FUNCIONES A TROZOS

EJERCICIOS FOTOCOPIA

Aurora Domenech

31

3

325

22

)( 2

xx

xx

xx

xf

Analizamos:•Primer “trozo”: linea recta, que pasa por el origen cuya pendiente es 2. Comienza desde -∞ y llega hasta la vertical que pasa por x= -2 ; acabando en un punto “abierto” .•Segundo “trozo”: parábola, de eje de simetría: el eje de coordenadas x=0; de vértice, el punto (0,-5) , y de puntos de corte con los ejes : .• Comienza desde la vertical que pasa por x= -2 con un punto “cerrado” ; acabando en la vertical que pasa por x= 3 con un punto “abierto” .•Tercer “trozo”: hipérbola en el primer cuadrante, la “patrón” desplazada verticalmente tres unidades hacia arriba con asíntota horizontal la recta y=3.Comienza desde la vertical que pasa por x= 3 con un punto “cerrado”; acabando de forma decreciente aproximándose a la asíntota horizontal .

0,50,5 y

Pasos para su representación

Delimitamos las zonas de definición de cada “trozo”

Dibujamos la recta y=2x , pero nos quedamos solo con la parte de la zona 1

Dibujamos la parábola, pero nos quedamos solo con la parte de la zona 2

Dibujamos la hipérbola, pero nos quedamos solo con la parte de la zona 3

DIBUJAMOS:

Esta función presenta dos puntos claros de discontinuidad en x=-2 y x= 3Tiene un mínimo en (0,-5)Crece en los intervalos (-∞,-2)U(0,3) Decrece en los intervalos (-2,0)U(3,+∞)

Asíntota horizontal de la función racional

31

3

325

22

)( 2

xx

xx

xx

xf

Recordamos características de las

funciones

311

1)(

xx

xxxf

Analizamos:•Primer “trozo”: linea recta, que pasa por el origen cuya pendiente es 1. Comienza desde -∞ y llega hasta la vertical que pasa por x= -1 ; acabando en un punto “cerrado” .•Segundo “trozo”: es una función de la familia de las raíces cuadradas, definida solo para valores mayores que -1. Comienza desde la vertical que pasa por x= -1 con un punto “abierto” ; acabando en la vertical que pasa por x= 3 con un punto “abierto” .

Dibujamos: Recordamos características de las

funciones

•Esta función presenta un punto de discontinuidad en x=-1•Su dominio es (-∞,3)•Crece en todo su dominio

311

1)(

xx

xxxf

212

21

6)(

xx

xxxf

Analizamos:•Primer “trozo”: hipérbola, con asíntota vertical en x=1 y horizontal en y=0.Comienza desde -∞ y se “escapa “ por la izquierda de la vertical que pasa por x= 1 ; baja por la derecha de esa asíntota quedándose en la vertical de x=2, con un punto “abierto” .•Segundo “trozo”: es una recta, que pasa a una unidad del origen de coordenadas y cuya pendiente es 2. Comienza desde la vertical que pasa por x= 2 con un punto “cerrado” ; y sigue creciendo de forma indefinida.

Dibujamos:

212

21

6)(

xx

xxxf

•Esta función presenta un punto de discontinuidad en x=1•Su dominio es todos los reales excepto el 1•Decrece en(-∞,1)U(1,2)•Crece en (2,∞)

Recordamos características de las

funciones

33

36

33

)(

2

xx

x

xx

xf

Analizamos:•Primer “trozo”: parábola. Eje x=0, vértice (0,-3) Comienza desde -∞ y llega hasta la vertical que pasa por x= 3 ; acabando en un punto “abierto” .•Segundo “trozo”: es un punto.El (3,6). (veréis al dibujarlo que coincide en esta ocasión con el punto “abierto” de la parábola)• Tercer “trozo”: Es una recta que comienza desde la vertical que pasa por x= 3 con un punto “abierto” ; y sigue decreciendo de forma indefinida.(Observa que la pendiente es -1)

33

36

33

)(

2

xx

x

xx

xfDibujamos

•Esta función presenta un punto de discontinuidad en x=3•Su dominio es todos los reales•Decrece en(-∞,0)U(3,∞)•Crece en (0,3)•Tiene un mínimo relativo en (0,-3)

03

03

1)(

x

xxfx

x

Analizamos:•Primer “trozo”: función exponencial decreciente por ser la base menor que la unidad.Comienza desde -∞ y llega hasta la vertical que pasa por x= 0 ,acabando con un punto “cerrado” .•Segundo “trozo”: función exponencial creciente por ser la base mayor que la unidad Comienza desde la vertical que pasa por x= 0 con un punto “abierto” ; y sigue creciendo de forma indefinida.

Observarás que las asíntotas particulares de cada uno de los trozos, no afectan a la función resultante.

Dibujamos:

03

03

1)(

x

xxfx

x

•Esta función es continua•Su dominio son todos los reales•Decrece en(-∞,0)•Crece en (0,∞)•Tiene un mínimo absoluto en (0,1)

22

220

22

)(

xx

x

xx

xf

Analizamos:•Primer “trozo”: recta creciente de pendiente uno, y que llega hasta la vertical que pasa por x= -2 ,acabando con un punto “cerrado” .•Segundo “trozo”: recta horizontal de altura cero, que va desde la vertical x=-2 , con un punto “abierto”, hasta la vertical x=2 , acabando en un punto “cerrado”.• Tercer “trozo”:Recta decreciente que comienza desde la vertical x= -2 con un punto “abierto” ; y sigue decreciendo de forma indefinida.

22

220

22

)(

xx

x

xx

xfDibujamos:

•Esta función es discontinua en x=2•Su dominio son todos los reales•crece en(-∞,-2)•decrece en (2,∞)•Es constante en (-2,2)

22

1202

0

)(

xx

x

xx

xf x

Analizamos:•Primer “trozo”: función raíz cuadrada que llega hasta la vertical que pasa por x= 0 ,acabando con un punto “abierto” .•Segundo “trozo”: exponencial creciente, que va desde la vertical x=0 , con un punto “cerrado”, hasta la vertical x=2 , acabando en un punto “cerrado”.• Tercer “trozo”:hipérbola que comienza desde la vertical x= 2 donde tiene una asíntota vertical ; y sigue decreciendo de forma indefinida hacia su asíntota horizontal y=0.

Dibujamos:

22

1202

0

)(

xx

x

xx

xf x

•Función discontinua en x=0 y x=2•Dominio todos los reales •Decrece desde (-∞,0)U(2,∞)•Crece en (0,2)

012

022

)(x

x

xxxf

Analizamos:•Primer “trozo”: hipérbola que se acerca hasta la vertical x= 0 donde tiene una asíntota vertical ; su asíntota horizontal y=2 .•Segundo “trozo”: hipérbola que comienza desde la vertical x= 0 donde tiene una asíntota vertical ; su asíntota horizontal y=-1.

Observa que en el punto x=0 no está definida esta función; por lo tanto habrá que quitarlo de su dominio

Dibujamos:

012

022

)(x

x

xxxf

Función decreciente en (-∞,0)Función creciente en (0,∞)

55

529

)(xx

xxxf

Analizamos:•Primer “trozo”: hipérbola que se acerca hasta la vertical x= -5 acabando en punto “abierto”; su asíntota horizontal y=2 .

•Segundo “trozo”: función raíz cuadrada que comienza desde la vertical x= -5 con un punto “cerrado”.

55

529

)(xx

xxxf

Dibujamos:

Función discontinua en x=-5Siempre decrecienteDominio: todos los realesAsíntota horizontal y= 2 por la izquierda