Dando continuidade à publicação do texto sobre FUNÇÃO, iniciadano número anterior desta revista, transcrevemosa seguir as situaçõesde números20 a 25, com os respectivoscomentários parao professor.Somente foram numeradas,em seqüênciaàs das situaçõesanteriores.asfigurasdo texto do aluno.

SITUAÇOES 20,21,22, 23, 24 e 25.

Nestas situações,desenvolve-seum estudo doplano cartesiano, visando, a partir da situaçãon?24, a construção de gráficos para as funçõesapresentadas.

SITUAÇAO N,o 20

Meu amigo Juca mudou-se para outra cidadeeconvidou-me a visitá-Io. Para que eu encontrassefacflmente sua casa. ele me enviou um mapa comalgumas indicações. Eis o meu mapa.

ILAGOI

oo~oooo~oooOOOOOBOO CJ~ 0000000000000OOOO:~OOOOO

00000000000SAíDA DA CIDADE

00000000000OOOOOOOOEJO

Fig.852

If/IIIII""'" FUNÇÃO. \

)SEGUNDA PARTE. EQUIPE DE ENSINO DE MA TEMÁ TICA

do IMECC I UNICAMP

Juca me disse: "Você desce na Rodoviária,anda três quarteirões à direita e está na rua da mi-nha casa. Então, vocêsobe dois quarteirões e chegaà minhacasa.Nãohácomo errar"

De fato, não tive problemas para chegar à casadele. Mas você já imaginou se eu, não prestandoatenção, tivesse trocado as indicações e, descendona Rodoviária, andasse dois quarteirões à direita e,em seguida, tivesse subido três quarteirões? Ondeé que eu teria ido parar?

Também foi muito fácil passear pela cidade.Descobri que tendo um ponto de referência, podiair para onde quisesse, apenas seguindo o mapa.Usei, então, a EstaçãoRodoviária como ponto dereferênciae fiz o seguinte:

1) Pãra ir ao lago, parti da Estação Rodoviá-ria e andei cinco quarteirões à esquerda.Em seguida, desci três quarteirões. Meu

amigo Juca, partindo da Rodoviária, cos-tuma usar outro caminho. Qual poderiaser?

Para evitar discussões inúteis, meu amigo e eudecidimos tomar a Rodoviária como ponto dereferência e traçar itinerários, andando sempreprimeiro para a direita (ou esquerda) e depoissubindo (ou descendo).

2) O que fizemos:a) Parair ao cinema?b) Parair ao Zoo?c) Parair à missa?d) Para visitar a escola onde estuda meu

amigo?e) Parachegarao supermercado?

Paraque Juca e eu pudéssemos encontrar maisfacilmente esses lugares, resolvemosesquematizaro mapacomo mostrao desenhoda figura 9.

Neste esquema, cada ponto de intersecçãodaslinhas representa um quarteirão. Paradistinguir osquarteirões à direita da rodoviária,dos quarteirõesà esquerdada rodoviária,usamosnúmerospositivosà direita e números negativosà esquerda.Tambémnumeramos positivamente os quarteirões situadosacima da rodoviária e, negativamente os situadosabaixo dela.

Fig.9

Verificamos, então, que os caminhos podiamser representadoscomo um par de números. Olhea casado Juca: três quarteirões à direita da rodoviá-ria e dois quarteirõesacima.

A ordem dessesnúmerosé também importante:dois quarteirões à direita e três acima nos condu-zem a outro lugar. O par de nlJmerosdevia,então,ser considerado em certa ordem. Era um par arde-

53

I'

CINEMA 3 ESCOLA

CASA

IGREJtÊDO

JUCA

1

SUPER-MER- RODO-

,.CADO VIÁRIA-- -5' -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4

-1

I -2

LAGO -3 ZOO

-4

nado de números. Indicamos assim este par orde-nado: (3, 2)

3) Qual a indicação1) O lago2) O ci nema3) O zôo

dos demais itinerários?

4) A igreja5) O colégio6) O supermercado

Introduzem-se nesta situação, as coordenadascartesianas de um ponto do plano, a partir de umexemplo bastante prático e simples.

