funciones

Funciones

Cristian Velandia M.Sc

Mapa de Navegación

Introducción

Función Lineal

Contenido

Función Cuadrática

Función Trigonométrica

Autoevaluación

Translación y cambio de Pendiente

Actividades

Objetivos

Conceptos Previos

TALLER – FUNCIONES

Translación Horizontal, Vertica, Vertice y Cortes en el Plano

Objetivos

Al finalizar esta tutoría conocerás y comprenderás el concepto de función matemática junto a sus

diferentes clasificaciones


“No solo se pretende profundizar en contenidos

de matemáticas, sino llegar a comprenderlas como una gimnasia del

espíritu y una preparación para la filosofía.…”

Determinar las características de una función y expresarla como medio de

análisis matemático en la cotidianidad.

Aplicar el concepto de función lineal, cuadrática y trigonométrica.

IntroducciónTALLER – FUNCIONES

Podrías unir todos los puntos con 4 líneas rectas

“sin levantar la mano”:


Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas en la cotidianidad,

problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de

química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que

relacionar variables.

Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina. Ciertas situaciones

requieren del uso de ecuaciones lineales para el análisis de ciertos fenómenos.

Cuando vas al centro comercial, constantemente relacionas un conjunto de

determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos; Esto con

el fin de conocer lo que puedes comprar; si lo llevamos al plano cartesiano, podemos escribir esta correspondencia en una

ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y"


Las funciones se pueden aplicar en muchas situaciones cotidianas; por ejemplo en economía

los profesionales de esta área se basan en la linealidad y las leyes de la oferta y la demanda, que son dos de las relaciones fundamentales en

cualquier análisis económico.

Si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el

artículo esté disponible.

El estudio de las funciones cuadráticas resulta de mucho interés NO sólo en matemática sino

también en física : La trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma

que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido,

cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial.


En ingeniería civil las funciones pueden ser aplicadas para resolver problemas tomando como punto de referencia una ecuación de

segundo grado, en la construcción de puentes colgantes que se encuentran

suspendidos por medio de cables amarrados a dos torres. Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para

estudiar los efectos nutricionales de los organismos.

En geología como ciencia se requiere del planteamiento de funciones logarítmicas

para el cálculo de la intensidad de un sismo.

¿Sabias que los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta

utilizan funciones logarítmicas? ciertos cálculos de carácter logarítmico les permite determinar la

brillantez y la magnitud.

Conceptos PreviosTALLER – FUNCIONES

Para iniciar nuestro estudio de funciones, imagina una máquina que tiene una entrada y una salida. Por ejemplo en una maquina de energia eólica su

entrada es el aire y su salida es la energia electrica.

En un motor la entrada es el combustible y la salida estará directamente relacionada

con el movimiento:

Máquina Energía Eólica

Entrada: El aire

Salida:

Electricidad

Entrada: Combustible

Salida: Movimiento

Una función matemática es muy similar. Ya que una función es una expresión matemática que relaciona una variable independiente (Entrada) con una variable dependiente (Salida). Las

funciones pueden ser analizadas y estudiadas de manera grafica y numérica.


Analicemos la siguiente situacion cotidiana y generemos una función matemática. Un deportista analiza su peso y el índice de masa corporal (IMC) durante 6 meses.

La siguiente tabla relaciona el peso del deportista en cada mes:

Mes I II III IV V VI

Peso (Kg.) 74 72 69 71 68 70

Tomemos los valores registrados y generemos una gráfica de Peso con

respecto al tiempo (mensual):

66

70

68

72

74

76

1 2 3 4 5 6

Peso

Meses

Ahora como el índice de masa corporal esta en función del peso, el deportista puede obtener su

IMC aplicando la siguiente ecuación:

Peso (kg.)f (IMC) =Estatura (m)2

Observa que el IMC depende del peso y de la estatura; por lo tanto se dice que el IMC está en función del peso y de la estatura.

