función: parte entera, valor absoluto y raíz...
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Clase Función: Parte entera, Valor
absoluto y Raíz cuadrada
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APRENDIZAJES ESPERADOS
• Representar gráficamente las funciones: parte entera, valor absoluto y raíz cuadrada.
• Analizar el comportamiento gráfico y analítico de las funciones: parte entera, valor absoluto y raíz cuadrada.
• Determinar dominio y recorrido de funciones que involucran raíces cuadradas, valor absoluto o parte entera.
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Contenidos 1. Función Parte entera
2. Función Valor absoluto
1.1 Definición 1.2 Gráficos
2.1 Definición 2.2 Propiedades
3. Función Raíz Cuadrada
2.3 Gráficos
3.1 Definición 3.2 Gráficos
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1. Función Parte entera
Es de la forma: f(x) = [x]
Ejemplos:
[x] corresponde al menor de los dos enteros, entre los cuales está comprendido x.
a) [2,3] = 2
1.1. Definición
Si x es entero, [x] = x
b) [8,9] = 8
c) [-6,4] = -7
d) [-4] = -4
Dom(f)= IR
Rec(f) = IZ
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1.2. Gráfico f(x) = [x]
y
x 1 2 3 4
- 1 - 2 - 3
- 2 - 3
1 2 3
o o
o
o o
o
o
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2. Función valor absoluto 2.1. Definición
Es de la forma: f(x) = x
x = x si x ≥ 0
-x si x < 0
Ejemplos:
c) 25 = 25 a) -3 = 3
b) -4,6 = 4,6 d) 0 = 0
Dom(f)= IR
Rec(f) = IR+ U {0}
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2.2. Propiedades a) Si x ≤ a, entonces -a ≤ x ≤ a
Ejemplo:
Si x – 4 ≤ 3, entonces -3 ≤ (x – 4) ≤ 3
-3 + 4 ≤ (x – 4) + 4 ≤ 3 + 4
1 ≤ x ≤ 7
/ +4
x Є [1,7]
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Ejemplo:
Si 2x – 3 ≥ 4, entonces:
ó 2x – 3 ≥ 4 -(2x – 3) ≥ 4
b) Si x ≥ a, entonces x ≥ a ó -x ≥ a
2x ≥ 4 + 3
x ≥ 7 2
-2x + 3 ≥ 4
-2x ≥ 4 - 3
-2x ≥ 1 /: (-2)
x ≤ -1 2
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Ejemplo:
c) Si x·y = x · y
3·5 = 3 · 5
15 = 3 · 5
d) Desigualdad triangular: x + y ≤ x + y
-6 + 5 ≤ -6 + 5
Ejemplo:
-1 ≤ 6 + 5
1 ≤ 11
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2.3. Gráfico
f(x) = x
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Ejemplos:
1. f(x) = x + 1
-1
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-1
2. f(x) = x - 1
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-1
3. f(x) = x + 1
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4. f(x) = x - 1
-1
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5. f(x) = - x
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3. Función raíz cuadrada 3.1. Definición
Es de la forma: f(x) = x , con x ≥ 0
Su representación gráfica:
Dom(f)= IR+ U {0}
Rec(f) = IR+ U {0}
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Propiedad:
Ejemplos:
x2 = |x|
Sin embargo, para resolver la siguiente ecuación, por ejemplo, se tiene:
x2 = 36 /
x2 = 36
|x| = 6
x = 6
x = -6
ó
25 = 52 = |5| = 5
16 = 42 = |4| = 4 - 4 = - 22 = - |2| = - 2
49 = - 72 = -|7| = - 7 - a)
b)
c)
d)
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Dom (f)= IR+ U {0}
Observación:
• Cuando se tiene f(x) = – x , se está considerando que
la raíz es negativa, es decir , las imágenes son
menores o iguales a cero. De esta forma, también se
habla de la función raíz, con su rama negativa.
Rec(f)= IR- U {0}
Su representación gráfica: y
x
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Ejemplos:
1. Determinar el dominio y recorrido de f(x) = 2x -6
Solución: El dominio se obtiene de la desigualdad:
2x – 6 ≥ 0 2x ≥ 6 x ≥ 3
Los reales x que tienen imagen f(x) real, son aquellos que satisfacen la desigualdad x ≥ 3.
Por lo tanto:
Dom(f)=[3, +∞[
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x
y
3
Gráficamente:
Rec(f) = IR+ U {0} El recorrido de la función es:
o también: Rec(f) = [0,+∞ [
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2. Determinar el dominio y recorrido de: f(x) = 5x -10 +4
Solución: El dominio se obtiene de la desigualdad:
5x – 10 ≥ 0 5x ≥ 10 x ≥ 2
Los reales x que tienen imagen f(x) real, son aquellos que satisfacen la desigualdad x ≥ 2.
Por lo tanto:
Dom(f)=[2, +∞[
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Gráficamente:
x
y
3 2 1
1 2 3 4
El recorrido de la función es:
o también:
Rec(f) = [4,+∞[
Rec(f) = {y Є IR / y ≥ 4}
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