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Capítulo V
FUERZAS EN VIGAS
Y CABLES 5.1 INTRODUCCIÓN
En el presente capítulo se analiza las fuerzas internas que mantienen unidas a las distintas
partes de un elemento dado. Las fuerzas internas que analizaremos actúan en dos tipos
importantes de estructuras de ingeniería: las Vigas y los Cables.
Para determinar las fuerzas y los momentos internos se dibujan diagramas de cuerpo libre
de partes de objetos. Al hacerlo se llega al punto de interés principal para el ingeniero de diseño:
las fuerzas dentro de un objeto que determinan si éste soportará las cargas externas a las que se
encuentra sometido.
5.2 VIGAS
Son elementos estructurales que están diseñados para soportar cargas (concentradas y/o
distribuidas) que están aplicadas en varios puntos a lo largo del mismo. En la mayoría de los
casos, las cargas son perpendiculares al eje de la viga y sólo ocasionarán corte y flexión sobre
ésta. Cuando las cargas no forman un ángulo recto con la viga, también producirán fuerzas
axiales en ella.
Las vigas son barras prismáticas rectas y largas. El diseño de una viga para soportar de
manera más efectiva las cargas aplicadas es un procedimiento que involucra dos partes:
1) determinar las fuerzas cortantes y los momentos flectores producidos por las cargas y
2) seleccionar la sección transversal que resista de la mejor forma posible a las fuerzas cortantes
y a los momentos flectores que se determinaron en la primera parte. En la Asignatura de
Mecánica de Sólidos I se estudia la primera parte del problema de diseñar vigas, la segunda parte
corresponde a la Asignatura de Mecánica de Sólidos II.
5.2.1 FUERZAS Y MOMENTOS INTERNOS EN VIGAS
Sea una viga AB “simplemente apoyada” como se muestra en la figura, la cual se
encuentra sujeta a las fuerzas concentradas 1 2F y F , y a una carga distribuida w. Si se
quiere determinar las fuerzas y momentos internos en un punto, es necesario seccionar
imaginariamente la viga y cortarla en dos segmentos en ese punto. Esto hace aparecer las
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fuerzas internas N y V (fuerza normal y fuerza cortante) y el momento de par resultante M
(momento de flexión) en el DCL de cada segmento.
Si “cortamos” imaginariamente la viga en el punto C, quedan los segmentos de viga AC y CB,
cuyos DCL se muestran a continuación. Note que en el punto C actúan la fuerza cortante (V),
la fuerza normal (N) y el momento de par o momento flector M.
CONVENCIÓN DE SIGNOS PARA “V” (FUERZA CORTANTE) Y “M” (MOMENTO FLECTOR)
La fuerza cortante “V” y el momento flector “M” en un punto dado de una viga son positivos
cuando las fuerzas y los pares internos que actúan sobre los segmentos de viga, izquierdo y
derecho, están dirigidos como se muestra en la figura anterior.
5.2.2 PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LA FUERZA CORTANTE Y EL
MOMENTO FLECTOR EN UNA VIGA
Para determinar la fuerza cortante V y el momento flector M en un punto dado C de una
viga, se deben seguir los siguientes pasos:
1. Dibujar un DCL para la viga completa y utilizarlo para determinar las reacciones en los
apoyos de la viga.
2. Cortar la viga en el punto C y, con las cargas originales, seleccionar una de las dos
porciones de la viga que se han obtenido.
1F
CV
CN
CM CM
CN CV
2F
A C C B
FR
1F 2F
C Corte
imaginario
1F 2F
DCL de la viga
A B B
FR
A
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3. Dibujar el DCL de la porción de la viga que se haya seleccionado, mostrando:
a) Las cargas y las reacciones ejercidas sobre esa parte de la viga, reemplazando
cada una de las cargas distribuidas por una carga concentrada equivalente.
b) La fuerza cortante y el par flector que representan las fuerzas internas en C. Si
se usa la parte de la viga ubicada a la izquierda de C, se aplica en C una fuerza
cortante V dirigida hacia abajo y un par flector M dirigido en sentido anti horario. Si se
está utilizando la porción de la viga ubicada a la derecha de C, se aplica en C una
fuerza cortante V´ dirigida hacia arriba y un par flector M´ dirigido en sentido horario.
4. Escribir las ecuaciones de equilibrio para la porción de la viga que se ha
seleccionado. Se resuelve la ecuación 0yF para V (fuerza cortante) y la ecuación
0CM para M (momento flector).
5. Registrar los valores de V y M con el signo obtenido para cada uno de éstos, un
signo positivo para V significa que las fuerzas cortantes en C sobre cada una de las dos
porciones de la viga están dirigidas como se muestra en la figura anterior; un signo negativo
significa que las fuerzas cortantes tienen un sentido opuesto. De manera similar, un signo
positivo para M significa que los pares flectores en C están dirigidos como se muestra en la
figura anterior y un signo negativo significa que los pares flectores tienen un sentido opuesto.
Además, un signo positivo para M significa que la concavidad de la viga en el punto C está
dirigida hacia arriba mientras que un signo negativo significa que dicha concavidad está
dirigida hacia abajo.
5.2.3 DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO DE FLEXIÓN
Se utiliza en el análisis y diseño de vigas. Estos diagramas muestran las variaciones de V
y M como función de la posición x a lo largo del eje de la viga.
