F 1 ; z ) 0i m p l i e s

t h a t U W — 0 . A l s o 0 3 \ ç W . T h u s O U cT h i s e n a b l e s u s t o s h o w t h a t v o n U , a n d s o , i n p a r t i c u l a r , v ( z )

I n d e e d t o s h o w t h i s w e n e e d o n l y s h o w t h a t —

v ( w ) J 0 f o r a l l b u t a f i n i t e n u m b e r o f p o i n t s o n O U ( E x e r c i s e 7 ) . S u p p o s ea 8 ( 1 a n d a 1 o r ' y ( t r ) . B y t h e p r e c e d i n g p a r a g r a p h t h i s i m p l i e st h a t . a E y , o r a E o i . h a E ' y , . s o d a 1 t h e n a E D a n dv ( a ) 1 I f a E a 1 a n d a $ 1 o r ' Y ( t r ) , t h e n i s c o n t i n u o u s a t a

a n d s o w i ( w ) — ' O a s w — a . S i n c e v ( w ) 0 , 0 .I n a w a y , i f n ( F 1 ; z ) 0 , t h e n v ( z ) T h i s c o v e r s a l l t h ec a s e s a n d s o t h e c l a i m i s v e r i f i e d a n d t h e t h e o r e m i s p r o v e d . 0

T h e o r e m 5 . 4 i s c a l l e d b y s o m e t h e S e c t o ñ o i L i m i t T h e o r e m .B e c a r e f u l n o t t o t h i n k t h a t t h i s l a s t t h e o r e m s a y s m o r e t h a n i t d o e s . I n

p a r t i c u l a r , i t d o e s n o t s a y t h a t t h e c o n v e r s e i s t r u e . T h e e x i s t e n c e o f a r a d i a ll i m i t d o e s n o t i m p l y t h e e x i s t e n c e o f t h e l i m i t a l o n g a n y a r c a p p r o a c h i n g

t h e s a m e p o i n t o f O D . F o r e x a m p l e , i f f ( z ) = e x p ( ( z + 1 ) / ( z — 1 ) ) , t h e nf i s a n a l y t i c , I f ( z ) I 1 f o r a l l z i n 0 , a n d f ( t ) — , 0 a s t — , 1 — . S o t h er a d i a l l i m i t o f f a t z = 1 i s 0 . T h e r e a r e s e v e r a l w a y s o f a p p r o a r i a i n g 1 b ya s e q u e n c e o f p o i n t s ( n o t a l o n g a n a r c ) s u c h t h a t t h e v a l u e s o f / o n t h i ss e q u e n c e a p p r o a c h a n y p o i n t i n c i D .

W e w i s h n o w t o e x t e n d t h i s n o t a t i o n o f a n o n - t a n g e n t i a l l i m i t t o r e g i o n so t h e r t h a n t h e d i s k . T o a v o i d b e i n g t e d i o u s , i n t h e d i s c u s s i o n b e l o w m o s t o ft h e d e t a i l s a r e m i s s i n g a n d c a n b e e a s i l y p r o v i d e d b y t h e i n t e r e s t e d r e a d e r .F o r e x a m p l e i f g : — i C i s a b o u n d e d a n a l y t i c f u n c t i o n , i t i s c l e a r w h a ti s m e a n t b y n o n - t a n g e n t i a l l i m i t s a t p o i n t s i n ( — 1 , 1 ) ; a n d t h a t t h e r e s u l t sa b o u t t h e d i s k g i v e n e a r l i e r c a n b e g e n e r a l i z e d t o c o n c l u d e t h a t g h a s n o n -t a n g e n t i a l l i m i t a . e . o n ( — 1 , 1 ) a n d t h a t i f t h e s e l i m i t s a r e z e r o a . e . o n ap r o p e r i n t e r v a l i n ( — 1 , 1 ) , t h e n g 0 o n

f f J i s a f r e e a n a l y t i c b o u n d a r y a r c o f G a n d f : G - . C i s a b o u n d e da n a l y t i c f u n c t i o n , i t i s p o s s i b l e t o d i s c u s s t h e n o n - t a n g e n t i a l l i m i t s o f / ( z )

a s z a p p r o a c h e s a p o i n t o f J . I n d e e d , i t i s p o s s i b l e t o d o t h i s u n d e r l e s ss t r i n g e n t r e q u i r e m e n t s t h a n a n a l y t i c i t y f o r J , b u t t h i s i s a l l w e r e q u i r ea n d t h e d i s c u s s i o n b e c o m e s s o m e w h a t s i m p l i f i e d w i t h t h i s r e s t r i c t i o n . R e -c a l l ( 4 . 5 ) t h a t i f a E J , t h e r e i s a n e i g h b o r h o o d U o f a a n d a c o n f o r -m a l e q u i v a l e n c e h : D U s u c h t h a t h ( 0 ) = a , h ( — 1 , 1 ) = U f l J , a n dh ( D + ) = G n U . F o r 0 < a < i r / 2 a n d t i n ( — 1 , 1 ) , l e t C b e t h e p a r t i a l

c o n e { z E D ÷ : i r / 2 — a < a r g ( z — t ) < i r / 2 + o } w i t h v e r t e x t . S i n c e a n a -l y t i c f u n c t i o n s p r e s e r v e a n g l e s , h ( C ) i s a s u b s e t o f U b o u n d e d b y t w o a r c s

t h a t a p p r o a c h h ( t ) o n t h e a r c J a t a n a n g l e w i t h t h e t a n g e n t t o J a t h ( t ) .S a y t h a t z — + h ( t ) n o n - t a n g e n t i a l l y i f z c o n v e r g e s t o h ( t ) w h i l e r e m a i n i n gi n h ( C ) f o r s o m e a n g l e a .



2 6 1 3 . R e t u r n t o B a s i c s

S i n c e t h e M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n ( z a ) ( 1 — m a p s D t o D , D ÷ t oD . , . a n d a t o 0 , i t i s n o t h a r d t o s e e t h a t t h e d e f i n i t i o n o f n o n - t a n g e n t i a lc o n v e r g e n c e t o a p o i n t o n J i s i n d e p e n d e n t o f t h e c h o i c e o f n e i g h b o r h o o d

U a n d c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e h . T h e d e t a i l s a r e l e f t t o t h e r e a d e r .W h e n w e t a l k a b o u t s u b s e t s o f t h e a r c J h a v i n g m e a s u r e z e r o a n d t h ec o r r e s p o n d i n g n o t i o n o f a l m o s t e v e r y w h e r e o c c u r r e n c e , t h i s r e f e r s t o t h ea r c l e n g t h m e a s u r e o n J .

5 . 1 ' T h e o r e m . L e t G b e a r e g i o n w i t h J a n a l y t i c b o u n d a r i j a r e o f Ga n d l e t f : C — , C b e a b o u n d e d a n a l y t i c f u n c t i o n .

( a ) T h e f u n c t i o n f h a s a n o n - t a n g e n t i a l l i m i t a t a . e . p o i n t o f J .

( b ) I f t h e n o n - t a n g e n t i a l l i m i t o f / i s O a . e . o n a s u b a r c o f J , t h e n f 0o n G .

P r o o f . L e t U a n d h b e a s i n t h e d i s c u s s i o n o f t h e d e f i n i t i o n o f n o n -t a n g e n t i a l c o n v e r g e n c e a b o v e . T h u s f o h i s a b o u n d e d a n a l y t i c f u n c t i o no n a n d t h u s h a s n o n - t a n g e n t i a l l i m i t s a . e . o n ( — 1 , 1 ) . C l e a r l y t h i s i m -p l i e s t h a t f h a s n o n - t a n g e n t i a l l i m i t s a . e . o n J f l U . B y c o v e r i n g U w i t h a

c o u n t a b l e n u m b e r o f s u c h n e i g h b o r h o o d s , w e h a v e a p r o o f o f p a r t ( a ) . T h ep r o o f o f ( b ) i s s i m i l a r . 0

5 . 8 C o r o l l a r y . I f C i s a a n a l y t i c J o r d a n r e g i o n a n d I : C - + C i s ab o u n d e d a n a l y t i c f u n c t i o n , t h e n f h a s n o n - t a n g e n t i a l l i m i t s a . e . o n 0 G .

E x e r c i s e s1 . i f E i s a c i o s e d s u b s e t o f O D h a v i n g m e a s u r e 0 , t h e n 0 1 . ) \ E i s a n

o p e n s e t h a v i n g l e n g t h 2 i r .

2 . I f { E k } i s a c o u n t a b l e n u m b e r o f s u b s e t s o f O D h a v i n g m e a s u r e 0 ,t h e n U k E k h a s m e a s u r e 0 .

3 . E v e r y c o u n t a b l e s u b s e t o f O D h a s m e a s u r e 0 .

4 . L e t / : D — + C b e d e f i n e d S h o w t h a t/ i s a n a l y t i c , I f ( z ) I 1 f o r a l l z i n D , a n d f ( t ) — , 0 a s t — . 1 — . I f

K I 1 , f i n d a s e q u e n c e i n D s u c h t h a t z , , — . 1 a n d — .

5 . L e t a n d / 2 b e b o u n d e d a n a l y t i c f u n c t i o n s o n D a n d s u p p o s e I ,h a s a r a d i a l l i m i t a t e a c h p o i n t o f E , , w h e r e O D \ E , h a s m e a s u r e 0 .S h o w ( b y e x a m p l e ) t h a t + 1 2 a n d 1 1 1 2 m a y h a v e r a d i a l l i m i t s a t a

s e t o f p o i n t s t h a t p r o p e r l y c o n t a i n s E 1 f l E 2 .6 . ( S e e P r o p o s i t i o n 1 9 . 1 0 . 4 ) L e t F b e a r e c t i f i a b l e J o r d a n c u r v e a n d l e t

b e i t s i n s i d e . I f U : r — . R i s a b o u n d e d f u n c t i o n t h a t i s c o n t i n u o u s



1 3 . 5 . B o u n d a r y V a l u e s 2 7

e x c e p t f o r a f i n i t e n u m b e r o f p o i n t s , t h e n t h e r e i s a f u n c t i o n ü : c i 1 )K t h a t i s h a r m o n i c o n a n d c o n t i n u o u s a t e v e r y p o i n t o f r a t w h i c h

t h e b o u n d a r y f u n c t i o n u i s c o n t i n u o u s .

7 . ( S e e T h e o r e m 2 1 . 5 . 1 . b ) L e t F b e a r e c t i f i a b l e J o r d a n c u r v e a n d l e t1 2 b e i t s i n s i d e . ( M a x i m u m P r i n c i p l e ) I f u C l — . i t i s a s u b h a r -i n o n i c f u n c t i o n t h a t i s b o u n d e d a b o v e a n d M i s a c o n s t a n t s u c h t h a tu r n u ( z ) M f o r a l l b u t a f i n i t e n u m b e r o f p o i n t s a i n F , t h e nu M o n C l .



C h a p t e r 1 4

C o n f o r m a l E q u i v a l e n c e f o r

S i m p l y C o n n e c t e d R e g i o n s

I n t h i s c h a p t e r a n u m b e r o f r e s u l t s o n c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e f o r s i m p l yc o n n e c t e d r e g i o n s a r e p r e s e n t e d . T h e f i r s t s e c t i o n d i s c u s s e s e l e m e n t a r y i n -f o r m a t i o n a n d e x a m p l e s . T h e n e x t t h r e e s e c t i o n s p r e s e n t t h e b a s i c s o f t h e

t h e o r y o f p r i m e e n d s f o r t h e s t u d y o f t h e b o u n d a r y b e h a v i o r o f R i e z n a n nm a p s . T h i s w i l l b e u s e d i n § 5 t o s h o w t h a t t h e R i e m M n n m a p f r o m t h e u n i td i s k o n t o t h e i n s i d e o f a J o r d a n c u r v e c a n b e e x t e n d e d t o a h o m e o m o r p h i s m

o n t h e c l o s u r e o f t h e d i s k . T h e c h a p t e r t h e n c l o s e s w i t h a d i s c u s s i o n o f t h ef a m i l y o f a l l f u n c t i o n s t h a t a r e o n e - t o - o n e o n a s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n .

§ 1 E l e m e n t a r y P r o p e r t i e s a n d E x a m p l e s

R e c a l l t h a t a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e b e t w e e n t w o r e g i o n s C a n d Q i n t h ec o m p l e x p l a n e i s a o n e - t o - o n e a n a l y t i c f u n c t i o n / d e f i n e d o n C w i t h f ( G ) =Q . t h e f i r s t v o l u m e w e k n o w t h a t t h i s i m p l i e s t h a t f ' ( z ) 0 f o r

a l l z i n C . I f I : C - . C i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n w h o s e d e r i v a t i v e n e v e rv a n i s h e s , t h e n w e k n o w t h a t f i s n o t n e c e s s a r i l y a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e

( t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n b e i n g t h e p r i m e e x a m p l e ) . I f f ( z ) 0 o n C , i t

d o s s f o l l o w , h o w e v e r , t h a t i s l o c a l l y o n e - t o - o n e a n d f i s c o n f o r m a l .I n t h i s s e c t i o n t h e c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e s o f s o m e o f t h e s t a n d a r d r e g i o n sw i l l b e c h a r a c t e r i z e d a n d s o m e p a r t i c u l a r e x a m p l e s w i l l b e e x * m i n e d . A

s l i g h t l y w e a k e r v e r s i o n o f t h e f i r s t r e s u l t a p p e a r e d a s E x e r c i s e 1 2 . 4 . 2 .

1 . 1 P r o p o s i t I o n . I f / i s a c o n f o n n o l e q u i v a l e n c e f r o m C o n t o a s u b s e to f C , t h e n 1 ( z ) = a z + b w i t h a 0 . I n p a r t i c u l a r , t h e o n l y c o n f o r m a le q u i v a l e n c e s o f C o n t o i t s e l f a r e t h e M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n s o f t h e f o r m

/ ( z ) = o z b w i t h a 0 .P r o o f . C l e a r l y e v e r y s u c h M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n i s a c o n f o r m a l e q u i v a -l e n c e o f C o n t o S o a s s u m e t h a t f : C - , C i s a c o n f o r m a l

o n t o f ( C ) . S i n c e / ( C ) i s s i m p l y c o n n e c t e d , 1 ( C ) C . F i r s t i t w i l l b e s h o w nt h a t f ( z ) - a s z - - o o . N o t e t h a t t h l s s a y s t h a t f h a a a p o l e a t i n f l n i t ya n d h e n c e f m u s t b e a p o l y n o m i a l ( E x e r c i s e 5 . 1 . 1 3 ) . S i n c e / i s a c o n f o r m a l

e q u i v a l e n c e , i t f o l l o w s t h a t / h a s d e g r e e 1 a n d t h u s h a s t h e d e s i r e d f o r m .I f e i t h e r f ( z ) d o e s n o t e x i s t o r i f t h e l i m i t e x i s t s a n d i s f i n i t e ,



3 0 1 4 . S i m p l y C o n n e c t e d R e g i o n s

t h e n t h e r e i s a s e q u e n c e i n C s u c h t h a t o o a n d f ( z , , ) a , a ne l e m e n t o f C . B u t f - 1 : C — , C i s c o n t i n u o u s a n d s o = ( I ( z , , ) ) — ,

o o , a c o n t r a d i c t i o n . 0

T o s a y t h a t a f u n c t i o n i s a n a l y t i c i n a n e i g h b o r h o o d o f i n f i n i t y m e a n st h a t t h e r e i s a n R > 0 s u c h t h a t f i s a n a l y t i c i n { z : j z l > R } . F o r s u c ha f u n c t i o n f , f ( z 1 ) h a s a n i s o l a t e d s i n g u l a r i t y a t 0 . T h u s t h e n a t u r e à ft h e s i n g u l a r i t y o f / a t o o c a n b e d i s c u s s e d i n t e r m s o f t h e n a t u r e o f t h es i n g u l a r i t y o f f a r e m o v a b l e s i n g u l a r i t y a t0 0 i f I i s b o u n d e d n e a r o o a n d f ( o o ) = / ( z ) . I f f h a s a r e m o v a b l e

s i n r i y a t i n i l n i t y , w e w i U s a y t h a t I i s a n a l y t i c a t o o . S i m i l a r l y f h a s

/ ( o o ) = o o a n d t h i n k o f f a s a m a p p i n g o f a n e i g h b o r h o o d o f o o i n t h ee x t e n d e d p l a n e t o a n e i g h b o r h o o d o f 0 0 . T h e o r d e r o f a p o l e a t o o i s t h es a m e a s t h e o r d e r o f t h e p o l e o f

f a h o m e o m o r p h i s m t h a t i s a n a l y t i c o n\ { f ' ( o o ) } , t h e n f i s a M ö b i u s t r a n s f o n n a t i o n .

P r o o f . I f f ( o o ) = o o , t h e n t h i s r e s u l t i s i m m e d i a t e f r o m t h e p r e c e d i n gp r o p o s i t i o n . I f f ( o o ) = a $ 0 0 , t h e n g ( z ) = ( f ( z ) — a h o i n e o -

m o r p h i s m o f C 0 O n t o i t s e l f a n d g ( o o ) = 0 0 . T h u s t h e c o r o l l a r y f o l l o w s .0

1 . 3 E x a m p l e . I f f l = C \ ( — o o , f o r s o m e r > 0 , t h e n

4 r z( 1 . _ z ) 2

i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f D o n t o f l , f ( 0 ) = 0 , a n d f ' ( O ) = 4 r . T h u s Ii s t h e u n i q u e c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e h a v i n g t h e s e p r o p e r t i e s .

T h e u n i q u e n e s s i s , o f c o u r s e , a c o n s e q u e n c e o f t h e u n i q u e n e s s s t a t e m e n ti n t h e R i e m n n n M a p p i n g T h e o r e m . T o s h o w t h a t / h a s t h e s t a t e d m a p p i n gp r o p e r t i e s , l e t ' s g o t h r o u g h t h e p r o c e s s o f f i n d i n g t h e R i e m a n n m a p .

N o t e t h a t t h e M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n f i ( z ) = ( 1 + z ) ( 1 — m a p s D

o n t o { z : R e z > O } , f i ( O ) = 1 , = 0 0 , a n d f i ( — l ) = 0 . N o w/ 2 ( z ) = z 2 m a p s f l i o n t o U 2 C \ ( — o o , 0 J ; / 3 ( Z ) = r ( z — 1 ) m a p s f l 2 o n t o( 2 . T h e m a p f a b o v e i s t h e c o m p o s i t i o n o f t h e s e t h r e e m a p s .

N o t e t h a t t h e f u n c t i o n I i n E x a m p l e 1 . 3 h a s a p o l e o f o r d e r 2 a t z = 1 .a n d f h a s a r e b l e s i n g u l a r i t y a t i n f i n i t y . I n f a c t f ( o o ) = o . M o r e o v e r ,

f ( o o ) = = 4 r > 0 . S i n c e / ' ( z ) = 0 i f a n d o n l y H z = — 1 ,s e e t h a t f i s c o n f o r m a l o n C \ { ± 1 } .

T h e n e x t e x a m p l e i s m o r e t h a n t h a t .



1 4 . 1 . E l e m e n t a r y P r o p e r t i e s a n d E x a m p l e s 3 1

1 . 4 E x a m p l e . F o r = 1 d e f i n e

f ( z ) = ( 1

Z

f o r z i n D . T o f a c i l i t a t e t h e d i s c u s s i o n , d e n o t e t h i s m a p b y t o e m p h a s i z ei t s d e p e n d e n c e o n t h e p a r a m e t e r a . T h e f u n c t i o n I i i s a s p e c i a l c a s e o f t h ep r e c e d i n g e x a m p l e a n d t h u s m a p s D o n t o C \ ( — o o , — 1 / 4 J . F o r a n a r b i t r a r ya , i s t h e c o m p o s i t i o n o f t h e r o t a t i o n o f t h e d i s k b y a , f o l l o w e d b yf j , f o l l o w e d b y a r o t a t i o n o f C b y E x p l i c i t l y , f 0 ( z ) = ã f i ( a z ) . T h u s

T h e p o w e r s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n o f t h i s f u n c t i o n i s g i v e n b y

Z

( 1 — a z ) 2 n = 1

T h i s w i l l b e o f s i g n i f i c a n c e w h e n w e d i s c u s s t h e B i e b e r b a c h C o n j e c t u r e i nC h a p t e r 1 7 . A l s o s e e ( 7 . 5 ) i n t h i s c h a p t e r .

T h e f u n c t i o n i n E x a m p l e 1 . 4 f o r a = 1 i s c a l l e d t h e K o e b e f u n c t i o n a n dt h e o t h e r f u n c t i o n s f o r a r b i t r a r y a a r e c a l l e d t h e r o t a t i o n s o f t h e K o e b ef u n c t i o n .

T h e n e x t e x a m p l e w a s f i r s t s e e n a s E x e r c i s e 3 . 3 . 1 3 . T h e d e t a i l s a r e l e f tt o t h e r e a d e r .

1 . 5 E x a m p l e .

1f ( z ) = z

I a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f D o n t o w i t h / ( 0 ) = 0 0 . f f g i s a n y o t h e rs u c h m a p p i n g , t h e n g ( z ) f o r s o m e r e a l c o n s t a n t 0 .

A l s o n o t e t h a t f ( z ) = f ( z ' ) s o t h a t / m a p s t h e e x t e r i o r ( i n o f t h ec l o s e d d i s k o n t o C l .

T h e n e x t c o l l e c t i o n o f c o n c e p t s a n d r e s u l t s a p p l i e s t o a r b i t r a r y r e g i o n s ,n o t j u s t t h o s e t h a t a r e s i m p l y c o n n e c t e d . T h e y a r e g a t h e r e d h e r e b e c a u s e

t h e y w i l l b e u s e d i n t h i s c h a p t e r , b u t t h e y w i l l r e s u r f a c e i n l a t e r c h a p t e r sa s w e l l .

1 . 6 D e f i n i t I o n . I f G i s a n o p e n s u b s e t o f C a n d f : C — ' C i s a n y f u n c t i o n ,t h e u f o r e v e r y p o i n t a i n 0 0 , G t h e c l u s t e r s e t o f / a t a i s d e € n e d b y

C l u ( f ; a ) f l { c l [ f ( B ( a ; E ) f l G ) J : e > O } .

1 . 7 P r o p o s I t i o n . F o r e v e r y f u n c t i o n f , C l u ( f ; o ) i s a n o n - e m p t y c o m p a c ts u b s e t o f

C .

P r o o f . I n f a c t , t h e s e t s c i i f ( B ( a ; E ) f l G ) j f o r m a d e c r e a s i n g c o l l e c t i o no f c o m p a c t s u b s e t s o f a n d m u s t h a v e n o n - e m p t y i n t e r s e c t i o n . T h es t a t e m e n t a b o u t b o u n d e d f u n c t i o n s i s c l e a r . 0

1 . 8 P r o p o s i t i o n .B ( a ; r ) i s c o n n e c t e 4 f o r a l l r < p a n d f i s c o n t i n u o u s , t h e n C i u ( f ; a ) i s ac o m p a c t c o n n e c t e d s u b s e t o f

P r o o f . I n t h i s s i t u a t i o n t h e s e t s c L [ f ( B ( a ; e ) f l G ) J f o r m a d e c r e a s i n gc o l l e c t i o n o f c o m p a c t c o n n e c t e d s u b s e t s o f C w h e n e < p . T h e r e s u l t i s n o wi m m e d i a t e f r o m a n e l e m e n t a r y r e s u l t o f p o i n t s e t t o p o l o g y . 0

T h e p r o o f o f t h e n e x t p r o p o s i t i o n i s l e f t t o t h e r e a d e r ( E x e r c i s e 5 ) .

1 . 9 P r o p o s I t i o n . I f a E t h e n ( C I u ( f ; a ) i f a n d o n l y i f t h e r e i s as e q u e n c e m G s u c h t h a t a , , — ' a a n d f ( a , , ) — ' ( .

1 . 1 0 C o r o l l a r y . I f a E t h e n t h e l i m i t o f 1 ( z ) e x i s t s a s z a w i t h zi n G i f a n d o n l y i f C l u ( f ; a ) i s a s i n g l e p o i n t .

i l l P r o p o s i t i o n . I / f : G — , i s a h o m e o m o r p h i s m a n d a E t h e nC l u ( f ; a )

P r o o f . I f ( € C I u ( f ; a ) , l e t b e a s e q u e n c e l u G — ' aa n d f ( a , , ) — c E c i a n d i f ç f l , t h e n t h e f a c t t h a t i sc o n t i n u o u s a t i m p l i e s t h a t a = l i m , , a , , = l i m , , ( 1 ( a , , ) ) = G ,a c o n t r a d i c t i o n . 0

W e e n d t h i s s e c t i o n w i t h s o m e w i d e l y u s e d t e r m i n o l o g y .1 . 1 2 D e f i n i t I o n . A f u n c t i o n o n a n o p e n s e t i s u n i v a l e n t i f i t i s a n a l y t i c

a n d o n e - t o - o n e .

E x e r c i s e s

1 . I n E x a m p l e 1 . 3 , w h a t i s f ( C \ D ) ? \ { ± 1 } ) ?2 . D i s c u s s t h e i m a g e o f 8 1 ) u n d e r t h e m a p

3 . F i n d a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f C 0 \ [ — 2 , 2 ) o n t o D .

4 . G i v e t h e d e t a i l s o f t h e p r o o f o f P r o p o s i t i o n 1 . 8 .

5 . P r o v e P r o p o s i t i o n 1 . 9 .

6 . W h a t i s t h e c l u s t e r 8 e t o f f ( z ) . = e x p { ( z + 1 ) / ( z _ 1 ) } a t 1 ?

1 4 . 2 . C r o e s c u t s 3 3

7 . C h a r a c t e r i z e t h e c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e s o f t h e u p p e r h a l f p l a n e H =

{ z : I m z > 0 } o n t o i t s e l f .

8 . C h a r a c t e r i z e t h e c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e s o f t h e p u n c t u r e d d i s k o n t oi t s e l f .

9 . C h a r a c t e r i z e t h e c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e s o f t h e p u n c t u r e d p l a n e o n t oi t s e l f .

§ 2 C r o e s c u t s

W i t h t h i s s e c t i o n w e b e g i n t h e s t u d y o f t h e b o u n d a r y b e h a v i o r o f a c o n -f o r m a l e q u i v a l e n c e r D M u c h o f t h e d i s c u s s i o n h e r e i s b a s e d o n t h eb o o k o f P o m m e r e n k e [ 1 9 7 5 1 , w h i c h h a s a d d i t i o n a l m a t e r i a l .

W e w i l l l i m i t o u r s e l v e s t o t h e c a s e o f a b o u n d e d r e g i o n ( o r b o u n d e dR i e n i a n n m a p ) a s t h i s f a c i l i t a t e s t h e p r o o f s . T h e r e a d e r c a n c o n s u l t t h el i t e r a t u r e f o r t h e g e n e r a l c a s e .

2 . 1 D e f i n i t i o n . I f G i s a b o u n d e d s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n i n C , a n d C 1i s a c l o s e d J o r d a n a r c w h o s e e n d p o i n t s l i e o n O G a n d s u c h t h a t C C 1

w i t h i t s e n d p o i n t s d e l e t e d l i e s i n 0 , t h e n C i s c a l l e d a c r o s s c u t o f 0 .

U s u a l l y n o d i s t i n c t i o n w i l l b e m a d e b e t w e e n a c r o s s c u t C a s a c u r v e o ri t s t r a c e . I n o t h e r w o r d s , C m a y b e c o n s i d e r e d a s a s e t o f p o i n t s o r a sa p a r a m e t e r i z e d c u r v e C : ( 0 , 1 ) 0 . R e c a l l t h a t C i s a J o r d a n a r c i fC ( s ) C ( t ) f o r 0 < s < t < 1 . I t i s p o s s i b l e , h o w e v e r , t h a t C 1 ( O ) =

C 1 i s a J o r d a n c u r v e . A t t h e r i s k o f c o n f u s i n g t h e r e a d e r , w e w i l ln o t m a k e a d i s t i n c t i o n b e t w e e n a c r o s s c u t C a n d t h e c o r r e s p o n d i n g c l o s e dJ o r d a n a r c C 1 . T h i s w i l l h a v e s o m e n o t a t i o n a l a d v a n t a g e s t h a t t h e r e a d e rm a y n o t i c e i n t h e e x p o s i t i o n .

N o t e t h a t i f C i s a c r o s s c u t o f 0 a n d I : 0 C i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n ,t h e n c L [ f ( C ) 1 \ 1 ( C ) c C l u ( f ; a 1 ) U C l u ( f ; a 2 ) , w h e r e a 1 a n d a 2 a r e t h ee n d p o i n t s o f C .

2 . 2 L e r n m i i . J I G i s a b o u n d e d s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n i n C a n d C i sa c r o s s c u t o f 0 , t h e n 0 \ C h a s t w o c o m p o n e n t s a n d t h e p o r t i o n o f t h e

b o u n d a r y o f e a c h o f t h e s e c o m p o n e n t s t h a t l i e s i n 0 i s C .

P r o o f . I f 0 — ' D i s a R i e m ' m n m a p , t h e n f ( z ) = —

i s a b o m e o m o r p h i s m o f G o n t o C . H e n c e 1 ( C ) i s a J o r d a n a r c i n C . B yP r o p o s i t i o n 1 . 1 1 , C l u ( f ; a ) c = { o o } f o r e v e r y p o i n t a i n 8 0 . H e n c e ,b y t h e r e m a r k p r e c e d i n g t h i s p r o p o s i t i o n , c L f ( C ) i s a J o r d a n c u r v e i n C ,p a s s i n g t h r o u g h 0 0 . I f a w l a 2 a r e t h e c o m p o n e n t s o f C \ c 1 0 0 1 ( C ) =C \ 1 ( C ) , t h e n f ' ( f l 1 ) a n d f 1 ( f l 2 ) a r e t h e c o m p o n e n t s o f C \ C . 0




I t i s n o w n e c e s s a r y t o c h o o ø e a d i s t i n g u i s h e d p o i n t i n C . I n t h e f o l l o w i n gd e f i n i t i o n s a n d r e s u l t s , t h i s d i s t i n g u i s h e d p o i n t i s l u r k i n g i n t h e b a c k g r o u n da s p a r t o f t h e s c e n e r y a n d w e m u s t f o r e v e r b e a w a r e o f i t s e x i s t e n c e . I n d e e d ,

t h e d e f i n i t i o n s d e p e n d o n t h e c h o i c e o f s o m e d i s t i n g u i s h e d p o i n t . I t s e e m sw i s e , h o w e v e r , n o t t o m a k e t h i s p o i n t p a r t o f t h e f o r e g r o u n d b y i n c l u d i n g i ti n t h e n o t a t i o n . W e d o t h i s b y a l w a y s a s s u m i n g t h a t 0 C . T h e a s s u m p t i o nt h a t G i s b o u n d e d w i l l a l s o c e a s e t o b e m a d e e x p l i c i t .

T h e p r e c e d i n g l e m m a j u s t i f i e s t h e n e x t d e f i n i t i o n .

2 . 3 D e f i n i t I o n , i f C i s a s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n c o n t a i n i n g 0 , t h e n f o ra n y c r o s s c u t C o f G t h a t d o e s n o t p a s s t h r o u g h 0 , l e t o u t C d e n o t e t h e c o m -

p o n e n t o f C \ C t h a t c o n t a i n s 0 a n d l e t i n s C d e n o t e t h e o t h e r c o m p o n e n t .C a l l o u t C t h e o u t s i d e o f C a n d i n s C t h e i n s i d e o f C .

T h i s d e f i n i t i o n a n d n o t a t i o n i s , o f c o u r s e , i n c o n f l i c t w i t h p r e v i o u s c o n -c e p t s c o n c e r n i n g J o r d a n c u r v e s W e ' l l t r y t o m a i n t a i n p e a c e h e r e b yr e s e r v i n g s m a l l C r e e k . l e t t e m , l i k e a a n d f o r J o r d a n c u z v e e , a n d c a p i t a lR o m a n l e t t e r s , l i k e X a n d C , f o r c r o e s c u t s .

h o w o n w e w i l l o n l y c o n s i d e r c r o e s c u t s o f C t h a t d o n o t p a s s

t h r o u g h t h e d i s t i n g u i s h e d p o i n t 0 .2 . 4 D e f i n I t i o n . A z e r o - c h a i n ( o r 0 - c h a i n ) o f C i s a s e q u e n c e o f c r o e s c u t ao f C , b a y i n g t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

( a ) i n s i n s

( b )

( c ) d i a m 0 a s n o o .

• N o t e t h a t t h e c o n d i t i o n i n t h e d e f i n i t i o n o f a 0 - c h a i n { C } t h a t c i C f l

i s a s i n g l e p o i n t . I t i s r i o t h a r d t o c o n s t r u c t a z e r o - c h a i n s u c h t h a ti n f , , [ d i a m ( i n s > 0 . S e e t h e e x a m p l e s b e l o w .

W h y m a k e t h i s d e f i n i t i o n ? L e t f l b e a b o u n d e d s i m p l y c o n n e c t e d r e -g i o n a n d l e t r : D - . f l b e a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e w i t h r ( O )

=0 .

W e a r e i n t e r e s t e d I n s t u d y i n g t h e b e h a v i o r o f r ( z ) a s z a p p r o a c h e s ap o i n t o f 8 D . L e t a E ö D a n d c o n s t r u c t a 0 - c h a i n i n I ) s u c h t h a tf l n c l ( i n s a l e a n o p e n J o r d a n a r c i n L i B y P m p o -

s i t i o n 1 . 1 1 [ c i ç 8 ( 1 . U n f o r t u n a t e l y i t i s n o t n e c e s s a r i l y t r u e

W e c a n a n d w i l l , h o w e v e r , c h o o s e t h e 0 - c h a i n i n D s o t h a t n o t o n l y

f a c t , w e w i l l s e e i n t h e n e x t s e c t i o n t h a t a f t e r w e i n t r o d u c e a n e q u i v a l e n c er e l a t i o n o n t h e s e t o f 0 - c h a i n s , t h e r e i s a w a y o f t o p o l o g i z i n g C i , t h e s e t I i



1 4 . 2 . C r o e s c u t s 3 5

t o g e t h e r w i t h t h e s e e q u i v a l e n c e c l a s s e s , s o t h a t i - e x t e n d s t o a h o m e o m o r -p h i s m o f c i D o n t o I i . T h i s w i l l p a v e t h e w a y f o r u s t o s t u d y t h e b o u n d a r yb e h a v i o r o f r i n f u t u r e s e c t i o n s w h e n m o r e s t r i n g e n t r e s t r i c t i o n s a r e p l a c e do n ô f t .

T h e f o l l o w i n g a r e s o m e e x a m p l e s o f 0 - c h a i n s . F i g u r e 1 4 . 1 h a s = D a n ds h o w s a n e x a m p l e o f a 0 - c h a i n . S o m e s p e c i a l 0 - c h a i n s o f t h i s t y p e w i l l b ec o n s t r u c t e d b e l o w ( s e e P r o p o s i t i o n 2 . 9 ) .

I n F i g u r e 1 4 . 2 , t l i s a s l i t d i s k a n d t h e s e q u e n c e o f c r o s s c u t s i s n o t a0 - c h a i n s i n c e i t f a i l s t o s a t i s f y p r o p e r t y ( a ) o f t h e d e f i n i t i o n . A g a i n f o r ( 1 a

s l i t d i s k , F i g u r e 1 4 . 3 i l l u s t r a t e s a 0 - c h a i n .I n F i g u r e s 1 4 . 4 , 1 4 . 5 , a n d 1 4 . 6 , I i i s a n o p e n r e c t a n g l e l e s s a n i n f i n i t e

s e q u e n c e o f v e r t i c a l s l i t s o f t h e s a m e h e i g h t t h a t c o n v e r g e t o t h e s e g m e n t[ 2 , 2 + i J . T h e s e q u e n c e o f c r o e s c u t s i n F i g u r e 1 4 . 4 i s n o t a 0 - c h a i n

s i n c e i t v i o l a t e s p a r t ( a ) o f t h e d e f i n i t i o n ; t h e c r o s s c u t s i n F i g u r e 1 4 . 5 d o

n o t f o r m a 0 - c h a i n s i n c e t h e i r d i a m e t e r s d o n o t c o n v e r g e t o 0 . T h e c r o s s c u t si n F i g u r e 1 4 . 6 d o f o r m a 0 - c h a i n .F i g u r e s 1 4 . 1 , 1 4 . 8 , a n d 1 4 . 9 i l l u s t r a t e e x a m p l e s o f 0 - c h a i n s .W e b e g i n w i t h a r e s u l t o n 0 - c h a i n s o f D t h a t m a y s e e m i n t u i t i v e l y o b v i -

o u s , b u t w h i c h r e q u i r e s p r o o f . I t m i g h t b e p o i n t e d o u t t h a t t h e s e q u e n c e o fc r o s 8 c u t s i n F i g u r e 1 4 . 6 d o e s n o t s a t i s f y t h e c o n c l u s i o n o f t h e n e x t p r o p o -

s i t i o n .

F i g u r e 1 4 . 2 F i g u r e 1 4 . 3

F i g u r e 1 4 . 1




2 . 5 P r o p o s i t i o n . I f { X , } i 3 a a e q u e n c e o f c r o s s c u t s o f D w i t h ca n d d i a m — . 0 .

P r o o f . S i n c e c i [ i n s c i [ i n s f o r e v e r y n , K c i [ i n si s a n o n - e m p t y c o m p a c t c o n n e c t e d s u b s e t o f c i D . S i n c e i s a c r o s s c u t ,

C

+ 2 i

+ 2 i

2 + 2 i

2

F i g u r e 1 4 . 4

0

F i g u r e 1 4 . 5

C l

C 2

F i g u r e 1 4 . 6 F i g u r e 1 4 . 7

F i g u r e 1 4 . 8 F i g u r e 1 4 . 9

1 4 . 2 . C r o s s c u t s 3 7

0 [ i n s = X . U f o r t h e c l o s e d a r c i n 8 1 ) , = c i [ i n s X , , J n ( 9 1 ) . I nf a c t , l ' n + l = c i [ i n s f l 0 1 ) a n d s o 7 i s a c l o s e d a r c i nO D . I t i s e a s y t o s e e t h a t ' r K n O D . A l s o , s i n c e a n d h a v e t h e s a m e

e n d p o i n t s , d i a m— *

0 . T h e r e f o r e , y , a n d h e n c e K , i s a s i n g l e p o i n t z 0i n 0 1 ) . A s t r a i g h t f o r w a r d a r g u m e n t n o w f i n i s h e s t h e p r o o f . 0

T h e r e m a i n d e r o f t h i s s e c t i o n i s d e v o t e d t o t h e c o n s t r u c t i o n o f 0 - c h a i n si n 1 ) s u c h t h a t i s a 0 - c h a i n i n I l . T h e p r o c e s s i n v o l v e s t h e

p r o o f o f a s e q u e n c e o f T h e f i r s t o f t h e s e n e c e s s i t a t e s a r e t u r n t ot h e n o t i o n o f a s e t o f m e a s u r e 0 . T h e p r o o f w i l l n o t b e g i v e n o f t h e c o m p l e t es t a t e m e n t , b u t o n l y o f t h e s t a t e m e n t t h a t c a n b e o b t a i n e d b y t h e d e l e t i o n

o f a n y r e f e r e n c e t o a s e t o f m e a s u r e 0 . T h e p r o o f o f t h e g e n e r a l s t a t e m e n tc a n b e e a s i l y o b t a i n e d f r o m t h i s p r o o f a n d i s l e f t t o t h e r e a d e r .

2 . 6 L e m m a . L e t r b e a b o u n d e d u n i v a l e n t f u n c t i o n d e f i n e d o n 1 ) w i t hr l M o n D . I f E i s a s u b s e t o f O D h a v i n g m e a s u r e 0 , 1 / 2 < p < 1 , a n d

t h e n t h e r e z s a 9

1 1 d r

P r v o / . I n f a c t a n a p p l i c a t i o n o f t h e C a u c h y - . S c h w a r z I n e q u a l i t y s h o w s t h a t

$ 2 i 1

L I I

r ? ( r e t s ) I 2 d i ] d O

S J ( 1 — p )

{ Jd O

0 p

< 2 ( l — p ) I I I r ? ( r e i ) I 2 r d r d , 9J o J i / 2

s i n c e , w i t h p > 1 / 2 , w e h a v e 1 < 2 r f o r p r . B u t b y T h e o r e m 1 3 . 2 . 1 2t h i s l a s t i n t e g r a l e q u a l s A r e a f r ( { z E D : 1 / 2 < I z i < l } ) ) , r M 2 . B u t

( f l _ a ) i n f { { j : a < t i < j [ j f r ' ( r e ü ) l d r ] d O .

H e n c e t h e r e i s a t l e a s t o n e v a l u e o f 0 w i t h

I f 2 ( 1 — p ) i r M 2

L p J / 3 — a

w h e n c e t h e l e m m a . 0

N o t e t h a t t h e p r e c e d i n g l e m m a g i v e s a v a l u e 9 s u c h t h a t r — .p r < 1 , i s a h a l f o p e n r e c t i f i a b l e J o r d a n " a n d a l s o g i v e s a n e s t i m a t e

o n t h e l e n g t h o f t h i s c u r v e ) . B u t a r e c t i f i a b l e o p e n a r c c a n n o t w i g g l e t o om u c h , a n d s o t h e n e x t r e s u l t i s q u i t e i n t u i t i v e .

2 . 7 P r o p o s I t i o n . 1 / 7 : 1 0 , 1 ) — + C i s a h a l / o p e n r e c h f i a b l e a r c a n d f :C C i s a n a n a l y t i c f i & r i c t i o n s u c h t h a t / 0 i s a l s o a r e c t i f i a b l e a r c , t h e nl i m t _ , i _ f ( y ( t ) ) e x i s t s a n d i s f i n i t e .

P r o o / . L e t L = t h e l e n g t h o f / o i ' . S i n c e t h e s h o r t e s t d i s t a n c e b e t w e e nt w o p o i n t s i s a s t r a i g h t l i n e , i t f o l l o w s t h a t { f o - y } c B L ) . I np a r t i c u l a r , t h e r e i s a c o n s t a n t M s u c h t h a t ( 7 ( t ) ) I M f o r 0 < t < 1 .

I f f ( 7 ( t ) ) d o e s n o t e x i s t , t h e n t h e r e a r e s e q u e n c e s a n di n ( 0 , 1 ) s u c h t h a t < o , , — , 1 a n d 1 , p a n d

- . a - , a n d p a - . 1 1 0 < 3 6 < t h e n t h e r e i s a n n 0 s u c ht h a t ( 7 ( m ) ) — I > 6 f o r a l l n n o . B u t t h e l e n g t h o f t h e p a t h

{ f ( y ( t ) ) : t a , , } i s g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o f f — f 6 . T h i s c o n t r a d i c t s t h e r e c t i f i a b i l i t y o f f o 7 . 0

A c o m b i n a t i o n o f t h e l a s t t w o r e s u l t s c a n b e u s e d t o g i v e a p r o o f t h a t t h es e t o f p o i n t s i n Ô D a t w h i c h a b o u n d e d c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e r h a s r a d i a ll i m i t s i s d e n s e i n O D . U n f o r t u n a t e l y t h i s w i l l n o t s u f f i c e f o r o u r p u r p o s e sa n d w e n e e d m o r e .

2 . 8 L e m m a . I f ' r : D - , C i s a ô o u n d e 4 u n i v a l e n t f u n c t i o n , t h e n ( 1 -r ) m a x ( f r ' ( z ) I : j z j = r } — . U a s r — ' 1 . H e n c e ( 1 — 0 a sI z I — . 1 .

P r o o f . L e t r ( z ) = h e n c e , u s i n g t h e f a c t t h a t + y j 2 2 ( 1 x 1 2 +

w e g e t t h a tr n — i 2

( 1 — ( z I ) 2 V ( z ) 1 2 ( 1 —

( 1 - I z D 2 + 2 ( 1 -n = l n = r n

A p p l y i n g t h e C a u c h y - S c l i w a r t z I n e q u a l i t y t o t h e s e c o n d s u m g i v e s2 2

n n

1 4 . 2 . C r o e s c u t s 3 9

= ( 1 _ z 1 2 ) _ 2 .

C o m b i n i n g t h e s e i n e q u a l i t i e s g i v e s

( 1 — I z D 2 5 2 ( 1 — z ( ) 2

1

22

2

= 2 ( 1 — I z D 2

+ ( 1 I I ) 2 J .B u t i f I z i 1 / 2 , t h e n

r n — i 2

( 1 — I z I ) 2 I T ' ( z ) 1 2

S 2 ( 1— z I ) 2

+ 2

B y C o r o l l a r y 1 3 . 2 . 1 3 , m c a n b e c h o s e n s u c h t h a t t h e l a s t s u m m a n d i ss m a l l e r t h a n T h u s f o r 1 — I z I s u f f i c i e n t l y s m a l l , ( 1 — I z I ) 2 V ( z ) 1 2 c a nb e m a d e a r b i t r a r i l y s m a l l . 0

2 . 9 P r o p o s i t i o n . L e t b e a b o u n d e d s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n a n d l e tr : D — . f l b e t h e R i e m a n n m a p w i t a r ( O ) = O a n d i ' ( O ) > O f f O < 0 < 2 i ra n d i s a s e q u e n c e o f p o s i t i v e n u m b e r s t h a t c o n v e i v e s m o n o t o n i c a l l y t o

s u c h t h a t i f c r o s s c u t o f D d e f l n e d b y= u { r n e u : U

t h e n i s a O - c h a i n i n f l .P , o o f . L e t M b e a n u p p e r b o u n d f o r f r j . B y L e m m a 2 . 8 , p o s i t i v e n u m b e r s

c a n b e c h o s e n s u c h t h a t 0 a n d

2 . 1 0 ( 1 — r n ) m < 4 .N o w a p p l y L e m m a 2 . 6 w i t h a = 0 — 2 ( 1 — a n d f i = 0 ( 1 —

a n d

j f r ' ( r e ' ° ' ) d r < =

S i m i l a r l y , t h e r e i s a j 3 , w i t h 8 < f i , , a n d

r '

A c t u a l l y w e w a n t t o m o d i f y t h e c h o i c e o f t h e p o i n t s a n d s o t h a t t h ev a l u e s o f a n d ( e ' ° ) , t h e r a d i a l l i m i t s o f F a t t h e d e s i g n a t e d p o i n t s ,a r e a l l d i f f e r e n t . T h i s i s d o n e a s f o l l o w s . S u p p o s e a 1 , . . . , . . , 1 3 f l _ ih a v e b e e n c h o s e n a n d l e t E = { a 0 — 2 ( 1 — < a < 8 — ( 1 —a n d ( e 1 ° ) e x i s t s a n d e q u a l s o n e o f ( e r n ' ) , . . . , ? ( e '

B y T h e o r e m 1 3 . 5 . 3 , E h a s m e a s u r e 0 . B y L e m m a 2 . 6 ,c a n b e c h o s e n i n t h e p r e s c r i b e d i n t e r v a l w i t h E . B y P r o p o s i t i o n2 . 7 , e x i s t s a n d d i f f e r s f r o m

( e m " - ' ) . S i m i l a r l y c h o o s e f i n .D e f i n e Y , , a s i n t h e s t a t e m e n t o f t h e p r o p o s i t i o n . C l e a r l y } i s a 0 -

c h a i n i n D . L e t C , = i - ( Y , , ) . S i n c e C , , i s r e c t i f i a b l e , e a c h C , , i s a c r o s s c u to f S i n c e i n s i n s f o r e v e r y n , i n s i n s f o r e v e r y n .S i n c e t h e v a l u e s ( e t a l ) , . . . ; ( e 8 t h ) , . . . a r e a l l d i s t i n c ta n d c i f l c i = 0 , c i C , , , f l c i = . 0 . I t r e m a i n s t o p r o v e t h a t

d i a i n C , , 0 .N o w ( 2 . 1 0 ) i m p l i e s t h a t f " r ' d t ( f i n — a n d —

< 4 ( 1 H e n c e < 4 € , , . T h i s , c o m b i n e d w i t h

t h e p r e c e d i n g e s t i m a t e s , i m p l i e s t h a t t h e l e n g t h o f r ( Y , , ) $ 4 € , , + 2 e , , M ( 2 i r )a n d t h u s c o n v e r g e s t o 0 . I t i s l e f t a s a n e x e r c i s e t o s h o w t h a t a , , a n d 1 3 , , — . 8a s n — ' o o . 0

E x e r c i s e

1 . i f { X , , } i s a 0 - c h a i n i n D , s h o w t h a t f l , c i ( i n s X , , ) i s a s i n g l e p o i n ti n 8 D .

P r i m e E n d s

M a i n t a i n t h e n o t i o n o f t h e p r e c e d i n g s e c t i o n . L e t f i b e a b o u n d e d s i m p l yc o n n e c t e d r e g i o n a n d l e t r : D — , b e t h e c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e w i t h

r ( 0 ) = 0 a n d r ' ( O ) 0 .

3 . 1 D e f i n i t i o n . I f { C f t } a n d { C , } a r e t w o z e r o - c h a i n s i n s a y t h a t t h e ya r e i f f o r e v e r y n t h e r e i s a n i n s u c h t h a t i n s C m i n s a n d ,

c o n v e r s e l y , f o r e v e r y i t h e r e i s a j w i t h i n s C i n s

I t i s e a s y t o s e e t h a t t h i s c o n c e p t o f e q u i v a l e n c e f o r z e r o - c h a i n s i n



1 4 . 3 . P n m e E n d s

i s i n d e e d a n e q u i v a l e n c e r e l a t i o n . A p r i m e e n d i s a n e q u i v a l e n c e c l a s s o fz e r o - c h a i n s .

A n e x a m i n a t i o n o f t h e 0 - c h a i n i n F i g u r e 1 4 . 1 w i l l e a s i l y p r o d u c e o t h e r

0 - c h a i n s t h a t a r e e q u i v a l e n t t o t h e o n e g i v e n . I n F i g u r e 1 4 . 2 i f t h e c r o s s c u t st h a t a r e a b o v e t h e s l i t c o n s t i t u t e o n e 0 - c h a i n a n d t h e c r o s s c u t s b e l o w t h es l i t c o n s t i t u t e a n o t h e r , t h e n t h e s e t w o 0 - c h a i n s b e l o n g t o d i f f e r e n t p r i m ee n d s . I t c a n a l s o b e s e e n t h a t t h e 0 - c h a i n s a p p e a r i n g i n F i g u r e s 1 4 . 7 a n d

1 4 . 8 a r e e q u i v a l e n t . T h e r e a d e r i s i n v i t e d t o e x a m i n e t h e 0 - c h a i n s a p p e a r i n gi n t h e f i g u r e s i n § 2 a n d t o f i n d e q u i v a l e n t o n e s .

L e t ( i d e n o t e 1 1 t o g e t h e r w i t h t h e c o l l e c t i o n o f p r i m e e n d s . W e n o ww a n t t o p u t a t o p o l o g y o n ( 1 . ( A p o l o g i e s t o t h e r e a d e r f o r t h i s n o t a t i o n ,

w h i c h i s r a t h e r s t a n d a r d b u t o p e n s u p t h e p o s s i b i l i t y o f c o n f u s i o n w i t h t h ep o l y n o m i a l l y c o n v e x h u l l . )

3 . 2 D e f i n i t i o n . S a y t h a t a s u b s e t U o f 1 1 i s o p e n i f U f l 1 1 i s o p e n i n 1 1a n d f o r e v e r y p i n U \ 1 1 t h e r e e x i s t s a z e r o - c h a i n i n p s u c h t h a t t h e r ei s a n i n t e g e r n w i t h ç U n f l .

N o t e t h a t f r o m t h e d e f i n i t i o n o f e q u i v a l e n c e a n d t h e d e f i n i t i o n o f a 0 -

c h a i n , i f U i s a n o p e n s u b s e t o f I l a n d p E U , t h e n f o r e v e r y i n p ,i n s ç U n f o r a l l s u f f i c i e n t l y l a r g e n .T h e p r o o f o f t h e n e x t p r o p o s i t i o n i s a n e x e r c i s e .

3 . 3 P r o p o s i t i o n . T h e c o l l e c t i o n o f o p e n s u b s e t s o f Q i s a t o p o l o g y .

T h e m a i n r e s u l t o f t h e s e c t i o n i s t h e f o l l o w i n g .

3 . 4 T h e o r e m . f f 1 1 i s a b o u n d e d s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n i n C a n d r D — .1 1 i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e , t h e n r e z t e n d s t o a h o m e o m o r p h L s r n o f e l Do n t o 1 1 .

A c t u a l l y , w e w i l l w a n t t o m a k e s p e c i f i c t h e d e f i n i t i o n o f f o r e v e r yz i n O D a s w e l l a s s p e l l o u t t h e m e a n i n g o f t h e s t a t e m e n t t h a t i s ah o m e o m o r p h i s m . I f z E Ô D , t h e n P r o p o s i t i o n 2 . 9 i m p l i e s t h e r e i s a 0 - c h a i n{ Y n } i n D s u c h t h a t f l c l ( i n s { z } a n d i s a G - c h a i n i n 1 1 . W e

w i l l d e f i n e f ( z ) t o b e t h e e q u i v a l e n c e c l a s s o f { r W e m u s t s h o w t h a t

i s w e l l d e f i n e d . T h u s i f i s a s e c o n d 0 - c h a i n i n D w i t h f l , , c i ( i n s ={ z } a n d a 0 - c h a i n i n 1 1 , w e m u s t s h o w t h a t { r ( X c ) ) a n d { ra r e e q u i v a l e n t . T h i s i s n o t d i f f i c u l t . F i x n ; w e w a n t t o s h o w t h a t i n s r ( Y m ) çi n s T f o r s o m e m . B u t j u s t e x a m i n e i n s = U

w h e r e i s a n a r c O D w i t h z a s a n i n t e r i o r p o i n t . T h u s t h e r e i s a 6 > 0s u c h t h a t D f l B ( z ; 6 ) ç i n s S i n c e d i a m ( i n s Y m ) 0 ( w h y ? ) , t h e r e i sa n m w i t h i n s Y m ç D f l B ( z ; ö ) ç i n s t h u s i n S T ( Y m ) = T ( i n s Y m ) ç

r ( i n s = i n s i - ( X e ) . S i m i l a r l y , f o r e v e r y j t h e r e i s a n i w i t h i n s r ( X 2 ) ç

T h e p r o o f t h a t i s w e l l d e f i n e d a l s o r e v e a l s a l i t t l e s o m e t h i n g a b o u tt h e d i s k . N a m e l y , t h e p r i m e e n d s o f D a r e i n o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e

w i t h t h e p o i n t s o f 8 D ( s o m e t h i n g t h a t b e t t e r b e t r u e i f t h e t h e o r e m i st r u e ) . I n f a c t , i f i s a 0 - c h a i n i n D , t h e n P r o p o s i t i o n 2 . 5 i m p l i e s t h a td i a m ( c i ( i n s — 0 . B y C a n t o r ' s T h e o r e m , c i ( i n s = { z O } f o r

s o m e p o i n t z o i n c i D . I t f o l l o w s t h a t Z O E O D ( w h y ? ) . T h e p r e c e d i n gp a r a g r a p h s h o w s t h a t w h e n e v e r a n d a r e e q u i v a l e n t 0 - c h a i n s i nD , f t c l ( i n s = f t c ! ( i n s Y e ) .

W e n o w p r o c e e d t o t h e p r o o f t h a t i s a h o m e o m o r p h i s m . S o m e p r e p a r a -t o r y w o r k i s r e q u i r e d .

3 . 5 L e m m a . I f - y : [ 0 , 1 ) D i s a n a r c s u c h t h a t h ' ( t ) I 1 a s t — ' 1 ,

t h e n t h e s e t Z = { z : t h e r e e x i s t s t k - . 1 w i t h 7 ( t k ) - . z } i s a c l o s e d a r c i n

8 D . I f / D — . C i s a b o u n d e d a n a l y t i c f u n c t i o n a n d / e x i s t s ,t h e n e i t h e r Z i s a s i n g l e p o i n t o r f i s c o n s t a n t .

P r o o f . O b s e r v e t h a t t h e s e t Z = 1 ) ( 1 . 6 ) . T h u s Z i s a c l o s e d c o n -n e c t e d s u b s e t o f 8 D ( 1 . 7 a n d 1 . 8 ) ; t h a t i s , Z i s a c l o s e d a r c .

N o w a s s u m e t h a t I : D - + C i s a b o u n d e d a n a l y t i c f u n c t i o n s u c h t h a tf ( ' y ( t ) ) = w e x i s t s a n d Z i s n o t a s i n g l e p o i n t . I t w i l l b e s h o w n

t h a t f m u s t b e c o n s t a n t . I n f a c t , l e t z b e a n i n t e r i o r p o i n t o f Z s u c h t h a tt h e r a d i a l l i m i t o f f e x i s t s a t z . i t i s e a s y t o s e e ( d r a w a p i c t u r e ) t h a t t h er a d i a l s e g m e n t [ 0 , z ) m u s t m e e t t h e c u r v e i n f i n i t e l y o f t e n . H e n c e t h e r e i s as e q u e n c e { t k } i n [ 0 , 1 ) s u c h t h a t t k — ' 1 , — . z , a n d a r g ( ' y ( t k ) ) = a r g zf o r a l l k . T h u s f ( r z ) = f = B y T h e o r e m 1 3 . 5 . 3 ,

I ]

3 . 6 L e m m a . L e t r : D Q b e a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e w i t h = 0 . I fC i s a c r o s s c u t o f Q , t h e n X = r ' ( C ) i s a c r o s s c u t o f D .

P r p o f . L e t C : ( 0 , 1 ) — + C l b e a p a r a m e t e r i z a t i o n o f c a n d , f o r q = o o r1 , l e t = I i m t . . . . q C ( t ) . S o a q E O r ! . C l e a r l y X ( t ) = ( C ( t ) ) i s a n o p e nJ o r d a n a r c a n d l X ( t ) I — . l a s t - - e O o r 1 . F o r q = 0 , 1 , l e t Z q = { z : t h e r ee x i s t s t k q w i t h X ( t k ) z } . B u t r ( X ( t ) ) = a q a n d r i s n o tc o n s t a n t . B y L e m m a 3 . 5 , Z q i s a s i n g l e p o i n t a n d s o X i s a c r o s s c u t . 0

N o w s u p p o s e i s a 0 - c h a i n i n a n d l e t S o e a c hi s a c r o s s c u t o f D b y t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n . W e w i l l

s e e t h a t i t i s a l m o s tt r u e t h a t i s a 0 - c h a i n i n D . T h e p a r t o f t h e d e f i n i t i o n o f a 0 - c h a i nt h a t w i l l n o t b e f u l f i l l e d i s t h a t c l X , f l n e e d n o t b e e m p t y .

B e g i n b y n o t i n g t h a t r ( i n s = i n s h e n c e i n s i n s

3 . 7 P r o p o s i t i o n . I f r D I l i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e w i t h r ( 0 ) = 0

0 - c h a i n o f c r o u c u t s i n Q , t h e n d i a m X , , — ' 0 .

P r o o f . F i r s t a s s u m e t h a t t h e r e i s a n r , 0 < r < I , s u c h t h a t f l { z :I z i = r } 0 f o r a n i n f i n i t e n u m b e r o f v a l u e s o f n . L e t z k E X c , , w i t hI z k I = r s u c h t h a t r ( z k ) — . C o ; s o C o r ( { z = r } ) ç I l . B u t i f 5 > 0

1 4 . 3 . P r i m e E n d s 4 3

s u c h t h a t ç f I , t h e r e i s a I c o s u c h t h a t J T ( z k ) — < 6 f o r k k 0 .B u t - r ( z k ) E f l a n d d i a m C , , — ' 0 . H e n c e t h e r e i s a k 1 k 0

s u c h c h a t ç B ( 4 ; 6 ) f o r k k 1 . T h i s i m p l i e s t h a t c i C , , , , f l = 0 .

S i n c e C , , , , i s a c r o s s c u t , t h i s i s a c o n t r a d i c t i o n . T h u s f o r e v e r y r < 1 ,X 1 , , f l { z : I z i r } = 0 f o r a l l b u t a f i n i t e n u m b e r o f i n d i c e s n .L e t r 1 , = i n f { f z l z E b y t h e p r e c e d i n g p a r a g r a p h , r , , — 1 . S i n c e

X , , i s a c r o s s c u t , 8 [ i n s X 4 = X , , U 7 , , f o r s o m e c l o s e d a r c d y , , o f 8 D . I tf o l l o w s t h a t K f l , , c i [ i n s X , , } i s a n o n - e m p t y c l o s e d c o n n e c t e d s u b s e t

o f O D a n d h e n c e i s a c l o s e d a r c i n O D . M o r e o v e r , K = ( w h y ? ) . I ts u f f i c e s t o s h o w t h a t K i s a s i n g l e p o i n t .

S u p p o s e K i s a p r o p e r c l o s e d a r c i n O D . T h e n b y T h e o r e m 1 3 . 5 : 2

a r e d i s t i n c t i n t e r i o r p o i n t s z a n d w o f t h e a r c K s u c h t h a t t h e r a d i a l l i m i t so f r e x i s t a t b o t h z a n d w ; d e n o t e t h e s e r a d i a l l i m i t s b y a n dS i n c e 0 b e l o n g s t o t h e o u t s i d e o f e a c h X , , , f o r e a c h n t h e r e a r e p o i n t s z , ,

a n d v i , , o n X t h a t l i e o n t h e r a y s t h r o u g h z a n d w , r e s p e c t i v e l y . T h u sr ( z , , ) a n d r ( w , , ) — . B u t r ( z , , ) a n d r ( w , , ) E r ( X , , ) = C , , a n dd i a i n — . 0 . H e n c e = S i n c e z a n d w w e r e a r b i t r a r y i n t e r i o rp o i n t s o f K , T h e o r e m 1 3 . 5 . 3 i m p l i e s t h a t T i s c o n s t a n t , a c o n t r a d i c t i o n .T h e r e f o r e i t m u s t b e t h a t K i s a s i n g l e p o i n t a n d s o d i a x n X , , — ' 0 . 0

3 . 8 L e m m a . f i r 0 - . C I * s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e w i t h r ( 0 ) = 0 , { C , , }i s a 0 - c h a i n i n C I , a n d X 1 , t h e c r o s s c u t t h e n t h e r e i s a p o i n tz o o n 8 0 a n d t h e r e a r e p o s i t i v e n u m b e r s 5 , , a n d e , , w i t h 0 < 6 , , < i , , a n d

0 s u c h t h a t

3 . 9 f l c i ( i n s X , , ) = { z o }

a n d

3 . 1 0 D f l B ( z o ; 6 , , ) i n s X , , D f l B ( z o ; E , , ) .

P r o o f . B y P r o p o s i t i o n s 3 . 7 a n d 2 . 5 , d i a m i c l ( i n s X , , ) ) — 0 . T h e r e f o r et h e r e i s a i n c i 0 s u c h t h a t ( 3 . 9 ) h o l d s . B y P r o p o s i t i o n 1 . 1 1 , z o £ O D .

I t i s c l e a r t h a t s i n c e d i a m X , , — . 0 , t h e n u m b e r e , , c a n b e f o u n d . S u p p o s et h e n u m b e r 5 , , c a n n o t b e f o u n d . T h a t i s , s u p p o s e t h e r e i s a n n ( w h i c h w i l lr e m a i n f i x e d ) s u c h t h a t f o r e v e r y 5 > 0 , 0 f l B ( z o ; S ) i s n o t c o n t a i n e d

i n i n s X , , . T h u s f o r e v e r y 5 > 0 t h e r e a r e p o i n t s i n D f l B ( z o ; 6 ) t h a tb e l o n g t o b o t h i n s X , , a n d o u t X , , ; b y c o n n e c t e d n e s s , t h i s i m p l i e s t h a tX , , f l B ( z o ; 5 ) 0 f o r e v e r y 6 > 0 . H e n c e z 0 E c i X , , . S i n c e i n s X m ç i n s X 1 ,f o r m n , t h e s a m e a r g u m e n t i m p l i e s t h a t z 0 E c i X m f o r m n .

N o w c o n s t r u c t c r o s s c u t s { ) ' , } a s i n P r o p o s i t i o n 2 . 9 s o t h a t f t c I ( i n s =

{ Z o } , d i a m— *

0 , a n d i s a 0 - c h a i n o f C I . I t i s c l a i m e d t h a tX , , f l 0 f o r a l l s u f f i c i e n t l y l a r g e v a l u e s o f j . I n f a c t , i f t h i s w e r e n o tt h e c a s e , t h e n , b y c o n n e c t e d n e s s a n d t h e f a c t t h a t z o E c i X , , , X , , c i n s Y ,

f o r a l l j . B u t d i a m [ i n s Y , ] — , 0 a n d s o t h i s i m p l i e s t h a t X , i s a s i n g l e -t o n , a c o n t r a d i c t i o n . H e n c e t h e r e m u s t b e a j o s u c h t h a t f l V , 0 f o r

j i o . S i m i l a r l y , j o c a n b e c h o s e n s o t h a t w e a l s o h a v e f l Y , 0 f o r

j j 0 . B u t t h i s i m p l i e s t h a t C , r ( Y , ) 0 f l r ( Y 3 ) f o r j j o .T h e r e f o r e , d i a m r ( Y , ) , a n d t h i s c o n v e r g e s t o 0 . T h u s

c i C , % n c i 0 , c o n t r a d i c t i n g t h e d e f i n i t i o n o f a 0 - c h a i n . T h i s i m p l i e st h a t ( 3 . 1 0 ) h o l d s . 0

P r o o f o f T h e o r e m D e f i n e c l D ( i b y l e t t i n g = r ( z ) f o r

< 1 a n d = t h e p r i m e e n d o f c o r r e s p o n d i n g t o t h e 0 - c h a i n { r ( Y , ) } ,w h e r e i s a n y 0 - c h a i n i n D s u c h t h a t ( i n s Y 3 ) = { z } a n d { r ( 1 ) }

i s a 0 - c h a i n i n f t . W e h a v e a l r e a d y s e e n t h a t t i s w e l l d e f i n e d .T o s h o w t h a t i s s u b j e c t i v e , l e t p E 1 l \ f I a n d l e t b e a 0 - c h a i n i n p .I f X , , = t h e n ( 3 . 1 0 ) a n d P r o p o s i t i o n 2 . 9 i m p l y w e c a n c o n s t r u c t

a 0 - c h a i n { Y , } i n D w i t h f l , c i ( i n s 1 ' , ) = { z } , a 0 - c h a i n i n 1 2 , a n di n s ç i n s X , , f o r e v e r y n . M o r e o v e r , f o r e a c h n , t h e f o r m o f ( 3 . 9 ) ,

a n d f a c t t h a t d i a m [ i n s X m l — ' ( ) i m p l y t h a t i n s X m c Y 1 , f o r s u f f i c i e n t l yl a r g e m . T h i s i m p l i e s t h a t a n d a r e e q u i v a l e n t 0 - c h a i n s i n 1 2

a n d s o = p .

T h e p r o o f t h a t i s o n e - t o - o n e i s l e f t t o t h e r e a d e r ( E x e r c i s e 2 ) .I t r e m a i n s t o s h o w t h a t i s a h o m e o m o r p h i s m . L e t U b e a n o p e n s u b s e t

o f c i ; i t m u s t b e s h o w n t h a t i s ( r e l a t i v e l y ) o p e n i n c i D . C l e a r l y= r ' ( U f l f t ) , a n d s o t h i s s e t i s o p e n . I f z 0 e i t

m u s t b e s h o w n t h a t t h e r e i s a < 5 > 0 w i t h D f l B ( z o ; b ) t ' ( U ) f l D . P u tp = f ( z o ) ; s o p E U \ 1 2 . L e t E p ; b y d e f i n i t i o n , t h e r e i s a n i n t e g e rn s u c h t h a t i n s C , , C U n f t . I f X , t h e n X , , i s a c r o s s c u t a n d

i n s X , , = r 1 ( i n s C , , )f l 0 . B y ( 3 . 1 0 ) , t h e r e i s a 6 > 0 w i t h

O f l B ( z o ; < 5 ) c i n s X , . , , a n d s o i s c o n t i n u o u s .F i n a l l y , t o s h o w t h a t i s a n o p e n m a p i t s u f f i c e s t o f i x a z O i n 8 D

a n d a 5 > 0 a n d s h o w t h a t * ( d D f l B ( z o ; 5 ) ) c o n t a i n s a n o p e n n e i g h .b o r h o o d o f p = C o n s t r u c t a 0 - c h a i n { Y , , } a s i n P r o p o s i t i o n 2 . 9w i t h f l , , c l t i n s Y , , ) = { z o } a n d c i t i n s Y , , J C B ( z o ; < 5 ) f o r a l l n . T h u s

p a n d i n s r ( Y , , ) = r ( i n s Y , , ) ç 1 2 D f l B ( z o ; < 5 ) ) . B yd e f i n i t i o n , D f l B ( z o ; 5 ) ) i s a n e i g h b o r h o o d o f p . 0

S o m e a d d i t i o n a l m a t e r i a l o n p r i m e e n d s w i l l a p p e a r i n t h e f o l l o w i n g t w os e c t i o n s . A d d i t i o n a l r e s u l t s c a n b e f o u n d i n C c l i i n g w o o d a n d L o h w a t e r

( 1 9 6 6 J a n d O h t s u k a [ 1 9 6 7 J .

E x e r c i s e s

1 . P r o v e t h a t t h e c o l l e c t i o n o f o p e n s e t s i n 1 1 f o r m s a t o p o l o g y o n f t .2 . S u p p l y t h e d e t a i l s o f t h e p r o o f t h a t t h e m a p i s o n e - t o - o n e .

1 4 . 4 . I m p r e s s i o n s o f a P r i m e E n d 4 5

3 . C a n y o u g i v e a d i r e c t p r o o f ( t h a t i s , w i t h o u t u s i n g T h e o r e m 3 . 4 ) t h a ti s c o m p a c t ?

4 . I f i s t h e s l i t d i s k , d e s c r i b e t h e t o p o l o g y o n f t

§ 4 I m p r e s s i o n s o f a P r i m e E n d

W e a l r e a d y h a v e s e e n i n § 1 t h e d e f i n i t i o n o f t h e c l u s t e r s e t o f a f u n c t i o nf : C C a t a p o i n t a i n 0 G . H e r e w e s p e c i a l i z e t o a b o u n d e d f u n c t i o n/ : — C a n d d e f i n e t h e r a d i a l c l u s t e r s e t o f I a t a p o i n t a i n O D .

T h e p r e l i m i n a r y r e s u l t s a s w e l l a s t h e i r p r o o f s a r e s i m i l a r t o t h e a n a l o g o u sr e s u l t s a b o u t t h e c l u s t e r s e t o f a f u l c t i o n .

4 . 1 D e f i n i t i o n . 1 f f : D C i s a b o u n d e d f u n c t i o n a n d a 3 D , t h e r a d i a lc l u s t e r s e t o f f a t a i s t h e s e t

{ f ( r a ) : i — e < r < 1 } .

T h e f o l l o w i n g r e s u l t s a r e c l e a r .

4 . 2 P r o p o s i t i o n .

( a ) 1 f f : D — . C a b o u n d e d f u n c t i o n a n d a E 3 D , t h e n E C l u r ( f ; a ) i fa n d o n l y i f t h e r e i s a s e q u e n c e i n c r e a s i n g t o 1 s u c h t h a t

( b ) 1 f f i s c o n t i n u o u s , t h e n a ) i s a n o n - e m p t y c o m p a c t c o n n e c t e d

( c ) 1 f f i s a h o m e o m o r p h i s m o f D o n t o i t s i m a g e , t h e n i s as u b s e t o f 0 1 ( D ) .

4 . 3 P r o p o s i t i o n . 1 f f : D C i s a b o u n d e d f u n c t i o n a n d a E 3 D , t h e n fh a s a r a d i a l l i m i t a t a e q u a l t o ( i f a n d o n l y i f C l u r ( f ; a ) = { ( } -

N o w l e t ' s i n t r o d u c e a n o t h e r p a i r o f s e t s a s s o c i a t e d w i t h a p r i m e e n d o fa b o u n d e d s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n c o n t a i n i n g 0 . T h e c o n n e c t i o n w i t h

t h e c l u s t e r s e t s w i l l b e d i s c u s s e d s h o r t l y .

4 . 4 D e f i n i t i o n . I f p i s a p r i m e e n d o f a b o u n d e d s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o nf l , t h e i m p r e s s i o n o f p i s t h e s e t

1 ( r ) c i [ i n s

w h e r e E p .

I t i s r o u t m e t o s h o w t h a t t h e d e f i n i t i o n o f t h e i m p r e s s i o n d o e s n o t d e p e n do n t h e c h o i c e o f t h e 0 - c h a i n i n p s o t h a t 1 ( p ) i s w e l l d e f i n e d .

4 . 5 P r o p o s i t i o n . F o r e a c h p r i m e e n d p o f f i , t h e i m p r e s s i o n 1 ( p ) i s a

n o n - e m p t y c o m p a c t c o n n e c t e d s u b s e t o f O f l .

4 . 6 D e f i n i t i o n . I f p i s a p r i m e e n d o f C l , a c o m p l e x n u m b e r i s c a l l e d ap r i n c i p a l p o i n t o f p i f t h e r e i s a i n p s u c h t h a t C , — ' c i n t h e s e n s et h a t f o r e v e r y e > 0 t h e r e i s a n i n t e g e r n o s u c h t h a t d i s t ( ( , < r f o r a l lf l f l o . L e t f l ( p ) d e n o t e t h e s e t o f p r i n c i p a l p o i n t s o f p .

I t m i g h t b e e x p e c t e d t h a t a t t h i s p o i n t i t w o u l d b e d e m o n s t r a t e d t h a tI l ( p ) i s a n o n - e m p t y c o m p a c t a n d p o s s i b l y e v e n c o n n e c t e d s u b s e t o f O f t

T h i s w i l l i n f a c t f o l l o w f r o m t h e n e x t t h e o r e m , s o w e c o n t e n t o u r s e l v e s w i t ht h e o b s e r v a t i o n t h a t f l ( p ) ç 1 ( p ) .

4 . 7 T h e o r e m . I f r D C l i s t h e R i e m a n n m a p w i t h r ( O ) = 0 a n dr ' ( O ) > 0 , a E O D , a n d p i s t h e p r i m e e n d f o r C l c o r r e s p o n d i n g t o a ( t h a ti s , p = t h e n

C l u ( r ; a ) = 1 ( p ) a n d

P r o o f . L e t ( E C l u ( r ; a ) a n d l e t { z k } b e a s e q u e n c e i n 1 ) s u c h t h a t r ( z k )ç L e t E p . B y L e m m a 3 . 8 t h e r e a r e p o s i t i v e n u m b e r s e , , a n d s u c ht h a t D f l i n s ç D f l f o r a l l n . T h i s i m p l i e st h a t f o r e v e r y n 1 t h e r e i s a n i n t e g e r s u c h t h a t Z k E i n s ( C s ) f o rk T h u s r ( z k ) i n s f o r k a n d s o c i ( i n s C e ) . T h e r e f o r e

1 ( p ) .N o w a s s u m e t h a t ( E 1 ( p ) . I f p , t h e n ( c i ( i n s f o r a l ln 1 . H e n c e f o r e a c h n 1 t h e r e i s a p o i n t z , , l f l i n s w i t h

— < 1 / n . B u t a n a p p l i c a t i o n o f L e m m a 3 . 8 s h o w s t h a t z , , — . aa n d s o ( E C l u ( r ; a ) .

L e t E C l u r ( r ; a ) a n d l e t 1 1 s u c h t h a t — , ( ; d e f i n e t h ec r o s s c u t s a s i n P r o p o s i t i o n 2 . 9 s o t h a t i s a 0 - c h a i n i n C la n d E f o r e a c h n . N o t e t h a t o f n e c e s s i t y p . T h u s

( E f l ( p ) .F i n a l l y a s s u m e t h a t ( E 1 1 ( p ) a n d l e t b e a 0 - c h a i n i n p s u c h t h a tC 1 , , ( . A n a p p l i c a t i o n o f L e m m a 3 . 8 i m p l i e s t h a t C I u r ( r ; a ) . T h e

d e t a i l s a r e l e f t t o t h e r e a d e r . 0

A n i m m e d i a t e c o r o l l a r y o f t h e p r e c e d i n g t h e o r e m c a n b e o b t a i n e d b ya s s u m i n g t h a t t h e t w o c l u s t e r s e t s a r e s i n g l e t o n s . B e f o r e s t a t i n g t h i s e x -p l i c i t l y , a n a d d i t i o n a l t y p e o f p r i m e e n d i s i n t r o d u c e d t h a t i s e q u i v a l e n t t o

s u c h a n a s s u m p t i o n . S a y t h a t a p r i m e e n d p o f C l i s a c c e s s i b l e i f t h e r e i s aJ o r d a n a r c ( 0 , 1 1 c I C l w i t h - y ( t ) i n C l f o r 0 < t < I a n d y ( l ) i n O f ls u c h t h a t f o r s o m e i n p , ' y f l C , , , 0 f o r a l l s u f f i c i e n t l y l a r g e n . N o t e

1 4 . 4 . I m p r e s s i o n s o f a P r i m e E n d 4 7

t h a t i f p i s a n a c c e s s i b l e p r i m e e n d , t h e n f o r e v e r y i n p , f l 0

f o r s u f f i c i e n t l y l a r g e n .

4 . 8 C o r o l l a r y . L e t i : D b e t h e R i e m a n n m a p w i t h r ( O ) = 0 a n d

r ' ( O ) > O a n d l e t a E 8 D w i t h p = ? ( a ) .( a ) r ( z ) e x i s t s i f a n d o n l y i f 1 ( p ) i s a s i n g l e t o n .

( b ) T h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t s a r e e q u i v a l e n t .

( i ) r ( r a ) e x i s t s .( i i ) 1 1 ( p ) i s a s i n g l e t o n .( i i i ) p i s a n a c c e s s i b l e p r i m e e n d .

P r o o f . T h e p r o o f o f ( a ) i s c l e a r i n l i g h t o f t h e t h e o r e m a n d P r o p o s i t i o n 4 . 3 .( b ) T h e e q u i v a l e n c e o f ( i ) a n d ( i i ) i s a l s o i m m e d i a t e f r o m t h e t h e o r e ma n d P r o p o s i t i o n 4 . 3 . A s s u m e ( 1 ) a n d l e t ( r ( r a ) . S o ( E O i l a n d7 ( r ) r ( r a ) i s t h e r e q u i s i t e a r c t o d e m o n s t r a t e t h a t p i s a n a c c e s s i b l ep r i m e e n d . T h i s p r o v e s ( i i i ) .

N o w a s s u m e t h a t ( i i i ) h o l d s a n d l e t ( 0 , C b e t h e J o r d a n a r ca s i n t h e d e f i n i t i o n o f a n a c c e s s i b l e p r i m e e n d ; l e t ( = 7 ( 1 ) . T h u s o ( t ) =

r ' ( 7 ( t ) ) f o r 0 t < 1 i s a J o r d a n a r c i n D . L e t p a n d p u t= A c c o r d i n g t o L e m m a 3 . 8 t h e r e a r e s e q u e n c e s o f p o s i t i v e

n u m b e r s a n d t h a t c o n v e r g e t o 0 s u c h t h a t f o r e v e r y n 1 ,D f l ç i n s c D i i w h e r e

{ a } = f l c l [ i n s

I f e > 0 i s a r b i t r a r y , c h o o s e n 0 s u c h t h a t e , , < n d y i i C , , $ 0 f o r

T h u s 0 ( t ) E i n s X , , a n d h e n c e — < e w h e n t o < t . T h i s s a y s t h a t0 ( t ) a a s t 1 ; d e f i n e o ( 1 ) = a . B y T h e o r e m 1 3 . 5 . 4 , r h a s a r a d i a l l i m i ta t a . 0

E x e r c i s e s1 . P r o v e t h a t t h e d e f i n i t i o n o f 1 ( p ) ( 4 . 4 ) d o e s n o t d e p e n d o n t h e c h o i c e

o f 0 - c h a i n

2 . L e t K b e a n o n - e m p t y c o m p a c t c o n n e c t e d s u b s e t o f C s u c h t h a t Kh a s n o i n t e r i o r a n d C \ K i s c o n n e c t e d . S h o w t h a t t h e r e i s a s i m p l y

c o n n e c t e d r e g i o n i l f o r w h i c h K = 1 ( p ) f o r s o m e p r i m e e n d p o f i l .( T h e c o n v e r s e o f t h i s i s n o t t r u e a s t h e n e x t e x e r c i s e s h o w s . )

3 . L e t 7 ( t ) = f o r 0 t < o o a n d p u t f 2 = D \ S h o w t h a ti l h a s a p r i m e e n d p s u c h t h a t 1 ( p ) = l i D .

§ 5 B o u n d a r y V a l u e s o f R i e m a n n M a p s

I n t h i s s e c t i o n w e a d d r e s s t h e p r o b l e m o f c o n t i n u o u s l y e x t e n d i n g a R i e m a n n

m a p r f r o m D o n t o a s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n c i t o a c o n t i n u o u s m a p f r o mt h e c l o s u r e o f D t o t h e c l o s u r e o f c i . F i r s t n o t e t h a t P r o p o s i t i o n 1 . 1 1 i m p l i e st h a t i f r D — ' c i h a s a c o n t i n u o u s e x t e n s i o n , r c i D c i c i , t h e nr ( O D ) ç O f t . T h u s r m a p s c i D o n t o c i f t a n d s o r ( O D ) = O f t . T h i s a l s o

s h o w s t h a t O f t i s a c u r v e . I f r e x t e n d s t o a h o m e o m o r p h i s m , t h e n O f t i s aJ o r d a n c u r v e . T h e p r i n c i p a l r e s u l t s o f t h i s s e c t i o n s t a t e t h a t t h e c o n v e r s eo f t h e s e o b s e r v a t i o n s i s a l s o t r u e . I f O i l i s a c u r v e , r h a s a c o n t i n u o u se x t e n s i o n t o c i D ; i f O i l i s a J o r d a n c u r v e , r e x t e n d s t o a h o m e o m o r p h i s m

o f c i D o n t o c i I l .T h i s i s a r e m a r k a b l e r e s u l t a n d m a k e s h e a v y u s e o f t h e f a c t t h a t r i sa n a l y t i c . I t i s n o t d i f f i c u l t t o s h o w t h a t = z e x p ( i / ( 1 — i s a h o m e -o m o r p h i s m o f D o n t o i t s e l f . H o w e v e r e a c h r a d i a l s e g m e n t i n D i s m a p p e do n t o a s p i r a l a n d s o a ) = 0 D f o r e v e r y a i n 0 D . S o c a n n o t b ec o n t i n u o u s l y e x t e n d e d t o a n y p o i n t o f t h e c i r c l e .

W h y s u s p e c t t h a t c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e s b e h a v e d i f f e r e n t l y f r o m h o m e -o m o r p h i s m s ? O f c o u r s e w e h a v e s e e n t h a t t h e c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e s o f

o n t o i t s e l f h a v e h o m e o m o r p h i c e x t e n s i o n s t o t h e c l o s u r e . A l s o i m a g i n e t h ec u r v e s = r > 0 ; t h e i m a g e s o f t h e c i r c l e s o f r a d i u s r . r m a p st h e r a d i a l s e g m e n t s o n t o J o r d a n a r c s t h a t a r e o r t h o g o n a l t o t h i s f a m i l y o f

c u r v e s . I f O i l i s a J o r d a n c u r v e , t h e n t h e c u r v e s r > 0 } a p p r o a c h O f ti n s o m e s e n s e . Y o u m i g h t b e l e d t o b e l i e v e t h a t r h a s a n i c e r a d i a l l i m i t a t

e a c h p o i n t o f 0 D .W e b e g i n w i t h s o m e t o p o l o g i c a l c o n s i d e r a t i o n s .

5 . 1 D e f i n i t i o n . A c o m p a c t m e t r i c s p a c e X i s l o c a l l y c o n n e c t e d i f f o r e v e r ye > 0 t h e r e i s a 6 > 0 s u c h t h a t w h e n e v e r x a n d y a r e p o i n t s i n X w i t h

I x — y j < 6 , t h e r e i s a c o n n e c t e d s u b s e t A o f X c o n t a i n i n g x a n d y a n ds a t i s f y i n g d i a m A <

T h e p r o o f s o f t h e f o l l o w i n g t o p o l o g y f a c t s c o n c e r n i n g l o c a l c o n n e c t e d n e s sa r e l e f t t o t h e r e a d e r . A n a l t e r n a t i v e i s t o c o n s u l t H o c k i n g a n d Y o u n g [ 1 9 6 1 1 .

5 . 2 P r o p o s i t i o n . f i x i s a c o m p a c t m e t r i c s p a c e , t h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t sa r e e q u i v a l e n t .

( a ) X i s l o c a l l y c o n n e c t e d .

( b ) F o r e v e r y e > 0 t h e r e a r e c o m p a c t c o n n e c t e d s e t s A 1 , . . . , A m w i t h

( c ) F o r e v e r y e >0

a n d f o r e v e r y x i n X , t h e r e i s a c o n n e c t e d o p e n s e tU s u c h t h a t x E U C B ( x ; e ) .



1 4 . 5 . B o u n d a r y V a l u e s o f R i e m a n n M a p s 4 9

P a r t ( c ) o f t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n i s t h e u s u a l d e f i n i t i o n o f l o c a l c o n -n e c t e d n e s s . I n d e e d i t c a n b e e a s i l y e x t e n d e d t o a d e f i n i t i o n t h a t c a n b em a d e f o r a r b i t r a r y t o p o l o g i c a l s p a c e s . D e f i n i t i o n 5 . 1 w a s c h o s e n f o r t h e

d e f i n i t i o n h e r e b e c a u s e i t i s t h e p r o p e r t y t h a t w i l l b e u s e d m o s t o f t e n i ns u b s e q u e n t p r o o f s .T h e n e x t t o p o l o g i c a l f a c t i s e a s i e r t o p r o v e .

5 . 3 P r o p o s i t i o n . I f X a n d Y a r e c o m p a c t m e t r i c s p a c e s , / : X Yi s a c o n t i n u o u s s u i j e c t i o n , a n d X i s l o c a l l y c o n n e c t e d , t h e n Y i s l o c a l l yc o n n e c t e d .

N o t e t h a t a s a r e s u l t o f t h i s p r o p o s i t i o n i t f o l l o w s t h a t e v e r y p a t h i s

l o c a l l y c o n n e c t e d . W e n e e d o n e f i n a l t o p o l o g i c a l l e m m a t h a t w i l l b e u s e di n t h e p r o o f o f t h e m a i n r e s u l t s o f t h i s s e c t i o n .

5 . 4 L e m m a . I f A 1 a n d A 2 a r e c o m p a c t c o n n e c t e d s u b s e t s o f C w i t h A 1 f l A 2c o n n e c t e d a n d n o n - e m p t y a n d x a n d y a r e p o i n t s s u c h t h a t n e i t h e r A 1 n o rA 2 s e p a r a t e s x f r o m y , t h e n A 1 U A 2 d o e s n o t s e p a r a t e x a n d y .

P r o o f . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y i t c a n b e a s s u m e d t h a t x = 0 a n d y = c c .

F o r j = 1 , 2 l e t [ 0 , 1 ) \ A , b e a p a t h w i t h = 0 a n d= c c . S i n c e A 1 f l A 2 i s a c o n n e c t e d s u b s e t o f C \ U 7 2 ) t h e r e i s ac o m p o n e n t C o f C \ U c o n t a i n i n g A 1 f l A 2 . T h u s A 1 \ C a n d A 2 \ Ca r e d i s j o i n t c o m p a c t s u b s e t s o f C \ ' y 1 a n d C \ - y 2 ; t h e r e f o r e t h e r e a r e d i s j o i n to p e n s e t s V 1 a n d V 2 s u c h t h a t f o r j = 1 , 2 , A , \ C C \

L e t U = C u V 1 U V 2 s o t h a t A 1 U A 2 c U . P r o p o s i t i o n 1 3 . 1 . 7 i m p l i e st h e r e i s a s m o o t h J o r d a n c u r v e c r i n U t h a t s e p a r a t e s A 1 U A 2 f r o m c c ;t h u s A 1 u A 2 c i n s o - . I t w i l l b e s h o w n t h a t 0 i s i n t h e o u t s i d e o f a s o t h a t

A 1 U A 2 d o e s n o t s e p a r a t e 0 f r o m c c .N o t e t h a t e a c h c o m p o n e n t C \ - y 3 i s s i m p l y c o n n e c t e d a n d d o e s n o t c o n t a i n0 . T h u s t h e r e i s a b r a n c h o f t h e l o g a r i t h m f : C \ C . M o r e o v e r t h e s ef u n c t i o n s c a n b e c h o s e n s o t h a t f j ( z ) = f 2 ( z ) o n C . T h e r e f o r e

i f z E V 1

f ( z ) = 1 2 ( Z ) i f z E V 2

f l ( z ) = f 2 ( z ) i f z E Gi s a w e l l d e f i n e d b r a n c h o f t h e l o g a r i t h m o n U . S i n c e f ' ( z ) = o n U , t h ew i n d i n g n u m b e r o f a a b o u t 0 i s 0 . T h e r e f o r e 0 i s i n t h e o u t s i d e o f 0

P o m m e r e n k e [ 1 9 7 5 ) c a l l s t h e p r e c e d i n g l e m m a J a n i s z e w s k i ' s T h e o r e m .N o w f o r o n e o f t h e m a i n t h e o r e m s i n t h i s s e c t i o n .

5 . 5 T h e o r e m . L e t b e a b o u n d e d s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n a n d l e t rD b e t h e R i e m a n n m a p w i t h r ( 0 ) = 0 a n d r ' ( O ) > 0 . T h e f o l l o w i n gs t a t e m e n t s a r e e q u i v a l e n t .

( a ) r h a s a c o n t i n u o u s e x t e n s i o n t o t h e c l o s u r e o f D .

( b ) O c i i s a c o n t i n u o u s p a t h .

( c ) 8 ( 2 i s l o c a l l y c o n n e c t e d .( d ) C , , \ C l i s l o c a l l R J c o n n e c t e d .

P r o o f . I t h a s a l r e a d y b e e n p o i n t e d o u t t h a t ( a ) i m p l i e s ( b ) i m p l i e s ( c ) .A s s u m e t h a t ( c ) h o l d s . T o p r o v e ( d ) , l e t e > 0 a n d c h o o s e 6 > 0 s o t h a tf o r x a n d y i n 0 ( 2 a n d — < 6 t h e r e i s a c o n n e c t e d s u b s e t B o f 0 ( 2 t h a t

c o n t a i n s x a n d y a n d s a t i s f i e s d i a m B < e / 3 . C h o o s e 6 s o t h a t 5 < e / 3 . I t

s u f f i c e s t o s h o w t h a t i f z a n d i n E X C \ C l s u c h t h a t I z — < 6 , t h e nt h e r e i s a c o n n e c t e d s u b s e t A o f C \ c i t h a t c o n t a i n s z a n d i n a n d s a t i s f i e sd i a z n Z < e . ( W h y ? ) E x a m i n e [ z , i n ] f l a n d l e t x a n d y b e t h e p o i n t s i n

t h i s s e t t h a t a r e n e a r e s t z a n d i n , r e s p e c t i v e l y ; t h u s — < 6 . L e t B b et h e s u b s e t o f 8 ( 2 a s a b o v e a n d p u t A = ( z , z ] U B U [ y , w } . S o d i a m A < ea n d z , i n A .

N o w a s s u m e t h a t ( d ) h o l d s . T o p r o v e ( a ) i t s u f f i c e s t o s h o w t h a t f o r e v e r yp r i m e e n d p o f ( 1 t h e i m p r e s s i o n I ( p ) i s a s i n g l e t o n . F i x t h e p r i m e e n d p

a n d l e t { C 1 , } E p . L e t 0 < e < d i s t ( 0 , O f l ) a n d l e t 6 > O b e c h o s e n a si n t h e d e f i n i t i o n o f L o c a l l y c o n n e c t e d ; a l s o c h o o s e 5 < e . F i n d a n i n t e g e rn o s u c h t h a t d i a i n C , < 6 f o r i i n 0 . T h u s i f a , , a n d b , , a r e t h e e n dp o i n t s o f i a , , — < 6 . S i n c e X C \ c i i s l o c a l l y c o n n e c t e d t h e r e i sa c o m p a c t c o n n e c t e d s u b s e t B , , o f X t h a t c o n t a i n s a , , a n d b , , a n d s a t i s f i e sd i a i n B , , < c . O b s e r v e t h a t B , U C , , i s a c o n n e c t e d s u b s e t o f B ( a , , ; c ) .

T h u s i f K — a , , I > e , t h e n 0 a n d ( a r e n o t s e p a r a t e d b y B , , U C , , . I f i na d d i t i o n ( E C l , t h e n 0 a n d ( a r e n o t s e p a r a t e d b y X . B u t ( B , , U C , , ) n X =B , , i s c o n n e c t e d . T h u s t h e p r e c e d i n g l e m m a i m p l i e s t h a t f o r ( i n C l w i t h

> e , 0 a n d ( a r e n o t s e p a r a t e d b y ( B , , U C , , ) u X C , , U X . T h a t i s ,

b o t h 0 a n d ( b e l o n g t o t h e s a m e c o m p o n e n t o f C \ ( C , , u X ) = C l \ C , , . H e n c e( E o u t C a n d K — a , , j > c . B u t t h i s s a y s t h a t i n s C , , ç B ( a , , ; e )

a n d s o d i a m C , , < c f o r n o . T h u s 1 ( p ) i s a s i n g l e t o n . 0

I t i s n o w a r a t h e r e a s y m a t t e r t o c h a r a c t e r i z e t h o s e R i e m a n n m a p s t h a t

e x t e n d t o a h o m e o m o r p h i s m o n c i U ,5 . 6 T h e o r e m . I f c i i s a b o u n d e d s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n a n d r : D — + C l

i s t h e R i e m a n n m a p w i t h = 0 a n d r ' ( O ) > 0 , t h e n r e x t e n d s t o b e ah o m e o m o r p h i s m o / c l D o n t o d c i i / a n d o r d y 1 / O f ] i s a J o n i a n c u r v e .

P r o o f . I f r e x t e n d s t o a h o m e o m o r p h i s m o f c i D o n t o c i C l , t h e n , a s m e n -t i o n e d b e f o r e , - r ( 8 D ) = 0 ( 2 a n d s o 0 ( 2 i s a J o r d a n c u r v e . C o n v e r s e l y , a s s u m et h a t 0 ( 2 i s a J o r d a n c u r v e . B y T h e o r e m 5 . 5 , r h a s a c o n t i n u o u s e x t e n s i o nt o r : c i U — c i ( 2 . I t r e m a i n s t o p r o v e t h a t r i s o n e - t o - o n e o n O f ] .

S u p p o s e W I , i n 2 O D a n d r ( w 1 ) = r ( w 2 ) ; l e t : 0 r 1 } .

S o a n d a r e t w o J o r d a n a r c s w i t h e n d p o i n t s r ( 0 ) = 0 a n d w o =

1 4 . 5 . B o u n d a r y V a l u e s o f R i e m a n n M a p s

r ( w i ) = r ( w 2 ) t h a t l i e i n s i d e 1 1 e x c e p t f o r t h e f i n a l p o i n t . T a k e n t o g e t h e r ,t h e s e a r c s f o r m a ( c l o s e d ) J o r d a n c u r v e a ; l e t A = m a a . ( I n f a c t , a i sa c r o s s c u t . ) B y C o r o l l a r y 1 3 . 1 . 1 1 , A Q . P u t = ( O u t a ) f l 1 ) ; A 1 i s

c o n n e c t e d ( v e r i f y ) . A l s o O b s e r v e t h a t i st h e s i n g l e t o n { a o } .L e t V a n d V 1 b e t h e t w o c o m p o n e n t s o f D \ { r w 8 : 0 r < 1 , i = 1 , 2 } .

S i n c e r ( V L i V 1 ) = A U A , , a c o n n e c t e d n e s s a r g u m e n t s h o w s t h a t e i t h e rr ( V ) = A o r r ( V ) = A , . A s s u m e t h a t r ( V ) A ; h e n c e r ( V i ) = A , .

T h e p r o o f n o w p r o c e e d s t o s h o w t h a t i f w b e l o n g s t o t h e a r c O D f l e 9 V ,t h e n r ( w ) = w 0 . F i x w i n t h i s a r c ; s o . X = { r ( r w ) : 0 r 1 } i s a p a t h i nA e x c e p t f o r t h e p o i n t s 0 a n d r ( w ) . B u t r ( w ) ( c i A ) f l ä f l = { w o } . S i n c e

w w a s a n a r b i t r a r y p o i n t i n t h e a r c O D n O V , t h i s s h o w s t h a t t h e b o u n d e da n a l y t i c f u n c t i o n r i s c o n s t a n t a l o n g a n a r c o f O D . B y T h e o r e m 1 3 . 5 . 3 , r

i s a c o n s t a n t f u n c t i o n , a c o n t r a d i c t i o n . 0

A s i m p l e J o r d a n i s a s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n w h o s e b o u n d a r y i sa J o r d a n c u r v e .

5 . 7 C o r o l l a r y . I f G a n d f l a r e t w o s i m p l e J o r d a n r e g i o n s a n d f : G — 'i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e , t h e n / h a s a n e x t e n s i o n t o a h o m e o m o r p h i s mo f c l G o n t o c i f i .

R e c a l l t h a t a c u r v e ' y O D C i s r e c t i f i a b l e i f 9 — ' i s a f u n c t i o no f b o u n d e d v a r i a t i o n a n d t h e l e n g t h o f t h e c u r v e i s g i v e n b y f d f r y l ( e * O )

V ( 7 ) , t h e t o t a l v a r i a t i o n o f I f t h e b o u n d a r y o f a s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o ni s a r e c t i f i a b l e c u r v e , T h e o r e m 5 . 5 c a n b e r e f i n e d .

I n C h a p t e r 2 0 t h e c l a s s o f a n a l y t i c f u n c t i o n s H ' w i l l b e i n v e s t i g a t e d .

H e r e t h i s c l a s s w i l l b e u s e d o n l y a s a n o t a t i o n a l d e v i c e t h o u g h o n e r e s u l tf r o m t h e f u t u r e w i l l h a v e t o b e u s e d . I n f a c t H 1 c o n s i s t s o f t h o s e a n a l y t i cf u n c t i o n s f o n D s u c h t h a t

I1 J o )

N o t e t h a t i f f i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n D a n d 0 < r < 1 , t h e n 7 r ( 9 )

I ( r e ' ° ) d e f i n e s a r e c t i f i a b l e c u r v e . T h e L e n g t h o f t h i s c u r v e i s g i v e n b y

r J I / I f r e t e ) i d O .0

T h u s t h e c o n d i t i o n t h a t f ' H ' i s p r e c i s e l y t h e c o n d i t i o n t h a t t h e c u r v e s{ y r } h a v e u n i f o r m l y b o u n d e d l e n g t h s . T h i s l e a d s t o t h e n e x t r e s u l t .

5 . 8 T h e o r e m . A s s u m e t h a t i s a s i m p l e J o r d a n r e g i o n a n d l e t r : D — ,

b e t h e R i e m a n n m a p w i t h r ( 0 ) = 0 a n d r ' ( O ) > 0 . T h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t sa r e e q u i v a l e n t .

( a ) 0 1 2 i s a r e c t i f i a b l e J o r d a n c u r v e .

( b ) r ' E H 1 .

( c ) T h e f u n c t i o n 0 — , r ( e * O ) i s a f u n c t i o n o f b o u n d e d v a r i a t i o n .

( d ) T h e f u n c t i o n 9 — . i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s .

P r o o f . U s i n g T h e o r e m 5 . 6 , e x t e n d r t o a h o m e o m o r p h i s m o f c i D o n t o C l

A s s u m e t h a t i s a r e c t i f i a b l e p a r a m e t e r i z a t i o n o f a n d l e t a ( 9 ) =S i n c e b o t h a a n d a r e o n e - t o - o n e , t h e r e i s a h o m e o m o r p h i s m a : [ 0 , 2 1 r 1 — '

[ 0 , 2 i r l s u c h t h a t a ( 0 ) = - , i ( a ( 0 ) ) f o r a l l 0 . S o a i s e i t h e r i n c r e a s i n g o r d e -c r e a s i n g . f f 0 = 0 0 < = 2 i r , t h e n E I a ( O k ) — a ( O k _ 1 ) I =

E ( 0 ( 0 k ) ) — ' y ( a ( O k _ , ) ) ! V ( ' y ) s i n c e { o ( 9 o ) , . . . , a ( 9 , , ) } i s a l s o a p a r t i -

t i o n o f [ 0 , 2 i r J . T h u s a i s a b o u n d e d v a r i a t i o n . T h i s s h o w s t h a t ( a ) i m p l i e s( c ) . C l e a r l y ( c ) i m p l i e s ( a ) .

N o w l e t ' s s h o w t h a t ( b ) i m p l i e s ( c ) . A s s u m e t h a t r ' H ' a n d l e t 0 <

r < 1 . = 2 i r , t h e n

— = >

j 0

w h e r e C i s t h e c o n s t a n t w h o s e e x i s t e n c e i s g u a r a n t e e d b y t h e a s s u m p t i o nt h a t 1 . 1 b e l o n g s t o H ' . L e t t i n g r — ' 1 w e g e t t h a t

C

a n d s o r i s a f u n c t i o n o f b o u n d e d v a r i a t i o n o f O D .

T h e f a c t t h a t ( c ) a n d ( d ) a r e e q u i v a l e n t a n d i m p l y ( b ) w i l l b e s h o w n i nT h e o r e m 2 0 . 4 . 8 b e l o w . 0

N o w f o r a n a p p l i c a t i o n o f T h e o r e m 5 . 6 t o a c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e s i m p l yc o n n e c t e d r e g i o n s w h o s e b o u n d a r i e s a r e J o r d a n c u r v e s .

5 . 9 D e f i n i t i o n . F o r a n y r e g i o n f l a b o u n d a r y p o i n t i s a s i m p l e b o u n d a r yp o i n t i f w h e n e v e r i s a s e q u e n c e i n [ I c o n v e r g i n g t o t h e r e i s a p a t ha : [ 0 , I J — . C h a v i n g t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

( a )

a s e q u e n c e i n ( 0 , 1 ) s u c h t h a t t , , — ' 1 a n d f o ra l l n 1 .

1 4 . 5 . B o u n d a r y V a l u e s o f R i e m a n n M a p s 5 3

I t i s n o t h a r d t o s e e t h a t e a c h p o i n t o f 3 D i s a s i m p l e b o u n d a r y p o i n t( E x e r c i s e 4 ) . T h e r e g i o n i n F i g u r e 1 4 . 4 f u r n i s h e s e x a m p l e s o f b o u n d a r y

p o i n t s o f a s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n t h a t a r e n o t s i m p l e b o u n d a r y p o i n t s .

E x e r c i s e 4 a l s o s t a t e s t h a t n o t e v e r y p o i n t i n t h e b o u n d a r y o f a s l i t d i s k i sa s i m p l e b o u n d a r y p o i n t . H e r e i s o n e w a y o f g e t t i n g s o m e e x a m p l e s a n d ap r e c u r s o r o f t h e m a i n r e s u l t t o c o m e .

5 . 1 0 P r o p o s i t i o n . I f f i i s a s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n , g : I l D i s ac o n f o r m a l e q u i v a l e n c e , a n d E t 9 f l s u c h t h a t g h a s a n e x t e n s i o n t o ac o n t i n u o u s m a p f r o m f l U { w } o n t o D U { a } f o r s o m e a i n ä D , i s a

s i m p l e b o u n d a r y p o i n t o f 1 1 .


5 . 1 1 C o r o l l a r y . I f I l i s a s i m p l e J o r d a n r e g i o n , t h e n e v e r y p o i n t o f O f i i sa s i m p l e b o u n d a r y p o i n t .

T h e p r e c e d i n g c o r o l l a r y i s a g e o m e t r i c f a c t t h a t w a s d e r i v e d f r o m a t h e -o r e m o f a n a l y s i s ( 5 . 6 ) . G i v i n g a p u r e l y g e o m e t r i c p r o o f s e e m s q u i t e h a r d .

5 . 1 2 T h e o r e m .

( a ) L e t f i b e a b o u n d e d s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n a n d l e t g : — . D b e ac o n f o r m a l e q u i v a l e n c e . I f i s a s i m p l e b o u n d a r y p o i n t o f 1 1 , t h e n gh a s a c o n t i n u o u s e x t e n s i o n t o f l u { w } .

( b ) I f R i s t h e c o l l e c t i o n o f s i m p l e b o u n d a r y p o i n t s o f 1 2 , t h e n g h a s ac o n t i n u o u s o n e - t o - o n e e x t e n s i o n t o 1 2 U R .

P r o o f ( a ) I f g d o e s n o t h a v e s u c h a n e x t e n s i o n , t h e n t h e r e i s a s e q u e n c ei n 1 2 t h a t c o n v e r g e s t o w s u c h t h a t w 2 , 9 ( 4 ' 2 n + 1 )a n d w 1 w 2 . i t i s e a s y t o s e e t h a t w 1 a n d w 2 b e l o n g t o 3 D ( 1 . 1 1 ) . L e ta : 1 0 , 1 1 — ' I I U { w } b e a p a t h s u c h t h a t a ( 1 ) = = a n d — ' 1 .

P u t p ( t ) = g ( a ( t ) ) . I t f o l l o w s t h a t I p ( t ) I 1 a s t 1 ( w h y ? ) . L e t a n dJ 2 b e t h e t w o o p e n a r c s i n 3 D w i t h e n d p o i n t s w 1 a n d w 2 . B y d r a w i n g

a p i c t u r e i t c a n b e s e e n t h a t o n e o f t h e s e a r c s , s a y . J i , h a s t h e p r o p e r t yt h a t f o r e v e r y w o n a n d f o r O < s < 1 , t h e r e i s a t w i t h s < t < l a n d

p ( t ) l y i n g o n t h e r a d i u s [ O , w ] ( e x e r c i s e ) . I f r = g ' D — e f i , t h e n r i s ab o u n d e d a n a l y t i c f u n c t i o n s i n c e f l i s b o u n d e d . S o f o r a l m o s t e v e r y w i n . 1 1 ,r ( r w ) e x i s t s ; t e m p o r a r i l y f i x s u c h a w . B u t t h e p r o p e r t y o f J 1 j u s t

d i s c u s s e d i m p l i e s t h e r e i s a s e q u e n c e i n ( 0 , 1 ) s u c h t h a t s , , — 1 a n dw r a d i a l l y . T h u s — # r ( w ) . B u t = a ( s , , ) s o

r ( w ) = w f o r e v e r y p o i n t o f . 1 1 a t w h i c h r h a s a r a d i a l l i m i t . B y T h e o r e m1 3 . 5 . 3 , r i s c o n s t a n t , a c o n t r a d i c t i o n .

( b ) L e t g d e n o t e i t s o w n e x t e n s i o n t o 1 2 U R . S u p p o s e a n d w 2 a r e

d i s t i n c t p o i n t s i n R a n d = g ( w 2 ) ; w e m a y a s s u m e t h a t g ( w 1 ) =g ( W 2 ) = — 1 . S i n c e a n d a r e s i m p l e b o u n d a r y p o i n t s , f o r j = 1 , 2 t h e r ei s a p a t h 1 0 , 1 1 f l u s u c h t h a t a , ( l ) = w 3 a n d a 3 ( t ) 1 2 f o r

t < 1 . P u t p j ( t ) = g ( a , ( t ) ) ; s o p , ( [ 0 , 1 ) ) D a n d p , ( l ) = — 1 . L e t t o < 1s u c h t h a t f o r t o 8 , t 1

5 . 1 3 I Q i ( 8 ) — c r 2 ( t ) I > t " . ' i —

C h o o s e 8 > 0 s u f f i c i e n t l y s m a l l t h a t

p , ( I 0 , t o D f l B ( — 1 ; 6 ) = 0

f o r j = 1 , 2 a n d p u t S i n c e e a c h o f t h e c u r v e s p , t e r m i -n a s a t _ 1 , w b e n e v e r O < r < ö , t h e r e i s a t , > t o s o t h a t p , ( t , ) = W ,s a t i s f i e s 1 1 + t a , , J = r . A g a i n l e t t i n g = w e h a v e t h a t ( 5 . 1 3 ) i m p l i e s

t h a t

1— w 2 1 < I r ( w t ) —

J o '

F o r e a c h ' v a l u e o f r , l e t 8 , . b e t h e l a r g e s t a n g l e t h a n i r / 2 s u c h t h a t— 1 + E D f o r 1 0 1 < 8 , . . T h e a b o v e i n e q u a l i t i e s r p r n o i n v a l i d i f t h ei n t e g r a l i s f r o m 4 , . t o O r . D o t h i s a n d t h e n a p p l y t h e C a u c h y -

S c h w a r z I n e q u a l i t y f o r i n t e g r a l s t o g e t

I w i

f r ' ( — i + d o ] r 2 d O }

< i r r 2 [T h u s , p e r f o r m i n g t h e n e c e s s a r y a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n s a n d i n t e g r a t i n gw i t h r e s p e c t t o r f r o m 0 t o 6 , w e g e t

f r j= A r e a ( r ( A , 6 ) ) A r e a C l

S i n c e C l i s b o u n d e d , t h e r i g h t h a n d s i d e o f t h i s i n e q u a l i t y i s f i n i t e . T h eo n l y w a y t b e l e f t h a n d s i d e c a n b e f i n i t e i s i f w 1 = w 2 , c o n t r a d i c t i n g t h ea s s u m p t i o n t h a t t h e y a r e d i s t i n c t .

T h e p r o o f t h a t g i s c o n t i n u o u s o n f l u R i s l e f t t o t h e r e a d e r . 0

5 . 1 4 C o r o l l a r y . I f C l i s a b o u n d e d s i m p l y c o n n e c t e d i e g i o n i n t h e p l a n ea n d e v e r y b o u n d a r y p o i n t i i a s i m p l e b o u n d a r y p o i n t , t h e n O i l i s a J o n i a nc u r v e .



1 4 5 . B o u n d a r y V a l u e s o f R i e i n a n n M a p s 5 5

F i n a l l y , t h e r e s u l t s o f t h i s s e c t i o n c a n b e c o m b i n e d w i t h t h e r e s u l t s o nr e f l e c t i o n a c r o s s a n a n a l y t i c a r c .

5 . 1 5 P r o p o s i t i o n . L e t c i b e a s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n a n d l e t g : ( 1 1 )

b e a c o n f o n n o A e q u i v a l e n c e . I f L i s a f r e e a n a l y t i c b o u n d a r y a r c o f f t a n d Ki s a c o m p a c t s u b s e t o f L , t h e n g h a s a n a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n t o a r e g i o n

A c o n t a i n i n g f l u K .

P r o o f . U s e E x e r c i s e 7 a n d T h e o r e m 1 3 . 4 . 8 . 0

N o t e t h a t e v e n t h o u g h t h e f u n c t i o n g i n P r o p o s i t i o n 5 . 1 5 i s o n e - t o - o n e ,i t s e x t e n s i o n n e e d n o t b e .

5 . 1 6 E x a m p l e . L e t c i = D a s t h e c o m p o s i t i o no f t h e f u n c t i o n h ( z ) z + a n d t h e M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n T ( z ) =

z 2 — i z + 1g ( z ) = T o h ( z ) =z 2 + t z + 1

T h e f u n c t i o n h m a p s o n t o t h e u p p e r h a l f p l a n e a n d T m a p s t h i s h a l fp l a n e o n t o D . T h e u p p e r h a l f c i r c l e L i s a f r e e a n a l y t i c b o u n d a r y a r c o f ( Is o t h a t g b a a a n a n a l y t i c c o n t i n u a t 2 o n a c r o s s L . I n f a c t I t i s e a s y t o s e e t h a th # ( z ) = h ( z ) o n ( 1 a n d g # ( z ) = g ( z ) . T h u s e v e n t h o u g h g i s u n i v a l e n t

o n f t i s n o t .

T h e f o l l o w i n g q u e s t i o n a r i s e s . I f ( 1 i s a s i m p l e J o r d a n r e g i o n a n d t h ec u r v e t h a t f o r m s t h e b o u n d a r y o f f t h a s a d d i t i o n a l s m o o t h n e s s p r o p e r t i e s ,d o e s t h e b o u n d a r y f u n c t i o n o f t h e R i e m a n n m a p D f t h a v e s i m i l a rs m o o t h n e s s p r o p e r t i e s ? I f O f t i s a n a n a l y t i c c u r v e , w e h a v e t h a t r h a s a na n a l y t i c c o n t i n u a t i o n t o a n e i g h b o r h o o d o f c i 1 ) b y t h e S c h w a r z R e f l e c t i o nP r i n c i p l e . B u t w h a t i f 8 ( 1 i s j u s t C ° ° ; o r C t ? A d i s c u s s i o n o f t h i s q u e s t i o ni s i n B e l l a n d K r a n t z [ 1 9 8 7 1 . I n p a r t i c u l a r , t h e y s h o w t h a t i f 8 ( 1 i s C ° ° ,

t h e n s o i s t h e b o u n d a r y f u n c t i o n o f r .

E x e r c i s e s

1 . P r o v e P r o p o s i t i o n 5 . 2 .2 . T h i s e x e r c i s e w i l l o b v i a t e t h e n e e d f o r T h e o r e m 1 3 . 5 . 3 i n t h e p r o o f

o f T h e o r e m 5 . 6 . L e t r b e a b o u n d e d a n a l y t i c f u n c t i o n o n D a n d l e tJ b e a n o p e n a r c o f 8 D . S h o w , w i t h o u t u s i n g T h e o r e m 1 3 . 5 . 3 , t h a ti f ' r h a s a r a d i a l l i m i t a t e a c h p o i n t o f J a n d t h i s l i m i t i s 0 , t h e n

0 . ( H i n t : F o r a j u d i c i o u s c h o i c e o f w 1 , . . . , i n 8 D , c o n s i d e rt h e f u n c t i o n h ( z ) = r ( w 1 z ) r ( w 2 z ) . . .

3 . L e t C b e a r e g i o n a n d s u p p o s e t h a t 8 ( 3 s u c h t h a t t h e r e i s a6 > 0 w i t h t h e p r o p e r t y t h a t B ( a ; 6 ) f l ( 3 i s s i m p l y c o n n e c t e d a n d

B ( a ; 6 ) ( 1 Ô G i s a J o r d a n a r c - y . L e t c i b e a f i n i t e l y c o n n e c t e d r e g i o nw h o s e b o u n d a r y c o n s i s t s o f p a i r w i s e d i s j o i n t J o r d a n c u r v e s . S h o wt h a t 1 f f : G c i i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e , t h e n I h a s a c o n t i n u o u s

o n e . t o - o n e e x t e n s i o n t o C U4 . S h o w t h a t e v e r y p o i n t o f 8 D i s a s i m p l e b o u n d a r y p o i n t , i f c i i s t h e

s l i t d i s k D \ ( — 1 , 0 1 , s h o w t h a t p o i n t s o f t h e i n t e r v a l ( — 1 , 0 ) a r e n o ts i m p l e b o u n d a r y p o i n t s w h i l e a l l t h e r e m a i n i n g p o i n t s a r e .

5 . S h o w t h a t i f i s a s i m p l e b o u n d a r y p o i n t o f I i , t h e n t h e r e i s a 6 > 0s u c h t h a t 6 ) f l c i i s c o n n e c t e d .

6 . S h o w t h a t t h e c o n c l u s i o n o f T h e o r e m 5 . 1 2 r e m a i n s v a l i d i f c i i s n o ta s s u m e d t o b e b o u n d e d b u t C \ c i c i h a s i n t e r i o r . I s t h e c o n c l u s i o na l w a y s v a l i d ?

7 . S h o w t h a t i f J i s a f r e e a n a l y t i c b o u n d a r y a r c o f c i , t h e n e v e r y p o i n to f J i s a s i m p l e b o u n d a r y p o i n t .

8 . ( a ) I f g : c i I ) C i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n t h a t i s a n a l y t i c i n D , s h o wt h a t t h e r e i s a s e q u e n c e o f p o l y n o m i a l s { p n }

t h a tc o n v e r g e s u n i f o r m l y

o n c i i ) t o g . ( H i n t : F o r 0 < r < 1 , c o n s i d e r t h e f u n c t i o n 9 r : c i D — ' Cd e f i n e d b y g r ( z ) g f r z ) . ) ( b ) I f i s a J o r d a n c u r v e , c i i s t h e i n s i d eo f a n d I : c i c i C i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n t h a t i s a n a l y t i c o nc i , s h o w t h a t t h e r e i s a s e q u e n c e o f p o l y n o m i a l s } t h a t c o n v e r g e su n i f o r m l y o n c i c i t o f .

9 . I f C l i s a n y b o u n d e d r e g i o n i n t h e p l a n e a n d f : c i ( 1 - , C i s ac o n t i n u o u s f u n c t i o n t h a t i s a n a l y t i c o n C l a n d i f t h e r e i s a s e q u e n c e o f

p o l y n o m i a l s { j ¼ } t h a t c o n v e r g e s u n i f o r m l y o n c i 1 1 t o / , s h o w t h a t fh a s a n a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n t o m t [ C l ] , w h e r e I i i s t h e p o l y n o m i a l l y

c o n v e x h u l l o f C l .

1 0 . S u p p o s e t h a t G a n d C l a r e s i m p l y c o n n e c t e d J o r d a n r e g i o n s a n d fi s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o n c i C s u c h t h a t f i s a n a l y t i c o n C a n df ( G ) ç c i . S h o w t h a t i f / m a p s O G h o m e o m o r p h i c a l l y o n t o O C 1 ,t h e n f i s u n i v a l e n t o n C a n d f ( G ) C l .

§ 6 T h e A r e a T h e o r e m

I f f i s a n a l y t i c n e a r i n f i n i t y , t h e n i t i s a n a l y t i c o n a s e t o f t h e f o r m G ={ z : > R } = a n n ( 0 ; R , o o ) , a n d t h u s / h a s a L a u r e n t e x p a n s i o n i n C

f ( z ) =

1 4 . 6 . T h e A r e a T h e o r e m 5 7

t h i s s e r i e s c o n v e r g e s a b s o l u t e l y a n d u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o f G .W i t h t h i s n o t i o n , f h a s a p o l e a t o o o f o r d e r p i f = 0 f o r n > p . N o t et h a t t h i s i s t h e o p p o s i t e o f t h e d i s c u s s i o n o f p o l e s a t f i n i t e p o i n t s . T h e

r e s i d u e o f f a t o o i s t h e c o e f f i c i e n t a n d f h a s a r e m o v a b l e s i n g u l a r i t y a tc o i f t h i s e x p a n s i o n h a s t h e f o r m

a 2

H e r e = f ( o o ) , & i = f ' ( o o ) = z ( f ( z ) — a o )C o n s i d e r t h e c o l l e c t i o n U o f f u n c t i o n s f t h a t a r e u n i v a l e n t i n D { z :

1 ) a n d h a v e t h e f o r m

6 . 1

I n o t h e r w o r d s , U c o n s i s t s o f a l l u n i v a l e n t f u n c t i o n s o n D w i t h a s i m p l e p o l ea t 0 0 a n d r e s i d u e 1 . T h i s c l a s s o f f u n c t i o n s c a n b e c h a r a c t e r i z e d w i t h o u tr e f e r e n c e t o t h e L a u r e n t e x p a n s i o n . T h e e a s y p r o o f i s l e f t t o t h e r e a d e r .

6 . 2 P r o p o s i t i o n . A J u n c t i o n / b e l o n g s t o t h e c l a s s U i f a n d o n l y i f f i s

a u n i v a l e n t a n a l y t i c f u n c t i o n o n D s u c h t h a t f ( o o ) = o o a n d f — z h a s ar e m o v a b l e s i n g u l a r i t y a t 0 0 .

6 . 3 A r e a T h e o r e m . I f f E U a n d f h a s t h e e x p a n s i o n ( 6 . 1 ) , t h e n

< 1

P r o o f . F o r r > 1 , l e t F , . b e t h e c u r v e t h a t i s t h e i m a g e u n d e r f o f t h ec i r c l e = r . B e c a u s e i s u n i v a l e n t , 1 ' , . i s a s m o o t h J o r d a n c u r v e ; l e t c e , .

b e t h e i n s i d e o f F r . A p p l y i n g G r e e n ' s T h e o r e m t o t h e f u n c t i o n u = w eg e t t h a t

A r e a ( 1 . ) =

1 !— : I z2 i J r

1= j*

S i n c e F , . ( t ) = t h i s m e a n s t h a t

= rf

U s i n g ( 6 . 1 ) w e c a n c a l c u l a t e t h a t

f ( r e * t ) = r e _ t + +

f l ( r e t t ) = 1

U s i n g t h e f a c t t h a t e m t d t = 0 u n l e s s n = 0 , i n w h i c h c a s e t h e i n t e g r a li s 2 i r , t h e u n i f o r m c o n v e r g e n c e o f t h e a b o v e s e r i e s i m p l i e s t h a t

0 A r e a ( f Z . ) = [ 2 i r r ( 2 1 r ) ]

6 . 4 =

T h e r e f o r e

f o r a l l r > 1 . I f t h e i n e q u a l i t y i s n o t v a l i d f o r r = 1 , t h e n t h e r e i s a ni n t e g e r N s u c h t h a t 1 1 t h i s a l s o g i v e s t h a t1 a c o n t r a d i c t i o n . 0

P a r t o f t h e p r o o f o f t h e p r e c e d i n g t h e o r e m , n a m e l y E q u a t i o n 6 . 4 , i n -d i c a t e s w h y t h i s r e s u l t h a s i t s n a m e . W h a t h a p p e n s t o ( 6 . 4 ) w h e n r i sa l l o w e d t o a p p r o a c h 1 ? T e c h n i c a l l y w e m u s t a p p e a l t o m e a s u r e t h e o r y b u tt h e r e s u l t i s i n t u i t i v e l y c l e a r .

I F X , . = I z I r } ) f o r r > 1 , t h e n = C \ X , . . T h u s = C \X , . = 1 } ) = a c l o s e d s e t . A s r — 1 , A r e a ( Q r ) A r e a ( E ) .

T h u s t h e f o l l o w i n g c o r o l l a r y .

6 . 5 C o r o l l a r y . I f f E U , I h a s t h e L a u r e n t e z p a n s i o n ( 6 . 1 ) , a n d EC \ f ( D ) , t h e n

A r e a ( E ) = i r —

T h u s A r e a ( E ) = 0 i f a n d o n L y i f e q u a l i t y o c c u r s i n t h e A r e a T h e o r e m .

T h e n e x t p r o p o s i t i o n p r o v i d e s a u n i q u e n e s s s t a t e m e n t a b o u t t h e m a p -p i n g s i n t h e c l a s s U . N o t e t h a t i f / E U a n d / i s c o n s i d e r e d a s a m a p p i n go n t h e e x t e n d e d p l a n e t h e n f ( o o ) = 0 0 .

6 . 6 P r o p o s i t i o n . I f f E U a n d f ( D ) D , t h e n / ( z ) = z f o r a l l z .P r o o f . I f / i s a s i n t h e s t a t e m e n t o f t h e p r o p o s i t i o n , t h e n C o r o l l a r y 6 . 5

i m p l i e s t h a t i r = — s o t h a t = 0 f o r a l l n 1 . T h u s



1 4 . 6 . T h e A r e a T h e o r e m 5 9

f ( z ) = z + a o . O n t h e o t h e r h a n d , t h e h y p o t h e s i s o n t h e m a p p i n g p r o p e r t i e so f / a l s o i m p l i e s t h a t I f ( z ) I — . 1 a s z 1 , t h i s i m p l i e s t h a t

I f ( z ) 1 2 = I z + a 0 1 2 = 1 z 1 2 + 2 R e — . 1 + 2 R . e ( a o ) + J a o I 2 = 1 . T h u s

R e ( c z o ) + I a o I 2 = 0 . S i m i l a r l y , l e t t i n g z— 1

s h o w t h a t — R e ( a o ) + I c v o ( 2 =0 . W e n o w c o n c l u d e t h a t 0 0 = 0 a n d s o f ( z ) = z . 0

T h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n c a n a l s o b e p r o v e d u s i n g S c h w a r z ' s L e m m a( E x e r c i s e 3 ) .

6 . 7 P r o p o s i t i o n . 1 f f U a n d f h a s t h e e x p a n s i o n ( 6 . 1 ) , t h e n t a i l 1 .

M o r e o v e r = 1 i f a n d o n l y i f t h e s e t E = C \ f ( D ) i s a s t r a i g h t

l i n e s e g m e n t o f l e n g t h 4 . I n t h i s c a s e f ( z ) =z

+ + a 1 z ' a n d E =[ — 2 A + a o , w h e r e > 2 = a i .

P r o o f . S i n c e i s o n e o f t h e t e r m s i n t h e s u m a p p e a r i n g i n t h e A r e aT h e o r e m , i t i s c l e a r t h a t 1 . I f l o u = 1 , t h e n = 0 f o r n 2 . T h u sf ( z ) = z + o o + 0 1 z ' . I t c a n b e s e e n b y u s i n g E x e r c i s e 2 t h a t i n t h i s c a s eE = [ — 2 A + a 0 , 2 X + a 0 ) , w h e r e A 2 = Q j . I n p a r t i c u l a r , E i s a s t r a i g h t l i n e

s e g m e n t o f l e n g t h 4 .C o n v e r s e l y a s s u m e t h a t E i s a s t r a i g h t l i n e s e g m e n t o f l e n g t h 4 ; s o E h a s

t h e f o r m E = + + 1 3 o 1 , w h e r e a n d j . i a r e c o m p l e x n u m b e r sa n d = 1 . I S g ( z ) = t h e n g E U a n d ' g ( D ) = C \ E = f ( D ) .T h e r e f o r e f o g ' E U a n d m a p s D o n t o i t s e l f . B y P r o p o s i t i o n 6 . 6 , 1 = g

a u s e f u l e s t i m a t e o f t h e d e r i v a t i v e o f a f u n c t i o ni n U .

6 . 8 P r o p o s i t i o n . I f f E U , t h e n

( f ' ( z ) l 1

w h e n e v e r I z i > 1 . E q i z o l i t y o c c u r s a t s o m e n u m b e r a w i t h l a I > 1 i f a n do n l y i f f i s g i v e n b y t h e f o r m u l a

1 a 1 2 — 1

1 ( z ) = z + ° o — — 1 )

P r o o f . S i n c e f ' ( z ) = 1 — a 1 z 2 — = 1 — a na p p l i c a t i o n o f t h e C a u c h y - S c h w a r z I n e q u a l i t y a s w e l l a s t h e A r e a T h e o r e ms h o w s t h a t

t f ' ( z ) — =

S




1 z 1 2

— 2

_ _ _ _ _ _ _ _

=1

1

= 1 z 1 2 — 1

I t n o w f o l l o w s t h a t I f ' ( z ) I

I f ' ( z ) — l I + l S ( 1 z 1 2 — 1 Y ' + l

= 1 z 1 2 ( I z j 2 — 1 ) _ i .N o w s u p p o s e t h a t t h e r e i s a c o m p l e x n u m b e r a , > 1 , s u c h t h a t t h e

i n e q u a l i t y b e c o m e s a n e q u a l i t y w h e n z = a . T h u s I f ' ( a ) I I f ' ( a ) + 1 — 1 ) — i = I f ' ( a ) I . T h i s i m p l i e s t h a t t h e t w o i n e q u a l i t i e s i n t h e

a b o v e d i s p l a y b e c o m e e q u a l i t i e s w h e n z = a . T h e f a c t t h a t t h e f i r s t o ft h e s e b e c o m e s a n e q u a l i t y m e a n s t h e r e i s e q u a l i t y i n t h e C a u c h y - S c h w a r zI n e q u a l i t y . T h e r e f o r e t h e r e i s a c o m p l e x n u m b e r b s u c h t h a t =

f o r a l l n 1 . T h e f a c t t h a t t h e s e c o n d i n e q u a l i t y b e c o m e s a n e q u a l i t ym e a n s t h a t

1 =

=

— ' b 21

T h u s = 1 a 1 2 — 1 . S u b s t i t u t i n g t h e s e r e l a t i o n s i n t h e L a u r e n t e x p a n s i o nf o r f g i v e s

f ( z ) =

= —a t a z — 1

N o w u s e t h i s f o r m u l a f o r 1 ( z ) t o c o m p u t e f ' ( a ) :

f ' ( a ) =

1 4 . 7 . D i s k M a p p i n g s : T h e C l a s s $ 6 1

= I — —

— ( 1 a 1 2 — 1 ) 2 — - b—

s b - bb b

b

B y a s s u m p t i o n

— (\ 2

—

— 1 b 1 2

E q u a t i n g t h e t w o e x p r e s s i o n s f o r I f ' ( a ) 1 2 w e g e t t h a t R e b R e = — I b i .

I t f o l l o w s t h a t 6 = — I b l I — a n d s o / h a s t h e d e s i r e d f o r m .i f f i s g i v e n b y t h e s t a t e d f o r m u l a i t i s r o u t i n e t o c h e c k t h a t e q u a l i t yo c c u r s w h e n z = a . 0

E x e r c i s e s

1 . S h o w t h a t f o r r a n d a n y c o m p l e x n u m b e r s , f ( z ) = 4 r / 3 z ( 1 3 —

i s t h e c o m p o s i t i o n f = 0 1 2 ° f l , w h e r e f 1 ( z ) = ( / 3 + z ) / ( j 3 —

f 2 ( z ) = z 2 , a n d 1 3 ( z ) = r ( z — 1 ) . U s e t h i s t o s h o w t h a t f i s a c o n f o r m a le q u i v a l e n c e o f { z : J 1 3 1 } o n t o t h e s p l i tp l a n e C \ { z — r t : t 1 } .

2 . F o r a c o m p l e x n u m b e r A , s h o w t h a t 1 ( z ) z + A 2 z ' i s t h e c o m p o -s i t i o n f 2 o f i , w h e r e f i ( z ) = z ( A — z ) 2 a n d f 2 ( z ) = ( 1 + 2 A z ) / z . U s e

t h i s t o s h o w t h a t 1 i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f b o t h { z : I z I o n t o C \ 1 — 2 \ , 2 A J .

3 . P r o v e P r o p o s i t i o n 6 . 6 u s i n g S c h w a r z ' s L e m m a .

§ 7 D I S I C M a p p i n g s : T h e C l a s s S

I n t h i s s e c t i o n a t t e n t i o n i s f o c u s e d o n a c l a s s o f u n i v a l e n t f u n c t i o n s o nt h e o p e n u n i t d i s k , D . S i n c e e a c h s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n i s t h e i m a g e

o f D u n d e r a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e , t h e s t u d y o f u n i v a l e n t f u n c t i o n s o n

D i s e q u i v a l e n t t o t h e s t u d y o f u n i v a l e n t f u n c t i o n s o n a r b i t r a r y s i m p l yc o n n e c t e d r e g i o n s . 1 1 x ' i s a d j o i n e d t o t h e r e g i o n D , t h e r e s u l t i n g r e g i o n( a l s o d e n o t e d b y D ) i s a l s o s i m p l y c o n n e c t e d , s o t h a t i t i s e q u i v a l e n t

t o c o n s i d e r u n i v a l e n t f u n c t i o n s o n D . A f t e r s u i t a b l e n o r m a l i z a t i o n t h i sa m o u n t s t o a c o n s i d e r a t i o n o f f u n c t i o n s i n t h e c l a s s U . T h e c l a s s o f u n i v a l e n tf u n c t i o n s $ o n D d e f i n e d b e l o w i s i n o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c e w i t h as u b s e t o f t h e c l a s s U . T h e s t u d y o f i s c l a s s i c a l a n d w h e t h e r t o s t u d y S o r

U d e p e n d s o n y o u r p e r s p e c t i v e , t h o u g h o n e c l a s s s o m e t i m e s o f f e r s c e r t a i nt e c h n i c a l a d v a n t a g e s o v e r t h e o t h e r .

7 . 1 D e f l n i t j o n . T h e c l a s s $ c o n s i s t s o f a l l u n i v a l e n t f u n c t i o n s I o n D s u c h

t h a t f ( O ) =0 a n d f ' ( O ) = 1 .

T h e r e a s o n f o r t h e u s e o f t h e l e t t e r S t o d e n o t e t h i s c l a s s o f f u n c t i o n s i st h a t t h e y a r e c a l l e d S c h l i c h t f u n c t i o n s .

I f h i s a n y u n i v a l e n t f u n c t i o n o n D , t h e n f = [ h — h ( O ) j / h ' ( O ) b e l o n g st o 8 , s o t h a t i n f o r m a t i o n a b o u t t h e f u n c t i o n s i n S g i v e s i n f o r m a t i o n a b o u ta l l u n i v a l e n t f u n c t i o n s o n D . I f I E 8 , t h e n t h e p o w e r s e r i e s e x p a n s i o n o fI a b o u t z e r o h a s t h e f o r m

7 . 2 f ( z ) = z + a 2 z 2 + a s z 3 + • . • .A s m e n t i o n e d t h e c l a s s S a n d t h e c l a s s U f r o m t h e p r e c e d i n g s e c t i o n a r e

r e l a t e d . T h i s r e l a t i o n i s g i v e n i n t h e n e x t p r o p o s i t i o n .

7 . 3 P r o p o s i t i o n .

( a ) I f g E U a n d g n e v e r v a n & i e s , t h e n 1 ( z ) = [ g ( z ' ) J 1

E S a n d , c o n -

v e r s e l y , i f f E S , t h e n g ( z ) = E U a n d g n e v e r v a n i s h e s .( b ) . 1 1 1 E S w i t h p o w e r s e r i e s g i v e n b y ( 7 . 2 ) a n d = g ( w ) =

f o r w i n I ) ' , t h e n ° o = — a 2 .

P r o o f . ( a ) S u p p o s e g U a n d f ( z ) = g ( z ' ) ] ' f o r z i n D . S i n c e g ( c o ) =0 0 , i t i s c l e a r t h a t I i s u n i v a l e n t o n D a n d 1 ( 0 ) = 0 . M o r e o v e r g ( z ) / z — . 1

a s z — . o o a n d s o i t f o l l o w s t h a t f ' ( O ) = f ( z ) / z = 1 a n d I E S . T h ep r o o f o f t h e c o n v e r s e i s s i m i l a r .

( b ) J u s t u s e t h e f a c t t h a t f o r < 1 , g ( z ' ) f ( z ) = 1 , p e r f o r m t h er e q u i r e d m u l t i p l i c a t i o n o f t h e c o r r e s p o n d i n g s e r i e s , a n d s e t e q u a l t o 0 a l lt h e c o e f f i c i e n t s o f t h e n o n - c o n s t a n t t e r m s . 0

7 . 4 P r o p o s I t i o n .

( a ) 1 f f S a n d n i s a n y p o s i t i v e i n t e g e r , t h e n t h e r e i s a u n i q u e f u n c t i o ng i n S s u c h t h a t g ( z ) " = F o r s u c h o j u n c t i o n g , g ( w z ) = w g ( z )

f o r a n y n - t h r o o t o f u n i t V w a n d a l l z i n D . C o n v e r s e l y , i f g E $ a n dg ( w z ) = w g ( z ) f o r a n y n - t h r o o t o f u n i t y a n d a l l z i n D , t h e n t h e r e

i s a f u n c t i o n I i n S s u c h t h a t g ( z ) " = f ( z " ) .

1 4 . 7 . D i s k M a p p i n g s : T h e C l a s s S 6 3

( b ) S i m i l a r l y , i f f E U , t h e n t h e r e i s a u n i q u e f u n c t i o n g i n U s u c h t h a tf ( z " ) . F o r s u c h a f u n c t i o n g , = w g ( z ) f o r a n y n -

o n d a f l z i n D . C o n v e r s e l y , E U s u c h t h a t

g ( w z ) — w g ( z ) f o r a n y n - t h r o o t o f u n i t y w a n d a l l z m D , t h e n t h e r ei s a f u n c t i o n f i n U s u c h t h a t g ( z ) " =

P r o o f . ( a ) A s s u m e t h a t I a n d l e t h ( z ) = f o r I z I < 1 . T h eo n l y z e r o o f h i n D i s t h e o n e a t z 0 a n d t h i s h a s o r d e r n . T h u s h ( z ) =z " h 1 ( z ) a n d h 1 i s a n a l y t i c o n D a n d d o e s n o t v a n i s h . M o r e o v e r t h e f a c t t h a tf ' ( O ) = 1 i m p l i e s t h a t h 1 ( O ) = 1 . T h u s t h e r e i s a u n i q u e a n a l y t i c f u n c t i o n

o n D s u c h t h a t h 1 a n d = 1 . P u t g ( z ) = c l e a r l y

= f ( z l ' & ) , g ( 0 ) = 0 , a n d g ' ( O ) = = g i ( O ) = 1 . N o t i c et h a t t h e s e p r o p e r t i e s u n i q u e l y d e t e r m i n e g . I n d e e d , i f k i s a n y a n a l y t i cf u n c t i o n o n I ) s u c h t h a t k ( z ) " = f ( z " ) a n d k ' ( O ) = 1 , t h e n = 1 a n dg / k i s a n a l y t i c , w h e n c e t h e c o n c l u s i o n t h a t k = g .

i f t h e p o w e r s e r i e s o f f i s g i v e n b y ( 7 . 2 ) , t h e n a c a l c u l a t i o n s h o w s t h a th i ( z ) = 1 + a 2 z " + a 3 z 2 " s o t h a t h ( i i z ) = h ( z ) w h e n e v e r = 1 .

T h u s f o r a n n - t h r o o t o f u n i t y w , k ( z ) = z g 1 ( w z ) h a s t h e p r o p e r t y t h a t= a n d k ' ( O ) 1 . B y t h e u n i q u e n e s s s t a t e m e n t a b o v e , k g .

T h u s g i ( z ) . F r o m h e r e i t f o l l o w s t h a t g ( w z ) = w g ( z ) w h e n e v e r= 1 .

T o c o m p l e t e t h e p r o o f t h a t g E S i t r e m a i n s t o s h o w t h a t g i s u n i v a l e n t .i f g ( z ) = g ( w ) , t h e n f ( z " ) = f ( w " ) a n d s o t h u s t h e r e i s a n n - t hr o o t o f u n i t y s u c h t h a t w = w z . S o g ( z ) = g ( w z ) = w g ( z ) . C l e a r l y w e c a n

F o r t h e c o n v e r s e , i f g E $ a n d g ( w z ) = f o r a n y n - t h r o o t o f u n i t y

w a n d a l l z i n D , t h e n g h a s a p o w e r s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n o f t h e f o r mg ( z ) = z + +

T h u s=

Z + C 2 n Z 2 +

T h e r a d i u s o f c o n v e r g e n c e o f t h i s p o w e r s e r i e s i s a t l e a s t 1 , / ( 0 ) = 0 , a n df ' ( O ) = 1 . I f z a n d w D a n d 1 ( z ) 1 ( w ) , l e t z 1 a n d w 1 b e p o i n t s i n Dw i t h z a n d = w . S o = g ( w 1 ) " . I t i s l e f t t o t h e r e a d e r t os h o w t h a t t h i s i m p l i e s t h e r e i s a n n - t b r o o t o f u n i t y w s u c h t h a t z 1 = w w i .H e n c e z = w a n d s o / i s u n i v a l e n t . T h a t i s , / E S .

( b ) T h i s p r o o f i s s i m i l a r . 0

T h e c e l e b r a t e d B i e b e r b a c h C o n j e c t u r e c o n c e r n s t h e c l a s s S . P r e c i s e l y ,t h i s s a y s t h a t i f / E S a n d i t s p o w e r s e r i e s i s g i v e n b y ( 7 . 2 ) , t h e n

7 . 5

f o r a l l n 2 . M o r e o v e r , e q u a l i t y o c c u r s i f a n d o n l y i f f i s t h e R o e b ef u n c t i o n o r o n e o f i t s r o t a t i o n s ( 1 . 4 ) .

W e w i l l p r o v e t h e B i e b e r b a c h c o n j e c t u r e n = 2 . T h e p r o o f o f

t h e g e n e r a l c a s e i s d u e t o L d e B r a n g e s [ 1 9 8 5 j . T h i s m a t e r i a l i s p r e s e n t e di n C h a p t e r 1 7 . W e s t a r t w i t h a c o r r e s p o n d i n g i n e q u a l i t y f o r t h e c l a s s U ,w h i c h i s s t a t e d s e p a r a t e l y .

7 . 6 T h e o r e m . I f g E U w i t h L a u r e n t s e r i e s g ( z ) = t h e n 2 . E q u a l i t y o c c u r s i f a n d o n l y i f g ( z ) = z + 2 A + A 2 z ' = z ' ( z + A ) 2 ,w h e r e I A I = 1 . I n t h i , s c a s e g m a p s D o n t o C \ [ Q , 4 . A j .

P r o o f . L e t h E U s u c h t h a t h ( z ) 2 g ( z 2 ) f o r z i n D * a n d l e t t h e e x p a n s i o n

o f h b e g i y e n b y T h u s

h ( z ) 2 == g ( z 2 )

H e n c e = 0 a n d B u t a c c o r d i n g t o P r o p o s i t i o n 6 . 7 , 1s o I a o I 2 . T h e e q u a l i t y = 2 h o l d s i f a n d o n l y i f = 1 , i n w h i c h

c a s e h ( z ) = z + w h e r e A 2 = f i ( s o ( A l = 1 ) . B u t i n t h i s c a s e ,g ( z 2 ) = h ( z ) 2 = = z 2 + 2 A + A 2 f 2 1 s o t h a t g ( z ) = z + 2 AT h e m a p p i n g p r o p e r t i e s o f t h i s f u n c t i o n a r e l e f t f o r t h e r e a d e r t i v e r i f y .( S e e E x e r c i s e 6 . 2 ) 0

7 . 7 T h e o r e m . 1 f f S w i t h p o w e r s e r i e s g i v e n b y ( 7 . 2 ) , t h e n ( a 2 f 2 .E q u a l i t y o c c u r s i f a n d o n l y i f f i s a r o t a t i o n o f t h e K o e b e f u n c t i o n .

P r o o f . L e t g b e t h e c o r r e s p o n d i n g f u n c t i o n i n t h e c l a s s u g ( z ) [ f ( z ' ) j 'f o r z i n I t f o l l o w s t h a t g h a s t h e L a u r e n t s e r i e s

g ( z ) = z — a 2 + ( c 4 — a 3 ) z ' + . . . .

T h e f a c t t h a t 1 a 2 1 2 n o w f o l l o w s t h e p r e c e d i n g t h e o r e m . M o r e o v e r e q u a l -i t y o c c u r s i f a n d o n l y i f t h e r e i s a A , ( A l = 1 , s u c h t h a t g ( z ) = i ' ( z + A ) 2 .

T h i s i s e q u i v a l e n t t o h a v i n g f b e a r o t a t i o n o f t h e K o e b e f u n c t i o n . 0

A s a n a p p l i c a t i o n t h i s t h e o r e m i s u s e d t o d e m o n s t r a t e t h e K o e b e " 1 / 4 -t h e o r e m . "

7 . 8 T h e o r e m . I f f E S , t h e n 1 ( D ) J K I < 1 / 4 } .

P r o o f . F i x / i n $ a n d l e t b e a c o m p l e x n u m b e r t h a t d o e s n o t b e l o n gt o f ( D ) ; i t m u s t b e s h o w n t h a t K i 1 / 4 . S i n c e 0 E 1 ( D ) , ( o 0 a n d s o

g ( z ) = 1 ( z ) { i — i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n D . I n f a c t g S . T o

s e e t h i s f i r s t o b s e r v e t h a t g ( 0 ) = 0 a n d g ' ( O ) = ( g ( z ) / z j = f ' ( O ) = 1 .F i n a l l y g i s t h e c o m p o s i t i o n o f f a n d a M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n a n d h e n c em u s t b e u n i v a l e n t .

S i n c e f ( O ) 0 , t h e r e i s a s m a l l v a l u e o f r s u c h t h a t j f ( z ) f < f o r

< r . I n t h i s n e i g h b o r h o o d o f 0 w e g e t

[ i— 1 + C ' f ( z ) + ç - 2 / ( z ) 2

S u b s t i t u t i n g t h e p o w e r s e r i e s e x p a n s i o n ( 7 . 2 ) o f / a n d c o l l e c t i n g t e r m s w eg e t t h a t f o r

z + + a 2 ) z 2

( I n f a c t t h i s p o w e r s e r i e s c o n v e r g e s t h r o u g h o u t t h e u n i t d i s k . ) B y T h e o -r e m 7 . 7 t h i s i m p l i e s t h a t + a 2 1 2 . B u t 2 s o t h a t 4 , o r

I ( o J 1 / 4 . 0C o n s i d e r a t i o n o f t h e K o e b e f u n c t i o n s h o w s t h a t t h e c o n s t a n t 1 / 4 i s s h a r p .

T h e n e x t r e s u l t i s o f t e n c a l l e d t h e K o e b e D i s t o r t i o n T h e o r e m .

7 . 9 T h e o r e m . 1 f f E S a n d J z J < 1 , t h e n :

( a ) S

( b )( 1 ± f r j ) 2

<( 1

E q u a l i t y h o l d s f o r o n e o f t h e s e f o u r i n e q u a l i t i e s a t s o m e p o i n t z 0 i f a n do n l y i f I i s a r o t a t i o n o f t h e K o e b e f u n c t i o n .

P r o o f . F o r e a c h c o m p l e x n u m b e r a i n 1 ) d e f i n e t h e f u n c t i o n

f a ( Z ) ( 1 - 1 a 1 2 ) f l ( a )

I t i s e a s y t o s e e t h a t f a i s u n i v a l e n t o n D s i n c e i t i s t h e c o m p o s i t i o n o fu n i v a l e n t f u n c t i o n s . A l s o I a ( 0 ) = 0 a n d a r o u t i n e c a l c u l a t i o n s h o w s t h a t

T h e r e f o r e f 0 E S . L e t f a ( Z ) = Z + b 2 z 2 + . ' . m D .A n o t h e r c o m p u t a t i o n r e v e a l s

t h a t

= { ( i — 1 a 1 2 )1 ( a )

—

2 b y T h e o r e m 7 . 7 , t h i s s h o w s t h a t

t i l l

2 j < 4 .f ' ( a )

T h u s4

f ' ( a ) 1 — — 1 —

M u l t i p l y b o t h s i d e s o f t h i s i n e q u a l i t y b y a t o g e t

f " ( z ) 2 j z j 2 4 1 z 17 . 1 0 Z 1 1 ( )

— l — 1 z 1 2N o w f ' d o e s n o t v a n i s h o n s o t h e r e i s a n a n a l y t i c b r a n c h o f l o g f ( z )

w i t h l o g f ' ( O ) = 0 . U s i n g t h e c h a i n r u l e ,

[ l o g f ' ( r e ' ° ) ] = f l o g f ' ( z ) l + [ l o g f ' ( z ) ]

—

—e

N o w f o r a n y f u n c t i o n g , R e ( O g / O r I = s o

7 . 1 1 [ l o g I f ' f r e ' 9 ) I ] = R e

T h u s ( 7 . 1 0 ) i m p l i e s

8 4 r) I } — 1 _ r 2

D i v i d i n g b y r a n d p e r f o r m i n g s o m e a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n g i v e s t h a t

2 r — 4 8 2 r + 41 _ r 2 ) I ] 1 _ r 2

f o r a l l r e ' 0 i n D . T h u s , f o r p < 1 ,

7 . 1 2 f [ l o g d r j 2 T + 4 d

o r

l o g l o g l o g

N o w t a k e t h e e x p o n e n t i a l o f b o t h s i d e s o f t h e s e i n e q u a l i t i e s t o o b t a i n t h ei n e q u a l i t y i n ( a ) f o r z = p e ' 0 .S u p p o s e f o r s o m e z = p e ' 0 o n e o f t h e i n e q u a l i t i e s i n ( a ) i s a n e q u a l i t y ; f o r

s p e c i f i c i t y , a s s u m e t h a t e q u a l i t y o c c u r s i n t h e l o w e r b o u n d . I t f o l l o w s t h a tt h e f i r s t i n e q u a l i t y i n ( 7 . 1 2 ) i s a n e q u a l i t y T h u s t h e i n t e g r a n d s a r e e q u a l

— 4 = R e [ e 1 f " ( O ) j , s o t h a t l f " ( O ) ? 4 . B y T h e o r e m 7 . 7 , I f " ( O ) I = 4 a n d/ i s a r o t a t i o n o f t h e K o e b e f u n c t i o n . T h e p r o o f o f t h e c a s e f o r e q u a l i t y i n

t h e u p p e r b o u n d i s s i m i l a r .T o p r o v e p a r t ( b ) n o t e t h a t l f ( z ) l =

P a r a m e t e r i z e t h e l i n e s e g m e n t b y = t z , 0 t 1 , a n d u s e p a r t ( a ) t o g e t

a n u p p e r e s t i m a t e f o r A f t e r p e r f o r m i n g t h e r e q i n r e d c a l c u l a t i o n st h i s s h o w s t h a t

I f ( z ) I t h e r i g h t h a n d s i d e o f p a r t ( b ) .

T o g e t t h e l e f t h a n d s i d e o f p a r t ( b ) , f i r s t n o t e t h a t a n e l e m e n t a r y a r -g u m e n t u s i n g c a l c u l u s s h o w s t h a t t ( 1 + t ) 2 1 / 4 f o r 0 t 1 ; s o i ts u f f i c e s t o e s t a b l i s h t h e i n e q u a l i t y u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t 1 1 ( z ) ! < 1 / 4 .B u t h e r e K o e b e ' s 1 / 4 - t h e o r e m i m p l i e s t h a t { C : > 1 / 4 } ç 1 ( D ) . S of i x z i n D w i t h I f ( z ) l < 1 / 4 a n d l e t b e t h e p a t h i n D f r o m 0 t o z s u c ht h a t / 0 7 i s t h e s t r a i g h t l i n e s e g m e n t 1 0 , 1 ( z ) ] . T h a t i s , f ( 7 ( t ) ) = t f ( z )f o r 0 t 1 . T h u s 1 1 ( z ) ! = I f ' ( w ) d w f = ' N o w

f ' ( 7 ( t ) ) 7 ' ( t ) = [ t f ( z ) J ' = 1 ( z ) f o r a l l t . T h u s 1 1 ( z ) ! = f , f f ' ( w ) I l d w l . U s i n g

t h e a p p r o p r i a t e p a r t o f ( a ) w e g e t t h a t I f ' ( w ) I ( 1 — I w I ) ( 1 + I w I ) 3 . O nt h e o t h e r h a n d i f w e t a k e 0 $ < t 1 , h ' ( t ) — 7 ( a ) I 1 1 1 ( t ) ! — a n ds o ( s y m b o l i c a l l y ) , I d w I d I w I . C o m b i n i n g t h e s e i n e q u a l i t i e s g i v e s t h a t

I f ( z ) I

j I z f( 1 ÷ ) 3 d r

— I z I— ( 1 + I z I ) 2

T h i s p r o v e s ( b ) . I t i s l e f t t o t h e r e a d e r t o s h o w t h a t / i s a r o t a t i o n o f t h eK o e b e f u n c t i o n i f o n e o f t h e s e t w o i n e q u a l i t i e s i s a n e q u a l i t y .

B e f o r e g i v i n g a n i m p o r t a n t c o r o l l a r y o f t h i s t h e o r e m , h e r e i s a l e m m a

t h a t a p p e a r e d a s E x e r c i s e 7 . 2 . 1 0 .

7 . 1 3 L e i i n r n i . . I f { f , j i s a s e q u e n c e o f u n i v a l e n t f u n c t i o n s o n a r e g i o n Ca n d f , - , I i n 1 1 ( C ) , t h e n e i t h e r f i s u n i v a l e n t o r / i s c o n s t a n t .

7 . 1 4 C o r o l l a r y . T h e s e t S o f u n i v a l e n t f u n c t i o n s i s c o m p a c t i n 1 1 ( D ) .

P r o o f . B y M o n t e l ' s T h e o r e m ( 7 . 2 . 9 ) a n d T h e o r e m 7 . 9 , 8 i s a n o r m a l f a i n -

i l y . I t r e m a j n s t o s h o w t h a t 8 i s c l o e e d ( 8 . 1 . 1 5 ) . B u t ç S a n d / n /i n H ( D ) , t h e n t h e p r e c e d i n g l e m m a i m p l i e s t h a t e i t h e r / i s u n i v a l e n t o r /i s c o n s t a n t . B u t = 1 f o r a l l n s o t h a t f ' ( O ) = 1 a n d / i s n o t c o n s t a n t .C l e a r l y f ( O ) = O a n d s o f E S . 0

T h e n e x t r e s u l t i s a l m o s t a c o r o l l a r y o f t h e p r e c e d i n g c o r o l l a r y , b u t i tr e q u i r e s a l i t t l e m o r e p r o o f t h a n o n e u s u a l l y a e s o c i a t e s w i t h s u c h a n a p -p e l a t i o n .

7 . 1 5 P r o p o s i t i o n . I f G i s a r e g i o n , a E G , a n d b i s a v i y c o m p l e x n w n b e r ,t h e n S ( C , a , b ) { f H ( G ) f i s u n i v a l e n t , f ( a ) = b , a n d f ' ( a ) = 1 ) i s

c o m p a c t i n H ( G ) .

P r o o f . B y a s i m p l e t r a n s l a t i o n a r g u m e n t i t m a y b e t h a t a = b =0 ; l e t 8 ( G ) 8 ( G , 0 , 0 ) . L e t R > 0 s u c h t h a t 8 ( 0 ; R ) G . I f f 8 ( 0 )a n d f R ( z ) = f o r z i n D , t h e n J R E S 8 ( D ) . T h u s f R ( D ) { ( :

1 ( 1 < I / 4 } a n d s o I f R ( e t O ) I 1 / 4 f o r a l l 8 ( 7 . 8 ) . H e n c e I f ( R e t G ) l R / 4f o r a l l 6 a n d R / 4 ) C R ) ) . S o ! m a p s 0 \ B ( O ; R ) i n t o f ( G ) \R / 4 ) ; t h a t i s , I l l R / 4 f o r z i n G \ B ( 0 ; R ) . T h e r e f o r e = z / f ( z )

i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n C , I 4 ' j ( z ) I 4 f o r I z l R a n d f r b f ( z ) l Sf o r z i n G \ B ( 0 ; R ) . T h u s 4 ' { q S j f E S ( C ) } i s a l o c a l l y b o u n d e d f a m i l y

o f a n a l y t i c f u n c t i o n s o n C a n d h e n c e m u s t b e n o r m a l .B y a n a r g u m e n t s i m i l a r t o t h a t u s e d t o p r o v e C o r o l l a r y 7 . 1 4 , 8 ( C ) i s

c l o s e d . S o t o p r o v e t h e p r o p o s i t i o n , i t s u f f i c e s t o s h o w t h a t 8 ( G ) i s a n o r m a l

f a m i l y . L e t b e a s e q u e n c e i n 8 ( G ) a n d l e t b e t h e c o r r e s p o n d i n gs e q u e n c e i n 4 ) . B y p a s s i n g t o a s u b s e q u e n c e i f n e c e s s a r y , i t m a y b e a s s u m e dt h a t f o r s o m e a n a l y t i c f u n c t i o n o n 0 . C l e a r l y t h e f u n c t i o n sh a v e n o z e r o i n C s o e i t h e r 0 o r 4 d o e s n o t v a n i s h i n C ( 7 . 2 . 6 ) . A l s of o r e a c h n , = 1 a n d s o = 1 a n d h e n c e 4 h a s n o z e r o so n C . L e t f ( z ) = N o w f ' ( O ) = 1 , s o f i s n o t c o n s t a n t . C l e a r l y

f ( z ) z i n C . I f K i s a c o m p a c t s u b s e t o f C , l e t e > 0 s u c ht h a t 2 e o n K . i t f o l l o w s t h a t e o n K f o r a l l a s u f f i c i e n t l yl a r g e ( s e e E x e r c i s e 4 ) . T h i s i m p l i e s t h a t { f 4 i s l o c a l l y b o u n d e d o n C a n d ,

h e n c e , a n o r m a l f a m i l y . 0

W e c l o s e w i t h a n e x t e n s i o n o f t h e D i s t o r t i o n T h e o r e m ; y o u m i g h t c a l lt h i s t h e G e n e r a l i z e d D i s t o r t i o n T h e o r e m .

7 . 1 6 T h e o r e m . I f K i s a c o m p a c t s u b s e t o f t h e r e g i o n C , t h e n t h e r e i s ac o n s t a n t M ( d e p e n d e n t o n K ) s u c h t h a t f o r e v e r y u n i v a l e n t J u n c t i o n f o n

G a n d e v e r y p a i r o f p o i n t s z a n d w i n K ,

1 < < MM — I f ' ( w ) I —

P r o o f . B y i n t e r c h a n g i n g t h e r o l e s o f z a n d w , i t s u f f i c e s t o p r o v e t h es e c o n d o f t h e s e i n e q u a l i t i e s . L e t 0 < 2 d < d i s t ( K , 8 0 ) a n d c o v e r K b y

a f i n i t e c o l l e c t i o n B o f o p e n d i s k s o f r a d i u s d / 8 . S u p p o s e B 1 a n d B 2 a r et w o o f t h e d i s k s f r o m 8 s u c h t h a t B 1 f l B 2 L e t ; B , i = 1 , 2 . S o— z 2 1 < d / 2 a n d d ) ç C . C o n s i d e r t h e f u n c t i o n

f ( z 1 - i - d z ) — f ( z 1 )g ( z ,

—

T h i s f u n c t i o n b e l o n g s t o t h e c l a s s S . A c c o r d i n g t o T h e o r e m 7 . 9 ,

l g ' ( z ) f ( l — I z J ) 3

f o r I z I < 1 . M a k i n g t h e a p p r o p r i a t e s u b s t i t u t i o n s w e g e t

f ' ( z j + d z ) <

f ' ( z i ) — ( 1 —

T a k e z = ( z i — z 2 ) / d s o t h a t I z i < 1 / 2 a n d w e g e t t h a t

f ' ( z 2 )<

f ' ( z 1 ) — ( 1 — 1 ) 3= M 0 .

I f z a n d w a r e a r b i t r a r y p o i n t s o f K , t h e n t h e r e a r e p o i n t s z 1 = z , z 2 , . . .

= w s u c h t h a t e a c h c o n s e c u t i v e p a i r o f p o i n t s i s i n a d i s k f r o m 8 , n N ,

t h e t o t a l n u m b e r o f d i s k s i n 8 , a n d t h e s e d i s k s a r e p a i r w i s e i n t e r s e c t i n g .T h e r e f o r e

f ' ( z ) — f ' ( z j ) f ' ( z 2 )— Mf ' ( w ) f ' ( z 2 ) f ' ( z 3 ) f 1 ( ) — — Q

0

E x e r c i s e s

1 . L e t f a n d g b e a s i n p a r t ( b ) o f P r o p o s i t i o n 7 . 3 a n d s h o w t h a t a 1 =— a 3 . S h o w t h a t a 2 = — a 4 + 2 a 2 a 3 — 4

2 . L e t f b e t h e f u n c t i o n g i v e n i n ( 1 . 4 ) a n d s h o w t h a t f E $ a n d i f t h ep o w e r s e r i e s o f f i s g i v e n b y ( 7 . 2 ) , t h e n = n f o r a l l n 2 . S h o w

t h a t t h e i m a g e o f D u n d e r / i s t h e p l a n e m i n u s t h e r a d i a l s l i t f r o mA / 4 t o o o t h a t d o e s n o t p a s s t h r o u g h t h e o r i g i n .

3 . L e t = z + n z 2 a n d s h o w t h a t e v e n t h o u g h = 0 a n d= 1 f o r a l l n 1 , { f , j i s n o t a n o r m a l s e q u e n c e .

4 . L e t b e a n o r m a l s e q u e n c e o f a n a l y t i c f u n c t i o n s o n a r e g i o n C— . g , w h e r e g i s n o t

i d e n t i c a l l y 0 . S h o w t h a t i f K i s a c o m p a c t s u b s e t o f C , t h e n t h e r e i s

a r e g i o n a n d f i x a p o i n t a i n C . F o r a c h o i c e o f p o s i t i v e c o n -s t a n t s C , m , a n d M s h o w t h a t F = { f H ( G ) I s u n i v a l e n t , f f ( a ) I C , a n d m I f ' ( a ) l M } i s a c o m p a c t s u b s e t o f H ( G ) .

6 . F o r t h e s e t U o f u n i v a l e n t f u n c t i o n s o n I ) = { o o } U { z : > 1 ) ,s h o w t h a t U u { o o } i s c o m p a c t i n t h e s p a c e C ( D , C Ø O ) .

7 . S h o w t h a t f o r e a c h i n t e g e r n 2 t h e r e i s a f u n c t i o n f i n S s u c h t h a t1 f f h a s t h e p o w e r s e r i e s e x p a n s i o n ( 7 . 2 ) , t h e n

g i n S .




8 . S h o w t h a t i f K i s a c o m p a c t s u b s e t o f a r e g i o n G , t h e n t h e r e i s ac o n s t a n t M s u c h t h a t f o r e v e r y p a i r o f p o i n t s z a n d w i n K a n d f o re v e r y u n i v a l e n t f u n c t i o n f o n G , f f ( z ) I S J f ( w ) I + M j f ' ( w ) J .

9 . I f G i s a s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n , a C , a n d I : C D i s t h ec o n f o r m a l e q u i v a l e n c e w i t h 1 ( 0 ) = a a n d f ' ( O ) > 0 , s h o w t h a t[ 4 d i s t ( a , O G ) j ' ' ( a ) [ d i s t ( a , O G ) j ' .

1 0 . S h o w t h a t i f r i s a b o u n d e d u n i v a l e n t f u n c t i o n o n D w i t h C =t h e n f r ' ( z ) j 4 ( 1 — 1 z 1 2 ) ' d i s t ( r ( z ) , Ô G ) . ( H i n t : U s e E x e r c i s e 9 a n dS c h w a r z ' s L e m m a . )



C h a p t e r 1 5

C o n f o r m a l E q u i v a l e n c e f o r

F i n i t e l y C o n n e c t e d R e g i o n s

I n t h i s c h a p t e r i t w i l l b e s h o w n t h a t e a t h f i n i t e l y c o n n e c t e d r e g i o n i s c o n -f o r m a l l y e q u i v a l e n t t o a v a r i e t y o f c a n o n i c a l r e g i o n s . S u b j e c t t o c e r t a i n

n o r r n k l i , . a t i o n s , s u c h c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e s a r e u n i q u e . W e b e g i n w i t h

s o m e b a s i c f a c t s a b o u t c o m p l e x a n a l y s i s o n f i n i t e l y c o n n e c t e d r e g i o n s .

§ 1 A n a l y s i s o n a F i n i t e l y C o n n e c t e d R e g i o n

S a y t h a t a r e g i o n C I n C i s n - c o n n e c t e d I f C O \ G h a s n + 1 c o m p o n e n t s . T h u sa 0 - c o n n e c t e d r e g i o n i s s i m p l y c o n n e c t e d . S a y t h a t C i s a n o n - d e g e n e r a t e

n - c o n n e c t e d r e g i o n i f i t i s a n a n n - c o n n e c t e d r e g i o n a n d n o c o m p o n e n t o f

i t s c o m p l e m e n t i n i s a s i n g l e t o n . A r e g i o n G i s f i n i t e l y c o n n e c t e d i f i t i sn - c o n n e c t e d f o r s o m e n o n - n e g a t i v e i n t e g e r n . N o t e t h a t i f C i s a n y r e g i o n

i n a n d K i s a n y c o m p o n e n t o f \ G t h a t d o e s n o t c o n t a i n o o , t h e nK m u s t b e a c o m p a c t s u b e e t o f C ;

p r e c i s e l y t h e b o u n d e d c o m p o n e n t s o f C \ G .T h r o u g h o u t t h i s s e c t i o n t h e f o l l o w i n g n o t a t i o n w i l l b e f i x e d : C i s a n

n - c o n n e c t e d r e g i o n i n C a n d K r , . . . , a r e t h e b o u n d e d c o m p o n e n t s o fC \ G ; K 0 w i l l b e t h e c o m p o n e n t o f

C 0 3 \ G t h a t c o n t a i n s c o . N o t e t h a tf o r

a n y c o m p a c t s u b s e t o f C , t h e n b y P r o p o s i t i o n 1 3 . 1 . 5 t h e r e i sa p o s i t i v e J o r d a n s y s t e m r = 7 1 , . . , y , j i n C h a v i n g t h e f o l l o w i n g

p r o p e r t i e s :

( i ) E c i n a r c o ;1 . 1 ( i i )

f o r j k .

= 1 .

A p o s i t i v e J o r d a n s y s t e m r s a t i s f y i n g ( 1 . 1 ) w i t h E = 0 w i l l b e c a l l e d ac u r v e g e n e r a t i n g s y s t e m f o r C . I n f a c t , t h e c u r v e s . . a r e a s e t o fg e n e r a t o r s f o r t h e f i r s t h o m o l o g y g r o u p o f C a s w e l l a s t h e f u n d a m e n t a l

g r o u p o f C .



7 2 1 5 . F i n i t e l y C o n n e c t e d R e g i o n s

I n t h e c a s e o f a f i n i t e l y c o n n e c t e d r e g i o n t h e c o n d i t i o n t h a t a h a r m o n i cf u n c t i o n h a s a c o n j u g a t e c a n b e g r e a t l y s i m p l i f i e d . I n f a c t , t h e i n f i n i t en u m b e r o f c o n d i t i o n s i n p a r t ( c ) o f T h e o r e m 1 3 . 3 . 4 c a n b e r e p l a c e d b y a

f i n i t e n u m b e r o f c o n d i t i o n s .1 . 2 T h e o r e m . I f C i s a n n - c o n n e c t e d r e g i o n a n d r . . i s ac u r v e g e n e r a t i n g s y s t e m f o r C , t h e n a h a r m o n i c j u n c t i o n u C R h a s a

h a r m o n i c c o n j u g a t e i f a n d o n l y i f d y — d x ) 0 f o r 1 S j n .

P r o o f . F r o m T h e o r e m 1 3 . 3 . 4 i t i s e a s y t o s e e t h a t i t s u f f i c e s t o a s s u m e t h a tf , f = O f o r l 5 j a n d p r o v e t h a t f h a s a p r i m i t i v e . F i xa j ) o i n t a , i n K , f o r 1 5 j 5 n . I f i s a n y c l o s e d r e c t i f i a b l e c u r v e i n C , p u t

m 3 = n ( ' y ; 0 3 ) . I t f o l l o w s t h a t t h e s y s t e m o f c u r v e s { ' • y , . . ,

i s h o m o l o g o u s t o 0 i n C . B y C a u c h y ' s T h e o r e m ,

0 _ — j f _ > m i f f .B u t t h i s i m p l i e s t h a t f f 0

W h a t i s g o i n g o n i n t h e p r e c e d i n g t h e o r e m i s t h a t t h e f i r s t h o m o l o g yg r o u p o f C i s a f r e e a b e l i a n g r o u p o n n g e n e r a t o r s a n d t h e c u r v e sf o r m a s y s t e m o f g e n e r a t o r s f o r t h i s g r o u p . M o r e v e r , i f r i s a n e l e m e n t o f

t h e f i r s t h o m o l o g y g r o u p , t h e n F c o r r e s p o n d s t o a s y s t e m o f c l o s e d c u r v e si n G a n d t h e m a p F ' J r f i s a h o m o m o r p h i s m o f t h i s g r o u p i n t o t h ea d d i t i v e g r o u p C . T h u s t h e c o n d i t i o n o f t h e p r e c e d i n g t h e o r e m i s t h a t t h i sh o m o m o r p h i s m v a n i s h e s o n t h e g e n e r a t o r s , a n d h e n c e v a n i s h e s i d e n t i c a l l y .