Detalhes importantes da estorieta tais como:a) "decidir tomar a Rodoviária como ponto dereferência e traçar itinerários andando, sempre,primeiro para a direita (ou esquerda) e depois su-bindo (ou descendo)" e b) "representar os itinerá-rios através de um par ordenado de números"devem merecer especial atenção visto encerrarem,em última análise, as condições básicas da repre-sentação cartesianade pontos no plano.

As respostasao item 2 são:a) Para ir ao cinema andamos, a partir da Ro-

doviária, três quarteirões à esquerda e, emseguida, subimos outros três quarteirões.

b) Para ir ao Zôo, andamos, a partir da Rodo-viária, quatro quarteirões à direita, descen-do-se,então, três quarteirões.

c) Para ir à missa não é necessário andarquarteirões à direita ou à esquerda da Ro-doviária. Apenas subimos dois quarteirões,a partir dela.

d) Para visitar a escola onde estuda meu ami-go, andamos dois quarteirões à direita, apartir da Rodoviária e então subimostrês quarteirões.

e) Para chegar ao supermercado, andamos,a partir da Rodoviária, cinco quarteirõesà esquerda. Não é necessáriosubir ou des-cer quarteirões.

No item n? 3, a indicação dos itinerários de-veráser:

1)2)3)4)5)6)

o lago:O cinema:O zôo:A igreja:O colégio:O supermercado

SITUAÇAO N.o 21

(-5, -3)(-3, 3)(4, -3)(0,2)(2, 3)(-5, O)

1) Num papel quadriculado, construa duas retasnuméricas que estejam na mesma posição queas retas do esquema anterior.

54

2) Com a ajuda destas retas, localize os pontosque correspondem aos pares ordenados:a) a(2, 5) I) 1(-5, O)b) b(-3,4) m) m(O, -1)c) c(3, -~) n) n(3, O)d) d(-2, -4) o) 0(0, O)e) e(7, 1) p) p(-7, -5)f) f(-1,6) q) q(2,1)g) g(-5, -7) r) r(5, -3)h) h(4, O) s) s(3, 3)i) i(O,3.) t) t(-2, -2)j) j(4, -3) u) u(8,8)

3) Considere o par (2, 5) e sua localização quecorresponde a um ponto do plano que chama-remos de s.

5+ 1 S(2,5)IIIIIIIIII

2

Fig. 10

4) O segmentoque une o ponto s à reta verticalé paralelo à reta horizontal e tem 2 unidadesde comprimento. Chamaremosde abscissa doponto s ao número 2, porque 'está localizadoduas unidades à DIREITA da linha vertical.

5) O segmentoque uneo ponto sà reta horizontalé paralelo à reta vertical e tem 5 unidadesdecomprimento. Chamaremos de ordenada doponto s ao número 5, porque está localizadocinco unidades ACIMA da linha horizontal.

6) Considere o par (-3, -1) e sua localizaçãoque corresponde a um ponto do plano quechamaremosde t.

-3I

L t-I+(-3, -I)

Fig. 11

7) O segmento que une o ponto t à reta verticalé paralelo à reta horizontal e tem 3 unidadesdecomprimento. Chamaremosde abscissado pon-to t ao número -3, porque está localizado 3 ~.

unidades à ESQUERDAda linhavertical.8) O segmento que une o ponto t à reta horizon-

tal é paralelo à reta vertical e tem 1 unidade decomprimento. Chamaremos de ordenada doponto t ao número -1, porque está localizado1 unidade ABAIXOda linhahorizontal.

y

--., p(x,y)IIIIIII,

x

Fig.12

A todo ponto do plano está associado um parde números: a abscissa e a ordenada deste ponto.

Dizemos que a abscissa e a ordenada de umponto são as coordenadas cartesianas desse ponto.Qualquer ponto do plano pode ser localizadoatravés de suas coordenadascartesianas.

A reta horizontal é chamada de eixo cartesianodas abscissas.

A reta vertical é chamada de eixo cartesianodas ordenadas.

Os eixos cartesianos são normalmente consi-derados perpendiculares, (figura 12).