Para construir los diagramas de V y M para una viga, previamente debemos:
a) Hacer el DCL de la viga completa y hallar las reacciones en los apoyos y los momentos
de par que actúan sobre la viga.
b) Hallar las ecuaciones de V y M para eso cortamos la viga las veces que sea necesario,
midiendo x a partir del extremo izquierdo o a partir del origen de coordenadas
establecido hasta el punto de corte. En el DCL de cada segmento, V y M deben tener
signo positivo.
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Ejemplo:
Las funciones a utilizar serán válidas solamente dentro de las regiones comprendidas
desde 0 hasta a para x1, desde a hasta b para x2, y desde b hasta L para x3.
Nota: la fuerza normal interna (N) no se considera en el análisis porque en la mayoría de los
casos las cargas aplicadas a la viga actúan en forma perpendicular al eje de la viga, por lo
tanto sólo se produce una fuerza cortante interna y un momento de flexión.
5.2.4 PROCEDIMIENTO PARA DIBUJAR LOS DIAGRAMAS DE FUERZA
CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR PARA UNA VIGA
Los diagramas de fuerza cortante y de momento flector se obtienen al graficar,
respectivamente, V y M en función de la distancia x medida a lo largo de la viga. Sin
embargo, en la mayoría de los casos sólo se necesita calcular los valores de V y M en unos
cuantos puntos.
1. Para una viga que soporta únicamente cargas concentradas, se observa que:
a) El diagrama de fuerza cortante consiste en segmentos de línea horizontales. Por
tanto, para dibujar el diagrama de fuerza cortante de la viga sólo se necesita calcular el
valor de V justo a la izquierda o justo a la derecha de los puntos donde se aplican las
cargas o las reacciones.
b) El diagrama de momento flector consiste de segmentos de líneas rectas oblicuas.
Por tanto, para dibujar el diagrama de momento flector de la viga sólo se necesitará
calcular el valor de M en los puntos donde se aplican las cargas o las reacciones.
2. Para una viga que soporta cargas uniformemente distribuidas, es necesario señalar
que bajo cada una de las cargas distribuidas se tiene lo siguiente.
a) El diagrama de fuerza consiste de un segmento de una línea recta oblicua. Por
tanto, sólo se necesita calcular el valor de V donde empieza y termina la carga
distribuida.
L
b a
F
2x 1x
0
w
3x
Para el análisis de esta viga tenemos tres segmentos:
1er segmento: que va desde 0 hasta a
2do segmento: que va desde a hasta b
3er segmento: que va desde b hasta L
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b) El diagrama de momento flector consiste de un arco de parábola. En la mayoría de
los casos sólo se necesita calcular el valor de M donde empieza y termina la carga
distribuida.
3. Para una viga con una carga más complicada, es necesario considerar el diagrama de
cuerpo libre de una porción de la viga de longitud arbitraria x y determinar V y M como
funciones de x. Es posible que se tenga que repetir este procedimiento varias veces
puesto que por lo general V y M están representadas con diferentes funciones en distintas
partes de la viga.
4. Cuando se aplica un par a una viga, la fuerza cortante tiene el mismo valor en ambos
lados del punto de aplicación del par pero en el diagrama de momento flector presentará
una discontinuidad en dicho punto, incrementándose o disminuyendo en una cantidad
igual a la magnitud del par. Observe que un par se puede aplicar directamente a la viga o
puede resultar a partir de la aplicación de una carga sobre un elemento curvo que está
unido rígidamente a la viga.
Nota.- Los diagramas de V vs x y M vs x se recomiendan dibujarlos debajo del DCL de la
viga.
5.2.5 RELACIONES ENTRE CARGA, FUERZA CORTANTE Y MOMENTO
FLECTOR
La construcción de los diagramas de fuerza cortante y momento flector se facilita si se
toman en consideración las siguientes relaciones. Representando con w la carga distribuida
por unidad de longitud (la cual se supone positiva si está dirigida hacia abajo), se tiene que:
;dV dM
w Vdx dx
o, después de integrar las ecuaciones anteriores,
D CV V (Área bajo la curva de carga entre C y D) . . . (1)
D CM M Área bajo la curva de fuerza cortante entre C y D . . . (2)
La ecuación (1) hace que sea posible dibujar el diagrama de fuerza cortante de una viga a
partir de la curva que representa a la carga distribuida que actúa sobre dicha viga y del valor
de V en un extremo de la misma. En forma análoga, la ecuación (2) hace que sea posible
dibujar el diagrama de momento flector a partir del diagrama de fuerza cortante y del valor de
M en un extremo de la viga. Sin embargo, las cargas concentradas introducen
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discontinuidades en el diagrama de fuerza cortante y los pares concentrados implican
discontinuidades en el diagrama de momento flector. Por último, a partir de la ecuación (2)
se observa que los puntos de la viga donde el momento flector es máximo o mínimo son
también los puntos donde la fuerza cortante es igual a cero.
5.2.6 PROCEDIMIENTO PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LOS DIAGRAMAS DE V
y M, A PARTIR DE LA RELACIÓN ENTRE CARGA, FUERZA CORTANTE
Y MOMENTO FLECTOR.
Pasos a seguir:
1. Dibujar un DCL para toda la viga y utilizarlo para determinar las reacciones en los
apoyos.
2. Dibujar el diagrama de fuerza cortante. Esto se puede llevar a cabo cortando la viga en
varios puntos y considerando el diagrama de cuerpo libre de una de las partes de la viga
que se obtienen de esta forma.