L e t C b e a n n - c o n n e c t e d r e g i o n a n d l e t 1 = b e a c u r v e

g e n e r a t i n g s y s t e m i n C . F o r a h a r m o n i c f u n c t i o n u C R w i t h c o n j u g a t ed i f f e r e n t i a l d u , t h e n u m b e r s

c 3 = f1 5 j 5 n , a r e c a l l e d t h e p e r i o d s o f u . N o t e t h a t t h e p e r i o d s o f u a r e r e a l

n u m b e r s s i n c e u i s r e a l - v a l u e d . S o a r e p h r a s i n g o f T h e o r e m 1 . 2 i s t h a t ar e a l - v a l u e d h a r m o n i c f u n c t i o n u o n C h a s a h a r m o n i c c o n j u g a t e i f a n d o n l y

i f a l l i t s p e r i o d s a r e 0 .T h e o r e m 1 . 2 c a n b e u s e d t o d e s c r i b e e x a c t l y h o w a h a r m o n i c f u n c t i o n

d i f f e r s f r o m o n e t h a t h a s a h a r m o n i c c o n j u g a t e .

1 . 3 T h e o r e m . L e t C b e a n n - c o n n e c t e d r e g i o n w i t h K 1 , . . . , t h e b o u n d e dc o m p o n e n t s o f i t s c o m p l e m e n t ; f o r 1 5 j 5 n , l e t a , K , . I f u i s a r e a l -v a l u e d h a r m o n i c j u n c t i o n o n C a n d c 1 , . . . , a r e i t s p e r i o d s , t h e n t h e r e i sa n a n a l y t i c j u n c t i o n h o n C s u c h t h a t

u = R e h + > c



1 5 . 1 . A n a l y s i s o n a F i n i t e l y C o n n e c t e d R e g i o n 7 3

P r o o f . C o n s i d e r t h e h a r m o n i c f u n c t i o n

N o w 1 ( z ) = l o g I z i i s h a r m o n i c o n t h e p u n c t u r e d p l a n e C o C \ { O } a n d

a n e l e m e n t a r y c o m p u t a t i o n s h o w s t h a t - i t s , = f z I 2 T h u s f o ra n y c l o s e d r e c t i f i a b l e c u r v e ' y n o t p a s s i n g t h r o u g h 0 ,

j ( l x d v — 4 d x ) = _ i j f l d z = 2 i r n ( - y ; O ) .

S o i f L k ( z ) = j a n d 0o t h e r w i s e . I t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o s e e t h a t t h e c h o i c e o f c 3 g i v e s t h a t

d y — d x ) = 0 f o r I j n . B y T h e o r e m 1 . 2 , t h e r e i s a n a n a l y t i cf u n c t i o n h o n C s u c h t h a t U = R e h . 0

T h i s t h e o r e m h a s s e v e r a l i n t e r e s t i n g c o n s e q u e n c e s . H e r e a r e a f e w .

1 . 4 C o r o l l a r y . i i u i s a r e a l - v a l u e d h a r m o n i c f u n c t i o n i n t h e p u n c t u r e dd i s k B o ( a ; R ) B ( a ; R ) \ { o } , t h e n t h e r e a r e r e a l c o n s t a n t s b a n d c s u c ht h a t

f u ( a b l o g r + c .

P r o o f B y T h e o r e m 1 . 3 t h e r e i s a r e a l c o n s t a n t 6 a n d a n a n a l y t i c f u n c t i o nh o n B o ( a ; R ) s u c h t h a t u R e h + b l o g I z — T h u s ,

j u ( a + r e * ) d O = b j J o g + f R e h ( a + r e * O ) d O

= l o g r + j R e h ( a ÷

B u t i t i s e a s y t o s e e t h a t R e h ( a + r e ' ° ) d O i s t h e i m a g i n a r y p a r t o f t h ei n t e g r a l

w h e r e = a + r e 1 9 , a n d h e n c e i s a c o n s t a n t . 0

T h e n e x t r e s u l t m i g h t h a v e b e e n e x p e c t e d .

1 . 5 C o r o l l a r y . I / u i s a b o u n d e d h a r m o n i c f u n c t i o n i n t h e p u n c t u r e d d i s kB o ( a ; R ) , t h e n u h a s a h a r m o n i c e x t e n s i o n t o B ( a ; R ) .

P r o o f . I t s u f f i c e s t o a s s u m e t h a t u i s r e a l - v a l u e d . S u p p o s e I u I M o nB o ( a ; R ) . A c c o r d i n g t o T h e o r e m 1 . 3 , t h e r e i s a r e a l c o n s t a n t 6 a n d a n

a n a l y t i c f u n c t i o n h o n B o ( a ; R ) s u c h t h a t u = b l o g — a J + R e h ( z ) . A l s ot h e r e i s a r e a l c o n s t a n t c s u c h t h a t f o r r < R

f u ( a + 1 Q 8 ) d O = 2 1 r 6 l o g r + c .O n t h e o t h e r h a n d , 5 M s o I 2 i r b l o g r + c j 5 2 i r M f o r r < R . B u t t h i si s i m p o s s i b l e i f b 0 s o i t m u s t b e t h a t b = 0 .

H e n c e u = R e h i n B o ( a ; R ) . T h i s i m p l i e s t h a t h i s a n a n a l y t i c f u n c t i o no n B o ( a ; R ) w h o s e r e a l p a r t i s b o u n d e d . C o n s i d e r g = e x p ( h ) ; g i s b o u n d e di n B o ( a ; R ) s i n c e = e x p ( R e h ) . T h e r e f o r e a i s a r e m o v a b l e s i n g u l a r i t yf o r g . T h i s i m p l i e s t h a t a i s a r e m o v a b l e s i n g u l a r i l y f o r g ' = g a n d t h u sa l s o f o r h = g ' / g . T h i s p r o v i d e s t h e r e q u i r e d h a r m o n i c e x t e n s i o n o f u . 0

M o s t o f t h e p r e c e d i n g m a t e r i a l i s t a k e n f r o m A x l e r [ 1 9 8 6 1 .

1 . 6 D e f i n i t i o n , i f n o n e o f t h e c o m p o n e n t s K 0 , K 1 , . . , o f C , , \ C i s ap o i n t , t h e n t h e h a r m o n i c b a s i s f o r C i s t h e c o l l e c t i o n o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s

. . o n t h a t a r e h a r m o n i c o n C a n d s a t i s f y 1 a n d

N o t e t h a t t h e s e f u n c t i o n s e x i s t s i n c e t h e h y p o t h e s i s g u a r a n t e e s t h a t w ec a n s o l v e t h e D i r i c h i e t p r o b l e m f o r G ( 1 0 . 4 . 1 7 ) . A l s o t h e f u n c t i o n W O t h a ti s 1 o n O K 0 a n d 0 o n t h e b o u n d a r y o f t h e b o u n d e d c o m p o n e n t s i s n o ti n c l u d e d h e r e s i n c e t h i s f u n c t i o n c a n b e o b t a i n e d f r o m t h e o t h e r s b y m e a n so f t h e f o r m u l a w O = 1 —

I n t h e l i t e r a t u r e t h e s e f u n c t i o n s i n t h e h a r m o n i c b a s i s a r e o f t e n c a l l e d

t h e h a r m o n i c m e a s u r e s f o r C . T h i s t e r m i n o l o g y o r i g i n a t e d b e f o r e t h e f u l lb l o s s o m i n g o f m e a s u r e t h e o r y . L a t e r a h a r m o n i c m e a s u r e f o r G w i l l b e I n -t r o d u c e d t h a t i s i n d e e d a m e a s u r e . I n o r d e r t o a v o i d c o n f u s i o n , t h e c l a s s i c a lt e r m i n o l o g y h a s b e e n a b a n d o n e d .

T h e n e x t l e m m a w i l l b e u s e d i n t h e p r o o f o f s o m e c o n f o r m a l m a p p i n gr e s u l t s f o r f i n i t e l y c o n n e c t e d r e g i o n s .

1 . 7 P r o p o s i t i o n . I f C i s a n o n - d e g e n e r n t e n - c o n n e c t e d i e g i o n , r { ' v o , . . . ,

y , , } i s a c u r v e g e n e r a t i n g s y s t e m f o r O , a n d f o r l k 5 nC , k

= — fw h e r e { ( & s i , . . . , i s t h e h a r m o n i c b a s i s f o r C , t h e n t h e n x n m a t r i x( c 3 k 1 1 5 i n v e r t s b l e .

P r o o f . I t s u f f i c e s t o s h o w t h a t t h i s m a t r i x i s a n i n j e c t i v e l i n e a r t r a n s f o r -

m a t i o n o f R ' i n t o R e t . S o s u p p o s e t h e r e a r e r e a l s c a l a r s A 1 , . . . , A , s u c h

1 5 . 1 . A n a l y s i s o n a F i n i t e l y C o n n e c t e d R e g i o n

t h a t+ c 1 2 A 2 ÷ . . . + = 0

. f = 0 .

W e w a n t t o s h o w t h a t A 1 = = = 0 .P u t u = A k w k . S o u i s c o n t i n u o u s o n a n d h a r m o n i c o n C . A l s o

j • d u = > A k fT h e r e f o r e T h e o r e m 1 . 2 i m p l i e s t h e r e i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n f o n C s u c ht h a t u = R e f .

n , p i c k c o n s t a n t s > 0 s u c h t h a t i f = { ( E C : I R e C — A k I < e k } , t h e nC o N o w u = R e f i s c o n t i n u o u s o n s o { z E

( u ( z ) — < e k } i s a r e l a t i v e l y o p e n s u b s e t o f c l ( , 0 G a n d c o n t a i n s ô K k .

T h e r e f o r e i f U k e q u a l s t h e u n i o n o f K k a n d t h e c o m p o n e n t o f { z E c L G :— A k I < E k } t h a t c o n t a i n s 8 K k , t h e n U k i s o p e n i n C a n d c o n t a i n s K k .

( T h e f a c t t h a t s o m e o f t h e c o n s t a n t s A k m a y c o i n c i d e f o r c e s s o m e o f t h i sa w k w a r d l a n g u a g e . I f i t w e r e t h e c a s e t h a t A k A , f o r k j , t h e n t h e E kc o u l d h a v e b e e n c h o s e n s o t h a t t h e s e t s 1 1 k h a v e p a i r w i s e d i s j o i n t c l o s u r e sa n d t h e l a n g u a g e w o u l d b e s i m p l e r . ) B y P r o p o s i t i o n 1 3 . 1 . 5 , f o r 1 k nt h e r e i s a J o r d a n c u r v e c o n t a i n e d i n U k s u c h t h a t K k o k a n d

n ( c k ; z ) = — 1 f o r a l l z i n 1 4 . S i m i l a r l y , t h e r e i s a J o r d a n c u r v e o 0 i n U o s u c ht h a t o u t 0 0 a n d n ( o o ; z ) = + 1 f o r a l l z i n K 1 . U K , , U •H e n c e E = ( 0 0 , 0 1 , . . . , ø r , , } i s a J o r d a n s y s t e m i n C ; i n f a c t , E l s a c u r v eg e n e r a t i n g s y s t e m f o r C .

N o w

f - C o° 0 k ; C o ) .

B u t f a i s ac l o s e d c u r v e l y i n g i n s i d e t h e v e r t i c a l s t r i p 1 2 ka n d C o l i e s o u t s i d e t h i s s t r i p . T h u s n ( f o o k ; C o ) = 0 f o r 0 k n . B y

t h e A r g u m e n t P r i n i c i p l e t h i s i m p l i e s t h a t t h e e q u a t i o n f ( z ) = C o h a s n os o l u t i o n s i n i n s E . B u t f ( U k ) a n d s o 1 ( z ) = h a s n o s o l u t i o n i n

U k . T h e r e f o r e C o 1 ( G ) . S i n c e w a s a n a r b i t r a r y p o i n t w i t h R e ( ow e g e t t h a t 1 ( G ) c t h e u n i o n o f t h e l i n e s { ( : R e ( =

f o r k 0 , . . . , i t . B y t h e O p e n M a p p i n g T h e o r e m , f , a n d h e n c e u , m u s t b ec o n s t a n t . B u t u = 0 o n O K 0 s o u 0 . i n p a r t i c u l a r = . . . = = 0 . 0

E x e r c i s e s

1 . I f G i s a n ( n + 1 ) - c o n n e c t e d r e g i o n I n C , H a r ( G ) i s t h e v e c t o r s p a c eo f h a r m o n i c f u n c t i o n s o n C , a n d i s t h e s u b s p a c e o f R a r ( G )c o n s i s t i n g o f a l l t h o s e h a r m o n i c f u n c t i o n s w i t h a h a r m o n i c c o n j u g a t e ,t h e n t h e q u o t i e n t s p a c e i s a n n - d i m e n s i o n a l v e c t o rs p a c e o v e r R . F i n d a b a s i s f o r t h i s s p a c e .

2 . F i n d t h e h a r m o n i c b a s i s f o r t h e a n n u l u s .

3 . ( T h e n + 1 C o n s t a n t s T h e o r e m ) L e t C b e a n n - J o r d a n r e g i o n w i t hb o u n d a r y c u r v e s . . , a n d l e t A 0 , A 1 , . . . , b e r e a l c o n -

s t a n t s . S h o w t h a t i f u i s a s u b b a r m o n i c f u n c t i o n o n C s u c h t h a tf o r a i n 0 i n ,

A , ,

t h e n

u ( z ) E A , w j ( z ) ,

w h e r e { W i , . . . i s t h e h a r m o n i c b a s i s f o r C a n d = 1 — +

4 . L e t C h e a n a n n u l u s a n d I C — . C a n a n a l y t i c f u n c t i o n . U s e t h ep r e c e e d i n g e x e r c i s e w i t h u = t o d e d u c e H a d a m a r d ' s T h r e e C i r c l e sT h e o r e m ( 6 . 3 . 1 3 ) .

§ 2 C o n f o r m a l E q u i v a l e n c e w i t h a n A n a l y t i c J o r d a n R e g i o n

R e c a l l t h e d e f i n i t i o n o f a n a n a l y t i c J o r d a n r e g i o n ( 1 3 . 4 . 1 1 ) . T h e m a i n r e s u l to f t h i s s e c t i o n i s t h e f o l l o w i n g .

2 . 1 T h e o r e m . I f C i s a n o n - d e g e n e r a t e n - c o n n e c t e d r e g i o n , t h e n C i sc o n f o r v n o l l y e q u i v a l e n t t o a n a n a l y t i c n - J o r d a n r e g i o n 1 ) . M o r e o v e r , f I c a nb e c h o s e n s o t h a t i t s o u t e r b o u n d a n j i s O D a n d 0 f t

P r o o f . T h e p r o o f c o n s i s t s o f a n i t e r a t i v e o f t h e R i e m a n n M a p -p i n g T h e o r e m . L e t K 0 , K 1 , . . . , K , , b e t h e o f C w i t h K 0c o n t a i n i n g o o . C o n s i d e r C 0 = C \ K o a n d n o t e t h a t G 0 i s s i m p l y c o n -n e c t e d s i n c e i t s c o m p l e m e n t i n C < , 0 , 1 ( 0 , i s c o n n e c t e d . L e t G o — ' D b ea R i e m a n n m a p a n d p u t =

S o i s a f i n i t e l y c o n n e c t e d r e g i o n a n d

K 0 0 u K 0 1 u . . N o w l e t C 1 = a g a i n C 1 i s a s i m p l yc o n n e c t e d r e g i o n i n c o n t a i n i n g o o a n d t h e r e g i o n f l u . L e t C 1 — . Db e t h e R i e m a n n m a p w i t h = 0 a n d p u t A g a i n



1 5 . 2 . A n a l y t i c J o r d a n R e g i o n s 7 7

i s a n n - c o n n e c t e d r e g i o n . T h e c o m p o n e n t s o f i t s c o m p l e m e n t i n C , 0 a r e

\ D , K 1 2 4 ' 1 ( K 0 2 ) , . . . ,N o t e t h a t t h e c o m p o n e n t s o f t h e b o u n d a r y o f a r e O D , =

O K 1 2 , . . .S o a t t h i s s t a g e w e h a v e t h a t G i s c o n f o r m a l l y e q u i v a l e n t t o a r e g i o nc o n t a i n e d i n D , t w o o f w h o s e b o u n d a r y c o m p o n e n t s a r e a n a l y t i c J o r d a nc u r v e s , o n e o f t h e m b e i n g t h e u n i t c i r c l e . C o n t i n u e t h e p r o c e s s t o g e t t h a tG i s c o n f o r m a l e q u i v a l e n t t o a n n - J o r d a n r e g i o n c o n t a i n e d i n D a n dh a v i n g O D a s i t s o u t e r b o u n d a r y . N o w p i c k a i n D \ c i l e t b e t h eS c h w a r z m a p ( z — a ) ( 1 — a z ) ' , a n d p u t f ) = 0

T h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n h a s v a l u e f o r p r o b l e m s t h a t i n v o l v e p r o p e r t i e st h a t a r e i n v a n a n t u n d e r c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e , b u t i t s v a l u e d i m i n i q h e sw h e n t h i s i s n o t t h e c a s e .

T h e n e x t r e s u l t i s t h e a n a l o g u e o f t h e c l a s s i c a l G r e e n I d e n t i t i e s u s i n g t h ec o n j u g a t e d i f f e r e n t i a l a n d t h e 8 - d e r i v a t i v e . F o r t h e r e m a i n d e r o f t h e s e c t i o ni t i s a s s u m e d t h a t C i s a n a n a l y t i c J o r d a n r e g i o n w i t h o r i e n t e d b o u n d a r yr = . w i t h a s t h e o u t e r b o u n d a r y .

2 . 2 P r o p o s i t i o n . L e t C b e a n a n a l y t i c J o n i a n r e g i o n w i t h o r i e n t e d b o u n d -r . ( a ) I f u a n d v a r e f t i n c t i o n s t h a t a r e C ' o n d C , t h e n

j ( v d u _ u d v ) =

= 2 f j ( u v v x _ u z v v ) .

( b ) I f u a n d y a r e f t & n c t i o n s t h a t o r e C 1 o n c i G a n d C 2 o n G , t h e n

f ( v ' d u — u ' d v ) = 4 f f —

P r o o f . ( a ) U s i n g t h e d e f i n i t i o n o f d u a n d d v , a p p l y i n g G r e e n ' s T h e o r e m ,a n d t h e n s i m p l i f y i n g w e g e t

f ( v d u — u d v ) = f R v u 2 — + —

= 2 f f

A g a i n u s i n g t h e d e f i n i t i o n s o f t h e e x p r e s s i o n s a n d s i m p l i f y i n g , w e a l s o h a v e




p r o v i n g p a r t ( a ) .( b ) U s i n g E x e r c i s e 1 3 . 3 . 2 w e h a v e

[ v d u _ 2 i f v o u + i f v d u ,J r J r J r

I u d v = — 2 i [ u O v + i [ u d v .J r J r J r

P e r f o r m i n g t h e r e q u i r e d a l g e b r a y i e l d s

* d u — u d v ) = . _ 2 i j ( v t h i — u 8 v ) + i j ( v d u — u d v ) .

N o w a p p l y G r e e n ' s T h e o r e m t o t h e f i r s t i n t e g r a l a n d p a r t ( a ) t o t h e s e c o n d

i n o r d e r t o g e t

j ( v * d u — = — 2 1 [ 2 1 f f — u O v ) 1 ]

=

— u O v ) 1

=

0

R e c a l l ( 1 3 . 2 . 3 ) t h a t t h e L a p l a c i a n o f a f u n c t i o n u i s

2 . 3 C o r o l l a r y . I f u a n d v a r e f u n c t i o n s t h a t a r e C ' o n c i C a n d h a r m o n i co n G , t h e n f r f r u d v .

R e c a l l t h a t t h e r e i s a G r e e n f u n c t i o n g ( z , a ) f o r C . I f a i s f i x e d ,g a ( Z ) = — l o g — a i + w h e r e R a i s h a r m o n i c o n C . N o w g 0 i sm o n i c o n C \ { a ) a n d i d e n t i c a l l y 0 o n I ' . B y C o r u l i a r y 1 3 . 4 . 1 2 , g 0 c a n b ee x t e n d e d t o a h a r m o n i c f u n c t i o n d e f i n e d i n a n e i g h b o r h o o d o f r . W e w i l la l w a y s a s s u m e t h a t 9 c h a s b e e n s o e x t e n d e d . S i n c e - a i l s a l s o h a r -m o n i c i n a n e i g h b o r h o o d o f F , i t f o l l o w s t h a t t h e s a m e h o l d s f o r R Q . I np a r t i c u l a r i t i s l e g i t i m a t e t o d i s c u s s t h e i n t e g r a l s o f t h e f u n c t i o n s a n d

a s w e l l a s t h e i r d e r i v a t i v e s a n d c o n j u g a t e d i f f e r e n t i a l s o n F .

T h e f i r s t a p p l i c a t i o n o f t h e s e n o t i o n s i s a f o r m u l a f o r t h e s o l u t i o n o f t h eD i r i c h i e t P r o b l e m , b u t f i r s t a l e m m a .



1 5 . 2 . A n a l y t i c J o r d a n R e g i o n s 7 9

2 . 4 L e m m a . L . e t r > 0 s u c h t h a t ç G a n d p u t B , . = B ( a ; r ) . I f ui s a C ' f u n c t i o n o n d C t h a t i s h a r m o n i c i n s i d e C , t h e n

J ( 9 a ' d U U ' d g a )w h e r e 0 a s r 0 .

P r o o f . P u t = l o g I C — a l . U s i n g t h e d e f i n i t i o n o f d t a n d p a r a m e t r i z i n gt h e c i r c l e 8 B , . b y = a + r e ' 6 , w e g e t t h a t d t = d O o n O B . . T h u s

/ u d t = / u ( a ÷ r e ' ° ) d 9 = 2 i r u ( a )

J o 8 , . J o

b y t h e M e a n V a l u e P r o p e r t y f o r h a r m o n i c f u n c t i o n s . A l s o t h e r e i s a c o n s t a n t

M s u c h t h a t I f o B u d R G 1 M r . H e n c e 1 8 8 , . u * d g a u ( a ) . O n t h eo t h e r h a n d , t h e r e a r e c o n s t a n t s C 1 a n d C 2 s u c h t h a t f o r a l l r ,

g a ' d u J=8 , . 8 8 , .

S C 1 r l o g r + C 2 r .T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f o f t h e l e m m a . 0

2 . 5 T h e o r e m . I f C i s a n a n a l y t i c J o n l a n r e g i o n , r i s t h e p o s i t i v e l y o r i e n t e db o u n d a n j o f C , h i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o n r , a n d h i s t h e s o l u t w n o ft h e I ) i r i c h l e t P r o b l e m w i t h b o u n d a r y v a l u e s h , t h e n

h ( z ) =

w h e r e i s G r e e n ' s f u n c t i o n f o r C w i t h s i n g u l a r t t y a t z .

P r o o f . B o t h s i d e s o f t h e a b o v e e q u a t i o n b e h a v e p r o p e r l y i f a s e q u e n c e o ff u n c t i o n s c o n v e r g e s u n i f o r m l y t o a f u n c t i o n h o n r . T h u s , i t s u f f i c e st o p r o v e t h i s u n d e r t h e e x t r a a s s u m p t i o n t h a t h i s a s m o o t h f u n c t i o n o n I ' .L e t r > 0 s u c h t h a t B ( a ; r ) C . P u t C , . = G \ B ( a ; r ) a n d F , . = 0 G . w i t hp o s i t i v e o r i e n t a t i o n . L e t B , . = B ( a ; r ) a n d a l w a y s c o n s i d e r O B . a s h a v i n gp o s i t i v e o r i e n t a t i o n . P u t u = h . A c c o r d i n g t o C o r o l l a r y 2 . 3

d u=

U d g a .

N o w g 4 i s i d e n t i c a l l y 0 o n F s o t h a t

J r u d g a = J O B , .— 9 a d u )

=




b y t h e p r e c e d i n g l e m m a . T h e r e f o r e t a k i n g t h e l i m i t a s r — , 0 w e g e t t h a t

J h * d g o = — 2 i r h ( a ) .

T h i s p r o v e s t h e t h e o r e m . 0

T h e r e a d e r m i g h t n o t e t h a t t h e c o n v e r s e o f T h e o r e m 2 . 5 i s v a l i d . I f h i s ac o n t i n u o u s f u n c t i o n o n r , t h e n t h e f o r m u l a i n ( 2 . 5 ) g i v e s t h e s o l u t i o n o f t h eD i r i c h l e t p r o b l e m . T h u s ( 2 . 5 ) i s a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e P o i s s o n F o r m u l a f o rD . S e e E x e r c i s e 3 . W e w i l l s e e m o r e o f t h e s e m a t t e r s i n C h a p t e r s 1 9 a n d2 1 .

U s i n g t h e d e f i n i t i o n o f n o r m a l d e r i v a t i v e , t h e f o r m u l a f o r t h e s o l u t i o n o ft h e D i r i c h l e t P r o b l e m i n t h e p r e c e d i n g t h e o r e m c a n b e r e w n t t e n a s

9 zh ( z ) = j h ( w ) ( w )

2 . 6 C o r o l l a r y . I f { w 1 , . ..

i s t h e h a r m o n i c b a s i s f o r C , t h e n f o r 0

fd 9 0 — w 3 ( a ) .

P r o o f . T a k e h i n t h e p r e c e d i n g t h e o r e m t o b e t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o no f ' ) ' , . 0

E x e r c i s e s

1 . I f C i s a n r n - c o n n e c t e d r e g i o n a n d n o f t h e c o m p o n e n t s o f i t s c o m -p l e m e n t i n a r e n o t t r i v i a l , t h e n G i s c o n f o r m a l l y e q u i v a l e n t t o a n

a n a l y t i c n - J o r d a n r e g i o n w i t h r n — n p o i n t s r e m o v e d .

2 . S h o w t h a t t h e m a t r i x [ c , k l f r o m P r o p o s i t i o n 1 . 7 i s p o s i t i v e d e f i n i t e .

3 . P r o v e t h a t w i t h t h e h y p o t h e s i s o f T h e o r e m 2 . 5 , i f h r — 'R

i s ac o n t i n u o u s f u n c t i o n , t h e n t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h l e t P r o b l e m i sg i v e n b y t h e f o r m u l a t h e r e . I f C D , s h o w t h a t t h e f o r m u l a i n ( 2 . 5 )i s p r e c i s e l y t h e P o i s s o n I n t e g r a l F o r m u l a .

4 . S h o w t h a t t h e m a t r i x [ c , k J f r o m P r o p o s i t i o n 1 . 7 i s a c o n f o r m a l i n -v a r i a n t f o r a n a l y t i c J o r d a n r e g i o n s .

1 5 . 3 . B o u n d a r y V a l u e s 8 1

§ 3 B o u n d a r y V a l u e s f o r a C o n f o r m a l E q u i v a l e n c e B e t w e e nF i n i t e l y C o n n e c t e d J o r d a n R e g i o n s

T h e r e s u l t s f r o m § 1 4 . 5 o n b o u n d a r y v a l u e s f o r a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e b e -t w e e n t w o s i m p l y c o n n e c t e d J o r d a n r e g i o n s c a n b e e x t e n d e d t o a c o n f o r m a le q u i v a l e n c e b e t w e e n t w o f i n i t e l y c o n n e c t e d J o r d a n r e g i o n s . T o d o t h i s i t i sn o t n e c e s s a r y t o s t a r t f r o m t h e b e g i n n i n g , b u t r a t h e r t h e r e s u l t s f r o m t h es i m p l y c o n n e c t e d c a s e c a n b e u s e d t o c a r r y o u t t h e e x t e n s i o n .

W e b e g i n b y s h o w i n g t h a t i f G a n d 1 ) a r e f i n i t e l y c o n n e c t e d r e g i o n s a n dq 5 : C f l i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e , t h e n d e f i n e s a c o r r e s p o n d e n c eb e t w e e n t h e c o m p o n e n t s o f t h e b o u n d a r i e s o f t h e t w o s e t s . R e c a l l ( 1 3 . 1 . 2 )

t h a t t h e m a p F - F f l O , X , G d e f i n e s a b i j e c t i o n b e t w e e n t h e c o m p o n e n t s o f\ C a n d t h e c o m p o n e n t s o f F o r o u r d i s c u s s i o n f i x a n n - c o n n e c t e dr e g i o n C a n d l e t K 0 , . . . b e t h e c o m p o n e n t s o f C , 0 \ C w i t h o o i n K 0a n d l e t C o , . . . b e t h e c o r r e s p o n d i n g b o u n d a r y c o m p o n e n t s . L e t ( 1 b ea n o t h e r n - c o n n e c t e d r e g i o n a n d a s s u m e t h e r e i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e

C — ' f l . F o r 0 n a n d e > 0 , l e t 4 ' , ( € ) = E C d i s t ( z , K , ) <= c I [ q l ( { z C : d i s t ( z , C , ) < e } ) J a n d p u t $ , = f t $ , ( e ) . H e r e t h e

d i s t a n c e i n v o l v e d i s t h e m e t r i c o f t h e e x t e n d e d p l a n e , t h o u g h t h e u s u a l

m e t r i c f o r t h e p l a n e c a n b e e m p l o y e d i f i s b o u n d e d . I t w i l l b e s h o w n t h a tt h e s e t s 5 o , . . . , a r e p r e c i s e l y t h e c o m p o n e n t s o f 8 j l , ,

3 . 1 L e m m z i .

( a ) ç( b ) I f m o n o t o n i c a l l y d e c r e a s e s t o 0 , t h e n $ , =

( c ) I f U i s o n o p e n s e t c o n t a i n i n g 4 , , t h e n t h e r e i s a n > 0 s u c h t h a t

( d ) i s a c o n n e c t e d s u b s e t o f O O O I 1 .

P r o o f . T h e p r o o f s o f p a r t s ( a ) , ( b ) , a n d ( c ) a r e l e f t t o t h e r e a d e r . I t i sa l s o l e f t t o t h e r e a d e r t o s h o w t h a t S u p p o s e t h a t U a n d V a r ed i s j o i n t o p e n s e t s a n d ç U U V . B y p a r t ( c ) t h e r e i s a n e > 0 s u c h t h a t

ç U U V . B u t i s c l e a r l y a c o n n e c t e d s e t a s i t i s t h e c l o s u r e o fa c o n n e c t e d s e t . T h i s c o n t r a d i c t i o n e s t a b l i s h e s p a r t ( d ) . 0

3 . 2 P r o p o s i t i o n . T h e s e t s 4 o , $ i , . . . , 4 , a r e p r e c i s e l y t h e c o m p o n e n t s o f

P r o o f . B y p a r t ( d ) o f t h e p r e c e d i n g l e m m a , e a c h s e t i s c o n t a i n e d i no n e o f t h e c o m p o n e n t s ' y • o f O n t h e o t h e r h a n d , s i m i l a r a r g u m e n t s

i n v o l v i n g s h o w t h a t e a c h p o i n t o f O J I m u s t b e l o n g t o o n e o f t h e s e t s4 , . T h u s a s i m p l e c o u n t i n g a r g u m e n t s h o w s t h a t { $ o , 4 ' i , . . . , a r e t h ec o m p o n e n t s 7 k , . . . , 0

i f = t h e n w e w i l l s a y t h a t 4 , a s s o c i a t e s C , w i t h T o m a i n t a i ns o m e f l e x i b i l i t y w e m i g h t a l s o s a y i n t h i s s i t u a t i o n t h a t 4 , a s s o c i a t e s K , w i t h

T h e i d e a h e r e i s t h a t e v e n t h o u g h 4 ' m a y n o t e x t e n d a s a f u n c t i o n t o

t h e b o u n d a r y o f G , i t i s p o s s i b l e t o t h i n k o f 4 , a s m a p p i n g t h e c o m p o n e n t so f o n t o t h e c o m p o n e n t s o fT h e n e x t r e s u l t i s j u s t a r e s t a t e m e n t o f T h e o r e m 2 . 1 w i t h t h e a d d e d

p i e c e o f i n f o r m a t i o n t h a t a n y c o m p o n e n t o f t h e c o m p l e m e n t o f C c a n b em a d e t o b e a s s o c i a t e d w i t h 0 D .

3 . 3 T h e o r e m . I f G i s a n o n - d e g e n e r a t e n - c o n n e c t e d r e g i o n a n d C i s a n yc o m p o n e n t o f i t s e x t e n d e d b o u n d a r y , t h e n t h e r e i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e

4 , o f C o n t o a n a n a l y t i c n - J o r d a n r e g i o n s u c h t h a t t h e o u t e r b o u n d a r y o fQ a n d 4 , a s s o c i o k s C W I U Z Ô D .

P r o o f . R e f e r t o t h e p r o o f o f T h e o r e m 2 . 1 . U s i n g t h e n o t a t i o n t h e r e i tf o l l o w s t h a t t h e m a p 4 , c o n s t r u c t e d t h e r e a s s o c i a t e s w i t h 8 D . I f C =

O K 1 f o r 1 i n , t h e n a s i m p l e r e l a b e l l i n g p r o v e s t h e p r e s e n t t h e o r e m . i fC = O K 0 , t h e n l o o k a t t h e i m a g e G 1 o f G u n d e r t h e M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n

( z — a ) a n a p p r o p r i a t e c h o i c e o f a . H e r e C c o r r e s p o n d s t o t h e b o u n d a r yo f a c o m p o n e n t o f t h e c o m p l e m e n t o f C 1 t h a t d o e s n o t c o n t a i n 0 0 a n d t h ep r e v i o u s a r g u m e n t a p p l i e s . 0

3 . 4 T h e o r e m . I f G a n d ( 1 a r e t w o f i n i t e l y c o n n e c t e d J o r d a n r e g i o n s a n d4 , : G — ' i s a e q u i v a l e n c e , t h e n 4 , e x t e n d s t o a h o m e o m o t p h i s mo f c l G o n t o c i f t .

P r o o f . U s i n g t h e a b o v e n o t a t i o n a n d l e t t i n g C , = O K , , w e c a n a s s u m et h a t 4 , a s s o c i a t e s t h e b o u n d a r y c u r v e C , o f C w i t h t h e b o u n d a r y c u r v e

n . I t s u f f i c e s t o a s s u m e t h a t G i s a n a n a l y t i c J o r d a n r e g i o n .I n f a c t i f t h i s c a s e i s d o n e , t h e n f o r t h e g e n e r a l c a s e a p p l y T h e o r e m 2 . 1 t of i n d t w o a n a l y t i c J o r d a n r e g i o n s C 1 a n d a n d c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e s f :C — i C 1 L e t 4 i i : C i — i f 1 b e d e f i n e d b y 4 , 1 = r o 4 , o f ' .

N o w o b s e r v e t h a t i f t h e t h e o r e m i s e s t a b l i s h e d f o r t h e s p e c i a l c a s e w h e r e t h ed o m a i n i s a n a n a l y t i c J o r d a n r e g i o n , t h e n b y t a k i n g i n v e r s e s t h e t h e o r e ma l s o h o l d s w h e n t h e r a n g e i s a n a n a l y t i c J o r d a n r e g i o n . T h u s e a c h o f t h em a p s J , r , a n d a s w e l l a s t h e i r i n v e r s e s e x t e n d s t o a h o m e o m o r p h i s m .H e n c e 4 , e x t e n d s t o a h o m e o m o r p h i s m .

S o w e a s s u m e t h a t e a c h o f t h e c u r v e s C o , . . . , C , , i s a n a n a l y t i c J o r d a nc u r v e . L e t O < r < d i s t ( 7 , , 7 k ) f o r j k . L e t 0 < e < d i s t ( C , , C k ) f o rj b y P r o p o s i t i o n 3 . 2 a n d L e m m a 3 . 1 , e c a n b e c h o s e n s u c h t h a t4 , ( ( z C < e } ) { ( E f : d i s t ( ( , 7 , ) < r } . B y C o r o l l a r y1 3 . 5 . 7 , 4 , h a s n o n - t a n g e n t i a l l i m i t s a . e . o n e a c h C , .

F i x j , s o d a 2 b e a n y t w o p o i n t s o n C , a t w h i c h 4 ,

h a s a n o n - t a n g e n t i a l l i m i t . S i n c e C 2 i s a n a n a l y t i c c u r v e , t h e r e a r e J o r d a na r c s : [ 0 , 1 ) — i C , i = 1 , 2 , s u c h t h a t t h ( t ) — , a j a s t — i 1 , q i ( 0 )— a 4 < e , a n d l i m e _ i = a p o i n t i n ' y , . N o t e t h a t

1 5 . 3 . B o u n d a r y V a l u e s 8 3

b e c a u s e i f t h e y w e r e e q u a l , t h e n t h e n o n - t a i g e n t i a l l i m i t o f 4 ,w o u l d b e t h i s c o m m o n v a l u e a t a . e . p o i n t o n o n e o f t h e t w o s u b a r c s o f

C 1 t h a t j o i n s a n d 0 2 . ( S e e t h e p r o o f o f T h e o r e m 1 4 . 5 . 6 . ) L e t ' l o b e

o n e o f t h e t w o a r c s i n C 1 t h a t j o i n s a 1 a n d 0 2 a n d l e tb e

a J o r d a na r c i n C j o i n i n g t o T h u s C = i s a J o r d a n c u r v e a n dC C { z E C : d i s t ( z , C 3 ) < e } , s o i n s C c c . = f o r i 1 , 2 , 3 ; s oe a c h i s a J o r d a n a r c i n f I a n d i s a j o r d a n a r c j o i n i n g 0 2 t o o 1 . I f

i s e i t h e r o f t h e t w o s u b a r c s o f j o i n i n g 0 1 t o t h e n =i s a J o r d a n c u r v e t h a t i s d i s j o i n t f r o m 4 , ( i n s C ) ; c h o o s e t h e a r c s u c ht h a t 4 , ( i n s C ) i n s S i n c e i n s - y f l a n d 4 , i s s u r j e c t i v e , i t f o l l o w s t h a t4 , ( i n s C ) = i n s - y . B y C o r o l L a r y 1 4 . 5 . 7 , 4 , e x t e n d s t o a h o m e o m o r p h i s m o f

c l ( i n s C ) o n t o c l ( i n s - ) ' ) . T h u s 4 , m a p s ' 7 0 h o m e o m o r p h i c a l l y o n t oB y e x a m i n i n g t h e o t h e r s u b a r c o f C 3 t h a t j o i n s t o a 2 , w e s e e t h a t 4 ,e x t e n d s t o a h o m e o m o r p h i s m o f G U C 3 o n t o f l U y j . T h e d e t a i l s o f t h i s

a r g u m e n t a s w e l l a s t h e r e m a i n d e r o f t h e p r o o f a r e l e f t t o t h e r e a d e r . 0

T h e p r o o f s o f t h e n e x t r e s u l t s a r e s i m i l a r t o t h e p r e c e d i n g p r o o f a n d w i l ln o t b e g i v e n . T h e f o l l o w i n g e x t e n d s T h e o r e m 1 4 . 5 . 5 .

3 . 5 T h e o r e m . i s a f i n i t e l y c o n n e c t e d J o r d a n r e g i o n a n d 4 , : C - + f lI S O c o n f o r r n o i e q u i v o i e i v x , t h e n t h e f o l l o w i n g a r e e q u i v a l e n t .

( a ) 4 , h a s a c o n t i n u o u s e x t e n . n o n t o t h e c l o s u r e o f C .

( b ) E a c h c o m p o n e n t o f 0 1 1 i s a c o n t i n u o u s p a t h .

( c ) 8 1 1 i s l o c a l l y c o n n e c t e d .

( d ) \ 1 1 i s l o c a l l y c o n n e c t e d .

R e c a l l t h e d e f i n i t i o n o f a s i m p l e b o u n d a r y p o i n t ( 1 4 . 5 . 9 ) . T h e n e x t t h e -o r e m e x t e n d s T h e o r e m 1 4 . 5 . 1 2 .

3 . 6 T h e o r e m . L e t C l b e a b o u n d e d f i n i t e l y c o n n e c t e d r e g i o n , G a f i n i t e l yc o n n e c t e d J o r d a n r e g i o n , a n d l e t g : C l — . C b e a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e .

( a ) I f w i s a s i m p l e b o u n d a r y p o i n t o f I l , t h e n g h a s a c o n t i n u o u s e x t e n -

s i o n t o f l U { w } .( b ) I f R i s t h e c o l l e c t i o n o f s i m p l e b o u n d a r y p o i n t s o f 1 1 , t h e n g h a s a

c o n t i n u o u s o n e - t o - o n e e x t e n s i o n t o C l U R .

T h e s e r e s u l t s o n c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e s b e t w e e n f i n i t e l y c o n n e c t e d r e -g i o n s c a n b e u s e d t o e x t e n d s o m e o f t h e r e s u l t s o f § 1 4 . 5 t o u n b o u n d e ds i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n s . R a t h e r t h a n l i s t i n g a l l t h e p o s s i b i l i t i e s , w e e x -

a m i n e a c o u p l e t h a t w i l l b e o f u s e l a t e r .3 . 7 P r o p o s i t i o n . L e t ( 0 , o o ) C b e a J o r d a n a r e s u c h t h a t ( t ) — 4 0 0

a s t - 4 c o a n d l e t C l = C \ ' y . I f r 0 — I l i s t h e R i e m a n n m a p w i t h

r ( O ) = a a n d r ' ( O ) > 0 , t h e n r e x t e n d s t o a c o n t i n u o u s m a p o f c l D o n t oc o o .

P r o o f . C o n s i d e r t h e M ô b i u s t r a n s f o r m a t i o n T ( z ) = ( z — a ) ' a n d p u t= T o S o c i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f D o n t o A E t h e c o m p l e m e n t

i n t h e e x t e n d e d p l a n e o f t h e a r c A = a n d c ( O ) = o o . T h u s t h e c l u s t e rv a l u e s o f 0 a t p o i n t s o f Ô D a l l l i e o n t h e a r c A . P u t A = { z : 1 / 2 < <

1 } ; t h u s i s t h e r e g i o n b o u n d e d b y t h e a r c A a n d t h e J o r d a n c u r v ec r ( { I z I = 1 / 2 } ) . A c c o r d i n g t o T h e o r e m 3 . 5 , o p h a s a c o n t i n u o u s e x t e n s i o nt o c i A . h e r e i t e a s i l y f o l l o w s t h a t r = ( 1 — a o ) / o h a s a c o n t i n u o u se x t e n s i o n t o c i D . 0

S u c h r e g i o n s a s I l i n t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n a r e c a l l e d s l i t d o m a w sa n d w i l l p l a y a n i m p o r t a n t r o l e i n C h a p t e r 1 7 b e l o w . A n o t h e r f a c t a b o u tm a p p i n g s b e t w e e n a s l i t d o m a i n a n d t h e d i s k t h a t w i l l b e u s e d l a t e r i s t h ef o l l o w i n g .

3 . 8 P r o p o s i t i o n . I f I ) i s a s l i t d o m a i n a s i n t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n a n dD i s a c o n f o r m o i e q u i v a l e n c e , t h e n g c a n b e c o n t i n u o u s l y e x t e n d e d

t o f l uP r o o f . = ' y ( O ) i s a s m p o u n d a r y p o i n t o f f l , b u t f l i s

n o t b o u n d e d s o t h a t T h e o r e m 3 . 6 i s n o t i m m e d i a t e l y a v a i l a b l e . H o w e v e r i f= ( 0 ) , T ( ( ) = ( C — w ) ' , a n d A T ( f l ) C C , 0 , t h e n h = g o T ' i s a

c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f A o n t o D w i t h h ( o o ) = 0 . I f A = { z : 1 / 2 < I z t <1 } a n d A 1 = h ' ( A ) , t h e n A 1 i s a b o u n d e d r e g i o n a n d T ( w o ) i s a s i m p l e

b o u n d a r y p o i n t . I t i s l e f t t o t h e r e a d e r t o a p p l y T h e o r e m 3 . 6 t o A 1 a n d h

a n d t h e n u n r a v e l t h e r e g i o n s a n d m a p s t o c o n c l u d e t h e p r o o f . 0

E x e r c i s e s

1 . G i v e t h e d e t a i l s i n t h e p r o o f o f T h e o r e m 3 . 5 .

2 . I n P r o p o s i t i o n 3 . 7 s h o w t h a t t h e e x t e n s i o n o f t t o c i D h a s t h e p r o p -

e r t y t h a t t h e r e a r e u n i q u e p o i n t s a a n d b o n O D t h a t m a p t oa n d o o a n d t h a t e v e r y o t h e r p o i n t o f h a s e x a c t l y t w o p o i n t s i n i t sp r e i m a g e .

3 . A c o u t i n u o u s m a p f : G — ' Q i s p r o p e r i f f o r e v e r y c o m p a c t s e t Kc o n t a i n e d i n f i , i s c o m p a c t i n G . ( a ) S h o w t h a t a c o n t i n u o u sf u n c t i o n i s p r o p e r i f a n d o n l y i f f o r e a c h a i n Ô G , C i u ( f , o ) c a n .

( b ) U f : C C l i s a n a l y t i c , s h o w t h a t j i s p r o p e r i f a n d o n l y i f t h e r e

i s a n i n t e g e r n s u c h t h a t f o r e a c h c i n C l , t h e e q u a t i o n f ( z ) = C h a se x a c t l y n s o l u t i o n s , c o u n t i n g m u l t i p l i c i t i e s .



1 5 . 4 . C o n v e r g e n c e o f U n i v a l e n t 8 5

4 .s h o w t h a t / i s a f i n i t e B l a s c h k e p r o d u c t . ( S e e E x e r c i s e 7 . 5 . 4 f o r t h ed e f i n i t i o n . )

§ 4 C o n v e r g e n c e o f U n i v a l e n t F u n c t i o n s

I t i s d e s i r a b l e t o e x t e n d t h e c o n c e p t o f c o n v e r g e n c e o f a n a l y t i c f u n c t i o n sa s d i s c u s s e d i n C h a p t e r 7 . ( I n t h i s s e c t i o n t h e r e g i o n s w i l l b e a s s u m e d t ob e a r b i t r a r y ; i t i s n o t a s s u m e d t h a t t h e y a r e f i n i t e l y c o n n e c t e d . ) T o b e g i n ,a s s u m e t h a t f o r e v e r y p o s i t i v e i n t e g e r c i t h e r e i s a r e g i o n t h a t c o n t a i n s

- ' C . H o w c a n w e g i v e i n e a n i n gt o t h e s t a t e m e n t t h a t c o n v e r g e s t o a f u n c t i o n / C — . C ? W i t h o u t

s o m e r e s t r i c t i o n o n t h e b e h a v i o r o f t h e r e g i o n s C , , t h e r e i s n o h o p e o f am e a n i n g f u l c o n c e p t .

4 . 1 D e f i n i t i o n . I f i s a s e q u e n c e o f r e g i o n s e a c h o f w h i c h c o n t a i n s 0 ,d e f i n e t h e k e r n e l o f ( w i t h r e s p e c t t o 0 ) t o b e t h e c o m p o n e n t o f t h es e t

{ z : t h e r e i s a n r > O s p c h t h a tf o r a l l b u t a f i n i t e n u m b e r o f i n t e g e r s n }

t h a t c o n t a i n s 0 , p r o v i d e d t h a t t h i s s e t c o n t a i n s 0 . I f t h e a b o v e s e t i s e m p t y ,t h e n } d o e s n o t h a v e a k e r n e l . W h e n } h a s a k e r n e l i t i s d e n o t e db y S a y t h a t c o n v e r g e s t o C i f C i s t h e k e r n e l o f e v e r y

s u b s e q u e n c e o f t h i s i s d e n o t e d b y C n C .

N o t e t h a t i f } i s a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f r e g i o n s a n d C i s t h e i ru n i o n , t h e n — . C . A l s o i f i s d e f i n e d b y l e t t i n g = D w h e n n i se v e n a n d C , = t h e u n i t s q u a r e w i t h v e r t i c e s ± 1 ± i w h e n c i i s o d d , t h e nD = k e r { G 1 , , } b u t ) d o e s n o t c o n v e r g e t o D . A l s o n o t i c e t h a t t h e r e i sn o t h i n g s p e c i a l a b o u t 0 . I f t h e r e i s a n y p o i n t c o m m o n t o a l l t h e r e g i o n s

C , , , i t i s p o s s i b l e t o d e f i n e t h e k e r n e l o f } w i t h r e s p e c t t o t h i s p o i n t .T h i s q u a s i g e n e r a l i t y w i l l n o t b e p u r s u e d h e r e .

W e a l s o n o t e t h a t t h e k e r n e l o f } i s t h e l a r g e s t r e g i o n C c o n t a i n i n g0 s u c h t h a t i f K i s a c o m p a c t s u b s e t o f C , t h e n t h e r e i s a n n 0 s u c h t h a t

f o r n 0 .W i t h t h e n o t i o n o f a k e r n e l , t h e e x t e n d e d i d e a o f c o n v e r g e n c e o f f u n c t i o n s

c a n b e d e f i n e d .

4 . 2 D e f i n i t i o n . S u p p o s e t h a t i s a s e q u e n c e o f r e g i o n s e a c h o f w h i c hc o n t a i n s 0 a n d s u c h t h a t C = e x i s t s . I f f , , : C , , C i s a f u n c t i o n

f o r a l l n i f f o r e v e r y c o m p a c t s u b s e t K o f C a n d f o r e v e r y e > 0 t h e r e i s a n

s u c h t h a t — f ( z ) I < 6 f o r a l l z i n K a n d a l l n n 0 . T h i s w i l l b ea b b r e v i a t e d t o f ( t i c ) .

W h e n t h e n o t a t i o n — .

f ( t i c ) " i s u s e d , i t w i l l b e a s s u m e d t h a t a l l t h en o t a t i o n p r e c e d i n g t h e d e f i n i t i o n i s i n f o r c e . T h e f o l l o w i n g n o t a t i o n w i l l b eu s e d o f t e n i n t h i s s e c t i o n .

F o r e a c h n 1 , i s a r e g i o n c o n t a i n i n g 0 a n d : — . C i s

4 . 3 a n a n a l y t i c f u n c t i o n w i t h = 0 , > 0 , a n d=

T h e r e a d e r i s i n v i t e d t o r e v i s i t C h a p t e r 7 a n d v e r i f y t h a t m o s t o f t h e r e s u l t sa b o u t c o n v e r g e n c e o f a n a l y t i c f u n c t i o n s t h e r e c a r r y o v e r t o t h e p r e s e n ts e t t i n g . I n p a r t i c u l a r , i f e a c h i s a n a l y t i c a n d f ( u c ) , t h e n f i sa n a l y t i c a n d f ' ( u c ) . W e a l s o h a v e t h e f o l l o w i n g .

4 . 4 P r o p o s i t i o n . A s s u m e ( 4 . 3 ) . f f e a c h : — , C i s a u n i v a l e n tf u n c t i o n a n d f ( t i c ) , t h e n e i t h e r f i s u n i v a l e n t o r f i s i d e n t i c a l l y 0 .

4 . 5 L e m m a . A s s u m e ( 4 . 3 ) . I f e a c h f ' , i s a u n i v a l e n t / u n c t i o n ,f i s n o t c o n s t a n t , t h e n t h e s e q u e n c e o f r e g i o n s { f Z , % } h a s a k e r n e l t h a tc o n t a i n s 1 ( G ) .

P r o o f . L e t = f ( G ) ; s o i s a r e g i o n c o n t a i n i n g 0 .L e t K b e a c o m p a c t s u b s e t o f C l . N o w C c a n b e w r i t t e n a s t h e u n i o n o ft h e o p e n s e t s { H k } , w h e r e c l H k i s c o m p a c t a n d c o n t a i n e d i n H k ÷ 1 . T h u sC l = U k f ( I f k ) a n d s o t h e r e i s a k 1 s u c h t h a t K 1 ( 1 4 ) . B y t h ed e f i n i t i o n o f a k e r n e l , t h e r e i s a n n 0 s u c h t h a t c i H , C , , f o r n T h u s

0

T h e r e a d e r m i g h t w a n t t o c o m p a r e t h e n e x t r e s u l t w i t h P r o p o s i t i o n1 4 . 7 . 1 5 , w h o s e p r o o f i s s i m i l a r .

4 . 6 L e m m a . A s s u m e ( 4 . 3 ) . 1 / C = e x i s t s , e a c h i s u n i v a l e n t ,a n d = 1 f o r a l l n , t h e n t h e r e i s a s u b s e q u e n c e { f , , j s u c h t h a t G =

} e x i s t s a n d } c o n v e r g e s ( t i c ) t o a u n i v a l e n t f u n c t i o n f : C — .

C .

P r o o f . L e t R > 0 s u c h t h a t R ) ç C ; l e t N 0 b e a n i n t e g e r s u c h t h a tB ( 0 ; R ) c f o r a l l n N 0 . P u t = A s i n t h e p r o o f o fP r o p o s i t i o n 1 4 . 7 . 1 5 , 4 f o r R a n d f o r z i n

W r i t e C = D , , w h e r e e a c h D 3 i s a r e g i o n c o n t a i n i n g R ) a n dc i D , i s a c o m p a c t s e t t h a t i s i n c l u d e d i n L e t N 0 < N 1 < • s u c h

t h a t c i C C , , f o r n N 3 . F r o m t h e p r e c e d i n g o b s e r v a t i o n s , n N 3 } i s u n i f o r m l y b o u n d e d o n D , . L e t { g , : n E A 1 } b e a s u b s e q u e n c et h a t c o n v e r g e s u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o f D 1 t o a n a n a l y t i c f u n c t i o n

1 5 . 4 . C o n v e r g e n c e o f U n i v a l e n t F u n c t i o n s 8 7

h 1 D 1 C . T h e r e i s a s u b s e q u e n c e n E A 2 } o f { g 7 1 n E A 1 }t h a t c o n v e r g e s i n H ( D 2 ) t o a f u n c t i o n h 2 . C o n t i n u e t o o b t a i n i n f i n i t e s e t so f i n t e g e r s { A 3 } w i t h A 3 ÷ 1 c A 3 , n N 3 f o r a l l n i n a n d s u c h t h a t

: i i E A 3 } c o n v e r g e s i n H ( D 3 ) t o a n a n a l y t i c f u n c t i o n h 3 d e f i n e d o n

D 3 . F r o m t h e n a t u r e o f s u b s e q u e n c e s i t i s c l e a r t h a t h 3 = h 3 ÷ 1 f o r a l l j .H e n c e t h e r e i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n g : C C s u c h t h a t g I L ) 3 = h 3 f o r a l l

L e t n 3 b e t h e i - t b i n t e g e r i n A 3 . S i n c e D k f o r j k , C =} . A l s o } i s a s u b s e q u e n c e o f e a c h : n E A k } a n d s o

9 n , g ( u c ) . S i n c e n e v e r v a n i s h e s o n C , a n d g , , ( O ) = 1 f o r a l l n ,g ( O ) = 1 a n d h e n c e g d o e s n o t v a n i s h o n C ( w h y ? ) . I t i s e a s y t o c h e c k ( a si n t h e p r o o f o f P r o p o s i t i o n 1 4 . 7 . 1 5 ) t h a t

f =z / g ( u c ) . 0

T h e n e x t r e s u l t c a n b e c o n s i d e r e d t h e p r i n c i p a l r e s u l t o f t h i s s e c t i o n .

4 • 7 T h e o r e m . A s s u m e I f C , , — . C , e a c h i s u n i v a l e n t , a n d= 1 f o r a l l n , t h e n t h e r e i s a u n i v a l e n t f o n

f ( u c ) i f a n d o n l y i f I l , , f o r s o m e r e g i o n W h e n t h i s h a p p e n s ,= f ( G ) a n d q 5 , , = f ; ' f ' ( u c ) .

P r o o f . L e t u s f i r s t a s s u m e t h a t f ( u c ) f o r a u n i v a l e n t f u n c t i o n fd e f i n e d o n G ; p u t = f ( G ) . A c c o r d i n g t o L e m m a 4 . 5 , A k e r { 1 l , , } e x i s t sa n d ç A . L e t q 5 , , = f ; ' — C , , . A c c o r d i n g t o L e m m a 4 . 6 t h e r ei s a s u b s e q u e n c e } s u c h t h a t A = k e r { f l f l k } a n d a u n i v a l e n t f u n c t i o n

— . Ø ( u c ) .F i x > 0 . S i n c e 0 s u c h t h a t ç a n d

0 ( C ) — Ø ( ( ' ) p < e / 2 w h e n e v e r a n d < ' a r e i n B ( 0 ; p ) . L e t k 1 b e c h o s e n s ot h a t B ( 0 ; p ) ç w h e n k k 1 . P i c k r > 0 s u c h t h a t f ( B ( 0 ; r ) ) ç B ( 0 ; p )a n d c h o o s e k 2 > k 1 s u c h t h a t f f l k ( B ( 0 ; r ) ) B ( 0 ; p ) f o r k k 2 . F i n a l l yp i c k k 3 > k 2 s u c h t h a t I O n k ( C ) — f o r k I c 3 a n d 1 ( 1 < p . T h u sf o r k k 3 a n d I z i < r w e h a v e

l O f l k ( f f l k ( z ) ) — 0 ( f ( z ) ) I I O n k ( f n k ( z ) ) — 4 1 ( f n k ( z ) ) I

+ I 0 ( f n k ( z ) ) —

< e .

B u t f o r e a c h k , O f l k ( f f l k ( z ) ) z a n d s o 0 ( 1 ( z ) ) = z f o r a l l z i n B ( 0 ; r ) . B u tf ( G ) = c A s o w e g e t t h a t 0 ( f ( z ) ) = z f o r a l l z i n C .

N o w L e m m a 4 . 5 a p p l i e d t o t h e s e q u e n c e { O f l k } i m p l i e s t h a t C ç 0 ( A ) ck e r { O f l k = k e r { G , , k } , w h i c h e q u a l s C s i n c e C , , C . F r o m h e r e i t

N o t e t h a t t h e p r e c e d i n g a r g u m e n t c a n b e a p p l i e d t o a n y s u b s e q u e n c e o f{ f ' , } . T h a t i s , f o r a n y s u b s e q u e n c e { f m k } t h e r e i s a f u r t h e r s u b s e q u e n c e{ f m k , }

s u c h t h a t = k e r { I l m k } a n d 0 = f *N o w t o p r o v e t h a t f ) , , — ' f t i f n o t , t h e n t h e r e i s a s u b s e q u e n c e { I l m k }

t h e r e i s a c o m p a c t s u b s e t K o f s u c h t h a t K \ 0 f o r i n f i n i t e l y m a n yn . T h u s t h e r e i s a s u b s e q u e n c e } s u c h t h a t K \ I Z m , . 0 f o r a l l k .B u t t h e n t h e r e a s o n i n g o f t h e p r e c e d i n g p a r a g r a p h i s a p p l i e d , a n d w e g e t

a s u b s e q u e n c e o f } t h a t h a s ( I a s i t s k e r n e l , g i v i n g a c o n t r a d i c t i o n .N o w f o r t h e c o n v e r s e . A s s u m e t h a t I l , , a n d p u t 4 ) = f 1 S o

= 0 a n d 4 ) , ( 0 ) = 1 . I f i s n o t c o n v e r g e n t , t h e n t h e r e i s a ne > 0 , a c o m p a c t s u b s e t K o f C , a n d a } s u c h t h a t

— f , , 1 ( z ) l € : z E K } f o r a l l n 3 . O n c e a g a i n L e m m a 4 . 6i m p l i e s t h e r e i s a s u b s e q u e n c e } o f } s u c h t h a t = }

a n d 4 ) ( t i c ) , a u n i v a l e n t f u n c t i o n o n f t B u t w e a l r e a d y k n o w t h a tf t N o w w e c a n a p p l y t h e f i r s t h a l f o f t h e p r o o f t o t h i s s e q u e n c e

t o o b t a i n t h e f a c t t h a t C = 4 ) ( f t ) a n d f T h i sc o n t r a d i c t s t h e f a c t t h a t : z K } e f o r a l lT h u s t h e r e i s a f u n c t i o n f o n G s u c h t h a t — ' / ( t i c ) . S i n c e f ' ( O ) = 1 , i tm u s t b e t h a t f i s u n i v a l e n t . 0

B e f o r e p r o v i n g a n e x t e n s i o n o f t h e p r e c e d i n g t h e o r e m , h e r e i s a r e s u l tt h a t w i l l b e u s e f u l i n t h i s p r o o f a n d h o l d s i n t e r e s t i n i t s e l L T h i s p r o p o s i t i o n

i s t r u e f o r a l l r e g i o n s ( a s i t i s s t a t e d ) , b u t t h e p r o o f g i v e n h e r e w i l l o n l y b ev a l i d f o r a s m a l l e r c l a s s o f r e g i o n s . T h e c o m p l e t e p r o o f w i l l h a v e t o a w a i tt h e p r o o f o f t h e U n i f o r t u i z a t i o n T h e o r e m ; s e e C o r o l l a r y 1 6 . 5 . 6 b e l o w .

4 . 8 P r o p o 8 i t i o n . L e t C b e a r e g i o n i n C t h a t c o n t a i n s z e r o a n d i s n o te q u a l t o C . I f f i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f C o n t o i t s e l f w i t h f ( 0 ) = 0

a n d f ' ( O ) > 0 , t h e n f ( z ) = z f o r a l l z i n C .

P r o o f . L e t C b e a n o n - t r i v i a l c o m p o n e n t o f t h e c o m p l e m e n t o f C i n

P u t = C ; s o i s a s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n c o n t a i n i n g C . L e t4 ) : D b e t h e R i e m a n n m a p w i t h 4 i ( 0 ) = 0 a n d 0 ) > 0 . P u t

C 1 = 4 ) ( G ) , = 4 ) 1 G . a n d f i = o f o S o i s a c o n f o r m a le q u i v a l e n c e o f G 1 o n t o i t s e l f w i t h = 0 a n d > 0 . I f i t i s s h o w nt h a t i s t h e i d e n t i t y m a p , i t f o l l o w s t h a t 1 i s t h e i d e n t i t y . T h u s i t c a n b e

a s s u m e d t h a t t h e r e g i o n C i s b o u n d e d .L e L M b e a c o n s t a n t w i t h I z l < M f o r a l l z i n C a n d p i c k R > 0 s u c h

t h a t B ( 0 ; R ) c G . F o r n 1 , p u t f , , = f o f o . . . o f ,t h e c o m p o s i t i o n o f

/ w i t h i t s e l f n t i m e s . S o f , , ( 0 ) = 0 a n d = [ f ' ( O ) ] " . U s i n g C a u c h y ' sE s t i m a t e i t f o l l o w s t h a t 0 < = S M / R . T h u s f ' ( O ) 1 . B u ta p p l y i n g t h e s a m e r e a s o n i n g t o t h e i n v e r s e o f f i m p l i e s t h a t [ f ' ( O ) ] ' 1 .

H e n c e f ' ( O ) = 1 .

L e t a m b e t h e f i r s t n o n - z e r o c o e f f i c i e n t i n t h e p o w e r s e r i e s e x p a n s i o n o f fa b o u t 0 w i t h m 2 . S o 1 ( z ) = z + a , , , z m B y a n i n d u c t i o n a r g u m e n t ,

= z + n a m z m + . . • . O n c e a g a i n C a u c h y ' s e s t i m a t e g i v e s t h a t =

M / R m . B u t t h i s i m p l i e s t h a t a , , , = 0 , a c o n t r a d i c t i o n .H e n c e t h e o n l y n o n - z e r o c o e f f i c i e n t i n t h e p o w e r s e r i e s e x p a n s i o n f o r I i st h e f i r s t . T h u s 1 ( z ) = z . 0



1 5 . 4 . C o n v e r g e n c e o f U n i v a l e n t F u n c t i o n s 8 9

4 . 9 C o r o l l a i y . I f G i s a r e g i o n n o t e q u a l t o C , a n d i f f a n d g a r e c o n f o r m a le q u i v a l e n c e s o f C o n t o a r e g i o n f ) s u c h t h a t f o r s o m e p o i n t a i n C , f ( a ) =

g ( a ) , f ( a ) > 0 , a n d g ' ( a ) > 0 , t h e n f g .

T h e n e x t r e s u l t i s a v a r i a t i o n o n T h e o r e m 4 . 7 .

4 . 1 0 T h e o r e m . A s s u m e ( 4 . 5 ) a n d s u p p o s e t h a t C C . I f G n - + G , e a c hi s u n i v a l e n t , a n d > 0 f o r e a c h n , t h e n t h e r e i s a u n i v a l e n t f u n c t i o n

f o n C s u c h t h a t ( u c ) i f a n d o n l y i / f l , , — f i f o r s o m e r e g i o n f i .t h i s h a p p e n s , f ( G ) = I l .

P r o o f . F i r s t a s s u m e t h a t f , , f ( u c ) f o r s o m e u n i v a l e n t f u n c t i o n f . T h u s

f ( 0 ) > 0 a n d f , ( 0 ) f ' ( O ) . T h u s i f g , , = a n d g = — ,g ( t i c ) o n G .A c c o r d i n g t o t h e p r e c e d i n g t h e o r e m , g ( G ) . B u t g , , ( G , , ) =

( 0 ) ] ' f l , , , w h i c h c o n v e r g e s t o [ f ' ( O W ' f l ( s e e E x e r c i s e 2 ) . T h u s Q , ,N o w a s s u m e t h a t I l , , - . f i f o r s o m e r e g i o n c o n t a i n i n g 0 . T o a v o i d

m u l t i p l e s u b s c r i p t s , o b s e r v e t h a t a n y t h i n g d e m o n s t r a t e d f o r t h e s e q u e n c e{ f , , } a p p l i e s a s w e l l t o a n y o f i t s s u b s e q u e n c e s . P u t g , , = a n d

a s s u m e t h a t 0 . B y L e m m a 4 . 6 t h e r e i s a s u b s e q u e n c e { g , , , , }

t h a t c o n v e r g e s ( t i c ) t o a u n i v a l e n t f u n c t i o n g o n C . B y T h e o r e m 4 . 7 ,= — . g ( G ) . A c c o r d i n g t o E x e r c i s e 2 , g ( G ) = C .S i n c e g i s u n i v a l e n t , t h i s i m p l i e s t h a t C = C , a c o n t r a d i c t i o n . N o w a s s u m et h a t f , ( O ) o o . T h e s a m e a r g u m e n t s h o w s t h a t t h e r e i s a s u b s e q u e n c e a n da u n i v a l e n t f u n c t i o n g o n C s u c h t h a t = g ( G ) .A g a i n E x e r c i s e 2 a p p l i e s a n d w e c o n c l u d e t h a t c a n h a v e n ok e r n e l , a c o n t r a d i c t i o n .

T h u s i t f o l l o w s t h a t t h e r e a r e c o n s t a n t s c a n d C s u c h t h a t cC . S u p p o s e t h a t — + a f o r s o m e n o n - z e r o s c a l a r a . M a i n t a i n i n g t h en o t a t i o n o f t h e p r e c e d i n g p a r a g r a p h , t h e r e i s a s u b s e q u e n c e } s u c h t h a t

p ( t i c ) f o r s o m e u n i v a l e n t f u n c t i o n p o n C . T h u s f , , , = — .

= f . S i n c e a 0 , 1 i s u n i v a l e n t a n d , b y T h e o r e m 4 . 7 , f m a p s C o n t of t N o t e t h a t f ' ( O ) = a .

N o w s u p p o s e t h a t t h e s e q u e n c e o f s c a l a r s h a s t w o d i s t i n c t l i m i tp o i n t s , a a n d / 3 . T h e p r e c e d i n g p a r a g r a p h i m p l i e s t h e r e a r e c o n f o r m a l

e q u i v a l e n c e s f a n d h m a p p i n g C o n t o f i w i t h / ( 0 ) = h ( 0 )

= 0 , f ' ( O ) =a ,

a n d h ' ( O ) = / 3 . B y C o r o l l a r y 4 . 9 , / = h a n d a = / 3 . I t t h e r e f o r e f o l l o w st h a t t h e s e q u e n c e h a s a u n i q u e l i m i t p o i n t a a n d s o — , a .A s a b o v e , t h i s i m p l i e s t h a t { f , , } c o n v e r g e s ( u c ) t o a u n i v a l e n t f u n c t i o n /

o n G t h a t h a s f ( C ) = f l . 0

T h i s c o n c e p t o f t h e k e r n e l o f r e g i o n s w a s i n t r o d u c e d b y C a r a t h é o d o r y ,w h o p r o v e d t h e f o l l o w i n g .

4 . 1 1 C o r o l l a r y . ( T h e C a t h e o d o r y K e r n e l T h e o r e m ) I f f o r e a c h n ? 1 , hi s a u n i v a l e n t f u n c t i o n o n D w i t h f , , ( 0 ) = 0 , > 0 , a n d f , , ( D )




t h e n c o n v e r g e s u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o f D t o a u n i v a l e n tf u n c t i o n i f a n d o n l y i f h a s a k e r n e l f l C a n d — ' 1 2 .

T h e o r e m 4 . 1 0 i s f a l s e w h e n C = C . I n d e e d , i f = C = f o r a l l n

a n d = t h e n C , — + C , b u t { f , j d o e s n o t c o n v e r g e t oa u n i v a l e n t f u n c t i o n .

N o t e t h a t t h e g e n e r a l p u r p o s e o f t h e m a i n r e s u l t s o f t h i s s e c t i o n i s t op r o v i d e a g e o m e t r i c a l l y e q u i v a l e n t f o r m u l a t i o n o f t h e c o n v e r g e n c e o f a s e -q u e n c e o f u n i v a l e n t f u n c t i o n s .

M u c h o f t h i s s e c t i o n i s b a s e d o n § V . 5 o f G o l u z i n [ 1 9 6 9 ] .

E x e r c i s e s1 . I f C = a n d T i s a M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n , t h e n T ( G ) =

k e r { T ( G , % ) } ; s i m i l a r l y , i f C , — + C , t h e n — ' T ( G ) . G i v e c o n d i -t i o n s o n a n a n a l y t i c f u n c t i o n I s o t h a t f ( G ) = w h e n e v e rC =

2 . A s s u m e ( 4 . 3 ) a n d l e t { c , , } b e a s e q u e n c e o f c o m p l e x s c a l a r s . ( a ) I f

C , , — . C a n d c , , c , t h e n c , , G , , — . c C . ( b ) I f { C , , } h a s a k e r n e l a n dc , , — + c o , t h e n c , G , , — . C . ( c ) I f { G , , } h a s a k e r n e l a n d c , , — ' 0 , t h e n{ c , , G , , } h a s n o k e r n e l .

3 . G i v e t h e d e t a i l s i n t h e p r o o f o f C o r o l l a r y 4 . 1 1 .

4 . L e t C b e t h e r e g i o n o b t a i n e d b y d e l e t i n g a f i n i t e n u m b e r o f n o n - z e r op o i n t s f r o m C a n d s h o w t h a t t h e c o n c l u s i o n o f P r o p o s i t i o n 4 . 8 h o l d s

f o r C .

A s s u m e ( 4 . 3 ) . I f { C , } h a s a k e r n e l C a n d C 1 , C , t h e n f o r e v e r y ai n O G t h e r e i s a s e q u e n c e w i t h a , , E C , , s u c h t h a t a , , a .

6 . G i v e a n e x a m p l e o f a s e q u e n c e o f r e g i o n s { G , , } s u c h t h a t f o r e a c hn 1 , C \ C , , h a s a n i n f i n i t e n u m b e r o f c o m p o n e n t s a n d C , , — . D .

7 . A s s u m e t h a t C i s a f i n i t e l y c o n n e c t e d J o r d a n r e g i o n a n d C Ci s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e ; s o e x t e n d s t o d C . i f C i s n o t s i m p l yc o n n e c t e d a n d t h e r e i s a p o i n t a i n O C s u c h t h a t = a , t h e n i st h e i d e n t i t y .

C o n f o r m a l E q u i v a l e n c e w i t h a C i r c u l a r l y S l i t A n n u l u s

T h i s s e c t i o n b e g i n s t h e p r e s e n t a t i o n o f s o m e r e s u l t s c o n c e r n i n g r e g i o n s t h a t

a r e c o n f o r m a l l y e q u i v a l e n t t o a f i n i t e l y c o n n e c t e d r e g i o n . T h e r e a d e r m i g h tc o n s i d e r t h e s e a s e x t e n s i o n s o f t h e R i e m a n n M a p p i n g T h e o r e m . W e k n o wt h a t e a c h s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n i s c o n f o r m a l l y e q u i v a l e n t t o e i t h e r t h e

1 5 . 5 . C i r c u l a r l y S l i t A n n u l u s 9 1

u n i t d i s k o r t h e w h o l e p l a n e , t h i s l a t t e r c a s e o n l y o c c u r r i n g w h e n t h e r e g i o ni n q u e s t i o n i s t h e p l a n e i t s e l f . T h e p i c t u r e f o r f i n i t e l y c o n n e c t e d r e g i o n s i sm o r e c o m p l i c a t e d b u t s t i l l m a n a g e a b l e .

F o r o u r d i s c u s s i o n f i x a n n - c o n n e c t e d r e g i o n G a n d l e t K 0 , . . . , K b ea c i r c u l a r l y s l i t a n n u l u s i f i t h a s t h e f o l l o w i n g f o r m

r 1 < l a n d n } ,w h e r e C , i s a c l o s e d p r o p e r a r c o f t h e c i r c l e J ( J = r 3 , r 1 < r 3 < 1 , a n d t h e s ea r c a a r e p a i r w i s e d i s j o i n t . F o r n o t a t i o n a l c o n v e n i e n c e s e t r o = 1 . N o t et h a t t h i s s l i t a n n u l u s i n a n n - c o n n e c t e d r e g i o n . O f c o u r s e t h e r e i s n o t h i n g

i n w h a t f o l l o w s t h a t r e q u i r e s h a v i n g t h e o u t e r r a d i u s o f t h e a s s o c i a t e da n n u l u s e q u a l t o 1 ; t h i s i s d o n e f o r n o r m a l i z a t i o n p u r p o s e s ( s e e E x e r c i s e1 ) . F o r n o t a t i o n a l c o n v e n i e n c e C o w i l l b e t h e u n i t c i r c l e 8 D a n d C 1 w i l l

b e t h e c i r c l e { z : = r 1 } , a n d t h e s e w i l l b e r e f e r r e d t o a s t h e o u t e r c i r c l ea n d t h e i n n e r c i r c l e o f C l . T h e m a i n r e s u l t o f t h i s s e c t i o n i s t h e f o l l o w i n g .

5 . 1 T h e o r e m . J I G i s a n o n - d e g e n e r a t e n - c o n n e c t e d r e g i o n i n C , A a n d Ba r e t w o c o , n p o n e n t s o f 8 0 1 , G , a n d a E C , t h e n t h e r e i s a u n i q u e c i r c u l a r l y s l i t

a n n u l u s ( I a n d a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e : C C l s u c h t h a t a s s o c i a t e sA w i t h t h e o u t e r c i r c l e a n d B w i t h t h e i n n e r c i r c l e a n d 4 / ( a ) > 0 .

T h e u n i q u e n e s s s t a t e m e n t w i l l f o l l o w f r o m t h e n e x t l e m m a . A l s o t h e p r o o fo f t h i s l e m m a w i l l p r o v i d e s o m e m o t i v a t i o n f o r t h e p r o o f o f e x i s t e n c e .

c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e s u c h t h a t I a s s o c i a t e s t h e o u t e r c i r c l e o f C l w i t h t h eo u t e r c i r c l e o f A , t h e n / e x t e n d s c o n t i n u o u s l y t o t h e o u t e r c i r c l e o f 1 ) a n dm a p s t h i s o n t o t h e o u t e r c i r c l e o f A . ( I n f a c t , / e x t e n d s a n a l y t i c a l l y a c r o s st h e o u t e r c i r c l e . ) S i m i l a r s t a t e m e n t s a p p l y t o t h e i n n e r c i r c l e .

5 . 2 L e m m a . I f C l a n d A a r e t w o c i r c u l a r l y s l i t a i m t d i a n d / : C l A i s ac o n f o r m a l e q u i v a l e n c e s u c h t h a t f a s s o c i a t e s t h e o u t e r a n d i n n e r c i r c l e s o fC l w i t h t h e o u t e r a n d i n n e r c i r c l e s o f A , r e s p e c t i v e l y , t h e n t h e r e i s a c o m p l e xn u m b e r c i a n d f ( z ) = c x z f o r a l i z i n C l .

P r o o f . L e t C b e a n a n a l y t i c n - J o r d a n r e g i o n s u c h t h a t t h e r e i s a c o n f o r m a l

e q u i v a l e n c e C - . C l . W e c a n a s s u m e t h a t G 1 ) , t h e o u t e r b o u n d a r yo f G i s 8 D , a n d t h a t a s s o c i a t e s 0 D w i t h 8 1 ) . L e t . . , b e t h er e m a i n i n g J o r d a n c u r v e s i n t h e b o u n d a r y o f C a n d p u t = 8 1 ) . N u m b e r

t h e s e c u r v e s s o t h a t a s s o c i a t e s w i t h t h e i n n e r c i r c l e o f C l a n d o r i e n t 7 1s o t h a t n ( # ( 7 1 ) ; O ) = — 1 . L e t b e t h e h a r m o n i c b a s i s f o r C . N o t et h a t e a c h w k e x t e n d s t o a h a r m o n i c f u n c t i o n i n a n e i g h b o r h o o d o f c i C .

A d o p t t h e n o t a t i o n i n t h e p a r a g r a p h b e f o r e t h e s t a t e m e n t o f t h e t h e o r e ma n d l e t A = : l a n d ( 2 D j } , w h i s a c l o e e d p r o p e ra r c i n t h e c i r c l e p , } . L e t D 1 a n d D 0 b e t h e i n n e r a n d o u t e r c i r c l e so f h . : C — ' A b e t h e c o n f o r m a l I t f o l l o w s t h a t

a n d e x t e n d c o n t i n u o u s l y t o d C ( 3 . 5 ) .

S i n c e 4 d o e s n o t v a n i s h o n u = l o g i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o n c i Gt h a t i s h a r m o n i c o n G . B e c a u s e o f t h e b e h a v i o r o f o n O G , u i s c o n s t a n t o ne a c h c o m p o n e n t o f O G ; l e t u A , o n T h u s A k ' k i s h a r m o n i c a n d

0 G . T h e r e f o r e u — A k W k 0 . D e f i n i n g C , k a s i n P r o p o s i t i o n 1 . 7 w e g e t

> C j k A k = d W k

=2 i r

i r :— 1 [ 4 /—

=

— f _ i i f j = 1— 0 i f

N o w c a r r y o u t t h e a n a l o g o u s a r g u m e n t w i t h S i n c e / i s a c o n f o r -m a l e q u i v a l e n c e w e h a v e = = — 1 . S o

1 j n . B u t P r o p o s i t i o n1 . 7 s a y s t h a t t h e m a t r i x i s i n v e r t i b l e a n d s o = A , f o r I S j n .T h u s l o g = l o g H e n c e = o n G a n d t h i s i m p l i e s t h e e x i s -t e n c e o f a c o n n t a w i t h i s u c h t h a t T h u s A = a n d

= a 4 ( z ) f o r a l l z i n G . 0

I t i s e a s y t o c o n s t r u c t a n e x a m p l e o f a c i r c u l a r l y s l i t a n n u l u s f o r w h i c hn o r o t a t i o n t a k e s I l o n t o i t s e l f . S o i n t h i s c a s e i f f i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e

o f C o n t o i t s e l f t h a t m a p s t h e o u t e r a n d i n n e r c i r c l e s o n t o t h e m s e l v e s , t h ec o n c l u s i o n o f t h e l e m m a i s t h a t I i s t h e i d e n t i t y f u n c t i o n .

P r o o f o f T h e o r e m 5 . 1 . A c c o r d i n g t o T h e o r e m 3 . 3 w e m a y a s s u m e t h a t G

i s a n a n a l y t i c n - J o r d a n r e g i o n s u c h t h a t t h e c o m p o n e n t A o f . 9 G i s = O D ,t h e o u t e r b o u n d a r y o f G . T h e c o m p o n e n t B o f O G i s a n o t h e r c u r v e . L e tb b e a p o i n t i n s i d e t h i s c u r v e ; s o b G . I f T i s a M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o nt h a t m a p s D o n t o D a n d T ( b ) = 0 , t h e n r e p l a c i n g C b y T ( G ) w e m a y

a s s u m e t h a t 0 b e l o n g s t o t h e i n s i d e o f B . D e n o t e t h i s b o u n d a r y c u r v e Bb y y i b e t h e r e m a i n i n g b o u n d a r y c u r v e s . S o n ( ' y j ; O ) = Of o r 2 < i n a n d w e c a n o r i e n t ' Y o a n d 1 i s u c h t h a t n ( ' y 1 ; 0 ) = — 1 a n d

F o r l l e t

C , k = f d w , .



1 5 . 5 . C i r c u l a i l y S l i t A n n u t u s

A c c o r d i n g t o P r o p o s i t i o n 1 . 7 t h e m a t r i x i s i n v e r t i b l e .C o r o l l a r y 1 3 . 4 . 1 4 i m p l i e s t h e r e i s a n a n a l y t i c n - J o r d a n r e g i o n W c o n t a i n -

i n g c l G s u c h t h a t e a c h h a r m o n i c f u n c t i o u w k ,

t o a f u n c t i o n h a r m o n i c i n W ; a l s o d e n o t e t h i s e x t e n s i o n b y L e t = 0i n s o t h a t t h e y l i e i n t h ec o m p l e m e n t o f c i W .

S i n c e [ C 3 k 1 i s i n v e r t i b l e , t h e r e a r e ( u n i q u e ) r e a l n u m b e r s . . s u c ht h a t

= — 1

5 . 3

L e t u b e t h e h a r m o n i c f u n c t i o n o n W g i v e n b y

U =

B y T h e o r e m 1 . 3 t h e r e i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n h o n W s u c h t h a t

u ( z )

w h e r e c 1 , . . . , a r e t h e p e r i o d s o f u . L e t ' s c a l c u l a t e t h e s e p e r i o d s .F o r 1 j s

c 12 i r

=

=

5 - 1

1 .0 2 S j n .

T h u s u = R e h - l o g I z J .P u t 4 , = S o 4 , i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n W t h a t d o e s n o t v a n i s h

t h e r e . N o t e t h a t = = e x p u . T h u s i s c o n s t a n t o n e a c h o ft h e b o u n d a r y c u r v e s o f G , . , ' y , 1 . I n f a c t o n I ti s c l a i m e d t h a t 4 , i s t h e d e s i r e d c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e . T o e s t a b l i s h t h i s ,

m a n y t h i n g s m u s t b e c h e c k e d .

F o r a n y c o m p l e x n u m b e r ( , l e t N ( ( ) b e t h e n u m b e r o f s o l u t i o n s , c o u n t i n gm u l t i p l i c i t i e s , o f t h e e q u a t i o n = ( t h a t l i e i n t h e r e g i o n G . F r o m t h eA r g u m e n t P r i n c i p l e , i f ( f o r 0 j n , t h e n

5 . 4 N ( ( )= L , =

N o w i s a c l o s e d c u r v e ( p o s s i b l y n o t a J o r d a n c u r v e ) a n d , s i n c e =o n t h i s c l o s e d c u r v e m u s t b e c o n t a i n e d i n t h e c i r c l e 4 , = { ( : =

T h u s = 0 f o r 1 ( 1 > a n d = f o rr 3 . U s i n g P r o p o s i t i o n 1 3 . 3 . 5 w e g e t t h a t f o r 0 j n ,

=2 i r s z

=i t z

= - 1 - - f d u .2 , r

F o r 1 j < n t h i s l a s t i n t e g r a l i s c 1 , w h i c h w a s c a l c u l a t e d p r e v i o u s l y . F o rj = 0 f i r s t o b s e r v e t h a t O t t i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n W s o t h a t

i t) = — j O u

7 1 2

=

=: j t c i

T h e r e f o r e w e o b t a i n

1 i f j = 05 . 5 = — 1 i f j = 1

0 i f

S u b s t i t u t i n g i n ( 5 . 4 ) t h i s i m p l i e s t h a t i f 1 ( 1 r O ( = 1 ) , r 1 , . . . , r , , t h e nN ( ( ) = ( ) + ( ) a n d s o a c o n s i d e r a t i o n o f a l l t h e p o s s i b l e

1 5 . 5 . C i r c u l a r l y S i l t A n n u l u s 9 5

c a s e s ( s a v e o n e ) g i v e s t h a t

0 i f

5 . 6 C ) i f K I < l a n d K I < r i1 i f r j < I C I < 1 .

T h e o n e p o s s i b i l i t y t h a t i s l e f t o u t i s t o h a v e N ( C ) = — 1 f o r 1 < 1 ( 1 < r 1 .B u t t h i s i s n o n s e n s e ; t h e e q u a t i o n = ( c a n n o t h a v e - 1 s o l u t i o n s i n G .

T h u s 1 . B u t i s o p e n s o t h a t m u s t h a v e s o m e s o l u t i o n s .T h u s w e h a v e t h a t

< 1 .E q u a t i o n 5 . 6 a l s o s h o w s t h a t i s a o n e - t b - o n e m a p o f G o n t o i t s i m a g e

a n d R : T i < 1 ( 1 < 1 } . L e t C , = ç A , . A g a i n ( 5 . 6 )s h o w s t h a t N ( ( ) = 1 f o r C i n R a n d r , ( 2 S j n ) . S o

{ C E R r 2 , . . . B e c a u s e i s a b o m e o m o r p h i M n o f G o n t o= = U { < : = 1 o r T i } . T h i s i m p l i e s t w o

t h i n g s . F i r s t i t m u s t b e t h a t r 1 < r 2 < 1 f o r 2 j n . S e c o n d

N o w a n d h e n c e c i , m u s t b e a c o n n e c t e d s e t a n d s o e a c h C , i s ap r o p e r c l o s e d a r c i n t h e o i r c l e A , . T h a t i s , i s a s l i t a n n u l u s .

W h a t a b o u t Ø ' ( O ) ? I t m a y b e t h a t i s n o t p o s i t i v e . H o w e v e r b yr e p l a c i n g q $ b y f o r a s u i t a b l e 9 a n d

r e p l a c i n g C I b y e ' I Z , t h i s p r o p e r t yi s i n s u r e d .T h e p r o o f o f u n i q u e n e s s i s a n e a s y c o n s e q u e n c e o f L e m m a 5 . 2 a n d i s l e f t

t o t h e r e a d e r . 0

C o n s i d e r t h e a n n u l u s C = { z : R < I z i < 1 ) . T h e m a p = A R / z f o ra s c a l a r , \ w i t h l A t = 1 i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f C o n t o T h u st h e u n i q u e n e s s o f t h e c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o b t a i n e d i n T h e o r e m 5 . 1 i s

d e p e n d e n t o n t h e a s s i g n m e n t o f t w o o f t h e b o u n d a r y c o m p o n e n t s . T h e u s eo f a r o t a t i o n s h o w s t h a t i n a d d i t i o n t o a s s i g n i n g t w o b o u n d a r y c o m p o n e n t si t i s a l a b n e c e s s a r y t o s p e c i f y t h e s i g n o f t h e d e r i v a t i v e a t a p o m t .

W h a t h a p p e n s i f s o m e o f t h e c o m p o n e n t s o f C C \ C a r e s i n g l e t o n s ?S u p p o s e t h a t \ C h a s n + 1 n o n - t r i v i a l c o m p o n e n t s K o , . . . , K , a n d mc o m p o n e n t s a i , . . . t h a t a r e s i n g l e t o n s . B y t h e a p p l i c a t i o n o f a s i m p l eM ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n , i t c a n b e a s s u m e d t h a t o o K 0 . L e t H C u

. . , a m } . A c c o r d i n g t o T h e o r e m 5 . 1 t h e r e i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e

l f o r s o m e c i r c u l a r l y s l i t a n n u l u s C . L e t ( a ' ) . T h i s l e a d s t ot h e f o l l o w i n g .

5 . 7 T h e o r e m . I f n 1 a n d C 1 3 a n ( n + r e g i o n w i t h o n l y( n + 1 ) o f t h e c o m p o n e n t s o f i t s c o m p l e m e n t i n n o n - t r i v i a l , t h e n C i sc o n f o r m a l l y e q u i v a l e n t t o a c i r c u l a r l y s l i t a n n u l u s w i t h m p o i n t s r e m o v e d .

T h e a b o v e t h e r e o m s h a v e a n a p p e a l i n g f o r m i n t h e c a s e t h a t n = I a n di t i s w o r t h s t a t i n g t h i s s e p a r a t e l y .

5 . 8 T h e o r e m . J I G i s a 1 - c o n n e c t e d r e g i o n i n C , t h e n t h e f o l l o w i n g s t a t e -m e n t s h o l d .

( a ) I f e a c h c o m p o n e n t o f Ct h e p u n c t u r e d p l a n e C 0 .

( b ) I f o n e c o m p o n e n t o f \ G i s a p o i n t a n d t h e o t h e r i s n o t , t h e n Ci s c o n f o r r n a l l y e q u i v a l e n t t o { z : I < 1 2 1 < o o } .

( c ) I / n e i t h e r c o m p o n e n t o f C ( Q \ G i s a p o i n t , t h e n t h e r e i s a f i n i t e n u m b e rr s u c h t h a t G i . s c o n f o r v n a i l y e q u i v a l e n t t o { z : I < I z I < r } .

a n d o n l y i f r 1 = r 2 .

P r o o f . T h e p r o o f s o f ( a ) , ( b ) , a n d ( c ) a r e s t r a i g h t f o r w a r d . T h e p r o o f t h a ta n d A 1 . 2 a r e c o n f o r m a l l y e q u i v a l e n t i f a n d o n l y i f r 1 = f 2 f o l l o w s f r o m

t h e u n i q u e n e s s p a r t o f T h e o r e m 5 . 1 . 0

E x e r c i s e s

1 . S h o w t h a t e v e r y p r o p e r a n n u l u s i s c o n f o r m a l l y e q u i v a l e n t t o o n e o ft h e f o r m { z : r c z J z I < 1 ) .

2 . A s s u m e G i s a n a n a l y t i c J o r d a n r e g i o n a n d i s a c i r c u l a r l y s l i ta n n u l u s a s i n t h e p r o o f o f T h e o r e m 5 . 1 ; a d o p t t h e n o t a t i o n o f t h a tp r o o f . i f 4 : c i C c i i s t h e c o n t i n u o u s e x t e n s i o n o f t h e c o n f o r m a le q u i v a l e n c e o f C o n t o I i , s h o w t h a t f o r 2 j n , i s t w o - t o - o n e o n

' y , . ( H i n t : L e t b e a J o r d a n c u r v e i n C t h a t c o n t a i n s ' V j i n i t s i n s i d ea n d h a s t h e r e m m f l i n g b o u n d a r y c u r v e s o f C i n i t s o u t s i d e . N o t e t h a t

i s a J o r d a n c u r v e i n f l t h a t c o n t a i n s p r e c i s e l y o n e b o u n d a r ya r c o f ( l i n i t s i n a i d e . W h a t h a p p e n s a s e - O ? )

3 . 1 ( 0 < R , o o , j = 1 , 2 , s h o w t h a t a n n ( O ; r 1 , R 1 ) a n d a n n ( O ; r 2 , R 2 )a r e c o n f o r r n a l l y e q u i v a l e n t i f a n d o n l y i f R i / r 1 = R 2 / r 2 .

4 .

l y t I c f u n c t i o n s f : A A t h a t a r e b i j e c t i v e .

1 5 . 6 . C i r c u l a r l y S l i t D i s k 9 7

5 . ( a ) L e t G b e a n o n - d e g e n e r a t e n - c o n n e c t e d r e g i o n w i t h b o u n d a r yc o m p o n e n t s C O , G 1 , . . . , C I , a n d l e t : C — . G b e a c o n f o r m a l e q u i v -a l e n c e . S h o w t h a t i f n 2 a n d f o r t h r e e v a l u e s o f k , a s s o c i a t e s C k

w i t h i t s e l f i n t h e s e n s e o f § 3 , t h e n i s t h e i d e n t i t y m a p p i n g . ( b ) I fn 2 , s h o w t h a t t h e g r o u p o f a l l c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e s o f G o n t oi t s e l f i s f i n i t e . G i v e a b o u n d o n t h e o r d e r o f t h e g r o u p . ( S e e H e m s

( 1 9 4 6 ] . )

§ 6 C o n f o r m a l E q u i v a l e n c e w i t h a C i r c u l a r l y S l i t D i s k

I n t h i s s e c t i o n w e w i l l s e e a n o t h e r c o l l e c t i o n o f c a n o n i c a l n - c o n n e c t e d r e -g i o n s t h a t c o m p l e t e l y m o d e l t h e s e t o f a l l n - c o n n e c t e d r e g i o n s .

6 1 D e f i n i t i o n . A c i r c u l a r l y s l i t d i s k i s a r e g i o n f o f t h e f o r m

' I

w h e r e f o r 1 j n , C , i s a p r o p e r c l o s e d a r c i n t h e c i r c l e i z l = 0 <r 3 < 1 .

N o t e t h a t a s d e f i n e d a c i r c u l a r l y s l i t d i s k c o n t a i n s 0 . T h e p o i n t 0 w i l lb e u s e d t o g i v e t h e u n i q u e n e s s s t a t e m e n t i n T h e o r e m 6 . 2 b e l o w . T h e m a i n

r e s u l t o f t h i s s e c t i o n i s t h e f o l l o w i n g .

6 . 2 T h e o r e m . J I G i s a n o n - d e g e n e r a t e n - c o n n e c t e d r e g i o n , a E C , a n d Ai s a n y c o m p o n e n t o f Ô G , t h e n t h e r e i s a u n i q u e c i r c u l a r l y s l i t d i s k a n da u n I q u e c o n f o r m a l e q u i v o i e n c e C — # I ) s u c h t h a t a s s o c i a t e s A w i t h

O D , a n d

A s i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n , w e w i l l p r o v e a l e m m a t h a t w i l l i m p l y t h eu n i q u e n e s s p a r t o f t h e t h e o r e m a n d a l s o m o t i v a t e t h e e x i s t e n c e p r o o f .

6 . 3 L e m m a . a n d A a r e s l i t d i s k s a n d f — . A i s a c o n f o r m a le q u i v a l e n c e s u c h t h a t f ( O ) = 0 a n d f ( 8 D ) — O D , t h e n t h e r e i s a c o m p l e xn u m b e r a w i t h i a I = 1 s u c h t h a t A = a f l a n d f ( z ) = c r z f o r a l l z i n f l .

P r o o f . S o m e d e t a i l s w i l l b e o m i t t e d a s t h i s p r o o f i s s i m i l a r t o t h a t o fL e m m a 5 . 2 . L e t C b e a n a n a l y t i c J o r d a n r e g i o n w i t h o u t e r b o u n d a r y =

C —C s u c h t h a t = 0 . D e n o t e t h e r e m a i n i n g b o u n d a r y c u r v e s o f C

b y . . , A d o p t t h e n o t a t i o n i n D e f i n i t i o n 6 . 1 .

L e t i i S o u i s a n e g a t i v e h a r m o n i c f u n c t i o n o n G \ { o } a n d , f o r n , w h e r e e x p ( p , ) — r , .a n a l y t i c f u n c t i o n t h a t n e v e r v a n i s h e s o n C . S o u = l o g ( z — a I + l o g ( h ( a n d




i s h a r m o n i c o n C . I f i s t h e b a s i s f o r C , [ u —p , — l o g — a i l s h a r m o n i c o n G a n d u — p , v a n i s h e s o n 0 G .

T h u s

u ( z ) = — g ( z , a ) +

w h e r e g ( z , a ) = g 6 ( z ) i s t h e G r e e n f u n c t i o n f o r C w i t h s i n g u l a r i t y a t a .T h u s

j d u = - f + j= w j ( a ) + E c j k p k ,

w h e r e C , k i s o n e o f t h e p e r i o d s o f O n t h e o t h e r h a n d ,

=2 i r j , . 7 r 1 f . , 1

— 1

— 2 i r i f . , 1= 0f o r 1 j n . T h e r e f o r e p i e . . . , a r e t h e u n i q u e s o l u t i o n s o f t h e e q u a t i o n s

6 . 4 =

A r g u i n g a s i n t h e p r o o f o f L e m m a 5 . 2 , i f = / o 4 , , t h e n = a n d s oC l

P r o o f o f T h e o r e m 6 . 2 . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y w e m a y a s s u m e t h a tC i s a n a n a l y t i c J o r d a n r e g i o n w i t h o u t e r b o u n d a r y A = = 8 D ; l e t

v i , . . . , b e t h e r e m a i n i n g b o u n d a r y c u r v e s . L e t = — l o g — +b e t h e G r e e n f u n c t i o n f o r C a n d l e t w 1 , . . . , i i , , b e t h e h a r m o n i c b a s i s f o rC . I f { c . 3 k } a r e t h e p e r i o d s f o r t h e h a r m o n i c b a s i s , l e t . . b e t h eu n i q u e s c a l a r s s u c h t h a t ( 6 . 4 ) i s s a t i s f i e d . P u t u = + a n d p u tv = u — l o g l z — a f . S o v i s h a r t h o n i c o n C a n d a c o m p u t a t i o n s h o w s t h a tf o r

d v= d g Q + > c i k p k

== n ( 7 5 ; a )

= 0 .



1 5 . 6 . C i r c u l a r l y S l i t D i s k

T h e r e f o r e t h e r e i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n h o n C s u c h t h a t t R e h . M o r e o v e rh c a n b e c h o s e n s o t h a t h ( a ) i s r e a l . S o u = l o g l z — a ( + R e h .

L e t = ( z — s o t h a t = u . I t f o l l o w s t h a t = i o n

a n d = o n f o r 1 j n . F o r a n y c o m p l e x n u m b e r (l e t N ( ( ) b e t h e n u m b e r o f s o l u t i o n s o f t h e e q u a t i o n ( , c o u n t i n gm u l t i p l i c i t i e s . A s i n t h e p r o o f o f T h e o r e m 5 . 1 ,

N ( C ) =

N o w ç { ( : = r 2 . } s o t h a t t o c a l c u l a t e N ( C ) i t s u f i k e s t o c a l c u l a t e

B u t

n ( 4 ( - y 3 ) ; O )

=2 i r z z — a

= n ( - y , ; a )

1 1 i f j = O

10 i f

C o l l a t i n g t h e v a r i o u s p i e c e s o f i n f o r m a t i o n w e g e t t h a t i f K I r 3 f o r 0j n , t h e n

° i f l ( I > 1

1 1F r o m h e r e i t f o l l o w s t h a t Q = i s a s l i t d i s k a n d 4 ' i s a c o n f o r m a l

e q u i v a l e n c e o f C o n t o w i t h 4 ' ( a ) = 0 . S i n c e h ( a ) i s a r e a l n u m b e r , ac a l c u l a t i o n s h o w s t h a t 4 / ( a ) > 0 .

T h e u n i q u e n e s s f o l l o w s f r o m L e m m a 6 . 3 a n d i s l e f t t o t h e r e a d e r . 0

E x e r c i s e s

1 . D e n o t e t h e c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o b t a i n e d i n T h e o r e m 6 . 2 b y 4 ' ( z , a ) ;s o 4 ' ( a , a ) = 0 a n d 8 i 4 ' ( a , a ) > 0 . S h o w t h a t i f [ d , k J i s t h e i n v e r s e o ft h e m a t r i x [ c , k J , t h e n

l o g l 4 ' ( z , a ) f = — g ( z , a ) + d , k w , ( z ) t & ? k ( a ) .j , k = 1

T h u s 4 ' ( z , a ) = 4 ' ( a , z ) .



1 0 0 1 5 . F i n i t e l y C o n n e c t e d R e g i o n s

2 . S h o w t h a t i f G i s a n n - c o n n e c t e d r e g i o na c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o n C t h a t m a p s C o n t o t h e e x t e n d e d

p l a n e w i t h c i r c u l a r s l i t s a n d = 0 a n d = 0 0 . ( H i n t : L e t

t , l i ( z ) = b ) ( n o t a t i o n f r o m E x e r c i s e 1 ) ; u s e t h e A r g u m e n tP r i n c i p l e t o s h o w t h a t i s o n e - t o - o n e . )

3 . R o w m u s t T h e o r e m 6 . 2 b e c h a n g e d i f s o m e o f t h e c o m p o n e n t s o f t h ec o m p l e m e n t o f C a r e t r i v i a l ?

§ 7 C o n f o r m a l E q u i v a l e n c e w i t h a C i r c u l a r R e g i o n

A r e g i o n i s a c i r c u l a r r e g i o n i f i t s b o u n d a r y c o n s i s t s o f a f i n i t e n u m b e r o fd i s j o i n t n o n - d e g e n e r a t e c i r c l e s . I n t h i s s e c t i o n i t w i l l b e s h o w n t h a t e v e r y

n - c o n n e c t e d r e g i o n i s c o n f o r m a l l y e q u i v a l e n t t o a c i r c u l a r r e g i o n b o u n d e db y n + 1 c i r c l e s . T h i s p r o o f w i l l b e a c c o m p l i s h e d b y t h e u s e o f B r o u w e r ' s

I n v a r i a n c e o f D o m a i n T h e o r e m c o m b i n e d w i t h p r e v i o u s l y p r o v e d c o n f o r m a lm a p p i n g r e s u l t s . B u t f i r s t t h e u n i q u e n e s s q u e s t i o n f o r s u c h r e g i o n s w i l lb e a d d r e s s e d . R e c a l l t h a t t h e o s c i l l a t i o n o f a f u n c t i o n / o n a s e t E i so s c ( f ; E ) = s u p { I f ( x ) — : z , y E } . F o r a c u r v e £ ( ' y ) d e n o t e s i t sl e n g t h .

1 . 1 L e t K b e a c o m p a c t s u b s e t o f t h e r e g i o n C a n d l e t f b e ab o u n d e d a n a l y t i c f u n c t i o n o n C \ K . I f , f o r e v e r y e > 0 a n d e v e r y o p e ns e t U c o n t a i n i n g K a n d c o n t a i n e d i n C , t h e r e a r e s m o o t h J o r d a n{ ' v i , . . . i n U t h a t c o n t a i n K i n t h e u n i o n o f t h e i r i n s i d e s s u c h t h a t

a n d

t h e n / h a s a n a n a l y t i c t o C .

P r o o f . L e t b e a s m o o t h p o s i t i v e l y o r i e n t e d J o r d a n c u r v e i n C \ K t h a tc o n t a i n s K i n i t s i n s i d e . F i x a p o i n t z i n G \ K a n d i n s i d e 7 0 . F o r e > 0 l e t7 1 , . . . , b e a s i n t h e s t a t e m e n t o f t h e l e m m a a r r a n g e d s o t h a t t h e y l i e

i n s i d e a n d t h e p o i n t z i s o u t s i d e e a c h o f t h e m . G i v e t h e c u r v e s . . . , ' i nn e g a t i v e o r i e n t a t i o n . S o F = { y o , ' i i , . . . , y , } i s a p o s i t i v e l y o r i e n t e d J o r d a ns y s t e m i n C . L e t d = d i s t ( z , H e n c e

1 ( z ) = Jf ( w )

d w + I d w .2 i r z 2 , r z j w — z

F i x a p o i n t w , o n ' i , . S i n c e z i s i n t h e o u t s i d e o f

= f f f ( w ) d2 i r s i i . , — z 2 i r z t o — z 2 7 r 2 w — z



1 5 . 7 . C i r c u l a r R e g i o n 1 0 1

= 1 [ f ( w ) _ f ( w j ) d Ww — z

H e n c e i f 5 ,

[ f f ( w ) — f ( w , )I d w i

— w — z

— L . 4 2 i r d

1 / 2 1 / 2

S i n c e e w a s a r b i t r a r y ,

f ( z ) = f f ( w ) d w2 i r t w — z

f o r a l l z i n s i d e a n d l y i n g i n G \ K . T h u s t h i s f o r m u l a g i v e s a m e a n s o fd e f i n i n g / o n t h e s e t K t h a t f u r n i s h e s t h e r e q u i r e d a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n .

0

F o r t h e f o l l o w i n g d i s c u s s i o n , l e t ' s f i x s o m e n o t a t i o n . L e t b e a c i r c u l a r

r e g i o n w h o e e o u t e r b o u n d a r y i s = 3 D . L e t ' y e , . . . b e t h e r e m a i n i n gc i r c l e s t h a t f o r m t h e b o u n d a r y o f C l ; p u t ' Y j = 8 B ( a , ; r , ) . N o w l o o k a t t h er e g i o n t h a t i s t h e r e f l e c t i o n o f C l a c r o s s t h e c i r c l e R e c a l l t h a t t h er e f l e c t i o n o f a p o i n t z a c r o s s t h e c i r c l e ' y , i s t h e p o i n t w g i v e n b y

7 . 2

N o t e t h a t t h i s f o r m u l a i s t h e c o n j u g a t e o f a M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n . T h u st h e i m a g e o f C l u n d e r t h i s t r a n s f o r m a t i o n i s a n o t h e r c i r c u l a r r e g i o n ; c a l li t C l i , f o r t h e m o m e n t . N o t e t h a t t h e o u t e r b o u n d a r y o f i s t h e c i r c l e

T h u s C Z ( 1 ) i s a l s o a c i r c u l a rr e g i o n , t h o u g h i t s c o m p l e m e n t h a s m o r e c o m p o n e n t s ( h o w m a n y m o r e ? ) .

N o w f o r e a c h a n d f o r e a c h o f i t a b o u n d a r y c i r c l e s l o o k a t t h e i m a g eo f u n d e r t h e r e f l e c t i o n a c r o s s y . D e n o t e t h e r e s u l t i n g c i r c u l a r r e g i o n s

: 1N o t e t h a t e h o f t h e s e i s t h e i m a g e o f f l u n d e r t w o

s u c c e s s i v e r e f l e c t i o n s a n d h e n c e i s t h e i m a g e o f C l u n d e r t h e c o m p o s i t i o n o ft w o t r a n s f o r m a t i o n s o f t h e t y p e g i v e n i n ( 7 . 2 ) . I t i s e a s y t o c h e c k t h a t t h ec o m p o s i t i o n o f t w o s u c h t r a n s f o r m a t i o n s i s a M ô b i u s t r a n s f o r m a t i o n . L e t

1 0 2 1 5 . F i n i t e l y C o n n e c t e d f t e g i o n s

f l ( 2 ) b e t h e u n i o n o f f l ( 1 ) , t h e r e g i o n s : 1 j N 2 } , t o g e t h e r w i t ht h e c i r c l e s f o r m i n g t h e i n n e r b o u n d a r y o f 1 1 ( 1 ) .

C o n t i n u e . T h i s p r o d u c e s f o r e a c h i n t e g e r k a c o l l e c t i o n o f c i r c u l a r r e g i o n s

1 N k } a n d a n i n c r e a a m g s e q u e n c e o f c i r c u l a r r e g i o n s { f l ( k ) ) ,w h e r e f l ( k ) i s t h e u n i o n o f f l ( k — 1 ) , t h e r e g i o n s { f l k j : 1 jt o g e t h e r w i t h t h e c i r c l e s t h a t f o r m t h e i n n e r b o u n d a r y o f f l ( k — 1 ) . P u tf l ( o o ) = U k f l ( k ) . S o

f l ( o o ) = f l u U { c l f l k , : k l a n d 1 j

F o r k 1 a n d 1 j = T k , ( f l ) , w h e r e T k , i s a M ö b i u s t r a n s -

f o r m a t i o n i f k i s e v e n a n d t h e c o n j u g a t e o f a M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n i f k i so d d . L e t I i n , b e t h e c i r c l e s t h a t a r e t h e c o m p o n e n t s o f 8 1 1 k je x c l u s i v e o f i t s o u t e r b o u n d a r y . S o t h e c o m p o n e n t s o f O f l ( k ) a r e t h e u n i tc i r c l e t o g e t h e r w i t h t h e c i r c l e s : 1 j 1 n } . P u t =t h e r a d i u s o f

7 . 3 W i t h t h e p r e c e d i n g n o t a t i o n ,

1 S N k ,

P r o o f . F i r s t n o t e t h a t t h e r e g i o n s { 1 Z , 1 3 : k ,d i s j o i n t . L e t D k , b e t h e d e r i v a t i v e o f T k , w h e n k i s e v e n a n d t h e d e r i v a t i v eo f t h e c o n j u g a t e o f T k , w h e n I c i s o d d . L e t B = B ( a ; r ) b e a d i s k c o n t a i n e d i nf i a n d c o n s i d e r t h e d i s k s T k , ( B ) . B y K o e b e ' s 1 / 4 - T h e o r e m , T k , ( B ) c o n t a i n s

a d i s k o r ' r a d i u s r I D k , ( a ) I / 4 . T h u s I D k , ( a ) 1 2 / 1 6 . T h u s

7 . 4 : 1 i N , j < o o .

A c c o r d i n g t o t h e D i s t o r t i o n T h e o r e m ( 1 4 . 7 . 1 6 ) , f o r 1 i n t h e r e i s ac o n s t a n t M 1 s u c h t h a t f o r k 1 a n d 1 N k ,

s u p { I D k , ( z ) I : z E M 1 I D k , ( a ) I .

j I d z I M 1 f D k J ( a ) j 2 l r r u .

C o m b i n i n g t h i s w i t h ( 7 . 4 ) g i v e s t h e p r o o f o f t h e 0

7 . 5 P r o p o s i t i o n . I f f l a n d A a r e c i r c u l a r r e g i o n s a n d f : f l — s A i s ac o n f o r m a l e q u i v a k n c e , t h e n / i s a M ö b i u s t r a n s f o n n a t i o n .



1 5 . 7 . C i r c u l a r R e g i o n 1 0 3

P r o o f . B y T h e o r e m 3 . 4 i t f o l l o w s t h a t f m a p s e a c h c i r c l e i n t h e b o u n d -a r y o f c i h o m e o m o r p h i c a l l y o n t o a c i r c l e i n t h e b o u n d a r y o f A . B y u s i n ga p p r o p r i a t e M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n s , i t s u f f i c e s t o c o n s i d e r t h e c a s e t h a t

t h e o u t e r b o u n d a r i e s o f c i a n d A a r e t h e u n i t c i r c l e a n d / m a p s 8 D O n t oi t s e l f . I f . . . , a r e t h e o t h e r b o u n d a r y c i r c l e s o f A , t h e n u m b e r i n g c a nb e a r f o r l S i .

A d o p t t h e n o t a t i o n o f L e m m a 7 . 3 a n d t h e a n a l o g o u s n o t a t i o n f o r t h ec i r c u l a r r e g i o n A . B y u s i n g t h e R e f l e c t i o n P r i n c i p l e t h e r e i s f o r e a c h I c 1a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e f k : c i ( k ) A ( I c ) t h a t c o n t i n u e s I . H e n c e w e g e t

a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e f , , , : 1 Z ( o o ) A ( o o ) . N o t e t h a t K = 1 ) \ f o o ) i sc o m p a c t .

N o w a p p l y L e m m a 7 . 1 t o s h o w t h a t h a s a c o n t i n u a t i o n t o D . O n c et h i s i s d o n e t h e p r o o f w i l l b e c o m p l e t e . I n d e e d , i f g = A — , c i , t h es a m e a r g u m e n t s h o w s t h a t g h a s a c o n t i n u a t i o n t o D t h a t i s a c o n f o r m a le q u i v a l e n c e o n A ( c o ) . I n f a c t g d , , = f ; ' . S i n c e z = i tm u s t b e t h a t t h e c o n t i n u a t i o n o f / t o D i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e w h o s ei n v e r s e i s t h e c o n t i n u a t i o n o f g t o 0 . T h u s f i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f

D o n t o i t s e l L A c c o r d i n g t o T h e o r e m 6 . 2 . 5 , f i s a M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n .T o s e e t h a t L e m m a 7 . 1 i s a p p l i c a b l e t o l e t U b e a n o p e n s u b s e t o f

D t h a t c o n t a i n s K a n d l e t e > 0 . B y L e m m a 7 . 3 a n d a n e a s y t o p o l o g i c a la r g u m e n t , t h e r e i s a n i n t e g e r m s u c h t h a t f o r k m e a c h o f t h e c i r c l e si s c o n t a i n e d i n U a n d

I f i s t h e r a d i u s o f m c a n a l s o b e c h o s e n s o t h a t

B u t f k m a p s t h e c i r c l e o n t o t h e c i r c l e t l k j ; . S o i f 6 k j i = o s c ( f , l ' k , s ) ,t h i s l a s t i n e q u a l i t y i m p l i e s t h a t

L e x n m a 7 . l . 0

T h e t o p o l o g i c a l l e m m a t h a t f o l l o w s w i l l b e u s e d i n t h e e x i s t e n c e p r o o L

7 . 6 L e m m a . ( a ) L e t { f l k } b e c i r c u l a r l y s l i t d i s k s s u c h t h a t O D i s t h e o u t e rb o u n d a r y o f e a c h a n d e a c h i s n - c o n n e c t e d . I f C l i s a n o n - d e g e n e r a t e

n - c o n n e c t e d r e g i o n w i t h o u t e r b o u n d a r y 8 D a n d c i k - . c i i n t h e s e n s e o f( 4 . 1 ) , t h e n C l i s a c i r c u l a r l y s l i t d i s k .

1 0 4 1 5 . F i n i t e l y C o n n e c t e d f t e g i o n s

( b ) L e t { G k } b e c i r c u l a r r e g i o n s 3 u c h t h a t O D i s t i z e o u t e r b o u n d a r y o fe a c h a n d e a c h G k i s n - c o n n e c t e d . I f G i s a n o n - d e g e n e r a t e n — c o n n e c t e d

r e g i o n w i t h o u t e r b o u n d a r y 8 1 ) a n d G k — + C i n t h e s e n s e o f ( 4 . 1 ) , t h e n G

i s a c i r c u l a r r e g i o n .P r c o f . ( a ) L e t F Y i , . . . , b e t h e b o u n d e d c o m p o n e n t s o f t h e c o m p l e m e n to f Q ; p u t 7 o = 0 1 ) . L e t OC h o o s e a n i n t e g e r k 1 s u c h t h a t f o r k 2 k 1 , K { z E 6 ) c

I f 0 j n a n d a 3 E t h e n E x e r c i s e 4 . 5 i m p l i e s t h e r e i s a n i n t e g e rk 2 > k 1 s u c h t h a t f o r k k 2 , d i s t ( a , , O l l k ) < 6 / 2 . F i x k 1 c 2 f o r t h em o m e n t a n d l e t O ( Z k w i t h l a , k — a 3 < 6 / 2 . I f 7 j k i s t h e c o m p o n e n t

o f 0 1 1 k t h a t c o n t a i n s a , k , t h e n i t m u s t b e t h a t 7 j 1 C { z : d i s t ( z , < 5 ) .I n d e e d t h e f a c t t h a t K ç a n d Q c 1 ) i m p l i e s t h a t ' y j k ç D \ K . S i n c e7 j k i s c o n n e c t e d , t h e c h o i c e o f 6 i m p l i e s t h a t { z : d i s t ( z , < 5 ) .

T h u s w e h a v e t h a t f o r k 1 c 2 , t h e p r o p e r a r c s t h a t f o r m t h e b o u n d e dc o m p o n e n t s o f t h e c o m p l e m e n t o f t 1 k c a n b e n u m b e r e d 7 j k , - . . , $ 0 8 5t o s a t i s f y

7 . 1 T l J k c ( 7 j ) 6 { z : d i s t ( z v y 2 ) < 6 } .

N o w f i x j , I < j n . F o r e a c h i n E x e r c i s e 4 . 5 i m p l i e s t h e r e i sa s e q u e n c e { ( k } w i t h ( k i n s u c h t h a t ( * < . B y ( 7 . 7 ) , C k f o rk k 2 . I f ' Y j k i s c o n t a i n e d i n t h e c i r c l e { ( : t h i s i m p l i e s t h a tP j k = I C , k I - 4 S i n c e ( w a s a n a r b i t r a r y p o i n t o f t h i s s h o w s t h a t ' y ,i s c o n t a i n e d i n t h e c i r c l e { 7 : = p , } , w h e r e P j k p . , a s k o o . B u t f ii s c o n n e c t e d a n d n o c o m p o n e n t o f t h e c o m p l e m e n t o f ( 1 i s t r i v i a l . T h u s - y ,i s a p r o p e r c l o s e d a r c i n t h i s c i r c E e a n d h e n c e f l i s a c i r c u l a r l y s l i t d i s k .

T h e p r o o f o f p a r t ( b ) i s s i m i l a r . 0

7 . 8 L e m m a .( a ) L e t { G k } a n d C b e c i r c u l a r r e g i o n s s u c h t h a t 8 1 ) t h e o u t e r b o u n d a r yo f e a c h a n d e a c h i s n - c o n n e c t e d ; f o r e a c h k 1 l e t f k : - - 4 b e ac o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o n t o a c i r c u l a r l y s l i t d i s k w i t h o u t e r b o u n d a r y

O D s u c h t h a t f k ( O ) = > 0 , a n d f k ( O D ) = O D . — * C i n t h es e n s e o f ( 4 . 1 ) , t h e n 1 k — . f ( u c ) , w h e r e I i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f Co n t o a c i r c u l a r l y s l i t r e g i o n w i t h o u t e r b o u n d a r y O D , a n d - - 4 C L

( b ) L e t { C } a n d b e c i r c u l a r l y s l i t d i s k s s u c h t h a t O D i s t h e o u t e r b o u n d -a r y o f e a c h a n d e a c h i s n - c o n n e c t e d ; f o r e a c h k 1 l e t 4 , k : — - 4 b e ac o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o n t o a c i r c u l a r r e g i o n G k w i t h o u t e r b o u n d a r y t 9 D

s u c h t h a t = 0 , > 0 , a n d 4 , k ( O D ) O D . I f i n t h es e n s e o f ( 4 . 1 ) , t h e n 4 , k — - 4 4 , ( u c ) , w h e r e i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f C lo n t O a u l a r l V s l i t r e i J s O n G W t t h O ü t e r b o u n d a r g O D , a n d C k - 4 G .

P r o o f . A s w i t h t h e p r e c e d i n g l e m m A , t h e p r o o f s o f ( a ) a n d ( b ) a r e s i m i l a r ,

s o o n l y t h e p r o o f o f ( a ) w i l l b e p r e s e n t e d .F i r s t w e s h o w t h a t i s b o u n d e d a w a y f r o m 0 . L e t b e

t h e c i r c l e s i n t h e b o u n d a r y o f C t h a t a r e d i f f e r e n t f r o m 8 D a n d c h o o s e e > 0

1 5 . 7 . C i r c u l a r R e g i o n 1 0 5

s u c h t h a t t h e c l o s u r e o f V = { z d i s t ( z , O D ) < e } i s d i s j o i n t f r o m e a c h C , .

S i n c e G k C , t h e r e i s a k 1 s u c h t h a t f o r k k i , C 1 V f l O C k = 3 D . T h u s

e a c h f k w i t h k k 1 a d m i t s a u n i v a l e n t a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n t o G k U V ,

w h i c h w i l l a l s o b e d e n o t e d b y 1 k ( P r o p o s i t i o n 1 3 . 4 . 4 ) . I t i s s t r a i g h t f o r w a r dt o c h e c k t h a t G k U V - ' G U V .W e n o w w a n t t o c o n s t r u c t c e r t a i n p a t h s f r o m 0 t o p o i n t s o n t h e u n i t

c i r c l e . L e t z O D a n d c o n s i d e r t h e r a d i u s [ 0 , z I . T h i s r a d i u s m a y m e e ts o m e o f t h e c i r c l e s C , . E n l a r g e t h e s e c i r c l e s t o c i r c l e s D 1 , . . . , s o t h a tt h e y r e m a i n p a i r w i s e d i s j o i n t , d o n o t m e e t 3 D , a n d d o n o t s u r r o u n d 0 .

W h e n e v e r [ 0 , z ] m e e t s r e p l a c e t h e s e g m e n t o f [ 0 , z ) b y h a l f o f t h i s c i r c l e .E a c h c i r c l e D , h a s r a d i u s l e s s t h a n 1 s o t h a t w e a r r i v e a t a p a t h f r o m 0

t o z t h a t l i e s e n t i r e l y i n C , s t a y s w e l l a w a y f r o m t h e c i r c l e s C 1 , . . .a n d h a s l e n g t h l e s s t h a n I + n i t . T h u s w e c a n f i n d a n o p e n s u b s e t U o fC s u c h t h a t 3 D ç c i U C U V , 0 E U , a n d f o r e a c h z i n 3 D t h e r ei s a p a t h i n U f r o m 0 t o z h a v i n g l e n g t h 1 ÷ n i t . L e t k 2 > k 1 s u c h

t h a t c i U k k 2 . A c c o r d i n g t o T h e o r e m 1 4 . 7 . 1 4 t h e r e i s ac o n s t a n t M s u c h t h a t M J f L ( O ) J f o r a l l k 1 c 2 a n d z i n c i U . I fI z i = 1 , l e t b e a p a t h i n U f o r 0 t o z w i t h l e n g t h ( ' r n y ) 1 + n i t . T h u sI = < n i t ) . H e n c e i s b o u n d e d

b e l o w .N o w w e w i l l s h o w t h a t i s b o u n d e d a b o v e . L e t c k = [ f L ( 0 ) 1 '

a n d p u t 9 k = c k f k • I f i s u n b o u n d e d , t h e r e i s a s u b s e q u e n c e { c k , }t h a t c o n v e r g e s t o 0 . B u t a c c o r d i n g t o L e m m a 4 . 6 , b y p a s s i n g t o a f u r t h e rs u b s e q u e n c e i f n e c e s s a r y , t h e r e i s a u n i v a l e n t f u n c t i o n g : C C s u c h t h a t

9 k , — ' g ( t i c ) . T h e o r e m 4 . 7 i m p l i e s t h a t C k , = 9 k , ( G k , ) g ( G ) . B u tt h e s e t s a r e a l l c o n t a i n e d i n D a n d s i n c e c k , — ' 0 , ( C I C , } c a n h a v en o k e r n e l , a c o n t r a d i c t i o n . T h u s m u s t b e b o u n d e d .

R e m e m b e r t h a t a n y t h i n g p r o v e d a b o u t t h e s e q u e n c e s { f k ) o r { ( 0 ) }

i s a l s o t r u e a b o u t a n y o f t h e i r s u b s e q u e n c e s . S u p p o s e t h a t a , an o n - z e r o s c a l a r . U s i n g t h e n o t a t i o n o f t h e p r e c e d i n g p a r a g r a p h , t h e r e i s as u b s e q u e n c e { g k , } a n d a u n i v a l e n t f u n c t i o n g o n C s u c h t h a t 9 k , g ( u c ) .T h u s a g ( G ) .

T h u s / a g i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f C o n t o a r e g i o n a n d 1 1 k , — '( S i n c e t h e o u t e r b o u n d a r y o f i s 3 D , L e m m a 7 . 6 i m p l i e s t h a t i s a

c i r c u l a r l y s l i t d i s k .N o w s u p p o s e t h a t { f k , } a n d { f m , } a r e t w o s u b s e q u e n c e s o f { f k } s u c ht h a t f k 1 - . f a n d f h a r e c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e so f G o n t o c i r c u l a r l y s l i t d i s k s a n d A , r e s p e c t i v e l y , w i t h / ( 0 ) = h ( O ) =0 , f ' ( O ) > 0 , a n d h ' ( O ) > 0 . T h u s = / o h ' i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e

o f A o n t o t i w i t h = 0 , > 0 , a n d q 5 ( 8 D ) = 3 D . B y L e m m a 6 . 3 ,A a n d f o r a l l i n A . T h u s h = I .

T o r e c a p i t u l a t e , e a c h s u b s e q u e n c e o f { f k ) h a s a s u b s e q u e n c e t h a t c o n -

v e r g e s t o a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f G o n t o a c i r c u l a r l y s l i t d i s k , a n d e a c hc o n v e r g e n t s u b s e q u e n c e o f { f k } h a s t h e s a m e l i m i t p o i n t . T h i s i m p l i e s t h a t

{ 1 k } c o n v e r g e s t o a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e / o f C o n t o t h e c i r c u l a r l y s l i t



1 0 6 1 5 . F i n i t e l y C o n n e c t e d R e g i o n s

d i s k H e n c e 1 1 k b y T h e o r e m 4 . 1 0 . D

7 . 9 T h e o r e m . I f G i i a n o n - d e g e n e r a t e f i n i t e l y c o n n e c t e d r e g i o n , A i s

a c o m p o n e n t o f t h e e x t e n d e d b o u n d a r y o f G , a n d a E C , t h e n t h e r e i s au n i q u e c s r e u l a r r e g i o n Q a n d a u n i q u e c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e / C 1 1

s u c h t h a t f a s s o c i a t e s A w i t h a n d f ' ( a ) > 0 .

P r o o f . O n c e e x i s t e n c e i s e s t a b l i s h e d , u n i q u e n e s s f o l l o w s f r o m P r o p o s i t i o n7 . 5 a s f o l l o w s . S u p p o s e t h a t f o r j = 1 , 2 , C — , i s a c o n f o r m a l

e q u i v a l e n c e t h a t a s s o c i a t e s A w i t h O D s u c h t h a t f j ( a ) = 0 a n d f ( a ) > 0 .

T h e n g = 1 2 o i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f f I j o n t o f , g ( 8 1 ) ) =O D ,

g ( 0 ) =0 ,

a n d g ' ( O ) >0 .

I t f o l l o w s f r o m P r o p o s i t i o n 7 . 5 t h a t g i sa M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n . T h e r e m a i n i n g i n f o r m a t i o n a b o u t g s h o w s t h a tg ( z ) = z f o r a l l z .

N o w f o r t h e p r o o f o f e x i s t e n c e . L e t C b e t h e c o l l e c t i o n o f a l l c i r c u l a rr e g i o n s C t h a t a r e n - c o n n e c t e d s u c h t h a t 0 E C a n d 8 D i s t h e o u t e rb o u n d a r y o f C . L e t N b e t h e c o l l e c t i o n o f a l l c i r c u l a r l y s l i t d i s k s f I t h a ta r e n - c o n n e c t e d s u c h t h a t O D i s t h e o u t e r b o u n d a r y o f A c c o r d i n g t oT h e o r e m 6 . 2 , f o r e v e r y G m C t h e r e i s a u n i q u e i n N a n d a c o n f o r n i a l

e q u i v a l e n c e f : C f i s u c h t h a t 1 ( 0 ) = 0 , f ' ( O ) > 0 , a n d f a s s o c i a t e s 8 D

a r e c o n f o r m a l l y e q u i v a l e n t . T o p r o v e t h e t h e o r e m i t s u f f i c e s t o s h o w t h a tF i s s u r j e c t i v e .

W e n o w t o p o l o g i z e C a n d N . I f C E G , l e t C 1 , . . b e t h e & c l e st h a t f o r m t h e b o u n d a r i e s o f t h e b o u n d e d c o m p o n e n t s o f t h e c o m p l e m e n t

o f C . E a c h c i r c l e C , i s d e t e r m i n e d b y i t s c e n t e r = a , + i b , a n d i t sr a d i u s T h u s C c a n b e i d e n t i f i e d w i t h t h e p o i n t i n R 3 ' w i t h c o o r d i n a t e s

( a i , r 1 , . . . , b , , , r , , ) ; l e t C ' b e t h e s e t o f s u c h p o i n t s i n t h a t a r e s oo b t a i n e d . N o t e t h a t C ' i s a s u b s e t o f

C ' i s a p r o p e r s u b s e t o f t h i s s e t s i n c e w e m u s t h a v e t h a t t h e c i r c l e s c o m p r i s -i n g t h e b o u n d a r y o f C d o n o t i n t e r s e c t . I f C Q , l e t C ' b e t h e c o r r e s p o n d i n gp o i n t i n C ' .

I f 1 1 E N , l e t . . . b e t h e c l o s e d a r c s t h a t c o n s t i t u t e t h e b o u n d e dc o m p o n e n t s o f t h e c o m p l e m e n t o f f l . E a c h ' y j i s d e t e r m i n e d b y i t s b e g i n n i n gp o i n t = a , + i f 3 , a n d i t s l e n g t h 8 , a s m e a s u r e d i n a c o u n t e r c l o c k w i s e

d i r e c t i o n . T h u s w e a l a o h a v e t h a t e a c h i n N c a n b e i d e n t i f i e d w i t h a

t o a f u n c t i o n F ' : N ' .G i v e Q ' a n d N ' t h e i r r e l a t i v e t o p o l o g i e s f r o m i t i s l e f t t o t h e r e a d e r

o f D e f i n i t i o n 4 . 1 ) i f a n d o n l y i f — ' C ' i n g ' . S i m i l a r l y f o rs e q u e n c e s i n N a n d N ' . W e w i l l s h o w t h a t F i s s u r j e c t i v e b y s h o w i n g t h a tF ' i s a h o m e o m o r p h i s m .

1 5 . 7 . C i r c u l a r R e g i o n 1 0 7

7 . 1 0 C l a i m . B o t h a n d I i ' a r e c o n n e c t e d o p e n s u b s e t s o f

T h e p r o o f o f t h i s c l a i m i s l e f t t o t h e r e a d e r s s o t h a t t h e y m i g h t m o r e

t h o r o u g h l y f a m i l i a r i z e t h e m s e l v e s w i t h t h e n o t a t i o n a n d t h e i d e n t i f i c a t i o n s .A t t h i s p o i n t i t s e e m s s a f e t o a b a n d o n t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e r e g i o n sa n d t h e c o r r e s p o n d i n g p o i n t s i n a n d w e d o s o .

N o t e t h a t F i s i n j e c t i v e b y t h e u n i q u e n e s s s t a t e m e n t o f T h e o r e m 6 . 2 .L e t G k — ' C i n a n d p u t c i k = F ( G k ) a n d f l = F ( G ) . A c c o r d i n g t oL e m m a 7 . 8 , 1 1 k - - 4 a n d s o F i s c o n t i n u o u s . B y t h e I n v a r i a n c e o f D o m a i nT h e o r e m , F : Q 1 • t i s a n o p e n m a p . S u p p o s e F i s n o t s u r j e c t i v e ; l e t

i i \ a n d l e t = F ( G 0 ) E F ( g ) . S i n c e f l i s a n o p e n c o n n e c t e d

s u b s e t o f R 3 " , t h e r e i s a p a t h I l : ( 0 , 1 ] f l w i t h = 1 1 o a n d Q ( 1 ) =S i n c e i s o p e n , t h e r e i s a r w i t h 0 < r 1 s u c h t h a t a n d

= F ( G ( t ) ) E f o r 0 t < r . L e t 0 < t k < r s u c h t h a t t k s o

I Z ( t k ) — ' f l ( i - ) . I f G k = t h e n L e m m a 7 . 8 i m p l i e s t h a t G k C ,a c i r c u l a r r e g i o n , a n d i t m u s t b e t h a t F ( G ) = c o n t r a d i c t i n g t h e f a c tt h a t c l ( r ) F ( g ) . T h u s F i s s u r j e c t i v e , p r o v i n g t h e t h e o r e m . 0

E x e r c i s e s

1 . G i v e a n e x a m p l e o f a s e q u e n c e o f c i r c u l a r l y s l i t d i s k s t h a t c o n v e r g e st o D i n t h e s e n s e o f ( 4 . 1 ) .

2 . W h a t h a p p e n s i n T h e o r e m 7 . 9 i f s o m e o f t h e c o m p o n e n t s o f t h e c o m -p l e m e n t o f C a r e t r i v i a l ?

3 . R e f e r t o E x e r c i s e 3 . 3 f o r t h e d e f i n i t i o n s o f a p r o p e r m a p . L e t C b ea n o n - d e g e n e r a t e n - c o n n e c t e d r e g i o n a n d l e t A u t ( C ) b e t h e g r o u p o fa l l c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e s o f C o n t o i t s e l f . S h o w t h a t i f f : C C i sa p r o p e r m a p , t h e n f E A u t ( C ) ( R a d o [ 1 9 2 2 ) ) ( H i n t : T a k e C t o b e

a c i r c u l a r r e g i o n w i t h o u t e r b o u n d a r y O D . U s e t h e h y p o t h e s i s t h a tf i s p r o p e r t o s h o w t h a t f e x t e n d s t o c i G . N o w e x t e n d f b y t h e

S c h w a r z R e f l e c t i o n P r i n c i p l e . N o w f d e f i n e s a p e r m u t a t i o n o f t h e

b o u n d a r y c i r c l e s . . , o f C . S h o w t h a t f o r s o m e i n t e g e r m 1 ,t h e m - t h i t e r a t e o f f , f m , d e f i n e s t h e i d e n t i t y p e r m u t a t i o n . T h u s ,w i t h o u t I c e s o f g e n e r a l i t y , w e m a y a s s u m e t h a t f d e f i n e s t h e i d e n t i t yp e r m u t a t i o n o f t h e b o u n d a r y c i r c l e s . N o w u s e t h e m e t h o d o f t h e p r o o f

o f P r o p o s i t i o n 7 . 5 t o e x t e n d f t o a p r o p e r m a p o f D o n t o D a n d u s eE x e r c i s e 3 . 4 . A l s o s h o w t h a t f f i x e s t h e p o i n t s o f D \ G ( o o ) . )

4 . i f C i s a n o n - d e g e n e r a t e n - c o n n e c t e d r e g i o n a n d I : C C i s a

c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e s u c h t h a t J ( z ) = z f o r t h r e e d i s t i n c t p o i n t s zi n C , t h e n f i s t h e i d e n t i t y .



C h a p t e r 1 6

A n a l y t i c C o v e r i n g M a p s

I n t h i s c h a p t e r i t w i l l b e s h o w n t h a t f o r e v e r y r e g i o n Q i n t h e p l a n e s u c h t h a t

C \ h a s a t l e a s t t w o p o i n t s , t h e r e i s a n a n a l y t i c c o v e r i n g m a p r : D i iT h i s i s t h e e s s e n t i a l p a r t o f w h a t i s c a l l e d t h e U n i f o r m i z a t i o n T h e o r e m . T h er e a d e r m i g h t w a n t t o r e v i e w § 9 . 7 b e f o r e g o i n g m u c h f u r t h e r . T h e r e a d e r w i l lb e a s s u m e d t o b e f a m i l i a r w i t h s o m e b a s i c t o p o l o g i c a l n o t i o n s s u c h a s t h ef u n d a m e n t a l g r o u p a n d i t s p r o p e r t i e s . S o m e t o p o l o g i c a l f a c t s w i l l b e p r o v e d( e s p e c i a l l y i n t h e f i r s t s e c t i o n ) e v e n t h o u g h t h e y m a y s e e m e l e m e n t a r y a n da s s u m a b l e t o m a n y .

§ 1 R e s u l t s f o r A b s t r a c t C o v e r i n g S p a c e s

R e c a l l t h a t i f 1 2 i s a t o p o l o g i c a l s p a c e , a c o v e r i n g s p a c e o f 1 2 i s a p a i r( C , r ) w h e r e C i s a l s o a c o n n e c t e d t o p o l o g i c a l s p a c e a n d r : C 1 2 i s a

8 u r j e c t i v e c o n t i n u o u s f u n c t i o n w i t h t h e p r o p e r t y t h a t f o r e v e r y ( i n 1 2 t h e r ei s a n e i g h b o r h o o d o f ( s u c h t h a t e a c h c o m p o n e n t o f

r h o m e o m o r p h i c a l l y o n t o S u c h a n e i g h b o r h o o d o f ( i s c a l l e d af u n d a m e n t a l n e i g h b o r h o o d o f ( .

W e w i l l b e c o n c e r n e d i n t h i s b o o k w i t h c o v e r i n g s p a c e s ( C , r ) o f r e g i o n s1 2 i n C w h e r e C i s a l s o a r e g i o n i n C a n d r i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n . S u c h

a c o v e r i n g s p a c e w i l l b e c a l l e d a n a n a l y t i c c o v e r i n g s p a c e . I t i s n o t d i f -f i c u l t t o c h e c k t h a t ( C , e x p ) a n d ( C \ { O } , z T 1 ) , f o r n a n o n - z e r o i n t e g e r ,a r e b o t h a n a l y t i c c o v e r i n g s p a c e s o f t h e p u n c t u r e d p l a n e . O f c o u r s e a n yh o m e o m o r p h i s m y i e l d s a c o v e r i n g s p a c e a n d a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e g i v e sr i s e t o a n a n a l y t i c c o v e r i n g s p a c e . I n f a c t o u r m a i n c o n c e r n w i l l b e a n a l y t i cc o v e r i n g s p a c e s ( C , r ) o f r e g i o n s 1 1 i n C w h e r e C = D . B u t f o r t h e m o m e n ti n t h i s s e c t i o n w e r e m a i n i n t h e a b s t r a c t s i t u a t i o n w h e r e G a n d 1 2 a r e m e t -r i c s p a c e s . I n f a c t t h e f o l l o w i n g a s s u m p t i o n w i l l r e m a i n i n f o r c e u n t i l i t i s

s u p p l a n t e d w i t h a n e v e n m o r e r e s t r i c t i v e o n e .A s s u m p t i o n . B o t h C a n d I i a r c w i s e c o n n e c t e d a n d l o c a l l y a r c w i s e

c o n n e c t e d m e t r i c s p a c e s , ( C , r ) i 3 a c o v e r z n g s p a c e o f 1 2 , a o C , a n da o = r ( a o ) E 1 2 .

R e c a l l t h a t a t o p o l o g i c a l s p a c e i s s a i d t o b e L o c a l l y a r c w i s e c o n n e c t e d i ff o r e a c h p o i n t i n t h e s p a c e a n d e a c h n e i g h b o r h o o d o f t h e p o i n t t h e r e i s as m a l l e r n e i g h b o r h o o d t h a t i s a r c w i s e c o n n e c t e d . A g o o d r e f e r e n c e f o r t h e



1 1 0 1 6 . A n a l y t i c C o v e r i n g M a p s

g e n e r a l t h e o r y o f c o v e r i n g s p a c e s i s M a s s e y [ 1 9 6 7 1 . B e c a u s e c e r t a i n n o t i o n sw i l l b e s o f r e q u e n t l y u s e d a n d t o f i x t h e n o t a t i o n , w e r e c a l l a f e w f a c t s f r o m§ 9 . 7 .

i f ' y : [ 0 , 1 ] — '

f l i s a p a t h w i t h = t h e n t h e r e i s a u n i q u e p a t h[ 0 , 1 ] C w i t h = a o a n d r o 5 ( 9 . 7 . 5 ) . S u c h a p a t h ' 5 i s c a l l e da n a o - l i f t i n g ( o r a o - l i f t ) o f M o r e o v e r i f [ 0 , 1 ] Q i s a n o t h e r p a t hw i t h i n i t i a l p o i n t a O a n d & i s i t s a o - l i f t i n g , t h e n - 5 ' a n d 5 h a v e t h e s a m e f i n a lp o i n t i n C i f - y a n d a a r e f i x e d e n d p o i n t ( F E P ) h o m o t o p i c i n ( 9 . 7 . 6 ) .I n d e e d - 5 ' a n d 5 a r e F E P h o m o t o p i c u n d e r t h i s h y p o t h e s i s . A l o o p i n f l i sa c l o s e d p a t h . 1 f : [ 0 , 1 J C l i s a l o o p w i t h - y ( 0 ) = 7 ( 1 ) = a o , s a y t h a ti s a l o o p w i t h b a s e p o i n t a 0 .

W e b e g i n w i t h s o m e b a s i c r e s u l t s a b o u t " l i f t a b l e " c o n t i n u o u s f u n c t i o n s .1 . 1 L e m m A . S u p p o s e ( C , r ) i s a c o v e r r n g s p a c e o f C l , X i s a l o c a l l y c o n -n e c t e d s p a c e , f : X C l i s a c o n t i n u o u 3 f u n c t i o n , a n d T : X - 4 C i s

a c o n t i n u o u s f - u n c t i o n s u c h t h a t r o T = f . I f s X , i s a f u n d a m e n -t o A n e i g h b o r h o o d o f = f ( s ) , U i s t h e c o m p o n e n t o f c o n t a i n i n gz = T ( x ) , a n d w i s a c o n n e c t e d n e i g h b o r h o o d o f x s u c h t h a t 1 ( W ) çt h e n T I W = 0 ( 1 1 W ) .

P r o o f . U s i n g t h e a b o v e n o t a t i o n , T ( W ) i s c o n n e c t e d a n d c o n t a i n e d i na n d z T ( W ) ; t h e r e f o r e T ( W ) U . S i n c e 1 ( w ) = - r ( T ( w ) ) f o r

a l l w i n W , t h e l e m m a f o U o w s . 0

1 . 2 P r o p o s i t i o n . S u p p o s e ( C , r ) i s a c o v e r i n g s p a c e o f C l , X i s a c o n n e c t e dl o c a l l y c o n n e c t e d s p a c e , f : X — ' C l i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n , a n d S a n d Ta r e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s f r o m X i n t o C s u c h t h a t I = r o T = r 0 S . I f

t h e r e i s a p o i n t i n X f o r w h i c h T ( x o ) = S ( x o ) , t h e n T = S .P r o o f . S e t Y = { s E X : T ( x ) = S ( x ) } . B y h y p o t h e s i s Y 0 a n d

c l e a r l y Y i s c l o s e d . I t s u f f i c e s t o s h o w t h a t V i s a l s o o p e n . i f s Y , l e tz = T ( s ) = 5 ( x ) , = f ( s ) , a f u n d a m e n t a l n e i g h b o r h o o d o f a n d l e tU b e t h e c o m p o n e n t o f t h a t c o n t a i n s z . I f W i s a n e i g h b o r h o o do f x s u c h t h a t f ( W ) c t h e n t h e p r e c e d i n g l e m m a i m p l i e s t h a t T I W =( r ( U ) ' 0 ( 1 1 W ) a n d a l s o S I W = ( r l U ) ' 0 ( 1 1 W ) . T h u s W Y a n d Y i s

o p e n . 0

1 . 3 T h e o r e m . S u p p o s e ( C , r ) i s a c o v e r i n g s p a c e o f C l , X i s a c o n n e c t e dl o c a l l y c o n n e c t e d s p a c e , a n d f : X C l i s a c o a t i n u o u s f u n c t i o n w i t h

f ( x o ) = a 0 = r ( a o ) . I f X i s s i m p l y c o n n e c t e d , t h e n t h e r e i s a u n i q u ec o n t i n u o u s s u c h t h a t f = r o T a n d T ( x o ) = a o .

P r o o f . I f Z E X , l e t c b e a p a t h i n X f r o m z o t o z . S o f o o . j s a p a t h j nC l f r o m t o f ( s ) . L e t - 5 ' b e t h e a 0 - l i f t t o C . D e f i n e T ( x ) = - 5 ' ( 1 ) ; i t m u s tb e s h o w n t h a t T ( x ) i s w e l l d e f i n e d . S o s u p p o s e t h a t i s a n o t h e r p a t h i nX f r o m t o x . S i n c e X i s s i m p l y c o n n e c t e d , a ( F E P ) i n X . T h u s

f o a ( F E P ) i n C l . B y t h e A b s t r a c t M o n o d r o m y T h e o r e m , t h e



1 6 . 1 . A b s t r a c t C o v e r i n g S p a c e s 1 1 1

a 0 - l i f t o f f o h a s t h e s a m e f i n a l p o i n t a s T h e r e f o r e t h e d e f i n i t i o n o fT ( s ) d o e s n o t d e p e n d o n t h e c h o i c e o f t h e c u r v e a a n d i s w e l l d e f i n e d .

T o p r o v e c o n t i n u i t y l e t z X a n d l e t z T ( x ) . L e t a b e a p a t h i n X

f r o m t o s , ' y = f o a , a n d l e t b e t h e a 0 - l i f t t o C . S o zL e t A

b e a f u n d a m e n t a l n e i g h b o r h o o d o f ( = f ( s ) a n d l e t U b e t h e c o m p o n e n to f t h a t c o n t a i n s z . C h o o s e A s o t h a t i t i s a r c w i s e c o n n e c t e d . L e tW b e a n a r c w i s e c o n n e c t e d n e i g h b o r h o o d o f x i n X s u c h t h a t f ( W ) ç A .I f w i s a n y p o i n t i n W , l e t A b e a p a t h i n W f r o m s t o w . S o f o A i s a p a t hi n A f r o m = f ( s ) t o f ( w ) . T h u s t h e z - l i f t o f f o A i s A = o f . o A .B u t A c i s a p a t h i n X f r o m t o w a n d t h i s l e a d s t o t h e f a c t t h a t T ( w ) =A ( 1 ) ( r J U ) ' ( f ( w ) ) . T h u s T I W = ( r I U ) ' ° 1 1 W a n d T i s c o n t i n u o u s .

I t i s e a s y t o c h e c k f r o m t h e d e f i n i t i o n t h a t r o T = I a n d T ( x o ) = 0 0 .U n i q u e n e s s i s a c o n s e q u e n c e o f P r o p o s i t i o n 1 . 2 . 0

1 . 4 D e f i n i t I o n . I f ( G a , a n d ( ( 3 2 , r 2 ) a r e c o v e r i n g s p a c e s o f 1 ) , a h o -m o m o r p h z s m f r o m t o C 2 i s a c o n t i n u o u s m a p T : — , G 2 s u c h t h a t

o T = r 1 . I f T i s a h o m e o m o r p h i s m a s w e l l , t h e n T i s c a l l e d a n i s o m o r -p b . i s m b e t w e e n t h e c o v e r i n g s p a c e s .

I f ( C , ' r ) i s a c o v e r i n g s p a c e o f ( 1 , a n a u t o m o r p h s s m o f t h e c o v e r i n g s p a c e

i s a c o v e r i n g s p a c e i s o m o r p h i s m o f G O n t o t s e l L L e t A u t ( G , T ) d e n o t e t h ec o l l e c t i o n o f a l l a u t o m o r p h i s m s o f ( C , i - ) .

N o t e t h a t t h e i n v e r s e o f a n i s o m o r p h i s m i s a n i s o m o r p h i s m a n d A u t ( G , r )i s a g r o u p u n d e r c o m p o s i t i o n . T h e n e x t r e s u l t c o l l e c t s s o m e f a c t s a b o u t

h o m o m o r p h i s m s o f c o v e r i n g s p a c e s t h a t a r e d i r e c t c o n s e q u e n c e s o f t h e p r e -c e d i n g r e s u l t s .

1 . 5 P r o p o s i t i o n . S u p p o s e t h a t ( G a , r ' ) a n d ( C 2 , r 2 ) a r e c o v e r i n g s p a c e so f 1 1 w i t h r ( a j ) = r ( a 2 ) =

( a )

I f G 1 i s a u n i q u e h o m o m o r p h i s m T : G 1( 3 2 w i t h T ( a i ) = a 2 .

( c ) A n y t w o c o v e r i n g s p a c e s o f f l t h a t o r e s i m p l y c o n n e c t e d a r e i s o m o r -p h i c .

P r o o f . ( a ) W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y w e m a y a s u m e t h a t T ( a 1 ) = 0 2 . T os e e t h a t T i s s u r j e c t i v e , l e t z 2 b e a n a r b i t r a r y p o i n t i n C 2 a n d l e t b e

a p a t h i n ( 3 2 f r o m a 2 t o z 2 . L e t i ' = o a n d l e t b e t h e a 1 - l i f t o fN o w i s a p a t h i n C 2 w i t h i n i t i a l p o i n t 0 2 a n d y . B y t h eu n i q u e n e s s o f p a t h l i f t s , T o = T h u s z 2 = = T

a T i si s i m m e d i a t e f r o m L e m m a 1 . 1 .

( b ) T h i s f o l l o w s f r o m T h e o r e m 1 . 3 .




( c ) L e t T : C 1 b e a h o m o m o r p h i s m w i t h T ( a j ) = 0 2 a n d l e t

S : C 2 — ' C 1 b e a h o m o m o r p h i s m w i t h S ( a 2 ) T h u s S o T i s ah o m o r p h i s m o f C 1 i n t o i t s e l f t h a t f i x e s t h e p o i n t a 1 . F r o m P r o p o s i t i o n 1 . 2

i t f o l l o w s t h a t S o T i s t h e i d e n t i t y h o m o r p h i s m o f C 1 a n d s o T m u s t b e ai s o m o r p h i s m ( w i t h S a s i t s i n v e r s e ) . 0

T h u s w e s a y t h a t a s i m p l y c o n n e c t e d c o v e r i n g s p a c e o f c i i s t h e u n i v e r s a lc o v e r i n g s p a c e o f c i . T h e r e a s o n f o r t h e w o r d " u n i v e r s a l " h e r e i s c o n t a i n e di n ( b ) o f t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n . T h e r e a s o n f o r t h e u s e o f t h e w o r d" t h e " i s c o n t a i n e d i n ( c ) . O f c o u r s e t h i s u n i q u e n e s s s t a t e m e n t d o e s n o ti m p l y e x i s t e n c e . T h e e x i s t e n c e o f a u n i v e r s a l c o v e r i n g s p a c e f o r s u b s e t s

o f t h e p l a n e w i l l b e e s t a b l i s h e d b e f o r e t h e e n d o f t h i s c h a p t e r . E x i s t e n c er e s u l t s f o r m o r e g e n e r a l s p a c e s c a n b e f o u n d i n a n y s t a n d a r d r e f e r e n c e .

1 . 6 C o r o l l a r y . I f ( C , r ) i s t h e u n i v e r s a l c o v e r i n g s p a c e o f c i a n d a 1 a n d0 2 a r e t w o p o i n t s i n C w 2 t h r ( a 1 ) r ( a 2 ) , t h e n t h e r e i s a u n i q u e T i nA u t ( C , r ) w i t h T ( a i ) = a 2 .

P r o o f . A p p l y T h e o r e m 1 . 3 a n d , a s i n t h e p r o o f o f t h e p r e c e d i n g p r o p o s i -t i o n , s h o w t h a t t h e r e s u l t i n g h o m o m o r p h i s m i s a n a u t o m o r p h i s m . 0

1 . 7 C o r o l l a r y . I f ( C , r ) i s t h e u n i v e r s a l c o v e r i n g s p a c e o f c i a n d z E C ,t h e n = { T ( z ) : T E A u t ( C , r ) } .

1 . 8 T h e o r e m . I f ( G , r ) i s t h e u n i v e r s a l c o v e r i n g s p a c e o f I l , t h e n A u t ( G , r )i s i s o m o r p h i c t o t h e f u n d a m e n t a l g r o u p o f c i , i r ( c i ) .

P r o o f . L e t T E A u t ( G , r ) a n d l e t h e a n y p a t h i n G f r o m 0 0 t o T ( a o ) .

S i n c e T E A u t ( C , r ) , r o i s a l o o p i n c i w i t h b a s e p o i n t I f &i s a n o t h e r p a t h i n C f r o m 0 0 t o T ( 0 0 ) , t h e n t h e s i m p l e c o n n e c t e d n e s s o fC i m p l i e s t h a t & a n d 5 ' a r e F E P h o m o t o p i c i n C . T h u s r o & a n d - y a r eh o m o t o p i c i n c i . T h i s s a y s t h a t f o r e a c h T i n A u t ( G , T ) t h e r e i s a w e l l

d e f i n e d e l e m e n t 7 T i n i r ( f 1 ) . I t w i l l b e s h o w n t h a t t h e m a p T 1 T I S

a n a n t i - i s o n i o r p h i s m o f A u t ( C , r ) o n t o i r ( f l ) . ( T h e p r e f i x " a n t i " i s u s e dt o d e n o t e t h a t t h e o r d e r o f m u l t i p l i c a t i o n i s r e v e r s e d . ) T h i s i m p l i e s t h a t

T — . y r ' d e f i n e s a n i s o m o r p h i s m b e t w e e n t h e t w o g r o u p s , p r o v i n g t h e

t h e o r e m .L e t S a n d T b e t w o a u t o m o r p h i s r n s o f t h e c o v e r i n g s p a c e ; i t w i l l b e

s h o w n t h a t 7 S T = T o t h i s e n d l e t a n d & b e p a t h s i n C f r o m 0 0 t oT ( a o ) a n d S ( a o ) , r e s p e c t i v e l y . S o ' - y T = ' r o ' 5 . a n d ' y i s ap a t h i n C f r o m S ( a o ) t o S ( T ( a o ) ) s o t h a t ( S o i s a p a t h i n C f r o m 0 0

t o S ( T ( a o ) ) . T h e r e f o r e ' Y S T = r o [ ( S o ' 5 ) & j = f t o ( S o [ r o = 1 T ' - , s .T o s h o w t h a t t h e m a p i s s u r j e c t i v e , l e t ' y i r ( f l , a n d l e t ' 5 ' b e t h e

a o - l i f t o f ' y . A c c o r d i n g t o C o r o l l a r y 1 . 6 t h e r e i s a u n i q u e a u t o m o r p h i s m Ts u c h t h a t T ( a o ) = I t f o l l o w s f r o m t h e d e f i n i t i o n t h a t = ' y .

F i n a l l y l e t ' s s h o w t h a t t h e m a p i s i n j e c t i v e . S u p p o s e T E A u t ( C , i - ) a n d

1 6 . 2 . A n a l y t i c C o v e r i n g S p a c e s 1 1 3

= 0 i n C l . L e t b e t h e a 0 - l i f t o f ' i ' ; s o T ( a . j ) = 5 ' ( l ) . N o w ' y 0

i m p l i e s t h a t i s h o m o t o p i c t o t h e c o n s t a n t p a t h B u t t h e A b s t r a c tM o n o d r o m y T h e o r e m i m p l i e s t h a t t h e a 0 - l i f t s o f a o a n d h a v e t h e s a m e

e n d p o i n t . S i n c e t h e a 0 - l i f t o f t h e c o n s t a n t p a t h a o i s t h e c o n s t a n tp a t h

a 0 , t h i s s a y s t h a t T ( a o ) = a 0 . B y P r o p o s i t i o n 1 . 2 t h i s i m p l i e s t h a t T i s t h ei d e n t i t y a u t o m o r p h i s m . 0

E x e r c i s e s

1 . S u p p o e e ( G , r ) i s a c o v e r i n g s p a c e o f f l a n d A i i s a s u b s e t o f Q t h a ti s b o t h a r c w i s e c o n n e c t e d a n d l o c a l l y a r c w i s e c o n n e c t e d . S h o w t h a ti f H i s a c o m p o n e n t o f r ( A ) , t h e n ( H , r ) i s a c o v e r i n g s p a c e o f

2 . I f r ( t ) = s h o w t h a t ( R , r ) i s a c o v e r i n g s p a c e o f 8 D . F i n d A u t ( R , r ) .

3 . F o r t h e c o v e r i n g s p a c e ( C , e x p ) o f C \ { 0 } , f i n d A u t ( C , e x p ) .

4 . F o r t h e c o v e r i n g s p a c e ( C \ { 0 } , z T h ) o f C \ { 0 } , f i n d A u t ( C \ { 0 } ,

z i n G , s h o w t h a t { T ( z ) : T E A u t ( G , r ) } i s a c l o s e d d i s c r e t es u b s e t o f G .

6 . f f G = { z : 0 < R e z < r } a n d r ( z ) e z , s h o w t h a t ( G , r ) i s ac o v e r i n g s p a c e o f a n n ( O ; 1 , e T ) a n d f i n d A u t ( G , r ) .

7 . I f C = { z : 0 < R e z } a n d r ( z ) = e s , s h o w t h a t ( G , r ) i s a c o v e r i n gs p a c e o f { z : 1 < I z ( < o o } a n d f i n d A u t ( G , r ) .

8 . P r o v e t h a t f o r t h e u n i v e r s a l c o v e r i n g s p a c e , t h e c a r d i n a l i t y o f { T ( z ) :T E A u t ( G , r ) } i s i n d e p e n d e n t o f t h e c h o i c e o f z .

§ 2 A n a l y t i c C o v e r i n g S p a c e s

I n t h i s s e c t i o n w e r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n t o a n a l y t i c c o v e r i n g s p a c e s a n d

d e r i v e a f e w r e s u l t s t h a t a r e p e r t i n e n t t o t h i s s i t u a t i o n . A s s u m e t h a t C l a n dC a r e r e g i o n s i n t h e p l a n e a n d r G C l i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n t h a t i sa l s o a c o v e r i n g m a p .

2 . 1 P r o p o s i t i o n . I f ( C , r ) i s a n a n o l y t i c c o v e r i n g s p a c e o f ( 1 , H i s a n o p e ns u b s e t o f t h e p l a n e , f : H — . C l i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n , a n d T : H — . C i s

a c o n t i n u o u s f u n c t i o n s u c h t h a t r o T = f , t h e n T i s a n a l y t i c .

P r o o f . T h i s i s a n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e o f L e m m a 1 . 1 . 0

2 . 2 C o r o l l a r y . I f ( C 1 , r 1 ) a n d ( C 2 , r 2 ) a r e a n a l y t i c c o v e r i n g s p a c e s o f C la n d T : C 1 — C 2 i s a t h e n T i s a n a l y t i c .

2 . 3 C o r o l l a r y . I f ( G , r ) i s a n a n a l y t i c c o v e r i n g s p a c e o f t h e n e v e r yf u n c t i o n i n A u t ( G , r ) i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f C .

2 . 4 C o r o l l a r y . I f ( G 1 , r i ) a n d ( G 2 , T 2 ) a r e a n a l y t i c c o v e r i n g s p a c e s o f

a n d T : C 2 i s a n i s o m o r p h i s m , t h e n T i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e .

2 . 5 C o r o l l a r y . I f r D i s a n a n a l y t i c c o v e r i n g m a p , r ( O ) = c x c , a n dr ' ( O ) > 0 , t h e n r i s u n i q u e .

P r o o f . S u p p o s e t h a t D — . i s a n o t h e r s u c h m a p . B y P r o p o s i t i o n 1 . 5t h e r e i s a n i s o m o r p h i s m f : ( D , r ) ( D , j t ) o f t h e c o v e r i n g s p a c e s w i t h1 ( 0 ) 0 . B y t h e p r e c e d i n g c o r o l l a r y , f i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f t h e

d i s k o n t o i t s e l f a n d t h u s m u s t b e a M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n . B u t 1 ( 0 ) = 0a n d f ' ( O ) > 0 ; t h e r e f o r e f ( s ) = z f o r a l l z . 0

2 . 6 C o r o l l a r y . S u p p o s e ( G , r ) i s a n a n a l y t i c c o v e r i n g s p a c e o f c i , Xi s a r e g i o n i n t h e p l a n e , a n d f X — ' c i i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n w i t h

• f ( x o ) = a 0 = i - ( a o ) . I f X i s s i m p l y c o n n e c t e d , t h e n t h e r e i s a u n i q u ea n a l y t i c f u n c t i o n T : X G s u c h t h a t I = r o T a n d T ( x o ) = a 0 .

P r o o f . J u s t c o m b i n e t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n w i t h T h e o r e m 1 . 3 . 0

I t w i l l b e s h o w n l a t e r ( 4 . 1 ) t h a t i f c i i s a n y r e g i o n i n t h e p l a n e s u c ht h a t i t s c o m p l e m e n t i n C h a s a t l e a s t t w o p o i n t s , t h e n t h e r e i s a n a n a l y t i cc o v e r i n g m a p f r o m t h e u n i t d i s k D o n t o f t T h e n e x t r e s u l t e s t a b l i s h e s t h a tf o r t h i s t o b e t h e c a s e i t m u s t b e t h a t t h e c o m p l e m e n t h a s a t l e a s t t w o

p o i n t s . R e c a l l t h a t C o d e n o t e s t h e p u n c t u r e d p l a n e .

2 . 7 P r o p o s i t i o n . T h e p a i r ( C , r ) i s a u n i v e r s a l a n a l y t i c c o v e r i n g s p a c e o fC o i f a n d o n l y i f C C a n d r ( z ) = e x p ( a z + b ) f o r s o m e p a i r o f c o m p l e xn u m b e r s a a n d b w i t h a 0 .

P r o o f I f a , b E C w i t h a 0 , t h e n a x + b i s a M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n o fC o n t o i t s e l f . I t i s e a s y t o s e e t h a t i f r ( z ) = e x p ( a z + b ) , t h e n ( C , r ) i s a

c o v e r i n g m a p o f C 0 .F o r t h e c o n v e r s e a s s u m e t h a t C i s a s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n i n C a n d

( C , r ) i s a c o v e r i n g s p a c e o f C 0 . W e h a v e a l r e a d y s e e n t h a t ( C , e x p ) i s ac o v e r i n g s p a c e f o r C o s o P r o p o s i t i o n 1 . 5 a n d C o r o l l a r y 2 . 4 i m p l y t h e r e i s ac o n f o r m a l e q u i v a l e n c e h : C — C s u c h t h a t e x p z = r ( h ( z ) ) f o r a l l z i n C .B u t a c c o r d i n g t o P r o p o s i t i o n 1 4 . 1 . 1 , C = C a n d h ( z ) = a z + b f o r c o m p l e xn u m b e r s a a n d b w i t h a 0 . 0

2 . 8 E x a m p l e . L e t c i b e t h e a n n u l u s { z : I < J z j < p } , w h e r e p = e l r . I f

1 . ( I + z \ i rr ( z ) = e x p

1 6 . 2 . A n a l y t i c C o v e r i n g S p a c e s 1 1 5

t h e n ( D , r ) i s t h e u n i v e r s a l a n a l y t i c c o v e r i n g s p a c e f o r £ T T h e m a p s i n t h eg r o u p A u t ( D , r ) a r e t h e M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n s

z —i 2— I J f l z

w h e r e— — 2 w n

= = t a n h ( 2 i r n ) .+

T o s e e t h i s f i r s t o b s e r v e t h a t t h e m a p r a b o v e c a n b e e x p r e s s e d a s ac o m p o s i t i o n o f t w o m a p s : t h e f i r s t i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f D o n t o

a v e r t i c a l s t r i p ; t h e s e c o n d i s t h e e x p o n e n t i a l m a p , w h i c h w r a p s t h e s t r i pa r o u n d t h e a n n u l u s a n i n f i n i t e n u m b e r o f t i m e s . T o s h o w t h a t t h e a u t o .m o r p h i s m s o f t h i s c o v e r i n g s p a c e h a v e t h e r e q u i s i t e f o r m u s e s s o m e a l g e b r a

a n d t h e f o l l o w i n g o b s e r v a t i o n . ( A n o t h e r v e r i f i c a t i o n o f t h e s t a t e m e n t s i nt h i s e x a m p l e c a n b e o b t a i n e d b y u s i n g E x e r c i s e 1 . 6 a n d t h e f o r m o f t h ec o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f D o n t o t h e r e l e v a n t v e r t i c a l s t r i p . )

I f ( D , ' r ) i s t h e u n i v e r s a l a n a l y t i c c o v e r i n g s p a c e f o r f l , t h e n e v e r y T i nA u t ( D , T ) i s n e c e s s a r i l y a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f D o n t o i t s e l f . H e n c e T

i s a S c h w a r z m a p ,T ( z ) = e ' 0

Z

1 — f 3 z

f o r s o m e c h o i c e o f 9 a n d ( 3 , 1 1 3 1 < 1 . F o r c o n v e n i e n c e , w h e n e v e r ( D , ' r ) i s t h eu n i v e r s a l a n a l y t i c c o v e r i n g s p a c e f o r a r e g i o n f t i n C , w e w i l l l e t

= A u t ( D , r ) .

B y T h e o r e m 1 . 8 , i r ( f t ) . I t i s k n o w n t h a t f o r r e g i o n s f t i n C , i r ( f t )i s a f r e e g r o u p ( s e e E x e r c i s e 3 ) . i f \ f t h a s n ÷ 1 c o m p o n e n t s , t h e ni r ( f t ) i s t h e f r e e g r o u p w i t h n g e n e r a t o r s . I f \ ( I h a s a n i n f i n i t e n u m -b e r o f c o m p o n e n t s , t h e n 7 r ( f t ) i s t h e f r e e g r o u p o n a c o u n t a b l e n u m b e r o fg e n e r a t o r s .

E x e r c i s e s

1 . F o r < 1 , d e f i n e r ( z ) = e x p [ z ( 1 — l z I Y ' ] a n d s h o w t h a t ( D , r ) i s ac o v e r i n g s p a c e o f C \ { O } .

2 . S h o w t h a t f o r a n n - c o n n e c t e d r e g i o n f t . i s a f r e e g r o u p o n ng e n e r a t o r s .

3 . L e t K b e a c o m p a c t s u b s e t o f C a n d p u t f t = C \ K .a r e p a t h s i n f t , l e t 5 > 0 s u c h t h a t d i s t ( 7 , , K ) > 5 f o r 1 j n . L e t

= { w E f t : d i s t ( w , K ) > e 5 } . S h o w t h a t f l ( S ) i s f i n i t e l y c o n n e c t e da n d c o n t a i n s t h e p a t h s . , S h o w t h a t t h e f u n d a m e n t a l g r o u po f f t i s a c o u n t a b l y g e n e r a t e d f r e e g r o u p .

4 . L e t ( 1 = { z : 1 < I z l } a n d l e t r ( z ) = e x p E x p l i c i t l y d e t e r m i n e

A u t ( D , r ) .

T h e M o d u l a r F u n c t i o n

H e r e w e e x a m i n e a s p e c i a l a n a l y t i c f u n c t i o n c a l l e d t h e m o d u l a r f u n c t i o n .T h i s i s a s p e c i a l a n a l y t i c c o v e r i n g m a p f r o m t h e u p p e r h a l f p l a n e o n t o t h ep l a n e w i t h t h e p o i n t s 0 a n d I d e l e t e d .

3 . 1 D e f i n i t I o n . A m o d u l a r t r a n s t b r m a t i o n i s a M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n

3 . 2

s u c h t h a t t h e c o e f f i c i e n t s a , b , c , d a r e i n t e g e r s a n d a d - b e = 1 . T h e s e to f a l l m o d u l a r t r a n s f o r m a t i o n s i s c a l l e d t h e m o d u l a r g r o u p a n d i s d e n o t e db y M .

T h e d e s i g n a t i o n o f M a s a g r o u p i s j u s t i f i e d b y t h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n .T h e p r o o f i s l e f t a s a n e x e r c i s e .

3 . 3 P r o p o e l t l o n . M i s a g r o u p u n d e r c o m p o s i t i o n w i t h i d e n t i t y t h e i d e n -t i t y t r a n s f o r m a t i o n 1 ( z ) z . I f M ( z ) i s g i v e n ô y ( S 2 ) , t h e n

M 1 ( z ) = d z — b- c z + a

L e t H d e n o t e t h e u p p e r h a l f p l a n e , { z T m z > 0 ) .

3 . 4 P r o p o s i t I o n . I f M E M , t h e n = R < , , , a n d M ( H ) = H .

