funcion descriptiva

SISTEMAS DE SISTEMAS DE CONTROL IICONTROL II

Análisis de sistemas de control no Análisis de sistemas de control no lineales mediante la función lineales mediante la función

descriptiva.descriptiva.

22

Sistemas no linealesSistemas no lineales Muchas relaciones entre magnitudes físicas no son Muchas relaciones entre magnitudes físicas no son

lineales, pero se aproximan mediante ecuaciones lineales, pero se aproximan mediante ecuaciones lineales.lineales.

En los sistemas no lineales, la respuesta del sistema En los sistemas no lineales, la respuesta del sistema depende de la magnitud y tipo de entrada. Por ejemplo depende de la magnitud y tipo de entrada. Por ejemplo pueden presentar comportamiento totalmente distinto pueden presentar comportamiento totalmente distinto ante entradas escalón de diferentes amplitudes.ante entradas escalón de diferentes amplitudes.

No rige el principio de superposición (la respuesta No rige el principio de superposición (la respuesta producida por la aplicación simultanea de dos funciones producida por la aplicación simultanea de dos funciones excitadoras distintas es la suma de las dos respuestas excitadoras distintas es la suma de las dos respuestas individuales.individuales.

33

Fenómenos no lineales en Fenómenos no lineales en sistemas de controlsistemas de control

Inherentes al sistema: son inevitables y afectan en forma Inherentes al sistema: son inevitables y afectan en forma adversa el comportamiento del sistema.adversa el comportamiento del sistema.

Saturación.Saturación. Zona muerta.Zona muerta. Histéresis.Histéresis. Juego.Juego. Fricción estática no lineal.Fricción estática no lineal. Elasticidad no lineal.Elasticidad no lineal. Compresibilidad de fluidos.Compresibilidad de fluidos.

Deliberados: se añaden intencionalmente para mejorar Deliberados: se añaden intencionalmente para mejorar su comportamiento o simplificar la construcción con su comportamiento o simplificar la construcción con mejoras en el factor económico, peso, espacio, mejoras en el factor económico, peso, espacio, confiabilidad).confiabilidad).

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Procedimiento de análisis y diseño Procedimiento de análisis y diseño de sistemas de control no lineales.de sistemas de control no lineales.

No hay un método general. (Ecuaciones diferenciales no No hay un método general. (Ecuaciones diferenciales no lineales).lineales).

Si el grado de no linealidad es pequeño, se puede Si el grado de no linealidad es pequeño, se puede utilizar técnicas de linealización equivalente y resolver el utilizar técnicas de linealización equivalente y resolver el problema linealizado (Ej la función descriptiva).problema linealizado (Ej la función descriptiva).

El método de la función descriptiva permite estudiar la El método de la función descriptiva permite estudiar la estabilidad desde el punto de vista del dominio de la estabilidad desde el punto de vista del dominio de la frecuencia. No da información exacta sobre las frecuencia. No da información exacta sobre las características de respuesta temporal.características de respuesta temporal.

También se recurren a soluciones mediante el empleo También se recurren a soluciones mediante el empleo de computadoras a través de simulaciones.de computadoras a través de simulaciones.

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Funciones descriptivas (F. D.)Funciones descriptivas (F. D.)IntroducciónIntroducción

Es un método de linealización equivalente de elementos Es un método de linealización equivalente de elementos no lineales con bajo grado de no linealidad.no lineales con bajo grado de no linealidad.

Se supone una entrada senoidal a un elemento no lineal.Se supone una entrada senoidal a un elemento no lineal. En general, la salida no es senoidal.En general, la salida no es senoidal. Se supone que la salida es periódica con periodo igual al Se supone que la salida es periódica con periodo igual al

de la entrada (armónicas superiores presentes).de la entrada (armónicas superiores presentes). En la F. D. se supone que solo la componente armónica En la F. D. se supone que solo la componente armónica

fundamental es significativa.fundamental es significativa. La F. D. senoidal de un elemento no lineal está definida La F. D. senoidal de un elemento no lineal está definida

como una relación compleja entre la componente como una relación compleja entre la componente armónica fundamental de la salida respecto a la entrada:armónica fundamental de la salida respecto a la entrada:

66


Por tanto, se necesita hallar la componente armónica Por tanto, se necesita hallar la componente armónica fundamental de la salida.fundamental de la salida.

salidadelfundamentaarmonicacomponentedefasedeentoDesplazami

salidadelfundamentaarmónicacomponenteladeAmplitudY

entradadesenoidedeAmplitudX

criptivaFuncióndesNX

YN

1

1

11

77


Si la característica no lineal es antisimétrica Ao =0 y la Si la característica no lineal es antisimétrica Ao =0 y la componente armónica fundamental de salida es:componente armónica fundamental de salida es:

)(,

)()()(1

)()cos()(1

)(()(

)()cos(()(

22

2

0

2

0

10

10

n

nnnnn

n

n

nnn

nnn

B

AarctgBAY

tdtnsentyB

tdtntyA

donde

tnsenYAtY

tnsenBtnAAtY

)()()cos()( 11111 tsenYtsenBtAtY

Y la función descriptiva esta dada por:Y la función descriptiva esta dada por:

Para una entrada senoidalPara una entrada senoidal

al elemento no lineal, la salida al elemento no lineal, la salida y(t) se puede expresar como una y(t) se puede expresar como una serie de Fourier,serie de Fourier,

)()( tXsentx

)(1

112

12

11

1

B

Atg

X

BA

X

YN

88

EjemploEjemploElemento no lineal de SI-N0Elemento no lineal de SI-N0

Elemento no lineal de dos posiciones – Elemento no lineal de dos posiciones – conexión desconexión.conexión desconexión.