3. Dibujar el diagrama de momento flector utilizando el siguiente procedimiento.
a) Se calcula el área bajo cada porción de la curva de fuerza cortante, asignándole un
signo positivo a las áreas localizadas por encima del eje x y un signo negativo a las
áreas localizadas por debajo del eje x.
b) Se aplica consecutivamente la ecuación (2), comenzando a partir del extremo
izquierdo de la viga, donde M = 0 (excepto si en ese extremo se aplica un par o si la
viga en voladizo con su extremo izquierdo fijo).
c) Se debe tener cuidado de mostrar una discontinuidad en el diagrama de momento
flector en el punto en que se aplica un par sobre la viga, incrementando el valor de
M en dicho punto en una cantidad igual a la magnitud del par, si este último tiene un
sentido horario o disminuyendo el valor de M en una cantidad igual a la magnitud del
par, si este último tiene un sentido anti horario.
4. Determinar la ubicación y la magnitud de Mmáx. El máximo valor absoluto del momento
flector ocurre en uno de los dos puntos en los que dM/dx = 0, esto es, en un punto donde
V es igual a cero o cambia de signo. Por tanto se tiene que:
a) Se determina a partir del diagrama de fuerza cortante, el valor de M en el que V cambia
de signo; esto ocurre en los puntos donde actúan cargas concentradas.
b) Se determinan los puntos en los que V = 0 y los valores correspondientes de M; esto
ocurrirá bajo una carga distribuida.
5. La calidad de los dibujos de los diagramas se puede mejorar si se recuerda que en
cualquier punto dado, la pendiente de la curva V es igual a –w y la pendiente de la curva
M es igual a V.
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6. Por último, para vigas que soportan una carga distribuida que está expresada como
una función w(x), se debe recordar que la fuerza cortante V se puede obtener integrando
la función –w(x) y el momento flector M puede obtenerse integrando V(x).
5.3 CABLES
Son elementos flexibles capaces de soportar sólo tensión y están diseñados para soportar
cargas concentradas o distribuidas.
Los cables flexibles se utilizan en muchas aplicaciones de ingeniería, como en puentes
colgantes, líneas de transmisión, teleféricos, contravientos para torres altas, etc. Los cables
pueden dividirse en dos categorías de acuerdo con las cargas que actúan sobre ellos: 1) cables
que soportan cargas concentradas y 2) cables que soportan cargas distribuidas.
Los cables flexibles y las cadenas se utilizan con frecuencia para construir estructuras de
soporte y para transmitir cargas de un miembro a otro. Cuando se utilizan para soportar puentes
en suspensión, los cables forman el elemento principal de transporte de carga de la estructura.
En el análisis de fuerzas de tales sistemas, el peso del cable en sí mismo puede despreciarse
debido a que con frecuencia éste es pequeño comparado con la carga que transporta. Por otro
lado, cuando los cables se utilizan como líneas de transmisión y tirantes para antenas de radio y
armazones, el peso del cable puede convertirse en un factor importante y deberá incluirse en el
análisis estructural.
5.3.1 CABLE SUJETO A CARGAS CONCENTRADAS
Cuando un cable de peso despreciable soporta varias cargas concentradas, toma la forma
de varios segmentos de una línea recta, cada uno de los cuales está sujeto a una fuerza de
tensión constante.
Cuando se obtienen las relaciones necesarias entre la fuerza en el cable y su pendiente,
supondremos que el cable es perfectamente flexible y que éste no se puede extender.
Debido a su flexibilidad, el cable no ofrece resistencia a la flexión y por lo tanto la fuerza de
tensión que actúa en el cable es siempre tangente a éste a todo lo largo. Puesto que el cable
no se puede extender, éste tiene una longitud constante antes y después de que se aplica la
carga. Como resultado, su geometría permanece fija, y el cable o un segmento del mismo
pueden tratarse como un cuerpo rígido.
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Ejemplo de cable sujeto a fuerzas concentradas:
PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE CABLES SUJETOS A CARGAS
CONCENTRADAS
Pasos a seguir:
1. Dibujar un DCL para todo el cable mostrando todas las cargas y las componentes
horizontal y vertical de la reacción en cada uno de los apoyos. Utilizar este diagrama para
escribir las ecuaciones de equilibrio correspondientes.
2. Se enfrentará una situación en la cual se tienen cuatro componentes desconocidas
y sólo se cuenta con tres ecuaciones de equilibrio. Por tanto, se debe encontrar
alguna información adicional, como la posición de un punto sobre el cable o la pendiente
del cable en un punto dado.
3. Después que se ha identificado el punto del cable donde existe información
adicional, se corta el cable en dicho punto y se dibuja el DCL correspondiente a una de
las dos secciones del cable que se han obtenido de esta manera.
a) Si se conoce la posición del punto donde se ha cortado el cable, escribiendo
0M con respecto a dicho punto para el nuevo cuerpo libre, se obtendrá la ecuación
adicional que se requiere para resolver las cuatro componentes desconocidas de las
reacciones.
b) Si se conoce la pendiente de la porción del cable que se ha cortado, escribiendo
0 0x yF y F para el nuevo cuerpo libre, se obtendrán dos ecuaciones de
equilibrio que, junto con las tres ecuaciones originales, pueden resolverse para las cuatro
componentes de reacción y para la tensión del cable en el punto donde éste fue cortado.
H
h
a b c
w1
w2
A
B
C
D
82
4. Para encontrar la elevación en un punto dado del cable y la pendiente y la tensión
en el mismo una vez que se han encontrado las reacciones en los apoyos, se debe cortar
el cable en dicho punto y dibujar un DCL para cada una de las dos secciones que se han
obtenido de esta manera. Si se escribe 0M con respecto al punto en cuestión se
obtiene su elevación. Al escribir 0 0x yF y F se obtienen las componentes de
la fuerza de tensión, a partir de las cuales se encuentra fácilmente la magnitud y dirección
de esta última.