P r o o f . T h e f i r s t e q u a l i t y f o l l o w s b e c a u s e t h e c o e f f i c i e n t s o f M a r e r e a ln u m b e r s . T h u s t h e O r i e n t a t i o n P r i n c i p l e i m p l i e s t h a t M ( H ) i s e i t h e r t h eu p p e r o r l o w e r h a l f p l a n e . U s i n g t h e f a c t t h a t M M a n d c o n s e q u e n t l yh a s d e t e r m i n a n t 1 , i t f o l l o w s t h a t

3 . 5 I m M ( z ) =1

— I m z .T h i s c o n c l u d e s t h e p r o o f . 0

L e t d e n o t e t h e s u b g r o u p o f M g e n e r a t e d b y t h e m o d u l a r t r a n s f o r m a -t i o n s

3 . 6 S ( z )2 z + 1 a n d T ( z ) z + 2 .

L e t

3 . 7 G = { z E H : — 1 < R e z < 1 , 1 2 z + 1 I 1 , > 1 ) .



1 6 . 3 . T h e M o d u l a r F u n c t i o n 1 1 7

G

F i g u r e 1 6 . 1

0 1 / 3 1 / 2 1

F i g u r e 1 6 . 2 .

T h i s s e t G i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 1 6 . 1 . N o t e t h a t G f l P = 0 . T h e r e a s o nf o r d e f i n i n g G i n t h i s w a y a n d e x c l u d i n g p o r t i o n s o f i t s b o u n d a r y w h i l ei n c l u d i n g o t h e r p a r t s o f w i l l b e c o m e c l e a r a s w e p r o c e e d . F o r n o w ,g e n t l e r e a d e r , p l e a s e a c c e p t t h e d e f i n i t i o n o f G a s i t i s .

3 . 8 E x a m p l e . I f $ i s a s i n ( 3 . 6 ) a n d G i s a s a b o v e , t h e n S ( G ) { c

I m ( > 0 , 1 2 ( — 1 I S i , 1 , 1 6 ( — 1 I > > 1 } .C o n s e q u e n t l y , S ( G ) f l G = 0 .

T h e r e g i o n d e s c r i b e d a s S ( G ) i s d e p i c t e d i n F i g u r e 1 6 . 2 . T o s e e t h a tt h e a s s e r t a t i o n o f t h i s e x a m p l e i s t r u e , f i r s t l e t L _ a n d b e t h e r a y s

{ z : I m z > O a n d R e z = ± 1 } a n d l e t C _ a n d C ÷ b e t h e h a l f c i r c l e s

{ z I m z > 0 a n d j 2 z = 1 } . O b s e r v e t h a t S ( L ± ) a n d m u s t b ec i r c l e s t h a t a r e p e r p e n d i c u l a r t o t h e r e a l l i n e . S i n c e S ( 0 ) = 0 , S ( — 1 ) =1 , 5 ( 1 ) = 1 / 3 , a n d S ( o o ) = 1 / 2 , a p p l i c a t i o n s o f t h e O r i e n t a t i o n P r i n c i p l e

s h o w t h a t S ( G ) h a s t h e d e s i r e d f o r m .

3 . 9 L e m m a . L e t G a n d Q b e a s i n ( 3 . 6 ) a n d ( 3 . ? ) .

( a ) I f M L a n d

M EM h a v i n g t h e f o r m ( 3 . 2 )

s u c h t h a t t h e c o e f f i c i e n t s a a n d d a r e o d d a n d b a n d c a r e e v e n i n t e -g e r s .

P r o o f . L e t b e t h e c o l l e c t i o n o f a l l m o d u l a r t r a n s f o r m a t i o n s d e s c r i b e di n p a r t ( c ) a n d n o t e t h a t i f S a n d T a r e d e f i n e d a s i n ( 3 . 6 ) , t h e n t h e y b e l o n gt o Q 1 . T h e r e a d e r c a n v e r i f y d i r e c t l y t h a t i s a g r o u p u n d e r c o m p o s i t i o n ,

a n d s o i t f o l l o w s t h a t ç ç3 . 1 0 C l a I m . I f M 1 , M 2 a n d M 1 M 2 , t h e n M 1 ( G ) n M 2 ( G ) = 0 .

B e c a u s e Q j i s a g r o u p , t o p r o v e t h i s c l a i m i t s u f f i c e s t o s h o w t h a t i fM E a n d M I , t h e n M ( G ) ( 1 C = 0 . T h i s w i l l b e d o n e b y c o n s i d e r i n g

t w o p o s s i b l e c a s e s . T h e f i r s t c a s e i s t h a t c = 0 i n ( 3 . 2 ) ; s o M ( z ) = ( a z + b ) / d ,w h e r e a a n d d a r e o d d i n t e g e r s a n d b i s e v e n . S i n c e I = a d - b c = a d , a =

d = ± 1 . T h u s M ( z ) = z + 2 n , I t i sn o w c l e a r t h a t M ( G ) f l G 0 .N o w a s s u m e t h a t M h a s t h e f o r m ( 3 . 2 ) , M E G 1 , a n d c 0 . N o t i c e t h a t

t h e c l o s e d d i s k 1 / 2 ) m e e t s C w i t h o u t c o n t a i n i n g i n i t s i n t e r i o r a n yo f t h e p o i n t s - 1 , 0 , o r 1 , w h i l e a n y o t h e r c l o s e d d i s k w h o s e c e n t e r l i e s o n t h er e a l a x i s a n d t h a t m e e t s C m u s t h a v e o n e o f t h e s e p o i n t s i n i t s i n t e r i o r . T h i sl e a d s u s t o c o n c l u d e t h a t i f M ( z ) 5 ( z ) + b , w h e r e i s t h e t r a n s f o r m a t i o ni n ( 3 . 6 ) a n d b i s a n e v e n i n t e g e r , t h e n I c z + d I > ! f o r a l l z i n C . I n d e e d ,

i f t h e r e i s a p o i n t z i n C w i t h I c z + 1 , t h e n B ( — d f r , 1 / I d ) C 0 .F o r t h e m o m e n t , a s s u m e t h i s d o s e d d i s k i s n o t t h e d i s k B ( — 1 / 2 ; 1 / 2 ) . A so b s e r v e d , t h i s i m p l i e s t h a t 0 , + 1 , o r — 1 E B ( — d / c ; 1 / I d ) ; l e t k b e t h i si n t e g e r . S o + < 1 / I d a n d h e n c e + d l < 1 . B u t c i s e v e n a n d d i so d d , s o t h a t i c c + d i s o d d , a n d t h i s f u r n i s h e s a c o n t r a d i c t i o n . T h u s

3 . 1 1 I c z + d I > l f o r a l l z i n G ,

p r o v i d e d — d / c — 1 / 2 o r 1 / f C f 1 / 2 . O n t h e o t h e r h a n d , i f — d / c =— 1 / 2 a n d 1 / I d = 1 / 2 , t h e n c = ± 2 a n d d = ± 1 . A l l t h e e n t r i e s i n aM ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n c a n b e m u l t i p l i e d b y a c o n s t a n t w i t h o u t c h a n g i n gt h e t r a n s f o r m a t i o n , s o w e c a n a s s u m e t h a t c = 2 a n d d = 1 . B u t t h ec o n d i t i o n t h a t t h e d e t e r m i r n m t o f M i s 1 i m p l i e s t h a t a — 2 b = 1 , s oa = 1 + 2 b . T h u s

a z + bM ( z ) =

2 z + 1

— z + 2 b z + b2 z + 1

= S ( z ) + b .

S o ( 3 . 1 1 ) h o l d s w h e n e v e r M i s n o t t h e t r a n s f o r m a t i o n S ( z ) + b .

N o t e t h a t ( 3 . 5 ) i m p l i e s t h a t i f M S + 6 f o r S a s i n ( 3 . 6 ) a n d b i s e v e n ,t h e nI m M ( z ) < I m z f o r a l l z i n C .

1 6 . 3 . T h e M o d u l a r 1 1 9

— — ' — —

F i g u r e 1 6 . 3 .

T h e d e f i n i t i o n o f C a n d ( 3 . 5 ) s h o w t h a t w h e n M e q u a l s 5 ( z ) + b , w e s t i l lh a v e t h a t

I m M ( z ) L m z f o r a l l z m C .N o w l e t M b e a n a r b i t r a r y e l e m e n t o f t h e g r o u p I t i s l e f t t o t h e

r e a d e r t o s h o w t h a t e i t h e r M o r M ' i s n o t o f t h e f o r m S + b , w i t h S a si n ( 3 . 6 ) a n d b a n e v e n i n t e g e r . T h u s e i t h e r l i n M ( z ) < I m z f o r a l l z i nC o r u n < I m z f o r a l l z i n C ; a s s u m e f o r t h e m o m e n t t h a t t h ef o r m e r i s t h e c a s e . I f t h e r e i s a z i n C f l M ( G ) , t h e n I m z = I m M M 1 ( z ) <I m M ' ( z ) I m z , a c o n t r a d i c t i o n . T h u s G n M ( G ) = 0 . I f M ' ( z ) < I m z

f o r a l l z i n C , a s i m i l a r a r g u m e n t a l s o s h o w s t h a t C M ( G ) = 0 . T h i se s t a b l i s h e s C l a i m 3 . 1 0 . /

N o w l e t L = u { M ( G ) : M E a s u b s e t o f H . I f T i s a s i n ( 3 . 6 ) , t h e nT ' t ( z ) = z + 2 n . S o f o r e a c h n i n Z , L c o n t a i n s T ' ( G ) , w h i c h i s t h e t r a n s l a t eo f C b y 2 n . A s d i s c o v e r e d i n E x a m p l e 3 . 8 , S m a p s t h e c i r c l e 1 2 z + i j = 1

o n t o t h e c i r c l e 1 2 z — = 1 . C o m b i n i n g t h e s e l a s t t w o f a c t s ( a n d l o o k i n g a tF i g u r e 1 6 . 3 ) w e g e t t h a t

L c o n t a i n s e v e r y z i n H t h a t s a t i s f i e s l 2 z — k I > 1

3 . 1 2 —

f o r a l l o d d i n t e g e r s / c .

F i x a ( i n I l l . B e c a u s e { c ( + d : c , d Z a n d c , d o c c u r i n s o m e Mi n h a s n o l i m i t p o i n t i n t h e p l a n e , t h e r e i s a n e l e m e n t o f t h i s s e t h a v -i n g m i n i m u m m o d u l u s . T h u s t h e r e i s a t r a n s f o r m a t i o n M o ( z ) = ( a o z +

b o ) / ( c o z ÷ d 0 ) i n g s u c h t h a t + d o I f c ( + f o r a l l M ( z ) = ( a z +

b ) / ( c z + d ) i n B y v i r t u e w e g e t t h a t I m M 0 ( ( ) b n M ( ( ) f o r a l lM i n ç . P u t t i n g z = M o ( ( ) a n d r e a l i z i n g t h a t M M 0 G w h e n e v e r M g ,t h i s s h o w s t h a t

3 . 1 3 I m z m M ( z ) f o r z = M o ( C ) a n d f o r a l l M i n g .

L e t n Z a n d c o n t i n u e t o h a v e z = M 0 ( ( ) f o r a f i x e d ( i n H . A p p l y i n g

( 3 . 1 3 ) t o M = S T " a n d u s i n g ( 3 . 5 ) a s w e l l a s a l i t t l e a l g e b r a s h o w s t h a t

I m z > I m S T " ( z ) = m h Z

1 2 z — 4 n + 1 1 2

N o w a p p l y ( 3 . 1 3 ) t o M = a n d p e r f o r m s i m i l a r c a l c u l a t i o n s t o g e t

t h a tu n zI m Z

B u t I m z > 0 s o t h e s e i n e q u a l i t i e s b e c o m e

Z .

B u t { 4 n — 1 , 4 n + 1 n Z } i s t h e c o l l e c t i o n o f a l l o d d i n t e g e r s , s o ( 3 . 1 2 )i m p l i e s t h a t z — M o ( ( ) E L . T h u s ( = E = L . S i n c e (

w a s a r b i t r a r y , t h i s p r o v e s ( b ) .

R e m e m b e r t h a t w e h a v e a l r e a d y p r o v e d t h a t c c L e t M 1 c 1 . B yp a r t ( b ) t h e r e i s a t r a n s f o r m a t i o n M i n Q s u c h t h a t M ( G ) f l M 1 ( G ) 0 .

B u t b o t h M a n d M 1 a r e i n s o C l a i m 3 . 1 0 i m p l i e s t h a t M 1 = M ET h i s p r o v e s ( c ) . B y ( 3 . 1 0 ) , p a r t ( a ) a l s o h o l d s . 0

N o w t h e s t a g e i s s e t f o r t h e p r i n c i p a l r e s u l t o f t h i s s e c t i o n . I t i s c o n v e n i e n tt o l e t C \ { 0 , 1 } . T h e r e a d e r m i g h t w a n t t o c a r r y o u t E x e r c i s e 1s i m u l t a n e o u s l y w i t h t h i s p r o o f .

3 . 1 4 T h e o r e m . I f G a n d c a r e a s i n ( 3 . 6 ) a n d ( 3 . 7 ) , t h e n t h e r e i s a na n a l y t i c f t t n c t i o n A : H C h a v i n g t h e f o l l o w i n g

p r o p e r t i e s .

( a ) A o M = A f o r e v e r y M i n c .( b ) i s u n i v a l e n t o n G .

( c ) A ( H ) = C o , 1 .

( d ) A i s n o t a n a l y t i c o n a n y r e g i o n t h a t p r o p e r l y c o n t a i n s H .

( e ) ( H , A ) i s a c o v e n n g s p a c e o f C 0 , 1 .

P r o o f . L e t

C o = { z : h n z > 0 , 0 < R e z < 1 , a n d t 2 z — l I > 1 ) ;

s o C 0 ç G . L e t f o : C 0 H b e a n y c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e a n d e x t e n df o t o a h o m e o m o r p h i s m o f o n t o ( 1 4 . 5 . 7 ) . L e t A b e a M ö b i u st r a n s f o r m a t i o n t h a t m a p s f o ( O ) t o 0 , f o ( 1 ) t o 1 , f o ( o o ) t o o o , a n d t a k e s H

o n t o i t s e l f . H e n c e f = A ° f o i s a h o m e o m o r p h i s m o f o n t o c L H , ac o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f C 0 o n t o U , a n d f i x e s t h e p o i n t s 0 , 1 , a n d o o .

S i n c e f i s r e a l - v a l u e d o n O G 0 , f c a n b e e x t e n d e d t o m t C b y r e f l e c t i n ga c r o s s R e z = 0 . T h i s e x t e n d e d v e r s i o n o f f s a t i s f i e s f ( x + i y ) = f ( — z + i y )f o r z + i y i n C 0 . ( N o t e t h a t i s a l s o r e a l - v a l u e d o n t h e p o r t i o n s o f 1 2 z — 1 l = Ia n d + = 1 t h a t l i e i n c i C , s o t h a t b y s u c c e s s i v e l y r e f l e c t i n g i n t h e s ec i r c l e s a n d t h e c i r c l e s a n d v e r t i c a l l i n e s o f t h e v a r i o u s r e f l e c t e d i m a g e s o f Ci t i s p o s s i b l e t o e x t e n d f t o a l l o f H . T h e a r g u m e n t t h a t f o l l o w s d o e s j u s t



1 6 . 3 . T h e M o d u l a r F u n c t i o n 1 2 1

t h i s b u t w i t h a l i t t l e m o r e f i n e s 8 e a n d a c c u r a c y b y u s i n g t h e a c t i o n o f t h e

g r o u pD e f i n e t h e f o l l o w i n g s e t s :

= { z : J r n z O , R e z = O } U { o o } ;

1 . 2 = { z : I m z O , 1 2 z — 1 1 1 } ;

L 3 = { z : b n z O , R e z = 1 } U { o o } .

= O , , G 0 . F o r j = 1 , 2 , 3 , 1 . , i s c o n n e c t e d a n d s o t h e s a m eh o l d s f o r f ( L , ) . B y a n o r i e n t a t i o n a r g u m e n t ( s u p p l y t h e d e t a i l s )

1 ( L 1 ) =f ( L 2 ) = { z : z = R e z a n d O } ;1 ( L 3 ) = { z : z = R e z } U { o o } .

T h u s

f ( i n t G ) = C \ [ 0 , c o ) ;1 ( G ) = C 0 , 1 f l .

E x t e n d / t o a f u n c t i o n A : H C b y l e t t i n g

3 . 1 5 A ( z ) =

w h e n e v e r M E a n d z E M ( G ) . A c c o r d i n g t o L p r n m p 3 . 9 t h i s f u n c t i o n Ai s w e l l d e f i n e d .W h y i s A a n a l y t i c ? O b s e r v e t h a t i f S a n d T a r e d e f i n e d a s i n ( 3 . 6 ) , t h e n

A i s a n a l y t i c o n V a n d V i s a n o p e n s e t t h a tc o n t a i n s C . T h u s f o r e v e r y M i n 0 , A i s a n a l y t i c o n a n e i g h b o r h o o d o fM ( G ) . T h u s A i s a n a l y t i c o n a l l o f H .

C l e a r l y c o n d i t i o n ( a ) o f t h e t h e o r e m h o l d s b e c a u s e o f t h e d e f i n i t i o n o fA . B e c a u s e f i s d e f i n e d o n C b y r e f l e c t i n g a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e , i t i s

o n e - t o - o n e o n C , s o ( b ) h o l d s . S i n c e 1 ( G ) = I Z , ( c ) i s a l s o t r u e . P a r t ( d ) i sa c o n s e q u e n c e o f t h e f o l l o w i n g .

3 . 1 0 C ) a i m . { M ( 0 ) : M E 0 ) i s d e n s e i n R .

I n f a c t i f t h i s c l a i m i s e s t a b l i s h e d a n d A h a s a n a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n t oa r e g i o n A t h a t c o n t a i n s H , t h e n A m u s t c o n t a i n a n o n - t r i v i a l o p e n i n t e r v a l( a , b ) o f R . B u t ( 3 . 1 6 ) i m p l i e s t h a t f o r e v e r y a i n ( a , b ) t h e r e i s a s e q u e n c e

{ M k } i n s u c h t h a t M k ( 0 ) a . L e t y 0 t h r o u g h p o s i t i v e v a l u e s . T h e nA ( M k ( O ) ) = A ( M k ( i y ) ) = A ( i y ) = A ( 0 ) = 0 . T h u s a i s a na c c u m u l a t i o n p o i n t o f z e r o s o f A , a c o n t r a d i c t i o n .




T o p r o v e C l a i m 3 . 1 6 l e t M a n d s u p p o s e M i s g i v e n b y ( 3 . 2 ) . S oM ( O ) = b i d . N o w b a n d c a r e e v e n i n t e g e r s , a a n d d a r e o d d , a n d a d — b c = 1 .

I t s u f f i c e s t o s h o w t h a t f o r e v e r y e v e n i n t e g e r b a n d o d d i n t e g e r d s u c h t h a t

b a n d d h a v e n o c o m m o n d i v i s o r , t h e r e i s a n o d d i n t e g e r a a n d a n e v e ni n t e g e r c w i t h a d — b c = 1 . E q u i v a l e n t l y , s h o w t h a t g i v e n i n t e g e r s m a n d ns u c h t h a t 2 m + I a n d 2 n h a v e n o c o m m o n d i v i s o r , t h e r e a r e i n t e g e r s p a n dq s u c h t h a t

1 ( 2 p + 1 ) ( 2 m + 1 ) — ( 2 n ) ( 2 q )

4 p m + 2 m + 2 p + 1 — 4 n q .

T h i s h a p p e n s i f a n d o n l y i f p a n d q c a n b e f o u n d s o t h a t — r n = p ( 2 m +1 ) — ( 2 n ) q . B u t { p ( 2 m + 1 ) — ( 2 n ) q : p , q E Z } i s t h e i d e a l i n t h e r i n g

Z g e n e r a t e d b y 2 m + 1 a n d 2 n . S i n c e t h e s e t w o i n t e g e r s h a v e n o c o m m o nd i v i s o r s , t h i s i d e a l i s a l l o f Z .

i t r e m a i n s t o p r o v e ( e ) . I f ( C \ [ 0 , o o ) a n d 5 > 0 i s c h o s e n s u f f i c i e n t l ys m a l l t h a t B = C \ [ O , o o ) , l e t U 0 = f ' ( B ) c m C . I t i s e a s y t ov e r i f y t h a t A ' ( B ) = u { M ( U 0 ) : M E a n d s o { M ( U 0 ) : M E a r e t h ec o m p o n e n t s o f A ' ( B ) . N o w a s s u m e t h a t ( = t E ( 0 , 1 ) a n d c h o o s e S > 0

s u f f i c i e n t l y s m a l l t h a t B = B ( t ; 5 ) C o , 1 . A n e x a m i n a t i o n o f t h e d e f i n i t i o no f I a s t h e r e f l e c t i o n o f a h o m e o m o r p h i s m o f o n t o s h o w s t h a tf ' ( t ) = { z + , z . . . } C 8 G , w h e r e 1 2 z * i i = 1 . A l s o f ' ( B ) c o n s i s t s o ft w o c o m p o n e n t s , a n d U . . . , w h e r e T h u s f ( U ± ) B f l c l ( ± R ) .I f S i s t h e M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n d e f i n e d i n ( 3 . 6 ) , t h e n i t c a n b e v e r i f i e dt h a t S m a p s t h e c i r c l e J 2 z + 1 o n t o t h e c i r c l e 2 z — = 1 . ( T h e

r e a d e r h a s p r o b a b l y a l r e a d y d o n e t h i s i n E x a m p l e 3 . 8 . ) S i n c e t = == A ( S ( z j ) ) , i t f o l l o w s t h a t S ( z _ ) H e n c e U o U ÷ U S ( U _ ) i s

a n o p e n n e i g h b o r h o o d o f ( V e r i f y ! ) a n d A ( U 0 ) = f ( U + ) U A ( S ( U _ ) ) =f ( U ÷ ) U f ( U _ ) B . T h e r e f o r e { M ( U o ) M a r e t h e c o m p o n e n t s o f) ( ' ( B ) a n d c l e a r l y A m a p s e a c h o f t h e s e h o m e o m o r p h I c a l l y o n t o B . T h ef i n a l c a s e f o r c o n s i d e r a t i o n , w h e r e ( t E ( 1 , o o ) , i s s i m i l a r t o t h e p r e c e d i n go n e a n d i s l e f t t o t h e r e a d e r . 0

3 . 1 7 E x a m p l e . i f r ( z ) = A ( i ( 1 — z ) / ( 1 + z ) ) , t h e n ( D , r ) i s a n a n a l y t i cc o v e r i n g s p a c e o f C 0 , 1 .

3 . 1 8 D e f i n i t i o n . T h e f u n c t i o n A o b t a i n e d i n T h e o r e m 3 . 1 4 i s c a l l e d t h em o d u l a r f u n c t i o n .

C a l l i n g A t h e m o d u l a r f u n c t i o n i s s o m e w h a t m i s l e a d i n g a n d t h e r e a d e rs h o u l d b e a w a r e o f t h i s w h e n p e r u s i n g t h e l i t e r a t u r e . F i r s t , A i s n o t u n i q u e .a s c a n b e s e e n f r o m t h e p r o o f , s i n c e i t s d e f i n i t i o n i s b a s e d o n t a k i n g a

c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e f o o f C 0 o n t o I F ! . G i v e n f o ' A i s u n i q u e . I t i s p o s s i b l et o s o c o n s t r u c t t h e f u n c t i o n A t h a t A ( O ) = 1 , — o o , a n d A ( o o ) = 0 .

1 6 . 4 . A p p l i c a t i o n s o f t h e M o d u l a r F u n c t i o n 1 2 3

H a v i n g d o n e t h i s t h e f u n c t i o n i s u n i q u e a n d i s t h e c l a s s i c a l m o d u l a r f u n c t i o no f c o m p l e x a n a l y s i s .

R e m a r k s .

1 . T h e m a t e r i a l a t t h e b e g i n n i n g o f t h i s s e c t i o n h a s c o n n e c t i o n s w i t ht h e s t u d y o f t h e g r o u p S L 2 ( R ) , m o d u l a r f o r m s , a n d n u m b e r t h e o r y .T h e i n t e r e s t e d r e a d e r s h o u l d s e e L a n g [ 1 9 8 5 ] . A l s o s e e F o r d [ 1 9 7 2 ] f o rt h e c l a s s i c a l t h e o r y .

2 . A n i c e r e f e r e n c e f o r t h e U n i f o r x n i z a t i o n T h e o r e m f o r R i e m a n n s u r -f a c e s i s A b i l c o f f [ 1 9 8 1 ] . A l s o s e e A h l f o r s [ 1 9 7 3 1 .

E x e r c i s e s

1 . T h i s e x e r c i s e c o n s t r u c t s t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n b y a p r o c e s s s i m i l a rt o t h a t u s e d t o c o n s t r u c t t h e m o d u l a r f u n c t i o n a n d i s m e a n t t o h e l pt h e s t u d e n t f e e l m o r e c o m f o r t a b l e w i t h t h e p r o o f o f T h e o r e m 3 . 1 4 .( T h a n k s t o D a v i d M i n d s f o r t h e s u g g e s t i o n . ) L e t G o b e t h e s t r i p{ z : 0 < I m z < i r } a n d l e t b e t h e c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f G 0

o n t o H w i t h = 0 , = o o , a n d = 1 . N o w e x t e n d

b y r e f l e c t i o n . I f = z + 2 i r i n f o r n i n Z , e x t e n d t o a f u n c t i o nE o n C b y l e t t i n g E ( z ) = f o r a n a p p r o p r i a t e c h o i c e o f n .S h o w t h a t B i s a w e l l d e f i n e d e n t i r e f u n c t i o n t h a t i s a c o v e r i n g m a p

o f C 0 a n d p r o v e t h a t E i s t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n .2 . 1 1 A i s t h e m o d u l a r f u n c t i o n , w h a t i s A u t ( H , A ) ? ( B y T h e o r e m 1 . 8 ,

A u t ( H , A ) w h i c h i s a f r e e g r o u p o n t w o g e n e r a t o r s . S o t h eq u e s t i o n a s k e d h e r e c a n b e a n s w e r e d b y f i n d i n g t h e t w o g e n e r a t o r s o fA u t ( H , A ) . )

3 . L e t { a , b } b e a n y t w o p o i n t s i n C a n d f i n d a f o r m u l a f o r a n a n a l y t i cc o v e r i n g ( D , r ) o f C \ { a , b } . I f E C \ { a , b } , s h o w t h a t r c a n b ec h o s e n w i t h r ( O ) = a o a n d r ' ( O ) > 0 .

§ 4 A p p l i c a t i o n s o f t h e M o d u l a r F u n c t i o n

I n t h i s s e c t i o n t h e P i c a r d t h e o r e m s a r e p r o v e d a s a p p l i c a t i o n s o f t h e m o d -u l a r f u n c t i o n a n d t h e m a t e r i a l o n a n a l y t i c c o v e r i n g s p a c e s . P r o o f s o f t h e s e

r e s u l t s h a v e a l r e a d y b e e n s e e n i n ( 1 2 . 2 . 3 ) a n d ( 1 2 . 4 . 2 ) , w h e r e t h e p r o o f sw e r e " e l e m e n t a r y . "

4 . 1 L i t t l e P i c a r d T h e o r e m . I f f i s a n e n t i r e f u n c t i o n t h a t o m i t s t w o

v a l u e s , t h e n / i s c o n s t a n t .

P r o o f . S u p p o s e f i s a n e n t i r e f u n c t i o n a n d t h e r e a r e t w o c o m p l e x n u m b e r s

a a n d b s u c h t h a t a , b 1 ( C ) . B y c o m p o s i n g w i t h a M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n ,w e m a y a s s u m e t h a t 1 ( C ) ç L e t r : D C 0 , 1 b e a u n i v e r s a l c o v e r i n gm a p . A c c o r d i n g t o T h e o r e m 1 . 3 a n d P r o p o s i t i o n 2 . 1 , t h e r e i s a n a n a l y t i cf u n c t i o n T : C — ' I ) s u c h t h a t r o T f . B u t t h e T i s a b o u n d e d e n t i r ef u n c t i o n a n d h e n c e c o n s t a n t . T h u s f i s c o n s t a n t . 0

A s w e k n o w f r o m § 1 4 . 4 , t h e k e y t o t h e p r o o f o f t h e G r e a t P i c a r d T h e o r e mi s t o p r o v e t h e M o n t e l - C a r a t h é o d o r y T h e o r e m .

4 . 2 M o n t e l - C a r a t h é o d o r y T h e o r e m . I f X i s a n y r e g i o n i n t h e p l a n ea n d F = { f : i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n X w i t h 1 ( X ) C o , 1 ) , t h e n Fi s a n o r m a l f a m i l y i n C ( X ,

P r o o f . T o p r o v e t h a t F i s n o r m a l , i t s u f f i c e s t o s h o w t h a t f o r e v e r y d i s kB = B ( z o ; R ) c o n t a i n e d i n X , F J B i s n o r m a l i n C ( B P T o p r o v e t h i s ,

i t s u f f i c e s t o s h o w t h a t f o r a n y s e q u e n c e i n F , t h e r e i s e i t h e r a s u b s e -q u e n c e t h a t i s u n i f o r m l y b o u n d e d o n c o m p a c t s u b s e t s o f B o r a s u b s e q u e n c et h a t c o n v e r g e s t o o o u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o f B ( w h y ? ) . S o f i x s u c ha s e q u e n c e B y p a s s i n g t o a s u b s e q u e n c e i f n e c e s s a r y , w e m a y a s s u m et h a t t h e r e i s a p o i n t a i n s u c h t h a t a . W e c o n s i d e r s o m ec a s e s .

C l a i m . I f a E C a n d a 0 , 1 , t h e n { f 1 j h a s a s u b s e q u e n c e t h a t i s

u n i f o r m l y b o u n d e d o n c o m p a c t s u b s e t s o f B .L e t r 0 - . C o , 1 b e a u n i v e r s a l a n a l y t i c c o v e r i n g m a p a n d l e t =

B ( a ; p ) b e a f u n d a m e n t a l n e i g h b o r h o o d o f a . F i x a c o m p o n e n t U o f ( a ) .S i n c e - . . a , w e m a y a s s u m e t h a t E f o r a l l n 1 . A c c o r d i n gt o T h e o r e m 1 . 3 a n d P r o p o s i t i o n 2 . 1 , f o r e a c h n 1 t h e r e i s a n a n a l y t i cf u n c t i o n : B I ) s u c h t h a t E U a n d r o = o n B . B u t

i s a u n i f o r m l y b o u n d e d s e q u e n c e o f a n a l y t i c f u n c t i o n s a n d s o t h e r e

i s a s u b s e q u e n c e } t h a t c o n v e r g e s i n H ( B ) t o a n a n a l y t i c f u n c t i o n T .C l e a r l y I T ( z ) I 1 f o r a l l z i n B . I f t h e r e i s a z i n B s u c h t h a t J T ( z ) J = 1 ,t h e n T i s c o n s t a n t l y e q u a l t o t h e n u m b e r A w i t h I A I = 1 . I n p a r t i c u l a r ,

T f l h ( z o ) — . A . B u t l i m k ( r I U ) ' ( f , , k ( z o ) ) l f l f l k T n k ( Z o ) = A ,a c o n t r a d i c t i o n . T h u s i t m u s t b e t h a t I T ( z ) I < 1 f o r a l l z i n B .

L e t K b e a n a r b i t r a r y c o m p a c t s u b s e t o f B . F r o m t h e d i s c u s s i o n j u s tc o n c l u d e d , t h e r e i s a n u m b e r r s u c h t h a t M = r n a x { I T ( z ) I z E K } < r <

1 . L e t k 0 b e a n i n t e g e r s u c h t h a t J T f l b ( z ) — T ( z ) J < r — M f o r a l l z i n K

o n B ( 0 ; r ) . I t f o l l o w s t h a t = i s u n i f o r m l y b o u n d e d o n K .S i n c e K w a s a r b i t r a r y , t h i s p r o v e s t h e c l a i m .

1 6 . 5 . E x i s t e n c e 1 2 5

N o w a s s u m e t h a t a = 1 . S i n c e e a c h f u n c t i o n f ' , , n e v e r v a n i s h e s , t h e r ei s a n a n a l y t i c f u n c t i o n : B C w i t h I n . S i n c e 1 , w e

c a n c h o o s e t h e b r a n c h o f t h e s q u a r e r o o t s o t h a t g n ( z o ) — 1 . B u t o n c e

a g a i n , S o t h e c l a i m i m p l i e s t h e r e i s a s u b s e q u e n c e { O f l k } t h a ti s u n i f o r m l y b o u n d e d o n c o m p a c t s u b s e t s o f B . C l e a r l y t h i s i m p l i e s t h a t} i s u n i f o r m l y b o u n d e d o n c o m p a c t s u b s e t s o f B .

A s s u m e t h a t a = 0 . H e r e l e t = 1 — f , , . S o g n ( z O ) — ' 1 a n d n e v e ra s s u m e s t h e v a l u e s 0 a n d 1 . T h e p r e c e d i n g c a s e , w h e n a p p l i e d t o { g n } ,s h o w s t h a t { f 4 h a s a s u b s e q u e n c e t h a t i s u n i f o r m l y b o u n d e d o n c o m p a c t

s u b s e t s o f B .F i n a l l y a s s u m e t h a t a = c o . L e t = 1 / f , , . A g a i n i s a n a l y t i c ,

ç C 0 , 1 , a n d 9 n ( Z O ) — 4 0 . T h e r e f o r e t h e p r e c e d i n g c a s e i m p l i e s t h e r ei s a s u b s e q u e n c e t h a t c o n v e r g e s u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o f Bt o a n a n a l y t i c f u n c t i o n g . B u t t h e f u n c t i o n s } h a v e n o z e r o s w h i l e

g ( z o ) = 0 . B y H u r w i t z ' s T h e o r e m ( 7 . 2 . 5 ) , g 0 . I t n o w f o l l o w s t h a t( z ) o o u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o f B . 0

4 . 3 T h e G r e a t P i c a r d T h e o r e m . I f I h a s a n e s s e n t i a l s i n g u l a r i t y a t

z = a , t h e n t h e r e i s a c o m p l e x n u m b e r a s u c h t h a t f o r ( a t h e e q u a t i o nf ( z ) = h a s a n i n f i n i t e n u m b e r o f s o l u t i o n s i n a n y p u n c t u r e d n e i g h b o r h o o do f a .

F o r a p r o o f t h e r e a d e r c a n c o n s u l t T h e o r e m 7 . 4 . 2 .

E x e r c i s e s

1 . P r o v e L a n d a u ' s T h e o r e m : I f a o a n d a 1 a r e c o m p l e x n u m b e r s w i t hp 0 0 , 1 a n d a 1 1 , t h e n t h e r e i s a c o n s t a n t L ( a o , a 1 ) s u c h t h a tw h e n e v e r r > ( I a n d t h e r e i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n I o n r D w i t h 1 ( 0 ) =

a 0 , f ' ( O ) = a 1 , a n d f o m t s t h e v a l u e s 0 a n d 1 , t h e n r L ( a o , a 1 ) .( H i n t : L e t D C 0 , 1 w i t h = a o a n d r ' ( O ) > 0 . U s e C o r o l l a r y

2 . 6 t o f i n d a n a n a l y t i c f u n c t i o n T : r D D s u c h t h a t r o T = f a n dT ( 0 ) = 0 . N o w a p p l y S c h w a r z ' s L e m m a . )

2 . P r o v e S c h o t t k y ' s T h e o r e m : F o r a i n a n d 0 < / 3 < 1 , t h e r e i sa c o n s t a n t C ( a , / 3 ) s u c h t h a t i f I i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n D t h a to m i t s t h e v a l u e s 0 a n d 1 a n d 1 ( 0 ) = a , t h e n I f ( z ) I C ( a , / 3 ) f o r

J z I / 3 . ( S e e

T h e E x i s t e n c e o f t h e U n i v e r s a l A n a l y t i c C o v e r i n g M a p

T h e p u r p o s e o f t h i s s e c t i o n i s t o p r o v e t h e f o l l o w i n g t h e o r e m .

5 . 1 T h e o r e m . I f Q i s a n y r e g i o n i n C w h o s e c o m p l e m e n t i n C h a s a t

1 2 6 1 6 . A n a l y t i c C o v e r i n g M a p 6

l e a s t t w o p o i n t s a n d a o f i , t h e n t h e r e i s a u n i q i e a n a l y t i c c o v e r i n g m a p

D — , Q w i t h r ( 0 ) = a o a n d r ' ( O ) > 0 .

T h e p r o o f r e q u i r e s s o m e p r e l i m i n a r y m a t e r i a l . T h e f i r s t l e m m a i s a r e -

s t a t e m e n t o f E x e r c i s e 3 . 3 .

5 . 2 L e m m a . I f o , b , a n d E C w i t h a o o , b , t h e n t h e r e i s a n a n a l y t i cc o v e r i n g m a p r : D — ' C \ { a , b } w i t h r ( 0 ) = a o a n d r ' ( O ) > 0 .

T h e n e x t l e m m a i s t e c h n i c a l b u t i t c o n t a i n s t h e v i t a l c o n s t r u c t i o n n e e d e di n t h e p r o o f .

5 . 3 L e m m a . S u p p o s e i s a r e g i o n i n C a n d ( C , r ) i s a n a n a l y t i c c o v e r i n g

w i t h r ( a ) = a o f o r s o m e p o i n t a i n C . = B ( a o ; r o ) i s a f u n d a .m e n t a l n e i g h b o r h o o d o f 0 0 a n d g o i s t h e l o c a l i n v e r s e o f r d e f i n e d o ns u c h t h a t g o ( a o ) = a , t h e n t h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t s h o l d :

( a ) > 0 i f r ' ( a ) > 0 .( b ) I f y : [ O , 1 ) — . f t t h e n t h e r e i s a n a n o l y t i c

c o n t i n u a t i o n a l o n g { ( g g , : 0 ( t S 1 ) o f ( g o , s u c h t h a tç C / o r a l i t .

( c ) J f ( g i , a n d a r e o b t a i n e d f r o m b y a n a l y t i c c o n t i n -u a t i o n , C , a n d g 1 ( u J j ) = g 2 ( J 2 ) f o r s o m e p o i n t s i n

i n t h e n w 1 = 9 2 ( w ) f o r a l i w i n

( d ) I f ( g , i s o b t a i n e d b y a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n o f ( g o , a n d cC , t h e n r ( g ( w ) ) = w f o r a l l w i n

P r o o f . P a r t ( a ) i s t r i v i a l . T o p r o v e ( b ) , u s e L e b e s g u e ' s C o v e r i n g L e m m a

t o f i n d a 6 > 0 w i t h 6 < r O a n d s u c h t h a t f o r e a c h t , 0 t 1 , B ( ' 7 ( t ) ; 6 )i s a f u n d a m e n t a l n e i g h b o r h o o d . L e t 0 = t o < t i < . . . < t = 1 b e s u c ht h a t - y ( t ) E B ( y ( t 1 ) ; 6 ) f o r t , _ 1 t 1 , , 1 j n .

I n p a r t i c u l a r , = 0 0 E B ( - y ( t 1 ) ; ö ) ; l e t g j : — . C b e t h el o c a l i n v e r s e o f r s u c h t h a t g i ( a o ) = a . C l e a r l y 9 ' g o o n n A 1 . H e n c e( 9 1 , i s a c o n t i n u a t i o n o f ( g o , A . 0 ) . S i m i l a r l y , l e t A 2 6 ) a n dl e t 9 2 : A 2 — . C b e t h e l o c a l i n v e r s e o f r s u c h t h a t g 2 ( 7 ( t , ) ) =

s o g o = g , O f l f l A 2 . C o n t i n u i n g t h i s e s t a b l i s h e s ( b ) .

L e t { ( g t , : 0 t 1 ) b e a n y c o n t i n u a t i o n o f ( g o , A . o ) a l o n g a p a t hs u c h t h a t ç C f o r a l l t a n d p u t F = { t E [ 0 , 1 ) : r ( g , ( z ) ) =z f o r a l l z i n S i n c e 0 E F , F 0 . I t i s l e f t a s a n e x e r c i s e f o r t h e r e a d e rt o s h o w t h a t F i s c l o s e d a n d r e l a t i v e l y o p e n i n [ 0 , 1 ] a n d s o F = [ 0 , 1 ) . T h i sp r o v e s ( d ) .

U s i n g t h e n o t a t i o n f r o m ( c ) , t h e f a c t t h a t g ' a n d g o a r e l o c a l i n v e r s e s o fr ( b y ( d ) ) i m p l i e s t h a t w j = r ( g 1 ( w , ) ) = r ( g 2 ( w 2 ) ) = w 2 . T h e r e s t o f ( c )

f o l l o w s b y t h e u n i q u e n e s s o f t h e l o c a l i n v e r s e . 0

P r o o f o f T h e o r e m 5 . 1 . L e t a a n d b b e t w o d i s t i n c t p o i n t s i n t h e c o m -p l e m e n t o f a n d p u t = C \ { a , b } . B y L e m m a 5 . 2 t h e r e i s a n a n a l y t i c

1 6 . 5 . E x i s t e n c e 1 2 7

c o v e r i n g m a p T o : D — , Q o w i t h i ö ( O ) = af u n d a m e n t a l n e i g h b o r h o o d o f a o t h a t i s c o n t a i n e d i n Q a n d l e t h 0 : — ' D

b e t h e l o c a l i n v e r s e o f r 0 w i t h h o ( a o ) = 0 a n d h , ( O ) > 0 . D e f i n e F t o b e

t h e c o l l e c t i o n o f a l l a n a l y t i c f u n c t i o n s g : — . D h a v i n g t h e f o l l o w i n gp r o p e r t i e s :

( a ) g ( a o ) = O a n d g ' ( a o ) > O ;

( b ) 1 f 7 : [ O , 1 J _ - . f l i s a p a t h w i t h i ( 0 ) = a o , t h e n

t h e r e i s a n a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n : 0 t l }

o f ( g , A 0 ) a l o n g s u c h t h a t C l a n d g g ( A t ) D f o r a l l t ;5 . 4 ( c ) I f ( i i , a n d ( 9 2 , A 2 ) a r e o b t a i n e d f r o m ( g , A o )

b y a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n w i t h A , ç a n d = g 2 ( w 2 )

f o r s o m e p o i n t s i n a n d i n A 2 , t h e n

W j = w 2 a n d g l ( w ) = g 2 ( w ) f o r a l L , i n

A 1 n A 2 .N o t e t h a t c o n d i t i o n s ( b ) a n d ( c ) a r e t h e c o n d i t i o n s ( b ) a n d ( c ) o f L e m m a5 . 3 w i t h G r e p l a c e d b y D . H e n c e h 0i n F i s b o u n d e d b y l , F i s a n o r m a l f a m i l y . T h e s t r a t e g y h e r e , r e m i n i s c e n to f t h e p r o o f o f t h e R i e m a n n M a p p i n g T h e o r e m , i s t o s h o w t h a t t h e f u n c t i o ni n F w i t h t h e l a r g e s t d e r i v a t i v e a t w i l l l e a d t o t h e p r o o f o f t h e t h e o r e m .

P u t , c s u p { g ' ( a o ) g E F } ; s o 0 < # c < o o . L e t { h k } ç F s u c h t h a t

h ' k ( c z o ) B e c a u s e F i s a n o r m a l f a m i l y , w e c a n t h a t t h e r e i s a na n a l y t i c f u n c t i o n h o n A 0 s u c h t h a t h b — . h u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t so f A 0 . S o h ( c r o ) 0 a n d h ' ( c t o ) = > 0 . T h u s ( 5 . 4 . a ) i s s a t i s f i e d ; i t w i l lb e s h o w n t h a t ( b ) a n d ( c ) o f ( 5 . 4 ) a l s o a r e s a t i s f i e d s o t h a t h E F .

t h a t ' y ( t ) E A , B ( ' y ( t , ) ; 5 ) f o r t 1 . . . 1 t t , . B y h y p o t h e s i s e a c h f u n c t i o nh k a d m i t s u n r e s t r i c t e d a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n t h r o u g h o u t A 1 , a n d s o t h e

M o n o d r o m y T h e o r e m i m p l i e s t h e r e i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n h j k : - + Dw i t h h l k h k o n A 1 f l A o . C o n t i n u i n g , f o r 1 j n w e g e t a n a n a l y t i cf u n c t i o n h , k : A D s u c h t h a t h , k = h , _ j , * o n A , f l A 1 _ 1 . F i x f o rt h e m o m e n t . S o { h , k I c 1 ) i s a u n i f o r m l y b o u n d e d s e q u e n c e o f a n a l y t i cf u n c t i o n s o n A , a n d m u s t t h e r e f o r e h a v e a s u b s e q u e n c e t h a t c o n v e r g e su n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o f A , t o a n a n a l y t i c f u n c t i o n g , : A D .B y s u c c e s s i v e l y a p p l y i n g t h i s a r g u m e n t w e s e e t h a t t h e f u n c t i o n s g j c a n b e

o b t a i n e d s o t h a t g ,o n

A • f l A , _ 1 . T h u s { ( g 5 , A , ):

I j n }i s

a n a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n o f ( h , A 0 ) a n d ( 5 . 4 . b ) i s s a t i s f i e d .N o w a d o p t t h e n o t a t i o n o f ( 5 . 4 . c ) w i t h h r e p l a c i n g t h e f u n c t i o n g . A r g u -

i n g a s i n t h e p r e c e d i n g p a r a g r a p h , t h e r e a r e s e q u e n c e s o f a n a l y t i c f u n c t i o n s

{ ( h j k , A j ) } a n d { ( h 2 k , A 2 ) } s u c h t h a t f o r j 1 , 2 , ( h , k , A , ) i s a c o n t i n u -

a t i o n o f ( h k , A o ) a n d h , k g , u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o f a s

k o o . N o w H u r w i t z ' s T h e o r e m ( a n d E x e r c i s e 7 . 2 . 1 1 ) i m p l i e s t h a t f o r

j = 1 , 2 a n d a l l s u f f i c i e n t l y l a r g e k t h e r e a r e p o i n t s i n A , s u c h t h a t= g i ( w i ) = = t h e s e p o i n t s c a n b e c h o s e n s ot h a t a s I c 0 0 . B u t h k F a n d s o ( 5 . 4 . c ) i m p l i e s t h a t f o r e a c hk , = a n d = o n A i n A 2 . T h u s w 1 a n d g i = 9 2 O f l

A 1 f l A 2 . T h a t i s , h s a t i s f i e s ( 5 . 4 . c ) . T h e r e f o r e h E F .F i x t h e n o t a t i o n t h a t h i s a f u n c t i o n i n F f o r w h i c h h ' ( a o ) =

5 . 4 C l a I m . F o r e v e r y z i n 1 ) t h e r e i s a n a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n ( g a , A 1 ) o f

( h , A o ) s u c h t h a t z E g 1 ( A 1 ) .S u p p o s e t h e ( 5 . 5 ) i s f a l s e a n d t h e r e i s a c o m p l e x n u m b e r C i n D s u c h t h a t

n o c o n t i n u a t i o n o f h i n G w i t h v l u e s i n D e v e r a s s u m e s t h e v a l u e c . S i n c eh ( a o ) = 0 , 0 < i d < 1 . L e t T b e t h e M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n

s o T i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f D \ { 0 } o n t o D \ { c } w i t h T ( 0 ) = c . T h u si f g L ( z ) = T ( z 2 ) , ( ( D \ { O } ) , i s a n a n a l y t i c c o v e r i n g s p a c e o f D \ { c } .

L e t a b e a s q u a r e r o o t o f C ; s o = 0 a n d = — 2 a / ( 1 — i d 2 ) . L e t

g b e a l o c a l i n v e r s e o f d e f i n e d i n a n e i g h b o r h o o d o f 0 w i t h g ( 0 ) = a a n d

a p p l y L e m m a 5 . 3 t o ( ( D \ { 0 } ) , T h u s g s a t i s f i e s p r o p e r t i e s ( b ) , ( c ) , a n d( d ) o f L I m m k 5 . 3 ( w i t h a o = 0 , G = D \ { 0 } , r = p , a n d f l = D \ { c } ) .

N o w g o h i s d e f i n e d a n d a n a l y t i c n e a r o o a n d g ( h ( a o ) ) = a . I f ( h j , A 1 )i s a n y a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n o f ( h , A o ) w i t h h 1 ( A 1 ) ç D , t h e n h 1 ( A 1 ) ç

D \ { c } . S i n c e , b y L e m m a 5 . 3 . b , g a d m i t s u n r e s t r i c t e d a n a l y t i c c o n t i n u a t i o ni n D \ { c ) , i t f o l l o w s t h a t g o h a d m i t s u n r e s t r i c t e d a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n i na

W e w a n t t o h a v e t h a t g o h € F , b u t t w o t h i n g s a r e b e k i n g g ( h ( a o ) )a 0 a n d ( g o m a y n o t b e p o s i t i v e . T h e s e a r e e a s i l y c o r r e c t e d a sf o l l o w s . L e t M b e t h e M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n M ( z ) b ( a - z ) / ( 1 -w h e r e b = d i a l = P u t f = M o g o h . T h u s f f r z o ) = 0 a n d /s a t i s f i e s ( 5 . 4 . b ) a n d ( 5 . 4 . c ) s i n c e g o h d o e s . A l s o

f ' ( a o ) =

=N o w z = s o 1 = p ' ( g ( O ) ) g ' ( O ) = — 2 a ( 1 — 1 c 1 2 ) _ 1 g 1 ( O ) . T h u s g ' ( O ) =

— ( 1 A c o m p u t a t i o n o f M ' ( a ) s h o w s t h a t t h e a b o v e e q u a t i o nb e c o m e s

b f l _ 1 c 1 2 \f ' ( a o )

=

1 + l c l=> 0 .



1 6 . 5 . E x I s t e n c e 1 2 9

T h e r e f o r e / E B u t t h i s a l s o s h o w s t h a t f ' f r i o ) > ' c , c o n t r a d i c t i n g t h ed e f i n i t i o n o f i c . T h u s C l a i m 5 . 5 m u s t h o l d .

N o w t o d e f i n e r , t h e c o v e r i n g m a p o f D o n t o t h i s i s t h e e a s y p a r t .

A s a b o v e , l e t h b e a f u n c t i o n i n . 1 w i t h ! " ( Q O ) ' c . I f z E D , C l a i m 5 . 5i m p l i e s t h e r e i s a n a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n ( h 1 , o 1 ) o f h w i t h z i n h i ( á i ) ;s a y z = f o r i n I f ( h 2 1 A 2 ) i s a n o t h e r c o n t i n u a t i o n o f h w i t h

z = f o r s o m e w 2 i n A 2 , t h e n ( 5 . 4 . c ) i m p l i e s t h a t = W 2 a n d h 1 = h 2

o n A i f l A 2 . S i n c e ( 5 . 4 . c ) a l s o i m p l i e s t h a t h 1 i s u n i v a l e n t o n w e c a ns a f e l y d e f i n e r o n U b y r = S i n c e z w a s a r b i t r a r y , ri s d e f i n e d o n D . F r o m t h e d e f i n i t i o n i t i s d e a r t h a t r i s a n a l y t i c ; i t i s j u s t

T h e o n l y r e m a i n i n g p a r t o f t h e e x i s t e n c e p r o o f i s t o s h o w t h a t i i s ac o v e r i n g m a p . T o d o t h i s f i x a p o i n t w i n w e m u s t f i n d a n e i g h b o r h o o do f w s u c h t h a t e a c h c o m p o n e n t o f r ' ( A ) i s m a p p e d b y r h o m e o m o r p h i c a l l yo n t o A . T o f i n d A j u s t t a k e a n y a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n ( h 1 , A ) o f h , w h e r e Ai s a d i s k a b o u t w . S u p p o s e ( h 2 , A 2 ) i s a n o t h e r c o n t i n u a t i o n o f h w i t h w i nA 2 . A c c o r d i n g t o ( 5 . 4 . b ) , h 2 h a s a c o n t i n u a t i o n t o e v e r y p o i n t o f A . T h u s( t h e r e i s s o m e t h i n g e x t r a t o d o h e r e ) t h e M o n o d r o m y T h e o r e m i m p l i e s t h a th 2 e x t e n d s t o a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n A 2 U A . S o w e m a y a s s u m e t h a t h 2

i s d e f i n e d o n A . T h a t i s , w e m a y a s s u m e t h a t e v e r y c o n t i n u a t i o n ( h 2 , A 2 )o f w i t h w i n A 2 h a s A ç A 2 . L e t b e t h ec o l l e c t i o n o f a l l t h e d i s t i n c t a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n s o f ( h , t o A . ( A t t h i s

t i m e w e d o n o t k n o w t h a t i s c o u n t a b l e , t h o u g h t h i s w i l l t u r n o u t t o b et h e c a s e . ) F r o m t h e d e f i n i t i o n o f r ,

r ' ( A ) =

i E IB u t ( 5 . 4 . c ) i m p l i e s t h a t n h , ( A ) = 0 f o r i j . T h u s { h 1 ( A ) i E J }a r e t h e c o m p o n e n t s o f r 1 ( A ) ( a n d s o i i s c o u n t a b l e ) . C l e a r l y r m a p s e a c hh j ( A ) h o m e o m o r p h i c a l i y o n t o A s i n c e r = ( h j j A ) ' . T h i s c o m p l e t e s

t h e p r o o f o f e x i s t e n c e .T h e u n i q u e n e s s s t a t e m e n t f o l l o w s b y C o r o l l a r y 2 . 5 . 0

T h e o r e m 5 . 1 i s t h e e s s e n t i a l p a r t o f w h a t i s c a l l e d t h e U n i f o r i n i s a t i o nT h e o r e m . T h e t r e a t m e n t h e r e i s f r o m P f l u g e r [ 1 9 6 9 ] b u t w i t h c o n a i d e r a b l e

m o d i f i c a t i o n . T h e r e a d e r c a n a l s o s e e F i s h e r [ 1 9 8 3 J , F i s h e r , H u b b a r d , a n dW i t t n e r 1 9 8 8 ) , a n d V e e c h a s w e l l a s t h e s u r v e y a r t i c l e A b i l c o f f [ 1 9 8 1 )f o r d i f f e r e n t a p p r o a c h e s a n d a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n .

W e c a n n o w f u r n i s h t h e p r o o f o f P r o p o s i t i o n 1 5 . 4 . 8 i n i t s e n t i r e t y . R e c a l lt h a t t h e p r o o f g i v e n t h e r e w a s o n l y v a l i d f o r t h e c a s e t h a t t h e c o m p l e m e n to f t h e r e g i o n 0 h a d a c o m p o n e n t t h a t w a s n o t t r i v i a l .

5 . 5 C o r o l l a r y . c o n t a i n s z e r u . i f / w ac o n f o r i n a i e q u i v a l e n c e o f C o n t o i t s e l f w i t h / ( 0 ) 0 a n d f ' ( O ) > 0 , t h e nf ( z ) = z f o r a l l z m G .




P r o o f . I f C I s t h e e n t i r e p l a n e l e s s a s i n g l e p o i n t , t h e p r o o f i s l e f t t o t h er e a d e r . I f t h e c o m p l e m e n t o f C h a s a t l e a s t t w o p o i n t s , l e t r : D C b et h e u n i v e r s a l a n a l y t i c c o v e r i n g m a p w i t h r ( O ) = 0 a n d T ' ( O ) > 0 . I t f o l l o w s

t h a t f o r : C i s a l s o a n a n a l y t i c c o v e r i n g m a p w i t h ( f o r ) ( 0 ) ( l a n d( f a r ) ' ( O ) > 0 . T h u s / o r = r . T h a t i s , f ( r ( z ) ) = r ( z ) f o r a l l z i n D a n dt h e c o r o l l a r y f o l l o w s . 0

E x e r c i s e s

1 . S h o w t h a t i f i s s i m p l y c o n n e c t e d a n d r i s t h e c o v e r i n g m a p o b t a i n e di n T h e o r e m 5 . 1 , t h e n r i s t h e R . i e m a i r n . m a p .

2 . L e t 1 2 b e a r e g i o n i n C w h o s e c o m p l e m e n t h a s a t l e a s t t w o p o i n t sa n d l e t r : D — . 1 2 b e t h e a n a l y t i c c o v e r i n g m a p w i t h r ( 0 ) = a n di - ' ( O ) > 0 . I f f I l — ' C i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n , s h o w t h a t g = J o ri s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n D s u c h t h a t g o T g f o r a l l T i nC o n v e r s e l y , i f g : D C i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n w i t h g o T = g f o r a l lT i n t h e n t h e r e i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n f o n 1 2 s u c h t h a t g = f o r .

3 . S u p p o s e . 1 2 i s a n n - J o r d a n r e g i o n a n d r i s a s i n T h e o r e m 5 . 1 . ( a ) S h o wt h a t f o r a n y p o i n t a i n D , { T ( 0 ) : T E a n d { T ( o ) : T E h a v et h e s a m e s e t o f l i m i t p o i n t s a n d t h e s e l i m i t p o i n t s a r e c o n t a i n e d i n

O D . L e t K d e n o t e t h i s s e t o f l i m i t p o i n t s . ( b ) S h o w t h a t i f w E O D \ K ,t h e n t h e r e i s a n e i g h b o r h o o d U o f w s u c h t h a t r i s u n i v a l e n t o n U n Da n d r h a s a c o n t i n u o u s e x t e n s i o n t o D U ( O D \ K ) .

4 . P r o v e a v a r i a t i o n o f C o r o l l a r y 5 . 6 b y a s s u m i n g t h a t C \ G h a s a t l e a s tt w o p o i n t s b u t o n l y r e q u i r i n g F t o b e a c o v e r i n g m a p o f G o n t o i t s e l f .

E x e r c i s e s 5 t h r o u g h 8 g i v e a g e n e r a l i z a t i o n o f S c h w a r z ' a L e m m a . T h ea u t h o r t h a n k s D a v i d M m d c f o r s u p p l y i n g t h e s e .

5 . i f C i s a p r o p e r s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n , a E C , a n d i s a n a n a l y t i cf u n c t i o n o n C s u c h t h a t f ( G ) C a n d 1 ( a ) = a , t h e n S 1 . T h e

e q u a l i t y 1 o c c u r s i f a n d o n l y i f I i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c eo f C o n t o i t s e l f t h a t f i x e s a .

6 . L e t C b e a r e g i o n s u c h t h a t i t s c o m p l e m e n t h a s a t l e a s t t w o p o i n t s , l e ta E C , a n d l e t r : D C b e t h e a n a l y t i c c o v e r i n g m a p w i t h r ( O ) aa n d r ' ( O ) > 0 . i f f i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n C w i t h 1 ( G ) ç C a n d1 ( a ) = a , s h o w t h a t t h e r e i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n F : D — . D w i t hF ( 0 ) = 0 a n d f o r = r o F . A l s o s h o w t h a t F ( r ' ( a ) ) ç r ' ( a ) .

7 . L e t / a n d C b e a s i n E x e r c i s e 6 . ( a ) S h o w t h a t I f fi s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f G o n t o i t s e l f , s h o w t h a t 1 f ' ( a ) I = 1 a n df ' ( a ) = 1 i f a n d o n l y i f f ( z ) = z f o r a l l z . ( c ) L e t A u t ( G , a ) b e a l l t h e

1 6 . 5 . E x i s t e n c e 1 3 1

c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e s o f C o n t o i t s e l f t h a t f i x t b e p o i n t a a n d p r o v et h a t t h e m a p f f ' ( a ) i s a g r o u p r n o n o m o r p h i s m o f A u t ( G , a ) i n t o

t h e c i r c l e g r o u p , 8 D , a n d h e n c e A u t ( G , a ) i s a b e l i a n . ( d ) I f C i s n o t

s i m p l y c o n n e c t e d , s h o w t h a t C i s a f i n i t e c y c l i c g r o u p . W h a t h a p p e n sw h e n C I s s i m p l y c o n n e c t e d ?

8 . L e t C , f , r , a n d F b e a s i n E x e r c i s e 6 . T h i s e x e r c i s e w i l l s h o w t h a t i fI f ' ( a ) I = 1 , t h e n I E A u t ( G 3 a ) . F o r t h i s p u r p o s e w e c a n a s s u m e t h a t

C i s n o t s i m p l y c o n n e c t e d o r , e q u i v a l e n t l y , t h a t r ' ( a ) i s i n f i n i t e .( a ) S h o w t h a t i f I f ' ( a ) I = 1 , t h e n t h e r e i s a c o n s t a n t c s u c h t h a t

F ( z ) = c z f o r a l l z i n D . ( b ) E x a m i n e t h e a c t i o n o f F o n r ' ( a ) a n d

c o n c l u d e t h a t c i s a n n - t h r o o t o f u n i t y f o r s o m e p o s i t i v e i n t e g e r n .( c ) C o n c l u d e t h a t f A u t ( G , a ) .

9 . L e t f a n d C b e a s i n E x e r c i s e 6 . F o r n I l e t b e t h e c o m p o s i t i o no f f w i t h i t s e l f n t i m e s . P r o v e t h a t i f f A u t ( G , a ) , t h e n — ' a

u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o f C .

1 0 . I n t h i s e x e r c i s e l e t C b e a p r o p e r r e g i o n i n t h e p l a n e , l e t a a n d bb e d i s t i n c t p o i n t s i n C , a n d l e t f b e a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n C w i t h

1 ( C ) ç C , f ( o ) a , a n d f ( b ) = b . ( a ) i f G i s s i m p l y c o n n e c t e d a n d1 ( a ) = a a n d 1 ( b ) = b , s h o w t h a t f ( z ) = z f o r a l l z i n C . ( b ) G i v ea n e x a m p l e t o s h o w t h a t ( a ) f a i l s i f C i s n o t a s s u m e d t o b e s i m p l yc o n n e c t e d . ( c ) I f C i s n o t s i m p l y c o n n e c t e d b u t t h e c o m p l e m e n t o f Ch a s a t l e a s t t w o p o i n t s , s h o w t h a t f i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f Co n t o i t s e l f a n d t h e r e i s a p o s i t i v e i n t e g e r n s u c h t h a t t h e c o m p o s i t i o no f f w i t h i t s e l f n t i m e s i s t h e i d e n t i t y . ( d ) W h a t h a p p e n s w h e n C = C

o r C 0 ?

1 1 . S u p p o s e I i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n D s u c h t h a t S 1 a n d1 ( 0 ) = 0 . P r o v e t h a t i f z 1 i s a p o i n t i n D d i f f e r e n t f r o m 0 a n d =

0 , t h e n I f ' ( O ) I ( H i n t : C o n s i d e r f ( z ) / z T ( z ) f o r a n a p p r o p r i a t eM ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n T . )

1 2 . T h e R i g i d i t y T h e o r e m . L e t C b e a r e g i o n t h a ti s n o t s i m p l y c o n n e c t e d a n d w h o s e c o m p l e m e n t h a s a t l e a s t t w o

p o i n t s ; l e t a E C . S h o w t h a t t h e r e i s a c o n s t a n t a d e p e n d i n g o n l y o nC a n d a w i t h 0 a < 1 s u c h t h a t i f / i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n Cw i t h f ( G ) C a n d / ( a ) = a , a n d i f f i s n o t a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c eo f C o n t o i t s e l f , t h e n I f ' ( a ) ( a . ( H i n t : L e t r b e t h e a n a l y t i c c o v e r -i n g m a p o f D o n t o C w i t b r ( 0 ) = a a n d r ' ( O ) > 0 a n d l e t F b e a s i nE x e r c i s e 6 . W r i t e r 1 ( a ) = { 0 , z j , z 2 , . . . } w i t h 0 < ) z 1 O b s e r v e t h a t F f r ' ( a ) ) a n d t r y t o a p p l y E x e r c i s e 1 1 . )

1 3 . S h o w t h a t i f C i s s i m p l y c o n n e c t e d , n o s u c h c o n 8 t a n t a a s t h a t o b -t a i n e d i n t h e p r e c e d i n g e x e r c i s e c a n b e f o u n d .



C h a p t e r 1 7

D e B r a n g e s ' s P r o o f o f t h e

B i e b e r b a c h C o n j e c t u r e

I n t h i s c h a p t e r w e w i l l s e e a p r o o f o f t h e f a m o u s B i e b e r b a c h c o n j e c t u r e .B i e b e r b a c h f o r m u l a t e d h i s c o n j e c t u r e i n 1 9 1 6 a n d i n 1 9 8 4 L o u i s d e B r a n g e s

a n n o u n c e d h i s p r o o f o f t h e c o n j e c t u r e . I n M a r c h o f 1 9 8 5 a s y m p o s i u m o n

t h e B i e b e r b a c h c o n j e c t u r e w a s h e l d a t P u r d u e U n i v e r s i t y a n d t h e p r o c e e d -i n g s w e r e p u b l i s h e d i n B a e r n s t e i n e t a l . [ 1 9 8 6 J . T h i s r e f e r e n c e c o n t a i n s an u m b e r o f r e s e a r c h p a p e r s a s w e l l a s s o m e p e r s o n a l a c c o u n t s o f t h e h i s t o r y

s u r r o u n d i n g t h e c o n j e c t u r e a n d i t s p r o o f . T h e h i s t o r y w i l l n o t b e r e c o u n t e dh e r e .

T h e o r i g i n a l i d e a s o f d e B r a n g e s f o r t h e p r o o f c o m e f r o m o p e r a t o r t h e o r yc o n s i d e r a t i o n s . T h e p r o o f p r e s e n t e d h e r e ( i n § 6 ) i s b a s e d o n t h e p r o o f g i v e ni n F i t z g e r a l d a n d P o m m e r e n k e [ 1 9 8 5 1 . T h i s a v o i d s t h e o p e r a t o r t h e o r y ,t h o u g h s o m e a d d i t i o n a l p r e l i m i n a r i e s a r e n e e d e d . A n o t h e r p r o o f c a n b e

f o u n d i n W e i n s t e i n [ 1 9 9 1 J . T h o u g h t h i s i s s h o r t e r i n t h e p u b l i s h e d f o r mt h a n t h e F i t z g e r a l d - P o m m e r e n k e p r o o f , i t a c t u a l l y b e c o m e s l o n g e r i f t h e

s a m e l e v e l o f d e t a i l i s p r o v i d e d .T h e s t r a t e g y f o r t h e p r o o f , a s i t e v o l v e s i n t h e c o u r s e o f t h i s c h a p t e r , i s

w e l l m o t i v a t e d a n d c l e a r f r o m b o t h a m a t h e m a t i c a l a n d a h i s t o r i c a l p o i n t o fv i e w . T h e t a c t i c s f o r t h e p r o o f o f t h e f i n a l c r u c i a l l e m m a ( L e m m a 6 . 8 ) a r e

f a r f r o m i n t u i t i v e . P e r h a p s t h i s i s p a r t o f t h e n a t u r e o f t h e p r o b l e m a n d c o n -n e c t e d w i t h t h e c o n j e c t u r e l y i n g u n p r o v e d f o r s o m a n y d e c a d e s . T h e t o o l sn e e d e d i n t h e p r o o f h a v e e x i s t e d f o r q u i t e s o m e t i m e : L o e w n e r c h a i n s a n dL o e w n e r ' s d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( 1 9 2 3 ) ; L e b e d i v - M i l l i n i n e q u a l i t i e s ( 1 9 6 5 ) .I n f a c t , d e B r a n g e s b r o u g h t a n e w s o u r c e o f i n t u i t i o n t o t h e p r o b l e m . T h i si n s i g h t w a s r o o t e d i n o p e r a t o r t h e o r y a n d i s l o s t i n t h e s h o r t e r p r o o f s o fF i t z g e r a i d - P o m m e r e n k e a n d W e i n s t e i n . T h e s e r i o u s s t u d e n t w h o w i s h e s t o

p u r s u e t h i s t o p i c s h o u l d l o o k a t d e B r a n g e s ' 8 p a p e r ( d e B r a n g e s [ 1 9 8 5 1 ) a n d

t h e o p e r a t o r t h e o r y t h a t h a s b e e n d o n e i n a n e f f o r t t o m o r e f u l l y e x p l i c a t eh i s o r i g i n a l i d e a s .

§ 1 S u b o r d i n a t i o n

I n t h i s s e c t i o n w e w i l l s e e a n e l e m e n t a r y p a r t o f f u n c t i o n t h e o r y t h a t c o u l dh a v e b e e n p r e s e n t e d a t a m u c h e a r l i e r s t a g e o f t h e r e a d e r ' s e d u c a t i o n .

1 3 4 1 7 . T h e B i e b e r b a c h C o n j e c t u r e

1 . 1 D e f i n i t i o n . I f C i s a r e g i o n i n c l u d i n g t h e o r i g i n a n d f a n d g a r e t w oa n a l y t i c f u n c t i o n s o n C , t h e n I i s s u b o r d i n a t e t o g i f t h e r e i s a n a n a l y t i cf u n c t i o n # : C C s u c h t h a t = 0 a n d f = g o 4 .

I t f o l l o w s f r o m t h e d e f i n i t i o n t h a t i f f i s s u b o r d i n a t e t o g , t h e n 1 ( 0 ) =g ( 0 ) . A l s o n o t e t h a t i f f i s s u b o r d i n a t e t o g , t h e n 1 ( G ) ç g ( G ) . I n C o r o l l a r y

1 6 . 2 . 6 i t w a s s h o w n t h a t i f g : D — ' C l i s t h e u n i v e r s a l a n a l y t i c c o v e r i n g m a pf o r C l w i t h g ( 0 ) = a n d f i s a n y a n a l y t i c f u n c t i o n o n D w i t h f ( O ) = a n d

f ( D ) c C l = g ( D ) , t h e n f i s s u b o r d i n a t e t o g . I n t h i s s e c t i o n w e w i l l u s et h i s r e s u l t f o r t h e c a s e t h a t C l i s s i m p l y c o n n e c t e d a n d g i s t h e R i e m a n nm a p . T h e p r o o f f o r t h i s c a s e i s e a s y a n d s o i t i s p r e s e n t e d h e r e s o a s t o

m a k e t h i s s e c t i o n i n d e p e n d e n t o f C h a p t e r 1 6 .T h e f a c t t h a t s u b o r d i n a t i o n i s v a l i d i n a m o r e g e n e r a l s e t t i n g s h o u l d b ea c l u e f o r t h e r e a d e r t h a t t h i s i s a m o r e c o m p r e h e n s i v e s u b j e c t t h a n i t w i l la p p e a r f r o m t h i s s e c t i o n . I n f a c t , i t h a s a l w a y s i m p r e s s e d t h e a u t h o r a s af a v o r i t e t o p i c f o r t r u e f u n c t i o n t h e o r i s t s a s i t y i e l d s i n t e r e s t i n g e s t i m a t e sa n d i n e q u a l i t i e s . F o r a f u r t h e r d i s c u s s i o n o f s u b o r d i n a t i o n , s e e G o l u z i n

[ 1 9 6 9 ] a n d N e h a r i [ 1 9 7 5 1 .

1 . 2 P r o p o s i t i o n . J i g i s a u n i v a l e n t f u n c t i o n o n I ) , t h e n a n a n a l y t i c f u n c -t i o n f o n D i s s u b o r d i n a t e t o g i f a n d o n l y i f 1 ( 0 ) = g ( O ) a n d f ( D ) c g ( D ) .1 f f i s s u b o r d i n a t e t o g i s t h e f u n c t i o n s u c h t h a t f — _ g o 4 , i su n i q u e .

P r o o f . I f f ( D ) g ( D ) , : D — . D b e d e f i n e d b y = g ' o f ; t h i ss h o w s t h a t i s s u b o r d i n a t e t o g . T h e c o n v e r s e w a s o b s e r v e d p r i o r t o t h es t a t e m e n t o f t h i s p r o p o s i t i o n . 0

1 . 3 . P r o p o s i t i o n . 1 f f a n d g a r e a n a l y t i c f u n c t i o n s o n D , i s s u b o r d i n a t et o g , a n d i s t h e f u n c t i o n s a t i s f y i n g f = g o a n d = 0 , t h e n f u r e a c h

r > 1 :

( a ) { f ( z ) : < r } { g ( z ) : < r } ;( b ) m a x { I f ( z ) I l z I r } : j z l r } ;( c ) ( 1 — I z ( 2 ) I f l ( z ) I ( 1 —

( d ) w i t h e q u a l i t y i f a n d o n l y i f t h e r e i s a c o n s t a n t c w i t hi d = 1 s u c h t h a t 1 ( z ) = g ( c z ) f o r o i l z .

P r o o f . L e t D — . D b e t h e a n a l y t i c f u n c t i o n s u c h t h a t f = g o

S i n c e = 0 , S c h w a r z ' s L e m m a i m p l i e s t h a t o n D . T h i si m m e d i a t e l y y i e l d s ( a ) a n d p a r t ( b ) i s a c o n s e q u e n c e o f ( a ) .

T o p r o v e p a r t ( c ) , f i r s t r e c a l l f r o m ( 6 . 2 . 3 ) t h a t

( 1 — 1 —

1 7 . 1 . S u b o r d i n a t i o n 1 3 5

f o r a l l z i n D . T h u s

( 1 — = ( 1 —

1 . 4 5( 1 —

e s t a b l i s h i n g ( c ) .S i n c e f ' ( O ) a n d S c h w a r z ' s L e m m a i m p l i e s t h a t 5 1 ,

w e h a v e t h a t I f ' ( O ) I S I g ' ( O ) I . I f I f ' ( O ) l = g ' ( O ) I , t h e n = 1 a n d s ot h e r e i s a c o n s t a n t c w i t h i d = 1 s u c h t h a t b ( z ) c z f o r a l l z . 0

W e n o w a p p l y t h e s e r e s u l t s t o a p a r t i c u l a r c l a s s o f f u n c t i o n s o n D . L e t P

b e t h e s e t o f a l l a n a l y t i c f u n c t i o n s p o n D s u c h t h a t R e p ( z ) > 0 o n I I ) a n dp ( O ) = 1 . T h e f i r s t p a r t o f n e x t r e s u l t i s a r e s t a t e m e n t o f E x e r c i s e 6 . 2 . 3 .

1 . 5 P r o p o s i t i o n . I f p P a n d z E D , t h e n

5 5

a n d

i p ' ( z ) i s _ I z i ) 2

T h e s e i n e q u a l i t i e s a r e s h a r p f o r p ( z ) = ( 1 + z ) / ( 1 — z ) .

P r o o f . T h e M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n T ( z ) = ( 1 + z ) / ( 1 - . z ) m a p s t o Do n t o t h e r i g h t h a l f p l a n e a n d T ( 0 ) = 1 . T h u s P r o p o € i t i o n 1 . 2 i m p l i e s p i ss u b o r d i n a t e t o T . L e t : D — + D b e t h e a n a l y t i c f u n c t i o n w i t h = 0a n d

p ( z ) = =+ 4 ( z )

f o r a l l z i n D . B u t f o r a n y i n 0 ,

' — 1 ( 1 < ' + K i

S O

<

—

B u t 5 w h e n c e t h e f i r s t i n e q u a l i t y .F o r t h e s e c o n d i n e q u a l i t y , a p p l y ( 1 . 3 . c ) t o o b t a i n t h a t

l p ' ( z ) I 5

21

1 —

1

— 1

<

2

=0

1 . 6 C o r o l l a r y . P i s a c o m p a c t s u b s e t o f H ( [ ) ) .

E x e r c i s e s

1 . S h o w t h a t f o r p i n P a n d I z i < 1 : ( a ) R e p ( z ) s( b ) p ( z ) I ( c ) p ( z ) I s i n s ( d )

2 . ( a ) S h o w t h a t i f f i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n D w i t h 1 ( 0 ) = 0 a n df ' ( O ) 1 , t h e n t h e c o n v e x h u l l o f 1 ( D ) c o n t a i n s B ( 0 ; 1 / 2 ) . ( H i n t :S h o w t h a t i f t h i s i s n o t t h e c a s e , t h e n f i s s u b o r d i n a t e t o a r o t a t i o no f t h e m a p g ( z ) = z / ( 1 — z ) . ) ( b ) S h o w t h a t i f I S ( 1 4 . 7 . 1 ) a n df ( D ) i s c o n v e x , t h e n 1 ( D ) c o n t a i n s B ( 0 ; 1 / 2 ) .

3 . ( a ) L e t f 0 b e t h e r o t a t i o n o f t h e K o e b e f u n c t i o n ( E x a m p l e 1 4 . 1 4 ) .S h o w t h a t i f f i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n D w i t h f ( O ) = 0 a n d f ' ( O ) =

1 , t h e n / ( D ) m e e t s t h e r a y r 1 / 4 ) u n l e s s ff S ( 1 4 . 7 . 1 ) a n d 1 ( D ) i s a s t a r l i k e r e g i o n ; s h o w t h a t 1 ( D ) c o n t a i n sB ( 0 ; 1 / 4 ) . ( T h i s i s a s p e c i a l c a s e o f t h e K o e b e 1 / 4 - T h e o r e m ( 1 4 . 7 . 8 ) . )

4 . S h o w t h a t i f f i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n D w i t h 0 < f f ( z ) $ < 1 f o ra l l z , t h e n I f ' ( O ) ! 2 / e a n d t h i s b o u n d i s s h a r p .

§ 2 L o e w n e r C h a i n s

I f 1 : D x [ 0 , o o ) C , t h e n f ' ( z , t ) i s d e f i n e d t o b e t h e p a r t i a l d e r i v a t i v eo f / w i t h r e s p e c t t o t h e c o m p l e x v a r i a b l e z , p r o v i d e d t h i s d e r i v a t i v e e x i s t s .T h e d e r i v a t i v e o f f w i t h r e s p e c t t o t h e r e a l v a r i a b l e t i s d e n o t e d b y f ( z , f )

2 . 1 D e f i n i t i o n . A L o e w n e r c h a i n i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n / : D x [ 0 , o o )C h a v i n g t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

( a ) f o r a l l t i n [ 0 , o o ) , t h e f u n c t i o n z — f ( z , t ) i s a n a l y t i c a n d u n i v a l e n t ;

( b ) f ( 0 , t ) = 0 a n d f ' ( O , t ) =( c ) f o r 0 $ < t < o o , f ( D , s ) ç f ( D , t ) .

1 7 . 2 . L o e w n e r C h a i n s 1 3 7

L e t C d e n o t e t h e c o l l e c t i o n o f a l l L o e w n e r c h a i n s .

T h e f i r s t q u e s t i o n i s t h e e x i s t e n c e o f L o e w n e r c h a i n s . I f g i s t h e K o e b e

f u n c t i o n ( 1 4 . 1 . 4 ) a n d f ( z , t ) = e t g ( z ) =e t z ( 1 —

z ) 2 , t h e n i t i s e a s y t oc h e c k t h a t f i s a L o e w n e r c h a i n w i t h f ( D , t ) = C \ ( — o o , _ e t / 4 ) . I I ' g i s a n yf u n c t i o n f r o m t h e c l a s s 8 , t h e n f ( z , t ) = e t g ( z ) s a t i s f i e s c o n d i t i o n s ( a ) a n d( b ) o f t h e d e f i n i t i o n o f a L o e w n e r c h a i n , b u t i t m a y n o t c o n d i t i o n( c ) . A n a m p l i f i c a t i o n o f t h i s e x i s t e n c e q u e s t i o n a p p e a r s i n T h e o r e m 2 . 1 6

b e l o w .T h e f i r s t r e s u l t g i v e s s o m e p r o p e r t i e s o f t h e p a r a m e t r i z e d f a m i l y o f s i m p l y

c o n n e c t e d r e g i o n s 1 1 ( t ) = f ( D , t ) a s s o c i a t e d w i t h a L o e w n e r c h a i n t h a t w i l l

b e u s e d i n t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e e x a m p l e s j u s t a l l u d e d t o .2 . 2 P r o p o s i t I o n . I f I i s a L o e w n e r c h a i n a n d f o r e a c h t 0 , 1 1 ( t ) =f ( D , t ) , t h e n :

( a )

1 1 ( s ) 1 1 ( t ) ;

2 . 3 ( b ) i f — . t , t h e n — ' 1 1 ( t ) i n t h es e n s e o f D e f i n i t i o n

( c )

P r o o f . T h e p r o o f t h a t 1 1 ( s ) ç 1 1 ( t ) w h e n s < t i s i m m e d i a t e f r o m t h ed e f i n i t i o n . S i n c e f ' ( O , a ) f ' ( O , t ) , t h e u n i q u e n e s s p a r t o f t h e R i e m a n n

M a p p i n g T h e o r e m i m p l i e s t h a t I l ( s ) 1 1 ( t ) . P a r t ( b ) i s c l e a r f r o m T h e o r e m1 5 . 4 . 1 0 . N o t e t h a t t h e K o e b e 1 / 4 - T h e o r e m ( 1 4 . 7 . 8 ) i m p l i e s t h a t f ( D , t )0

W e n o w p r o v e w h a t i s e s s e n t i a l l y a c o n v e r s e o f t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n .

2 . 4 P r o p o s i t i o n . L e t { 1 1 ( t ) 0 t < o o } b e a f a m i l y o f s i m p l y c o n n e c t e dr e g i o n s s a t i s f y i n g ( 2 . 3 ) a n d f o r e a c h t > 0 l e t D 1 1 ( t ) b e t h e R i e r n a n n

m a p w i t h = 0 a n d = 1 3 ( t ) > 0 . I f h ( z , t ) = a n d = 1 3 ( 0 ) ,t h e n t h e f o l l o w i n g h o l d .

( a ) T h e f u n c t i o n i s c o n t i n u o t z s , s t r i c t l y i n c r e a s i n g , a n d 1 3 ( t ) o o a s t — ,0 0 .

( b ) I f A ( t ) = a n d f ( z , t ) = A - ' ( t ) ) , t h e n I d e f i n e s aL o e w n e r c h a i n w i t h f ( D , t ) =

P r o o f . L e th ( z , t ) = 1 3 ( t ) [ z + b 3 ( t ) z 2 + . . . J .

B y ( 2 . 3 . b ) , i f i s a s e q u e n c e i n ( 0 , o o ) s u c h t h a t t , t h e n — . ÷

c z ( t ) a n d s o — h : D x [ 0 , c o ) C

i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n t h a t s a t i s f i e s c o n d i t i o n s ( a ) a n d ( c ) o f D e f i n i t i o n

2 . 1 a s w e l l a s h ( O , t ) = 0 f o r a l l t . S o 4 f a i l s t o b e a L o e w n e r c h a i n o n l yb e c a u s e i t l a c k s t h e p r o p e r t y t h a t W ( O , t ) = e t . I n d e e d , t h e r e i s n o r e a s o nt o t h i n k t h a t = e t . H o w e v e r i t i s e a s y e n o u g h t o r e p a r a i n e t r i z e .

N o t e t h a t i f — * t , i n H ( D ) a n d s o / 3 ( t ) . H e n c e / 3 i s

c o n t i n u o u s .F i x s < t ; s o B y P r o p o s i t i o n 1 . 2 t h e r e i s a n a n a l y t i c f u n c -

t i o n : D D w i t h 0 ( 0 ) = 0 a n d s u c h t h a t h ( z , s ) = 4 ( 0 ( z ) , t ) f o r a l l z i nD . B y S c h w a r z ' s L e n u n a I 0 ( z ) I 0 a n d w e h a v e t h a t / 3 i s a s t r i c t l y i n c r e a s i n g f u n c t i o nf r o m [ 0 , o o ) i n t o ( 0 , c o ) . M o r e o v e r C l ( t ) C a s t c c s o t h a t i t m u s t b et h a t / 3 ( t ) - 9 c c a s t c c . T h i s p r o v e s ( a ) .

S o w e h a v e [ 0 , 0 0 ) — . 4 [ f l o , 0 0 ) i s s t r i c t l y i n c r e a s i n g , c o n t i n u o u s ,a n d s u r j e c t i v e . T h u s = i s a s t r i c t l y i n c r e a s i n g c o n t i n -u o u s f u n c t i o n f r o m [ 0 , c c ) o n t o i t s e l f . D e f i n e f ( z , t ) a s i n p a r t ( b ) . S o

f : D x ( 0 , c c ) — . C i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n t h a t i s e a s i l y s e e n t o s a t -

i s f y c o n d i t i o n s ( a ) a n d ( c ) i n ( 2 . 1 ) a n d f ( 0 , t ) = 0 . I f r = t h e nt s o t h a t e t = 1 3 ( r ) / $ o . S o f ' ( O , t ) = = e t . T h u s f i s aL o e w n e r c h a i n a n d i t i s c l e a r t h a t f ( D , t ) = 0

O f c o u r s e t h e c o n s t a n t m u s t a p p e a r i n ( b ) o f t h e p r e c e d i n g r e s u l t .T h e f u n c t i o n f o i n a L o e w n e r c h a i n b e l o n g s t o t h e c l a s s 5 , a n d f o r a na r b i t r a r y r e g i o n C l ( 0 ) t h e r e i s n o r e a s o n t o t h i n k t h a t t h e R i e m a n n m a p o fD o n t o Q ( 0 ) c o m e s f r o m t h e c l a s s S .

T h e f o l l o w i n g e x a m p l e w i l l p r o v e t o b e o f m o r e v a l u e t h a n m e r e l y t od e m o n s t r a t e t h e e x i s t e n c e o f a L o e w n e r c h a i n .

2 . 5 E x a m p l e . L e t [ 0 , c c ) C b e a J o r d a n a r c t h a t d o e s n o t p a s st h r o u g h 0 a n d i s s u c h t h a t 7 ( t ) c c a s t c c a n d 7 ( 0 ) = G O . F o r0 < 0 0 , l e t i t b e t h e r e s t r i c t i o n o f - y t o f r , c c ) a n d p u t = I ti s e a s y t o s e e t h a t ( 2 . 3 ) i s s a t i s f i e d . B y m e a n s o f P r o p o s i t i o n 2 . 4 w e h a v ea n e x a m p l e o f a L o e w n e r c h a i n .

F o r a L o e w n e r c h a i n l e t f t d e n o t e t h e u n i v a l e n t f u n c t i o n o n D d e f i n e db y f g ( z ) f ( z , t ) . T h i n k o f a L o e w n e r c h a i n a s a p a r a m e t r i z e d f a m i l y o fu n i v a l e n t f u n c t i o n s o n D , i n d e x e d b y t i m e , w h e r e f o i s t h e s t a r t i n gp o i n t , a n d a s t i m e a p p r o a c h e s c c t h e f u n c t i o n s e x p a n d t o f i l l o u t t h e p l a n e .

2 . 6 P r o p o s i t i o n . I f f E £ a n d 0 s t < c c , t h e n t h e r e i s a u n i q u ea n a l y t i c f u n c t i o n z 0 ( z , s , t ) d e f i n e d o n D h a v i n g t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s .

( a ) Ø ( z , 3 , t ) E D a n d f ( z , s ) = f ( 0 ( z , s , t ) , t ) f o r a l l z i n D .

( b ) z 0 ( z , s , t ) i s u n i v a l e n t , 0 ( 0 , s , t ) = 0 , I 0 ( z , s , t ) I < z i n

1 7 . 2 . L o e w n e r C h a i n s 1 3 9

D , a n d e 3 _ t .

( c ) m D .

( d ) I f s t u , t h e n z i n D .

P r o o f . B e c a u s e f 3 ( D ) f j ( D ) , t h e r e i s a u n i q u e a n a l y t i c f u n c t i o n s , t )d e f i n e d o n D w i t h v a l u e s i n D a n d s u c h t h a t s , t ) = 0 a n d f t ( Ø ( z , s , t ) ) =f 3 ( z ) ( P r o p o s i t i o n 1 . 2 ) . S i n c e b o t h f t ( z ) a n d f , ( z ) a r e u n i v a l e n t o n D , i s

a l s o . T h i s s h o w s ( a ) . T h e f a c t t h a t . c , t ) j f o r a l l z i n D f o l l o w s b yS c h w a r z ' s L e m m a . T a k i n g t h e d e r i v a t i v e o f b o t h s i d e s o f t h e e q u a t i o n i n( a ) a t z = 0 g i v e s t h a t e 3 = f ' ( O , s ) = e t $ J ( O . s . t ) .

T h i s p r o v e s p a r t ( b ) .P a r t ( c ) f o l l o w s b y t h e e q u a t i o n i n ( a ) a n d t h e f a c t t h a t t h e f u n c t i o ns . t ) i s u n i q u e . F i n a l l y , t o s h o w ( d ) o b s e r v e t h a t t h e p r o p e r t i e s o f t h e

f u n c t i o n s i m p l y t h a t f o r t s j = Ø ( z , s , 1 ) , t , i t ) , i t ) = f ( w , t ) = f ( z , s ) ,s o t h a t ( d ) f o l l o w s b y t h e u n i q u e n e s s o f 0

2 . 7 D e f i n i t i o n . T h e f u n c t i o n s , t ) d e f i n e d f o r z i n D a n d 0 s t <0 0 a n d s a t i s f y i n g

2 . 8 f ( z , s ) =

f f o r L o e w n e r

i s t h e

ff o r t < 0 0 ,

2 . 1 0

e ( 1 J f ( z , t ) I) z l

P r o o f . I n f a c t , t h e f u n c t i o n e _ t f ( z , t ) S , t h e c l a s s o f u n i v a l e n t f u n c t i o n sd e f i n e d i n § 1 4 . 7 . T h u s t h i s l e m m a i s a n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e o f t h e K o e b eD i s t o r t i o n T h e o r e m ( 1 4 . 7 . 9 ) . 0

T h e p r e c e d i n g l e m m a q u i c k l y i m p l i e s t h a t f o r a n y T > 0 , { f ( z . t ) : 0t T } i s a n o r m a l f a m i l y i n 1 1 ( D ) . H o w e v e r w e w i l l p r o v e m u c h m o r e t h a n

t h i s i n P r o p o s i t i o n 2 . 1 5 b e l o w .

2 . 1 2 L e m m a . 1 f f i s a L o e w n e r c h a i n w i t h t r a n s i t z o n f u n c t i o n t h e n t h ef u n c t i o n p i s d e f i n e d f o r z i n D a n d 0 s t < o c b y

1 — e a _ t [ i + s , t )1 + e s _ t [ z — c b ( z , s , t )

— 1 —

b e l o n g s t o t h e c l a s s P a n d p ( O , s , t ) = 1 .

P r o o f . L e t = s , t ) f o r s a n d t f i x e d . T h e f a c t t h a t p b e l o n g s t oP i s a c o n s e q u e n c e o f t h e f a c t t h a t I z I a n d h e n c e b e l o n g s t o 0 f o r

a l l z i n D . 02 . 1 3 L e m m a . 1 f f E 1 , z J < 1 , a n d O < s < t < u , o o , t h e n t h e f o l l o w i n gi n e q u a l i t y h o k i s :

I f ( z , s ) — f ( z , t ) I ( e t — e ' ) .

P r o o f . F o r t h e m o m e n t , f i x s a n d t , s t , a n d p u t =A c c o r d i n g t o ( 2 . 1 0 ) , i i 1 ( 1

I z I < 1 , t h e n I f ' ( C , t ) I — 1 C D 32 e t ( 1 — I z I Y 3 . S i n c e I z i t h i s i m p l i e s

l f ( z , t ) — f 4 ' ( z )

( 1— z i .

N o w t o e s t i m a t e — A p p l y i n g P r o p o s i t i o n 1 . 5 t o t h e f u n c t i o n pd e f i n e d i n L e m m a 2 . 1 2 , w e g e t

f l + e 3 _ t l z — 4 ( z )= j p ( z , s , t ) I

<— 1 — I z i

H e n c e

1 ' 1 1 + I z I l[ 1 + e 3 _ t J [ 1

2 . 1 4 ( 1 — e t ) .T h e r e f o r e

I f ( z , t ) — f ( z , s ) I( 1

( 1 — e J _ t )

< ( e t — e 3 )—

1 7 . 2 . L o e w n e r C h a i n s 1 4 1

p r o v i n g t h e l e m m a . 0

2 . 1 5 P r o p o s i t i o n . T h e s e t £ o f a l l L o e w n e r c h a i n s i s a c o m p a c t s u b s e t o f

t h e m e t r i c s p a c e C ( D x [ 0 , o o ) , C ) .P r o o f . T h e i n e q u a l i t y ( 2 . 1 1 ) i m p l i e s t h a t f o r e v e r y ( z , t ) i n D x 1 0 , o o ) ,

t ) I f E C ) < o o . A l s o L e m m a 2 . 1 3 s h o w s t h a t C i s e q u i c o n t i n -u o u s a t e a c h p o i n t o f D x [ 0 , 0 0 ) . T h u s t h e A r z e l a - A s c o l i T h e o r e m i m p l i e st h a t £ i s n o r m a l i n C ( D x ( 0 , o o ) ) . I t r e m a i n s t o s h o w t h a t £ i s c l o s e d .

I f i s a s e q u e n c e i n £ a n d f , , f i n C ( D x [ 0 , o o ) ) , t h e n f o r e a c h t ,f ( z , t ) i n H ( D ) . H e n c e f o r e a c h t , z f ( z , t ) i s a n a l y t i c . C l e a r l y

f ( 0 , t ) =0 a n d f ' ( O , t ) e t . S i n c e e a c h t ) i s u n i v a l e n t , H u r w i t z ' s

T h e o r e m i m p l i e s t h a t z f ( z , t ) i s a l s o u n i v a l e n t . F i n a l l y , i f 0 s < t <0 0 , s ) ç f ( D , f E £ a n d£ i s c l o s e d . 0

N o t e t h a t i f f i s a L o e w n e r c h a i n , t h e n z — , f ( z , 0 ) i s a f u n c t i o n i n t h ec l a s s $ d e f i n e d i n § 1 4 . 7 . A f u r t h e r a m p l i f i c a t i o n o f t h e f a c t t h a t L o e w n e rc h a i n s e x i s t i s t h e n e x t t h e o r e m , w h i c h a s s e r t s t h a t a n y f u n c t i o n i n t h e

c l a s s $ c a n o c c u r a s t h e s t a r t i n g p o i n t o f a L o e w n e r c h a i n .2 . 1 6 T h e o r e m . F o r e v e r y f u n c t i o n i n S t h e r e i s a L o e w n e r c h a i n f

s u c h t h a t f ( z , 0 ) = f o ( z ) o n D .

P r o o f . F i r s t a s s u m e t h a t f i s a n a l y t i c i n a n e i g h b o r h o o d o f c i D . T h u s= f ( O D ) i s a c l o s e d J o r d a n c u r v e . L e t g : c i D c l [ o u t 7 j b e

t h e c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e w i t h g ( 0 0 ) = c c a n d g ' ( o o ) > 0 . F o r 0 t < 0 0 ,

p u t = t h e i n s i d e o f t h e J o r d a n c u r v e g ( { z :l z J = e t } ) . N o t e t h a t

= f 0 ( D ) a n d { c l ( t ) } s a t i s f i e s t h e c o n d i t i o n ( 2 . 3 ) .L e t t i n g h b e a s i n P r o p o s i t i o n 2 . 4 , t h e u n i q u e n e s s o f t h e F t i e m a n u m a p

i m p l i e s t h a t h ( z , 0 ) = f o ( z ) a n d s o = I ( i n t h e n o t a t i o n o f ( 2 . 4 ) ) . A na p p l i c a t i o n o f P r o p o s i t i o n 2 . 4 n o w p r o v e s t h e t h e o r e m f o r t h i s c a s e .

F o r t h e g e n e r a l c a s e , l e t f b e a n a r b i t r a r y f u n c t i o n i n S , f o r e a c h p o s i t i v ei n t e g e r n p u t 1 — a n d l e t = S o e a c h E Sa n d i s a n a l y t i c i n a n e i g h b o r h o o d o f c i D . B y t h e f i r s t p a r t o f t h e p r o o f

t h e r e i s a L o e w n e r c h a i n w i t h

=B y P r o p o s i t i o n 2 . 1 5

s o m e s u b s e q u e n c e o f c o n v e r g e s t o a L o e w n e r c h a i n F . I t i s r o u t i n e t oc h e c k t h a t F ( z , 0 ) f ( z ) i n D . 0

N o t e t h a t i f f o m a p s D o n t o t h e c o m p l e m e n t o f a J o r d a n a r c r e a c h i n go u t t o i n f i n i t y , t h e n t h e p r e c e d i n g t h e o r e m i s j u s t E x a m p l e 2 . 5 . I t i s t h i sp a r t i c u l a r f o r m o f t h e t h e o r e m t h a t w i l l b e u s e d i n t h e p r o o f o f d e B r a n g e s ' s

T h e o r e m .

T h e s t u d y o f L o e w n e r c h a i n s c o n t i n u e s i n t h e n e x t s e c t i o n , w h e r e w e

e x a m i n e L o e w n e r ' s d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n .




E x e r c i s e s

1 .

f ( z , t ) i s c o n t i n u o u s a n d f o r e a c h t i n [ 0 , o o ) , z — + f ( z , t ) i s a n a l y t i c .A s s u m e t h a t p r o p e r t i e s ( a ) , ( b ) , a n d ( c ) o f D e f i n i t i o n 2 . 1 a r e s a t i s f i e d .

S h o w t h a t L e m m a 2 . 9 i s s a t i s f i e d f o r t h i s f u n c t i o n a n d c o n s e q u e n t l yt h a t f i s a L o e w n e r c h a i n .

2 . L e t b e a s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n c o n t a i n i n g 0 s u c h t h a t \c o n s i s t s o f t w o J o r d a n a r c s t h a t m e e t o n l y a t o o . L e t h o b e t h e

R i e m a n n m a p o f D o n t o w i t h h 0 ( 0 ) = 0 a n d = h o ( 0 ) > 0 . S h o wt h a t t h e r e a r e t w o L o e w n e r c h a i n s f a n d g w i t h f ( z , 0 ) g ( z , 0 )

( s e e P r o p o s i t i o n 2 . 4 ) .

3 . L e t I E £ a n d l e t b e t h e t r a n s i t i o n f u n c t i o n f o r f . F i x u 0 a n d

g ( z , t ) = e " z f o r t u . S h o w t h a t g E L .

4 . I f g i s t h e K o e b e f u n c t i o n a n d i s t h e L o e w n e r c h a i n d e f i n e d b yf ( z , t ) = e t g ( z ) = e t z ( 1 — z ) 2 , f i n d t h e t r a n s i t i o n f u n c t i o n f o r f .

5 . I n L e m m a 2 . 9 , w h a t c a n b e s a i d a b o u t t h e L o e w n e r c h a i n f i f o n e o ft h e i n e q u a l i t i e s i s a n e q u a l i t y ?

6 . I f f i s a L o e w n e r c h a i n w i t h t r a n s i t i o n f u n c t i o n p r o v e t h a t , a n a l -o g o u s t o ( 2 . 1 3 ) ,

t , u ) - s , u ) J

( 1 H z

( 1 - e s t )

§ 3 L o e w n e r ' s D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n

I n t h i s s e c t i o n L o e w n e r ' s d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n a n d t h e c o n c o m m i t a n t c h a r -

a c t e r i z a t i o n o f L o e w n e r c h a i n s i s s t u d i e d . T h e r e i s a v e r s i o n o f L o e w n e r ' sd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n v a l i d f o r a l l L o e w n e r c h a i n s , b u t w e w i l l o n l y s e e h e r et h e v e r s i o n f o r a c h a i n a s i n E x a m p l e 2 . 5 . T h i s i s a ' i t h a t i s n e e d e d f o r t h ep r o o f o f d e B r a n g e s ' s T h e o r e m .

T o s e t n o t a t i o n , l e t ( 0 , o o ) — ' C b e a J o r d a n a r c w i t h - y ( 0 ) = 0 0 s u c h

l e t b e t h e r e s t r i c t i o n o f t o o o ) a n d p u t t l ( t ) = C \ ' V t . A s s u m e t h e r ei s a L o e w n e r c h a i n f s u c h t h a t f t ( D ) = f o r a l l t 0 . ( T h e r e a s o n f o rt h e w o r d " a s s u m e " h e r e i s t h a t o t h e r w i s e w e w o u l d h a v e t o m u l t i p l y t h er e g i o n s Q ( t ) b y a c o n s t a n t . S e e P r o p o s i t i o n 2 . 4 . b . ) L e t b e t h e t r a n s i t i o n

1 7 . 3 . L o e w n e r ' s D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n 1 4 3

f u n c t i o n f o r t h e c h a i n f a n d l e t Y t = : D w i t h g ( ç , t ) =F o r s t l e t = Ø ( z , a , t ) . R e c a l l t h a t = f t - ' 0 1 3 .

N o w P r o p o s i t i o n 1 5 . 3 . 7 i m p l i e s t h a t f , a n d f t h a v e c o n t i n u o u s e x t e n s i o n s

t o c i D . M o r e o v e r P r o p o s i t i o n 1 5 . 3 . 8 9 t h a s a c o n t i n u o u s e x t e n s i o n t o f l ( t ) U{ ' y ( t ) } . L e t A ( t ) b e t h e u n i q u e p o i n t o n t h e u n i t c i r c l e s u c h t h a t f t ( A ( t ) ) =- y ( t ) . L e t b e t h e c l o s e d a r c o n 0 1 ) d e f i n e d b y = { z E Ô D : f 3 ( z ) E

7 ( [ s , t ) ) } a n d l e t = g t ( 7 ( t s , t j ) ) . S o i s a J o r d a n a r c t h a t l i e s i n De x c e p t f o r i t s e n d p o i n t ( T h e r e a d e r m u s t d r a w a p i c t u r e h e r e . ) T h u s

m a p s 1 ) c o n f o r m a l l y o n t o D \ A ] s o h a s a c o n t i n u o u s e x t e n s i o nt o c i D t h a t m a p s C a t o f l t O a n d t h e c o m p l e m e n t o f i n t h e c i r c l e

o n t o 8 D \ { A ( t ) } .

O b s e r v e t h a t i s a n i n t e r i o r p o i n t o f t h e a r c C a t a n d d e c r e a s e st o A ( s ) a s t j a . S i m i l a r l y , i f t i s f i x e d a n d s I t , t h e n d e c r e a s e s t o A ( t ) .

3 . 1 P r o p o s i t i o n . W i t h t h e p r e c e 4 i n g n o t a t i o n , t h e f u n c t i o n A : [ 0 , o o )0 1 ) i s c o n t i n u o u s .

P r o o f . A n a p p l i c a t i o n o f t h e S c h w a r z R e f l e c t i o n P r i n c i p l e g i v e s a n a n a l y t i cc o n t i n u a t i o n o f ( b a t t o C \ C a t . T h i s c o n t i n u a t i o n , s t i l l d e n o t e d b y ( b a t , i s

a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e o f C \ o n t o C \ U w h e r e i s t h er e f l e c t i o n o f J a t a c r o s s t h e u n i t c i r c l e .

C l a i m . f o r a l l z i n C \

T h i s i s s h o w n a p p l y i n g t h e M a x i m u m M o d u l u s T h e o r e m . I n f a c t

( b ( z , s , t ) z 1u r n = l u n = — = e -

z z — . o ( b ( z , s , t ) ( b ' ( O )

A l s o t h e K o e b e 1 / 4 - T h e o r e m ( 1 4 . 7 . 8 ) i m p l i e s t h a t s i n c e j 3 t i s c o n t a i n e d i nt h e c o m p l e m e n t o f ( b a t ( D ) , . J a * C \ { ( < e 5 t / 4 } . T h u s . J , C { (K I T h i s p r o v e s t h e c l a i m .

T h e c l a i m s h o w s t h a t f o r a n y T s , : a t T } i s a n o r m a lf a m i l y . I f t , , j s a n d { ( b S t k } c o n v e r g e s t o a n a n a l y t i c f u n c t i o n t h e ni s a n a l y t i c o n C \ { A ( s ) } a n d b o u n d e d t h e r e . H e n c e A ( s ) i s a r e m o v a b l es i n g u l a r i t y a n d i s c o n s t a n t . B u t = a , t ) = 1 . S i n c e e v e r yc o n v e r g e n t s e q u e n c e f r o m t h i s n o r m a L f a m i l y m u s t c o n v e r g e t o t h e c o n s t a n tf u n c t i o n 1 , w e h a v e t h a t Z ' ( b a t ( Z ) 1 ( t i c ) o n C \ { A ( s ) } a s t j . a . T h u s

( b s t ( Z ) z ( t i c ) o n C \ { A ( s ) } a s t j a .F i x a 0 . W e n o w s h o w t h a t A i s r i g h t c o n t i n u o u s a t s . T h e p r o o f

t h a t A i s l e f t c o n t i n u o u s i s s i m i l a r a n d l e f t t o t h e r e a d e r . I f e > 0 , c h o o s e6 > 0 s u c h t h a t f o r s < t < 3 - 4 - 5 , C b e t h e c i r c l e

O B ( A ( s ) ; ) a n d p u t x = a J o r d a n c u r v e . N o t e t h a t t h e i n s i d e o f xc o n t a i n s

t h e a r c s J a t a n d s o i n p a r t i c u l a r A ( t ) E i n s x • N o w 6 c a n b ec h o s e n s u f f i c i e n t l y s m a l l t h a t f o r a < t < s + 6 , — zi n C . F r o m h e r e i t f o l l o w s t h a t d i a m x < 3 € . S o i f w e t a k e a n y p o i n t z o n

C , — I A ( s ) — z I + + — A ( t ) I < e + + 3 e = 5 e .

T h i s p r o v e s r i g h t c o n t i n u i t y . 0

F o r a L o e w n e r c h a i n f , r e c a l l t h a t J ( z , t ) = O f / 4 9 t a n d f ' ( z , t ) =s i m i l a r l y d e f i n e a n d g ' ( ( , t ) .

3 . 2 P r o p o s i t i o n . F i x t h e n o t a t i o n a s a b o v e . T h e f u n e t i o n g h a s c o n t i n u o u sp a r t i a l d e r i v a t i v e s a n d i f x ( t ) = A ( t ) , t h e n f o r t 0 a n d ( i n f l ( t )

1 + x ( t ) g ( ( , t )3 . 3 g ( ( , t ) — g ( ( , t )

— x ( t ) g ( ( , t )

P r o o f . I t i s l e f t f o r t h e r e a d e r t o v e r i f y t h a t g i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n .T o p r o v e t h a t g ' e x i s t s a n d i s c o n t i n u o u s i s t h e e a s y p a r t . I n f a c t b e c a u s eI i s a L o e w n e r c h a i n , g ' ( ( , t ) e x i s t s a n d e q u a l s J f ' ( g ( ( , t ) , t ) ] ' . S i n c e t h e

c o n v e r g e n c e o f a s e q u e n c e o f a n a l y t i c f u n c t i o n s i m p l i e s t h e c o n v e r g e n c e o fi t s d e r i v a t i v e s , f ' D x [ 0 , o o ) — . C i s c o n t i n u o u s . H e n c e g ' i s c o n t i n u o u s .

N o t e t h a t i f w e c a n s h o w t h a t g e x i s t s a n d ( 3 . 3 ) h o l d s , t h e n t h e c o n t i n u i t yo f g f o l l o w s f r o m t h e c o n t i n u i t y o f g . T o p r o v e e x i s t e n c e , w e w i l l s h o w t h a t

t h e r i g h t p a r t i a l d e r i v a t i v e o f g e x i s t s a n d s a t i s f i e s ( 3 . 3 ) . T h e p r o o f t h a tt h e l e f t d e r i v a t i v e e x i s t s a n d a l s o s a t i s f i e s ( 3 . 3 ) i s s i m i l a r a n d l e f t t o t h er e a d e r . R e t u r n t o t h e t r a n s i t i o n f u n c t i o n R e m e m b e r t h a t f o r s t ,

h a s a c o n t i n u o u s e x t e n s i o n t o c i D a n d = N o w d o e sn o t v a n i s h o n 1 ) a n d s o i t i s p o s s i b l e t o d e f i n e t h e a n a l y t i c f u n c t i o n

• ( z ) = l o g[ ø s t ( z ) ]

w h e r e t h e b r a n c h o f t h e l o g a r i t h m i s c h o s e n s o t h a t 4 ( 0 ) s — t .T h u s $ i s c o n t i n u o u s o n c l D a n d a n a l y t i c o n D . I f z 0 D \ t h e n

E O D \ { A ( t ) } a n d s o R e $ ( z ) = = 0 . T h u s t h eP o i s s o n f o r m u l a g i v e s t h a t

R e $ ( z ) =

f[ R e d O

w h e r e a n d $ a r e c h o s e n s o t h a t a n d a r e t h e e n d p o i n t s o f B yt h e c h o i c e o f t h e b r a n c h o f t h e l o g a r i t h m ,

1p 1 3 i 8

3 . 4 $ ( z ) = — I I R e$ ( e b o ) J e . + 2

d O

W e a l s o h a v e t h a t



1 7 . 3 . 1 . o e w n e r ' s D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n 1 4 5

N o w f t ° = a n d s o 9 t = o g , . T h u s l e t t i n g z = i n ( 3 . 4 )

i m p l i e s t h a t

= R e 4 ( e z O )

N o w a p p l y t h e M e a n V a l u e T h e o r e m f o r i n t e g r a l s t o t h e r e a l a n d i m a ç n a r yp a r t s o f t h i s i n t e g r a n d t o o b t a i n n u m b e r s i t a n d v w i t h i t , v / 3 a n ds u c h t h a t

—

+ .+ g , ( ( )

t e e '

( s — t ) + i

N o w d i v i d e b o t h s i d e s o f t h i s e q u a t i o n b y t — s a n d l e t t s . W h e n t h i s i sd o n e , a n d b o t h c o n v e r g e t o A ( s ) . T h u s

1

—

B u t t h e l e f t h a n d s i d e i s p r e c i s e l y t h e r i g h t d e r i v a t i v e o fw i t h r e s p e c t t o t , e v a l u a t e d a s t s . B y t a k i n g e x p o n e n t i a l s a n d m u l t i -p l y i n g b y g . i t f o l l o w s t h a t t — i ( ( ) h a s a r i g h t d e r i v a t i v e a t t 8 .

E l e m e n t a r y c a l c u l u s m a n i p u l a t i o n s t h e n g i v e t h a t

— f l + z ( s ) g ( ( , s ) 1I ,

1 1 —

w h e r e t h i s i s a c t u a l l y t h e r i g h t d e r i v a t i v e . A s w a s s a i d , t h e s i m i l a r p r o o f

f o r t h e l e f t d e r i v a t i v e i s i n t h e r e a d e r ' s h a n d s . 0

3 . 5 T h e o r e m . 1 f f i s a L o e w n e r c h a t n s u c h t h a t f o i s a m a p p i n g o n t o as l i t r e g i o n , t h e n t h e r e i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n x : ( 0 , o c ) — s O D s u c h t h a tf ( z , t ) e x i s t s a n d s a t i s f i e s

3 . 6 J ( z , t )±

z f ' ( z , t ) .

P r o o f . T h e e x i s t e n c e a n d c o n t i n u i t y o f 1 ' w a s a l r e a d y s h o w n a t t h e b e -g i n n i n g o f t h e p r o o f o f P r o p o s i t i o n 3 . 2 . S i n c e a n d 9 t a r e i n v e r s e s o f e a c h




o t h e r , t h e d i f f e r e n t i a b i l i t y o f f w i t h r e s p e c t t o t w i l l f o l l o w f r o m t h e I n v e r s eF u n c t i o n T h e o r e m o f A d v a n c e d C a l c u l u s , b u t t h i s m u s t b e s e t u p p r o p e r l y .

D e f i n e F D x [ 0 , c c ) — ' C x R b y F ( z , t ) = ( f ( z , t ) , t ) . I t i s n o t h a r d t o

s e e t h a t F ( D ( 0 , c c ) ) i s t h e o p e n s e t A = u 1 > o ( C \ y t ) x ( t , c c ) a n d t h a t Fi s a o n e - t o - o n e m a p p i n g w i t h i n v e r s e g i v e n b y F ' ( C , t ) = ( g ( ( , t ) , t ) . T h u sF 1 i s a c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n a n d i t s J a c o b i a n i s

d e tg ' ( ( , t ) 0

= g ' ( ( , t ) ,4 ( ( , t ) 1

w h i c h n e v e r v a n i s h e s . T h u s F i s c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e , f r o m w h i c h i tf o l l o w s t h a t f ( z , t ) e x i s t s a n d i s c o n t i n u o u s .

N o w l e t x b e a s i n P r o p o s i t i o n 3 . 2 . N o t e t h a t ( = s o d i f f e r e n -t i a t i n g w i t h r e s p e c t t o t g i v e s t h a t 0 t ) + t ) .

P u t t i n g z = g j ( C ) , t h i s s h o w s t h a t 0 = f ' ( z , t ) t ) f o r a l l z i n D .T h e r e f o r e a p p l y i n g ( 3 . 3 ) ,

J ( z , t ) = — f ' ( z ,

t )—

x ( t ) g ( ( , t )

= f ' ( z , t ) z [ 1 + x ( t ) z1 — x ( t ) x

T h i s f i n i s h e s t h e p r o o f . 0

E q u a t i o n ( 3 . 6 ) i s L o e w n e r ' s d s f f e r e n t i a l e q u a t i o n . T h e r e i s a d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a t i s f i e d b y a l l L o e w n e r c h a i n s , n o t j u s t t h o s e t h a t b e g i n w i t h am a p p i n g o n t o a s l i t r e g i o n . F o r a n e x p o s i t i o n o f t h i s s e e D u r e n [ 1 9 8 3 ) a n dP o m m e r e n k e [ 1 9 7 5 ) , t w o s o u r c e s u s e d i n t h e p r e p a r a t i o n o f t h i s s e c t i o n a n d

t h e p r e c e d i n g o n e .T h i s s e c t i o n c o n c l u d e s w i t h a r e s u l t v a l i d f o r a l l L o e w n e r c h a i n s , n o t

j u s t t h o s e t h a t b e g i n w i t h a m a p p i n g o n t o a s l i t r e g i o n . I n m a n y w a y s t h i si l l u s t r a t e s t h e i m p o r t a n c e o f L o e w n e r c h a i n s i n t h e s t u d y o f t h e u n i v a l e n t

f u n c t i o n s i n t h e c l a s s S .3 . 7 P r o p o s i t i o n . L e t f b e a L o e w n e r c h a i n t h e i n v e r s e O f f t . T h e n

f o ( z ) = l i m e t g ( f o ( z ) , t )t - . o o

u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o f D .

P r o o f . A c c o r d i n g t o ( 2 . 1 1 ) ,

e ( 1 ) Z I I I ) 2

1 7 . 3 . L o e w n e r ' s D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n 1 4 7

S u b s t i t u t i n g z = g ( ( , t ) t h i s b e c o m e s

I g ( ( , t ) J<

t ) I

( 1 + $ g ( ( , t ) l ) 2

— Z — e

( 1—

t ) I ) 2A l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n g i v e s t h a t

3 . 8 [ 1 — j g ( ( , t ) I ] 2 +

I f o r a l l ( a n d t , T h i s i m p l i e s t h a t O } i s a n o n n a l f a m i l y . B u t ( 3 . 8 ) i m p l i e s t h a t i f t k 0 0 a n d

— ' h , t h e n h i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n w i t h ! h I 1 . H e n c e h i sc o n s t a n t . B u t f o r a n y t 1 = = 1 . T h u s h ( O ) = 1 a n d s oh 1 . T h a t i s , a n y l i m i t p o i n t o f t h i s n o r m a l f a m i l y a s t — ' o o m u s t b et h e c o n s t a n t f u n c t i o n 1 . T h e r e f o r e a s t — ' 0 0 , — ' I u n i f o r m l y o nc o m p a c t s u b s e t s o f C . T h u s e t g ( ( , t ) ( u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s

o f C , s o t h a t e t g ( f o ( z ) , t ) — . f o ( z ) u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o f D a s0

3 . 9 C o r o l l a r y . 1 f f S a n d g i s t h e i n v e r s e o f t h e L o e w n e r c h a i n s t a r t i n ga t f , t h e n t e t g ( f ( z ) , t ) f o r 0 t 0 0 i s a p a t h o f f u n c t i o n s i n Ss t a r t i n g a t z a n d e n d i n g a t f .

3 . 1 0 C o r o l l a r y . T h e f a m i l y S o f u n i v a l e n t f u n c t i o n s w i t h t h e r e l a t i v e t o p o l -o g y o f H ( D ) i s a r c w i s e c o n n e c t e d .

E x e r c i s e s

1 . L e t f w i t h g t t h e i n v e r s e o f a n d p u t h ( z , t ) = g ( f o ( z ) , t ) . S h o wt h a t h s a t i s f i e s t h e e q u a t i o n

& ( z , t ) = h ' ( z , t )

w h e r e x i s a s i n P r o p o s i t i o n 3 . 2 .

2 . I f f E £ a n d i s i t s t r a n s i t i o n f u n c t i o n , s h o w t h a t f o r a l l s 0 , f ( z , s ) = s , t ) u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o f I ! ) .C o m p a r e w i t h P r o p o s i t i o n 3 . 7 .

3 . I f g i s t h e K o e b e f u n c t i o n a n d t h e L o e w n e r c h a i n / i s d e f i n e d b yf ( z , t ) = e t g ( z ) = e t z ( l — z ) 2 , f i n d t h e f u n c t i o n x t h a t a p p e a r s i n

L o e w n e r ' s d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n f o r f .




§ 4 T h e M u m C o n j e c t u r e

W h a t w i l l b e p r o v e d i n t h e n e x t s e c t i o n i s n o t t h e B i e b e r b a c h c o n j e c t u r e

b u t t h e M i l i n c o n j e c t u r e , w h i c h i s s t r o n g e r t h a n B i e b e r b a c h ' s c o n j e c t u r e . I nt h i s s e c t i o n t h e M i l i n c o n j e c t u r e w i l l b e s t a t e d a n d i t w i l l b e s h o w n t h a t i ti m p l i e s t h e B i e b e r b a c h c o n j e c t u r e . B u t f i r s t t h e R o b e r t s o n c o n j e c t u r e w i l lb e s t a t e d a n d i t w i l l b e s h o w n t h a t i t i m p l i e s t h e B i e b e r b a c h c o n j e c t u r ea n d i s i m p l i e d b y t h e M i l i n c o n j e c t u r e .

F o r r e a s o n s o f s p e c i f i c i t y a n d c o m p l e t e n e s s , l e t ' s r e s t a t e t h e B i e b e r b a c hc o n j e c t u r e . F i r s t , a s s t a n d a r d n o t a t i o n , i f / i s a f u n c t i o n i n 8 , l e t

4 . 1 f ( z ) = z + a 2 z 2 + a 3 z 3 + . . . .4 . 2 B i e r b e r b a c h ' s C o n j e c t u r e . I / f b e l o n g s t o t h e c l a s s S a n d h a s t h ep o w e r s e r i e s e p r e s e n t a l i o n ( . 4 . 1 ) , t h e n n . I f t h e r e i s s o m e i n t e g e r n

t h e n f i s a r o t a t i o n o f t h e K o e b e f u n c t i o n .

1 f f i s a r o t a t i o n o f t h e K o e b e f u n c t i o n , t h e n ( 1 4 . 1 . 4 ) s h o w s t h a t = nf o r a l l t h e c o e f f i c i e n t s .

R e c a l l ( P r o p o s i t i o n 1 4 . 7 . 4 ) t h a t a f u n c t i o n g i n t h e c l a s s S i s o d d i f a n do n l y i f t h e r e i s a f u n c t i o n I i n S a u t h t h a t g ( z ) 2 1 ( z 2 ) f o r a l l z i n D . L e tS _ b e t h e c o l l e c t i o n o f o d d f u n c t i o n s i n S a n d i f g S _ , l e t

4 . 3 g ( z ) = z + c s z 3 + c 5 z 5 + . . .

b e i t s p o w e r s e r i e s . T h e R o b e r t s o n c o n j e c t u r e c a n n o w b e s t a t e d .

4 . 4 R o b e r t s o n ' s C o n j e c t u r e . I f g E S _ h a s t h e p o w e r s e r i e s r e p r e s e n -t a t i o n ( 4 . 8 ) , t h e n f o r e a c h n I

1 + 1 C 3 1 2 + + 1 C 2 n _ 1 1 2 f l .

I f t h e r e i s a n i n t e g e r n s u c h t h a t e q u a l i t y o c c u r s , t h e n g ( z ) 2 1 ( z 2 ) , w h e r ef i s a r o t a t i o n o f t h e K o e b e f u n c t i o n .

4 . 5 T h e o r e m . R o b e r t s o n ' s c o n j e c t u r e i m p l i e s B i e b e r b a c h ' s c o n j e c t u r e .P r o o f . L e t g E S _ s a t i s f y ( 4 . 3 ) a n d l e t / b e t h e c o r r e s p o n d i n g f u n c t i o ni n $ w i t h g ( z ) 2 = f ( z 2 ) i n D . S u p p o s e f s a t i s f i e s ( 4 . 1 ) . T h u s

= ( z + c 3 z 3 + . . . ) 2 .

E x p a n d i n g a n d i d e n t i f y i n g c o e f f i c i e n t s o f t h e c o r r e s p o n d i n g p o w e r s o f z w eg e t t h a t f o r a l l n 1

a , ,



1 7 . 4 . T h e M u m C o n j e c t u r e 1 4 9

A n a p p l i c a t i o n o f t h e C a u c b y - S c h w a r z I n e q u a l i t y s h o w s t h a t

w h e n c e t h e f i r s t p a r t o f t h e o r e m .

I f e q u a l i t y o c c u r s i n B i e b e r b a c h ' s c o n j e c t u r e , t h e n t h e p r e c e d i n g m e q u a l .i t y s h o w s t h a t e q u a l i t y o c c u r s i n R o b e r t s o n ' s c o n j e c t u r e . T h i s c o m p l e t e s

t h e p r o o f . 0

T o s t a t e t h e M u m c o n j e c t u r e i s n o t d i f f i c u l t ; i t o n l y r e q u i r e s s o m e n o -t a t i o n . T o s e e t h a t t h i s i m p l i e s t h e R o b e r t s o n c o n j e c t u r e i s m o r e i n v o l v e da n d w i l l o c c u p y u s f o r m o s t o f t h e r e m a i n d e r o f t h e s e c t i o n .

L e t f S a n d l e t g b e t h e c o r r e s p o n d i n g f u n c t i o n i n S _ w i t h g ( z ) 2 =f ( z 2 ) o n I f ) . A s s u m e ( 4 . 1 ) a n d ( 4 . 3 ) h o l d . I t i s e a s y t o s e e t h a t z ' f i s a n

a n a l y t i c f u n c t i o n o n D a n d h a s n o z e r o s t h e r e . T h u s t h e r e i s a n a n a l y t i cb r a n c h o f ( 1 / 2 ) l o g [ z ' f ( z ) I d e f i n e d o n D ; d e n o t e t h i s f u n c t i o n b y h a n d

l e t

4 . 6

b e i t s p o w e r s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n o n D . N o t e t h a t w e h a v e c h o s e n t h eb r a n c h o f ( 1 / 2 ) l o g j z ' f ( z ) ) t h a t s a t i s f i e s h ( O ) = 0 a n d w i t h t h i s s t i p u l a -t i o n , h i s u n i q u e .

4 . 7 M i l i n ' s C o n j e c t u r e . 1 f f S , h i s t h e b r a n c h o f ( 1 / 2 ) l o g [ z 1 f ( z ) jw i t h h ( O ) = 0 , a n d h s a t i . s f i e . s ( 4 . 6 ) , t h e n

v n = 1 k = 1

I f e q u a l i t y h o l d s f o r s o m e i n t e g e r n , t h e n f i s a r o t a t i o n o f t h e K o e b ef u n c t i o n .

T o s h o w t h a t M u m ' s c o n j e c t u r e i m p l i e s t h e R o b e r t s o n c o n j e c t u r e ( a n dh e n c e t h e B i e b e r b a c h c o n j e c t u r e ) , i t i s n e c e s s a r y t o p r o v e t h e S e c o n dL e b e d e v - M i l i n I n e q u a l i t y . T h i s i s t h e s e c o n d i n a c a l l e c t i o n o f t h r e e i n -e q u a l i t i e s t h a t r e l a t e t h e p o w e r s e r i e s c o e f f i c i e n t s o f a n a n a l y t i c f u n c t i o nw i t h t h o s e o f i t s e x p o n e n t i a l . A l l t h r e e i n e q u a l i t i e s w i l l b e s t a t e d a n d t h e n i tw i l l b e s h o w n t h a t M i l i n ' s c o n j e c t u r e i m p l i e s R o b e r t s o n ' s c o n j e c t u r e . T h e nt h e s e c o n d i n e q u a l i t y w i l l b e p r o v e d . A f t e r t h i s t h e r e m a i n i n g i n e q u a l i t i e s

w i l l b e d e r i v e d f o r t h e i n t e r e s t e d r e a d e r .L e t 4 , b e a n a n a l y t i c f u n c t i o n i n a n e i g h b o r h o o d o f 0 w i t h 4 , ( 0 ) = 0 a n d

l e t

4 . 8 0 ( z ) = c t k z k

b e i t s p o w e r s e r i e s . L e t

4 . 9 i I i ( z ) = =

4 . 1 0 F l r ø t L e b e d e v - M l l i n I n e q u a l i t y . I f a n d a r e a s a b o v e , t h e n

I f t h e r i g h t h a n d s i d e i s f i n i t e , t h e n e q u a l i t y o c c u r s i f a n d o n l y i f t h e r e i s

a c o m p l e x n u m b e r ' r w i t h ' r i < 1 a n d ( 1 k = ' r k / k f o r a l l k 1 .

4 . 1 1 S e c o n d L e b e d e v - M I l i n I n e q u a l i t y . I f s b a n d a r e a s a b o v e , t h e nf o r a l l n 1

S ( n + 1 ) e x P { ' i —

k = O m = l k = 1

E q u a l i t y h o l d s f o r a g i v e n i n t e g e r n i f a n d o n l y i f t h e r e i s a c o m p l e x

4 . 1 2 T h i r d L e b e d e v - M i l i n I n e q u a l i t y . I f a n d a r e a s a b o v e a n dn 1 ,

e x p —

E q u a l i t y h o l d s f o r s o m e i n t e g e r n i f a n d o n l y i f t h e r e i s a c o m p l e x n u m b e r' y w i t h i i ' l = l a n d _ ' r k / k f o r 1 5 k < n .

4 . 1 3 T h e o r e m . M u m ' s c o n j e c t u r e i m p l i e s R o b e r t s o n ' s c o n j e c t u r e .

P r v o f . L e t g E S _ a n d l e t f E S s u c h t h a t g ( z ) 2 = f ( z 2 ) o n D ; a s -s u m e t h a t ( 4 . 1 ) a n d ( 4 . 3 ) h o l d . L e t h ( z ) = ( 1 / 2 ) l o g [ z 1 f ( z ) ] s a t i s f y ( 4 . 6 ) .

N o t e t h a t i f z E D \ ( — 1 , 0 1 , = f ( z ) / z . O n t h e o t h e r h a n d ,= I + c 3 z 1 - c 5 z 2 # • • • , s o t h a t i s a n a l y t i c o n D . T h u sh i s a . b r a n c h o f a n d s o t a k i n g c 1 = I w e g e t

= e x p

A c c o r d i n g t o t h e S e c o n d L e b e d e v - M i l i n I n e q u a l i t y , f o r e a c h n 1

E k 2 k + 1 1 2 S ( n + 1 ) e x P { ' 1 ' ) }k = ' O m = l k = 1

1 7 . 4 . T h e M u D C o n j e c t u r e 1 5 1

T h u s i f M u m ' s c o n j e c t u r e i s t r u e , t h i s i m p l i e s t h a t f o r e v e r y n 1

( n + 1 ) ,

w h i c h w e r e c o g n i z e a s R o b e r t s o n ' s c o n j e c t u r e .S u p p o s e n 1 a n d e q u a l i t y h o l d s i n R o b e r t s o n ' s c o n j e c t u r e . A g a i n a s -

s u m i n g t h e M u m c o n j e c t u r e , t h i s i m p l i e s

n + 1 =

< ( n + 1 ) e x P { 1 1, n = t k = 1

S n + 1 .

B u t t h i s i m p l i e s e q u a l i t y i n M i l i n ' s c o n j e c t u r e a n d s o f m u s t b e a r o t a t i o no f t h e K o e b e f u n c t i o n . 0

N o w t o p r o v e t h e i n e q u a l i t i e s . A f e w p r e l i m i n a r y o b s e r v a t i o n s a r e v a l i df o r e a c h o f t h e S i n c e = e 0 , = = U s i n g t h e p o w e rs e r i e s e x p a n s i o n s o f t h e s e f u n c t i o n s w e g e t

=

= + ( x i / 3 i + 2 a 2 / 3 0 ) z + ( a i t h + 2 c k 2 f l 1 +

+ + + + . . .E q u a t i n g c o r r e s p o n d i n g g i v e s

4 . 1 4 m f 3 m = k a , j J m _ k .

P r o o f o f t h e S e c o n d L e b e d e v - M i i n I n e q u a l i t y . A p p l y t h e C a u c h y - S c h w a r zI n e q u a l i t y t o ( 4 . 1 4 ) t o g e t

m 2 1 1 3 m 1 2

<l / 3 m _ k 1 2 )

4 . 1 5=

P u t

4 . 1 6 A m — B m=




S o ( 4 . 1 5 ) b e c o m e s A m B m _ i f o r a l l r n 1 . N o w f i x n I a n dl e t ' s p r o v e ( 4 . 1 1 ) . T h u s

1

I

n

1 + x e z h a s b e e n u s e d . N o w a p p l y t h i sl a t e s t i n e q u a l i t y t o a n d c o m b i n e t h e t w o ; s o w e h a v e

n + 1 I +n — i l n ( n + 1 ) ( n — 1 ) nJ

C o n t i n u i n g a n d n o t i n g t h a t B 0 = 1 w e g e t t h a t

4 . 1 7 =

N o w u s e t h e s u m m a t i o n b y p a r t s f o r m u l a ( E x e r c i s e 2 ) w i t h x k = [ k ( k +

1 ) 1 ' a n d I l k = A k . H e r e = + 1 ) J 1 1 — ( n + T h i sg i v e s

=

= — ( — ( k +

T h u s

7 ' n - s - I

1 7 . 4 . T h e M i l i n C o n j e c t u r e 1 5 3

=

=

n + 1k

n + 1

1 — k )

=

w h e r e w e h a v e u s e d E x e r c i s e 3 . i f t h i s i s c o m b i n e d w i t h ( 4 . 1 7 ) , w e h a v e t h e

S e c o n d I n e q u a l i t y .N o w f o r t h e c a s e w h e n w e h a v e e q u a l i t y i n ( 4 . 1 1 ) . ( A t t h i s p o i n t t h er e a d e r c a n g o d i r e c t l y t o t h e n e x t s e c t i o n a n d b e g i n t o r e a d t h e p r o o f o ft h e M i l i n c o n j e c t u r e a n d , h e n c e , t h e B i e b e r b a c h c o n j e c t u r e . T h e r e m a i n d e ro f t h i s s e c t i o n i s n o t r e q u i r e d f o r t h a t e n t e r p r i s e . ) T h e r e w e r e t w o f a c t o r s

t h a t c o n t r i b u t e d t o i n e q u a l i t y i n t h e a b o v e a r g u m e n t : t h e C a u c h y - S c h w a r zI n e q u a l i t y a n d t h e i n e q u a l i t y 1 + x 9 . S o i f e q u a l i t y o c c u r s , i t m u s t b et h a t e q u a l i t y o c c u r r e d w h e n e v e r t h e s e t w o f a c t s w e r e u s e d . T h e f i r s t s u c h

i n s t a n c e w a s w h e n t h e C a u c h y - S c h w a r z I n e q u a l i t y w a s a p p l i e d t o ( 4 . 1 4 ) i no r d e r t o o b t a i n ( 4 . 1 5 ) . N o t e t h a t f o r e q u a l i t y i n ( 4 . 1 1 ) f o r a n i n t e g e r a , w en e e d e q u a l i t y i n ( 4 . 1 5 ) f o r 1 m 5 n . T h u s t h e r e m u s t e x i s t c o n s t a n t s

s u c h t h a t f o r e a c h i n , 1 < m ,

4 . 1 8

f o r 1 I c m . S i n c e 1 + x = 9 o n l y w h e n x = 0 , a n e x a m i n a t i o n o f

t h e o c c u r r e n c e o f t h i s e q u a l i t y i n t h e a r g u m e n t y i e l d s t h a t A m = m f o r1 < i n < n .S u b s t i t u t i o n o f ( 4 . 1 8 ) i n t o ( 4 . 1 4 ) g i v e s t h a t r n / i , , , A m

A m A m = m A , , , . T h u s 1 3 m = A , , , f o r 1 r n 5 n . S i n c e = 1 , ( 4 . 1 8 ) f o r

= A m = A i A m _ i , f r o m w h i c h w ed e r i v e t h a t 1 3 m A m = = 7 m , w h e r e - y A 1 . E q u a t i o n 4 . 1 8 f o r k = mi m p l i e s t h a t m a , , , B u t f o r 1 5 k 5 n , k = A k =

I - y 1 2 m . I n p a r t i c u l a r i t h o l d s f o r k = 1 s o t h a t = 1 . H e n c e ( 4 . 1 8 )i m p l i e s t h a t f o r 1 < k < n , = f i n — k = s o t h a t 7 1 c / k f o r

1 < I c < n .

T h e p r o o f t h a t t h i s c o n d i t i o n s u f f i c e s f o r e q u a l i t y i s l e f t t o t h e r e a d e r . 0

P r o o f o f t h e F i r s t I n e q u a l i t y . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y i t c a n b e a s s u m e d

t h a t t h e r i g h t h a n d s i d e o f ( 4 . 1 0 ) i s f i n i t e . A p p l y t h e C a u c h y - S c h w a r z I n -e q u a l i t y t o ( 4 . 1 4 ) i n a d i f f e r e n t w a y t h a n w a s d o n e i n t h e p r o o f o f t h es e c o n d i n e q u a l i t y t o g e t t h a t m 2 l f 3 m ( 2 m

m

L e t a m m i a m i 2 a n d i n d u c t i v e l y d e f i n e b 0 = 1 a n d

4 . 2 0 b m k G k b m _ k .

A n i n d u c t i o n a r g u m e n t u s i n g ( 4 . 1 9 ) s h o w s t h a t 1 1 3 m I 2 b y n f o r a l l m 1 .I f w e e x a m i n e b o w ( 4 . 1 4 ) w a s d e r i v e d a n d l o o k c l o s e l y a t ( 4 . 2 0 ) , w e s e et h a t

E b k z ' = e x P { f . a k z " } )w h e r e t h e h y p o t h e s i s g u a r a n t e e s t h a t t h e s e p o w e r s e r i e s h a v e r a d i i o f c o n -v e r g e n c e a t l e a s t 1 . B u t s i n c e a k , b k 0 w e g e t

<

= e x P { > a k }

=

w h i c h i s t h e s o u g h t f o r i n e q u a l i t y .

N o w a s s u m e t h a t k l c r k i 2 < o o a n d e q u a l i t y o c c u r s . C l e a r l y

S i n c e 1 1 3 k 1 2 b k f o r a l l k 0 , i t f o l l o w s t h a t 1 1 3 k j 2 = b k f o r a l l k . B u t t h i sc a n o n l y h a p p e n i f f o r e a c h m 1 e q u a l i t y h o l d s i n ( 4 . 1 9 ) . B u t t h i s i sa n i n s t a n c e o f e q u a l i t y h o l d i n g i n t h e C a u c h y - S c h w a r z I n e q u a l i t y . T h u s f o re v e r y m 1 t h e r e i s a c o m p l e x n u m b e r A m s u c h t h a t

4 . 2 1 k a k f 3 m _ k = A m f o r I k < m .

L e t t i n g k = m h e r e s h o w s t h a t m a m = A m f o r a l l i h 1 . A l s o i f w es u b s t i t u t e ( 4 . 2 1 ) i n t o ( 4 . 1 4 ) , w e g e t t h a t 1 3 m = m ' ( A m + A m ) = A m .W i t h t h e s e t w o i d e n t i t i e s , ( 4 . 2 1 ) b e c o m e s A m = A m _ k A k . I n p a r t i c u l a r ,

A m = A m _ 1 A 1 . F r o m h e r e w e g e t t h a t A m = f o r a l l m 1 . T h u sp u t t i n g = A 1 w e h a v e t h a t 0 k = a n d 1 3 k = 7 k f o r a l l n . B e c a u s e t h er i g h t h a n d s i d e o f ( 4 . 1 0 ) i s f i n i t e , i t m u s t b e t h a t h ' I < 1 .

T h e p r o o f t h a t t h e c o n d i t i o n s u f f i c e s f o r e q u a l i t y i s L e f t t o t h e r e a d e r . 0

P r o o f o f t h e T h i r d L e b e d e v - M i l i n I n e q u a l i t y . U s i n g t h e n o t a t i o n f r o m t h ep r o o f o f t h e S e c o n d L e b e d e v - M i l i n r n e q u a . l i t y , ( 4 . 1 5 ) s t a t e s t h a t

n — i m

H e n c e

n — i m ( k I a k I 2—

= e x p — k ) ( k r a k I 2 — ! )}= 1

={ n _ 1

( k I a k I 2—

—

=—

÷1

}

=k = 1

N o w a p p l y t h e i n e q u a l i t y l / e w i t h z = a n d ( 4 . 1 2 ) a p p e a r s .T h e p r o o f o f t h e n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n f o r e q u a l i t y i n ( 4 . 1 2 )

i s l e f t t o t h e r e a d e r . 0

E x e r c i s e s

1 . S h o w t h a t 1 f f i s a r o t a t i o n o f t h e K o e b e f u n c t i o n a n d g ( z ) 2 = 1 ( z 2 ) ,t h e n w e h a v e e q u a l i t y i n t h e R o b e r t s o n a n d M i l i n c o n j e c t u r e s f o r a l l

7 1 .

2 . ( T h e s u m m a t i o n b y p a r t s f o r m u l a ) S h o w t h a t i f { x k } a n d { Y k } a r e

1 7 . 5 . S o m e S p e c i a l F u n c t i o n s 1 5 7

( c ) = ( ' v ) = w h e r e f o r a n y n u m b e r z a n d a n o n -n e g a t i v e i n t e g e r n ,

( z ) 0 = z ( z + 1 ) . " ( z + n — 1 ) .

T h e f a c t t h a t t h e J a c o b i p o l y n o m i a l s e x i s t a n d a r e u n i q u e c a n b e f o u n d

i n a n y s t a n d a r d r e f e r e n c e . S e e , f o r e x a m p l e , S z e g ö [ 1 9 5 9 ] . T h e p r o o f o f t h en e x t r e s u l t c a n b e f o u n d o n p a g e s 2 9 a n d 5 9 o f t h a t r e f e r e n c e .

5 . 2 P r o p o s i t i o n . F o r a l l a d m i 3 s i b i e a a n d / 3 a n d — i s x 5 1 ,

=

f o r a l l n 0 .

5 . 3 C o r o l l a r y . = =

T h e n e x t i d e n t i t y a p p e a r s i n t h e p r o o f o f T h e o r e m 3 i n A s k e y a n d G a s p e r[ 1 9 7 6 1 ( s e e p a g e 7 1 7 ) ; i t s p r o o f i n v o l v e s h y p e r g e o m e t r i c f u n c t i o n s a n d w o n ' t

b e g i v e n h e r e . T h e r e s u l t f o l l o w i n g t h a t i s p a r t o f t h e s t a t e m e n t o f T h e o r e mi n t h a t r e f e r e n c e .

5 . 4 P r o p o s i t i o n . I f a > — 1 a n d — 1 ( x 5 1 , t h e n / o r 0I a ± ! 1 I a ± 2 1

= i 2 J j t 2 J J 3 i m ,r 2 ( x —U j ! ( a + 1 ) , ( m — L 1 1

5 . 5 T h e o r e m . ( A s k e y a n d C a s p e r ( 1 9 7 6 ] ) i f a — 1 a n d m 0 , t h e n

> 0

f o r — 1 < x : S 1 .

N o w f o r t h e f u n c t i o n s o f d e B r a n g e s . I f n 1 a n d 1 5 k 5 n , d e f i n e f o r

5 . 6 = k( 2 k

+

a n d 0 .T h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e J a c o b i p o l y n o m i a l s a n d t h e f u n c t i o n s o f d e

B r a n g e s i s a s f o l l o w s .

5 . 7 P r o p o s i t i o n . F o r 1 5 k S n ,

=n — k

— 2 e t ) .

P r o o f . F r o m t h e d e f i n i t i o n o f r k w e c o m p u t e

— n — k ( 2 k + v + + 2 v +

k v ! ( n — k — v )v = O

H e n c e

—( 2 k + v + + 2 v + 2 ) n — k — v

e— v ! ( n — k — v )

v = O

N o w u s e ( 5 . 4 ) w i t h 2 k a n d m = n — k t o g e t

n - k— _ t )

( 2 k + 2 v +

B u t =

( 2 k + v

T h e n e x t r e s u l t c o n t a i n s a l l t h e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e s e f u n c t i o n s t h a tw i l l b e u s e d i n t h e p r o o f o f d e B r a n g e s ' s T h e o r e m .

5 . 8 T h e o r e m . F o r t h e f r n c t i o n s r 1 , . . . , d e f i n e d i n ( 5 . 6 ) a n d 0 ,t h e f o l l o w i n g h o l d ,

T k ÷ I ' 1-=

+

5 . 1 0

5 . 1 1 r k ( t ) 0 a s t o o ;

5 . 1 2 r < 0 .



1 7 . 5 . S o m e S p e c i a l F u n c t i o n s

P r o o f . T o p r o v e ( 5 . 9 ) r e a d e r s m i g h t i n c r e a s e t h e i r l e v e l b y f i r s tv e r i f y i n g t h e e q u a l i t y i n t h e c a s e t h a t I c = i i ( a n d 0 ) . F o F 1 S I c

i t m u s t b e s h o w n t h a t ' r k + k 1 T k — ( k + l ) ' * k + i . T o f a c i l i t a t e t h e

p r o o f , d e f i n e 9 k = a n d h k =k _ L r k e _ k t

f o r 1 k n + 1 . T h e s ef u n c t i o n s e n t e r t h e p i c t u r e b y o b s e r v i n g t h a t

= =

s o t o s h o w ( 5 . 9 ) i t s u f f i c e s t o s h o w t h a t

5 . 1 3 g k e k t =

f o r 1 k T Z .

F r o m t h e d e f i n i t i o n s o f a n d w e g e t t h a t

n — k

9 k= e _ t t

( k + v ) v ! ( n — I c —

n — k=

e " t _ 2 ' d .( k + v ) v ! ( n — k - — v ) !

T h u sn — k

= ( 2 k + v + + 2 v + 2 ) n - . k — v

n — k

=( v + 2 k ) ( 2 k + v + + 2 v + 2 ) n — k — v

v = O ( k + v ) v ! ( n — k - - v ) !

N o w ( 2 k + v ) ( 2 k + v + = ( 2 k ÷ I n c o r p o r a t i n g t h i s i n t h e l a s te q u a t i o n a n d c h a n g i n g t h e i n d e x k t o I c + I , w e g e t

n — k — i

= ( 2 k + 2 + + 2 v ÷ 4 ) n — k — 1 — v

( k + 1 + v ) v ! f r i — J c — 1 _ v ) !

n — k= E ( _ 1 ) v ( 2 k + 1 + v ) , ( 2 k + 2 v + 2 ) n — k — u

u = 1 ( k + v ) ( v — 1 ) ! ( n — k — v ) 'k g •5 . 1 4 = e 9 k .

t h u s d e m o n s t r a t i n g ( 5 . 1 3 ) , a n d h e n c e ( 5 . 9 ) .T o p r o v e ( 5 . 1 0 ) , f i r s t a p p l y C o r o l l a r y 5 . 3 a n d ( c ) o f D e f i n i t i o n 5 . 1 t o

o b t a i n t h a t ( a . O ) ( 1 ) C o m b i n e t h i s w i t h P r o p o s i t i o n 5 . 7 t o g e t

n — k

=




T h u sT k ( O ) f l i f n — k i s e v e n

k 1 O i f n — k i s o d d .

N o w s u b s t i t u t e t h i s i n f o r m a t i o n i n t o ( 5 . 9 ) t o g e t t h a t r k ( 0 ) — = 1 .S u m m i n g u p y i e l d s ( 5 . 1 0 ) .T h e p r o p e r t y ( 5 . 1 1 ) i s c l e a r f r o m t h e d e f i n i t i o n o f t h e f u n c t i o n s a n d

( 5 . 1 2 ) i s i m m e d i a t e f r o m T h e o r e m 5 . 5 a n d P r o p o s i t i o n 5 . 7 . 0

§ 6 T h e P r o o f o f d e B r a n g e s ' s T h e o r e m

T h e a i m o f t h i s s e c t i o n i s t o p r o v e t h e f o l l o w i n g , w h i c h i s t h e c u l m i n a t i o no f t h i s c h a p t e r . T h i s a p p r o a c h i s b a s e d o n t h e p a p e r o f F i t z g e r a l d a n dP o m m e r e n k e [ 1 9 8 5 1 .

6 . 1 T h e o r e m . T h e M i i n c o n j e c t u r e i s T h a t i s , i f f 5 , h i s t h eb r a n c h o f ( 1 / 2 ) l o g [ z ' f ( z ) ] w i t h h ( 0 ) = 0 , a n d

6 . 2

t h e n f o r a l l n 2

6 . 3m 1 k = 1

T o a c c o m p l i s h t h i s w e f i r s t s h o w t h a t i t s u f f i c e s t o p r o v e t h e t h e o r e m f o rf u n c t i o n s i n S t h a t m a p o n t o a s l i t r e g i o n .

6 . 4 P r o p o s i t i o n . 1 f f € 8 , t h e n t h e r e i s a s e q u e n c e i n S s u c h t h a te a c h m a p s o n t o a s l i t r e g i o n a n d — . / i n H ( D ) .

P r o o f . F i r s t w e a s s u m e t h a t = 1 ( D ) i s a J o r d a n r e g i o n w i t h i t s b o u n d -a r y p a r a m e t r i z e d b y [ 0 , 1 J O f I , ' y ( O ) = = R e p l a c i n g f b y

f o r a s u i t a b l e 8 , i f n e c e s s a r y , w e m a y a s s u m e t h a t I w I f o r

a t W O . L e t = \ { ' y ( t ) : t 1 } j a n d l e t g , , b e t h e R i e m a n nm a p o f D o n t o w i t h = 0 a n d > 0 .

N o t e t h a t - ' i n t h e s e n s e o f D e f i n i t i o n 1 5 . 4 . 1 . T h u s T h e o r e m1 5 . 4 . 1 0 i m p l i e s t h a t g , — . 1 . T h u s — , f ( 0 ) = 1 . S o i f f , =

t h e n f € 8 , i s a s l i t r e g i o n , a n d f , f .N o w a s s u m e t h a t / i s a r b i t r a r y . P u t r , = 1 — a n d l e t =

S o f ' , E 8 , f , — p a n d i s a J o r d a n r e g i o n . T h e p r o o f o ft h e s p e c i a l c a s e i m p l i e s t h a t e a c h f , c a n b e a p p r o x i m a t e d b y s l i t m a p p i n g si n $ a n d , t h u s , s o c a n 1 . 0



1 7 . 6 . T h e P r o o f o f d e B r a n g e s ' s T h e o r e m 1 6 1

6 . 5 C o r o l l a r y . I f M u m ' s c o n j e c t u r e i s t r u e f o r s l i t m a p p i n g s i n 8 , i t i st r u e .

P r o o f . I f I S , l e t b e a s e q u e n c e o f s l i t m a p p i n g s i n S s u c h t h a t

f . F o r e a c h n l e t h , 1 ( z ) = a n d l e t h b e a s i nt h e s t a t e m e n t o f d e B r a n g e s ' s T h e o r e m . I t i s l e f t t o t h e r e a d e r t o s h o wt h a t h . T h e r e f o r e t h e s e q u e n c e o f t h e k - t h c o e f f i c i e n t s o f t h e p o w e r

s e r i e s e x p a n s i o n o f c o n v e r g e s t o t h e i c - t b c o e f f i c i e n t o f t h e p o w e r s e r i e se x p a n s i o n o f h , M u m ' s c o n j e c t u r e n o w f o l l o w s . C

N o w t o b e g i n t h e p a t h t o t h e p r o o f o f d e B r a n g e s ' s T h e o r e m . T o d o t h i sl e t u s s e t t h e n o t a t i o n . F o r t h e r e m a i n d e r o f t h e s e c t i o n , 1 i s a s l i t m a p p i n gi n S a n d F i s t h e L o e w i i e r c h a i n w i t h F 0 = f . T h u s L o e w n e r ' s d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( 3 . 6 ) h o l d s f o r F . O b s e r v e t h a t e t F t E S f o r a l l t 0 . T h u s w e

c a n d e f i n e

h ( z , t ) =

6 . 6 =

w h e r e t h e b r a n c h o f t h e l o g a r i t h m i s c h o s e n w i t h h ( 0 , t ) = 0 .T h e s t r a t e g y o f t h e p r o o f i s t o i n t r o d u c e t h e f u n c t i o n

0 ( t ) = [ k f r v k ( t ) 1 2—

f o r t 0 , w h e r e r i , . . . a r e t h e s p e c i a l f u n c t i o n s i n t r o d u c e d i n t h e p r e -c e d i n g s e c t i o n . G i v e n t h e f u n c t i o n w e w i l l p r o v e t h e f o l l o w i n g .

6 . 8 L e m m a . I f i s t h e f u n c t i o n d e f i n e d i n ( 6 . ? ) , t h e n 0 f o r a l lt > 0 .

T h e p r o o f o f t h i s l e m m a i s t h e h e a r t o f t h e p r o o f o f t h e t h e o r e m . I n d e e d ,t h e p r o o f o f d e B r a n g e s ' s T h e o r e m , e x c e p t f o r t h e e q u a l i t y s t a t e m e n t , e a s i l y

f o l l o w s o n c e L e m m a 6 . 8 i s a s s u m e d .P r o o f o f ( 6 . 3 ) . A c c o r d i n g t o ( 5 . 1 0 ) , r k ( 0 ) n + 1 — k a n d s o

=m = 1

b y E x e r c i s e 4 . 3 . A l s o f r o m ( 5 . 1 1 ) w e k n o w t h a t r k ( t ) — . 0 a s t — + 0 0 a n d s o

0 a s t o o . T h e r e f o r e

6 . 9 — =—

f 0

m = i k = l 0

b y L e m m a 6 . 8 . 0

T h e p r o o f o f t h e e q u a l i t y s t a t e m e n t n e e d s a d d i t i o n a l i n f o r m a t i o n a b o u tt h e f u n c t i o n

S o n o w r e t u r n t o o u r a s s u m p t i o n s f o r t h i s s e c t i o n a n d t h e d e f i n i t i o n o ft h e f u n c t i o n h i n ( 6 . 6 ) .

6 . 1 0 L e m m a . ( a ) I f 0 < r < 1 , t h e n s u p { I h ( z , t ) J r a n d 0 t <o o } < c o .

( b ) F o r e a c h k : 0 < t < o o } < c o .

P r o o f . ( a ) I t s u f f i c e s t o g e t t h e b o u n d f o r = r . U s i n g ( 2 . 1 1 ) w e h a v ef o r s o m e i n t e g e r N i n d e p e n d e n t o f r

I h ( z , t ) I

< ! { i o g + 2 i r N J

i i F ( z , t )=

e t

— + l o g( 1

T h e M a x i m u m P r i n c i p l e n o w g i v e s t h e r e s u l t .( b ) I f 0 < r < 1 , t h e n

I I h ( z , t )

=d z

=h ( r e 1 9 ,

T h u s V y k ( t ) I r _ k M r b y p a r t ( a ) . 0

6 . 1 1 L e m m a . F o r e a c h k 1 t h e f u n c t i o n [ 0 , o o ) C i s c o n t i n u o t w l yd i f f e r e n t i a b l e a n d

6 . 1 2 7 k ( t ) =

P r o o f . I n f a c t t h i s i s a n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e o f t h e f o r m u l a f o r ' y k ( t )o b t a i n e d i n t h e p r e c e d i n g p r o o f a n d L e i b n i z ' s r u l e f o r d i f f e r e n t i a t i n g u n d e rt h e i n t e g r a l s i g n . 0

8 . 1 3 L e m m a . I f T < o c a n d 0 < r < 1 , t h e n t h e s e r i e sc o n v e r g e s a b s o l u t e l y a n d u n i f o r m l y f o r t z l r a n d 0 t T .

P r o o f . L e t r < p < 1 . ( 6 . 1 2 ) i m p l i e s t h a t i f M f o r

0 S t T a n d I w l p , t h e n f o r a l l I z i < r , h f k ( t ) z d I T h er e s u l t f o l l o w s f r o m t h e W e i e r s t r a s s M - t e s t . 0

P r o o f o f L e m m a 6 . 8 . T h e p r e c e d i n g l e m m a a l l o w s u s t o d i f f e r e n t i a t e t h es e r i e s ( 6 . 6 ) f o r h ( z , t ) t e r m - b y - t e r m w i t h r e s p e c t t o t . T h u s , u s i n g L o e w n e r ' sd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( 3 . 6 ) ,

k 1 8 F ( z , t )= z e t

— I F ( z , t )1

— 2 F ( z , t )

6 . 1 4 = ! z ( t ) z F ' ( z , t )1

2 1 — z ( t ) z F ( z , t )

B u t = I z I < 1 a n d s o

N o w w e a l s o h a v e t h a t

h ' ( z , t )— 1 I F ' ( z , t ) 1

— 2 z

T h u sP ( z , t ) 1 k 1

F ( z , t )—

S u b s t i t u t i n g i n t o ( 6 . 1 4 ) w e g e t

= { z [ 1— 1 } .= 1

T h e r e f o r e

I = [ i [ ik = J . k = 1 k = 1




E q u a t i n g c o e f f i c i e n t s g i v e s

' Y k ( t ) = k y k ( t ) + z ( t ) k +

S u p p r e s s i n g t h e d e p e n d e n c e o n t , t h i s i m p l i e s t h a t

7 k=

— k 7 k +

= x

w h e r e b k ( t ) = j x ' ( t ) ' y , ( t ) f o r k 1 ( a n d b 0 0 ) . N o w t h e f a c t t h a tk y k S I C — b k . 1 i m p l i e s

6 . 1 5 7 k _ z k [ 1 + b k + b k _ 1 ] .

I t i s n o t h a r d t o c h e c k t h a t

=

=2 R e k x k [ 1 + b k

U s i n g t h e f a c t t h a t b k — b k _ I = w e g e t t h a t = — b k _ I ) .H e n c e w e c a n e x p r e s s t h e d e r i v a t i v e e n t i r e l y i n t e r m s o f t h e f u n c t i o n s b kb y

6 . 1 6 = 2 R e — + b k + b k _ i ) ) .

N o w c o n s i d e r t h e f u n c t i o n 4 d e f i n e d i n ( 6 . 7 ) . S u p p r e s s i n g t h e d e p e n d e n c eo n t ,

6 . 1 7 & —

F r o m ( 6 . 1 6 ) w e g e t t h a t

=

[ ( b k — b k _ 1 ) ( 1 + b k + b k _ 1 ) ] r k .

N o w a p p l y t h e s u m m a t i o n b y p a r t s f o r m u l a ( E x e r c i s e 4 . 2 w i t h Y k = T k a n dx k = 2 R e [ ( b k — b k _ 1 ) ( 1 + b k + b k _ I ) ] ) t o o b t a i n t h a t

6 . 1 8 = —




w h e r e

K m

2 R e — b k _ 1 ) ( b k + b k _ i ) .

T h e f i r s t o f t h e s u m n i a n d s t e l e s c o p e s a n d f o r a n y c o m p l e x n u m b e r s z a n d

t o , — w ) ( z + w ) = 1 z 1 2 — 1 w 1 2 — 2 i I m ( z i i i ) . H e n c e

X m

=

F r o m ( 6 . 1 8 ) w e g e t

= b k + I b k I 2 ) ( r k —

U s i n g ( 6 . 1 7 ) w e n o w h a v e

6 . 1 9 = b , + — m + i ) + —

F o c u s i n g o n t h e s e c o n d s u m m a n d , n o t e t h a t

=— — 1 1 .

k = 1

F o r t h e f i r s t s u m m a n d o f ( 6 . 1 9 ) w e u s e t h e p r o p e r t y ( 5 . 9 ) o f t h e f u n c t i o n sr k t o g e t

T k + 1 ) = — ( R e b k + 1 6 k 1 2 1 [ 1 +

=

+ ( R e b k ) +

T h u s

= b k . . . ,

+ I b k _ 1 1 2 ] .

T h u s

4 '

— J b k — b k _ 3 J 2 + 1 J

= b k + 2 R e b k _ i + 2 l b k _ 1 1 2

+ 2 R e b k b k _ j + 1 J

6 . 2 0 =

0

P r o o f o f d e B r a n g e s ' s T h e o r e m . W e a l r e a d y s a w h o w t o d e d u c e ( 6 . 3 )f r o m L e m m a 6 . 8 . I t o n l y r e m a i n s t o t r e a t t h e c a s e o f e q u a l i t y .

W e s h o w t h a t i f f E S a n d f i s n o t t h e K o e b e f u n c t i o n , t h e n s t r i c ti n e q u a l i t y m u s t h o l d i n ( 6 . 3 ) f o r a l l n 2 . I f t h i s i s t h e c a s e a n d f ( z ) =

z + a 2 z 2 + t h e n l a 2 l < a < 2 ( 1 4 . 7 . 7 ) . N o w a l s o a s s u m e t h a t / i s a s l i tm a p p i n g a n d a d o p t t h e n o t a t i o n u s e d t o p r o v e L e m m a 6 . 8 . I n p a r t i c u l a r ,d e f i n e t h e f u n c t i o n h a s i n ( 6 . 6 ) a n d t h e f u n c t i o n s b k a s i n ( 6 . 1 5 ) . L e th a v e p o w e r s e r i e s e x p a n s i o n c t ( z + + . . . ) . S o 1 a 2 ( t ) 1 2 f o r a l lt 0 . A c a l c u l a t i o n s h o w s t h a t = a 2 ( t ) / 2 a n d b k ( t ) =T h u s ( 6 . 1 5 ) i m p l i e s t h a t

= 1 1 + 2

a n d s o

h ' i ( t ) l = h ' i + jE q u a t i o n 6 . 2 0 a n d ( 5 . 1 2 ) i m p l y t h a t

( — f t ) l 6 i + i f 2

= + 1 1 2

— — 2 t ) 2

f o r 0 t 4 _ 1 ( 2 — c r ) . F r o m ( 6 . 9 ) w e h a v e

— =— / ç b ( t ) d t

S — j4 , ( t ) d t

0

( 2 — a ) / 8 2 —

6 . 2 1 i i ] ; t 1 d t .

S i n c e < 0 e v e r y w h e r e , w e g e t s t r i c t i n e q u a l i t y i n ( 6 . 3 ) .N o w l e t f b e a n & b i t r a r y f u n c t i o n i n t h e c l a s s S a n d l e t { f , } b e a

s e q u e n c e o f s l i t m a p p i n g s i n S t h a t c o n v e r g e t o f . B e c a u s e 1 a 2 1 < & < 2 ,i t c a n b e a s s u m e d t h a t I a , , 2 1 < f o r a ! ! j 1 . T h u s t h e i n e q u a l i t y i n

( 6 . 2 1 ) h o l d s f o r e a c h f u n c t i o n ( w i t h r e p l a c e d b y t h e c o r r e s p o n d i n gc o e f f i c i e n t ' y , , k ) . T h i s u n i f o r m b o u n d o n t h e s u m ( 6 . 3 ) f o r t h e f u n c t i o n s 1 ,

i m p l i e s t h e s t r i c t i n e q u a l i t y f o r t h e l i m i t f u n c t i o n , 1 . 0

C h a p t e r 1 8

S o m e F u n d a m e n t a l C o n c e p t s

f r o m A n a l y s i s

S t a r t i n g w i t h t h i s c h a p t e r i t w i l l b e a s s u m e d t h a t t h e r e a d e r i s f a m i l i a r w i t h

m e a s u r e t h e o r y a n d s o m e t h i n g m o r e t h a n t h e b a s i c s o f f u n c t i o n a l a n a l y s i s .T h i s p a r t i c u l a r c h a p t e r i s a n e c l e c t i c p o t p o u r r i o f r e s u l t s i n a n a l y s i s . S o m e

t o p i c s f a l l i n t o t h e c a t e g o r y o f b a c k g r o u n d m a t e r i a l a n d s o m e c a n b e l a b e l e da s m a t e r i a l e v e r y b u d d i n g a n a l y s t s h o u l d k n o w . S o m e o f t h e s e s u b j e c t s m a yb e f a m i l i a r t o t h e r e a d e r , b u t w e w i l l u s u a l l y p r o c e e d a s t h o u g h t h e m a t e r i a li s n e w t o a l l .

W h e n n e e d e d , r e f e r e n c e w i l l b e m a d e t o C o n w a y [ 1 9 9 0 ) .

§ 1 B e r g m a n S p a c e s o f A n a l y t i c a n d H a r m o n i c F u n c t i o n s

F o r a n o p e n s u b s e t C i n C a n d 1 p o o , d e f i n e L P ( C ) t o b e t h e I f s p a c eo f L e b e s g u e m e a s u r e o n C . T h a t i s , L P ( C ) = I n t h i s s e c t i o n Cw i l l a l w a y s d e n o t e a n o p e n s u b s e t o f C .

1 . 1 D e f i n i t i o n . F o r 1 p a n d a n o p e n s u b s e t C o f C , i s

c o l l e c t i o n o f f u n c t i o n s i n L P ( C ) t h a t a r e e q u a l a . e . [ A r e a ] t o a n a n a l y t i cf u n c t i o n o n C . D e n o t e b y t h o s e e l e m e n t s o f 1 1 ( G ) t h a t a r e e q u a l

a . e . [ A r e a j t o a h a r m o n i c f u n c t i o n . T h e s e s p a c e s a r e c a l l e d t h e B e r g m a ns p a c e s o f C b e c a u s e o f t h e w o r k o f B e r g m a n [ 1 9 4 7 j , [ 1 9 5 0 ) .

N o t e t h a t c o n t a i n s s o a n y t h i n g p r o v e d a b o u t f u n c t i o n s i na p p l i e s t o t h e a n a l y t i c B e r g m a n s p a c e .

1 . 2 L e m m a . I f f i s a h a r m o n i c f u n c t i o n i n a n e i g h b o r h o o d o f t h e c l o s e dd i s k B ( a ; r ) , t h e n

f d A .i r r B ( o ; r )

T h i s i s , o f c o u r s e , a v a r i a t i o n o n t h e M e a n V a l u e P r o p e r t y o f h a r m o n i cf u n c t i o n s a n d c a n b e p r o v e d b y c o n v e r t i n g t h e i n t e g r a l t o p o l a r c o o r d i n a t e sa n d a p p l y i n g t h a t p r o p e r t y .

1 . 3 P r o p o s i t i o n . I f 1 p < o c , f E a C , a n d 0 < r <

1 7 0 1 8 . F u n d a m e n t a l C o n c e p t s

d i s t ( a , O G ) , t h e n

I f ( a ) I P r o o f . L e t q b e t h e i n d e x t h a t i s c o n j u g a t e t o p : i / p + 1 / q = 1 . B y t h e

p r e c e d i n g l e m m a a n d H o l d e r ' s I n e q u a l i t y , I f ( a ) I = ( i r r 2 ) ' 1 1 8 ( 4 ; ? )

( i r r 2 ) ' ( f B ( a ; r )) l / P

( f B ( a ; r ) 1) 1 / q

<

1 p 0 0 , a n d a r e B a n a c h s p a c e s

a n d a n d a r e H u b e r t s p a c e s . I f a E C , t h e l i n e a r f u n c t i o n a lI — . f ( a ) z s b o u n d e d o n a n d

P r o o f . T h e l a s t s t a t e m e n t i n t h e p r o p o s i t i o n i s a n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c eo f P r o p o s i t i o n 1 . 3 f o r t h e c a s e p < o o , a n d i t i s a c o n s e q u e n c e o f t h ed e f l m t i o n f o r t h e c a s e p = o o . F o r t h e f i r s t s t a t e m e n t , i t m u s t b e s h o w n t h a t

a n d a r e c o m p l e t e ; e q u i v a l e n t l y , a n d a r e c l o s e di n V ' ( C ) . I n t h e c a s e t h a t p = 0 0 , t h i s i s c l e a r ; s o a s s u m e t h a t 1 p < 0 0 .

O n l y t h e s p a c e w i l l b e t r e a t e d ; t h e a n a l y t i c c a s e w i l l b e l e f t t o t h er e a d e r a s i t i s a n a l o g o u s . L e t { f 4 ç a n d s u p p o s e f , f i n L " ( C ) ;w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y w e c a n a s s u m e t h a t f ( z ) a . e . L e t K b e ac o m p a c t s u b s e t o f C a n d l e t ( I < r < d i s t ( K , 1 3 G ) . B y P r o p o s i t i o n 1 . 3 t h e r e

i s a c o n s t a n t C s u c h t h a t I h ( z ) I S f o r e v e r y h i n a n d e v e r yz i n K . I n p a r t i c u l a r , I f n ( z ) — f m ( Z ) I $ C h i n f m h h p f o r a l l m , n . T h u s

i s a u n i f o r m l y C a u c h y s e q u e n c e o f h a r m o n i c f u n c t i o n s o n K . S i n c e Ki s a r b i t r a r y , t h e r e i s a h a r m o n i c f u n c t i o n g o n C s u c h t h a t g ( z )

u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o f C . I t m u s t b e t h a t f ( z ) = g ( z ) a . e . a n d0

T h e s p a c e L ° ° ( C ) i s t h e d u a l o f t h e B a n a c h s p a c e L ' ( G ) a n d a s s u c h i th a s a w e a k - s t a r ( a b b r e v i a t e d w e a l C o r w k ) t o p o l o g y . I t c a n a l s o b e s h o w nt h a t a n d a r e w e a k c l o s e d i n L ° ° ( C ) . S e e E x e r c i s e 1 .

T h i s s e c t i o n c o n c l u d e s b y p r o v i n g s o m e t h e o r e m s o n a p p r o x i m a t i o n b yp o l y n o m i a l s a n d r a t i o n a l f u n c t i o n s i n B e r g m a n s p a c e s o f a n a l y t i c f u n c t i o n s .

1 . 5 D e f i n i t I o n . F o r a b o u n d e d o p e n s e t C a n d 1 p < o o , l e t b et h e c l o s u r e o f t h e p o l y n o m i a l s i n R P ( G ) i s t h e c l o s u r e o f t h e s e t o fr a t i o n a l f u n c t i o n s w i t h p o l e s o f f C t h a t b e l o n g t o 1 1 ( C ) .