Maspodem não ser perpendiculares,(figura 13).

Esse método de localização de pontos deve-sea REN~ DESCARTES,filósofo e matemático fran-cês, de cujo nome deriva a denominação "carte-siano".

Nesta situação, inverte-se o trabalho realizadoanteriormente. Agora, propomos o par ordenado(isto é, o itinerário) e pedimos o ponto que corres-ponde a ele.

Fixada a forma de localização destes pontos,caracterizam-se as distâncias percorridas horizon-tal e verticalmente como abscissas e ordenadas,respectivamente,do ponto dado, chegando-seassimàs coordenadas cartesianas de um ponto do plano.

--.,-p (x,y)I

II

II

II

Fig.13

55

SITUAÇAO N~ 22

1) Determine as coordenadas dos pontos assinala-dos na figura 14 e preencha com elas a tabelada figura 15.

d

I'

, f

o x

9 $

Fig.14

Fig.15

As idéias apresentadas anteriormente são aquireforçadas através da leitura das coordenadas depontos assinalados num sistema de eixos cartesia-nos. Esta atividade se complementa com o preen-chimento de um quadro onde se evidenciamas abs-cissas, os ordenadas e a notação de par ordenadode cada ponto analisado.

56

SITUAÇÃO N.o 23

1) Localize os seguintes pontos na figura 16:a) (3,4) e) (-3, O)b) (-3, 4) f) (O, 5)c) (3, -4) g) (2, -6)d) (-3, -4);

o x

Fig.16

2) A relação que faz correspondera cadaparor-denado um ponto do plano é uma função?Por quê?

Esta situação reverte à anterior: deve-se locali-zar, num sistema de eixos cartesianos, alguns pon-tos anotados sob a forma de par ordenado.

O enfoque principal, entretanto, está no itemnP 2, onde fica caracterizada uma função (bijeção)que faz corresponder a cada par ordenado umponto do plano.

SITUAÇÃO N~ 24

Sejam os conjuntos:

A = {O, 1, 2, 3, 4} e

B = {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}1) Faça uma tabela, colocando na pri~eira colu-

na os números de A e, na segunda, os númerosde B obtidos pela soma de duas unidades aosnúmeros de A.

2) Esta relação é uma função?3) Sendo função, qual é o dom(nio? E o campo de

variação? E o conjunto-imagem?

Ponto Abcissa Ordenada Representaçãodo Ponto

V 4 2 (4,2)

,

4) Considere os números da primeira coluna comoabscissase os números da segunda coluna comoordenadas.

5) Usando um mesmo sistema de eixos coorde-nados, marque todos estes pontos. Este conjun-to de pontos chama-segráfico destafunção.

Tem-se, nesta situação, uma função de A em B

onde A = ~ O, 1,2,3, 4} é o dom(nio,B = ~ O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ~éo campo

devariaçãoe '

1m = ~2, 3, 4, 5, 6}C: B é o conjunto--imagem.

Localizando-seos pontos (O,2), (1, 3), (2,4),(3, 5) e (4, 6) num sistema de eixos cartesianos,obtém-seo gráfico da função.

Entende-se por GRAFICO de uma função oconjunto de pontos do plano obtidos, tomando-secomo abscissasos elementos do dom(nio e, comoordenadas, suas respectivas imagens no campo devariação.

e interessante notar que, constru (do o gráficode uma função, as projeções ortogonais de todosos seus pontos em relação aos eixos rn< e ~ cons-tituem, respectivamente, o dom(nio e o conjunto--imagem da função considerada. O professor cha-mará a atenção do estudante para este fato, se jul-gar conveniente.

SITUAÇÃO NP 25

1) Use a tabela da situação n.o 10 e construa ográfico destafunção.

2) Faça o mesmo, usando a tabela da situaçãonP 11.

Observação: As situações mencionadas (10 e 11)encontram-se no nP 3 desta revista.

A construção destesdois gráficos visa reafirmaras idéias colocadas anteriormente.

Situação 10 Situação 11

57

j Y

-,-

o 1 X

1

11 'lI

r

.- --1

..O X

1 . I 1- ..O f 1 X

I I