5.3.2 CABLE CON CARGAS DISTRIBUIDAS
Consideremos un cable que está unido a dos puntos fijos A y B y que soporta una carga
distribuida como se muestra en la figura a. En este caso el cable cuelga tomando la forma de
una curva y la fuerza interna en el punto D es una fuerza de tensión T dirigida a lo largo de la
tangente de la curva.
Considerando el caso más general de carga distribuida, se dibuja el DCL de la porción del
cable que se extiende desde el punto más bajo C hasta un punto D del cable (ver la figura
b). Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre son la fuerza de tensión T0 en C, la cual es
horizontal, la fuerza de tensión T en D, la cual está dirigida a lo largo de la tangente al cable
en D y la resultante W de la fuerza distribuida, soportada por la porción CD del cable. Si se
dibuja el triángulo de fuerzas correspondiente (ver la figura c), se obtienen las siguientes
relaciones:
0cosT T T sen W
2 2
0
0
tanW
T T WT
a) b) c)
Fuente: Beer – Johnston, Mecánica vectorial para ingenieros – Estática. Octava edición
83
De la primera ecuación se concluye que la componente horizontal de la fuerza de tensión T
es la misma en cualquier punto y que la componente vertical de T es igual a la magnitud W
de la carga medida a partir del punto más bajo. La segunda ecuación muestra que la tensión
T es mínima en el punto más bajo y máxima en el punto de apoyo más elevado (cuando los
puntos de apoyo están a diferente nivel).
5.3.2.1 CABLE PARABÓLICO
Se denomina cable parabólico a la forma que adopta un cable flexible que soporta una
carga uniformemente distribuida a lo largo de la horizontal.
Supongamos que un cable AB soporta una carga distribuida de manera uniforme a lo largo
de la horizontal (ver figura a). La carga por unidad de longitud (medida en forma horizontal)
se representa con w y se expresa en N/m o en /bf ft .
Seleccionando ejes coordenados con su origen en el punto más bajo C del cable, se
encuentra que la magnitud W de la carga total soportada por el segmento del cable que se
extiende desde C hasta el punto D de coordenadas x y y está dada por W = w x. De esta
forma, las ecuaciones que definen la magnitud y la dirección de la fuerza en D son:
A
B
C
D (x, y)
x
y
w
C
D
W = w x
T
T0
x/2 x/2 x
y
y
84
2 2 2
0
0
tanw x
T T w xT
Además, la distancia desde D hasta la línea de acción de la resultante W es igual a la
mitad de la distancia horizontal que hay desde C hasta D (ver la figura). Si se suman
momentos con respecto a D, tenemos:
00 02
D
xM w x T y
y, resolviendo para y, se obtiene:
2
02
w xy
T
Ésta es la ecuación de una parábola con un eje vertical y con su vértice en el origen del
sistema de coordenadas. Por tanto, la curva formada por cables que están cargados
uniformemente a lo largo de la horizontal es una parábola.
Cuando los apoyos A y B del cable tienen la misma elevación (ver figura siguiente), la
distancia L entre los apoyos se conoce como el claro del cable y la distancia vertical h
desde los apoyos hasta el punto más bajo se llama la flecha del cable. Si se conocen el
claro y la flecha del cable y si la carga por unidad de longitud horizontal w está dada, se
puede encontrar la tensión mínima T0 sustituyendo x = L/2 y y = h en la ecuación 2
02
w xy
T
x
y
xB xA
yB
Flecha
B A
C
Cable parabólico
Claro
85
Cuando los apoyos tienen elevaciones diferentes, no se conoce la posición del punto más
bajo del cable y se deben determinar las coordenadas xA, yA y xB, yB de los apoyos A y B.
La longitud del cable desde su punto más bajo C hasta su apoyo B se puede obtener a
partir de la fórmula:
2
01 ( / )
BX
BS dy dx dx
Si se obtiene la diferencial de la ecuación 2
02
w xy
T se obtiene la derivada dy/dx = wx/T0 ;
sustituyendo este resultado y utilizando el teorema del binomio para expandir el radical en
una serie infinita se obtiene:
2 2 2 42 2 2
0 2 40 00 0
1 ( / ) (1 ...)2 8
B Bx x
B
w x w xs w x T dx dx
T T
2 4
2 21 ...
3 5
B BB B
B B
y ys x
x x
y como 2
0/ 2B Bw x T y ,
2 4
2 21 ...
3 5
B BB B
B B
y ys x
x x
La serie converge para valores de la relación yB/xB menores que 0,5; en la mayoría de los
casos, dicha relación es menor y sólo es necesario calcular los dos primeros términos de la
serie.
5.3.2.2 CATENARIA
Se denomina catenaria a la forma que adopta un cable flexible que está sujeto a la acción
de su propio peso, el cual consideramos que se haya uniformemente distribuido a lo largo
del cable.
Los cables flexibles de las líneas de transmisión de energía en alta tensión son un ejemplo
de catenaria. También son un ejemplo de catenaria los cables flexibles de los teleféricos.
Consideremos un cable flexible AB que soporta una carga uniformemente distribuida a lo
largo del mismo cable (ver figura a). Los cables que cuelgan bajo la acción de su propio peso
están cargados de esta forma. La carga por unidad de longitud, medida a lo largo del cable,
se representa por w y se expresa en N/m o en /bf ft . La magnitud W de la carga total
soportada por una porción del cable de longitud s que se extiende desde el punto más bajo
86
C hasta un punto D está dado por W = w s. Si se sustituye este valor de W en la ecuación
2 2 2
0T T w x , se obtiene la tensión en D.