I t f o l l o w s t h a t P " ( G ) ç R P ( G ) N o t e t h a t i f r i s a r a t i o n a lf u n c t i o n w i t h p o l e s o f f c l C , t h e n r E L P ( G ) . H o w e v e r i n t h e d e f i n i t i o n o fR P ( G ) , t h e r a t i o n a l f u n c t i o n s a r e a l l o w e d t o h a v e p o l e s o n c 9 C a s l o n g a s

t h e f u n c t i o n s b e l o n g t o 1 1 ( 0 ) . I f C = t h e p u n c t u r e d u n i t d i s k , t h e nh a s i t s p o l e s o f f C b u t d o e s n o t b e l o n g t o L 2 ( C ) e v e n t h o u g h i t d o e s b e l o n g

1 8 . 1 . B e r g m a n S p a c e s 1 7 1

t o L ' ( G ) . I f , o n t h e o t h e r h a n d , C = { z = x + i y : 0 < x < 1 a n d j y j <

e x p ( — x 2 ) } , t h e n z L 2 ( G ) .I t i s n o t d i f f i c u l t t o c o n s t r u c t a n e x a m p l e o f a s e t C f o r w h i c h P " ( G )

T h i s i s t h e c a s e f o r a n a n n u l u s s i n c e z 1 b u t c a n n o t b ea p p r o x i m a t e d b y p o l y n o m i a l s . F i n d i n g a G w i t h R ' ( G ) i s a l i t t l em o r e d i f f i c u l t . I n d e e d i f 1 p < 2 , t h e n = w h i l e t h e r e a r er e g i o n s C s u c h t h a t f o r 2 p < 0 0 e q u a l i t y d o e s n o t h o l d ( H e d b e r g [ 1 9 7 2a l ) . S e e t h e r e m a r k s a t t h e e n d o f t h i s s e c t i o n f o r m o r e i n f o r m a t i o n .

I f K i s a c o m p a c t s u b s e t o f C , t h e n t h e o p e n s e t C \ K h a s a t m o s ta c o u n t a b l e n u m b e r o f c o m p o n e n t s , e x a c t l y o n e o f w h i c h i s u n b o u n d e d .C a l l t h e b o u n d a r y o f t h i s u n i q u e u n b o u n d e d c o m p o n e n t o f C \ K t h e o u t e r

b o u n d a r y o f K . N o t e t h a t t h e o u t e r b o u n d a r y o f K i s a s u b s e t o f O K .I n f a c t , t h e o u t e r b o u n d a r y o f K i s p r e c i s e l y O K , t h e b o u n d a r y o f t h ep o l y n o m i a l t y c o n v e x h u l l o f K . F o r a s m a l l a m o u n t o f l i t e r a r y e c o n o m y ,

l e t ' s a g r e e t h a t f o r a b o u n d e d o p e n s e t C t h e o u t e r b o u n d a r y o f C i s t h a to f i t s c l o s u r e a n d t h e p o l y n o m i a l l y c o n v e x h u l l o f C i s C c i C .

1 . 6 D e f i n i t i o n . A C a r u t h é o d o r y r e g i o n i s a b o u n d e d o p e n c o n n e c t e d s u b s e to f C w h o s e b o u n d a r y e q u a l s i t s o u t e r b o u n d a r y .

1 . 7 P r o p o s i t i o n . I f C i s a C a r n t h é o d o r y r e g i o n , t h e n C i s a c o m p o n e n to f i n t { G } a n d h e n c e i s s i m p l y c o n n e c t e d .

P r o o f . L e t K = a n d l e t H b e t h e c o m p o n e n t o f m t K t h a t c o n t a i n s C ;i t m u s t b e s h o w n t h a t H = C . S u p p o s e t h e r e i s a p o i n t z 1 i n H \ C a n d

f o r 0 < t S i n c e H \ C i s r e l a t i v e l y c l o s e d i n H , w = - y ( a ) C . T h u sw 0 G . B u t s i n c e C i s a C a r a t h e o d o r y r e g i o n , O G = O K . H e n c e w O K .B u t w H ç m t K , a c o n t r a d i c t i o n .

I t i s l e f t a s a n e x e r c i s e f o r t h e r e a d e r t o s h o w t h a t t h e c o m p o n e n t s o ft h e i n t e r i o r o f a n y p o l y n o m i a l l y c o n v e x s u b s e t o f C a r e s i m p l y c o n n e c t e d .( S e e P r o p o s i t i o n 1 3 . 1 . 1 . ) 0

T h e r e a r e s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n s t h a t a r e n o t C a r a t h é o d o r y r e g i o n s ;f o r e x a m p l e , t h e s l i t d i s k . C a r a t h é o d o r y r e g i o n s t e n d t o b e w e l l b e h a v e ds i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n s , h o w e v e r t h e r e c a n b e s o m e r a t h e r b i z a r r e o n e s .

1 . 8 E x a m p l e . A c o r n u c o p i a i s a n o p e n r i b b o n C t h a t w i n d s a b o u t t h eu n i t c i r c l e s o t h a t e a c h p o i n t o f 0 D b e l o n g s t o 0 G . ( S e e F i g u r e 1 8 . 1 . )

I f G i s t h e c o r n u c o p i a , t h e n c i C c o n s i s t s o f t h e c l o s e d r i b b o n t o g e t h e rw i t h O D . H e n c e C \ c i G h a s t w o c o m p o n e n t s : t h e u n b o u n d e d c o m p o n e n ta n d D . N e v e r t h e l e s s C i s a C a r a t h é o d o r y r e g i o n .

1 . 9 P r o p o s i t i o n . i f C i s a C o r u t h é o d o r i j r e g i o n , t h e n C = i n t { c l C ) . I fC i s a s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n s u c h t h a t G = i n t { c l G } a n d C \ c i C i s

c o n n e c t e d , t h e n C i s a C a r t z t h é o d o r y r e g i o n .


1 . 1 0 I l l < P < a n d i s a s e q u e n c e t h e n { f n }c o n v e r g e s w e a k l y t o / i f a n d o n l y i f < 0 0 a n d f ( z ) f o ra l l z i n C .

P r o o f , i f f , , — ' f w e a l d y , t h e n < c o b y t h e P r i n c i p l e o f U n i -f o r m B o u n d e d n e s s . I n l i g h t o f P r o p o s i t i o n 1 . 4 , f o r e a c h z i n G t h e r e i s af u n c t i o n i n s u c h t h a t g ( z ) = ( g , k 1 ) f o r a l l g i n ( H e r e q i s

t h e i n d e x t h a t i s c o n j u g a t e t o p : I / p + I / q = 1 . ) T h u s ( f n , — .

( 1 , k 2 ) = 1 ( z ) . I f n a t h e t o p o l o g y o f p o i n t w i s e c o n v e r g e n c e o n t h e nw e h a v e j u s t s e e n t h a t t h e i d e n t i t y m a p i : w e a k ) — ' r ) i sc o n t i n u o u s . S i n c e ( b a l l w e a k ) i s c o m p a c t a n d r i s a H a u s d o r i f t o p o l -o g y , i m u s t b e a h o m e o m o r p h i s m . 0

1 . 1 1 T h e o r e m . ( F a r r e l l [ 1 9 3 4 j a n d M a r k u s e v i c [ 1 9 3 4 1 ) I f C i s a b o u n d e dC a r a t h é o d o r y r e g i o n a n d 1 < p < 0 0 , t h e n P " ( C ) =

P r o o f . L e t K = C a n d l e t r D \ K b e a B i e m a n n m a p w i t hr ( O ) = o o . P u t C , C \ r ( { z : I z I < 1 — l / n } ) . I t i s l e f t t o t h e r e a d e rt o s h o w t h a t t h e s e q u e n c e c o n v e r g e s t o C i n t h e s e n s e o f D e f i n i t i o n

1 5 . 4 . 1 . S o f i x a i n C a n d l e t b e t h e R i e m a n . u m a p o f C o n t o w i t h

= a a n d > 0 . B y T h e o r e m 1 5 . 4 . 1 0 , - 4 z u n i f o r m l y o nc o m p a c t s u b s e t s o f C . L e t = : C , 1 — . C . F i x f i n a n d p u t= ( f o T h u s i ' , . i s a n a l y t i c i n a n e i g h b o r h o o d o f K a n d s o , b y

R u n g e ' s T h e o r e m , c a n b e a p p r o x i m a t e d u n i f o r m l y o n K b y p o l y n o m i a l s .T h u s P " ( G ) .

A l s o < I C , , = I c 1 f 1 ' L 4 =b y t h e c h a n g e o f v a r i a b l e s f o r m u l a f o r a r e a i n t e g r a ' s . I f z za n d — + 1 . T h e r e f o r e f ( z ) a s n o o . B y L e m m a 1 . 1 0 ,

0

F i g u r e 1 8 . 1 .

1 8 . 1 . B e r g m a n S p a c e s 1 7 3

R u b e l a n d S h i e l d s [ 1 9 6 4 ) p r o v e t h a t i f C i s a b o u n d e d o p e n s e t w h o s eb o u n d a r y c o i n c i d e s w i t h t h e b o u n d a r y o f i t s p o l y n o m i a l i y c o n v e x h u l l a n d

i f f ( C ) , t h e n t h e r e e x i s t s a s e q u e n c e o f p o l y n o m i a l s } s u c h t h a t

I I P n I I a H u l a a n d— .

f ( z ) u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o f C .( N o t e t h a t t h i s c o n d i t i o n o n C i s t h e s a m e a s t h e c o n d i t i o n f o r a r e g i o nt o b e a C a r a t b é o d o r y r e g i o n , b u t C i s n o t a s s u m e d t o b e c o n n e c t e d h e r e . )I n p a r t i c u l a r , o n e c a n a p p r o x i m a t e w i t h p o l y n o m i a l s t h e b o u n d e d a n a l y t i cf u n c t i o n t h a t i s 1 o n t h e o p e n u n i t d i s k a n d ( I o n t h e c o r n u c o p i a . T h i s s a y st h a t T h e o r e m 1 . 1 1 i s t r u e f o r p = o o i f t h e w e a k t o p o l o g y i s u s e d i n s t e a do f t h e n o r m t o p o l o g y . T h e t h e o r e m a l s o h o l d s w h e n p = 1 b u t a d i f f e r e n tp r o o f i s n e e d e d . S e e B e r s [ 1 9 6 5 1 a n d L i n d b e r g ( 1 9 8 2 ) .

S o m e h y p o t h e s i s i s n e e d e d i n T h e o r e m 1 . 1 1 b e s i d e s t h e s i m p l e c o n n e c t e d -n e s s o f C . F o r e x a m p l e , i f C D \ ( — 1 , 0 ) , t h e n z 1 1 2 e b u t z 1 1 2 P 2 ( C ) .I n f a c t i t i s n o t d i f f i c u l t t o s e e t h a t t h e f u n c t i o n s i n P 2 ( C ) a r e p r e c i s e l y

t h o s e f u n c t i o n s i n t h a t h a v e a n a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n t o D .A n e x a c t d e s c r i p t i o n o f t h e f u n c t i o n s i n P ' ( C ) i s d i f f i c u l t , t h o u g h m a n y

p r o p e r t i e s o f t h e s e f u n c t i o n s c a n b e g i v e n . E x e r c i s e 4 s h o w s t h a t i f C i sa n a n n u l u s , t h e n e v e r y / i n P 1 ' ( G ) h a s a n a n a l y t i c e x t e n s i o n t o t h e o p e nd i s k . I n g e n e r a l , i f U i s a b o u n d e d c o m p o n e n t o f C \ [ c i C ) s u c h t h a t 8 U i s

d i s j o i n t f r o m t h e o u t e r b o u n d a r y o f C , t h e n e v e r y f u n c t i o n i n P ' ( G ) h a sa n a n a l y t i c e x t e n s i o n t o C U [ c i U I t h a t b e l o n g s t o P " ( G U [ c i U ] ) , t h o u g ht h e n o r m o f t h e e x t e n s i o n i s l a r g e r .

W h a t h a p p e n s i f U i s a b o u n d e d c o m p o n e n t o f C \ [ c i C ] a n d O L I m e e t st h e o u t e r b o u n d a r y o f C ? T h e a n s w e r t o t h i s q u e s t i o n i s q u i t e c o m p l e x a n dt h e c o n t i n u i n g s u b j e c t o f r e s e a r c h . S e e M e r g e i j a n [ 1 9 5 3 ] , B r e n n a n [ 1 9 7 7 ] ,a n d C i m a a n d M a t h e s o n [ 1 9 8 5 J .

T h e n e x t t h e o r e m c a n b e p r o v e d b y r e a s o n i n g s i m i l a r t o t h a t u s e d t op r o v e T h e o r e m 1 . 1 1 . S e e M e r g e l j a n [ 1 9 5 3 ] f o r d e t a i l s .

1 . 1 2 T h e o r e m . L e t C b e a b o u n d e d r e g i o n i n C s u c h t h a t C \ ( c i C ) h a sb o u n d e d c o m p o n e n t s . , U r n . L e t 8 L 1 1 a n d l e t K 0 b e t h e o u t e rb o u n d a r y ; a s s u m e n K , = 0 f o r i j a n d f i x a p o i n t z 3 i n U 1 , I

j < m . 1 f f E t h e n t h e r e i s a s e q u e n c e { f , , } o f r a t i o n a l f u n c t i o n sw i t h p o l e s i n . . s u c h t h a t f i n I n p a r t i c u l a r ,

W e r e t u r n t o t h e s u b j e c t o f B e r g m a n s p a c e s i n § 2 1 . 9 .

R e m a r k s . T h e r e i s a s u b s t a n t i a l l i t e r a t u r e o n t h e s u b j e c t s c o v e r e d i n t h i ss e c t i o n . I n d e e d , w e h a v e o n l y s k i m m e d t h e s u r f a c e o f t h e t h e o r y . B e t s ( 1 9 6 5 )s h o w s t h a t R ' ( C ) = M e r g e i j a n [ 1 9 5 3 ] h a s t h e r e s u l t s o f t h i s s e c t i o n

a n d m o r e . B r e n n a n [ 1 9 7 7 1 d i s c u s s e s p o l y n o m i a l a p p r o x i m a t i o n w h e n t h eu n d e r l y i n g r e g i o n i s n o t a C a r a t h e o d o r y r e g i o n . T h e i n t e r e s t e d r e a d e r c a n

a l s o c o n s u l t B a g b y [ 1 9 7 2 ] , C i m a a n d M a t h e s o n [ 1 9 8 5 ] , H e d b e r g f 1 9 7 2 a J ,[ 1 9 7 2 b ] , [ 1 9 9 3 ] , a n d L i n d b e r g [ 1 9 8 2 ) .

E x e r c i s e s

1 . T h i s e x e r c i s e w i l l s h o w t h a t i s w e a k ' c l o s e d i n L ° ° ( G ) . As i m i l a r p r o o f w o r k s f o r ( a ) I f a G , l e t 0 < 2 r < d i s t ( a , O G ) .

F o r l w — a l < r p u t 9 w = ( l r r 2 ) ' X B ( w ; r ) . S h o w t h a t t h e m a p w 9 w

i s a c o n t i n u o u s m a p f r o m B ( a ; r ) i n t o L 1 ( C ) . ( b ) L e t X b e t h e w e a k 'c l o s u r e o f s o X i s t h e B a n a c h s p a c e d u a l o fS h o w t h a t i f ( I ' , ) i s a s e q u e n c e i n a n d f , f w e a k ' i nX , t h e n { f , , } i s a u n i f o r m l y C a u c h y s e q u e n c e o n c o m p a c t s u b s e t so f C a n d h e n c e f E N o w u s e t h e K r e i n - S m u l i a n T h e o r e m( C o n w a y [ 1 9 9 0 ) , V . 1 2 . 7 ) t o c o n c l u d e t h a t i s w e a k ' c l o s e d .

2 . 1 f f i s a n a l y t i c i n t h e p u n c t u r e d d i s k C = { z : 0 < I z l < 1 } , f o r w h i c hv a l u e s o f p d o e s t h e c o n d i t i o n f h a s ar e m o v a b l e s i n g u l a r i t y a t 0 ?

3 . G i v e a n e x a m p l e o f a s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n C t h a t i s n o t a C a r a t h é -o d o r y r e g i o n b u t s a t i s f i e s C = i n t { c l C ) .

4 . I f C i s a b o u n d e d o p e n s e t i n C a n d K i s a c o m p a c t s u b s e t o f C , t h e n

e v e r y f u n c t i o n I i n \ K ) h a s a n a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n t o G t h a tb e l o n g s t o P " ( G ) . S h o w t h a t i f C i s c o n n e c t e d , t h e n t h e r e s t r i c t i o nm a p 1 — ' \ K ) i s a b i j e c t i o n o f P P ( G ) o n t o P P ( G \ K ) .

5 . L e t ( a , , } b e a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f p o s i t i v e n u m b e r s s u c h t h a t 1 =C h o o s e r 1 , r 2 , . . . , s u c h t h a t t h e c l o s e d b a l l s B , ,

a r e p a i r w i s e d i s j o i n t a n d c o n t a i n e d i n D ; p u t C = D \ U , , B , , . S h o wt h a t e a c h f i n P ' ( G ) h a s a n a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n t o D . M u s t t h i s

c o n t i n u a t i o n b e l o n g t o6 . L e t { a , , } b e a d e c r e a s i n g s e q u e n c e o f p o s i t i v e n u m b e r s s u c h t h a t 0 =

l i m , , a , , . C h o o s e r l , r 2 , . . . , s u c h t h a t t h e c l o s e d b a l l s B ,a r e p a i r w i s e d i s j o i n t a n d c o n t a i n e d i n I ) ; p u t C = D \ u , B , , . S h o wt h a t R 2 ( G ) =

§ 2 P a r t i t i o n s o f U n i t yI n t h i s s e c t i o n ( X , d ) i s a m e t r i c s p a c e t h a t w i l l s h o r t l y b e r e s t r i c t e d . W ea r e m o s t i n t e r e s t e d i n t h e c a s e w h e r e X i s a n o p e n s u b s e t o f C , b u t w e w i l la l s o b e i n t e r e s t e d w h e n X i s a s u b s e t o f R o r D . I n t h e n e x t s e c t i o n w e w i l l

e x a m i n e t h e a b s t r a c t r e s u l t s o f t h i s s e c t i o n f o r t h e c a s e o f a n o p e n s u b s e to f C a n d a d d s o m e d i f f e r e n t i a b l e p r o p e r t i e s t o t h e f u n c t i o n s o b t a i n e d f o r

m e t r i c s p a c e s .

T h e i d e a h e r e i s t o u s e t h e f a c t t h a t m e t r i c s p a c e s a r e p a r a c o m p a c t ,t e r m i n o l o g y t h a t w i l l n o t b e u s e d h e r e b u t i s m e n t i o n e d f o r t h e c i r c u m -s p e c t i v e .

1 8 . 2 . P a r t i t i o n s o f U n i t y 1 7 5

2 . 1 D e f i n i t i o n . I f U i s a n o p e n c o v e r o f X , a r e f i n e m e n t o f U i s a n o p e nc o v e r V s u c h t h a t f o r e a c h s e t V i n V t h e r e i s a n o p e n s e t U i n U w i t hV ç U .

N o t i c e t h a t t h i s e x t e n d s t h e n o t i o n o f a s u b c o v e r . A l s o n o t e t h a t t h er e l a t i o n o f b e i n g a r e f i n e m e n t i s t r a n s i t i v e , a n d t h a t e v e r y o p e n c o v e r o f

a m e t r i c s p a c e h a s a r e f i n e m e n t c o n s i s t i n g o f o p e n b a l l s . T h e t y p i c a l a p -p l i c a t i o n o f t h i s i d e a i s t o m a n u f a c t u r e a n o p e n c o v e r o f t h e m e t r i c s p a c et h a t h a s c e r t a i n d e s i r a b l e f e a t u r e s . B e c a u s e o f a l a c k o f c o m p a c t n e s s i t i s

i m p o s s i b l e t o o b t a i n a f i n i t e s u b c o v e r , b u t w e c a n a l w a y s p a s s t o a l o c a l l yf i n i t e r e f i n e m e n t ( n o w d e f i n e d ) .

2 . 2 D e f i n i t i o n . A n o p e n c o v e r U o f X i s s a i d t o b e l o c a l l y f i n i t e i f f o r e a c hB ( a ; r ) c o n t a i n e d i n X , U f l B ( a ; r ) = 0 f o r a l l b u t a f i n i t e n u m b e r o f s e t sU I n U .

I t i s a s t a n d a r d f a c t f r o m t o p o l o g y t h a t e v e r y o p e n c o v e r o f a m e t r i c s p a c eh a s a l o c a l l y f i n i t e r e f i n e m e n t ( t h a t i s , e v e r y m e t r i c s p a c e i s p a r a c o m p a c t ) .T h i s w i l l b e p r o v e d f o r m e t r i c s p a c e s t h a t s a t i s f y a n a d d i t i o n a l h y p o t h e s i s

t h a t w i l l f a c i l i t a t e t h e p r o o f a n d b e s a t i s f i e d b y a l l t h e e x a m p l e s t h a t w i l lo c c u p y u s i n t h i s b o o k . S e e E x e r c i s e 1 .

2 . 3 T h e o r e m . I f X i s t h e u n i o n o f a s e q u e n c e o f c o m p a c t s e t s { K , , } s u c ht h a t K , m t f o r a t t n 1 , t h e n e v e r y o p e n c o v e r o f x h a s a l o c a l l y

f i n i t e r e f i n e m e n t c o n s i s t i n g o f a c o u n t a b l e n u m b e r o f o p e n b a l l s .

P r o o f . L e t U b e t h e g i v e n o p e n c o v e r o f X . F o r e a c h n L e t R , , = d i s t ( K , , , X \m t F o r e a c h i n t e g e r n w e w i l l m a n u f a c t u r e a f i n i t e c o l l e c t i o n o f b a l l s1 3 , , t h a t w i l l c o v e r K , , a n d h a v e s o m e a d d i t i o n a l p r o p e r t i e s . T h e s e e x t r ap r o p e r t i e s d o n ' t c o m e i n t o p l a y u n t i l w e r e a c h n = 3 .

F o r e a c h p o i n t a i n K 1 c h o o s e a r a d i u s r w i t h r < R 1 s u c h t h a t B ( a ; r )i s c o n t a i n e d i n s o m e o p e n s e t f r o m U . B y c o m p a c t n e s s w e c a n f i n d a f i n i t ec o l l e c t I o n o f t h e s e b a l l s t h a t c o v e r K 1 . S i m i l a r l y l e t 8 2 b e a f i n i t e c o l -l e c t i o n o f b a l l s t h a t c o v e r K 2 \ m t K 1 , w i t h c e n t e r s i n K 2 \ m t K 1 , a n dw i t h r a d i i l e s s t h a n R 2 a n d s u f f i c i e n t l y s m a l l t h a t t h e b a l l i s c o n t a i n e d i n

s o m e s e t f r o m U . F o r n 3 l e t 1 3 , , b e a f i n i t e c o l l e c t i o n o f b a l l s t h a t c o v e rK , , \ m t a n d s u c h t h a t e a c h b a l l i n 8 , , h a s t h e f o r m B ( a ; r ) w i t ha i n K , \ m t K , , ÷ 1 a n d r c h o s e n s o t h a t B ( a ; r ) i s c o n t a i n e d i n s o m e s e t

f r o m U a n d r < m i n { R , , . . . 2 , R , , } . N o t e t h a t V U , , B , , i s a r e f i n e m e n t o fU . I t i s l e f t t o t h e r e a d e r t o v e r i f y t h a t i f B E B , , a n d B f l K m 0 , t h e n

m = n — 1 , n , o r n + 1 . S i n c e X i s t h e u n i o n o f t i n t K , , } , t h i s s h o w s t h a t Vi s l o c a l l y f i n i t e . 0

2 . 4 P r o p o s i t i o n . I / K i s a c l o s e d s u b s e t o f t h e m e t r i c s p a c e X , { U 1 , } .U m } i s a n o p e n c o v e r o f K , a n d W i s a n o p e n s e t c o n t a i n i n g K , t h e nt h e r e a r e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s f i , .

. . f m s u c h t h a t :

1 7 6 1 8 . C o n c e p t s

( a ) f o r l _ < j _ < m , s u p p o r t

( b ) f , ( x ) = 1 f o r a i l s i n K .

P r o o f . W e m a y a s s u m e t h a t { U 1 , . . . , U , , , } i s a m i n i m a l c o v e r o f K ; t h a ti s , n o p r o p e r c o l l e c t i o n i s a c o v e r . T h e p r o o f p r o c e e d s b y i n d u c t i o n . T h ec a s e m = 1 i s j u s t U r y s o h n ' s L e m m a . F o r m = 2 , U r y s o l m ' s L e m m a i m p l i e st h e r e a r e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s f a n d g o n X s u c h t h a t e a c h t a k e s i t s v a l u e si n ( 0 , 1 ) , f ( s ) = 1 f o r s i n K \ U 2 , f ( s ) = 0 f o r x i n K \ U 1 , g ( s ) = 1 f o r xi n K , a n d g ( x ) = 0 f o r s i n X \ W . P u t = f g a n d f 2 = ( 1 — f ) g . I t i s l e f t

t o t h e r e a d e r t o v e r i f y t h a t t h e s e f u n c t i o n s s a t i s f y ( a ) a n d ( b ) f o r m = 2 .N o w s u p p o s e t h e p r o p o s i t i o n h o l d s f o r s o m e m 2 a n d a l l m e t r i c s p a c e s ,

a n d a s s u m e { U i , . . . , U m + i } i s a m i n i m a l o p e n c o v e r o f K . P u t F = K \U m + i a n d p i c k a n o p e n s e t C i n X s u c h t h a t F C c i C ç UB y t h e i n d u c t i o n h y p o t h e s i s t h e r e a r e C o n t i n u o u s f u n c t i o n s h 1 h m S u c ht h a t f o r 1 j m , 0 h , 1 , s u p p o r t h , U , n W , a n d = 1f o r a l l x i n c i G . A l s o s i n c e w e k n o w t h e p r o p o s i t i o n h o l d s f o r m = 2 ,w e c a n f i n d c o n t i n u o u s f u n c t i o n s a n d 9 2 w i t h 0 S 9 ' , 9 2 1 , s u p p o r t

9 ' C G f l W , s u p p o r t 9 2 c U m + i f l W , a n d g , ( x ) + g 2 ( x ) 1 f o r a i l s i n K .

P u t = g , h , f o r 1 S j m a n d f m + 1 = 9 2 . T h e r e a d e r c a n c h e c k t h a tt h e s e f u n c t i o n s s a t i s f y c o n d i t i o n s ( a ) a n d ( b ) . 0

2 . 5 D e f i n i t i o n . A c o l l e c t i o n o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s } o n X i s a p a r -t i t i o n o f u n i t y i f :

( a )

( b ) t h e c o l l e c t i o n o f s e t s ( { x : > i s a l o c a l l y f i n i t e c o v e r o f X ;

( c ) > , c b , ( x ) = 1 f o r a l l x i n X .

I f U i s a g i v e n o p e n c o v e r o f X , t h e n t h e p a r t i t i o n o f u n i t y } i s s a i d t ob e s u b o r d i n a t e t o U p r o v i d e d t h e c o v e r { { x > i s a r e f i n e m e n t

o f U .

T w o o b s e r v a t i o n s s h o u l d b e m a d e . T h e f i r s t i s t h a t t h e c o l l e c t i o n o ff u n c t i o n s i n t h e d e f i n i t i o n i s n o t a s s u m e d t o b e c o u n t a b l e , l e t a l o n e f i n i t e ,

t h o u g h i n t h e a p p l i c a t i o n s t h a t w e w i l l s e e i n t h i s b o o k i t w i l l b e a t m o s tc o u n t a b l y i n f i n i t e . T h e s e c o n d o b s e r v a t i o n i s t h a t c o n d i t i o n ( b ) o f t h e d e f -i n i t i o n i m p l i e s t h a t t h e s u m t h a t a p p e a r s i n ( c ) h a s o n l y a f i n i t e n u m b e r

o f n o n - z e r o t e r m s , a n d s o n o q u e s t i o n s a b o u t c o n v e r g e n c e a r e n e c e s s a r y .L i k e T h e o r e m 2 . 3 , t h e n e x t r e s u l t i s v a l i d f o r a l l m e t r i c s p a c e s ( e x c e p t

f o r t h e r e s t r i c t i o n t h a t t h e p a r t i t i o n o f u n i t y b e c o u n t a b l e ) , b u t w e p r o v ei t h e r e o n l y f o r t h e m e t r i c s p a c e s w e w i l l e n c o u n t e r i n t h i s b o o k .

2 . 6 T h e o r e m . l i x i s t h e u n i o n o f a s e q u e n c e o f c o m p a c t s e t s } s u c ht h a t K , ç m t f o r a l l n 1 a n d U i s a n o p e n c o v e r o f X , t h e n t h e r ei s a c o u n t a b l e p a r t i t i o n o f u n i t y } s u b o r d i n a t e t o U .

1 8 . 3 . C o n v o l u t i o n i n E u c i d e a n S p a c e 1 7 7

P r o o f . A c c o r d i n g t o T h e o r e m 2 . 3 t h e r e i s a c o u n t a b l e c o v e r B o f X b yo p e n b a l l s t h a t i s s u b o r d i n a t e t o U . S e t K 0 0 a n d f o r n 1 l e t b e

a f i n i t e s u b e o l l e c t i o n o f B t h a t c o v e r s \ m t K , , . . . 1 . A r r a n g e m a t t e r s s o

t h a t L e t B , , = { U , , k : 1A c c o r d i n g t o P r o p o s i t i o n 2 . 4 f o r e a c h n 1 t h e r e a r e c o n t i n u o u s f u n c -

t i o n s { f n k : I < k p , , } s u c h t h a t :

( i ) O < _ f n k

( i i ) = 1 f o r a l l x i n K , \ m t K , , _ 1 .

I f t h e s e t w h e r e i s n o t z e r o i s d e n o t e d b y N , , k , t h e n i t i s a p p a r e n tt h a t { N , , k : 1 k a n d n 1 ) i s a l o c a l l y f l n i t e c o v e r o f X t h a t i ss u b o r d i n a t e t o 8 ( a n d h e n c e t o U ) . T h u s f ( x ) i s aw e l l d e f i n e d c o n t i n u o u s f u n c t i o n o n X a n d f ( s ) 1 f o r a l l z i n X .

D e f i n e = f n k ( X ) / f ( X ) f o r x i n X . C l e a r l y i s c o n t i n u o u s ,o < 1 , s u p p o r t s b , , , , = s u p p o r t a n d = 1f o r a l l x i n X . T h a t i s , i s a p a r t i t i o n o f u n i t y . S i n c e { N , , k } f o r m s al o c a l l y f i n i t e c o v e r o f X , i s l o c a l l y f i n i t e . 0

E x e r c i s e s

1 . S h o w t h a t a m e t r i c s p a c e t h a t s a t i s f i e s t h e h y p o t h e s i s o f T h e o r e m 2 . 3i s l o c a l l y c o m p a c t . C o n v e r s e l y , a l o c a l l y c o m p a c t , o - c o m p a c t m e t r i c

s p a c e s a t i s f i e s t h e h y p o t h e s i s o f T h e o r e m 2 . 3 .

2 . I f X i s a l o c a l l y c o m p a c t m e t r i c s p a c e a n d U i s a n o p e n c o v e r o f X ,

t h e n t h e r e i s a c o u n t a b l e p a r t i t i o n o f u n i t y { c b , } s u b o r d i n a t e t o Us u c h t h a t e a c h f u n c t i o n h a s c o m p a c t s u p p o r t .

3 . S u p p o s e Z i s a n a r b i t r a r y H a u s d o r i f s p a c e t h a t i s l o c a l l y m e t r i z a b l e ;t h a t i s , f o r e a c h z i n Z t h e r e i s a n o p e n n e i g h b o r h o o d U o f z s u c ht h a t t h e r e l a t i v e t o p o l o g y o n U i s m e t r i z a b l e . S h o w t h a t i f e v e r y o p e nc o v e r o f Z h a s a l o c a l l y f i n i t e r e f i n e m e n t , t h e n Z i s m e t r i z a b l e .

§ 3 C o n v o l u t i o n i n E u c l i d e a n S p a c e

I n t h i s s e c t i o n a f e w b a s i c f a c t s a b o u t c o n v o l u t i o n i n E u c l i d e a n s p a c e a r ep r e s e n t e d . I n t h e c o u r s e o f t h i s b o o k c o n v o l u t i o n o n t h e c i r c l e a l s o w i l l b ee n c o u n t e r e d . A t t h e e n d o f t h i s s e c t i o n t h e d e f i n i t i o n s a n d r e s u l t s f o r t h ec i r c l e a r e p r e s e n t e d w i t h o u t p r o o f . O f c o u r s e t h e s e b o t h c o m e u n d e r t h eg e n e r a l s u b j e c t o f c o n v o l u t i o n o n a l o c a l l y c o m p a c t g r o u p , b u t t h i s l e v e l o f

g e n e r a l i t y i s i n a p p r o p r i a t e h e r e .R e c a l l t h a t a n e x t e n d e d r e a l - v a l u e d r e g u l a r B o r e l m e a s u r e i s d e f i n e d

o n a l l t h e B o r e l s e t s , i s f i n i t e o n c o m p a c t s e t s , a n d i t s v a r i a t i o n s a t i s f i e s

t h e u s u a l r e g u l a r i t y c o n d i t i o n s : f o r a n y B o r e l s e t E , =U i s o p e n a n d 8 U ) = i s c o m p a c t a n d K ç E } . I f i s

s u c h a m e a s u r e , t h e n i t a d m i t s a J o r d a n d e c o m p o s i t i o n j z = —

w h e r e j z ÷ a n d s _ a r e p o s i t i v e r e g u l a r B o r e l m e a s u r e s t h a t a r e c a r r i e d b yd i s j o i n t s e t s . I f i s f i n i t e ' v a l u e d , t h e n i t i s b o u n d e d w i t h t o t a l v a r i a t i o n1 i 4 ( R ) < o o . O u r p r i n c i p a l i n t e r e s t w i l l b e w h e n d i s 1 o r 2 , b u t

s p e c i a l i z a t i o n t o t h e s e d i m e n s i o n s d o e s n o t m a k e t h e d i s c u s s i o n s i m p l e r . I fi s e x t e n d e d r e a l - v a l u e d , t h e n e i t h e r o r i s b o u n d e d . A n e x t e n d e d

c o m p l e x - v a l u e d r e g u l a r B o r e ! m e a s u r e i s o n e s u c h t h a t b o t h i t s r e a l a n di m a g i n a r y p a r t s a r e e x t e n d e d r e a l - v a l u e d r e g u l a B o r e l m e a s u r e s .

F o r a n y o p e n s u b s e t C o f R , ( C ) d e n o t e s t h e l i n e a r s p a c e o f c o n t i n u o u s

f u n c t i o n s o n C w i t h c o m p a c t s u p p o r t . N o t e t h a t t h i s i s n o r m d e n s e i nt h e B a n a c h s p a c e C o ( G ) o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s t h a t v a n i s h a t i n f i n i t y .T h e s p a c e w i l l b e a b b r e v i a t e d T h e e x t e n d e d c o m p l e x - v a l u e dm e a s u r e s c o r r e s p o n d t o t h e l i n e a r f u n c t i o n a l s L : C t h a t s a t i s f yt h e c o n d i t i o n t h a t f o r e v e r y c o m p a c t s u b s e t K o f t h e r e i s a 6 o n s t a n tM = M K s u c h t h a t f o r a l l c o n t i n u o u s f u n c t i o n s w i t h

s u p p o r t c o n t a i n e d i n K .I n t h e f u t u r e t h e t e r m " m e a s u r e " w i l l a l w a y s r e f e r t o a n e x t e n d e d c o m p l e x -

v a l u e d r e g u l a r B o r e ! m e a s u r e . A b o u n d e d o r f i n i t e m e a s u r e i s a m e a s u r e w i t hf i n i t e t o t a l v a r i a t i o n a n d a p o s i t i v e m e a s u r e i s o n e f o r w h i c h 0 o of o r a l l B o r e l s e t s . B o u n d e d m e a s u r e s c o r r e s p o n d t o b o u n d e d l i n e a r f u n c -t i o n a l s o n C o = C o ( R ) a n d p o s i t i v e m e a s u r e s c o r r e s p o n d t o p o s i t i v e l i n e a r

f u n c t i o n a l s o n

3 . 1 P r o p o s i t i o n . I f / A i s a m e a s u r e o n R , 0 z s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n w t t hc o m p a c t s u p p o r t , a n d F : R C i s d e f i n e d b y

F ( x ) = f c b ( x —

t h e n F i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n . i s b o u n d e d , t h e n F v a n i s h e s a t i n f i n i t y .I f h a s c o m p a c t s u p p o r t , t h e n F h a s c o m p a c t s u p p o r t .

P r o o f . F i r s t n o t e t h a t s i n c e h a s c o m p a c t s u p p o r t , F i s d e f i n e d . I f xa n d = — y ) , t h e n t h e r e i s a c o m p a c t s e t K t h a t c o n t a i n s t h es u p p o r t s o f a l l t h e f u n c t i o n s T h e L e b e s g u e D o m i n a t e d C o n v e r g e n c eT h e o r e m i m p l i e s t h a t F ( x ) F ab o u n d e d m e a s u r e , t h e n t h e c o n s t a n t f u n c t i o n s a r e i n t e g r a b l e . S o i f x , , — .t h e f a c t t h a t h a s c o m p a c t s u p p o r t i m p l i e s t h a t 0 yi n R . O n c e a g a i n t h e L e b e s g u e D o m i n a t e d C o n v e r g e n c e T h e o r e m i m p l i e s

0 . T h e s t a t e m e n t i n v o l v i n g c o m p a c t s u p p o r t i s l e f t t o t h e r e a d e r .0

3 . 2 P r o p o s i t i o n . L e t A , a , a n d b e m e a s u r e s a n d a s s u m e t h a t A a n d aa r e b o u n d e d a n d h a s c o m p a c t s u p p o r t .

1 8 . 3 . C o n v o l u t i o n i n E u c i d e a n S p a c e 1 7 9

( a ) T h e r e i s a m e a s u r e d e n o t e d b y p * s u c h t h a t f ô r e v e r y c o n t i n u o u sf u n c t i o n 0 w i t h c o m p a c t s u p p o r t

J d ( p * = J [ J Ø ( z — y )

= f [ J — y ) d p ( x ) .

( b ) T h e r e i s a b o u n d e d m e a s u r e d e n o t e d b y A * o s u c h t h a t * i f l f l A w 1 1 0 1 1 a n d f o r e v e r y c o n t i n u o u s f u n c t i o n w i t h c o m p a c t s u p p o r t ,

J =

= J [ J — y ) d A ( s ) .

P r o o f . ( a ) I f F i s d e f i n e d a s i n ( 3 . 1 ) , t h e n t h e f a c t t h a t ' h a s c o m p a c ts u p p o r t i m p l i e s t h a t t h e f i r s t d o u b l e i n t e g r a l i n ( a ) m a k e s s e n s e ; d e n o t e

t h i s f i r s t i n t e g r a l b y L ( 0 ) . C l e a r l y L i s a l i n e a r f u n c t i o n a l o n I f K i sa n y c o m p a c t s e t , E i s t h e s u p p o r t o f a n d h a s i t s s u p p o r t i n K , t h e n

z E K } .S i n c e E - K i s a c o m p a c t s e t , M = - K ) < 0 0 . I t f o l l o w s t h a t

I L ( 0 ) I S a s s u r i n g t h e e x i s t e n c e o f t h e m e a s u r e p * T h ef a c t t h a t t h e f i r s t i n t e g r a l e q u a l s t h e s e c o n d i s a n e x e r c i s e i n t h e u s e o fF u b i n i ' s T h e o r e m .

( b ) N o w i f L ( 0 ) d e n o t e s t h e f i r s t d o u b l e i n t e g r a l i n ( b ) , t h e n ( L ( 0 ) If l A f l t h u s i m p l y i n g t h e e x i s t e n c e o f t h e m e a s u r e A * o a n d t h e

f a c t t h a t h A * o r f i < A g a i n t h e f i r s t i n t e g r a l e q u a l s t h e s e c o n d b yF u b i n i ' s T h e o r e m . 0

T h e m e a s u r e s p * a n d A * 0 a r e c a l l e d t h e c o n v o l u t i o n o f t h e m e a s u r e s .W h e n e v e r w e d i s c u s s t h e c o n v o l u t i o n o f t w o m e a s u r e s i t w i l l b e a s s u m e dt h a t b o t h m e a s u r e s a r e b o u n d e d o r t h a t o n e h a s c o m p a c t s u p p o r t . T h e

p r o o f o f t h e n e x t p r o p o s i t i o n i s l e f t t o t h e r e a d e r .3 . 3 P r o p o s i t i o n . W i t h t h e n o t a t i o n o f t h e p r e c e d i n g t h e o r e m , i f a i s a n -o t h e r m e a s u r e w i t h c o m p a c t s u p p o r t a n d ( 3 i s a n o t h e r b o u n d e d m e a s u r e ,t h e n t h e f o l l o w i n g h o l d .

( a ) p * l r = , 1 * p a n d A * o = 0 * A .( b ) I f o l i t h e m e a s u r e s a r e p o s i t i v e , t h e n s o a r e p * l l a n d A * 0 .

( c ) T h e h a s c o m p a c t s u p p o r t a n d ( p * , i ) s a = p * ( t i * a )a n d ( A * * f 3 .

( d )

t 8 0 1 8 : F u n d a m e n t a l C o n c e p t s

( e ) I f . 5 o i t h e u n i t p o n t m a s s a t t h e o r s g i n , l i * ö o — 1 I .

N o w t o s p e c i a l i z e c o n v o l u t i o n t o f u n c t i o n s .

3 . 4 D e f i n i t I o n . A B o r e l f u n c t i o n / d e f i n e d o n s o m e B o r e l s u b s e t E o fR i s s a i d t o b e l o c a l l y i n t e g r a b l e i f , f o r e v e r y c o m p a c t s u b s e t K o f E ,

. I K I / l d A < o o . T h e s e t o f l o c a l l y i n t e g r a b l e f u n c t i o n s o n E i s d e n o t e d b yL L ( E ) ; w e s e t L L = S i m i l a r l y , d e f i n e t o b e t h e l i n e a rs p a c e o f a l l B o r e l f u n c t i o n s f s u c h t h a t I f i s l o c a l l y i n t e g r a b l e o n E ;

r P' . ' I o c — L i l a c

N o t e t h a t i f f E L L , t h e n = f d A i s a m e a s u r e . ( A i s u s e d t od e n o t e L e b e s g u e m e a s u r e o n R . ) T h i s m e a s u r e i s b o u n d e d i f a n d o n l y i f Ii s i n t e g r a b l e o n R . S i m i l a r l y , p i s p o s i t i v e o r h a s c o m p a c t s u p p o r t i f a n do n l y i f I 0 o r f h a s c o m p a c t s u p p o r t . T h i s r e l a t i o n w i l l b e d e n o t e d b yp = f A .

S u p p o s e / a n d g a r e l o c a l l y i n t e g r a b l e f u n c t i o n s , p = f A , a n d =g A . A s s u m e t h a t e i t h e r b o t h f a n d g a r e i n t e g r a b l e o r o n e o f t h e m h a sc o m p a c t s u p p o r t . I f E t h e n f d p ( y ) f 4 ( x — y ) f ( y ) d A ( y ) =

— z ) d A ( z ) b y a c h a n g e o f v a r i a b l e s . T h u s

=

= J [ f — y ) f ( y ) d A ( Y ) ] g ( z ) d A ( x )

=

f { J

— z ) d A ( z ) } g ( z ) d A ( x )

= J c o ( z ) { f f ( x - . z ) 9 ( z ) d A ( x ) ] d . . 4 ( z ) .

T h i s l e a d s t o t h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n .

3 . 5 P r o p o s i t i o n . I f f a n d g a r e l o c a l l y i n t e g r u b l e f u n c t i o n s a n d o n e o ft h e m h a s c o m p a c t s u p p o r t ( r e s p e c t i v e l y ? b o t h a r e i n t e g r a b l e ) , t h e n t h e J u n c -t i o n f * g d e f i n e d b y

( f * g ) ( x )= J f ( x — y ) g ( y ) d A ( y )

i s l o c a l l y i n t e g r a b l e ( r e s p e c t i v e l y , i n t e g r a b l e ) . I / p = í A a n d = t h e n= ( f * g ) A .

T h e f u n c t i o n / * g i s c a l l e d t h e c o n v o l u t i o n o f / a n d g . T h e p r o p o s i t i o nf o r t h e c o n v o l u t i o n o f f u n c t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o P r o p o s i t i o n 3 . 3 w i l l n o tb e s t a t e d b u t u s e d i n t h e s e q u e l .

N o t e t h a t f o r a n y c o n s t a n t c , i f R — . R i s d e f i n e d b y l e t t i n g =c e x p ( — ( 1 — l x ( 2 ) 9 f o r l x i < I . a n d = ( I f o r l x i 1 , t h e n i s i n f i n i t e l y

1 8 . 3 . C o n v o l u t i o n i n E u c l i d e a n S p a c e 1 8 1

d i f f e r e n t i a b l e a n d n o n - n e g a t i v e . ( H e r e l x i i s t h e u s u a l E u c l i d e a n n o r m , =C h o o s e t h e c o n s t a n t c s u c h t h a t f = 1 . F o r e > 0 , l e t

& ( x ) = e _ d Ø ( x / e ) . N o t e t h a t & i s s t i l l i n f i n i t e l y d i f f e r e n t i a b l e , & ( z ) = 0

f o r e , a n d f & d A = 1 . T h i s n e t i s c a l l e d a m o u i f i e r o r r e g u l a r s z e ra n d f o r I i n L i ' ( , C

* f ) ( y ) f c b e ( Y _ X ) f ( X ) d A ( X )

i s c a l l e d t h e m o l l i f i c a t i o n o r r e g u l a r i z a t i o n o f f . T h e r e a s o n f o r t h e s e t e r m sw i l l s u r f a c e i n p a r t ( a ) o f t h e n e x t r e s u l t .

I t i s i m p o r t a n t t o r e a l i z e , h o w e v e r , t h a t t h e m o l l i f i e r h a s t h e p r o p e r t y

t h a t i t i s r o t a t i o n a l l y i n v a r i a n t ; t h a t i s , = T h i s w i l l b e u s e da t t i m e s i n t h e f u t u r e .

3 . 6 P r o p o s i t i o n . L e t f a n d l e t K b e a c o m p a c t s u b s e t o f R .

( a )

( b ) I f f = 0 o f f K a n d U i s a n o p e n s e t c o n t a i n i n g K , t h e n * /C r ( U ) f o r 0 < c < d i s t ( K , O U ) .

( c ) i l j i s c o n t i n u o u s o n a n o p e n s e t t h a t c o n t a i n s K , t h e n & * f — fu n i f o r m l y o n K .

( d )

IC — . O J K

P r o o f : ( a ) S i n c e i s i n f i n i t e l y d i f f e r e n t i a b l e , t h e f a c t t h a t & * I i s i n -f i n i t e l y d i f f e r e n t i a b l e f o l l o w s b y a p p l y i n g L e i b n i z ' s r u l e f o r d i f f e r e n t i a t i n gu n d e r t h e i n t e g r a l s i g n .

( b ) L e t 0 < e < d i s t ( K , R \ U ) . I f d i s t ( y , K ) e , t h e n & ( x — y ) = O f o r a l lx i n K . H e n c e i f d i s t ( y , K ) e , t h e n = f K & ( y — x ) f ( x ) d A ( x ) =

0 .

( c ) O n l y c o n s i d e r e < d i s t ( K , C \ U ) . B e c a u s e f d A = 1 a n d = 0 o f fB ( 0 ; e ) , f o r y i n K w e h a v e t h a t * f ) ( y ) — = I f c M y —

f ( y ) ) d A ( z ) l — f Q i ) l l v — x i < e } . B u t s i n c e f m u s t b e

u n i f o r m l y c o n t i n u o u s i n a n e i g h b o r h o o d o f K , t h e r i g h t h a n d s i d e o f t h i si n e q u a l i t y c a n b e m a d e a r b i t r a r i l y s m a l l u n i f o r m l y f o r y i n K .

( d ) L e t U b e a b o u n d e d o p e n s e t c o n t a i n i n g K a n d l e t a > 0 . L e t g b e ac o n t i n u o u s f u n c t i o n w i t h s u p p o r t c o n t a i n e d i n U s u c h t h a t f f — g 1 " d . . 4 <

I f 0 < e < d i s t ( K , C \ U ) , t h e n

= 1 K. . . . y ) ' I P [ f ( x )

I . I t J ( j

( J # e ( z - y ) I f ( x )- g ( x ) I P d A ( x ) )

f 1 / ( x ) - g ( x ) r[ 1 K

& ( x - y ) d A ( V ) ] d A ( x )

T h e r e f o r e

1 ! < 2 a + k b e * 9 _ 9 l " d . . 4 1U K J U K J

B y p a r t ( c ) , t h e r i g h t h a n d s i d e o f t h i s i n e q u a l i t y c a n b e s m a l l e r t h a ni f e i s c h o s e n s u f f i c i e n t l y s m a l l . 0

T h e r e a d e r m i g h t p r o f i t b y n o w l o o k i n g a t E x e r c i s e 1 i n t h e n e x t s e c t i o n .H e r e i s a n a p p l i c a t i o n o f t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n t h a t w i l l p r o v e u s e f u ll a t e r .

3 . 7 P r o p o s I t i o n . I f p i s a m e a s u r e o n C a n d U i s a n o p e n s u b s e t o f t h ep l a n e s u c h t h a t = 0 / o r a l l i n t h e n I p I ( U ) = 0 .

P r o o f . L e t I b e a n a r b i t r a r y f u n c t i o n i n i t s u f f i c e s t o s h o w t h a tf f d p = 0 . L e t K b e t h e s u p p o r t o f f a n d p u t d = 2 1 d i s t ( K , 8 ( J ) . I f i sa m o l l i f i e r , t h e n E f o r e < 2 d . I f e n c e f & * f d 1 i = O f o r e < 2 d .

B u t i f L { z : d i s t ( x , K ) d } , t h e n * f — p f u n i f o r m l y o n L ( 3 . 6 . c )a n d s o f f d p = f L f d l I = 0

3 . 8 T h e o r e m . I f G i s a n o p e n s u b s e t o f R a n d U i s a n o p e n c o v e r o f C ,t h e n t h e r e i s a p a r t i t i o n o f u n i t y o n C t h a t i s s u b o r d i n a t e t o U a n d c o n s i s t s

o f i n f i n i t e l y d i f f e r e n t i a b k f u n c t i o n s .

P r o o f . i t i s e a s y t o s e e t h a t C c a n b e w r i t t e n a s t h e u n i o n o f a s e q u e n c eo f c o m p a c t s e t s { K i j w i t h K , , ç m t ( s e e 7 . 1 . 2 ) . T h u s a c c o r d i n g t oT h e o r e m 2 . 3 t h e r e i s a c o u n t a b l e l o c a l l y f i n i t e r e f i n e m e n t B o f U s u c h

t h a t B c o n s i s t s o f b a l l s . L e t B L J J , , , w h e r e B , , i s a f i n i t e c o v e r o fK , , \ i n t J C , , _ 1 ( K o = 0 ) ; p u t B , , = : 1 k p , , } . A r r a n g e m a t t e r s

w i t h K , \ i n t K , , _ 1 ç m t L , , ç L , , ç U k B , , k . A c c o r d i n g t o P r o p o s i t i o n 2 . 4t h e r e a r e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s { f , : 1 k p , , } s u c h t h a t 0 1 ,s u p p o r t f , , a c B , , * , a n d f o r a l l z i n L , , .

N o w c h o o s e e , , > 0 s o t h a t i t i s s i m u l t a n e o u s l y l e s s t h a n d i s t ( K , , \m t K , , _ 1 , R \

a n d d i s t ( s u p p o r t f , , k , O B , , k ) ; p u t ' I ' n k = * I n * ,w h e r e i s a r e g u l a r i z e r . T h e f u n c t i o n i s i n f i n i t e l y d i f f e r e n t i a b l eb y t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n a n d i t i s c l e a r l y p o s i t i v e . A l s o t h e d e f i n i -t i o n o f ' 1 b , , k s h o w s t h a t f o r a n y p o i n t z , f = 1 . S i n c e

1 8 . 3 . C o n v o l u t i o n i n E u c l i d e a n S p a c e 1 8 3

e , , < d i s t ( s u p p o r t t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n i m p l i e s t h a t s u p -

p o r t F i n a l l y , i f x E K , \ m t

=

B u t — y ) = 0 u n l e s s — y J B y t h e c h o i c e o f x t h i s i m p l i e st h a t y E a n d s o f n k ( v ) = 1 . T h u s = 1 f o r a l l z i n

K \ m t H e n c e = 1 f o r a l l x i n G . I f1

s o u g h t a f t e r p a r t i t i o n o f u n i t y . 0

W e n o w s t a t e a s o m e w h a t a b s t r a c t f o r m o f L e i b n i z ' s r u l e f o r d i f f e r e n t i -a t i n g u n d e r t h e i n t e g r a l s i g n .

3 9 T h e o r e m . L e t ( Y , E , i ) b e a m e a s u r e s p a c e , l e t C b e a n o p e n s u b s e to f k , a n d l e t e ,m e a s u n z b l e f u n c t i o n t h a t s a t i s f i e s t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s :

( a ) . f o r e a c h x i n G t h e f u n c t i o n y — . f ( x , y ) b e i o n g s t o L ' ( P ) ;( b ) e x i s t s f o r a . e . [ p ) y i n Y a n d a l l x i n G ;

( c )f o r s m o l l r e o l n u m b e r s s t i c h t h a t O ( t ) — ' O a s t — ' O a n d

f ( x + t e , , y ) — f ( x , y )— = g ( y ) O ( t )

a . e . [ 4 T h e n F ( z ) f f ( x , y ) d p ( y ) e x i s t s a n d i s d i f f e r e n t i a b l e w i t hr e s p e c t t o w i t h

Ô F 1 0 /= j

3 . 1 0 C o r o l l a r y . I f 0 i s a c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n w i t h c o m p a c t

s u p p o r t a n d / L 1 ( A ) , t h e n f i s c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e a n d 0 ( 0 *1 ) / O x , = ( 0 0 / O x , ) * / f o r 1 j d .

N o w t o r e s e t t h e d e f i n i t i o n s a n d r e s u l t s f o r c o n v o l u t i o n o n t h e c i r c l e .S i n c e O D i s c o m p a c t , a l l r e g u l a r B o r e l m e a s u r e s o n t h e c i r c l e a r e f i n i t e a n ds o t h e d i s c u s s i o n o f c o n v o l u t i o n i s s i m p l i f i e d . I t i s n o l o n g e r n e c e s s a r y t oc o n s i d e r l o c a l l y i n t e g r a b l e f u n c t i o n s . L e t M ( O D ) b e t h e s p a c e o f c o m p l e x -v a l u e d r e g u l a r B o r e l m e a s u r e s o n O D . I f a n d i i M ( O D ) , d e f i n e L :

C ( O D ) - ' C b y3 . 1 1 L ( f )

= f J f ( z w ) d g i ( z ) d v ( w )8 0 8 0

f o r a l l / i n C ( O D ) . I f L : C ( O D ) — . C i s d e f i n e d a s i n ( 3 . 1 1 ) , t h e n L i s ab o u n d e d l i n e a r f u n c t i o n a l a n d I L I I < I , i I I I I i ' I . S i n c e t h i s l i n e a r f u n c t i o n a lL i s b o u n d e d , t h e R i e s z R e p r e s e n t a t i o n T h e o r e m i m p l i e s t h e r e i s a u n i q u e

m e a s u r e o n O D c o r r e s p o n d i n g t o i t .3 . 1 2 D e f i n i t i o n . I f p a n d v e M ( O D ) , t h e n p * i i i s t h e u n i q u e m e a s u r ei n M ( 8 1 ) ) s u c h t h a t

J i d ( p * i i ) f f f ( z w ) d p ( z ) d v ( w )8 D 8 D

f o r a l l I i n C . T h e m e a s u r e p * v i s c a l l e d t h e c o n v o l u t i o n o f p a n d v .

3 . 1 3 P r o p o s i t i o n . l I p , u , a n d E t h e f o l l o w i n g h o l d .

( a ) a n d I I p * v I I S I I P I I I I i ' I .( b ) a n d v p o s i t i v e , t h e n p * i i 0 .

( c )

( d )

( e ) f f 6 , i s t h e u n z t p o i n t m a s s a t ! , t h e n 6 ,

T h e r e i s a n e q u i v a l e n t w a y t o d e f i n e p * i i a s a f u n c t i o n d e f i n e d o n t h eB o r e l s u b s e t s o f 8 D . S e e E x e r c i s e 3 .

3 . 1 4 P r o p o s i t i o n . I f f a n d g E L ' ( 8 D ) , p = f m , i i = g i n , a n d / i 8 DC i s d e f i n e d b y

h ( z ) = ff ( z i i i ) g ( w ) d m ( w )

f o r z i n O D , t h e n 4 E L ' ( O D ) a n d p * i i = h m .

3 . 1 5 D e f i n i t i o n . I f f a n d g E L ' , t h e n t h e c o n v o l u t i o n o f f a n d g i s t h ef u n c t i o n

( f * g ) ( z )= f g ( w ) d m ( w ) .

N o t e t h a t t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n s h o w s t h a t t h e d e f i n i t i o n s o f c o n v o -l u t i o n f o r m e a s u r e s a n d f u n c t i o n s a r e c o n s i s t e n t . A l s o t h e b a s i c a l g e b r a i cp r o p e r t i e s f o r t h e c o n v o l u t i o n o f t w o f u n c t i o n s c a n b e r e a d o f f f r o m P r o p o -

s i t i o n 3 . 1 3 . I n p a r t i c u l a r , i t f o l l o w s f r o m p a r t ( a ) o f P r o p o s i t i o n 3 . 1 3 t h a t

I l l * g i l , I l l , u g h , .



1 8 . 4 . D i s t r i b u t i o n s 1 8 5

E x e r c i s e s

1 . I s P r o p o s i t i o n 3 . 1 v a l i d i f i t i s n o t a s s u m e d t h a t i s c o n t i n u o u s ?

2 . 1 f f E L ' ( & * z ' ) , s h o w t h a t f f d p * v — f f f ( x — y ) d i i ( z ) d v ( y ) . S t a t ea n d p r o v e t h e a n a l o g o u s f a c t f o r c o n v o l u t i o n o n t h e c i r c l e .

3 . i f E i s a B o r e l s u b s e t o f s h o w t h a t * v ) ( E ) = x v ) ( { ( x , y )R d x R d x + y E E } ) . S t a t e a n d p r o v e t h e a n a l o g o u s f a c t f o r c o n v o -l u t i o n o n t h e c i r c l e .

4 .

S t a t e a n d p r o v e t h e a n a l o g o u s f a c t f o r c o n v o l u t i o n o n t h e c i r c l e .

§ 4 D i s t r i b u t i o n s

I n t h i s s e c t i o n w e w i l l c o n c e n t r a t e o n d i s t r i b u t i o n s o n a n o p e n s u b s e t o ft h e c o m p l e x p l a n e . T h e d e f i n i t i o n s a n d r e s u l t s c a r r y o v e r t o d i s t r i b u t i o n s

o n o p e n s e t s i n R , a n d w e w i l l n e e d s o m e o f t h e s e f a c t s f o r d i s t r i b u t i o n so n R . H o w e v e r w e w i l l n e e d t o s e e s o m e o f t h e r e l a t i o n s h i p s i n v o l v i n gf u n c t i o n s a n d d i s t r i b u t i o n s o f a c o m p l e x v a r i a b l e a n d o b t a i n i n f o r m a t i o na b o u t a n a l y t i c a n d h a r m o n i c f u n c t i o n s . T h u s t h e s p e c i a l i z a t i o n . I t w i l l b el e f t t o t h e r e a d e r t o c a r r y o u t t h e e x t e n s i o n t o R .

W e m a k e t h e c o n v e n t i o n , i n l i n e w i t h t h e m a t h e m a t i c a l c o m m u n i t y , t h a tf o r a n y r e g i o n C i n C , V ( G ) T h e r e a d e r s h o u l d r e g a i n a c q u a i n -t a n c e w i t h t h e n o t a t i o n 0 4 a n d f r o m § 1 3 . 2 .

4 . 1 D e f i n i t i o n . I f C i s a n o p e n s u b s e t o f C , a d i 3 t r i b u t i o n o n C i s a l i n e a rf u n c t i o n a l L V ( G ) C w i t h t h e p r o p e r t y t h a t i f K i s a n y c o m p a c t s u b s e to f C a n d { j i k } i s a s e q u e n c e i n D ( G ) w i t h s u p p o r t 0 k K f o r e v e r y k 1 ,a n d i f f o r a l l m , n 1 , 0 u n i f o r m l y f o r z i n K a s k o o ,

t h e n 0 . T h e f u n c t i o n s i n D ( G ) a r e r e f e r r e d t o a s t e s t f u n c t i o n s .

I t i s p o s s i b l e t o d e f i n e a t o p o l o g y o n D ( G ) s u c h t h a t V ( G ) b e c o m e s a

l o c a l l y c o n v e x t o p o l o g i c a l v e c t o r s p a c e a n d t h e d i s t r i b u t i o n s a r e p r e c i s e l yt h e c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n a l s o n t h i s s p a c e . S e e § 4 . 5 i n C o n w a y [ 1 9 9 0 J .

T h i s o b s e r v a t i o n h a s m o r e t h a n p s y c h o l o g i c a l m e r i t , a s i t m e a n s t h a t r e s u l t sf r o m f u n c t i o n a l a n a l y s i s ( l i k e t h e H a h n - B a n a c h T h e o r e m ) a p p l y .

4 . 2 E x a m p l e .

( a ) I f u E t h e n u d e f i n e s a d i s t r i b u t i o n v i a t h e f o r m u l a

= f u q 5 d A .( b ) I f i s a m e a s u r e o n C , t h e n . t d e f i n e s a d i s t r i b u t i o n L M v i a t h e

f o r m u l a =

1 8 6 1 8 . C o n c e p t s

T h e v e r i f i c a t i o n o f t h e s e s t a t e m e n t s a r e l e f t t o t h e r e a d e r . A l s o n o t e t h a ti f L i s a d i s t r i b u t i o n o n G , t h e n a n d 4 — ' a l s o d e f i n e

d i s t r i b u t i o n s o n G . T h i s j u s t i f i e s t h e f o l l o w i n g d e f i n i t i o n .

4 . 3 D e f i n i t i o n , i f L i s a d i s t r i b u t i o n o n C , l e t O L a n d b e t h e d i s t r i -b u t i o n s d e f i n e d b y = a n d =

T h e m i n u s s i g n s a r e p l a c e d h e r e i n t h e d e f i n i t i o n s o t h a t i f u i s a c o n t i n -u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n o n C , t h e n = a n d = a s

c a n b e v e r i f i e d b y a n a p p l i c a t i o n o f i n t e g r a t i o n b y p a r t s .F o r t h e m o s t p a r t w e w i l l b e c o n c e r n e d w i t h d i s t r i b u t i o n s t h a t a r e d e -

f i n e d b y l o c a l l y i n t e g r a b l e f u n c t i o n s , m e a s u r e s , a n d t h e d e r i v a t i v e s o f s u c hd i s t r i b u t i o n s . B e a w a r e , h o w e v e r , t h a t t h e d e r i v a t i v e o f a d i s t r i b u t i o n d e -f i n e d b y a f u n c t i o n i s n o t n e c e s s a r i l y a d i s t r i b u t i o n d e f i n e d b y a f u n c t i o n .I f U E L L ( G ) , w e w i l l o f t e n c o n s i d e r O u a s t h e d i s t r i b u t i o n a l d e r i v a t i v e o f

u . T h a t i s , . 9 u i s t h e d i s t r i b u t i o n a n d t h e c a u t i o n j u s t e x p r e s s e d i s t h er e m i n d e r t h a t 8 u i s n o t n e c e s s a r i l y a f u n c t i o n . S i m i l a r s t a t e m e n t s h o l d f o r

9 u a n d a l l h i g h e r d e r i v a t i v e s .I n L e m m a 1 3 . 2 . 6 a n d L e m m a 1 3 . 2 . 1 0 i t w a s s h o w n t h a t f o r a n y w i n C

t h e f u n c t i o n s z ( z — w ) ' a n d z l o g I z — w I a r e l o c a l l y i n t e g r a b l e . T h ed e r i v a t i v e s i n t h e s e n s e o f d i s t r i b u t i o n s o f t h e s e f u n c t i o n s a r e c a l c u l a t e db e l o w . T h e s e w i l l s e e s p e c i a l s e r v i c e l a t e r i n t h i s b o o k . F o r t h e s a k e o f

c o m p l e t e n e s s , h o w e v e r , s o m e a d d i t i o n a l d i s t r i b u t i o n s a r e i n t r o d u c e d .

4 . 4 I f n 1 a n d i / E t h e n

u r n

Ie x i s t s a n d i s f i n i t e .

P r o o f . L e t R b e s u f f i c i e n t l y l a r g e t h a t s u p p o r t B ( 0 ; R ) . B y T a y l o r ' sF o r m u l a ( 1 3 . 2 . 4 ) = p i s a p o l y n o m i a l i n z a n d I o f

d e g r e e n — 1 , e a c h d e r i v a t i v e o f g o f o r d e r n — I v a n i s h e s a t 0 , a n df o r s o m e c o n s t a n t C . T h u s

f 4 ! d A ( z ) .I z I Z Z Z

N o w t h e f i r s t o f t h e s e t w o i n t e g r a l s i s a l i n e a r c o m b i n a t i o n o f i n t e g r a l s o fq u o t i e n t s o f t h e f o r m f o r k , m 0 a n d k + m < n . B u t

I ' f R 1 f 2 R/ d A ( z ) = j j , . k + m _ n _ l d , .

J R > I z I Z J 0 [ J 0= 0

1 8 . 4 . D i s t r i b u t i o n s 1 8 7

s i n c e k — m — n 0 . O n t h e o t h e r h a n d i s b o u n d e d s o t h a t

u r n I IJ t z t < R

a f i n i t e n u m b e r . 0

4 . 5 P r o p o s i t i o n . F o r n 1 d e f i n e P V , V — ' C b y

P v n ( q s ) l i m f( — . 0 I z I Z

T h e n P V , d e f i n e s a d i s t r i b u t i o n a n d

= =

w h e r e ö o i s t h e u n i t p o i n t m a s s a t t h e o r i g i n .

P r o o f . T h e p r e c e d i n g l e m m a s h o w s t h a t i s d e f i n e d a n d f i n i t e . I tm u s t b e s h o w n t h a t i t i s a d i s t r i b u t i o n . S o l e t R b e a p o s i t i v e n u m b e r ,l e t b e a s e q u e n c e o f t e s t f u n c t i o n s w i t h s u p p o r t s a l l c o n t a i n e d i n

B = B ( 0 ; R ) , a n d a s s u m e t h a t f o r a l l k , m 0 0 u n i f o r m l yo n B . A g a i n u s e T a y l o r ' s F o r m u l a t o w r i t e = p , ÷ g 3 , w h e r e p , i s ap o l y n o m i a l i n z a n d ! o f d e g r e e n — 1 a n d e a c h d e r i v a t i v e o f g 1 o f o r d e r

n — 1 v a n i s h e s a t 0 . t h e p r o o f o f t h e p r e c e d i n g l e m m a i t i s k n o w nt h a t

J Z Z

a n d

I z I S R

B u t T a y l o r ' s F o r m u l a a l s o i m p l i e s t h a t f o r e a c h j 1 ,

E I w I R } .

T h u s 0 u n i f o r m l y o n B . T h e r e f o r e — ' 0 a n d P V , i s

a d i s t r i b u t i o n .T o f i n d f i x a t e s t f u n c t i o n w i t h s u p p o r t c o n t a i n e d i n B =8 ( 0 ; R ) a n d w r i t e = p + g a s i n T a y l o r ' s F o r m u l a . U s i n g t h e d e f i n i t i o n o ft h e d e r i v a t i v e o f a d i s t r i b u t i o n

= _ l i m Je — . 0 I z I Z

= + d A ( z )

= — t i m J d . . 4 ( z ) .e — 0 I z I

S o w e m u s t s h o w t h i s l a s t l i m i t i s 0 . T o d o t h i s i t s u f f i c e s t o s h o w t h a tt h e c o m p l e x c o n j u g a t e g o e s t o 0 a s e 0 . T h i s p e r m i t s t h e a p p l i c a t i o n o fG r e e n ' s T h e o r e m a n d s o

f = fz I

= _ ! f ± d z2 i

=2 J o

1 1 2 w

— J

jB u t t h e r e i s a c o n s t a n t C s u c h t h a t f o r R . T h e r e f o r e

< m a x

C i r e ,

w h i c h c o n v e r g e s t o 0 a s E — 0 .N o w t o f i n d L e t p , g , a n d B ( O ; R ) b e a s a b o v e . O n c e a g a i n a n

a p p l i c a t i o n o f t h e d e f i n i t i o n o f t h e d e r i v a t i v e o f a d i s t r i b u t i o n a n d G r e e n ' sT h e o r e m s h o w t h a t

— . 1 11

= — l i m — 1 t e e d Oe — ø 2 j 0

=2 e " _ l

f 2 w

N o w s u b s t i t u t e p + g f o r i n t h i s i n t e g r a l I t i s l e f t t o t h e r e a d e r t o s h o w t h a tt h e l i m i t o f t h e i n t e g r a l f o r g i s 0 . F o r t h e i n t e g r a l i n v o l v i n g t h e p o l y n o m i a l

p , n o t e t h a t t h e i n t e g r a l o f a l t t h e t e r m s i n v o l v e d a r e 0 s a v e p o s s i b l y f o rt h e t e r m w i t h H e r e w e h a v e t h a t

L = i T .

N o w t h e c o e f f i c i e n t o f i n t h e e x p r e s s i o n f o r p i s — 1 ) ! .

A s s e m b l i n g t h e s e p i e c e s p r o d u c e s

=



1 8 . 4 . D i s t r i b u t i o n s 1 8 9

=i

0

T w o s p e c i a l c a s e s o f t h i s a r e w o r t h u n d e r l i n i n g . N o t e t h a t i n t h e p r e c e d -i n g p r o p o s i t i o n w h e n n = 1 t h e f u n c t i o n s a n d a r e l o c a l l y i n t e g r a b l ea n d t h u s d e f i n e a d i s t r i b u t i o n . C o m b i n i n g t h i s w i t h E x e r c i s e 3 w e g e t t h ef o l l o w i n g .

4 . 6 C o r o l l a r y . F o r a n y p o i n t w i n C ,

— w ) _ t I = O [ ( z — = — P V 2

— = — =

w h e r e i 3 t h e u n i t p o i n t m a s s a t w .

4 . 7 P r o p o s i t i o n . I f w E G , t h e n , i n t h e s e n s e o f d i s t r i b u t i o n s o n C :

( a ) — = f 2 ( z — w ) J ' a n d s l o g — —

( b ) — w I = w h e r e i s t h e u n i t p o i n t m a s s a t w .

P r o o f . ( a ) i f E D ( G ) , l e t r b e a s m o o t h p o s i t i v e J o r d a n s y s t e m i n G

s u c h t h a t B 3 = B ( w ; e ) U a n d l e t U 3 = U \ B 3 . S o u s i n g G r e e n ' sT h e o r e m

I z — w I d A ( z )

= — w I d A ( z )

— — w J } d A ( z )

t i me — O

2 J u z — w

B u t

fl o g I z — w t d z

= —

fl o g I z —

w J

d zO U r

= — E l o g e ]0




a n d t h i s c o n v e r g e s t o 0 a s 0 . T h i s p r o v e s t h e s e c o n d h a l f o f ( a ) . T o g e tt h e f i r s t h a l f , j u s t a p p l y E x e r c i s e 3 .

( b ) T h i s i s a c o n s e q u e n c e o f ( a ) , t h e p r e c e d i n g c o r o l l a r y , a n d t h e f a c t

t h a t i t i s n o t p o s s i b l e t o d e f i n e t h e p r o d u c t o f t w o d i s t r i b u t i o n s , b u ti f L i s a d i s t r i b u t i o n o n C a n d 4 , i s a t e s t f u n c t i o n , t h e nd e f i n e s a n o t h e r d i s t r i b u t i o n o n C . T h i s p r o d u c e s a p r o d u c t r u l e .

4 . 8 P r o p o s i t i o n . I f L i s a d i s t r i b u t i o n o n C o n d 4 , i s a t e s t f u n c t i o n , t h e n8 ( 4 , L ) = ( 8 4 , ) L + 4 , ( Ô L ) a n d = +

T h e p r o o f i s l e f t a s a n e x e r c i s e .S a y t h a t a d i s t r i b u t i o n L o n G i s p o s i t i v e i f L ( 4 , ) 0 w h e n e v e r 4 , i s

a n o n - n e g a t i v e t e s t f u n c t i o n . A n e x a m p l e o f a p o s i t i v e d i s t r i b u t i o n i s o n ed e f i n e d b y a p o s i t i v e m e a s u r e . T h e n e x t p r o p o s i t i o n p r o v i d e s a c o n v e r s e .

4 . 9 P r o p o s i t I o n . T h e d i s t r i b u t i o n L o n G i s p o s i t i v e i f a n d o n l y i f t h e r ei s a p , s i t i v e m o n G s u c h t h a t L ( 4 , ) f 4 , d z .

P r o o f . T o p r o v e t h i s p r o p o s i t i o n i t m u s t b e s h o w n t h a t f o r a n y c o m p a c ts u b s e t K o f C t h e r e i s a c o n s t a n t C s u c h t h a t C f l 4 ' 1 1 0 0 f o re v e r y r e a l - v a l u e d t e s t f u n c t i o n 4 , w i t h s u p p o r t c o n t a i n e d i n K . I n d e e d , i ft h i s i s d o n e , t h e n t h e f a c t t h a t t h e i n f i n i t e l y d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n s w i t hs u p p o r t c o n t a I n e d i n K a r e d e n s e i n C o ( i n t K ) a l l o w s u s t o e x t e n d L t o ah o u n d e d l i n e a r f u n c t i o n a l o n C o ( i n t K ) . F r o m h e r e w e p r o d u c e t h e m e a s u r eo n C ( d e t a i l s ? ) .

L e t b e a t e s t f u n c t i o n w i t h c o m p a c t s u p p o r t i n C s u c h t h a t 0 1

a n d = i o n K . ( S e e E x e r c i s e 1 . ) I f 4 , i s a r e a l - v a l u e d t e s t f u n c t i o n w i t hs u p p o r t i n c l u d e d i n K a n d f l 4 , f l O Q 1 , t h e n — s t ' 4 ' B e c a u s e L i sp o s i t i v e , t h i s i m p l i e s t h a t L ( 4 , ) L ( t I ' ) , T h a t i s , C ,w h e r e C T h u s f o r a n y r e a l - v a l u e d t e s t f u n c t i o nw i t h s u p p o r t i n c l u d e d i n K . 0

4 . 1 0 W e y l ' s L e m m * . I f u L L ( G ) a n d = 0 a s a d i s t r i b u t i o n , t h e n

t h e r e i s a h o x i n o n i c f u n c t i o n f o n G s u c h t h a t u = f a . e . f A r e a J .P r o o f .

C d i s t ( z , O G ) > ö } . N o t e t h a t z ) ) = — z ) ) . H e n c e i fE V ( G 6 ) , t h e n

/ * u ) d . . 4 = * u ) ( w ) d A ( w )

= J u ( z ) — z ) d A ( w ) ] d A ( z )

1 8 . 4 . D i s t r i b u t i o a s 1 9 1

= J u ( z ) — z ) ] d A ( w ) ] d A ( z )

J u ( z ) — z ) J d A ( w ) ] d A ( z )

= [ f — z ) d A ( w ) ] d A ( z )

= / * ( z ) d A ( z )

=

= 0 .

w h e n 0 < c < 6 . B y p a r t ( d ) o f P r o p o s i t i o n 3 . 6 , * u — u J d A — . 0 a 8e 0 f o r a n y c o m p a c t s u b s e t K o f S i n c e B e r g m a n s p a c e s a r e c o m p l e t e ,

U E f o r a n y o p e n s e t U w i t h c i U c S i n c e 5 w a s a r b i t r a r y , t h er e s u l t f o l l o w s . 0

4 . 1 1 C o r o l l a r y . I f u i s a l o c a l l y i u t e g n z b l e f u n c t i o n o n G a n d = 0 i nt h e s e n s e o f d i s t r i b u t i o n s , t h e n t h e r e i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n f o n 0 s u c ht h a t u = f a . e . f A r e d .

P r o o f . S i n c e = 0 , = 0 . B u t W e y l ' s L e m m a i m p l i e s t h a t u i sh a r m o n i c o n 0 . I n p a r t i c u l a r , u i s i n f i n i t e l y d i f f e r e n t i a b l e . I t

n o w f o l l o w st h a t u i s a n a l y t i c ( 1 3 . 2 . 1 ) . 0

T h i s c o r o l l a r y i s a l s o r e f e r r e d t o a s W e y l ' s L e m m a . I n d e e d t h e r e i s t h em o t h e r o f a l l W e y l w h i c h s t a t e s t h a t i f L i s a d i s t r i b u t i o n o n C

a n d D i s a n e l l i p t i c d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s u c h t h a t D ( L ) = 0 , t h e n L i sg i v e n b y a n i n f i n i t e l y d i f f e r e n t i a l f u n c t i o n u t h a t s a t i s f i e s D u = 0 . B o t h 0a n d a r e e x a m p l e s o f e l l i p t i c d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r s .

E x e r c i s e s

1 . I f K i s a c o m p a c t s u b s e t o f t h e o p e n s e t U i n C , t h i s e x e r c i s e s h o w sh o w t o c o n s t r u c t a n i n f i n i t e l y d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n t h a t i s 1 o n Ka n d h a s c o m p a c t s u p p o r t i n s i d e U . ( a ) D e f i n e 9 1 o n R b y 9 1 ( x )

C 0 ° f u n c t i o n . ( b ) P u t g ( x )= — z ) f o r a l l z i n R a n d s h o wt h a t g i s a C 0 ° f u n c t i o n , g 0 , a n d g ( z ) 0 f o r x ( 0 , 1 ) . ( c ) I f

M = f g ( z ) d x a n d h ( z ) = M - ' f g ( t ) d t , t h e n h i s a C ° ° f u n c t i o n ,

k ( x ) = 1 — h ( 2 x — 1 ) f o r x 0 a n d e x t e n d k t o t h e n e g a t i v e r e a la x i s b y l e t t i n g k ( x ) = k ( — x ) f o r z 0 . S h o w k i s a f u n c t i o n ,

o k 1 , k ( x ) = 1 f o r I x I < 1 / 2 , a n d k ( x ) = 0 f o r I x I 1 . ( e ) N o w

d e f i n e f C I R b y 1 ( z ) k ( I z I ) a x i d s h o w t h a t / i s a C ° ° f u n c t i o n ,O f 1 , 1 ( z ) = 1 f o r 1 / 2 , a n d f ( z ) = 0 f o r I z I 1 . I f e > 0 ,d e f i n e f e ( z ) = f ( z / e ) a n d p u t C = f f ( z ) d . . 4 ( z ) . C h e c k b y u s i n gt h e c h a n g e o f v a r i a b l e s f o r m u l a t h a t f f e ( z ) d . . 4 ( z ) C e 2 . I f & ( z ) =

t h e n i s a C ° ° f u n c t i o n , 0 , f d . . 4 ( z ) = 1 ,

a n d = 0 f o r e . S o { & } i s a m o l l i f l e r a s i n ( 3 . 6 ) . ( f ) L e tK b e a c o m p a c t s e t , l e t U b e o p e n , a n d s u p p o s e t h a t K U . L e t

b e a n y c o n t i n u o u s f u n c t i o n w i t h 0 < 1 , = 1 f o r z i n K ,

a n d = 0 f o r z U . S h o w t h a t f o r a n a p p r o p r i a t e c h o i c e o f e ,4 ) * i s a C ° ° f u n c t i o n w i t h c o m p a c t s u p p o r t c o n t a i n e d i n U ,0 < 1 , a n d 4 ) ( z ) = l f o r a l I z i n K .

2 . S h o w t h a t i f u i s l o c a l l y i n t e g r a b l e s u c h t h a t O u e x i s t s a . e . [ A r e a ] o nC a n d t h i i s l o c a l l y i n t e g r a b l e , t h e n O L , , =

3 . S h o w t h a t f o r a n y d i s t r i b u t i o n L , L ' ( 4 ) ) d e f i n e s a d i s t r i b u t i o n

a n d ( O L ) = = O L ' .

§ 5 T h e C a u c h y 1 \ a n s f o r m

I n t h i s s e c t i o n w e i n t r o d u c e a n d g i v e t h e e l e m e n t a r y p r o p e r t i e s o f t h eC a u c h y t r a n s f o r m o f a c o m p a c t l y s u p p o r t e d m e a s u r e o n t h e p l a n e . T h i si s a b a s i c t o o l i n t h e s t u d y o f r a t i o n a l a p p r o x i m a t i o n , a f a c t w e w i l l i l l u s -t r a t e b y u s i n g i t t o g i v e a n i n d e p e n d e n t p r o o f o f R u n g e ' s T h e o r e m .

I f p i s a n y c o m p a c t l y s u p p o r t e d m e a s u r e o n C , l e t

= 1 1 W z jd l i t i ( z )

w h e n t h e i n t e g r a l c o n v e r g e s , a n d l e t j i ( t v ) = 0 0 w h e n t h e i n t e g r a l d i v e r g e s .I t f o l l o w s f r o m P r o p o s i t i o n 3 . 2 t h a t j i i s l o c a l l y i n t e g r a b l e w i t h r e s p e c t t o

a r e a m e a s u r e . T h u s j i i s f i n i t e a . e . [ A r e a ] . ( A l s o s e e L e m m a 1 3 . 2 . 6 . ) S i n c ej i E t h e f o l l o w i n g d e f i n i t i o n m a k e s s e n s e .

5 . 1 D e f i n i t i o n , i f p i s a c o m p a c t l y s u p p o r t e d m e a s u r e o n t h e p l a n e , t h eC a u c h y t r a n s f o r m o f p i s t h e f u n c t i o n f i d e f i n e d a . e . [ A r e a j b y t h e e q u a t i o n

I n f a c t t h e C a u c h y t r a n s f o r m i s t h e c o n v o l u t i o n o f t h e l o c a l l y i n t e g r a b l ef u n c t i o n z 1 a n d t h e c o m p a c t l y s u p p o r t e d m e a s u r e p .



1 8 . 5 . T h e C a u c h y T r a n s f o r m 1 9 3

5 . 2 P r o p o s i t i o n . I f i i s a c o m p a c t l y s u p p o r t e d m e a s u r e , t h e f o l l o w i n g

s t a t e m e n t s h o l d .

( a ) i s l o c a l l y i n t e g r a b l e .

( b ) i s a n a l y t i c o n

C \ s u p p o r t ( j s ) a n d n 0 ,

( — 1 ) " n ! f ( z —

( d ) 0 a n d t h e p o w e r s e r i e s o f n e a r o o i s g i v e n b y

P r o o f . T h e p r o o f o f ( a ) f o l l o w s t h e l i n e s o f t h e d i s c u s s i o n p r e c e d i n g t h ed e f i n i t i o n . P a r t ( c ) , a n d h e n c e t h e p r o o f t h a t i s a n a l y t i c o nf o l l o w s b y d i f f e r e n t i a t i n g u n d e r t h e i n t e g r a l s i g n . N o t e t h a t a s w 0 0 , ( z —

w ' ( z / w — 0 u n i f o r m l y f o r z i n a n y c o m p a c t s e t . H e n c eh a s a r e m o v a b l e s i n g u l a r i t y a t o o a n d = 0 .

I t r e m a i n s t o e s t a b l i s h ( d ) . T h i s i s d o n e b y c h o o s i n g R s o t h a tB ( 0 ; R ) , e x p a n d i n g ( z — w ) ' = — w ' ( l z / w ) ' i n a g e o m e t r i c s e r i e s f o r

> R , a n d i n t e g r a t i n g t e r m - b y - t e r m . 0

A p a r t i c u l a r C a u c h y t r a n s f o r m d e s e r v e s s p e c i a l c o n s i d e r a t i o n .

5 . 3 P r o p o s i t i o n . I f K i s a c o m p a c t s e t h a v i n g p o s i t i v e a r e a a n d

1 ( z ) —

z i n C a n d f ( o o ) = 0 , t h e n I C i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o nt h a t i s a n a l y t i c o n C , 0 \ K w i t h f ' ( o o ) = — A r e a K . I n a d d i t i o n ,

I f ( z ) l ( i r A r e a ( K ) J ' 1 2 .

P r o o f . T h e f a c t t h a t f i s a n a l y t i c o n C \ I C a n d f ( o o ) = 0 f o l l o w s f r o mt h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n . T h a t i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o n i s l e f t a sa n e x e r c i s e f o r t h e r e a d e r ( s e e E x e r c i s e 1 ) . S i n c e f i s c o n t i n u o u s a t o o , 0 0i s a r e m o v a b l e s i n g u l a r i t y ; b e c a u s e f ( o o ) = 0 , f ' ( o o ) i s t h e l i m i t o f z f ( z )

a s z — , o o . B u t z f ( z ) = J K ( C / z — 1 ) ' d A ( ( ) — A r e a K a s z o o s i n c e

I t r e m a i n s t o p r o v e t h e i n e q u a l i t y f o r j f ( z ) l . T h i s i n e q u a l i t y i s d u e t oA h i f o r s a n d B e u r l i n g ( 1 9 5 0 1 , t h o u g h t h e p r o o f h e r e i s f r o m G a m e l i n a n dK h a v i n s o n t h e p r o p e r t i e s w e h a v e a l r e a d y e s t a b l i s h e d a n d t h e

M a x i m u m M o d u l u s T h e o r e m , f a t t a i n s i t s m a x i m u m v a l u e a t s o m e p o i n to f K . B y t r a n s l a t i n g t h e s e t K , w e m a y a s s u m e t h a t 0 E K a n d / a t t a i n si t s m a x i m u n a t 0 . I n a d d i t i o n , i f K i s r e p l a c e d b y a s u i t a b l e u n i m o d u l a r

m u l t i p l e o f i t s e l f ; w e m a y a s s u m e t h a t f ( 0 ) > 0 . T h u s

J f ( z ) J / ( 0 )= f R e d A ( C ) .

1 / 2c = a n d l e t a = 1 / 2 c . I t i s e l e m e n t a r y t o s e e t h a t

t h e c l o s e d d i s k 1 ) = a ) i s { z R e ( 1 / z ) c } a n d t h a t D a n d Kh a v e t h e s a m e a r e a . T h u s A ( D f l K ) + A ( D \ K ) = A ( D ) A ( K ) =

. . 4 ( D f l K ) + A ( K \ D ) ; h e n c e A ( D \ K ) = A ( K \ D ) . O n t h e o t h e r h a n d ,R e ( 1 / C ) c f o r ( i n K \ D a n d R e ( 1 / C ) c f o r i n D \ K . T h e r e f o r e

/ ( 0 ) f R e d A + c A ( K \ D )K n D C

= f K n D C

< f R e !K n D C D \ K C

= J R e ! S A .D CW e l e a v e i t t o t h e r e a d e r t o s h o w t h a t f o r 0 < r < a ,

b y c o n v e r t i n g t h i s t o a n i n t e g r a l a r o u n d t h e c i r c l e z = a + r e d . H e n c ec o n v e r t i n g t o p o l a r c o o r d i n a t e s , w e g e t t h a t

t ij R e — d A = I ! R e . d O r d rJ D C J 0 J o

, a

i= I R e ! . d 9 r d rJ o J 0 a + r #=

J o a= i r a

F A r e a K l " 2

= I l r A r e a K ] ' I 2 .C



1 8 . 5 . T h e T r a n s f o r m 1 9 5

N o t e t h a t i f p = t h e n 1 1 ( z ) ( a — z ) 1 . S o i n g e n e r a l t h e C a u c h yt r a n s f o r m o f a c o m p a c t l y s u p p o r t e d m e a s u r e i s n o t c o n t i n u o u s .

S i n c e 1 1 i s l o c a l l y i n t e g r a b l e , i t d e f i n e s a d i s t r i b u t i o n o n C a n d s o i t c a n

b e d i f f e r e n t i a t e d .5 . 4 T h e o r e m . I / p i s a c o m p a c t l y s u p p o r t e d m e a s u r e o n C , t h e n

M o r e o v e r , 1 1 i s t h e u n i q u e s o l u t w n t o t h i s d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n i n t h e s e n s et h a t i f h E L i o c s u c h t h h = - i r p , h i s a n a l y t i c i n a n e i 9 h b o r h o o d o f o o ,a n d h ( o o ) = 0 , t h e n h

= 1 1a . e . ( A r e a ] .

P r o o f .

= —

J — w ) ' d A ( z ) ] d p ( w ) .

B y C o r o l l a r y 1 3 . 2 . 9 t h i s b e c o m e s = f d j s , w h e n c e t h e f i r s t p a r to f t h e t h e o r e m .

F o r t h e u n i q u e n e s s s t a t e m e n t , s u p p o s e h i s s u c h a f u n c t i o n . I t f o l l o w st h a t — h ) = 0 . B y W e y l ' s L e m m a ( 4 . 1 1 ) , — h i s a l m o s t e v e r y w h e r ee q u a l t o a n e n t i r e f u n c t i o n f . B u t f = 1 1 — h h a s a r e m o v a b l e s i n g u l a r i t y

0

5 . 5 C o r o l l a r y . i j Ci s a n o p e n s e t , p i s a c o m p a c t l y s u p p o r t e d m e a s u r eo n t h e p l a n e , a n d 1 1 0 s . c . o n C , t h e n = 0 .

P r o o f . C ° ( G ) , t h e n f ç b d p = — i r ' = 0 . I t f o l l o w s b y P r o p o -s i t i o n 3 . 7 t h a t I p l ( G ) = 0 . 0

5 . 6 C o r o l l a r y . I f C i s o n o p e n s e t , p i s a c o m p a c t l y s u p p o r t e d m e a s u r eo n t h e p i a n e , a n d 1 1 i s a n a l y t i c o n G ,

t h e p r e m i e r t o o l i n u n i f o r m r a t i o n a l a p p r o x i -m a t i o n a n d i n t h e n e x t s e c t i o n t h i s s t a t e m e n t w i l l b e b o r n e o u t .

E x e r c i s e s

1 . I f f i s a f u n c t i o n t h a t i s l n t e g r a b l e w i t h r e s p e c t t o L e b e s q u e m e a s u r ea n d h a s c o m p a c t s u p p o r t , s h o w t h a t t h e C a u c h y t r a n s f o r m o f p = f Ai s

a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o n2 . W h e n d o e s e q u a l i t y o c c u r i n t h e i n e q u a l i t y i n P r o p o s i t i o n 5 . 3 ?



1 9 6 1 8 . C o n c e p t s

3 . U s i n g t h e m e t h o d u s e d i n p r o v i n g P r o p o s i t i o n 5 . 3 , s h o w t h a t f o r a n yc o m p a c t s e t K , f K I z — 2 [ i r A r e a ( K ) ) ' 1 2 . W h e n d o e s

e q u a l i t y o c c u r ?

4 . L e t b e a m e a s u r e w i t h c o m p a c t s u p p o r t a n d s u p p o s e g i s a c o n -t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n w i t h c o m p a c t s u p p o r t . i f i i = —

• A , t h e n L ' = g j i .

5 . ( a ) i f , . i a n d v a r e m e a s u r e s w i t h c o m p a c t s u p p o r t s u c h t h a t f i a n dL i a r e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s , s h o w t h a t i s t h e C a u c h y t r a n s f o r m o f

L i p s + f l y .

( b ) S h o w t h a t i f K i s a c o m p a c t s e t , t h e n { i z : h i s a b o u n d e d ) .B o r e l f u n c t i o n w i t h c o m p a c t s u p p o r t a n d h = 0 a . e . o n K } i s a d e n s e

s u b a l g e b r a o f R ( K ) .

( c ) i f K i s c o m p a c t a n d E i s a B o r e l s u b s e t o f K , d e f i n e R ( K , E ) t ob e t h e c l o s u r e i n C ( K ) o f { i i : h i s a b o u n d e d B o r e l ) . f u n c t i o n w i t hc o m p a c t s u p p o r t a n d h 0 a . e . o n E } . S h o w t h a t R ( K , E ) i s a s u b -a l g e b r a o f C ( K ) w i t h t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s : ( 1 ) R ( K ) c R ( K , E ) ;( i i ) a m e a s u r e p s u p p o r t e d o n K i s o r t h o g o n a l t o R ( K , E ) i f a n d o n l y

i f f i = 0 a . e . o n C \ E ; ( i i i ) i f A r e a ( E ) = 0 , R ( K , E ) = C ( K ) ; a n d i fA r e a ( K \ E ) 0 , R ( K , E ) R ( K ) .

§ 6 A n A p p l i c a t i o n : R a t i o n a l A p p r o x i m a t i o n

I n t h i s s e c t i o n t h e C a u c h y t r a n s f o r m w i l l b e a p p l i e d t o p r o v e t w o t h e o r e m s

i n r a t i o n a l a p p r o x i m a t i o n : t h e H a r t o g s - R o s e n t h a l T h e o r e m a n d R u n g e ' sT h e o r e m . B u t f i r s t a d e t o u r i n t o s o m e g e n e r a l m a t e r i a l i s r e q u i r e d . T h en e x t r e s u l t s h o w s t h a t b y m e a n s o f t h e H a h n - B a n a c h T h e o r e m q u e s t i o n s o f

r a t i o n a l a p p r o x i m a t i o n i n t h e s u p r e m u n n o r m c a n b e r e d u c e d t o q u e s t i o n so f w e a k a p p r o x i m a t i o n .

6 . 1 D e f i n i t I o n . I f K i s a c o m p a c t s e t i n t h e p l a n e , R ( K ) i s t h e u n i f o r mc l o s u r e i n C ( K ) o f R a t ( K ) .

N o t e t h a t R ( K ) i s a B a n a c h a l g e b r a .

6 . 2 T h e o r e m . I / K i s a c o m p a c t s u b s e t o f C a n d p i s a m e a s u r e o n K ,t h e n p J . . R ( K ) i f a n d o n t y i f f l ( w ) = O a . e . ( A r e a ] o n C \ K .

P r o o f . A s s u m e p . . L R ( K ) a n d n o t e t h a t f o r w K , ( z — w ) ' E R ( K ) .H e n c e f i ( w ) = 0 o f f K . C o n v e r s e l y , a s s u m e t h a t ( i = 0 a . e . ( A r e a ] o f f K ;s i n c e i s a n a l y t i c o f f K , f i i s i d e n t i c a l l y O o f f K . T h i s i m p l i e s t h a t a l l t h ed e r i v a t i v e s o f v a n i s h o n C , , , , \ K . F t o m ( 5 . 2 . c ) a n d ( 5 . 2 . d ) w e g e t t h a t

a n n i h i l a t e s a l l p o l y n o m i a l s a n d a l l r a t i o n a l f u n c t i o n s w i t h p o l e s o f f K .H e n c e p l R ( K ) . 0



1 8 . 6 . R a t i o n a l A p p r o x i m a t i o n 1 9 7

H e r e i s a c l a s s i c a l t h e o r e m o n r a t i o n a l a p p r o x i m a t i o n o b t a i n e d b e f o r e t h ei n t r o d u c t i o n o f t h e C a u c h y t r a n s f o r m . N o t e t h a t i t e x t e n d s t h e W e i e r s t r a s s

A p p r o x i m a t i o n T h e o r e m .

6 . 3 H a r t o g s - R o s e n t h a l T h e o r e m . I f A r e a ( K ) = 0 , t h e n R ( K ) = C ( K ) .

P r o o f . L e t p E M ( K ) s u c h t h a t p i R ( K ) ; s o = 0 o f f K . S i n c e A r e a ( K )0 , t h i s i m p l i e s t h a t = 0 a . e . [ A r e a ] o n C . B y C o r o l l a r y 5 . 5 , p 0 . B y t h eH a h n - B a n a c h T h e o r e m R ( K ) = C ( K ) . 0

O n e o f t h e m a i n w a y s i n w h i c h C a u c h y t r a n s f o r m s a r e u s e d i s t h e f o l -

l o w i n g d e v i c e . A s s u m e p i s s u p p o r t e d o n t h e c o m p a c t s e t K a n d l e t /b e a n a l y t i c o n a n o p e n s e t G w i t h K C . L e t r b e a p o s i t i v e l y o r i -e n t e d s m o o t h J o r d a n s y s t e m i n C s u c h t h a t K c i n s F . T h u s f o r e v e r yz i n K , 1 ( z ) — A n a p p l i c a t i o n o f F u b i n i ' sT h e o r e m n o w i m p l i e s t h a t

6 . 4 J f ( z ) d p ( z ) — f ( w ) d w .2 i r z r

6 . 5 R u n g e ' s T h e o r e m . L e t K b e a c o m p a c t s u b s e t o f C a n d l e t E b e as u b s e t \ K t h a t m e e t s e a c h c o m p o n e n t \ K . I f / i s a n a l g , t i ci n a n e i g h b o r h o o d o f K , t h e n t h e r e a r e i u t i o n a l f w i c t i o n s { f , , } w h o s e o n l y

p o l e - s a r e i n t h e a e t E s u c h t h a t u n s f o r r n i y o n K .

P r o o f . L e t p b e a m e a s u r e o n K s u c h t h a t 1 9 4 = 0 f o r e v e r y r a t i o n a lf u n c t i o n g w i t h p o l e s c o n t a i n e d i n B . i t s u f f i c e s t o s h o w t h a t f f d p = 0

f o r e v e r y f u n c t i o n I t h a t i s a n a l y t i c i n a n e i g h b o r h o o d o f K .F i x a c o m p o n e n t U o f C O O \ K a n d l e t w E U n E ; a s s u m e f o r t h e m o m e n t

t h a t w c o . U s i n g ( 5 . 2 . c ) w e g e t t h a t e v e r y d e r i v a t i v e o f . â a t w i s 0 . T h u sj s ( z ) 0 o n U . 1 1 w o o , t h e n t h e a s s u m p t i o n o n p i m p l i e s t h a t f p d p = 0f o r a l l p o l y n o m i a l s . T h u s u s i n g ( 5 . 2 . d ) w e g e t t h a t I A ( z ) 0 o n U . H e n c ev a n i s h e s o n t h e c o m p l e m e n t o f K ( a n d s o p J . . R ( K ) ) . I f C a n d F a r e c h o s e na s i n t h e d i s c u s s i o n p r i o r t o t h e s t a t e m e n t o f t h e t h e o r e m , ( 6 . 4 ) s h o w s t h a tf f d p = 0 . 0

U n i f o r m r a t i o n a l a p p r o x i m a t i o n i s a s u b j e c t u n t o i t s e l f ; C o n w a y [ 1 9 9 1 j ,G a r n e l i n [ 1 9 6 9 J , S t o u t [ 1 9 7 1 1 a r e a f e w r e f e r e n c e s .

E x e r c i s e s

1 .

f u n c t i o n w i t h c o m p a c t s u p p o r t , p u t

=— P r o v e t h e

f o l l o w i n g . ( a ) = ( b ) p . . L R ( K ) i f a n d o n l y i f f o r a l ls m o o t h f u n c t i o n 0 w i t h c o m p a c t s u p p o r t . ( c ) R ( K ) = C ( K ) i f a n do n l y i f f o r e v e r y c l o s e d d i s k D , R ( K f l D ) = C ( K n D ) .

2 . I f K i s a c l o s e d d i s k o r a n a n n u l u s , s h o w t h a t R ( K ) = A ( K ) , t h ea l g e b r a o f f u n c t i o n s o n K t h a t a r e a n a l y t i c o n i t s i n t e r i o r .

3 . S h o w t h a t t h e r e a r e o p e n d i s k s } o f r a d i u s h a v i n g t h e f o l l o w i n g

p r o p e r t i e s : ( i ) c i ç D a n d c i f l c l = 0 f o r i j ; ( i i )E r 5

a c h e e s e . F o r j 1 , l e t 7 j b e t h e b o u n d a r y o f i S , w i t h p o s i t i v eo r i e n t a t i o n a n d l e t i i j b e t h e m e a s u r e o n K a u t h t h a t f / d v 1

— j , f f o r e v e r y f i n C ( K ) . N o t e t h a t L e t t h ep o s i t i v e l y o r i e n t e d b o u n d a r y o f D a n d l e t v 0 b e t h e m e a s u r e o n Ks u c h f o r e v e r y / i n C ( K ) . L e t p E v o + E , P S ,

a m e a s u r e i n M ( K ) . S h o w t h a t p J . R ( K ) a n d , s i n c e p 0 , R ( K )C ( K ) e v e n t h o u g h K h a s n o i n t e r i o r .

§ 7 F o u r I e r S e r i e s a n d C e s è r o S u m s

T h r o u g h o u t t h i s s e c t i o n , n o r m a l i z e d L e b e s g u e m e a s u r e o n O D w i l l b e d e -

n o t e d b y m , a n d t h e L e b e s g u e s p a c e s o f t h i s m e a s u r e w i l l b e d e n o t e d b yL P ( O D ) o r s i m p l y 1 / . N o t e t h a t s i n c e m i s a f i n i t e m e a s u r e , £ P ( 8 D ) çL ' ( 8 D ) f o r 1 p < o o . S o r e s u l t s o b t a i n e d f o r f u n c t i o n s t h a t b e l o n g t oV a r e v a l i d f o r f u n c t i o n s i n L " . W e a l s o w i l l b e c o n c e r n e d w i t h t h e s p a c e

o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n 8 D , C = C ( 8 D ) , a n d i t s d u a l , t h e s p a c e o fc o m p l e x - v a l u e d r e g u l a r B o r e l m e a s u r e s o n O D , M = M ( O D ) .

7 . 1 D e f i n I t i o n . I f p E M ( 8 D ) , t h e n t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f p i s t h e

f u n c t i o n : Z - + C d e f i n e d b y

( F i r s t o u r a p o l o g i e s f o r u s i n g t h e s a m e n o t a t i o n f o r t h e F o u r i e r t r a n s f o r mo f p a s f o r t h e C a u c h y t r a n s f o r m , b u t h e r e i s a n i n s t a n c e w h e r e t r a d i t i o ni s b e s t f o l l o w e d . ) N o w i f f e L ' , t h e n d p = f d m i s a m e a s u r e a n d s o i t s

F o u r i e r t r a n s f o r m c a n a l s o b e d e f i n e d . H e r e t h e n o t a t i o n u s e d i s I =F o r a n y m e a s u r e p w e c a l l : n Z } t h e F o u r i e r c o e f f i c i e n t s o f p .T h e s e r i e s i s c a l l e d t h e F o u r i e r s e r i e s f o r t h e m e a s u r e p .

T h e i d e a h e r e i s t h a t w e w o u l d l i k e t o k n o w i f t h e m e a s u r e o r f u n c t i o nc a n b e r e c a p t u r e d f r o m i t s F o u r i e r s e r i e s . T h a t w e s h o u l d h a v e a n y r i g h tt o h a v e s u c h a h o p e s t e m s f r o m t h e d e n s y o f a c e r t s e t o f f u n c t j o n s At r i g o n o m e t r i e p o l y n o m i a l i s a f u n c t i o n i n C ( Ô D ) o f t h e f o r m

7 . 2 P r o p o s i t I o n . T h e t r i g o n o m e t r i c p o l y n o m i a l s a r e u n i f o r m l y d e n s e i nC ( 8 D ) a n d h e n c e d e n s e i n L P ( 8 D ) f o r 1 p < o o ; t h e y a r e w e a k d e n s ei n T h u s { z " : n E Z } i s a n o r t h o n o r m a j b a s i s f o r L 2 ( O D ) .

1 8 . 7 . F o u r i e r S e r i e s 1 9 9

P r o o f . T h e f i r s t p a r t i s a n e a s y c o n s e q u e n c e o f t h e S t o n e - W e i e r s t r a s s T h e -

o r e m . T h e l a s t s t a t e m e n t o n l y n e e d s t h e c a l c u l a t i o n n e c e s s a r y t o s h o w t h a t

t h e f u n c t i o n s a r e o r t h o n o r t n a l . 0

7 . 3 C o r o l l a r y . I f p E M a n d = 0 f o r a l l n i n Z , t h e n p i s t h e z e r om e n s t s r e .

T h e p r e c e d i n g c o r o l l a r y s a y s t h a t a m e a s u r e i s c o m p l e t e l y d e t e r m i n e db y i t s F o u r i e r c o e f f i c i e n t s . T h u s w e h a v e t h e h o p e t h a t t h e m e a s u r e c a n b e

r e c a p t u r e d f r o m i t s F o u r i e r s e r i e s . A t l e a s t i n t h e c a s e o f f u n c t i o n s i n t h es p a c e L 2 t h i s h o p e i s b o r n e o u t .

7 . 4 T h e o r e m . I f f E L 2 ( O D ) , t h e n I E e ( Z ) . I f V : L 2 ( O Z ) 1 2 ( Z ) i sd e f i n e d b y V f = I , t h e n V i s o n o f t h e H i l b e r t s p a c e s .

P r o o f . T h e f i r s t p a r t , t h a t / E t 2 ( Z ) , a s w e l l a s t h e s t a t e m e n t t h a t V i sa n i s o m e t r y , i s a d i r e c t c o n s e q u e n c e o f P a r s e v a l ' s I d e n t i t y a n d t h e f a c t t h a t

i s a b a s i s f o r L 2 ( o D ) . I f f = z m , t h e n i t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o c h e c kt h a t 1 ( n ) = 0 i f n m a n d J ( m ) = 1 . T h u s t h e r a n g e o f V i s d e n s e a n ds o V m u s t b e a n i s o m o r p h i s m . U

T h e o r e m 7 . 4 s a y s t h a t , a t l e a s t i n t h e c a s e o f a n L 2 f u n c t i o n , t h e F o u r i e rs e r i e s c o n v e r g e s t o t h e f u n c t i o n i n t h e I ? n o r m . T h i s i s n o t t h e c a s e f o ro t h e r f u n c t i o n s a n d m e a s u r e s , b u t t h e i n t r i c a c i e s o f t h i s t h e o r y a r e m o r ea p p r o p r i a t e l y h a n d l e d b y t h e m s e l v e s . I n s t e a d w e w i l l c o n c e n t r a t e o n w h a ti s t r u e a n d w i l l h a v e v a l u e f o r l a t e r i n t h i s b o o k .

T h e r e a d e r i n t e r e s t e d i n p u r s u i n g c o n v e r g e n c e o f F o u r i e r s e r i e s c a n s e e

C h a p t e r i i o f K a t z n e l s o n ( 1 9 7 6 ] . I n p a r t i c u l a r i t i s p r o v e d t h e r e t h a t t h eF o u r i e r s e r i e s o f a f u n c t i o n i n 1 < p < o o , c o n v e r g e s t o t h e f u n c t i o n i nn o r m a n d t h a t t h i s i s f a l s e f o r L ' . H e a l s o g i v e s a n e x a m p l e o f a c o n t i n u o u sf u n c t i o n w h o s e F o u r i e r s e r i e s d i v e r g e s a t a p o i n t a n d t h u s c a n n o t c o n v e r g eu n i f o r m l y t o t h e f u n c t i o n . T h e s t o r y f o r p o i n t w i s e c o n v e r g e n c e i s m u c h

m o r e c o m p l i c a t e d . I t w a s p r o v e d i n C a r l e s o n [ 1 9 6 6 ] t h a t t h e F o u r i e r s e r i e so f a f u n c t i o n i n L 2 c o n v e r g e s a . e . , T h i s w a s e x t e n d e d i n H u n t [ 1 9 6 7 1 t oI ? , p > 1 . A n e x p o s i t i o n o f t h e C a r l e s o n a n d H u n t w o r k c a n b e f o u n d i n

M o z z o c h i [ 1 9 7 1 ] . I n K a t z n e l s o n [ 1 9 7 6 ] i s t h e p r o o f o f a r e s u l t o f K o l m o g o r o vt h a t t h e r e i s a f u n c t i o n i n L 1 w h o s e F o u r i e r s e r i e s d i v e r g e s e v e r y w h e r e .

F o r a n y f o r m a l F o u r i e r s e r i e s z i n 0 1 ) , l e t s , , ( z ) b e t h e n -t h p a r t i a l s u m o f t h e s e r i e s , s , 1 ( z ) = c k z k . T h e n - t h C e s à r o m e a n s

o f t h e s e n e s i s d e f l n e d f o r z i n O D b y

=

I t i s w o r t h n o t i n g t h a t a C e s à r o m e a n i s a t r i g o n o m e t r i c p o l y n o m i a l . B yt h e n - t b p a r t i a l s u m a n d t h e n - t h C e s à r o m e a n f o r t h e m e a s u r e p , w e

m e a n t h e c o r r e s p o n d i n g q u a n t i t y f o r t h e a s s o c i a t e d s e r i e s . T o i n d i c a t e t h ed e p e n d e n c e o n p , t h e s e s u m s a r e d e n o t e d b y z ) a n d z ) ; i f f E1 7 , z ) a n d a r e t h e c o r r e s p o n d i n g s u m s .

R e c a l l t h a t M = C , a n d h e n c e M h a s a n a t u r a l w e a k * t o p o l o g y .H e r e i s t h e m a i n r e s u l t o f t h i s s e c t i o n .

7 . 5 T h e o r e m .

( a ) I f f E D ' ,( b ) 1 f f E C , f u n i f o r m l y o n Ô D .

( c ) 1 f f 1 7 ° , z ) f i n t h e l v e a k * t o p o l o g y o f

( d ) I f p M , — . p i n t h e w e a 1 ? t o p o l o g y o f M . ( H e r e w e t h i n ko f t h e C e s à r o m e a n z ) a s t h e m e a s u r e z ) m . )

T h e p r o o f w i l l b e o b t a i n e d b y a r e c o u r s e t o o p e r a t o r t h e o r y o n a B a n a c hs p a c e . I f X i s o n e o f t h e B a n a c h s p a c e s u n d e r c o n s i d e r a t i o n ( t h a t i s , X =1 7 , C , o r M ) , d e f i n e c r y , : X — ' X b y l e t t i n g = t h e n - t h C e s à r os u m o f x . ( i f X = M a n d p E M , t h e n i s t h e m e a s u r e t h a t i s

a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s w i t h r e s p e c t t o m w h o s e R a d o n - N i k o d y m d e r i v a t i v ei s t h e t r i g o n o m e t r i c p o l y n o m i a l T o p r o v e t h e t h e o r e m , i t m u s t b es h o w n t h a t i f X = 1 < p < o o , o r C , t h e n 0 , a n d i f

X = 1 7 ° o r M , t h e n — ' x w e a k f o r e v e r y z i n X . A c t u a l l y w e w i l ls e e t h a t t h e l a s t p a r t f o l l o w s f r o m t h e f i r s t p a r t a n d a d u a l i t y a r g u m e n t .B u t f i r s t w e w i l l s e e t h a t i s a c t u a l l y a n i n t e g r a l o p e r a t o r .

i f ! E V w i t h F o u r i e r s e r i e s t h e n

( f , z )= { J

f 1 ( w ) d m ( w ) .

T h e r e f o r e

7 . 6 = f f ( w ) K n ( W z ) d m ( w ) ,

w h e r e K , i s t h e n - t h C e s à r o m e a n o f t h e f o r m a l s e r i e s ( " . T h i sk e r n e l K , , i s c a l l e d F e j e r ' s k e r n e l . T h e s a m e t y p e o f f o r m u l a h o l d s f o r am e a s u r e p :

7 . 7 =

T o p r o p e r l y s t u d y w e n e e d t o g e t a b e t t e r b o l d o n t h e k e r n e l K , , . T od o t h i s , l e t ' s f i r s t l o o k a t t h e n - t h p a r t i a l s u m o f t h e s e r i e s c " . S o

1 8 . 7 . F o u r i e r S e r i e s 2 0 1

i f (

= k = — n

=

= + _ - l1 — c 1 — i ;

—

1 - R e (— c o s n O — c o s ( n + l ) 8

— 1 — c o s 8

F r o m h e r e i t f o l l o w s t h a t

7 8 K

7 . 9 L e m m a . F o r e a c h i i ? 1 , 0 , a n d f K , d m = 1 .

P r o o f . A p p l y i n g t h e h a l f a n g l e f o r m u l a s f r o m t r i g o n o m e t r y t o ( 7 . 8 ) , i tf o l l o w s t h a t = n ' [ ( s i n ( n 8 / 2 ) ) / s i n ( 8 / 2 ) } 2 0 . I t i s a l s o c l e a r f r o m( 7 . 8 ) t h a t t h e s e c o n d p a r t i s v a l i d . F o r t h e l a s t p a r t , u s e ( 7 . 6 ) w i t h f0

7 . 1 0 L e m m a .

( a ) I I 1 p < c o a n d q i s t h e i n d e x d u a l t o p , t h e n t h e a d j o i n t o f t h eo p e r a t o r a , , L I ' — ' L I ' i s t h e o p e r a t o r a , , : — . L I .

( b ) T h e a d j o i n t o f t h e o p e o p e m t o r c , , : M — s M .

P r o o f . O n l y p a r t ( a ) w i l l b e p r o v e d . L e t f E L I ' a n d g E L I . B y i n t e r -c h a n g i n g t h e o r d e r o f i n t e g r a t i o n a n d u s i n g t h e p r e c e d i n g l e m m a , i t f o l l o w s

t h a t

[ f f ( w ) K n ( W z ) d m ( w ) J d m ( z )

= / 1 ( w ) [ f g ( z ) K n ( i i J z ) d m ( z ) ] d m ( w )

=

ff ( w ) [ J d m ( z ) ] d m ( w )

= ( f , a , , ( g ) ) .

0

W e c a n n o w s t a t e a g e n e r a l B a n a c h s p a c e r e s u l t t h a t , w h e n c o m b i n e dw i t h t h e p r e c e d i n g l e m m a , w i l l s h o w h o w p a r t s ( c ) a n d ( d ) o f T h e o r e m 7 . 5f o l l o w f r o m p a r t s ( a ) a n d ( b ) .

7 . 1 1 P r o p o e i t i o n . L e t X b e a B a n a c h s p a c e a n d l e t b e a s e q u e n c eo f b o u n d e d o p e r a t o r s f r o m X i n t o X .

( a ) I f < o o , D i s a d e n s e s u b s e t o f X , a n d — — 0 f o ra i l s i n ! ) ,

( b ) I f — 0 f o r a i l s i n X , t h e n f o r e v e r y 5 i n X ,w e a k i n X .

P r o o f . ( a ) I f s E X a n d e i s a p o s i t i v e n u m b e r , l e t y E D s u c h t h a tl i x — y l l < m i n ( e / 2 c , e / 2 ) , w h e r e c = T h e n

T h i s c a n b e m a d e l e s s t h a ne f o r a l l s u f f i c i e n t l y l a r g e n .( b ) T h i s i s e a s y : J ( z , — = — x , x ) I S — x f l — . 0 .

0

W e c a n n o w p r o v e t h e m a i n t h e o r e m .P r o o f o f T h e o r e m 7 . 5 . ( a ) L e t f U ' a n d l e t g w h e r e q i s d u a l t o p .

F i r s t n o t e t h a t , b y a c h a n g e o f v a r i a b l e s , z ) ff f ( ( z ) d m ( C ) . H e n c e

={ J

f ( w ) K n ( w _ L i z ) d m ( w ) }

= d n z ( z ) 1

=d m ( z ) } d m ( ( ) f

J K n ( C ) / d m ( z ) d m ( t ) .

A p p l y i n g H o l d e r ' s i n e q u a l i t y a n d u s i n g t h e f a c t t h a t f d m ( z ) =f f d m , w e g e t

J K n ( C ) I I g I P q I I f I l p d m ( ( )

1 f o r a l l n . I t i s e a s y t o c h e c k t h a t f o r a n y i n t e g e r k ,u n i f o r m l y a s n — . o o . T h u s f o r a t r i g o n o m e t r i c p o l y n o m i a l

f , f u n i f o r m l y a s n — , 0 0 . S i n c e t h e t r i g o n o m e t r i c p o l y n o m i a l s

1 8 . 7 . F o u r i e r S e r i e s 2 0 3

a r e d e n s e i n f o r a l l f i n i t e p , p a r t ( a ) f o l l o w s f r o m p a r t ( a ) o f t h e p r e c e d i n gp r o p o s i t i o n .

( b ) T h i s i s e a s i e r t h a n p a r t ( a ) . 1 f f E C , t h e n z ) I < f I f ( w ) l

d m ( w ) 1 1 1 1 1 0 0 a n d s o 1 . S i n c e c o n v e r g e n c e h o l d s f o r t h e t r i g o n o -m e t r i c p o l y n o m i a l s , p a r t ( b ) f o l l o w s .A s m e n t i o n e d b e f o r e , p a r t s ( c ) a n d ( d ) f o l l o w f r o m p a r t s ( a ) a n d ( b ) v i a

t h e s e c o n d p a r t o f t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n . 0

E x e r c i s e s

1 . C o m p u t e t h e C e s à r o m e a n s o f t h e u n i t p o i n t m a s s a t 1 .2 . l I p a n d i / E M , s h o w t h a t f o r a l l n i n Z .

3 . I n t h i s a n d s u c c e e d i n g e x e r c i s e s a c o n c e p t i s p r e s e n t e d t h a t c a n b eu s e d t o g i v e s o m e o f t h e r e s u l t s o f t h i s s e c t i o n a u n i f y i n g t r e a t m e n t .F o r d e t a i l s s e e K a t z n e l s o n [ 1 9 7 6 ) , p . 1 4 . F o r a n y f u n c t i o n I o n 3 Da n d z i n 3 D , d e f i n e f 2 ( w ) = A l i n e a r m a n i f o l d X i n L ' i sa h o m o g e n e o t i s s p a c e i f :

( i ) X h a s a n o r ms u c h t h a t 1 1 1 1 1

I l l I i i f o r a l l f i n X a n d w i t h t h i s n o r m X i s a B a n a c h s p a c e ; ( i i )

f i n z3 D i n t o X . ( a ) S h o w t h a t C ( 8 D ) a n d 1 p < 0 0 ,

a r e h o m o g e n e o u s s p a c e s . ( b ) S h o w t h a t L ° ° s a t i s f i e s p r o p e r t i e s ( 1 )t h r o u g h ( i l l ) i n t h e d e f i n i t i o n , b u t i s n o t a h o m o g e n e o u s s p a c e . ( c ) I fX i s a l i n e a r m a n i f o l d i n L ' t h a t s a t i s f i e s c o n d i t i o n s ( i ) t h r o u g h ( i i i )

i n t h e d e f i n i t i o n o f a h o m o g e n e o u s s p a c e a n d i s d e f i n e d a s t h e s e to f a l l f i n X s u c h t h a t t h e f u n c t i o n z — ' f 2 i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o nf r o m 3 D i n t o X , s h o w t h a t X ( a n d h e n c ea h o m o g e n e o u s s p a c e ) . i f X = L ° ° , s h o w t h a t = C .

4 . T h i s e x e r c i s e c o n t i n u e s t h e p r e c e d i n g o n e ; X d e n o t e s a h o m o g e n e o u ss p a c e . ( a ) 1 f f E X a n d 9 E L ' , s h o w t h a t f * g X . ( b ) I f o , % ( f ) i sa s i n ( 7 . 6 ) , s h o w t h a t — — . 0 f o r e v e r y / i n X . ( c ) S h o w

t h a t t h e t r i g o n o m e t r i c p o l y n o m i a l s a r e d e n s e i n X .5 . I f X a n d X a r e a s i n p a r t ( c ) o f E x e r c i s e 3 , s h o w t h a t E

f o r a l l I i n X . P r o v e t h a t X t h e t r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a l s .

6 . T h i s e x e r c i s e c o n t i n u e s E x e r c i s e 4 a n d m a i n t a i n s i t s n o t a t i o n . I f zX a n d z E 3 D , d e f i n e = x ( f 2 ) f o r a l l f i n X . ( a ) S h o w t h a t

1 1 z 1 1 = 1 1 x 1 1 a n d z — ' i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n f r o m 3 D i n t o

( X , w k ) . ( b ) I f i s a s i n ( 7 . 6 ) a n d : X i s i t s d u a l m a p ,s h o w t h a t — + x ( w k ) i n X f o r a l l z i n X .

C h a p t e r 1 9

H a r m o n i c F u n c t i o n s R e d u x

I n t h i s c h a p t e r a t r e a t m e n t o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m f o r s e t s i n t h e p l a n e i sp r e s e n t e d . T h i s t o p i c w i l l b e c o n t i n u e d i n C h a p t e r 2 1 w h e n h a r m o n i c m e a -s u r e a n d l o g a r i t h m i c c a p a c i t y a r e i n t r o d u c e d a n d a p p l i e d . S o m e m a t e r i a lf r o m C h a p t e r 1 0 m u s t b e r e s t a t e d i n t h e m o r e g e n e r a l s e t t i n g n e e d e d f o rt h e m o r e e x t e n s i v e s t u d y o f h a r m o n i c f u n c t i o n s . I n C h a p t e r 1 0 a l l f u n c t i o n sc o n s i d e r e d w e r e c o n t i n u o u s ; h e r e m e a s u r e t h e o r y w i l l b e u s e d t o b r o a d e nt h e c l a s s o f f u n c t i o n s . T h e a t t i t u d e t a k e n w i l l b e t h a t u s u a l l y r e s u l t s f r o mC h a p t e r 1 0 w i l l b e r e s t a t e d i n t h e m o r e i n c l u s i v e c o n t e x t , b u t p r o o f s w i l l b ef u r n i s h e d o n l y i f t h e r e i s a s i g n i f i c a n t d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e p r o o f n e e d e da t p r e s e n t a n d t h e o n e g i v e n f o r c o n t i n u o u s f u n c t i o n s .

T h e c h a p t e r b e g i n s b y r e t u r n i n g t o a c l o s e r e x a m i n a t i o n o f f u n c t i o n sd e f i n e d o n t h e u n i t d i s k , D .

§ 1 H a r m o n i c F u n c t i o n s o n t h e D i s k

T h e n o t a t i o n f r o m r e m a i n s i n f o r c e . R e c a l l t h e d e f i n i t i o n o f t h e P o i s -s o n k e r n e l : f o r w i n c 9 D a n d J z I < 1 ,

=\ I — z w

=

T h e r e a d e r s h o u l d r e v i e w t h e p r o p e r t i e s o f t h e P o i s s o n k e r n e l f r o m P r o p o -

s i t i o n 1 0 . 2 . 3 .I f E M a n d < 1 , d e f i n e j i ( z ) = S i m i l a r l y , i f f E L ' ,d e f i n e f ( z ) = f f P , , d m . T h e s e d e f i n i t i o n s a r e c o n s i s t e n t s i n c e f m = / . I t

i s n o t d i f f i c u l t t o p r o v e t h e f o l l o w i n g .

1 . 1 P r o p o s i t i o n . E M ( O D ) , t h e n i s a h a r m o n i c f u n c t i o n i n I D .

N o t e t h a t w e a r e d e a l i n g w i t h c o m p l e x v a l u e d h a r m o n i c f u n c t i o n s h e r e .1 f f E C ( O D ) , t h e n w e k n o w t h a t f i s t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m

2 0 6 1 9 . H a r m o n i c F u n c t i o n s R e d u x

w i t h b o u n d a r y v a l u e s / ( s e e T h e o r e m 1 0 . 2 . 4 ) . I n d e e d , t h i s i s g i v e n a n o t hp r o o f i n T h e o r e m 1 . 4 . a b e l o w .

I f u : D — C a n d 0 < r < 1 , d e f l n e u , : 8 D — C b y u r ( w ) u f r w ) f o r w

i n 8 D . W e w i l l s o m e t i m e s w a n t t o c o n s i d e r t h e f u n c t i o n u , a s d e f i n e d o nD o r c i D b y t h e s a m e f o r m u l a , b u t n o s e p a r a t e n o t a t i o n w i l l b e e m p l o y e d .f f p E M a n d 0 < r < 1 , t h e n i s a n e l e m e n t o f C ( O D ) b y t h e p r e c e d i n g

p r o p o s i t i o n . T h u s i f 1 o o a n d I E L I ' , f , . E L " a n d s o w e c a n d e f i n et h e o p e r a t o r T , : L I ' L I ' b y T , . f = f , . ; s i m i l a r l y , w e c a n d e f i n e 2 ' , . : C - + Cb y T , . f = f , . a n d T , . p : M - . M b y T , . j i = i I ? m .

1 . 2 P r o p o s i t i o n .

( a ) F o r X = L P , C , o r M , T , . : X - 4 X i s a b o u n d e d l i n e a r o p e n z t o r w i t hI t T , . I I 1 f o r a l l r .

( b ) I / i p < o o a n d q i s c o n j u g a t e t o p , t h e d u a l o f t h e m a p T , . : L I ' - .

( c ) e d u o i o f t h e m a p T , . : C - . C i s t h e m a p T , . : M - + M .

P r o o f . ( a ) T h i s w i l l o n l y b e p r o v e d f o r X = L I ' . L e t / E L I ' a n d l e t h E L i ' ,

w h e r e q i s t h e i n d e x t h a t i s c o n j u g a t e t o p . T h u s

( T , . f , h ) = f ! r ( ( ) h ( C ) d m ( ( )

1 . 3= 1 [ 1 1 ( w ) d m ( w ) ]

S u b s t i t u t e w C f o r v i i n t h i s e q u a t i o n a n d u s e t h e f o l l o w i n g t w o f a c t s : t h i s

c h a n g e o f v a r i a b l e s d o e s n o t c h a n g e t h e v a l u e o f t h e i n t e g r a l a n d P r < ( W ( )P , . ( W ) . T h i S g i V € S

I ( T r f , h ) I=

[ J f ( w C ) P r ( w ) d m ( w ) ]

J P , . ( w ) [ fd m ( w )

l i f l i p

s i n c e f P , . ( w ) d m ( w ) = 1 . T h i s s h o w s t h a t I l T r i f < 1 f o r a l l r . I t i s e a s y t os e e t h a t T , . i s l i n e a r .

( b ) I f / E L I ' a n d h t h e n u s e t h e f a c t t u a t =f o r l v i i = K I = 1 t o o b t a i n

( T , . f , h )= f [ f f ( w ) d m ( w ) ] h ( ( ) d m ( ( )

= f [ J h ( ( ) P r w ( ( ) 1 ( w ) d m ( w )

= ( f , T r h ) .

1 9 . 1 . H a r m o n i c o n t h e D i s k 2 0 7

T h e p r o o f o f ( c ) i s

1 . 4 T h e o r e m .

( a ) I J f E C ( O D ) ,( b ) I f l p < o o a n d f E L " ( O D ) , t h e n

( c ) I f p E M ( O D ) a n d i f p , . i s t h e e l e m e n t o f M ( O D ) d e f i n e d b y P r =( f l ) , m , t h e n p , . p w e a k ' i n M ( O D ) .

( d ) I f / D ) , t h e n I , . — ' / w e a k ' i n D ) .

P r o o f . = r " z " f o r a l l n i n Z . H e n c e f o r at r i g o n o m e t r i c p o l y n o m i a l f , 7 ' , ] — , f u n i f o r m l y o n O D a s r — # 1 . S i n c e

1 f o r a l l r , P r o p o s i t i o n 1 8 . 7 . 2 i m p l i e s t h a t ( a ) a n d ( b ) h o l d . P a r t s( c ) a n d ( d ) f o l l o w b y a p p l y i n g P r o p o s i t i o n 1 8 . 7 . 1 1 . b a n d P r o p o s i t i o n 1 . 2 . c .a

A s w a s s a i d b e f o r e , p a r t ( a ) o f t h e p r e c e d i n g t h e o r e m s h o w s t h a t , f o r fi n C ( 8 D ) , / b a a a c o n t i n u o u s e x t e n s i o n t o c i D , t h u s s o l v i n g t h e D i n c h -

l e t p r o b l e m w i t h b o u n d a r y v a l u e s f . F o r / i n L ' ( 8 D ) w e c a n l e g i t i m a t e l yc o n s i d e r / a s t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m w i t h t h e n o n - c o n t i n u o u sb o u n d a r y v a l u e s I . I n d e e d , s u c h a p e r s p e c t i v e i s j u s t i f i e d b y t h e l a s t t h e -o r e m . F u r t h e r j u s t i f i c a t i o n i s f u r n i s h e d i n t h e n e x t s e c t i o n w h e n w e s h o wt h a t f c a n b e r e c a p t u r e d a s t h e r a d i a l l i m i t o f f .

N o w s u p p o s e t h a t u : D - . C i s a h a r m o n i c f u n c t i o n . W h a t a r e n e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s t h a t u = j i f o r s o m e m e a s u r e p ? B e f o r e p r o v i d i n ga n a n s w e r t o t h i s q u e s t i o n , i t i s h e l p f u l t o o b s e r v e t h e c o n s e q u e n c e s o f a f e w

e l e m e n t a r y m a n i p u l a t i o n s w i t h t h e b a s i c p r o p e r t i e s o f a h a r m o n i c f u n c t i o n .f f u i s h a r m o n i c a n d r e a l v a l u e d , t h e r e i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n f : D - . Cw i t h u = R e f . L e t 1 ( z ) = > J , , b e t h e p o w e r s e r i e s e x p a n s i o n o f/ i n D . S o f o r w i n 8 D a n d 0 < r < I t h e s e r i e s c o n v e r g e sa b s o l u t e l y a n d t h u s

= + f ( r w ) ' ]

=

a c o m p l e x v a l u e d h a r m o n i c f u n c t i o n u : D C , a c o n s i d e r a t i o n o f i t s r e a la n d i m a g i n a r y p a r t a s b o w s t h a t f o r w I = 1 a n d r < 1 ,

1 . 5 u , ( w ) =

2 0 8 1 9 . F u n c t i o n s R e d u x

f o r s o m e c h o i c e o f c o n s t a n t s M o r e o v e r t h e s e r i e s ( 1 . 5 ) c o n v e r g e s u n i -f o r m l y a n d a b s o l u t e l y f o r w i n 0 1 1 ) . I t f o l l o w s t h a t ( 1 . 5 ) i s t h e F o u r i e rs e r i e s o f t h e f u n c t i o n u , . . T h e n e x t l e m m a f o r m a l l y s t a t e s t h i s a n d g i v e s

t h e a n a l o g o u s f a c t f o r m e a s u r e s .1 . 6 L e m m a .

( a ) I f u : D C i s a h a r m o n i c f u n c t i o n a n d 0 < r < 1 , t h e F o u r i e rs e r i e s f o r U , . i s g i v e n b y t h e f o r m u l a ( 1 . 5 ) .

( b ) E M ( O D ) , t h e n t h e F o u r i e r s e r i e s o f t h e f u n c t i o n i i , . i s g i v e n b y

j i ( n ) v f

a n d t h e c o n v e r g e n c e i s u n z f o r m a n d a b s o l u t e f o r w o n O i l ) .

T h e n e x t t h e o r e m i s t h e p r i n c i p a l r e s u l t o f t h i s s e c t i o n a n d c h a r a c t e r i z e st h e h a r m o n i c f u n c t i o n s t h a t c a n a r i s e a s t h e P o i s s o n t r a n s f o r m o f a m e a s u r eo r a f u n c t i o n f r o m o n e o f t h e v a r i o u s c l a s s e s .

1 . 7 T h e o r e m . S u p p o s e U : D — . C i s a h a r m o n i c f u n c t i o n .

( a ) T h e r e i s a i n M ( O D ) w i t h u = i f a n d o n l y i / s u p , . ) ) u , . f l 1 < c c .( b ) I l l < p o , t h e r e i s a f u n c t i o n f w i t h u = f i f a n d o n l y

Z f S u p , . I I U r I I p < 0 0 .

( c ) T h e r e i s a f u n c t i o n f i n L ' ( D ) w i t h u = f i f a n d o n l y i f { u , . } i s Vc o n v e r g e n t .

( d ) T h e r e i s a f u n c t i o n f z n C ( O D ) w i t h u . 1 i f a n d o n l y i f { u , . } i su n i f o r m l y c o n v e r g e n t .

P r o o f ( a ) I f u = t h e n I J u , . I I i = I f U P , . z ( w ) d p ( w ) l d m ( z ) i f d I p l ( w ) d m ( z ) = f [ f P , . 2 ( w ) d m ( z ) ) d J 1 4 ( w ) =

N o w a s s u m e t h a t u i s a h a r m o n i c f u n c t i o n o n 1 1 ) a n d L i s a c o n s t a n t s u c ht h a t I l U r l I l L f o r a l l r < 1 . P u t i i , . = t h e m e a s u r e U , . m i n M ( O D ) . S o{ i s a u n i f o r m l y b o u n d e d n e t o f m e a s u r e s o n O D . B y A l a o g l u ' s T h e o r e m

t h e r e e x i s t s a m e a s u r e i n M ( 8 D ) t h a t i s a w e a k c l u s t e r p o i n t o f t h i sn e t . H e n c e

= J w ? i d v t . = f 1 2 ( n ) .

B u t L e m m a 1 . 6 i m p l i e s t h a t £ ' , . ( n ) = 4 1 1 , . ( n ) = r 1 .H e n c e 1 2 ( n ) = T h i s i m p l i e s t h a t t h e w e a k c l u s t e r p o i n t o f { i ' , . } i s

u n i q u e . H e n c e v , . — * a w e a k i n M ( d D ) . A n e x a m i n a t i o n o f t h e s e r i e s i nL e m m a 1 . 6 s h o w s t h a t u

1 9 . 1 . H a r m o n i c F u n c t i o n s o n t h e D i s k 2 0 9

( b ) T h i s p r o o f i s l i k e t h a t o f p a r t ( a ) . F o r 1 < p < 0 0 , t h e w e a k c o m -

p a c t n e s s o f b o u n d e d s e t s i n i s u s e d i n s t e a d o f w e a k c o m p a c t n e s s .T h e w e a k t o p o l o g y o n L ° ° ( Ô D ) i s u s e d w h e n p =

T h e p r o o f s o f ( c ) a n d ( d ) a r e l e f t a s e x e r c i s e s . CP a r t o f t h e p r o o f o f t h i s t h e o r e m n e e d s t o b e m a d e e x p l i c i t .

1 . 8 C o r o l l a r y . S u p p o s e u : D C i s a h a r m o n i c f u n c t i o n .

( a ) f f S U P r I I U r I I i < 0 0 , t h e n t h e m e a s u r e s u , . m — , w e a k j f l M ( 8 D ) ,w h e r e p i s t h e m e a s u r e s u c h t h a t u =

( b ) I f ! a n di n L I ' ( w e a k '

i n L ° ° i f p = o o ) , w h e r e f i s t h e f u n c t i o n i n L P ( O D ) w i t h u = f .

I f t h e p r o o f o f T h e o r e m 1 0 . 2 . 4 i s e x a m i n e d c l o s e l y , a " p o i n t " t h e o r e mr e s u l t s . T h i s n e x t r e s u l t n o t o n l y i m p r o v e s ( 1 0 . 2 . 4 ) b u t p r o v i d e s a m e a n so f o b t a i n i n g v a r i o u s e s t i m a t e s f o r h a r m o n i c f u n c t i o n s a s t h e s u b s e q u e n tc o r o l l a r y i l l u s t r a t e s .

1 . 9 T h e o r e m . 1 f f E L ' a n d / i s c o n t i n u o u s a t t h e p o i n t a , t h e n t h ef u n c t i o n t h a t i s d e f i n e d t o b e f o n D a n d f o n O D i s c o n t i n u o u s a t a .

1 . 1 0 C o r o l l a r y . 1 f f E L ' a n d a O D , t h e n

l i z n s u p f ( z )C E O D

P r o o f . L e t a b e t h e r i g h t h a n d s i d e o f t h i s i n e q u a l i t y . I f a = o o , t h e r ei s n o t h i n g t o p r o v e ; t h u s i t m a y b e a s s u m e d t h a t a < o o . B y d e f i n i t i o n ,f o r e v e r y e > 0 t h e r e i s a ö > 0 s u c h t h a t f o r i n 0 D a n d l ( — a j <6 , f ( ( ) < a + e . D e f i n e 1 1 o n O D b y l e t t i n g f ( ( ) f o r — a l

a n d = a + e f o r I C — a l < 5 . S o I i L ' a n d 1 < 1 1 ; t h u s f $U s i n g t h e p r e c e d i n g t h e o r e m ,

l i m s u p f ( z ) I i m s u p f 1 ( z ) = a + e .

S i n c e c w a s a r b i t r a r y , t h e p r o o f i s c o m p l e t e . 0

T h e f i n a l r e s u l t c a n b e t a k e n a s a c o r o l l a r y o f T h e o r e m 1 . 7 .

1 . 1 1 H e r g l o t z ' s T h e o r e m . I f u i s a h a r m o n i c f u n c t i o n o n D , t h e n u =f o r a p o s i t i v e m e a s u r e . & o n 0 D i f a n d o n l y i f u 0 o n D .

i t i s e a s y t o s e e t h a t s i n c e t h e P o i s s o n k e r n e l i s p o s i t i v e , f o r a n yp o s i t i v e m e a s u r e u j i 0 o n D . C o n v e r s e l y , a s s u m e t h a t u ( z ) 0 f o rI z i < 1 . T h e n = f u , . ( w ) d m ( w ) = u ( O ) b y t h e M e a n V a l u e T h e o r e m .

2 1 0 1 9 . j i a r m o n i c F u n c t i o n s R e d u x

B y C o r o l l a r y 1 . 8 , t h e r e i s a p i n M ( O D ) s u c h t h a t u = a n d u , . . m — + p0

E x e r c i s e s

1 . L e t p ( z , b e a p o l y n o m i a l i n z a n d a n d f i n d a f o r m u l a f o r t h ef u n c t i o n u t h a t i s h a r m o n i c o n D , c o n t i n u o u s o n c i D , a n d e q u a l t op ( z , i ) o n O D .

2 . I f p M ( O D ) h a s F o u r i e r c o e f f i c i e n t s { , 1 ( n ) } , s h o w t h a t f o r I z i <1 , = ÷ E x a m i n e E x e r c i s e 1 i n

l i g h t o f t h i s .

3 . L e t u b e a r e a l - v a l u e d h a r m o n i c f u n c t i o n o n D a n d s h o w t h a t t h e r ei s a r e a l - v a l u e d m e a s u r e p o n O D s u c h t h a t i f a n d o n l y i f u i st h e d i f f e r e n c e o f t w o p o s i t i v e h a r m o n i c f u n c t i o n s .

4 . P r o v e t h e f o l l o w i n g e q u i v a l e n t f o r m u l a t i o n o f H e r g i o t z ' s T h e o r e m . i f

f i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n D , t h e n f t a k e s i t s v a l u e s i n t h e r i g h t h a l fp l a n e a n d s a t i s f i e s f ( O ) > 0 i f a n d o n l y i f t h e r e i s a p o s i t i v e m e a s u r ep o n 3 D s u c h t h a t

f ( z )= f +

d p ( w ) .S D — Z

5 . L e t C b e t h e s e t o f a n a l y t i c f u n c t i o n s o n I ) s u c h t h a t R e / 0

a n d f ( 0 ) = 1 . S h o w t h a t C i s a c o m p a c t c o n v e x s u b s e t o f H ( D ) a n dc h a r a c t e r i z e i t s e x t r e m e p o i n t s . ( H i n t : U s e E x e r c i s e 4 . )

§ 2 F a t o u ' s T h e o r e m

W e h a v e s e e n i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n t h a t f o r a m e a s u r e p i n M = M ( O D ) ,

t h e m e a s u r e p c a n b e r e c a p t u r e d f r o m t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e tp r o b l e m w i t h b o u n d a r y v a l u e s p , b y e x a m i n i n g t h e w e a k l i m i t o f t h em e a s u r e s ( j i ) , . i n ( 1 . 4 ) . I n t h i s s e c t i o n w e w i l l l o o k a t t h e r a d i a l l i m i t o ft h e f u n c t i o n F o r a n a r b i t r a r y m e a s u r e w e r e c a p t u r e p i f a n d o n l y i f pi s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s w i t h r e s p e c t t o m . T h i s w i l l e s s e n t i a l l y p r o v e t h er e s u l t s s t a t e d i n § 1 3 . 5 .

T h e r e i s a s t a n d a r d t e m p t a t i o n f o r a l l w h o f i r s t s e e F a t o n ' s T h e o r e m .I f / E I ) , t h e n w e k n o w t h a t J r — ' f i n t h e V n o r m . T h u s t h e r e i s as e q u e n c e t h a t c o n v e r g e s t o 1 s u c h t h a t — 1 ( C ) a . e . o n O D .T h a t i s s u f f i c i e n t l y c l o s e t o t h e e x i s t e n c e o f

: a d i a l l i m i t s a . e . o n 8 D t h a t i t s e e m s t h a t a p r o o f o f t h e i r e x i s t e n c e i s

1 9 . 2 . F a t o u ' s T h e o r e m 2 1 1

j u s t a h e a d o f u s . U n f o r t u n a t e l y n o o n e h a s e v e r b e e n a b l e t o p a r l a y t h i si n t o a p r o o f . I t r e m a i n s o n l y a n i n t u i t i v e a r g u m e n t t h a t m a k e s t h e r e s u l tb e l i e v a b l e .

R e c a l l s o m e m e a s u r e t h e o r y , o r r a t h e r a p a r t o f m e a s u r e t h e o r y t h a t i sn o t u n i v e r s a l l y e x p o s e d i n c o u r s e s o n m e a s u r e t h e o r y . I f p E M ( a D ) , t h e r ei s a c o r r e s p o n d i n g m e a s u r e o n [ 0 , 2 i r j , w h i c h w i l l a l s o b e d e n o t e d b y p ,s u c h t h a t f f d p = f f ( e l t ) d p ( t ) f o r e v e r y f i n C ( O I I ) ) . T h e c o r r e s p o n d i n gm e a s u r e o n [ 0 , 2 i r ] i s n o t u n i q u e . F o r e x a m p l e , i f p = i n M ( O D ) , t h e ne i t h e r o r c a n b e c h o s e n a s t h e c o r r e s p o n d i n g m e a s u r e o n [ 0 , 2 1 r J . T h i s

i s , h o w e v e r , e s s e n t i a l l y t h e o n l y w a y i n w h i c h u n i q u e n e s s f a i l s . ( W h a t d o e st h i s m e a n ? )

F o r a m e a s u r e p o n [ 0 , 2 7 r ] t h e r e i s a f u n c t i o n o f b o u n d e d v a r i a t i o n uo n [ 0 , 2 i r ) s u c h t h a t f f d p = f f ( t ) d u ( t ) f o r e v e r y c o n t i n u o u s f u n c t i o n

f , w h e r e t h i s s e c o n d i n t e g r a l i s a L e b e s g u e - S t i e l t j e s i n t e g r a l . I t m i g h t b ew o r t h w h i l e t o r e c a l l h o w t h i s c o r r e s p o n d e n c e i s e s t a b l i s h e d , t h o u g h n op r o o f s w i l l b e g i v e n h e r e . T h e p r o o f s c a n b e f o u n d i n m a n y o f t h e t r e a t -m e n t s o f i n t e g r a t i o n t h e o r y .

I f p i s a p o s i t i v e m e a s u r e o n [ 0 , 2 7 r J , d e f i n e a f u n c t i o n U : [ 0 , 2 1 r ] R

b y l e t t i n g u ( O ) = 0 a n d u ( t ) = p ( [ 0 , t ) ) f o r t > 0 . T h e f u n c t i o n u i sl e f t c o n t i n u o u s , i n c r e a s i n g , a n d f f d p = f 1 ( t ) d u ( t ) f o r a l l c o n t i n u o u s

f u n c t i o n s f o n [ 0 , 2 7 r ] . l i p i s a n a r b i t r a r y c o m p l e x - v a l u e d B o r e l m e a s u r e o n[ 0 , 2 i r J , l e t p = P 1 — P 2 + i ( p 3 — p 4 ) b e t h e J o r d a n d e c o m p o s i t i o n a n d l e t u =

u 1 — u 2 + i ( u 3 — u 4 ) , w h e r e u j i s t h e i n c r e a s i n g f u n c t i o n c o r r e s p o n d i n g t o t h ep o s i t i v e m e a s u r e T h i s e s t a b l i s h e s a b i j e c t i v e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e nc o m p l e x - v a l u e d m e a s u r e s p o n ( 0 , 2 i r J a n d l e f t c o n t i n u o u s f u n c t i o n s u o fb o u n d e d v a r i a t i o n t h a t a r e n o r m a l i z e d b y r e q u i r i n g t h a t u ( 0 ) = 0 .

T h e n e x t p r o p o s i t i o n g i v e s t h e b a s i c p r o p e r t i e s o f t h i s c o r r e s p o n d e n c eb e t w e e n m e a s u r e s a n d f u n c t i o n s o f b o u n d e d v a r i a t i o n .

2 . 1 P r o p o s i t i o n . L e t p M [ O , 2 i r ] a n d l e t u b e t h e c o r r e s p o n d i n g n o r m a l -i z e d f u n c t i o n o f b o u n d e d v a r i a t i o n .

( a ) T h e f u n c t i o n u i s c o n t i n u o u s a t t o i f a n d o n l y i f p ( { t o } ) = 0 .

( b ) T h e m e a s u r e p i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s w i t h r e s p e c t t o L e b e s g u e m e a -

s u r e i f a n d o n l y i f u i s a n a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s f u n c t i o n , i n w h i c hc a s e f f d p = f 1 ( t ) u ' ( t ) d t f o r e v e r y c o n t i n u o u s f u n c t i o n f .

( c ) I f E = { t : u ' ( t ) e x i s t s a n d i s n o t O } , t h e n E i s m e a s u r a b l e , i s a b -s o l u t e l y c o n t i n u o u s w i t h r e s p e c t t o L e b e s g u e m e a s u r e , a n d 2 i r ] \

E ) i s s i n g u l a r w i t h r e s p e c t t o L e b e s g u e m e a s u r e .

I n § 1 3 . 5 t h e c o n c e p t o f n o n - t a n g e n t i a l l i m i t w a s i n t r o d u c e d ; n a m e l y f o r

w 0 i n O D , z w o ( n . t . ) i f z a p p r o a c h e s W O t h r o u g h a S t o l z a n g l e w i t hv e r t e x w 0 a n d o p e n i n g a , 0 < a < i r / 2 .

2 . 2 L e m m a . G i v e n a S t o l z a n g l e w i t h v e r t e x W o = a n d o p e n i n g a ,




t h e r e i s a c o n s t a n t C a n d a ö > 0 s u c h t h a t i f z = r e ' 0 b e l o n g s t o t h e S t o l za n g l e a n d z — t V o I t h e n j O — O o I C ( 1 — r ) .

P r o o f . I t s u f f i c e s t o a s s u m e t h a t 8 o = 0 s o t h a t w 0 = 1 . i f L i s t h e s t r a i g h tl i n e t h a t f o r m s a n e d g e o f t h e S t o l z a n g l e , t h e n a r e f e r e n c e F i g u r e 1 9 . 1w i l l s h o w t h a t f o r z r e ' 8 o n L , s i n ( Q + 9 ) = I k n c e a s 0 — ' 0 +

1 — r 1 s i n ( c i + 0 ) — s i n c i9 s i n ( c i + 9 ) 8

T h u s — , t a n Q a s 8 0 + . S i n c e t h e t a n g e n t f u n c t i o n i s i n c r e a s i n g , t h el e r i u t i a n o w f o l l o w s . 0

2 . 3 F a t o u ' s T h e o r e m . L e t E M b , 2 i r j a n d l e t i t b e t h e c o r r e s p o n d i n g

f 4 i n c t i o n o f b o u n d e d v a r i a t i o n ; e x t e n d u t o b e d e f i n e d o n R b y m a k i n g up e r i o d i c w i t h p e r i o d 2 i r . I f u i s d i f f e r e n t i a b l e a t O o , t h e n j i ( z ) — 2 7 r u ' ( 9 0 )a s z — . e ' 8 ° ( n . t . ) .

( N o t e : W e a r e M ( O D ) a n d M [ O , 2 1 r 1 . A l s o t h e o n l y r e a s o n f o re x t e n d i n g u t o b e d e f i n e d o n I R i s t o f a c i l i t a t e t h e d i s c u s s i o n a t 0 a n d 2 i r . )

P r o o f . I t s u f f i c e s t o o n l y c o n s i d e r t h e c a s e w h e r e O o = 0 , s o w e a r e a s -s w n i n g t h a t u ' ( O ) e x i s t s . W e m a y a l s o a s s u m e t h a t u ' ( O ) = 0 . I n f a c t . i f

u ' ( O ) 0 , l e t i i = — 2 i r u ' ( O ) m . T h e f u n c t i o n o f b o u n d e d v a r i a t i o n c o r -r e s p o n d i n g t o v i s v ( 8 ) = u ( 0 ) — u ' ( 0 ) 8 , s i n c e m i s n o r m a l i z e d L e b e s g u em e a s u r e . S o v ' ( O ) e x i s t s a n d v ' ( O ) = 0 . I f w e k n o w t h a t 0 a s 1

( n . t . ) , t h e n i t ( z ) = + u ' ( O ) — ' u ' ( O ) a s z — . 1 ( n . t . ) .S o a s s u m e t h a t u ' ( O ) = 0 . W e w a n t t o s h o w t h a t

2 . 41 — 2 r c o s ( t — 9 ) + r 2

d 1 z ( t ) 0

a s z = r & 8 1 ( n . t . ) . U s i n g t h e p r e c e d i n g l e m m a , i t s u f f i c e s t o s h o w t h a t( 2 . 4 ) h o l d s i f , f o r s o m e f i x e d p o s i t i v e c o n s t a n t C . 8 — p 0 a n d r * 1 w h i l e

F i g u r e 1 9 . 1 .

1 9 . 2 . F a t o u ' s T h e o r e m

s a t i s f y i n g

F i g u r e 1 9 . 2 .

2 1 3

a f u n c t i o n o f 9 w i t h rs o d i f f e r e n t i a t i o n w i t h

0

2 . 5 < C ( 1 — r ) .

L e t I T b e t h e s e t o f z = r e ' 9 s a t i s f y i n gR e c a l l t h a t i f t h e P o i s s o n k e r n e l i s c o n s i d e r e d a s

f i x e d , t h e n P r ( 9 ) = ( 1 - . r 2 ) / ( 1 — 2 r c o s 9 + r 2 ) a n d

r e s p e c t t o 1 ) g i v e s t h a t2 r ( 1 — r 2 ) s i n 9

2( 1 — 2 r c o s 9 ÷ r 2 )

F i x e > 0 . S i n c e u ' ( O ) e x i s t s a n d e q u a l s 0 . t h e r e i s a 6 > 0 s u c h t h a tI u ( t ) 1 < E j t f f o r t i < ( 5 . T h u s i f = r e ' 8 E F .

= f P r ( t = f ]P r ( t -

E x a m i n i n g F i g u r e 1 9 . 2 w e s e e t h a t i f 0 < < 6 . t h e r e i s a n e i g h b o r h o o d U 1o f 1 s u c h t h a t i f z E r f l U j a n d t i S . t h e n t — 0 ! T h u s P r o p o s i t i o n1 O . 2 . 3 . d i m p l i e s a n d U 1 c a n h e c h o s e n s o t h a t P r ( t — 9 ) < f o r t i S

a n d F f l U 1 . T h e r e f o r e

2 . 6 f z ( z ) I < e I I p i I + j P r ( t O ) d i i ( t )— 6

U s i n g i n t e g r a t i o n b y p a r t s , f o r z = r e ' 8 i n I ' n U 1 ,

1 . 6 p 6

JP r ( t — 9 ) d , u ( t ) u ( t ) P r ( t — + J

u ( t ) — 9 )— 6

= — 9 ) — 9 ) 1

+ j — 6

, 6< + J u ( t ) — 9 ) d t

F r o m ( 2 . 6 ) w e i n f e r t h a t

2 . 7 + 2 5 6 2 + I u ( t ) — 9 ) d tJ — 6

N o w f i x z a n d a s s u m e t h a t 9 0 . T h e c a s e w h e r e 9 < 0 i s t r e a t e ds i m i l a r l y a n d w i l l b e l e f t t o t h e r e a d e r . A l s o a s s u m e t h a t i s s u l i l c i e n t l ys m a l l t h a t 9 < 5 / 2 f o r z = i n U 1 . H e n c e

=

( J O + J 2 8 + J 6 )

2 . 8 = X + Y + Z .

N o w s i n c e f o r I t I : S &

— 2 r ( 1 — r 2 ) s i n ( t — 9 ) u ( t )— J o ( 1 — 2 r c o s ( t — 9 ) + r 2 ) 2

< 2 r ( 1 — r 2 )f 2 8

— 0 ) ) e t

— J o

B u t ( 1 — 2 r c o s ( t — 9 ) + r 2 ) 1 — 2 r + r 2 = ( 1 — r ) 2 a n d I s I n ( t — 9 ) I t t — 8 I 9f o r 0 t 2 9 . H e n c e

2 6 r ( 1 — r 2 ) 2 8

( 1 . — r ) 'e j t d t

— E r ( 1 + r ) 9 ( 4 0 2 )— ( 1 — r ) 3

— ( i — r ) 3

B y ( 2 . 5 ) w e g e tI Y I e C 3 .

N o w f o r t h e t e r m Z i n ( 2 . 8 ) . i f 2 9 < t 5 , t h e n 0 t — 2 9 = 2 ( t — 9 ) — ta n d s o t 2 ( t — 0 ) . H e n c e 2 e ( t — 9 ) . T h u s

f oI Z I = /

J 2 e

2 e / — 9 ) ) ( t — 0 ) d tJ 2 0

1 9 . 2 . F a t o u ' s 2 1 5

p 6 — 8

= 2 e /J 9

= + 2 E J P r ( t ) d t

1 1 — r 2 \< j + 2 e i r— \ ( 1 + r ) 2 J<

p r o v i d e d U 1 i s c h o s e n s u f f i c i e n t l y s m a l l . ( T h a t i s , w e f o r c e r t o b e v e r yc l o s e t o 1 . )F o r t h e t e r m X i n ( 2 . 8 ) , o b s e r v e t h a t

, 0 , 8 + 6

j — 6 8

p 0 + 6 ( — F ( t ) ) ( t — 9 ) d t .A

U s i n g t h e p r e c e d i n g m e t h o d s w e o b t a i n t h e f a c t t h a t f o r s o m e c o n s t a n t M ,I X I M e .

R e f e r r i n g t o ( 2 . 7 ) a n d ( 2 . 8 ) , w e g e t t h a t t h e r e i s a c o n s t a n t C ' t h a ti s i n d e p e n d e n t o f e s u c h t h a t f o r a l l z i n F a n d i n a s u f f i c i e n t l y s m a l ln e i g h b o r h o o d U 1 o f 1 , C ' e . 0

2 9 C o r o l l a r y . I f E M ( O D ) , t h e n j i h a s n o n - t o n g e n h a i l i m s t s o . e . [ m )o n O D .

P r o o f . F u n c t i o n s o f b o u n d e d v a r i a t i o n h a v e f i n i t e d e r i v a t i v e s a . e . 0

T h e r e a d e r m i g h t w o n d e r i f i t c o u l d b e c o n c l u d e d t h a t c a n h a v e al i m i t a t p o i n t s o f t h e c i r c l e . I n o t h e r w o r d s , i s i t r e a l l y n e c e s s a r y t o i m p o s e

t h e r e s t r i c t i o n i n t h e p r e c e d i n g c o r o l l a r y a n d i t s a n c e s t o r s t h a t t h e l i m i t sb e n o n - t a n g e n t i a l ? T h e a n s w e r i s e m p h a t i c a l l y n o ; o n l y t h e n o n - t a n g e n t i a ll i m i t s a r e g u a r a n t e e d . T h i s i s s k e t c h e d i n E x e r c i s e 1 .

2 . 1 0 C o r o l l a r y . I f u i s a n o n - n e g a t i v e h a r m o n i c f u n c t i o n o n D , t h e nl i m r . . . i _ u ( r e ' ° ) e x i s t s a n d i s f i n i t e a . e . o n [ 0 , 2 i r j .

P r o o f . A c c o r d i n g t o H e r g l o t z ' s T h e o r e m , u = j i f o r s o m e p o s i t i v e m e a s u r e .0

2 . 1 1 C o r o l l a r y . I f i s a m e a s u r e o n 8 D t h a t i s s i n g u l a r w i t h r e s p e c t t oL e b e s g u e m e a s u r e , t h e n t h e n o n - t a n g e n t i a l l i m i t s o f j i a r e 0 a . e . o n 0 D .

W h y d o e s n ' t t h i s c o n t r a d i c t t h e M a x i m u m P r i n c i p l e f o r h a r m o n i c f u n c -t i o n s ?

T h e n e x t r e s u l t i s a l s o a c o r o l l a r y o f F a t o u ' s T h e o r e m b u t i t i s s u f f i c i e n t l y

i m p o r t a n t t o m e r i t a m o r e p r o c l a r n a t o r y l a b e l .2 . 1 2 T h e o r e m . I f 1 < p < o o a n d U : D C i s a h a r m o n i c f u n c t i o n s u c h

t h a t ( 0 0 , t h e n

f ( w ) u r n u ( r w )

e x i s t s a n d i s f i n i t e a . e . [ m ] o n 0 1 ) . I f 1 < p < o c , t h e n f f } ' ( m ) a n d

u = f . I f p =1 , t h e n u = f o r s o m e m e a s u r e i n M [ O , 2 i r J a n d f t s t h e

R a d o n - N i k o d y m d e r i v a t i v e o f t h e a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s p a r t o f p .

P r o o f . T h i s p r o o f i s a c t u a l l y a c o l l a g e o f s e v e r a l p r e c e d i n g r e s u l t s . F i r s ta s s u m e t h a t 1 < p c c . B y T h e o r e m 1 . 7 t h e r e i s a f u n c t i o n g i n L ' s u c ht h a t u B y F a t o u ' s T h e o r e m , f a . e . [ m l . N o w s u p p o s e p 1 . A g a i nT h e o r e m 3 . 8 i m p l i e s t h a t u = f o r s o m e p i n M [ O . 2 i r J . L e t p = p 0 + b e

t h e L e b e s g u e d e c o m p o u i t i o n o f p w i t h r e s p e c t t o m . L e t g b e t h e R a d o n -N i k o d y m d e r i v a t i v e o f w i t h r e s p e c t t o m . T h u s i f w i s t h e f u n c t i o n o fb o u n d e d v a r i a t i o n o n [ 0 , 2 i r l c o r r e s p o n d i n g t o p . t h e n w ' = g a . e . I t f o l l o w sb y F a t o u ' s T h e o r e m t h a t g = f a . e .

N o t e t h a t t h e p r e c e d i n g t h e o r e m c o n t a i n s T h e o r e m 1 3 . 5 . 2 a s a s p e c i a lc a s e .

2 . 1 3 E x a m p l e . I f p = t h e u n i t p o i n t m a s s a t I o n 0 1 ) . T z ( z ) = f P . d p =

= R e ( f 9 ) . H e r e t h e c o n c l u s i o n o f F a t o u ' s T h e o r e m c a n b e d i r e c t l yv e r i f i e d .

E x e r c i s e s

1 . L e t f V a n d p u t g ( z ) = f ( z ) f o r < l a n d = l i m r . . j _ J ( r e ' ° )w h e n t h i s l i m i t e x i s t s ; s o g a n d I a g r e e a . e . o n 0 1 ) . L e t E b e t h e s e t

o f p o i n t s o n 8 1 ) w h e r e g i s d e f i n e d . ( a ) S h o w t h a t i f 1 ( z ) —a s z e l O w i t h z i n 1 ) ( t a n g e n t i a l a p p r o a c h a l l o w e d ) , t h e n g , a s a

f u n c t i o n d e f i n e d o n 1 ) U E , i s c o n t i n u o u s a t L e t b e t h e S e t o fp o i n t s i n 0 1 ) w h e r e g i s c o n t i n u o u s . ( b ) S h o w t h a t h a s m e a s u r ez e r o i f a n d o n l y i f f i s n o t e q u i v a l e n t t o a n y f u n c t i o n w h o s e p o i n t so f c o n t i n u i t y h a v e p o s i t i v e m e a s u r e . ( T w o f u n c t i o n s a r e e q u i v a l e n t i ft h e y a g r e e o n a s e t o f f u l l m e a s u r e a n d t h u s d e f i n e t h e s a m e e l e m e n to f L ' . ) T h e r e s t o f t h i s e x e r c i s e p r o d u c e s a f u n c t i o n f i n L ' t h a t i s n o te q u i v a l e n t t o a n y f u n c t i o n w h o s e p o i n t s o f c o n t i n u i t y h a v e p o s i t i v em e a s u r e . ( N o t e t h a t t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n o f t h e i r r a t i o n a l n u m -b e r s i s e q u i v a l e n t t o t h e c o n s t a n t l y 1 f u n c t i o n . ) O n c e t h i s i s d o n e . t h e

1 9 . 3 . S e m i c o n t i n u o u s F u n c t i o n s 2 1 7

h a r m o n i c f u n c t i o n f w i l l f a i l t o h a v e a l i m i t a . e . o n 0 D e v e n t h o u g hi t h a s a n o n - t a n g e n t i a l l i m i t a . e . ( c ) L e t K b e a C a n t o r s u b s e t o f 0 Dw i t h p o s i t i v e m e a s u r e a n d s h o w t h a t t h e s e t o f p o i n t s o f c o n t i n u i t y o f

X K i s O D \ K . ( d ) C o n s t r u c t a s e q u e n c e o f C a n t o r s e t s i n O Dt h a t a r e p a i r w i s e d i s j o i n t a n d s u c h t h a t O l D \ U , , K , , h a s z e r o m e a s u r e .S h o w t h a t u , , K , , c o n t a i n s n o i n t e r v a l . ( e ) D e f i n e I o n O D b y l e t t i n g

f ( z ) = 1 / 2 " f o r z i n a n d 1 ( z ) = 0 f o r z i n O l D \ u , , K , , . S h o wt h a t i f g i s a n y f u n c t i o n e q u i v a l e n t t o f , t h e n t h e s e t o f p o i n t s o f

c o n t i n u i t y o f g h a s m e a s u r e z e r o .

2 . G i v e a n e x a m p l e o f a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n D t h a t f a i l s t o h a v e a

n o n - t a n g e n t i a l l i m i t a t a l m o s t e v e r y p o i n t o f 0 D .3 . S u p p o s e f E L ' a n d f i s r e a l - v a l u e d . S h o w t h a t i f a E O D a n d

f ( z ) = t h e n f ( r a ) = + 0 0 .

§ 3 S e m i c o n t i n u o u s F u n c t i o n s

I n t h i s s e c t i o n w e w i l l p r o v e s o m e b a s i c f a c t s a b o u t s e m i c o n t i n u o u s f u n c -t i o n s ( l o w e r a n d u p p e r ) . M o s t r e a d e r s w i l l h a v e l e a r n e d a t l e a s t s o m e o f t h i sm a t e r i a l , b u t w e w i l l s e e h e r e a r a t h e r c o m p l e t e d e v e l o p m e n t a s i t s e e m st o b e a t o p i c t h a t m o s t m o d e r n t o p o l o g y b o o k s j u d g e t o o s p e c i a l i z e d f o ri n c l u s i o n a n d m o s t a n a l y s i s b o o k s t a k e f o r g r a n t e d a s k n o w n b y t h e r e a d e r .W e w i l l , o f c o u r s e , a s s u m e t h a t t h e r e a d e r h a s m a t h e m a t i c a l m a t u r i t y a n do m i t m a n y d e t a i l s f r o m t h e p r o o f s .

3 . 1 D e f i n i t i o n . I f X i s a m e t r i c s p a c e a n d U : X - — p + o o ) , t h e n u i su p p e r s e m z c o n t i n u o u s ( u s c ) i f , f o r e v e r y c i n [ — o o , + o o ) , t h e s e t { x Xu ( x ) < c } i s a n o p e n s u b s e t o f X . S i m i l a r l y , U : X ( — 0 0 , + 0 0 ] i s l o w e rs e m i c o n t i n u o t L s ( l s c ) i f , f o r e v e r y c i n ( — o o , + 0 0 ] , t h e s e t { x E X : u ( x ) > c }i s o p e n .

N o t e t h a t t h e c o n s t a n t l y — o c a n d + o c f u n c t i o n s a r e u p p e r a n d l o w e rs e m i c o n t i n u o u s , r e s p e c t i v e l y . T h i s i s n o t s t a n d a r d i n t h e l i t e r a t u r e . A l s o af u n c t i o n u i s u p p e r s e m i c o n t i n u o u s i f a n d o n l y i f — u i s l o w e r s e m i c o n t i n u -o u s . I n t h e s e q u e l , r e s u l t s w i l l b e s t a t e d a n d p r o v e d f o r u p p e r s e m i c o n t i n u -o u s f u n c t i o n s . T h e c o r r e c t s t a t e m e n t s a n d p r o o f s f o r l o w e r s e m i c o n t i n u o u sf u n c t i o n s a r e l e f t t o t h e r e a d e r . T h r o u g h o u t t h e s e c t i o n ( X , d ) w i l l b e am e t r i c s p a c e .

T h e r e a s o n f o r u s i n g t h e w o r d s " u p p e r " a n d " l o w e r " h e r e c o m e s f r o mc o n s i d e r a t i o n s o n t h e r e a l l i n e . I f X = R a n d u i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n

e x c e p t f o r j u m p d i s c o n t i n u i t i e s , u w i l l b e u p p e r s e m i c o n t i n u o u s i f a n d o n l yi f a t e a c h d i s c o n t i n u i t y x 0 , u ( x o ) i s t h e u p p e r v a l u e .

3 . 2 P r o p o s i t i o n . I f X z s a m e t r t c s p a c e a n d U : X — [ — o c . o o ) , t h e n t h e

f o l l o w i n g s t a t e m e n t s a r e e q u i v a l e n t .

( a ) u i s u s c .

( b ) F o r e v e r y c i n [ — o o , o o ) t h e s e t { x E X : u ( s ) c } i s c l o s e d .( c ) I f s o E X a n d u ( s 0 ) > — c c , t h e n f o r e v e r y > 0 t h e r e i s a 6 > 0

s u c h t h a t u ( s ) 0 s u c h t h a t u ( s ) < M f o r d ( x , x o ) < 5 .

( d ) I f E X , t h e n u ( s 0 ) u ( s ) .

3 . 3 P r o p o s i t i o n . I f K i s a c o m p a c t s u b s e t o f X , u i s a n u s c f u n c t i o n

o n X , a n d u ( s ) < c c f o r a l l x i n K , t h e n t h e r e a n i n K s u c h t h a tu ( x o ) ( x ) f o r a i l s i n K .

P r o o f .i s o p e n . B y t h e c o m p a c t n e s s o f K , t h e r e i s a n n s u c h t h a t K T h u s

s u p { u ( x ) : z E K } < c c . N o w p u t K u ( s ) —

E a c h i s a c o m p a c t a n d n o n - e m p t y s u b s e t o f K a n d ç S ot h e r e i s a n t h a t b e l o n g s t o e a c h K , , a n d i t m u s t b e t h a t u ( s 0 ) u ( s )

f o r a l l z i n K . 03 . 4 P r o p o s i t i o n .

( a ) I f u 1 o n d u 2 a r e u s c f u n c t i o n s , t h e n u 1 + u 2 a n d u 1 V u 2 r n a x { u 1 , u 2 }a r e u s c f u n c t i o n s .

( b ) I f i s a c o l l e c t i o n o f u s c f u n c t i o n s , t h e n i n f 1 i s u s c .

