Física Cuántica

Sólidos II. Requerimientos previos.Jose Manuel Lopez y Luis Enrique Gonzalez

Universidad de Valladolid

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Red cristalina• El primer dibujo de un cristal apareció en el siglo

XI• El 8 de junio de 1912 M. Laue presentó un

trabajo titulado "Efectos de interferencia conrayos Röntgen" que puso de manifiesto dos cosas• i) Los rayos X tienen naturaleza ondulatoria.• ii) Los cristales esán formados por una

disposición periodica de átomos.• Las primeras determinaciones de estructuras

cristalográficas fueron realizadas por Bragg en1913: KCl, NaCl, KBr y KI.

Una estructura cristalina es una mallatridimensional que se repite periodicamente.

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DESCRIPCION DE LA ES-TRUCTURA DE UN SOLIDO

Para describir una red cristalina, debido a superiodicidad tridimensional unicamente es necesariodescribir una pequeña parte del mismo, que se repetiráperiodicamente:celda unidad.

Para una misma red cristalina pueden definirse unainfinidad de celdas unidad. Aquellas que tienen unvolúmen mínimo se denominan celdas primitivas.

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Ejemplo: Red cubica simple (sc):

Los puntos de la red son aquellos definidos por larelación~r = a(n1~ı + n2~ + n3

~k) siendon1, n2, n3

número enteros.Una celda unidad, que es primitiva, es un cubo dearistaa, en el cual hay un punto situado en cadavertice. Cada punto de los 8 vertices se comparte por8 cubos, por tanto hay en total 1 punto por celdaunidad y el volumen es mínimo. Es la celda habitualutilizada para este tipo de red y se denominaceldaconvencional.

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Una celda unidad no primitivapodría ser un cubo delado2a con puntos en los vértices, en los centros delas aristas, en los centros de las caras y en el centrodel cubo. Se tienen 8 vertices (compartidos entre ochocubos), 12 aristas (compartidas entre 4 cubos), 6 caras(compartidas entre 2 cubos) y 1 centro del cubo (nocompartido) dando lugar a81

8 + 1214 + 61

2 + 1 = 8puntos por celda.

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Ejemplo: Cubica centrada en las caras (fcc):

La celda convencional, que es unacelda unidad noprimitiva es un cubo de ladoa con puntos en losvértices y en los centros de las caras. Se tienen 8vertices (compartidos entre ocho cubos) y 6 caras(compartidas entre 2 cubos) dando lugar a81

8 + 612 = 4 puntos por celda.

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Una celda unidad primitiva, es paralelepípedo cuyoslados base unen un vértice del cubo de la celdaconvencional con los centros de las 3 carasadyacentes. Cada uno de los 8 vertices delparalelepípedo se comparte entre 8 celdas dando lugara 1 punto por celda, (es decir es una celda primitiva).

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Otras redes: cúbica centrada en el cuerpo (bcc), hexagonal

compacta (hcp), tetragonales, trigonales, ortorrombicas,

monoclínicas y triclínicas. (Ver referencias)

Celda de Wigner-Seitz: es la región del espacio que está más

cerca de un determinado punto de la red que de cualquier otro (es

por tanto primitiva). Se forma uniendo un punto de la red con

todos sus vecinos, bisectando las lineas con planos y tomando el

volúmen que queda dentro de la intersección de todos los planos.

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La estructura cristalina viene determinada no solo porla red sino además por el átomo, conjunto de átomos,molécula, proteina o cualquier otra unidad quecoloquemos en cada punto de la red, es la denominadabase, de forma que la estructura de un determinadocristal viene definida porred + base.

La base puede ser un único átomo en los casos mássencillos, pero también puede ser un conjunto más omenos grande de átomos. En este caso la base secoloca en cada punto de la red con la mismageometría y orientación.

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Ejemplos:

La estructura deldiamantees una red fcc con una baseformada por 2 átomos de C, uno situado en el puntocorrespondiente de la red y el otro desplazadoa4(~ı + ~ + ~k).

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La estructura delNaCles una red fcc con una baseformada por un ión de Cl en cada punto de la red yuno de Na desplazadoa2(~ı + ~ + ~k).La estructura delCsCles una red cúbica simple conuna base formada por un ión de Cl en cada punto de lared y uno de Cs desplazadoa

2(~ı + ~ + ~k).