2 2 2
0T T w s
Para simplificar los cálculos subsecuentes, se introduce la constante wTc /0 denominada
parámetro de la catenaria. Entonces se escribe
2 2
0 ; ;T wc W ws T w c s
s
ds
C
dx
dy
T0
W = w s
T
D
ϴ
T0
T W = w s
ϴ
b)
c)
B
A
C
D (x, y)
s
c
x
y
O
a)
87
En la figura b se muestra el diagrama de cuerpo libre para la porción CD del cable. Sin
embargo, este diagrama no puede utilizarse para obtener directamente la ecuación de la
curva que adopta el cable puesto que se conoce la distancia horizontal desde D hasta la
línea de acción de la resultante W de la carga. Para obtener dicha ecuación, primero se
escribe que la proyección horizontal de un pequeño elemento de cable de longitud ds es
cosdx ds . Se observa a partir de la figura c que 0cos /T T y con las ecuaciones
2 2
0 ; ;T wc W ws T w c s , se escribe:
2222
0
/1cos
cs
ds
scw
dscwds
T
Tdsdx
Si se selecciona el origen O del sistema de coordenadas a una distancia “c” directamente
por debajo del punto C (ver figura a) y se integra desde C (0, c) hasta D (x, y), se obtiene
1 1
2 2001 /
ss ds s s
x c sen h c senhc cs c
Esta ecuación, que relaciona la longitud s de la porción CD del cable y la distancia
horizontal x, se puede escribir de la siguiente forma:
xs c sen h
c
Ahora se puede obtener la relación entre las coordenadas x y y escribiendo dy/dx = tan .
Observe a partir de la figura c) que 0
tanW
T y con las ecuaciones
2 2
0 ; ;T wc W ws T w c s y
xs c sen h
c , se escribe:
0
tanW s x
dy dx dx dx sen h dxT c c
Si se integra desde C (0 , c) hasta D (x , y) y haciendo uso de las ecuaciones:
coscos ;
d senh z d h zh z senh z
dz dz
se obtiene la siguiente expresión:
00
cos cos 1
cx x x x
y c sen h dx c h c hc c c
cosx
y c c h cc
88
La cual se reduce a
cosx
y c hc
Ésta es la ecuación de una catenaria con eje vertical. La ordenada “c” del punto más bajo
C recibe el nombre de parámetro de la catenaria. Elevando al cuadrado ambos lados de las
ecuaciones x
s c sen hc
y cosx
y c hc
, restándolas y tomando en cuenta la ecuación
2 2cos 1h z senh z , se obtiene la siguiente relación:
2 2 2y s c
Al resolver esta última ecuación para s2 y llevando este resultado a la relación
2 2T w c s , tenemos:T wy . Esta ecuación nos indica que la tensión en cualquier
punto D del cable es proporcional a la distancia vertical desde D hasta la línea horizontal que
representa al eje x.
Cuando los apoyos A y B del cable tienen la misma elevación, la distancia L entre los
apoyos recibe el nombre de claro del cable y la distancia vertical h desde los apoyos hasta
el punto más bajo C se conoce como la flecha del cable. En este caso, la flecha h está dada
por:
Ah y c
También se debe señalar que ciertos problemas sobre catenarias involucran ecuaciones
trascendentales, las cuales deben resolverse por medio de aproximaciones sucesivas. Sin
embargo cuando el cable está bastante tenso, se puede suponer que la carga está
uniformemente distribuida a lo largo de la horizontal y la catenaria puede reemplazarse por
una parábola. Esto simplifica en gran medida la solución del problema y el error que se
introduce es pequeño.
Cuando los apoyos A y B tienen distintas elevaciones, no se conoce la posición del punto
más bajo del cable. Entonces, el problema puede resolverse en forma similar que en el caso
de los cables parabólicos, expresando que el cable debe pasar a través de los apoyos, que
xA – xB = L y que yB – yA = d, donde d y L representan, respectivamente, las distancias
horizontal y vertical entre los dos apoyos.
89
5.4 PROBLEMAS RESUELTOS DE FUERZAS EN VIGAS Y CABLES
PROBLEMA Nº 1
La viga compuesta tiene un soporte fijo en A, está conectada mediante un pasador en B y se
sostiene por medio de un rodillo en C. Trace los diagramas de fuerza cortante y momento
flexionante para la viga.
Resolución
Para resolver este problema, primero analizamos la viga completa o viga compuesta ABC (viga
conformada por las vigas AB y BC) y luego una de sus partes, de esta manera determino las
reacciones en los apoyos A, B y C.