P r o o f . ( a ) L e t u = u 1 + u 2 , f f x c i n ( — o o . o o ) , a n d l e t U = { x : u ( x ) < c } . f fE U , t h e n U i ( s 0 ) < c a n d u 2 ( z 0 ) < c — u i ( s o ) . H e n c e U 1 = { x : u j ( z ) <

c } a n d U 2 = { s u 2 ( x ) < c — u 1 ( x 0 ) } a r e b o t h o p e n n e i g h b o r h o o d s o f

a n d U 1 f l U 2 ç U . S i n c e w a s a r b i t r a r y , U m u s t b e o p e n .

N o w i f u = U i V u 2 a n d C E [ — o o , c c ) , t h e n { x u ( s ) < c } = { x : u 2 ( x ) <c } f l { x : u 2 ( x ) < c } , a n d s o u i s u s c .

( b ) I f u = A U j a n d C E [ — c o , o o ) , t h e n { s : u ( s ) < c } = U { x < c } .

0

3 . 5 C o r o l l a r y . I f i s a s e q u e n c e o f u s c f u n c t i o n s o n X s u c h t h a t f o re v e r y z , { u , , ( z ) } i s d e c r e a s i n g , t h e n u ( s ) i s u s c

A s e q u e n c e o f f u n c t i o n s s a t i s f y i n g t h e h y p o t h e s i s o f t h i s c o r o l l a r y i s c a l l e d

a d e c r e a s i n g s e q u e n c e o f f u n c t i o n s .

3 . 6 T h e o r e m . I f u : X — ' ( — o o , c c ) i s u s c o n d u M < + c c o n X , t h e nt h e r e i s a d e c r e a s i n g s e q u e n c e o f u n i f o r m l y c o n t i n u o u s f u n c t i o n s { f , , } o n

X s u c h t h a t f , , M a n d / o r e v e n j x i n X , f , , ( x ) j u ( s ) .

1 9 . 3 . S e m i c o n t i n u o u s F u n c t i o n s 2 1 9

P r o o f . I f u i s c o n s t a n t l y e q u a l t o — o o , t h e n t h e r e s u l t i s t r i v i a l . S o a s s u m et h a t t h i s i s n o t t h e c a s e . I f d i s t h e m e t r i c o n X , d e f i n e f , , X R b y

= s u p { u ( y ) — n d ( x , y ) : y E X } .

F o r a n y x a n d y i n X ,

L e t e b e a p o s i t i v e n u m b e r , l e t x E X , a n d f i x n 1 . B y d e f i n i t i o n ,t h e r e i s a y i n X s u c h t h a t u ( y ) — n d ( x , y ) — n e >— ( n + 1 ) E w h e n e v e r d ( z , x ) < e . T h a t i s , > — ( n + 1 ) E

w h e n e v e r d ( z , x ) < e . N o w i n t e r c h a n g e t h e r o l e s o f z a n d z i n t h e p r e c e d i n g

a r g u m e n t t o g e t t h a t > f , , ( z ) — ( n + 1 ) e w h e n d ( x , z ) < E . T h e r e f o r e— < ( n + 1 ) e w h e n d ( z , z ) < T h a t i s , f , , i s u n i f o r m l y

c o n t i n u o u s .

l e t E b e a p o s i t i v e n u m b e r . A s s u m e t h a t u ( x 0 ) > — o o . ( T h e c a s e i n w h i c hu ( x 0 ) = — 0 0 i s l e f t a s a n e x e r c i s e . ) S i n c e u i s u s c , t h e r e i s a 6 > 0 s u c h t h a tu ( y ) < u ( z 0 ) + e f o r d ( y , z 0 ) < 5 . T h u s u ( y ) — n d ( y , x 0 ) < u ( x o ) + E w h e n e v e rd ( y , x o ) < 6 . N o w s u p p o s e t h a t d ( y , x o ) 6 ; h e r e u ( y ) — n d ( y , x o )

u ( y ) — n S M — n 5 . C h o o s e n 0 s u c h t h a t < u ( x o ) + e f o r n o .T h u s f o r n n 0 a n d f o r a l l y i n X , u ( y ) — n d ( y , x o ) u ( x o ) + € . T h e r e f o r eu ( x 0 ) u ( z o ) + e f o r n n 0 . 0

E x e r c i s e s

1 . G i v e a n e x a m p l e o f a f a m i l y U o f u s c f u n c t i o n s s u c h t h a t s u p U i su o t u s c .

2 . I f u i s a m o n o t o n e f u n c t i o n o n a n i n t e r v a l ( a , b ) i n R , s h o w t h a t u i su s c i f a n d o n l y i f f o r e a c h d i s c o n t i n u i t y x o f u , u ( x ) u ( t ) .

3 . S h o w t h a t t h e u n i f o r m l i m i t o f a s e q u e n c e o f u s c f u n c t i o n s i s u s c .

4 . I f X i s a m e t r i c s p a c e , E i s a s u b s e t o f X , a n d u j s t h e c h a r a c t e r i s t j c

f u n c t i o n o f t h e s e t E , s h o w t h a t u i s u p p e r s e m i c o n t i n u o u s i f a n do n l y i f E i s c l o s e d .

5 . L e t X b e a m e t i i c s p a c e . S h o w t h a t u i s a n u p p e r s e m i c o n t i n u o u sf u n c t i o n o n X i f a n d o n l y i f A = { ( x , t ) E X x P . : t u ( x ) } i s a

c l o s e d s u b s e t o f X x P . .

6 . S u p p o s e A i s a n y c l o s e d s u b s e t o f X x P . s u c h t h a t f o r e a c h x i nX t h e s e t { t R : ( x , t ) E A ) i s e i t h e r e m p t y o r b o u n d e da b o v e . D e f i n e u : X — ' [ — o o , o o ) b y u ( z ) = — o o i f = 0 a n d

= s u p o t h e r w i s e , a n d s h o w t h a t u i s u p p e r s e m i c o n t i n u o u s .S h o w t h a t A = { ( x , t ) X x P . : t u ( x ) } .

7 . L e t f X — + [ — c c , c c ) b e a n y f u n c t i o n a n d l e t r = ( ( x , f ( s ) ) x EX a n d f ( s ) > — o o } C X x R . i f A = c i 1 ' , s h o w t h a t i f u ( s ) i s d e f i n e da s i n t h e p r e c e d i n g e x e r c i s e , t h e n t i ( s ) E l m f ( y ) f o r a l l x i n

x .8 . S u p p o s e G i s a n o p e n s u b s e t o f a m e t r i c s p a c e X a n d f C — '

[ — c c , c c ) i s a n y f u n c t i o n s u c h t h a t f o r e a c h ( i n O C , u ( ( ) u r n s u p { f ( x ) :x E C a n d s ( } < c c . S h o w t h a t u i s u p p e r s e m i c o n t i n u o u s .

S u b b a r m o n i c F u n c t i o n s

S u b h a r m o n i c a n d s u p e r h a r m o n i c f u n c t i o n s w e r e a l r e a d y d e f i n e d i n 1 0 . 3 . 1 ,b u t i t w a s a s s u m e d t h e r e t h a t t h e s e f u n c t i o n s w e r e c o n t i n u o u s . T h i s w a sd o n e t o a v o i d a s s u m i n g t h a t t h e r e a d e r ' s b a c k g r o u n d i n c l u d e d a n y t h i n go t h e r t h a n b a s i c a n a l y s i s . I n p a r t i c u l a r , i t w a s a s s u m e d t h a t t h e r e a d e rd i d n o t k n o w t h e L e b e s g u e i n t e g r a l a n d t h u s c o u l d n o t d i s c u s s t h e i n t e g r a lo f a s e r n i c o n t i n u o u s f u n c t i o n . I t i s d e s i r a b l e t o g o b e y o n d t h i s a n d e x t e n dt h e d e f i n i t i o n t o s e r n i c o n t i n u o u s f u n c t i o n s . P r o p o s i t i o n s f o r s e m i c o n t i n u -o u s s u b h a r m o n i c f u n c t i o n s t h a t w e r e s t a t e d f o r t h e c o n t i n u o u s v e r s i o n i nC h a p t e r 1 0 w i l l s o m e t i m e s b e r e s t a t e d h e r e . I f t h e p r o o f g i v e n i n C h a p t e r1 0 e x t e n d s n a t u r a l l y t o t h e p r e s e n t s i t u a t i o n , i t w i l l n o t b e r e p e a t e d a n dt h e r e a d e r w i l l b e r e f e r r e d t o t h e a p p r o p r i a t e r e s u l t f r o m t h e f i r s t v o l u m e

o f t h i s w o r k .

4 . 1 D e f i n i t i o n . I f C i s a n o p e n s u b s e t o f C , a f u n c t i o n U : G [ — c c , c o ) i s

s u b h a r m o n i c i f u i s u p p e r s e m i c o n t i n u o u s a n d , f o r e v e r y c l o s e d d i s k B ( a ; r )c o n t a i n e d i n C , w e h a v e t h e i n e q u a l i t y

14 . 2 u ( a ) < — I u ( a + r e ' ° ) d O .

2 i r J o

A f u n c t i o n U : C R U { + o o } i s s u p e r h a r m o n i c i f — u i s s u b b a r m o n i c .

S o m e r e m a r k s a r e i n o r d e r h e r e . S i n c e u i s u p p e r s e m i c o n t i n u o u s , t h ef a c t t h a t u ( a + r e ' ° ) < c c f o r a l l 0 i m p l i e s u i s u n i f o r m l y b o u n d e d a b o v e o nt h i s c i r c l e . T h u s i t i s n o t b e i n g a s s w n e d t h a t t h e i n t e g r a l i n t h e d e f i n i t i o ni s f i n i t e , b u t t h e i n t e g r a l i s d e f i n e d w i t h t h e p o s s i b i l i t y t h a t i t i s — c c .I n f a c t i t m a y b e t h a t t h e f u n c t i o n i s c o n s t a n t l y e q u a l t o — c c o n s o m eo r a l l o f t h e c o m p o n e n t s o f C . W e w i l l s e e b e l o w ( P r o p o s i t i o n 4 . 1 1 ) t h a tt h i s i s t h e o n l y w a y t h a t a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n c a n f a i l t o b e i n t e g r a b l eo n s u c h c i r c l e s . T h e r e i s a s l i g h t d i f f e r e n c e b e t w e e n t h i s d e f i n i t i o n o f a

s u b h a r m o n i c f u n c t i o n a n d t h a t g i v e n b y m a n y a u t h o r s i n t h a t t h e f u n c t i o nt h a t i s i d e n t i c a l l y e q u a l t o — c c i s a l l o w e d t o b e s u b h a r m o n i c . I n f a c t , s i n c eC i s n o t a s s u m e d t o b e c o n n e c t e d , u m a y b e c o n s t a n t l y e q u a l t o — c c o n

1 9 . 4 . S u b h a r m o n i c F u n c t i o n s 2 2 1

s o m e c o m p o n e n t s a n d f i n i t e v a l u e d o n o t h e r s . T h i s i s a l s o u s u a l l y e x c l u d e da s a p o s s i b i l i t y i n t h e d e f i n i t i o n o f a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n .

R e s u l t s w i l l u s u a l l y b e s t a t e d a n d p r o v e d o n l y f o r s u b h a r m o n i c f u n c t i o n s .

T h e s t a t e m e n t s a n d p r o o f s f o r s u p e r h a r m o n i c f u n c t i o n s w i l l b e l e f t t o t h er e a d e r .

4 . 3 E x a m p l e . i f I : U C i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n , t h e n l o g ( f f i s as u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n C . I n f a c t t h i s i s a n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e o fJ e n s e n ' s F o r m u l a ( 1 1 . 1 . 2 ) .

F o r a c o m p a c t s u b s e t K o f C , l e t C h ( K ) d e n o t e t h e c o n t i n u o u s f u n c t i o n so n K t h a t a r e h a r m o n i c o n m t K .

4 . 4 D e f i n i t i o n . S a y t h a t a f u n c t i o n u : C — i f — a c , o o ) s a t i s f i e s t h e M a x i -m u m P r i n c i p l e i f , f o r e v e r y c o m p a c t s e t K c o n t a i n e d i n C a n d e v e r y h i n

C h ( K ) ,

u : C — . [ — 0 0 , c c ) i s a n u p p e r s e m i c o n t i n u o u s J u n c t i o n ,t h e n t h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t s e q u i v a l e n t .

( a ) u i s( b ) u s a t i s f i e s t h e M a x i m u m P r i n c i p l e .

( c ) I f D i s a c l o s e d d i s k c o n t a i n e d i n C a n d h E C h ( D ) w i t h u < a ' i o nO D , t h e n u h o n D .

( d ) I f D = c c , t h e n

u ( a )

fu d A .

i r r D

P r o o f . ( a ) i m p l i e s ( b ) . ( T h i s p a r t o f t h e p r o o f i s l i k e t h e p r o o f o f T h e o r e m1 0 . 3 . 3 . ) L e t K b e a c o m p a c t s u b s e t o f C a n d a s s u m e t h a t h E C , 1 ( K )

w i t h u < h o n 8 K . B y r e p l a c i n g u w i t h u — h , i t i s s e e n t h a t i t m u s t b es h o w n t h a t u 0 o n K w h e n e v e r u i s s u b h a r m o n i c a n d s a t i s f i e s u < 0

o n O K . S u p p o s e t h e r e i s a p o i n t z 0 i n m t K s u c h t h a t u ( z 0 ) > 0 a n d

l e t O < e < u ( z o ) . P u t A = { Z E K : u ( z ) } . B e c a u s e u j s u s c , A j sc o m p a c t . A l s o , i f b E O K , 0 u ( b ) . B y s t a n d a r d c o m p a c t n e s s a r g u m e n t s ,t h i s i m p l i e s t h e r e i s a n e i g h b o r h o o d V o f O K w i t h V C a n d u ( z ) < e f o r

a l l z i n V . H e n c e , A i n t K . A g a i n t h e f a c t t h a t u i s u s c i m p l i e s t h a t t h e r ei s a p o i n t a i n A w i t h u ( a ) u ( z ) f o r a l l z i n A . I t f o l l o w s t h a t u ( a ) u ( z )

f o r a l l z i n K . L e t H b e t h e c o m p o n e n t o f i n t K t h a t c o n t a i n s a a n d p u tB — { Z E H : u ( z ) — _ u ( a ) } .

— C l e a r l y B i s a r e l a t i v e l y c l o s e d n o n - e m p t y s u b s e t o f H . I f w E B , l e tB ( w ; r ) C U . S o H a n d , f o r 0 < p < r , +

p e * O ) d O S 2 i r u ( w ) s i n c e u ( w + p e ' 9 ) u ( a ) u ( w ) f o r a l l 9 . T h a t i s .t h e i n t e g r a l o f t h e n o n - n e g a t i v e f u n c t i o n u ( a ) — u ( w + i s 0 a n d s o




r ) B . T h u s B i s o p e n a n d s o B = H . B u t t h i s i m p l i e s t h a t i fb E O H c O K , t h e n 0 u ( b ) l i z n s u p { u ( z ) : z E H , z b } = u ( a ) > 0 ,

a c o n t r a d i c t i o n .

( b ) i m p l i e s ( c ) . C l e a r .( c ) i m p l i e s ( d ) . S u p p o s e r ) G a n d l e t b e a s e q u e n c e o fc o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n O B ( a ; r ) s u c h t h a t , L . u ( z ) ( T h e o r e m 3 . 6 ) .

u o n D . B y E x e r c i s e 1 0 . 1 . 6 ,

u ( a ) =

f u d A b y m o n o t o n e c o n v e r g e n c e .( d ) i m p l i e s ( b ) . T h i s i s l i k e t h e p r o o f t h a t ( a ) i m p l i e s ( b ) a n d i s l e f t t o

t h e r e a d e r .( b ) i m p l i e s ( a ) . T h i s i s l i k e t h e p r o o f t h a t ( c ) i m p l i e s ( d ) a n d i s l e f t t o

t h e r e a d e r . 0

A n e x a m i n a t i o n o f t h e a p p r o p r i a t e r e s u l t s i n C h a p t e r 1 0 s h o w s t h a t t h en e w l y d e f i n e d v e r s i o n s o f s u b h a r m o n i c a n d s u p e r h a r m o n i c f u n c t i o n s a l s o

s a t i s f y t h e v a r i o u s v e r s i o n s o f t h e M a x i m u m P r i n c i p l e g i v e n t h e r e . T h e s ew i l l n o t b e s t a t e d e x p l i c i t l y .

4 . 8 P r o p o s i t i o n .

( a ) I f U i a n d u 2 a r e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n s o n G , t h e n u 1 + u 2 a n d u 1 V u 2

a r e s u b h a r m o n i c .( b ) L e t U b e a f a m i l y o f s u b h a r m o n i c f u n c t i o n s o n C t h a t i s l o c a l l y

b o u n d e d a b o v e a n d l e t v s u p U . I f u ( z ) v ( w ) , t h e nU i s s u b h a r r n o n i c . I f v i s u p p e r s e , n s c o n t i n u o u s , t h e n v = u .

( c ) I f U i s a f a m i l y o f s u b h a r m o n i c f u n c t i o n s s u c h t h a t f o r a l l u 1 a n d u 2i n U t h e r e i s a u 3 t n U w i t h U 3 U i A U 2 , t h e n m I U i s s u b h a r m o n j c .

I n p a r t i c u l a r , i f { u , j i s a s e q u e n c e o f s u b h a r m o n i c f u n c t i o n . s s u c h

t h a t u , % u , ÷ 1 f o r a l l n , t h e n l i m u , , i s s u b h a r m o n i c .( d ) I f i s a s e q u e n c e o f p o s i t i v e s u b h a n n o n i c f u n c t i o n s s u c h t h a t

u i s u p p e r s e m i c o n t i n u o u s , t h e n o n e a c h c o m p o n e n t o f ( 3e i t h e r u i s s u b h a r r n o n i c

( e ) I f i s a s e q u e n c e o f n e g a t i v e s u b h a n n o n i c f u n c t i o n s , t h e n u =i s s u b h a r r n o n i c .

P r o o f . ( a ) I t i s c l e a r t h a t u 1 + U 2 i s a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n . S i n c e U i V u 2 i su p p e r s e m i c o n t i n u o u s , t h e p r o o f t h a t t h i s f u n c t i o n i s s u b h a r m o n i c i s g i v e ni n t h e p r o o f o f p a r t ( b ) .

( b ) F i r s t n o t e t h a t u ( z ) < o o f o r a l l z i n G b e c a u s e U i s l o c a l l y b o u n d e da b o v e . I t f o l l o w s f r o m E x e r c i s e 3 . 8 t h a t u i s u p p e r s e m i c o n t i n u o u s . T o s h o wt h a t u i s s u b h a r m o n i c , w e w i l l s h o w t h a t u s a t i s f i e s t h e M a x i m u m P r i n c i p l e .

S o l e t K b e a c o m p a c t s u b s e t o f G a n d l e t h C h ( K ) s u c h t h a t u h o n8 K . F i x u ' m U ; n o w u v u ' o n C . H e n c e h u ' o n O K a n d s o h u 'o n K s i n c e u ' i s s u b h a r m o n i c . S i n c e i i ' w a s a r b i t r a r y , h v o n K , w h e n c ew e h a v e t h a t h u . B y T h e o r e m 4 . 5 , u i s s u b b a r i n o n i c .

i i v i s u p p e r s e m i c o n t i n u o u s , t h e n t h e s a m e p r o o f s h o w s t h a t v i s s u b -h a r m o n i c . T h e f a c t t h a t v — u i s a c o n s e q u e n c e o f P r o p o s i t i o n 4 . 8 b e l o w ,w h i c h i s w o r t h s e p a r a t i n g o u t .

( c ) B y P r o p o s i t i o n 3 . 4 , u = i n f u i s u s c a n d c l e a r l y u ( z ) < o o f o r a l l

z . S u p p o s e D = r ) C . B y T h e o r e m 3 . 6 t h e r e i s a s e q u e n c e o fc o n t i n u o u s f u n c t i o n s { f , j o n O D s u c h t h a t 1 . u ( z ) f o r z i n O D . I tm a y b e a s s u m e d t h a t u ( z ) f o r a l l n a n d a l l z i n O D . F i x n f o r t h e

m o m e n t . S o f o r e v e r y z 1 i n O D t h e r e i s a u 1 i n U s u c h t h a t u i ( z i )B u t { z : u 1 ( z ) — f , 1 ( z ) < 0 ) i s a n o p e n n e i g h b o r h o o d o f z 1 . A c o m p a c t n e s sa r g u m e n t s h o w s t h a t t h e r e a r e f u n c t i o n s u 1 , . . . , u , , , i n U s u c h t h a t f o r e v e r yz i n Ô D t h e r e i s a U k , 1 k v n , w i t h u k ( z ) < B y h y p o t h e s i s ,t h e r e i s o n e f u n c t i o n v i n U w i t h v ( z ) < f o r a l l z o n O D . T h u s2 i r u ( a ) 2 i r v ( a ) v ( a + r e ' 9 ) d O + B y m o n o t o n ec o n v e r g e n c e o f t h e i n t e g r a l s , i t f o l l o w s t h a t u i s s u b h a r m o n i c .

( d ) T h i s p r o o f i s l i k e t h e p r o o f o f p a r t ( b ) .( e ) T h i s i s i m m e d i a t e f r o m p a r t ( c ) . 0

4 . T E x a m p l e . I f 1 : C — ' C i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n , t h e n f f f i s as u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n G . I n f a c t , I = 0 V l o g I / f .

F o l l o w i n g a r e t w o r e s u l t s t h a t w i l l p r o v e u s e f u l a s w e p r o g r e s s .

4 . 8 P r o p o s i t i o n . I f C i s a n y o p e n s e t a n d u i s a s t j b h a r m o n i c f r n c t i o no n C , t h e n f o r a n y a i n C , u ( a ) = u ( z ) .

P r o o f . S i n c e u i s u s c , u ( a ) u r n s u p z _ a u ( z ) . O n t h e o t h e r h a n d , i f r > 0s u c h t h a t B , . B ( a ; r ) C C ,

u ( a ) — 1 i j u ( z ) d A ( z )

B y d e f i n i t i o n t h i s s a y s t h a t u ( a ) u ( z ) . 0

4 . 9 P r o p o s i t i o n . I f u i s a s u b h a r n z o n i c f r n c t i o n o n C a n d r ) ç C ,t h e n ( 2 w ) ' u ( a + p

j u ( a ) a s p £ 0 .u ( a + p e 9 ) d O . I f o < p < r , l e t { f , , } b e a

s e q u e n c e o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n 8 B ( a ; p ) s u c h t h a t I , , j u . L e t E

s u c h t h a t o n O B ( a : p ) . T h u s u o n a n d

s o , b y m o n o t o n e c o n v e r g e n c e .

1

l o , < — I h n ( a + c e t O ) d O2 i r j 0—

I2 i r j 0

I I p

a s n — . o o . T h e r e f o r e I , , d e c r e a s e s a s p d e c r e a s e s . B u t u ( a ) < I , , f o r a l l p

a n d s o , b y F a t o u ' s L e m m a , u ( a ) < l i m 0 _ . o I , , < J i m u ( a +0

A f t e r t h e n e x t l e m m a , i t w i l l b e s h o w n t h a t a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n ar e g i o n C b e l o n g s t o a n d 0 u ( a + r e l O ) i s i n t e g r a b l e i f B ( a : r ) ç C .

4 . 1 0 L e m m a . f f C i s c o n n e c t e d . i s a s u b h a r r n o n i c f u n c t i o n o n C . a n d

{

z C u ( z ) = — o o } h a s n o n - e m p t y i n t e r z o r . t h e n u ( z )

P r o o f . L e t B { z : u ( z ) = a n d l e t A = m t B . S o , b y h y p o t h e s i s , Ai s a n o n - e m p t y o p e n s u b s e t o f C . I t w i l l b e s h o w n t h a t A i s a l s o r e l a t i v e l yc l o s e d i n G a n d h e n c e A = C . —

L e t a E G n c l A a n d l e t r b e a p o s i t i v e n u m b e r s u c h t h a t B ( a : r ) ç C . I f bi s a n y e l e m e n t o f B ( a ; r / 4 ) , t h e n B ( b ; r / 2 ) C a n d , b e c a u s e a B ( b ; r / 2 ) ,B ( b ; r ) f l A 0 . T h u s t h e r e i s a p , 0 < p < r / 2 , s u c h t h a t O B ( b : p ) f l A # 0 .S i n c e u i s s u b h a r m o n i c . u ( b ) u ( b + p e t 8 ) d O . B u t t h e f a c t t h a tO B ( b ; p ) m e e t s t h e o p e n s e t A i m p l i e s t h a t b + p & ° e A f o r s o m e i n t e r v a lo f 9 ' s . T h e r e f o r e u ( b + p & ° ) d O = — o c a n d s o u ( b ) = — o c . w h e n e v e r

a — b I < r / 4 . T h a t i s , B ( a ; r / 4 ) c B a n d s o a e i n t f i = A . 0

4 . 1 1 P r o p o s i t i o n . I f C i s c o n n e c t e d a n d u i s a s u b h a r i n o n i c f u n c t i o n o nG t h a t i s n o t i d e n t i c a l l y t h e n :

( a ) u E

( b ) + r e t O ) d O > — o c w h e n e v e r ç C . T h a t i s . 9 — .u ( a - 4 - r e ' ° ) i s i n t e g r a b l e w i t h r e s p e c t t o L e b e s g u e m e a s u r e o n [ 0 , 2 7 r jw h e n e v e r B ( a ; r ) C G .

P r o o f . L e t A = { z € G : u ( z ) = - o o } . B y L e m m a 4 . 1 0 , i n t A — — 0 .( a ) L e t K b e a c o m p a c t s u b s e t o f C . S i n c e u i s u s c , a n d c o n s e q u e n t l y

b o u n d e d a b o v e o n K , t o s h o w t h a t u E L ' ( K , A ) i t s u f f i c e s t o s h o w t h a t

f u d A > — o o . B u t s i n c e m t A 0 , t h e r e i s a f i n i t e n u m b e r o f d i s k sB ( a k ; r ) w i t h B ( a k ; r ) C C , u ( a k ) > — o o , a n d K U k B ( a k ; r ) . T h u s— 0 0 — 0 0 .

( b ) S u p p o s e t h a t D r ) c G a n d p u t I , , = d O . B y

P r o p o s i t i o n 4 . 9 , i s d e c r e a s i n g a s p d e c r e a s e s . S o i f t h e r e i s a n < r s u c h

t h a t = — o c , t h e n I , , = — o c f o r a l l p H e n c e j ' D u d . 4 = =

— o c , c o n t r a d i c t i n g p a r t ( a ) . 0R e c a l l t h e d e f i n i t i o n o f a c o n v e x f u n c t i o n ( 6 . 3 . 1 ) . W e e x t e n d t h e d e f i n i t i o n

a l i t t l e .

4 . 1 2 D e f i n i t i o n . I f a < b < a f u n c t i o n Ô : [ a . b ] — +i s c o n v e x i f :

( a ) 0 i s c o n t i n u o u s o n b ] :

( b ) 4 , ( x ) E R i f x E ( a . b ) ;

( c ) — a ) y ) — U ) ø ( y ) f o r x . y i n ( a . b ) a n d 0 ü I .

I t i s n o t h a r d t o s h o w t h a t a t w i c e d i f f e r e n t i a b l e o f u n c t i o n i s c o n v e x i fa n d o n l y i f 4 , " 0 . I n p a r t i c u l a r t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n i s c o n v e x w h i l et h e l o g a r i t h m i s n o t .

4 . 1 3 P r o p o s i t i o n . ( J e n s e n ' s I n e q u a l i t y ) i f ( X . f t i s a p r o b a b i l i t y m e a -s u r e s p a c e , f E — o o < a < f ( x ) < b < 0 0 a . e . ( p j . a n d d ' : f a , b ! —

z s a c o n v e x f u n c i z o n . t h e n f Ø o f d l 4 .

P r o o f . I t m a y b e a s s u m e d t h a t f i s n o t c o n s t a n t . T h u s a < I = f f d p < b .P u t S = s u p { f 4 , ( I ) — q 5 ( t ) } / [ I — t J : a < t < I ) . B y E x e r c i s e 4 . S < o o . S o

f o r a < t < I .

4 . 1 4 p ( I ) + S ( t — I ) < 4 , ( t ) .

I f I < I < b . t h e n E x e r c i s e 4 i m p l i e s t h a t S [ 0 ( t ) — ó ( l ) 1 / ( t — e q u i v a -l e n t l y . ( 4 . 1 4 ) h o l d s f o r I < t < b a n d h e n c e f o r a l l t i n ( a . b ) . I n p a r t i c u l a r ,l e t t i n g t = f ( x ) i m p l i e s t h a t I ) Ø ( f ( x ) ) — . b ( I ) — S ( f ( x ) — 1 ) a . e .S i n c e i s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e , 0 — 4 , ( I ) — S [ f f d p . . — I ] =

0

T h e r e a d e r s h o u l d b e w a r n e d t h a t i n t h e l i t e r a t u r e t h e r e i s m o r e t h a no n e i n e q u a l i t y t h a t i s c a l l e d " J e n s e n ' s I n e q u a l i t y . "

4 . 1 5 T h e o r e m . I f u i s a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n C — c o au ( z ) < b < o o f o r a l l z i n C a n d : i a , b ) — ' f — o o , o o ) i s a n i n c r e a s i n gc o n v e x f u n c t i o n , t h e n 4 , 0 u i s s u b h a r m o n z c .

P r o o f . I t i s i m m e d i a t e t h a t 4 , 0 u i s u p p e r s e m i c o n t i n u o u s . O n t h e o t h e rh a n d , i f B ( a ; r ) ç C . t h e n P r o p o s i t i o n 4 . 1 3 a n d t h e f a c t t h a t 4 , i s i n c r e a s i n g

i m p l y t h a t1

Ø ( n ( a ) )< — )

( 4 , 0 u ) ( a + r e t 9 ) d O .2 7 r

2 2 6 1 9 . H a r m o n i c F u n c t i o n s R e d w c

H e n c e a u i s s u b h a r m o n i c . 0

4 . 1 6 E x a m p l e . I f f : C C i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n , t h e n i s a

s u b b a r m o n i c f u n c t i o n o n G f o r 0 < p < o o . F r o m E x a m p l e 4 . 3 w e k n o wt h a t l o gI

i s s u b b a r m o n i c . I f = t h e n i s i n c r e a s i n g a n d c o n v e x .B y t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n , = I f ( z ) I ) i s s u b h a r m o n i c .

4 . 1 7 P r o p o s i t i o n . L e t H b e a n o p e n s u b s e t o f t h e o p e n s e t C a n d l e tu b e a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n C . I f v i s a n u s c f u n c t i o n o n C t h a t i ss u b h a r m o n i c o n H a n d s a t i s f i e s v t i o n H a n d v = u o n C \ H , t h e n u

i s s u b h a r i n o n i c o n C .

P r o o f . I f b E O H n G a n d p ) C , t h e n v ( b + p e ' 8 ) d O f " u ( b +d O 2 i r u ( b ) = 2 i r v ( b ) . T h e d e t a i l s o f t h e r e s t o f t h e p r o o f a r e l e f t t o

t h e r e a d e r . 0

R e c a l l t h a t f o r a f u n c t i o n u d e f i n e d o n t h e b o u n d a r y o f a d i s k B , i id e n o t e s t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m o n B w i t h b o u n d a r y v a l u e s t i

T h e n e x t c o r o l l a r y i s a n e x t e n s i o n o f C o r o l l a r y 1 0 . 3 . 7 t o t h e p r e s e n t

d e f i n i t i o n o f a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n .4 . 1 8 C o r o l l a r y . L e t u b e a s u b h a r r n o n i c f u n c t i o n o n C a n d r ) ç C .

I f v : i t i s d e f i n e d b y l e t t i n g v = u o n G \ B ( a ; r ) a n d v ü o nB ( a ; r ) , t h e n v i s s u b h a r m o n i c .

P r o o f . L e t B = B ( a ; r ) . F i r s t n o t e t h a t P r o p o s i t i o n 4 . 1 1 i m p l i e s t h a t ui s i n t e g r a b l e o n 8 B a n d s o ü i s w e l l d e f i n e d o n B . T o a p p l y t h e p r e c e d i n gp r o p o s i t i o n i t m u s t b e s h o w n t h a t v i s u p p e r s e i n i c o n t i n u o u s a n d v u .

T o s h o w t h a t v u , f i r s t u s e T h e o r e m 3 . 6 t o g e t a d e c r e a s i n g s e q u e n c e o fc o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n O B t h a t c o n v e r g e s t o u I O B p o i n t w i s e . T h u s

i i o n B b y t h e M a x i m u m P r i n c i p l e . B u t — . ü ( z ) f o r e a c h z i nB b y t h e M o n o t o n e C o n v e r g e n c e T h e o r e m f o r i n t e g r a l s . H e n c e i i i i o nB . A l s o f o r z i n c i B , v ( z ) = l i m , , S i n c e i s c o n t i n u o u s o n c i B , vi s u s c o n c i B ( 3 . 5 ) . I t f o l l o w s t h a t v i s u s c o n C a n d t h u s i s s u b h a r m o n i c .0

W i t h t h e n o t a t i o n o f t h e p r e c e d i n g c o r o l l a r y , t h e s u b h a r m o n i c f u n c t i o nv i s c a l l e d t h e h a r m o n i c m o d i f i c a t i o n o f u o n B ( a ; r ) .

I n t h e n e x t r e s u l t w e w i l l u s e t h e f a c t t h a t t h e m o l l i f l e r b a a t h ep r o p e r t y t h a t =

4 . 1 9 P r o p o s i t i o n . L e t i i b e a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n t h e o p e n s e t Ca n d f o r a m o l i * f t e r l e t = i i * T h e n .

( a ) i s a C ° ° f u n c t i o n o n C ;( b ) i / K i s a c o m p a c t s u b s e t o f C , t h e n [ K t u — 0 ;

( c ) i s s u b h a r r n o n i c o n { z E G : d ( z , O G ) > e } ;

1 9 . 4 . S u b h a x m o n i c F u n c t i o n s 2 2 7

( d ) f o r e a c h z a s c . J . 0 .

P r o o f . P a r t s ( a ) a n d ( b ) f o l l o w f r o m P r o p o s i t i o n 3 . 6 .

( c ) i f z e G e { w G : d ( t n , O G ) > e } , t h e n a c h a n g e o f v a r i a b l e s i nt h e d e f i n i t i o n o f g i v e s t h a t

4 . 2 0 u ( z — e w ) d A ( w ) .

S o C

p 2 w p 2 w p

ju ( a + d O

J J u ( a + — d O d . A ( w )

> 2 : f u ( a — E W ) d . . 4 ( w )

T h e r e f o r e i s s u b h a r r n o n i c o n G e .( d ) L e t < 6 ; w e w i l l s h o w t h a t u e o n C 5 a n d u ( z ) f o r a l l

z i n C . S o f i x 6 a n d f i x a p o i n t z i n C 5 . U s i n g ( 4 . 2 0 ) a n d P r o p o s i t i o n 4 . 9 ,w e h a v e t h a t f o r r < E

=

=

fr 4 ( r ) { f u ( z . _ e r e t e ) d O } d r

0 0

p 1 ( , 2 w

< / /J o L . F o J

= u 5 ( z ) .

T o s h o w c o n v e r g e n c e , a g a i n a c c o r d i n g t o ( 4 . 9 ) , u ( z _ e r e * O ) d O . . - . 2 i r u ( z )a s e — ' 0 . T h u s u s i n g t h e j u s t c o n c l u d e d d i s p l a y o f e q u a t i o n s a n d t h eM o n o t o n e C o n v e r g e n c e T h e o r e m , w e g e t t h a t a s c 0 , u ( z —

— ' = u ( z ) . 04 . 2 1 C o r o l l a r y . I / u i s s u b h o . r m o n i c o n C , h e r e i s a d e c r e a s i n g s e q u e n c e

o f c o n t i n u o u s s u b h 4 z r m o n i c f u n c t i o n s t h a t c o n v e r g e s p o n t w i 8 e t o u .

T h e n e x t c o r o l l a r y c a n b e i n t e r p r e t e d a s s a y i n g t h a t a l o c a l l y i n t e g r a b l ef u n c t i o n t h a t i s l o c a l l y s u b b a r m o n i c a l m o s t e v e r y w h e r e i s g l o b a l l y s u b h a r .i n o n i c .

4 . 2 2 C o r o l l a r y . I f u E L L ( G ) s u c h t h a t w h e n e v e r r ) C t h e r e i s as u b h a r m o n i c f u n c t i o n v o n B ( a ; r ) t h a t i s e q u a l t o u a . e . f A r e a J , t h e n t h e r ei s a s u b h a n n o n i c f u n c t i o n U o n G s u c h t h a t u = U a . e . [ A r e a l .

2 2 8 1 9 . H a r m o n i c F ' u n c t i o n s f { e d u x

P r o o f D e f i n e a s i n t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n . F i x 8 > 0 a n d l e t K b e ac o m p a c t s u b s e t o f { z C : d ( z . ö G ) > 2 6 } ; s o = : d ( z . K ) ö } i s ac o m p a c t s u b s e t o f C . I t f o l l o w s f r o m t h e h y p o t h e s i s t h a t t h e r e i s a s u b h a r -

m o n i c f u n c t i o n v o n m t s u c h t h a t u = v a . e . H e n c e =f o r a l l z i n K a n d E < S . T h i s i m p l i e s s e v e r a l t h i n g s . F i r s t , u E ( z ) d e c r e a s e sw i t h a n d , b y t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n , U e ( Z ) — . v ( z ) a s e 0 . A l s o ,s i n c e K w a s a r b i t r a r y , i t f o l l o w s t h a t U ( z ) n e ( z ) e x i s t s f o r a l l zi n G . M o r e o v e r , b y w h a t h a s j u s t b e e n p r o v e d . U i s s u b h a r m o n i c .

O n t h e o t h e r h a n d , f K — d A — 0 f o r e v e r y c o m p a c t s u b s e t K o f C .S o f o r a n y c o m p a c t s e t K t h e r e i s a s e q u e n c e { e , } s u c h t h a t e 3 G a n d

( z ) u ( z ) a . e . [ A r e a ] o n K . T h u s u = U a . e . [ A r e a j o n G . U

S u b h a r m o n i c f u n c t i o n s h a v e b e e n f o u n d t o b e q u i t e u s e f u l i n a v a r i e t yo f r o l e s i n a n a l y s i s . T h i s w i l l b e s e e n i n t h i s b o o k . T h e d i s c u s s i o n o f s u b -h a r m o n i c f u n c t i o n s w i l l c o n t i n u e i n t h e n e x t s e c t i o n . w h e r e t h e l o g a r i t h m i cp o t e n t i a l i s i n t r o d u c e d a n d u s e d t o g i v e a n o t h e r c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e s ef u n c t i o n s , a m o n g s t o t h e r t h i n g s . T h e w o r k H a y r n a n a n d K e n n e d y ( 1 9 7 6 ]g i v e s a f u l l a c c o u n t o f t h e s e f u n c t i o n s .

E x e r c i s e s

1 . S h o w t h a t i f u i s a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n C . C C , a n di s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e o n [ 0 . t h a t i s n o t t h e u n i t p o i n t m a s s a t0 , t h e n u ( a ) < u ( a + t & 8 ) d 9 d 1 i ( t ) .

2 . S h o w t h a t f o r a n y c o m p l e x n u m b e r z O , t h e f u n c t i o n u ( z ) = — 2 0 1

i s s u b h a r m o n i c .3 . S h o w t h a t D e f i n i t i o n 4 . 1 2 e x t e n d s D e f i n i t i o n 6 . 3 . 1 .

4 . A f u n c t i o n : [ a . b j — [ — o o . c x ) ) i s c o n v e x i f a n d o n l y i f c o n d i t i o n s( a ) a n d ( b ) f r o m D e f i n i t i o n 4 . 1 2 h o l d a s w e l l a s

4 2 3 u ) — Ø ( x )u — x —

f o r a < x < u < y < b .

5 . A f u n c t i o n [ a , b ] [ — c c , c c ) i s c o n v e x i f a n d o n l y i f c o n d i t i o n s( a ) a n d ( b ) f r o m D e f i n i t i o n 4 . 1 2 h o l d a s w e l l a s t h e c o n d i t i o n t h a t{ x + i y : a < z < b a n d y } i s a c o n v e x s u b s e t o f C .

6 . S h o w t h a t i f u i s s u b b a r m o n i c o n C a n d i s a p o s i t i v e m e a s u r e w i t h

c o m p a c t s u p p o r t , t h e n u * , u i s s u b h a r m o n i c .7 . L e t C b e a n o p e n s e t a n d l e t a C . I f u i s a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n

o n C \ { a } t h a t i s b o u n d e d a b o v e o n a p u n c t u r e d n e i g h b o r h o o d o f



1 9 . 5 . T h e L o g a r i t h m i c P o t e n t i a l 2 2 9

a . s h o w t h a t u c a n b e d e f i n e d a t t h e p o i n t a i n s u c h a w a y t h a t t h er e s u l t i n g f u n c t i o n i s s u b h a r m o n i c o n C .

8 . I f u i s a s u b h a i m o n i c f u n c t i o n o n a n d r C I l l s a n a n a l y t i c

f u n c t i o n , t h e n u o r i s s u b h a r m o n i c o n C . ( H i n t : U s e t h e C h a i n R u l et o s h o w t h a t 0 a s a d i s t r i b u t i o n . )

9 . L e t C 1 a n d C 2 b e o p e n s e t s w i t h 0 C 1 ç C 2 a n d p u t C = C 1 u G 2 . I fu 3 i s a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n G 3 , j = 1 . 2 , a n d u 1 u 2 o n G j f l C 2 ,s h o w t h a t t h e f u n c t i o n u d e f i n e d o n C b y u = u 1 o n G 1 a n d u =o n C 2 \ C i i s s u b h a r m o n i c .

T h e L o g a r i t h m i c P o t e n t i a l

R e c a l l f r o m L e m m a 1 3 . 2 . 1 0 t h a t t h e l o g a r i t h m i s l o c a l l y i n t e g r a b l e o n t h ep l a n e . T h u s i t i s p o s s i b l e t o f o r m t h e c o n v o l u t i o n o f t h e l o g a r i t h m a n d a n yc o m p a c t l y s u p p o r t e d m e a s u r e .

5 . 1 D e f i n i t i o n . F o r a c o m p a c t l y s u p p o r t e d m e a s u r e / 2 o n C , t h e l o g a r i t h -m i c p o t e n t i a l o f i s t h e f u n c t i o n

= f i o g l z d / 2 ( w ) .

S o f o r a n y c o m p a c t l y s u p p o r t e d m e a s u r e t h e f u n c t i o n L M i s d e f i n e d

a t e v e r y p o i n t o f t h e p l a n e . T h e e l e m e n t a r y p r o p e r t i e s o f t h e l o g a r i t h m i cp o t e n t i a l a r e i n t h e n e x t p r o p o s i t i o n , w h e r e i t i s s h o w n , i n p a r t i c u l a r , t h a ti s a l o c a l l y i n t e g r a b l e f u n c t i o n . R e c a l l t h a t i s t h e C a u c h y t r a n s f o r m

o f a c o m p a c t l y s u p p o r t e d m e a s u r e ( 1 8 . 5 . 1 )

5 . 2 P r o p o s i t i o n . F o r a c o m p a c t l y s u p p o r t e d m e a s u r e t h e f o l l o w i n g h o l d .

( a ) i s a l o c a l l y i n t e g r ' i z b l e f u n c t i o n .

( b ) i s h a r m o n i c o n t h e c o m p l e m e n t o f t h e s u p p o r t o f j i .( c ) i f i s p o s i t i v e , i s a s u p e r h a r i n o n i c f u n c t i o n o n C .

( d ) O L , 1 a n d = , t h e C a u c h y t r a n s f o r m o f t h ec o n j u g a t e o f / 4 .

P r o o f . P a r t ( a ) i s a c o n s e q u e n c e o f P r o p o s i t i o n 1 8 . 3 . 2 a n d t h e f a c t t h a t am e a s u r e i s f i n i t e o n c o m p a c t s e t s . P a r t ( b ) f o l l o w s b y d i f f e r e n t i a t i n g u n d e r

t h e i n t e g r a l s i g n . P a r t ( c ) i s a c o n s e q u e n c e o f E x e r c i s e 4 . 6 . P a r t ( d ) f o l l o w sb y a n a p p l i c a t i o n o f P r o p o s i t i o n 1 8 . 4 . 7 ; t h e d e t a i l s a r e l e f t t o t h e r e a d e r .0




L e t ' s f i x t h e m e a s u r e , u a n d l e t K = s u p p o r t & . N o t e t h a t

+ 1 i ( K ) l o g I i —

a n d h e n c e I z i 0 a s z — ' 0 0 . T h i s p r o v e s p a r t o f t h e n e x tt h e o r e m .

5 . 3 T h e o r e m . i s a c o m p a c t l y s u p p o r t e d m e a s u r e , t h e n

=

a n d l o g I z i 0 a s z — , o o . M o r e o v e r L , 1 i s t h e u n i q u e s o l u t i o no f t h i s e q u a t i o n i n t h e s e n s e t h a t i f h i s a l o c a l l y i n t e g r a b l e f u n c t i o n s u c ht h a t A h = — i 0 a s z — . o o , t h e n h = L M a . e .

( A r e a ] .

P r o o f . T h e f a c t t h a t = — 2 i r p i s j u s t a c o m b i n a t i o n o f ( 5 . 2 . d ) a n dT h e o r e m 1 8 . 5 . 4 . I t o n l y r e m a i n s t o d e m o n s t r a t e u n i q u e n e s s . S o l e t h b e al o c a l l y i n t e g r a b l e f u n c t i o n a s i n t h e s t a t e m e n t o f t h e t h e o r e m . T h u s —

h ) = 0 a s a d i s t r i b u t i o n . B y W e y l ' s L e m m a , L M — h i s e q u a l a . e . t o a f u n c t i o nv t h a t i s h a r m o n i c o n C . B u t w e a l s o h a v e t h a t v ( z ) — , 0 a s z — ' 0 0 . T h u sv m u s t b e a b o u n d e d h a r m o n i c f u n c t i o n o n t h e p l a n e a n d h e n c e c o n s t a n t .

0

5 . 4 C o r o l l a r y . I f i s a c o m p a c t l y s u p p o r t e d m e a s u r e , G z s a n o p e n s e t ,a n d = 0 a . e . [ A r e a ] o n ( 3 , t h e n 0 .

P r o o f .i f 4

V ( C ) , t h e n f Ø d p =

f = 0 . 05 . 5 C o r o l l a r y . i j i s a c o m p a c t l y s u p p o r t e d m e a s u r e a n d ( 3 i s a n o p e ns e t s u c h t h a t i s h a r m o n i c o n ( 3 , t h e n = 0 .

W h y d e f i n e t h e l o g a r i t h m i c p o t e n t i a l ? F r o m t h e p r e c e d i n g t h e o r e m w eh a v e t h a t f o r a f i x e d w , — w i ) = w h e r e i s t h e u n i tp o i n t m a s s a t w . T h u s t h e l o g a r i t h m i c p o t e n t i a l i s t h e c o n v o l u t i o n o f t h em e a s u r e w i t h t h i s f u n d a m e n t a l s o l u t i o n o f t h e L a p l a c i a n a n d s o l v e st h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n = — 2 i r

T h e r e a d e r m a y h a v e n o t i c e d s e v e r a l a n a l o g i e s b e t w e e n t h e C a u c h y t r a n s -f o r m a n d t h e l o g a r i t h m i c p o t e n t i a l . I n d e e d P r o p o s i t i o n 5 . 2 s h o w s t h a t t h e r ei s a s p e c i f i c r e l a t i o n b e t w e e n t h e t w o . R e c a l l t h a t a f u n c t i o n u i s h a r m o n i ci f a n d o n l y i f 8 u i s a n a l y t i c . T h i s w i l l p e r h a p s b r i n g ( 5 . 2 ) a l i t t l e m o r e i n t of o c u s . A l s o a s w e p r o g r e s s i t w i l l b e c o m e a p p a r e n t t h a t t h e l o g a r i t h m i c

p o t e n t i a l p l a y s a r o l e i n t h e s t u d y o f a p p r o x i m a t i o n b y h a r m o n i c f u n c t i o n s

l i k e t h e r o l e p l a y e d b y t h e C a u c h y t r a n s f o r m i n r a t i o n a l a p p r o x i m a t i o n .F o r e x a m p l e , s e e T h e o r e m 1 8 . 6 . 2 . B u t f o r n o w w e w i l l c o n c e n t r a t e o n a na p p l i c a t i o n t o t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f s u b h a r m o n i c f u n c t i o n s .

1 9 . 5 . T h e L o g a r i t h m i c P o t e n t i a l 2 3 1

5 . 8 T h e o r e m . I f u i s a l o c a l l y i n t e g r a b l e f u n c t i o n o n t h e o p e n s e t G , t h e nt h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t s a r e e q u i v a l e n t .

( a ) T h e f u n c t i o n u i s e q u a l t o a s u b h a r v n o n i c f u n c t i o n a . e . [ A r e a J i n G .

( b ) T h e L a p l a c i a n o f u i n t h e s e n s e o f d i s t r i b u t i o n s i s p o s i t i v e .( c ) T h e r e i s a p o s i t i v e e x t e n d e d r e a l - v a l u e d m e a s u r e v o n C s u c h t h a t i f

C 1i s a h a r m o n i c f u n c t i o n h o n C 1 w i t h

u J C i = h — a . e . [ A r e a j .

P r o o f . ( a ) i m p l i e s ( b ) . A s s u m e t h a t u i s a s u b b a r i n o n i c f u n c t i o n o n C ; i tm u s t b e s h o w n t h a t , f o r e v e r y i n D ( G ) s u c h t h a t 0 , 0 .S o f i x s u c h a a n d l e t 0 < T o < L e t K = { z

r o } . L e t r b e a r b i t r a r y w i t h 0 < r < r 0 . S o i f z E K , t h e nr ) C a n d 2 i r u ( z ) < f " u ( z + d O . T h e r e f o r e

p p p 2 w

2 i r I u ( z ) c b ( z ) d . A ( z ) I I u ( z + r e i ) d 8 d , . 4 ( z )

J G J K J op p 2 w

= I u ( z ) I f r ( z — r e 1 9 ) d 0 d . A ( z ) .J K J o

H e n c e

r r t 2 w5 . 7 0 I u ( z ) I I d . . 4 ( z ) .

J K L J o J

N o w l o o k a t t h e T a y l o r e x p a n s i o n o f a b o u t a n y p o i n t z i n s u p p t og e t

p 2 w 2 w

j / ( z — d O= f + ÷

+ ( z ) j [ r e i O ] 2

+ W ( z — r e 1 ) J d O= + 2 i r r 2 J ( 8 0 4 ' ) ( z ) ] + W i ( z , r ) .

N o w t h e n a t u r e o f t h e r e m a i n d e r t e r m W 1 ( z , i ) i s s u c h t h a t t h e r e i s ac o n s t a n t M w i t h I ' I ' i ( z , r ) I M r 3 f o r a l l z i n K . S u b s t i t u t i n g i n t o ( 5 . 7 )a n d d i v i d i n g b y r 2 , w e g e t

0 d A ( z )

= L u ( z ) d A ( z ) 1 K u ( z ) r ) d A ( z ) .

S i n c e ' P i ( z . r ) I < M r 3 f o r a l l z i n K . t h i s s e c o n d i n t e g r a l c a n b e m a d e a ss m a l l a s d e s i r e d f o r a s u i t a b l y s m a l l c h o i c e o f r . S o l e t t i n g r 0 , w e g e t

t h a t

0

( b ) i m p l i e s ( c ) . S i n c e i s a p o s i t i v e d i s t r i b u t i o n o n C , t h e r e i s a p o s i t i v er e g u l a r B o r e l m e a s u r e u o n C s u c h t h a t = i i ( 1 8 . 4 . 9 ) . ( I t m a y b e t h a t i ii s u n b o u n d e d . ) T h a t i s , f o r e v e r y 4 i i n D ( G ) , f c l d z ' . L e t C 1b e a n y b o u n d e d o p e n s e t w i t h c I C 1 C a n d p u t u 1 u l C i a n d =S o / L h a s c o m p a c t s u p p o r t a n d i s w e l l d e f i n e d . A l s o , a s d i s t r i b u t i o n s o nC 1 , A ( u 1 + = 0 . B y W e y l ' s L e m m a . t h e r e i s a h a r m o n i c f u n c t i o n h

o n s u c h t h a t u 1 + 2 , r = h . T h a t i s , u 1 h — 2 , r( c ) i m p l i e s ( a ) . S i n c e i s s u p e r h a r m o n i c , ( c ) i m p l i e s t h a t , f o r e v e r y

c l o s e d d i s k B c o n t a i n e d i n C , u e q u a l s a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n a . e . l A r e a lo n t h e i n t e r i o r o f B . P a r t ( a ) n o w f o l l o w s b y C o r o l l a r y 4 . 2 2 . 0

P a r t ( c ) o f t h e p r e c e d i n g t h e o r e m i s c a J i e d t h e R i e s z D e c o m p o s i t i o nT h e o r e m f o r s t i b h a r m o n j c f u n c t i o n s . A n o t h e r v e r s i o n o f t h i s w i l l b e s e e n

i n T h e o r e m 2 1 . 4 . 1 0 b e l o w .

5 . 8 C o r o l l a r y , I f u E C 2 ( C ) , t h e n u i S s u b h a r 7 n o n i c i f a n d o n l y i f 0 .

T h e r e a d e r c a n n o w p r o c e e d , i f d e s i r e d , t o t h e n e x t s e c t i o n . A f e w e s -s e n t i a l p r o p e r t i e s o f t h e l o g a r i t h m i c p o t e n t i a l a r e a p p r o p r i a t e l y o b t a i n e d

h e r e , h o w e v e r . W e w i l l s e e t h e s e u s e d i n C h a p t e r 2 1 . T h e k e y t o t h e p r o o fo f e a c h o f t h e s e r e s u l t s i s t h e f o l l o w i n g l e m m a .

5 . 9 L e m m a . I f / 1 i s a p o s i t i v e m e a s u r e w i t h s u p p o r t c o n t a i n e d i n t h e c o m -p a c t s e t K a n d a E K s u c h t h a t < c o , t h e n f o r a n y r > 0 t h e r e i sa 1 5 > C ) w i t h t h e p r o p e r t y t h a t f o r I z — a ! < 4 5 a n d i c a n y p o i n t i n K w i t h

d i s t ( z , K ) = l z — w e h a v e

+

P r o o f . N o t i c e t h a t t h e f a c t t h a t < c o i m p l i e s t h a t d o e s n o t h a v e

a n a t o m a t a . S o i f > 0 , t h e r e i s a p > 0 s u c h t h a t f o r D = B ( a ; p ) ,t ( D ) L o o k a t t h e t w o t p g a r i t h m i c p o t e n t i a l s

u 1 ( z )= j l o g 1 w — u 2 ( z ) = — z 1 "

S o u 2 i s h a r m o n i c o n m t D ( 5 . 3 ) . F o r e a c h z i n C l e t i c ( z ) b e a n y p o i n ti n K s u c h t h a t — = d i s t ( z , K ) . ( S o i s n o t a f u n c t i o n . ) N o w i f

a , — ' a . T h e r e f o r e 1 5 > 0 c a n b e c h o s e n s o t h a t 4 5 < p a n d f o r— a ! < 4 5 w e h a v e K ( z ) — < p a n d ! u 2 ( z ) — u 2 ( k ( z ) ) I < e .

1 9 . 5 . T h e L o g a r i t h m w P o t e n t i a l 2 3 3

F o r a l l w i n K . 1 w — < 1 w — z I + — K ( z ) l < 2 J w — z j . H e n c e

u 1 ( z ) S

l o g 2 j z ( D ) + u j ( K ( z ) )

< e l o g 2 + u i ( K ( z ) ) .

T h u s f o r I z a I < 6 ,

= u j ( z ) + u 2 ( z )5 ÷ + u 2 k ( z ) ) + E

S e ( 1 + l o g 2 ) +

a

T h e n e x t r e s u l t i s o f t e n r e f e r r e d t o a s t h e M a x i m u m P r i n c i p l e f o r t h el o g a r i t h m i c p o t e n t i a l .

5 . 1 0 P r o p o s i t i o n . I f p i s a p o s i t i v e m e a s u r e w i t h s u p p o r t c o n t a m e d i nt h e c o m p a c t s e t K a n d i f 5 M f o r n f l z i n K , t h e n 5 f t i f o ra t l z i n C .

P r o o f . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y w e m a y a s s u m e t h a t < B y t h eM a x i m u m P r i n c i p l e , 5 M i n a l l t h e b o u n d e d c o m p o n e n t s o f t h e c o r n -p l e r n ç n t o f K . L e t C b e t h e u n b o u n d e d c o m p o n e n t o f C \ K .

F i x e > 0 . T h e p r e c e d i n g l e m m a i m p l i e s t h a t f o r a n y p o i n t a i n K t h e r ei s a 6 > 0 w i t h t h e p r o p e r t y t h a t w h e n e v e r z — a p o i n t i n

B ( a ; 6 ) K f o r w h i c h < e + 5 e + M . T h a t i s . L , . 5 r + Mo n B ( a ; 6 ) . T h e c o l l e c t i o n o f a l l s u c h d i s k s B ( a : 6 ) c o v e r s K . E x t r a c t i n g af i n i t e s u b c o v e r w e g e t a n o p e n n e i g h b o r h o o d U o f K s u c h t h a t L , . , 5 ÷ Mo n U . B u t — o o a s z — o o . T h e r e f o r e 5 r + M i n C b y t h eM a x i m u m P r i n c i p l e . S i n c e e w a s a r b i t r a r y , t h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f . 0

H e r e a r e t w o i m p o r t a n t p o i n t s a b o u t t h e l a s t p r o p o s i t i o n . F i r s t . t h e

u p p e r b o u n d M i n t h i s r e s u l t m a y b e i n f i n i t e . F o r e x a m p l e , i f K i s t h es i n g l e t o n { a } , t h e n t h e o n l y p o s i t i v e m e a s u r e s p s u p p o r t e d o n K a r e o f t h ef o r m p — f 3 8 0 f o r s o m e ? 0 . I n t h i s c a s e = 0 0 o n K . T h e r e a r e n o n -

t r i v i a l e x a m p l e s o f c o m p a c t s e t s K f o r w h i c h e a c h m e a s u r e p s u p p o r t e d o nK h a s s u p , ( . = c o . S e e ( 2 1 . 8 . 1 7 ) b e l o w . T h e o t h e r p o i n t i s t h a t t h i sr e s u l t s a y s n o t h i n g a b o u t t h e l o w e r b o u n d o f t h e l o g a r i t h m i c p o t e n t i a l . I nf a c t , f o r a c o m p a c t l y s u p p o r t e d m e a s u r e p , i s a l w a y s b o u n d e d b e l o w o ni t s s u p p o r t ( E x e r c i s e 1 ) w h i l e , a c c o r d i n g t o T h e o r e m 5 . 3 , — — 0 0 a s

Z — ' 0 0 .T h e n e x t r e s u l t i s c a l l e d t h e C o n t i n u i t y P r i n c i p l e f o r t h e l o g a r i t h m i cp o t e n t i a l .

5 . 1 1 P r o p o s i t i o n . I f j t i s a p o s i t i v e m e a s u r e w i t h s u p p o r t c o n t a i n e d i n t h ec o m p a c t s e t K , a K s u c h t h a t < c c , a n d i f L P F K i s c o n t i n u o u s a t a

a s a f u n c t i o n f r o m K i n t o t h e e x t e n d e d r e a l n u m b e r s , t h e n i s c o n t i n u o u s

a t a a s a f u n c t i o n d e f i n e d o n C .P r o o f .

t h e n — < e . N o w a p p l y L e m m a 5 . 9 t o g e t a w i t h 0 <5 < 5 o s u c h t h a t w h e n e v e r I z — a l < S t h e r e i s a p o i n t i n B ( a ; 5 ) f l Kf o r w h i c h < e + B u t t h i s i m p l i e s < + + E .W h a t t h i s s a y s i s t h a t L , 1 ( z ) B u t i s 1 s t a n d s o

0

P o t e n t i a l t h e o r y i s a v a s t s u b j e c t . I f o t h e r k e r n e l f u n c t i o n s a r e u s e d b e -s i d e s l o g J z — w v ' , o t h e r p o t e n t i a l s a r e d e f i n e d a n d t h e t h e o r y c a r r i e s o v e r

t o n - d i m e n s i o n a l E u c i d e a n s p a c e . I n d e e d , t h e l o g a r i t h m i c p o t e n t i a l i s p e -c u l i a r a n d a n n o y i n g i n t h a t i t i s n o t p o s i t i v e ; a c a u s e o f p a i n a n d e x t r a e f f o r t

l a t e r i n t h i s b o o k . V a r i o u s p r o p e r t i e s a n d u s e s o f t h e s e g e n e r a l p o t e n t i a l sa r e f o u n d i n t h e l i t e r a t u r e . I n p a r t i c u l a r , m o s t h a v e p r o p e r t i e s a n a l o g o u s

t o t h o s e f o r t h e l o g a r i t h m i c p o t e n t i a l f o u n d i n t h e l a s t t w o p r o p o s i t i o n s .

T h e r e a d e r i n t e r e s t e d i n t h e s e m a t t e r s c a n c o n s u l t B r e l o t [ 1 9 5 9 ] , C a r l e s o n[ 1 9 6 7 ) , C h o q u e t [ 1 9 5 5 J , F r o s t m a n [ 1 9 3 5 ] , H e d b e r g [ 1 9 7 2 b j , H e l m s ( 1 9 7 5 ) ,L a n d k o f [ 1 9 7 2 1 , a n d W e r m e r [ 1 9 7 4 ) .

E x e r c i s e s

1 . F o r a p o s i t i v e c o m p a c t l y s u p p o r t e d m e a s u r e s h o w t h a t >— c c f o r a l l z i n C , a n d f o r a n y c o m p a c t s e t K t h e r e i s a c o n s t a n t m

s u c h t h a t m < f o r a l l z i n K .

2 . I f a r e m e a s u r e s w h o s e s u p p o r t s a r e c o n t a i n e d i n t h ec o m p a c t s e t K a n d i i , , w e a k 0 i n M ( K ) , s h o w t h a t l i m i n C .

3 . L e t C b e a n o p e n s e t a n d K b e a c o m p a c t s u b s e t o f C . S h o w t h a t i f ui s a r e a l - v a l u e d h a r m o n i c f u n c t i o n o n C \ K , t h e n u = + u 1 , w h e r e

u 1 i s h a r m o n i c o n C , u o i s h a r m o n i c o n C \ K , a n d t h e r e i s a c o n s t a n t as u c h t h a t u o ( z ) + a l o g I z I 0 a s z o c . ( H i n t : L e t E s u c h t h a t

D e f i n e t h e f u n c t i o n ' P : C R b y ' P = ( 1 — 4 ) u o n G \ K a n d ' P = O o ni n t K 6 . L e t b e t h e m e a s u r e a n d p u t V =S h o w t h a t V i s a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n t h a t i s l o c a l l y i n t e g r a b l e ,

= p , a n d , i f a = t h e n V ( z ) + — . 0 a sz c c . D e f i n e t h e f u n c t i o n u 0 : C \ K — , R b y l e t t i n g u o + V

o n G \ K a n d U O = V o n t h e c o m p l e m e n t o f s u p p D e f i n e U 1 C — . Rb y l e t t i n g u 1 ' I ' — V o n C \ K a n d u 1 = — V o n i n t K 5 . )



1 9 . 6 . A p p r o x i m a t i o n b y H a r m o n i c F u n c t i o n s 2 3 5

4 . S h o w t h a t t h e f u n c t i o n s U o a n d u 1 i n E x e r c i s e 3 a r e u n i q u e .

5 . I n E x e r c i s e 3 , s h o w t h a t i f b o t h C a n d u a r e b o u n d e d , t h e n s o i s u 1 .

§ 6 A n A p p l i c a t i o n : A p p r o x i m a t i o n b y H a r m o n i c F u n c t i o n s

I n t h i s s e c t i o n w e w i l l s e e t h a t t h e l o g a r i t h m i c p o t e n t i a l p l a y s a r o l e i na p p r o x i m a t i o n b y h a r m o n i c f u n c t i o n s s i m i l a r t o t h e r o l e p l a y e d b y t h eC a u c h y t r a n s f o r m i n a p p r o x i m a t i o n b y r a t i o n a l f u n c t i o n s ( s e e § 1 8 . 6 ) .

6 . 1 D e f i n i t i o n . I f K i s a c o m p a c t s u b s e t o f C , l e t H ( K ) b e t h e u n i f o r mc l o s u r e i n C ( K ) o f t h e f u n c t i o n s t h a t a r e h a r m o n i c i n a n e i g h b o r h o o d o fK . H R ( K ) d e n o t e s t h e r e a l - v a l u e d f u n c t i o n s i n H ( K ) .

N o t e t h a t 1 1 ( K ) i s a B a n a c h s p a c e b u t i s n o t a B a n a c h a l g e b r a . O n t h eo t h e r h a n d , i f a f u n c t i o n b e l o n g s t o H ( K ) , t h e n s o d o i t s r e a l a n d i m a g i n a r y

p a r t s . T h i s w i l l b e h e l p f u l b e l o w , s i n c e a m e a s u r e a n n i h i l a t e s 1 1 ( K ) i f a n do n l y i f i t s r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s a l s o a n n i h i l a t e H ( K ) . T h i s w a s n o t t h e

c a s e w h e n w e s t u d i e d t h e a l g e b r a R ( K ) .

6 . 2 T h e o r e m . I f K z . s a c o m p a c t 3 u b s e t o f C , p i s a r e a l - v a l u e d m e a s u r eo n K , a n d { a 1 , a 2 , . .

. } i s c h o s e n 8 0 t h a t e a c h b o u n d e d c o m p o n e n t o f t h ec o m p l e m e n t o f K c o n t a i n s o n e e l e m e n t o f t h i s s e q u e n c e , t h e n t h e f o l l o w i n g

a r e e q u i v a l e n t .

( a ) p . L H ( K ) .

( b )( c ) p . L R ( K ) a n d L M ( a ) ) = O f o r j = 1 , 2 , . . .

P r o o f . ( a ) i m p l i e s ( b ) . I f z K , t h e n w — p l o g l z — i s h a r m o n i c i n an e i g h b o r h o o d o f K . T h u s ( b ) .

( b ) i m p l i e s ( c ) . S i n c e v a n i s h e s i d e n t i c a l l y o f f K , f . i 0 o nC \ K . B y T h e o r e m 1 8 . 6 . 2 , p A . R ( K ) .

( c ) i m p l i e s ( a ) . S i n c e p i s r e a l - v a l u e d , T h e o r e m 1 8 . 6 . 2 t o g e t h e r w i t hP r o p o s i t i o n 5 . 2 . d i m p l y t h a t 0 L 0 a n d O L M v a n i s h o n t h e c o m p l e m e n t o fK . T h u s i s c o n s t a n t o n c o m p o n e n t s o f C \ K ; t h e o t h e r c o n d i t i o n i n p a r t( c ) i m p l i e s t h a t L M v a n i s h e s o n a l l t h e b o u n d e d c o m p o n e n t s o f C \ K . O n t h e

o t h e r h a n d , f o r J a I s u f f i c i e n t l y l a r g e t h e r e i s a b r a n c h o f l o g ( z — a ) d e f i n e di n a n e i g h b o r h o o d o f K s o t h a t t h i s f u n c t i o n b e l o n g s t o R ( K ) b y R u n g e ' sT h e o r e m . T h u s a l s o i s i d e n t i c a l l y 0 i n t h e u n b o u n d e d c o m p o n e n t o fC \ K . . 0

N o t e t h a t t h e o n l y p l a c e i n t h e p r o o f o f t h e p r e c e d i n g t h e o r e m w h e r et h e f a c t t h a t p i s r e a l - v a l u e d w a s u s e d w a s i n t h e p r o o f t h a t ( c ) i m p l i e s

( a ) . C o n d i t i o n s ( a ) a n d ( b ) a r e e q u i v a l e n t f o r c o m p l e x m e a s u r e s . I n f a c t , i f0 o n C \ K , t h e n L , , 0 t h e r e . w h e r e v i s e i t h e r t h e r e a l o r i m a g i n a r y

p a r t o f

T h e n e x t t h e o r e m c a n b e t a k e n a s t h e a n a l o g u e o f R u n g e ' s T h e o r e m . T os e t t h e n o t a t i o n , f i x K a n d l e t E b e a s u b s e t o f C \ K t h a t m e e t s e a c hb o u n d e d c o m p o n e n t o f C \ K . L e t H R ( K , E ) b e t h e u n i f o r m c l o s u r e o f a l lt h e f u n c t i o n s o f t h e f o r m R e I + e k l o g I z — a k l , w h e r e f i s a n a l y t i ci n a n e i g h b o r h o o d o f K , n 1 , t h e c o n s t a n t s c k a r e r e a l , a n d a k E E f o r

1 < k < n .

6 . 3 T h e o r e m . J f K i s a c o m p a c t s u b s e t o f C a n d E i s a s e t t h a t m e e t s e a c h

b o u n d e d c o m p o n e n t o f C \ K , t h e n E ) = H ( K ) , w h e r e H R ( K , E ) i sd e f i n e d a s a b o v e .

P r o o f . C l e a r l y H R ( K , E ) C H ( K ) . I t s u f f i c e s t o s h o w t h a t i f p i s a r e a l -v a l u e d m e a s u r e s u p p o r t e d o n K a n d p H R ( K , E ) , t h e n p 1 H ( K ) . B u t

s i n c e f R e f d p 0 f o r e v e r y f u n c t i o n I a n a l y t i c i n a n e i g h b o r h o o d o f Ka n d p i s r e a l - v a l u e d , p 1 R ( K ) . A l s o 0 f o r a l l a i n E . B y t h e

p r e c e d i n g t h e o r e m , p 1 H ( K ) . 0

T h e p r o o f o f t h e n e x t c o r o l l a r y i s s i m i l a r t o t h e p r o o f o f C o r o l l a r y 8 . 1 . 1 4 .

6 . 4 C o r o l l a r y . I f G i s a n o p e n s u b s e t o f C a n d E i s a s u b s e t o f C \ G t h a tm e e t s e v e r y c o m p o n e n t o f C \ G , t h e n e v e r y r e a l - v a l u e d h a r m o n i c f u n c t i o n uo n G c a n b e a p p r o v i m a t e d u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o f C b y f u n c t i o n so f t h e f o r m

R e f ( z ) + > b k

w h e r e f i s a n a l y t i c o n C , n 1 , a n d a i , . . . , a , , a r e p o i n t s f r o m E .

W e w i l l r e t u r n t o t h e l o g a r i t h m i c p o t e n t i a l w h e n w e t a k e u p t h e s t u d yo f p o t e n t i a l t h e o r y i n t h e p l a n e i n C h a p t e r 2 1 .

E x e r c i s e s

1 . L e t K b e a c o m p a c t s u b s e t o f C . F o r p i n M ( K ) a n d a s m o o t hf u n c t i o n w i t h c o m p a c t s u p p o r t , L e t + i r t ç + —

P r o v e t h e f o l l o w i n g . ( a ) L , L , = ( b ) p 1 H ( K )i f a n d o n l y i f I 1 1 ( K ) f o r a l l s m o o t h f u n c t i o n s 4 w i t h c o m -

p a c t s u p p o r t . ( c ) H ( K ) = C ( K ) i f a n d o n l y i f f o r e v e r y c l o s e d d i s kD , H ( D f l K ) = C ( D f l K ) . ( C o m p a r e w i t h E x e r c i s e 1 8 . 6 . 1 . )

2 . I f K i s e i t h e r a c l o s e d d i s k o r a c l o s e d a n n u l u s , s h o w t h a t H ( K ) i st h e s p a c e o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n K t h a t a r e h a r m o n i c o n m t K .



1 9 . 7 . T h e D i r i c h i e t P r o b l e m 2 3 7

§ 7 T h e D i r i c h l e t P r o b l e m

T h i s t o p i c w a s d i s c u s s e d i n § 1 0 . 4 a n d w e w i l l r e t u r n t o e x a m i n e v a r i o u s

a s p e c t s o f t h e s u b j e c t i n t h e r e m a i n d e r o f t h i s b o o k . W e b e g i n b y r e c a l l i n gt h e f o l l o w i n g d e f i n i t i o n .

7 . 1 D e f i n i t i o n . A D i r t c h l e t s e t i s a n o p e n s u b s e t o f w i t h t h e p r o p e r t yt h a t . f o r e a c h c o n t i n u o u s f u n c t i o n u : — . C t h e r e i s a c o n t i n u o u sf u n c t i o n I t : c i — . C s u c h t h a t I t i s h a r m o n i c o n C a n d

h i s c a l l e d t h e c l a s s i c a l s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m w i t hb o u n d a r y v a l u e s i t . A c o n n e c t e d D i r i c h i e t s e t i s c a l l e d a D z r i c h l e t r e g i o n .

T h e s e t s C i n t h i s d e f i n i t i o n a r e a l l o w e d t o c o n t a i n t h e p o i n t a t i n f i n i t y .s o l e t ' s b e c l e a r a b o u t w h a t i s m e a n t b y b e i n g h a r m o n i c ( o r s u b h a r m o n i c )a t i n f i n i t y . S u p p o s e K i s a c o m p a c t s u b s e t o f C a n d u : C \ K I R i s

h a r m o n i c . T h u s u ( z - ' ) i s h a r m o n i c i n a d e l e t e d n e i g h b o r h o o d o f 0 . W es a y t h a t i t i s h a r m o n i c a t i n f i n i t y i f u ( z 1 ) h a s a h a r m o n i c e x t e n s i o n t o an e i g h b o r h o o d o f 0 . A c c o r d i n g t o T h e o r e m 1 5 . 1 . 3 , t h e r e i s a r e a l c o n s t a n t

c a n d a n a n a l y t i c f u n c t i o n h d e f i n e d i n t h i s p u n c t u r e d n e i g h b o r h o o d s u c h

t h a t u ( z ' ) c l o g 1 4 + R e h ( z ) . T h u s = — c + R e h ( : ' ) . S o i ti s h a r m o n i c a t p r e c i s e l y w h e n t h i s c o n s t a n t c i s 0 a n d h h a s a r e m o v a b l es i n g u l a r i t y a t 0 . i n m o s t o f t h e p r o o f s w e w i l l a s s u m e t h a t C i s c o n t a i n e di n t h e f i n i t e p l a n e . U s u a l l y t h e m o s t g e n e r a l c a s e c a n b e r e d u c e d t o t h i so n e b y a n e x a m i n a t i o n o f t h e i m a g e o f C u n d e r a n a p p r o p r i a t e M ü b i u st r a n s f o r m a t i o n c h o s e n s o t h a t t h i s i m a g e i s c o n t a i n e d i n C .

S o m e o f t h e r e s u l t s o f § 1 0 . 4 w i l l b e u s e d h e r e . I t i s s h o w n t h e r e t h a t i f e a c hc o m p o n e n t o f c o n s i s t s o f m o r e t h a t o n e p o i n t , t h e n C i s a D i r i c h i e t

s e t . I t i s a l s o s h o w n t h e r e t h a t t h e p u n c t u r e d d i s k i s n o t a D i r i c h i e t s e t .I n t h i s s e c t i o n w e w i l l n o t c o n c e n t r a t e o n t h e c l a s s i c a l s o l u t i o n o f t h e

D i r i c h i e t p r o b l e m . T h i s t o p i c w i l l b e e n c o u n t e r e d i n § 1 0 b e l o w , w h e n w ed i s c u s s r e g u l a r p o i n t s . E v e n t h o u g h t h e r e a r e o p e n s u b s e t s o f C t h a t a r en o t D i r i c h i e t s e t s . e a c h f u n c t i o n o n g i v e s r i s e t o a " c a n d i d a t e " f o r t h e

s o l u t i o n o f t h e D i r i c h l e t p r o b l e m a s w e s a w i n T h e o r e m 1 0 . 3 . 1 1 . W e r e c a l lt h i s r e s u l t i n a s o m e w h a t d i f f e r e n t f o r m t o a c c o m m o d a t e o u r n e w d e f i n i t i o no f a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n a n d t o e x t e n d t h e f u n c t i o n s t h a t a r e a d m i s s i b l ea s b o u n d a r y v a l u e s . L e t = I R U { ± c x } w i t h t h e o b v i o u s t o p o l o g y ; t h a ti s . i s t h e " t w o p o i n t " c o i n p a c t i f i c a t i o n o f A n e x t e n d e d r e a l - v a l u e df u n c t i o n i s o n e t h a t t a k e s i t s v a l u e s i n

7 . 2 D e f i n i t i o n . I f u i s a n y e x t e n d e d r e a l - v a l u e d f u n c t i o n d e f i n e d o nl e t

C ) = i s s u b h a r m o n i c o n C . p i s b o u n d e d a b o v e , a n d

l i m s u p o ( z ) u ( a ) f o r e v e r y a i n




P ( u , C ) = : i s s u p e r h a r n i o n i c o n C , i s b o u n d e d b e l o w ,

a n d f o r e v e r y a o n 8 0 0 C } .

T h e s e c o l l e c t i o n s o f f u n c t i o n s a r e s o m e t i m e s c a l l e d t h e l o w e r a n d u p p e rP e r r o n f a m i l i e s , r e s p e c t i v e l y , a s s o c i a t e d w i t h u a n d C . I t i s s o m e w h a t u s e f u l

t o o b s e r v e t h a t C ) 1 ' ( u , C ) . A l s o d e f i n e f u n c t i o n s i i a n d i i o n Cb y

u ( z ) = E

u ( z ) = : E P ( u , C ) ) .

T h e s e f u n c t i o n s a r e c a l l e d t h e l o w e r a n d u p p e r P e r r o n f u n c t i o n s , r e s p e c -t i v e l y , a s s o c i a t e d w i t h u a n d C . T h e y w i l l a l s o b e d e n o t e d b y Ü G a n d

i f t h e d e p e n d e n c e o n C n e e d s t o b e e m p h a s i z e d , w h i c h w i l l b e n e c e s s a r y a tc e r t a i n t i m e s .

N o t e t h a t 1 ' ( u , C ) c o n t a i n s t h e i d e n t i c a l l y — o o f u n c t i o n , s o t h a t i t i s an o n - e m p t y f a m i l y o f f u n c t i o n s . T h u s ü i s w e l l d e f i n e d , t h o u g h i t m a y b et h e i d e n t i c a l l y — c o f u n c t i o n . O f c o u r s e i f u i s a b o u n d e d f u n c t i o n , t h e nP ( u , C ) c o n t a i n s s o m e f i n i t e c o n s t a n t f u n c t i o n s a n d s o ü i s a b o u n d e df u n c t i o n . S i m i l a r c o m m e n t s a p p l y t o P ( u , C ) a n d ü . U s u a l l y r e s u l t s w i l lb e s t a t e d f o r t h e l o w e r P e r r o n f a m i l y o r f u n c t i o n a s s o c i a t e d w i t h u a n d C ;t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t e m e n t s a n d p r o o f s f o r t h e u p p e r f a m i l y a n d f u n c t i o nw i l l b e l e f t t o t h e r e a d e r . T h e p r o o f o f t h e n e x t p r o p o s i t i o n i s l e f t t o t h er e a d e r . ( S e e C o r o l l a r y 4 . 1 8 . )

7 . 3 P r o p o s i t o n . I fa n d t h e n B ( a ; r ) a l s ob e l o n g s t o P ( u , C ) .

7 . 4 L e m m a . A s s u m e t h a t P i s a f a m i l y o f s u b h a r m o n w f u n c t i o n s o n Cw i t h t h e p r o p e r t i e s :

( 1 )

i f a n d t h e nr ) a l s o b e l o n g s t o P .

I f h ( z ) = s u p { Ø ( z ) P } , t h e n o n e a c h c o m p o n e n t o f C e i t h e r h E 0 0

o r h i s h a r m o n i c .

P r o o f . T h e p r o o f o f t h i s l e m m a i s l i l e t h e p r o o f o f T h e o r e m 1 0 . 3 . 1 1 , b u tw h e r e C o r o l l a r y 4 . 1 8 i s u s e d r a t h e r t h a n C o r o l l a r y 1 0 . 3 . 7 . T h e d e t a i l s a r el e f t t o t h e r e a d e r . 0

7 . 5 P r o p o s i t i o n .( a ) I f u i s a n y f u n c t i o n , i i a n d i i a r e h a r m o n i c f u n c t i o n s o n a n y c o m p o -

n e n t o f G o n w h i c h t h e y a r e n o t i d e n t i c a l l y ± c o .



1 9 . 7 . T h e D i r i c h l e t P r o b l e m 2 3 9

( b ) I f c i s a n o n - n e g a t i v e r e a l n u m b e r , t h e n = c i i a n d = c i i .

( c ) I f c i s a n o n - p o s i t i v e r e a l n u m b e r , t h e n = c i i a n d = c i i .

( d ) I f v i s a f i n i t e - v a l u e d f u n c t i o n s u c h t h a t a n d i , a r e f i n i t e

o n G ,( e ) f l u i s a b o u n d e d f u n c t i o n , i i i i

P r o o f . P a r t ( a ) i s i m m e d i a t e f r o m P r o p o s i t i o n 7 . 3 a n d t h e p r e c e d i n gl e m m a . T h e p r o o f s o f p a r t s ( b ) a n d ( c ) a r e r o u t i n e . T h e p r o o f o f ( d ) i sa c o m b i n a t i o n o f b a s i c m a t h e m a t i c s a n d a n a p p l i c a t i o n o f t h e M a x i m u mP r i n c i p l e , w h i c h i m p l i e s t h a t i f E P ( u , C ) a n d P ( u , C ) , t h e nT h e p r o o f o f ( e ) f o l l o w s b y o b s e r v i n g t h a t c e r t a i n c o n s t a n t f u n c t i o n s b e l o n gt o t h e a p p r o p r i a t e f a m i l i e s o f s u b h a r m o n i c a n d s u p e r h a r m o n i c f u n c t i o n s .0

i f u a n d t h e r e i s a c l a s s i c a l s o l u t i o n h o f t h e D i r i c h i e t p r o b -l e m w i t h b o u n d a r y v a l u e s u , t h e n i i = i i — h ( E x e r c i s e 1 ) . S o i n o r d e r t o

s o l v e t h e D i r i c h i e t p r o b l e m , i t m u s t b e t h a t i i — i i . S u p p o s e t h a t t h i s d o e si n d e e d h a p p e n a n d i i = i i . D e f i n e 4 : — . R

b y l e t t i n g 4 = i i = i i o nC a n d h = u o n O , , , G . T h e r e a r e t w o d i f f i c u l t i e s h e r e . F i r s t , b o w d o w e

k n o w t h a t 4 i s c o n t i n u o u s o n I n d e e d , i t w i l l n o t a l w a y s b e s o s i n c ew e c a n n o t a l w a y s s o l v e t h e D i r i c h i e t p r o b l e m . S e c o n d , h o w c a n w e d e c i d ew h e t h e r i i = i i ? T h e f i r s t q u e s t i o n w a s d i s c u s s e d i n § 1 0 . 4 a n d w i l l r e c e i v e

a m o r e c o m p l e t e d i s c u s s i o n a s w e p r o g r e s s . T h e s e c o n d q u e s t i o n h a s a na f f i r m a t i v e a n s w e r i n m o s t s i t u a t i o n s a n d w i l l b e a d d r e s s e d s h o r t l y . B u t

f i r s t w e s h o w t h a t i t i s o n l y n e c e s s a r y t o c o n s i d e r c o n n e c t e d o p e n s e t s . A s

i s c u s t o m a r y , r e s u l t s w i l l b e s t a t e d a n d p r o v e d f o r l o w e r P e r r o n f u n c t i o n s ,w h i l e t h e a n a l o g o u s r e s u l t s f o r t h e u p p e r P e r r o n f u n c t i o n s w i l l b e l e f t t ot h e r e a d e r t o s t a t e a n d v e r i f y .

7 . 6 P r o p o s i t i o n . f f 0 i s a n y o p e n s e t , I f i s t h e u n i o n o f s o m e c o l l e c t i o no f c o m p o n e n t s o f C , u : [ — o o , o o j , a n d y = u I & 0 H , t h e n =o n H .

P r o o f . I t i s e a s y t o s e e t h a t i f Ø E P ( u , C ) , t h e n ç b J H E H ) ; t h u si ì o v u o n H . N o w s u p p o s e C ) a n d E P ( v , H ) a n d d e f i n eo n G b y i h ( z ) = f o r z i n H a n d o t h e r w i s e . T h e

r e a d e r c a n c h e c k t h a t E P ( u , G ) a n d , o f c o u r s e , S f o r z i n

H . T h u s i } H ( z ) f o r a l l z i n I f . 0

T h e p r e v i o u s p r o p o s i t i o n i s g e n e r a l i z e d i n P r o p o s i t i o n 2 1 . 1 . 1 3 b e l o w .

7 . 7 C o r o l l a r y . I f C i s a n y o p e n s e t a n d u : [ — o o , o o ] , t h e n i i = i i i fa n d o n l y i f / o r e a c h c o m p o n e n t I i o f C , 1 ) g = o n H , w h e r e v =

7 . 8 P r o p o s i t i o n . L e t C b e a n a r b i t r a r y o p e n s e t a n d a s s u m e u i s a n

2 4 C 1 9 . H a r m o n i c F u n c t i o n s R e d u x

a r b i t r a r y e x t e n d e d r e a l - v a l u e d f u n c t i o n o n G .

( a ) T h e r e i s a s e q u e n c e i n s u c h t h a t f o r e v e r y i n C .i s i n c r e a s i n g a n d — + i A ( z ) . I f i s a r e a l c o n s t a n t s u c h

t h a t u ( t ) f o r a l l i n t h e s e q u e n c e c a n b e c h o s e n s u c ht h a t > f o r a l l n .

( h ) T h e r e i s a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e { } o f u p p e r s e m z c o n t z n u o u s f u n c -t i o n s o n s u c h t h a t e a c h U n i s b o u n d e d a b o v e . f o r a l l z 2 f l t h e c a n b e c h o s e n s u c h t h a tf o r a l l n .

P r o o f ( a ) T h i s w i l l o n l y b e p r o v e d u n d e r t h e a d d i t i o n a l a s s u m p t i o n t h a tC i s c o n n e c t e d . T h e p r o o f o f t h e g e n e r a l c a s e i s l e f t t o t h e r e a d e r . I f P ( u . C )

o n l y c o n t a i n s t h e c o n s t a n t l y f u n c t i o n . a — ' x a n d w e c a n p u t- - o c f o r a l l n . A s s u m e t h a t ü i s n o t i d e n t i c a l l y — o c . F i x a p o i n t a i n G

a n d l e t h e a s e q u e n c e i n P ( u . G ) s u c h t h a t — ü ( a ) ; i t c a n b ea s s u m e d t h a t i s n o t i d e n t i c a l l y R e p l a c i n g b y O j V . . . V

w e m a y a s s u m e t h a t f o r e a c h i n G . i s a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e .N o w w r i t e C a s t h e u n i o n o f r e g i o n s s u c h t h a t f o r e v e r y n 1 , a E

c I ç a n d i s a J o r d a n s y s t e m . L e t b e t h e f u n c t i o n o nG t h a t a g r e e s w i t h b , , o n G \ G , , a n d o n i s t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e tp r o b l e m w i t h b o u n d a r y v a l u e s I t f o l l o w s f r o m t h e M a x i m u m P r i n c i p l et h a t i s a l s o a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e . e a c h E P ( u . C ) , a n dT h u s — à ( a ) . -

L e t h ( z ) l i m p . = S o i t a a n d b y H a r n a c k ' s T l i e o -

r e m e i t h e r h o r h i s h a r n i o n i c . I f h x . t h e n s o i s ü a n d w e a r e d o n e .O t h e r w i s e , h ü a n d h ( a ) = a ( a ) a n d s o . b y t h e M a x i m u m P r i n c i p l e .h = ñ .

I f a i . t h e n r e p l a c e e a c h 0 , , b y o , , - / o .( b ) F i r s t a s s u m e t h a t n i s b o u n d e d a b o v e . L e t b e a s i n p a r t ( a ) a n d

( l e f i n e = f o r a l l ( i n A c c o r d i n g t o3 . 8 . I S u p p e r s e m i c o n t i i i u o u s a n d d e a r l y i i , , < a : s i n c e i s b o u n d e da b o v e , s o i s A l s o P ( f . C ) a n d s o o , , < < T h u s —

f o r a l l z i n C .I f u i s f l o t h o u n d e d a b o v e , c o n s i d e r u m . o b t a i n a s e q u e n c e o fu s c f u n c t i o n s a s i n t h e p r e c e d i n g p a r a g r a p h , a n d p u t = 6

T o f a c i l i t a t e t h e d i s c u s s i o n w e m a k e t h e f o l l o w i n g d e f i n i t i o n .

7 . 9 D e f i n i t i o n . S a y t h a t a f u n c t i o n u : — i s s o l v a b l e i f = i ta n d t h i s f u i i c t i o n i s f i n i t e - v a l u e d o n G . I f a i s a s o l v a b l e f u n c t i o n , t h e n i l

w i l l b e c a l l e d t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h l e t p r o b l e m w i t h b o u n d a r y v a l u e s a .I f C i s a n o p e n s e t s u c h t h a t e v e r y c o n t i n u o u s f u n c t i o n o n i s s o l v a b l e .

s a y t h a t . C i s a s o l v a b l e s e t .

1 9 . 7 . T h e D i r i c h l e t P r o b l e m 2 4 1

B e c a u s e i t a n d i t a r e h a r m o n i c f u n c t i o n s a n d i t i t o n G , i n o r d e r f o r ut o b e s o l v a b l e i t s u f f i c e s , b y t h e M a x i m u m P r i n c i p l e , t h a t t h e f u n c t i o n s a r e

e q u a l a n d f i n i t e a t o n e p o i n t o f e a c h c o m p o n e n t o f C . I n T h e o r e m 2 1 . 1 . 1 2b e l o w t h e s o l v a b l e f u n c t i o n s w i l l b e c h a r a c t e r i z e d f o r s o l v a b l e o p e n s e t s C .S o l v a b l e s e t s w i l l b e d e a l t w i t h a t l e n g t h a s w e p r o g r e s s t h r o u g h t h i s c h a p t e ra n d g i v e n a n o t h e r c h a r a c t e r i z a t i o n i n § 1 0 . F r o m C h a p t e r 1 0 w e k n o w t h a ta l l r e g i o n s w h o s e b o u n d a r y h a s n o t r i v i a l c o m p o n e n t s i s a s o l v a b l e s e t . I ti s a l s o t h e c a s e t h a t C i s s o l v a b l e ; a s o m e w h a t u n f o r t u n a t e t u r n o f e v e n t s

a s m o s t r e s u l t s o n s o l v a b l e s e t s w i l l h a v e t o o m i t t h i s p a r t i c u l a r o n e .T h e t i r e s o m e a s p e c t o f c o n s i d e r i n g o p e n s e t s G t h a t a r e n o t c o n n e c t e d i s

t h a t a f u n c t i o n a o n c a n b e s o l v a b l e o n s o m e c o m p o n e n t s w h i l e n o t

b e i n g s o l v a b l e o n o t h e r s . H o w e v e r i n l i g h t o f C o r o l l a r y 7 . 7 w e h a v e t h a t t h ef u n c t i o n a i s s o l v a b l e o n G i f a n d o n l y i f i t i s s o l v a b l e f o r e a c h c o m p o n e n to f C .

7 . 1 0 P r o p o s i t i o n . I f 8 ( G ) i s t h e c o l l e c t i o n o f a l l f i n i t e - v a l u e d s o l v a b l ef u n c t i o n s o n C , t h e n 8 ( C ) z s a r e a l l i n e a r s p a c e . I f u a n d v E 8 ( C ) a n d

/ 3 R , t h e n a u + 3 v = a i t ± . i f ' . I f i s t h e c o l l e c t i o n o f a l l b o u n d e ds o l v a b l e f u n c t i o n s o n a n d i s e n d o w e d w i t h t h e s u p r e m t t m

n o r m , t h e n z s a r e a l B a n a c h s p a c e . I f i s a s e q u e n c e i na n d — a i n t h e s u p r e m u m n o r m , t h e n i t u n i f o r m l y o n G .

P r o o f . T h e f a c t t h a t S 8 ( G ) i s a r e a l l i n e a r s p a c e i s a c o n s e q u e n c eo f ( b ) . ( c ) , a n d ( d ) o f P r o p o s i t i o n 7 . 5 . I f P r o p o s i t i o n 7 . 5 i s m a s s a g e d i nt h e a p p r o p r i a t e m a n n e r , i t w i l l p r o d u c e t h e f a c t t h a t , i f u a n d v E S a n da , / 3 E I R . t h e n a u + j 3 v = a i t i % . T h e m a s s a g i n g i s l e f t t o t h e r e a d e r .

T o s h o w t h a t = S " ° ( G ) i s c o m p l e t e , l e t { u , 1 } b e a s e q u e n c e o f

f u n c t i o n s i n a n d a s s u m e a Ô G — I R i s a b o u n d e d f u n c t i o n s u c ht h a t — — 0 . U s i n g p a r t s ( d ) a n d ( e ) o f P r o p o s i t i o n 7 . 5 , w eh a v e t h a t a = ( u — a , . , i - < ( a — + < U u —

a a — a , , + a , , i t — - 4 - a , , ? — u , , f l + a , , . S i n c e a , , = i t , . , ,

U s i n g ( 7 . 5 . e ) w e h a v e t h a t u ( z ) — i t , , ( z ) l l u —T h u s i t , , i t u n i f o r m l y o n G . 0

W e w i l l r e t a i n t h i s n o t a t i o n . F o r a n y o p e n s e t C . = w i l ld e n o t e t h e b o u n d e d s o l v a b l e f u n c t i o n s d e f i n e d o n f u r n i s h e d w i t h t h es u p r e m u m n o r m a n d S = 8 ( G ) w i l l d e n o t e t h e c o l l e c t i o n o f a l l s o l v a b l ef u n c t i o n s .

7 . 1 1 P r o p o s i t i o n . A s s u m e G i s c o n n e c t e d . I f f o r e a c h i i 1 , a , , E 8 ( G )w i t h a , , ? 0 a n d i f u u , , , t h e n e i t h e r :

( a ) a E S ( G ) a n d i t = i t , , , w h e r e t h e c o n v e r g e n c e o f t h i s s e r z e s i su n i f o r m o n c o m p a c t s u b s e i s o f C : o r

( b ) ü = o o a n d c o n v e r g e s t o 0 0 u n i f o r m l y o n c o m p e c ts u b s e t s o f G .

P r o o f . L e t = s o v , , E 8 ( G ) a n d = S i n c e v , ,i t , i i . T h u s ü . S i m i l a r l y , $

N o t e t h a t s i n c e 0 , P r o p o s i t i o n 7 . 8 i m p l i e s w e m a y r e s t r i c t o u ra t t e n t i o n t o t h e p o s i t i v e f u n c t i o n s i n P ( u , , , C ) . F i x a p o i n t z 0 i n C a n da n C > 0 . F o r e a c h n 1 , l e t G ) s u c h t h a t i s p o s i t i v e a n d

< ü , ( z o ) + e / 2 " . A c c o r d i n g t o P r o p o s i t i o n 4 . 6 . c , i s

s u p e r h a r m o n i c . I f a E t h e n

u ( a ) .

T h u s 1 3 ( u , G ) . H e n c e ü ( z o ) + E . S i n c e z 0 a n d ew e r e a r b i t r a r y , t h i s i m p l i e s t h a t ü ü . , , . S i n c e t h e r e v e r s e i n e q u a l i t yw a s a l r e a d y e s t a b l i s h e d , t h i s i m p l i e s t h a t i i u = =

T h u s ü = ü .

I f u i s s o l v a b l e , t h e n b e c a u s e t h e h a r m o n i c f u n c t i o n s i n t h e s u m ü ( z ) =ü , , ( z ) a r e a l l p o s i t i v e , t h e c o n v e r g e n c e i s u n i f o r m o n c o m p a c t s e t s . P a r t( b ) a l s o f o l l o w s b y H a r n a c k ' s T h e o r e m . 0

7 . 1 2 C o r o l l a r y . A s s u m e C i s c o n n e c t e d . I f { u , j i s a n i n c r e a s i n g s e q u e n c eo f s o l v a b l e j u n c t i o n s o n a n d u ( ( ) l i m o t h e n e i t h e r u i s s o l v -

a b l e a n d ü , 1 ( z ) — . ü ( z ) u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o f C o r i i i 0 0a n d — + 0 0 u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o f C .

T h i s a l l o w s u s t o p r o v e a u s e f u l f a c t a b o u t s o l v a b l e o p e n s e t s a s d e f i n e di n ( 7 . 9 ) .

7 . 1 3 C o r o l l a r y . J I G i s a s o l v a b l e s e t , t h e n e v e r y b o u n d e d r e a l - v a l u e d B o r e lf u n c t i o n o n i s s o l v a b l e .

P r o o f . T h e h y p o t h e s i s i m p l i e s t h a t i s a c o l l e c t i o n o f b o u n d e d f u n c -t i o n s o n t h a t c o n t a i n s t h e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s a n d , a c c o r d i n g t o

C o r o l l a r y 7 . 1 2 , c o n t a i n s t h e b o u n d e d p o i n t w i s e l i m i t o f a n y i n c r e a s i n g o rd e c r e a s i n g s e q u e n c e i n T h i s i m p l i e s t h a t S ° ° c o n t a i n s t h e b o u n d e dB o r e l f u n c t i o n s . ( A r e s u l t f r o m m e a s u r e t h e o r y s a y s t h a t i f w e t a k e t h ei n c r e a s i n g l i m i t s o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s , t h e n t a k e t h e d e c r e a s i n g l i m i t s o ft h e r e s u l t i n g f u n c t i o n s , a n d c o n t i n u e t o r e p e a t t h i s t r a n s f i n i t e l y u p t o t h ef i r s t u n c o u n t a b l e o r d i n a l , t h e r e s u l t i n g c l a s s o f f u n c t i o n s i s p r e c i s e l y t h eB o r e l f u n c t i o n s . ) 0

N o w t o g e t a r i c h s u p p l y o f e x a m p l e s o f s o l v a b l e s e t s . T h e n e x t l e m m ae x t e n d s E x e r c i s e 1 .



1 9 . 7 . T h e D i r i c h i e t P r o b l e m 2 4 3

7 . 1 4 L e m m a . I f i s a r e a l - v a l u e d f u n c t i o n t h a t i s c o n t i n u o u s o na n d s u b h a r m o n i c o n G , t h e n i s s o l v a b l e .

P r o o f . L e t u = a n d Ø i = O I G ; i t f o l l o w s t h a t E P ( u , C ) a n d

h e n c e t h a t i i o n C . T h u s = 0 ( a ) =u ( a ) . T h a t i s , i i P ( t z , C ) . T h e r e f o r e ü S ü . B u t w e a l w a y s h a v e t h a tf L i i b y ( 7 . 5 . e ) . T h u s u i s s o l v a b l e . 0

T h e n e x t t h e o r e m i s d u e t o W i e n e r .

7 . 1 5 T h e o r e m . I f C i s a b o u n d e d o p e n s e t , t h e n C i s s o l v a b l e .

P r o o f . L e t u b e a r e a l - v a l u e d c o n t i n u o u s f u n c t i o n o n O G a n d l e t { p n ( z , i ) }b e a s e q u e n c e o f p o l y n o m i a l s i n z a n d t h a t c o n v e r g e s t o u u n i f o r m l yo n 0 G . ( T h e b o u n d e d n e s s o f C i s b e i n g u s e d h e r e . ) L e t b e a p o s i t i v ec o n s t a n t t h a t i s s u f f i c i e n t l y l a r g e t h a t + > 0 o n c i C ( a g a i nt h e b o u n d e d n e s s o f C ) . B y C o r o l l a r y 5 . 8 , + i s s u b h a r m o n i c 0 1 1C . T h e p r e c e d i n g l e m m a i m p l i e s t h a t + i s s o l v a b l e . T h u s b o t h

+ a n d c , j z J 2 a r e s o l v a b l e . T h e r e f o r e p , , i s s o l v a b l e b y P r o p o s i t i o n7 . 1 0 . T h i s s a m e p r o p o s i t i o n i m p l i e s t h a t u , t h e l i m i t o f i s s o l v a b l e .

0

W i t h a l i t t l e w o r k t h i s c o l l e c t i o n o f s o l v a b l e s e t s c a n b e e n l a r g e d . T h i sr e q u i r e s a p r e l i m i n a r y r e s u l t t h a t h a s i n d e p e n d e n t i n t e r e s t .

7 . 1 6 P r o p o s i t i o n . I f C i s a s o l v a b l e s e t a n d r c 1 j 2 i s ah o m e o m o r p h i s m s u c h t h a t r i s a n a l y t i c o n C , t h e n i s a s o l v a b l e s e t .

P r o o f I t i s n o t d i f f i c u l t t o s e e t h a t w i t h t h e a s s u m p t i o n s o n r , f o r a n yf u n c t i o n v O O J 1 R a n d u = v o r , P ( u , G ) = { O o r : 0 € P ( v , f l ) } a n dP ( u , C ) = o r E P ( v , T h e r e s t r e a d i l y f o l l o w s f r o m t h i s . 0

7 . 1 7 T h e o r e m . I f C i s n o t d e n s e i n C o r i f C i s a D i r i c h i e t s e t , t h e n Ci s a s o l v a b l e s e t .

P r o o f . S u p p o s e C i s n o t d e n s e . S o t h e r e i s a d i s k B ( a ; r ) t h a t i s d i s -j o i n t f r o m t h e c l o s u r e o f C . B u t t h e n t h e i m a g e o f C u n d e r t h e M ö b i u s

t r a n s f o r m a t i o n ( z — a ) ' i s c o n t a i n e d i n B ( a ; r ) . B y T h e o r e m 7 . 1 5 a n d t h ep r e c e d i n g p r o p o s i t i o n , C i s a s o l v a b l e s e t .

I f C i s a D i r i c h i e t s e t , t h e n f o r e v e r y c o n t i n u o u s f u n c t i o n u o n t h e r ei s a c l a s s i c a l s o l u t i o n h o f t h e D i r i c h l e t p r o b l e m . A c c o r d i n g t o L e m m a 7 . 1 4( o r E x e r c i s e 1 ) t h i s i m p l i e s t h a t u i s s o l v a b l e . 0

7 . 1 8 C o r o l l a r y . C i s n o t c o n n e c t e d , t h e n C i s s o l v a b l e .

P r o o f . A c c o r d i n g t o C o r o l l a r y 7 . 7 , C i s s o l v a b l e i f a n d o n l y i f e a c h c o m -p o n e n t o f C i s s o l v a b l e . B u t i f G i s n o t c o n n e c t e d , t h e n n o c o m p o n e n t o fC i s d e n s e a n d h e n c e e a c h c o m p o n e n t i s a s o l v a b l e s e t . 0

A n e x a m i n a t i o n o f t h e p r e c e d i n g t h e o r e m a n d i t s c o r o l l a r y l e a d s o n e t ob e l i e v e t h a t a n o p e n s u b s e t o f a s o l v a b l e s e t i s a l s o s o l v a b l e . T h i s i s t h e c a s ea n d w i l l f o l l o w a f t e r w e c h a r a c t e r i z e s o l v a b l e s e t s i n T h e o r e m 1 0 . 7 b e l o w .

T h i s l a s t r e s u l t l e a v e s t h e c a n d i d a t e s f o r n o n - s o l v a b l e s e t s t o t h o s e o ft h e f o r m C = C \ F , w h e r e F i s a c l o s e d s e t w i t h o u t i n t e r i o r i n C . I f n oc o m p o n e n t o f F i s a s i n g l e t o n , t h e n C i s a D I r i c h l e t s e t ( 1 0 . 4 . 1 7 ) a n d s o Ci s s o l v a b l e . S o a t y p i c a l e x a m p l e w o u l d b e t o t a k e G = \ K , w h e r e Ki s a C a n t o r s e t . N o t e t h a t s u c h o p e n s e t s a r e n e c e s s a r i l y c o n n e c t e d .

I t i s n o t d i f f i c u l t t o g e t a n e x a m p l e o f a n o n - s o l v a b l e s e t . I n f a c t t h ep u n c t u r e d p l a n e i s s u c h a n e x a m p l e . T o s e e t h i s w e f i r s t p r o v e a l e m m at h a t w i l l b e u s e d i n a l a t e r s e c t i o n a s w e l l .

7 . 1 9 L e m m a . I f 4 ) i s a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n t h e p u n c t u r e d p l a n e , C 0 ,s u c h t h a t 4 ) 0 a n d 0 ( z ) < a f o r s o m e a , t h e n 4 ) a .

P r o o f . L e t E > 0 ; b y h y p o t h e s i s , t h e r e i s a 6 > O s u c h t h a t 4 ) ( z ) < a + ef o r 8 . T a k e b t o b e a n y p o i n t i n C 0 a n d l e t r b e a n a r b i t r a r y n u m b e rw i t h r > I b J . i f h , . ( z ) = [ l o g ( 8 / r ) ] ' t h e n h r i s h a r m o n i c i n

a n e i g h b o r h o o d o f t h e c l o s u r e o f t h e a n n u l u s A = a n n ( 0 ; 5 , r ) . F o r = &i t i s e a s y t o s e e t h a t h , . ( z ) 4 ) ( z ) . F o r = = 0 4 ) ( z ) . T h u s t h eM a x i m u m P r i n c i p l e i m p l i e s t h a t h r 4 ) o n c i A ; i n p a r t i c u l a r , 0 ( b ) h 1 . ( b ) .

S i n c e r w a s a r b i t r a r y , 0 ( b ) S h , . ( b ) = a + e . S i n c e e w a s a r b i t r a r y ,Ø ( b ) < Z a . 0

7 . 2 0 E x a m p l e . T h e p u n c t u r e d p l a n e C o i s n o t a s o l v a b l e s e t . D e f i n eu ( 0 ) = 0 a n d u ( o o ) = 1 . I f 4 ) P ( u , C o ) , t h e n 0 a n d

4 ) ( z ) 1 . A p p l y i n g t h e p r e c e d i n g l e m m a t o t h e s u b h a r m o n i c

f u n c t i o n 4 ) — 1 , w e h a v e t h a t 4 ) — 1 — 1 s o t h a t 4 ) 0 ; t h u s < 0 . I fi f , P ( u , C 0 ) a n d t h e p r e c e d i n g l e m m a i s a p p l i e d t o w e d e d u c et h a t i f , 1 ; t h u s ü 1 . T h e r e f o r e C 0 i s n o t s o l v a b l e .

E x e r c i s e s

1 . S u p p o s e h i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o n t h a t i s h a r m o n i c o n C

a n d p u t u = S h o w t h a t ü = h .2 . I n P r o p o s i t i o n 7 . 8 s h o w t h a t t h e s e q u e n c e c o n v e r g e s t o ü u n i -

f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o f G .

3 . I f a i s a r e a l c o n s t a n t , 4 ) E P ( u , G ) s u c h t h a t 4 ) ( z ) a f o r a l l z i n C ,a n d Z q J w i t h u ( z o ) = a , t h e n 4 ) ( z ) a a s z — e z O , z i n C .

4 . S h o w t h a t i f u a n d v a r e s o l v a b l e f u n c t i o n s , t h e n s o a r e m a x ( u , v )

a n d m i n ( u , v ) .5 . S h o w t h a t i f F = { a , 2 } , w h e r e o o , t h e n G = C \ F i s n o t a

s o l v a b l e s e t .

1 9 . 8 . H a r m o n i c M a j o r a n t s 2 4 5

6 . S h o w t h a t C i s a s o l v a b l e s e t .

§ 8 H a r m o n i c M a j o r a n t s

T h i s s h o r t s e c t i o n p r e s e n t s a r e s u l t t h a t w i l l b e u s e f u l t o u s i n t h i s c h a p t e ra s w e l l a s w h e n w e b e g i n t h e s t u d y o f H a r d y s p a c e s o n a r b i t r a r y r e g i o n s i nt h e p l a n e .

8 . 1 T h e o r e m . L e t C b e a n a r b i t r a r y o p e n s e t i n t h e p l a n e . I f u i s a s u b h a r -i n o n i c f u n c t i o n o n G t h a t i s n o t i d e n t i c a l l y o n a n y o f c o m p o n e n t s ,

a n d i f t h e r e i s a h a r m o n i c f u n c t i o n g o n G s u c h t h a t g u o n C , t h e nt h e r e i s a u n i q u e h a r m o n i c f u n c t i o n h o n C s u c h t h a t :

( a ) h u o n C ;( b ) i f / i s a n y h a r i n o n w f u n c t i o n o n C s u c h t h a t / i t , t h e n f h .

P r o o f . C l e a r l y i t s u f f i c e s t o a s s u m e t h a t G i s c o n n e c t e d . L e t { I ' , , } b e as e q u e n c e o f s m o o t h p o s i t i v e l y o r i e n t e d J o r d a n s y s t e m s i n C s u c h t h a t i fC , , = i n s r , , , t h e n c i C , , a n d C = u , , G , , . L e t h , , b e t h e s o l u t i o no f t h e D i r i c h i e t P r o b l e m o n C , , w i t h b o u n d a r y v a l u e s u . N o t e t h a t i f E

t h e n u o n G , , ; h e n c e u h , , o n C , , . F o r a n y n , h , , + 1 i sc o n t i n u o u s o n c l C 1 , a n d d o m i n a t e s u t h e r e . T h u s h , , o n G , , , . I fn i s f i x e d , t h i s i m p l i e s t h a t h , , < < h , , ÷ 2 < . . . o n C , , . T h i s s a m et y p e a r g u m e n t a l s o s h o w s t h a t o n G , , , h , , + k S g f o r a l i k 0 , w h e r e g i st h e h a r m o n i c f u n c t i o n h y p o t h e s i z e d i n t h e s t a t e m e n t o f t h e t h e o r e m . T h u s

H a r n a c k ' s T h e o r e m , a n d a l i t t l e t h o u g h t , s h o w s t h a t h ( : ) U r n , , h , , ( z )d e f i n e s a h a r m o n i c f u n c t i o n o n C s u c h t h a t h < g . A l s o s i n c e h , , ÷ k u o nC , , , h u o n G .

N o w s u p p o s e f i s a s i n c o n d i t i o n ( b ) . T h e M a x i m u m P r i n c i p l e s h o w st h a t f o r e a c h n 1 . 1 h , , o n C , , . T h u s f h .

T h e u n i q u e n e s s o f t h e f u n c t i o n h i s a d i r e c t c o n s e q u e n c e o f p a r t ( b ) . 0

8 . 2 D e f i n i t i o n . I f G i s a n o p e n s e t a n d u i s a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n

C t h a t i s n o t i d e n t i c a l l y o n a n y o f i t s c o m p o n e n t s a n d i f t h e r e i sa h a r m o n i c f u n c t i o n h o n 0 t h a t s a t i s f i e s c o n d i t i o n s ( a ) a n d ( b ) o f t h ep r e c e d i n g t h e o r e m , t h e n h i s c a l l e d t h e l e a s t h a r m o n i c m a j o r a n t o f u . I n a

s i m i l a r w a y , t h e g r e a t e s t h a r m o n i c m i n o r a n t o f a s u p e r h a r m o n i c f u n c t i o ni s d e f i n e d .

S o T h e o r e m 8 . 1 c a n b e r e p h r a s e d a s s a y i n g t h a t a s u b h a r m o n i c f u n c t i o nt h a t h a s a h a r m o n i c m a j o r a n t h a s a l e a s t h a r m o n i c m a j o r a n t . P a r t i c u l a ri n f o r m a t i o n a b o u t t h e f o r m o f t h e l e a s t h a r m o n i c m a j o r a n t o f a s u b h a r -m o n i c f u n c t i o n c a n b e g l e a n e d f r o m t h e p r o o f o f T h e o r e m 8 . 1 a n d i s u s e f u l l y

r e c o r d e d .




8 . 3 C o r o l l a r y . W i t h t h e n o t a t i o n o f t h e p r e c e d i n g t h e o r e m , i f G i s c o n -n e c t e d a n d } i s a n y s e q u e n c e o f r e g i o n s s u c h t h a t c i c

a n d C = u G h , a n d i f i s t h e s o l u t i o n o f t h e D i r z c h l e t P r o b l e m o n

w i t h b o u n d a r y t h e n h ( z ) = l i m e i s t h e l e a s t h a r -m o n i c m a j o r a n t o f u .

E x e r c i s e s

1 . i f C i s a b o u n d e d D i r i c h i e t r e g i o n a n d u : c i C — ' [ — o o , o o ) i s a nu p p e r s e m i c o n t i n u o u s f u n c t i o n t h a t i s s u b b a r i n o n i c o n C a n d n o t

i d e n t i c a l l y — 0 0 , t h e n u h a s a l e a s t h a r m o n i c m a j o r a n t .2 . F i x a n o p e n s e t C i n C a n d l e t H b ( G ) d e n o t e t h e r e a l - v a l u e d b o u n d e d

h a r m o n i c f u n c t i o n s o n C . F o r u a n d v i n H b ( G ) , l e t u V v b e t h el e a s t h a r m o n i c m a j o r a n t o f m a x { u , v } a n d l e t u A v b e t h e g r e a t e s th a r m o n i c m i n o r a n t o f n t i n { u . v } . S h o w t h a t , w i t h t h e s e d e f i n i t i o n s o f

j o i n a n d m e e t , H b ( G ) i s a B a n a c h l a t t i c e .

§ 9 T h e G r e e n F u n c t i o n

W e e x t e n d t h e d e f i n i t i o n o f a G r e e n f u n c t i o n t h a t w a s g i v e n i n § 1 0 . 5 .

9 . 1 D e f i n i t i o n . F o r a n o p e n s u b s e t C o f a G r e e n f u n c t i o n i s a f u n c t i o ng : C x C — p ( — 0 0 , c o ] h a v i n g t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

( a ) f o r e a c h a i n C t h e f u n c t i o n g 0 ( z ) =g ( z , a ) i s p o s i t i v e a n d h a r m o n i c

o n C \ { a } ;( b ) f o r e a c h a 0 0 i n C , z — , g ( z , a ) + — a

n e i g h b o r h o o d o f a ; i f 0 0 E G , z — + g ( z , o o ) — l o g J z J i s h a r m o n i c i n an e i g h b o r h o o d o f o o ;

( c ) g i s t h e s m a l l e s t f u n c t i o n f r o m C x C i n t o ( — o o , o o ] t h a t s a t i s f i e sp r o p e r t i e s ( a ) a n d ( b ) .

S e v e r a l o b s e r v a t i o n s a n d n o t e s a r e n e e d e d b e f o r e w e p r o c e e d . I f i n p a r t( b ) 0 0 C , t h e n t h e f u n c t i o n g ( z , a ) + l o g — a l i s h a r m o n i c t h r o u g h o u tC ; t h e r e s t r i c t i o n t o a n e i g h b o r h o o d o f a i s o n l y n e e d e d w h e n C c o n t a i n st h e p o i n t a t i n f i n i t y . A l s o t h e r e a s o n f o r t h e s t a t e m e n t t h a t i f 0 0 C C ,

z — i g ( z , o o ) — l o g i s h a r m o n i c i n a n e i g h b o r h o o d o f o o r a t h e r t h a nt h r o u g h o u t C i s d u e t o t h e p o s s i b i l i t y t h a t 0 E C . A f t e r a l l i f 0 E C , t h e ng ( z , o o ) i s h a r m o n i c n e a r 0 a n d l o g z I i s n o t . S e e E x e r c i s e 1 .

W h y t h e m i n u s s i g n i n g ( z , o o ) — l o g I z i ? D o n ' t f o r g e t t h a t t o s a y t h a ti s h a r m o n i c n e a r o o i s t o s a y t h a t g ( z ' . o o ) — l o g =

g ( z 1 , 0 0 ) + l o g i s h a r m o n i c n e a r 0 .



1 9 . 9 . T h e G r e e n 2 4 7

T h e n e x t p o i n t t o b e m a d e i s t h a t t h i s d e f i n i t i o n e x t e n d s D e f i n i t i o n1 0 . 5 . 1 . S o l e t G b e a r e g i o n i n C ( w e n e e d n o t c o n s i d e r t h e c a s e t h a t

0 0 C ) a n d l e t g ( z , a ) = g 0 ( z ) b e a s i n D e f i n i t i o n 1 0 . 5 . 1 . N o t e t h a t

o o a s z — , a w h i l e g a ( Z ) — 0 a s z a p p r o a c h e s a n y p o i n t o nt h e e x t e n d e d b o u n d a r y o f C . T h u s g i s a p o s i t i v e h a r m o n i c f u n c t i o n o nC \ { a } . C l e a r l y c o n d i t i o n ( b ) a b o v e i s a l s o s a t i s f i e d . I t r e m a i n s t o s h o w

t h a t g i s t h e s m a l l e s t s u c h f u n c t i o n . S o l e t f G x G ( — 0 0 , c o l b e af u n c t i o n h a v i n g p r o p e r t i e s ( a ) a n d ( b ) i n D e f i n i t i o n 9 . 1 . I f = f ( z , a ) ,

t h e n — g a ( Z ) = + l o g J z — a l l — I g a ( z ) + l o g — a l l i s h a r m o n i co n C . S i n c e f a i s p o s i t i v e a n d f o r a n y w i n g a ( z ) 0 8 S Z

— g 3 ( z ) ] 0 . T h e r e f o r e t h e M a x i m u m P r i n c i p l e i m p l i e s

t h a t f a ( Z ) g 0 ( z ) f o r a l l z i n G .T h e e s s e n c e o f t h e g e n e r a l i t y t h a t t h e a b o v e d e f i n i t i o n h a s o v e r D e f i n i -t i o n 1 0 . 5 . 1 l i e s i n i t s a p p l i c a b i l i t y t o a r b i t r a r y o p e n s e t s , f l o t j u s t D i r i c h i e t

r e g i o n s . T h e f a c t t h a t C i s n o t a s s u m e d t o b e c o n n e c t e d d o e s n o t t r u l y r e p -r e s e n t a g a i n i n g e n e r a l i t y . T h e G r e e n f u n c t i o n f o r a n o p e n s e t i s o b t a i n e db y p i e c i n g t o g e t h e r G r e e n f u n c t i o n s f o r e a c h o f t h e c o m p o n e n t s o f C . I nm o s t o f t h e p r o o f s o n l y r e g i o n s w i l l b e c o n s i d e r e d a s t h i s o b v i a t e s t h e n e e df o r c e r t a i n a w k w a r d p h r a s i n g s .

9 . 2 P r o p o s i t i o n . L e t C b e a r e g i o n i n t h e e x t e n d e d p l a n e .

( a ) I f t h e r e i s a G r e e n f u n c t i o n f o r C , t h e n i t i s u n i q u e . I n f a c t i f a i sa f i x e d p o i n t i n C a n d f i s a p o s i t i v e h a r m o n i c f u n c t i o n o n G \ { a }s u c h t h a t 1 ( z ) + l o g l z — a i s t h e s m a l l e s ts u c h f u n c t i o n , t h e n f ( z ) = g ( z , a ) f o r a l l z i n C .

( b ) I f 9 i s t h e G r e e n f u n c t i o n f o r G a n d a E C , t h e n g a ( Z ) g ( z , a ) f o rz a a n d g 0 ( a ) = 0 0 d e f i n e s a s u p e r h a r r n o n i c f u n c t i o n o n G .

( c ) i j I l i s a n o t h e r r e g i o n i n C i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e ,a n d g i s t h e G r e e n f u n c t i o n f o r C , t h e n h ( ( , a ) ' r ( a ) ) i s t h eG r e e n f u n c t i o n f o r c i .

( d ) I f C i s a s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n i n t h e e x t e n d e d p l a n e a n d f o r e a c h aU i C , T a : C — . D i s t h e R i e m a n n m a p w i t h r 6 ( a ) = 0 a n d > 0 ,

t h e n g ( z , a ) = — l o g j r a ( z ) I i s t h e G r e e n f u n c t i o n f o r C .

( e ) T h e g r e a t e s t h a r m o n i c m i n o r a n t o f t h e f u n c t i o nd e f i n e d i n ( b ) i s t h e z e r o f u n c t i o n .

P r o o f . T h e p o i n t h e r e i s t h a t t o g e t u n i q u e n e s s i t i s o n l y n e c e s s a r y t ov e r i f y t h a t t h e p r o p e r t i e s h o l d f o r o n e f i x e d c h o i c e o f t h e s i n g u l a r i t y a .I f f i s a s d e s c r i b e d , t h e n , a s i n t h e a r g u m e n t t h a t D e f i n i t i o n 9 . 1 e x t e n d sD e f i n i t i o n 1 0 . 5 . 1 , w e h a v e t h a t f o n C . S i n c e f i s t h e s m a l l e s t s u c h

f u n c t i o n , f = 9 a .P a r t ( b ) i s a n e a s y e x e r c i s e . T o p r o v e p a r t ( c ) i t s u f f i c e s t o a s s u m e t h a tn e i t h e r C n o r I l c o n t a i n s o o . I f h i s a s i n ( c ) , t h e n c l e a r l y h i s p o s i t i v e

a n d f o r e a c h i n f t , ( — ' h ( ( , a ) i s h a r m o n i c o n f t \ { a } . I f =a , h ( ( , + l o g K — i s t h e c o m p o s i t i o n o f + l o g I z — w i t h r a n dt h e r e f o r e m u s t b e h a r m o n i c o n f t . I t r e m a i n s t o v e r i t y c o n d i t i o n ( c ) o f t h e

d e f i n i t i o n . B u t i f f i s a n o t h e r f u n c t i o n o n 1 ) x f t s a t i s f y i n g c o n d i t i o n s ( a )a n d ( b ) , f o ( i r ' x r - ' ) i s s u c h a f u n c t i o n o n C x G . T h e f a c t t h a t g i st h e s m a l l e s t s u c h f u n c t i o n o n C x C i m p l i e s t h a t h i s t h e s m a l l e s t s u c hf u n c t i o n o n f t x f t .

W e n o t e t h a t — l o g ( I z — — o z I ] i s t h e G r e e n f u n c t i o n f o r I f w ef i x a p o i n t a i n C , t h e n f o r a n y p o i n t b i n C , T b ( z ) = c [ r 4 ( z ) — r 4 ( b ) J / [ l —

r 0 ( b ) r 4 ( z ) ) f o r s o m e c o n s t a n t c ( d e p e n d e n t o n b ) w i t h I c i = 1 . W i t h t h e s eo b s e r v a t i o n s , p a r t ( d ) f o l l o w s f r o m p a r t ( c ) .

T o p r o v e ( e ) f i r s t n o t e t h a t 0 i s a h a r m o n i c m i n o r a n t o f 9 a . L e t h 4 b et h e g r e a t e s t h a r m o n i c m i n o r a n t o f s o 0 h 4 T h u s g ° — h 0 i s

a p o s i t i v e s u p e r h a r m o n i c f u n c t i o n o n C t h a t i s h a r m o n i c o n C \ { a } a n ds u c h t h a t — h 0 ) + l o g — a I i s h a r m o n i c o n C . F r o m t h e d e f i n i t i o n o ft h e G r e e n f u n c t i o n w e h a v e t h a t — h a S O t h a t h 0 < 0 . 0

P a r t ( d ) o f t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n c a n b e u s e d t o c o m p u t e t h e G r e e nf u n c t i o n f o r a s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n p r o v i d e d w e k n o w t h e c o n f o r m a le q u i v a l e n c e . S e e E x e r c i s e 2 .

O f c o u r s e t h e G r e e n f u n c t i o n m a y n o t e x i s t f o r a s p e c i f i c r e g i o n C . T h i sq u e s t i o n o f e x i s t e n c e i s c r u c i a l a n d i s , a s w e s h a l l s e e , i n t r i c a t e l y c o n n e c t e dt o o t h e r q u e s t i o n s a b o u t h a r m o n i c f u n c t i o n s . N o t e t h a t i f t h e r e i s a G r e e nf u n c t i o n g f o r C , t h e n t h e r e a r e n o n - c o n s t a n t n e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c -t i o n s o n C ; v i z , — g e f o r e a c h a i n G . T h i s l e a d s u s t o t h e f o l l o w i n g c l a s s i -f i c a t i o n o f r e g i o n s .

9 . 3 D e f i n i t i o n . A n o p e n s e t C i n i s h y p e r b o l i c i f t h e r e i s a s u b h a r m o n i cf u n c t i o n o n G t h a t i s b o u n d e d a b o v e a n d n o t c o n s t a n t o n a n y c o m p o n e n to f C . O t h e r w i s e C i s c a l l e d p a r a b o l i c .

T h e c o m m e n t s p r e c e d i n g t h e d e f i n i t i o n s h o w t h a t i f C h a s a G r e e n f u n c -t i o n , t h e n C i s h y p e r b o l i c . B y s u b t r a c t i n g a c o n s t a n t f u n c t i o n , w e s e e t h a tt o s a y t h a t C i s h y p e r b o l i c i s e q u i v a l e n t t o t h e s t a t e m e n t t h a t t h e r e i s

a n e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n C t h a t i s n o t c o n s t a n t o n a n y c o m -p o n e n t o f C . E v e r y b o u n d e d r e g i o n i s h y p e r b o l i c s i n c e R e z i s a b o u n d e ds u b h a r m o n i c f u n c t i o n . S i n c e a n y r e g i o n t h a t i s c o n f o r m a l l y e q u i v a l e n t t oa h y p e r b o l i c r e g i o n i s c l e a r l y h y p e r b o l i c , t h i s s a y s t h a t a n y r e g i o n t h a t i s

n o t d e n s e i n t h e e x t e n d e d p l a n e i s h y p e r b o l i c . T h u s t h e o n l y c a n d i d a t e s f o ra p a r a b o l i c r e g i o n a r e t h o s e o f t h e f o r m \ F , w h e r e F i s s o m e c l o s e ds u b s e t o f

9 . 4 P r o p o s i t i o n . I f G i s a n o p e n s e t t h a t i s n o t c o n n e c t e d . t h e n C i sh y p e r b o l i c . A n o p e n s u b s e t o f a h y p e r b o l i c s e t i s h y p e r b o l i c .

P r o o f . I f C i s n o t c o n n e c t e d , t h e n n o c o m p o n e n t o f C i s d e n s e . H e n c e o n

1 9 . 9 . T h e G r e e n F u n c t i o n 2 4 9

e a c h c o m p o n e n t w e c a n f i n d a n o n - c o n s t a n t n e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n .T h e p r o o f o f t h e s e c o n d s t a t e m e n t i s t r i v i a l .

9 . 5 P r o p o s i t i o n .( a ) I f C i s a s o l v a b l e r e g i o n a n d 8 C i s n o t a s i n g l e t o n , t h e n G i s h y p e r -

b o l i c .

( b ) I f C i s p a r a b o l i c , t h e n K = C C K , \ C i s t o t a l l y d i s c o n n e c t e d a n d KO K = K .

( c ) C i s a p a r a b o l i c r e g i o n .

P r o o f ( a ) A s s u m e t h a t 0 0 C . S i n c e C i s n o t t h e w h o l e p l a n e , & 0 Gh a s a t l e a s t 2 p o i n t s ( 7 . 2 0 ) . L e t u : — . [ 0 , 1 j b e a c o n t i n u o u s f u n c t i o n

t h a t a s s u m e s b o t h t h e v a l u e s 0 a n d 1 . I f E P ( u , C ) , t h e n — I i s an e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n . I f C w e r e p a r a b o l i c , t h e n i t w o u l d f o l l o wt h a t e a c h i n P ( u , C ) i s a c o n s t a n t a n d t h a t ü 0 . S i m i l a r l y , i f Cw e r e p a r a b o l i c , i t w o u l d f o l l o w t h a t i i 1 a n d s o G i s n o t s o l v a b l e .

( b ) A s s u m e t h a t 0 0 C . i f K O K , t h e n C i s n o t d e n s e a n d t h e r e f o r es o l v a b l e ; b y ( a ) C c a n n o t b e p a r a b o l i c . S i m i l a r l y , i f K

K , C i s n o tc o n n e c t e d a n d i s t h u s h y p e r b o l i c ( 9 . 4 ) . I f K i s n o t t o t a l l y d i s c o n n e c t e d , i tc o n t a i n s a c o m p o n e n t X t h a t h a s i n f i n i t e l y m a n y p o i n t s . P u t H = \ X .L e t r : H D b e t h e R i e m a n n m a p w i t h r ( o o ) 0 a n d p u t = S o

i s a s u b h a r m o n j c f u n c t i o n o n H w i t h < 0 a n d H m u s t b e h y p e r b o l i c .T h e r e f o r e C i s h y p e r b o l i c , a c o n t r a d i c t i o n .

( c ) L e t b e a n e g a t i v e f i n i t e - v a l u e d s u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n C a n d f i xt w o p o i n t s a a n d b . S i n c e L e m m a 7 . 1 9 i m p l i e s t h a t

f o r a l l z i n C ; i n p a r t i c u l a r , R e v e r s i n g t h e r o l e so f a a n d b , w e g e t t h a t = T h e r e f o r e i s c o n s t a n t . 0

I n T h e o r e m 1 0 . 7 i n t h e n e x t s e c t i o n i t w i l l b e s h o w n t h a t a h y p e r b o l i cr e g i o n i s s o l v a b l e , t h u s e s t a b l i s h i n g t h e c o n v e r s e t o p a r t ( a ) o f t h e p r e c e d -i n g p r o p o s i t i o n . B u t n o w w e c o n c e n t r a t e o n t h e c o n n e c t i o n o f h y p e r b o l i c

r e g i o n s t o t h e e x i s t e n c e o f t h e G r e e n f u n c t i o n .

9 . 6 P r o p o s i t i o n . L e t C b e a r e g i o n i n C < , , , a n d l e t b e a J o r d a n c u r v ei n C s u c h t h a t H = i n s - y ç C . L e t u d e n o t e t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o no f - y d e f i n e d o n ( C \ c i H ) w i t h ü t h e c o r r e s p o n d i n g P e r r o n f u n c t i o n o n

G \ c l H .

( a ) 1 4 z ) < 1 f o r a l l z i n C \ c i H i f a n d o n l y i f C i s h y p e r b o l i c .( b ) ü ( z ) 1 o n G \ c I H i f a n d o n l y i f G i s p a r a b o l i c .

P r o o f . B y t h e M a x i m u m P r i n c i p l e ü ( z ) 1 o n f l G \ d H . A l s o Q i sc o n n e c t e d ( w h y ? ) a n d s o i f Ü ( z ) 1 f o r a n y p o i n t i n i t i s i d e n t i c a l l y

1 . T h u s t h e s t a t e m e n t s ( a ) a n d ( b ) a r e e q u i v a l e n t . S o a s s u m e t h a t C i s

1 9 . H a r m o n i c F u n c t i o n s R e d u x

h y p e r b o l i c a n d l e t u s s h o w t h a t < 1 o n c i . L e t b e a n e g a t i v e s u b -h a r m o n i c f u n c t i o n o n C t h a t i s n o t c o n s t a n t . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y w em a y a s s u m e t h a t z E G } = 0 . P u t M = : z E s o

M 0 . B y t h e M a x i m u m P r i n c i p l e M < 0 . B y n o r m a l i z a t i o n , i t m a y b ea s s u m e d t h a t M = — 1 .

B y T h e o r e m s 1 0 . 4 . 3 a n d 1 0 . 4 . 9 , ü ( z ) I a s z a p p r o a c h e s a n y p o i n t o n' y . S i n c e u i s p o s i t i v e a n d — 1 o n — 4 E P ( u , c i ) ; t h u s ü <o n c i . S i n c e = 0 , t h e r e i s a p o i n t a i n C w i t h > — 1 . B u t

— 1 f o r a l l z i n c i H ( w h y ? ) a n d s o a E c i . T h u s ü ( a ) < 1 a n d s oü ( z ) < l f o r a i l z i n c i .

N o w a s s u m e t h a t ü ( z ) < 1 f o r a l l z i n c i a n d d e f i n e C J R b y l e t t i n g

= — u ( z ) f o r z i n c i a n d = — 1 f o r z i n c i H . I t i s l e f t t o t h er e a d e r t o v e r i f y t h a t i s s u b h a r m o n i c o n G . C l e a r l y i t i s n e g a t i v e a n d , b ya s s u m p t i o n , i t i s n o t c o n s t a n t . 0

L e t u s u n d e r s c o r e t h e f a c t u s e d i n t h e p r e c e d i n g p r o o f t h a t t h e f u n c t i o nü h a s a c o n t i n u o u s e x t e n s i o n t o ' y w h e r e i t i s c o n s t a n t l y 1 .

9 . 7 T h e o r e m . T h e r e g i o n C i n h a s a G r e e n f u n c t i o n i f a n d o n l y i f C

i s h y p e r b o l i c .P r o o f . W e h a v e a l r e a d y o b s e r v e d t h a t a n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r C t o h a v e

a G r e e n f u n c t i o n i s t h a t C b e h y p e r b o l i c ; s o a s s u m e t h a t C i s h y p e r b o l i c .F i x a i n C , a 0 0 ; w e w i l l p r o d u c e t h e G r e e n f u n c t i o n w i t h s i n g u l a r i t y a ta . ( T h e c a s e w h e r e a = o o i s l e f t t o t h e r e a d e r . )

D e f i n e u o n b y u ( a ) = o o a n d u ( ( ) 0 f o r (i n L e t g b e t h e u p p e r P e r r o n f u n c t i o n ü o n C \ { a } c o r r e s p o n d i n g t o

t h e b o u n d a r y f u n c t i o n u . C l e a r l y g i s a n o n - n e g a t i v e h a r m o n i c f u n c t i o n o nG \ { a } . T o s e e t h a t g s a t i s f i e s c o n d i t i o n ( b ) o f D e f i n i t i o n 9 . 1 t a k e s a b i t o fc l e v e r n e s s . —

C h o o s e r > 0 s u c h t h a t B = B ( a ; r ) C G a n d l e t R > r s u c h t h a tB ( a ; R ) ç C . O b s e r v e t h a t G \ B i s a s o l v a b l e s e t , l e t x b e t h e c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n o f t h e c i r c l e 8 B , a n d p u t h = t h e P e r r o n f u n c t i o n o f x o n C \ B .

S o 0 h 1 ; a c c o r d i n g t o t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n , h ( z ) < 1 f o r a l l i n

C \ B . T h u s m = m a x { h ( z ) — a I = R } < 1 . C h o o s e a p o s i t i v e c o n s t a n t

M w i t h m M < M + l o g ( r / R ) a n d d e f i n e a f u n c t i o n o n G b y

M h ( z )=

z E B .

C l a i m . i s a s u p e r h a r m o n i c f u n c t i o n o n C .

I t i s c l e a r t h a t i s l o w e r s e m i c o n t i n u o u s ; i n f a c t i t i s a c o n t i n u o u sf u n c t i o n f r o m C i n t o T h e o n l y p l a c e w e h a v e t o c h e c k t h e i n t e g r a lc o n d i t i o n i s w h e n I z — a I r . T o c h e c k t h i s w e f i r s t v e r i f y t h a t M h ( w ) <

1 9 . 9 . T h e G r e e n F u n c t i o n 2 5 1

M + l o g [ r / I w — a i j f o r r < l w — a l < R . I n d e e d , i f l w — a l = r , h ( w ) = 1 a n d

s o M h ( w ) = M = M + l o g [ r / l w - a l l ; i f 1 w — a ! = R , M h ( w ) M m <M + I o g [ r / j w — a l l . T h e d e s i r e d i n e q u a l i t y n o w h o l d s b y t h e M a x i m u m

P r i n c i p l e . N o w i f l z — a ! = r a n d 6 < R — r , t h i s i m p l i e s t h a tr

— I2 7 r J 0 l z — a i

T h i s p r o v e s t h e c l a i m .N o t e t h a t t h e f u n c t i o n b e l o n g s t o t h e P e r r o n f a m i l y P ( u , C \ { a } )

a n d s o t h e h a r m o n i c f u n c t i o n g s a t i s f i e s g ( z ) f o r a l l z i n C \ { a } .I f z B a n d z a , — a l — a l = M + l o g r ,a c o n s t a n t . T h e r e f o r e g ( z ) + l o g I z — a ! a d m i t s a h a r m o n i c e x t e n s i o n t oB ( a ; r ) . T h i s s a y s t h a t g s a t i s f i e s c o n d i t i o n s ( a ) a n d ( b ) o f D e f i n i t i o n 9 . 1 .

N o w t o v e r i f y c o n d i t i o n ( c ) o f t h e d e f i n i t i o n . A s s u m e t h a t k i s a n o t h e rf u n c t i o n h a v i n g p r o p e r t i e s ( a ) a n d ( b ) . S o k i s a s u p e r h a r m o n i c f u n c t i o no n G . N o w k ( z ) = o o = u ( a ) . S i n c e k i s p o s i t i v e , k ( z ) o = u ( ( ) f o r ( i n T h e r e f o r e k P ( u , C \ { a } ) a n d s o k g . H e n c e g .i s t h e G r e e n f u n c t i o n f o r G w i t h s i n g u l a r i t y a t a . 0

T h e n e x t r e s u l t c a n b e v i e w e d a s a c o m p u t a t i o n a l d e v i c e , b u t i n r e a l i t yi t i s o n l y a t h e o r e t i c a l a i d .

9 . 8 P r o p o s i t i o n . L e t b e a s e q u e n c e o f o p e n s e t s s u c h t h a t ca n d C = i s h y p e r b o l i c . I f i s t h e G r e e n f u n c t i o n f o r C

a n d g i s t h e G r e e n f u n c t i o n f o r C , t h e n f o r e a c h a i n C , g n ( z , a ) I g ( z , a )u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o f C \ { a } .

P r o o f . F i x t h e p o i n t i n C ; w e w i l l o n l y c o n s i d e r t h o s e n f o r w h i c ha E N o t e t h a t t h e r e s t r i c t i o n o f t o s a t i s f i e s c o n d i t i o n s ( a )a n d ( b ) o f D e f i n i t i o n 9 . 1 . H e n c e a ) a ) f o r a l l z i n O n . T h u sk ( z , a ) = l i m e g n ( z , a ) e x i s t s u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o f G \ { a } a n de i t h e r i s h a r m o n i c o r o o . B u t t h e s a m e t y p e o f a r g u m e n t s h o w s t h a tg ( z , a ) g n ( z , a ) f o r a l l n a n d a l l z i n G , . T h u s g ( z , a ) k ( z , a ) a n d s o k 0i s a h a r m o n i c f u n c t i o n o n C \ { a } . C l e a r l y k 0 a n d k ( z , a ) + l o g l z — i sh a r m o n i c n e a r a . T h a t i s , k s a t i s f i e s p r o p e r t i e s ( a ) a n d ( b ) i n t h e d e f i n i t i o n

o f a G r e e n f u n c t i o n . T h e r e f o r e , k ( z , a ) g ( z , a ) . S i n c e w e h a v e a l r e a d ys h o w n t h a t g k , w e g e t t h a t g k , p r o v i n g t h e p r o p o s i t i o n . 0

R e c a l l t h e i n f o r m a t i o n o b t a i n e d a b o u t t h e G r e e n f u n c t i o n f o r a n a n a l y t i cJ o r d a n r e g i o n i n I n p a r t i c u l a r , T h e o r e m 1 5 . 2 . 5 g i v e s a f o r m u l a f o r t h es o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m f o r s u c h r e g i o n s i n v o l v i n g t h e c o n j u g a t ed i f f e r e n t i a l o f t h e G r e e n f u n c t i o n . W e c a n u s e t h i s m a t e r i a l t o g e t h e r w i t h

t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n t o o b t a i n i n f o r m a t i o n a b o u t t h e G r e e n f u n c t i o nf o r a n y h y p e r b o l i c r e g i o n .

9 . 9 T h e o r e m . I f C i s a h y p e r b o l i c r e g i o n , a a n d b a r e p o i n t s i n C , a n d g



2 5 2 1 9 . H a r m o n i c F u n c t i o n s R . e d u x

i s t h e G r e e n f u n c t i o n f o r C , t h e n g ( a , b ) = g ( b , a ) .

P r o o f . F i r s t a s s u m e t h a t G i s a n a n a l y t i c J o r d a n r e g i o n w i t h p o s i t i v e l yo r i e n t e d b o u n d a r y r . , w i t h a s t h e o u t e r b o u n d a r y . L e t

a 1 = a a n d a 2 = b . F o r j = 1 , 2 , p u t g , ( Z ) = a n d = O B ( a , ; r )w i t h p o s i t i v e o r i e n t a t i o n . ( H e r e r i s c h o s e n s o t h a t B ( a , ; r ) G a n d f l

= 0 . ) S o A = . . i s a p o s i t i v e l y o r i e n t e d J o r d a ns y s t e m a n d b o t h g 1 a n d a r e h a r m o n i c o n t h e i n s i d e o f A . B y C o r o l l a r y

1 5 . 2 . 3 , 0 = — g d 9 1 ) . S i n c e g ' a n d 9 2 v a n i s h o n r , L e m m a 1 5 . 2 . 4i m p l i e s t h a t

0 = —

f— 9 d g 1 )1 7 1 + 1 7 2

= — 2 i r g ' 2 ( a 1 ) + 2 1 r 9 1 ( a 2 ) + / 3 ( T ) ,

w h e r e / 3 ( r ) — . 0 a s r — b 0 .

T h i s p r o v e s t h e t h e o r e m f o r t h e c a s e o f a n a n a l y t i c J o r d a n r e g i o n . T h ep r o o f o f t h e g e n e r a l c a s e f o l l o w s b y t a k i n g a s e q u e n c e o f a n a l y t i c J o r -d a n r e g i o n s s u c h t h a t C a n d C = a n d a p p l y i n g P r o p o s i t i o n

9 . 8 . 0W e f i n i s h w i t h a r e s u l t t h a t w i l l p r o v e u s e f u l i n f u r t h e r d e v e l o p m e n t s .

9 . 1 0 P r o p o s i t i o n . I f C i s a h y p e r b o l i c r e g i o n i n C , a E G , a n d g i s t h eG r e e n f u n c t i o n f o r C , t h e n

g ( z , a ) = i n f { * ( z ) : i s a p o s i t i v e s u p e r h a r m o n i c f u n c t i o n o n C s u c h

t h a t + l o g I z — a I 2 8 s u p e r h a r m o n z c n e a r a ) .

P r o o f . L e t b e a p o s i t i v e s u p e r h a r m o n i c f u n c t i o n o n C s u c h t h a t 0 ( z )t I ' ( z ) + l o g j z — a I i s s u p e r h a r i n o n i c o n C . S i n c e z g ( z , a ) i s a s u p e r -

h a r m o n i c f u n c t i o n h a v i n g t h e s e p r o p e r t i e s , i t s u f f i c e s t o s h o w t h a t 9 a ( Z ) = g ( z , a ) f o r a l l z i n C . T o t h i s e n d , f i r s t n o t e t h a t 0 ( a ) u r n

[ * ( z ) + — a I ] a n d s o — * 0 0 a s z — i a . T h u s =0 0 =

N o w l e t b e a s e q u e n c e o f b o u n d e d D i r i c h i e t r e g i o n s , e a c h o f w h i c hc o n t a i n s t h e p o i n t a a n d s u c h t h a t C , , c G , , ÷ 1 a n d C = L J , , C , , . L e t g , , b et h e G r e e n f u n c t i o n f o r C , , w i t h p o l e a t a . A c c o r d i n g t o P r o p o s i t i o n 9 . 8 ,g , , ( z ) — * g , ( z ) u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o f C \ { a ) . I f u ' , , =t h e n f o r a n y ( i n O G , , , i P , , ( z ) 0 = g , , ( z ) . B y t h eM a x i m u m P r i n c i p l e , t , b , , g , , o n C , , a n d t h e p r o p o s i t i o n f o l l o w s . 0

A d d i t i o n a l r e s u l t s o n t h e G r e e n f u n c t i o n c a n b e f o u n d i n T h e o r e m 2 1 . 1 . 1 9a n d t h r o u g h t h e r e m a i n d e r o f C h a p t e r 2 1 .

1 9 . 1 0 . R e g u l a r P o i n t s 2 5 3

E x e r c i s e s

1 .

2 . U s e P r o p o s i t i o n 9 . 2 t o f i n d t h e G r e e n f u n c t i o n f o r D a s w e l l a s t h eu p p e r h a l f p l a n e .

3 . I f G i s a h y p e r b o l i c r e g i o n i n a n d 0 0 C , s h o w t h a t g ( z , o o )i n f : i s a p o s i t i v e s u p e r h a r r n o n i c f u n c t i o n o n C s u c h t h a t

— l o g l z I i s s u p e r h a r m o n i c n e a r o o } .

4 . L e t p ( z ) = a n d p u t

G i s c o n n e c t e d a n d g ( z , o o ) = n ' [ l o g I p ( z ) I — l o g R j .

R e g u l a r P o i n t s f o r t h e D i r i c h i e t P r o b l e m

H e r e w e r e t u r n t o s o m e o f t h e i d e a s c o n n e c t e d w i t h t h e s o l u t i o n o f t h eD i r i c h i e t p r o b l e m i n t h e c l a s s i c a l s e n s e . S p e c i f i c a l l y , w e w i l l s t u d y t h e

b o u n d a r y b e h a v i o r o f t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m a n d h o w t h i sb e h a v i o r c o l l a t e s w i t h t h e a c t u a l v a l u e s o f t h e b o u n d a r y f u n c t i o n . I n § 1 0 . 4

t h e c o n c e p t o f a b a r r i e r w a s i n t r o d u c e d a n d i t w a s s h o w n t h a t e a c h p o i n to f h a s a b a r r i e r i f a n d o n l y i f C i s a D i r i c h i e t r e g i o n . W e b e g i n b ye x a m i n i n g m o r e c l o s e l y t h e i d e a o f a b a r r i e r ; i n t h e p r o c e s s s o m e o f t h er e s u l t s f r o m § 1 0 . 4 w i l l b e r e p r o v e d .

R e c a l l t h e n o t a t i o n t h a t f o r a i n a n d r > 0 , G ( a ; r ) = B ( a ; r ) f l C .

1 0 . 1 T h e o r e m . I f C i s a n o p e n s u b s e t o f a n d a E t h e n t h ef o l l o w i n g a r e e q u i v a l e n t .

( a ) T h e r e i s a b a r r i e r f o r G a t a .

( b ) T h e r e i s a n e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n C s u c h t h a t — ' 0

a s z — . a a n d f o r e v e r y o p e n n e i g h b o r h o o d U o f a , s u p { Ø ( z ) : z EC \ U } < 0 .

( c ) F o r e v e r y r > 0 t h e r e i s a n e g a t i v e n o n - c o n s t a n t s u b h a r i n o n i c f u n c t i o n

o n C ( a ; r ) s u c h t h a t - - . 0 a s z — ' a i n G ( a ; r ) .( d ) F o r e v e r y r > 0 , i / u i s t h e s o l u t i o n o f t h e f ) i r i c h l e t p r o b l e m o n G ( a ; r )

w i t h b o u n d a r y v a l u e s - ' ( d i s t h e m e t r i c ) , t h e n u ( z ) 0 a sz — * a i n G ( a ; r ) .

( e ) T h e r e i s a n r > 0 a n d a n e g a t i v e n o n - c o n s t a n t s u b h a r i n o n i c f u n c t i o no n C ( a ; r ) s u c h t h a t a s z — * 0 E f l G ( a ; r ) .

( f ) T h e r e i s a n r > 0 s u c h t h a t i f u i s t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e mo n G ( a ; r ) w i t h b o u n d a r y v a l u e s ( — . d ( a , ( ) ( d i s t h e m e t r i c ) , t h e nu ( z ) — . 0 a s z — * a i n G ( a ; r ) .

N o t e : i f a o o , t h e n t h e m e t r i c i n ( d ) a n d ( f ) c a n b e t a k e n t o b e t h eu s u a l a b s o l u t e v a l u e ; o t h e r w i s e i t i s t h e m e t r i c o f t h e e x t e n d e d p l a n e .

P r o o f . I n t h i s p r o o f i t w i l l b e a s s u m e d t h a t a i s a f i n i t e b o u n d a r y p o i n t

o f C ; t h e p r o o f o f t h e c a s e w h e r e a = o c i s l e f t t o t h e r e a d e r .( a ) i m p l i e s ( b ) . L e t b e a b a r r i e r f o r C a t a a n d l e t b e a n y

s e q u e n c e o f r a d i i c o n v e r g i n g t o 0 . E x t e n d t o C b y l e t t i n g i t b e i d e n t i c a l l y1 o n C \ G ( a ; r ) . P u t = a n d 4 , = B y ( 4 . 6 . e ) 4 , i s

s u b h a r m o n i c a n d c l e a r l y C ) 4 , — 1 . S i n c e — ' 0 a s z — ' a f o r e a c hn , i t i s e a s y t o c h e c k t h a t 4 , ( z ) — , G a s z — ' a . F i n a l l y , i f r > O a n d n i s c h o s e ns o t h a t < r , t h e n f o r z i n G \ B ( a ; r ) , 4 , ( z ) =

( b ) i m p l i e s ( c ) . T h i s i s t r i v i a l .( c ) i m p l i e s ( d ) . L e t 0 < e < r 2 ; p u t = B ( a ; E ) . i i C f l 0 ,

w r i t e C f l a s t h e d i s j o i n t u n i o n o f a n o n - e m p t y c o m p a c t s e t K e a n d ar e l a t i v e l y o p e n s e t U w h o s e a r c l e n g t h a s a s u b s e t o f t h e c i r c l e i s l e s s t h a n2 i r e / r . L e t g b e t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m o n t h e d i s k w i t hb o u n d a r y v a l u e s O b s e r v e t h a t 0 g r a n d g i s c o n t i n u o u s a t t h ep o i n t s o f U w i t h g ( ( ) = r t h e r e . W r i t i n g g a s t h e P o i s s o n i n t e g r a l o n t h ed i s k B e i t i s e a s y t o s e e t h a t g ( a ) < e . I f C f l = 0 , l e t g 0 .

L e t 4 , b e a s i n t h e s t a t e m e n t o f ( c ) a n d d e f i n e 9 : G ( a ; e ) K b y9 = r ( 4 , / a ) + g + e , w h e r e a = m a x { 4 , ( z ) : z E S i n c e 4 , i s n e g a t i v e a n du s c , a < 0 . N o t e t h a t 9 i s s u p e r h a r m o n i c o n C ( a ; e ) a n d 0 e t h e r e . N o wl e t b e a n y f u n c t i o n i n P ( I ( — G ( a ; r ) ) .

C l a i m . F o r a n y ( i n 8 G ( a ; e ) , l i m s u p Z _ ( 1 i ( z )

I n f a c t , O G ( a ; c ) = n O G ) U ( C f l I f ( E n O C , t h e n

i i ( z ) — < e 0 ( z ) . I f ( C f l t h e n rg ( z ) + e . I f ( t h e n t h i s g i v e s t h a t u n 9 ( z ) r + l i m g ( z ) +e r . I f ( E U , t h e n w e g e t t h a t =

r + e . T h i s p r o v e s t h e c l a i m .T h e M a x i m u m P r i n c i p l e i m p l i e s 9 o n G ( a ; e ) ; s o i f u i s a s i n ( d ) , t h e n

u < 8 t h e r e . S i n c e 4 , ( z ) 0 a s z a , =g ( a ) + E < 2 E . T h u s 0 u ( z ) < 2 e . S i n c e e w a s a r b i t r a r y ,

u ( z ) — ' 0 a s z a .( d ) i m p l i e s ( 1 ) . T h i s i s t r i v i a l .( f ) i m p l i e s ( a ) . L e t r a n d u b e a s i n t h e s t a t e m e n t o f ( f ) . N o t e t h a t

u ( z ) = r w h e n z E G n 8 B , . , s o t h a t i f = r 1 u o n C ( a ; r ) a n d v ' , . 1

o n C \ B ( a ; r ) , t h e n i s s u p e r h a r m o n i c o n C , 0 i / ' , . 1 , - * 0 a sz a , a n d — . l a s z ( o n G f l O B r .

N o w l e t 0 < $ < r a n d l e t v b e t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h l e t p r o b l e mo n G ( a ; s ) w i t h b o u n d a r y v a l u e s I ( — a ( . S i n c e f z — a I i s a s u b h a r t n o n i cf u n c t i o n , — E P ( t ( — a l , G ( a ; r ) ) ; t h e r e f o r e I z — u ( z ) o n G ( a ; r ) .T h u s u E G ( a ; s ) ) a n d s o v ( z ) u ( z ) f o r a l l z i n G ( a ; s ) . B u t t h i si m p l i e s t h a t v ( z ) 0 a s z a . B u t w a s a r b i t r a r y , s o i f t h e a r g u m e n t

1 9 . 1 0 . R e g u l a r P o i n t s 2 5 5

o f t h e p r e c e d i n g p a r a g r a p h i s a p p l i e d t o t h e f u n c t i o n v , w e g e t a b a r r i e r: O < s } .

I t i s t r i v i a l t h a t ( c ) i m p l i e s ( e ) a n d t h e p r o o f t h a t ( c ) i m p l i e s ( d ) g i v e n

a b o v e s h o w s t h a t ( e ) i m p l i e s ( f ) . 0N o t e t h a t t h e e x i s t e n c e o f a b a r r i e r f o r G a t a n y o f i t s b o u n d a r y p o i n t s

i m p l i e s t h e e x i s t e n c e o f a n o n - c o n s t a n t n e g a t i v e s u b h a r m o m c f u n c t i o n o nC . T h u s a r e g i o n i s h y p e r b o l i c i f t h e r e i s a b a r r i e r a t o n e o f i t s b o u n d a r yp o i n t s .

I n t h e n e x t l e m m a i t i s i m p o r t a n t t o e m p h a s i z e t h a t t h e s e t C i s n o ta s s u m e d t o b e s o l v a b l e .

1 0 . 2 L e m m a . A s s u m e t h e r e i s a b a r r i e r f o r C a t a a n d / i s a r e a l - v a i t h e df u n c t i o n d e f i n e d o n & 0 G .

( a ) I f f i s b o u n d e d b d o w , t h e n

l i m i n f f ( z )

( b ) I f f i s b o u n d e d a b o v e , t h e n

l i n i s u p f ( z ) m a xI ( — * aI . . C E & 0 G

( T h e r e a s o n f o r t a k i n g t h e m i n i m u m a n d m a x i m u m i n p a r t s ( a ) a n d ( b ) ,r e s p e c t i v e l y , i s t h a t t h e d e f i n i t i o n o f t h e l i m i t s i n f e r i o r a n d s u p e r i o r o f f a sz a p p r o a c h e s a d o e s n o t u s e t h e v a l u e o f f a t a . )

P r o o f I t s u f f i c e s t o o n l y p a r t ( a ) . L e t p b e t h e r i g h t h a n d s i d e o f t h ei n e q u a l i t y i n ( a ) a n d m b e a c o n s t a n t s u c h t h a t i n f { f ( C ) Em . W e w i l l o n l y c o n s i d e r t h e c a s e t h a t a o o . l i p > f 3 > m , L e t r > 0 s u c ht h a t f ( C ) > / 3 f o r ( i n 8 G i i B r , B , . = B ( a ; r ) . P u t u = t h e s o l u t i o n o f

t h e D i r i c h i e t p r o b l e m o n G ( a ; r ) w i t h b o u n d a r y v a l u e s I C — a I ; s o u ( z ) 0a s z — a b y t h e p r e c e d i n g t h e o r e m . I f u i s e x t e n d e d t o a l l o f C b y s e t t i n gU = T O f l C \ B , . , t h e n u i s s u p e r h a r m o n i c ( v e r i f y ! ) . I t i s e a s y t o c h e c kt h a t / 3 — r ' ( $ — m ) u b e l o n g s t o t h e l o w e r P e r r o n f a m i l y f o r ( f , C ) . T h u sI / 3 — r ' ( f J — t h ) u a n d s o

S i n c e / 3 w a s a n a r b i t r a r y n u m b e r s m a l l e r t h a n p , w e h a v e p r o v e d t h e l e m m a .0

1 0 . 3 D e f i n i t i o n . S a y t h a t a p o i n t a o n t h e e x t e n d e d b o u n d a r y o f a no p e n s e t G i s a r e g u l a r b o u n d a r y p o i n t f o r C i f f o r e v e r y b o u n d e d f u n c t i o nf R t h a t i s c o n t i n u o u s a t a ,

— f ( a ) =

S o t h e o p e n s e t C i s a D i r i c h i e t s e t i f a n d o n l y i f e v e r y e x t e n d e d b o u n d a r yp o i n t o f C i s a r e g u l a r b o u n d a r y p o i n t . T h e n e x t p r o p o s i t i o n w a s e s s e n t i a l l yp r o v e d i n T h e o r e m 1 0 . 4 . 3 . H a l f t h e p r o o f w a s g i v e n t h e r e ; t h e o t h e r h a l f

c o m e s f r o m t h e p r e c e d i n g l e m m a .

1 0 . 4 P r o p o s i t i o n . T h e r e i s a b a r r i e r f o r C a t t h e p o i n t a i n i f a n do n l y i f a i s a r e g u l a r b o u n d a r y p o i n t o f C .

T h e n e x t s m a l l r e s u l t i s a n e m p h a s i s o f t h e f a c t t h a t t h e c o n d i t i o n t h a ta p o i n t a i s a r e g u l a r p o i n t f o r C i s a l o c a l p r o p e r t y . T h a t i s , t h i s c o n d i t i o ni s o n l y a f f e c t e d b y t h e d i s p o s i t i o n o f G n e a r a . T h i s i s c l e a r f r o m T h e o r e m

1 0 . 1 .

1 0 . 5 P r o p o s i t i o n . I f a i s a r e g u l a r p o i n t f o r t h e o p e n s e t C a n d H i s a no p e n s u b s e t o f C s u c h t h a t a E t h e n a i s a r e g u l a r p o i n t f o r H .

1 0 . 6 L e m m a . I f C i s a r e g i o n a n d t h e r e z s a n e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o no n C w h o s e l e a s t h a r m o n i c m a j o r a n t v s 0 , t h e n t h e r e i s a n e g a t i v e s u b h a r -

r a o n i c f u n c t i o n o n C t h a t i s n o t i d e n t i c a l l y — c c s u c h t h a t i f (a n d < 0 , t h e n — — c c a s z

P r o o f .L e t b e a s e q u e n c e o f s m o o t h J o r d a n r e g i o n s w i t h c l C , ,C = u , , G , , . F o r e a c h n d e f i n e t h e f u n c t i o n ç b , , o n C b y 4 , , =

o n C \ C , , a n d 4 , , = t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m o n C , , w i t hb o u n d a r y v a l u e s t / 4 0 G , , . A c c o r d i n g t o C o r o l l a r y 8 . 3 a n d t h e h y p o t h e s i s ,

0 a s n — i c c . F i x a p o i n t a i n C ; p a s s i n g t o a s u b s e q u e n c e i fn e c e s s a r y , i t c a n b e a s s u m e d t h a t < c c . B y P r o p o s i t i o n 4 . 6 . e ,4 o ( z ) Ø , , ( z ) i s a n e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n ; b y c o n s t r u c t i o n i ti s n o t i d e n t i c a l l y — c c .

N o w f i x a p o i n t ( i n a n d a s s u m e t h a t u r n < 0 . L e tr > 0 s u c h t h a t < — 5 < 0 f o r z i n C ( ( ; r ) . L e t n b e a n a r b i t r a r y b u tf i x e d p o s i t i v e i n t e g e r . T h e r e i s a n r , , < r s u c h t h a t B ( ( ; r , , ) f l c i C 1 , = 0 .

I f z C ( ( ; r , , ) , t h e n f o r 1 m n , b m ( Z ) = ( — 5 . T h u s ( t ' m ( Z ) — n S f o r z i n r , , ) . S i n c e n w a s a r b i t r a r y , — c c

0

N o w f o r t h e p r o m i s e d c o n v e r s e t o P r o p o s i t i o n 9 . 5 .

1 0 . 7 T h e o r e m . I f C i s a r e g i o n i n s u c h t h a t h a s a t l e a s t t w op o i n t s , t h e n C i s s o l v a b l e i f a n d o n l y i f i t i s h y p e r b o l i c ,

1 9 . 1 0 . R e g u l a r P o i n t s 2 5 7

P r o o f . I t s u f f i c e s t o a s s u m e t h a t G i s h y p e r b o l i c a n d p r o v e t h a t i t i s s o l v -a b l e . S i n c e C i s h y p e r b o l i c , i t h a s a G r e e n f u n c t i o n g ; l e t — g ( z , a )f o r s o m e a i n C . S o i s a n e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n w i t h 0 a s i t s l e a s t

h a r m o n i c m a j o r a n t ( 9 . 2 ) . L e t Ø o b e t h e n e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n a si n t h e p r e c e d i n g l e m m a .T o s h o w t h a t C i s s o l v a b l e , l e t f : — ' R b e a C o n t i n u o u s f u n c t i o n

a n d f i x a n a r b i t r a r y p o s i t i v e e .

C l a i m . I f ( E

I f 0 a s z t h e n i s a r e g u l a r b o u n d a r y p o i n t ( 1 0 . 1 ) a n d

s o 1 ( z ) f ( ( ) a s z ( . S i n c e 0 . t h i s p r o v e s t h e c l a i m i n t h i sc a s e . I n t h e o t h e r c a s e , 0 ( z ) < 0 a n d s o t h e l e m m a i m p l i e s t h a t— 0 0 a s z ( . T h i s p r o v e s t h e c l a i m i n t h i s c a s e a l s o .

B u t t h e c l a i m i m p l i e s t h a t / + E P ( f , C ) a n d s o w e h a v e t h a t f +0

F r o m t h i s p o i n t o n t h e t e r m " s o l v a b l e s e t " w i l l b e d r o p p e d i n f a v o r o f" h y p e r b o l i c s e t " s i n c e t h i s i s s t a n d a r d i n t h e l i t e r a t u r e .

N o w l e t ' s t u r n o u r a t t e n t i o n t o a c o n s i d e r a t i o n o f t h e i r r e g u l a r p o i n t s o fa n o p e n s e t . R e c a l l t h a t a t t h e e n d o f § 1 0 . 3 i t w a s s h o w n t h a t t h e o r i g i n i sn o t a r e g u l a r p o i n t o f t h e p u n c t u r e d d i s k . T h a t s a m e p r o o f c a n b e u s e d t o

p r o v e t h e f o l l o w i n g .

1 0 . 8 P r o p o s i t i o n . I / C i s a n o p e n s e t a n d a i s a n i s o l a t e d p o i n t o f C ,t h e n a i s a n i r r e g u l a r p o i n t o f C .

1 0 . 9 P r o p o s i t i o n . I / C i s a n o p e n s e t a n d a E C , t h e n a i s a r e g u l a rp o i n t i f a n d o n l y , ' i f f o r e v e r y c o m p o n e n t H o f G e i t h e r a i s a r e g u l a r p o i n to f H

P r o o f . A s s u m e a i s a r e g u l a r p o i n t o f C ; l e t r > 0 a n d l e t b e a n e g a t i v en o n - c o n s t a n t s u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n C ( a ; r ) s u c h t h a t — . 0 a s z a .I f H i s a c o m p o n e n t s u c h t h a t a E t h e n a E a n d = r )

i s a n o n - c o n s t a n t n e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n s u c h t h a t ( z ) — , 0 a sz — ' a .

F o r t h e c o n v e r s e , i t o n l y m a k e s s e n s e t o a s s u m e t h a t C i s n o t c o n n e c t e d .S o e a c h c o m p o n e n t o f C i s a h y p e r b o l i c r e g i o n . L e t } b e t h e c o m -p o n e n t s o f G a n d f o r e a c h n l e t b e d e f i n e d o n b y =n i i n { d ( ( , a ) , l / n } . L e t b e t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h l e t p r o b l e m o n H , ,w i t h b o u n d a r y v a l u e s N o t e t h a t i f a t h e n a i s a r e g u l a r p o i n to f b y a s s u m p t i o n a n d s o u , ( z ) 0 a s z a . D e f i n e u o n G b y l e t t i n g

u = — u , , , O f l u i s a n o n - c o n s t a n t n e g a t i v e h a r m o n i c f u n c t i o n .

C l a i m . u ( z ) = 0 .

T o s e e t h i s , l e t e > O a n d c h o o s e n 0 > e ' . F o r ls u c h t h a t e i t h e r B ( a ; = 0 o r < e f o r z i n r e ) . T h u s

I u ( z ) I < c f o r z i n G ( a ; r ) , w h e r e r = : n 5 n o } . B y T h e o r e m

1 0 . 1 , a i s a r e g u l a r p o i n t o f C . 01 0 . 1 0 C o r o l l a r y . I f a r e t h e c o m p o n e n t s o f C , t h e n e v e r y p o i n t i n& 0 G \ U f l Ô O O H f l t , s a r e g u l a r p o i n t .

S o i n a s e a r c h f o r i r r e g u l a r p o i n t s i t s u f i l c e s t o e x a m i n e t h e b o u n d a r yp o i n t s o f t h e c o m p o n e n t s o f C . T h e n e x t p r o p o s i t i o n s a y s t h a t i n s u c h a

s e a r c h w e c a n i g n o r e t h o s e p o i n t s t h a t b e l o n g t o t h e b o u n d a r y o f m o r et h a n o n e c o m p o n e n t .

1 0 . 1 1 P r o p o s i t i o n . I f a E a n d a i s a n i r r e g u l a r p o i n t , t h e n t h e r e i sa u n i q u e c o m p o n e n t H o f C s u c h t h a t a E

P r o o f . A s s u m e a i s a n i r r e g u l a r p o i n t a n d l e t { H k } b e t h e c o l l e c t i o n o ft h o s e c o m p o n e n t s o f C s u c h t h a t a b e l o n g s t o t h e i r b o u n d a r y . T h e p r e -c e d i n g c o r o l l a r y s a y s t h a t t h i s i s a n o n - e m p t y c o l l e c t i o n . S u p p o s e t h e r ei s m o r e t h a n o n e s u c h c o m p o n e n t . i f k i s a r b i t r a r y a n d j k , t h e n

a E ç \ 1 4 a n d c L H , i s c o n n e c t e d . B y T h e o r e m 1 0 . 4 . 9 t h i si m p l i e s a i s a r e g u l a r p o i n t o f i l k f o r e a c h k 1 . B y P r o p o s i t i o n 1 0 . 9 , a i sa r e g u l a r p o i n t o f C , a c o n t r a d i c t i o n . 0

1 0 . 1 2 C o r o l l a r y . I f a a n d t h e r e i s a c o m p o n e n t H o f C s u c h t h a ta i s a r e g u l a r p o i n t o f H , t h e n a i s a r e g u l a r p o i n t o f G .

P r o o f . I f a w e r e a n i r r e g u l a r p o i n t o f C , t h e n t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n

w o u l d i m p l y t h a t H i s t h e u n i q u e c o m p o n e n t o f G t h a t h a s a a s a b o u n d -a r y p o i n t . T h u s t h e a s s u m p t i o n t h a t a i s r e g u l a r f o r H c o n t r a d i c t s t h ea s s u m p t i o n t h a t i t i s i r r e g u l a r f o r C . 0

L a t e r w e w i l l r e t u r n t o a n e x a m i n a t i o n o f i r r e g u l a r p o i n t s .