Estatura: 1,65 m


Vamos a obtener el índice de masa corporal de cada mes a partir del registro de datos de peso:


Peso (Kg.) 74 72 69 71 68 70

Los valores obtenidos del índice de masa corporal mensualmente son:

23

25

24

26

27

28

1 2 3 4 5 6

IMC

Meses

Peso (kg.)IMC I =

Estatura (m)2

74

1.65 2= = 27.1

Peso (kg.)IMC II =

Estatura (m)2

72

1.65 2= = 26.4

Peso (kg.)IMC III =

Estatura (m)2

69

1.65 2= = 25.3

Peso (kg.)IMC IV =

Estatura (m)2

71

1.65 2= = 26

Peso (kg.)IMC V =

Estatura (m)2

68

1.65 2= = 24.9

Peso (kg.)IMC VI =

Estatura (m)2

70

1.65 2= = 25.7


IMC (Kg/m2) 27.1 26.4 25.3 26 24.9 25.7

Has empezado a construir el concepto de función. Ya que a partir de una expresión matemática que relaciona una variable independiente (Peso) con una variable dependiente (IMC) generamos las

diferentes graficas de las funciones y desarrollamos su análisis matemático.


Entonces en esta tutoría trabajaremos con funciónes (f) como una regla que asocia un objeto x con un valor único y. Entonces a nivel matemático para el ejercicio anterior el índice

de masa corporal para la deportista se representaria como:

Peso (kg.)IMC I =

Estatura (m)2

XY =

Estatura (m)2

donde x es el peso y y es el índice de masa corporal. Es importante indicar que y se

puede escribir como f(x).

Xf(x) =

Estatura (m)2

Contenido



En esta tutoría estudiaremos diferentes clases de funciones dentro de las que encontramos:

FUNCÍONES

1. Función Lineal2. Función Cuadrática

3. Función Trigonométrica

La función lineal es una expresión matemática cuya

grafica genera una línea recta que pasa por alguno de sus ejes

de coordenadas. La función lineal es de tipo:

La función cuadrática es una expresión matemática que relaciona dos varibles, cuya

grafica genera una parabola y es de tipo

Una función trigonométrica es una relación angular que buscan

apoyar la geometría de los triángulos y son de gran

importancia en astronomía, náutica, telecomunicaciones y en la representación de fenómenos

periódicos.

y senx

y mx b

y x 2 k

Función Lineal


La función lineal es del tipo:

y = x

Su gráfica es una línea recta que pasa por alguno de sus ejes de coordenadas.

Observa que para la función y=x, el valor que toma x es el mismo de y.

Ubiquemos estos puntos en el plano y analicemos la función lineal.

1

3

2

4

5

6

-6

-4

-5

-3

-2

-11 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1

Y

X

Si a la funcion y = x sumamos o restamos un valor b de tal forma que obtengamos y = x ± b (b cualquier valor) se traslada cortando en b.

x -2 -1 0 1 2

y -2 -1 0 1 2

y = xy = x + 3y=x+3. si a x sumamos 3, la grafica de la función lineal se traslada hacia la

izquierda 3 unidades y corta en 3 en el eje y.

y = x - 4. si a x restamos 4, la grafica de la función lineal se traslada hacia la

derecha 4 unidades y corta en -4 en el eje y.

y = x - 4

Función Lineal


Ya hemos analizado la función lineal cuando sumamos o

restamos un valor b. Ahora analicemos que pasa cuando

multiplicamos la variable x por un valor m, para obtener :

Tal como lo estudiamos en la tutoría anterior “geometría analítica” m representa la

pendiente de la recta.

1

3

2

4

5

6

-6

-4

-5

-3

-2

-11 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1

Y

X

Para la función y = ¼x, la relación la pendiente es 4

en x y 1 en y .

y = xy = 2x

Para la función y = x, la relación la pendiente es 1 en x y 1 en y .

Para la función y = 2x, la relación la pendiente es

1 en x y 2 en y .

y = ¼x

1

1

1

2

4

1y = mx ± b

f(x) = mx ± b

Ejemplo Función Lineal


Para desarrollar la gráfica de una función lineal, debes igualar a cero la x para

obtener el valor de y; finalmente igualamos y a cero y obtenemos el valor

de x; de esta manera se hallan dos puntos, los cuales serán suficientes para graficar una función lineal. Por ejemplo.

