funciones
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Repaso UNI Álgebra
Funciones
√ ⃗ ̅
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Problema 01.
Resolución. Se tiene la función
( )
( ) (ya que: )
Se sabe que
⏟
( )
Por lo tanto, ( ) [
].
Problema 02.
Resolución. La función está bien definida en los reales si:
√
√
⏟
⏟
Recuerde que: √
y .
Por lo tanto, ( ) ⟨ √
⟩.
Problema 03.
Resolución. Vemos que la función ( ) √ es
monótona creciente en su dominio , √ ⟩, entonces
( ) √ y ( √ )
√ √ y √ √( √ )
y √
Por lo tanto, √ (√ ).
Problema 04.
Resolución. Como , entonces
(
) ( )
luego,
( ) ⟦
⟧ (
) ⟦
⟧ ( ) ⟦
⟧
Hallemos los valores que puede tomar el máximo entero. Como
Esto quiere decir que
⟦
⟧
Es decir, ( ) .
Por lo tanto, ( ) * +.
Problema 05.
Resolución. Se tiene la función ( ) .
Del gráfico se obtiene los siguientes datos:
( ) ( )
⏟
Por lo tanto, .
Problema 06.
Resolución. Se tiene la función ( ) . Por dato:
( )
Luego, ( ) .
También, el rango de la función es , ⟩. Es decir,
( ) ⏟
Tiene que ser un trinomio
cuadrado perfecto.
Nos piden calcular:
( )
( )
Problema 07.
Resolución. Como la gráfica de la función lineal ( )
pasa por el punto ( ), entonces
( )
Además las gráficas de ( ) y ( ) tienen un único punto de contacto.
Esto quiere decir que la siguiente ecuación tiene una única solución.
( ) ( )
Se debe cumplir que :
( )( )
( )
( )
Luego,
Por lo tanto, .
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Problema 08.
Resolución. Hallemos los valores de resolviendo la inecuación:
( )( )
( )( )( )( )
Aplicando el criterio de los puntos críticos se obtiene
, - , -
Ahora hallemos el máximo valor de la función ( ) .
Si esbozamos el gráfico de la función , vemos que basta evaluarlo
en para obtener su maximo.
Por lo tanto, ( ) ( ) ( ) .
Problema 09.
Resolución. Por dato, ( ) , entonces
( )
⏟ ⏟ ⏟ y
1 1 1
Luego, ( ) | | | | | |
Que se puede expresar así:
( ) {
Ahora graficamos las funciones y obteneindo la región cuya área
se quiere calcular:
Problema 10.
Resolución. El dominio de la función es ( ) ⟨ ⟩.
Analicemos el signo de la función :
{
Luego la función se puede redefinir de la siguiente manera:
( ) ( ) {
( )
( )
( )
{
Cuya gráfica es la que se muestra en la figura:
Problema 11.
Resolución. Hallemos el dominio de cada función:
( ) * +
( ) ⟨ - ( )
Luego,
( ) ( ) ( ) * +
Hallemos los valores de :
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) (√ )
( )( ) ( ) ( ) (√ )
Entonces, *( ) ( ) ( )+
Por lo tanto, ( ) .
Problema 12.
Resolución. Primero hallemos el dominio de cada una de las
funciones.
( ):
La función esta bien definida en los reales si
√
√
⏟
, - ( )
( ):
La función esta bien definida en los reales si
( )
⏟
⟨ ⟩ * + ( )
Luego,
( ) ( ) ( )
𝑔
𝑓
𝑨 𝑨
𝑩
𝑪
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, - (⟨ ⟩ * +)
⟨ ⟩
Problema 13.
Resolución. Primero hallemos el dominio de la función .
Por definición:
( ) { ( )⏟ ( ) ( )⏟ }
, ⟩ ( ) , ⟩
, ⟩ | |
, ⟩ | |
, ⟩ | |
, ⟩ | | ⏟
, ⟩ ⏟
, ⟩
( ) , ⟩ * +
Hallemos la regla de correspondencia de :
( )( ) ( ( )) ( ) ( | |) | |
Por lo tanto,
( )( ) | | , ⟩ * +
Problema 14.
Resolución. Se tiene la función ( ) , que se
puede expresar como ( ) ( ) .
Analicemos cada proposición.
I. Verdadero
Sean y ( ) ⟨ -, tal que
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
| | | |
Por lo tanto, es inyectiva.
II. Verdadero
Hallemos el rango de la función .
Como ( ) ⟨ -, entonces
( )
( )
( )
Entonces, ( ) , ⟩ ; es decir, es sobre.
Por lo tanto, es biyectiva ya que es inyectiva y suryectiva a la
vez.
III. Verdadero
Sea ( ), es decir, sea ( ) entonces
( ) , donde ( ) .
Lo cual implica que ( ) , esto es, ( ) .
Luego, si ( ) ( ( ) ) ( )
y si ( ), entonces ( ( ) ) ( )
Problema 15.
Resolución. Claramente la función es inyectiva.
Hallemos su rango:
Como
⏟
( )
Luego, ( ) ⟨
] ( )
Ahora hallemos su inversa:
Se tiene la función
( )
( )
( )
( )
⟨
]
Problema 16.
Resolución. Veamos si la función es inyectiva.
Sean y ( ) tal que
( ) ( )
(√ √ ) (√ √ )
√ √ √ √
√ √ √ √
√ √ √ √
√ √ √ √
√ √ √ √
( )( ) ( )( )
( )
( )⏟ ( )⏟
No necesariamente es cero
Entonces, y por lo tanto es inyectiva; es decir, tiene
inversa.
Hallemos su rango:
Como es creciente en su dominio, entonces se cumple que
( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [
] ( )
Ahora hallemos su inversa.
Se tiene la función
(√ √ )
√ √
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√ √
√ √
√ √
(
)
( )( )
(
)
(
)
( ) (
)
( ) (
)
√ (
)
√ (
)
⏟ ( , -)
( )
Por lo tanto,
( ) √ (
)
[
]
Que se puede expresar como
( )
√ ( )
[
]