Análisis de la viga completa o viga compuesta ABC
Por segunda condición de equilibrio: 0 Totales
AM
0)5,4(45009 CA RM piebfRM CA 202509 . . . (1)
A B C
3 pies 6 pies
piebf /500
A B
C
3 pies 6 pies
bf4500
4,5 pies
CR
YAR
XAR
AM
+
90
Por primera condición de equilibrio:
0 XF 0XAR
0 YF bfRR CAY4500 . . . (2)
Análisis de la viga BC
Por segunda condición de equilibrio: 0 Totales
BM
0)3(3000)6( piesbfpiesRC bfRC 1500
Por primera condición de equilibrio:
0 XF 0XBR
0 YF bfRR CBY3000 bfR
YB 1500
Reemplazando en la ecuación (1), tenemos que: piebfM A 6750
Reemplazando en la ecuación (2), tenemos que: bfRYA 3000
Determinación del número de cortes y análisis de segmentos de viga obtenidos
Desde el extremo A de la viga compuesta hasta el extremo C, es suficiente hacer un solo corte,
porque entre dichos extremos solo hay un tipo de fuerzas distribuidas y no actúan más fuerzas o
momentos externos sobre esta viga. Si asumimos que el punto de “corte” es el punto D, a una
distancia x del extremo A ( piesx 90 ), tenemos que:
C B
3 pies 3 pies
bf3000
CR YBR
XBR
+
91
Por segunda condición de equilibrio: 0 Totales
DM
030006750)2/(500 xxxM D
piebfxxM D )67502503000( 2
bfxdx
dMV D
D )5003000(
* Si evaluamos las ecuaciones del cortante y del momento flector para 0x , tenemos:
piebfMbfV DD 6750;3000
* Si evaluamos las ecuaciones del cortante y del momento flector para piesx 9 , tenemos:
0;1500 DD MbfV
Diagramas “V vs. x” (fuerza cortante en función de la posición x) y “M vs. x”
(momento flector en función de la posición x)
Para realizar estos diagramas se recomienda primero hacer el DCL de la viga completa y debajo
de este dibujar los diagramas solicitados.
A
x
bfx )500(
DVbf3000
piebf 6750 DM
x/2
D
+
92
* De estos diagramas se observa: piebfMybfVMÁXIMOMÁXIMO
67503000
x (pies)
x (pies)
3000
3000 lbf
4500 lbf
1500 lbf
-1500
2250
-6750
6 9
6
9 0
0
V (lbf)
M (lbf.pie)
6750 lbf.pie
+A1
-A2
11 AM
22 AM
93
PROBLEMA Nº 2
Si se supone que la reacción del suelo sobre la viga AB que muestra la figura está dirigida hacia
arriba y es uniformemente distribuida, trace los diagramas de fuerza cortante y de momento
flector. Determine asimismo los valores absolutos máximos de la fuerza cortante y del momento
flector.
Resolución
Por condición del problema, la reacción del suelo sobre la viga AB está dirigida hacia arriba y es
uniformemente distribuida, por lo tanto la figura dada equivale a la que se muestra a continuación.
En ella, “w” representa la reacción por unidad de longitud que ejerce el suelo sobre la viga.
Para resolver problemas de vigas, primero se hace el DCL de la viga completa y se hallan las
reacciones en los apoyos. A continuación, se determina el número de “cortes” imaginarios que se
deben realizar a la viga y se hallan las ecuaciones de V y de M, en función de x, para cada uno
de los segmentos de viga que resulten después de realizar los “cortes”. Finalmente se dibujan los
diagramas de “V vs x” y “M vs x” a partir de las ecuaciones halladas anteriormente.
1 m 1m
4 m
1 m 1 m
6 kN 6 kN 5 kN/m
A B
w
1 m 1m
4 m 1 m 1 m
6 kN 6 kN 5 kN/m
A B
94
DCL de la viga completa y cálculo de “w” (reacción por unidad de longitud que
ejerce el suelo sobre la viga)
Por primera condición de equilibrio:
0 yF 0328 kNw mkNw /4
Determinación del número de “cortes” imaginarios que se deben realizar a la viga
y del número de segmentos de viga que se deben analizar
Analizando las fuerzas que actúan sobre la viga completa (observe su DCL) concluimos que,
desde el extremo A hasta el extremo B de la viga, debemos realizar CINCO “cortes” imaginarios
(puntos C, D, E, F y G en la figura siguiente).
Al realizar los CINCO “cortes” imaginarios y observando el lado izquierdo de cada “corte”, tenemos
CINCO SEGMENTOS DE VIGA que debemos analizar. Asumiendo que el extremo A de la viga es
el origen de coordenadas (ver la figura), la posición x del punto de corte viene dada por:
1 m 1m
4 m
1 m 1 m
6 kN 6 kN
20 kN
A B
R =8w
En este diagrama de cuerpo libre,
las fuerzas de 20 kN y 8w
representan las fuerzas
resultantes de las fuerzas
distribuidas que actúan sobre la
viga.
Recuerde que estas fuerzas están
aplicadas en un punto de la viga
que tiene la misma dirección de la
recta que pasa por el centroide del
área de la figura formada por las
fuerzas distribuidas (o área
encerrada por la curva de carga).
A B
y
x (m) 0 1 2 6 7 8
x x
x x
x
1er corte
2do corte
3er corte
4to corte
5to corte
C D E F G
95
- Para el segmento de viga AC: mx 10
- Para el segmento de viga AD: mxm 21
- Para el segmento de viga AE: mxm 62
- Para el segmento de viga AF: mxm 76
- Para el segmento de viga AG: mxm 87
Análisis del segmento de viga AC (0 < x < 1 m)
Observando el segmento de viga AC notamos que sobre el actúan: la resultante de las fuerzas
distribuidas igual a 4x (reacción hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza cortante
VC y el momento de flexión MC, como se muestra en la figura siguiente.
Análisis del segmento de viga AD (1 m < x < 2 m)
Sobre este segmento de viga actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reacción
hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza concentrada de 6 kN dirigida hacia
abajo, la fuerza cortante VD y el momento de flexión MD (ver figura siguiente).
