funcion exponencial y logaridmica

7/23/2019 Funcion Exponencial y Logaridmica

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La funcin exponencial y logartmica

Distintas formas de crecer

Crecimiento lineal

1. El precio de las naranjas en el mercado es de s/ 120 por kilo. Naturalmente, si se comprandos kilos el precio se duplica, y as sucesivamente.

Las magnitudes peso y precio son directamente proporcionales. Si el peso lo representamos porxy el precio por y, se verifica que y = 12 x.Si representamos en una grfica la funcin anterior obtenemos una recta que pasa por elorigen.

La representacin grfica de la funcin anterior es una recta que no pasa por el origen.Represntala.

2. La relacin entre los lados de un rectngulo de permetro fijo viene dada por: P = 2.x + 2.y

de donde y=(P-2.x)/2 y simplificando: y=P/2 - x . Si el valor del permetro fuese de 10

unidades, por ejemplo, la relacin entre los lados sera: y=5-x

Siempre que el lado x aumente 1 unidad, el lado y disminuye 1 unidad

Todos los ejemplos estudiados son ejemplos de crecimiento lineal; a una misma variacin de la

variable independiente x le corresponde siempre la misma variacin de la variable dependientey


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La funcin exponencial

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Crecimiento exponencial

El crecimiento o decrecimiento exponencial se suele utilizar en el lenguaje ordinario, sin tener, enmuchos casos, una idea clara de su significado matemtico, para describir situaciones como lassiguientes: Si la poblacin mundial aumenta de forma exponencial, en unos aos las grandes ciudades sern

incapaces de absorber el crecimiento demogrfico!

Si las reservas de agua decrecen de forma exponencial, en un breve lapso de tiempo no podremosdisponer de agua potable para el consumo humano!

Existe la opinin generalizada de que mientras la poblacin aumenta de forma exponencial (enprogresin geomtrica), los alimentos lo hacen de forma lineal (en progresin aritmtica)! Quocurrir en el futuro si esto es cierto?

Aunque son muchas las situaciones que describen un crecimiento exponencial, est ntimamenteligado al crecimiento de las poblaciones (ya sean de personas, animales, bacterias, rboles, ...) en lasque el crecimiento de la poblacin depende del nmero de individuos que la componen.El crecimiento exponencial tambin est ligado problemas relacionados con el inters producido porun capital y con situaciones de desintegracin radiactiva. Estos casos los estudiaremos ms

adelante.

Ejemplo 1: Una poblacin crece a un ritmo del 2%anual. Estudia la expresin que relaciona elnmero habitantes con el tiempo transcurrido.

Supongamos una poblacin de N habitantes:

Inicialmente hay N habitantes.

Al cabo de un ao habr N +2% de N =N + 002 . N = N. (1 + 002) = 102 . N

Al cabo de dos aos habr:

102N + 2% de 102N = 102.N + 002.102.N =102.N(1+002) = 102.N.102 = N x 1022

Para los aos sucesivos formamos la siguientetabla:

Tiempo

transcurrido

Poblacin

0 N

1 N + 2%N = N + 002.N = (1+002)N = 102.N

2 102.N + 2%(102N) = 102.N + 002.102.N = (1+002).102.N = 1022.N

3 1022.N + 2%(1022N) = 1022.N + 002.1022.N = (1+002).1022.N = 1023.N

... ...

10 1'0210.N

... ...

x 1'02x.N

As, la expresin buscada es: Poblacin = 1'02x. N


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Los valores de la poblacin correspondientes a cada uno de los aos se obtienen multiplicandopor un

factor constante (102 en este caso) los valores de la poblacin correspondientes a cada uno de losaos anteriores.

Ejemplo 2:Se sabe que la superficie cubierta por un nenfar en un lago se duplica cada da,

creciendo gradualmente durante todo el da. Si en el momento de

empezar el estudio el nenfar ocupa una superficie de 1 m2, qu

superficie ocupar dentro de 10 das?

a) Haz una tabla que exprese este crecimiento

b)

Halla la funcin que relaciona las variables nmero de das

y superficie ocupada.

c) Representa dicha funcin.

b) La funcin viene dada por la ecuacin: y = 2x.