99

EjemploEjemploElemento no lineal de SI-N0Elemento no lineal de SI-N0

X

M

X

YN

tM

ty

Mtdt

MY

Mtyemplazando

tdttytdttyY

40

)sen(4

)(

4)()sen(

2

)(Re

)()sen()(2

)()sen()(1

1

1

0

1

0

2

0

1

Donde:

1010

Elemento no lineal si-noElemento no lineal si-nocon histéresiscon histéresis

1111

No linealidad de umbralNo linealidad de umbral

1212

Elemento no lineal de saturaciónElemento no lineal de saturación

1313

Análisis de sistemas no lineales Análisis de sistemas no lineales mediante la función descriptivamediante la función descriptiva

Si las armónicas superiores Si las armónicas superiores generadas por el elemento no generadas por el elemento no lineal se atenúan lineal se atenúan suficientemente por los suficientemente por los elementos lineales, se puede elementos lineales, se puede predecir la estabilidad del predecir la estabilidad del sistema mediante el análisis sistema mediante el análisis con la función descriptiva.con la función descriptiva. N

jG

jNG

resultaticacaracterisecuaciónLa

complejaorealiablegananciaunaesN

jNG

jNG

jR

jC

1)(

0)(1

:

var

)(1

)(

)(

)(

1414


Donde -1/N se transforma en el lugar de los puntos Donde -1/N se transforma en el lugar de los puntos críticos a diferencia del punto -1+j0 considerado en el críticos a diferencia del punto -1+j0 considerado en el análisis convencional.análisis convencional.

La posición relativa del diagrama -1/N y del diagrama La posición relativa del diagrama -1/N y del diagrama G(jG(j) proporciona la información sobre la estabilidad.) proporciona la información sobre la estabilidad.

Se supone que todos los polos y ceros de G(jSe supone que todos los polos y ceros de G(j) están ) están en el semiplano izquierdo de “s”, incluyendo el eje jen el semiplano izquierdo de “s”, incluyendo el eje j o o que el sistema es de fase mínima.que el sistema es de fase mínima.

1515


El criterio de estabilidad consiste en que -1/N no El criterio de estabilidad consiste en que -1/N no está rodeado por el diagrama de G(jestá rodeado por el diagrama de G(j) (Sistema ) (Sistema estable, no hay ciclo límite en estado estable, no hay ciclo límite en estado estacionario). En caso contrario, es inestable estacionario). En caso contrario, es inestable (oscilación creciente).(oscilación creciente).

Obs: en ciertas aplicaciones se puede aceptar Obs: en ciertas aplicaciones se puede aceptar un ciclo limite de pequeña magnitud. Lo ideal es un ciclo limite de pequeña magnitud. Lo ideal es que no exista.que no exista.

1616

Exactitud del análisis de la función Exactitud del análisis de la función descriptiva.descriptiva.

La amplitud y frecuencia del ciclo límite La amplitud y frecuencia del ciclo límite indicadas por la intersección de los diagramas indicadas por la intersección de los diagramas de -1/N y G(jde -1/N y G(j) son valores aproximados.) son valores aproximados.

Si -1/N y G(jSi -1/N y G(j) son casi perpendiculares, la ) son casi perpendiculares, la exactitud es buena.exactitud es buena.

Si todas las armónicas superiores se atenúan, la Si todas las armónicas superiores se atenúan, la exactitud es excelente.exactitud es excelente.

Si -1/N y G(jSi -1/N y G(j) son casi tangentes o tangentes, ) son casi tangentes o tangentes, la exactitud depende de G(jla exactitud depende de G(j) (en cuanto a la ) (en cuanto a la atenuación de las armónicas).atenuación de las armónicas).

1717

Estabilidad de oscilaciones Estabilidad de oscilaciones sostenidas o ciclos límitesostenidas o ciclos límite

Ciclo límite estable

Ciclo límite inestable (XA,A) No se puede

observar en forma experimental

1818

EjerciciosEjercicios

Graficar las curvas de nivel en función del Graficar las curvas de nivel en función del tiempo para:tiempo para: Válvula de entrada con mayor caudal que la de salidaVálvula de entrada con mayor caudal que la de salida Válvula de salida con mayor caudal que la de Válvula de salida con mayor caudal que la de

entradaentrada

2020

Ejercicio B 8.1Ejercicio B 8.1

Determinar amplitud y Determinar amplitud y frecuencia de ciclo frecuencia de ciclo limitelimite

2121

TareaTarea

Deduzca la ecuación Deduzca la ecuación de la función de la función descriptiva N para el descriptiva N para el elemento no lineal de elemento no lineal de histéresis de la figurahistéresis de la figura

funcion descriptiva

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