Gráficas la siguiente función lineal:

Convertimos y = 0, y despejamos x:

y = 2x - 4

y = 2x - 4

0 = 2x - 4

= x+ 4 2

2 = x

Convertimos x = 0, y despejamos y:

y = 2x - 4

y = 2(0) - 4

y = -4

Los pares ordenados obtenidos son:

(0,-4) y (2,0)

1

3

2

4

5

6

-6

-4

-5

-3

-2

-11 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1

Y

X

y = 2x - 4. Esta función tiene un corte en -4.

y = 2x - 4

Para la función y = 2x - 4, la relación la pendiente es 2 en x y

4 en y. Es decir:y = 2x – 4 es igual a y = 4/2x – 4

Ejercicio Función Lineal


Grafica la siguiente función lineal obteniendo los cortes en x y y, al igual que la pendiente. Tienes 1 minuto para desarrollarlo:

y = -3x + 6

1

3

2

4

5

6

-6

-4

-5

-3

-2

-11 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1 X

Solución Ejercicio Función Lineal


Convertimos y = 0, y despejamos x:

y = -3x + 6

y = -3x + 6

0 = -3x + 6

= x-6 -3

2 = x

Convertimos x = 0, y despejamos y:

y = -3x + 6

y = -3(0) + 6

y = +6

Los pares ordenados obtenidos son:

(0,+6) y (2,0)

1

3

2

4

5

6

-6

-4

-5

-3

-2

-11 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1 X

y = -3x +6. Esta función tiene un corte en +6.

y = -3x + 6

Para la función y = -3x +6, la relación la pendiente

es 2 en x y 6 en y.



Una función cuadrática puede escribirse de la forma y = ax2 + b x + c; las letras a, b y c pueden ser

números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0 . Algunos ejemplos de esta

función son:

Vamos a estudiar y = x2 que es la función base de nuestro análisis.

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y +9 +4 +1 0 +1 +4 +9

f(x)= x2

f(x) = 2x2

f(x) = 5x2 + 3 x

f(x) = x2 + 2 x + 6;

Para generar la función y = x2 vamos a dar valores a x desde -3 hasta +3,

de la siguiente forma:

f(x)= x2

f(-3) = (-3)2 = +9f(-2) = (-2)2 = +4f(-1) = (-1)2 = +1

f(+3) = (+3)2 = +9f(+2) = (+2)2 = +4f(+1) = (+1)2 = +1

f(0)= 02 = 0


Ubiquemos los puntos en el plano:

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y +16 +9 +4 +1 0 +1 +4 +9 +16

8

12

10

14

16

20

-6

-2

-4

6

2

4

1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1

X

Vértice: Donde la función cambia de decreciente a

creciente.

Función Decreciente

Función Creciente

La función cuadrática genera una grafica

simétrica con el eje y.


Analisemos dos funciones cuadráticas con respecto a la original. Comparemos las funciones

g(x) y f(x) como se muestra a continuación:


g(x) = x2 – 4 f(x) = x2

x y

-2-1012

0-

3-

4-

30

x y

-2-1012

41014 g(x) = x2 – 4

f(x) = x2

- 2

(0.0) 1

(0.-4)

x

yCuando sumamos o

restamos una cantidad a la función y=x2 ± a, esta se desplaza en el eje “y”

hacia arriba o hacia abajo.

Vértice

Vértice

Translación Vertical


Analisemos dos funciones cuadráticas con respecto a la original cuando se desplazan en el

eje x. Comparemos las funciones g(x) y f(x) como se muestra a continuación:

Función CuadráticaCuando sumamos o

restamos una cantidad a la función, y=(x ± a) 2, esta se desplaza en el eje “x” hacia

la derecha o hacia la izquierda.

g(x) = (x – 4)2 f(x) = x2

x y23456

0-3-4-30

x y-2-1012

41014 g(x) = (x2 – 4)2f(x) = x2

4

(0.0) (4,0)x

y

x = 4

Translación Horizontal


Para obtener el vértice de una función cuadrática debes aplicar:

Vertice =

Para obtener los putos de corte de una función cuadrática con el eje y debemos

dar a x el valor de 0. Para obtener las intersecciones con el eje x de la función

cuadrática se debe aplicar:

Obtengamos el vertices, y las intersecciones de los ejes de la siguiente función:

x² - 4x + 3ax² - bx + c

a

acbab

44,

2

2

aacbb

242

Solución:Teniendo en cuenta que a=1, b=- 4 y c= 3

encontremos el vértice:

Vertice =

)1(4

)3)(1(4)4(,)1(2)4( 2

)1,2(44,

24

41216,

2)4

Ahora vamos a obtener las intersecciones en el eje x:

)1(2)3)(1(4)4()4( 2

224

244

212164

Los cortes en x se encuentra ubicados en:

326

224

1

x 122

224

2

x

Ejercicio Función Cuadrática


Ubiquemos los puntos obtenidos en el vértice y en las intersecciones

con el eje x

4

6

5

7

8

9

-3

-1

-2

3

1

2

1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1

Vértice: Donde la función cambia de decreciente a

creciente.

Vertice =

Corte en el eje x: x=3

x² - 4x + 3

326

224

1

x

122

224

2

x


Ejercicio Función Cuadrática

Grafica la siguiente función, encontrando vértice y los cortes en el eje x y y. Tienes 1 minuto para desarrollarlo

x² - 2x - 3


8

12

10

14

16

18

-6

-2

-4

6

2

4

1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1

Vertice

Corte en el eje x: x= -3

x² - 2x + 3

Solución Ejercicio Función Cuadrática

x² - 2x - 3Teniendo en cuenta que a=1, b=- 2 y c= 3

encontremos el vértice:

)1(4

)3)(1(4)2(,)1(2)2( 2

)4,1(416,

22

4124,

2)2

Ahora vamos a obtener las intersecciones en el eje x:

)1(2)3)(1(4)2()2( 2

242

2162

21242

Los cortes en x se encuentra ubicados en:

326

242

1

x 122

242

2

x


Funciones TrigonométricasAlguna ves has escuchado la

función seno, coseno, tangente, arcotangente, seno hiperbolico etc … pero … ¿sabes para que sirven, y

que podemos hacer con ellas?.

Para comprender a profundidad las funciones trigonométricas debemos recordar que un ángulo es la

parte del plano comprendida entre dos rectas.

Las funciones básicas son seno y coseno. De alli se

desprenden todas las funciones trignometricas.

ángulo ángulo ángulo

Ahora ubiquemos en el plano cartesiano un círculo que tiene el

radio igual a 1. A este círculo se le llama círculo unitario. Se muestra

a continuación:

Ahora imagina que trazamos una línea

desde el centro hasta un extremo

La distancia en el eje x se le llama

coseno.

La distancia en el eje y se le llama

seno.


Funciones Trigonométricas

Ahora puedes observar a continuación la distancia que

hay desde un punto del círculo hasta un eje en el plano. Es decir puedes observar los valores de

seno y de coseno para cada posición del punto en la

circunferencia.

A partir de este concepto basaremos todo el estudio de la trigonometria, dado que el seno y coseno nos permiten conocer la distancia, y características de

los triángulos formados en el eje y y el eje x.


Funciones TrigonométricasEl análisis de las funciones trigonométricas te dara bases sólidas para el estudio

de la trigonometría. El estudio de las funciones trigonométricas comienza cuando se quiere plasmar en el plano cartesiano la trayectoria de un punto que

recorre un círculo, tal como se muestra a continuación:

De alli se desprenden las diferentes funciones trigonométricas, las cuales partir de su aplicación nos pueden ayudar en resolución de triángulos de manera rigurosa.

Esto lo aplicaremos en la siguiente tutoría .

Funcion Seno y Coseno


Ejercicio Funciones Trigonométricas

Angulo 70ª

Halla la distancia de a y b para un círculo unitario. Su radio es 1 m. Tienes 1 minuto para desarrollarlo

a

b

Angulo 135ªa

b

1m1m


Solución Ejercicio Funciones Trigonométricas

Angulo 70ª

Seno de 70ª = 0,93

Coseno de 70ª = 0,34

Ahora con la ayuda de la calculadora calculamos el seno y coseno de los ángulos dados. Y obtenemos;

a

b

Angulo 135ª

Seno de 135ª = 0,707 m

Coseno de 135ª = 0,707 m

a

b

1m1m

funciones

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