Funciones y relacionesDescripción numérica, gráfica y algebraica de una función.

Rango y dominio de una función.Imagen de una función dada una regla de correspondencia.

Tipos de funciones.Operaciones con funciones.

Funciones en la vida cotidiana.

Relación y Función.• Relación.Asociación de dos o más cosas bajo cierto orden o regla. Ejemplos:Por cada persona que usa Facebook existe al menos una cuenta a su nombre.Por cada maestra hay al menos un alumno a quien darle clases.

• Función.Dos conjuntos denominados dominio y rango establece una regla de correspondencia entre estos, de tal modo que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento del rango.

Elementos de una función

Dominio: También llamado conjunto de partida, a este pertenecen datos o variables independientes que han de ser transformados con la regla de correspondencia.Contradominio: A este se le llama conjunto de llegada y contiene los elementos que son imagen de los elemento del dominio.Rango: Son los elementos del Contradominio que son imágenes de los elementos del dominio.Regla de correspondencia: Regla u operación con la que se asocian el dominio y el Contradominio.

Ejemplo:

123456

23456789

A B

Dominio

Conjunto de

llegada

RangoConjunto de salida

A x B = {(a, b)}/ a es uno mayor que b

Contradominio

Regla de correspondencia

Representación de una función.Dado el lado de un cuadrado encontrar su área.

Lado de un

cuadrado (x)

Dominio

Conjunto de

llegada

Área del cuadrad

o(y)

RangoConjunto de salidaA= lado x lado =

lado2

23456

(2)2

(3)2

(4)2

(5)2

(6)2

49162536

y = x2 f(x) = x2

f(x), g(x), h(x), i(x)…• f(x) significa que f es evaluada en cada valor de xDescripción numérica.Dado el ejemplo del área del cuadrado agrupe los datos en pares ordenados (x, y).

{(2,3), (3,9), (4, 16), (5, 25), (6, 36)}

x f(x) = x2

2 43 94 165 256 36

Representación gráfica de una funciónPara la representación gráfica de una función basta con representar las puntos dados en coordenadas (x, y) y unirlos.

{(-3, 9), (-2,4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}

Evaluar una función• Significa sustituir un valor de entrada en la función.f(x) = x2

Cuando x = 5 se escribe:f(5) = x2

f(5) = (5)2

f(5) = 25

Cuando x = 2 se escribe:f(-2) = x2

f(-2) = (-2)2 = (-2) (-2) = +4f(-2) = 4

Ejemplo de aplicaciónEn San Luis Potosí habrá un concierto de Maluma. Los organizadores del evento desean saber las ganancias que les generará. Ellos planean vender todos los boletos en $1000 y el lugar donde lo realizarán tiene una capacidad para 300 personas. Sabiendo además que el artista cobra $200,000.00Con base en la información calcula:a) La función que representa la situación.b) Dominio.c) Rango.d) Gráfica.e) f(100)f) La ganancia máxima.g) El número de boletos que debe vender para costear gasto del artista.

Solucióna) FunciónLos datos de entrada (dominio) son la cantidad de personas que irá al concierto. Se representará como x.Los datos de salida (rango) son las ganancias finales f(x).La regla de correspondencia consiste en multiplicar la cantidad de asistentes al evento por $1000, que es el costo invariable de cada boleto, y finalmente restarle el costo del artista, es decir, $200,000.00Entonces la función se concreta de la siguiente manera:

f(x) = 1000 x - $200.000

b) Dominio (datos de entrada): En este caso los datos de entrada corresponden al rango de asistentes al evento. Es decir, puede ir como mínimo ningún asistente (0) al evento o como máximo 300, por lo que se representa de la siguiente forma.Dom: [0, 300]c) Rango (datos de salida): Los datos de salida son todos aquellos que es posible obtener al evaluar todos los elementos del dominio. En este caso al evaluar el valor máximo y mínimo del dominio encontramos que:• f(x) = 1000 x - $200,000• f(0) = 1000 (0) – 200,000• f(0) = $-200,000Ran: [-200,000, 100, 000]

f(x) = 1000 x - $200,000f(300) = 1000 (300) – 200,000f(300) = 300,000 -200, 000f(300) = 100,000

Gráfica

x f(x) = 1000 x - $200, 000

0 f(0) = -200, 00010 f(10) = -190, 00050 f(50) = -150, 00075 f(75) = -125, 000

e) f(100) =f(x) = 1000 x - $200, 000f(100) = 1000 (100) – 200 000f(100) = 100, 000 – 200 000f(100) = - 100 0000

• f) Dado que el número máximo de asistentes al concierto es 300 se evalúa con este dato.

f(x) = 1000 x - $200, 000f(300) = 1000 (300) – 200 000f(300) = 300, 000 – 200 000f(300) = 100 0000

Dado que el costo del artista es de $200, 000, se requiere calcula cuántos boletos es necesario vender, por lo que se realiza una igualdad entre el costo del artista y la expresión que representa la venta de boletos.200 000 = 1000 xPosteriormente se despeja la variable x. Como está multiplicando, pasa del otro lado dividiendo. = x; x = 200 boletos es necesario vender.

Relación vs. Función• Relación.Al realizar la prueba de la recta vertical esta puede tocar más de un punto de la gráfica de la función.

• Función.Al realizar la prueba de la recta vertical solo puede tocar un punto de la gráfica de la función.

Relación vs. Función.• Relación.En la descripción numérica puede repetirse elementos del dominio y del rango sin ningún limite.{(4, 2), (4, 3), (6, 2), (6, 3)}{(3, 9), (3, 4), (2, 1), (1, 4)}{(5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}

• Función.Es posible que se repitan los elementos del dominio (x) pero no los del rango (y).{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}{(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}{(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)}

Referencias:Ramirez, M. (2013) Matemáticas IV. Funciones en competencia. Colegio de Bachilleres del Estado de San Luis Potosí.