RECTAS PARA 3º E.S.O.RECTAS PARA 3º E.S.O.

y = mx + n

2 4 6-2-4

2

4

-2

-4

Función afínFunción afín

Ecuación y = mx + n• m es la pendiente

Si m = 0 se llama función constante con ecuación y = n

Cuanto mayor es el valor absoluto de m, mayor es la inclinación de la recta.

• n es la ordenada en el origen.

Ejemplos y = x + 3 y = 5x - 2 y = -x + 3

Ejemplo y = x Ejemplo y = x

Tabla Función

x y

-2 1

0 3

3 6

+ 3 + 3

Ejemplo y = 5x Ejemplo y = 5x

Tabla Función

x y

-1 -7

0 -2

1 3

2 8

- 2- 2

Ejemplo y = -x Ejemplo y = -x

Tabla Función

x y

-2 5

0 3

3 0

5 -2

+ 3 + 3

Todos los ejemplos juntosTodos los ejemplos juntos

Función

A mayor m en módulo, mayor es la inclinación de la recta

Analogías– Ninguna pasa por el

punto (0,0)

– Pasan por el punto (0,n)

Diferencias– Si m>0 la recta es

creciente

– Si m<0 la recta es decreciente

y = x + 3

y = 5x - 2

y = -x + 3

Función lineal Función lineal (n = 0)(n = 0)

Ecuación y = mx• m es la pendiente

Ejemplos y = x

y = 3x

y = -3x

Ejemplo y = xEjemplo y = x

Tabla Función

x y

-2 -2

1 1

3 3

Ejemplo y = 3x Ejemplo y = 3x

Tabla Función

x y

-2 -6

0 0

3 9

Ejemplo y = -3xEjemplo y = -3x

Tabla Función

x y

-2 6

0 0

3 -9

Todos los ejemplos juntosTodos los ejemplos juntos

Función

A mayor m en módulo, mayor es la inclinación de la recta

Analogías– Todas pasan por el

punto (0,0)

Diferencias– Si m>0 la recta es

creciente– Si m<0 la recta es

decreciente

y = x

y = 3xy = -3x

Estudio de la pendienteEstudio de la pendiente

Considera la recta que pasa por el origen y forma un ángulo de inclinación con el eje x.

x1 y1 , x2 y2 y x3 y3

son semejantes; se tiene por Tales que:

Como los triángulos de catetos

mx

y

x

y

x

y ===3

3

2

2

1

1

Ecuaciones de la rectaEcuaciones de la recta

ExplícitaPunto pendienteRecta que pasa por dos puntosGeneral

ExplícitaExplícita

y = mx + n

Ejemplo. Halla la recta de pendiente 5 y de ordenada en el origen -3.

• Sol: y = 5x - 3

Punto pendientePunto pendiente

y - y0= m(x - x0)

Ejemplo. Halla la recta que pasa por el punto (1,-2) y tiene por pendiente -1.

• Sol: y - (-2) = -1(x - 1)y + 2 = -x + 1

y = -x - 1

Recta que pasa por dos puntosRecta que pasa por dos puntos

01

01

xx

yym

−−=

22

4

02

15 −=−

=−−

−=m

La pendiente de la recta que pasa por los puntos P =(x0,y0) y Q =(x1,y1) es

Dados los puntos (0,1) y (-2,5) de una recta, halla su pendiente.

• Sol:

GeneralGeneral

ax+by+c=0 Si despejamos en la ecuación el valor de

y, nos queda:

b

cx

b

ay −−=

m n

Ejemplos de ecuaciones de la rectaEjemplos de ecuaciones de la recta

Ejemplo 1

Sea la ecuación explícita de la recta r

y = 5x – 3

Halla las restantes ecuaciones de dicha recta.• General

• Punto pendiente• Recta que pasa por dos puntos

Solución del ejemplo 1Solución del ejemplo 1

• General: y - 5x – 3 = 0• Punto pendiente. Se ve en la ecuación explicita que la

pendiente es 5 y elijo un punto que cumpla la recta (1,2).

y – 2 = 5 (x - 1)• Recta que pasa por dos puntos. Elijo dos puntos

que cumplan la recta para hallar la pendiente. A (1,2) y B (2,7)

51

5

12

27 ==−−=m

Ahora uso la ecuación de la recta pendiente

y – 1 = 5 (x - 2)

Ejemplos entre las diferentes Ejemplos entre las diferentes ecuaciones de la rectaecuaciones de la recta

Ejemplo 2

Sea la ecuación general de la recta r

4x + 2y - 6 = 0

Halla las restantes ecuaciones de dicha recta.• Explícita

• Punto pendiente• Recta que pasa por dos puntos

Solución del ejemplo 2Solución del ejemplo 2

• Explícita: y = - 2x + 3• Punto pendiente. Se ve en la ecuación explicita que la

pendiente es -2 y elijo un punto que cumpla la recta (2,-1).

y + 1 = -2 (x - 2)• Recta que pasa por dos puntos. Elijo dos puntos

que cumplan la recta para hallar la pendiente. A (2,-1) y B (4,-5)

22

4

24

)1(5 −=−=−

−−−=m Ahora uso la ecuación

de la recta pendiente

y – 1 = 5 (x - 2)

Ejercicio 1Ejercicio 1

• En el arreglo de una persiana se invierten 30 minutos.• a) Realiza una tabla que muestre el tiempo

necesario para arreglar 2, 3, 5 y 10 persianas.• b) Representa la gráfica acorde con estos datos.• c) Halla la expresión analítica de la función.• d) ¿Hay relación entre el tiempo y el número de

persianas arregladas? ¿De qué tipo?

Ejercicio 2Ejercicio 2

• Al realizar un viaje en taxi, el conductor cobra una cantidad fija (bajada de bandera) de 3 euros y una cantidad variable que depende de la duración del viaje. Cada minuto cuesta 0.75 euros.• a) Realiza una tabla que muestre el coste de un trayecto de 5,

10, 20 y 30 minutos.• b) Representa la gráfica acorde con estos datos.• c) Halla la expresión analítica de la función.• d) Si disponemos de un máximo de 20 euros ¿cuánto tiempo

durará el viaje?

Posiciones relativas de dos rectas en Posiciones relativas de dos rectas en el planoel plano

Dos rectas cualesquiera del plano pueden adoptar una de estas tres posiciones relativas.

a) Rectas paralelasb) Rectas coincidentesc) Rectas secantes (se cortan)

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

•

•

L

x

y

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

•

•

L

x

y

1-1

1

-1

2

2

3

3

4

4

5

•

•

L

x

y

Son rectas con misma pendiente y distinta ordenada en el origen

Son rectas con misma pendiente y misma ordenada en el origen

Son rectas con distinta pendiente