Este tipo de crecimiento se llama exponencial

Las funciones del tipo y = ax

se llaman funciones exponenciales.

a)

Tabla de crecimiento

N de dasSuperficie

ocupada (m2)0 1

1 2

2 22= 4

3 23= 8

4 24= 16

5 25= 32

6 2 = 64

7 2 = 128... ...

10 2 = 1024

... ...

x 2x

c) Representacin:


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Estudio general de la Funcin Exponencial

1. La funcin exponencial

y = a

x

con a>1

La siguiente tabla muestra las potencias de 2 tomando como exponentes nmeros negativos ypositivos. Representamos los pares de puntos obtenidosCon una calculadora podemos hallar las potencias de puntos intermedios, por ejemplo20,75= 1,681..., por lo que tiene sentido unir los puntos obtenidos.

La grfica obtenida es la de la funcin exponencialde ecuacin y = 2x.

Procediendo de igual forma, representamos lassiguientes funciones:

y = 3

x

y = 5x

y = 10x

En las funciones exponenciales de ecuacin: y=ax

se verifica que a cada nmero real x(exponente) le corresponde un nico nmero y(potencia).

Leyendo las grficas de estas funciones se observa que, funciones de la forma y = ax, con a > 1,

tienen las siguientes propiedades:

Su dominioes toda la recta real.

Su recorridoson los nmeros reales positivos.

Son crecientes y continuasen todo su dominio.

Cuando x tiende a - , se verifica que y tiende a cero.

Cuando x tiende a + , se verifica que y tiende a +.

x y = 2x

... ...

-4 1/16

-3 1/8

-2 1/4-1 1/2

0 1

1 2

2 4

3 8

4 16

... ...

y = 3x

y = 5x

y = 10x


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2. La funcin exponencial y = ax 0 < a < 1).

La tabla siguiente muestra las potencias de2

1tomando como exponentes nmeros negativos y

positivos.

Con una calculadora podemos hallar las potencias de puntos intermedios, como por ejemplo

....594,0

75,0

2

1

, por lo que tiene sentido unir los puntos obtenidos. La grfica obtenida es la de

la funcinx

y

2

1. Esta funcin se puede asociar,

por ejemplo, a un fenmeno qumico como ladesintegracin de una sustancia radiactiva. El radio esun compuesto qumico radiactivo que,aproximadamente cada 1600 aos, se reduce a la

mitad. Este nmero de aos se llama periodo desemidesintegracin del radio. El valor de y podra

representar, entonces, los gramos residuales queprovienen de 1 gr. inicial de radio, cuando hantranscurrido x perodos, es decir, 1600.x aos.Procediendo de forma anloga, representamos en el mismo grfico las siguientes funciones:

x

y

x

y

x

y

10

1

5

1

3

1

Leyendo las grficas se observa que, funciones de la forma y = ax, con 0 < a < 1, tienen lassiguientes propiedades:

Su dominioes toda la recta real.

Su recorridoson los nmeros reales positivos.

Son decrecientesy continuasen todo su dominio.

Cuando x tiende a - , se verifica que y tiende a +.

Cuando x tiende a + , se verifica que y tiende a 0.

Observa que

x

axa

xa

11 . Por tanto, la funcin y = a-x es igual que la funcin

x

a

y

1.

X y = (1/2)x

... ...-4 16

-3 8

-2 4

-1 2

0 1

1 1/2

2 1/4

3 1/8

4 1/16

... ...

= 1/3x

= 1/5x

= 1/10x


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3. Estudio de algunas situaciones en las que se produce un crecimiento exponencial

a) Inters compuesto

Al nacer Juan, su padre deposit 3.000 soles al 12%. Si no retira el

dinero ni los intereses, qu capital tendr al ao, a los dos aos, etc.?