E x e r c i s e s

1 . L e t C = D \ [ { 0 } w h e r e = w i t h 0 < a , . , < 1 .

a n d t h e r a d i i c h o s e n s o t h a t r , . , < a n d t h e d i s k s a r ep a i r w i s e d i s j o i n t . S h o w t h a t C i s a D i r i c h i e t r e g i o n .

2 .

c l o s e d d i s k s s u c h t h a t t h e a c c u m u l a t i o n p o i n t s o f t h e i r c e n t e r s i sp r e c i s e l y t h e u n i t c i r c l e , Ô D . S h o w t h a t C i s a D i r i c h i e t r e g i o n .



1 9 . 1 1 . T h e D i r i c h i e t P r i n c i p l e 2 5 9

§ 1 1 T h e D i r i c h i e t P r i n c i p l e a n d S o b o l e v S p a c e s

I n t h i s s e c t i o n a c l a s s i c a l a p p r o a c h t o t h e D i r i c h i e t p r o b l e m i s e x p l o r e d . T h e

i d e a i s t h a t i f C i s a r e g i o n a n d i f f i s a f u n c t i o n o n O G , t h e n t h e s o l u t i o no f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m w i t h b o u n d a r y v a l u e s I i s t h e f u n c t i o n u o n Ct h a t " e q u a l s " f o n t h e b o u n d a r y a n d m i n i m i z e s t h e i n t e g r a l f J V u I 2 d A .

T h i s w i l l b e m a d e p r e c i s e a n d p r o v e n a s t h e s e c t i o n d e v e l o p s .W e b e g i n b y d e f i n i n g a S o b o l e v s p a c e t h a t i s s u i t a b l e f o r o u r n e e d s . W e

w i l l o n l y s c r a t c h t h e s u r f a c e o f t h e t h e o r y o f S o b o l e v s p a c e s ; i n d e e d , w ew i l l u s e l i t t l e o f t h i s s u b j e c t o t h e r t h a n s o m e o f t h e e l e m e n t a r y l a n g u a g e .A f u l l e r i n t r o d u c t i o n c a n b e f o u n d i n A d a m s [ 1 9 7 5 J a n d E v a n s a n d G a r i e p y

[ 1 9 9 2 J .R e c a l l t h a t C i s t h e c o l l e c t i o n o f i n f i n i t e l y d i f f e r e n t i a b l e f u n c t i o n s o n

C t h a t h a v e c o m p a c t s u p p o r t .

1 1 . 1 D e f i n i t i o n . I f E d e f i n e

a n d l e t W ? = W ? ( C ) b e t h e c o m p l e t i o n o f w i t h r e s p e c t t o t h e n o r md e f i n e d b y t h i s i n n e r p r o d u c t .

O f c o u r s e i t m u s t b e s h o w n t h a t ( . , . ) d e f i n e s a n i n n e r p r o d u c t o n b u tt h i s i s a r o u t n e e x e r c i s e f o r t h e r e a d e r t o e x e c u t e . ( R e c a l l t h a t = 8a n d = T o r e c o r d t h e n o t a t i o n , n o t e t h a t

= = + +

T h e s p a c e i s a n e x a m p l e o f a S o b o l e v s p a c e . T h e s u p e r s c r i p t 2 i ni s t h e r e b e c a u s e w e h a v e u s e d a n L 2 t y p e n o r m . T h e s u b s c r i p t 1 r e f e r s

t o t h e f a c t t h a t o n l y o n e d e r i v a t i v e o f t h e f u n c t i o n s i s u s e d i n d e f i n i n g t h en o r m . T h e f i r s t t a s k i s t o g e t a n i n t e r n a l c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e f u n c t i o n st h a t b e l o n g t o T h e t e r m w e a k d e r t v a t i v e o f a f u n c t i o n u w i l l m e a n t h e

d e r i v a t i v e o f u i n t h e s e n s e o f d i s t r i b u t i o n s .1 1 2 T h e o r e m . A f u n c t i o n u b e l o n g s t o W ? i f a n d o n l y i f u E L 2 a n de a c h o f t h e w e a k d e r i v a t i v e s 8 u a n d i s a f u n c t i o n i n L 2

P r o o f . F i r s t a s s u m e t h a t u E W ? a n d l e t b e a s e q u e n c e i ns u c h t h a t f l u — — , 0 a s n — ' 0 0 . T h i s i m p l i e s t h a t — . u i n L 2 a n dt h a t a n d a r e C a u c h y s e q u e n c e s i n L 2 . L e t u 1 a n d U 2 £ 2s u c h t h a t — ' a n d u 2 i n t h e £ 2 n o r m . I f

C ° , t h e n8 u , t h e w e a k d e r i v a t i v e o f u . S i m i l a r l y U 2 ô u .

C o n v e r s e l y , s u p p o s e t h a t u , O u , a n d O u b e l o n g t o L 2 . F o r e a c h n 1 ,

I z i n + 1 , a n d J O f , d 2 t h r o u g h o u t C . L e t =

u i n L 2 . A l s o t h e w e a k d e r i v a t i v e= i t + a n d — ' a u i n L 2 . O n t h e o t h e r h a n d

J J n < I z I < n + 1

4 Jk i H - I

— 4 9

a s n o c . H e n c e ô u i n L 2 . S i m i l a r l y i n £ 2 . T h i sa r g u m e n t s h o w s t h a t i t s u f f i c e s t o s h o w t h a t u W ? u n d e r t h e a d d i t i o n a l

a s s u m p t i o n t h a t u h a s c o m p a c t s u p p o r t .N o w l e t { Ø e } b e a m o l l i f i e r . S i n c e u h a s c o m p a c t s u p p o r t , * u — ' i s

i n £ 2 a n d * i t E ( 1 8 . 3 . 6 ) . S i n c e O u L 2 a n d h a s c o m p a c t s u p p o r t ,* i s ) = * t 3 u ô u i n L 2 . S i m i l a r l y * u ) — . i n L 2 . H e n c e

W j 2 . 0

N o w t o g i v e a n o t h e r i n n e r p r o d u c t t h a t i s e q u i v a l e n t t o t h e o r i g i n a lw h e n w e r e s t r i c t t h e s u p p o r t s t o l i e i n a f i x e d b o u n d e d s e t . T h i s i s d o n ei n t h e n e x t p r o p o s i t i o n , t h o u g h t h e d e f i n i t i o n o f t h i s n e w i n n e r p r o d u c tc o m e s a f t e r t h i s r e s u l t .

1 1 . 3 P r o p o s i t i o n . I f C i s a b o u n d e d o p e n s e t i n C , t h e n t h e r e i s a c o n s t a n t

M > 0 s u c h t h a t f o r a 1 1 4 i n C r ( C )

M 2{ f

d A+ f

P r o o f . C l e a r l y i t s u f f i c e s t o s h o w t h a t t h e r e i s a c o n s t a n t M s u c h t h a t

f M 2

T o t h i s e n d , l e t Q b e a n o p e n s q u a r e , Q = { z : I R e z I < R , j I m z j < R } ,t h a t c o n t a i n s t h e c l o s u r e o f C . H ' E a n d i s i t s d e r i v a t i v e w i t h

r e s p e c t t o t h e f i r s t v a r i a b l e , t h e n f o r z x + i y

=

J - R




T h u sR R

f k 5 ( x + i Y ) I 2 d x R 2 f- R - R

f r o m w h i c h w e g e t t h a t

f = f4 1 ? 2 f +

= 8 R 2 f + ( 1 4

T h e p r e c e d i n g i n e q u a l i t y i s c a l l e d t h e P o i n c a r é I n e q u a l i t y .

1 1 . 4 D e f i n i t i o n . F o r a b o u n d e d o p e n s e t G , l e t ( C ) = t h e c l o s u r e o f

C r ( G ) i n W ? . T h e i n n e r p r o d u c t o n V i ? ( C ) i s d e f i n e d b y

1 1 . 5 ( U , V ) G = J t 9 u O V d A + f o u ( 3 I J d A .

T h e n o r m o n V i ? ( C ) i s d e n o t e d b y = ( u , u ) G .B y t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n , t h e i n n e r p r o d u c t d e f i n e d i n ( 1 1 . 5 ) i s e q u i v -

a l e n t t o t h e o n e i n h e r i t e d f r o m W ? . W h e n d i s c u s s i n g W ? ( C ) w e w i l l a l m o s ta l w a y s u s e t h e i n n e r p r o d u c t ( 1 1 . 5 ) .

N o w t o p r o v e a f e w f a c t s a b o u t t h e f u n c t i o n s i n W ? a n d W ? ( C ) . M o s to f t h e s e r e s u l t s a r e i n t u i t i v e l y c l e a r , b u t t h e y d o r e q u i r e p r o o f s s i n c e t h e i rt r u t h i s n o t o b v i o u s .

1 1 . 6 I f u w i t h w e a k d e r i v a t i v e 8 1 u , t h e n t h e r e i s a f u n c t i o nu ' i n W ? s u c h t h a t :

( i ) u = u a . e . f A r e a ) ;

( i i ) 0 1 u = O j u a . e . [ A r e a ] ;( i i i ) u i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s w h e n r e s t r i c t e d t o a . e . l i n e p a r a l l e l t o t h e

r e a l a x i s .

P r o o f . A s i n t h e p r o o f o f T h e o r e m 1 1 . 2 , i t c a n b e a s s u m e d t h a t u h a sc o m p a c t s u p p o r t . S i n c e E L 2 a n d h a s c o m p a c t s u p p o r t , 8 1 u E L ' . T h i si m p l i e s t h a t f o r a . e . y i n R , t h e f u n c t i o n x + i y ) i s a n i n t e g r a b l e

f u n c t i o n o n R . D e f i n e t f o n C b y2

u ( x + i y ) = f o i u ( t + i Y ) d t




w h e n t h i s i n t e g r a l e x i s t s . T h u s u i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s o n a l m o s t e v e r yl i n e p a r a l l e l t o t h e r e a l a x i s a n d 0 1 u a . e . [ A r e a j . I t r e m a i n s t o s h o wt h a t u ' = u a . e . l A r e a ] .

L e t f a n d g b e f u n c t i o n s i n w i t h f ( x ) =1

i n a n e i g h b o r h o o d o fR e ( s u p p u ) a n d g a r b i t r a r y . L e t . b ( x + i y ) = f ( x ) g ( y ) ; s o 4 ' E C r ( C ) . T h u sf 4 ' ( 8 1 u ) = — f ( 0 1 4 ' ) u = 0 s i n c e O i 4 ' = f ' ( r ) g ( y ) = 0 i n a n e i g h b o r h o o d o fR e ( s u p p u ) . T h e r e f o r e

0 =

=ô i u ( x + i y ) d x ] d y .

B u t g w a s a r b i t r a r y s o w e g e t t h a t

1 1 . 7

f o r

N o w i f 4 ' i s a n y f u n c t i o n i n C C ° ° ( C ) , t h e n u s i n g i n t e g r a t i o n b y p a r t s w i t h

= £ d y

= f ( [ 4 ( x + i v ) JL

d y .

N o w a p p l y ( 1 1 . 7 ) t o g e t

f 4 u d A = _ J $ a i u d A .

I fi s a f u n c t i o n i n s u c h t h a t = 1 i n a n e i g h b o r h o o d o f s u p p u ,t h e n

J 4 ' u d A =

=

S i n c e 4 ' w a s a r b i t r a r y , U ' = u a . e . [ A r e a ) . 0

1 g . 1 1 . T h e D i r i c h l e t P r i n c i p l e 2 6 3

1 1 . 8 L e m m a . I f u W ? a n d u z s e a t - v a l u e d , t h e n f o r e v e r y c o n s t a n t$ 0 t h e f u n c t i o n u , m i n ( u , s ) E a n d I l u . U h u l l . I n p a r t i c t d a r

u 4 = m a x ( u , 0 ) = — m i n ( — u , 0 ) , = — m i n ( u , 0 ) , a n d = +

b e l o n g t o W ? .P r o o f . L e t u * b e t h e f u n c t i o n o b t a i n e d i n L e m m a 1 1 . 6 . T h u s u = m i n ( u ,

3 ) 1 8 a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s o n t h e s a m e l i n e s a s u . A l s o 8 1 u = 8 1 u a . e .

[ A r e a ) f o r u < a a n d 0 1 u , = 0 a . e . [ A r e a l f o r u > a . O n t h e s e t w h e r e= s i t i s n o t d i f f i c u l t t o s h o w t h a t 0 1 u = 0 a . e . [ A r e a l . T h u s O i u L 2 .

B u t u = u a . e . [ A r e a l s o = u 3 a . e . [ A r e a ) . T h u s . 9 1 u 3 L 2 ; s i m i l a r l y8 2 U , E L 2 . S i n c e u , c l e a r l y b e l o n g s t o L 2 , w e h a v e t h a t u 8 E b y

T h e o r e m 1 1 . 2 .T h e p r o o f o f t h e r e m a i n d e r o f t h e l e m m a i s l e f t a s a n e x e r c i s e . 0

1 1 . 9 P r o p o s i t i o n . L e t C b e a b o u n d e d o p e n s e t . I f u E W ? ( C ) , t h e n u = 0a . e . [ A r e a ] o n C \ C . I / u E a n d u i s z e r o o f f s o m e c o m p a c t s u b s e t o f

C , t h e n u W ? ( G ) .

P r o o f . F i r s t a s s u m e t h a t u E W ? ( C ) a n d l e t b e a s e q u e n c e i ns u c h t h a t — u I I — . 0 . S o i n p a r t i c u l a r , f — — * 0 . B y p a s s i n gt o a s u b s e q u e n c e i f n e c e s s a r y , i t c a n b e a s s u m e d t h a t u a . e . ( A r e a l .S i n c e e a c h v a n i s h e s o f f G , u = 0 a . e . ( A r e a ] o f f G .

N o w a s s u m e t h a t u E W ? a n d u = 0 o f f K , a c o m p a c t s u b s e t o f C .I t s u f f i c e s t o a s s u m e t h a t u i s r e a l - v a l u e d . B y L e m m a 1 1 . 8 i t a l s o c a n b ea s s u m e d t h a t u 0 a n d u i s b o u n d e d . i f i s a m o l l i f i e r , t h e n *

( C ) f o r a l l s u f f i c i e n t l y s m a l l e . I t i s l e f t t o t h e r e a d e r t o u s e P r o p o s i t i o n

1 8 . 3 . 6 a n d t h e f a c t t h a t * u ) = 4 , * a n d * u ) = * O u t o s h o vt h a t I I & * u — u l l — , 0 . H e n c e u E W ? ( C ) . 0

T h e p r e c e d i n g r e s u l t c a n b e i m p r o v e d s i g i n i f i c a n t l y t o g i v e a c h a r a c t e r -

i z a t i o n o f t h o s e f u n c t i o n s i n W ? t h a t b e l o n g t o W ? ( C ) . U s i n g t h e n o t i o n

o f c a p a c i t y i t c a n b e s h o w n t h a t i f u E W ? , t h e n u E W ? ( C ) i f

a n d o n l y i f u i s z e r o o f f C e x c e p t f o r a s e t h a v i n g c a p a c i t y z e r o . T h i s r e s u l te x c e e d s t h e p u r p o s e o f t h i s b o o k a n d w i l l b e a v o i d e d e x c e p t f o r i t s r o l e i nj u s t i f y i n g a c e r t a i n p o i n t o f v i e w , w h i c h w e n o w e x a m i n e . T h e i n t e r e s t e d

r e a d e r c a n s e e B a g b y [ 1 9 7 2 ] o r A l e m a n , R i c h t e r , a n d R o s s [ p r e p r i n t ] f o ra n o t h e r d e s c r i p t i o n .

N o w w e r e t u r n t o t h e s t u d y o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m . T h e i d e a h e r ei s t o u s e t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n t o r e p l a c e o r w e a k e n t h e i d e a o f t w of u n c t i o n s h a v i n g t h e s a m e b o u n d a r y v a l u e s . S p e c i f i c a l l y w e w i l l s a y t h a t

t w o f u n c t i o n s u a n d v i n a g r e e o n 0 ( 3 i f u — v € 1 4 ' ? ( C ) . ( O f c o u r s e t h ef u n c t i o n s w i l l b e r e s t r i c t e d i n s o m e f u r t h e r w a y . ) S i n c e P r o p o s i t i o n 1 1 . 9




s a y s t h a t u — v i s 0 a . e . o n C \ C , t h i s i s s a f e . I n l i g h t o f t h e r e f e r r e d r e s u l tt h a t u — v m u s t v a n i s h o n t h e c o m p l e m e n t o f G e x c e p t f o r a s e t o f c a p a c i t y

0 , t h e s t a b i l i t y o f t h e g r o u n d o n w h i c h t h i s s t a t e m e n t i s b a s e d i s i n c r e a s e d .

A n o t h e r e s s e n t i a l i n g r e d i e n t i n t h i s m a t h e m a t i c a l s t e w i s t h e n e x t p r o p o -s i t i o n . A s m a l l a b u s e o f t h e l a n g u a g e w i l l b e e m p l o y e d h e r e ; f o r a f u n c t i o nu i n W ? w e w i l l s a y t h a t u i s h a r m o n i c ( o r a n a l y t i c ) o n t h e o p e n s e t G i f ui s e q u a l a . e . [ A r e a j o n C t o a f u n c t i o n t h a t i s h a r m o n i c ( o r a n a l y t i c ) o n G .

1 1 . 1 0 P r o p o s i t i o n . I f u a n d C i s a b o u n d e d o p e n s e t , t h e n u i s

h a r m o n i c o n C i f a n d o n l y i f f o r e v e n A , v i n ( C )

( u , V ) C = + O u f M J J d A = 0 .

P r o o f . F i r s t n o t i c e t h a t i n t h e a b o v e i n t e g r a l t h e f a c t t h a t t h e f u n c t i o n

v b e l o n g s t o ( C ) i m p l i e s t h a t i t i s 0 o f f C a n d s o t h e i n t e g r a l c a n b et a k e n o v e r G . C o n s i d e r u a s a d i s t r i b u t i o n o n G . F o r a n y i n C r ° ° ( G )

( u ,=

T h u s t h e c o n d i t i o n i n t h e p r o p o s i t i o n i s e q u i v a l e n t t o t h e c o n d i t i o n t h a tO O u = 0 a s a d i s t r i b u t i o n o n C . A c c o r d i n g t o W e y l ' s L e m m a ( 1 8 . 4 . 1 0 ) t h i si s e q u i v a l e n t t o t h e c o n d i t i o n t h a t u i s h a r m o n i c o n C . 0

1 1 . 1 1 C o r o l l a r y . I f C a n d a r e b o u n d e d o p e n s e t s w i t h c i C a n d

u E W ? ( a ) , t h e n u i s h a r m o n i c o n G i f a n d o n l y i / u ( C ) .

1 1 . 1 2 D i r i c h i e t P r i n c i p l e . L e t C a n d b e b o u n d e d o p e n s e t s w i t h c i

C C _ I l a n d l e t f e w ? ( I l ) .

( a ) I f u E W ? ( I l ) s u c h t h a t u i s h a r m o n i c o n C a n d u — f E W ? ( C ) , t h e n

f E P a u I 2 +

fU O V I 2 +

f o r a l l y i n W ? ( 1 . 1 ) s u c h t h a t v — f € W 1 2 ( C ) .

( b ) I f u i s t h e o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n o f f o n t o ( C ) 1 , t h e n u i s h a r m o n i c

o n G a n d u — I E W ? ( G ) .

P r o o f . L e t P d e n o t e t h e o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n o f H ' ? ( I l ) O n t o ( C ) 1 .

N o t e t h a t f o r f u n c t i o n s w i n W ? ( U ) , U w I I G = W e t h e r e f o r e d r o p

t h e s u b s c r i p t s G a n d f Z f r o m t h e n o t a t i o n f o r t h e n o r m a n d i n n e r p r o d u c tw h i l e i n t h i s p r o o f .

( a ) S i n c e u i s h a r m o n i c o n C , t h e p r e c e d i n g c o r o l l a r y i m p l i e s u 1 W ?

( C ) . T h u s P f = P ( f — u ) + P u = u . H e n c e i f v i s a s d e s c r i b e d i n ( a ) ,b u l l = l I P f l l = I ( P U v ) + I I P v l l l ( v f l , p r o v i n g ( a ) .

( b ) N o w a s s u m e t h a t u = P f € W ? B y C o r o l l a r y 1 1 . 1 1 , u i s

h a r m o n i c o n C . A l s o P ( u — f ) 0 , s o u — f E W ? ( C ) . 0

C a n t h e D i r i c h i e t P r i n c i p l e b e u s e d t o s o l v e t h e D i r i c h l e t p r o b l e m ? T h ea n s w e r i s y e s i f t h e r e g i o n C a n d t h e b o u n d a r y v a l u e s a r e s u i t a b l y r e s t r i c t e d .

I n d e e d t h i s w a s t h e c l a s s i c a l w a y i n w h i c h t h e D i r i c h i e t p r o b l e m w a s s o l v e d .L e t ' s l o o k m o r e c l o s e l y a t t h i s . F i r s t , a s w e m e n t i o n e d b e f o r e , t h e c o n d i t i o n

t h a t u - . f e W ? ( G ) s a y s t h a t u a n d I a g r e e o n 8 G . S o i f w e a r e g i v e n ac o n t i n u o u s f u n c t i o n g o n O G , w e w o u l d l i k e t o g e t a r e g i o n c o n t a i n i n g c i

C a n d a f u n c t i o n f i n ( I l ) t h a t a g r e e s w i t h g o n 0 G . T h i s i s n o t a l w a y sp o s s i b l e i f g i s o n l y a s s u m e d c o n t i n u o u s .

L e t g C ( O D ) ; w e w a n t t o g e t a r e g i o nt h a t c o n t a i n s c i D a n d af u n c t i o n / i n W ? ( c l ) w i t h f J O l I ) = g . C l e a r l y w e c a n t a k e t o b e a n o p e n

d i s k a b o u t 0 w i t h r a d i u s > 1 . T h u s < 0 0 f o r a l m o s t a l l r ,0 r < 1 + e . I t i s l e f t a s a n e x e r c i s e f o r t h e r e a d e r t o s h o w t h a t t h i s i m p l i e s( i s e q u i v a l e n t t o ? ) t h e s t a t e m e n t t h a t g ( e ' ° ) h a s a F o u r i e r s e r i e s Ew i t h < o c . C i e a r l y t h e r e a r e f u n c t i o n s i n C ( O D ) t h a t d o n o t h a v e

s u c h a F o u r i e r s e r i e s , s o w i t h o u t a r e s t r i c t i o n o n t h e b o u n d a r y f u n c t i o n st h e D i r i c h l e t P r i n c i p l e c a n n o t b e u s e d t o s o l v e t h e D i r i c h i e t

p r o b l e m . O n c et h e b o u n d a r y f u n c t i o n i s r e s t r i c t e d , h o w e v e r , t h e D i r i c h i e t P r i n c i p l e d o e sg i v e t h e c o r r e s p o n d i n g s o l u t i o n o f t h e D i r i c h l e t p r o b l e m . B e f o r e s e e i n gt h e s t a g e m u s t b e s e t .

1 1 . 1 3 L e m m a . I f C z . s a J o r d a n r e g i o n a n d 6 < = r n i n { d i a m' y i s a b o u n d a r y c u r v e o f G } , t h e n f o r e v e n j a i n O C a n d a J l Ø i n W ? ( C ) ,

J J +B ( c : t 5 ) B ( c : 5 )

P r o o f . W i t h o u t L o s s o f g e n e r a l i t y w e m a y p r o v e t h e l e m m a f o r f u n c t i o n st h a t b e l o n g t o F i x a i n O G a n d l e t ' y b e t h e c o m p o n e n t o f O G

t h a t c o n t a r n s a . i f 0 < 6 < 5 o , O B ( a ; 6 ) f l ' y 0 . F o r i n C ° ( G ) , s i n c es u p p o r t C C f o r e a c h r , 0 < r < 6 , t h e r e i s a 6 , . w i t h q 5 ( o + 0 .

H e n c e

+ r e t e )= j

+ r e ' t ) d t .

A p p l y i n g t h e C a u c h y - S c h w a r z I n e q u a l i t y a n d e x t e n d i n g t h e i n t e r v a l o f i n -t e g r a t i o n g i v e s

2

+ r & ° ) 1 2 2 7 r f + r & t ) d t .0

T h u s, 2 , r 2

j + r e ' ° ) 1 2 d 0 < j + r e i t ) d t .0 0 ' - "

O b s e r v e t h a t + = r 2 [ 1 0 4 / 8 9 1 2 + N o w f o r r < 6 ,

2

j + r e ° ) 1 2 d 6 <

j( a +r

r w i t h 0 < r < 6 a n d w e g e t

2

f B ( a ; S ) B ( a ; 6 ) r 8 6

f + 0B ( a : 6 )

T h e r e a d e r w i l l n o t e s i m i l a r i t i e s b e t w e e n t h e p r o o f o f t h e n e x t l e m m aa n d t h a t o f T h e o r e m 7 . 1 5 .

1 1 . 1 4 L e m m k . L e t G b e a b o u n d e d r e g i o n , l e t b e a s e q u e n c e o f J o r d a nr e g i o n s s u c h t h a t c i f o r a l l n a n d C = a n d l e t I b e ac o n t i n u o u s f u n c t i o n o n c i C . I f u i s t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h l e t p r o b l e m

f o r C w i t h b o u n d a r y v a l u e s f I Ô C a n d , f o r e a c h n , i s t h e s o l u t i o n o f t h eD i r i c h i e t p r o b l e m f o r C , w i t h b o u n d a r y v a l u e s t h e n u ( z )

f o r o J l z i n C .

P r o o f . F i x a 0 i n C 1 ; i t w i l l b e s h o w n t h a t u , , ( a 0 ) u ( a o ) . T h e p r o o f i so b t a i n e d b y c o n s i d e r i n g s e v e r a l s p e c i a l c l a s s e s o f f u n c t i o n s f . I n e a c h s u c hc a s e u a n d a r e a s i n t h e s t a t e m e n t o f t h e l e m m a .

F i r s t a s s u m e t h a t f = p , a p o l y n o m i a l i n z a n d t h a t i s s u b b a r m o n i c i na n e i g h b o r h o o d o l d C . F o r e a c h n 1 d e f i n e i i , , C — i C b y l e t t i n g = po n C \ ( 3 , , a n d l e t t i n g = o n S o v , , i s s u b h a r m o n i c o n C ; s i n c eC , i s a D i r i c h i e t r e g i o n , v i s a l s o c o n t i n u o u s . B y t h e M a x i m u m P r i n c i p l e ,v , , p o n C , , .

B e c a u s e c i C , a n o t h e r a p p l i c a t i o n o f t h e M a x i m u m P r i n c i p l ei m p l i e s t h a t v , , < o n C . M o r e o v e r , e a c h v , 1 b e l o n g s t o t h e P e r r o nf a m i l y P ( p , C ) a n d s o , o n C , i . , , , j 3 , t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m

o n C w i t h b o u n d a r y v a l u e s p . T h u s v ( z ) U r n , , = u , , ( z ) i sa f u n c t i o n o n C a n d v u . O n t h e o t h e r h a n d , w e h a v et h a t v , , p o n C s o t h a t i i p o n C a n d , h e n c e , v P ( p , C ) . T h u s

v s o t h a t , i n f a c t , v = u . T h i s p r o v e s t h e l e m m a w h e n e v e r f i s s u c h ap o l y n o m i a l .

N o w l e t f b e a n y p o l y n o m i a l i n z a n d a n d c h o o s e a c o n s t a n t c > 0

s u c h t h a t f + c I z I 2 i s s u b h a r m o n i c i n a n e i g h b o r h o o d o f c i G ( s e e t h e p r o o fo f T h e o r e m 7 . 1 5 ) . L e t ( r e s p e c t i v e l y , v ) b e t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e tp r o b l e m o n ( r e s p e c t i v e l y , C ) w i t h b o u n d a r y v a l u e s c I z I 2 . A c c o r d i n g

t o t h e p r e c e d z n g p a r a g r a p h u ( z ) + v ( 2 ) f o r a l l z i n C .B u t c I z I 2 i s a l s o s u b h a r m o n i c , s o a g a i n t h e p r e c e d i n g p a r a g r a p h i m p l i e s

v ( z ) f o r a l l z i n C . T h u s t h e l e m m a h o l d s f o r a l l p o l y n o m i a l s .N o w l e t f b e a r b i t r a r y a n d l e t e > 0 ; p i c k a p o l y n o m i a l p s u c h t h a t

1 / ( z ) — p ( z ) I < E f o r a l l z i n c i C . L e t ( r e s p e c t i v e l y , v ) b e t h e s o l u t i o n

o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m o n ( r e s p e c t i v e l y , C ) w i t h b o u n d a r y v a l u e s p .N o w o n p — c f p + c ; h e n c e v 0 — e v , 1 + E o nS i m i l a r l y , v — c u v + e o n C . I t f o l l o w s t h a t — — + 2 e

o n C , , , a n d s o t h e l e m m a h o L d s . 0

T h e p r e c e d i n g l e m m a w i l l b e g e n e r a l i z e d i n T h e o r e m 2 1 . 1 0 . 9 b e l o w .

1 1 . 1 5 T h e o r e m . L e t C b e a b o u n d e d r e g i o n , l e t I l b e a n o p e n s e t w i t h c i

C C f l , a n d a s s u m e t h a t f E W ? ( f l ) s u c h t h a t I i s c o n t i n u o w o n c i C . I f

u i s t h e o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n o f f o n t o W I ? ( f i ) n W ? t h e n u i s t h es o l u t i o n o f t h e D i r i c h l e t p r o b l e m o n C w i t h b o u n d a r y v a l u e s f .

P r o o f . W e a l r e a d y k n o w f r o m t h e D i r i c h i e t P r i n c i p l e t h a t u i s h a r m o n i co n C . W e f i r s t p r o v e t h i s t h e o r e m f o r t h e c a s e t h a t C i s a J o r d a n r e g i o n .T h e n L e m m a 1 1 . 1 4 c a n b e u s e d t o p r o v e i t f o r a r b i t r a r y b o u n d e d r e g i o n s .

T h e a s s u m p t i o n t h a t C i s a J o r d a n r e g i o n g u a r a n t e e s t h a t e v e r y p o i n to f O G i s a r e g u l a r p o i n t ; s o w e n e e d t o s h o w t h a t , f o r e a c h a i n 8 ( 3 , u ( z ) —f ( z ) — . O a s z — ' a w i t h z i n C . S o f l x a i n O G a n d i e t ô o b e a s i n L e m m a

1 1 . 1 3 ; l e t E > 0 b e a r b i t r a r y . S i n c e i s u n i f o r m l y c o n t i n u o u s o n c i C , t h e r ei s a > 0 s u c h t h a t 1 1 ( z ) — f ( w ) l < c f o r z , w i n c i C w i t h l z — W I < 6 ' .N o w L e t 5 b e l e s s t h a n b o t h 6 , a n d 5 o / 2 ; 6 w i l l b e f u r t h e r r e s t r i c t e d l a t e r i ns u c h a w a y t h a t i t o n l y d e p e n d s o n t h e p o i n t a . F i x z i n ( 3 w i t h l z — a I < 6 .L e t t i n g 5 2 = d i s t ( z , O C ) I z — a I , t h e M e a n V a l u e P r o p e r t y o f h a r m o n i c

f u n c t i o n s i m p l i e s

u ( z ) - f ( z )=

u d A - f ( z )B ( z : 6 2 )

= - % J [ f - f ( z ) ) d A .1 1 . 1 6 2 B ( z : 6 2 )

N o w 1 1 ( w ) — f ( z ) I f o r a l l w i n B ( z ; 5 2 ) s o t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e l a s to f t h e s e t w o s u m m a n d s i s l e s s t h a n e . A l s o t h e C a u c h y - S c h w a r z I n e q u a l i t y

g i v e s t h a t

2

J( u — f ) d A

Ju —

B ( z : 6 2 ) B ( z : 6 2 )

N o w B ( z ; t 5 2 ) B ( a ; 2 5 ) a n d 2 5 < U s i n g L e n u n a 1 1 . 1 3 , t h i s t r a n s f o r m st h e p r e c e d i n g i n e q u a l i t y i n t o

2

f B ( z : 6 2 ) B ( a : 2 6 )

<

f[ 1 8 ( u — / ) 1 2 + — f ) 1 2 ] d A .

U s i n g ( 1 1 . 1 6 ) t h i s g i v e s

I u ( z ) — 1 ( z ) ! J [ l O ( u — + — f ) 1 2 ] d A + e .B ( a ; 2 6 )

B e c a u s e 8 ( t z — f ) a n d — f ) a r e s q u a r e i n t e g r a b l e , . 5 c a n b e c h o s e ns u f f i c i e n t l y s m a l l , d e p e n d i n g o n a , t h a t l u ( z ) — < 2 e w h e n I z — a ! < . 5 .

T h i s p r o v e s t h e t h e o r e m f o r t h e c a s e t h a t C i s a J o r d a n r e g i o n . T h ed e t a i l s i n a p p l y i n g L e m m a 1 1 . 1 4 t o o b t a i n t h e a r b i t r a r y c a s e a r e L e f t t o t h e

r e a d e r . 0

E x e r c i s e s

1 . S h o w t h a t f o r a n d i n

2 . S h o w t h a t i f u E

a v e r s i o n o f L e m m a 1 1 . 8 f o r f u n c t i o n s i n W ? ( C ) .

C h a p t e r 2 0

H a r d y S p a c e s o n t h e D i s k

I n t h i s c h a p t e r t h e c l a s s i c a l t h e o r y o f t h e H a r d y s p a c e s o n t h e o p e n u n i td i s k w i l l b e e x p l o r e d . T h e s t r u c t u r e o f t h e f u n c t i o n s b e l o n g i n g t o t h e s p a c e s

w i l l b e d e t e r m i n e d , a n d t h i s w i l l b e a p p l i e d t o c h a r a c t e r i z e t h e i n v a r i a n ts u b s p a c e s o f m u l t i p l i c a t i o n b y t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e o n a H a r d y s p a c e .

§ 1 D e f I n i t i o n s a n d E l e m e n t a r y P r o p e r t i e s

H e r e w e i n t r o d u c e t h e H a r d y s p a c e s o f a n a l y t i c f u n c t i o n s o n t h e o p e nu n i t d i s k .

1 . 1 D e f i n i t i o n . I f f : D C i s a m e a s u r a b l e f u n c t i o n a n d 1 < p <d e f i n e

r , 2 , r

a l s o d e f i n es u p { I f ( r e z O ) J : 0 0 2 7 r } .

F o r a n y v a l u e o f p . 1 p l e t J j P d e n o t e t h e s p a c e o f a l l a n a l y t i cf u n c t i o n s o n D f o r w h i c h

1 ) <0 0 .

1 f f : — . C a n d 0 < r < 1 , d e n o t e b y t h e f u n c t i o n d e f i n e d o n 0 E 1 b yf r ( z ) = f ( r z ) ( a s i n § 1 9 . 1 ) . T h u s f o r a n y s u c h r , f ) i s t h e U n o r mo f J r . F r o m t h i s o b s e r v a t i o n i t f o l l o w s t h a t I I i s a n o r m o n I n f a c t ,w e w i l l s e e t h a t i s a B a n a c h s p a c e ( 1 . 5 ) .

A l s o f r o m s t a n d a r d U s p a c e t h e o r y , H ' ç H ' i f 1 r p .I n p a r t i c u l a r H ° ° i s t h e s p a c e o f b o u n d e d a n a l y t i c f u n c t i o n s o n D a n d

ç f o r a l l p .

T h e s a m e d e f i n i t i o n a p p l i e s f o r 0 < p < 1 , t h o u g h t h e 4 ' n o r m " f o r t h i sr a n g e o f v a l u e s o f p m u s t b e r e d e f i n e d ( w i t h o u t t a k i n g t h e p - t h r o o t ) . T h i sw i l l n o t b e p u r s u e d h e r e . T h e i n t e r e s t e d r e a d e r c a n c o n s u l t D u r e n t 1 9 7 0 1 ,H o f f m a n [ 1 9 6 2 1 , o r K o o s i s L 1 9 8 0 1 f o r t h i s t o p i c .

1 . 2 P r o p o s i t i o n . I f f : D — + C i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n a n d 1 p S 0 0 ,t h e n = l i m r _ . i _ f ) .P r o o f . A s s u m e t h a t p i s f i n i t e . F r o m E x a m p l e 1 9 . 4 . 1 6 w e k n o w t h a t z —

2 7 0 2 0 . H a r d y S p a c e s

1 / ( z ) i s a c o n t i n u o u s s u b h a r m o n i c f u n c t i o n a n d s o ( 1 9 . 4 . 9 ) f ) i s a ni n c r e a s i n g f u n c t i o n o f r . T h e r e f o r e t h e s u p r e m u m m u s t e q u a l t h e l i m i t .

B y t h e M a x i m u m M o d u l u s T h e o r e m f ) i s a l s o a n i n c r e a s i n g f u n c -

t i o n o f r . T h u s t h e p r o p o s i t i o n a l s o h o l d s f o r p =0 0 . 0

N o t e t h a t i f f H ' , t h e n , b y T h e o r e m 1 9 . 2 . 1 2 , t h e r e i s a m e a s u r e p o n

g i n L P ( O D ) . M o r e o v e r i n t h e c a s e t h a t p > 1 , f . — . g a . e . [ m J a s r — . 1 .

I n p a r t i c u l a r , e a c h f u n c t i o n i n I p 0 0 , h a s n o n - t a n g e n t i a l l i m i t sa t a l m o s t e v e r y p o i n t o f 8 1 ) .

T h e r e a r e t w o q u e s t i o n s t h a t o c c u r h e r e . F i r s t , w h e n p . > 1 , w h i c h f u n c -

t i o n s g i n c a n a r i s e i n t h i s w a y ? N o t e t h a t w h e n w e a n s w e r t h i s q u e s t i o nw e w i l l h a v e i d e n t i f i e d w i t h a c e r t a i n s u b s p a c e o f a n d t h u s h a v e t h ep o s s i b i l i t y o f c o m b i n i n g m e a s u r e t h e o r y w i t h t h e t h e o r y o f a n a l y t i c f u n c -t i o n s .

T h e s e c o n d q u e s t i o n c o n c e r n s t h e c a s e w h e n p = 1 . H e r e t h e t h e o r yb e c o m e s m o r e s u b t l e a n d d i f f i c u l t . I f I E H ' , t h e n T h e o r e m 1 9 . 2 . 1 2 s a y st h a t t h e r a d i a l l i m i t f u n c t i o n g f o r / e x i s t s a n d g = t h e R a d o n - N i k o d y md e r i v a t i v e o f p w i t h r e s p e c t t o m , w h e r e I = f z . I t w i l l t u r n o u t t h a t p i s

a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s w i t h r e s p e c t t o L e b e s g u e m e a s u r e s o t h a t , i n d e e d ,f = T h i s i s t h e F a n d M R i e s z T h e o r e m p r o v e d i n § 3 b e l o w . F o r n o ww e c o n t e n t o u r s e l v e s w i t h c o m p l e t e i n f o r m a t i o n w h e n p > 1 a n d p a r t i a li n f o r m a t i o n w h e n p = 1 . R e c a l l ( 1 8 . 7 . 1 ) t h a t f o r a n y f u n c t i o n f ( r e s p e c -t i v e l y , m e a s u r e p ) , I ( r e s p e c t i v e l y , d e n o t e s t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f I( r e s p e c t i v e l y , j z ) .

1 . 3 T h e o r e m . I f I p o o a n d f L " s u c h t h a t 1 ( n ) = 0 f o r n < 0 ,t h e n f , t h e P o i s s o n i n t e g r a l o f f , b e l o n g s t o M o r e o v e r :

( a ) 1 1 1 1 1 , , = I l / l i p ;

( b )

P r o o f I f z = r e z O 1 ) a n d 1 v 4 1 , t h e n =H e n c e

1 ( z ) = J f ( w ) d m ( w )

= f f ( w ) E d m ( w )

=

fd m ( w ) ,

2 0 . 1 E l e m e n t a r y P r o p e r t i e s 2 7 1

s i n c e t h e s e r i e s c o n v e r g e s u n i f o r m l y i n w . T h e r e f o r e

J ( z )

s i n c e , b y h y p o t h e s i s , 1 ( n ) = 0 w h e n n < 0 . T h u s f h a s a p o w e r s e r i e se x p a n s i o n i n D a n d s o f i s a n a l y t i c o n I I ) .

A l s o f o r 1 p < 0 0 , — — . 0 a s r 1 — ( 1 9 . 1 . 4 ) . I f p = o o , t h e n

H e n c e , i n e i t h e r c a s e , s u p r M p ( r , f ) = S U P r I c f r I I p < 0 0

a n d s o f E T h e r e m a i n i n g d e t a i l s a r e e a s i l y d e d u c e d f r o m T h e o r e m1 9 . 1 . 4 . 0

W h a t a b o u t t h e c o n v e r s e o f t h e p r e c e d i n g t h e o r e m ? H e r e i s w h e r e w em u s t a s s u m e t h a t p > 1 a n d p o s t p o n e c o n s i d e r a t i o n o f t h e c a s e w h e r e

p = 1 u n t i l l a t e r . S u p p o s e t h a t f E 1 p 0 0 , a n d l e t g b e t h e n o n -t a n g e n t i a l l i m i t f u n c t i o n o f f . T h a t i s , g ( w ) = U r n f ( r w ) = l i m f r ( W ) a . e .

[ m l o n 8 D . B y T h e o r e m 1 9 . 2 . 1 2 , 9 e I ? . N o w i f 1 < p < 0 0 , 0 .

T h u s

= J g ( w ) d m ( w )

= f f r ( W ) d m ( w )

= l i m f r ( n ) .

B u t f ( z ) = f o r < I , w i t h c o n v e r g e n c e u n i f o r m o n p r o p e r

s u b d i s k s o f D . I t f o l l o w s ( h o w ? ) t h a t = a , , r " i f n 0 a n d = 0i f n < 0 . T h e r e f o r e = a , , i f n 0 a n d 0 i f n < 0 . B y T h e o r e m

1 . 3 , E B u t a l s o ( s e e t h e p r o o f o f T h e o r e m 1 . 3 ) f o r < 1 ,

= =

H e n c e = f a n d t h e d e s i r e d c o n v e r s e i s o b t a i n e d .

I f p = o o , t h e n i t i s n o t n e c e s s a r i l y t r u e t h a t f . g i n L ° ° n o r m , b u ti t i s t r u e t h a t f , . 1 — . L ' f o r e v e r y n , t h ea r g u m e n t o f t h e p r e c e d i n g p a r a g r a p h s h o w s t h a t = 0 f o r n < 0 a n d

= f . T h i s d i s c u s s i o n c a n b e s u m m a r i z e d a s f o l l o w s .

1 . 4 T h e o r e m . I f 1 < p o o a n d f E t h e n g ( w ) = l i m r _ . i _ f f r w )d e f i n e s a f u n c t i o n g i n 1 7 w i t h 0 f o r n < 0 a n d = f .

T h e s e l a s t t w o t h e o r e m s e s t a b l i s h a c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n f u n c t i o n si n ( d e f i n e d o n 1 ) ) a n d t h e f u n c t i o n s i n

W ' = _ { f E L ' : f ( n ) = O f o r n < O } ,

2 7 2 2 0 . H a r d y S p a c e s

b u t o n l y w h e n p > 1 . N o w i t i s e a s y t o s e e t h a t 7 - 9 i s a c l o s e d s u b s p a c e o fa n d w e a r e l e d t o t h e f o l l o w i n g .

1 . 5 T h e o r e m . I f 1 < p o o , t h e n t h e m a p t h a t t a k e s f i n t o i t sb o u n d a r y v a l u e s e s t a b l i s h e s a n i s o m e t r y o f f f P o n t o t h e c l o s e d s u b s p a c e 1 9o f I ) ' . T h u s i s a B a n a c h s p a c e . F o r p = 2 , i s a H u b e r t s p a c e w i t h{ 1 , z , z 2 , .

. . } a s a n o r t h o n o r i n a l b a s i s . F o r p = i s t h e d u a l o f aB a n a c h s p a c e s i n c e i s a w e a k c l o s e d s u b s p a c e o f

B e c a u s e o f t h i s r e s u l t w e c a n i d e n t i f y t h e f u n c t i o n s i n H i ' , 1 < pw i t h t h e i r r a d i a l o r n o n - t a n g e n t i a l l i m i t s . H e n c e f o r w a r d t h i s i d e n t i f i c a t i o nw i l l h e m a d e w i t h o u t f a n f a r e . I n § 3 w e w i l l p r o v e t h i s a s . s e r t i o n f o r p = 1 ;

b u t f i r s t , i n t h e n e x t s e c t i o n , w e w i l l i n v e s t i g a t e a n o t h e r c l a s s o f a n a l y t i cf u n c t i o n s o n D . T h i s i n f o r m a t i o n w i l l b e u s e d t o d e r i v e t h e c o r r e s p o n d e n c eb e t w e e n H ' a n d

E x e r c i s e s

1 . S u p p l y t h e d e t a i l s i n t h e p r o o f o f C o r o l l a r y 1 . 5 .

2 . L e t A { f E C ( O D ) : f ( n ) = 0 f o r n < 0 } . 1 f f E A . s h o w t h a t i t s

P o i s s o n i n t e g r a l , 1 . i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n I t ) . A l s o i f g : c I I D — Ci s d e f i n e d b y g ( z ) = f ( z ) f o r I z l < I a n d g ( z ) = f ( z ) f o r l z F = 1 . t h e n

g i s C o n t i n u o u s . C o n v e r s e l y , i f g i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o n c i I D t h a t

i s a n a l y t i c o n I D a n d f = g j O D , t h e n g ( : ) = f ( . ) f o r < 1 . ( S e e § 4 . )

3 . G i v e a d i r e c t p r o o f t h a t H ' i s a B a n a c h s p a c e .

4 . S h o w t h a t ( 1 — H ' .5 . I f 1 < p < o c a n d I a J < 1 , d e f i n e L a : — . C b y L a ( f ) = 1 ( a ) f o r

a l l f i n f f P , S h o w t h a t L a E ( H r ) a n d = ( 1 — F o r

p 2 , f i n d t h e u n i q u e f u n c t i o n k a i n H 2 s u c h t h a t =f i n H 2 .

6 . P r o v e L i t t l e w o o d ' s S u b o r d i n a t i o n T h e o r e m : I f f a n d g a r e a n a l y t i c

f u n c t i o n s o n I D , f i s s u b o r d i n a t e t o g ( 1 7 . 1 . 1 ) , a n d g E t h e nf E a n d

§ 2 T h e N e v a n l i n n a C l a s s

I n t h i s s e c t i o n w e w i l l s t u d y a n o t h e r c o l l e c t i o n o f a n a l y t i c f u n c t i o n s w h i c h

i s n o t a B a n a c h s p a c e b u t i n c l u d e s a l l t h e H a r d y s p a c e s f f P ,

2 0 . 2 . T h e N e v a n l i n n a C l a s s 2 7 3

2 . 1 D e f i n i t i o n . A f u n c t i o n f i s i n t h e N e v a n l i n n a c l a s s ( o r o f b o u n d e dc h a r a c t e m s t i c ) i f f i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n I I ) a n d

1

2 i r j 0

T h e N e v a n l i n n a c l a s s i s d e n o t e d b y N .

N o t e t h a t s i n c e i s a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n ( E x a m p l e 1 9 . 4 . 7 )

a n d i s a l s o c o n t i n u o u s , d O i s a n i n c r e a s i n g f u n c t i o n o fr ( 1 9 . 4 . 9 ) . T h u s t h e d e f i n i t i o n o f a f u n c t i o n i n t h e N e v a n l i n n a c l a s s c a nb e w e a k e n e d b y o n l y s t i p u l a t i n g t h e f i n i t e n e s s o f t h e s u p r e m u m o v e r as e q u e n c e w i t h — . 1 . A l s o

1

s u p I d O = l i m — / f ( r e t O ) I d O .r < 1 2 7 T J 0

S i n c e l o g x 9 f o r x 1 , w e h a v e t h e f o l l o w i n g .

2 . 2 P r o p o s i t i o n . f f 1 < p o o . t h e n ç N .

T h u s e v e r y r e s u l t f o r t h e N e v a n l i n n a c l a s s i s a r e s u l t a b o u t f u n c t i o n sb e l o n g i n g t o a l l t h e H a r d y c l a s s e s . O u r i m m e d i a t e g o a l i s t o g i v e a c h a r a c -t e r i z a t i o n o f f u n c t i o n s i n N ( T h e o r e m 2 . 1 0 b e l o w ) a n d t o s t u d y t h e z e r o s o ft h e s e f u n c t i o n s . I n t h e n e x t s e c t i o n w e w i l l o b t a i n a f a c t o r i z a t i o n t h e o r e mf o r t h i s c l a s s . W e b e g i n w i t h a n e l e m e n t a r y b u t i m p o r t a n t r e s u l t .

2 . 3 L e m m a . I f i s a s e q u e n c e i n D , t h e f o l l o u n n g s t a t e m e n t s a r ee q u w a l e n t .

( a ) — < o o .

( h ) c o n v e r g e s .

( c )

( d ) c o n v e r g e s u n i f o r m l y a n d a b s o l u t e l y o n c o m p a c ts u b s e t s o f I ) .

P r o o f . T h e p r o o f t h a t ( a ) , ( b ) , a n d ( c ) a r e e q u i v a l e n t c a n b e f o u n d i nT h e f a c t t h a t ( a ) i m p l i e s ( d ) i s E x e r c i s e 7 . 5 . 4 . B y e v a l u a t i n g t h e i n f i n i t ep r o d u c t i n ( d ) a t z = 0 , ( b ) c a n b e d e d u c e d f r o m ( d ) . 0

2 . 4 D e f i n i t i o n . A s e q u e n c e } s a t i s f y i n g o n e o f t h e e q u i v a l e n t c o n d i t i o n si n t h e p r e c e d i n g l e m m a i s c a l l e d a B l a s c h k e s e q u e n c e . I f i s a B l a s c h k es e q u e n c e a n d m i s a n i n t e g e r . m 0 , t h e n t h e f u n c t i o n

2 . 5

2 7 4 2 0 . H a r d y S p a c e s

i s c a l l e d a B l o . s c h k e p r o d u c t .

T h e f a c t o r z m i n t h e d e f i n i t i o n o f a B l a s c h k e p r o d u c t i s t h e r e t o a l l o w b

t o h a v e a z e r o a t t h e o r i g i n .2 . 6 P r o p o s i t i o n . I f b i s t h e B l a s c h k e p r o d u c t d e f i n e d b y ( 2 . 5 ) , t h e n b EH ° ° a n d I b ( w ) l = 1 a . e . o n 3 D . T h e z e r o s o f b a r e p r e c i s e l y t h e p o i n t sa 1 , ( 2 2 , . . . a n d , p r o v i d e d m > 0 , o r i g i n .

P r o o f . L e t d e n o t e t h e p r o d u c t o f z m w i t h t h e f i r s t n f a c t o r s i n ( 2 . 5 ) .I t i s e a s y t o s e e t h a t 1 o n c i D a n d = 1 f o r w i n 3 D . B y

( 2 . 3 ) I b ( z ) I

1 o n D a n d s o b E A l s o f o r n > k ,

f — b k ) 2 d m = 2 [ 1 _ R e f

=

B e c a u s e n > k , b a / b k i s a n a l y t i c o n D . T h u s t h e m e a n v a l u e p r o p e r t yi m p l i e s t h a t

f d m = = f i= k + 1

H e n c e

f b f l — b k l 2 d m = 2 ( 1 - - f J

B u t L e m m a 2 . 3 i m p l i e s t h a t t h e r i g h t h a n d s i d e o f t h i s l a s t e q u a t i o n c a nb e m a d e a r b i t r a r i l y s m a l l f o r s u f f i c i e n t l y l a r g e n a n d k . T h e r e f o r e } i sa C a u c h y s e q u e n c e i n H 2 a n d m u s t c o n v e r g e t o s o m e f u n c t i o n f . I f z < 1a n d i s t h e P o i s s o n k e r n e l , t h e n E L 2 a n d s o = f d m

f d m . H e n c e i t m u s t b e t h a t f = b . T h a t i s , b i n H 2 .B e c a u s e w e h a v e c o n v e r g e n c e i n t h e L 2 n o r m , t h e r e i s a s u b s e q u e n c e

{ b f l k } s u c h t h a t b f l k ( w ) — ' b ( w ) a . e . [ m J . S i n c e l b n h l = I a . e . o n 3 D , i tf o l l o w s t h a t I b I = 1 a . e . o n 3 D . F i n a l l y , t h e s t a t e m e n t a b o u t t h e z e r o s o f

t h e B l a s c h k e p r o d u c t f o l l o w s f r o m ( 7 . 5 . 9 ) . 0

W e o b t a i n e d a u s e f u l f a c t i n t h e c o u r s e o f t h e p r e c e d i n g p r o o f t h a t i sw o r t h r e c o r d i n g .

2 . 7 C o r o l l a r y . I f } i s a B l a s c h k e s e q u e n c e , b i s t h e c o r r e s p o n d i n gB l a s c h k e p r o d u c t , a n d i s t h e f i n i t e B l a s c h k e p r o d u c t w i t h z e r o s a 1 , . . . ,

t h e n t h e r e i s a s e q u e n c e o f i n t e g e r s { n k } s u c h t h a t b a . e . o n 3 D .

T h e n e x t r e s u l t i s t h e r e a s o n f o r o u r c o n c e r n w i t h B l a s c h k e s e q u e n c e s .

2 . 8 T h e o r e m . I f f i s i n t h e N e v a n l i n n a c l a s s a n d f i s n o t i d e n t i c a l l y 0 ,t h e n t h e z e r o s o f f f o r m a B l a s c h k e s e q u e n c e . M o r e o v e r , i f b i s t h e B l a s c h k e

p r o d u c t w i t h t h e s a m e z e r o s a s f , t h e n f / b E N . I f f H ' , t h e n f / b E H ' .

P r o o f . i t t o a s s u m e t h a t 1 ( 0 ) 0 . B y J e n s e n ' s F o r m u l a ( 1 1 . 1 . 2 )

2 . 91

l o g I f ( r e 1 0 ) J d O = l o g 1 1 ( 0 ) 1 + l o g ( f L J ) ,

w h e r e a 1 , a 2 , . . . a r e t h e z e r o s o f f , r e p e a t e d a s o f t e n a s t h e i r m u l t i p l i c i t y ,a n d r i s c h o s e n s o t h a t l a k j r f o r a n y k . B u t l o g x x a n d s o , s i n c ef E N , t h e r e i s a f i n i t e c o n s t a n t M > ( I s u c h t h a t l o g l f ( r e ' ° ) J d O

M f o r a l l r < 1 . T h i s i m p l i e s , w i t h a s m a l l a r g u m e n t , t h a t l o g <

c o . B y L e m m a 2 . 3 , { a k } i s a B l a s c h k e s e q u e n c e .N o w t o s h o w t h a t f / b E N , w h e n b i s t h e B l a s c h k e p r o d u c t w i t h t h e

s a m e z e r o s a s f . I t i s l e f t a s a n e x e r c i s e t o s h o w t h a t i f I h a s a z e r o a tz = 0 o f o r d e r m , t h e n f / z m E N . T h u s w e m a y a s s u m e t h a t f ( 0 ) 0a n d h e n c e b ( 0 ) 0 . i f g f / b , t h e n g i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n D a n dn e v e r v a n i s h e s , i f z E D w i t h I g ( z ) ( 1 , t h e n t f ( z ) l S I b ( z ) 1 1 a n d s o

g ( z ) I = 0 < — l o g I b ( z ) l = l f ( z ) l — l o g I b ( z ) I . I f y ( z ) J > 1 , t h e nj g ( z ) J = l o g ! g ( z ) I = l o g I f ( z ) I — l o g I b ( z ) f l f ( z ) I — l o g I b ( z ) l .T h u s w e h a v e t h a t , f o r a l l z i n D ,

l o g 4 ' l g ( z ) I l o g 4 ' I f ( z ) I — l o g j b ( z ) I .

B u t l o g j b I i s a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n a n d s o f o r 0 < r < 1 ,

l o g 4 '

fI f ( r e 1 9 ) k J . O — 1

f 2 l r

l o g J b ( r e 1 6 ) I d O

f l o g " — l o g I b ( 0 ) I .2 i r 0S i n c e b ( 0 ) 0 , t h i s i m p l i e s t h a t g N .

N o w t o s h o w t h a t f / b E f f P w h e n f E L e t a 1 , a 2 , . . . b e t h e z e r o s o f f ,r e p e a t e d a s o f t e n a s t h e i r m u l t i p l i c i t i e s , a n d l e t b e t h e B l a s c h l c e p r o d u c t

w i t h z e r o s a b . . . , a , , . P u t = f / b , , a n d l e t M f l f ( r w ) I " d m ( w ) f o r a l lr < 1 . l f e > 0 , t h e r e i s a n r 0 s u c h t h a t f o r r 0 l z J 1 , I b n ( z ) I > 1 — e .T h e r e f o r e

J I g , , ( r w ) r d m ( w ) ( 1 e ) P J J f ( r w ) rM

— ( 1 — e ) P

f o r r 0 < r < 1 . L e t t i n g r — . 1 , w e g e t t h a t g i r , b e l o n g s t o S i n c e e w a sa r b i t r a r y , w e c a n l e t E — ' 0 t o s e e t h a t M f o r a l l n . B y C o r o l l a r y2 . 7 t h e r e i s a s u b s e q u e n c e s u c h t h a t — , g f / b a . e . o n O D .

2 7 6 2 0 . H a r d y S p a c e s

T h e r e f o r e g w e a k l y i n S i n c e e a c h b e l o n g s t o f f P ( w h y ? ) ,0

H e r e i s t h e p r o m i s e d c h a r a c t e r i z a t i o n o f f u n c t i o n s i n t h e N e v a n l i n n ac l a s s .

2 . 1 0 T h e o r e m . ( F a n d R N e v a u l i n n a ) I f I i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o nt h e n f b e l o n g s t o t h e N e v a n l i n n a c l a s s i f a n d o n l y i f f = g ' f o r t w ob o u n d e d a n a l y t i c f u n c t i o n s g ' a n d

P r o o f . F i r s t a s s u m e t h a t I i s t h e q u o t i e n t o f t h e t w o b o u n d e d a n a l y t i cf u n c t i o n s g j a n d I t c a n b e f u r t h e r a s s u m e d t h a t < 1 f o r z i n D ,

i = 1 , 2 . S i n c e f m u s t b e a n a l y t i c , i t a l s o c a n b e a s s u m e d t h a t 9 2 h a s n oz e r o s i n 1 1 ) . I t f o l l o w s t h a t l o g 0 a n d s o l o g I / I = l o g l g i l — l o g 1 9 2 1— l o g h e n c e I l l — l o g 1 9 2 1 o n 0 . T h i s i m p l i e s t h a t

I f ( r & ° ) I d O j l o g= — l o g I g 2 ( 0 ) I

s i n c e i s h a r m o n i c . T h u s f E N .N o w a s s u m e t h a t f N . B y T h e o r e m 2 . 8 w e m a y a s s u m e t h a t / d o e s

n o t v a n i s h o n I ) . H e n c e u = l o g I / l i s a h a r m o n i c f u n c t i o n . T h u s

u ( 0 ) = f l o g l f r l d m

= J l o g + I f r f d m — l o g I f r l d m .

( H e r e l o g x = — m i n { l o g z , O } . ) S i n c e f E N a n d t h e l e f t h a n d s i d e o f t h i se q u a t i o n i s i n d e p e n d e n t o f r , i t f o l l o w s t h a t f l o g f r 1 d m < o o .

T h e r e f o r e

s u p = d mr < 1 r < 1

= s u p d m + J l o gr ( 1 1

< 0 0 .

B y T h e o r e m 1 9 . 1 . 7 , t h e r e i s a m e a s u r e p o n 8 0 s u c h t h a t u ( z ) =f S i n c e u i s r e a l - v a l u e d , p i s a r e a l - v a l u e d m e a s u r e . L e t p = p ÷ —

b e t h e H a h n d e c o m p o s i t i o n o f p a n d p u t = s o a n d u _ a r en o n - n e g a t i v e h a r m o n i c f u n c t i o n s o n 0 .

N o w 0 i s s i m p l y c o n n e c t e d a n d I i s a n o n - v a n i s h i n g a n a l y t i c f u n c t i o n ,s o t h e r e i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n h o n D s u c h t h a t I = e " ; s t i p u l a t e t h a th ( 0 ) = l o g 1 1 ( 0 ) 1 s o t h a t h i s u n i q u e . T h u s u = R e h a n d i t f o l l o w s ( b y

u n i q u e n e s s ) t h a t

h ( z )= f U ' ÷

A l s o l e t

h = h ÷ — h _ a n d R e h * = u ± 0 . P u t g ' = a n ds o 9 ' a n d 9 2 a r e a n a l y t i c f u n c t i o n s o n I I ) w i t h n o z e r o s . A l s o =

= I . T h a t i s , g j a n d b e l o n g t o H ° ° .F i n a l l y , = e x p ( — h _ ) / e x p ( — h ÷ ) e x p ( h ÷ — h _ ) = f . 0

2 . 1 1 T h e o r e m . I f I E N a n d / 2 3 n o t c o n s t a n t l y 0 , t h e n f h a s a n o n -t a n g e n t i a l l i m i t a . e . o n 0 1 ) a n d l o g j f ( e * O ) J E L , .

P r o o f . W e b e g i n b y p r o v i n g t h e c o r o l l a r y i f f E H ° ° . S o a s s u m e t h a t< 1 ; w e m a y a l s o a s s u m e t h a t 1 ( 0 ) 0 . B y F a t o u ' s T h e o r e m , I

h a s n o n - t a n g e n t i a l l i m i t s a . e . o n 0 1 ) ; t h u s f r ( W ) f ( w ) a . e . 0 2 1 0 1 ) . B yF a t o u ' s L e m m a ( f r o m r e a l v a r i a b l e s )

f I l o g I f ( w ) J J d m ( w ) J i m

=

B u t l o g J f i s s u b h a r m o n i c , s o l o g j f ( 0 ) j f l o g t f r j d m . H e n c e

d m ( w ) — l o g 1 1 ( 0 ) ) < ° °

T h u s l o g J f j L 1 .N o w l e t f N . B y t h e p r e c e d i n g t h e o r e m , f = f o r t w o b o u n d e d

a n a l y t i c f u n c t i o n s g , a n d 9 2 . S i n c e l o g e L 1 , n e i t h e r 9 ' n o r 9 2 c a n v a n i s ho n a s u b s e t o f 8 1 ) w i t h p o s i t i v e m e a s u r e . T h u s t h e f a c t t h a t b o t h a n d 9 2h a v e n o n - z e r o n o n - t a n g e n t i a l l i m i t s a . e . o n O i l ) i m p l i e s t h a t t h e s a m e i s t r u eo f f . A l s o , b e c a u s e E L , , i t f o l l o w s t h a t l o g 1 f ) = E

L , . 0

T h e c o n d i t i o n t h a t l o g i s i n t e g r a b l e i s t o s a y t h a t f i s l o g i n t e -g r a b l e .

2 . 1 2 C o r o l l a r y . 1 f f E N a n d f ( w ) = 0 o n a s u b s e t o f 0 1 ) h a t i n g p o s i t i v em e a s u r e , t h e n f i s i d e n t i c a l l y 0 .

2 . 1 3 C o r o l l a r y . 1 f f E a n d 1 ( w ) = 0 o n a s u b s e t o f O D h a v i n g p o s i t i v em e a s u r e , t h e n f i s i d e n t i c a l l y 0 .



2 7 8 2 0 . H a r d y S p a c e s

E x e r c i s e

1 . S u p p o s e f i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n { z : R 2 z > 0 } a n d f ( n ) 0 f o r

a l l n 1 . S h o w t h a t i f f i s b o u n d e d , t h e n / = 0 .

§ 3 F a c t o r i z a t i o n o f F u n c t i o n s i n t h e N e v a n l i n n a C l a s s

I n t h i s s e c t i o n w e w i l l g i v e a c a n o n i c a l f ' a c t o r i z a t i o n o f f u n c t i o n s i n t h ec l a s s N . T h i s w i l l a l s o f a c t o r f u n c t i o n s i n t h e H a r d y s p a c e s H " . A c t u a l l yt h e s t r a t e g y i s t o f a c t o r b o u n d e d a n a l y t i c f u n c t i o n s a n d t h e n u s e T h e o r e m2 . 1 0 t o f a c t o r f u n c t i o n s i n N .

3 . 1 D e f i n i t i o n . A n i n n e r / u n c t i o n i s a b o u n d e d a n a l y t i c f u n c t i o n o n Ds u c h t h a t 1 a . e . [ m l .

I t f o l l o w s t h a t e v e r y B l a s c h k e p r o d u c t i s a n i n n e r f u n c t i o n , b u t t h e r e a r es o m e a d d i t i o n a l o n e s .

3 . 2 P r o p o s i t i o n . i / p i s a p o s i t i t r e s i n g u l a r m e a s u r e o n O D a n d

3 . 3 = e x p( — f ÷ Z

i s a n i n n e r f u n c t i o n .

P r o o f . I t i s e a s y t o s e e t h a t i s w e l l d e f i n e d a n d a n a l y t i c o n I I ) . L e t

u ( z ) =— j i ( z )

== — R E f d p ( w ) ; s o e 0 ( z ) .

S i n c e p i s a p o s i t i v e m e a s u r e , u ( z ) 0 f o r a l l z i n 1 ) . A l s o t h e f a c t t h a tp i s a s i n g u l a r m e a s u r e i m p l i e s , b y F a t o u ' s T h e o r e m , t h a t u ( r w ) 0 a sr — p 1 — a . e . [ m l . H e n c e i f I w I = 1 a n d b o t h a n d u h a v e a n o n - t a n g e n t i a ll i m i t a t u i , t h e n = l I f l l r _ l _ l # ( r w ) I = l i m r . . , i _ = 1 a . e . [ m J .T h e r e f o r e i s i n n e r . 0

A n i n n e r f u n c t i o n a s d e f i n e d i n ( 3 . 3 ) i s c a l l e d a s i n g u l a r i n n e r f u n c t i o n .

I t w i l l t u r n o u t t h a t s i n g u l a r f u n c t i o n s a r e t h e i n n e r f u n c t i o n s w i t h n o z e r o si n D . A t t h i s p o i n t t h e r e a d e r m i g h t b e a d v i s e d t o w o r k E x e r c i s e 1 2 t os e e t h a t t h e c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n s i n g u l a r i n n e r f u n c t i o n s a n d p o s i t i v es i n g u l a r m e a s u r e s p a s d e s c r i b e d b y ( 3 . 3 ) i s b i j e c t i v e .

W e c o m e n o w t o a n o t h e r c l a s s o f a n a l y t i c f u n c t i o n s t h a t a r e , i n a c e r t a i ns e n s e , c o m p l e m e n t a r y t o t h e i n n e r f u n c t i o n s . T h e i d e a h e r e i s t o u s e f o r m u l a( 3 . 3 ) b u t w i t h a n a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s m e a s u r e . I t i s a l s o n o t r e q u i r e d t h a tt h e m e a s u r e b e p o s i t i v e .

3 . 4 D e f i n i t i o n . A n a n a l y t i c f u n c t i o n f : D — . C i s a n o u t e r f u n c t i o n i ft h e r e i s a r e a l - v a l u e d f u n c t i o n h o n D t h a t i s i n t e g r a b l e w i t h r e s p e c t t o



2 0 . 3 F a c t o r i z a t i o n 2 7 9

L e b e s g u e m e a s u r e a n d s u c h t h a t

3 . 5 1 ( z ) = e x p ( JW + Z

h ( w ) d m ( w ) )

f o r a l l z i n D .

I t i s c l e a r t h a t ( 3 . 5 ) d e f i n e s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n D t h a t h a s n o z e r o s .A l s o t h e f a c t t h a t h i s r e a l - v a l u e d i m p l i e s t h a t t h e h a r m o n i c f u n c t i o n l o g J f Ji s p r e c i s e l y t h e P o i s s o n t r a n s f o r m o f h .

3 . 6 P r o p o s i t i o n . 1 f f i s t h e o u t e r / u n c t i o n d e f i n e d b y ( 3 . 5 ) , t h e n I i s i nt h e N e v a n i i n n a c l a s s a n d h = l o g a . e . E m I o n O D . M o r e o v e r , I Ea n d o n l y i f e h E L " .

P r o o f . A s w e a l r e a d y o b s e r v e d , l o g = o n D . T h u s

i f 2 WI f ( r e ' ° ) I d 9

1f 2 W

O } d O

I h r I I i .

B u t T h e o r e m 1 9 . 1 . 7 i m p l i e s t h a t t h i s l a s t t e r m i s u n i f o r m l y b o u n d e d i n r .T h e r e f o r e f E N . A l s o F a t o u ' s T h e o r e m i m p l i e s t h a t f h a s n o n - t a n g e n t i a l

l i m i t s a . e . o n O D a n d s o , w h e n t h e l i m i t e x i s t s , h ( w ) = l i m r _ . i _ h ( r w ) =l o g T h i s p r o v e s t h e f i r s t p a r t o f t h e p r o p o s i t i o n .

S i n c e = = e r " ,

f d m ( w ) = J= J e x p d m ( v 4 .

S i n c e t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n i s c o n v e x a n d d m ( z ) i s a p r o b a b i l i t ym e a s u r e , P r o p o s i t i o n 1 9 . 4 . 1 3 i m p l i e s t h a t

f f ( r w ) d m ( w ) J f e x p ( p h ( z ) ) P r w ( z ) d m ( z )

= f e x P ( p h ( z ) ) d r n ( z )

=J e x p ( p h ( z ) ) d m ( z )

=

s i n c e f P r w ( z ) d m ( t v ) = 5 = 1 . S o i f t h e n I E I P .C o n v e r s e l y , i f f E t h e n f ( e ' ° ) E L " a n d , s i n c e I l l , E L " . 0



2 8 0 2 0 . H a r d y S p a c e s

W e a r e n o w i n a p o s i t i o n t o p r o v e o n e o f t h e m a i n r e s u l t s o f t h i s s e c t i o n .

3 . 7 F a c t o r i z a t i o n T h e o r e m . 1 f f E H ° ° , t h e n

f ( z ) = c b ( z ) 0 ( z ) F ( z ) ,

w h e r e c i s a c o n s t a n t w i t h i d = 1 , b i s a B k s c h k e p r o d u c t , 4 ) i s a s i n g u l a ri n n e r f u n c t i o n , a n d F i s a n o u t e r f u n c t i o n i n H 0 0 . C o n v e r s e l y , a n y f u n c t i o n

h a v i n g t h i s f o r m b e l o n g s t o H ° ° .

P r o o f . A s s u m e t h a t f i s a b o u n d e d a n a l y t i c f u n c t i o n w i t h 1 1 1 1 1 0 0 1 .B y T h e o r e m 2 . 8 , 1 c b g , w h e r e b i s a B l s s c h k e p r o d u c t , g i s a b o u n d e d

a n a l y t i c f u n c t i o n o n D w i t h g ( 0 ) > 0 , a n d c i s a c o n s t a n t w i t h I d 1 . I ta l s o f o l l o w s t h a t 1 . L e t g = e _ k f o r a u n i q u e a n a l y t i c f u n c t i o nk D C w i t h k ( 0 ) l o g l g ( O ) 1 . T h u s u R e k — l o g j g l 0 . T h a ti s , u i s a n o n - n e g a t i v e h a r m o n i c f u n c t i o n o n D . B y H e r g l o t z ' s T h e o r e m ,u ( z ) I f o r s o m e p o s i t i v e m e a s u r e p o n O D . T h e r e f o r e

k ( z )= J

±d p ( w ) .

( W h y ? ) L e t p = p w i t h r e s p e c t t om , w i t h m a n d m , a n d l e t h b e t h e R a d o n - N i k o d y i n d e r i v a t i v eo f w i t h r e s p e c t t o i n ; s o h m . I t f o l l o w s t h a t h 0 a . e . [ m ] s i n c e

p i s a p o s i t i v e m e a s u r e . D e f i n e

F ( z ) = e x p — J — h ( w ) ] d m ( w )\ J w — z

a n d l e t 0 b e t h e s i n g u l a r i n n e r f u n c t i o n c o r r e s p o n d i n g t o t h e m e a s u r eI t i s e a s y t o s e e t h a t g = O F . B y ( 3 . 6 ) , — h = l o g F l a . e . [ m J . A l s o

= — R e k - . u a n d u ( r w ) h ( w ) a . e . j r n j b y T h e o r e m 1 9 . 2 . 1 2 .T h u s — h = l o g o n O i l ) a n d t h i s i m p l i e s t h a t = F l o n O D . T h e r e f o r e

F E H 0 0 .T h e c o n v e r s e i s c l e a r . 0

I n l i g h t o f T h e o r e m 2 . 1 0 w e c a n n o w f a c t o r f u n c t i o n s i n N .

3 . 8 C o r o l l a r y . I f f i s a f u n c t i o n i n t h e N e v a n l i n n a c l a s s , t h e n

f ( z ) = c b ( z ) F ( z ) ,

w h e r e c i s a c o n s t a n t w i t h i d = 1 , b i s a B l a s c h k e p r o d u c t , a n d a r es i n g u l a r i n n e r f u n c t i o n s , a n d F i s a n o u t e r f u n c t i o n i n N .

c o n c e n t r a t e o n f o r f i n i t e p . I t w i l l b e s h o w n t h a t T h e o r e m 3 . 7e x t e n d s t o t h i s s i t u a t i o n w i t h t h e f a c t o r F a n o u t e r f u n c t i o n i n F l " . T o d ot h i s w e w i l l f i r s t p r o v e a r e s u l t t h a t h a s s o m e i n d e p e n d e n t i n t e r e s t .

2 0 . 3 F a c t o r i z a t i o n 2 8 1

3 . 9 P r o p o s i t i o n . I f f E H ' , t h e n / = h l c f o r t w o f u n c t i o n s h a n d k i nJ f 2

P r o o f . L e t b b e t h e B l a s c h k e p r o d u c t w i t h t h e s a m e z e r o s a s f . B y T h e o -

r e m 2 . 8 , f = b g , w h e r e g E H 1 a n d g h a s n o z e r o s i n D . S i n c e D i s s i m p l yc o n n e c t e d , t h e r e i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n h o n D s u c h t h a t h 2 = g . S i n c e9 E H ' , h E H 2 . A l s o k = b h E H 2 . C l e a r l y , f = h k . 0

3 . 1 0 T h e o r e m . I f 1 p o o a n d I E t h e n

f ( z ) = c b ( z ) 4 i ( z ) F ( z ) ,

w h e r e c i s a c o n s t a n t w i t h = 1 , b z s a B l a s c h k e p r o d u c t , i s a s i n g u l a ri n n e r f u n c t i o n , a n d F i s a n o u t e r f u n c t i o n i n C o n v e r s e l y , a n y f u n c t i o nh a v i n g t h i s f o r m b e l o n g s t o

P r o o f I n l i g h t o f T h e o r e m 3 . 7 i t r e m a i n s t o c o n s i d e r t h e c a s e w h e r e p <0 0 . B e f o r e g e t t i n g i n t o t h e p r o p e r p a r t o f t h e p r o o f , t h e r e a d e r i s a s k e d t o

e s t a b l i s h t h e i n e q u a l i t y

S I a — b I tv a l i d f o r a l l p o s i t i v e n u m b e r s a a n d 6 . ( J u s t c o n s i d e r v a r i o u s c a s e s . ) H e n c e

f I f ( r w ) I — I f ( w ) I I d m ( w ) f I f ( r w ) — f ( w ) I d m ( w )

[ J I f ( r w ) —

S i n c e t h i s l a s t q u a n t i t y c o n v e r g e s t o 0 a s r 1 — , w e o b t a i n t h a t

3 . 1 1 f I f f r w ) I — p f ( w ) I I d m ( w ) = 0 .

3 . 1 2 C l a i m . I f f E t h e n l o g j f ( w ) I d m ( w ) f o rJ z I < 1 .

T o s e e t h i s , f i x z i n D . B y T h e o r e m 2 . 8 , / = b g , w h e r e b i s a B l a s c h k ep r o d u c t a n d g i s a f u n c t i o n i n w i t h n o z e r o s . H e n c e , l o g 1 1 1 = l o g +l o g S i n c e I f ( w ) I = I g ( w ) I o n 8 D , i t s u f f i c e s t o p r o v e t h e c l a i mf o r t h e f u n c t i o n g .

B e c a u s e g d o e s n o t v a n i s h o n D , l o g i s a h a r m o n i c f u n c t i o n o n D ,a n d s o , f o r 0 < r < 1 , l o g 1 9 r 1 I S h a r m o n i c i n a n e i g h b o r h o o d o f c I D .T h u s l o g I g r ( z ) I = l o g I g r ( w ) J d m ( w ) . B u t f o r I z i < 1 , P z E L ° ° .

T h e r e f o r e ( 3 . 1 1 ) i m p l i e s t h a t

t i m f I g r ( W ) l d m ( w )= J P 2 ( w ) d m ( w ) .

2 8 2 2 0 . H a r d y S p a c e s

N o w F a t o u ' s L e m m a i m p l i e s t h a t f l o g g ( w ) I d m ( w ) u r n I f l f r — . j -l o g j g r ( w ) I d m ( w ) . H e n c e

l o g l g ( w ) l

= r — 1 -l o g g r ( w ) I

= u r n J P : ( w ) I g r ( w ) j — l o g l g r ( w ) l ] d m ( w )

< I g I d m

=

t h u s p r o v i n g ( 3 . 1 2 ) .N o w t o c o m p l e t e t h e p r o o f o f t h i s t h e o r e m . L e t f = F a s i n

C o r o l l a r y 3 . 8 a n d p u t = S i n c e I f ( w ) I = I F ( w ) I a . e . [ m I o n

F € A l s o = 1 a . e . [ m ] o n O i l ) . S o i f i t c a n b e s h o w n t h a t I b ( z ) 1 o n 1 ) , t h i s w i l l s h o w t h a t b 4 i s a n i n n e r f u n c t i o n a n d c o m p l e t e t h e p r o o f .B u t f o r I z i < 1 ,

l o g I f ( w ) l d r n ( w )

b y ( 3 . 1 2 ) . T h e r e f o r e 1 ? = °

I t

i s n o w p o s s i b l e t o o b t a i n t h e p r o m i s e d e x t e n s i o n t o H ' o f T h e o r e m s1 . 4 a n d 1 . 5 . T h e r e s u l t i s s t a t e d f o r a l l p . t h o u g h i t i s o n l y n e c e s s a r y t o

o f f e r a p r o o f f o r t h e c a s e t h a t p = 1 . T h e s u b s p a c e W ' o f 1 7 i s d e f i n e d a sb e f o r e ( 1 . 5 ) .

3 . 1 3 T h e o r e m . I f f E 1 p t h e n g ( w ) = f ( r w )d e f i n e s a f u n c t i o n i n I f s u c h t h a t = 0 f o r n < 0 , = a n d

= T h u s t h e m a p t h a t t a k e s a f u n c t i o n f i n o n t o

i t s b o u n d a r i d v a L u e s g i s a n i s o m e t r i c i s o m o r p h i s m o f o n t o t h e s u b s p a c eW ' o f 1 7 . F o r p = o o , t h i s m a p i s a l s o a w e a k h o m e o m o r p h i s m .

P r v o f . W e c a n a s s u m e t h a t p = 1 . I f I E H 1 , t h e n f = h k f o r f u n c t i o n sh a n d k i n H 2 ( 3 . 9 ) ; a l s o , l e t h a n d k d e n o t e t h e r e s p e c t i v e b o u n d a r yf u n c t i o n s i n B y T h e o r e m 1 . 4 , h , k = I c , h 1 1 2 0 , a n df l k , . — k u 2 — . 0 . I f O < r , 8 < 1 , t h e n

f I f ( r w ) — f ( s w ) I d m ( w ) f I h ( r w ) [ k ( r w ) — k ( s w ) J I m ( w ) +

J I k ( s w ) I h ( r w ) — h ( s w ) J 1

2 0 . 3 F a c t o r i z a t i o n 2 8 3

< l I h r H 2 I I k r — k , 1 1 2 + — h 8 1 1 2 .

I f M = m a x { S 1 h 1 1 2 , I I k U 2 } a n d e > 0 , t h e n t h e r e i s a n r 0 < 1 s u c h t h a t< E / 2 M a n d I I h r h s I I 2 < E / 2 M f o r r , s > r 0 . H e n c e I l f r f , I l i <

E w h e n e v e r r , S > r 0 . T h a t i s , i s a C a u c h y n e t i n L ' . L e t F E L ' s u c ht h a t — F i l , 0 a s r — + 1 — . B y T h e o r e m 3 . 8 , 1 = F . B y F a t o u ' sT h e o r e m , F ( w ) = l i m , . . . . , _ f ( r w ) = g ( w ) a e . t m l o n O D . B u t s i n c e 9i n L ' n o r m , J r ( f l ) f o r a l l n . T h u s = 0 f o r n < 0 . I t i s a l s o c l e a rt h a t F I f r I I l — ' l I g i F i . 0

W e w i l l h e n c e f o r t h m a k e n o d i s t i n c t i o n b e t w e e n f u n c t i o n s i n t h e H a r d y

s p a c e s a n d t h e i r b o u n d a r y v a l u e s . T h a t i s , w i t h n o w a r n i n g w e w i l lc o n s i d e r f u n c t i o n s i n a s f u n c t i o n s o n D o r o n 0 D u n l e s s t h e r e i s ad i s t i n c t e x p o s i t o r y a d v a n t a g e i n m a k i n g a d i s t i n c t i o n .

W e h a v e s e e n t h a t i f f E 1 ) ' , 1 p c o , a n d f ( n ) = 0 f o r a l l n < 0 , t h e n/ i s t h e b o u n d a r y f u n c t i o n o f a f u n c t i o n i n W e a r e t h e r e f o r e j u s t i f i e di n c a l l i n g f u n c t i o n s i n 1 ) ' w h o s e n e g a t i v e F o u r i e r c o e f f i c i e n t s a r e 0 a n a l y t i c

f u n c t i o n s . W h a t a r e t h e " a n a l y t i c m e a s u r e s ? " T h a t i s , i f p i s a r e g u l a rB o r e l m e a s u r e o n O D a n d = 0 f o r n < 0 , w h a t c a n w e c o n c l u d e , i f

a n y t h i n g , a b o u t p a n d j L ? T h e a n s w e r , c o n t a i n e d i n t h e F a n d M R i e s zT h e o r e m b e l o w , i s t h a t w e g e t n o t h i n g n e w , s i n c e s u c h m e a s u r e s m u s t b ea b s o l u t e l y c o n t i n u o u s w i t h r e s p e c t t o L e b e s g u e m e a s u r e a n d t h e r e f o r e h a v eR a d o n - N i k o d y m d e r i v a t i v e s e q u a l t o a f u n c t i o n i n t h e H a r d y s p a c e H 1 .

3 . 1 4 T h e F a n d M R i e s z T h e o r e m . I f p E M ( O D ) a n d J A ( n ) = 0 f o rn < 0 , t h e n p < < m a n d d p / d m E H ' .

P r o o f . B y f a m i l i a r a r g u m e n t s ( s e e , f o r e x a m p l e , t h e p r o o f o f T h e o r e m1 . 3 ) , i f f = f . i , t h e n f ( z ) = f o r I z I < 1 . T h u s f i s a n a n a l y t i c

f u n c t i o n . A l s o , l i f r i l l f E H ' . I f g ( w ) = l i m r . . . . , _ f ( r w ) ,t h e n T h e o r e m 3 . 1 3 i m p l i e s t h a t = f . H e n c e p — g = 0 . B u t n o w a n

e a s y c o m p u t a t i o n s h o w s t h a t f o r e v e r y i n t e g e r n , p — g ( n ) = 0 , a n d s o= f o r a l l n . S i n c e t h e t r i g o n o m e t r i c p o l y n o m i a l s a r e d e n s e i n

C ( O D ) , i t f o l l o w s t h a t p = g m . 0

W e c l o s e t h i s s e c t i o n w i t h a d i s c u s s i o n o f w e a k c o n v e r g e n c e i n t h es p a c e s . P a r t o f t h i s d i s c u s s i o n ( t h e p a r t f o r p > 1 ) c o u l d h a v e b e e n p r e -

s e n t e d e a r l i e r , w h i l e t h e c o n s i d e r a t i o n o f t h e c a s e w h e r e p = 1 i s d e p e n d e n to n t h e F a n d M R i e s z T h e o r e m . W e b e g i n w i t h t h e c a s e p > 1 .

3 . 1 5 P r o p o s i t i o n . 1 1 1 < p o c , / E a n d { f , , } i s a s e q u e n c e i nt h e n t h e f o l L o w i n g s t a t e m e n t s a r e e q u i v a l e n t .

( a ) — . f w e a k l y i n L " ( w e a k e i n £ 0 0 t f p = o o ) .( b ) < 0 0 a n d f ( z ) u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o f

2 8 4 2 0 . H a r d y S p a c e s

( c ) < o o a n d - • - . f ( z ) f o r a l l z i n I ) .

( d ) < o o a n d f o r a l l k 0 .

P r o o f . ( a ) i m p l i e s ( b ) . B y t h e P r i n c i p l e o f U n i f o r m B o u n d e d n e s s , s u p , , I< c o . I f K i s a c o m p a c t s u b s e t o f D , l e t s = s u p { I z I z K } ; s o s < 1 . L e t

s < . r < 1 ; b y C a u c h y ' s T h e o r e m , f o r a n y a n a l y t i c f u n c t i o n h o n D a n d zi n K ,

I h ( r & ° )2 i n ( Z 2 i r J o — z

N o w i f h h , . h i n U n o r m . S o l e t t i n g r — + 1 i n t h e p r e c e d i n g

e q u a t i o n g i v e s t h a t1 h t e * 9 \

h ( z ) = — I . ' ' d O2 i r J 0

f o r a l l z i n K . B y E x e r c i s e 6 , { ( e ' ° — z ) ' z E K ) i s c o m p a c t i n w h e r eq i s t h e i n d e x d u a l t o p . B y E x e r c i s e 7 , f , , ( z ) f ( z ) u n i f o r m l y o n K .

( c ) i m p l i e s ( a ) . A s s u m e t h a t I < p < o o . T h e f a c t t h a t { f , , } i s n o r mb o u n d e d i m p l i e s , b y t h e r e f l e x i v i t y o f U , t h a t t h e r e i s a f u n c t i o n g i n

U s u c h t h a t f ' , g w e a k l y i n 1 7 . S i n c e i s s e p a r a b l e , t h e r e i s as u b s e q u e n c e } s u c h t h a t f , , , , — + g w e a k l y . I f p = 0 0 , t h e n t h e f a c t t h a t

V i s s e p a r a b l e i m p l i e s t h e r e i s a g i n L ° ° a n d a s u b s e q u e n c e { f , , j s u c ht h a t g w e a k ' . I n e i t h e r c a s e , f o r a l l i n t e g e r s m , = l i m f , , , , ( m ) .H e n c e g E A l s o , t h e f a c t t h a t ( e ' ° — z ) ' E i m p l i e s t h a t =

( g , ( e ' — z ) ' ) = l i m — z ) ' ) = = f ( z ) .H e n c e f i s t h e u n i q u e w e a k ( r e s p e c t i v e l y , w e a k ' ) c l u s t e r p o i n t o f { f , , } a n d

s o f , , — ' f w e a k l y ( r e s p e c t i v e l y , w e a k ' ) .I t i s c l e a r t h a t ( b ) i m p l i e s ( c ) a n d t h e p r o o f t h a t ( d ) i s e q u i v a l e n t t o t h er e m a i n i n g c o n d i t i o n s i s l e f t t o t h e r e a d e r . 0

W h a t h a p p e n s i f p = 1 ? B y t h e F a n d M R i e s z T h e o r e m , H ' c a n b ei d e n t i f i e d , i s o m e t r i c a l l y a n d i s o m o r p h i c l y , w i t h £ M ( O D ) : f L ( n ) =0 f o r n < O } . N o w i t i s e a s y t o s e e t h a t t h i s i s a w e a k ' c l o s e d s u b s p a c e

o f M = M ( Ô D ) . S o i f = { f C ( O D ) : f f h d m = 0 f o r a l l h i n H ' } ,

t h e n H ' ( C ( O D ) / C 1 ) ' . T h a t i s , H ' i s t h e d u a l o f a B a n a c h s p a c ea n d t h e r e f o r e h a s a w e a k ' t o p o l o g y . I n f a c t , t h i s i s p r e c i s e l y t h e r e l a t i v ew E a k ' t o p o l o g y i t i n h e r i t s v i a i t s i d e n t i f i c a t i o n w i t h t h e s u b s p a c e £ o f M .

T h u s a s e q u e n c e m H ' c o n v e r g e s w e a k ' t o f i n H 1 i f a n d o n l y i ff g f , , d m — ' f g f d m f o r a l l g i n C ( 8 D ) . W e t h e r e f o r e h a v e t h e f o l l o w i n ga n a l o g u e o f t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n .

3 . 1 6 P r o p o s i t i o n . I f f E H 1 a n d { f , , } i i a s e q u e n c e i n H ' , t h e n t h e

f o l l o w i n g s t a t e m e n t s a r e e q u i v a l e n t .( a ) f , , — f w e a k ' i n H ' .

2 0 . 3 F a c t o r i z a t i o n 2 8 5

( b ) s u p , , < 0 0 a n d f , , ( z ) — ' 1 ( z ) u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s o fD .

( c ) s u p , , < o o a n d f , , ( z ) — • . f ( z ) f o r a l l z i n D .

( d ) s u p , , f l f , , I 1 , < c o a n d ( C l ) f o r a i l k 0 .

T h e p r o o f i s l e f t t o t h e r e a d e r .

E x e r c i s e s

I . L e t a n d 4 ' 2 b e s i n g u l a r i n n e r f u n c t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o t h e s i n g u -l a r m e a s u r e s a n d 1 L 2 . I f 4 ' i s t h e f u n c t i o n i n t h e N e v a n l i n n a

c l a s s , s h o w t h a t 4 ' i s a n i n n e r f u n c t i o n i f a n d o n l y i f 2 . L e t F b e t h e c o l l e c t i o n o f a l l i n n e r f u n c t i o n s a n d o b s e r v e t h a t F i s a

s e m i g r o u p u n d e r m u l t i p l i c a t i o n . I f 4 ' E F , c h a r a c t e r i z e a l l t h e d i v i s o r so f 4 ' . A p p l y t h i s t o t h e s i n g u l a r i n n e r f u n c t i o n 4 ' c o r r e s p o n d i n g t o t h e

m e a s u r e w h e r e i s t h e u n i t p o i n t m a s s a t 1 a n d a > 0 .

i s a n i n n e r f u n c t i o n , i s i t p o s s i b l e f o r 1 / 4 ' t o b e l o n g t o s o m es p a c e ? C a n 1 / 4 ' b e l o n g t o s o m e L " s p a c e ? i f f i s a n y f u n c t i o ns u c h t h a t 1 / f H ' , w h a t c a n y o u s a y a b o u t f ?

4 . f f f E H ' a n d R e f ( z ) > O f o r a l l z , s h o w t h a t / i s a n o u t e r f u n c t i o n .i s a n i n n e r f u n c t i o n , s h o w t h a t 1 + 4 ' i s o u t e r .

5 . f f 4 i s a m e a s u r a b l e s u b s e t o f O D h a v i n g p o s i t i v e L e b e s g u e m e a s u r e

a n d a a n d b a r e t w o p o s i t i v e n u m b e r s , s h o w t h a t t h e r e i s a n o u t e rf u n c t i o n I i n H ° ° w i t h I f ( w ) I = a a . e . o n 4 a n d I f ( w ) I = b a . e . o nD D \ 4 . S h o w t h a t i f h E 1 p 0 0 , a n d h 0 , t h e n t h e r e

i s a f u n c t i o n f i n s u c h t h a t h = a . e . o n O D i f a n d o n l y i fl o g h E L ' ; s h o w t h a t t h e f u n c t i o n I c a n b e c h o s e n t o b e a n o u t e rf u n c t i o n .

6 . I f 1 q < c o , t h e f u n c t i o n z — . ( e ' ° — z ) ' i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n

f r o m U i n t o T h u s f o r a n y c o m p a c t s u b s e t K o f D , ( ( e ' ° —z E K ) i s a c o m p a c t s u b s e t o f V .

7 . i f X i s a B a n a c h s p a c e , i s a s e q u e n c e i n X s u c h t h a t z , , — + 0w e a k l y , a n d K i s a n o r m c o m p a c t s u b s e t o f X ' , t h e nX

8 . P r o v e t h a t c o n d i t i o n ( d ) i n P r o p o s i t i o n 3 . 1 5 i s e q u i v a l e n t t o t h e r e -m a i n i n g o n e s .

9 . P r o v e P r o p o s i t i o n 3 . 1 6 .

2 8 6 2 0 . H a r d y S p a c e s

1 0 . S h o w t h a t f o r f i n L ' , f f ø d m 0 f o r a l l 0 i n f f 0 0 i f a n d o n l y i ff H ' a n d f ( O ) = 0 . D e n o t e t h i s s u b s p a c e o f H ' b y S h o w t h a tH 0 0 i s i s o m e t r i c a l l y i s o m o r p h i c t o ( L ' / H 0 ' ) ' .

1 1 . L e t b e t h e B l a s c h k e p r o d u c t w i t h a z e r o o f m u l t i p l i c i t y n a t 1 —S h o w t h a t c o n v e r g e s w e a k i n H ° ° . W h a t i s i t s l i m i t ?

1 2 . ( a ) S h o w t h a t i f p i s a c o m p l e x v a l u e d m e a s u r e o n O D , ( 3 . 3 ) d e f i n e sa n a n a l y t i c f u n c t i o n 0 o n I ) w i t h n o z e r o s . ( b ) S h o w t h a t f ( z ) =— I d p ( w ) i s t h e u n i q u e a n a l y t i c f u n c t i o n o n D s u c h t h a t =a n d f ( 0 ) = ( c ) S h o w t h a t = — 2 n ! f o r

n 0 . ( d ) S h o w t h a t i f p i s a s i n g u l a r m e a s u r e a n d 1 , t h e np = 0 . ( e ) S h o w t h a t i f p i s a r e a l - v a l u e d m e a s u r e a n d 1 , t h e np = 0 . ( f ) N o w a s s u m e t h a t p , a n d a r e t w o p o s i t i v e s i n g u l a rm e a s u r e s t h a t r e p r e s e n t t h e s a m e s i n g u l a r i n n e r f u n c t i o n T h a t i s ,

a s s u m e t h a t = =S h o w t h a t m P 2 .

1 3 . I f i s a n i n n e r f u n c t i o n , f i n d a l l t h e p o i n t s a o n 0 D s u c h t h a t h a sa c o n t i n u o u s e x t e n s i o n t o I ) U { a } .

§ 4 T h e D i s k A l g e b r a

H e r e w e s t u d y a n a l g e b r a o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n t h e c l o s e d d i s k ( O r t h eu n i t c i r c l e ) t h a t i s r e l a t e d t o t h e H a r d y s p a c e s .

4 . 1 D e f i n i t i o n . T h e d i . s k a l g e b r a i s t h e a l g e b r a A o f a l l c o n t i n u o u s f u n c -t i o n s f o n c l D t h a t a r e a n a l y t i c o n U ) .

I t i s e a s y t o s e e t h a t A i s a B a n a c h a l g e b r a w i t h t h e s u p r e m u m n o r m . I nf a c t , i t i s a c l o s e d s u b a l g e b r a o f H ° ° . I n l i g h t o f t h e r e c e n t s e c t i o n s o f t h i sb o o k , t h e p r o o f o f t h e n e x t r e s u l t s h o u l d o f f e r l i t t l e d i f f i c u l t y t o t h e r e a d e r .( T h i s w a s c o v e r e d i n E x e r c i s e 1 . 2 . )

4 . 2 T h e o r e m . T h e m a p f h O D i s a n i s o m e t r i c i s o m o r p h i s m o f Ao n t o t h e s u b a l g e b r a A = { g E C ( O D ) : = 0 f o r n < 0 } o f C ( O D ) .F u r t h e r m o r e , i f 9 E A a n d f = t h e n f j O D = g a n d f r g u n i f o r m l y o n

O D .

W e w i l l n o l o n g e r m a k e a d i s t i n c t i o n b e t w e e n t h e d i s k a l g e b r a A a n d t h ea l g e b r a A c o n s i s t i n g o f i t s b o u n d a r y v a l u e s . T h a t i s , w e w i l l o f t e n t h i n k o fA a s a s u b a l g e b r a o f C ( O D ) .

4 . 3 P r o p o s i t i o n . T h e a n a l y t i c p o l y n o m i a l s a r e u n i f o r m l y d e n s e i n t h e d i s ka l g e b r a .



2 0 . 4 . T h e D i s k A l g e b r a 2 8 7

P r o o f . T h i s i s e a s y t o p r o v e i f y o u f i r s t o b s e r v e t h a t t h e C e s à r o m e a n so f a f u n c t i o n i n t h e d i s k a l g e b r a a r e a n a l y t i c p o l y n o m i a l s a n d t h e n a p p l yT h e o r e m 1 8 . 7 . 5 . 0

4 . 4 T h e o r e m . I f p : A — C i s a n o n - z e r o h o m o m o r p h i s m , t h e n t h e r e i so p o i n t a i n c i D s u c h t h a t p ( f ) = f ( a ) f o r a l l f i n A . T h u s t h e m a x i m a li d e a l s p a c e o f A i s h o m e o m o r p h i c t o c i D , a n d u n d e r t h i s i d e n t i f i c a t i o n t h eG e l f a n d t r a n s f o r m i s t h e i d e n t i t y m a p .

P r o o f . I f p : A — * C i s a n o n - z e r o h o m o m o r p h i s m , l e t a = p ( z ) . S i n c e1 , 1 . I t f o l l o w s b y a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n t h a t p ( p ) = p ( a )

f o r a l l p o l y n o m i a l s i n z . I n l i g h t o f t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n , p ( f ) = f ( a )f o r a l l f i n A . C o n v e r s e l y , i f 1 a n d p ( f ) = 1 ( a ) f o r a l l / i n A ,t h e n p i s a h o m o m o r p h i s m . T h u s p — + p ( z ) i s a o n e - t o - o n e c o r r e s p o n d e n c eb e t w e e n t h e m a x i m a l i d e a l s p a c e a n d c i D . T h e p r o o f o f t h e f a c t t h a t t h i s

c o r r e s p o n d e n c e i s a h o m e o m o r p h i s m a n d t h e c o n c o m i t a n t f a c t a b o u t t h eC e l f a n d t r a n s f o r m i s l e f t t o t h e r e a d e r . 0

4 . 5 P r o p o s i t i o n . { R e p I 8 D : p i s a n a n a l y t i c p o l y n o m i a l } i s u n i f o r m l y

d e n s e i n C R ( O D ) .P r o o f . i f g ( w ) = w h e r e C _ k = C k , t h e n g R e p f o r s o m ea n a l y t i c p o l y n o m i a l . O n t h e o t h e r h a n d , t h e C e s à r o m e a n s o f a n y f u n c t i o ni n C R ( Ô D ) a x e s u c h t r i g o n o m e t r i c p o l y n o m i a l s a n d t h e m e a n s c o n v e r g eu n i f o r m l y o n 8 D ( 1 8 . 7 . 5 ) . 0

4 . 6 C o r o l l a r y . I f i s a r e a l - v a l u e d m e a s u r e o n 8 D s u c h t h a t f p = ( I

f o r e v e r y a n a l y t i c p o l y n o m i a l p , t h e n = 0 .

4 . 7 C o r o l l a r y . i f # i s a r e a l - v a l u e d m e a s u r e o n O D s u c h t h a t f p d 1 . t = 0f o r e v e r y a n a l y t i c p o l y n o m i a l p w i t h p ( O ) = 0 , t h e n t h e r e i s a r e a l c o n s t a n tc s u c h t h a t = c m .

P r o o f . L e t c = f l d m = p ( O D ) . I t i s e a s y t o c h e c k t h a t , i f p p _ c m ,t h e n J p d i i = 0 f o r a l l p o l y n o m i a l s p . T h e r e s u l t n o w f o l l o w s f r o m t h ep r e c e d i n g c o r o l l a r y . 0

T h i s e s s e n t i a l l y c o m p l e t e s t h e i n f o r m a t i o n w e w i l l s e e h e r e a b o u t t h ed i s k a l g e b r a . T h e r e i s m o r e i n f o r m a t i o n a v a i l a b l e i n t h e r e f e r e n c e s .

N o w w e t u r n o u r a t t e n t i o n t o s o m e r e l a t e d m a t t e r s t h a t w i l l b e o f u s el a t e r . N o t e t h a t t h i s p u t s t h e f i n i s h i n g t o u c h e s t o t h e p r o o f o f T h e o r e m1 4 . 5 . 8 .

4 . 8 T h e o r e m . I f f H ' , t h e f o l l o w i n g s t a t e m e n t - s a r e e q u i v a l e n t .

( a ) T h e f u n c t i o n B f ( & ° ) i s o f b o u n d e d v a r i a t i o n o n ( 0 ,

2 8 8 2 0 . H a r d y S p a c e s

( b ) T h e f u n c t i o n f b e l o n g s t o t h e d i s k a l g e b r a a n d O i s a b s o l u t e l yc o n t i n u o u s .

( c ) T h e d e r i v a t i v e o f f b e l o n g s t o H ' .

P r o o f . ( a ) i m p l i e s ( b ) . L e t u ( 9 ) = f ( e t O ) ; w e a r e a s s u m i n g h e r e t h a t u i sa f u n c t i o n o f b o u n d e d v a r i a t i o n . B u t s i n c e f E H ' , =

d m ( w ) = 0 f o r n 1 . U s i n g i n t e g r a t i o n b y p a r t s , t h i s i m p l i e st h a t , f o r n 1 ,

o = — 1e " ° d u ( O )

Z n t n J o1= I

Z f l J o

T h e F a n d M R i e s z T h e o r e m n o w i m p l i e s t h a t u i s a n a b s o l u t e l y c o n t i n u -o u s f u n c t i o n w h o s e n e g a t i v e F o u r i e r c o e f f i c i e n t s v a n i s h . I n p a r t i c u l a r , u i sc o n t i n u o u s a n d , s i n c e f = i i , f E A .

( b ) i m p l i e s ( c ) . S i n c e u ( 9 ) = f ( e 1 0 ) i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s , f o r 0 < r < 1

a n d f o r a l l 9 , 1f ( r e ' ° )— j P , . ( 9 — t ) f ( e t ) d t .

2 i r

D i f f e r e n t i a t i n g b o t h s i d e s w i t h r e s p e c t t o 9 g i v e s

i r e ' 6 = j ( P r ( 9 —

S i n c e P r i s a n e v e n f u n c t i o n , t h i s i m p l i e s= 1 j

— t ) J u ( t ) d t .

S i n c e u i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s , i n t e g r a t i o n b y p a r t s y i e l d s

1, 2 w

i r e ' ° f ' ( r e ' ° ) =— J P r ( 9 — t ) u ' ( t ) d t .

2 , r

T h i s i m p l i e s t h a t i z f ' ( z ) i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n D t h a t i s t h e P o i s s o ni n t e g r a l o f t h e L ' f u n c t i o n u ' . H e n c e i z f ' ( z ) b e l o n g s t o H ' . B u t t h i s i m p l i e st h a t f ' E H ' .

( c ) i m p l i e s ( b ) . L e t h d e n o t e t h e b o u n d a r y v a l u e s o f f ' . S o h E L ' , h ( — n ) =0 f o r n > 0 , a n d I ' i s t h e P o i s s o n i n t e g r a l o f h . L e t g ( O ) = i h ( t ) d i ;

s o g ( 0 ) = 0 . A l s o g ( 2 i r ) = e " h ( t ) d t = = = 0 .

N o w g i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s a n d g ' ( O ) = a . e . F o r n < 0 ,1

=— j g ( 9 )2 i r



2 0 . 4 . T h e D i s k A l g e b r a 2 8 9

= — Ii n 2 i r j 0

= i r +

j 2 xd O

= — I2 i r n J o

=2 7 r f l

= 0 .

T h u s b e l o n g s t o t h e d i s k a l g e b r a a n d D = g i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s .S i n c e w e h a v e a l r e a d y s h o w n t h a t ( b ) i m p l i e s ( c ) , w e h a v e t h a t g ' E H ' .M o r e o v e r a n e x a m i n a t i o n o f t h e p r o o f t h a t ( b ) i m p l i e s ( c ) r e v e a l s t h a t

= r — . 1 —

B u t = i e * O h ( 8 ) = T h u s

u r n f f ' ( r & ° ) — = 0

a . e . S i n c e f ' — g ' E H ' , f ' = j ' . T h e r e f o r e t h e r e i s a c o n s t a n t C s u c h t h a tf = T h i s i m p l i e s t h a t f A a n d B — . i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s .

S i n c e i t i s c l e a r t h a t ( b ) i m p l i e s ( a ) , t h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f . 0

I t i s w o r t h r e c o r d i n g t h e f o l l o w i n g f a c t t h a t s u r f a c e d i n t h e p r e c e d i n g

p r o o f .

4 . 9 C o r o l l a r y . 1 f f b e l o n g s t o t h e d i s k a l g e b r a a n d 9 i s a b s o l u t e l yc o n t i n u o u s , t h e n

t O ' i 8) = i e t u r n f ( r e ) a . e .( j Q

4 . 1 0 C o r o l l a r y , i f I b e l o n g s t o t h e d i s k a l g e b r a a n d 9 f ( e ' ° ) i s a b s o -l u t e l y c o n t i n u o u s , t h e n t h e l e n g t h o f t h e c u r v e 0 f ( e ' ° ) i s 2 i r I I f ' I I i .

E x e r c i s e s

1 . S h o w t h a t t h e o n l y i n n e r f u n c t i o n s t h a t b e l o n g t o A a r e t h e f i n i t eB l a s c h k e p r o d u c t s .

2 . S h o w t h a t t h e f u n c t i o n f ( z ) ( 1 — z ) e x p i s c o n t i n u o u s a s af u n c t i o n o n 8 I ) , b u t t h e r e i s n o f u n c t i o n i n A t h a t e q u a l s f o n 8 D .

2 9 0 2 0 . H a r d y S p a c e s

3 . L e t K b e a c o m p a c t s u b s e t o f 3 D h a v i n g z e r o L e b e s g u e m e a s u r e .( a ) S h o w t h a t t h e r e i s a n i n t e g r a b l e , c o n t i n u o u s f u n c t i o n w 3 D[ — o o , — 1 J s u c h t h a t w ( z ) = — 0 0 i f a n d o n l y i f z K . ( b ) P r o v e t h e

r e s u l t o f F a t o u t h a t s a y s t h e r e i s a f u n c t i o n I i n A w i t h 1 ( z ) = 0 i fa n d o n l y i f z E K .

4 . L e t - y b e a r e c t i f i a b l e J o r d a n c u r v e a n d C = i n s - y ; l e t r D C b ea R . i e m a n n m a p a n d e x t e n d r t o b e a h o m e o m o r p h i s m o f c i D o n t oc i C . G e n e r a l i z e C o r o l l a r y 4 . 1 0 b y s h o w i n g t h a t , i f i s a B o r e l s u b s e to f - y , t h e a r c l e n g t h m e a s u r e

o f t h e p r e c e d i n g e x e r c i s e . S h o w t h a t i f E i s a s u b s e t

o f 3 D , t h e n r n ( E ) = 0 i f a n d o n l y i f r ( E ) i s a m e a s u r a b l e s u b s e t o fw i t h a r c l e n g t h m e a s u r e 0 .

6 . K e e p t h e n o t a t i o n o f E x e r c i s e 4 . L e t a = e s " a n d l e t o [ 0 , i iD U { a } b e a c u r v e w i t h u ( 1 ) = a a n d I u ( t ) I < 1 f o r 0 < t < 1 .A s s u m e t h a t h a s a w e l l d e f i n e d d i r e c t i o n a t a t h a t i s n o t t a n g e n tt o 3 D ; t h a t i s , a s s u m e t h a t 8 a r g [ o ( t ) — a J e x i s t s a n d

8 ± i r / 2 . I f r ( e " ) e x i s t s a t t = a , d o e s t h e a n g l e b e t w e e n r o o -

a n d - y e x i s t a t T ( a ) a n d i s i t e q u a l t o 8 ? I s t h i s t r u e a . e . o n 3 D ?

§ 5 T h e I n v a r i a n t S u b s p a c e s o f

T h e p u r p o s e o f t h i s s e c t i o n i s t o p r o v e t h e f o l l o w i n g t h e o r e m ( B e u r l i n g1 1 9 4 9 1 ) .

5 . 1 T h e o r e m . f f 1 p < o o a n d M i s a c l o s e d l i n e a r s u b s p a c eo f s u c h t h a t z M M a n d M ( 0 ) , t h e n t h e r e i s a u n i q u e i n n e r

f u n c t i o n 4 ) w i t h 4 ) ( 0 ) 0 s u c h t h a t M = 4 ) 1 1 " . I f p = c c a n d M i s a w e a k *c l o s e d s u b s p a c e o f s u c h t h a t z M ç M a n d M ( 0 ) , t h e n t h e r e i s au n i q u e i n n e r f u n c t i o n 4 ) w i t h 4 ) ( O ) 0 s u c h t h a t M =

A s u b s p a c e M o f H " s u c h t h a t z M M i s c a l l e d a n i n v a r i a n t s u b s p a c e

o f H " . S t r i c t l y s p e a k i n g , s u c h a s u b s p a c e i s a n i n v a r i a n t s u b e p a c e o f t h eo p e r a t o r d e f i n e d b y m u l t i p l i c a t i o n b y t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e . C l e a r l y i fM = Ø H P f o r s o m e i n n e r f u n c t i o n 4 ) , t h e n M i s a c l o s e d i n v a r i a n t s u b a p a c eo f H " . S o B e u r l i n g ' s T h e o r e m c h a r a c t e r i z e s t h e i n v a r i a n t s u b s p a c e s o f H " .

B e u r l i n g ' s T h e o r e m i s o n e o f t h e m o s t c e l e b r a t e d i n f u n c t i o n a l a n a l y s i s .I t i s o n e o f t h e f i r s t r e s u l t s t h a t m a k e a d e e p c o n n e c t i o n b e t w e e n o p e r a t o rt h e o r y a n d f u n c t i o n t h e o r y . F o r a p r o o f i n t h e c a s e t h a t p = 2 t h a t u s e s

o n l y o p e r a t o r t h e o r y , s e e T h e o r e m 1 . 4 . 1 2 i n C o n w a y f 1 9 9 1 j . T h e p r o o f h e r ew i l l r e q u i r e s o m e a d d i t i o n a l w o r k .

B e g i n b y i n t r o d u c i n g a n a d d i t i o n a l c l a s s o f f u n c t i o n s r e l a t e d t o t h eN e v a n l i n n a c l a s s . L e t d e n o t e t h o s e f u n c t i o n s I i n t h e c l a s s N t h a t

2 0 . 5 I n v a r i a n t S u b s p a c e s 2 9 1

h a v e a f a c t o r i z a t i o n f = c b F , w h e r e c C w i t h = 1 , b i s a B i a s c h k ep r o d u c t , i s a n i n n e r f u n c t i o n , a n d F i s a n o u t e r f u n c t i o n . R e f e r r i n g t o

t h e f a c t o r i z a t i o n o f f u n c t i o n s i n t h e N e v a n l i n n a c l a s s ( C o r o l l a r y 3 . 8 ) , w e

s e e t h a t t h e f u n c t i o n s i n N f o r w h i c h n o i n n e rf u n c t i o n i s r e q u i r e d i n t h e d e n o m i n a t o r o f t h i s f a c t o r i z a t i o n . T h e f i r s t r e -s u i t w i l l b e s t a t e d b u t n o t p r o v e d . I t s s o m e w h a t d i f f i c u l t p r o o f i s l e f t t ot h e r e a d e r . ( A l s o s e e D u r e n 1 1 9 7 0 1 , T h e o r e m 2 . 1 0 . )

5 . 2 T h e o r e m . I f f e N , t h e n f E i f a n d o n l y i f

i , 2 i r1

u r n I d O = — / I f ( e t G ) 1 d O .r — . I — 2 i r j 0 2 i r

J oN o t e t h a t i f i s a s i n g u l a r i n n e r f u n c t i o n , E N b u t F o r

I = t h e l e f t h a n d s i d e o f t h i s e q u a l i t y i s f i n i t e a n d n o t 0 w h i l e t h e r i g h th a n d s i d e i s 0 .

T h e n e x t r e s u l t i s a n e a s y c o n s e q u e n c e o f t h e d e f i n i t i o n o n t h e c l a s s N + .

5 3 P r o p o s i t i o n . 1 f f E a n d f E L " , I c o , t h e n f E H " .

T o f a c i l i t a t e t h e p r o o f o f B e u r l i n g ' s T h e o r e m i n t r o d u c e t h e n o t a t i o n [ f J =t h e c l o s e d l i n e a r s p a n o f { f , z f , z 2 f , . . . } i n H " w h e n e v e r I H " , I p <c x . N o t e t h a t I f ) = c i { p f : p i s a p o l y n o m i a l ) a n d E l ) i s t h e s m a l l e s ti n v a r i a n t s u b s p a c e o f H " t h a t c o n t a i n s t h e f u n c t i o n f . I f f E H ° ° , i f ) i st h e w e a k c l o s e d l i n e a r s p a n o f t h e s a m e s e t .

5 . 4 L e m m a . I f f i s a n o u t e r f u n c t i o n i n H " , i S p 5 o o , t h e n [ f j = H " .P r o o f .

I f [ 1 ) H " , t h e n t h e r e i s a c o n t i n u o u s l i n e a r f u n c t i o n a l L o n H "( L i s w e a k c o n t i n u o u s i f p = o o ) s u c h t h a t L ( p f ) = 0 f o r e v e r y p o l y n o m i a lp b u t L 0 . L e t q b e t h e i n d e x c o n j u g a t e t o p a n d l e t g s u c h t h a tL ( h ) = f h g d m f o r e v e r y 4 i n S o f p f g d m 0 f o r e v e r y p o l y n o m i a l

p , b u t t h e r e i s a t l e a s t o n e i n t e g e r n 0 w i t h f z m g d m 0 . T h u s gt h e f u n c t i o n s t h a t v a n i s h a t 0 . O n t h e o t h e r h a n d w e d o h a v e t h a t

= 0 f o r a l l n 0 , s o t h a t k 1 9 €N o w / h a s n o z e r o s i n E ) a n d s o k / f i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n D . S i n c e

k E H 0 ' a n d I H " , l o g I f I b o t h b e l o n g t o V . T h e r e f o r el o g 1 k / f l = l o g E L ' . U s i n g t h e f a c t t h a t f i s o u t e r a n d k e H ' ,i t f o l l o w s t h a t k / f E B u t o n O D , k / f = g V . T h u s P r o p o s i t i o n 5 . 3

i m p l i e s t h a t g E a c o n t r a d i c t i o n . 0

W e n o w f i x o u r a t t e n t i o n o n t h e c a s e p = 2 .

5 . 5 L e m m a . B e u r l i n g ' s T h e o r e m i s t r i A e f o r p = 2 .

P r o o f . F i r s t , l e t g b e a f u n c t i o n i n M s u c h t h a t t h e o r d e r o f i t s z e r o a tz = 0 i s t h e s m a l l e s t o f a l l t h e f u n c t i o n s i n M . I t m u s t b e t h a t g z M .I n d e e d , i f g z M , t h e n 9 = z f f o r s o m e I i n M ; b u t t h e o r d e r o f t h e z e r o



2 9 2 2 0 . H a r d y S p a c e s

o f f a t 0 i s o n e l e s s t h a n t h e o r d e r o f t h e z e r o o f g a t 0 , a c o n t r a d i c t i o n .T h u s M p r o p e r l y c o n t a i n s z M .

L e t f 4 , E M n ( z M ) 1 w i t h = 1 . S o f o r a l l n 1 , 0 =

f B y t a k i n g c o m p l e x c o n j u g a t e s w e s e e t h a t a l l t h e F o u r i e r c o -e f f i c i e n t s o f a r e z e r o e x c e p t p o s s i b l y f o r t h e c o e f f i c i e n t f o r n = 0 . T h u si s t h e c o n s t a n t f u n c t i o n . S i n c e = 1 , w e h a v e t h a t 1 , a n d s o

4 , i s a n i n n e r f u n c t i o n .

C l a i m . d i m [ M f l ( z M ) - ' - J = 1 .

I n d e e d l e t b e a f u n c t i o n i n M f l ( z M ) 1 s u c h t h a t 4 , a n d = 1 .

I t i s l e f t t o t h e r e a d e r t o s h o w t h a t Z l c t l ' n , k 0 } i s a n o r t h o n o r m a ls e t i n L 2 . T h e r e f o r e f o r a n y n , k 0 , 0 = f T h u so = f h i n L ' ( O D ) a n d s o = 0 . S i n c e b o t h 4 , a n dm u s t b e i n n e r f u n c t i o n s , t h i s i s i m p o s s i b l e . T h i s c o n t r a d i c t i o n s h o w s t h a td i m [ M f l ( z M ) 1 J = 1 a n d h e n c e i s s p a n n e d b y 4 , .

L e t M = [ 4 , J ; s o 1 . 1 M . L e t h E M f l S o h 1 . 4 , ; s i n c e d i m [ M n= 1 , t h i s s a y s t h a t h e z M . B u t a n e a s y a r g u m e n t s h o w s t h a t

d i m [ z M n ( z 2 M ) 1 ] = 1 . S i n c e h z 4 , , w e a l s o g e t t h a t h z 2 M . C o n -

t i n u i n g t h i s a r g u m e n t w e a r r i v e a t t h e f a c t t h a t h E f o r a l l n 1 .B u t t h i s s a y s t h a t h i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n w i t h a z e r o a t z = 0 o f i n f i n i t e

o r d e r . H e n c e h = O a n d i t m u s t b e t h a t M = H [ 4 , J . 0

N o w w e p r o v e B e u r l i n g ' s T h e o r e m f o r t h e c a s e p = 0 0 .

5 . 6 L e m m a . J I M * s a w e a k c l o s e d i n v a r i a n t s u b s j i a c e o f H ° ° a n d M( 0 ) , t h e n t h e r e i s a n i n n e r f u n c t i o n 4 ' s u c h t h a t M =

P r o o f . L e t N b e t h e c l o s u r e o f M i n H 2 . I t i s i m m e d i a t e t h a t f t f i s a ni n v a r i a n t s u b s p a c e o f H 2 . B y L e m m a 5 . 5 t h e r e i s a n i n n e r f u n c t i o n 4 , s u c ht h a t N = 4 , J J 2 . I t i s c l a i m e d t h a t M = 4 , H ° ° . A c t u a l l y i t i s e a s y t o s e et h a t M c s i n c e M ç N n H ° ° .

F o r t h e o t h e r i n c l u s i o n , l e t { f , j ç M s u c h — 4 , 1 1 2 — , 0 . B yp a s s i n g t o a s u b s e q u e n c e i f n e c e s s a r y , w e m a y a s s u m e t h a t — ' 4 , a . e .[ m J o n 3 D . S i n c e M ç 4 ' H ° ° , f o r e a c h n t h e r e i s a f u n c t i o n i n H ° °

s u c h t h a t f , ' , D e f i n e o n 3 D b y = 1 w h e n 1 a n d= o t h e r w i s e . N o w v ; ' E L ° ° a n d l o g ( v ; ' ) E L ' . T h u s t h e r ei s a n o u t e r f u n c t i o n i n H ° ° s u c h t h a t = o n 3 D ( P r o p o s i t i o n3 . 6 ) . B u t — i 4 , a . e o n 3 D a n d s o = — . 4 , 4 , = 1 a . e . o n 3 D .

T h i s i n t u r n i m p l i e s t h a t 1 a . e . o n 3 D . B u t 1 f o r a l l na n d s o 1 w e a k i n H ° ° . B y P r o p o s i t i o n 3 . 1 5 , 1 f o r a l l z i nD . T h u s — . 4 , ( z ) f o r z i n D . B u t = 1 .B y P r o p o s i t i o n 3 . 1 5 , — , 4 , w e a k i n H ° ° . S i n c e E M , 4 , M .T h e r e f o r e ç M . 0

T h e p r o o f o f t h e n e x t l e m m a i s i m m e d i a t e f r o m t h e f a c t o r i z a t i o n o f

2 0 . 5 I n v a r i a n t S u b s p a c e s 2 9 3

f u n c t i o n s i n H " . T h e d e t a i l s a r e l e f t t o t h e r e a d e r .

5 . 7 L e m m a . I f a n d a r e i n n e r f u n c t i o n s , t h e n ç b H " = z f a n d o n l yi f t h e r e w i t h = 1 a n d

P r o o f o f B e u r t i n g T h e o r e m . L e t M b e a n i n v a r i a n t s u b s p a c e o f H " , 1 Sp < o o . B e c a u s e ç L ' , M n i s w e a k c l o s e d a n d i n v a r i a n t i n H ° ° .

I f 9 E M a n d g g o g 1 w i t h 9 o o u t e r a n d 9 1 i n n e r , l e t b e a s e q u e n c eo f p o i y n o m i a l s s u c h t h a t — 1 " , , 0 ( L e m m a 5 . 4 ) . I t f o l l o w s t h a t

— , i n L , , a n d s o M f l T h a t i s , t h e i n n e r f a c t o r o f e v e r yF u n c t i o n i n M b e l o n g s t o M I n p a r t i c u l a r , M f l H ° ° ( 0 ) . T h u s( L e m m a 5 . 6 ) t h e r e i s a n i n n e r F u n c t i o n s u c h t h a t M f l H ° °

W e n o w s h o w t h a t M = I n f a c t i f g M a n d g = 9 0 9 1 5 5 i nt h e p r e c e d i n g p a r a g r a p h , g ' 0 1 ° 0 ; l e t g ' = f o r s o m e i n H ° ° . S o

9 = E ç i H " ; t h a t i s , M ç O n t h e o t h e r h a n d , M a n d s oE M f o r e v e r y p o l y n o m i a l p . B y t a k i n g l i m i t s w e g e t t h a t C M .

T h e u n i q u e n e s s s t a t e m e n t f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m L e m m a 5 . 7 . 0

S o m e n o t e s a r e i n o r d e r . F i r s t , H ° 0 i s a B a n a c h a l g e b r a a n d t h e i n v a r i a n ts u b s p a c e s o f H ° 0 a r e p r e c i s e l y t h e i d e a l s o f t h i s a l g e b r a . S o B e u r l i n g ' sT h e o r e m c h a r a c t e r i z e s t h e w e a k c l o s e d i d e a l s o f H ° ° . I n E x e r c i s e 1 t h ew e a k c o n t i n u o u s h o m o m o r p h i s m s f r o m i n t o C a r e c h a r a c t e r i z e d . Ad i s c u s s i o n o f t h e B a n a c h A l g e b r a H ° ° i s a s t o r y b y i t s e l f . ( F o r e x a m p l e , s e e

G a r n e t t [ 1 9 8 1 J . )S e c o n d , i f C = t h e c o l l e c t i o n o f i n v a r i a n t s u b s p a c e s o f H " , t h e n C f o r m s

a l a t t i c e w h e r e t h e j o i n a n d m e e t o p e r a t i o n s a r e d e f i n e d a s f o l l o w s , I f Ma n d H € £ ,

M V J V c l [ s p a n ( M u H ) J ,M A H = M n H .

I t i s l e f t t o t h e r e a d e r t o c h e c k t h a t £ w i t h t h e s e o p e r a t i o n s s a t i s f i e s t h ea x i o m s o f a l a t t i c e . I n t h e e x e r c i s e s B e u r l i n g ' s T h e o r e m i s a p p l i e d t o t h es t u d y o f t h i s l a t t i c e . A l s o s e e § 3 . 1 0 i n C o n w a y [ 1 9 9 1 1 .

E x e r c i s e s

1 . I f p : — . C i s a n o n - z e r o w e a k c o n t i n u o u s h o m o m o r p h i s m , s h o wt h a t t h e r e i s a u n i q u e p o i n t a i n D s u c h t h a t p ( f ) = f ( o ) f o r a l l I i nH ° 0 .

E x e r c i s e s 2 t h r o u g j i 1 4 a r e i n t e r d e p e n d e n t .

2 . L e t . 1 d e n o t e t h e s e t o f a l l i n n e r f u n c t i o n s o f t h e f o r m

=

2 9 4 2 0 . H a r d y S p a c e s

w h e r e k 0 , b i s a B l a s c h k e p r o d u c t w i t h b ( 0 ) > 0 ( p o s s i b l y 6 1 ) ,

a n d 4 1 i i s a s i n g u l a r i n n e r f u n c t i o n ( p o s s i b l y 1 ) . C a l l t h i s t h ec a n o n i c a l f a c t o r i z a t i o n o f a f u n c t i o n i n I . S h o w t h a t f o r a n i n n e r

f u n c t i o n ( 0 ) > 0 f o r t h e f i r s t p o s i t i v e i n t e g e r n w i t h 0 ( " ) ( 0 ) 0i f a n d o n l y i I ç b E I .

3 . N o t e t h a t I i s a s e m i g r o u p u n d e r m u l t i p l i c a t i o n a n d t h a t 1 i s t h ei d e n t i t y o f I . S h o w t h a t t h i s s e m i g r o u p h a s n o z e r o d i v i s o r s ; t h a t

6 l a n d ç t n , t ' 1 , t h e n = = 1 . S h o w t h a t t h i sm a k e s i t p o s s i b l e t o d e f i n e t h e g r e a t e s t c o m m o n d i v i s o r a n d l e a s tc o m m o n m u l t i p l e o f t w o f u n c t i o n s i n I , a n d t h a t t h e y a r e u n i q u e

w h e n t h e y e x i s t . I f 4 ' j a n d 6 1 , t h e n , = t h e g r e a t e s tc o m m o n d i v i s o r o f a n d a n d l c m ( 0 i , = t h e l e a s t c o m m o nm u l t i p l e o f a n d w h e n t h e y e x i s t . T h e n e x t e x e r c i s e g u a r a n t e e st h e e x i s t e n c e .

4 . I f a n d I a n d 1 < p o o , t h e n : ( a ) = w h e r e= ( b ) H P V O H 9 , w h e r e 0 =

5 .

t h a t i s , i s a r n u l t i p l e

H e n c e f o r t h i t w i l l a l w a y s b e a s s u m e d t h a t I h a s t h i s o r d e r i n g . I ti s c u s t o m a r y t o d e f i n e l c m ( O i , 4 ' 2 ) a n d O iw i t h t h e s e d e f i n i t i o n s s h o w t h a t I b e c o m e s a l a t t i c e a n d t h e m a p

0 i s a l a t t i c e a n t i - i s o m o r p h i s m f r o m I o n t o t h e l a t t i c e o fn o n - z e r o i n v a r i a n t s u b a p a c e s o f H 9 .

6 . L e t O i , I a n d l e t = z 1 c i b j b e t h e c a n o n i c a l f a c t o r i z a t i o n o f= 1 , 2 . l e t b e t h e p o s i t i v e s i n g u l a r m e a s u r e o n

o h ) a s s o c i a t e d w i t h t h e s i n g u l a r f u n c t i o n P r o v e t h a t i fa n d o n l y i f : ( i ) k 1 I c 2 , ( i i ) t h e z e r o s o f c o n t a i n t h e z e r o s o f b 2 ,c o u n t i n g m u l t i p l i c i t i e s ; ( i i i ) P 2 .

7 . L e t a n d P 2 b e t w o p o s i t i v e m e a s u r e s o n a c o m p a c t s e t X a n ds e t p = + P 2 ; s e t f 1 t h e R a d o n - N i k o d y r n d e r i v a t i v e o f p 3 w i t h

r e s p e c t t o p , g = m a x ( f i , f 2 ) , a n d h = m i n ( f I , f 2 ) . P u t a ' g p a n d= h p . P r o v e t h e f o l l o w i n g . ( a ) p i , P 2 a ' a n d i f a i s a n y p o s i t i v e

m e a s u r e o n X s u c h t h a t P 1 , p 2 t h e na i s a n y p o s i t i v e m e a s u r e o n X s u c h t h a t P 1 , P 2 a , t h e n ' i a .

F o r t w o p o s i t i v e m e a s u r e s a n d t h e m e a s u r e s i ' a n d w i l l b ed e n o t e d b y V P 2 a n d p i A P 2 , r e s p e c t i v e l y .

8 . L e t a n d b e f u n c t i o n s i n I w i t h c a n o n i c a l f a c t o r i z a t i o n s 0 , =w h e r e b , i s a B l a s c h k e p r o d u c t w i t h z e r o s Z , , e a c h r e p e a t e d

a s o f t e n a s i t s m u l t i p l i c i t y , a n d i s a s i n g u l a r i n n e r f u n c t i o n w i t hc o r r e s p o n d i n g s i n g u l a r m e a s u r e p , . L e t V k 2 = m a x ( k 1 , I c 2 ) a n dk 1 A k 2 m i n ( k i , k 2 ) ; b 1 V b 2 = t h e B l a s c h k e p r o d u c t w i t h z e r o s Z 1 L J Z 2

a n d b 1 A b 2 = t h e B l a s c h k e p r o d u c t w i t h z e r o s Z j f l Z 2 ; =

2 0 . 6 . S z e g ö ' s T h e o r e m 2 9 5

t h e s i n g u l a r i n n e r f u n c t i o n w i t h m e a s u r e V / 4 2 a n d A = t h e

s i n g u l a r i n n e r f u n c t i o n w i t h m e a s u r e A / 4 2 . P r o v e t h e f o l l o w i n g .=

a n d =9 . W i t h t h e n o t a t i o n o f t h e p r e c e d i n g e x e r c i s e , V = i f

a n d o n l y i f k , = k 2 = 0 , Z 1 f l Z 2 = 0 , a n d p '

1 0 . S h o w t h a t i f 1 p < o o a n d M 1 a n d M 2 a r e n o n - z e r o i n v a r i a n t s u b -s p a c e s o f t h e n M 1 n M 2 ( 0 ) . S t a t e a n d p r o v e t h e c o r r e s p o n d i n g

f a c t f o r w e a k ' c l o s e d i d e a l s o f

1 1 . U s i n g t h e n o t a t i o n o f E x e r c i s e 8 , s h o w t h a t i f k 1 = k 2 = 0 , Z ,a n d Z 2 h a v e d i s j o i n t c l o s u r e s , a n d a n d / 4 2 h a v e d i s j o i n t c l o s e ds u p p o r t s , t h e n + = S h o w t h a t + =i f a n d o n l y i f t h e r e a r e f u n c t i o n s u 1 a n d u 2 i n s u c h t h a t ç b , u 1 +

= 1 . ( R e m a r k . T h i s c o n d i t i o n i s e q u i v a l e n t t o t h e r e q u i r e m e n tt h a t + l z I < 1 } > 0 . T h i s i s a c o n s e q u e n c e o f t h eC o r o n a T h e o r e m ( C a r l e s o n [ 1 9 6 2 ] ) ) .

1 2 . 1 1 C I , d e s c r i b e t h e i n n e r f u n c t i o n s a n d s u c h t h a t V =a n d A G i v e n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n st h a t T h a t = ( 0 ) .

1 3 . L e t b e t h e s i n g u l a r i n n e r f u n c t i o n c o r r e s p o n d i n g t o t h e m e a s u r ea ö , , o > 0 . i f M , a n d M 2 a r e i n v a r i a n t s u b s p a c e s f o r 1 <

o o , a n d b o t h c o n t a i n s h o w t h a t e i t h e r M , M 2 o r M 2 M , .( S e e S a r a s o n [ 1 9 6 5 ] f o r m o r e o n t h i s s i t u a t i o n . )

1 4 . L e t M 1 a n d M 2 b e i n v a r i a n t s u b s p a c e s o f s u c h t h a t M , ç M 2 .I f a n d a r e t h e c o r r e s p o n d i n g f u n c t i o n s i n I , g i v e a n e c e s s a r y a n d

s u f f i c i e n t c o n d i t i o n i n t e r m s o f 4 , a n d t h a t d i m ( M 2 / M 1 ) < o o . I fd i m ( M 2 / M 1 ) > 1 , s h o w t h a t t h e r e i s a n i n v a r i a n t s u b s p a c e M s u c h

o r M 2 .

1 5 . ( C o n w a y [ 1 9 7 3 ] ) E n d o w I w i t h t h e r e l a t i v e w e a k ' t o p o l o g y f r o m f fa n d

f o r e a c h 0 i n I l e t b e t h e o r t h o g o n a l p r o j e c t i o n o f H 2 o n t oO H 2 . S h o w t h a t i f a s e q u e n c e i n I c o n v e r g e s w e a k ' t o i n I ,t h e n — , P # i n t h e s t r o n g o p e r a t o r t o p o l o g y .

1 6 . S h o w t h a t t h e i n n e r f u n c t i o n s a r e w e a k ' d e n s e i n t h e u n i t b a l l o f

§ 6 S z e g ö ' s T h e o r e m

I n t h i s s e c t i o n w e w i l l s t u d y t h e s p a c e s P " ( p ) , t h e c l o s u r e o f t h e p o l y n o m i a l si n L P ( / 4 ) f o r a m e a s u r e s u p p o r t e d o n t h e u n i t c i r c l e . F o r p = 0 0 , P ° ° ( 1 4 )

2 9 6 2 0 . H a r d y S p a c e s

d e n o t e s t h e w e a k c l o s u r e o f t h e p o l y n o m i a l s i n I n p a r t i c u l a r w ew i l l p r o v e S z e g o ' s T h e o r e m ( 6 . 6 ) .

L e t A d e n o t e t h e d i s k a l g e b r a a n d l e t A 0 = { f E A : f ( 0 ) = s o

A 0 i s a m a x i m a l i d e a l i n t h e a l g e b r a A . I f p i s a p o s i t i v e m e a s u r e o n 8 D , l e tb e t h e c l o s u r e o f A 0 i n L P ( p ) . ( p = o o ? ) S i n c e P ' ( p ) i s t h e c l o s u r eo f A i n w e h a v e t h a t 1 . I f p = m , L e b e s g u em e a s u r e o n Ô D , t h e n t h i s d i m e n s i o n e q u a l s 1 . C a n i t b e 0 ? T h e a n s w e r i se a s i l y s e e n t o b e y e s b y t a k i n g p t o b e t h e u n i t p o i n t m a s s a t 1 . H o w e v e rt h e g e n e r a l a n s w e r i s t h e k e y t o t h i s s e c t i o n .

F i r s t , a f e w r e c o l l e c t i o n s f r o m m e a s u r e t h e o r y . p i s a m e a s u r e a n d J A =v + w h e r e i i a n d a r e m u t u a l l y s i n g u l a r m e a s u r e s , t h e n f o r 1 p 0 0

t h e s p a c e L " ( p ) s p l i t s i n t o a d i r e c t s u m , L P ( p ) = L ' ( z i ) F o r af u n c t i o n f i n L P ( p ) t h i s d e c o m p o s i t i o n i s a c h i e v e d b y r e s t r i c t i n g I t o t h et w o d i s j o i n t c a r r i e r s o f t h e m u t u a l l y s i n g u l a r m e a s u r e s . T h u s f o r f =1 1 1 1 1 , = + w h e n 1 < p < o o a n d = 1 1 h f l 0 0 } .

T h i s n a t u r a l d e c o m p o s i t i o n w i l l b e a l w a y s l u r k i n g i n t h e b a c k g r o u n d o f t h ed i s c u s s i o n t h a t f o l l o w s .

6 . 1 P r o p o s i t i o n . i f I 5 p 0 0 a n d p i . s a p o s i t i v e m e a s u r e o n Ô D w i t h

P = P a + t h e L e b e s g u e d e c o m p o s i t i o n o f p w i t h r e s p e c t t o m , t h e n

P g ( p 0 )

P r o o f . I t i s r u d i m e n t a r y t h a t cI f + q ' 1 , l e t g E = s u c h t h a t f g f d 4 a = 0f o r a l l f i n A o . T h u s f f ' g d p = O f o r a l l n > 1 . B y t h e F a n d M a i e s z

T h e o r e m , < < m . T h u s g = 0 a . e . a n d s o g E a n d gC o n s e q u e n t l y g . 1 . . L " ( p , ) . T h e p r o p o s i t i o n n o w f o l l o w s b y t h eH a h n - B a u s c h T h e o r e m . 0

6 . 2 C o r o l l a r y . I f 1 p < o o a n d p i s a p o s i t i v e m e a s u r e o n w i t ha b s o l u t e l y c o n t i n u o u s p a r t P a , t h e n

i f l f f 1 1 _ f I " d i i = j n f J 1 1 _ f l P c 4 t a .J E A 0 f € A o

W e h a v e s e e n t h a t i f h i s a n o n - n e g a t i v e f u n c t i o n i n L ' ( m ) , t h e n l o g hm a y f a i l t o b e i n t e g r a b l e . I n f a c t , l o g h e L ' i f a n d o n l y i f t h e r e i s a f u n c t i o nf i n H ' w i t h h = f ( P r o p o s i t i o n 3 . 6 ) . B e c a u s e l o g x x — 1 f o r x > 0 ,t h e o n l y w a y t h a t l o g h c a n f a i l t o b e i n t e g r a b l e i s f o r f l o g M m = — o o ;

t h a t i s , t h e a p p r o x i m a t i n g s u m s f o r t h e i n t e g r a l m u s t d i v e r g e t o — o o . I ft h i s i s i n d e e d t h e c a s e , t h e n t h e e x p r e s s i o n e x p E l l o g M m ] t h a t a p p e a r s i n

t h e s u b s e q u e n t t e x t i s t o b e i n t e r p r e t e d a s 0 ( w h a t e l s e ? ) .



2 0 . 6 . S z e g ö ' s T h e o r e m 2 9 7

6 . 3 P r o p o s i t i o n . I f h i s a n o n - n e g a t i v e f u n c t i o n i n L ' ( m ) , t h e n

e x p [ f l o g h d m ] = i n f

{ f

d m : 9 ( m ) a n d J g d m = 0

P r o o f . I f g e a n d f g d m = 0 , t h e n f l o g ( h e 9 ) d m = f ( l o g h +g ) d m = f l o g h d m . T h u s l e t t i n g , u = i n i n P r o p o s i t i o n 1 9 . 4 . 1 3 a n d r e p l a c -

i n g h b y l o g ( h e 9 ) , w e g e t

e x P { f l o g h d m } i n f { f h e 9 d m : 9 E 1 4 ( m ) a n d f g d r n = o } .

I f E > 0 , l e t c E = f l o g ( h + e ) d m a n d p u t = c e — l o g ( h + e ) . T h u sY E L R ( m ) a n d f = 0 . A l s o f h e 9 ' d m = f = f h ( h +e ) 1 d m . N o w — ' f l o g h d m b y m o n o t o n e c o n v e r g e n c e . O n t h e o t h e rh a n d , f h ( h + ' d m — . 1 . T h u s f d m e x p [ f l o g h d m ] , p r o v i n gt h e p r o p o s i t i o n . 0

6 . 4 L e m m a . I f h i s a n o n - n e g a t i v e / u n c t i o n i n L ' ( m ) a n d g E 1 4 ( m ) w i t h

f g d m = 0 , t h e n t h e r e e x i s t s a s e q u e n c e o f J u n c t i o n s i n s u c ht h a t f = 0 f o r a l l n 1 a n d f h e 9 " d m — . f h e 9 d m a s n — ' 0 0 .

P r o o f . L e t = g i f n a n d 0 o t h e r w i s e . T h e n

f h

h h d m — k 0 a s n o o . B y t h e M o n o t o n e

C o n v e r g e n c e T h e o r e m , h e 9 d m f h e 9 d m . T h e r e f o r e f h e f " d m — ,f h e 9 d m . L e t = f T h e n f h e 9 " d m =

e x p ( — f i n ) l a n d s o f h e 9 d m . 0

6 . 5 P r o p o s i t i o n . I f h E L ' ( m ) a n d h 0 , t h e n

[ f l o g h d m ]

= J E A 0 [ f1 d m ] .

P r o o f . L e t a i n f f E A 0 a n d / 3 i n f { f h e 9 d m : ga n d f g d m = 0 } . B y P r o p o s i t i o n 6 . 3 , i t m u s t b e s h o w n t h a t a = / 3 . B u t i fI E A c , , t h e n f R e f d m = 0 a n d s o a j 3 . T o o b t a i n t h e o t h e r i n e q u a l i t y ,w e f i r s t u s e t h e p r e c e d i n g l e m m a t o s e e t h a t / 3 = i n f { f g 1 4 ° ( m )a n d f g d m = o } . S i n c e f o r a n y p o l y n o m i a l p , f R e p d m = R e p ( O ) , i tf o l l o w s f r o m P r o p o s i t i o n 4 . 5 t h a t { R e f : f A o } i s u n i f o r m l y d e n s e i n

{ g E C R ( O D ) : f g d m = o } . T h u s i f g w i t h f g d m = 0 , t h e nt h e r e i s a s e q u e n c e o f f u n c t i o n s { f , , } f r o m s u c h t h a t { R e f n } i s u n i -f o r m l y b o u n d e d a n d R e — + g a . e . o n O P . B y t h e L e b e s g u e D o m i n a t e d

2 9 8 2 0 . H a r d y S p a c e s

C o n v e r g e n c e T h e o r e m , f f H e n c e < f B u t

g w a s a r b i t r a r y , 0

6 . 6 S z e g ö ' s T h e o r e m . I f 1 p < o c , p i s a p o s i t i v e m e a s u r e o n O D ,+ i s t h e L e b e s g u e d e c o m p o s i t i o n o f p w i t h r e s p e c t t o m , a n d h i s

t h e R a d o n - N i k o d y m d e r i v a t i v e o f P a w i t h r e s p e c t t o m , t h e n

f ) i — I = e x p [ J i o g h d m } .

P r o o f . U s i n g t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n ,

B u t = a n d i f g A 0 , t h e n f = 1 — e 9 E A 0 . H e n c e =

1 — l I P a n d

6 . 7 e x p { f l o g h d m j — f j P h d m .

N o w l e t g E A 0 a n d a p p l y ( 6 . 7 ) t o t h e f u n c t i o n h ( 1 — S i n c e

1 — f — g + i s s u b h a r m o n i c , t h i s y i e l d s

e x P { f l o g I l _ 9 1 ' d m j

T h i s s a y s t h a t l o g l i E L ' a n d a f l o g I l 0 . P u t k =c l , a n d c e k = I 1 _ g l P .

B y P r o p o s i t i o n 6 . 3 , a p p l i e d t o t h e o r i g i n a l f u n c t i o n h , e x p [ f l o g / i d i n ]f c f = f — d m . C o m b i n i n g t h i s w i t h ( 6 . 7 ) w e g e tt h a t

e x P { f l o g h d m } = i n f f I lT h e t h e o r e m n o w f o l l o w s f r o m C o r o l l a r y 6 . 2 . 0

O f c o u r s e t h e l e f t h a n d s i d e o f t h e e q u a t i o n i n S z e g ö ' s T h e o r e m i s p r e -c i s e l y t h e d i s t a n c e i n f r o m t h e c o n s t a n t f u n c t i o n 1 t o t h e s p a c e

P ( s ) . I f t h i s d i s t a n c e i s z e r o , t h e n 1 P g ( p ) . B u t t h i s i m p l i e s t h a t , f o rn 1 , = E T h u s i s i n v a r i a n t f o r m u l t i p l i c a t i o nb y a s w e l l a s z . T h e r e f o r e c o n t a i n s a l l p o l y n o m i a l s i n z a n d a n d

m u s t e q u a l L P ( p ) . T h i s p r o v e s t h e n e x t c o r o l l a r y .6 . 8 C o r o l l a r y . f f 1 p < 0 0 , p i s a p o s i t i v e m e a s u r e o n ô D , a n d p =I L a + / & s i s t h e L e b e s g u e d e c o m p o s i t i o n o f p w i t h r e s p e c t t o r n , t h e n =

2 0 . 6 . S z e g ö ' s T h e o r e m 2 9 9

L P ( / A ) i f a n d o n l y i f

f l o g d i n

N o t e t h a t t h e c o n d i t i o n i n t h e p r e c e d i n g c o r o l l a r y i s i n d e p e n d e n t o f p .T h e c o n d i t i o n f o r p 0 0 i s d i f f e r e n t a n d l e s s r e s t r i c t i v e o n p . T h e p r o o f o ft h e f i n a l p r o p o s i t i o n o f t h i s s e c t i o n i s i m m e d i a t e f r o m P r o p o s i t i o n 6 . 1 .

6 . 9 P r o p o s i t i o n . I f p i s a p o s i t i v e m e a s u r e o n Ô D , t h e ni f a n d o n l y i f m < 0a n d P = { e z O : i T a } , t h e n e v e r y c o n t i n u o u s f u n c t i o n o n P i st h e u n i f o r m l i m i t o f a n a l y t i c p o l y n o m i a l s .

2 . I f r : D _ + D i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n a n d f E l . J P , i S f o l . j n J p ?

3 . G i v e a n e x a m p l e o f a m e a s u r e p o n s u c h t h a t p a n d i n a r e m u t u -a l l y a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s a n d P ( p ) = N o t e t h a t

4 . I f f L 2 , s h o w t h a t t h e c l o s e d l i n e a r s p a n i n L 2 o f t h e f u n c t i o n s: n O } i s L 2 i f a n d o n l y i f : ( i ) f d o e s n o t v a n i s h o n a s e t o f

p o s i t i v e m e a s u r e ; ( i i ) l o g i s n o t L e b e s g u e i n t e g r a b l e . W h a t h a p -p e n s f o r I I w i t h p 2 ?

5 . F o r 1 p a n d p a p o s i t i v e m e a s u r e o n 0 s h o w t h a t t h ef o l l o w i n g a r e e q u i v a l e n t : ( a ) U ' ( p ) ; ( b ) P i ' ( p ) V ' ( p ) ; ( c )



C h a p t e r 2 1

P o t e n t i a l T h e o r y i n t h e P l a n e

I n t h i s c h a p t e r w e w i l l c o n t i n u e t h e s t u d y o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m . T h ee m p h a s i s h e r e w i l l b e o n f i n d i n g t h e l i m i t s o f t h e r e s u l t s a n d e m p l o y i n gm e a s u r e t h e o r y t o d o s o .

P o t e n t i a l t h e o r y i s m o s t f u l l y d e v e l o p e d i n t h e l i t e r a t u r e f o r n - d i m e n s i o n a lE u c i d e a n s p a c e w i t h n 3 . T h e r e i s a n e s s e n t i a l d i f f e r e n c e b e t w e e n t h ep l a n e a n d R Z f o r n 3 ; t h e s t a n d a r d p o t e n t i a l f o r C i s t h e l o g a r i t h m i c

p o t e n t i a l o f w h i l e f o r h i g h e r d i m e n s i o n s i t i s a N e w t o n i a n p o t e n t i a l .C l a s s i c a l w o r k s o n c o m p l e x a n a l y s i s t r e a t t h e c a s e n = 2 , b u t u s u a l l y f r o ma c l a s s i c a l p o i n t o f v i e w . I n t h i s c h a p t e r t h e t r e a t m e n t o f t h e c l a s s i c a l r e -s u l t s w i l l b e f r o m a m o r e m o d e r n p o i n t o f v i e w . M a n y o f t h e r e s u l t s c a r r yo v e r t o h i g h e r d i m e n s i o n s a n d t h e i n t e r e s t e d r e a d e r s a r e i n v i t e d t o p u r s u et h i s a t t h e i r c o n v e n i e n c e . G o o d g e n e r a l r e f e r e n c e s f o r t h i s a r e B r e l o t [ 1 9 5 9 ) ,

C a r l e s o n [ 1 9 6 7 } , H e l m s [ 1 9 7 5 ) , L a n d k o f [ 1 9 7 2 ) , a n d W e r m e r [ 1 9 7 4 ) .

H a r m o n i c M e a s u r e

I f C i s a h y p e r b o l i c o p e n s e t i n t h e e x t e n d e d p l a n e a n d a i s a r e a l - v a l u e dc o n t i n u o u s f u n c t i o n o n t h e n u i s a s o l v a b l e f u n c t i o n f o r t h e D i r i c h i e tp r o b l e m . T h i s l e a d s t o t h e f o l l o w i n g e l e m e n t a r y r e s u l t .

L i P r o p o s i t i o n . I f C i s a h y p e r b o l i c o p e n s e t a n d a E C , t h e m a p uI L ( a ) i s a p o s i t w e l i n e a r o n t h e s p a c e

P r o o f . P r o p o s i t i o n 1 9 . 7 . 1 0 i m p l i e s t h a t u I L i s l i n e a r . I f u i s a p o s i t i v ef u n c t i o n i n t h e n 0 E P ( u , G ) ; h e n c e I L 0 . T h e r e f o r e u — + I L ( a )

i s a p o s i t i v e l i n e a r f u n c t i o n a l . S i n c e 1 . = 1 , t h i s f u n c t i o n a l h a s n o r m 1 . 0

A c c o r d i n g t o t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n , f o r e a c h a i n C t h e r e i s a u n i q u ep r o b a b i l i t y m e a s u r e W a s u p p o r t e d o n s u c h t h a t

1 . 2 u ( a ) = j u d W o

f o r e a c h u i n C R ( 0 0 0 G ) .

1 . 3 D e f i n i t i o n . F o r a n y h y p e r b o l i c o p e n s e t C a n d a n y p o i n t a i n C , t h e

u n i q u e p r o b a b i l i t y m e a s u r e W a s u p p o r t e d o n a n d s a t i s f y i n g ( 1 . 2 ) f o r



3 0 2 2 1 . P o t e n t i a l T h e o r y

e v e r y u i n C a t a . T o i n d i c a t e t h ed e p e n d e n c e o f t h e m e a s u r e o n G , t h e n o t a t i o n w i l l b e u s e d . I f K i s ac o m p a c t s u b s e t o f C a n d a E m t K , t h e n h a r m o n i c m e a s u r e f o r K a t a i s

t h e s a m e a s h a r m o n i c m e a s u r e f o r m t K a t a .T h e p o i n t t o r e m e m b e r h e r e i s t h a t h a r m o n i c m e a s u r e i s o n l y d e f i n e d

f o r h y p e r b o l i c s e t s - I f K i s c o m p a c t , t h e n C = m t K i s b o u n d e d a n d t h u sh y p e r b o l i c . I n t h i s b o o k t h e r e w i l l b e l i t t l e n e e d f o r h a r m o n i c m e a s u r e o na c o m p a c t s e t .

T h e n e x t r e s u l t i s l e f t a s a n e x e r c i s e f o r t h e r e a d e r .

1 . 4 P r o p o s i t i o n . I / C i s a s e t a n d a E C , t h e n ( 1 2 ) h o l d s f o ra l l b o u n d e d B o r e l f u n c t i o n s u .

N o t e t h a t t h i s p r o p o s i t i o n s a y s t h a t = f o r a n y B o r e l s u b s e to f a n d a n y p o i n t a i n C .

F r o m t h e c o n u n e n t s f o l l o w i n g T h e o r e m 1 5 . 2 . 5 w e s e e t h a t , f o r a n a n a -l y t i c J o r d a n r e g i o n , h a r m o n i c m e a s u r e a t t h e p o i n t a i s a b s o l u t e l y c o n t i n -u o u s w i t h r e s p e c t t o a r c l e n g t h m e a s u r e o n t h e b o u n d a r y ; a n d t h e R a d o n -N i k o d y m d e r i v a t i v e i s t h e d e r i v a t i v e o f t h e G r e e n f u n c t i o n w i t hr e s p e c t t o t h e e x t e r i o r n o r m a l t o t h e b o u n d a r y . A n i n t e r p r e t a t i o n o f T h e -o r e m 1 0 . 2 . 4 s h o w s t h a t i f C = D a n d a E D , t h e n d w 0 = P 0 d m , w h e r e P 0i s t h e P o i s s o n k e r n e l a t a a n d m i s n o r m a l i z e d a r c l e n g t h m e a s u r e o n 8 D .T h u s i n t h e s e e x a m p l e s , h a r m o n i c m e a s u r e a n d a r c l e n g t h m e a s u r e o n t h eb o u n d a r y a r e m u t u a l l y a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s . ( R e c a l l t h a t t w o m e a s u r e s pa n d u a r e s a i d t o b e m u t u a l l y a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s i f t h e y h a v e t h e s a n t es e t s o f m e a s u r e 0 . ) T h i s i s n o t a n i s o l a t e d i n c i d e n t .

1 . 5 . T h e o r e m . I f C i s a b o u n d e d s i m p l y c o n n e c t e d r e g i o n s u c h t h a t 0 Ci s a r e c t i f i a b l e J o r d a n c u r v e , t h e n h a r m o n i c m e a s u r e f o r C a n d a r c l e n g t hm e a s u r e o n 8 C a r e m u t u a l l y a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s .

P r o o f . F b c a i n G a n d l e t r : D — o G b e t h e R i e m a n n m a p s u c h t h a tr ( 0 ) a a n d r ' ( O ) > 0 . B y T h e o r e m 1 4 . 5 . 6 ( a l s o s e e T h e o r e m 2 0 . 4 . 8 ) ,r e x t e n d s t o a h o m e o m o r p h i s m r : c i D — + c i C . T h u s 9 — . i s ap a r a m e t e r i z a t i o n o f 8 G . S i n c e O G i s a r e c t i f i a b l e c u r v e . T h e o r e m 1 4 . 5 . 8

i m p l i e s t h a t 9 — p r ( e * O ) i s a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s a n d r ' I S j U t h e s p a c e H ' .A c c o r d i n g t o ( 2 0 . 4 . 9 ) t h e d e r i v a t i v e o f t h e f u n c t i o n 9 i s

w h e r e r ' ( e ' ° ) i s t h e r a d i a l l i m i t o f T I . S o i f u O C I R i s a c o n t i n u o u sf u n c t i o n , t h e m e a s u r e p d e f i n e d o n 8 C b y

J u d pJ

u ( r ( & ° ) ) f t ' ( e ' ° ) ( d O

i s ( n o n - n o r m a l i z e d ) a r c l e n g t h m e a s u r e .C l a i m . I f E i s a B o r e ! s u b s e t o f O D . t h e n m ( E ) = 0 i f a n d o n l y i f

/ . L ( T ( E ) ) = 0 .



2 1 . 1 . H a r m o n i c M e a s u r e 3 0 3

F r o m t h e a b o v e f o r m u l a , w e k n o w t h a t f o r a n y B o r e ! s e t c o n t a i n e d i n

Ô G , = f t ' I d m . A s s u m e t h a t m ( E ) = 0 . S i n c e r i s a h o m e o -

m o r p h i s m , E = r ' ( r ( E ) ) a n d s o p ( r ( E ) ) = f E d m = 0 . C o n v e r s e l y , i f

= 0 , t h e n r ' = 0 a . e . f m I o n E . S i n c e r ' E H ' a n d i s n o t t h e z e r of u n c t i o n , t h i s i m p l i e s t h a t m ( E ) = 0 .

O n t h e o t h e r h a n d , i f u C R ( O G ) , t h e n u o r E C R ( O D ) . L e t h b e t h es o l u t i o n o f t h e D i r i c h l e t p r o b l e m o n D w i t h b o u n d a r y v a l u e s u o r . I t i s

e a s y t o s e e t h a t h o r t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h l e t p r o b l e m o n C w i t hb o u n d a r y v a l u e s u . T h a t i s , h o = ü . H e n c e

J u= ü ( a ) = h ( 0 ) f u o r d i n .

S i n c e u w a s a r b i t r a r y , t h i s i m p l i e s t h a t m o r 1 . T h u s f o r a B o r e )s u b s e t o f 8 ( 3 , W a ( s ) 0 i f a n d o n l y i f = 0 . I n l i g h t o f t h ec l a i m , t h i s p r o v e s t h e t h e o r e m . 0

T h e a b o v e r e s u l t h a s a n e x t e n s i o n t o a f i n i t e l y c o n n e c t e d J o r d a n r e g i o nw i t h r e c t i f i a b l e b o u n d a r y . I f C i s s u c h a r e g i o n a n d i t s b o u n d a r y 1 ' = 0 ( 3

c o n s i s t s o f a n a l y t i c c u r v e s , t h e n t h i s i s i m m e d i a t e f r o m T h e o r e m 1 5 . 2 . 5 . I fF o n l y c o n s i s t s o f r e c t i f i a b l e c u r v e s , t h e n a m o r e c a r e f u l a n a l y s i s i s n e e d e d .A l s o s e e E x e r c i s e 4 .

I n E x e r c i s e 2 p a r t o f a f a c t t h a t e m e r g e d f r o m t h e p r e c e d i n g p r o o f i se x t r a c t e d f o r l a t e r u s e . T h e b a s i c p r o b l e m t h a t i s t o u c h e d o n i n t h a t e x e r c i s ei s t h e f o l l o w i n g . I f r : C — . i s a s u r j e c t i v e a n a l y t i c f u n c t i o n , c a n h a r m o n i cm e a s u r e f o r b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f h a r m o n i c m e a s u r e f o r C ? T h e n e x tp r o p o s i t i o n s e t t l e s t h i s f o r b o u n d e d D i r i c h i e t r e g i o n s .

1 . 6 P r o p o s i t i o n . S u p p o s e ( 3 i s a b o u n d e d D i r i c h l e t r e g i o n , r : D — . C i sa n a n a l y t i c f t t n c t i o n w i t h r ( 0 ) a n d d e n o t e s t h e r a d i a l l i m i t f u n c t i o no f r .

P r o o f L e t f : 0 ( 3 R b e a c o n t i n u o u s f u n c t i o n a n d I t h e s o l u t i o n o ft h e D i r i c h i e t p r o b l e m o n C w i t h b o u n d a r y v a l u e s f ; s o f e x t e n d s t o a

c o n t i n u o u s f u n c t i o n o n c i G w i t h f = / o n 8 G . I f a E O i l ) s u c h t h a t r h a s

a r a d i a l l i m i t a t a a n d r 1 — , t h e n J o r ( r a ) f ( ? ( a ) ) = f o ( a ) . T h a ti s , t h e b o u n d e d h a r m o n i c f u n c t i o n f o ' r o n D h a s r a d i a l l i m i t s e q u a l t o J o ?a . e . o n O D . T h e r e f o r e f o r = f o - ? a n d s o

= f ( r ( 0 ) ) = f o ( 0 ) f f o d m =

I n g e n e r a l , w e w i l l n o t b e s o c o n c e r n e d w i t h t h e e x a c t f o r m o f h a r m o n i cm e a s u r e b u t r a t h e r w i t h i t s m e a s u r e c l a s s ; t h a t i s , w i t h t h e s e t s o f h a r m o n i c

m e a s u r e 0 . W h e n t w o m e a s u r e s a n d i i a r e m u t u a l l y a b s o l u t e l y c o n t i n u -o u s , w e c a n f o r m t h e t w o R a d o n - N i k o d y m d e r i v a t i v e s d p / d u a n d d v / d p .S a y t h a t p a n d v a r e b o u n d e d l y m u t u a l l y a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s i f t h e y a r e

m u t u a l l y a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s a n d t h e t w o R a d o n - N i k o d y r n d e r i v a t i v e sa r e b o u n d e d f u n c t i o n s .

1 . 7 T h e o r e m . I f C i s a h y p e r b o l i c o p e n s u b s e t o f t h e p l a n e a n d a a n d 6b e l o n g t o t h e s a m e c o m p o n e n t o f G , t h e n t h e h a r m o n i c m e a s u r e s f o r C a t aa n d 6 , w 0 a n d a r e b o u n d e d l y m u t u a l l y a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s . M o r e o v e r ,t h e r e i s a c o n s t a n t p > 0 ( d e p e n d i n g o n l y o n a , 6 , a n d C ) s u c h t h a t i f H

i s a n y h y p e r b o l i c o p e n s e t c o n t a i n i n g C a n d a n d a r e t h e h a r m o n i c

m e a s u r e s f o r H a t a a n d b , t h e n < P b P r o o f . T h i s f o l l o w s f r o m H a r n a c k ' s I n e q u a l i t y . I f B ( a ; R ) c C , l b — a j =r < R , a n d u i s a p o s i t i v e c o n t i n u o u s f u n c t i o n o n t h e nI n e q u a l i t y i m p l i e s t h a t p ü ( a ) 1 1 ( b ) p ' 1 1 ( a ) , w h e r e p = ( R — r ) / ( R + r ) .

T h u s P f t L d W a < f U d W b S

p ' f o r e v e r y B o r e ! s e tc o n t a i n e d i n C . T h u s a n d a r e b o u n d e d l y m u t u a l l y a b s o l u t e l y

c o n t i n u o u s a n dd w b

N o t e t h a t t h i s c o n s t a n t p d e p e n d s o n a , b , a n d G a l o n e . T h u s t h e s a m ei n e q u a l i t i e s h o l d f o r P a a n d p j , :

d p bp 5 ; — 5 ;d p 0

I f a a n d 6 b e l o n g t o t h e s a m e c o m p o n e n t o f G , t h e n t h e r e a r e p o i n t sa 0 , . . . , a , , , a n d p o s i t i v e n u m b e r s R 0 , . . . , R , , s u c h t h a t : ( i ) a a 0 , 6 =

( i i ) a 3 — a , _ i I < R , , 1 5 ; j 5 ; n ; ( i i i ) B ( a , ; R , ) c C . B y t h e p r e c e d i n gp a r a g r a p h , f o r 1 5 ; 5 ; n , a n d a r e b o u n d e d l y m u t u a l l y a b s o -l u t e l y c o n t i n u o u s w i t h c o n s t a n t p 3 . T h u s a n d a r e m u t u a l l y a b s o l u t e l yc o n t i n u o u s a n d

— d w 0 ,

d i i . ) b — d w a d W a 2

h e n c ed w 6

w h e r e p = . . . p , , . S i m i l a r l y , t h e s a m e i n e q u a l i t y h o l d s f o r t h e m e a s u r e sa n d P b - 0

T h i s r e s u l t h a s s o m e i n t e r e s t i n g c o n s e q u e n c e s . I f p a n d a r e b o u n d e d l y

m u t u a l l y a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s m e a s u r e s , t h e n t h e i d e n t i t y m a p p i n g o nb o u n d e d B o r e l f u n c t i o n s i n d u c e s a b o u n d e d b i j e c t i o n o f o n t o L P ( u )f o r a l l p . ( S e e E x e r c i s e 3 . ) T h u s w e c a n l e g i t i m a t e l y s a y t h a t L P ( v )

2 1 . 1 . H a r m o m c M e a s u r e 3 0 5

i n t h i s c a s e . S o i f a a n d b b e l o n g t o t h e s a m e c o m p o n e n t o f G , =f o r a l l p . W e a r e l e d t o t h e f o l l o w i n g d e f i n i t i o n f o r r e g i o n s o n l y .

1 . 8 D e f i n i t i o n . I f G i s a r e g i o n a n d I p < L P ( Ô G ) w h e r e

a i s a n y p o i n t i n C .

S o t h e p r e c e d i n g d i s c u s s i o n s a y s t h a t t h e d e f i n i t i o n o f t h i s s p a c e 1 . 7 ( 8 C )d o e s n o t d e p e n d o n t h e c h o i c e o f p o i n t a i n C , t h o u g h t h e v a l u e o f t h en o r m o f a f u n c t i o n i n t h e s p a c e w i l l d e p e n d o n t h e c h o i c e o f a . W e r e t u r nt o t h e c a s e o f a n a r b i t r a r y ( n o t n e c e s s a r i l y c o n n e c t e d ) h y p e r b o l i c o p e n s e tC .

1 . 9 P r o p o s i t i o n . I f a E G a n d C i s h y p e r b o l i c , t h e n f o r a n y B o r e l s e t Ad i s j o i n t f r o m t h e b o u n d a r y o f t h e c o m p o n e n t o f C t h a t c o n t a i n s a , ( A )

0 . T h u s t h e s u p p o r t z s c o n t a i n e d i n & 0 G a , w h e r e i s t h e c o m p o n e n to f C t h a t c o n t a i n s a .

P r o o f . N o t e t h a t i f t h e n o t a t i o n i s a s i n t h e s t a t e m e n t o f t h e t h e o r e ma n d t h e n = 0 f o r i n T h u s

= E P ( x A , G ) a n d v a n i s h e s o n C a a n d s o w e h a v e t h a t0

I n l i g h t o f t h e l a s t f e w r e s u l t s i t i s t e m p t i n g t o b e l i e v e t h a t t h e h a r m o n i cm e a s u r e s f o r p o i n t s i n d i s t i n c t c o m p o n e n t s o f G a r e m u t u a l l y s i n g u l a r . T h i si s n o t t h e c a s e , a s t h e n e x t e x a m p l e d e m o n s t r a t e s .

1 . 1 0 E x a m p l e . A s t r i n g o f b e a d s i s a c o m p a c t s e t

w h e r e } i s a s e q u e n c e o f o p e n d i s k s i n D h a v i n g t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

( i )

( i i ) t h e c e n t e r o f e a c h l i e s o n t h e i n t e r v a l ( — 1 , 1 1 ;

( i i i ) E — 1 , 1 ) \ c o n t a i n s n o i n t e r v a l ;

( i v ) [ . — 1 , 1 J f l K h a s p o s i t i v e o n e - d i m e n s i o n a l L e b e s g u e m e a s u r e .T o c o n s t r u c t K , f i r s t c o n s t r u c t a C a n t o r s e t i n [ — 1 , w i t h p o s i t i v e L e b e s g u em e a s u r e a n d r e p l a c e e a c h d e l e t e d s u b i n t e r v a l o f [ — 1 , 1 1 w i t h a n o p e n d i s k

T h e d e t a i l s o f t h e c o n s t r u c t i o n o f t h i s s e t a r e l e f t t o t h e r e a d e r .

N o t i c e t h a t C = j u t K h a s t w o c o m p o n e n t s , e a c h o f w h i c h i s s i m p l yc o n n e c t e d w i t h a b o u n d a r y t h a t i s a r e c t i f i a b l e J o r d a n c u r v e ; d e n o t e t h e s ec o m p o n e n t s b y Q + a n d Q . . . . L e t a ± E Q ± a n d l e t W ± = h a r m o n i c m e a s u r e

f o r C a t t h e p o i n t a * . S i n c e 0 Q ± i s a r e c t i f i a b l e J o r d a n c u r v e ( w h y ? ) ,a n d a r c l e n g t h m e a s u r e o n ô Q j a r e m u t u a l l y a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s ( 1 . 5 ) .T h u s w 4 . a n d w . a r e n o t m u t u a l l y s i n g u l a r .

W e n o w c h a r a c t e r i z e s o l v a b l e f u n c t i o n s f o r a h y p e r b o l i c o p e n s e t .B u t f i r s t w e w i l l s e e a l e m m a .

1 1 1 L e m m a . I f C i s a h y p e r b o l i c s e t , a E C , a n d I — ' ( — o o , o o )

i s a n u p p e r s e m i c o n t i n u o u s f u n c t i o n t h a t i s b o u n d e d a b o v e a n d s a t i s f i e s1 ( a ) > — o o , t h e n I L ' ( w a ) .

