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Física I
Torque de uma força
e o
momento angularProfs.: Camilla Codeço e
Marcello Barbosa
Coordenação: Malena Hor-Meyll e Thereza Paiva
Torque e o Momento Angular
Objetivos da aula
• Forças e variação do momento linear – recordação
• Momento de uma força e aceleração angular
• A 2a lei de Newton para rotações – o torque
• Conservação do momento angular – alguns exemplos
Força vs Torque
Tirando objetos da inércia
Força vs Torque – tirando objetos da inércia
Uma Força na atuando diretamente do CM modifica o movimento translacional enquanto uma força com momento relativo ao CM (Torque) o estado de movimento rotacional.
(caixa)𝐶𝑀Força
(porca + parafuso)𝐶𝑀
2a lei de Newton para translações - recordação
(caixa)𝐶𝑀
Uma força é aplicada ao CM de um sistema→𝐹
→𝐹 =
𝑑→𝑝𝑑𝑡
Onde o momento linear é definido como→𝑝 = 𝑚→𝑣
Força Variação do momento linear
Na ausência de forças aplicadas ao sistema
→𝑝 = 𝑐𝑡𝑒
2a lei de Newton para rotações – generalização
Momento da (TORQUE) em relação ao CM→𝐹
→𝑟 ×→𝐹 =
𝑑→?
𝑑𝑡Podemos definir alguma quantidade
→𝐿 = ?
Torque Variação do momento angular
Tal que na ausência de momentos de forças→𝐿 = 𝑐𝑡𝑒
(porca + parafuso)𝐶𝑀
Momento da força em relação a um ponto fixoExperiência cotidiana:
1) para afrouxar um parafuso precisamos de uma força PERPENDICULAR ao eixo ligando um ponto fixo ao ponto de atuação da força;
2) quanto MAIOR a distância, MENOS a força necessária
O vetor torque – definição matemática
→𝒓
→𝑭→𝝉
Aceleração angular
Aceleração angular
a velocidade angular VARIA com o tempo e nos faz definir a ACELERAÇÃO ANGULAR
∆ 𝜔∆ 𝑡
≠ 0
Na presença de uma aceleração tangencial
𝛼 = lim∆𝑡→0
∆ 𝜔∆ 𝑡
=𝑑 𝜔𝑑 𝑡
=𝑑2 𝜃𝑑 𝑡2
𝛼 =𝑟𝑎𝑑𝑠2
em unidades de
Aceleração angular – MÓDULO, DIREÇÃO e SENTIDO
Conectando torque e aceleração angular
2a lei de Newton de rotações
A 2a lei de Newton de rotações – formulação No caso de uma força PERPENDICULAR ao eixo conectando um ponto fixo e o ponto de aplicação da força, escrevemos a 2a lei de Newton:
𝐹 = 𝑚𝑎Da cinemática de rotações sabemos que
𝑎 = 𝑟𝛼
Portanto
𝜏 ≡ 𝑟𝐹 = 𝑚𝑟2𝛼Recordando a definição de momento de inércia chegamos finalmente a
→𝜏 = 𝐼 →𝛼O vetor torque tem a mesma direção e sentido que a aceleração angular !!!
Introduzindo o momento de inércia
Para um corpo rígido teremos a relação
→𝜏 𝑖 = 𝑚𝑖𝑟2𝑖 →𝛼
Como a aceleração angular é a mesma
→𝜏 𝑟𝑒𝑠 = (∑𝑖
𝑚𝑖𝑟2𝑖 ) →𝛼 = 𝐼 →𝛼
Um torque resultante produz uma aceleração angular!!!
O momento angular
Uma nova lei de conservação
Conectando: momento linear, angular e torque
Podemos escrever o momento angular em termos do momento linear
De tal forma que
→𝜏 𝑟𝑒𝑠 = →𝑟 × →𝐹 = →𝑟 ×
𝑑→𝑝𝑑𝑡
=𝑑(→𝑟 × →𝑝 )
𝑑𝑡=
𝑑→𝐿
𝑑𝑡
Sabendo que
→𝜏 𝑟𝑒𝑠 = 𝐼 →𝛼 = 𝐼𝑑→𝜔𝑑𝑡
e lembrando da cinemática rotacional que
→𝑣 = →𝜔 × →𝑟
2a lei de Newton para rotações – generalização
O momento da força em relação ao CM fixo→𝐹
→𝑟 ×→𝐹 = →𝜏 =
𝑑→𝐿
𝑑𝑡Podemos definir o MOMENTO ANGULAR
→𝐿 = →𝑟 × →𝑝 = 𝐼→𝜔
Torque Variação do momento angular
Tal que na ausência de momentos de forças→𝐿 = 𝑐𝑡𝑒
(porca + parafuso)𝐶𝑀
Momento angular – nova lei de conservação
Na ausência de FORÇAS externas
→𝑝 = 𝑚 →𝑣 →𝐿 = 𝐼 →𝜔
é conservado !!!𝑑→𝑝𝑑𝑡
= 0
Na ausência de TORQUES externos
é conservado !!!𝑑→𝐿
𝑑𝑡= 0
→𝐹 =
𝑑→𝑝𝑑𝑡
→𝑝 →𝐿
Translações e momento linear Rotações e momento angular
Lembrando agora que
→𝛼 =𝑑→𝜔𝑑𝑡
→𝜏 = 𝐼 →𝛼
2a lei de Newton para rotações
→𝜏 =𝑑
→𝐿
𝑑𝑡
Aplicações de – da cadeira giratória a gatos ninja→𝐿 = 𝐼 →𝜔 = 𝑐𝑡𝑒
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