Qu capital tendr cuando cumpla 18 aos?

Al ao tendr:

336012'1300012'01300012'030003000100

1230003000

Para los aos sucesivos formamos la siguiente tabla:

Aos transcurridos Capital formado

0 3000

1 3000(112)=3360

2 3360(112)=3000(112)2=37632

3 37632(112)=3000(112)3=421484

4 421484(112)=3000(112)4=472055

...

18 3000(112)18=2306989

...

x 3000(112)x

Si colocamos un capital de Cptas. al r%, qu capital se habr formado al cabo de taos? Si

100

ri , entonces se verifica que:Al final del primer ao : F1= C + C i = C(1+i)

Al final del segundo ao : F2= F1+ F1i = C(1+i)2

Al final del tercer ao : F3= F2+ F2i = C(1+i)3

...

Al final del ao-ensimo : Fn = C(1+i)n.

Inters compuestoes una ley de capitalizacin tal que los intereses obtenidos

al final de cada perodo se acumulan al capital para producir nuevos intereses en

el perodo siguiente.

Un capital de Cptas. al r% al cabo de taos se convierte en Ft = C(1+i)t.

Observa que la funcin que da el capital final es una funcin exponencial de base (1+i).


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b) Crecimiento de una poblacin

Una poblacin crece a un ritmo del 2% anual. Estudia la situacin y

determina el tiempo que tardar en duplicarse la poblacin

manteniendo la misma tasa de crecimiento.

Esta situacin ha sido estudiada anteriormente y la funcin que

relaciona el nmero de individuos de la poblacin con el tiempo

transcurrido es:

Poblacin = N . 1'02x

Qu tiempo tardar en duplicarse la poblacin?

Si la poblacin se duplica, la expresin queda: 2N = N . 1'02x ; de donde, 2 = 1'02x ; por lo que se

trata de buscar el nmero al que hay que elevar 1'02 para obtener 2. Procedemos con la calculadora:

1'0230=1'81; 1'0233=1'92; 1'0234=1'96; 1'0235=1'9999;

1'0236=2'03

Por lo que la poblacin se duplicara a los 35 aos.

Si el nmero de habitantes de una ciudad que tiene una tasa de crecimiento anual del 2% es de

10.000, cuntos habitantes tendr dentro de 20 aos?

En esta caso, la relacin existente entre el nmero de habitantes y el de aos transcurridos es:

Poblacin = 10.000 x 102x cuya representacin grfica es

Al cabo de 20 aos, habr:

P=10.000 x 10220=14.859


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Desplazamientos de la exponencial

Anlogamente a lo estudiado anteriormente, podemos desplazar la funcin

exponencial horizontalmente p unidades poniendo x-p en lugar de x

en su expresin analtica, es decir:pxay es un desplazamiento horizontal de la funcin xay de p

unidades

donde

:0

:0

izquierdalaadesplazasep

derechalaadesplazasep

Ejemplos:

Tambin podemos desplazar la funcin exponencial verticalmente q de la siguiente forma:

qay x es un desplazamiento vertical de q unidades

donde

:0

:0

abajohaciadespazaseq

arribahaciadesplazaseq

Ejemplos

y = 2x y = 2x - 6y = 2x + 5

y = 2x

y = 2

x

- 2

y = 2x + 3


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vale !

Finalmente los desplazamientos horizontales y verticales:

qay px es un desplazamiento de la funcin xay de la siguiente forma:

0

00.

0

qsiabajohacia

qsiarribahaciaverical

psiizdalahacia

psiderechalahaciahorizontal

Ejemplo:

Ejercicios para entrenarse en casa.