P r o o f . A c c o r d i n g t o T h e o r e m 1 9 . 3 . 6 t h e r e i s a d e c r e a s i n g s e q u e n c eo f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n s u c h t h a t f o r e a c h ( i n jB y C o r o l l a r y 1 9 . 7 . 1 2 , J ( a ) . O n t h e o t h e r h a n d , t h e M o n o t o n eC o n v e r g e n c e T h e o r e m i m p l i e s t h a t f f d w 0 . B y ( 1 . 2 ) , 1 ( a ) =

f fS i n c e f i s b o u n d e d a b o v e a n d f f d w 0 > — 0 0 ,

fE L ' ( W a ) . C

1 . 1 . 2 B r e l o t ' s T h e o r e m . L e t C b e a h y p e r b o l i c s e t a n d l e t u b e a n e x t e n d e dr e a l - v a l u e d f u n c t i o n o n I f u i s s o l v a b l e , t h e n f o r a l l z i n C , u i si n t e g r a b l e w i t h r e s p e c t t o a n d

C o n v e r s e l y , i f f o r e a c h c o m p o n e n t o f G t h e r e z s a p o i n t a i n t h a t c o m p o n e n ts u c h t h a t u E t h e n u i s s o l v a b l e .

P r o o f . B y C o r o l l a r y 1 9 . 7 . 7 i t s u f f i c e s t o a s s u m e t h a t C i s c o n n e c t e d . A s -s i n n e t h a t u i s s o l v a b l e a n d f i x a p o i n t z i n C . A c c o r d i n g t o P r o p o s i -t i o n 1 9 . 7 . 8 . b t h e r e i s a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f u p p e r s e m i c o n t i n u o u s f u n c -t i o n s o n s u c h t h a t e a c h u , , i s b o u n d e d a b o v e , u , a n d

— 1 1 ( z ) . S i m i l a r l y , t h e r e i s a d e c r e a s i n g s e q u e n c e o f l o w e r s e m i c o n -

t i n u o u s f u n c t i o n s o n s u c h t h a t e a c h i s b o u n d e d b e l o w , u ,a n d 1 1 ( z ) , B e c a u s e u i s s o l v a b l e , i t c a n b e a s s u m e d t h a t a n da r e a l l f I n i t e n u m b e r s . B y t h e p r e c e d i n g l e m m a , e a c h a n d i s i n -

t e g r a b l e w i t h r e s p e c t t o B u t u u E L ' ( w 4 . M o r e o v e r ,= < 1 1 ( z )

w e h a v e t h a t 1 1 ( z ) =N o w a s s u m e t h a t t h e r e i s a p o i n t a i n G s u c h t h a t u E L ' B y

T h e o r e m 1 . 7 , u i s i n t e g r a b l e w i t h r e s p e c t t o f o r e a c h z i n C . I t s u f f i c e s

t o a s s u m e t h a t u 0 . F r o m m e a s u r e t h e o r y t h e r e i s a s e q u e n c e o f n o n -n e g a t i v e b o u n d e d B o r e l f u n c t i o n s { u , } s u c h t h a t u = S i n c e e a c hi s s o l v a b l e , f o r e a c h z i n C , O < o o .A c c o r d i n g t o P r o p o s i t i o n 1 9 . 7 . 1 1 , u i s a s o l v a b l e f u n c t i o n . 0

T h e n e x t r e s u l t w i l l b e u s e d l a t e r a n d c o u l d h a v e b e e n p r o v e d e a r l i e r .I t w a s p o s t p o n e d u n t i l n o w b e c a u s e t h e c o r o l l a r y i s t h e c h i e f o b j e c t i v eh e r e a n d t h i s w a s m e a n i n g l e s s u n t i l h a r m o n i c m e a s u r e w a s i n t r o d u c e d .N o t e t h a t t h e n e x t p r o p o s i t i o n g e n e r a l i z e s P r o p o s i t i o n 1 9 . 7 . 6 . ( T h e r e s u l ti s q u i t e u s e f u l i n s p i t e o f t h e f a c t t h a t i t s s t a t e m e n t i s l o n g e r t h a n i t s p r o o f ,u s u a l l y a s i g n o f m a t h e m a t i c a l b a n a l i t y . )




1 . 1 3 P r o p o s i t i o n . L e t G b e a h y p e r b o l i c o p e n s e t a n d l e t g — p R b e

a b o u n d e d B o r e l f u n c t i o n ; d e n o t e b y t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e t P r o b l e mo n C w i t h b o u n d a r y v a l u e s g . I f H i s a n o p e n s u b s e t o f C a n d h : R

i s d e f i n e d b y h ( ( ) a n d h ( ( ) = g ( ( ) f o r ( i nf l t h e n h i s a s o l v a b l e f u n c t i o n f o r H a n d h = o n H .

P r o o f . I n f a c t , i f E i ' ( g , G ) , t h e n * ( h , H ) ; h e n c e h o n H .

S i m i l a r l y , i z o n H . S i n c e G i s h y p e r b o l i c , w e g e t t h a t h = h = o n H .0

1 . 1 4 C o r o l l a r y . I f G i s a h y p e r b o l i c o p e n s e t a n d H a n o p e n s u b s e t o f G ,

t h e n f o r a n y B o r e l s u b s e t f o r a l l a i nH .

P r o o f . N o t e t h a t z i s t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m o n Cw i t h b o u n d a r y v a l u e s g = I f h K i s d e f i n e d b y h ( z ) =f o r z i n . % 0 H f l G a n d h ( z ) = g ( z ) f o r z i n t h e n t h e p r e c e d i n gp r o p o s i t i o n i m p l i e s t h a t f o r z i n H ,

s i n c e h o n 0

1 . 1 5 C o r o l l a r y . L e t C a n d b e h y p e r b o l i c o p e n s e t s w i t h C c a I f Ki s a c o m p a c t s u b s e t o f s u c h t h a t = 0 f o r a l l a i n G , t h e n

i n C .

P r o o f . F i r s t o b s e r v e t h a t t h e h y p o t h e s i s i m p l i e s t h a t K i s a s u b s e t o f\ K ) f l S o t h e p r e c e d i n g c o r o l l a r y i m p l i e sf o r a l l a i n G . 0

T h e s e c t i o n c o n c l u d e s w i t h a n a p p l i c a t i o n o f h a r m o n i c m e a s u r e t o o b t a i na f o r m u l a f o r t h e G r e e n f u n c t i o n o f a h y p e r b o l i c o p e n s e t . I n o r d e r t o s e tt h e s t a g e f o r t h i s , w e m u s t f i r s t s h o w t h a t t h e l o g a r i t h m i s i n t e g r a b l e w i t hr e s p e c t t o h a r m o n i c m e a s u r e . U s i n g T h e o r e m 1 . 1 2 , t h i s w i l l p r o d u c e as o l u t i o n o f t h e D i r i c h l e t p r o b l e m w i t h l o g a r i t h m i c b o u n d a r y v a l u e s a n dl e a d t o t h e s o u g h t f o r m u l a . -

1 . 1 6 L e m m a . I f Q i s a h y p e r b o l i c o p e n s u b s e t o f s u c h t h a t 0 0 Q a n do t h e n f o r e v e n j b i n f l , w b ( { a } ) = 0 a n d t h e f u n c t i o n (b e l o n g s t o

P r o o f . L e t g ( z , o o ) b e t h e G r e e n f u n c t i o n f o r w i t h s i n g u l a r i t y a t o o a n d

p u t h ( z ) = g ( z , o o ) — l o gh a h a r m o n i c f u n c t i o n o n f l . N o w ô f I i s b o u n d e d a n d s o t h e r e i s ac o n s t a n t C s u c h t h a t l o g K — o ( C o n




L e t { u , , ) b e a s e q u e n c e o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n O f l s u c h t h a t u , , — C , u , , ( C ) I — a I 1 f o r i n a n d C a , a n d o o ; p u t

= S o i s a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f h a r m o n i c f u n c t i o n s o n I f

4 S E f l ) a n d ( 8 ( 1 , t h e n + l o g f z — a f l u , 1 ( C ) +L o g I C — a f 0 g ( z , o o ) . A c c o r d i n g t o t h e M a x i m u m P r i n c i p l e ,+ l o g I z — g ( z , o o ) o n ( 1 ; h e n c e 4 h o n ( 1 a n d s o h , , h .

T h e r e f o r e f o r e a c h n ,

h ( b ) = f U n d w b

= W b ( { Q } )+ J

U n d W b

S o i f w j ( a ) > 0 , t h e r i g h t h a n d s i d e c o n v e r g e s t o o o a s n — , o o , a c o n t r a -d i c t i o n .

T o s h o w t h e i n t e g r a b i b t y o f t h e l o g a r i t h m , t a k e t h e l i m i t i n t h e a b o v ei n e q u a l i t y t o g e t

c o > h ( b ) — f l o g I C — — C .

T h u s l o g K — E 0

A m o n g s t o t h e r t h i n g s , t h e p r e c e d i n g l e m m a s a y s t h a t h a r m o n i c m e a s u r eh a s n o a t o m s f o r r e g i o n s o f t h a t t y p e . I n t h e a b o v e l e m m a n o t e t h a t i fa E C

\0 ( 2 , l o g j ( — a l i s a b o u n d e d c o n t i n u o u s f u n c t i o n o n t h e b o u n d a r y

a n d i s t h u s i n t e g r a b l e . T h e n e x t r e s u l t i s p a r t o f t h e r e a s o n f o r t h e p r e c e d i n gl e m m a a n d t h e s u c c e e d i n g p r o p o s i t i o n i s a n o t h e r .

1 . 1 7 P r o p o s i t i o n . I f C i s h y p e r b o l i c , t h e n W a h a s n o a t o m s .

P r o o f . T h i s i s i m m e d i a t e f r o m t h e p r e c e d i n g l e m m a s i n c e , b y t h e c h o i c eo f a s u i t a b l e M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n , a n y h y p e r b o l i c o p e n s e t C c a n b em a p p e d o n t o a h y p e r b o l i c o p e n s e t ( 2 s u c h t h a t o o E C l . O n c e t h i s i s d o n e

w e n e e d o n l y a p p l y E x e r c i s e 2 a n d t h e p r e c e d i n g l e m m a . 0

1 . 1 8 P r o p o s I t i o n . I / C i s h y p e r b o l i c a n d a E C , t h e n t h e f t s n c t i o n (l o g I C — a J b e l o n g s t o L ' ( w b ) f o r e v e r i j b i n C .

P r o o f . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y w e m a y a s s u m e t h a t 0 C . L e t r ( z )z 1 a n d p u t 1 2 = r ( G ) . S o o o E 1 2 . A c c o r d i n g t o E x e r c i s e 2 , = O r

a n d = ( s i n c e r = r - 1 ) . F i x b i n C . B y L e m m a 1 . 1 6 , — / 3 1 E

f o r e v e r y i n C ; t h u s l o g f ç ' — / 3 1 E T a k i n g / 3 = 0 g i v e st h a t l o g 1 ( 1 = — l o g E T a k i n g / 3 = i / a , a 0 , g i v e s t h a t

l o g a l E L ' ( 4 ) . 0




I t s h o u l d b e e m p h a s i z e d t h a t i n t h e n e x t t h e o r e m t h e o p e n s e t i s a s s u m e dt o n o t c o n t a i n t h e p o i n t o o . F o r a h y p e r b o l i c o p e n s e t t h a t c o n t a i n s c o t h ef o r m u l a f o r t h e G r e e n f u n c t i o n i s i n t h e s u c c e e d i n g t h e o r e m .

1 . 1 9 T h e o r e m . I f C i s a h y p e r b o l i c o p e n s e t c o n t a i n e d i n C , a E C , a n dg ( z , a ) i s t h e G r e e n f u n c t i o n f o r C w i t h s i n g u l a r i t y a t a , t h e n

P r o o f . A c c o r d i n g t o t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n t h e i n t e g r a l i n t h i s f o r m u l ai s w e l l d e f i n e d . L e t h ( z , a ) d e n o t e t h e r i g h t h a n d s i d e o f t h e a b o v e e q u a t i o n

a n d f i x a i n C . C l e a r l y h i s h a r m o n i c i n C \ { a } . I f E P ( l o g ( — C ) ,t h e n i , I , ( z ) — l o g ! z — a I i s s u p e r h a r m o n i c o n G a n d , f o r C i n

U r n i n f [ i , 1 ' ( z ) — — a j ] = U r n i n f t , b ( z ) — — a I

> 0 .

B u t f l o g J ( — a I = E P ( l o g K — a j , G ) } . S o h ( z , a ) 0 f o r

a l l z i n C . C l e a r l y h ( z , a ) + l o g I z — a J i s h a r m o n i c n e a r a . B y t h e d e f i n i t i o no f t h e G r e e n f u n c t i o n , h ( z , a ) g ( z , a ) .O n t h e o t h e r h a n d , l e t b e a p o s i t i v e s u p e r h a r m o n i c f u n c t i o n o n C s u c h

t h a t 4 ' ( z ) + I o g z — a I i s a l s o s u p e r h a r m o n i c . I t f o l l o w s t h a t l i m A p p l y i n g

P r o p o s i t i o n 1 9 . 9 . 1 0 w e g e t t h a t g ( z , a ) h ( z , a ) . 0

1 . 2 0 T h e o r e m . I f i s a h y p e r b o l i c o p e n s e t i n t h e e x t e n d e d p l a n e s u c h

t h a t 0 0 f l , a E a n d g ( w , a ) t h e w i t h s i n g u l a r i t ya t a 0 0 , t h e n f o r e v e r t j w 0 0

g ( w , a )= j l o g 1 w — a I + g ( w , c o ) .

1 f f ) i s a p o i n t n o t i n t h e n f o r e v e r y c h o i c e o f d i s t i n c t a a n d w i n

g ( w , a ) = fI n p a r t i c u l a r , f o r w o o i n f l ,

g ( w , o o )= f l o g

( w _ / 3 )

= _ J

P r o o f . I n t h i s p r o o f t h e G r e e n f u n c t i o n f o r f i w i l l b e d e n o t e d b y T a k ea n y p o i n t f 3 t h a t d o e s n o t b e l o n g t o a n d l e t r ( w ) = ( w — f l ) ' ; p u t

C i - ( 1 l ) . S o C i s h y p e r b o l i c , 0 0 G , a n d 0 = r ( o o ) E C . I f g C i s t h eG r e e n f u n c t i o n f o r C , t h e n f o r e v e r y w a n d a i n

g ° ( w , a )= g G ( r ( w ) , r ( a ) )

= J l o g — r ( a ) I — l o g f r ( w ) — r ( c x ) I

1 1 1 1— a — / 3

o g

=

T h i s g i v e s a l l b u t t h e f i r s t o f t h e f o r m u l a s i n t h e t h e o r e m . T o o b t a i n t h ef i r s t , a s s u m e n e i t h e r w n o r a i s a n d u s e t h e p r o p e r t i e s o f t h e l o g a r i t h ma n d t h e f a c t t h a t h a r m o n i c m e a s u r e i s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e . T h i s g i v e s

=

l o g

=

E x e r c i s e s

1 . P r o v e P r o p o s i t i o n 1 . 4 .

2 . I f r : C I l i s a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e t h a t e x t e n d s t o a h o m e o -m o r p h i s m b e t w e e n t h e c l o s u r e s i n t h e e x t e n d e d p l a n e , a C , a n d

a = r ( a ) , t h e n o =

3 . A s s u m e t h a t j z a n d a r e f i n i t e m e a s u r e s o n t h e s a m e s e t X . ( a ) S h o w

t h a t a n d z ' a r e m u t u a l l y a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s ( b u t n o t n e c e s s a r -i l y b o u n d e d l y s o ) , t h e n t h e i d e n t i t y m a p p i n g o n t h e b o u n d e d B o r e lf u n c t i o n s i n d u c e s a n i s o m e t r i c i s o m o r p h i s m o f o n t o L ° ° ( v )t h a t i s a h o m e o m o r p h i s m f o r t h e w e a k t o p o l o g y . ( b ) C o n v e r s e l y ,s h o w t h a t i f T : — i L ° ° ( v ) i s a n i s o m e t r i c i s o m o r p h i s m t h a t i st h e i d e n t i t y o n c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n s a n d T i s a w e a k h o m e o m o r -p h i s m , t h e n a n d i i a r e m u t u a l l y a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s . ( c ) I f a n dv a r e m u t u a l l y a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s a n d * j ' = 4 i / d v , s h o w t h a t f o r

l < p < o o , t h e m a p T f = f q 5 1 1 P d e f i n e s a n i s o m e t r i c i s o m o r p h i s mo f o n t o D ' ( v ) s u c h t h a t T ( u f ) = u T ( f ) f o r a f t u i n

a n d f i n ( d ) C o n v e r s e l y , i f t h e r e i s a n i s o m e t r i c i s o m o r p h i s m



2 1 . 2 . T h e S w e e p o f a M e a s i I r e 3 1 1

T : L P ( p ) V ' ( z i ) s u c h t h a t T ( u f ) = u T ( f ) f o r a l l b o u n d e d B o r e lf u n c t i o n s u a n d a l l f i n L P ( p ) , t h e n p a n d L ' a r e m u t u a l l y a b s o l u t e l y

c o n t i n u o u s .

4 . ( S p r a k e r [ 1 9 8 9 1 ) S u p p o s e - y i s a s m o o t h J o r d a n c u r v e , G i n s r , a n da E G . S h o w t h a t i f = n o r m a l i z e d a r c l e n g t h m e a s u r e o n t h e n- y i s a c i r c l e a n d a i s i t s c e n t e r .

5 . F o r R > 0 , p u t G = R ) a n d s h o w t h a t f o r e v e r y c o n t i n u o u s

f u n c t i o n f o n O G , f f = f ( R d O .

6 . i f G \ [ 0 , 1 ] , w h a t i s h a r m o n i c m e a s u r e f o r G a t o o ?

§ 2 * T h e S w e e p o f a M e a s u r e

I f C i s a h y p e r b o l i c o p e n s e t a n d u C ( 0 0 0 C ) , l e t , a s u s u a l , i b e t h es o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m . T h u s i f p i s a b o u n d e d r e g u l a r B o r e lm e a s u r e c a r r i e d b y C , ü d p i s w e l l d e f i n e d a n d f i n i t e . I n f a c t , ü d p i

1 1 i 4 I 1 1 1 4 1 T h a t i s , u d p i s a b o u n d e d l i n e a rf u n c t i o n a l o n T h u s t h e r e i s a m e a s u r e s u p p o r t e d o n s u c ht h a t

2 . 1 f u d P = j u d f h

f o r e v e r y u i n

C i s a h y p e r b o l i c o p e n s e t a n d p E M ( C ) , t h e s w e e p o fp i s t h e m e a s u r e j i d e f i n e d b y ( 2 . 1 ) .

C a u t i o n h e r e , i n t r e p i d r e a d e r . T h e n o t a t i o n f o r t h e s w e e p o f a m e a s u r ei s t h e s a m e a s t h a t f o r t h e C a u c h y t r a n s f o r m . T h i s c o i n c i d e n c e d o e s n o tr e f l e c t o n h u m a n i t y o r p r o v i d e a c o m m e n t a r y o n t h e l a c k o f n o t a t i o n a li m a g i n a t i o n . T h o u g h u n f o r t u n a t e , t h e n o t a t i o n i s t r a d i t i o n a l .

N o t e t h a t i f a E C a n d w 6 i s h a r m o n i c m e a s u r e f o r C a t a , t h e n f o re v e r y c o n t i n u o u s f u n c t i o n u o n ü ( o ) = U d W a . E q u i v a l e n t l y ,

f a i l d 6 6 = u d w 6 . T h u s t h e s w e e p o f i sT h e r e i s o f t e n i n t h e l i t e r a t u r e t h e d e s i r e t o d i s c u s s t h e s w e e p o f a m e a -

s u r e p c a r r i e d b y a c o m p a c t s u b s e t K o f C . I n t h i s c a s e t h e s w e e p o f p i sp J O K + 1 4 ( i n t K ) .

T h e n e x t p r o o f i s l e f t t o t h e r e a d e r .

• T h i s s e c t i o n c a n b e s k i p p e d i f d e s i r e d , a s t h e r e m a i n d e r o f t h e b o o k d o e s n o td e p e n d o n i t .

2 . 3 P r o p o s i t i o n . T h e m a p u i . s a c o n t r a c t i v e l i n e a r m a p o f M ( G )i n t o

O f t e n w e a r e n o t s o i n t e r e s t e d i n h a r m o n i c m e a s u r e i t s e l f b u t r a t h e r w i t h

i t s m e a s u r e c l a s s ( t h a t i s , t h e c o l l e c t i o n o f m e a s u r e s t h a t h a v e t h e s a m es e t s o f m e a s u r e 0 a s h a r m o n i c m e a s u r e ) . T h i s a p p l i e s t o n o n - c o n n e c t e dh y p e r b o l i c o p e n s e t s a s w e l l a s r e g i o n s . W i t h t h i s i n m i n d , l e t u s i n t r o d u c et h e f o l l o w i n g i d e a .

2 . 4 D e f i n i t i o n . L e t C b e a h y p e r b o l i c o p e n s e t w i t h c o m p o n e n t s G 1 , C 2 , . . .a n d f o r e a c h n 1 p i c k a p o i n t a , , i n C i , . I f i s h a r m o n i c m e a s u r e f o rG a t a , , a n d w = 2 " w , , , t h e n h a r m o n i c m e a s u r e f o r C i s a n y m e a s u r e

o n t h a t h a s t h e s a m e s e t s o f m e a s u r e z e r o a s c u .

T h u s h a r m o n i c m e a s u r e f o r a h y p e r b o l i c o p e n s e t i s a c t u a l l y a m e a -s u r e c l a s s [ w J , r a t h e r t h a n a s p e c i f i c m e a s u r e . T h i s m e a n s i t i s i m p o s s i b l et o d e f i n e t h e L 7 s p a c e o f t h e c l a s s i f 1 < p < o o . I n d e e d i f t h e p o i n t sa , , i n D e f i n i t i o n 2 . 4 a r e r e p l a c e d b y p o i n t s w i t h t h e c o r r e s p o n d i n gh a r m o n i c m e a s u r e , t h e s p a c e s a n d a r e i s o m o r p h i c v i a t h ei d e n t i t y m a p b u t n o t i s o m e t r i c a l l y i s o m o r p h i c . T h u s , i n t h e p r e s e n c e o fa n i n f i n i t e n u m b e r o f c o m p o n e n t s , t h e s p a c e s L ' ( w ) a n d m a y n o te v e n b e i s o m o r p h i c u n d e r t h e i d e n t i t y m a p . W e c a n , h o w e v e r , d e f i n e t h eL ' s p a c e a n d t h e s p a c e s i n c e t h e d e f i n i t i o n s o f t h e s e s p a c e s a c t u a l l y

o n l y d e p e n d o n t h e c o l l e c t i o n o f s e t s o f m e a s u r e 0 .

2 . 5 D e f i n i t i o n , i f G i s a h y p e r b o l i c o p e n s e t a n d w i s h a r m o n i c m e a s u r ef o r G , d e f i n e

{ f I i s w — e s s e n t i a l l y b o u n d e d } ,= E

A s u s u a l , f u n c t i o n s i n a r e i d e n t i f i e d i f t h e y a g r e e a . e . [ w J .T h u s L ° ° ( 5 0 0 C ) = L ° ° ( w ) a n d t h e d e f i n i t i o n o f t h e n o r m o n L ° ° ( 1 3 0 0 C ) i si n d e p e n d e n t o f w h i c h f o r m o f h a r m o n i c m e a s u r e f o r C w e c h o o s e . T h e s a m ei s n o t q u i t e t r u e f o r

I f w a n d a r e t w o h a r m o n i c m e a s u r e s f o rC t h a t a r e n o t b o u n d e d l y m u t u a l l y a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s , t h e n V a n dL ' ( w ' ) c a n b e s i g n i f i c a n t l y d i f f e r e n t i f w e d e f i n e t h e s e s p a c e s a s s p a c e s o fi n t e g r a b l e f u n c t i o n s . I n f a c t , t h e s e s p a c e s m a y n o t b e e q u a l a s s e t s , l e t a l o n ei s o m e t r i c a s B a n a c h s p a c e s . B u t t h e d e f i n i t i o n o f L ' g i v e n a b o v e a s as u b s p a c e o f w i t h t h e t o t a l v a r i a t i o n n o r m r e m o v e s t h i s a m b i g u i t y .

2 . 6 P r o p o s i t i o n . E M ( C ) , t h e n f A , t h e s w e e p b e l o n g s t o L ' ( 0 0 0 C ) .

P r o o f . A d o p t t h e n o t a t i o n o f D e f i n i t i o n 2 . 4 a n d l e t b e a c o m p a c t s u b s e to f w i t h = 0 . I t s u f f i c e s t o a s s u m e t h a t 0 a n d s h o w t h a t= 0 . L e t b e a s e q u e n c e o f c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n s u c h

2 1 . 3 . T h e R o b u i C o n s t a n t 3 1 3

t h a t 1 f o r a l l n 1 a n d d e c r e a s e s m o n o t o n i c a f l y t o

f o r e a c h z i n I f a E G , t h e n = f u , % d W a 0 .

S i n c e 0 1 f o r a l l n l a n d f o r a l l a i n C , = h m f =

0

E x e r c i s e s

1 . S u p p o s e t h a t m t K i s a D i r i c h l e t s e t a n d s h o w t h a t u f t i s ab o u n d e d l i n e a r m a p o f C ( O K ) i n t o C ( K ) .

W h a t i s t h e d u a l o f t h i s m a p ?2 . I f i s a p o s i t i v e m e a s u r e c a r r i e d b y D , d e f i n e R , , 1 0 1 ) — , R b y

= f w h e r e P ( i s t h e P o i s s o n k e r n e l . L e t m b e n o r m a l -i z e d a r c l e n g t h m e a s u r e o n O D . ( a ) S h o w t h a t R , , 1 i s a n o n - n e g a t i v e

f u n c t i o n i n L 1 ( m ) . ( b ) 1 f f s h o w t h a t I f I 2 R S m .( c ) P r o v e t h a t f t = R M m .

§ 3 T h e R o b i n C o n s t a n t

R e c a l l t h a t , f o r a c o m p a c t s u b s e t K o f C , t h e G r e e n f u n c t i o n f o r C , 0 \ Kn e a r t h e p o i n t a t i n f i n i t y i s p r e c i s e l y t h e G r e e n f u n c t i o n f o r \ K . K e e pt h i s i n m i n d w h i l e r e a d i n g t h e d e f i n i t i o n o f t h e R o b i n c o n s t a n t b e l o w .

3 . 1 D e f i n i t i o n , i f K i s a n y c o m p a c t s u b s e t o f C s u c h t h a t \ K i sh y p e r b o l i c , t h e n t h e R o b i n c o n s t a n t f o r K i s t h e n u m b e r r o b ( K ) d e f i n e db y

r o b ( K ) l i m [ g ( z , o o ) — l o g

w h e r e g i s t h e G r e e n f u n c t i o n f o r \ K . I f \ K i s p a r a b o l i c , d e f i n er o b ( K ) = 0 0 .

F i r s t n o t e t h a t w h e n \ K i s h y p e r b o l i c , r o b ( K ) < o o f r o m t h e d e f -

i n i t i o n o f t h e G r e e n f u n c t i o n . S o r o b ( K ) = 0 0 i f a n d o n l y i f \ K i sp a r a b o l i c . N e x t , t h e r e m a r k s p r e c e d i n g t h e d e f i n i t i o n s h o w t h a t r o b ( K ) =r o b ( O K ) = r o b ( K ) i f \ K i s h y p e r b o l i c ; P r o p o s i t i o n 1 9 . 9 . 5 i m p l i e s t h es a m e t h i n g i n t h e p a r a b o l i c c a s e . A n o t h e r o b s e r v a t i o n t h a t w i l l b e u s e f u li n t h e s e q u e l i s t h a t f o r a n y c o m p l e x n u m b e r a

r o b ( K ) = l i m [ g ( z , o o ) — l o g I z — a l l .

T h e f o l l o w i n g r e s u l t s o f t e n m a k e i t e a s i e r t o c o m p u t e t h e R o b i n c o n s t a n to f a c o m p a c t c o n n e c t e d s e t .




3 . 2 P r o p o s i t i o n . L e t K b e a c o m p a c t c o n n e c t e d s u b s e t o f C a n d l e t C b et h e c o m p o n e n t o f \ K t h a t c o n t a i n s o o . I f r : G D i s t h e R i e m a n nm a p w i t h r ( o o ) = 0 a n d p = r ' ( o o ) > 0 , t h e n r o b ( K ) = — l o g p . I f I =

U )

C , t h e n p = f ( w ) = R e s ( f ; 0 ) .P r o o f . N o t e t h a t p = r ' ( o o ) = z r ( z ) = w f ( w ) , w h i c h i s

t h e r e s i d u e o f f a t t h e s i m p l e p o l e a t 0 . T h u s i t s u f f i c e s t o p r o v e t h e f i r s ts t a t e m e n t . T o t h i s e n d , w e o b s e r v e t h a t — l o g I r ( z ) l = g ( z , o o ) , t h e G r e e nf u n c t i o n f o r C w i t h s i n g u l a r i t y a t 0 0 ( 1 9 . 9 . 2 ) . T h u s

r o b ( K ) = l o g l r ( z ) l — l o g l z I l

=

= — l o g p .

0

3 . 3 C o r o l l a r y . I f K a c l o s e d d i s k o f r a d i u s R , r o b ( K ) = — t o g R .

F o r t h e n e x t c o r o l l a r y s e e E x a m p l e 1 4 . 1 . 4 .

3 . 4 C o r o l l a r y . I f K i s a s t r a i g h t l i n e s e g m e n t o f l e n g t h L , r o b ( K ) =— l o g ( L / 4 ) .

W e w i l l s e e t h e R o b i n c o n s t a n t a g a i n i n § 1 0 .

3 . 5 P r o p o s i t i o n . L e t K b e a c o m p a c t s u b s e t o f C s u c h t h a t \ Ki s h y p e r b o l i c , l e t = r o b ( K ) , a n d l e t C b e t h e c o m p o n e n t o f \ K t h a tc o n t a i n s o o . I f w i s h a r m o n i c m e a s u r e f o r C a t o o a n d i s i t s l o g a r i t h m i c

p o t e n t i a l , t h e n

I i f a e Ci f

a n d - y f o r a l l z i n C .

P r o o f . I t c a n b e a s s u m e d w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l I t y t h a t K = K . T h e o r e m1 . 2 0 i m p l i e s t h a t g ( z , a ) = f l o g l z — a f — l o g l z — a f + g ( z . 0 0 ) f o r a l l

f i n i t e a a n d z i n G , B u t g ( z , a ) = g ( a , z ) a n d s o= f l o g K _ a I _ l d w z ( ( )

= [ g ( z , o o ) — l o g l z — — g ( a , z ) .

L e t t i n g z — ' o o a n d u s i n g t h e f a c t — + ( E x e r c i s e 1 ) , w e g e t t h a t= — g ( a , o o ) f o r a n y f i n i t e p o i n t a i n C .

N o w s u p p o s e t h a t a c i C . O n c e a g a i n w e i n v o k e T h e o r e m 1 . 2 0 t o g e tt h a tg ( z , o o ) — l o g l z — a l = f i o g i z —

2 1 . 4 . T h e G r e e n P o t e n t i a l 3 1 5

L e t t i n g z o o s h o w s t h a t = y f o r a c i G .F i n a l l y , t h e f a c t t h a t t h e G r e e n f u n c t i o n i s p o s i t i v e i m p l i e s t h a t L , , ( z )f o r a l l z i n C \ 8 G . B u t i s l s c a n d s o f o r e a c h ( i n O G ,

0

E x e r c i s e s

1 . I f C i s a n y h y p e r b o l i c r e g i o n a n d } i s a s e q u e n c e i n C t h a t c o n -v e r g e s t o z i n C , t h e n — + i n t h e w e a k t o p o l o g y o n

2 . I f K i s a c l o s e d a r c o n a c i r c l e o f r a d i u s R t h a t h a s l e n g t h O R , s h o wt h a t r o b ( K ) = — l o g [ R s i n ( O / 4 ) } .

3 . i f K i s t h e e l l i p s e x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 , t h e n r o b ( K ) = — l o g [ ( a + b ) / 2 ] .

4 .

S h o w t h a t r o b ( K ) = l o g R . ( S e e E x e r c i s e 1 9 . 9 . 3 . )

5 . I f R > 0 , s h o w t h a t l o g R ' i fI z i < R a n d i f > R .

6 . L e t R > 0 a n d l e t b e t h e r e s t r i c t i o n o f a r e a m e a s u r e t o B ( a ; r ) . S h o wt h a t = i f l z I R a n d L M ( z ) = i r R 2 [ l o g R ' +

1 / 2 1 — l r I z I 2 / 2 f o r I z I R .

7 . L e t b e a p o s i t i v e m e a s u r e o n t h e p l a n e w i t h c o m p a c t s u p p o r t c o n -t a i n e d i n t h e d i s k D B ( a ; R ) . S h o w t h a t +

§ 4 T h e G r e e n P o t e n t i a l

I n t h i s s e c t i o n C w i l l a l w a y s b e a h y p e r b o l i c o p e n s e t a n d g i t s G r e e nf u n c t i o n . W e w i l l d e f i n e a p o t e n t i a l a s s o c i a t e d w i t h t h e G r e e n f u n c t i o n g

a n d a p o s i t i v e m e a s u r e c a r r i e d b y C . T o j u s t i f y t h e d e f i n i t i o n , w e f i r s tp r o v e t h e f o l l o w i n g .

4 . 1 P r o p o s i t i o n . I f i s a f i n i t e p o s i t i v e m e a s u r e o n C a n d

4 . 2 G M ( z ) = w ) d 1 t ( t u ) ,

t h e n G M d e f i n e s a p o s i t i v e s u p e r h a r m o n i c f u n c t i o n o n C t h a t i s n o t i d e n t i -

c a l l y i n f i n i t e o n a n y c o m p o n e n t o f C .P r u o f . F i r s t n o t e t h a t b e c a u s e b o t h t h e G r e e n f u n c t i o n a n d t h e m e a s u r e

a r e p o s i t i v e , t h e f u n c t i o n i s w e l l d e f i n e d , t h o u g h i t m a y b e t h a t =

c c f o r s o m e z . F o r n 1 , l e t g , , ( z , w ) = m i n { g ( z , w ) , n } a n d p u t f , , ( z ) =f g , , ( z , w ) d p ( w ) . B y P r o p o s i t i o n 1 9 . 4 . 6 , i s s u p e r h a r m o n i c . S i n c e p i sp o s i t i v e , e a c h f u n c t i o n f , , i s s u p e r h a r m o n i c . A n o t h e r a p p l i c a t i o n 0 1 ( 1 9 . 4 . 6 )

s h o w s t h a t i s s u p e r h a r m o n i c .S u p p o s e t h e r e i s a d i s k B = B ( a ; r ) c o n t a i n e d i n C w i t h . i ( B ) = 0 . L e tC g ( z , a ) f o r a l l z i n G \ B . T h e n = f G \ B g ( a , w ) C <

N o w r e t u r n t o t h e c a s e t h a t p i s a r b i t r a r y a n d l e t B b e a n y d i s k c o n t a i n e di n C . L e t i ' = p l B a n d c i = p l ( G \ B ) . C l e a r l y G M = ( 3 , , + a n d ,b y t h e p r e c e d i n g p a r a g r a p h , n e i t h e r ( 3 , , n o r C , , a r e i d e n t i c a l l y o o o n t h e

c o m p o n e n t c o n t a i n i n g B . B y P r o p o s i t i o n 1 9 . 4 . 1 1 , C , , i s n o t i d e n t i c a l l y o o

o n t h i s a r b i t r a r y c o m p o n e n t . 0

B e c a u s e t h e G r e e n f u n c t i o n i s p o s i t i v e , t h e f u n c t i o n ( 4 . 2 ) i s w e l l d e f i n e de v e n i f t h e m e a s u r e p i s n o t f i n i t e ( t h o u g h i t m u s t b e a s s u m e d t o b e a p o s i -t i v e m e a s u r e ) . I n c a s e p i s n o t f i n i t e , t h e G r e e n p o t e n t i a l m a y b e i d e n t i c a l l yo o o n s o m e c o m p o n e n t s o f C . T h e r e m a y a l s o b e s o m e p o s i t i v e m e a s u r e sp t h a t a r e i n f i n i t e b u t s u c h t h a t t h e f u n c t i o n ( 4 . 2 ) i s f i n i t e v a l u e d . S e eE x a m p l e 4 . 4 b e L o w .

4 . 3 D e f i n i t i o n , I f i s a h y p e r b o l i c o p e n s e t a n d p i s a p o s i t i v e ( e x t e n d e dr e a l - v a l u e d ) m e a s u r e o n G , t h e G r e e n p o t e n t i a l o f p i s t h e f u n c t i o n C ,d e f i n e d i n ( 4 . 2 ) .

4 . 4 E x a m p l e . I f C i s t h e u n i t d i s k D , t h e G r e e n f u n c t i o n i s g i v e n b yg ( z , w ) = — l o g ( I z — w i / I l — T h u s f o r a n y p o s i t i v e m e a s u r e p o n

G , , ( z ) = L , , ( z )— f

l o g I i —

I f { a , , } i s a n y s e q u e n c e o f p o i n t s i n D a n d p = t h e n

G , , ( z )

a n d t h i s f u n c t i o n i s f i n i t e - v a l u e d f o r z a , , i f — I a , , I ) < o o ( s e eE x e r c i s e 8 . 5 . 4 ) .

S h o r t l y w e w i l l s e e a c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e G r e e n p o t e n t i a l a n d t h el o g a r i t h m i c p o t e n t i a l o f a c o m p a c t l y s u p p o r t e d m e a s u r e s i m i l a r t o t h e o n ee x h i b i t e d f o r t h e d i s k i n t h e p r e c e d i n g e x a m p l e . E a c h p o t e n t i a l h a s i t sa d v a n t a g e s . T h e G r e e n p o t e n t i a l i s a l w a y s p o s i t i v e a n d t h i s h a s i m p o r t a n t

c o n s e q u e n c e s . I n a d d i t i o n , t h e G r e e n p o t e n t i a l r e a d i l y e x t e n d s t o h i g h e rd i m e n s i o n a l s p a c e s w i t h i m p o r t a n t a p p l i c a t i o n s s i m i l a r t o t h e o n e s w e w i l l

s e e b e l o w . T h i s i s n o t t h e c a s e f o r t h e l o g a r i t h m i c p o t e n t i a l . O n t h e o t h e rh a n d , t h e d e f i n i t i o n o f G , , d e p e n d s o n t h e c h o i c e o f t h e o p e n s e t C a n d i s

o n l y d e f i n e d t h e r e , w h i l e t h e d e f i n i t i o n o f L M i s u n i v e r s a l .




W h e n w e d i s c u s s t h e G r e e n p o t e n t i a l , i t w i l l a l w a y s b e u n d e r s t o o d t h a tt h e r e i s a n u n d e r l y i n g h y p e r b o l i c o p e n s e t G w h o s e G r e e n f u n c t i o n i s u s e dt o d e f i n e t h i s p o t e n t i a l .

4 . 5 T h e o r e m . I f G i s a h y p e r b o l i c o p e n s e t , i s h a r m o n i c m e a s u r e f o rG a t z , a n d p i s a p o s i t i v e m e a s u r e w i t h c o m p a c t s u p p o r t c o n t a i n e d i n G ,

t h e n

=— f a c

f o r a l l z i n G .

P r o o f . R e c a l l ( 1 . 1 6 ) t h a t f o r a n y z , w i n G t h e f u n c t i o n ( — i — w I

b e l o n g s t o S i n c e p h a s c o m p a c t s u p p o r t , i t f o l l o w s t h a t l o g ( — w ( Ex i i ) . I n d e e d , f o r z f i x e d t h e f u n c t i o n w — w I i s

h a r m o n i c o n C a n d t h u s b o u n d e d o n s u p p u . T h e r e f o r e F u b i n i ' s T h e o r e ma p p l i e s a n d w e g e t t h a t

f f = fO G 8 C C

=F r o m T h e o r e m 1 . 1 9 i t f o l l o w s t h a t

9 ( Z , t u ) = _ f l o g I C _ w I _ I d w z ( ( ) + l o g ( z _ w ( _ 1 .

I n t e g r a t i n g b o t h s i d e s w i t h r e s p e c t t o p a n d u s i n g t h e p r e c e d i n g e q u a t i o ng i v e s t h e f o r m u l a f o r i n t h e t h e o r e m . 0

T h e s u b s e q u e n t c o r o l l a r y f o l l o w s f r o m t h e o b s e r v a t i o n t h a t a s a f u n c t i o no f z t h e i n t e g r a l i n ( 4 . 5 ) i s h a r m o n i c o n C .

4 . 8 C o r o l l a r y . I f p i s a p o s i t i v e m e a s u r e o n C w i t h c o m p a c t s u p p o r t , t h e nC , , - i s a h a r m o n i c f u n c t i o n o n C .

4 . 7 C o r o l l a r y . I f p i s a p o s i t i v e m e a s u r e o n C w i t h c o m p a c t s u p p o r t , t h e n ,c o n s i d e r i n g C , , a s a d i s t r i b u t i o n o n C ,

- 2 7 r p .

C o n s e q u e n t l y i f H i s a n o p e n s u b s e t o f C s u c h t h a t e q u a l s a h a r m o n i cf u n c t i o n a . e . [ A r e a j o n H , p ( H ) = 0 .

4 . 8 C o r o l l a r y . I f p a r i d v a r e t w o p o s i t i v e m e a s u r e s o n C w i t h c o m p a c ts u p p o r t a n d t h r e i s a h a r , n o n i c f u n c t i o n h o n a n o p e n s u b s e t H o f G w t t h

G M - C R = h o n H , t h e n P I H = L ' I H .A s a p o s i t i v e s u p e r h a r n i o n i c f u n c t i o n C , , 1 h a s a l e a s t h a r m o n i c m i n o r a n t

( 1 9 . 8 . 2 ) , w h i c h m u s t b e n o n - n e g a t i v e . F r o m P r o p o s i t i o n 1 9 . 9 . 2 w e a l s o k n o w




t h a t f o r a n y p o i n t a i n G t h e g r e a t e s t h a r m o n i c m i n o r a n t o f t h e f u n c t i o ng c ( Z ) = g ( z , a ) i s t h e c o n s t a n t l y 0 f u n c t i o n . T h i s c a r r i e s o v e r t o t h e G r e e np o t e n t i a l o f a p o s i t i v e m e a s u r e .

4 . 9 P r o p o s i t i o n . I f j s i s a p o s i t i v e m e a s u r e o n G , t h e n t h e g r e a t e s t h a r -m o n i c m i n o r a n t o f t h e f u n c t i o n G , , , i s 0 .

P r o o f . L e t b e a s e q u e n c e o f o p e n s u b s e t s o f C w h o s e u n i o n i s Cs u c h t h a t c i ç a n d 0 i s a f I n i t e s y s t e m o f J o r d a n c u r v e s . F o rz i n l e t b e h a r m o n i c m e a s u r e f o r C , a t z . I f

=t h e n i s a n i n c r e a s i n g s e q u e n c e a n d h ( z ) = f o r a l l z i s t h e

g r e a t e s t h a r m o n i c m i n o r a n t o f C , . ( 1 9 . 8 . 3 ) . I n a s i m i l a r w a y d e f i n e

g i s t h e G r e e n f u n c t i o n f o r C . E x t e n d t h e d e f i n i t i o n o f g n b y l e t -t i n g g n ( z , W ) g ( z , w ) f o r z i n C \ C 1 , ; s o f o r e a c h w , z — . g n ( z , W )i s s u p e r h a r m o n i c o n C . S i n c e t h e g r e a t e s t h a r m o n i c m i n o r a n t o f g i s 0 ,C o r o l l a r y 1 9 . 8 . 3 i m p l i e s t h a t = 0 f o r a l l z a n d w . B u t t h eG r e e n f u n c t i o n i s p o s i t i v e , s o w e c a n a p p l y F u b i n i ' s T h e o r e m t o g e t t h a t

= O n t h e o t h e r h a n d , t h e M a x i m u m P r i n c i p l e i m -p l i e s g ( z , w ) f o r a l l n . S o L e b e s g u e ' s D o m i n a t e d C o n v e r g e n c eT h e o r e m i m p l i e s t h a t h , , ( z ) — ' 0 ; t h a t i s , h = 0 . 0

W e a r e n o w i n a p o s i t i o n t o p r o v e a n o t h e r R i e s z D e c o m p o s i t i o n T h e -o r e m f o r s u b h a r m o n i c f u n c t i o n s . ( S e e T h e o r e m 1 9 . 5 . 6 . ) A f t e r r e a d i n g t h es t a t e m e n t o f t h e t h e o r e m , t h e r e a d e r s h o u l d l o o k a t E x e r c i s e 2 .

4 . 1 0 R i e s z D e c o m p o s i t i o n T h e o r e m . I f u i s a s u b h a r m o n i c f u n c t i o no n C t h a t i s n o t i d e n t i c a l l y — c c o n a n y c o m p o n e n t , t h e n t h e r e i s a p o s i t i v e

m e a s u r e ( p o s s i b l y i n f i n i t e - v a l u e d ) s u c h t h a t f o r e v e n , , b o u n d e d o p e n s u b s e tH o f C w i t h c l H C t h e r e i s a h a r m o n i c f u n c t i o n h o n H w i t h u ( z ) =h ( z ) — C , . I H ( z ) f o r a l l z i n H . T h e f u n c t i o n h i s t h e l e a s t h a r m o n i c m a j o r a n t

o f u o n H . I f i s i s n e g a t i v e a n d h i s t h e l e a s t h a r m o n i c m a j o r a n t o f u o nC , t h e n u = h — C , . o n C .

P r o o f . A s i n t h e p r o o f o f T h e o r e m 1 9 . 5 . 6 , i n t h e s e n s e o f d i s t r i -b u t i o n s ; a n d f o r a n y s u c h o p e n s e t H , i f v = 4 H , t h e h a r m o n i c f u n c t i o nh o n H e x i s t s s u c h t h a t u = h — C , , o n H . S i n c e t h e G r e e n p o t e n t i a l i sp o s i t i v e , u h o n H s o t h a t h i s a h a r m o n i c m a j o r a n t . I f k i s a n o t h e rh a r m o n i c f u n c t i o n o n H w i t h u k , t h e n C , , = h — i s h — k . S i n c e t h e

g r e a t e s t h a r m o n i c m i n o r a n t o f i s 0 , w e h a v e t h a t , o n H , 0 ? h — I c o r

I c h . T h e r e f o r e h i s t h e l e a s t h a r m o n i c m a j o r a n t o f u o n H .i s a

f i n i t e l y c o n n e c t e d J o r d a n r e g i o n w i t h c i l e t b e t h e G r e e nf u n c t i o n f o r J I B . F r o m t h e M a x i m u m P r i n c i p l e w e h a v e t h a t s o

t h a t i f = o n I n f a c t b y m o n o t o n e c o n v e r g e n c e ,f o r a l l z i n C . L e t l i , b e t h e l e a s t h a r m o n i c m a j o r a n t o f

u o n H , , s o t h a t u = h , , t h e r e . S i n c e u 0 , h , , C l e a r l y { h , , } i si n c r e a s i n g . T h e r e f o r e h ( z ) = t i m , , h , , ( z ) i s a h a r m o n i c f u n c t i o n o n G a n du = h — I t i s e a s y t o s e e t h a t h i s t h e l e a s t h a r m o n i c i n a j o r a n t o f u . 0

4 . 1 1 C o r o l l a r y . I f u i s a p o s i t i v e s u p e r h a r i n o n i c f l n z c t i o n o n G t h a t i s n o ti d e n t i c a l l y i n f i n i t e o n a n y c o m p o n e n t o f C , t h e n u i s t h e G r e e n p o t e n t i a lo f a p o s i t i v e m e a s u r e o n C i f a n d o n l y i f t h e g r e a t e s t h a r m o n i c m i n o r a n to f u i s O .

T h e n e x t p r o p o s i t i o n i s p r o v e d l i k e P r o p o s i t i o n 1 9 . 5 . 1 1 .

4 . 1 2 P r o p o s i t i o n . I f p i s a p o s i t i v e m e a s u r e w i t h c o m p a c t s u p p o r t K i n

C a n d i s c o n t i n u o t i s a t a p o i n t a o f K , t h e n 0 Mi s c o n t i n u o u s a l a .

E x e r c i s e s

1 . W h a t i s t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e f o r m u l a i n T h e o r e m 4 . 5 r e l a t i n gt h e G r e e n p o t e n t i a l a n d t h e l o g a r i t h m i c p o t e n t i a l o f a p o s i t i v e m e &s u r e w i t h c o m p a c t s u p p o r t , a n d t h e f o r m u l a o b t a i n e d i n E x a m p l e 4 . 4

f o r G , m t h e c a s e t h a t G = D .2 . L e t C b e a h y p e r b o l i c o p e n s e t a n d l e t H b e a n o p e n s u b s e t o f C .

S u p p o s e p i s a p o s i t i v e m e a s u r e w i t h c o m p a c t s u p p o r t c o n t a i n e d i nH a n d d e f i n e t h e G r e e n p o t e n t i a l s a n d o f p u s i n g t h e G r e e nf u n c t i o n s f o r C a n d H , r e s p e c t i v e l y . S h o w t h a t t h e r e i s a p o s i t i v eh a r m o n i c f u n c t i o n h o n H s u c h t h a t = + h ( z ) f o r a l l zi n C .

3 . P r o v e v e r s i o n s o f ( 4 . 7 ) , ( 4 . 8 ) , a n d ( 4 . 9 ) f o r t h e c a s e t h a t p i s a n yp o s i t i v e m e a s u r e o n G f o r w h i c h i s f i n i t e - v a l u e d .

4 . L e t p b e a p o s i t i v e m e a s u r e w i t h c o m p a c t s u p p o r t K i n C a n d a s s u m et h a t G M ( z ) < o o f o r e v e r y p o i n t z i n K . S h o w t h a t e v e r y e > 0t h e r e i s a c o m p a c t s u b s e t A o f K w i t h p ( K \ A ) < e s u c h t h a t C P I Ai s c o n t i n u o u s o n C .

5 . S h o w t h a t i f f i s a p o s i t i v e B o r e l f u n c t i o n o n C t h a t i s i n t e g r a b l ew i t h r e s p e c t t o a r e a m e a s u r e a n d p = / . A V G , t h e n C M i s c o n t i n u o u so n G .




6 . I f G i s a h y p e r b o l i c o p e n s e t , K i s a c o m p a c t s u b s e t o f 0 , a n d }

i s a s e q u e n c e o f p o s i t i v e m e a s u r e s w i t h s u p p ç K f o r a l l n 1s u c h t h a t p w e a k i n M ( K ) , t h e n f o r

a l l z i n 0 .7 . i f p i s a p o s i t i v e m e a s u r e w i t h c o m p a c t s u p p o r t c o n t a i n e d i n t h e o p e n

d i s k D , s h o w t h a t 0 a s z a p p r o a c h e s a n y p o i n t o f Ô D .

§ 5 P o l a r S e t s

I n t h i s s e c t i o n w e b e g i n a d i s c u s s i o n t h a t w i l l e v o l v e t o o c c u p y a s i g n i f i c a n tp o r t i o n o f o u r a t t e n t i o n . T h e b a s i c i d e a i s t o e x a m i n e s e t s t h a t i n t h e s e n s eo f h a r m o n i c f u n c t i o n s a r e s m a l l .

A l m o s t e v e r y m a t h e m a t i c a l t h e o r y h a s a c o n c e p t o f s m a l l n e s s o r n e g l i -g i b i l i t y . A n e x a m p l e a l r e a d y s e e n b y t h e r e a d e r i s t h e s e t o f z e r o s o f a na n a l y t i c f u n c t i o n : s u c h a s e t m u s t b e d i s c r e t e , w h i c h i s s m a l l b y t h e s t a n -d a r d s o f a l l s a v e t h e f i n i t e l y o r i e n t e d a m o n g s t u s . A n o t h e r e x a m p l e i s a s e to f a r e a 0 . I n m e a s u r e t h e o r y w e a r e c o n d i t i o n e d t o r e g a r d t h i s a s a k i n do f u l t i m a t e s m a l l n e s s . I n t h e s e t t i n g ' o f t h e t h e o r y o f a n a l y t i c o r h a r m o n i cf u n c t i o n s , t h i s t u r n s o u t t o b e q u i t e l a r g e a n d c e r t a i n l y n o t n e g l i g i b l e . T h ea p p r o p r i a t e i d e a o f a s m a l l c o m p a c t s e t i n t h e s e n s e w e w a n t i s o n e w h o s e

c o m p l e m e n t i n t h e e x t e n d e d p l a n e i s a p a r a b o l i c r e g i o n .T h a t s a i d , w e f i r s t e x a m i n e r e s u l t s c o n c e r n i n g s u b s e t s o f t h e b o u n d a r y o f

a h y p e r b o l i c s e t 0 t h a t h a v e h a r m o n i c m e a s u r e z e r o ; t h a t i s , s u b s e t s A o f8 , 0 s u c h t h a t f o r e v e r y a i n 0 , m e a s u r a b l e a n d = 0 . T h e r e

i s a t e m p t s t i o n t o a i m a t a g r e a t e r d e g r e e o f g e n e r a l i t y b y c o n s i d e r i n g a na r b i t r a r y o p e n s e t 0 , n o t j u s t t h e h y p e r b o l i c o n e s , a n d d i s c u s s i n g s u b s e t sA o f t h a t h a v e i n n e r a n d o u t e r h a r m o n i c m e a s u r e z e r o . F o r e x a m p l e ,a s e t A m i g h t b e s a i d t o h a v e o u t e r h a r m o n i c m e a s u r e z e r o i f 0f o r a l l z i n 0 . S i m i l a r l y , w e w o u l d s a y t h a t A h a s i n n e r h a r m o n i c m e a s u r ez e r o = 0 f o r a l l z i n 0 . I t i s a n i l l u s i o n , h o w e v e r , t h a t t h i s i s a d d e dg e n e r a l i t y .

I n d e e d , s u p p o s e i s n o t h y p e r b o l i c a n d A i s a n y s u b s e t o f A

f u n c t i o n i n C ) i s a p o s i t i v e s u p e r h a r m o m c f u n c t i o n . S i n c e G i s n o th y p e r b o l i c , i t i s p a r a b o l i c . T h u s t h e o n l y f u n c t i o n s i n C ) a r e c o n -s t a n t s ; i n f a c t , t h e s e c o n s t a n t f u n c t i o n s m u s t b e a t l e a s t I . T h u s e v e r ys u b s e t o f 8 4 ) 3 0 h a s o u t e r h a r m o n i c m e a s u r e 1 . S i m i l a r l y , i f C i s n o t h y p e r -b o l i c , t h e n t h e f u n c t i o n s i n P ( X A , C ) m u s t b e n e g a t i v e c o n s t a n t s a n d s o

e v e r y s u b s e t o f h a s i n n e r h a r m o n i c m e a s u r e z e r o .S o w e w i l l r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n t o h y p e r b o l i c s e t s . H e r e o n e c o u l d d e f i n e

t h e i n n e r a n d o u t e r h a r m o n i c m e a s u r e o f a r b i t r a r y s u b s e t s o f n o t j u s tt h e B o r e l s e t s . A s e t i s t h e n h a r m o n i c a l l y m e a s u r a b l e w h e n i t s o u t e r a n di n n e r h a r m o n i c m e a s u r e a g r e e . T h a t i s , a s e t A i s h a r m o n i c a l l y m e a s u r a b l e

i f a n d o n l y i f i s a s o l v a b l e f u n c t i o n . I n f a c t , T h e o r e m 1 . 1 2 s a y s t h a t

2 1 . 5 . P o l a r S e t s 3 2 1

s u c h s e t s a r e p r e c i s e l y t h o s e t h a t a r e m e a s u r a b l e w i t h r e s p e c t t o h a r m o n i cm e a s u r e . A t t e n t i o n u s u a l l y w i l l b e r e s t r i c t e d t o B o r e l s e t s , t h o u g h w e w i l l

e x a m i n e a r b i t r a r y s e t s o f h a r m o n i c m e a s u r e z e r o . R e c a l l f r o m m e a s u r e t h e -

o r y t h a t a n y s u b s e t o f a s e t o f m e a s u r e z e r o i s a m e a s u r a b l e s e t h a v i n gm e a s u r e z e r o .T h e r e a r e m a n y e x a m p l e s o f s e t s t h a t h a v e h a r m o n i c m e a s u r e z e r o .F o r e x a m p l e , w e h a v e a l r e a d y s e e n t h a t i f C i s t h e i n s i d e o f a r e c t i f i a b l e

J o r d a n c u r v e ( o r s y s t e m o f c u r v e s ) , t h e n h a r m o n i c m e a s u r e o n O G a n da r c l e n g t h m e a s u r e a r e m u t u a l l y a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s ( T h e o r e m 1 . 5 ) . S os u b s e t s o f a r c l e n g t h z e r o h a v e h a r m o n i c m e a s u r e z e r o . W e b e g i n b y c h a r a c -t e r i z i n g s e t s o f h a r m o n i c m e a s u r e z e r o i n t e r m s o f s u b h a r m o n i c f u n c t i o n s .

T o s i m p l i f y m a t t e r s , a g r e e t o s a y t h a t f o r a h y p e r b o l i c s e t C a s u b s e t A o fi s h a r m o n i c a l l y m e a s u r a b l e i f f o r e v e r y a i n C , A i s

5 . 1 T h e o r e m . I f G i s a h y p e r b o l i c s e t a n d A i s a h a r m o n i c a l l y m e a s u r a b l es u b s e t o f t h e f o l l o w i n g a r e e q u i v a l e n t .

( a ) = 0 f o r a l l a i n C .( b ) I f 4 , i s a s u b h a r , r n o n i c f u n c t i o n o n C t h a t i s b o u n d e d a b o v e a n d s a t i s -

f i e s l i z n s u p 4 ) ( z ) 0

f o r e v e r y (( c ) T h e r e i s a n e g a t i v e s v b h a r m o n i c f u n c t i o n 4 ) o n C t h a t i s n o t i d e n t i -

c a l l y o n a n y c o m p o n e n t o f C a n d s a t i s f i e s

l i m 4 ) ( z ) = — 0 0

f o r a l l ( m A .

P r o o f . ( a ) i m p l i e s ( b ) . A s s u m e = 0 f o r a l l a i n C a n d l e t 4 ) b e as u b h a r m o n i c f u n c t i o n a s i n p a r t ( b ) . L e t M b e a p o s i t i v e c o n s t a n t s u c ht h a t 4 ) ( z ) M f o r a l l z i n C . T h u s M ' Ø E 2 ( G , X i ) a n d s o f o r e v e r y ai n C , 0 = 0 .

( b ) i m p l i e s ( c ) . N o t e t h a t ( b ) i m p l i e s t h a t 4 ) 0 f o r e v e r y 4 ) i n 7 5 ( X A , C ) .T h u s f o r a l l a i n C , 0 = = A c c o r d i n g t o P r o p o s i t i o n 1 9 . 7 . 8t h e r e i s a s e q u e n c e { 4 ) , } i n 0 ) s u c h t h a t 0 f o r e v e r y zi n C . S i n c e 4 ) , , e C ) , 4 ) , , 0 . F i x a p o i n t a i n 0 ; b y p a s s i n g t o as u b s e q u e n c e i f n e c e s s a r y , i t c a n b e a s s u m e d t h a t I ø , , ( a ) I f o r a l l n 1 .L e t 4 ) = 4 ) , , ; i t f o l l o w s b y P r o p o s i t i o n 1 9 . 4 . 6 t h a t 4 ) i s s u b h a r m o n i c .

T e m p o r a r i l y a s s u m e t h a t C i s c o n n e c t e d . T h e r e s t r i c t i o n o n t h e v a l u e o f4 ) , , a t t h e p o i n t a s h o w s t h a t 4 ) i s n o t i d e n t i c a l l y — o o o n C a n d c l e a r l y

4 ) 0 . € A , t h e n f i x N l a n d c h o o s e ö > 0 s u c h t h a t f o r 1 n Ns u p { 4 ) , , ( z ) : z E 0 , f z — < ö } < — l —




A g a i n l e t t i n g G ( C ; 5 ) = B ( ( ; 5 ) f l C w e h a v e t h a t

z z E C ( C ; 5 ) }

+ E : z G ( C ; S ) }n N + 1

- N + 1 .

H e n c et i m s u p 4 i ( z ) = — 0 0 .

I n c a s e C i s n o t c o n n e c t e d , l e t G 1 1 G 2 , b e i t s c o m p o n e n t s a n d f o r e a c hk 1 u s e t h e p r e c e d i n g p a r a g r a p h t o f i n d a n e g a t i v e s u b b a n n o n i c f u n c t i o n

4 1 k t h a t i s n o t i d e n t i c a l l y — 0 0 o n G k a n d s u c h t h a t l i m e . . . . , 4 ' k ( z ) = — o of o r a l l ( i n f l D e f i n e 4 1 o n C b y l e t t i n g i t e q u a l 4 1 k + k o n G k . T h i sw o r k s .

( c ) i m p l i e s ( a ) . i f s u c h a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n 4 1 e x i s t s , l e t = m a xn - ' 4 1 } . I t i s e a s y t o c h e c k t h a t t h e s e q u e n c e I f 5 C

a n d 4 1 ( 5 ) > — 0 0 , t h e n — + 0 a s n — + o o . T h u s = 0 . S i n c e e a c hc o m p o n e n t o f G c o n t a i n s s u c h a p o i n t & , = 0 f o r a l l a i n C ( T h e o r e m

1 . 7 ) . 0

N o t e t h a t c o n d i t i o n ( b ) i n t h e p r e c e d i n g t h e o r e m i s a g e n e r a l i z e d m a x i -m u m p r i n c i p l e . T h i s a l s o g i v e s a p r o o f o f E x e r c i s e 1 3 . 5 . 7 .

5 . 2 C o r o l l a r y . I f C i i a h y p e r b o l i c s e t , h 1 3 a b o * i n d e d h a r m o n i c f 4 r n c t t o no n G ,t h a t h ( z ) 4 O a s z a p p r c h e s a n y p o i n t o f t h e n h _ 0 .

P r o o f . P a r t ( b ) o f t h e p r e c e d i n g t h e o r e m a p p l i e d t o h a n d — h i m p l i e s t h a tb o t h t h e s e f u n c t i o n s a r e n e g a t i v e . C ]

T h e n e x t p r o p o s i t i o n i s o n e l i k e s e v e r a l o t h e r s b e l o w t h a t s h o w t h a t c e r -t a i n s e t s a r e r e m o v a b l e s i n g u l a r i t i e s f o r v a r i o u s c l a s s e s o f f u n c t i o n s . I n t h i sc a s e w e s e e t h a t s e t s o f h a r m o n i c m e a s u r e z e r o a r e r e m o v a b l e s i n g u l a r i t i e sf o r b o u n d e d h a r m o n i c f u n c t i o n s .

5 . 3 P r o p o s I t i o n . L e t F b e a r e l a t i v e l y c l o s e d s v b s e t o f G s u c h t h a t 8 0 0 F n Gh a s h a n c m a s u r e z m w i t h i e s p e c t t o t h e s e t G \ F . I f h : G \ F — Rw a b o u n d e d h a r m o n i c f u n c t i o n , t h e n h h a s a h a r m o n i c e z t e n s i o n t o G .

P r o o f . B y t h e u s e o f a n a p p r o p r i a t e M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n , i t c a n b e

i s a n o p e ns e t w h o s e b o u n d a r y c o n s i s t s o f a f i n i t e n u m b e r o f s m o o t h J o r d a n c u r v e s a n dc i F i x n f o r t h e m o m e n t a n d l e t 4 1 E P ( x a F f l C l ; w i t h

2 1 . 5 . P o l a r S e t s 3 2 3

4 0 . . E x t e n d t o a l l o f G \ F b y s e t t i n g 4 1 = X 8 F f l c l o n \ F ) =\ F ) U ( O F f l c i C , , ) a n d 4 1 = 0 o f f c i ( G , , \ F ) . T h e r e a d e r c a n

c h e c k t h a t t h i s e x t e n s i o n o f 4 1 i s u s e o n G \ F . B y P r o p o s i t i o n 1 9 . 4 . 1 7 , 4 1

i s s u b h a r m o n i c o n C \ F . I t c a n b e c h e c k e d t h a t 4 1 E P ( x a p n G , G \ F )a n d o f c o u r s e 4 1 0 . F r o m t h e h y p o t h e s i s w e h a v e t h a t 4 1 0 . T h u sC , , ) = 0 f o r a l l z i n a n .

N o w d e f i n e g : O G , , — s R b y g = h o n O G , , \ F a n d g = 0 o n O G n f l F ; l e t4 b e t h e c o r r e s p o n d i n g s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m o n ( r e m e m b e rt h a t C , , i s a J o r d a n r e g i o n ) . T h u s h — 4 i s a b o u n d e d h a r m o n i c f u n c t i o no n G I , I \ F . I f ( h ( z ) — 4 ( z ) w i t h z i n G I I \ F . B yC o r o l l a r y 5 . 2 , h — 4 0 o n C , , \ F . T h e r e f o r e 4 i s a h a r m o n i c e x t e n s i o n o f h

t o a n . S i n c e n w a s c h o s e n a r b i t r a r i l y , t h i s s h o w s t h a t h c a n b e h a r m o n i c a l l ye x t e n d e d t o a l l o f C . 0

S u b s e t s o f t h e b o u n d a r y o f a h y p e r b o l i c s e t t h a t h a v e h a r m o n i c m e a s u r ez e r o c a n b e c o n s i d e r e d a s s e t s t h a t a r e l o c a l l y s m a l l ; t h e i r s m a l l n e s s i sd e f i n e d r e l a t i v e t o t h e p a r t i c u l a r o p e n s e t . W e n o w t u r n t o a n e x a m i n a t i o n

o f s e t s t h a t a r e u n i v e r s a l l y s m a l l r e l a t i v e t o t h e s t u d y o f h a r m o n i c f u n c t i o n s .

5 . 4 D e f i n i t i o n . A s e t Z i s a p o l a r s e t i f t h e r e i s a n o n - c o n s t a n t s u b h a r -m o n i c f u n c t i o n u o n C s u c h t h a t Z C { z : u ( z ) = — o o } .

C o n s i d e r a t i o n o f t h e f u n c t i o n l o g J r — s h o w s t h a t a s i n g l e t o n i s p o l a r .A s l i g h t i m p r o v e m e n t s h o w s t h a t f i n i t e s e t s a r e p o l a r a n d a n a p p l i c a t i o n o fL e m m a 5 . 6 b e l o w s h o w s t h a t a l l c o u n t a b l e s e t s a r e p o l a r . p r o p e r t i e s

o f s u b h a r m o n i c f u n c t i o n s i t f o l l o w s t h a t e v e r y p o l a r s e t m u s t b e L e b e s g u em e a s u r a b l e w i t h . 4 ( Z ) = 0 . I n d e e d , i f u i s a s i n t h e d e f i n i t i o n a n d E { z . :

u ( z ) = — o o } , t h e n E = f l , , { z : u ( z ) < — n } s o t h a t E i s a C 5 s e t . S i n c eu i s n o t i d e n t i c a l l y — o o , . 4 ( E ) = 0 ( 1 9 . 4 . 1 1 ) . S i n c e Z E , Z i s L e b e s g u em e a s u r a b l e a n d . 4 ( Z ) = 0 . I n p a r t i c u l a r , p o l a r s e t s h a v e n o i n t e r i o r .

T h e n e x t r e s u l t s a y s t h a t t h e p r o p e r t y o f b e i n g a p o l a r s e t i s l o c a l l yv e r i f i a b l e .

5 . 5 P r o p o s i t i o n . A s e t Z i s p o l a r i f a n d o n l y i f t h e r e i s a n o p e n s e t Ct h a t c o n t a i n s Z a n d a a t t h h a r m o n i c f u n c t i o n v o n C t h a t i s n o t i d e n t i c a l l y— o o o n a n y c o m p o n e n t o f G a n d s u c h t h a t Z c { z E C : v ( z ) = — o o } .

P r o o f A s s u m e t h e r e i s a n o p e n s e t C t h a t c o n t a i n s Z f o r w h i c h t h e r e i s as u b b a r m o n i c f u n c t i o n v o n C t h a t i s n o t i d e n t i c a l l y — o o o n a n y c o m p o n e n t

o f C a n d w i t h Z ç { z E C : v ( z ) = — o o } . R e p l a c i n g C b y { z : v ( z ) < O } ,w e m a y a s 8 u m e t h a t v < O o n G . L e t C = u , , C , , , w h e r e c l G , i s a c o m p a c ts u b s e t o f L e t 4 = d i a m G , , . L e t b e t h e p o s i t i v e m e a s u r e o n Ct h a t d e f i n e s t h e p o s i t i v e d i s t r i b u t i o n ( 1 9 . 5 . 6 a n d 1 8 . 4 . 9 ) . N o t e ' t h a t

p ( C , , ) < c o f o r a l l n . A c c o r d i n g t o T h e o r e m 4 . 1 0 t h e r e i s a h a r m o n i cf u n c t i o n 0 1 1 C , , s u c h t h a t = u J G , , , t h e n v = I i , , o n C , , . A l s o

= — w h e r e f , , i s h a r m o n i c o n I f w e d e f i n e

u , , ( z ) =—

fl o g d 1 t ( w ) ,

t h e n w e a r r i v e a t t h e e q u a t i o n v ( z ) = + f o r a l l z i n C , , , w h e r e= I , , + h , , — i s h a r m o n i c o n I t i s c l e a r t h a t u , , i s a s u b -

h a r m o n i c f u n c t i o n o n C w i t h u , , ( z ) < 0 f o r z i n C , , a n d u , , ( z ) = — o o o nZ f l C , 1 . S i n c e h a s c o m p a c t s u p p o r t , u , , i s n o t i d e n t i c a l l y — o o . T h u s

u , , ( z ) > — 0 0 a . e . [ A r e a ] ( 1 9 . 4 . 1 1 ) . P i c k a p o i n t a w i t h u , , ( a ) > f o ra l l n 1 a n d c h o o s e c o n s t a n t s c , , > 0 s u c h t h a t — c o . P u tU = f f m 1 i s f i x e d a n d n m , u , , ( z ) O f o r z i n C m . I tf o l l o w s f r o m P r o p o s i t i o n 1 9 . 4 . 6 t h a t u i s s u b h a r m o n i c . S i n c e u ( a ) > — o o ,u i s n o t i d e n t i c a l l y — o o . i t i s r o u t i n e t o s e e t h a t Z { z u ( z ) = — o o } .

T h e c o n v e r s e i s o b v i o u s . 0

5 . 6 L e m m a . I f { Z , , } i s a s e q u e n c e o f p o l a r s e L f , t h e n i s p o l a r .

P r o o f . A c c o r d i n g t o P r o p o s i t i o n 5 . 5 , t h e r e i s a s u b h a r n i o n i c f u n c t i o n u , ,o n C t h a t i s n o t i d e n t i c a l l y — o o s u c h t h a t Z , , { z u , , ( z ) = — o o } . L e t

a E C s u c h t h a t > — c o f o r a l l n . F o r e a c h n 1 t h e r e i s a c o n s t a n tk , , s u c h t h a t k , , < c o f o r z i n B ( 0 ; n ) . C h o o s e c o n s t a n t s c , , > 0s u c h t h a t E , , C n [ k , , — u , , ( a ) ] < o o . B y ( 1 9 . 4 . 6 ) , u = E , , c , , [ u , — k , , ) i s as u b b a r m o n i c f u n c t i o n o n C , u ( a ) > — 0 0 , a n d Z c { z : u ( z ) = — o o } . 0

U s i n g t h i s l e m m a w e s e e t h a t t o s h o w a s e t i s p o l a r i t s u f f i c e s t o s h o wt h a t e v e r y b o u n d e d s u b s e t o f i t i s p o l a r .

5 . 7 P r o p o s i t I o n . I f K i s a n o n - t r i v i a l c o m p a c t c o n n e c t e d s e t , t h e n K i sn o t a p o l a r s e t .

P r o o f . S u p p o s e u i s a s u b h a x m o m c f u n c t i o n o n C s u c h t h a t u ( z ) — o o

o n K ; i t w i l l b e s h o w n t h a t u i s i d e n t i c a l l y — c o . L e t C b e a b o u n d e do p e n s u b s e t o f { z u ( z ) < 0 ) t h a t c o n t a i n s K . N o w u s e t h e R i e m a n nM a p p i n g T h e o r e m t o g e t a c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e - r : D C ( , \ K w i t hr ( 0 ) = c o . N o t e t h a t i f i s a s e q u e n c e i n D s u c h t h a t — 1 , a l l t h e

l i m i t p o i n t s o f { - r ( z , 1 ) } l i e i n K . T h u s u o r i s a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n o nD a n d u o - r ( z ) — o o a s z a p p r o a c h e s a n y p o i n t o n t h e u n i t c i r c l e . B y t h eM a x i m u m P r i n c i p l e , u o r i s i d e n t i c a l l y — o o a n d t h u s s o i s u . 0

5 . 8 C o r o l l a r y . I f Z i s a p o l a r s e t , t h e n e v e r i j c o m p a c t s u b s e t o f Z i s t o t a l l yd i s c o n n e c t e L

5 . 9 P r o p o s i t i o n . I f Z i s a p o l a r s e t a n d C i s a b o u n d e d o p e n s e t , t h e n ,

f o r e v e r y p o i n t a i n C , Z n O G i s a n d f l O G ) = 0 .P r o o f . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y w e m a y a s s u m e t h a t t h e r e i s a n o n -

c o n s t a n t s u b h a r m o n i c f u n c t i o n v o n C s u c h t h a t Z = { z : v ( z ) = — o o } . B y

2 1 . 5 . P o l a r S e t s 3 2 5

a p r e v i o u s a r g u m e n t , Z n O G i s a G 5 s e t a n d t h e r e f o r e T o

s h o w t h a t O G ) = 0 , i t s u f i l c e s t o s h o w t h a t = 0 f o r e v e r yc o m p a c t s u b s e t K o f Z f l 0 G . L e t U b e a b o u n d e d o p e n s e t t h a t c o n t a i n s

K a n d p u t H = G U U . S i n c e c i H i s c o m p a c t , t h e r e i s a f i n i t e c o n s t a n tM s u c h t h a t v ( z ) < M f o r a l l z i n c i H . T h u s v — M i s a n e g a t i v e n o n -c o n s t a n t s u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n H t h a t i s — c c o n K . B y T h e o r e m 5 . 1 ,

H \ K ( K ) O f a l h i H \ K B u t C ç H \ K a n d K ç O G r i O ( H \ K ) .B y C o r o l l a r y 1 . 1 4 , H \ K ( K ) = 0 f o r a l l a i n C . 0

T h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n w i l l b e e x t e n d e d t o a l l h y p e r b o l i c o p e n s e t sG ( T h e o r e m 8 . 4 , b e l o w ) b u t s o m e a d d i t i o n a l t h e o r y w i l l b e r e q u i r e d .

W e w i l l r e j o i n t h e e x a m i n a t i o n o f a r b i t r a r y p o l a r s e t s l a t e r ( T h e o r e m7 . 5 ) , b u t n o w w e t u r n o u r a t t e n t i o n t o c o m p a c t p o l a r s e t s a n d t h e i r r e l a t i o nw i t h s o m e r e c e n t l y a c q u i r e d f r i e n d s . T h e r e a r e c o m p a c t s e t s K c o n t a i n e di n t h e b o u n d a r y o f a n o p e n s e t C s u c h t h a t = 0 f o r a l l a i n Ca n d K i s n o t p o l a r . F o r e x a m p l e , i f C i s t h e u n i t s q u a r e ( w i t h v e r t i c e s

0 , 1 , 1 + i , a n d i ) a n d K i s t h e u s u a l C a n t o r t e r n a r y s e t , t h e n 8 G i s ar e c t i f i a b l e J o r d a n c u r v e a n d s o = 0 f o r a l l a i n C . B u t K i s n o tp o l a r ( 8 . 1 6 ) . i f , h o w e v e r , K h a s h a r m o n i c m e a s u r e z e r o f o r e v e r y o p e n s e tw h o s e b o u n d a r y c o n t a i n s i t , t h e n K i s p o l a r . T h i s a s w e l l a s t h e e q u i v a l e n c eo f a d d i t i o n a l c o n d i t i o n s w i l l b e s e e n i n t h e n e x t t h e o r e m . R e m e m b e r ( 5 . 8 )t h a t c o m p a c t p o l a r s e t s m u s t b e t o t a l l y d i s c o n n e c t e d a n d t h u s w i t h o u ti n t e r i o r .

5 . 1 0 T h e o r e m . F o r a c o m p a c t t o t a l l y t h s c o n n e c t e d s e t K , t h e f o l l o w i n ga r e e q u i v a l e n t .

( a ) K i s a p o l a r s e t .( b ) I f C i s a n y b o u n d e d r e g i o n w i t h K c 9 G , t h e n = 0 f o r e v e r y

p o i n t a i n C .( c ) I / C i s a b o u n d e d r e g i o n t h a t c o n t a i n a K a n d u i s a b o u n d e d h a r i n o n i c

f u n c t i o n o n G \ K , t h e n u a d m i t , s a h a r , n o n i c e z t e n s i o n t o G .

( d ) I f 7 i s a J o r d a n c u r v e s u c h t h a t K C C t h e n = 0f o r e v e r y p o i n t a i n G \ K .

( e ) T h e r e i s a b o u n d e d r e g i o n C t h a t c o n t a i n s K a n d t h e r e i s a p o i n t ai n G \ K s u c h

( 1 ) J I G i s a n y b o u n d e d r e g i o n c o n t a i n i n g K , t h e n = 0 f o r e v e r yp o i n t a i n G \ K .

( g ) C \ K i s p a r a b o l i c .( h ) T h e o n l y b o u n d e d h a r m o n i c f u n c t i o n s o n C \ K a r e t h e c o n s t a n t f u n c -

t i o n s .( 1 ) o n K i s b o u n d e d

a b o v e .

A s m i g h t b e e x p e c t e d , t h e p r o o f o f t h i s t h e o r e m r e q u i r e s a l e m m a . I t i sp e r h a p s s u r p r i s i n g t h a t i t o n l y r e q u i r e s o n e .

5 . 1 1 L e m m a . i f C i s a h y p e r b o l i c s e t a n d i s a m e a s u r a b l e s u b s e t o fs u c h t h a t 0 < 1 f o r s o m e p o i n t a i n G , t h e n

m i = 0 a n d s u p = 1 .z E G z E G

P r o o f . P u t M z E C ) ; s o 0 < z M t h e n 4 M a n d s o Ø / M S 1 . H e n c e 4 / M E C ) , s o t h a t

e q u i v a l e n t l y ,

T a k i n g t h e s u p r e m u m o v e r a l l s u c h

g i v e s t h a t Mt h e s t a t e m e n t a b o u t t h e i n i l m u m i s s i m i l a r . 0

P r o o f o f T h e o r e m 5 . 1 0 . T h a t ( a ) i m p l i e s ( b ) i s i m m e d i a t e f r o m P r o p o s i -t i o n 5 . 9 .

( b ) i m p l i e s ( c ) . T h i s i s a c o n s e q u e n c e o f P r o p o s i t i o n 5 . 3 .( c ) i m p l i e s ( d ) . L e t b e a J o r d a n c u r v e s u c h t h a t K c C i n s a n d

p u t u ( z ) = S o u i s t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m o nC \ K w i t h b o u n d a r y v a l u e s X K . A c c o r d i n g t o ( c ) u h a s a n e x t e n s i o n t o ah a r m o n i c f u n c t i o n h : C — . [ 0 , 1 1 . B u t X K i s c o n t i n u o u s a t p o i n t s o f s o

u , a n d t h u s h , e x t e n d s c o n t i n u o u s l y t o c i C w i t h h ( z ) X K ( z ) = 0 f o r zi n - r = 0 G . B u t t h e n t h e M a x i m u m P r i n c i p l e i m p l i e s h 0 . T h i s i m p l i e s( d ) .

( d ) i m p l i e s ( e ) . T h i s i s t r i v i a l .( e ) i m p l i e s ( g ) . S u p p o s e ( g ) d o e s n o t h o l d . T h a t i s , a s s u m e t h a t C \ K

i s h y p e r b o l i c ; s o t h e r e i s a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n C \ K s u c h t h a t 0 a n d i s n o t c o n s t a n t . B y E x e r c i s e 1 9 . 4 . 7 w e c a n a s s u m e t h a ti s s u b h a r m o n i c o n C b e a n y b o u n d e d r e g i o n i n t h e p l a n et h a t c o n t a i n s K . P u t m = : z E O G } . N o t e t h a t b e c a u s e i s

s u b b a r i n o n i c a t 0 0 , i n f o r z i n C \ C . L e t M = : z C \ K }a n d o b s e r v e t h a t m M .

C l a i m . T h e r e i s a p o i n t a i n C \ K w i t h > m a n d s o m < M .

O t h e r w i s e w e w o u l d h a v e t h a t m o n C \ K a n d a t t a i n s i t s m a x i m u mv a l u e a t a n i n t e r i o r p o i n t ( i n 0 C ) , t h u s c o n t r a d i c t i n g t h e a s s u m p t i o n t h a t

i s n o t c o n s t a n t .D e f i n e = — m ) / ( M — m ) . I t i s l e f t t o t h e r e a d e r t o c h e c k t h a t f o r

e v e r y i n 8 ( G \ K ) , H e n c e & E P ( X K , C \ K ) .T h e c l a i m s h o w s t h a t t h e r e i s a p o i n t a i n C \ K w i t h > 0 . B y

d e f i n i t i o n t h i si m p l i e s > 0 . N o w C \ K i s c o n n e c t e d a n d s o t h i si m p l i e s t h a t > 0 f o r a l l z i n G \ K . S i n c e C w a s a r b i t r a r y , t h i s

s a y s t h a t c o n d i t i o n ( e ) d o e s n o t h o l d .

2 1 . 5 . P o l a r S e t s 3 2 7

( g ) i m p l i e s ( f ) . S u p p o s e ( f ) d o e s n o t h o l d ; s o t h e r e i s a b o u n d e d r e g i o nG c o n t a i n i n g K a n d a p o i n t a i n C \ K w i t h > 0 . T h u s t h e r e i s af u n c t i o n 4 , i n a \ K ) w i t h > 0 . B y r e p l a c i n g 4 , w i t h m a x { 4 , , O }

w e m a y a s s u m e t h a t 4 , 0 o n G \ K . B u t t h e n f o r a n y i n 8 G , 0

J i m 4 , ( z ) S x x ( ( ) = 0 . T h u s 4 , ( z ) — ' 0 a s z a p p r o a c h e s a n y p o i n t o f0 G . I f w e e x t e n d 4 , t o b e d e f i n e d o n a l l o f C \ K b y s e t t i n g 4 , ( z ) = 0 f o r zC , t h e n i t f o l l o w s t h a t 4 , i s u s c . B y P r o p o s i t i o n 1 9 . 4 . 1 7 , 4 , i s s u b h a r m o n i c

o n C \ K . C l e a r l y 4 , 1 a n d n o t c o n s t a n t . T h e r e f o r e C \ K i s h y p e r b o l i c .( f ) i m p l i e s ( a ) . L e t C b e a b o u n d e d r e g i o n t h a t c o n t a i n s K s o t h a t

= 0 f o r a l l z i n C \ K . A c c o r d i n g t o T h e o r e m 5 . 1 t h e r e i s as u b h a r m o n i c f u n c t i o n 4 , o n C \ K s u c h t h a t 4 , 0 , 4 , i s n o t i d e n t i c a l l y — 0 0 ,

a n d 4 , ( z ) — , — 0 0 a s z a p p r o a c h e s a n y p o i n t o f K . I f 4 , i s e x t e n d e d t o b ed e f i n e d o n C b y l e t t i n g 4 , ( z ) = — o o f o r z i n K , t h e n 4 , i s s u b h a r m o n i c o nC a n d t h i s s h o w s t h a t K i s p o l a r .

( c ) i m p l i e s ( b ) . L e t h b e a b o u n d e d h a r m o n i c f u n c t i o n o n C \ K . I f G i sa n y b o u n d e d r e g i o n t h a t c o n t a i n s K , t h e n h I ( G \ K ) a d m i t s a c o n t i n u a t i o nt o C b y c o n d i t i o n ( c ) . T h u s / z h a s a c o n t i n u a t i o n t o a b o u n d e d h a r m o n i c

f u n c t i o n o n C a n d m u s t t h e r e f o r e b e c o n s t a n t .( h ) i m p l i e s ( g ) . S u p p o s e ( g ) i s n o t t r u e ;

s o C = C \ K i s h y p e r b o l i c a n dn o t t h e w h o l e p l a n e . T h i s i m p l i e s t h a t K h a s m o r e t h a n o n e p o i n t . L e ta C . S i n c e h a s n o a t o m s , t h e r e i s a B o r e l s e t K = O G s u c ht h a t 0 < 1 . I t f o l l o w s f r o m L e m m a 5 . 1 1 t h a t h ( z ) = i s a

n o n - c o n s t a n t b o u n d e d h a r m o n i c f u n c t i o n o n C a n d s o ( h ) i s n o t t r u e .( c ) i m p l i e s ( i ) . A s s u m e t h a t p i s a p o s i t i v e m e a s u r e s u p p o r t e d o n K s u c h

t h a t t h e r e i s a c o n s t a n t M w i t h M ; i t w i l l b e s h o w n t h a t p = 0 . L e t Cb e a b o u n d e d o p e n s e t c o n t a i n i n g K . I f d = d i a i n C , t h e n d ' I I p I J

f o r a l l z i n c i G . T h u s i s a b o u n d e d h a r m o n i c f u n c t i o n o n C \ K . B y( c ) , h a s a h a r m o n i c e x t e n s i o n t o C . B y C o r o l l a r y 1 9 . 5 . 5 , p = 0 .( i ) i m p l i e s ( g ) . A s s u m e t h a t C \ K i s h y p e r b o l i c . i s h a r m o n i c m e a s u r e

f o r \ K a t c o , P r o p o s i t i o n 3 . 5 i m p l i e s 4 , , i s b o u n d e d a b o v e b y r o b ( K ) .0

C o n d i t i o n ( i ) w i l l b e s e e n i n t h e f u t u r e . T h i s p a r t i c u l a r c h a r a c t e r i z a t i o no f p o l a r s e t s w i l l r e s u r f a c e i n § 7 w h e n t h e n o t i o n o f l o g a r i t h m i c c a p a c i t y i s

e n c o u n t e r e d .

E x e r c i s e s

1 . i f C i s a n o p e n s e t w i t h c o m p o n e n t s } a n d = C \ O Q Q 1 4 ,t h e n h a s h a r m o n i c m e a s u r e z e r o .

2 . S h o w t h a t i f K i s a c o m p a c t s u b s e t o f C , t h e n C\ K i s p a r a b o l i c i fa n d o n l y i f C 0 0 \ K i s p a r a b o l i c .




M o r e o n R e g u l a r P o i n t s

I n t h i s s e c t i o n t h e r e s u l t s o b t a i n e d o n p o l a r s e t s w i l l b e a p p l i e d t o o b t a i n

a m o r e a c c u r a t e a n d c o m p l e t e p i c t u r e o f t h e s e t s o f r e g u l a r a n d i r r e g u l a rp o i n t s o f a h y p e r b o l i c o p e n s e t . T h e f i r s t r e s u l t a l o n g t h i s l i n e g e n e r a l -i z e s t h e f a c t t h a t i s o l a t e d p o i n t s i n t h e b o u n d a r y o f a r e g i o n a r e i r r e g u l a r( 1 9 . 1 0 . 8 ) .

6 . 1 P r o p o s i t i o n . I f K i s a p o l a r s e t c o n t a i n e d i n t h e h y p e r b o l i c s e t C ,t h e n n o p o i n t o f K i s a r e g u l a r p o i n t f o r C \ K .

P r o o f . L e t a E K a n d p u t l l = G \ K ; f i x r > O s u c h t h a t B _ — B ( a ; r )h a s c i B C . I f h i s t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h l e t p r o b l e m o n B f l w i t hb o u n d a r y v a l u e s I ( — a j , t h e n h ( z ) = r o n ô B s i n c e t 9 B i s a c o n n e c t e ds u b s e t o f t h e b o u n d a r y o f B n f t W e w a n t t o s h o w t h a t l i m s u P z . . . . . a h ( z ) > 0 .

R e c a l l t h a t K i s t o t a l l y d i s c o n n e c t e d a n d l e t L b e a c o m p a c t s u b s e t o fK f l B s u c h t h a t a E L a n d L i s r e l a t i v e l y o p e n i n K . T h e r e i s a n o p e n s e tU i n C s u c h t h a t £ = K f l U ; w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y i t c a n b e a s s u m e dt h a t U B . N o w £ i s a p o l a r s e t a n d h i s a b o u n d e d h a r m o n i c f u n c t i o n

o n U \ L ; t h u s h h a s a h a r m o n i c e x t e n s i o n t o U . D e n o t e t h i s e x t e n s i o n b yh 1 . S o = = h i ( a ) . B u t h 1 0 , s o , b y t h e

M a x i m u m P r i n c i p l e , h 1 ( a ) > 0 . 0

T h e n e x t t h e o r e m g i v e s a n a d d i t i o n a l l i s t o f c o n d i t i o n s t h a t c a n b e a d d e dt o t h o s e i n T h e o r e m 1 9 . 1 0 . 1 t h a t a r e e q u i v a l e n t t o t h e r e g u l a r i t y o f a p o i n t .

T h e s e a r e g i v e n i n t e r m s o f t h e G r e e n f u n c t i o n .

6 . 2 T h e o r e m . I f C i s a h y p e r b o l i c r e g i o n a n d a t h e n t h e f o l l o w i n ga r e e q u i v a l e n t .

( a ) a i s a r e g u l a r p o i n t o f C .( b ) T h e r e i s a p o i n t t v i n C s u c h t h a t i f g ( z , w ) i s t h e G r e e n f u n c t i o n f o r

C w i t h p o l e a t w , t h e n g ( z , w ) — 0 a s z — ' a .

( c ) F o r e v e r y w i n C , i f g ( z , w ) i s t h e G r e e n f u n c t i o n f o r C w i t h p o l e a tw , t h e n g ( z , w ) 0 a s z — + a .

P r o o f . I t i s t r i v i a l t h a t ( c ) i m p l i e s ( b ) a n d t h e f a c t t h a t ( b ) i m p l i e s ( a )i s i m m e d i a t e f r o m T h e o r e m 1 9 . 1 0 . 1 a n d t h e f a c t t h a t t h e G r e e n f u n c t i o ni s a p o s i t i v e s u p e r h a r m o n i c f u n c t i o n . I t r e m a i n s t o p r o v e t h a t ( a ) i m p l i e s( c ) . A s s u m e t h a t a i s a r e g u l a r p o i n t f o r G a n d f i x a n a r b i t r a r y p o i n t

w i n C . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y w e c a n a s s u m e w = o o . L e t r > 0a n d p u t B = B ( a ; r ) . L e t u b e t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m o nG ( a ; r ) = B f l C w i t h b o u n d a r y v a l u e s

x s B . A c c o r d i n gt o . P r o p o s i t i o n

1 9 . 1 0 . 5 , a i s a r e g u l a r p o i n t f o r t h e o p e n s e t C ( a ; r ) ; t h u s u ( z ) 0 a sz a i n G ( a ; r ) .

2 1 . 6 . M o r e o n R e g u l a r P o i n t s 3 2 9

L e t 0 < r 1 < r a n d p u t B 1 = B ( a ; r i ) . I f m = s u p { u ( z ) : z Et h e n 0 < m < 1 . L e t h ( z ) = 1 — ( 1 — — f o r

r L < — a l ( r . N o t e t h a t h ( z ) 1 f o r I z — a I = r a n d h ( z ) = m f o r

— = r 1 .P u t H = G ( a ; r ) \ c l B 1 a n d d e f i n e v : 8 H R b y l e t t i n g v ( z ) = u ( z ) f o r

z i n O H f l G ( a ; r ) O B 1 f l G ( a ; r ) a n d v ( z ) = x a B ( z ) f o r z i n O H f l O G ( a ; r ) .I f i i i s t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m o n H w i t h b o u n d a r y v a l u e s v ,t h e n P r o p o s i t i o n 1 . 1 3 i m p l i e s 1 ( z ) = u ( z ) f o r z i n H . I t i s l e f t a s a n e x e r c i s ef o r t h e r e a d e r t o v e r i f y t h a t h E P ( v , H ) . H e n c e h i ) = u o n H .

N o w l e t C = ( 1 — > 0 . S o C h ( z ) = C + — a j )a n d h e n c e

6 . 3 C u ( z ) o n H .

D e f i n e t h e f u n c t i o n o n C b y s e t t i n g * ( z ) C + — f o r z i nG \ B ( a ; r ) a n d = C u ( z ) f o r z i n G ( a ; r ) . S i n c e u e x t e n d s c o n t i n u o u s l yt o G n ô B a n d i s e q u a l t o 1 t h e r e , i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o n C . I t i s l e f tt o t h e r e a d e r t o v e r i f y t h a t ( 6 . 3 ) i m p l i e s t h a t i s s u p e r h a r m o n i c . S i n c e i s

c l e a r l y p o s i t i v e a n d I z i i s a l s o s u p e r h a r m o n i c n e a r o o , i b g ( z , o o )

b y P r o p o s i t i o n 1 9 . 9 . 1 0 . T h e r e f o r e o n G ( a ; r ) , 0 g ( z , o o ) S C u ( z ) — , 0a s z — 9 a . 0

T h e n e x t l e m m a i s s t a t e d a n d p r o v e d f o r b o u n d e d r e g i o n s . I t i s a l s o t r u ef o r u n b o u n d e d r e g i o n s ; s e e E x e r c i s e 1 .

6 . 4 L e m m a . I f G i s a b o u n d e d r e g i o n , a C , a n d { z Cg G ( z , a ) > t h e n i s c o n n e c t e d , g " ( z , a ) = — a n d

" ( 0 C f l t 9 C n ) = 0 .P r o o f . I f i s n o t c o n n e c t e d , t h e r e i s a c o m p o n e n t H o f t h a t d o e sn o t c o n t a i n a . D e f i n e o n C b y l e t t i n g * ( z ) f o r z i n H a n d

a ) e l s e w h e r e . I t i s l e f t a s a n e x e r c i s e t o s h o w t h a t i s

s u p e r h a r m o n i c , 0 , a n d + l o g I z — a I i s a l s o s u p e r h a r m o n i c . B yP r o p o s i t i o n 1 9 . 9 . 1 0 , g G ( z , a ) . B u t o n H , = ac o n t r a d i c t i o n . T h e r e f o r e C , i s c o n n e c t e d .

N o w f i x n 1 a n d d e f i n e h o n b y h ( z ) = g ° ( z , a ) — i t i s e a s i l yc h e c k e d t h a t h 0 , h i s h a r m o n i c o n C , , \ { a } , a n d h ( z ) + — i sh a r m o n i c n e a r a . B y d e f i n i t i o n o f t h e G r e e n f u n c t i o n , h ( z ) ( z , a ) o n

a n . O n t h e o t h e r h a n d , h ( z ) ( z , a ) i s h a r m o n i c o n C , , a n d , f o r a n y ( i n8 6 , , ,

h ( z ) ( z , a ) a n d s o e q u a l i t y h o l d s .F i n a l l y p u t K , , = 8 6 n 8 6 , , a n d l e t 6 , , ) ; w i t h o u t l o s s o f

g e n e r a l i t y w e m a y a s s u m e t h a t 0 ( 1 9 . 7 . 8 ) . S o f o r a n y ( i n 0 G , , f l C ,

0 t i m S t i m 0 ; t h a t i s , f o r a l l ( i n8 6 , , f l C , 0 a s z — ' ( w i t h z i n a n . S o i f i s d e f i n e d o n C b y

= g G ( z , a ) — f o r z i n C , , a n d g G ( z , a ) o t h e r w i s e ,




i s a p o s i t i v e s u p e r h a r m o n i c f u n c t i o n o n C s u c h t h a t t , b ( z ) + l o g J z — a i l sa l s o s u p e r h a r m o n i c ( v e r i f y ! ) . T h u s g G ( z , a ) b y ( 1 9 . 9 . 1 0 ) . B u t t h i si m p l i e s 0 s o t h a t 0 0 . T h e r e f o r e w e " ( K s ) = 0 . 0

6 . 5 T h e o r e m . I f C i s h y p e r b o l i c a n d £ i s t h e s e t o f i r r e g u l a r p o i n t s f o rC , t h e n E i s a p o l a r s e t t h a t i s t h e u n i o n o f a s e q u e n c e o f c o m p a c t s u b s e t so f

P r o o f . I n l i g h t o f C o r o l l a r y 1 9 . 1 0 . 1 0 i t s u f f i c e s t o a s s u m e t h a t C i s c o n -n e c t e d . F i r s t c o n s i d e r t h e c a s e t h a t C i s b o u n d e d , s o t h a t t h e p r e c e d i n gl e m m a a p p l i e s ; a d o p t i t s n o t a t i o n . L e t = O C f l 8 C c ; b y T h e o r e m 6 . 2 ,E = K 1 , , i s t h e s e t o f i r r e g u l a r p o i n t s o f C . I t o n l y r e m a i n s t o s h o w t h a te a c h s e t K , , i s p o l a r . T h i s w i l l b e d o n e b y u s i n g T h e o r e m 5 . 1 0 . i .

N o t e t h a t f o r e a c h n 1 ,

g G n + 1 ( z , a ) = g G n + 1 ( a z )

=

T h e r i g h t h a n d s i d e o f t h i s e q u a t i o n i s u p p e r s e m i c o n t i n u o u s t h r o u g h o u tC . S o f o r a n y p o i n t w i n K , ,

J — .

: z E

l i r n s u p { g ' ( z , a )—

: z E

1

n + 1H e n c e

J i o g — ( ) ( ( ) > l o g 1 w — a l + 7 i ( n ± 1 )

f o r a l l w i n K , , . I f i t w e r e t h e c a s e t h a t i s n o t a p o l a r s e t , t h e n t h e r e

i s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e s u p p o r t e d o n a n d a f i n i t e c o n s t a n t M s u c ht h a t M f o r a l l z . B u t

=

> d p ( w )

=

6 . 6 =



2 1 . 7 . L o g a r i t h m i c C a p a c i t y : P a r t 1 3 3 1

w h e r e u i s t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m o n w i t h b o u n d a r y v a l -u e s N o w L , . , — u i s h a r m o n i c o n a n d b o u n d e d s i n c e i s b o u n d e db e l o w o n c o m p a c t s e t s ( E x e r c i s e 1 9 . 5 . 1 ) . B u t f o r e a c h ( i n 0 C , a s

z ( w i t h z i n i t h o l d s t h a tg G n + 1 ( z , a ) = g ° ( z , a ) —

1= 0 .

B y T h e o r e m 6 . 2 t h i s i m p l i e s t h a t p o i n t s i n O G , ÷ 1 n C a r e r e g u l a r f o rH e n c e L M ( z ) — u ( z ) — , 0 a s z — ' ( i n A l s o f l O G =a n d = 0 b y t h e p r e c e d i n g l e m m a . T h e r e f o r e C o r o l l a r y 5 . 2i m p l i e s — u 0 , c o n t r a d i c t i n g ( 6 . 6 ) . T h u s n o s u c h m e a s u r e p e x i s t s a n d

i s p o l a r .N o w l e t C b e a n o t n e c e s s a r i l y b o u n d e d h y p e r b o l i c o p e n s e t a n d p u t

C f l B ( 0 ; k ) . I f P 2 k i s t h e s e t o f i r r e g u l a r p o i n t s o f G k , t h e n t h e f a c tt h a t e a c h c o m p o n e n t o f 0 B ( 0 ; k ) f l C i s a n o n - t r i v i a l a r c o f a c i r c l e i m p l i e s

t h a t P 2 k 0 G . B y P r o p o s i t i o n 1 9 . 1 0 . 5 t h i s i m p l i e s t h a t U k E k ç E . T h eu s e o f b a r r i e r s s h o w s t h a t E = U k E k . T h e g e n e r a l r e s u l t n o w f o l l o w s f r o mt h e p r o o f o f t h e b o u n d e d c a s e . 0

6 . 7 C o r o l l a r y . I f C i s a b o u n d e d o p e n s e t , t h e c o l l e c t i o n o f i r r e g u l a r p o i n t 3h a s h a r m o n i c m e a s u r e z e r o .

P r o o f . T h i s i s i m m e d i a t e f r o m t h e p r e c e d i n g t h e o r e m a n d P r o p o s i t i o n 5 . 9 .0

T h e p r e c e d i n g c o r o l l a r y w i l l b e e x t e n d e d t o h y p e r b o l i c o p e n s e t s C i nC o r o l l a r y 8 . 4 b e l o w .

E x e r c i s e s

1 . U s e P r o p o s i t i o n 1 9 . 9 . 8 t o p r o v e L e m m a 6 . 4 f o r u n b o u n d e d r e g i o n s .

2 . I f C i s h y p e r b o l i c , K i s a c o m p a c t s u b s e t o f G , a n d ( i s a r e g u l a rb o u n d a r y p o i n t o f G , s h o w t h a t a s z ( , g ( w , z ) 0 u n i f o r m l y f o r

w i n K .

§ 7 L o g a r i t h m i c C a p a c i t y : P a r t 1

R e c a l l t h a t , f o r a c o m p a c t s e t K , M ( K ) i s t h e s e t o f r e g u l a r B o r e l m e a s u r e so n K . F o r a n o n - c o m p a c t s e t E , l e t M C ( E ) b e a l l t h e m e a s u r e s t h a t b e l o n g

t o M ( K ) f o r s o m e c o m p a c t s u b s e t K o f E . ( T h e s u p e r s c r i p t " c " h e r e s t a n d sf o r " c o m p a c t . " ) T h a t i s , M C ( E ) i s t h e s e t o f r e g u l a r B o r e l m e a s u r e s w h o s es u p p o r t i s c o m p a c t a n d c o n t a i n e d i n E . w i l l d e n o t e t h e p o s i t i v e




m e a s u r e s b e l o n g i n g t o M C ( E ) a n d i s t h e s e t o f r e a l - v a l u e d m e a s u r e sb e l o n g i n g t o M c ( E ) . I f E i s a n y s e t , l e t

M 7 ( E ) : p Ea n d

E L i ( J p I ) } .I t m a y o c c u r t h a t M 7 ( E ) = 0 ( f o r e x a m p l e , i f E i s a s i n g l e p o i n t ) . I f

J L M f ( E ) , l e t

I ( p ) f / l o g¶ z

d p ( z ) d p ( w ) .

F o r s u c h m e a s u r e s p , 1 ( p ) I s a w e l l d e f i n e d f i n i t e n u m b e r . I n d e e d 1 ( p ) =

f T h e n u m b e r 1 ( p ) i s c a l l e d t h e e n e r g y i n t e g r a l o f p . T h e u s e o ft h i s t e r m , a s w e l l a s t h e t e r m l o g a r i t h m i c p o t e n t i a l , i s i n a n a l o g y w i t h t h et e r m i n o l o g y f o r e l e c t r o s t a t i c p o t e n t i a l s i n t h r e e d i m e n s i o n s .

7 . 1 L e m m a . I / p E M ÷ ( E ) , t h e n e i t h e r p E M 7 ( E ) o r

u r n d p = + 0 0 .J

P r o o f . T h i s i s a d i r e c t c o n s e q u e n c e o f t h e f a c t t h a t t h e l o g a r i t h m i c p o -t e n t i a l o f a p o s i t i v e m e a s u r e i s b o u n d e d b e l o w o n c o m p a c t s e t s . 0

I n l i g h t o f t h i s l e m m a w e c a n d e f i n e 1 ( p ) = f f o r a l l p o s i t i v em e a s u r e s , w h e r e w e a d m i t t h e p o s s i b i l i t y t h a t 1 ( p ) o o . A n o t h e r p i e c e o fn o t a t i o n i s t h a t M f ( E ) w i l l d e n o t e a l l t h e p r o b a b i l i t y m e a s u r e s i n M c ( E ) .

T h a t i s , M f ( E ) { p Ep ( s u p p p ) = 1 } .

7 . 2 D e f i n i t i o n , I f E i s a n y s e t s u c h t h a t M 7 ( E ) 0 , d e f i n e

v ( E ) i n f { 1 ( p ) p E

T h e i o g a r i t h m i c c a p a c i t y o f s u c h a s e t F i s d e f i n e d b y

c ( E ) =

I f E i s s u c h t h a t = 0 , d e f i n e v ( E ) = o o a n d c ( E ) = 0 . A p r o p e r t yt h a t h o l d s a t a l l p o i n t s e x c e p t f o r a s e t o f c a p a c i t y z e r o i s s a i d t o h o l dq u a s i - e v e r y w h e r e . T h i s i s a b b r e v i a t e d " q . e . "

T h e t e r m c a p a c i t y i s u s e d i n a n a l y s i s i n a v a r i e t y o f w a y s . T h e c o m -m o n t h r e a d h e r e i s t h a t i t i s a w a y o f a s s o c i a t i n g w i t h s e t s a n u m b e r t h a t

m e a s u r e s t h e s m a l l n e s s o f t h e s e t r e l a t i v e t o t h e t h e o r y u n d e r d i s c u s s i o n .

A n o t h e r r o l e o f c a p a c i t i e s i s t o a s s i s t i n m a k i n g e s t i m a t e s . T h a t i s , a s e th a v i n g s m a l l c a p a c i t y w i l l i m p l y t h e e x i s t e n c e o f c e r t a i n f u n c t i o n s h a v i n gr a t h e r p r e c i s e t e c h n i c a l p r o p e r t i e s . A n i n s t a n c e o f t h i s o c c u r s i n b e l o w ,




w h e r e W i e n e r ' s c r i t e r i o n f o r t h e r e g u l a r i t y o f a b o u n d a r y p o i n t i s e s t a b -l i s h e d . I n t h e p r e s e n t c a s e , i t w i l l s h o r t l y b e p r o v e d t h a t a c o m p a c t s e t K

h a s z e r o c a p a c i t y i f a n d o n l y i f i t i s p o l a r ( T h e o r e m 7 . 5 , b e l o w ) . I n I t " f o r

d 3 , t h e r e i s a n a n a l o g o u s n o t i o n o f c a p a c i t y w h e r e c o m p a c t s e t s h a y -i n g z e r o c a p a c i t y a r e r e m o v a b l e s e t s o f s i n g u l a r i t i e s f o r b o u n d e d h a r m o n i cf u n c t i o n s . ( S e e L a n d k o f [ 1 9 7 2 ] , p 1 3 3 . ) I n t h e s t u d y o f b o u n d e d a n a l y t i cf u n c t i o n s t h e r e i s a l s o a n o t i o n o f a n a l y t i c c a p a c i t y w i t h s i m i l a r p r o p e r t i e s .( S e e C o n w a y [ 1 9 9 1 J , p 2 1 7 . ) T h e r e i s a l s o a g e n e r a l t h e o r y o f c a p a c i t y t h a t

o r i g i n a t e d i n C h o q u e t 1 1 9 5 5 1 . ( A l s o s e e C a r l e s o n 1 9 6 7 J . ) I t i s b e c o m i n gc o m m o n t o r e f e r t o a c a p a c i t y t h a t f i t s i n t o t h i s g e n e r a l t h e o r y a s a " t r u e "o r C h o q u e t c a p a c i t y .

U n f o r t u n a t e l y , t h e l o g a r i t h m i c c a p a c i t y d e f i n e d a b o v e i s n o t a t r u e c a -p a c i t y ( n o r i s t h e a n a l y t i c c a p a c i t y u s e d i n t h e s t u d y o f a n a l y t i c f u n c t i o n s ) .A m o d i f i c a t i o n o f t h e l o g a r i t h m i c c a p a c i t y c a n b e m a d e t h a t p r o d u c e s

a t r u e c a p a c i t y . T h e e x t r a e f f o r t t o d o t h i s i s m o d e s t a n d i t i s t h e r e f o r ep r e s e n t e d i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e d e v e l o p m e n t o f l o g a r i t h m i c c a p a c i t y . T h i sw i l l o n l y b e d e f i n e d f o r s u b s e t s o f t h e d i s k r D .

I f E d e f i n e

f l o g

f o r a l l z i n r D . N o t e t h a t L ( z ) 0 o n r D , t h o u g h i t m a y b e i n f i n i t e v a l u e d .S i m i l a r l y d e f i n e

= f f i o g 2 rd j . z ( z )

f o r i n

7 . 3 D e f i n i t i o n . F o r a n y s u b s e t E o f r D , d e f i n e

V r ( E ) : E M , c ( E ) } .

T h e r - l o g a r i t l i m i c c a p a c i t y o f E i s d e f i n e d b y

1

V r ( E )

W e n o t e t h e e q u a t i o n s L + S l i d = +f r o m w h i c h i t f o l l o w s t h a t = l o g 2 r + f o r a l l s u b s e t s E o f

r D . T h u s a s u b s e t E o f r D h a s l o g a r i t h m i c c a p a c i t y z e r o i f a n d o n l y i f i t h a sr - l o g a r i t h m i c c a p a c i t y z e r o ; i n f a c t , f o r s u c h s e t s , c , . ( E ) = E l o g ( 2 r / c ( E ) ) ) ' . -

T h e r - l o g a r i t h m J c c a p a c i t y i s a t r u e o r C h o q u e t c a p a c i t y d e f i n e d o n t h e

s u b s e t s o f r O . H o w e v e r l o g a r i t h m i c c a p a c i t y a s d e f i n e d i n ( 7 . 2 ) i s m o r ec l o s e l y r e l a t e d t o t h e g e o m e t r i c p r o p e r t i e s o f a n a l y t i c a n d h a r m o n i c f u n c -t i o n s o n t h e p l a n e . F o r e x a m p l e . i t w i l l b e s h o w n t h a t , f o r a n y c o m p a c t

s e t K , c ( K ) = w h e r e - y i s t h e R o b i n c o n s t a n t f o r K ( T h e o r e m 1 0 . 2b e l o w ) . T h e r - l o g a r i t h m i c c a p a c i t y h a s a l s o b e e n h e a v i l y u s e d i n t h e s t u d yo f a n a l y t i c a n d h a r m o n i c f u n c t i o n s ; s e e B e u r l i n g f 1 9 3 9 ) , C a r l e s o n [ 1 9 6 7 ] ,

a n d R i c h t e r , R o s s , a n d S u n d b e r g [ 1 9 9 4 1 .I t i s a l s o t h e c a s e t h a t t h e G r e e n p o t e n t i a l c a n b e u s e d t o d e f i n e a G r e e nc a p a c i t y ( f o r s u b s e t s o f t h e p a r e n t s e t C ) t h a t i s a C h o q u e t c a p a c i t y . T h i s

w i l l n o t b e d o n e h e r e . T h e i n t e r e s t e d r e a d e r c a n l o o k a t H e l m s [ 1 9 7 5 ) . A l s os e e L a n d k o f [ 1 9 7 2 ] a n d B r e l o t [ 1 9 5 9 ] . A d i s t i n c t a d v a n t a g e o f t h e G r e e nc a p a c i t y i s t h a t i t g e n e r a l i z e s t o h i g h e r d i m e n s i o n a l s p a c e s . A d i s a d v a n t a g e

i s t h a t i t i s r e s t r i c t e d t o a n d d e p e n d e n t o n t h e c h o s e n s e t C .I n w h a t f o l l o w s , r e s u l t s w i l l o n l y b e s t a t e d f o r l o g a r i t h m i c c a p a c i t y u n l e s s

t h e r e i s a d i f f i c u l t y w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g f a c t f o r r - l o g a r i t h m i c c a p a c i t yo r a p a r t i c u l a r e m p h a s i s i s c a l l e d f o r . O f c o u r s e , e x a c t f o r m u l a s o r n u -m e r i c a l e s t i m a t e s f o r l o g a r i t h m i c c a p a c i t y w i l l n o t c a r r y o v e r d i r e c t l y t or - l o g a r i t h m i c c a p a c i t y , t h o u g h s o m e m o d i f i c a t i o n w i l l . T h e f i r s t r e s u l t i s ac o l l e c t i o n o f e l e m e n t a r y f a c t s . T h e p r o o f s a r e l e f t t o t h e r e a d e r .

7 . 4 P r o p o s i t i o n .

( a ) I f E 1 ç E 2 , t h e n c ( E 1 ) c ( E 2 ) .( b ) F o r a n y s e t E , c ( E ) s u p { c ( K ) K i s a c o m p a c t s u b s e t o f E } .

( c ) I f T ( z ) = a z + b , a 0 , t h e n v ( T ( E ) ) = v ( E ) — l o g I a I a n d c ( T ( E ) ) =c ( E ) . T h u s c ( E ) 0 i f a n d o n l y i f c ( T ( E ) ) = 0 .

7 . 5 T h e o r e m . I f E i s a B o r e ! s e t , t h e f o l l o w i n g a r e e q u i v a l e n t .

( a ) £ h a s p o s i t i v e c a p a c i t y .( b ) T h e r e i s a n o n - z e r o m e a s u r e p i n s u c h t h a t i s b o u n d e da b o v e .

( c ) T h e r e i s a c o m p a c t s u b s e t o f . E t h a t i s n o t p o l a r .

( d ) T h e r e i s a p o s i t i v e m e a s u r e p w i t h 1 ( p ) < o o a n d j z ( E ) > 0 .

I f K i s a c o m p a c t s e t t h a t h a s p o s i t i v e c a p a c i t y , t h e n c ( K ) w h e r e yi s t h e R o b i n c o n s t a n t f o r K .

P r o o f . I n l i g h t o f p a r t ( b ) o f t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n , i t s u i & e s t o a s -s u m e t h a t E i s a c o m p a c t s e t K . B y p a r t ( c ) o f t h e p r e c e d i n g p r o p o -s i t i o n , w i t h a n a p p r o p r i a t e c h o i c e o f c o n s t a n t s i t c a n b e a s s u m e d t h a tK ç B ( 0 ; 1 / 2 ) . ( T h i s i s a t y p i c a l u s e o f ( 7 . 4 . c ) a n d w i l l b e s e e n a g a i n i nt h e c o u r s e o f t h i s d e v e l o p m e n t . ) T h e v i r t u e o f t h i s a d d i t i o n a l a s s u m p t i o ni s t h a t — w h 0 f o r a l l z , w i n K .

( a ) i m p l i e s ( b ) . L e t " E M 1 ( K ) w i t h I ( i i ) < o o . S i n c e K ç B ( 0 ; 1 / 2 ) , 0 o n K . S i n c e L , , L ' ( i i ) , t h e r e i s a c o n s t a n t M s u c h t h a t i f

F = ( z s u p p i i : < M } , t h e n L ' ( F ) > 0 . N o w i s a l o w e r

s e m i c o n t i n u o u s f u n c t i o n : t h u s F i s c o m p a c t . I f p = u I F , t h e n M f o r a l l z i n F a n d h e n c e t h r o u g h o u t C ( 1 9 . 5 . 1 0 ) .

( b ) i m p l i e s ( c ) . T h i s i s i m m e d i a t e f r o m T h e o r e m 5 . 1 0 .

( c ) i m p l i e s ( d ) . B y T h e o r e m 5 . 1 0 t h e r e i s a p i n M ÷ ( K ) s u c h t h a t L , 1M ; h e n c e I ( p ) = < o o .( d ) i m p l i e s ( a ) . I f p i s a p o s I t i v e m e a s u r e w i t h p ( K ) > 0 a n d I ( p ) < 0 0 ,

t h e n b y t h e d e f i n i t i o n o f v ( K ) , v ( K ) < o o a n d s o c ( K ) > 0 . T h i s c o m p l e t e st h e p r o o f t h a t s t a t e m e n t s ( a ) t h r o u g h ( d ) a r e e q u i v a l e n t .

I f c ( K ) > 0 , C i s t h e c o m p o n e n t o f \ K t h a t c o n t a i n s o o , a n d w i sh a r m o n i c m e a s u r e f o r G a t 0 0 , t h e n P r o p o s i t i o n 3 . 5 s t a t e s t h a t o nt h e p l a n e . T h u s v ( K ) 1 ( w ) f a n d s o c ( K ) 0

T h i n k o f t h e f i r s t o f t h e f o l l o w i n g t w o c o r o l l a r i e s a s a r e s u l t a b o u t a b -s o l u t e c o n t i n u i t y o f m e a s u r e s w i t h r e s p e c t t o l o g a r i t h m i c c a p a c i t y , e v e nt h o u g h l o g a r i t h m i c c a p a c i t y i s n o t a m e a s u r e .

7 . 6 C o r o l l a r y . J f K i s a c o m p a c t s e t w i t h c ( K ) > 0 a n d p M 7 ( K ) , t h e n= 0 f o r e v e r y B o r e l s e t w i t h = 0 .

T h e n e x t c o r o l l a r y i s i m m e d i a t e f r o m C o r o l l a r y 5 . 8 .

7 . 7 C o r o l l a r y . I f K i s a c o m p a c t s e t w i t h l o g a r i t h m i c c a p a c i t y 0 , t h e n Ki s a t o t a l l y d i s c o n n e c t e d s e t .

W e k n o w t h a t p o l a r s e t s h a v e a r e a z e r o ; t h e n e x t p r o p o s i t i o n r e f i n e s t h i ss t a t e m e n t i n t o a n u m e r i c a l l o w e r b o u n d f o r c a p a c i t y i n t e r m s o f a r e a .

7 . 8 P r o p o s i t i o n . I f E i s a B o r e l s e t , t h e n

c ( E ) P r o o f . T h e p r o o f i s r e m i n i s c e n t o f t h e p r o o f o f P r o p o s i t i o n 1 8 . 5 . 3 . B yv i r t u e o f P r o p o s i t i o n 7 . 4 . b , w e m a y a s s u m e t h a t E i s a c o m p a c t s e t K .W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y w e m a y a l s o a s s u m e t h a t t h e a r e a o f K i s p o s i t i v e .I f u i s t h e l o g a r i t h m i c p o t e n t i a l o f t h e r e s t r i c t i o n o f a r e a . m e a s u r e t o K , t h e n

u i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o n t h e p l a n e ; b y ( 1 9 . 5 . 1 0 ) i t a t t a i n s i t s m a x i m u mv a l u e o n K . B y t r a n s l a t i o n , w e m a y a s s u m e t h a t 0 K a n d u ( z ) u ( 0 ) =. 1 K l o g i f R i s t h e r a d i u s w i t h i r R 2 = J K J = A r e a ( K ) a n dD = R ) , t h e n A r e a ( D ) = A r e a ( K ) a n d A r e a ( K \ D ) = A r e a ( D \ K ) .

T h e r e f o r e

u ( 0 )= J l o g l w I _ 1 d A ( w ) + J l o g J w J ' d A ( w )

K \ D

< f K f l D




f l o g l w I _ ' d A ( v J ) + fK n D D \ K

= I D= 2 1 r f r l o g r ' d r

=

=

T h u s

I K 1 K l o g— w 1 ' d A ( z ) d . A ( w ) A ( K ) 2 l o g

I f p = A ( K ) ' A F K , t h e n v ( K ) 1 ( p ) l o g e / A ( K ) , w h e n c e t h er e s u l t . 0

7 . 9 T h e o r e m . I f K i s a c o m p a c t s e t v . n t h p o s i t i v e c a p a c i t y , t h e n t h e r e i s ap r o b a b i l i t y m e a s u r e p u n t h s u p p o r t c o n t a i n e d i n K s u c h t h a t 1 ( p ) v ( K ) .

P r o o f . L e t b e a s e q u e n c e i n M 1 ( K ) s u c h t h a t — ' v ( K ) .B u t M 1 ( K ) i s a c o m p a c t m e t r i c s p a c e w h e n i t h a s t h e w e a k ' t o p o l o g y . S o

b y p a s s i n g t o a s u b s e q u e n c e i f n e c e s s a r y , i t c a n b e a s s u m e d t h a t t h e r e i s am e a s u r e p i n M 1 ( K ) s u c h t h a t p w e a k ' . B y E x e r c i s e 1 , 1 ( p ) = v ( K ) .0

7 . 1 0 D e f i n i t i o n . I f K i s a c o m p a c t s e t a n d p E M 1 ( K ) s u c h t h a t I ( p )v ( K ) , t h e n p i s c a l l e d a n e q u z l i b r m m m e a s u r e f o r K . T h e c o r r e s p o n d i n g

l o g a r i t h m i c p o t e n t i a l i s c a l l e d a c o n d u c t o r o r e q u i l i b r i u m p o t e n t i a l o f E .

L a t e r ( 1 0 . 2 ) i t w i l l b e s h o w n t h a t t h e r e i s o n l y o n e e q u i l i b r i u m m e a s u r ea n d w e c a n s p e a k o f t h e e q u i l i b r i u m m e a s u r e f o r a c o m p a c t s e t . I n t h e

c o m p a n i o n d e v e l o p m e n t o f t h e r - l o g a r i t h m i c c a p a c i t y , w e m u s t m a k e ap o i n t e x p l i c i t . T h e p r o o f i s s t r a i g h t f o r w a r d .

7 . 1 1 P r o p o s i t i o n . J f K i s a c o m p a c t s u b s e t o f r D a n d p i s a n e q u i l i b r i u mm e a s u r e f o r K , t h e n 1 r ( j - ' ) C o n v e r s e l y , i / p i s a p r o b a b i l i t y m e a -s u r e o n K s u c h t h a t i r ( P ) = t h e n p i s a n e q u i l i b r i u m m e a s u r e f o rK .

7 . 1 2 T h e o r e m . ( F r o s t m a n [ 1 9 3 5 J ) I f K i s a c o m p a c t s e t a n d p i s a ne q u i l i b r i u m m e a s u r e , t h e n L M v ( K ) o n C a n d = v ( K ) e v e r y w h e r e o nK e x c e p t f o r a n F e , , s e t w i t h c a p a c i t y z e r o .

P r o o f . L e t v v ( K ) a n d p u t E = { z K : L M ( z ) < v } . S o E =w h e r e B e c a u s e L s l s c , s e t

i s c l o s e d a n d s o E i s a n F , s e t . I t w i l l b e s h o w n t h a t = 0 f o r e a c h

n 1 . i f t h e r e i s a n n 1 s u c h t h a t > 0 , l e t v Es u c h t h a t

1 ( v ) < 0 0 . I f O < 6 < 1 , = ( 1 E M 1 ( K ) a n d

= ( 1 + 5 2 1 ( v ) + 2 5 ( 1

= v _ 2 6 v + 2 6 f L M d v + 1 5 2 A ,

w h e r e A = — v + 1 ( v ) — 2 f H e n c ev — 2 5 v + 2 5 ( v — n ' ) + 5 2 A

< Vf o r a s u i t a b l y s m a l l 6 . S i n c e E M 1 ( K ) , t h i s c o n t r a d i c t s t h e d e f i n i t i o n o fv . H e n c e = 0 f o r a l l n 1 . B y L e m m a 5 . 6 a n d T h e o r e m 7 . 5 , t h e

c o u n t a b l e u n i o n o f s e t s o f c a p a c i t y z e r o h a s c a p a c i t y z e r o a n d s o L , , , vq . e .

N o w w e s h o w t h a t L M v e v e r y w h e r e . O t h e r w i s e t h e M a x i m u m P r i n c i p l ef o r t h e l o g a r i t h i h i c p o t e n t i a l i m p l i e s t h e r e i s a p o i n t a i n F = s u p p s u c h

t h a t > v . S i n c e i s I s c , t h e r e i s a n o p e n n e i g h b o r h o o d U o f aw i t h L M > v m U ; b e c a u s e a F , > 0 . O n F \ U , L M v q . e b yt h e f i r s t p a r t o f t h e p r o o f . B y ( 7 . 6 ) , L M v a . e . [ 4 H e n c e v =

+ J ' F \ U L , 1 d . e > v p ( U ) +

\U ) v , a c o n t r a d i c t i o n . 0

7 . 1 3 C o r o U a r y . I f K i s c o m p a c t w i t h c ( K ) > 0 a n d p i s a n e q u i l i b r i u mm e a s u r e , t h e n L , L i s c o n t i n u o u s a t e a c h p o i n t a w h e r e = v ( K ) .

P r o o f . B y P r o p o s i t i o n 1 9 . 5 . 1 1 , i t s u f f i c e s t o s h o w t h a t L , I I K i s c o n t i n u o u sa t a . S W c e L M v ( K ) = S S v ( K ) . 0

7 . 1 4 P r o p o s i t i o n . L e t K b e a c o m p a c t s e t w i t h c ( K ) > 0 a n d l e t p b e a ne q u i l i b r i u m m e a s u r e . F o r E > 0 t h e r e i s a c o m p a c t s u b s e t K 1 o f Kw i t h p ( K \ K 1 ) < e a n d s u c h t h a t , i f = t h e n i s a c o n t i n u o u s

f i n i t e - v a l u e d f u n c t i o n o n C .

P r o o f . P u t c = c ( K ) a n d v = v ( K ) . B y C o r o l l a r y 7 . 6 a n d T h e o r e m 7 . 1 2 ,L , 4 = v a . e . L e t K 1 b e a c o m p a c t s u b s e t o f K w i t h p ( K \ K 1 ) < ea n d L M = v o n K 1 . B y t h e p r e c e d i n g c o r o l l a r y , L M i s c o n t i n u o u s a t e a c h

p o i n t o f K 1 . L e t b e a s i n t h e s t a t e m e n t o f t h e p r o p o s i t i o n a n d p u tP 2 = P — P i = p J ( K \ K i ) . N o w = 5 v o n C . S i n c e b o t h

a n d a r e b o u n d e d b e l o w o n c o m p a c t s e t s , i t f o l l o w s t h a t b o t h f u n c t i o n s

2 1 . P o t e n t i a l T h e o r y

a r e b o u n d e d o n c o m p a c t s u b s e t s o f t h e p l a n e . I n p a r t i c u l a r , b o t h f u n c t i o n sa r e f i n i t e - v a l u e d . A l s o L M I = — a n d t h u s i s u s c ; s i n c e t h i sf u n c t i o n i s a l s o L s c , i t f o l l o w s t h a t i t i s c o n t i n u o u s . 0

W e c o n c l u d e t h i s s e c t i o n w i t h a r e s u l t t h a t w i l l b e u s e d l a t e r .

7 . 1 5 P r o p o s i t i o n . I f i s a s e q u e n c e o f c o m p a c t s e t s s u c h t h a tf o r a l l n a n d = K , t h e n c ( K ) . I f c ( K ) > 0 a n d i f

i s a n e q u i l i b r i u m m e a s u r e f o r t h e n e v e r y w e a k c l u s t e r p o i n t o f t h es e q u e n c e i s o n e q u i l i b r i u m m e a s u r e f o r K .

P r o o f . A r u d i m e n t a r y a r g u m e n t s h o w s t h a t i f U i s a n y o p e n s e t c o n t a i n i n g

K , t h e n C U f o r a l l s u f f i c i e n t l y l a r g e n . I n p a r t i c u l a r , t h e r e i s n o l o s s i ng e n e r a l i t y i n a s s u m i n g t h a t t h e s e q u e n c e { i s u n i f o r m l y b o u n d e d . B yP r o p o s i t i o n 7 . 4 . c w e m a y a s s u m e t h a t a l l t h e s e t s { z : 1 / 2 } .

F r o m e l e m e n t a r y c o n s i d e r a t i o n s w e k n o w t h a t c ( K )s o t h a t e x i s t s a n d i s a t l e a s t c ( K ) . E q u i v a l e n t l y , v ( K )

L e t b e t h e e q u i l i b r i u m m e a s u r e f o r s o t h a t =T h e r e i s a s u b s e q u e n c e

} t h a tc o n v e r g e s t o a p r o b a b i l i t y m e a s u r e

i n I t i s l e f t t o t h e r e a d e r t o s h o w t h a t s u p p K . S i n c el o g l z — w 1 ' 0 o n K 1 , F a t o u ' s L e m m a i m p l i e s t h a t

v ( K ) I ( p ) i i m i n f k f f l o g l z — w 1 ' d p f l k ( z ) d / . L f l k ( w )

l i m i n f k v ( K f l k )

v ( K ) .

0

7 . 1 6 C o r o l l a r y . I f K i s a c o m p a c t s e t a n d i s a s e q u e n c e o f o p e ns e t s s u c h t h a t 2 f o r a l l n a n d = K , t h e n — ' c ( K ) .I n p a r t i c u l a r , i f e > 0 , t h e r e i s a n o p e n s e t U t h a t c o n t a i n s K w i t h c ( U ) <

c ( K ) + c .P r o o f . F o r e a c h n l e t b e a n o p e n n e i g h b o r h o o d o f K t h a t i s b o u n d e d

w i t h = c i C S o a n d t h e r e s u l t f o l l o w s f r o m t h ep r o p o s i t i o n . 0

E x e r c i s e s

1 . I f p , . . . a r e p o s i t i v e m e a s u r e s w h o s e s u p p o r t s a r e c o n t a i n e d i nt h e c o m p a c t s e t K a n d p w e a l C i n M ( K ) , s h o w t h a t 1 ( p )

2 1 . 8 . S o m e A p p l i c a t i o n s a n d E x a m p l e s 3 3 9

U s e t h i s t o s h o w t h a t 1 : M ÷ ( K ) — ' ( — o o , o o ] i s l o w e r

s e m i c o n t i n u o u s .

2 . P r o v e t h e r e s u l t f o r r - l o g a r i t h m i c c a p a c i t y c o r r e s p o n d i n g t o T h e o r e m7 . 1 2 .

3 . L e t G b e a h y p e r b o l i c o p e n s e t , l e t K b e a c o m p a c t s u b s e t o f Cw i t h c ( K ) > 0 , a n d l e t p b e a n e q u i l i b r i u m m e a s u r e f o r K . C o m b i n e

P r o p o s i t i o n 7 . 1 4 w i t h T h e o r e m 4 . 5 t o s h o w t h a t f o r e v e r y e > 0 t h e r ei s a c o m p a c t s u b s e t K 1 w i t h p ( K \ K 1 ) < E s u c h t h a t i f j i 1 = p 1 K 1 ,

t h e n i s a c o n t i n u o u s f i n i t e - v a l u e d f u n c t i o n o n C .

4 . i f K i s a c o m p a c t s e t a n d p i s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e o n K , s h o w t h a tz C K } v ( K ) .5 . S u p p o s e K i s a c o m p a c t s u b s e t o f s o m e d i s k o f r a d i u s 1 / 2 a n d K

S h o w t h a t v ( K ) v ( K j ) + . . . +

S o m e A p p l i c a t i o n s a n d E x a m p l e s o f L o g a r i t h m i c C a p a c i t yH e r e w e w i l l g i v e a f e w a p p l i c a t i o n s o f t h e p r e c e d i n g s e c t i o n . S o m e o f t h e s ea p p l i c a t i o n s w i l l t i e t o g e t h e r l o o s e e n d s t h a t e x i s t i n e a r l i e r s e c t i o n s ; m a n yw i l l b e u s e d t o p u s h o u r s t u d y o f p o t e n t i a l t h e o r y f u r t h e r . L a t e r w e w i l ls e e s o m e e x a m p l e s o f s e t s w i t h z e r o o r p o s i t i v e c a p a c i t y .

W e b e g i n w i t h a n e a s y a p p l i c a t i o n o f C o r o l l a r y 7 . 6 t h a t h a s i m p o r t a n ti m p l i c a t i o n s .

8 . 1 T h e o r e m . I f C i s a h y p e r b o l i c o p e n s e t a n d E i s a B o r e l s u b s e t o fw i t h c ( E ) = 0 , t h e n 4 ( E ) = 0 f o r a l l z i n C .

P r o o f . F i x z i n C . U s i n g a M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n , t h e r e i s n o l o s s o fg e n e r a l i t y i n a s s u m i n g z = 0 0 . S o K = = O G h a s c ( K ) > 0 . I f

= r o b ( K ) a n d w = t h e n a n d s o 1 ( w ) y ; t h u s w E M 7 ( K ) .I f E i s a B o r e l s e t w i t h c ( E ) = 0 a n d E K , t h e n C o r o l l a r y 7 . 6 i m p l i e s

w ( E ) = 0 . 0I n l i g h t o f t h e p r e c e d i n g t h e o r e m , t h e n e x t f e w r e s u l t s a r e i m m e d i a t e

f r o m p r e v i o u s r e s u l t s i n t h i s c h a p t e r . R e f e r e n c e t o t h e e a r l i e r v e r s i o n s o ft h e r e s u l t s i s g i v e n a t t h e e n d o f t h e s t a t e m e n t .

8 . 2 T h e M a x i m u m P r i n c i p l e . I f C i s a h y p e r b o l i c o p e n s e t , E i s aB o r e l s u b s e t o f w i t h c ( E ) = 0 , a n d 4 , i s a s u b h a r r n o n i c f u n c t i o n o nt h e h y p e r b o l i c s e t C t h a t i s b o u n d e d a b o v e a r i d s a t i s f i e s

u r n 4 , ( z ) 0

f o r e v e r y ( i n \ E , t h e n 0 . ( S e e T h e o r e m 5 . 1 . )

8 . 3 C o r o l l a r y . J I G i s a h y p e r b o l i c s e t , h i s a b o u n d e d h a r m o n i c f u n c t i o no n C , a n d t h e r e i s a B o r e l s u b s e t E o f w i t h c ( E ) = 0 s u c h t h a t

h ( z ) — ' 0 a s z a p p r o a c h e s a n y p o i n t o f t h e n h 0 .

8 . 4 T h e o r e m . i i Z i s a p o l a r s e t a n d C i s a h y p e r b o l i c s e t , t h e n f o re v e r y p o i n t a i n C , Z f l O G i s 4 - m e a s u r a b l e a n d 4 ( Z f l O G ) 0 . ( S e eP r o p o s i t i o n 5 . 9 . )

8 . 5 C o r o l l a r y . I f C i s a h y p e r b o l i c o p e n s e t , t h e n t h e c o l l e c t i o n o f i r r e g u l a rp o i n t s f o r C i s a n s e t w i t h h a r m o n i c m e a s u r e z e r o . ( S e e C o r o l l a r y 6 . 7 . )

N o w t o p r o d u c e a f e w e x a m p l e s . W e w i l l s t a r t w i t h a s u f f i c i e n t c o n d i t i o nf o r a c o m p a c t s e t t o h a v e c a p a c i t y z e r o . L e t K b e a c o m p a c t s e t w i t hd i a m e t e r l e s s t h a n o r e q u a l t o 1 . T h i s a s s u m p t i o n i m p l i e s t h a t l o g z —w L ' 0 f o r a l l z , w i n K . F o r r > 0 l e t N f r ) b e t h e s m a l l e s t n u m b e r

o f o p e n d i s k s o f r a d i u s r t h a t c o v e r K . N o t e t h a t i f K h a s k e l e m e n t s ,N ( r ) < k f o r a l l r . S o t h e i d e a i s t h a t i f N ( r ) d o e s n o t g r o w t o o f a s t , K i sa s m a l l s e t .

8 . 6 W i t h K a n d N ( r ) a s a b o v e , N ( r ) j ' d r < o o i f a n d o n l yi f

P r o o f . N ( r ) i s i n c r e a s i n g s o f o r r 1 / 2 ' s , [ r N ( 2 ' ' ) ] '[ r [ r H e n c e

I o g 2 —[ 2 f l

d r< L o g 2

N ( 2 " ' ) — r N ( r )0

8 . 7 P r o p o s i t I o n . W i t h K a n d N ( r ) a s a b o v e , c ( K ) = 0 i f

L r N ( r ) d r = o o .

P r o o f A s s u m e t h a t c ( K ) > 0 a n d l e t b e a p r o b a b i l i t y m e a s u r e o n Kw i t h 1 ( p ) < 0 0 . F o r e a c h z i n K , l e t b e t h e i n c r e a s i n g , r i g h t - c o n t i n u o u sf u n c t i o n o n [ 0 , 1 1 d e f i n e d b y = U s i n g t h e c h a n g e o f v a r i -a b l e s f o r m u l a ,

I ( p )= J [ j i p ( z ) .

U s i n g i n t e g r a t i o n b y p a r t s w e g e t

" j . i

J= l o g + j d r .

0 0

N o w f o r 0 < r < 1 ,

=

f B ( z : r )

a n d t h i s c o n v e r g e s t o 0 a s r — ' 0 . T h e r e f o r e

1 ( p )= J { J r _ l u * ( r ) d r } d 1 s ( z ) .

S i n c e u , i s i n c r e a s i n g ,

f! 4 ( z )

= d p ( z ) .

P u t a n d l e t = I k b e d i s k s

t h a t c o v e r K . N o w a n y d i s k o f r a d i u s r c a n b e c o v e r e d b y 1 6r / 2 . H e n c e f o r a f i x e d v a l u e o f n , n o p o i n t o f K c a n b e l o n g t o m o r e t h a n1 6 o f t h e d i s k s I n d e e d , i f z t h e n S o

i f z b e l o n g e d t o m o r e t h a n 1 6 o f t h e d i s k s w e c o u l d r e p l a c e e a c h o ft h e s e b y t h e 1 6 d i s k s o f r a d i u s t h a t c o v e r B ( z ; a n d r e d u c e t h es i z e o f c o n t r a d i c t i n g i t s d e f i n i t i o n . T h u s

N , . + 3

J 4 ( z ) N o w c w h e n e v e r z T h e r e f o r e

1 ( p ) l o g 2 E E

= 1 6 n 1 k = IU s i n g t h e C a u c h y - S c h w a r z I n e q u a l i t y ,

I =2

T h e r e f o r e

a n d t h e p r o p o s i t i o n i s p r o v e d . 0

N o w f o r m a C a n t o r s e t c o n t a i n e d i n a s f o l l o w s . L e t b e a s t r i c t l yd e c r e a s i n g s e q u e n c e o f p o s i t i v e n u m b e r s l e s s t h a n 1 s u c h t h a t b 1 + 2 b 2 +2 2 b 3 1 . D e l e t e f r o m [ 0 , 1 J t h e o p e n s u b i n t e r v a l o f l e n g t h b 1 c e n t e r e d i n

[ 0 , 1 ] . L e t K 1 b e t h e u n i o n o f t h e t w o c l o s e d i n t e r v a l s t h a t r e m a i n ; e a c h h a st h e s a m e l e n g t h , a 1 . S o 1 = 2 a 1 + b 1 . N o w f r o m e a c h o f t h e t w o c o m p o n e n t

i n t e r v a l s t h a t m a k e u p K 1 , d e l e t e t h e o p e n m i d d l e i n t e r v a l o f l e n g t h b 2 .L e t b e t h e u n i o n o f t h e 2 2 c l o s e d i n t e r v a l s t h a t r e m a i n ; e a c h o f t h e s ec l o s e d i n t e r v a l h a s l e n g t h a 2 . S o a 1 = 2 G 2 + b 2 . C o n t i n u e i n t h i s w a y t o g e ta d e c r e a s i n g s e q u e n c e o f c o m p a c t s e t s s a t i s f y i n g t h e f o l l o w i n g f o r a l l

8 8( i ) h a s c o m p o n e n t s , e a c h o f w h i c h h a s l e n g t h

I t i s l e f t t o t h e r e a d e r t o p r o v e t h e n e x t p r o p o s i t i o n , w h i c h i s s t a n d a r dm e a s u r e t h e o r y .

8 . 9 P r o p o s i t i o n . I f s a t i s f i e s ( 8 . 8 ) , t h e n K = r i , K , i s a t o t a l l yd i s c o n n e c t e d s e t h a v i n g L e b e s g u e m e a s u r e = 1 - ( b 1 + 2 b 2 +

2 2 b 3 + . . . ) .

8 . 1 0 T h e o r e m . I f i s t h e s e q u e n c e o f c o m p a c t s e t s ( 8 . 8 )t h e n c ( K ) > 0 i f a n d o n l y 1 f

8 . 1 1 l o g a ; 1 < o o .

I f c ( K ) > 0 , t h e n

8 . 1 2 c ( K ) e x p l o g a 1 } .

P r o o f A s s u m e ( 8 . 1 1 ) h o l d s . F o r e a c h n 1 l e t b e t h e p r o b a b i l i t y m e a -s u r e = w h e r e m i s L e b e s g u e m e a s u r e o n t h e l i n e . T h e

s t r a t e g y h e r e w i l l b e t o s h o w t h a t t h e r e i s a c o n s t a n t M s u c h t h a t SM f o r a l l n . T h i s i m p l i e s t h a t

M s o t h a t e x p ( — M ) . T h er e s u l t w i l l t h e n f o l l o w f r o m P r o p o s i t i o n 7 . 1 5 a n d t h e e s t i m a t e ( 8 . 1 2 ) w i l lb e o b t a i n e d b y g i v i n g t h e a p p r o p r i a t e v a l u e o f M .




y — x I ( W e t a k e a 0 t o b e l . ) S o

8 . 1 3 J l O g I y — z I _ l d i i n ( Y ) = 2 ' 1 a , , f l o g I Y _ . x I _ ' d v .

N o t e t h a t f o r a n y p 0 a n d y i n — x 1 1 B y d r a w i n gp i c t u r e s i t c a n b e s e e n t h a t t h e r e a r e a t m o s t 5 = 2 . 2 + 1 o f t h e c o m p o n e n ti n t e r v a l s o f K , , w i t h i n a d i s t a n c e a , , . . . 1 o f x . C o n t i n u i n g , t h e r e a r e a t m o s t2 . + 1 o f t h e c o m p o n e n t i n t e r v a l s o f K , , w i t h i n a d i s t a n c e a , , . . . 3 o f x f o r1

— x J 1 d y ( 2 . +

8 . 1 4 l o g ç 1 .

F o r p n ,

— 2 — 1— o g a , , ÷ 1

N o w f r o m ( 8 . 8 . i i ) f o r a l l p ; s o a , , f o r a l l p n . H e n c e[ a . , , — a . , , ÷ i ] f o r a l l p n . T h i s g i v e s t h a t

8 . 1 5

f o r a l l p n .C o m b i n i n g ( 8 . 1 4 ) a n d ( 8 . 1 5 ) w i t h ( 8 . 1 3 ) , w e g e t

fl o g

a b o u n d i n d e p e n d e n t o f n . S i n c e x w a s a n a r b i t r a r y p o i n t o f K , , , M f o r a l l n a n d t h i s p r o v e s h a l f t h e t h e o r e m . T h e e s t i m a t e f o r t h e

c a p a c i t y ( 8 . 1 2 ) f o l l o w s f r o m t h e p r e c e d i n g i n e q u a l i t y .F o r t h e c o n v e r s e , a s s u m e c ( K ) > 0 . W e w i l l u s e P r o p o s i t i o n 8 . 7 , s o a d o p t

t h e n o t a t i o n f r o m t h e r e . U s i n g t h e f a c t t h a t a 0 = 1 a n d t h e t e l e s c o p i n g o ft h e s e c o n d s e r i e s b e l o w , w e g e t t h a t

l o g a ; ' ] .




O b s e r v e t h a t H e n c e

E—

I o g a ' (

N ( a n + i ) L : i

! d r

S

= 2 /a n d t h i s i s f i n i t e b y P r o p o s i t i o n 8 . 7 . 0

8 . 1 6 E x a m p l e . I f K i s t h e u s u a l C a n t o r t e r n a r y s e t , t h e n K h a s L e b e s g u em e a s u r e z e r o a n d p o s i t i v e c a p a c i t y . I n f a c t , i n t h i s c a s e a , , = 3 " a n d s o

0 0 0 0 0 01 — 1 1 n

l o g o , ,

I n f a c t , b y e v a l u a t i n g t h i s l a s t s u m w e g e t t h a t c ( K )

8 . 1 7 E x a m p l e . i f K i s t h e C a n t o r s e t a s i n ( 8 . 8 ) w i t h a , , e x p ( — 2 " ) ,t h e n c ( K ) 0 a n d s o K i s a n u n c o u n t a b l e s e t t h a t i s p o l a r .

T h e r e i s a s t r o n g c o n n e c t i o n b e t w e e n l o g a r i t h m i c c a p a c i t y a n d H a n s -d o r i f m e a s u r e . S e e C a r l e s o n ( 1 9 6 7 1 a n d T s u j i ( 1 9 7 5 1 . A l s o L a n d k o f ( 1 9 7 2 1c o m p u t e s t h e l o g a r i t h m i c c a p a c i t y a s w e l l a s t h e G r e e n c a p a c i t y o f s e v e r a lp l a n a r s e t s .

R e m o v a b l e S i n g u l a r i t i e s f o r F u n c t i o n s i n t h e B e r g m a nS p a c e

I n t h i s s e c t i o n w e w i l l u s e l o g a r i t h m i c c a p a c i t y t o c h a r a c t e r i z e t h e r e m o v -a b l e s i n g u l a r i t i e s f o r f u n c t i o n s i n t h e B e r g m a n s p a c e .

9 . 1 D e f i n i t i o n . I f C i s a n o p e n s e t a n d a E 0 0 0 G , t h e n a i s a r e m o v a b l es i n g u l a r i t y f o r i f t h e r e i s a n e i g h b o r h o o d U o f a s u c h t h a t e a c hf u n c t i o n f i n h a s a n a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n t o C U U . L e t r e m ( G )d e n o t e t h e p o i n t s i n 8 0 0 G t h a t a r e r e m o v a b l e s i n g u l a r i t i e s f o r

T h e r e i s , o f c o u r s e , a c o n c e p t o f r e m o v a b l e s i n g u l a r i t y f o r S o m eo f t h e r e s u l t s b e l o w c a r r y o v e r i n a s t r a i g h t f o r w a r d m z m n e r t o s u c h p o i n t s .

T h i s w i l l n o t b e d o n e h e r e a s a k e y r e s u l t ( T h e o r e m 9 . 5 ) f o r t h e c a s e p = 2

e T h i s s e c t i o n c a n b e s k i p p e d i f d e s i r e d , a s t h e r e m a i n d e r o f t h e b o o k d o e s n o td e p e n d o n i t .

2 1 . 9 . R e m o v a b l e S i n g u l a r i t i e s 3 4 5

i s n o t t r u e f o r a r b i t r a r y p . T h e r e w i l l b e m o r e s a i d a b o u t t h i s a f t e r t h a tp r o o f .

B e f o r e g i v i n g s o m e e l e m e n t a r y p r o p e r t i e s o f r e m ( G ) a n d e x h i b i t i n g s o m e

e x a m p l e s , l e t ' s p r o v e a b a s i c r e s u l t t h a t w i l l b e u s e f u l i n t h e s e d i s c u s s i o n s .9 . 2 L e m m a . I f H = { z J z J > R } a n d 1 ( z ) = i s a n a l y t i c o n

H , t h e n 1 € * f a n d o n l y i f a o = f ( o o ) = 0 , a 1 = f ' ( o o ) = 0 , a n d< c o .

I f I i s a b o u n d e d a n a l y t i c f u n c t i o n o n H , I E i f a n d o n l y i ff ( o o ) = f ' ( o o ) = 0 .

P r o o f . A c a l c u l a t i o n s h o w s t h a t

f z I > R n = o R

T h e f i r s t s t a t e m e n t i s n o w i m m e d i a t e . F o r t h e s e c o n d s t a t e m e n t n o t e t h a tb y i n c r e a s i n g R w e m a y a s s u m e t h a t f i s a n a l y t i c i n a n e i g h b o r h o o d o fc i H . i f , i n a d d i t i o n , f ( o o ) f ' ( o o ) = 0 , t h e n 1 ( z ) = z 2 g ( z ) , w h e r e g i s

a b o u n d e d a n a l y t i c f u n c t i o n o n H . 0

I f I i s a n a l y t i c i n a s e t H a s i n t h e p r e c e d i n g l e m m a , t h e c o n d i t i o nt h a t f a n d i t s d e r i v a t i v e v a n i s h a t i n f i n i t y i s t h a t ( I = f ( z ) =

z f ( z ) .

9 . 3 P r o p o s i t i o n . F i x a n o p e n s e t G a n d a p o i n t a i n

( a ) I f a i s a n i s o l a t e d p o i n t o f t h e n a i s r e m o v a b l e f o r

( b ) I f B ( a ; 6 ) n h a s p o s i t i v e a r e a f o r e v e r y 5 > 0 , t h e n a i s n o t ar e m o v a b l e s i n g u l a r i t y f o r ( C ) .

( c ) T h e s e t G U r e m ( G ) i s a n o p e n s u b s e t o f

( d ) A r e a [ r e m ( G ) ] = 0 .

P r o o f . ( a ) I f o o i s a n i s o l a t e d p o i n t o f t h e n t h e r e s u l t f o l l o w s b yL e m m a 9 . 2 . S o a s s u m e t h a t

a i s a n i s o l a t e d p o i n t o f O G ; w i t h o u t l o s s o fg e n e r a l i t y w e m a y a s s u m e t h a t a = 0 . S i n c e 0 i s i s o l a t e d , / h a s a L a u r e n te x p a n s i o n , f ( z ) = I f R > 0 s u c h t h a t z E C w h e n 0 < j z j <R , t h e n , a s i n t h e p r o o f o f L e m m a 9 . 2 ,

0 0 > f = f r 2 n + 1 d 7 .z I ( R , , _ 0

F r o m h e r e w e s e e t h a t = 0 f o r n < 0 , a n d s o 0 i s a r e m o v a b l e s i n g u l a r i t y .( b ) S u p p o s e a r e m ( G ) ; w e w i l l o n l y t r e a t t h e c a s e t h a t a i s a f i n i t ep o i n t . L e t S > 0 a n d a s s u m e e a c h f i n h a s a n a n a l y t i c e x t e n s i o n t o

G U B ( a ; 5 ) . I f A r e a ( B ( a ; 5 ) f l O G ) > 0 , t h e r e i s a c o m p a c t s e t K c o n t a i n e di n B ( a ; 5 ) f l O G w i t h p o s i t i v e a r e a . W r i t e K a s t h e d i s j o i n t u n i o n o f t w oB o r e l s e t s E 1 a n d E 2 h a v i n g e q u a l a r e a ; l e t — A r e a I E 3 a n d p u t =

— 1 z 2 . I f f i s t h e C a u c h y t r a n s f o r m o f p , t h e n f i s a n a l y t i c o f f K a n d= f ' ( o o ) = 0 ( s e e 1 8 . 5 . 3 ) . S o i f K c B ( 0 : R ) , L e m m a 9 . 2 i m p l i e s/ I z i > R } ) ; s i n c e f i s b o u n d e d , f E

( c ) F r o m t h e d e f i n i t i o n o f a r e m o v a b l e s i n g u l a r i t y . C U r e m ( G ) i s o p e n .F o r t h e s e c o n d p a r t o f ( c ) i t s u f f i c e s t o s h o w t h a t r e m ( G ) f l = 0 .

I f a a n d U i s a n y n e i g h b o r h o o d o f a . l e t & E U \ p u t1 ( z ) = ( z — b ) _ 2 . A c c o r d i n g t o L e m m a 9 . 2 , f E I z i > R } ) f o r a n yR > I b i . I t f o l l o w s t h a t f e a n d s o a r e m ( G ) .

( d ) I f i t w e r e t h e c a s e t h a t r e m ( C ) h a d p o s i t i v e a r e a , t h e n w e c o u l df i n d d i s j o i n t c o m p a c t s u b s e t s K 1 a n d K 2 o f r e m ( G ) w i t h A r e a ( K 1 ) =A r e a ( K 2 ) > 0 . L e t , u = A I K 1 — . A I K 2 . L e t f = t h e C a u c h y t r a n s -f o r m o f j i . B y ( 1 8 . 5 . 2 ) f i s a b o u n d e d a n a l y t i c f u n c t i o n o n C \ ( K 1 U K 2 )

a n d C ) = f ( o o ) = f ' ( o o ) . T h u s / e B u t K 1 U K 2 r e m ( G ) a n d s of c a n b e e x t e n d e d t o a b o u n d e d e n t i r e f u n c t i o n ; t h u s / i s c o n s t a n t a n d s o

f = 0 . B u t t h i s i m p l i e s t h a t A I K 1 = A I K 2 , a c o n t r a d i c t i o n . 0

S o t h e t y p i c a l c a s e w h e r e r e m ( G ) 0 o c c u r s w h e n C = V \ K , w h e r e Vi s a n o p e n s e t a n d K i s a c o m p a c t s u b s e t o f V w i t h z e r o a r e a . I f w e w a n tt o g e t K c o n t a i n e d i n r e i n ( G ) , w e m u s t h a v e t h a t K i s t o t a l l y d i s c o n n e c t e d

( E x e r c i s e 1 ) . B u t m o r e i s r e q u i r e d , a s w e w i l l s e e i n T h e o r e m 9 . 5 b e l o w .F i r s t w e n e e d a n e l e m e n t a r y r e s u l t a b o u t a n a l y t i c f u n c t i o n s .

9 . 4 L e m m a . I f V i s a n o p e n s u b s e t o f C , K i s a c o m p a c t s u b s e t o f V ,a n d f : V \ K C i s a n a n a l y t i c j u n c t i o n , t h e n t h e r e a r e u n i q u e a n a l y t i c

f u n c t i o n s f o : V — , C a n d \ K — , C s u c h t h a t = 0 a n df ( z ) i n V \ K .P r o o f . I f z E V , l e t 1 ' o b e a s m o o t h J o r d a n s y s t e m i n V \ K s u c h t h a tK U { z } i s i n c l u d e d i n t h e i n s i d e o f r 0 . L e t

f o ( z ) = f 1 ( w )d w .

r 0 w — z

C a u c h y ' s T h e o r e m i m p l i e s t h a t t h e d e f i n i t i o n o f f o ( z ) i s i n d e p e n d e n t o f t h eJ o r d a n s y s t e m r 0 . A l s o , i t i s e a s y t o s e e t h a t f o i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n o nV .

S i m i l a r l y , i f z E C \ K , l e t b e a s m o o t h J o r d a n s y s t e m i n V \ K t h a tc o n t a i n s K i n i t s i n s i d e a n d h a s t h e p o i n t z i n i t s o u t s i d e . L e t

f ( w )d w .

2 i r zO n c e a g a i n t h e d e f i n i t i o n o f i s i n d e p e n d e n t o f t h e c h o i c e o f J o r d a ns y s t e m r < , , , a n d : C \ K — + C i s a n a n a l y t i c f u n c t i o n . i t i s a l s o e a s y




t o s e e t h a t — i 0 a s z — . o o , s o t h a t c c i s a r e m o v a b l e s i n g u l a r i t y . I fz E V \ K , t h e n I ' O a n d c a n b e c h o s e n a b o v e s o t h a t r — i s

a l s o a J o r d a n s y s t e m w i t h w i n d i n g n u m b e r a b o u t t h e p o i n t z e q u a l t o 0 .

T h u s C a u c h y ' s I n t e g r a l F o r m u l a i m p l i e s t h a t f ( z ) = f o ( z ) +T o s e e t h a t f o a n d a r e u n i q u e , s u p p o s e g o a n d a r e a n o t h e r p a i ro f s u c h f u n c t i o n s . S o f o ( z ) + = g 0 ( z ) + o n V \ K , s o t h a tf o ( z ) — g o ( z ) = — t h e r e . T h i s s a y s t h a t i f h i s d e f i n e d o n C b yh ( z ) = f o ( z ) — g o ( z ) f o r z i nh i s a w e l l - d e f i n e d e n t i r e f u n c t i o n . S i n c e h ( o o ) = 0 , h 0 . Q

S u p p o s e V i s a n o p e n s e t , K i s a c o m p a c t s u b s e t o f V , a n d C = V \ K . A s

w a s p o i n t e d o u t , i f K ç r e m ( G ) , A r e a ( K ) 0 . T h u s w h e n K r e m ( G ) ,t h e r e s t r i c t i o n m a p f — ÷ i s a n i s o m e t r i c i s o m o r p h i s m o f o n t oE q u i v a l e n t l y , i f I E a n d I f o + a s i n t h e p r e c e d i n g

l e m m a , t h e n i t m u s t b e t h a t = 0 .

W e a r e n o w i n a p o s i t i o n t o s t a t e a n d p r o v e t h e m a i n r e s u l t o f t h i ss e c t i o n .

9 . 5 T h e o r e m . J f K i s a c o m p a c t s u b s e t o f C , t h e n t h e f o l l o w i n g a r e e q u i v -

a l e n t .( a ) K i s a p o l a r s e t .( b )

( c ) l i v i s a n y o p e n s e t c o n t a i n i n g K , K C r e m ( V \ K ) .

P r o o f . F i r s t w e d o t h e e a s y p a r t o f t h e p r o o f a n d s h o w t h a t ( b ) a n d ( c )a r e e q u i v a l e n t . I f ( c ) i s t r u e a n d I E \ K ) , t h e n t a k i n g V = C i n ( c )

s h o w s t h a t f h a s a c o n t i n u a t i o n t o a n e n t i r e f u n c t i o n . B u t f ( o o ) = 0 a n d

N o w a s s u m e t h a t ( b ) h o l d s . N o t e t h a t ( b ) s a y s t h a t K ç r e m ( C \ K ) .( A c t u a l l y , t h i s i s a n e q u i v a l e n t f o r m u l a t i o n o f ( b ) . ) B y ( 9 . 3 . d ) A r e a ( K ) = 0 .L e t V b e a n y o p e n s e t c o n t a i n i n g K . F i x a f u n c t i o n f i n \ K ) a n d

w r i t e I = f o + a s i n t h e p r e c e d i n g l e m m a . T o p r o v e ( c ) i t m u s t b es h o w n t h a t = 0 . T h i s w i l l b e d o n e b y s h o w i n g t h a t E \ K ) .

O b s e r v e t h a t i f a E C \ K , t h e nf 0 0 ( z )

=

A s s u m e 0 a n d c h o o s e p o i n t s a a n d b i n C \ K s u c h t h a t 0P u t

9 6 ( z ) —1 1

— 1 .

z — a J z — bC l e a r l y g i s a n a l y t i c i n C \ K a n d f r o m t h e p r i o r o b s e r v a t i o n 0 = g ( o o )

g ' ( o o ) . T h u s i f R > m a x { I z I z E K } a n d H = { z : I z i > R } , g E

O n t h e o t h e r h a n d , i f W i s a n o p e n s e t w i t h K W c i W ç V , =I — f o E \ K ) . I f W i s f u r t h e r r e s t r i c t e d s o t h a t a , b c i W , t h e ng E \ K ) . T h e r e f o r e 9 E \ K ) . B y ( b ) , g 0 . T h i s a l l o w s u s

t o u s e ( 9 . 6 ) t o s o l v e f o r D o i n g t h i s w e s e e t h a t i s a r a t i o n a lf u n c t i o n w i t h p r e c i s e l y o n e p o l e ; d e n o t e t h i s p o l e b y c . I f c V , t h e n f h a sa n a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n t o V . I f c E V , t h e n i s a n a l y t i c o n V \ { c } . N o wI E s o C E K .

S i n c e A r e a ( K ) = 0 , f E \ { c } ) . B y P r o p o s i t i o n 9 . 3 . a , c i s a r e m o v -a b l e s i n g u l a r i t y f o r 1 . T h u s f h a s a c o n t i n u a t i o n t o V .

( b ) i m p l i e s ( a ) . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y w e c a n a s s u m e t h a t A r e a ( K ) =o a n d d i a m K < 1 . A s s u m e K i s n o t p o l a r ; b y T h e o r e m 7 . 5 , c ( K ) > 0 . W e

w i l l e x h i b i t a n o n - z e r o f u n c t i o n t h a t b e l o n g s t o \ K ) . L e t K 1 a n d K 2b e d i s j o i n t c o m p a c t s u b s e t s o f K , e a c h o f w h i c h h a s p o s i t i v e c a p a c i t y . F o rj 1 , 2 l e t b e a p r o b a b i l i t y m e a s u r e o n K , w i t h l o g a r i t h m i c p o t e n t i a l

t h a t i s b o u n d e d a b o v e a n d p u t = — i t 2 . S o j m i s a n o n - z e r o m e a s u r ec a r r i e d b y K a n d J L ( K ) = 0 . I f f ( z ) = j t ( z ) , t h e C a u c h y t r a n s f o r m o f j s , fi s a n a l y t i c i n C , , \ K w i t h 0 = f ( o o ) = f ' ( o o ) ( 1 8 . 5 . 2 ) . C h o o s e R > 1 s u c ht h a t K B ( 0 ; R ) a n d p u t H { z : I z i > R } . B y L e m m a 9 . 2 , 1 E

T o s h o w t h a t f i s s q u a r e i n t e g r a b l e o v e r D B ( 0 ; E ) , w e f i r s t f i n d

a n e s t i m a t e . L e t z , w K w i t h z w a n d f o r 0 < e < I z — w I / 2 p u t= B ( w ; e ) u B ( z ; E ) . N o t e t w o t h i n g s . B e c a u s e z w , t h e f u n c t i o n

( — . — w ) ( ( — i ) ) - ' i s l o c a l l y m t e g r a b l e w i t h r e s p e c t t o a r e a m e a s u r e .T h u s

[ d . . 4= u r n I

J D ( ( — — ( ( — w ) ( ( —

A l s o n o t e t h a t — = ( ( — z I J . T h u s G r e e n ' s T h e o r e m i m p l i e s

t h a tf d A ( ( )

— 2 1_ { l o g I ( _ z I

( c — w ) ( ( — z ) I — W

= i fJ I ( I . . R ( — w

i f—

_ ! f$ J K — z k e ( — W

=

N o w

p 2 w

= — j0

A l s oi , 2 w i : 9

i E e ' 9 d 8h oS o c l 0 g e

J z - w j - eF i n a l l y

, 2 w i D a 9

P u t d = s u p { I z j : z E K } . S o d < a n d I R e s — w I R — d . A l s o

l o g I R e ' 0 — z I l o g 2 R . T h u s t h e r e i s a c o n s t a n t C 1 d e p e n d i n g o n l y o n Ra n d K s u c h t h a t i l l C i l o g 2 R . T h e r e f o r e

Jd A ( ( ) —

( ( — w ) ( ( — z )

S C 1 l o g 2 R + 2 i rE l o g e

I z - w l - eL e t t i n g e — . 0 w e s e e t h a t t h e r e i s a c o n s t a n t C t h a t d e p e n d s o n l y o n Ra n d K s u c h t h a t

9 7 ( d i t < c l o g2 R

J D ( ( ' — W ) ( ( — Z ) — i z — w I

w h e n e v e r w z .N o w t h e f a c t t h a t a n d a r e b o u n d e d a b o v e i m p l i e s t h a t t h e

m e a s u r e p c a n h a v e n o a t o m s . H e n c e 1 . t x p j ( { ( z , z ) z E K } ) = 0 b yF u b i n i ' s T h e o r e m . S o ( 9 . 7 ) h o l d s a . e . [ j p x o n K x K a n d

d A ( C )I — p I ( z , w )

J K x K

C f1 K

l o gi z — w I

d I p i ( z )

= 4 C< 0 0 .

F r o m F u b i n i ' s T h e o r e m w e g e t t h a t

L = L I f ' W J E l K

f f d A ( ( )—J K x K

< 0 0 .

T h u s f E \ K ) .( a ) i m p l i e s ( b ) . N o w a s s u m e t h a t K i s p o l a r ; s o K i s t o t a l l y d i s c o n n e c t e d

a n d C \ K i s c o n n e c t e d . I f f E \ K ) , t h e n I h a s a n e x p a n s i o n f ( z ) =

z " ( 9 . 2 ) . T o s h o w t h a t e a c h s u c h f i s t h e z e r o f u n c t i o n , w e n e e do n l y s h o w t h a t = 0 f o r a l l n 2 . N o t e t h a t t h i s i s e q u i v a l e n t t o s h o w i n gt h a t f o r a l l n 1 , J r f ( z ) d z = 0 , w h e r e F i s a n y s m o o t h J o r d a n s y s t e m

s u r r o u n d i n g K .W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y i t c a n b e a s s u m e d t h a t K c I I ) . L e t F b e

a f i n i t e c o l l e c t i o n o f p a i r w i s e d i s j o i n t s m o o t h p o s i t i v e l y o r i e n t e d J o r d a nc u r v e s i n D \ K s u c h t h a t K i n s F ; p u t 7 = r o b ( F ) , t h e R o b i n c o n s t a n to f t h e p o i n t s e t 1 ' .

P u t W = \ [ F u i n s F ] = o u t F , l e t w b e h a r m o n i c m e a s u r e f o r We v a l u a t e d a t o o , a n d l e t g b e t h e G r e e n f u n c t i o n f o r W . I f u = t h e nu i s h a r m o n i c o n W a n d , b y ( 3 . 5 ) , u ( z ) = 1 f o r a l l z i n W ,a n d u ( z ) = 1 f o r a l l z n o t i n W ( b e c a u s e O W = F i s a s y s t e m o f c u r v e s

a n d s o e a c h p o i n t o f r i s a r e g u l a r p o i n t ) .F o r e > 0 , s e t { z : u ( z ) = I — e } a n d = U i n s F E . T h e v a l u e

o f e c a n h e c h o s e n a s s m a l l a s d e s i r e d w i t h a s m o o t h p o s i t i v e J o r d a ns y s t e m t h a t c o n t a i n s F i n i t s i n s i d e . I f U = { z : u ( z ) > 0 ) \ E E , U i s a

b o u n d e d o p e n s e t t h a t c o n t a i n s E E a n d h a s a s m o o t h b o u n d a r y . N o t e t h a ti f I z i > 2 , d i s t ( z , I ' ) > 1 a n d s o l z — < 1 f o r a l l w i n F ; t h u s u ( z ) < 0 .H e n c e U c 2 D .

I f g i s a n y f u n c t i o n a n a l y t i c i n a n e i g h b o r h o o d o f c l [ { z : u ( z ) > 0 } \c l [ i n s F ] ] , t h e n

f g ( z ) d z= f

= g ( z ) u ( z ) d z .