Análisis del segmento de viga AE (2 m < x < 6 m)
Sobre este segmento de viga actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reacción
hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza concentrada de 6 kN dirigida hacia
Por segunda condición de equilibrio: 0 Totales
CM
0)2/(4 xxMC
mkNxMC )2( 2
Luego:
kNxdx
dMV C
C )4(
(Es una ecuación
cuadrática)
(Es una ecuación lineal)
+
4x VD
MD
D A
x
6 kN
1 m
Por segunda condición de equilibrio: 0 Totales
DM
0)2/(4)1(6 xxxM D
mkNxxM D )662( 2
Luego:
kNxdx
dMV C
D )64(
4x VC
MC
C A
x
x/2
96
abajo, la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas igual a 5(x-2) dirigida hacia abajo, la fuerza
cortante VE y el momento de flexión ME (ver figura siguiente).
Análisis del segmento de viga AF (6 m < x < 7 m)
En este caso, sobre este segmento de viga actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a
4x (reacción hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza concentrada de 6 kN
dirigida hacia abajo, la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas igual a 20 kN dirigida hacia
abajo, la fuerza cortante VF y el momento de flexión MF (ver figura siguiente).
Análisis del segmento de viga AG (7 m < x < 8 m)
En este caso, Sobre el segmento de viga AG actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual
a 4x (reacción hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), las dos fuerzas concentradas de 6
kN dirigidas hacia abajo, la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas igual a 20 kN dirigida
hacia abajo, la fuerza cortante VG y el momento de flexión MG (ver figura siguiente).
4x VF
MF
F A
x
6 kN
1 m
20 kN
1 m
2 m 2 m
4x VG
MG
G A
x
6 kN
1 m
20 kN
1 m
2 m 2 m 6 kN
1 m
4x VE
ME
E A
x
6 kN
1 m
5(x-2)
1 m
Por segunda condición de equilibrio: 0 Totales
FM
0)2/(4)4(20)1(6 xxxxM F
mkNxxM F )86262( 2
Luego:
kNxdx
dMV C
F )264(
Por 2da condición de equilibrio: 0 Totales
FM
0)2/(4
)7(6)4(20)1(6
xx
xxxM G
mkNxxMG )812322( 2
Luego: kNxdx
dMV C
G )324(
Por segunda condición de equilibrio: 0 Totales
EM
0)2/(4)1(62/)2(5 2 xxxxM E
mkNxxM E )442
1( 2
Luego: kNxdx
dMV C
E )4(
97
Diagramas “V vs. x” (fuerza cortante en función de la posición x) y “M vs. x”
(momento flector en función de la posición x)
De la figura se concluye que:
kNVMÁXIMO
4 ; mkNMMÁXIMO
4
M kN.m
x (m)
2
4
0 1 2 4 6 7 8
Parábolas
6 kN 6 kN
20 kN
32 kN
0 1 2 4
6
7 8 x (m)
-2
-4
2
4
V kN
98
PROBLEMA Nº 3
Un cable de transmisión eléctrica de 240 m de longitud y masa por unidad de longitud 0,6 kg/m se
suspende entre dos puntos que tienen la misma altura. Si la flecha es de 24 m. Calcule la tensión
máxima en el cable y el claro (distancia horizontal entre los dos puntos de apoyo).
Resolución
Según el enunciado se trata de un cable flexible sujeto a la acción de su propio peso, por lo tanto
la forma que adopta es de una catenaria tal como se muestra en la figura siguiente:
Si consideramos que el origen del sistema de coordenadas se halla a una distancia vertical “c”
debajo del punto más bajo del cable (ver la figura anterior), la longitud “S” del segmento de cable
CB y la coordenada “y” del punto B, vienen dados por:
mS 120 ; mcy 24
Además, se cumple que:
222 cSy
Reemplazamos y y S :
222 120)24( cc
Despejando “c” (parámetro de la catenaria) , obtenemos: mc 288
x
y
xB xA
c
yB
24m
B A
C
Cable
99
Cálculo de maxT del cable:
Se sabe que la tensión del cable es máxima en el punto donde el cable tiene mayor pendiente o
mayor inclinación. En nuestro caso sería cualquiera de los apoyos, dado que los dos están al
mismo nivel.
Para calcular esta tensión máxima aplicamos la ecuación
22 ScwT
Al reemplazar la carga por unidad de longitud “w”, igual a 5,886 N (0,6 kg x 9,81 m/s2), el
parámetro “c” de la catenaria, igual a 288 m, y la longitud “S” del cable, igual a 120 m, obtenemos:
NTmáxima 432,1836
Cálculo del claro (distancia horizontal entre los dos puntos de apoyo)
De la figura se observa que el claro viene dado por la suma de las distancias xA y xB , pero como
estas distancias son iguales, la suma de ambas es igual al doble de una de ellas. Además, de la
ecuación de la catenaria
c
xhCoscy , despejando x obtenemos:
c
yharcocx cos
Luego:
m
mmharcom
c
yharcocxClaro B
B288
24288cos)288(2cos22
mClaro 5479,233
100
PROBLEMA Nº 4
Un cable eléctrico cuelga entre un poste y una casa. Si la masa por unidad de longitud del cable
es de 2,1 kg/m, determine:
a) La distancia desde la casa hasta el punto más bajo, C, del cable.
b) La tensión máxima del cable.
c) La longitud del cable.
Resolución
Por tratarse de un cable que tiene la forma de una catenaria, elijo primero un sistema de
coordenadas cuyo origen se encuentre a una distancia vertical “c” debajo del punto más bajo de la
catenaria (ver figura siguiente).
101
Se sabe que la ecuación de la catenaria es:
c
xhCoscy
Además, cuando los apoyos están a diferente nivel el cable se analiza por partes.