1. Calcula los valores que toman las siguientes funciones para x = -2, -1, 0, 1, 2

a)

f(x) = 3x

b) g(x) = 3-x

c)

h(x) = (1/3)x

d) k(x) = (1/3)-x

2. Calcula los valores que toman las siguientes funciones para x = -2, -1, 0, 1, 2

3. A partir de la grfica de la funcin f(x) = 2x, dibuja las grficas de las siguientes funciones:

22)()12)()

31

2)()4

2)()32)()

xxfd

xxfb

xxfe

xxfc

xxfa

4. A partir de la grfica de la funcin f(x) = 3 x, dibuja las grficas de las funciones siguientes:

x

xfd

x

xfb

xxfc

xxfa

5

1)()

5

1)()

5)()5)()

y = 2x

y = 2x - 1- 2

y = 2x + 4 + 3


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12

3)()4

3)()

34

3)()13)()

23)()33)()

xxff

xxfc

xxfe

xxfb

xxfd

xxfa

5.

Representa las siguientes funciones:

xxfd

xxfb

xxfc

xxfa

10)()3)()

5)()2)()

6. Representa las siguientes funciones:

x

xfd

x

xfb

x

xfc

x

xfa

10

1)()3

1)()

5

1)()

2

1)()

7.

Cuntos aos tardar un capital de C ptas. en duplicarse al 10% anual? Depender del capitalinicial?

Aos Capital final

0 C

1 C.11

2 C.112= C.121

3 C.113= C.1331

4 C.114= C.14641

5 C.115= C.16105

6 C.116= C.17715

7 C.117= C.19487

... ...

Y en general, si el inters es pequeo, se cumple aproximadamente la ley:

Aos para que se duplique por inters = 70

Es decir: t . r = 70

8. Una poblacin tiene una tasa de crecimiento anual del 2%. Se pide:

a) La funcin exponencial del crecimiento.b)

Si se mantiene ese ritmo de crecimiento, cunto tiempo tardaren duplicarse la poblacin?

Observa que el doble no

depende del capital inicial C; seduplicar aproximadamente alos 7 aos.Si el inters es menor, porejemplo 5%, se puede formaruna tabla anloga y ver que seduplica aproximadamente a los14 aos.


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9.

Se coloca un 6.000 euros al 12% de inters.

a) Cunto dinero se tendr al cabo de 10 aos?b) En cunto tiempo se duplicar?

1. Se calcula que un bosque tiene 24000 m3de madera yque aumenta un 35 % al ao. Cunto tiempo tardar

en duplicarse la cantidad de madera si sigue creciendoen estas condiciones? Otro bosque tiene 50000 m3yla misma tasa de crecimiento. Tardar el mismotiempo en duplicarse? Depende el tiempo deduplicacin de la cantidad de madera inicial?

10. Qu relacin existe entre las grficas de las funcionesf(x) = 3x y g(x) = 3-x. Dibuja la grfica de esta ltimasabiendo que la grfica de f(x) es la siguiente:

2. Si el precio de un producto puede crecer con arreglo a las siguientes funciones: y = 3x o

y = 3x, cul de las dos funciones prefieres si eres comprador?

3. Si el precio de un producto puede crecer con arreglo a las siguientes funciones:x

yoxy

2

1

2

1, cul de las dos funciones prefieres si eres comprador?


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Logaritmo de un nmero

La presin atmosfrica disminuye a medida que nos alejamos de la superficie terrestre. Al nivel

del mar es de 1 atmsfera, pero, aproximadamente, por cada kilmetro que se asciende su valores 09 veces la existente un kilmetro ms abajo.Forma una tabla de valores que exprese esta situacin.

Altura sobre el niveldel mar (km)

Presin atmosfrica(atmsferas)

Al nivel del mar 1

1 0,9

2 092= 0,81

3 093= 0,729

4 094= 0,656

5 095= 0,590

6 096= 0,531

... ...

x 09x

Veamos ahora el problema inverso: A qu altura se encontrar un globo sonda que marca en unbarmetro 0325 atmsferas?

Si representamos por xla altura, tendremos que resolver la ecuacin: 0325 = 09x.Para obtener una solucin aproximada podemos prolongar la tabla y vemos que el globo seencontrar entre 10 y 11 km sobre el nivel del mar.