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Además de la simetría traslacional, un sólido puedeposeer otras simetrías adicionales, como reflexionesrespecto a determinados planos, a determinadospuntos y rotaciones de determinados angulosalrededor de determinados ejes. En concreto puedenencontrarse estructuras cristalinas con ejes de rotaciónde orden 1 (una rotación de ángulo2π recupera la redoriginal) lo cual evidentemente ocurre para todas lasredes, de orden 2 (el ángulo es2π/2), de orden 3(2π/3), 4 y 6, pero sin embargo es imposible tenerejes de orden 5 o 7, ya que son incompatibles con lasimetría traslacional (⇒ cuasicristales).

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Red recıprocaEs una red en el espacio de vectores de onda (espaciorecíproco). Si la red en el espacio real vienedeterminada por 3 vectores{~a1,~a2,~a3}, de forma quecada punto de la red real viene determinado porn1~a1 + n2~a2 + n3~a3, entonces la red recíproca estádeterminada por otros 3 vectores{~b1,~b2,~b3}, de formaque cada punto de la red recíproca queda definido porm1

~b1 + m2~b2 + m3

~b3, siendomi ∈ Z y

~b1 =2π

V~a2×~a3

~b2 =2π

V~a3×~a1

~b3 =2π

V~a1×~a2

conV = ~a1 · (~a2 × ~a3) el volumen de la celda unidadreal.

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Si hacemos incidir una cierta radiación sobre unsólido (rayos X, neutrones, electrones, ...) se observaque se produce el fenómeno de la difracción, es deciraparecen máximos en la radiación dispersada sólo endeterminadas direcciones. Si el vector de onda de laradiación incidente es~k0 y el de la difractada~k1,resulta ser que los máximos se producen cuando elvector de onda de dispersión~k0 − ~k1 es precisamenteun vector de lared recíproca.

La red recíproca tambien es fundamental en el estudiode las propiedades electrónicas del sólido, comoveremos a continuación.

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Para terminar, la celda de Wigner-Seitzcorrespondiente a la red recíproca se denominaprimera zona de Brillouin y de nuevo es deimportancia fundamental en el estudio de muchaspropiedades de los sólidos: electrónicas, elásticas, etc.

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FISICA ESTADISTICAConsideremos un conjunto deN partículasindependientes (es decir, que no interaccionan entresí), cada una de las cuales puede ocupar unocualquiera de un conjunto deniveles energéticos,ǫi,que se encuentra en equilibrio termodinámico a unatemperaturaT .

Una de las cuestiones importante en Física Estadísticaes describir cual es la probabilidad de que un nivelconcreto de energíaǫ se encuentre ocupado. Larespuesta depende de si las particulas son clásicas oson cuánticas y en este último caso si tienen spinentero o semientero.

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La diferencia proviene del hecho de que en el primercaso la probabilidad de que una partícula ocupe unnivel i es independientede si ese nivel ya estáocupado por otra partícula, mientras que en caso debosones la probabilidadaumentasi el nivel ya estáocupado(lo cual está relacionado con la simetría de lafunción de onda)y en el caso de fermiones laprobabilidaddisminuye (relacionado con laantisimetría).

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Se obtienen las siguientes distribuciones:

Clásicas: Maxwell-Boltzman fMB(ǫ) = e−(ǫ−µ)/kBT

Bosones: Bose-Einstein fBE(ǫ) =1

e(ǫ−µ)/kBT − 1

Fermiones: Fermi-Dirac fFD(ǫ) =1

e(ǫ−µ)/kBT + 1

En los tres casos la constanteµ llamada potencialquímico, viene determinada por el valor deN . Si elnúmeroN no es fijo (es decir, puede variar) entoncesµ = 0, en caso contrario se determina mediante lacondiciónN =

∑i f(ǫi).

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Si la exponencial es mucho mayor que 1 las tresdistribuciones coinciden, por ejemplo para energíasmucho mayores que el potencial químico. Sinembargo habitualmente el interés reside en losestados de menor energía y para éstos las diferenciasentre las tres distribuciones son enormes.

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Ejemplos en sólidos:Fermiones: electrones.Bosones: fonones (cuantización de las vibracionesiónicas entorno a sus posiciones de equilibrio), cuyonúmero no es fijo.

Ambos muestran sus efectos a nivel macroscópico.Por ejemplo el calor específico de un sólidopuramente clásico sería una constante. Sin embargose observa que a temperaturas bajas el calor específicopresenta un comportamiento lineal en la temperatura(debido a los electrones) unido a un terminoproporcional aT 3 (debido a los fonones).

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