Para el segmento de cable AC, tenemos:
c
xhCoscy A
A , Donde: )(5,0 menycy AA
Reemplazando Ay y despejando Ax obtenemos:
1
5,0cosh
carcocxA
Para el segmento de cable CB, tenemos:
c
xhCoscy B
B , Donde: )(2,1 menycy BB
Reemplazando By y despejando Bx obtenemos:
1
2,1cosh
carcocxB
De la figura dada observamos que:
mxx BA 8
Reemplazando Ax y Bx tenemos
812,1
cosh15,0
cosh
carcoc
carcoc . . . (1)
Para resolver esta ecuación (1) tenemos dos métodos:
Primer método: utilizando una calculadora programable
Si utilizamos, por ejemplo, una calculadora CASIO FX – 570 PLUS, obtenemos que:
mc 99873243,9
Segundo método: por TANTEOS
Para aplicar este método, primero hallo el valor referencial de “c” aplicando la ecuación de la
parábola. Es decir:
0
2
2T
xwy , donde: cwT 0
Luego, para el segmento de cable AC, tenemos:
cw
xw A
25,0
2
cxA
102
Para el segmento de cable CB, tenemos:
cw
xw B
22,1
2
cxB 4,2
Además: mxx BA 8 mcc 84,2
Resolviendo esta ecuación obtenemos: mc 848598,9
A partir de este valor referencial de c ( mc 848598,9 ) hallo el verdadero valor de c. Para ello
construyo la tabla siguiente, colocando como primer valor de c a este valor referencial, los demás
valores que asumimos deben ser siempre mayores, hasta hallar el verdadero valor de c.
)(mc
1
2,1cosh1
5,0cosh
carcoc
carcoc
La suma
debe
resultar
igual a
8 m
848598,9 , m9388135,7
9,9 m959815,7
10 m0005,8
99,9 m99645391,7
998,9 m9997026,7
De la tabla se concluye que el valor que más se aproxima a 8 m (sin sobrepasarlo) es
7,9997026 m, por lo tanto asumimos que:
mc 998,9
NOTA.- para mayor exactitud (que la suma se aproxima mucho más a 8m) podemos agregar
más decimales al valor de “c”, es decir asumir que “c” es por ejemplo m9985,9 , hasta
hallar su valor verdadero. En eso consiste el método de tanteos.
a) Cálculo de “ Ax ” (distancia de la casa hasta el punto más bajo del cable):
Se halló que: cxA
Reemplazando mc 998,9 (el valor hallado por el método de tanteos), obtenemos:
mxA 162,3
Valor
referencial
103
b) Cálculo de la tensión máxima del cable
La tensión del cable es máxima en el punto que tiene mayor pendiente, es decir en el apoyo B.
NywTT BBmáxima 69,230
Donde: mcyB 2,1 ; siendo mc 998,9 (el valor hallado por el método de tanteos)
c) Cálculo de la longitud del cable ( TOTALs )
Para calcular la longitud del cable utilizo la ecuación siguiente:
xs c sen h
c
Esta ecuación se aplica por separado a los segmentos de cable AC y CB, luego la longitud total
del cable viene dada por:
)/()/( cxhsenccxhsencsss BACBACTOTAL
Reemplazando mxA 162,3 , mxB 838,4 y mc 998,9 (el valor hallado por el
método de tanteos), obtenemos que:
msTOTAL 244,8
PROBLEMA Nº 5
El cable de transmisión eléctrica tiene un peso por unidad de longitud de 15 piebf / . Si el punto
más bajo del cable debe estar al menos 90 pies sobre el suelo, determine la tensión máxima
desarrollada en el cable y la longitud del cable entre A y B.
104
Resolución
Por tratarse de una catenaria, primero elijo un sistema de coordenadas cuyo origen se halla a una
distancia vertical “c” debajo del punto más bajo del cable (ver la figura siguiente).
Se sabe que la ecuación de la catenaria es:
c
xhCoscy
Como los apoyos están a diferente nivel, el cable se analiza por partes.
Para el segmento de cable AC, tenemos:
c
xhCoscy A
A , Donde: )(90 piesenycy AA
Reemplazando Ay y despejando Ax obtenemos:
carcocxA
901cosh
Para el segmento de cable CB, tenemos:
c
xhCoscy B
B , Donde: )(30 piesenycy BB
Reemplazando By y despejando Bx obtenemos:
carcocxB
301cosh
De la figura dada observamos que:
C
105
piesxx BA 300
Reemplazando Ax y Bx tenemos que:
piesc
arcocc
arcoc 30030
1cosh90
1cosh
Para resolver la ecuación anterior utilizamos una calculadora programable CASIO FX – 570
PLUS, y obtenemos que:
piesc 3054592,211
a) Cálculo de la tensión máxima del cable
La tensión del cable es máxima en el punto que tiene mayor pendiente, es decir en el apoyo A.
bfywTT AAmáxima 58188,4519
Donde: piescyA 90 ; siendo piesc 3054592,211
b) Cálculo de la longitud del cable ( TOTALs )
Para calcular la longitud del cable utilizo la ecuación siguiente:
xs c sen h
c
Esta ecuación se aplica por separado a los segmentos de cable AC y CB, luego la longitud total
del cable viene dada por:
)/()/( cxhsenccxhsencsss BABCABTOTAL
Reemplazando:
piesxA 6932526,188 , piesxB 3067474,111 y piesc 3054592,211 , obtenemos que:
piessTOTAL 3166362,331