El valor exacto de xse define como el logaritmo en base 09 de 0325, lo que escribimos del

siguiente modo: 325'0logx 9'0

De lo anterior se deduce que:x

9'0 9'0325'0325'0logx

La extraa palabra logaritmo fue introducida a finales del siglo XVI por el matemtico inglsJohn Naiper (1550-1617).

Logaritmo en base a de un nmero Nes el exponente al que hayque elevar la base para obtener dicho nmero:

x

a aNxN log

Altura sobre el niveldel mar (km)

Presin atmosfrica(atmsferas)

8 098= 0430479 099= 038742

10 0910= 034868

11 0911= 031381

12 0912= 028243


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Cuando do la base a = 10, se llaman logaritmos decimalesy se expresan simplemente por log en vez delog10Cuando la base a = nmero e , se llaman logaritmos neperianosy se expresan simplemente por ln envez de loge

1. Propiedades de los logaritmos

De la definicin de logaritmo se deduce que :

El logaritmo de 1 es 0: loga1 = 0 , ya que ao= 1.

El logaritmo de la base es 1: logaa = 1 , ya que a1= a.

Logaritmo de un producto

Con la calculadora cientfica, sigue esteesquema:

2 log 0301...

por mas

7 log 0845...

14 log 1146...

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

Logaritmo de un cociente

De una forma general se tiene:N = ax x = logaNM= ay

y = logaM

N.M = ax+y

x + y = loga(N.M)

LogaN + logaM = loga(N.M)


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75 log 1875...

entre Menos

25 Log 1398...

3 Log 0477...

El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos del dividendo y del

divisor.

Logaritmo de una potencia


2 Log 0301...elevado Por

5 Exponente 5

32 Log 1,505...

El logaritmo de una potencia es igual al producto del

exponente por el logaritmo de la base.

De una forma general se tiene:N = ax x = logaNM= ay

y = logaM

N/M = ax-y x - y = loga(N/M)

LogaN logaM = loga(N/M)

De una forma general se tiene:

N = ax

x = logaNNm= axm= amx mx = logaN

m

m LogaN = logaNm


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Cambio de base de un logaritmo

Como en las calculadoras cientficas las teclas que hay para calcular logaritmos son de base 10 obase el nmero e , vamos a dar una frmula que nos permita calcular cualquier logaritmo con lacalculadora :

a

xx

b

ba

log

loglog

En nuestro caso cambiaremos a base 10 e :

As por ejemplo

321928'230103'0

69897'0

2log

5log52log 321928'2

6931471'0

6094379'1

2ln

5ln52log

3. La funcin logartmica y = log x

Para calcular logaritmos en base 10, o logaritmos decimales con la calculadora cientfica, pulsa la

tecla log .

Formamos la tabla de valores y representamos la grfica de la funcin y = log x.

Leyendo la grfica, se tiene que la funcin logartmica y = log x tiene las siguientespropiedades:

Su dominioes el conjunto de los nmeros reales positivos. Su recorridoson todos los nmeros reales.

Es crecientey continuaen todo su dominio. Cuando x tiente a 0+, se verifica que y tiende a : (x 0+ y ) Cuando x tiente a +, se verifica que y tiende a +: (x + y )

Qu relacin existe entre la funcin exponencial y la funcin logartmica?

Si introduces un nmero cualquiera en tu calculadora y pulsas la tecla 10x y a continuacin la

tecla log , qu obtienes?

Por ejemplo: 23 10x 19952623 log 23

x log x

-1 error

0 error

01 -1

1 0

2 03010310 1

100 2

logax =log a

ln x

ln a=

log x


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Esto quiere decir que la composicin de las funciones y = 10x e y = log xes igual a lafuncin identidad [i(x) = x]. Entonces las funciones y = 10x e y = log xson inversas o recprocas

y sus grficas son simtricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.Por ello se puede obtener la grfica de una funcin logartmica de cualquier base por

simetra con la bisectriz del 1er cuadrante con la exponencial de la misma base.