T h u s a p p l y i n g G r e e n ' s T h e o r e m w e g e t

9 . 8

T a k i n g g O n i n ( 9 . 8 ) a n d u s i n g t h e f a c t t h a t u i s r e a l - v a l u e d , w e g e t

f O u ( z ) d z =

fN o w f i x n 1 , l e t f E \ K ) , a n d l e t g = I i n ( 9 . 8 ) ; t h i s y i e l d s

f — ( 1 . . . . e ) 2

( 1 _ E ) 2

I z f f l 2 d _ 4 J

[ f

A c c o r d i n g t o ( 1 9 . 5 . 2 ) , ô u = t h e C a u c h y o f w . T h u s

f ô u ( z ) d z =

f f= 2 7

1

s i n c e r i s i n t h e i n s i d e o f r ' e . T h i s c o m b i n e d w i t h t h e f a c t t h a t E w a s

a r b i t r a r y g i v e s t h a t

2

r o b ( I ' )

f o r a n y s u c h s y s t e m r . S i n c e c ( K ) = 0 , w e c a n g e t a s e q u e n c e o f s u c h c u r v es y s t e m s { r k } t h a t s q u e e z e d o w n t o K . T h u s r o b ( r k ) b u tr e m a i n s c o n s t a n t . T h u s t h i s i n t e g r a l m u s t b e z e r o a n d s o f = 0 . 0

T h e f i r s t r e f e r e n c e f o r t h e p r e c e d i n g r e s u l t t h a t t h e a u t h o r i s a w a r e o f i sC a r i e s o n ( 1 9 6 7 ] , p a g e 7 3 . T h e p r c i o f a b o v e i s b a s e d o n H e d b e r g ( 1 9 7 2 a } . I nt h i s p a p e r a n d i t s c o u s i n , H e d b e r g f 1 9 7 2 b j , v a r i o u s c a p a c i t i e s a r e i n t r o d u c e dt h a t a r e r e l a t e d t o l o g a r i t h m i c c a p a c i t y a n d G r e e n c a p a c i t y , a n d c o n n e c -t i o n s a r e m a d e w i t h r e m o v a b l e s i n g u l a r i t i e s o f c e r t a i n s p a c e s o f a n a l y t i ca n d h a r m o n i c f u n c t i o n s . I n p a r t i c u l a r , a q - c a p a c i t y i s d e f i n e d , 1 < q 2 ,

a n d a c o m p a c t s e t K h a s q - c a p a c i t y 0 i f a n d o n l y i f \ K ) = ( 0 ) , w h e r ep a n d q a r e c o n j u g a t e e x p o n e n t s . W h e n 2 < q < 0 0 ( 1 < p < 2 ) , t h e s t o r y i s

s i m p l e r . S e e E x e r c i s e 4 . T h e r e a d e r c a n c o n s u l t t h e s e r e f e r e n c e s f o r d e t a i l s .

9 . 9 T h e o r e m . I f G i s a n y o p e n s e t a n d a E t h e n a E r e m ( C ) i f a n do n l y i f t h e r e i s a n e i g h b o r h o o d U o f a s u c h t h a t c ( c l U \ C ) = 0 .

P r o o f . S u p p o s e U i s a n e i g h b o r h o o d o f a a n d c ( c l U \ C ) = 0 . W e a s s u m et h a t a i s a f i n i t e p o i n t , t h e c a s e t h a t a = o o b e i n g o b t a i n e d f r o m t h ef i n i t e c a s e b y a p p l y i n g a s u i t a b l e M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n . T h u s c i U \ C i s

t o t a l l y d i s c o n n e c t e d a n d t h e r e i s a n o t h e r n e i g h b o r h o o d V o f a s u c h t h a tV f l ( c i U \ C ) i s c o m p a c t . P u t c i = C U V a n d K = V n ( c i U \ C ) . S oK C a n d \ K = C . B y T h e o r e m 9 . 5 e a c h f u n c t i o n i n h a s a na n a l y t i c c o n t i n u a t i o n t o a n d s o a E r e m ( G ) .

I f c ( c l U \ C ) > 0 f o r e v e r y n e i g h b o r h o o d U o f a , t h e n f o r e v e r y s u c h Ut h e r e i s a n o n - z e r o f u n c t i o n I i n U \ C ) ) , T h u s f E a n d

/ c a n n o t b e e x t e n d e d t o U . 0

F u r t h e r r e s u l t s o n s p a c e s \ K ) c a n b e f o u n d i n A x l e r , C o n w a y , a n dM c D o n a l d ( 1 9 8 2 ) a n d A l e m a n , R i c h t e r , a n d R o s s [ p r e p r i n t ) .




E x e r c l s e s

1 . I f a E a n d t h e c o m p o n e n t o f t h a t c o n t a i n s a i s n o t t r i v i a l ,

t h e n a r e m ( G ) .2 . I f a E a n d f o r e a c h f i n t h e r e i s a n e i g h b o r h o o d U o f a

s u c h t h a t f h a s a n a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n t o C u U , t h e n a r e m ( G ) .

3 . I n L e m m a 9 . 4 , s h o w t h a t i f t h e f u n c t i o n I i s b o u n d e d , t h e n s o a r e J oa n d

4 . I f K i s a c o m p a c t s u b s e t o f t h e b o u n d e d o p e n s e t C , 1 2 , a n d

C \ K ) = t h e n K = 0 .

§ 1 0 L o g a r i t h m i c C a p a c i t y : P a r t 2

W e r e s u m e t h e s t u d y b e g u n i n § 7 .

1 0 . 1 L e m m a . I f K i s a c o m p a c t s e t w i t h p o s i t i v e c a p a c i t y a n d p i s a ne q u i l i b r i u m m e a s u r e , t h e n = v ( K ) f o r a l l z i n m t K .

P r o o f . L e t a E m t K a n d l e t B = B ( a ; r ) s u c h t h a t c i B ç m t K . S i n c et h e l o g a r i t h m i c p o t e n t i a l i s s u p e r h a r m o n i c , f B v .

B u t = v = v ( K ) q . e . i n K a n d s o = v a . e . [ A r e a ) ( 7 . 1 2 ) . T h u s t h i si n t e g r a l e q u a l s v a n d w e g e t = v . 0

1 0 . 2 T h e o r e m . J f K i s a c o m p a c t s e t w i t h p o s i t i v e c a p a c i t y , t h e n :

( a ) v ( K ) i s t h e R o b i n c o n s t a n t f o r K ;

( b ) T h e e q u i l i b r i u m m e a s u r e i s u n i q u e . I n f a c t , i f G i s t h e c o m p o n e n to f \ K t h a t c o n t a i n s o o , t h e n t h e e q u i l i b r i u m m e a s u r e f o r K i s

h a r m o n i c m e a s u r e f o r C a t o o .

( c ) T h e R o b i n c o n s t a n t o f K i s a l s o g i v e n b y t h e f o r m u l a s

r o b ( K ) ' = s u p { p ( K ) : p E M + ( K ) L , . , 1 o n K }= i n f { p ( K ) : p E : 1 q . e . o n K )

M o r e o v e r i f c ( K ) > 0 , b o t h t h e s u p r e m u m a n d t h e i n f i m u m a r e a t t a i n e d f o rt h e m e a s u r e 7 1 w , w h e r e w i s h a r m o n i c m e a s u r e f o r C a t 0 0 . T h e m e a s u r e

i s t h e o n l y m e a s u r e a t w h i c h t h e s u p r e m u m i s a t t a i n e d .

P r o o f . A d o p t t h e n o t a t i o n i n t h e s t a t e m e n t o f t h e t h e o r e m a n d p u t v =

v ( K ) . L e t w b e h a r m o n i c m e a s u r e f o r C a t o o , l e t p b e a n e q u i l i b r i u mm e a s u r e f o r K , a n d l e t g b e t h e G r e e n f u n c t i o n f o r C . B y P r o p o s i t i o n 3 . 5 .i n G a n d o n C .

2 1 . 1 0 . L o g a r i t h m i c C a p a c i t y : P a r t 2 3 5 3

N o w h ( z ) = v — i s a p o s i t i v e h a r m o n i c f u n c t i o n o n G e x c e p tf o r t h e p o i n t 0 0 . F r o m ( 1 9 . 5 . 3 ) , + — p 0 a s z 0 0 . H e n c e

h ( z ) — l o g I z i v a s z 0 0 .

B y t h e d e f i n i t i o n o f t h e G r e e n f u n c t i o n , - y — L , . , ( z ) =g ( z ,

o o ) h ( z ) =v — L e t t i n g z 0 0 , w e g e t t h a t - y v . S i n c e w e a l r e a d y k n o w t h a tv ( 7 . 5 ) , t h i s p r o v e s ( a ) .

N o t e t h a t 1 ( w ) = f L ( , d w < y = v . B y t h e d e f i n i t i o n o f v ( K ) , 1 ( w ) = V

a n d w i s a n e q u i l i b r i u m m e a s u r e . P u t i i = w — p . F r o m t h e p r e c e d i n gp a r a g r a p h w e h a v e t h a t 0 . W e a l s o h a v e t h a t — L 0 a n di s t h e r e f o r e b o u n d e d a b o v e o n c o m p a c t s e t s . B u t u ( K ) = 0 i m p l i e s t h a tL , , ( z ) 0 a s z o o ; t h e r e f o r e i s a b o u n d e d h a r m o n i c f u n c t i o n o n

\ K . N o w T h e o r e m 7 . 1 2 i m p l i e s t h e r e i s a n s e t E w i t h c ( E ) = 0s u c h t h a t = = - y f o r z i n K \ E . B y C o r o l l a r y 7 . 1 3 ,

— 0 a s z a p p r o a c h e s a n y p o i n t o f O [ C \ K ) \ E . B y t h eM a x i m u m P r i n c i p l e , = 0 i n C \ K . B u t w e a l s o h a v e t h a t = 0 o nm t K f r o m t h e p r e c e d i n g l e m m a . H e n c e v a n i s h e s q . e . o n C ( o f f t h e s e tE ) a n d t h u s = 0 a . e . [ A r e a ) . B y T h e o r e m 1 9 . 5 . 3 , w — p = i i = 0 .

T o p r o v e ( c ) , l e t = s u p { p ( K ) : p E M + ( K ) : L , . 1 o n K } . T a k i n gp = i n t h i s s u p r e m u m s h o w s t h a t

O n t h e o t h e r h a n d , i f

p E w i t h 1 o n K , t h e n = p ( K ) ' p E M 1 ( K ) a n d I ( p ' )H e n c e i n f { p ( K ) ' : p E M + ( K ) w i t h 1 o n K } =

s o t h a t T h i s s h o w s t h a t = a n d t h e s u p r e m u m i s a t t a i n e df o r t h e m e a s u r e I f p i s a n y p o s i t i v e m e a s u r e s u p p o r t e d b y K s u c ht h a t L 0 1 a n d p ( K ) = p u t p i = - y p . S o i s a p r o b a b i l i t y m e a s u r ea n d - y . H e n c e p j = y w b y p a r t ( b ) .

N o w l e t / 3 d e n o t e t h e i n f i m u m i n p a r t ( c ) . I f p i s a n y m e a s u r e i nw i t h

I q . e . o n K , t h e n 1 a . e . [ w J . T h e r e f o r e

< f 1 ff p ( K ) . T h u s / 3 . O n t h e o t h e r h a n d . 1 q . e . o n Kf o r p = s o t h a t = / 3 . 0

S o y o u n o t i c e d t h e r e i s n o u n i q u e n e s s s t a t e m e n t f o r t h e i n f i m u m e x -p r e s s i o n f o r r o b ( K ) ' i n p a r t ( c ) i n t h e p r e c e d i n g t h e o r e m . T h i s i s b e -

c a u s e t h e r e i s n o u n i q u e n e s s s t a t e m e n t ! C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g e x a m p l e .P u t K = { z : I z i S 1 / 2 } . S o r o b ( K ) = l o g 2 ( 3 . 3 ) . I f ö o i s t h e u n i t

p o i n t m a s s a t z = 0 a n d i n i s n o r m a l i z e d a r c L e n g t h m e a s u r e o n O K ,t h e n i t i s l e f t t o t h e r e a d e r t o c h e c k t h a t f o r b o t h p = ( l o g a n dp = I q . e . o n K . W h e r e d o e s t h e p r o o f o f u n i q u e n e s s f o rt h e e x p r e s s i o n f o r r o b ( K ) - a s a s u p r e m u m b r e a k d o w n w h e n a p p l i e d t ot h e e x p r e s s i o n a s a n i n f i m u m ?

1 0 . 3 C o r o l l a r y . I f K i s a c o m p a c t s e t w i t h p o s i t i v e c a p a c i t y , G i s t h ec o m p o n e n t o f \ K t h a t c o n t a i n s o o , a n d w s h a r m o n i c m e a s u r e f o r C

a t o o , t h e n c ( O K \ s u p p w ) 0 a n d c ( K ) = c ( K ) = c ( O K ) .P r o o f . L e t F = O K \ s u p p w . F o r e a c h z i n F , i s h a r m o n i c i n an e i g h b o r h o o d o f z . S i n c e - y , t h e M a x i m u m P r i n c i p l e i m p l i e s <

f o r a l l i n F . B u t T h e o r e m 7 . 1 2 i m p l i e s L M ( z ) = - y q . e . o n K , w h i c h

i n c l u d e s O K . H e n c e c ( F ) = 0 . T h e r e s t o f t h i s c o r o l l a r y f o l l o w s f r o m t h ed e f i n i t i o n o f t h e R o b i n c o n s t a n t . 0

T h e n e x t t h r e e c o r o l l a r i e s f o l l o w f r o m c o m p u t a t i o n s o f t h e R o b i n c o n -s t a n t i n

1 0 . 4 C o r o l l a r y . I f K i s a c l o s e d d i s k o f r a d i u s R , c ( K ) = R .

1 0 . 5 C o r o l l a r y . I f K i s a c l o s e d l i n e s e g m e n t o f l e n g t h L , c ( K ) = L / 4 .

1 0 . 6 C o r o l l a r y . L e t K b e a c o m p a c t c o n n e c t e d s u b s e t o f C a n d l e t C b e

t h e c o m p o n e n t o f \ K t h a t c o n t a i n s 0 0 . I f r C D t h e R i e m a n nm a p w i t h r ( o o ) = 0 a n d p = r ' ( o o ) > 0 , t h e n c ( K ) = p .

I f w e c o m b i n e t h i s l a s t c o r o l l a r y w i t h t h e p r o o f o f t h e R i e m a n n M a p p i n gT h e o r e m , w e h a v e t h a t f o r a c o m p a c t c o n n e c t e d s e t K

c ( K ) = : I i s a n a l y t i c o n C \ k , f ( o o ) = 0 , a n d I f i S 1 ) .

T h u s i n t h e c a s e o f c o m p a c t c o n n e c t e d s e t s , c ( K ) i s t h e s a m e a s a n a l y t i cc a p a c i t y ( C o n w a y ! 1 9 9 1 ] , p 2 1 7 ) .O n c e a g a i n w e r e c o r d p e r t i n e n t f a c t s a b o u t t h e r - l o g a r i t h m i c c a p a c i t y .

T h e p r o o f i s l e f t a s a n e x e r c i s e f o r t h e r e a d e r .

1 0 . 7 T h e o r e m . I f K i s a c o m p a c t s u b s e t o f r D , t h e n

c , . ( K ) = s u p { j . t ( K ) : 1 o n K }

= i n f { p ( K ):

s M + ( K ) 1 g . e . o n K } .I f c , . ( K ) > 0 , b o t h t h e s u p r e m u m a n d t h e i n f i m u m a r e a t t a i n e d f o r t h em e a s u r e w h e r e w i s h a r m o n i c m e a s u r e f o r C = \ K a to o . T h e m e a s u r e i s t h e o n l y m e a s u r e a t w h i c h t h e s u p r e r n u m i sa t t a i n e d .

1 0 . 8 P r o p o s i t i o n . L e t K b e a c o m p a c t s e t w i t h p o s i t i v e c a p a c i t y a n d l e tC b e t h e c o m p o n e n t o f \ K t h a t c o n t a i n s o o . I f w i s h a r m o n i c m e a s u r e

f o r C a t c o a n d a E O C , t h e n a i s a r e g u l a r p o i n t f o r G i f a n d o n l y i f= v ( K ) .

P r o o f . I f g i s t h e G r e e n f u n c t i o n f o r G , t h e n a i s a r e g u l a r p o i n t i f a n d o n l yi f g ( z , o o ) — ' 0 a s z a ( 5 . 2 ) . O n t h e o t h e r h a n d , = y — g ( z , o o ) ,w h e r e = v ( K ) . S o i f = ' y , t h e n t h e f a c t t h a t i s l s c i m p l i e st h a t - y = < - y ( 3 . 5 ) . T h u s

y a s z a a n d s o g ( z , o o ) 0 a s z a , s h o w i n g t h a t a i sr e g u l a r .

N o w a s s u m e t h a t a i s r e g u l a r . C o m b i n i n g T h e o r e m 1 0 . 2 w i t h ( 7 . 1 2 ) w eh a v e t h a t = ' y q . e . o n C \ C ; s o , i n p a r t i c u l a r . t h i s e q u a l i t y h o l d s a . e .

2 1 . 1 1 . T h e T r a n s f i n i t e D i a m e t e r 3 5 5

[ A r e a } . I f e > 0 , t h e r e g u l a r i t y o f t h e p o i n t a i m p l i e s t h e r e i s a 6 > 0 s u c h

t h a t g ( z , o o ) < e f o r z i n G ( a ; 6 ) . T h u s

L I A A6 B ( a : 6 )

1 ! - I fI + — iJ G ( a : S )

A r e a ( B ( a ; 6 ) ) + 2 _ 4 A r e a ( G ( a ; 6 )i r ö ' y — E . 0

W e t u r n n o w t o a n a p p l i c a t i o n o f t h e u n i q u e n e s s a n d i d e n t i f i c a t i o n o ft h e e q u i l i b r i u m m e a s u r e f o r a c o m p a c t s e t .

1 0 . 9 T h e o r e m . L e t C b e a h y p e r b o l i c r e g i o n i n w i t h C a n da s s u m e t h a t a E C f o r a 1 1 n . I f w a n d a r e t h e h a r m o n i cm e a s u r e s f o r C a n d a t a , t h e n w w e a k ' i n

P r o o f . T h e r e i s n o l o s s i n g e n e r a l i t y i n a s s u m i n g t h a t a = c o . I f K a n d

K 1 , , a r e t h e c o m p l e m e n t s o f C a n d t h e n K a n d w a n d a r et h e e q u i l i b r i u m f o r K a n d R e c a l l P r o p o s i t i o n 7 . 1 5 , w h e r e i ti s s h o w n t h a t e v e r y w e a k ' c l u s t e r p o i n t o f } i s a n e q u i l i b r i u m m e a s u r ef o r K . S i n c e t h e e q u i l i b r i u m m e a s u r e i s u n i q u e a n d t h e s e m e a s u r e s l i e i n a

c o m p a c t m e t r i c s p a c e , w w e a k ' . 0

E x e r c i s e s1 . S h o w t h a t i f E i s a n y s e t a n d F i s a s e t w i t h c ( F ) = 0 , t h e n c ( E ) =

c ( E U F ) c ( E \ F ) .

2 . I f K i s a c l o s e d a r c o n a c i r c l e o f r a d i u s R t h a t h a s l e n g t h U R , s h o wt h a t c ( K ) = R s i n ( 9 / 4 ) .

3 . I f K i s t h e e l l i p s e x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 , t h e n c ( K ) ( a + b ) / 2 .

4 . L e t p ( z ) = a n d p u t K = { z e C : J p ( z ) j R } .S h o w t h a t c ( K ) = ( S e e E x e r c i s e 1 9 . 9 . 3 . )

§ 1 1 T h e D i a m e t e r a n d L o g a r i t h m i c C a p a c i t y

I n t h i s s e c t i o n w e w i l l i d e n t i f y t h e l o g a r i t h m i c c a p a c i t y w i t h a n o t h e r c o n -

s t a n t a s s o c i a t e d w i t h c o m p a c t s e t s : t h e t r a n s f i n i t e d i a m e t e r . T h i s i d e n t i f i -c a t i o n s h o w s a n i n t i m a t e c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e l o g a r i t h m i c c a p a c i t y a n dt h e g e o m e t r y o f t h e p l a n e .

L e t K b e a f i x e d c o m p a c t s e t a n d f o r e a c h i n t e g e r n 2 l e tK f o r 1 i S n } . L e t c , , = n ( n — l . ) / 2 = t h e

n u m b e r o f w a y s o f c h o o s i n g 2 t h i n g s f r o m n t h i n g s . D e f i n e t h e c o n s t a n t

I I / c u

1 1 1 6 i , ( K ) E m a x f l — : E

L < j < k < _ n

L e t ' s n o t e a f e w f a c t s . F i r s t , b e c a u s e o f t h e c o m p a c t n e s s o f t h i si s a m a x i m u m a n d n o t j u s t a s u p r e m u m . S e c o n d , i f K h a s N p o i n t s , t h e n

0 f o r n > N . S o f o r t h e i m m e d i a t e f u t u r e a s s u m e t h a t K i s i n f i n i t e .

I n p a r t i c u l a r , > C ) f o r a n i n f i n i t e K . A l s o n o t e t h a t i f Z j = z k f o r s o m ej < k , t h e p r o d u c t i n ( 1 1 . 1 ) i s z e r o . S o t h e m a x i m u m c a n b e t a k e n o v e r i nw i t h z 3 Z k f o r 1 < j < k n . N e x t o b s e r v e t h a t 5 2 ( K ) = d i a m K .

F i n a l l y , i f E t h e n t h e V a n d e r m o n d e o f i s d e f i n e d a s t h ed e t e r m i n a n t

3 i i 2 n — l i

I t f o l l o w s t h a t

[ J ( z k — z , ) .1

S o = : E K ( " ) } .

1 1 . 2 P r o p o a i t i o n . F o r a n y c o m p a c t s e t K t h e s e q u e n c e i s d e -c r e a s i n g .

' P r o o f . . L e t E s u c h t h a t = = T h u s

= l z n + i — z i l — [ I k k — z 3 j

S i m i l a r l y , f o r e a c h k = 1 , . . . , n + 1

< £ C n f l— U , , j j Z k —

T a k i n g t h e p r o d u c t o f t h e s e n + 1 i n e q u a l i t i e s g i v e s t h a t

n + 1

H [ I k k —

k = 1

n

P e r f o r m i n g t h e a l g e b r a i c s i m p l i f i c a t i o n s a n d t a k i n g t h e a p p r o p r i a t e r o o t s ,w e d i s c o v e r t h a t S 6 n . 0

2 1 . 1 1 . T h e D i a m e t e r 3 5 7

1 1 . 3 D e f i n i t i o n . F o r a c o m p a c t s e t K t h e n u m b e r

i 5 a c ( K ) = u r nn — a c

i s c a l l e d t h e t r n n s f i n i t e d i a m e t e r o f K .

T h e e x i s t e n c e o f t h i s l i m i t i s o f c o u r s e g u a r a n t e e d b y t h e p r e c e d i n g p r o p o -s i t i o n a n d i t i s c l e a r w h y t h e t e r m i n o l o g y i s u s e d . F o r f i n i t e s e t s t h e t r a n s -f i n i t e d i a m e t e r i s z e r o , b u t t h e r e a r e e x a m p l e s o f c o m p a c t s e t s t h a t a r ei n f i n i t e a n d h a v e z e r o t r a n s f l n i t e d i a m e t e r . I n d e e d t h e n e x t t h e o r e m c o m -b i n e d w i t h E x a m p l e 8 . 1 7 f u r n i s h e s s u c h a n e x a m p l e .

1 1 . 4 T h e o r e m . i f K i s a c o m p a c t s e t , t h e n t h e t r a n s f i n i t e d i a m e t e r o f Ke q u a l s i t s l o g a r i t h m i c c a p a c i t y .

P r o o f , i f K i s f i n i t e , t h e n b o t h O a c ( K ) a n d c ( K ) a r e z e r o . S o a s s u m e t h a tK i s i n f i n i t e . L e t 6 , , 5 , , ( K ) a n d O a c =

L e t b e t h e e q u i l i b r i u m m e a s u r e f o r K a n d l e t z 1 , . . . , b e a n y p o i n t si n K . O b s e r v e t h a t

e v e n i f t h e s e p o i n t s a r e n o t d i s t i n c t . I f L i s t h e f u n c t i o n d e f i n e d o nb y L ( z , , . . . , z , , ) = t h e l e f t h a n d s i d e o f t h e p r e c e d i n g i n e q u a l i t y a n d v =

w x . . x ( n t i m e s ) , t h e n i s a p r o b a b i l i t y m e a s u r e a n d s o

c , , l o g O ; '

=

I o g l z k — z j I 1 d w ( z 1 ) . . . d w ( z , , )j = 1 k = j + 1

= E J J l o g I z k _ z i l l d w ( z , ) d w ( z k )j = I k = j + 1

= c , , I ( c & i )

= 4 , r o b ( K ) .

T h u s ( K ) .F o r t h e r e v e r s e i n e q u a l i t y , c h o o s e a n a r b i t r a r y e > 0 . B y C o r o l l a r y 7 . 1 6

t h e r e i s a n o p e n s e t U t h a t c o n t a i n s K a n d s a t i s f i e s c ( U ) < c ( K ) ÷ e . L e t

n b e s u f f i c i e n t l y l a r g e t h a t < d i s t ( K , 0 U ) a n d l e t z 1 , . . . , z , , b ep o i n t s f r o m K s u c h t h a t . 5 , , = P u t B 1 = B ( z , ; ( S o

A r e a ( B , ) n ' . ) D e f i n e r ( z ) t o b e t h e n u m b e r o f d i s k s B , t h a t c o n t a i nz . N o t e t h a t i s a B o r e ! f u n c t i o n w i t h 0 v i . I f i s t h e m e a s u r e r A ,

t h e n > 0 a n d = A r e a ( B , ) 1 . S o E M , ( U ) . T h e r e f o r e

v ( U ) f f i o g i z - w 1 ' r ( z ) d A ( z ) d A ( w )

= f f l o g F z — w i l d A ( z ) J d . A ( w ) .

j 1 B ' k = L B k

N o w f o r a n y w , z — + l o g } z — w h i s s u p e r b a r m o n i c . T h u s l o g j z —

w L ' d . . 4 ( z ) < n ' l o g I z k w I ' . T h u s

v ( U ) _ w F _ 1 ] d , A ( w ) .

S i m i l a r l y f o r j k , f B , l O g Z k n 1 l o g J Z k l f j =t h e n a n e v a l u a t i o n o f t h e i n t e g r a l u s i n g p o l a r c o o r d i n a t e s g i v e s

l o g n i r ) .

H e n c e

1 1 1v ( U ) —

— 1 1= l o g + ( 1 +

n o o w e g e t t h a t v ( U ) l o g o ; ' s o t h a t c ( K ) > c ( U ) — e H e n c e c ( K ) & , , , ( K ) . 0

T h e a d v a n t a g e o f t h e t r a n s f i . n i t e d i a m e t e r o v e r l o g a r i t h m i c c a p a c i t y i s

t h a t t h e t r a n s f i n i t e d i a m e t e r i s m o r e g e o m e t r i c i n i t s d e f i n i t i o n . A f t e r a l l ,t h e d e f i n i t i o n o f t h e l o g a r i t h m i c c a p a c i t y o f a s e t i s g i v e n i n t e r m s o f r n e a -w h i l e t h e d e f i n i t i o n o f t h e t r a n s f i n i t e d i a m e t e r i s i n t e r m s o f d i s t a n c e s .

T h i s i s a m p l i f i e d i n t h e n e x t c o r o l l a r y , w h i c h w o u l d b e m o r e d i f f i c u l t t op r o v e w i t h o u t t h e p r e c e d i n g t h e o r e m .

1 1 . 5 C o r o l l a r y . I f K i s a c o m p a c t s e t a n d f K — . L i s aJ 4 i n c t i o n s u c h t h a t t h e i r i s a c o n s t a n t M w i t h j f ( z ) — f ( w ) J — w J f o r

a l l z , w i n K , t h e n c ( L ) c ( K ) .P r o o f . L e t ( , , . . . , ( , E L s u c h t h a t ( L ) f J { 1 < j < k < n }

a n d p i c k z 1 , . . i n K w i t h f ( z , ) = ( , . S o = —

2 1 . 1 1 . T h e T r a n s f i n i t e D i a m e t e r 3 5 9

1 j < k n } e q u i v a l e n t l y , L e t t i n gn o o g i v e s t h e c o n c l u s i o n . 0

1 1 . 6 C o r o l l a r y . I f - y i s a r e c t i f i a b l e J o r d a n a r c o r c u r u ea n d K i s a c o m p a c t

s u b s e t o f y , t h e n c ( K ) I K I / 4 , w h e r e I K I d e n o t e s t h e a r c l e n g t h o f K .

P r o o f . A s s u m e t h a t - y i s p a r a m e t r i z e d b y - y : [ 0 , 1 1 C w i t h a = y ( O )a p o i n t i n K . I f z E K , 2 a , t h e r e i s a u n i q u e t i n ( 0 , 1 ) s u c h t h a t

= z . D e f i n e ! : K [ 0 , I K I ) b y f ( z ) = I K f l y ( [ 0 , t ] ) I . I t i s c l e a rt h a t f i s s u r j e c t i v e . I f z , w K a n d z = y ( t ) , w - y ( s ) w i t h s < t , t h e nJ f ( z ) — . f ( w ) I = [ K f l - y ( ( s , t ) ) [ [ 7 ( [ s , t ] ) [ < j z — w j s i n c e t h e s h o r t e s td i s t a n c e b e t w e e n t w o p o i n t s i s a s t r a i g h t l i n e . A c c o r d i n g t o t h e p r e c e d i n g

c o r o l l a r y , c ( K ) c ( [ 0 , [ K J } ) = I K [ / 4 b y C o r o l l a r y 1 0 . 5 . C

1 1 . 7 C o r o l l a r y . I f K i s a c o m p a c t c o n n e c t e d s e t a n d d d i a z n K , t h e nc ( K ) d / 4 .

P r o o f . L e t a , b K s u c h t h a t a — b ) = d . B y a r o t a t i o n a n d t r a n s l a t i o no f K , w h i c h d o e s n o t c h a n g e t h e c a p a c i t y , w e m a y a s s u m e t h a t a = 0 a n db d E R . B y t h e c h o i c e o f a a n d b , 0 R e z d f o r a l l z i n K . S i n c e

K i s c o n n e c t e d , R e : K 1 0 , i s s u r j e c t i v e . A c c o r d i n g t o C o r o l l a r y 1 1 . 5 ,c ( K ) c ( [ O , d ] ) d / 4 ( 1 0 . 5 ) . 0

T h e r e i s a n e q u i v a l e n t e x p r e s s i o n f o r t h e t r a n s f i n i t e d i a m e t e r a n d h e n c et h e l o g a r i t h m i c c a p a c i t y o f a c o m p a c t s e t c o n n e c t e d t o p o l y n o m i a l a p p r o x -i m a t i o n . T h i s d e v e l o p m e n t i s s k e t c h e d b e l o w w i t h o u t p r o o f . T h e i n t e r e s t e dr e a d e r c a n s e e C h a p t e r V U o f G o l u z i n [ 1 9 6 9 ) a n d § 1 6 . 2 o f H i l l e ( 1 9 6 2 ) .

L e t K b e a n i n f i n i t e c o m p a c t s e t a n d f o r n I l e tb e t h e v e c t o r s p a c eo f a l l p o l y n o m i a l s o f d e g r e e a t m o s t n . I f J J p J J K m a x { J p ( z ) J z E K ) ,

t h e n I l K d e f i n e s a n o r m o n L e t b e t h e c o l l e c t i o n o f a l l m o n i cp o l y n o m i a l s o f d e g r e e n . T h a t i s , c o n s i s t s o f a l l p o l y n o m i a l s o f t h ef o r m p ( z ) = z " + + D e f i n e t h e c o n s t a n t

i n f { U p I l K : 7 ) E M n ) .

N o t e t h a t 0M n <

0 0 . I tc a n b e s h o w n t h a t t h e r e i s a u n i q u e p o l y -n o m i a l i n w i t h I I T n I I K = T h e e x i s t e n c e o f i s e a s y b u t

t h e u n i q u e n e s s i s n o t . T h e p o l y n o m i a l i s c a l l e d t h e T c h e t n j c h e f f p o l y -n o m i a l f o r K o f o r d e r n . T h e T c h e b y c h e f f c o n s t a n t f o r K i s d e f i n e d b yt c h ( K ) w h i c h a l w a y s e x i s t s a n d i s f i n i t e . I n f a c t , i ti s e a s y t o s e e t h a t t c h ( K ) d i a m K . I t t u r n s o u t t h a t t h e T c h e b y c h e f f

c o n s t a n t a n d t h e t r a n s f i n i t e d i a m e t e r a r e t h e s a m e .

E x e r c i s e

1 . L e t K b e a c o m p a c t s e t a n d s u p p o s e = . . E s u c h




t h a t = — S h o w t h a t b e l o n g t o O K( t h e o u t e r o f K ) .

§ 1 2 T h e R e f i n e m e n t o f a S u b h a r m o n i c F u n c t i o n

B e c a u s e o f t h e i n t i m a t e c o n n e c t i o n o f s u b h a r i n o n i c f u n c t i o n s w i t h s o m a n yo f t h e p r o p e r t i e s o f c a p a c i t y a n d t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m , i t i s

n o s u r p r i s e t h a t t h e a b i l i t y t o m a n u f a c t u r e t h e s e f u n c t i o n s w i l l e x t e n d t h ep o w e r o f t h e t h e o r y a n d i n c r e a s e t h e d e p t h o f t h e r e s u l t s . I n t h i s s e c t i o n a

n e w t e c h n i q u e i s d e v e l o p e d t h a t i n c r e a s e s o u r p r o f i c i e n c y a t c o n s t r u c t i n gs u b h a r m o n i c f u n c t i o n s . I n t h e n e x t t w o s e c t i o n s t h i s a u g m e n t e d s k i l l w i l l

b e p u t t o g o o d u s e a s w e p r o v e W i e n e r ' s c r i t e r i o n f o r r e g u l a r i t y .L e t C b e a h y p e r b o l i c o p e n s u b s e t o f C a n d s u p p o s e £ i s a n a r b i t r a r y

s u b s e t o f C . F o r a n e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n u o n C d e f i n e

s u p i s a n e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n C

t h a t i s n o t i d e n t i c a l l y — c c o n a n y c o m p o n e n t o f C

a n d Ø u o n E } .T h e f u n c t i o n i s c a l l e d t h e i n c r e a s e d f r n c t i o n o f u r e l a t i v e t o E . B e a w a r et h a t i n t h e n o t a t i o n f o r t h e i n c r e a s e d f u n c t i o n t h e r o l e o f G i s s u p p r e s s e d .A l s o n o t e t h a t m a y f a i l t o b e u s c a n d t h u s m a y n o t b e s u b b a r m o n i c . T o

c o r r e c t f o r t h i s , d e f i n e

= u r n s u p

f o r a l l z i n C . T h e f u n c t i o n i s c a l l e d t h e r e f i n e m e n t o f u r e l a t i v e t o E . T h et e r m f o r t h i s f u n c t i o n m o s t o f t e n s e e n i n t h e l i t e r a t u r e i s t h e F r e n c h w o r d

" b a l a y a g e . " T h i s w o r d m e a n s " s w e e p i n g " o r " b r u s h i n g . " T h e t e r m a n dc o n c e p t g o b a c k t o P o i n c a r é a n d t h e i d e a i s t h a t t h e s u b h a r r n o n i c f u n c t i o n ui s m o d i f i e d a n d p o l i s h e d ( o r b r u s h e d ) t o p r o d u c e a b e t t e r b e h a v e d f u n c t i o n

t h a t s t i l l r e s e m b l e s u o n t h e s e t E . T h a t t h e f u n c t i o n a c c o m p l i s h e s t h i s

w i l l b e s e e n s h o r t l y . W e a r e a v o i d i n g t h e w o r d " s w e e p " i n t h i s c o n t e x t a si t w a s u s e d i n § 2 i n a d i f f e r e n t w a y .H e r e a r e s o m e o f t h e p r o p e r t i e s o f t h e i n c r e a s e d f u n c t i o n a n d t h e r e f i n e -

m e n t . L e t b e t h e s e t o f n e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n s u s e d t o d e f i n e

1 2 . 1 P r o p o s i t i o n . I f C i 3 a o p e n s e t , E a n d F a r e s u b s e t 3 o fC , a n d u a n d v a r e n e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n s o n G , t h e n :

( a ) i s s u b h o r t n o n i c o n C ;

( b )

2 1 . 1 2 . T h e R e f i n e m e n t o f a S u b b a r m o n i c F u n c t i o n 3 6 1

( c )

( d )

( e )

( f )

( g )

( h )

£ 5

( j ) = o n G \ c i E a n d t h i s f u n c t i o n i s h a r m o n i c t h e r e .

P r o o f . P a r t ( a ) i s a d i r e c t a p p l i c a t i o n o f ( 1 9 . 4 . 6 ) . P a r t s ( b ) t h r o u g h ( h . ) a r ee a s i l y d e d u c e d f r o m t h e d e f i n i t i o n s , w h i l e p a r t ( 1 ) f o l l o w s f r o m t h e r e l a t i o n

+ C T o p r o v e p a r t ( j ) w e w i l l u s e L e m m a 1 9 . 7 . 4 . F i r s t n o t et h a t i f a n d t h e n s o d o e s V S e c o n d , i f D i s

a c l o s e d d i s k c o n t a i n e d i n G \ c i E , a n d i s t h e h a r m o n i c m o d i f i c a t i o no f 4 S o n D , t h e n & E H e n c e i s h a r m o n i c o n G \ c l E . S i n c e i s

c o n t i n u o u s t h e r e , = 0

I t m a y b e t h a t s t r i c t i n e q u a l i t y h o l d s i n p a r t ( b ) . S e e E x e r c i s e 1 . I n f a c t ,t h i s e x e r c i s e i s s o l v e d b y l o o k i n g a t t h e p r o o f t h a t t h e o r i g i n i s n o t a r e g u l a rp o i n t f o r t h e p u n c t u r e d d i s k a n d t h i s i s n o a c c i d e n t . I t w i l l b e s h o w n l a t e ri n t h i s s e c t i o n t h a t = e x c e p t o n a p o l a r s e t ( C o r o l l a r y 1 2 . 1 0 ) .

N o w f o r o n e o f t h e m o r e u s e f u l a p p l i c a t i o n s o f t h e r e f i n e m e n t o f a s u b -h a r m o n i c f u n c t i o n .

1 2 . 2 P r o p o s i t i o n . I f u i s a n e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n G a n d Ki s a c o m p a c t s u b s e t o f C , t h e n t h e r e i s a p o s i t i v e m e a s u r e s u p p o r t e 4 o nK s u c h t h a t — C , . ( t h e G r e e n p o t e n t i a l o f p ) .

P r o o f . B y C o r o l l a r y 4 . 1 1 i t s u f f i c e s t o s h o w t h a t t h e l e a s t h a r m o n i c m a -j o r a n t o f i s 0 . F i r s t a s s u m e t h a t G i s c o n n e c t e d a n d u i s b o u n d e d o n K ;s o t h e r e i s a p o s i t i v e c o n s t a n t r s u c h t h a t u — r o n K . F i x a p o i n t a i n

C a n d l e t g c ( z ) = g ( z , a ) b e t h e G r e e n f u n c t i o n f o r C w i t h p o l e a t a . S i n c e

9 a i s l s c , t h e r e i s a p o s i t i v e c o n s t a n t s s u c h t h a t O a ( z ) s f o r a l l z i n K .S o f o r t = r / s > 0 , — t N o w i s h a r m o n i c o nC \ { a } a n d s o — t < 0 . T h u s i f h i s a h a r m o n i c m a j o r a n t o f I x . ,

— h i t . S i n c e t h e g r e a t e s t h a r m o n i c m i n o r a n t o f g 4 i s 0 , t h i s i m p l i e sh 0 a n d s o t h e l e a s t h a r m o n i c m a j o r a n t o f m u s t b e 0 .

N o w a s s u m e t h a t u i s b o u n d e d o n K b u t C i s n o t c o n n e c t e d . B e c a u s e Ki s c o m p a c t , t h e r e a r e a t m o s t a f i n i t e n u m b e r o f c o m p o n e n t s C 1 , . . . , C , , o fC t h a t m e e t K . A l s o K , K f l C , i s c o m p a c t . I f H i s a c o m p o n e n t o f C

d i f f e r e n t f r o m C 1 , . . . , C , , , t h e n t h e f a c t t h a t H 1 ) K = 0 y i e l d s t h a t 0o n H ( 1 2 . 1 . e ) . T h i s c a s e n o w f o l l o w s f r o m t h e p r e c e d i n g p a r a g r a p h a p p l i e dt o e a c h o f t h e c o m p o n e n t s C 1

N o w f o r t h e a r b i t r a r y c a s e . L e t h b e t h e l e a s t h a r m o n i c m a j o r a n t o f 1 4 . .S i n c e 1 7 ( 0 , h 0 , i t m u s t b e s h o w n t h a t h 0 . B y T h e o r e m 4 . 1 0 t h e r ei s a p o s i t i v e m e a s u r e p o n G s u c h t h a t = h — i n f a c t , p =

i n t h e s e n s e o f d i s t r i b u t i o n s . S i n c e 1 7 g . i s h a r m o n i c o n C \ K , s u p p p ç K ;i n p a r t i c u l a r , p i s a f i n i t e m e a s u r e . I f v = t h e n V i s a n e g a t i v es u b h a r z n o n i c f u n c t i o n o n C a n d u = h + v . B y ( 1 2 . 1 . i ) , +T h u s h i s a h a r m o n i c m a j o r a n t o f B u t h i s b o u n d e d o n K a n d s o t h el e a s t h a r m o n i c m a j o r a n t o f i s 0 . T h a t i s , h 0 . 0

1 2 . 3 C o r o l l a r y . I f C i s a h y p e r b o l i c o p e n s e t , u a n e g a t i v e s u b h a r i n o n i cf u n c t i o n o n C , a n d K a c o m p a c t s u b s e t o f C , t h e n t h e r e i s a p o s i t i v e

m e a s u r e p s u p p o r t e d o n K s u c h t h a t u ( z ) — G , 4 ( z ) f o r a l l z i n m t K .

P r v o f . A c c o r d i n g t o P r o p o s i t i o n 1 2 . 1 , = u o n m t K . N o w u s e t h ep r e c e d i n g p r o p o s i t i o n . 0

I n t h e n e x t p r o p o s i t i o n w e w i l l s e e h o w t h e r e f i n e m e n t i s u s e d t o s h o wt h a t s u b h a r m o n i c f u n c t i o n s c a n b e e x t e n d e d i n s o m e s e n s e .

1 2 . 4 P r o p o s i t i o n . I f u i s a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n t h e d i s k B r = B ( a ; r )a n d 0 < s < r , t h e n t h e r e i s a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n u 1 o n C s u c h t h a t= u o n a n d U 1 i s f i n i t e o n C \ c l B 3 . I n / a c t , u i ( z ) = — a I / r )

f o r I z — a I .P r o o f . C l e a r l y , b y d e c r e a s i n g r s l i g h t l y , i t c a n b e a s s u m e d t h a t u i s s u b h a r -

m o n i c i n a n e i g h b o r h o o d o f c i 2 r , a n d h e n c e b o u n d e d a b o v e t h e r e . T h e r ei s n o L o s s i n g e n e r a l i t y i n a s s u m i n g t h a t u 0 o n c i B r . P u t K = c i B 3

a n d c o n s i d e r I x . . F r o m P r o p o s i t i o n 1 2 . 1 w e k n o w t h a t = u o n 8 3 a n di s h a r m o n i c o n B r \ K . I f g i s t h e G r e e n f u n c t i o n f o r B r , t h e n P r o p o s i t i o n1 2 . 2 i m p l i e s t h e r e i s a p o s i t i v e m e a s u r e p s u p p o r t e d o n c i B , , s u c h t h a t

B u t i f ( E g ( w , z ) — ' 0 u n i f o r m l y f o r w i n K a s z — , ( ( E x e r c i s e6 . 2 ) . T h u s — ' 0 a s z — ( f o r a l l ( i n i 3 B , . . B y C o r o l l a r y 1 3 . 4 . 1 3

= c a n b e e x t e n d e d a c r o s s t h e c i r c l e 0 B , . . T h a t i s , t h e r e i s a t > ra n d a f u n c t i o n w d e f i n e d o n s u c h t h a t w = o n B , . , w i s h a r m o n i co n \ c l B , , a n d w 0 . D e f i n e u 1 o n C b y l e t t i n g u 1 = = w o n B , .a n d u 1 ( z ) = — a j / r ) o n C \ B , . . I t f o l l o w s f r o m E x e r c i s e 1 9 . 4 . 9 t h a tu 1 i s s u b h a r m o n i c . 0

I n t h e n e x t t w o p r o p o s i t i o n s w e w i l l c o n s t r u c t s u b h a r m o n i c f u n c t i o n st h a t h a v e s p e c i f i e d b e h a v i o r r e l a t i v e t o a p o l a r s e t . T h e s e r e s u l t s a r e i m -p r o v e m e n t s o f t h e d e f i n i t i o n o f a p o l a r s e t a n d P r o p o s i t i o n 5 . 5 .

1 2 . 5 P r o p o s i t i o n . I f Z i s a p o l a r s e t a n d a Z , t h e n t h e r e i s a s u b h a r -m a n i c f u n c t i o n u o n C s u c h t h a t i s = — o o o n Z a n d u ( a ) > — 0 0 .

2 1 . 1 2 . T h e R e f i n e m e n t o f a S u b h a r m o n i c F u n c t i o n 3 6 3

P r o o f . B y d e f i n i t i o n t h e r e i s a s u b b a r m o n i c f u n c t i o n v o n C t h a t i s n o tc o n s t a n t w i t h v ( z ) = — 0 0 f o r a l l z i n Z . L e t { z , , } b e a s e q u e n c e o f p o i n t si n Z a n d a s e q u e n c e o f r a d i i w i t h 0 < 2 r , , < — a I s u c h t h a t i f

= B ( z , , ; r n ) , Z ç B y P r o p o s i t i o n 1 2 . 4 t h e r e i s a s u b h a r m o n i cp a r t i c u l a r , > — c o f o r I z — a I S i n c e i s u s c , t h e r e i s a c o n s t a n t

s u c h t h a t — 0 0 — c o . I f u ( z ) =t h e n i t i s e a s y t o c h e c k t h a t u h a s t h e d e s i r e d p r o p e r t i e s . 0

1 2 . 6 P r o p o s i t i o n . I f C i s a h y p e r b o l i c o p e n s e t , Z i s a p o l a r s e t t h a t

i s c o n t a i n e d i n C , a n d a E C \ Z , t h e n t h e r e i s a n e g a t i v e s u b h a r m o n i cf u n c t i o n u o n C w i t h u ( z ) = — o o f o r a l l z i n Z a n d u ( a ) >

P r o o f . F i r s t o b s e r v e t h a t i t s u f f i c e s t o p r o v e t h e p r o p o s i t i o n u n d e r t h ea d d i t i o n a l c o n d i t i o n t h a t t h e r e i s a n o p e n d i s k D t h a t c o n t a i n s Z w i t h

c i D C . I n d e e d , i f t h e p r o p o s i t i o n i s p r o v e d w i t h t h i s a d d i t i o n a l c o n d i t i o n ,t h e n i n t h e a r b i t r a r y c a s e l e t { B , , } = { B ( a , , ; r , , ) } b e a s e q u e n c e o f d i s k s

s u c h t h a t Z ç U , , B , , a n d c i B c C f o r a l l n . A c c o r d i n g t o t h e a s s u m p t i o n ,

t h e r e i s a n e g a t i v e s u b h a r m o n i c ( u n c t i o n u , , o n C s u c h t h a t — 0 0a n d u , , ( z ) = - 0 0 f o r z i n Z n B , , . L e t { 1 3 , , } b e a s e q u e n c e o f p o s i t i v e s c a l a r ss u c h t h a t / 3 , , u , , ( a ) > — o o a n d p u t u = 1 3 , u n .

S o a s s u m e t h a t D = B ( 6 ; 8 ) i s a n o p e n d i s k w i t h Z C D a n d c l D C G .L e t r > s s u c h t h a t B ( b ; r ) C . U s i n g P r o p o s i t i o n 1 2 . 4 a n d P r o p o s i t i o n

1 2 . 5 , t h e r e i s a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n w o n C s u c h t h a t w ( z ) = — 0 0 f o r a l lz i n Z , w ( a ) > — o o , a n d w ( z ) = — b f / r ) ( o r z n o t i n B = B ( b ; r ) .L e t g b e t h e G r e e n f u n c t i o n f o r C a n d l e t h b e t h e h a r m o n i c f u n c t i o n

o n C s u c h t h a t g ( z , b ) = h ( z ) — — f o r a l l z i n C . S o o n C \ B ,w ( z ) = l o g ( z — — l o g r = h ( z ) — g ( z , b ) — I o g r .D e f i n e u ( z ) = w ( z ) — h ( z ) + l o g r f o r z i n C . S o u i s a s u b h a r m o n i c

f u n c t i o n o n C a n d , f o r z i n C \ c l B , t i ( z ) — g ( z , b ) 0 . S i n c e u i s u s c ,t h i s g i v e s t h a t u i s b o u n d e d a b o v e o n a l l o f C . B y T h e o r e m 6 . 5 t h e r e i s a

g ( z , b ) - ' O a sz — ' T h u s f o r a l l C E E , u ( z ) 0 a s z — . ( . B y T h e o r e m 8 . 2 ,u O o n C . C l e a z l y t i ( a ) > — o o . 0

N o w f o r a l e m m a a b o u t u p p e r s e r i u c o n t i n u o u s f u n c t i o n s t h a t c o u l d h a v eb e e n p r e s e n t e d i n § 1 9 . 3 b u t h a s n o t b e e n n e e d e d u n t i l n o w . T h i s i s t h e f i r s t

o f t w o I e m m j i s t h a t a r e n e e d e d f o r t h e p r o o f o f T h e o r e m 1 2 . 9 , t h e m a i nr e s u l t o f t h i s s e c t i o n .

1 2 . 7 L e m i n * . . F o r a n a r b i t r a r y f a m i l y o f f u n c t i o n s : i I } o n as e p a r a b l e m e t r i c s p a c e X a n d L a n y s u b s e t o f ! , d e f i n e J L ( x ) =

i E L } .s e m i c o n t i n u o t i s f u n c t i o n o n X w i t h g ( x ) f j ( x ) f o r a l l z i n X , t h e ng ( z ) f i ( x ) f o r a l l x i n X .

P r o o f . B e f o r e g e t t i n g i n t o t h e f o r m a l p a r t o f t h e p r o o f , l e t ' s r e c a l l t h a ta n u s c f u n c t i o n i s n o t a l l o w e d t o a s s u m e t h e v a l u e 0 0 ; — 0 0 i s t h e o n l yn o n - f i n i t e v a l u e i t c a n t a k e o n . T h u s t h e c o u n t a b l e s e t J s h o u l d b e c h o s e n

s o t h a t , i f t h e r e i s a p o i n t x w i t h f i ( z ) = 0 0 , t h e n f j ( z ) = o o . I n t h i s w a yi f t h e r e i s a p o i n t w h e r e f i ( x ) = 0 0 , t h e r e c a n b e n o u s c f u n c t i o n g w i t h

g ( x ) f j ( z ) .L e t b e a c o u n t a b l e b a s e f o r t h e t o p o l o g y o f X a n d f o r e a c h n 1

l e t M , s u p { f i ( x ) : x E I f < c c , t h e r e i s a p o i n t x 1 i n w i t hf i ( x i ) + ( 2 n ) ' > M , . T h u s t h e r e i s a n i , , i n I w i t h + >f i ( x i ) . T h u s f o r e v e r y n w i t h < c c , t h e r e i s a n i n I w i t h

1s u p + — > M , , .

I f = c c , t h e n a n a r g u m e n t s i m i l a r t o t h e p r e c e d i n g o n e s h o w s t h a tt h e r e i s a n i , , i n I w i t h

s u p ( z ) > v i .

L e t

S u p p o e e g i s a n u s c f u n c t i o n o n X w i t h g f j . F i x a n z 0 i n X a n dl e t e > 0 . N o t e t h a t i f g ( z o ) = — c c , t h e r e i s n o t h i n g t o v e r i f y ; s o a s s u m et h a t g ( x o ) i s f i n i t e . F r o m t h e d e f i n i t i o n o f a n u s c f u n c t i o n a n d t h e f a c t t h a t

i s a n e i g h b o r h o o d b a s e , t h e r e i s a n i n t e g e r v i w i t h n s u c h t h a tg ( x ) < g ( z o ) + e f o r a l l x i n N o w i f M = o o ,

g ( z o ) = [ g ( x o ) — s u p g ( x ) J + ( s u p g ( x ) — s u p ( x ) ] + s u p f , , ( z )z E U s x E U . ,

> — e + 0 + n1> - 6 + - .6

S i n c e e w a s a r b i t r a r y i t m u s t b e t h a t g ( z o ) = c c , a n i m p o s s i b i l i t y . T h u s< c c f o r a l l v i . T h e r e f o r e

g ( x o ) — s u p f i ( x ) = [ g ( x o ) — s u p g ( x ) J + [ s u p g ( x ) — s u pz E U , ,

+ [ s u p ( x ) — s u p I i ( x ) J

1 - 6 + 0 — —

> — 2 e .

S i n c e e w a s a r b i t r a r y , g ( x o ) f j ( x o ) .

1 2 . 8 I f i s a f a m i l y o f p o s i t i v e m e a s u r e s o n a n o p e nd i s k D h a v i n g t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

( a ) s u p p ç D f o r a l l i i n I ;

2 1 . 1 2 . T h e R e f i n e m e n t o f a S u b h a r m o n i c F u n c t i o n 3 6 5

( b ) f o r a n y i a n d j i n I t h e r e i s a k i n ! w i t h ( c ) < o o ;

t h e n t h e r e i s a p o s i t i v e m e a s u r e p s u p p o r t e d o n c i D s u c h t h a ti n f 3 a n d = i n f 1 g . e .

P r o o f F o r a n y m e a s u r e p o n D p u t C , , , = A c c o r d i n g t o L e m m a1 2 . 7 t h e r e i s a c o u n t a b l e s u b s e t J o f I s u c h t h a t i f g i s a l s c f u n c t i o n

w i t h g S t h e n g W r i t e ( p , : j e J } a sa s e q u e n c e B y p r o p e r t y ( b ) i t c a n b e a s s u m e d t h a t 2f o r a l l n 1 . B y p r o p e r t y ( c ) t h e s e q u e n c e c a n b e r e p l a c e d b y a

s u b s e q u e n c e , s o t h a t i t c a n b e a s s u m e d t h a t t h e r e i s a p o s i t i v e m e a s u r e po n c i D s u c h t h a t p w e a k i n M ( c l D ) . B y E x e r c i s e 4 . 6 , f o r a l l zi n 0 , S = = S i n c e i s a l s cf u n c t i o n , t h e c h o i c e o f t h e s u b s e t J i m p l i e s C M S

L e C E = { z Ec o m p l e t e i f i t c a n b e s h o w n t h a t c ( E ) 0 . S u p p o s e i t i s n o t . T h e n t h e r ei s a c o m p a c t s u b s e t K o f E w i t h c ( K ) > 0 . B y P r o p o s i t i o n 7 . 1 4 t h e r e i s ap o s i t i v e m e a s u r e i i o n K s u c h t h a t i s c o n t i n u o u s a n d f i n i t e - v a l u e d o n

C . B u t T h e o r e m 4 . 5 i m p l i e s t h a t —

f L , , ( ( ) S i n c ei s c o n t i n u o u s a n d d i s k s a r e D i r i c h i e t s e t s , — ' 0 a s z a p p r o a c h e s

a n y p o i n t o f 0 D . T h u s d e f i n i n g 0 o n 0 D m a k e s a c o n t i n u o u sf u n c t i o n o n c i D . T h e r e f o r e f C , . d p , f G 1 , d p . B y F a t o u ' s L e m m a t h i si m p l i e s f S f d i i = f = f G , . d p = fT h u s — 2 0 . B u t G M — < 0 o n t h e s u p p o r t o f v , s o t h i s i s a

c o n t r a d i c t i o n a n d c ( E ) 0 . 0

R e c a l l f r o m P r o p o s i t i o n 1 9 . 4 . 6 t h a t i f U i s a f a m i l y o f s u b b a r m o n i c f u n c -t i o n s t h a t i s l o c a l l y b o u n d e d a b o v e , v = s u p U , a n d u ( z ) = v ( w ) ,t h e n u i s s u b h a r m o n i c . I t w a s a l s o s h o w n t h e r e t h a t i i v i s u s c , t h e n v = u .T h e q u e s t i o n a r i s e s a s t o h o w b a d l y c a n i i a n d v d i f f e r . T h e n e x t t h e o r e ma n s w e r s t h i s .

1 2 . 9 T h e o r e m . I f U i s a s e t o f s u b h a r m o n i c J u n c t i o n s o n o n o p e n s e t Ct h a t i s l o c a l l y b o u n d e d a b o v e , v ( z ) s u p U , a n d u ( z ) =t h e n u = v g . e .

P r o o f . F i r s t e n l a r g e U t o i n c l u d e t h e f u n c t i o n s d e f i n e d a s t h e m a x i m u mo f a n y f i n i t e s u b s e t o f U a n d r e a l i z e C h a t t h i s d o e s n o t c h a n g e t h e v a l u eo f v a n d u . L e t E U a n d o b s e r v e t h a t r e p l a c i n g U b y t h e c o l l e c t i o n o ff u n c t i o n s E U : d o e s n o t c h a n g e t h e v a l u e o f v a n d u . S o i t c a na l s o b e a s m e d t h a t t h t h a tm U .

W e f i r s t p r o v e a s p e c i a l c a s e o f t h e t h e o r e m a n d t h e n t h i s w i f l b e u s e dt o p r o v e t h e t h e o r e m i n t o t a l g e n e r a l i t y .



2 1 . P o t e n t i a l T h e o r y

C l a i m . I f G = D , a n o p e n d i s k , a n d e a c h f u n c t i o n i n U i s n e g a t i v e , t h e nt h e r e i s a B o r e l s u b s e t E o f D w i t h c ( E ) = 0 a n d u = v o n D \ E .

L e t K b e a n y c l o s e d d i s k c o n t a i n e d i n D a n d f o r e a c h f u n c t i o n 4 ) i n Uf o r m t h e r e f i n e m e n t S o o n m t K , P r o p o s i t i o n 1 2 . 1 i m p l i e s 4 = 4 = q s .

T h u s v = : 4 ) U } o n m t K . B y P r o p o s i t i o n 1 2 . 2 f o r e a c h 4 ) i nU t h e r e i s a p o s i t i v e m e a s u r e o n K s u c h t h a t 4 = o n D . S i n c e

V U w h e n e v e r b o t h a n d a r e , i t f o l l o w s t h a t t h e f a m i l y o fm e a s u r e s : 4 ) E U } s a t i s f i e s c o n d i t i o n s ( a ) a n d ( b ) o f t h e p r e c e d i n gl e m m a .

L e t B b e a c l o s e d d i s k c o n t a i n e d i n D w i t h K c m t B a n d c o n s i d e r t h e

r e f i n e m e n t O n c e a g a i n t h e r e i s a p o s i t i v e m e a s u r e o n B s u c h t h a t= — G 1 7 o n D . T h u s C , , = = 1 o n m t B . T h u s f o r a n y 4 ) i n U ,

= f = f d r = — f 4 t h 1— f

1 = T h e r e f o r e L e m m a 1 2 . 8 i m p l i e s t h e r e i s a p o s i t i v em e a s u r e s u p p o r t e d o n K w i t h C , , o n D a n d C , , ( z ) = i n f { G , , , ( z ) :4 ) U ) e x c e p t f o r a B o r e l s u b s e t o f D h a v i n g c a p a c i t y z e r o . ( A c t u a l l y , t h el e m m a o n l y g i v e s t h a t t h e s u p p o r t o f l i e s i n c i D , b u t , s i n c e e a c h

i t s s u p p o r t i n K , t h e p r o o f o f t h e l e m m a s h o w s t h a t s u p p . i ç K . ) I tf o l l o w s t h a t o n m t K , — C , , = t i a n d : 4 ) E U } = v ( z ) a n dt h e r e i s a B o r e l s u b s e t E K o f m t K h a v i n g z e r o c a p a c i t y s u c h t h a t u = v

o n ( i n t K ) \ B u t D c a n b e w r i t t e n a s t h e u n i o n o f a s e q u e n c e o f s u c hc l o s e d d i s k s . S i n c e t h e u n i o n o f a c o u n t a b l e n u m b e r o f p o l a r s e t s i s p o l a r ,t h i s p r o v e s t h e c l a i m .

N o w f o r t h e g e n e r a l c a s e . W r i t e C a s t h e u n i o n o f a s e q u e n c e o f o p e nd i s k s w i t h c i C . S i n c e u i s l o c a l l y b o u n d e d a b o v e , f o r e a c h

n > 1 t h e r e i s a c o n s t a n t s u c h t h a t e v e r y 4 ) i n U s a t i s f i e s 4 ) o nI ) , , . I f t h e c l a i m i s a p p l i e d t o t h e f a m i l y U — = — M , : 4 ) E U } , w eg e t t h a t t h e r e i s a B o r e ! s e t c o n t a i n e d i n w i t h = 0 s u c h t h a ti i = v o n \ T a k i n g E = p r o v e s t h e t h e o r e m . 0

1 2 . 1 0 C o r o l l a r y . J I G i s a h y p e r b o l i c o p e n s e t , U i s a n e g a t i v e s u b h a r m o n i cf u n c t i o n , E i s a s u b s e t o f C , a n d Z = { z E C : t h e n Z i s

a B o r e t s e t h a v i n g c a p a c i t y z e r o a n d Z ç E .

P r o o f T h e f a c t t h a t Z i s a B o r e ! s e t a n d c ( Z ) = 0 i s i m m e d i a t e f r o m t h et h e o r e m . N o w l e t a b e a n y p o i n t i n C \ E ; i t w i l l b e s h o w n t h a t a Z .A c c o r d i n g t o P r o p o s i t i o n 1 2 . 6 t h e r e i s a n e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n v

o n C s u c h t h a t v ( z ) = — o o f o r z i n Z f l E a n d v ( a ) > — 0 0 . T h u s f o r a n ye > 0 , + c v u o n E . B y d e f i n i t i o n t h i s i m p l i e s + e v o n C .S i n c e v ( a ) > — 0 0 a n d e i s a r b i t r a r y , t h i s i m p l i e s t h a t S i n c e

t h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f . 0

1 2 . 1 1 C o r o l l a r y . I f , G i s a h y p e r b o l i c o p e n s e t , u i s a n e g a t i v e s u b h a r m o n i c

2 1 . 1 3 . T h e F i n e T o p o l o g y 3 6 7

f i s n c t i o n o n G , E G , a n d Z i s a p o l a r s u b s e t o f E , t h e n

P r o o f . F r o m P r o p o s i t i o n 1 2 . 1 w e k n o w t h a t F i x a i n C \ Za n d l e t u s b e a n y n e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n C s u c h t h a t u s u

o n E \ Z . A c c o r d i n g t o P r o p o s i t i o n 1 2 . 6 t h e r e i s a n e g a t i v e s u b h a r m o n i cf u n c t i o n v o n C w i t h v ( z ) = — c c f o r a l l z i n Z a n d v ( a ) > — c c . T h e r e f o r ef o r a n y e > 0 , w + e v u o n a l l o f E . U s i n g t h e p r e c e d i n g c o r o l l a r y , =

w ( a ) + e v ( a ) f o r a l l e > 0 . L e t t i n g e — ' 0 g i v e s t h a t w ( a )f o r a l l a i n G \ Z . S i n c e Z h a s a r e a 0 , t h i s i m p l i e s t h a t w h e n e v e r B ( b ; r ) ç C ,

( i r r 2 ) 1 f B ( b ; T ) I E d A ( I t ? ) J B ( b ; r ) u s d A w ( a ) . B y P r o p o s i t i o n 1 9 . 4 . 9

t h i s i m p l i e s t h a t u s o n G . T h e r e f o r e b y d e f i n i t i o n o f T a k i n g u r n s u p ' s o f b o t h s i d e s a n d u s i n g t h e o b s e r v a t i o n a t t h e b e g i n n i n go f t h e p r o o f s h o w s t h a t 0

E x e r c i s e s

1 . L e t C = I ) a n d E = { 0 } a n d d e f i n e u ( z ) l o g S h o w t h a t

o f o r z i n { 0 } a n d — c c . H e n c e 0 s o t h a to n D .

2 . S h o w t h a t t h e r e i s a s u b h a r m o n i c f u n c t i o n u o n C t h a t i s f i n i t e - v a l u e de v e r y w h e r e b u t n o t c o n t i n u o u s . ( H i n t : L e t Z b e a n o n - d o s e d p o l a rs e t , l e t a c l Z s u c h t h a t a Z , a n d l e t u b e a s u b h a r m o n i c f u n c t i o na s i n P r o p o s i t i o n 1 2 . 5 . N o w m a s s a g e u . )

3 . L e t G b e a h y p e r b o l i c o p e n s e t , l e t K b e a c o m p a c t s u b s e t o f C , a n dl e t b e t h e p o s i t i v e m e a s u r e o n K s u c h t h a t ' k = — C , . ( 1 2 . 2 ) . S h o wt h a t = s u p { v ( K ) : v i s a p o s i t i v e m e a s u r e s u p p o r t e d o n K

s u c h t h a t < 1 o n G } . S o j i i s t h e " e q u i l i b r i u m m e a s u r e " f o r t h eG r e e n p o t e n t i a l . S e e H e l m s 1 1 9 7 5 ] , p 1 3 8 , a n d B r e l o t [ 1 9 5 9 ] , p 5 2 , f o rm o r e d e t a i l .

4 . L e t C b e a h y p e r b o l i c o p e n s e t a n d W a b o u n d e d o p e n s e t w i t h c iW ç G . I f u i s a n e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n C , s h o w t h a to n W , i s t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m w i t h b o u n d a r yv a l u e s u ( 8 W .

§ 1 3 T h e F i n e T h p o l o g y

T h i s s e c t i o n i n t r o d u c e s t h e f i n e t o p o l o g y a s a p r e l u d e t o p r o v i n g i n t h en e x t s e c t i o n W i e n e r ' s C r i t e r i o n f o r a p o i n t t o b e a r e g u l a r p o i n t f o r t h es o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m . T h i s t o p o l o g y w a s i n t r o d u c e d b y t h e

F r e n c h s c h o o l , w h i c h p r o v e d t h e b a s i c p r o p e r t i e s o f t h e t o p o l o g y a n d i t s

c o n n e c t i o n w i t h t h e r e g u l a r i t y c o n d i t i o n . S e e B r e l o t [ 1 9 5 9 ] a n d t h e n o t e st h e r e a s w e l l a s H e l m s [ 1 9 7 5 ] , b o t h o f w h i c h w e r e u s e d a s a s o u r c e f o r t h ep r e p a r a t i o n f o r t h i s s e c t i o n a n d t h e n e x t .

1 3 . 1 D e f i n i t i o n . T h e f i n e t o p o l o g y i s t h e s m a l l e s t t o p o l o g y o n C t h a tm a k e s e a c h s u b h a r m o n i c f u n c t i o n c o n t i n u o u s a s a f u n c t i o n f r o m C i n t o

[ — c o , o o ) . T h i s t o p o l o g y w i l l b e d e n o t e d b y F .

N o t e t h a t t h e d i s c r e t e t o p o l o g y i s o n e t h a t m a k e s e v e r y f u n c t i o n , i n c l u d -i n g t h e s u b h a r m o n i c o n e s , c o n t i n u o u s . S i n c e t h e i n t e r s e c t i o n o f a c o l l e c t i o n

o f t o p o l o g i e s i s a t o p o l o g y , t h e f i n e t o p o l o g y i s w e l l d e f i n e d .

W h e n w e r e f e r t o a s e t t h a t b e l o n g s t o F w e w i l l s a y t h a t t h e s e t i s f i n e l yo p e n . S i m i l a r l y , w e w i l l u s e e x p r e s s i o n s s u c h a s f i n e l y c l o s e d , f i n e l y c o n t i n u -o u s , e t c . . w h e n t h e s e e x p r e s s i o n s r e f e r t o t o p o l o g i c a l p h e n o m e n a r e l a t i v e t o

t h e f i n e t o p o l o g y . i f a s e t i s c a l l e d " o p e n " w i t h n o m o d i f y i n g a d j e c t i v e , t h i sw i l l r e f e r t o t h e u s u a l t o p o l o g y o n t h e p l a n e . A s i m i l a r c o n v e n t i o n a p p l i e st o o t h e r t o p o l o g i c a l t e r m s . F o r c o n v e n i e n c e t h e u s u a l t o p o l o g y o n C w i l lb e d e n o t e d b y U . i t i s n o t h a r d t o s e e t h a t i f U i s f i n e l y o p e n , t h e n s o i sa + a U f o r a l t o i n C a n d a > 0 .

1 3 . 2 P r o p o s i t i o n .

( a ) T h e f i n e t o p o l o g y i s s t r i c t l y l a r g e r t h a n t h e u s u a l t o p o l o g y o n t h e p l a n e .

( b ) I f G i s o p e n a n d C — . [ — c o , i s a s u b h a r m o n z c f u n c t i o n , t h e n0 i s c o n t i n u o u s i f C h a s t h e r e l a t i v e f i n e t o p o l o g y ,

F c o n s i s t s o f a l l s e t s o f t h e f o r m

W n f l { z >

w h e r e W e U , . , a r e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n s , a n d c 1 , . . .

a r e f i n i t e c o n s t a n t s .

( d ) T h e f i n e t o p o l o g y i s a f f a u s d o r f f t o p o l o g y .

P r o o f . ( a ) T o e s t a b l i s h t h a t U F , w e n e e d o n l y s h o w t h a t e a c h o p e n d i s kb e l o n g s t o F . B u t t h e o b s e r v a t i o n t h a t f o r a n y a t h e f u n c t i o n l o g I z — a I i s

s u b h a r m o n i c a n d B ( a ; r ) = { z : l o g I z — o l < l o g r } s h o w s t h i s . T o s h o w t h a tt h i s c o n t a i n m e n t i s p r o p e r , w e n e e d o n l y e x h i b i t a s u b h a r m o n i c f u n c t i o nt h a t i s n o t c o n t i n u o u s .

( b ) S u p p o s e { 2 2 } i s a n e t i n C t h a t c o n v e r g e s f i n e l y t o a i n G . W e n e e dt o s h o w t h a t — . . F i x a n o p e n d i s k D w h o s e c l o s u r e i s c o n t a i n e di n C a n d l e t b e a s u b h a r i n o n i c f u n c t i o n o n C s u c h t h a t ( z ) = 0 ( z ) f o ra l l z i n D ( 1 2 . 4 ) . B y d e f i n i t i o n , 0 1 ( z 1 ) ( a ) t h e r e i s

a n i o s u c h t h a t ; E D f o r i i o . P a r t ( b ) n o w f o l l o w s .

( c ) W e o b s e r v e t h a t { z : # ( z ) < c } i s o p e n w h e n i s s u b h a r m o n i c ,b e c a u s e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n s a r e u p p e r s e m i c o n t i n u o u s . T h e p r o o f o f ( c )

n o w a r o u t i n e e x e r c i s e i n t h e d e f i n i t i o n s t h a t i s b e s t l e f t t o t h e r e a d e r .

( d ) T h i " i s i m m e d i a t e f r o m ( a ) . ( 3

1 3 . 3 C o r o l l a r y . F i n e l y o p e n s e t s a r e

P r o o f . T h i s f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m p a r t ( c ) o f t h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o ni f P r o p o s i t i o n 1 9 . 4 . 8 i s u s e d t o s h o w t h a t , f o r a n y s u b b a r m o n i c f u n c t i o n

N o t e t h a t t h e l a s t c o r o l l a r y s h o w s t h a t F i s n o t t h e d i s c r e t e t o p o l o g y .1 3 . 4 P r o p o s I t i o n . P o l a r s e t s h a v e n o f i n e l i m i t p o i n t s .

P r o o f . L e t Z b e a p o a r s e . B y r e p a c i n g Z w i t h Z \ { a } , i t c a n b e a s s u m e dt h a t a Z . B y P r o p o s i t i o n 1 2 . 5 t h e r e i s a s u b b a n n o n i c f u n c t i o n o n C

U € F ( 1 3 . 2 . a ) , a E U , a n d U r i Z = ø . 0

1 3 . 5 C o r o l l a r y . A l l c o u n t a b l e s u b s e t s o f C a r e f i n e l y c l o s e 4 a n d t h e f i n e l yc o m p a c t s e t s a r e f i n i t e . T h u s F i s n o t a l o c a l l y c o m p a c t t o p o l o g y .

P r o o f . S i n c e c o u n t a b l e s e t s a r e p o l a r , t h e y h a v e n o f i n e l i m i t p o i n t s b yt h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n . H e n c e t h e y c o n t a i n a l l t h e i r f i n e l i m i t p o i n t s a n dt h u s m u s t b e f i n e l y c l o s e d . S i n c e n o s e q u e n c e c a n h a v e a l i m i t p o i n t , f i n e l yc o m p a c t s e t s m u s t b e f i n i t e . N o w c o m b i n e t h i s w i t h t h e f a c t t h a t f i n e l yo p e n s e t s a r e i n f i n i t e a n d i t i s c l e a r t h a t t h e f i n e t o p o l o g y i s n o t l o c a l l y

c o m p a c t . 01 3 . 6 C o r o l l a r y . s u b s e t o f C i s f i n e l y s e q u e n t i a l l y c l o s e d . I n p a r t i c -u l a r , t h e f i n e t o p o l o g y i s n o t f i r s t c o u n t a b l e .

1 3 . 7 D e f i n i t i o n . A s u b s e t E o f C i s t h i c k a t a p o i n t a i f a i s a f i n e l i m i tp o i n t o f E . I f E i s n o t t h i c k a t a , s a y t h a t E i s t h i n a t a .

S o p o l a r s e t s a r e t h i n a t e v e r y p o i n t . A l s o s i n c e U F , i i E i s t h i c k a t a ,a i s a l i m i t p o i n t ( i n t h e u s u a l s e n s e ) o f E . I t i s t h e n o t i o n o f t h i c k n e s s t h a ti s t h e p r i m e r e a s o n f o r d i s c u s s i n g t h e f i n e t o p o l o g y . T h i s c a n b e s e e n b y t h ef o l l o w i n g a r g u m e n t . L e t K b e a c o m p a c t s e t a n d l e t C b e t h e c o m p o n e n t

o f \ K L h a t c o n t a i n s o o . S u p p o s e a e 9 C a n d K i s t h i c k a t a . I fi s h a r m o n i c m e a s u r e f o r C a t o o , t h e n t h e r e i s a p o l a r s e t Z c o n t a i n e di n K s u c h t h a t f o r a l l z i n K \ Z , = t h e R o b i n c o n s t a n t f o r K .

S i n c e p o l a r s e t s a r e t h i n a t e v e r y p o i n t a n d K i s t h i c k a t a , a t o p o l o g i c a la r g u m e n t s h o w s t h a t K \ Z i s t h i c k a t a . T h u s t h e r e i s a n e t i n K \ Zs u c h t h a t Z j — . a ( 1 ) . B u t t h e n s i n c e s u p e r h a r m o n i cf u n c t i o n s a r e f i n e l y c o n t i n u o u s ; t h u s = ' y a n d b y P r o p o s i t i o n 1 0 . 8

t h i s i m p l i e s t h a t a i s a r e g u l a r p o i n t f o r C . S o e a c h p o i n t o f O G a t w h i c hK i s t h i c k i s a r e g u l a r p o i n t f o r C . T h e c o n v e r s e o f t h i s w i l l b e p r o v e d i nT h e o r e m 1 3 . 1 6 b e l o w .

H e r e i s a b i t o f n o t a t i o n t h a t w i f l b e u s e f u l i n t h i s s t u d y . I f E i s a s u b s e to f C , i s a f u n c t i o n o n C , a n d a i s a l i m i t p o i n t o f E i n t h e u s u a lt o p o l o g y , d e f i n e

E — t i m s u p = : z E E , z a ) .

S i m i l a r l y , d e f i n e E — l i n i i n ! a n d E — U r n . I t i s p e r h a p s w o r t h w h i l e t o r e -m i n d t h e r e a d e r h e r e t h a t t h e d e f i n i t i o n o f t h e v a r i o u s l i m i t s d o e s n o t u s e

t h e v a l u e o f t h e f u n c t i o n a t t h e l i m i t p o i n t . T h u s E — l i T h S U P g _ a ( Z ) =: z E £ a n d ( ) < I z — a I < r } ] a n d E — l i m g _ . . a ç t ' ( z ) =

E — l i m = E — l i m i n f 2 . . . . , w h e n t h e s e t w o l a s t l i m i t s a g r e e .

1 3 . 8 T h e o r e m . I f E i i a n y n o n - e m p t y s u b s e t o f C a n d a i s a l i r n z t p o i n to f E , t h e n f o U o w s n g a r e e q u i v a l e n t .

( a ) T h e s e t E i s t h i n a t a .

( b ) F o r e v e i y r > O , E f l B ( a ; r ) i s t h i n a L a .( c ) T h e r e i s a s u b h a r r n o n i c f u n c t i o n d e f i n e d o n C s u c h t h a t

B — > — o o .

( d )t h a t O t h e r e i s a p o s i t i u e m e a s u r e p s u p p a r t e d o n B ( a ; r ) s u c h

t h a t L M ( a ) < . E —

P r o o f . F i r s t , l e t ' s a g r e e t h a t ( a ) a n d ( b ) a r e e q u i v a l e n t b y v i r t u e o f b a s i ct o p o l o g y a n d t h e f a c t t h a t B ( a ; r ) F f o r a l l r > 0 . A l s o o b s e r v e t h a t i t

s u f f i c e s t o a s s u m e t h a t a 0 E .( a ) i m p l i e s ( c ) . A s s u m e t h a t E i s t h i n a t a . S o t h e r e i s a s e t U i n F s u c h

t h a t a U a n d U n E = 0 . F r o m P r o p o s i t i o n 1 3 . 2 t h e r e i s a n e i g h b o r h o o d Wo f a , s u b b a r i n o n i c f u n c t i o n s h , . . . o n C , a n d f i n i t e c o n s t a n t s c 1 , . . .

s u c h t h a t

U .

< 4 k ( a ) + e / n f o x a i l s i n B . B u t a i a a l i m i t p o i n t o f E s o B n E 0 ;i f z B n E , t h e n z U a n d s o t h e r e i s a k , 1 k n , w i t h # k ( z ) . 4 .

T h u s

=

<

0 ( a ) — i / n .

H e n c e E — 0 ( z ) < 0 ( a ) — < 0 ( a ) . I f — c o < a < 0 ( a ) a n d 0i s r e p l a c e d b y m a x { 0 , a } , a l l t h e c o n d i t i o n s i n ( c ) a r e m e t .

( c ) i m p l i e s ( d ) . L e t 4 b e a s i n p a r t ( b ) a n d p u t D B ( a ; r ) w i t h r < 1 / 2 .B y T h e o r e m 1 9 . 5 . 6 t h e r e i s a p o s i t i v e m e a s u r e o n D a n d a h a r m o n i cf u n c t i o n h o n D s u c h t h a t O l D = h — L M . S i n c e h i s c o n t i n u o u s a t a ,

— L M ( a ) = 0 ( a ) — h ( a )

> E — l i m s u p 0 ( z ) — h ( a )

E — u r n

a n d ( d ) f o l l o w s .( d ) i m p l i e s ( e ) . L e t D = B ( a ; 1 / 2 ) ; s o 0 o n D . P u t C = E —

< L e t b e a s e q u e n c e o f p o s i t i v e n u m b e r ss u c h t h a t < 1 / 2 a n d 0 m o n o t o n i c a l l y ; l e t = B ( a ; a n d =

S i n c e i s f i n i t e , p d o e s n o t h a v e a n a t o m a t a . B y t h e M o n o t o n eC o n v e r g e n c e T h e o r e m , L M , , ( a ) — p 0 . R e p l a c i n g b y a s u b s e q u e n c e i fn e c e s s a r y , w e c a n a s s u m e t h a t < o o . I f 0 = t h e n 0i s s u b h a r i n o n i c o n C a n d 0 ( a ) > — 0 0 .

I f = — L M = t h e n i s h a r m o n i c o n s o

z z E z E E 5 } .

T h u sS

=

S

< 0 .

S o f o r a n y m 1 ,E — m [ C +

n = 1

T h e r e f o r e

E - l i m s u p 4 ( z ) = E — l i m s u pz — . o z — . a

n = 1

E —

m 1 . H e n c e — o c

( e ) i m p l i e s ( f ) . T h i s i s l i k e t h e p r o o f t h a t ( c ) i m p l i e s ( d ) .( f ) i m p l i e s ( a ) . S u p p o s e i s a s i n ( f ) . I f E w e r e t h i c k a t a , t h e n t h e r e

w o u l d e x i s t a n e t { ; } i n E s u c h t h a t ; a i n t h e f i n e t o p o l o g y . S i n c e L , A i sF - c o n t i n u o u s , L M ( z j ) L , 1 ( a ) . B u t t h i s i s a c o n t r a d i c t i o n s i n c e L , 4 ( a ) < z o oa n d 0

T h e r e a r e o t h e r s t a t e m e n t s e q u i v a l e n t t o t h o s e i n t h e p r e c e d i n g t h e o r e mt h a t i n v o l v e c a p a c i t y ; f o r e x a m p l e , s e e M e y e r s [ 1 9 7 5 ] .

1 3 . 9 C o r o l l a r y . I f E a B o r e l s e t a n d

I Ô B ( a : r ) n E Il i m > 0 ,

r - . O rw h e r e t h e a b s o l u t e v a l u e s i g n s d e n o t e a r c l e n g t h m e a s u r e o n t h e c i r c l e8 B ( a ; r ) , t h e n E i s t h i c k a t a .

P r o o f . S u p p o s e E i s t h i n a t a . B y t h e p r e c e d i n g t h e o r e m t h e r e i s a s u b -h a r m o n i c f u n c t i o n d e f i n e d o n C s u c h t h a t > =

S i n c e i s u s c , t h e r e i s a c o n s t a n t M s u c h t h a t M f o r I z — a I s 1 .

R e p l a c i n g b y — M , i t c a n b e a s s u m e d t h a t 0 f o r I z — 1 .T h u s f o r r < 1 a n d A , . { 9 : a + r e * O E E } ,

f 2 W

/ ) d O

Ii r

[ m e a s u r e ( A , . ) J

s u p 4 ( z ) .4 7 r T z E O B ( a ; r )

B u t : z E O B ( a ; r ) } — ' — o c a s r — ' 0 . T h e r e f o r e I O B ( a ; r ) f lE l / r — . 0 a s r 0 , c o n t r a d i c t i n g t h e a s s u m p t i o n . 0

I f t h e s e t E i s c o n t a i n e d i n a h y p e r b o l i c o p e n s e t , t h e n t h e e q u i v a l e n tf o r m u l a t i o n o f t h i n n e s s c a n b e i m p r o v e d .

1 3 . 1 0 P r o p o s i t i o n . I f C i s a h y p e r b o l i c o p e n s e t , E ç C , a n d a i s a l i m i tp o i n t o f E t h a t b e l o n g s t o G , t h e n t h e f o l l o w i n g a r e e q u i v a l e n t .

( a ) E i s t h i n a t a .( b ) T h e r e i s a n e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n C t h a t i s a l s o b o u n d e d

b e l o w a n d s a t i s f i e s ç b ( a ) > E — J i m S U P Z _ a

( c ) T h e r e i s a n e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n d e f i n e d Q f l C s u c h t h a tc l ) ( a ) > E — i i m z _ . a 0 ( z ) = — 0 0 .

P r o o f . ( a ) i m p l i e s ( b ) . L e t D = B ( a ; s ) b e c h o s e n s u c h t h a t c i D C . B y

T h e o r e m 1 3 . 8 i t c a n b e a s s u m e d t h a t ED a n d t h e r e i s a s u b h a r m o r i i c

f u n c t i o n o n C s u c h t h a t ( a ) > E — J i m 4 ' 1 ( z ) . L e t B r = B ( a ; r )b e c h o s e n w i t h r > $ s u c h t h a t c i B r c C . B y P r o p o s i t i o n 1 2 . 4 t h e r e i s as u b h a r m o n i c f u n c t i o n 0 2 o n C w i t h = o n D a n d =

f o r j z — a J > r .L e t g b e t h e G r e e n f u n c t i o n f o r C a n d l e t h b e t h e h a r m o n i c f u n c t i o n

o n C s u c h t h a t g ( z , a ) h ( z ) — l o g I z — a I f o r z C . D e f i n e : C[ — o o , 0 0 ) b y = — h ( z ) + i o g r . S o i s s u b b a r m o n i c o n C .

F o r z i n C \ c I B r , 0 a ( z ) = — g ( z , a ) 0 . S i n c e i s u s c , t h e r e i s ac o n s t a n t M w i t h < M o n c i B r . L e t = — M . S o i s a n e g a t i v es u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n C a n d i t i s e a s y t o c h e c k t h a t s i n c e = o nD , E — 0 4 ( z ) < 0 4 ( a ) . N o w l e t = m a x { q 5 4 , q $ 4 ( a ) — 1 } a n d t h ep r o o f i s c o m p l e t e .

( b ) i m p l i e s ( c ) . T h e p r o o f o f t h i s i s s i m i l a r t o t h e c o r r e s p o n d i n g p r o o f i nT h e o r e m 1 3 . 8 a n d w i l l n o t b e g i v e n .

( c ) i m p l i e s ( a ) . S i n c e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n s a r e f i n e l y c o n t i n u o u s , a c a n -

n o t b e a f i n e l i m i t p o i n t o f E . 0

1 3 . 1 1 D e f i n i t i o n . I f C i s a n y s e t a n d u i s a n e x t e n d e d r e a l - v a l u e d f u n c t i o nd e f i n e d o n C , s a y t h a t u p e a k s a t a p o i n t a i n C i f f o r e v e r y n e i g h b o r h o o d

V o f a , u ( a ) > s u p { u ( z ) z G \ V } .

N o t e t h a t i f u p e a k s a t a , t h e n u a t t a i n s i t s m a x i m u m v a l u e o n C a tt h e p o i n t a . T h i s a l o n e , h o w e v e r , w i l l n o t g u a r a n t e e t h a t u p e a k s a t a . T h e

o b j e c t h e r e w i l l b e t o f i n d s u p e r h a r m o n i c f u n c t i o n s o n a n o p e n s e t C t h a tp e a k a t c e r t a i n p o i n t s . ( A c t u a l l y , s t i c k i n g w i t h t h e f i x a t i o n o f t h i s b o o ko n s u b h a r m o n i c f u n c t i o n s , w e w i l l b e c o n c e r n e d w i t h f i n d i n g s u b b a r m o n i c

f u n c t i o n s u s u c h t h a t — u p e a k s a t a . ) I f C i s a h y p e r b o l i c o p e n s e t a n da C , t h e n t h e G r e e n f u n c t i o n g i s a f u n c t i o n s u c h t h a t 9 a p e a k s a t a ,g 0 0 , a n d i s s u p e r h a r r n o n i c . T h e n e x t e x a m p l e w i l l b e u s e d l a t e r .

1 3 . 1 2 E x a m p l e . I f R > 0 a n d p i s t h e r e s t r i c t i o n o f a r e a m e a s u r e t oB ( a ; R ) , t h e n p e a k s a t a . I n f a c t , a c c o r d i n g t o E x e r c i s e 3 . 6 , L , 4 ( z )7 r R 2 i o g j z — a I R a n d = i r R 2 [ l o g R _ ' + 1 / 2 ] — —

a 1 2 / 2 = — — a 1 2 / 2 f o r l z — a l R . I t i s l e f t t o t h e r e a d e r t o s h o wt h a t : I z — a l > r } f o r a n y r > 0 .

T h e f i r s t t a s k i s t o r e l a t e p e a k i n g w i t h t h i n n e s s .

1 3 . 1 3 P r o p o s i t i o n . L e t G b e a h y p e r b o l i c o p e n s e t , l e t a C , a n d s u p p o s eu i s a n e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n C s u c h t h a t — u p e a k s a t a . I f E

i s a s u b s e t o f C , t h e n E i s t h i n a t . a i f a n d o n l y i f > u ( a ) .

P r o o f . S i n c e = ( 1 2 . 1 1 ) , w e m a y a s s u m e , w i t h o u t t o s s o f g e n e r -

a l i t y , t h a t a E . B u t w e a l s o k n o w t h a t = o n G \ E ( 1 2 . 1 0 ) s o t h a t ,i n p a r t i c u l a r , = S o w e w a n t t o s h o w t h a t E i s t h i n a t a i f a n d

o n l y i f > u ( a ) .A s s u m e t h a t > u ( a ) . T o s h o w t h a t E i s t h i n a t a , i t i s a s s u m e d

t h a t a i s a l i m i t p o i n t o f E . F r o m t h e d e f i n i t i o n o f t h e r e i s a s u b -h a r m o n i c f u n c t i o n 0 o n G s u c h t h a t u ( a ) . T h u sE — E — l i m s u p z _ a u ( z ) u ( a ) < 0 ( a ) . B y T h e o r e m1 3 . 8 , E i s t h i n a t a .

N o w a s s u m e t h a t E i s t h i n a . I f a i s n o t a l i m i t p o i n t o f E , t h e n t h e r ei s a n e i g h b o r h o o d V o f a s u c h t h a t V f l E = 0 a n d c i V c C . S i n c e — up e a k s a t a , u ( a ) u ( a )f o r a l l z i n V ; i n p a r t i c u l a r , t h i s h o l d s f o r z = a . S o i t c a n b e a s s u m e d t h a ta i s a l i m i t p o i n t o f E a n d E i s t h i n a t a .

B y P r o p o s i t i o n 1 3 . 1 0 t h e r e i s a n e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n 0 o n Ct h a t i s b o u n d e d b e l o w s u c h t h a t 0 ( a ) > E — 0 ( z ) . C h o o s e ac o n s t a n t M s u c h t h a t 0 ( a ) > M > E — u r n 0 ( z ) a n d l e t D b e a n

o p e n d i s k a b o u t a s u c h t h a t M > 0 ( z ) f o r a l l z i n D f l E . F o r t > 0 d e f i n et h e f u n c t i o n t O t = u ( a ) + t [ 4 ' — M ] . T h u s f o r z i n D f l E ,

W t ( Z ) 0 w i t h u ( z ) — u ( a ) C f o ra l l z i n C \ D . B e c a u s e i s a b o u n d e d f u n c t i o n , t h e p a r a m e t e r t c a n b ec h o s e n s o s m a l l t h a t — M I S C f o r a l l z i n C . T h u s f o r z i n G \ D ,

t [ 0 ( z ) — M ] < C < u ( z ) — u ( a ) . T h e r e f o r e w 2 ( z ) = u ( a ) + t [ Ø ( z ) — M ] 5 u ( z )f o r a l l z i n G \ D . O n t h e o t h e r h a n d , f o r z i n D n E , W t ( Z ) u ( a ) , p r o v i n g t h e p r o p o s i t i o n . 0

T h e n e x t r e s u l t i s o f t e n c a l l e d t h e F u n d a m e n t a l T h e o r e m f o r t h i n n e s s .( I t i s p r o b a b l y b e s t h e r e t o a v o i d t h e v a r i e t y o f p o s s i b l e m i n o r j o k e s t h a ts u c h a t i t l e a f f o r d s . )

1 3 . 1 4 T h e o r e m . I f E i s a n y s e t a n d Z = ( a E E : E i s t h i n a t E } , t h e n2 i s a p o l a r s e t .

P r o o f . C o v e r E b y a s e q u e n c e o f o p e n d i s k s e a c h h a v i n g r a d i u s l e s st h a n 1 / 2 a n d l e t Z = Z n

a i s b e a s s u m e d t h a t E ç D , a n o p e n

d i s k o f r a d i u s < 1 / 2 . L e t b e t h e r e s t r i c t i o n o f a r e a m e a s u r e t o D a n dp u t u = S o u i s a n e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n D . i f a E Z , l e tr > 0 s u c h t h a t r ) c D , p u t p ' = r ) a n d = \ B ( a ; r ) ] ,a n d l e t u 3 = — L a , , 3 1 , 2 . C l e a r l y u = U I + U 2 a n d b o t h u 1 a n d u 2 a r e

n e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n s o n D . B y ( 1 3 . 1 2 ) — n i p e a k s a t a a n d s o b yt h e p r e c e d i n g p r o p o s i t i o n ( a ) > u ( a ) . T h u s ( a ) ( a ) + ( a ) >

u ( a ) = s i n c e a e E . T h u s Z ç { z : > ap o l a r s e t b y C o r o l l a r y 1 2 . 1 0 . 0

1 3 . 1 5 C o r o l l a r y . A s e t Z i s p o l a r i f a n d o n l y i f i t i s t h i n a t e a c h o f i t sp o i n t s .

P r o o f . T h e p r o o f o f o n e d i r e c t i o n o f t h e c o r o l l a r y i s i m m e d i a t e f r o m t h et h e o r e m . T h e p r o o f o f t h e o t h e r d i r e c t i o n w a s a l r e a d y d o n e i n ( 1 3 . 4 ) . 0

I n T h e o r e m 1 3 . 1 4 l e t u s e m p h a s i z e t h a t t h e p o l a r s e t Z i s c o n t a i n e d i n

E . C l e a r l y t h e s e t o f a l l p o i n t s a t w h i c h E i s t h i n i s n o t p o l a r s i n c e i t i st h i n a t e a c h p o i n t o f C \ c i E . B u t n o t e v e n t h e s e t o f p o i n t s i n c i E a tw h i c h E i s t h i n i s n e c e s s a r i l y a p o l a r s e t . F o r e x a m p l e , i f E i s t h e s e t o f a l lp o i n t s i n C w i t h r a t i o n a l r e a l a n d i m a g i n a r y p o i n t s , t h e n £ i s c o u n t a b l ea n d h e n c e p o l a r a n d h e n c e t h i n a t e v e r y p o i n t .

1 3 . 1 6 T h e o r e m . J I G i s a h y p e r b o l i c o p e n s e t a n d a E t h e n a i s ar e g u l a r p o i n t o f C i f a n d o n l y i f C i s t h i c k a t a .

P r o o f . P u t E = \ C . I f E i s t h i c k a t a , t h e a r g u m e n t g i v e n j u s t a f t e rt h e d e f i n i t i o n o f t h i c k n e s s s h o w s t h a t a i s a r e g u l a r p o i n t f o r C .

F o r t h e c o n v e r s e , a s s u m e t h a t a i s a r e g u l a r p o i n t o f C . B y ( 1 9 . 1 0 . 1 ) t h e r ei s a n o n - c o n s t a n t n e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n u o n D \ E = G ( a ; r )s u c h t h a t ( D \ E ) — u ( z ) = 0 . A l s o a s s u m e t h a t E i s t h i n a ta a n d l e t ' s w o r k t o w a r d a c o n t r a d i c t i o n . A c c o r d i n g t o P r o p o s i t i o n 1 3 . 1 0t h e r e i s a b o u n d e d s u b h a r m o n i c f u n c t i o n o n D s u c h t h a t 0 ( a ) > E —

l i m s u p z _ a O ( z ) . B y c h a n g i n g s c a l e i t m a y b e a s s u m e d t h a t 1 a n dE — l i m s u p z . . a O ( z ) < — 1 . C h o o s e 5 , 0 < 5 < 1 , s o t h a t D 1 = B ( a ; 5 )s a t i s f i e s c I D 1 C D a n d 0 ( z ) < — 1 f o r a l l z i n ( c l D 1 ) f l ( E \ { a } ) . T h e

c o n t r a d i c t i o n t o t h e a s s u m p t i o n t h a t E i s t h i n a t a w i l l b e o b t a i n e d b ys h o w i n g t h a t t h e r e i s a p o s i t i v e s c a l a r t s u c h t h a t 4 ' u o n D 1 \ E .

I n d e e d o n c e t h i s i s s h o w n i t f o l l o w s t h a t ( D 1 \ E ) — l i m 4 ' ( z )( D 1 \ E ) = 0 . B u t E — I n n 4 ' ( z ) < — 1 , s o w e

g e t t h a t 1 = 4 ' ( a ) = 4 ' ( z ) 0 , a c o n t r a d i c t i o n .

I t w i l l b e s h o w n t h a t t h e r e i s a p o s i t i v e s c a l a r t s u c h t h a t f o r a n y E > 0

1 3 . 1 7 ( D 1 \ E ) — + t + e — a l l 0

f o r a l l z i n O ( D 1 \ E ) = ( 0 D 1 \ E ) U ( O E f l c i L ) 1 ) . I f t h i s i s s h o w n t ob o l d , t h e n t h e M a x i m u m P r i n c i p l e i m p l i e s t h a t , f o r e v e r y e > 0 , 4 ) + t u +

— a I 0 o n \ E . L e t t i n g e — ' 0 s h o w s t h a t 4 ) — t u , a s d e s i r e d .

F r o m t h e p r o p e r t i e s o f 4 ) t h e r e i s a n o p e n s e t W c o n t a i n i n g 8 D 1 f l Es u c h t h a t 4 ) < 0 o n W . T h u s n o m a t t e r h o w t h e p o s i t i v e n u m b e r t i s

c h o s e n , ( 1 3 . 1 7 ) h o l d s f o r a l l z i n W f l ( 0 D 1 \ E ) . A l s o 4 ) i s b o u n d e d a n d ui s n e g a t i v e a n d u s c , s o t > 0 c a n b e c h o s e n w i t h 4 ) + t u < 0 o n 8 D 1 \ W ;f i x t h i s c h o i c e o f t . C o m b i n i n g t h i s w i t h t h e p r e c e d i n g o b s e r v a t i o n s h o w st h a t ( 1 3 . 1 7 ) h o l d s f o r a l l z i n 0 D 1 \ E . i f z O E f l c i D 1 a n d z a ,

t h e n 0 ( z ) — 1 a n d s o 4 ) ( ( ) < 0 i n a n e i g h b o r h o o d o f z . T h u s ( D 1 \ E ) —+ t u ( ( ) + d o g l ( — a l l e l o g l z — a I e l o g ö < 0 , s o

( 1 3 . 1 7 ) h o l d s f o r z i n O E f l c l D 1 a n d z a . I f z = a , t h e n ( 1 3 . 1 7 ) a l s oh o l d s , s i n c e t h e l e f t h a n d s i d e i s — 0 0 . 0

R e m a r k s . T h e f i n e t o p o l o g y i s f u l l y s t u d i e d i n t h e l i t e r a t u r e . I n a d d i -t i o n t o B r e l o t [ 1 9 5 9 ] a n d H e l m s [ 1 9 7 5 ) , c i t e d i n t h e i n t r o d u c t i o n o f t h i ss e c t i o n , t h e f o l l o w i n g s o u r c e s a r e u s e f u l : H e d b e r g [ 1 9 7 2 b ] , H e d b e r g [ 1 9 9 3 ] ,a n d L a n d k o f [ 1 9 7 2 ] .

E x e r c i s e s

1 .

1 ( z ) — f ( w ) I < I z — a n d 1 ( a ) — f ( z ) l = I a — z p f o r a l l z , w i n C .S h o w t h a t f ( E ) i s t h i n a t a .

2 . I s t h e r e a s e t E s u c h t h a t b o t h E a n d C \ E a r e t h i n a t a ?

§ 1 4 W i e n e r ' s C r i t e r i o n f o r R e g u l a r P o i n t s

I n t h i s s e c t i o n W i e n e r ' s C r i t e r i o n f o r t h e r e g u l a r i t y o f a b o u n d a r y p o i n t w i l lb e s t a t e d a n d p r o v e d . T h i s s t a t e m e n t i s i n t e r m s o f l o g a r i t h m i c c a p a c i t y .

1 4 . 1 D e f i n i t i o n . F o r a n y s u b s e t E i n C , d e f i n e t h e o u t e r c a p a c i t y o f E a st h e n u m b e r

c * ( E ) = i n f { c ( U ) : U i s o p e n a n d c o n t a i n s E } .

I t i s c l e a r t h a tc ( E ) = e x p ( — ? ( E ) ) ,

w h e r e

v ( E ) = s u p { v ( U ) : U i s o p e n a n d c o n t a i n s E } .I t i s a s t a n d a r d f a c t a b o u t c a p a c i t i e s t h a t c ' ( E ) c ( E ) f o r a c o l l e c t i o n o fs e t s t h a t i n c l u d e s t h e B o r e l s e t s . T h i s i s n o t p r o v e d i n t h i s b o o k . b u t w e

2 1 . 1 4 . W i e n e r ' s C r i t e r i o n 3 7 7

h a v e s e e n t h a t t h i s i s t h e c a s e w h e n E i s c o m p a c t ( C o r o l l a r y 7 . 1 6 ) . T h er e a d e r i n t e r e s t e d i n t h i s f a c t c a n s e e C a r l e s o n [ 1 9 6 7 ] .

1 4 . 2 W i e n e r ' s C r i t e r i o n . L e t E b e a s e t , a E C , a n d 0 < I < 1 / 2 ; f o re a c h n 1 , l e t E v s t h i c k a t

a i f a n d o n l y i fo c

1 4 . 3 ° °

F i r s t a f e w o b s e r v a t i o n s a n d c o r o l l a r i e s . N o t e t h a t t h e c o n d i t i o n ( 1 4 . 3 )i s e q u i v a l e n t t o

1 4 . 4 =

T h e r e a s o n f o r t h e r e s t r i c t i o n ) < 1 / 2 i s t o g u a r a n t e e t h a t d i a z n < If o r a l l n 1 a n d t h u s t h a t < 1 f o r a l l n . T h u s t h e s e r i e s d o e s n o td i v e r g e b y v i r t u e o f h a v i n g o n e o f i t s t e r m s e q u a l t o c c . T h i s a l s o a s s u r e s

t h a t e a c h t e r m i n t h e s e r i e s i s p o s i t i v e .T o d i s p o s e o f t h e t r i v i a l i t i e s , o b s e r v e t h a t a i s n o t a l i m i t p o i n t i f a n d

o n l y i f = 0 f o r a l l n l a r g e r t h a n s o m e n 0 . I n t h i s c a s e = 0 f o rn n 0 a n d t h e s e r i e s i n ( 1 4 . 3 ) i s c o n v e r g e n t . T h e s a m e h o l d s o f c o u r s e i f

i s p o l a r f o r a l l l a r g e n .O r i g i n a l l y W i e n e r s t a t e d h i s c r i t e r i o n a s a n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n -

d i t i o n f o r a p o i n t t o b e a r e g u l a r p o i n t f o r t h e s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e tp r o b l e m . T h e f o l l o w i n g c o r o l l a r y i s i m m e d i a t e f r o m W i e n e r s C r i t e r i o n a n dT h e o r e m 1 3 . 1 6 . A l l t h e c o r o l l a r i e s b e l o w w i l l b e s t a t e d f o r f i n i t e b o u n d a r y

p o i n t s o f t h e h y p e r b o l i c o p e n s e t C . T h e c o n d i t i o n f o r t h e r e g u l a r i t y o f t h ep o i n t a t c o i S o b t a i n e d b y i n v e r s i o n .

1 4 . 5 C o r o l l a r y . J I G i s a h y p e r b o l i c o p e n s e t , a E O G , 0 < 1 < 1 / 2 , a n d{ z C \ G : I z — a l A ' 1 } , t h e n a i s a r e g u l a r p o i n t i f a n d

o n l y i f

= 0 0 .

1 4 . 6 C o r o l l a r y . W i t h t h e n o t a t i o n o f t h e p r e c e d i n g c o r o l l a r y , i f i s t h ee q u i l i b r i u m m e a s u r e f o r t h e n a i s a r e g u l a r p o i n t o f C i f a n d o n l y i f

—

L _ — 0 0 .

P r o o f . P u t = F o r z i n K 1 , , I z — a tA ' n [ l o g n + 1

a n d s o t h e t w o s e r i e s a n d s i m u l t a n e o u s l y c o n v e r g eo r d i v e r g e . 0

N o w o b s e r v e t h a t t h e f u n c t i o n z l o g z 1 i s i n c r e a s i n g f o r 0 < z < e 1 .A d o p t i n g t h e n o t a t i o n o f t h e p r e c e d i n g c o r o l l a r y , { z 1

— A ' } a n d s o c ( A , , , ) = ( 1 0 . 6 ) . S o i fc , , l o g c ; ' A

' . T h u s t h e f o l l o w i n g c o r o l l a r yf o l l o w s f r o m C o r o l l a r y 1 4 . 5 .

1 4 . 7 C o r o l l a r y . W i t h t h e n o t a t i o n o f C o r o l l a n j 1 4 . 5 , i f =0 0 , t h e n a i s a r e g u l a r p o i n t o f G .

1 4 . 8 C o r o l l a r y . I f C i s a h y p e r b o l i c o p e n s e t , a E O G , a n d , f o r r > 0 ,

a a r e g u l a r p o i n t o f C .

P r o o f . A s s u m e t h a t a = 0 a n d p u t E r = a n d v ( r ) =l o g c ( r ) 1 . F i x A , 0 < A < 1 / 2 , a n d l e t a n d b e a s i n C o r o l l a r y1 4 . 6 a b o v e . P u t l o g s o = v ; ' q . e . o n

S u p p o s e a i s n o t a r e g u l a r p o i n t o f C a n d l e t > 0 ; i t w i l l b e s h o w nt h a t t h e u r n s u p i n t h i s c o r o l l a r y i s l e s s t h a n t h i s a r b i t r a r y e . A c c o r d i n g t oC o r o l l a r y 1 4 . 6 , < 0 0 . T h u s t h e r e i s a n i n t e g e r N s u c h t h a t

L , , , j O ) E

f o r a l l m N . F i x r < A N a n d l e t m b e s u c h t h a t A m + 1b e t h e p o s i t i v e m e a s u r e s u p p o r t e d o n E r s u c h t h a t = 1 q . e . o n E r

a n d ? i ( E r ) = v ( r ) ' . F o r e a c h n l e t ' K l o g j z — w 1 ' d i , ( z ) a n d

= N o t e t h a t w i t h = ( C \ C ) f l { z : < ) " }

l o g

f

S o <N o w q . e . o n K , a n d h e n c e =

1 q . e . o n E , . a n d l o g t z — w h O o n E , , s o f o r 1 U f t a l m o s t

a l l z i n K , , , 1 = = f E l o g j z —

T h e r e f o r e

f o r a l l n a n d s o

= f l o g I z l _ 1 d 1 1 ( z )

< ( n + i ) ( l o g A ' ) i 1 ( K , , )<

<

C o m b i n i n g t h i s w i t h p r e v i o u s i n e q u a l i t i e s w e g e t

L , 1 ( O )

=

2

n = m< 6 .

B u t b a s i c i n e q u a l i t i e s s h o w t h a t v ( r ) ' a n d s o w e h a v et h a t v ( r ) 1 l o g r ' — ' 0 a s r — , 0 . 0

1 4 . 9 C o r o l l a r y . W i t h t h e n o t a t i o n o f C o r o l l a r y 1 4 . 5 , i f i c , , = A r e a ( K , , )a n d = o c , t h e n a i s a r e g u l a r p o i n t .

P r o o f . A c c o r d i n g t o P r o p o s i t i o n 7 . 8 , c , , c ( K , , ) k , , / i r e ] " 2 . S i n c eK , , ç B ( a ; A " ) w e a l s o h a v e t h a t , c , , < 7 r A 2 " . H e n c e

— A " — v V e

T h u s a i s a r e g u l a r p o i n t b y C o r o l l a r y 1 4 . 7 . 0

N o w t o b e g i n t h e p r o o f o f W i e n e r ' s C r i t e r i o n .

1 4 . 1 0 L e m m a . I f U i i o b o u n d e d o p e n s e t , t h e n t h e r e i s a p o s i t i v e m e a s u r e

s u p p o r t e d o n O U s u c h t h a t = 1 / v ( U ) a n d = 1 o n U .P r o o f . W r i t e U a s t h e u n i o n o f a s e q u e n c e o f c o m p a c t s e t s { K , , } w i t hK , , S o c ( K , , ) I c ( U ) a n d = j v ( U ) v . L e t i i , , b e t h e

3 8 ( 3 2 1 . P o t e n t i a l T h e o r y

e q u i l i b r i u m m e a s u r e f o r a n d p u t = v ; ' v 1 , , . N o w = =v ; ' < c c . S o i s a u n i f o r m l y b o u n d e d s e q u e n c e o f p o s i t i v em e a s u r e s i n M ( c l U ) ; b y p a s s i n g t o a s u b s e q u e n c e i f n e e d e d , i t c a n b e

a s s u m e d t h a t t h e r e i s a p o s i t i v e m e a s u r e j . i o n c i U s u c h t h a t i i , , p w e a k ' .B e c a u s e s u p p p , , ç s u p p O U . A l s o v ; ' =p ( c l U ) ; t h u s p ( O U ) = v ' . F i n a l l y , f l . x a z i n U a n d p i c k m w i t h z i n m t

K m . B y ( 1 0 . 1 ) I f o r a l l n m . B u t i t i s e a s y t o u s e T i e z t e ' sE x t e n s i o n T h e o r e m t o s h o w t h a t p , p w e a k ' i n M ( c l U \ m t K m ) . S i n c e

w l o g I z— i s c o n t i n u o u s t h e r e , ( z ) — ' 0

1 4 . 1 1 L e m m a . I f 0 < A < 1 / 2 , t h e r e i s a c o n s t a n t C = C ( A ) s u c h

t h a t f o r n 1 , i f A " a n d w s a t i s f i e s e i t h e r o r 1 / 2 , t h e n — < C l o g

P r o o f . P u t L = A ' a n d d r a w c i r c l e s c e n t e r e d a t 0 w i t h r a d i iA " , a n d A " ' ; f i x z w i t h I z i A " . F i r s t , s u p p o s e I w I a n d

e x a m i n e t h e p i c t u r e t o s e e t h a t 1 w — z I — = — 1 ) . T h u s— — l ) ' < — 1 ) ' . T h u s

<

l o g ( L — 1 ) _ i< 1 +— ( n + 2 ) l o g L<— 2 i o g L

N o w s u p p o s e A " '

1 / 2 . A n o t h e r e x a m i n a t i o n o f t h e p i c t u r e

s h o w s t h a t l w — z l A ' — A " = A " ' ( 1 — A ) a n d s o ( w _ z ( — ' < L " ' ( 1 —1 w 1 ' ( l — A ) ' . T h u s

l o g f w — z J ' <—

<— l o g 2

0

P r o o f o f W i e n e r ' s C r i t e r i o n . B y t r a n s l a t i o n i t c a n b e a s s u m e d t h a t t h ep o i n t a = 0 . A l s o r e c a l l ( 1 3 . 8 ) t h a t a s e t E i s t h i c k a t 0 i f a n d o n l y i f f o r

e v e r y r > 0 , E f l r D i s t h i c k a t 0 . T h u s i n t h i s p r o o f i t s u f f i c e s t o a s s u m ew i n E . A s p o i n t e d o u t

i n t h e d i s c u s s i o n f o l l o w i n g t h e s t a t e m e n t o f ( 1 4 . 2 ) , i t c a n b e a s s u m e d t h a t

> 0 f o r a l l n . W e w i l l p r o v e t h e c o n t r a p o s i t i v e o f ( 1 4 . 2 ) .A s s u m e t h a t t h e s e r i e s ( 1 4 . 3 ) c o n v e r g e s a n d c h o o s e a n a r b i t r a r y s e q u e n c eo f p o s i t i v e n u m b e r s s u c h t h a t > . , , n e , , < c c . N o w f o r e a c h n c h o o s e

a n o p e n s e t U , , t h a t c o n t a i n s E , , s u c h t h a t c i f l { z : = 0 a n d

1 1 1

v ( E , , ) v ( U , , ) < v ' ( E , , )+ E , , .

B y L e m m a 1 4 . 1 0 f o r e a c h n t h e r e i s a p o s i t i v e m e a s u r e p , , s u p p o r t e d o n0 ( 1 , , w i t h v ( U , , ) ' a n d 1 f o r a l l z i n U , , . F o r e a c hn d e f i n e t h e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n 4 k , , — N o t e t h a t 4 ' , , i s

n e g a t i v e o nN o t e t h a t f o r a n y l a n d z i n O U k j z I a n d s o

=

fl o g I z I ' d , . L k ( z )

o u t '<

1

S I1 V

S i n c e b o t h E k k / v ( E k ) a n d c o n v e r g e , t h i s i m p l i e s t h e r e i s a n i is u c h t h a t 4 ' , , ( 0 ) > — 1 ; f i x t h i s v a l u e o f n . I f k n a n d z E E k , w h i c h i s

c o n t a i n e d i n ( 4 , t h e n 1 . S i n c e e a c h i s n o n - n e g a t i v e o n E ,t h i s s h o w s t h a t 4 ' , , — 1 o n

U E k = E f l { z : 0 < I z I : S

H e n c e £ — — 1 < 4 ' , , ( 0 ) . B y ( 1 3 . 1 0 ) , E i s t h i n a t 0 .N o w s u p p o s e t h a t E i s t h i n a t 0 ; i t c a n b e a s s u m e d t h a t 0 i s a l i m i t

p o i n t o f E . S o ( 1 3 . 8 ) t h e r e i s a p o s i t i v e m e a s u r e w i t h c o m p a c t s u p p o r tc o n t a i n e d i n b u c h t h a t < E = + c o . P u t a , , =

z E E , , } ; s o a , , — ' 0 0 . L e t 5 b e a n a r b i t r a r y p o s i t w e n u m b e r ;s i n c e i s I s c , { z : > a , — i s a n o p e n s e t c o n t a i n i n g E , , . P u t

( J , , = { z : L M ( z ) > a , , — S } f l ( z < I z i S o U , , i s a B o r e l s e tt h a t c o n t a i n s E , , ; i t s u f f i c e s t o s h o w t h a t < o o .

L e t b e a s e q u e n c e o f p o s i t i v e n u m b e r s s u c h t h a t t i e , , < o oa n d f o r e a c h n c h o o s e a c o m p a c t s u b s e t K , , o f U , , s u c h t h a t v ( K , , ) ' >

— € , , . I t i s t h e r e f o r e s u f f i c i e n t t o s h o w t h a t0 0

< ° ° •

B r e a k i n g t h i s s u m i n t o 6 s e p a r a t e s u m s , w e s e e t h a t i t s u f f i c e s t o s h o w t h a t

0 06 n + j

f o r j = 0 , 1 , . . . , 5 . T h i s w i l l b e s h o w n f o r j = 0 . ( B y o n l y c o n s i d e r i n gt h e s e r i e s c o n s i s t i n g o f e v e r y s i x t h t e r m , t h i s w i l l s e p a r a t e t h e s e t s K 6 , , ÷ ,

s u f f i c i e n t l y t h a t e s t i m a t e s s u c h a s m L e m m a 1 4 . 1 1 c a n b e a p p l i e d . ) N o t et h a t { z : n ; s o k = n + p , p 1 . T h u s A S I C

a n d s o K 6 k f l = 0 . N o w a s s u m e t h a t k < n ; s o k =n — p , p 1 . T h u s > T h i s p r o v e s t h e c l a i m . I np a r t i c u l a r , t h e s e t s a r e p a i r w i s e d i s j o i n t .

N o w K = { 0 } U i s a c o m p a c t s u b s e t o f a n d u = i s an e g a t i v e s u b h a r m o n i c f u n c t i o n t h e r e . = t h e n P r o p o s i t i o n 1 2 . 2 s a y s

t h e r e i s a p o s i t i v e m e a s u r e v s u p p o r t e d o n K s u c h t h a t = — C , , = — L , , + hf o r s o m e h a r m o n i c f u n c t i o n h o n B e c a u s e — o o < u ( 0 ) a n d h i sh a r m o n i c , L , , ( 0 ) < c o . T h u s & ' ( { O } ) 0 . W r i t e

L 1 , ( z )= f — w 1 1 d v ( t v ) + f —

K e n J C e k

A c c o r d i n g t o L e m m a 1 4 . 1 1 t h e r e i s a c o n s t a n t C d e p e n d i n g o n l y o n A s u c h

t h a t f o r z i n a n d w i n l o g j w — z f 1 T h u sf o r a l l z i n

f — w 1 ' d p ( w )

T h u s

1 4 . 1 2 L 1 , ( z ) +

fl o g — w 1 ' d v ( w ) .

B y ( 1 2 . 1 0 ) t h e r e i s a p o l a r s e t Z c o n t a i n e d i n K s u c h t h a t — L , , + h == u = o n K \ Z . L e t I h i S M o n K . T h e r e f o r e o n \ Z , L , , =

S oi f C 1 i s a n y n u m b e r w i t h C 1 — C U & ' f l c > 0 , t h e r e i s a n i n t e g e r m s u c ht h a t L , , ( z ) C , o n \ Z .

H e n c e i f i i m a n d z K s , , ( 1 4 . 1 2 ) i m p l i e s

f l o g z — w 1 ' d v ( w ) L , , ( z ) — C H v I I T h u s v ( K s , , ) ' b y T h e o r e m 1 0 . 2 . B u t f o r z i n

I z i s o t h a t l o g ( 6 n + T h e r e f o r e0 0 0 0

c l o g A - ' I K e , .l o g

1=

c l o g A '< 0 0 .

0



R e f e r e n c e s *

A b i k o f f , W . [ 1 9 8 1 ) , T h e u n i f o r m i z a t i o n t h e o r e m , A m e r M a t h M o n t h l y 8 8 ,

5 7 4 - 5 9 2 . ( 1 2 3 , 1 2 9 )A d a m s , R . A . [ 1 9 7 5 ] , S o b o l e v S p a c e s , A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k . ( 2 5 9 )

A h a r o n o v , D . 1 1 9 8 4 1 , T h e D e B r a n g e s T h e o r e m o n U n i v a l e n t F u n c t i o n s .T e c h n i o n , H a i f a . ( 1 5 6 )

A h i f o r s , L . V . [ 1 9 7 3 ] , C o n f o r m a l ! n v a ñ a n t s , M c G r a w - H i l l , N e w Y o r k . ( 1 2 3 )

A h i f o r s , L . V . , a n d A . B e u r l i n g [ 1 9 5 0 ] , C o n f o r m a l i n v a r i a n t . s a n d f u n c t i o n

t h e o r e t i c n u l l s e t s , A c t a M a t h 8 3 , 1 0 1 - 1 2 9 . ( 1 9 3 )A l e m a n , A . , S . R i c h t e r , a n d W . T . R o s s , B e r g m a n s p a c e s o n d i s c o n n e c t e dd o m a i n s , ( p r e p r i n t ) . ( 2 6 3 , 3 5 1 )

A s k e y , R . , a n d G . G a s p e r [ 1 9 7 6 ] , P o s i t i v e J a c o b i p o l y n o m i a l s u m s . A m e r JM a t h 9 8 , 7 0 9 - 7 3 7 . ( 1 5 6 , 1 5 7 )

A x i e r , S . [ 1 9 8 6 ] , H a r m o n i c f u n c t i o n s f r o m a c o m p l e x a n a l y s i s v i e w p o i n t ,

A m e r M a t h M o n t h l y 9 3 , 2 4 6 - 2 5 8 . ( 7 4 )A x i e r , S . , J . B . C o n w a y , a n d C . M c D o n a l d [ 1 9 8 2 ] , T o e p l i t z o p e r a t o r s o nB e r g m a n s p a c e s , C a n a d i a n M a t h J 3 4 , 4 6 6 - 4 8 3 . ( 3 5 1 )

B a e r n s t e i n , A . , e t a l , T h e B i e b e r b a c h C o n j e c t u r e , A m e r M a t h S o c , P r o v i -d e n c e . ( 1 3 3 )

B a g b y , T . [ 1 9 7 2 ) , Q u a s i t o p o l o g i e s a n d r a t i o n a l a p p r o x i m a t i o n , 3 F u n c t

A n a l y s i s 1 0 , 2 5 9 - 2 6 8 . ( 1 7 3 , 2 6 3 )B e l l , S . R . , a n d S . C . K r a n t z [ 1 9 8 7 ] , S m o o t h n e s s t o t h e b o u n d a r y o f c o n f o r m a lm a p s , R o c k y M o u n t a i n J M a t h 1 7 , 2 3 - 4 0 . ( 5 5 )

B e r g m a n , S . ( 1 9 4 7 ) , S u r l e s f o n c t i o n s o r t h o g o n a l e s d e p l u s i e r s v a r i a b l e sc o m p l e x e s a v e c l e a a p p l i c a t i o n s a I a t h e o r i e d e s f o n c t i o n s a n a l y t i q u e s , G a u t h i e r -V i l l a r s , P a r i s . ( 1 6 9 )

B e r g m a n , S . [ 1 9 5 0 ] , T h e k e r n e l f u n c t i o n a n d c o n f o r m a l m a p p i n g , M a t hS u r v e y s V , A m e r M a t h S o c , P r o v i d e n c e . ( 1 6 9 )

B e r s , L . [ 1 9 6 5 1 , A n a p p r o x i m a t i o n t h e o r e m , J A n a l y s e M a t h 1 4 , 1 - 4 . ( 1 7 3 )

B e u r l i n g , A . ( 1 9 3 9 ] , e x c e p t i o n n e l s , A c t a M a t h 7 2 , 1 - 1 3 . ( 3 3 4 )

T h e n u m b e r s f o l l o w i n g e a c h r e f e r e n c e i n d i c a t e t h e p a g e o n w h i c h t h e r e f e r e n c ei s c i t e d .




B e u r l i n g , A . ( 1 9 4 9 1 , O n t w o p r o b l e m s c o n c e r n i n g l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s i nH u b e r t s p a c e , A c t a M a t h 8 1 , 2 3 9 - 2 5 5 . ( 2 9 0 )

d e B r a n g e s , L . [ 1 9 8 5 ] , A p r o o f o f t h e B i e b e r b a c h c o n j e c t u r e , A c t a M a t h

1 5 4 , 1 3 7 - 1 5 2 . ( 6 4 , 1 3 2 )B r e l o t , M . [ 1 9 5 9 ] , E l e m e n t s d e I a t h e o r i e c l a s s i q u e d u p o t e n t i a l , C e n t r e d eD o c u m e n t a t i o n U n i v e r s i t a i r e , P a r i s . ( 2 3 4 , 3 0 1 , 3 6 4 , 3 6 7 , 3 7 6 )

B r e n n a n , J . E . [ 1 9 7 7 ] , i n t h e m e a n b y p o l y n o m i a L s o n n o n -C a r a t h d d o r y d o m a i n s , A r k M a t h 1 5 , 1 1 7 - 1 6 8 . ( 1 7 3 )

C a r l e s o n , L . ( 1 9 6 2 ] , I n t e r p o l a t i o n b y b o u n d e d a n a l y t i c f u n c t i o n s a n d t h e

c o r o n a p r o b l e m , A n n M a t h ( 2 ) 7 6 . 5 4 7 - 5 5 9 . ( 2 9 5 )C a r l e s o n , L . ( 1 9 6 6 1 , O n t h e c o n v e r g e n c e a n d g r o w t h o f p a r t i a l s u m s o fF o u r i e r s e r i e s , A c t a M a t h 1 1 6 , 1 3 5 - 1 5 7 . ( 1 9 9 )

C a r l e s o n , L . 1 1 9 6 7 1 , S e l e c t e d P r o b l e m s o n E x c e p t i o n a l S e t s , V a n N o s t r a n d ,P r i n c e t o n . ( 2 3 4 , 3 0 1 , 3 3 3 , 3 3 4 , 3 4 4 , 3 5 1 , 3 7 7 )

C h o q u e t , C . [ 1 9 5 5 ] , T h e o r y o f c a p a c i t i e s , A n n I n s t F o u r i e r 5 , 1 3 1 - 2 9 5 . ( 2 3 4 ,

3 3 3 )C i m a , J . , a n d M a t h e s o n [ 1 9 8 5 J , A p p r o x z m a t i o n i n t h e m e a n b y p o l y n o m i a l s ,R o c k y M o u n t a i n J M a t h 1 5 , 7 2 9 - 7 3 8 . ( 1 7 3 )

C o l l i n g w o o d , E . F . , a n d A . J . L o h w a t e r [ 1 9 6 6 ] , T h e T h e o r y o f C l u s t e r S e t s ,C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e . ( 4 4 )

C o n w a y , J . B . [ 1 9 8 6 ] , F u n c t i o n s o f O n e C o m p l e x V a r i a b l e , S p r i n g e r - V e r l a g ,N e w Y o r k .

C o n w a y , J . B . [ 1 9 7 3 ] , A c o m p l e t e B o o l e a n o i g e b r n o f s u b s p a c e s w h i c h i s n o tr e f l e x i v e , B u l l A m e r M a t h S o c 7 9 , 7 2 0 - 7 2 2 . ( 2 9 5 )

C o n w a y , J . B . [ 1 9 9 0 1 , A C o u r s e i n F u n c t i o n a l A n a l y s i s , S p r i n g e r - V e r l a g ,N e w Y o r k . ( 1 6 9 , 1 7 4 , 1 8 5 )

C o n w a y , J . B . [ 1 9 9 1 ] , T h e T h e o r y o f S u b n o r m a l O p e r a t o r s , A m e r M a t h S o cS u r v e y s 3 6 , P r o v i d e n c e . ( 1 9 7 , 2 9 0 , 2 9 3 , 3 3 3 , 3 5 4 )

D u r e n , P . L . [ 1 9 7 0 ] , T h e o r y o f S p a c e s , A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k . ( 2 6 9 ,2 9 1 )

E v a n s , L . C . , a n d R F . G a r i e p y [ 1 9 9 2 ] , M e a s u r e T h e o r y a n d F i n e P r o p e r t i e so f F u n c t i o n s , C R C P r e s s , B o c a B a t o n . ( 2 5 9 )

F a r r e l l , O . J . [ 1 9 3 4 ] , O n a p p r o x i m a t i o n t o a n a n a l y t i c f u n c t i o n b y p o l y n o -m i a l s , B u l l A m e r M a t h S o c 4 0 , 9 0 8 - 9 1 4 . ( 1 7 2 )

F i s h e r , S . D . [ 1 9 8 3 ] , F u n c t i o n T h e o r y o n P l a n a r D o m a i n s , W i l e y , N e w Y o r k .( 1 2 9 )



3 8 6 R e f e r e n c e s

F i s h e r , Y . , J . H . H u b b a r d , a n d B . S . W i t t n e r [ 1 9 8 8 1 , A p r o o f o f t h e u n i -f o r m i z a t i o n t h e o r e m f o r a r b i t r a r y p l a n e d o m a i n s , P r o c A m e r M a t h S o c

1 0 4 , 4 1 3 - 4 1 8 . ( 1 2 9 )

F i t z g e r a l d , C . H . , a n d C . P o m x n e r e n k e [ 1 9 8 5 ) , T h e d e B r a n g e s T h e o r e m o nu n i v a l e n t f u n c t i o n s , T r a n s A m e r M a t h S o c 2 9 0 , 6 8 3 - 6 9 0 . ( 1 3 3 , 1 6 0 )

F o r d , L . R . ( 1 9 7 2 ) , A u t o m o i p h i c F u n c t i o n s , C h e l s e a P u b I . C o . , N e w Y o r k .

( 1 2 3 )

F r o s t m a n , 0 . [ 1 9 3 5 1 , P o t e n t i a l d ' é q u ü i b r e e t c a p a c i t é d e s e n s e m b l e s , L u n dU n i v e r i s i t y S e m 3 . ( 2 3 4 , 3 3 6 )

G a m e l i n , T . W . [ 1 9 6 9 ] , U n i f o r m A l g e b r a s , P r e n t i c e H a l l , E n g l e w o o d C l i f f s ,N J . ( 1 9 7 )

G a m e l i n , T . W . , a n d D . K h a v i n s o n [ 1 9 8 9 ) , T h e i s o p e r i r n e t r t c i n e q u a l i t y a n dr a t i o n a l a p p r o x i m a t i o n , A m e r M a t h M o n t h l y 9 6 , 1 8 - 3 0 . ( 1 9 3 )

C a r n e t t , J . [ 1 9 8 1 ] , B o u n d e d A n a l y t i c F u n c t i o n s , A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k .( 2 9 3 )

G o l u z i n , G . M . [ 1 9 6 9 ] , G e o m e t n c T h e o r y o f F u n c t i o n s o f a C o m p l e x V a r i -a b l e , A m e r M a t h S o c T r a n s l a t i o n s 2 6 , P r o v i d e n c e . ( 9 0 , 1 3 4 , 3 5 9 )

H a y m a n , W . K . , a n d P . S . K e n n e d y ( 1 9 7 6 ] , S u b h a r m o n i c F u n c t i o n s , A c a -d e m i c P r e s s , N e w Y o r k . ( 2 3 4 )

H e d b e r g , L . I . [ 1 9 7 2 a j , A p p r o x i m a t i o n i n t h e m e a n b y a n a l y t i c f u n c t i o n s ,T r a n s A m e r M a t h S o c 1 6 3 , 1 5 7 - 1 7 1 . ( 1 7 1 , 1 7 3 , 3 5 1 )

H e d b e r g , L . I . [ 1 9 7 2 b ] , N o n - l i n e a r p o t e n t i a l s a n d a p p r o x i m a t i o n i n t h e m e a nb y a n a l y t i c f u n c t i o n s , M a t h Z 1 2 9 , 2 9 9 - 3 1 9 . ( 1 7 3 , 2 3 4 , 3 5 1 , 3 7 6 )

H e d b e r g , L . I . [ 1 9 9 3 ] , A p p r o x i m a t i o n b y h a r m o n i c f u n c t i o n s a n d s t a b i l i t y o ft h e D i r i c h l e t p r o b l e m , E x p o M a t h 1 1 , 1 9 3 - 2 5 9 . ( 1 7 3 , 3 7 6 )

H e m s , M . 1 1 9 4 6 1 , O n t h e n u m b e r o f i - i d i r e c t l y c o n f o r m a l m a p s w h i c h am u l t i p l y - c o n n e c t e d p l a n e r e g i o n o f f i n i t e c o n n e c t i v i t y p ( > 2 ) a d m i t s o n t o

i t s e l f , B u l l A m e r M a t h S o c 5 2 , 4 5 4 - 4 5 7 . ( 9 7 )

H e l m s , L . L . [ 1 9 7 5 ) , I n t r o d u c t i o n t o P o t e n t i a l T h e o r y , R o b e r t E . K r e i g e rP u b ! . C o . , H u n t i n g t o n , N Y . ( 2 3 4 , 3 0 1 , 3 3 4 , 3 6 7 , 3 6 8 , 3 7 6 )

H i l l e , E . [ 1 9 6 2 ) , A n a l y t i c F u n c t i o n T h e o r y , G i n n a n d C o . , B o s t o n . ( 3 5 9 )

H o c k i n g , J . G . , a n d G . S . Y o u n g ( 1 9 6 1 ) , T o p o l o g y , A d d i s o n - W e s l e y , R e a d i n gM A . ( 4 8 )

H o f f m a n , K . ( 1 9 6 2 ] , B a n a c h S p a c e s o f A n a l y t i c F u n c t i o n s , P r e n t i c e - H a l l ,E n g l e w o o d N J . ( 2 6 9 )

H u n t , R . A . [ 1 9 6 7 ] , O n t h e c o n v e r g e n c e o f F o u r i e r s e r i e s , o r t h o g o n a l e x p a n -




i ' n n t h i n o u s a n a l o q i e s , P r o c C o n f e r e n c e ° a t E d w a r d s v i l l e , 1 1 1 ,S o u t h e r n I l l i n o i s t j m v . P r e s s , 2 3 5 - 2 5 5 , C a r b o n d a l e , I L . ( 1 9 9 )

J e n k i n s , J . A . [ 1 9 9 1 ) , O n a n a l y t i c p a t h s , C o n s t a n t i n e C a r a t h é o d o r y : A n I n -t e r n a t i o n a l T r i b u t e , e d i t e d b y T h . M . R a s s i a s , W o r l d S c i e n t i f i c P u b ! . C o . ,5 4 8 - 5 5 3 . ( 2 1 )

K a t z n e l s o n , Y . ( 1 9 7 6 1 , A n I n t r o d u c t i o n t o H a r m o n i c A n a l y s i s , D o v e r , N e wY o r k . ( 1 9 9 , 2 0 3 )

K o o s i s , P . [ 1 9 8 0 ] , I n t r o d u c t i o n t o s p a c e s , L o n d o n M a t h S o c L e c t u r eN o t e s 4 0 , C a m b r i d g e U n i v . P r e s s , C a m b r i d g e . ( 2 6 9 )

L a n d k o f , N . S . [ 1 9 7 2 ] , F o u n d a t i o n s o f M o d e r n P o t e n t i a l T h e o r y , S p r i n g e r -V e r l a g , h e i d e l b e r g . ( 2 3 4 , 3 0 1 , 3 3 3 , 3 3 4 , 3 4 4 , 3 7 6 )

L a n g , S . [ 1 9 8 5 ] , S L 2 ( R ) , S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k . ( 1 2 3 )

L i n d b e r g , P . 1 1 9 8 2 1 , A c o n s t r u c t i v e m e t h o d f o r b y a n a -l y t i c f u n c t i o n s , A r k M a t h 2 0 , 6 1 - 6 8 . ( 1 7 3 )

M a r k u s e v i c , A . I . [ 1 9 3 4 ] , C o n f o n n a l m a p p i n g o f r e g i o n s w i t h v a r i a b l e b o u n d -

a r ' j a n d a p p l i c a t i o n s t o t h e a p p r o x i m a t i o n o f a n a l y t i c f u n c t i o n s b y p o l y n o -m i a l s , D i s s e r t a t i o n , M o s k o w . ( 1 7 2 )

M a s s e y , W . S . [ 1 9 6 7 ] , A l g e b r a i c T o p o l o g y : A n I n t r o d u c t i o n , H a r c o u r t , B r a c e ,& W o r l d , N e w Y o r k . ( 1 1 0 )

M e r g e i j a n , S . N . [ 1 9 5 3 J , O n t h e c o m p l e t e n e s s o f s y s t e m s o f a n a l y t i c f u n c -t i o n s , U s p e k i M a t h N a u k 8 , 3 - 6 3 . A l s o , A m e r M a t h S o c T r a n s l a t i o n s

1 9 ( 1 9 6 2 ) , 1 0 9 - 1 6 6 . ( 1 7 3 )

M e y e r s , N . [ 1 9 7 5 ) , C o n t i n u i t y p r o p e r t i e s o f p o t e n t i a l s , D u k e M a t h J 4 2 ,1 5 7 - 1 6 6 . ( 3 7 2 )

M i n d a , C . D . [ 1 9 7 7 ] , R e g u l a r a n a l y t i c a r c s a n d c u n e s , C o l l o q M a t h 3 8 ,7 3 - 8 2 . ( 2 1 )

M o z z o c b i , C . J . [ 1 9 7 1 ) , O n t h e P o i n t w i s e C o n v e r g e n c e o f F o u r i e r s e r i e s ,S p r i n g e r - V e r l a g L e c t u r e N o t e s 1 9 9 , B e r l i n . ( 1 9 9 )

N e h a r i , Z . [ 1 9 7 5 ] , C o n f o r m a l M a p p i n g , D o v e r , N e w Y o r k . ( 1 3 4 )

N e w m a n , M . H . A . [ 1 9 6 4 ] , E l e m e n t s o f t h e t o p o l o g y o f p l a n e s e t s o f p o i n t s ,C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e . ( 6 )

O h t s u k a , M . [ 1 9 6 7 J , D i n c h l e t P r o b l e m , E z t r e r n a l L e n g t h a n d P r i m e E n d s ,V a n N o s t r a n d R e i n h o l d , N e w Y o r k . ( 4 4 )

P f i u g e r , A . ( 1 9 6 9 ] , L e c t u r e s o n C o n f o r m a l M a p p i n g , L e c t u r e N o t e s f r o mI n d i a n a U n i v e r s i t y . ( 1 2 9 )

P o m m e r e n k e , C . [ 1 9 7 5 ] , U n i v a l e n t F u n c t i o n s , V a n d e n h o e c k & R u p r e c h t ,



3 8 8 R e f e r e n c e s

G o t t i n g e n . ( 3 3 , 4 9 , 1 4 6 )

R a d ó , T . [ 1 9 2 2 ) , Z t t r T h e o r i e d e r m e h r d e u t i g e n k o n f o n n e n A b b i l d u n g e n ,A c t a M a t h S c i S z e g e d 1 , 5 5 - 6 4 . ( 1 0 7 )

R i c h t e r , S . , W . T . R o s s , a n d C . S u n d b e r g [ 1 9 9 4 ] , H y p e r i n v o r i a n t i u b s p a c e so f t h e h a r m o n i c D i r i c h l e t s p a c e , J R e i n e A n g e w M a t h 4 4 8 , 1 - 2 6 . ( 3 3 4 )

R u b e ! , L . A . , a n d A . L . S h i e l d s [ 1 9 6 4 ) , B o u n d e d a p p r o z i m a t i o n b y p o l y n o r n i -a l s , A c t a M a t h 1 1 2 , 1 4 5 - 1 6 2 . ( 1 7 3 )

S a r a s o n , D . [ 1 9 6 5 ] , A r e m a r k o n t h e V o l t e m i o p e r a t o r , J M a t h A n a l A p p i1 2 , 2 4 4 - 2 4 6 . ( 2 9 5 )

S p r a k e r , J . S . [ 1 9 8 9 ] , N o t e o n a r c l e n g t h a n d h a r m o n i c m e a s u r e , P r o c A m e rM a t h S o c 1 0 5 , 6 6 4 - 6 6 5 . ( 3 1 1 )

S t o u t . E . L . [ 1 9 7 1 1 , T h e T h e o r , d o f U n i f o r m A l g e b r a s , B o g d e n a n d Q u i g l e y ,T a r r y t o w n . ( 1 9 7 )

S z e g ö , G . [ 1 9 5 9 ] , O r t h o g o n a l P o l y n o m i a l s , A m e r M a t h S o c , P r o v i d e n c e .( 1 5 6 , 1 5 7 )

T s u j i , M . [ 1 9 7 5 ] , P o t e n t i a l T h e o r y i n M o d e r n F u n c t i o n T h e o r y , C h e l s e a ,N e w Y o r k . ( 3 4 4 )

V e e c h , W . A . [ 1 9 6 7 ) , A S e c o n d C o u r s e i n C o m p l e x A n a l y s i s , W . A . B e n -j a m i n , N e w Y o r k . ( 1 2 9 )

W e i n s t e i n , L . [ 1 9 9 1 ] , T h e B i e b e r b a c h c o n j e c t u r e , I n t e r n a t i o n a l R e s e a r c h J( D u k e M a t h J ) 5 , 6 1 - 6 4 . ( 1 3 3 )

W e r m e r , J . [ 1 9 7 4 ] , P o t e n t i a l T h e o r y , S p r i n g e r - V e r l a g L e c t u r e N o t e s 4 0 8 ,B e r l i n . ( 2 3 4 , 3 0 1 )

W h y b u r n , G . T . [ 1 9 6 4 ] , T o p o l o g i c a l A r & o i y s i . s , P r i n c e t o n U n i v . P r e s s , P r i n c e -t o n . ( 3 )



L i s t o f S y m b o l s

1 1 8 5

1 O L , O L 1 8 6

i n s 7 3 P V , , 1 8 7

o u t i ' 3 1 8 9

C ( X ) 6 1 9 2

C ' ( G ) 6 1 9 2

s u p p f 7 R ( K ) 1 9 6

O f , O f 7 2 0 5f f d A 9 2 2 3

1 5 2 2 9

1 7 H ( K ) 2 3 5f # 1 7 2 3 7a . e . 2 2 i t 2 3 8n . t . 2 3 i t 2 3 8C I u ( f ; a ) 3 1 1 1 G 2 3 8C l u r ( f ; a ) 4 5 u c 2 3 81 ( p ) 4 5 S ( G ) 2 4 11 1 ( p ) 4 6 2 4 1

H ' 5 1 H b ( C ) 2 4 65 7 2 5 9

U 5 7 0

$ 6 2W ? 2 6 1

f ( u c ) 8 6( u , v ) G 2 6 1

2 6 9o s c ( f ; E ) 1 0 0A u t ( C , r ) M , , ( r , f ) 2 6 9

N 2 7 37 r ( G ) 1 1 2

A 2 8 6I I 1 1 62 9 0P 1 3 5

£ 1 3 7P P ( j t ) 2 9 5

2 9 63 0 1( a . ø )

1 5 63 0 2

1 6 93 0 5

1 6 93 1 1

1 6 9 3 1 2P " ( G ) 1 7 03 1 2

1 7 0 r o b ( K ) 3 1 31 7 8

C 0 ( C ) 1 7 8C , . 1 3 1 5

M C ( E ) 3 3 13 3 1i r P

A 1 8 03 3 23 3 2

V ( G ) 1 8 5 1 ( u ) 3 3 2



3 9 0 L i s t o f S y m b o l s

v ( E ) 3 3 2 3 5 6c ( E ) 3 3 2 3 5 7q . e . 3 3 2 3 6 0

L j 3 3 3 3 6 0I r ( J A ) 3 3 3 1 3 6 8V r ( E ) 3 3 3 U 3 6 8

c ( E ) 3 7 6r e m ( G ) 3 4 4 v * ( E ) 3 7 6



I n d e x

a 0 - l i f t 1 1 0a 0 - l i f t i n g 1 1 0a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s f u n c t i o n 5 2a c c e s s i b l e p r i m e e n d 4 6a l m o s t e v e r y w h e r e 2 2a n a l y t i c c o v e r i n g s p a c e 1 0 9 , 1 1 3 ,

1 1 4a n a l y t i c c u r v e 2 0

a n a l y t i c i n a n e i g h b o r h o o d o fi n f i n i t y 3 0a n a l y t i c J o r d a n r e g i o n 2 0 , 8 2a p p r o a c h n o n - t a n g e n t i a l l y 2 3A r e a T h e o r e m 5 7A u i n a n n - C a r a t h e o d o r y R i g i d i t y T h e -

o r e m 1 3 1a u t o m o r p b i s m ( o f a n a l y t i c c o v e r -

i n g s p a c e s ) 1 1 4a u t o m o r p h i s m ( o f c o v e r i n g s p a c e s )

1 1 1

b a l a y a g e 3 6 0b a r r i e r 2 5 3B e r g m a n s p a c e 3 4 4B e u r l i n g ' s T h e o r e m 2 9 0B i e b e r b a c h c o n j e c t u r e 6 3 , 1 4 8B l a s c h k e p r o d u c t 2 7 4B l a s c h k e s e q u e n c e 2 7 3b o u n d e d c h a r a c t e r i s t i c 2 7 3

b o u n d e d m e a s u r e 1 8 7b o u n d e d v a r i a t i o n 5 2 , 2 1 1b o u n d e d l y m u t u a l l y a b s o l u t e l y c o n -

t i n u o u s 3 0 4 , 3 1 0B r e l o t ' s T h e o r e m 3 0 6

C a n t o r s e t 3 4 2 , 3 4 4C a n t o r t e r n a r y s e t 3 4 4c a p a c i t y 3 5 3C a r a t h é o d o r y K e r n e l T h e o r e m 8 9C a r a t h é o d o r y r e g i o n 1 7 1

C a u c h y t r a n s f o r m 1 9 2

C a u c h y - G r e e n F o r m u l a 1 0C a u c h y - R i e m a n n e q u a t i o n s 7C e s à r o m e a n s 1 9 9

C h a i n R u l e 7C h o q u e t c a p a c i t y 3 3 3

c i r c u l a r r e g i o n 1 0 0c i r c u l a r l y s l i t a n n u l u s 9 1c i r c u l a r l y s l i t d i s k 9 7

c l a s s i c a l s o l u t i o n o f t h e D i r i c h l e tp r o b l e m 2 3 7c l u s t e r s e t 3 1c o n d u c t o r p o t e n t i a l 3 3 6c o n f o r m a l e q u i v a l e n c e 4 1c o n j u g a t e d i f f e r e n t i a l 1 5C o n t i n u i t y P r i n c i p l e 2 3 3c o n v e r g e s u n i f o r m l y o n c o m p a c t a

8 5c o n v e x f u n c t i o n 2 2 5 , 2 2 8c o n v o l u t i o n 1 7 9 , 1 8 0 , 1 8 4c o r n u c o p i a 1 7 1

C o r o n a T h e o r e m 2 9 5c o v e r i n g s p a c e 1 0 9c r o s s c u t 3 3

c u r v e g e n e r a t i n g s y s t e m 7 1d e B r a n g e s ' s T h e o r e m 1 6 0d e c r e a s i n g s e q u e n c e o f f u n c t i o n s

2 1 8D i r i c h l e t P r i n c i p l e 2 6 4D i r i c h i e t p r o b l e m 7 9 , 2 3 7 , 2 6 7 , 3 6 7D i r i c h i e t r e g i o n 2 3 7

D i r i c h i e t s e t 2 3 7d i s k a l g e b r a 2 8 6D i s t o r t i o n T h e o r e m 6 5d i s t r i b u t i o n 1 8 5

e n e r g y i n t e g r a l 3 3 2e q u i l i b r i u m m e a s u r e 3 3 6 , 3 5 2 , 3 6 7e q u i v a l e n t z e r o - c h a i n s 4 0

F a n d M R i e s z T h e o r e m 2 8 3



3 9 2 I n d e x

F a c t o r i z a t i o n T h e o r e m 2 8 0F a t o u ' s T h e o r e m 2 1 2F e j e r ' s k e r n e l 2 0 0f i n e t o p o l o g y 3 6 8f i n e l y c l o s e d 3 6 8f i n e l y c o n t i n u o u s 3 6 8

f i n e l y o p e n 3 6 8f i n i t e m e a s u r e 1 7 8f i n i t e l y c o n n e c t e d 7 1F o u r i e r c o e f f i c i e n t s 1 9 8F o u r i e r s e r i e s 1 9 8

F o u r i e r t r a n s f o r m 1 9 8f r e e a n a l y t i c b o u n d a r y a r c 1 8f u n c t i o n o f b o u n d e d c h a r a c t e r i s -

t i c 2 7 3f u n c t i o n o f b o u n d e d v a r i a t i o n 2 8 5f u n d a m e n t a l g r o u p 1 1 2 , 1 1 5f u n d a m e n t a l n e i g h b o r h o o d 1 0 9

G e n e r a l i z e d D i s t o r t i o n T h e o r e m6 8G r e a t P i c a r d T h e o r e m 1 2 5g r e a t e s t c o m m o n d i v i s o r 2 9 4g r e a t e s t h a r m o n i c m i n o r a n t 2 4 5G r e e n c a p a c i t y 3 3 4 . 3 4 4G r e e n f u n c t i o n 2 4 6 , 2 5 0 . 2 5 2 , 3 0 9 ,

3 2 8

G r e e n p o t e n t i a l 3 1 6 . 3 6 1 . 3 6 5G r e e n ' s T h e o r e m 9

H a r d y s p a c e 2 6 9h a r m o n i c a t i n f i n i t y 2 3 7h a r m o n i c b a s i s 7 4h a r m o n i c c o n j u g a t e 1 5h a r m o n i c m a j o r a n t 2 4 5h a r m o n i c m e a s u r e 7 4 , 3 0 2 , 3 1 2 ,

3 5 5h a r m o n i c m e a s u r e z e r o 3 2 0 , 3 3 1 ,

3 4 0h a r m o n i c m o d i f i c a t i o n 2 2 6h a r m o n i c a l l y m e a s u r a b l e 3 2 1

H a r t o g s - R o s e n t h a l 1 9 7

H a u s d o r f f m e a s u r e 3 4 4H e r g l o t z ' s T h e o r e m 2 0 9 , 2 1 0h o m o g e n e o u s s p a c e 2 0 3

h o m o m o r p h i s m ( o f a n a l y t i cc o v e r i n g s p a c e s ) 1 1 3

h o m o m o r p h i s m ( o f c o v e r i n g s p a c e s )1 1 1

h y p e r b o l i c s e t 2 4 8 , 2 5 0 , 2 5 6 , 3 0 1

i m p r e s s i o n o f a p r i m e e n d 4 5i n c r e a s e d f u n c t i o n 3 6 0m i t e m e a s u r e 1 7 8i n n e r c i r c l e 9 1i n n e r f u n c t i o n 2 7 8

i n s i d e o f a c r o s s c u t 3 4i n s i d e o f c u r v e 3I n v a r i a n c e o f D o m a i n T h e o r e m 1 0 7i n v a r i a n t s u b s p a c e 2 9 0i r r e g u l a r p o i n t s 3 3 0 , 3 4 0i s o m o r p h i s m ( o f a n a l y t i c c o v e r i n g

s p a c e s ) 1 1 4i s o m o r p h i s m ( o f c o v e r i n g s p a c e s )

1 1 1

J a c o b i p o l y n o m i a l s 1 5 6J a n i s z e w s k i ' s T h e o r e m 4 9J e n s e n ' s I n e q u a l i t y 2 2 5J o r d a n c u r v e 2

J o r d a n C u r v e T h e o r e m 3J o r d a n d o m a i n 2 0

J o r d a n r e g i o n 2 0 , 5 1 , 7 6

k e r n e l 8 5K o e b e 1 / 4 - T h e o r e m 6 4 , 1 3 7R o e b e D i s t o r t i o n T h e o r e m 6 5K o e b e f u n c t i o n 3 3 , 6 7 , 1 4 6

L a n d a u ' s T h e o r e m 1 2 7

l a t t i c e 2 9 3l e a s t c o m m o n m u l t i p l e 2 9 4l e a s t h a r . n o n i c m a j o r a n t 2 4 5L e b e d e v - M i l i n I n e q u a l i t y 1 5 0L e i b n i z ' s r u l e 1 8 3L i t t l e P i c a r d T h e o r e m 1 2 4L i t t l e w o o d ' s S u b o r d i n a t i o n T h e -

o r e m 2 7 2

l o c a l l y c o n n e c t e d 4 8l o c a l l y f i n i t e c o v e r 1 7 5l o c a l l y i n t e g r a b l e 1 8 0



I n d e x 3 9 3

L o e w n e r c h a i n 1 3 6L o e w n e r ' s d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n 1 4 6l o g i n t e g r a b l e f u n c t i o n 2 7 7l o g a r i t h m i c c a p a c i t y 3 3 2 , 3 5 7

l o g a r i t h m i c p o t e n t i a l 2 2 9l o o p 3 , 1 1 0l o w e r P e r r o n f a m i l y 2 3 8l o w e r P e r r o n f u n c t i o n 2 3 7l o w e r s e m i c o n t i n u o u s 2 1 7l s c 2 1 7

M a x i m u m P r i n c i p l e 2 7 , 2 2 1 , 2 3 3 ,3 3 9

m e a s u r e 1 7 8m e a s u r e z e r o 2 2M i l i n ' s c o n j e c t u r e 1 4 9M ö b i u s t r a n s f o r m a t i o n 2 9 , 3 0

m o d u l a r f u n c t i o n 1 2 2m o d u l a r g r o u p 1 1 6

m o d u l a r t r a n s f o r m a t i o n 1 1 6m o l l i f i c a t i o n 1 8 1m o l l i f i e r 1 8 1M o n t e l - C a r a t h é o d o r y T h e o r e m 1 2 4m u t u a l l y a b s o l u t e l y c o n t i n u o u s 3 0 2 .

3 0 4 , 3 1 0

N e v a n l i n n a c l a s s 2 7 3

n o n - d e g e n e r a t e r e g i o n 7 1n o n - t a n g e n t i a l l i m i t 2 2 , 2 6n - c o n n e c t e d 7 1n - J o r d a n r e g i o n 2 0n . L c o n v e r g e n c e 2 1 1

o s c i l l a t i o n o f a f u n c t i o n 1 0 0o u t e r b o u n d a r y 2 0

o u t e r c a p a c i t y 3 7 6o u t e r c i r c l e 9 1o u t e r f u n c t i o n 2 7 8

o u t s i d e o f a c r o s s c u t 3 4o u t s i d e o f c u r v e 3

p a r a b o l i c s e t 2 4 8 , 3 2 5p a r a c o m p a c t 1 7 5

p a r t i t i o n o f u n i t y 1 7 6 . 1 8 2p e a k s a t a p o i n t 3 7 3

p e r i o d s o f a h a r m o n i c f u n c t i o n 7 2

P o i n c a r é I n e q u a l i t y 2 6 1P o i s s o n k e r n e l 2 0 5p o l a r s e t 3 2 3 , 3 2 5 , 3 3 0 , 3 3 4 , 3 4 0 ,

3 4 7 , 3 6 9 , 3 7 4p o s i t i v e d i s t r i b u t i o n 1 9 0p o s i t i v e J o r d a n s y s t e m 3p o s i t i v e m e a s u r e 1 7 8p o s i t i v e l y o r i e n t e d 3

p r i m e e n d 4 1p r i m i t i v e 1 4p r i n c i p a l p o i n t 4 6

p r o p e r m a p 8 4q u a s i - e v e r y w h e r e 3 3 2

q - c a p a c i t y 3 5 1

r a d i a l c l u s t e r s e t 4 5r a d i a l l i m i t 2 2r e f i n e m e n t 1 7 5 , 3 6 0

R e f l e c t i o n P r i n c i p l e 1 7r e g u l a r p o i n t 2 5 6 , 3 2 8 , 3 5 7 , 3 7 5 .3 7 7 , 3 7 8

r e g u l a r i z a t i o n 1 8 1r e g u l a r i z e r 1 8 1r e m o v a b l e s i n g u l a r i t y 3 4 4

R i e m a n n m a p 4 9 . 5 0R i e s z D e c o m p o s i t i o n T h e o r e m 2 3 2 ,

3 1 8R o b e r t s o n ' s c o n j e c t u r e 1 4 8R o b i n c o n s t a n t 3 1 1 . 3 3 2 . 3 5 0 s

R u n g e ' s T h e o r e m 1 9 5r - l o g a r i t h m i c c a p a c i t y 3 3 1

S c h l i c h t f u n c t i o n 6 0S c h o t t k y ' s T h e o r e m 1 2 3 s

S c h w a r z ' s L e m m a 1 3 0S e c t o r i a l L i m i t T h e o r e m 2 5s e p a r a t e d s e t s 3S e p a r a t i o n T h e o r e m 3

s i m p l e b o u n d a r y p o i n t 5 2s i m p l e c l o s e d c u r v e 2s i m p l y c o n n e c t e d 1s i n g u l a r i n n e r f u n c t i o n 2 7 8s i n g u l a r i t y a t ( i n f i n i t y ) 3 0s l i t d o m a i n 8 4



3 9 4 I n d e x

s m o o t h c u r v e 3S o b o [ e v s p a c e 2 5 9s o l u t i o n o f t h e D i r i c h i e t p r o b l e m

2 4 0 , 2 6 7 , 3 6 7s o l v a b l e f u n c t i o n 2 4 0 , 3 0 6

s o l v a b l e s e t 2 4 0 , 2 5 6S t o l z a n g l e 2 3 , 2 1 1s t r i n g o f b e a d s 3 0 5s u b h a n n o n i c f u n c t i o n 2 2 0 , 2 3 1 , 2 3 2 ,

2 4 8s u b o r d i n a t e f u n c t i o n 1 3 4

s u b o r d i n a t e p a r t i t i o n o f u n i t y 1 7 6S u b o r d i n a t i o n 1 3 3s u m m a t i o n b y p a r t s f o r m u l a 1 5 5s u p e r h a r r n o n i c f u n c t i o n 2 2 0

s u p p o r t o f a f u n c t i o n 7s w e e p o f a m e a s u r e 3 1 1S w i s s C h e e s e 1 9 8S z e g o ' s T h e o r e m 2 9 8

T a y l o r ' s F o r m u l a 8T c h e b y c h e f f c o n s t a n t 3 5 9T c h e b y c h e f f p o l y n o m i a l 3 5 9

t e s t f u n c t i o n 1 8 5t h i c k a t a p o i n t 3 6 9t h i n a t a p o i n t 3 6 9

t r a n s f i n i t e d i a m e t e r 3 5 7t r a n s i t i o n f u n c t i o n 1 3 9t r i g o n o m e t r i c p o l y n o m i a l 1 9 8

U n i f o r m i z a t i o n T h e o r e m 1 2 3 , 1 2 5u n i v a l e n t f u n c t i o n 3 2u n i v e r s a l a n a l y t i c c o v e r i n g 1 2 5u n i v e r s a l c o v e r i n g s p a c e 1 1 2

u p p e r P e r r o n f a m i l y 2 3 8u p p e r P e r r o n f u n c t i o n 2 3 8u p p e r s e r n i c o n t i n u o u s 2 1 7u s c 2 1 7

V a n d e r m o n d e 3 5 6

w e a k d e r i v a t i v e 2 5 9

W e y l ' s L e m m a 1 9 0W i e n e r ' s C r i t e r i o n 3 7 7

z e r o - c h a i n 3 4



G r a d u a t e T e x t s i n M a t h e m a t i c s

c o n t i n u e d f r o m p a g e I I

6 5 W E U S . D i f f e r e n t i a l A n a l y s i s o n C o m p l e xM a n i f o l d s . 2 n d e d .

6 6 W A T E R E O U S E . I n t r o d u c t i o n t o A f f i n e G r o u pS c h e m e s .

6 7 S n a a a . L o c a l F i e l d s .6 8 W E I D M A N N . L i n e a r O p e r a t o r s i n H u b e r t

S p a c e s .6 9 L A N G . C y c l o t o m i c F i e l d s 1 1 .7 0 M A S S E Y . S i n g u l a r H o m o l o g y T h e o r y .7 1 F A R K A S / K R A . R i e m a n n S u r f a c e s . 2 n d e d .7 2 S T I U . W E L L . C l a s s i c a l T o p o l o g y a n d

C o m b i n a t o r i a l G r o u p T h e o r y . 2 n d e d .7 3 A l g e b r a7 4 D A V E N P O R T . M u l t i p l i c a t i v e N u m b e r T h e o r y .

2 n d e d .7 5 H O C H S C H I L D . B a s i c T h e o r y o f A l g e b r a i c

G r o u p s a n d L i e A l g e b r a s .7 6 T I T A K A , A l g e b r a i c G e o m e t r y .

7 7 H a c i c a . L e c t u r e s o n t h e T h e o r y o f A l g e b r a i cN u m b e r s .

7 8 B U / S A N K A P P A N A V A R . A C o u r s e i n

U n i v e r s a l A l g e b r a .7 9 W A L T E R S . A n i n t r o d u c t i o n t o E r g o d i c

T h e o r y .a o R O B I N S O N . A C o u r s e i n t h e T h e o r y o f

G r o u p s .8 1 F O R . c T E I t . L e c t u r e s o n R i e m a n n S u r f a c e s .8 2 B c n - r I T u . D i f f e r e n t i a l F o r m s i n A l g e b r a i c

T o p o l o g y .8 3 W A S H I N G T O N . I n t r o d u c t i o n t o C y c l o t o m i c

F i e l d s .8 4

I a n / R o s e , t . A C l a s s i c a l I n t r o d u c t i o n t oM o d e r n N u m b e r T h e o r y . 2 n d e d .8 5 E D W A R D S . F o u r i e r S e r i e s . V o l . I I . 2 n d e d .8 6 v A N L i w r . I n t r o d u c t i o n t o C o d i n g T h e o r y .

2 n d e d .8 7 B R o w N . C o h o m o l o g y o f G r o u p s .8 8 P I E R C E . A s s o c i a t i v e A l g e b r a s .8 9 L A N a . i n t r o d u c t i o n t o A l g e b r a i c a n d A b e i a n

F u n c t i o n s . 2 n d e d .9 0 B a ø p i n s m r , . A n I n t r o d u c t i o n t o C o n v e x

P o l y t o p e s .9 1 O n t h e G e o m e t r y o f D i s c r e t eG r o u p s .

9 2 D i e s i E t . . S e q u e n c e s a n d S e r i e s i n B r o a c hS p a c e s .

9 3 M o d e mG e o m e t r y — M e t h o d s a n d A p p l i c a t i o n s . P a r t

I . 2 n d e d .

9 4 W A R N E R . F o u n d a t i o n s o f D i f f e r e n t i a b l eM a n i f o l d s a n d L i e G r o u p s .

9 5 S H I R Y A Y E V . P r o b a b i l i t y .9 6 C O N W A Y . A C o u r s e i n F u n c t i o n a l A n a l y s i s .

2 n d e d ,

9 7 K o a u r z . I n t r o d u c t i o n t o E l l i p t i c C u r v e s a n dM o d u l a r F o r m s . 2 n d e d .

9 8 D I E C K . R e p r e s e n t a t i o n s o fC o m p a c t L i e G r o u p s .

9 9 G R O V E ( B E N S O N . F i n i t e R e f l e c t i o n G r o u p s .2 n d e d .

1 0 0 B E R C I / C H R I S T E N s E N / R E S S E L . H a r m o n i c

A n a l y s i s o n S e m i g r o u p s : T h e o r y o f P o s i t i v eD e f i n i t e a n d R e l a t e d F u n c t i o n s .

1 0 1 G a l o i s T h e o r y .1 0 2 V A R A D A R A J A N . L i e G r o u p s . L i e A l g e b r a s a n d

T h e i r R e p r e s e n t a t i o n s .1 0 3 L A N G . C o m p l e x A n a l y s i s . 3 r d e d .1 0 4 D u s R o v I N / F 0 M E N K 0 / N o v l K o v . M o d e r n

G e o m e t r y — M e t h o d s a n d A p p l i c a t i o n s .P a r t H .

1 0 5 L A N G . S L 2 ( R ) .1 0 6 T h e A r i t h m e t i c o f E l l i p t i c

C u r v e s .1 0 7 O L V E R . A p p l i c a t i o n s o f L i e G r o u p s t o

D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s . 2 n d e d .1 0 8 R A N G E . H o l o m o r p h i c F u n c t i o n s a n d I n t e g r a l

R e p r e s e n t a t i o n s i n S e v e r a l C o m p l e xV a r i a b l e s .

1 0 9 L r a r r o . U n i v a l e n t F u n c t i o n s a n d T e i c h m ü l l e rS p a c e s .

1 1 0 L A N G . A l g e b r a i c N u m b e r T h e o r y .1 1 1 H U S E M O U . E R . E l l i p t i c C u r v e s .

1 1 2 L A N a . E l l i p t i c F u n c t i o n s .1 1 3 K z 4 c / S n a n v a . B r o w n i a n M o t i o n a n d

S t o c h a s t i c C a l c u l u s . 2 n d e d .1 1 4 K 0 B L I T z . A C o u r s e i n N u m b e r T h e o r y a n d

C r y p t o g r a p h y . 2 n d e d .1 1 5 B E R o a a / G o s r I A u x . D i f f e r e n t i a l G e o m e t r y :

M a n i f o l d s . C u r v e s , a n d S u r f a c e s .1 1 6 K E U . E Y I S P . I N I V A S A N . M e a s u r e a n d I n t e g r a l .

V o l . I .1 1 7 S a r u t a . A l g e b r a i c G r o u p s a n d C l a s s F i e l d s .1 1 8 P E D E R S E N . A n a l y s i s N o w .1 1 9 R O T h A N . A n I n t r o d u c t i o n t o A l g e b r a i c

T o p o l o g y .1 2 0 Z i a t a a . W e a k l y D i f f e r e n t i a b l e F u n c t i o n s :

S o b o l e v S p a c e s a n d F u n c t i o n s o f B o u n d e dV a r i a t i o n .



1 2 1 L A N G . C y c l o t o m i c F i e l d s I a n d I I . C o m b i n e d2 n d e d .

1 2 2 R E M M E R T . T h e o r y o f C o m p l e x F u n c t i o n s .R e a d i n g s i n M a t h e m a t i c s

1 2 3 E R B I N O H A U S / H E R M E S e t a l . N u m b e r s ,R e a d i n g s i n M a t h e m a t i c s

1 2 4 D L J B R O V I N / F O M E N X O I N O V I K U V . M o d e r n

G e o m e t r y — M e t h o d s a n d A p p l i c a t i o n s . P a r tI l l .1 2 5 B E R E N S T E I N / G A Y . C o m p l e x V a r i a b l e s : A n

I n t r o d u c t i o n .1 2 6 B O R E L . L i n e a r A l g e b r a i c G r o u p s .1 2 7 M A S S E Y . A B a s i c C o u r s e i n A l g e b r a i c

T o p o l o g y .1 2 8 R A U C H . P a r t i a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s .1 2 9 F U L r o N / H A R R I S . R e p r e s e n t a t i o n T h e o r y : A

F i r s t C o u r s e .

R e a d i n g s i n M a t h e n i a t i c sI 3 ( ) D u D s o N / P o s T o N . T e n s o r G e o m e t r y .1 3 1 L A M . A F i r s t C o u r s e i n N o n c o m m u t a t i v e

R i n g s .1 3 2 B I t A R D O N . I t e r a t i o n o f R a t i o n a l F u n c t i o n s .1 3 3 H A R R I S . A l g e b r a i c G e o m e t r y : A F i r s t C o u r s e .1 3 4 R O M A N . C o d i n g a n d I n f o r m a t i o n T h e o r y .1 3 5 R O M A N . A d v a n c e d L i n e a r A l g e b r a .

1 3 6 A D K I N S I W E I N T R A t J B . A l g e b r a : A n A p p r o a c hv i a M o d u l e T h e o r y .

1 3 7 A X L F . R J B O I J R D 0 N / R A M E Y . H a r m o n i c F u n c t i o nT h e o r y .

1 3 8 C O H E N . A C o u r s e i n C o m p u t a t i o n a lA l g e b r a i c N u m b e r T h e o r y .

1 3 9 B R E D O N . T o p o l o g y a n d G e o m e t i y .1 4 0 A u B I N . O p t i m a a n d E q u i l i b r i a . A n

I n t r o d u c t i o n t o N o n l i n e a r A n a l y s i s .

1 4 1 B E C K E R / W E I S P F E N N I N G / K R E D E L . G r d b n e r

B a s e s . A C o m p u t a t i o n a l A p p r o a c h t oC o m m u t a t i v e A l g e b r a .

1 4 2 L A N G . R e a l a n d F u n c t i o n a l A n a l y s i s . 3 r d e d .1 4 3 D o O a . M e a s u r e T h e o r y .1 4 4 D E N N I S / F A R B . N o n c o m m u t a t i v e

A l g e b r a .

1 4 5 V I C K . H o m o l o g y T h e o r y . A nI n t r o d u c t i o n t o A l g e b r a i c T o p o l o g y .2 n d e d .

1 4 6 B R I D G E S . C o m p u t a b i l i t y : AM a t h e m a t i c a l S k e t c h b o o k .

1 4 7 R O S E N B E R G . A l g e b r a i c K - T h e o r y a n dI t s A p p l i c a t i o n s .

1 4 8 R O T M A N . A n i n t r o d u c t i o n t o t h eT h e o r y o f G r o u p s . 4 t h e d .

1 4 9 R A T C L I F F E . F o u n d a t i o n s o f H y p e r b o l i c

M a n i f o l d s .1 5 0 E I S E N B U D . C o m m u t a t i v e A l g e b r a w i t h

a V i e w T o w a r d A l g e b r a i c G e o m e t r y .1 5 1 S I L V E R M A N . A d v a n c e d T o p i c s i n t h e

A r i t h m e t i c o f E l l i p t i c C u r v e s .1 5 2 Z I E G L E R . L e c t u r e s o n P o l y t o p e s .1 5 3 F U L T O N . A l g e b r a i c T o p o l o g y : A F i r s t

C o u r s e .1 5 4 B R O w N / P E A R C Y . A n I n t r o d u c t i o n t o

A n a l y s i s .1 5 5 K A S S E L . Q u a n t u m G r o u p s .1 5 6 K E C I I R I S . C l a s s i c a l D e s c r i p t i v e S e t

T h e o r y .1 5 7 M A L L I A V I N . I n t e g r a t i o n a n d

P r o b a b i l i t y .1 5 8 R o M A N . F i e l d T h e o r y .1 5 9 C O N W A Y F u n c t i o n s o f O n e C o m p l e x

V a r i a b l e I I .

functions of one complex variable 2 - j conway

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