4. Funcin logartmica de base a > 1

Como la funcin xxf alog)( es inversa de la funcinx

axg )( . Cuando la base es 1a :

5. Funcin logartmica de base 0 < a < 1

Analogamente cuando la base 0 < a 1 :

Dominio : ),0(

Recorrido :

Creciente en su dominio Continua en su dominio Asntota vertical x = 0 a la derecha de 0

xlim ax

log0

xlim ax

log

Propiedades de y = logax con 0 < a < 1 :

Dominio : ),0(

Recorrido : Decreciente en su dominio Continua en su dominio Asntota vertical x = 0 a la derecha de 0

xlim ax

log0

xlim a

xlog

y = logax

y = ax

a>1

1

1

y=logax

y=ax

0 < a < 1

1

1


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Ejercicios1. Graficar las siguientes expresiones

2. A partir de la definicin de logaritmo, y sin usar la calculadora, halla los siguiente logaritmos:

1000000log100log10log)

0000001,0log01,0log1,0log)

10000log100log10log1log)

c

b

a

3. Calcula los siguientes logaritmos:

16

12log

4

12log

2

12log)

644log642log42log)

b

a

4.

Halla con la calculadora los logaritmos decimales de los nmeros 2, 20, 200, 2000. Encuentrasalguna relacin entre ellos?

5. Si el log 5 = 0699, cul ser el logaritmo de 500?Y el de 05?

6. Halla con la calculadora los valores de x en las siguientes ecuaciones:a) 324 = 10x c) 137 = 3xb) 026 = 2x d) 428 = 12x.

6. Verdadero o falso? Por qu?a) log 2 + log 3 = log 5b)

log 2 + log 3 =log 6c) log 15 log 5 = log 10d) log 15 log 5 = log 3

e) log 23= (log 2)3f) log 23= 3 log 2

7. Reemplaza la interrogacin por el valor que proceda:

1

log ?; log 4 2; log 125 ?;56 ?36

1 1log 3; log 2; log ? 2;

? ? 327 25

1 3log 625 4; log 3; log 25 ?;

5? ?216

1log 0 ' 5 ; log 1296 ?; log 256 ?;

? 6 42

1 3log ? ; log ? ; log ? ;

128 363 2

na

3

4

23

5

10

1. ( ) log

2. ( ) log

3. ( ) log

4. ( ) log

5. ( ) log

f x x

f x x

f x x

f x x

f x x

1

2

3

2

3

2

6. ( ) log ( 2)

7. ( ) log ( 1)

8. ( ) log 1

9. ( ) 1 log

10. ( ) 2 log 2

f x x

f x x

f x x

f x x

f x x


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8. Calcula la base de cada uno de los logaritmos siguientes de forma que sea vlida la igualdad:

2

17log;27log;23log;

4

1

49

1log

xxxx

9. Comprueba las igualdades siguientes:

3loglog2

3

2

log

log2100

log;100log2

10loglog

2

1

3

33log;2

4

1

21log;24

21log

xx

xx

xx

10. Expresa en funcin de log2a las expresiones siguientes:

11. Sabiendo que log 5 = 06990, calcula:

80

83

25'0log;125'0125log;3

2

625'0log

12. Calcula:

749log7;42log2log;

37log7;7log

10

13. Calcula el valor de A sabiendo que:

27log7log

B

B

A

14. Representa grficamente la funcin logartmica dada por la frmulaHalla las imgenes de los nmeros: 8/27; 4/9; 2/3; 9/4; 27/8.

16. Dada la funcin x3

logf(x) . Se pide :

a) Halla la imagen de 1/9; 1/3; 1; 3 y 9.

b) Representa grficamente la funcin f(x)

c) A partir de la grfica del apartado anterior dibuja la grfica de la funcin g(x)=3x

532log;3

2

5

4

3

2log aaa

xf2

3log(x)

funcion exponencial y logaridmica

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