física: análisis dimensional y vectores: teoría y practica › wp-content › uploads › 2019...
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Índice
*M PRESENTACIÓN......................................................................................................... 7
"Él INTRODUCCIÓN....................................................................................................... 9
*M ANÁLISIS DIMENSIONAL
Magnitudes................................................................................................................ 11
Clasificación de magnitudes...................................................................................... 11
Por su origen........................................................................................................ 11Magnitudes fundamentales.......................................................................... 11
Magnitudes derivadas................................................................................... 12
Por su naturaleza................................................................................................. 12
Magnitudes escalares................................................................................... 12
Magnitudes vectoriales................................................................................ 12
Análisis dimensional................................................................................................... 13
Problemas resueltos.................................................................................................. 17Problemas propuestos.............................................................................................. 45Claves ............................................ 54
”■ ANÁLISIS VECTORIAL
Nociones previas........................................................................................................ 55
Vector ........................................................................................................................ 56
Representación gráfica de un vector.................................................................. 56
Elementos de un vector....................................................................................... 57Módulo del vector............................................. 57
Dirección del vector...................................................................................... 57
Línea de acción............................................................................................. 58
Representación cartesiana de un vector en el plano........................................ 59
5
jos de vectores....................................................................................................... 61
Vectores colineales.............................................................................................. 61
Vectores paralelos................................................................................................ 61
Vectores opuestos................................................................................................ 62
Vectores iguales..................................................................................................... 62
Vectores coplanares............................................................................................. 62
Vectores concurrentes.......................................................................................... 63
Vector unitario ( t i ) ............................................................................................... 63
Vectores unitarios en el plano cartesiano.................................................... 64
Componentes cartesianos de un vector en el plano .............. !.......................... 65
Multiplicación de un vector por un escalar........................................................ 67
jeraciones con vectores.......................................................................................... - 68
Métodos gráficos....................................... 69
Método del triángulo....................................................................................... 69
Método del paralelogramo................................................ 70
Método del polígono.................................................................................... 71
Métodos analíticos.............................................................................................. 72
Método del triángulo.................................................................................... 73
Método del paralelogramo........................................................................... 74
ctores en el espacio................................................................................................... 75
Producto escalar................................................................................................... 78
Propiedades................................................................................................... 78
Producto vectorial................................................................................................ 79
jblemas resueltos..................................................................................................... 85
jblemas propuestos.................................................................................................. 145
aves ........................................................................................................................ 158
BLIOGRAFÍA........................................................................................................... 159
ANALISIS DIMENSIONAL
( ¥ l MAGNITUDES_____________________________________________________________________
Desde inicios de su historia, el hombre percibió la necesidad de desarrollar convenciones o signos para comunicarse con sus semejantes. Poco a poco al hombre primitivo le pareció insuficiente los sonidos onomatopéyicos o los signos, apareciendo así, progresivamente, el lenguaje. Sin embargo, le pareció tan necesario el lenguaje de las palabras como el lenguaje de medir o de la numeración. Pero las necesidades colectivas de trabajo, relación e intercambio creaban entre las personas lazos que obligaban a establecer equivalencias en las mediciones, es decir, hacer ciertas comparaciones de un objeto respecto a otro. En la actualidad, uno de los aspectos más importantes de la vida cotidiana del hombre es calcular, medir y comparar; entonces llamaremos magnitud a todo aquello que puede ser expresado cuantitativamente o, simplemente, a todo aquello que pueda ser medido.
( l í | CLASIFICACIÓN DE MAGNITUDES
POR SU ORIGEN Las magnitudes fundamentales son:
• Magnitudes fundamentales M a g n it u d U n id a d SÍM BOLO DE
FÍSICA BÁSICA b á s ic a LA UNIDAD
• Magnitudes derivadas longitud metro m
Magnitudes fundamentales
Se denominan magnitudes fundamentales a
tiempo segundo s
masa kilogramo kg
aquellas magnitudes que sirven como base para temperatura Kelvin kfijar las unidades de un sistema de unidades, en la que se expresan las demás magnitudes.
intensidad de corriente ampere A
cantidad de mol molDebemos tener en cuenta que cada una de las magnitudes fundamentales tienen una definición exacta.
sustancia
intensidadluminosa
candela cd
I I
I UMBRERAS EDITORES
Magnitudes derivadasl.is magnitudes derivadas son aquellas magnitudes que se expresan en función de magnitudes fundamentales.
I ntre las magnitudes derivadas tenemos:
• velocidad • aceleración
• fuerza • presión
• momento lineal • energía• trabajo
Ejemplo
Respecto al Sistema Internacional de Unidades, indique las proposiciones verdaderas o falsas según corresponda.
I. El grado Celsius es unidad de una cantidad física fundamental.
II. La cantidad de sustancia y la masa son la misma cantidad física fundamental.
III. El newton es unidad de una cantidad física fundamental.
Resolución
I. Falsa
Cuando se trata de la temperatura, la unidad básica es el grado Kelvin.
II. Falsa
Si bien es cierto que la cantidad de sustancia y la masa son magnitudes fundamentales, sin embargo, conceptualmente ambas son diferentes.
III. Falsa
El newton es una unidad que pertenece a una magnitud derivada denominada fuerza.
POR SU NATURALEZA
• Magnitudes escalares
• Magnitudes vectoriales
Magnitudes escalares
Es aquella magnitud que queda definida por un número real y una unidad de medida.
Ejemplo
masa = 4 kg * unidad de medida
Inúmero real
tíempo = 5 S « unidad de medida
tnúmero real
Magnitudes vectoriales
Es aquella*magnitud que queda definida por un número real, una unidad de medida y una dirección.
Ejemplo
velocidad = — 4 m/s * unidad de medida
dirección— I I— número real
fuerza = + 2 0 N unidad de medida
dirección J L número real
Otra forma de representar una magnitud vectorial puede ser, por ejemplo:
• velocidad = 15 m/s hacia el norte.
• fuerza=200 N hacia arriba.
la Nota ;..................................... .
Un e s tu d io m ás d e ta lla d o de las m ag
n itu d e s v e c to r ia le s lo v e re m o s más
a d e la n te en el aná lis is v e c to r ia l.
12
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c io h i
[área] = [base] [altura] =í.x¿=¿2
[ v e l o c M a d l . í f í ^ . - U r 1[tiem po] T
Veamos las ecuaciones dimensionales <l«• algunas magnitudes derivadas.
( Í b | a n á l is is d im e n s io n a l ________________
El análisis dimensional es una herramienta muy 2. importante que nos permite hacer mediciones o comparaciones ya sea de manera directa o indirecta. Gracias al análisis dimensional podemos relacionar las magnitudes fundamentales con las magnitudes derivadas, aprovechando el hecho de que las dimensiones pueden tratarse como cantidades algebraicas.
Observación if
El s ím b o lo e m p le a d o para re
p re s e n ta r una e cua c ió n d im e n
s iona l son los c o rc h e te s [ ] .
Ejemplos
1. [aceleración], se lee ecuación dimensional de la aceleración.
[volumen], se lee ecuación dimensional del volumen.
Para determinar las ecuaciones dimensionales de las magnitudes derivadas, tomamos como base a las magnitudes fundamentales.
M a g n i t u d f í s i c a
b á s ic a
ECUACIÓN
DIM ENSIONAL
longitud L
tiempo T
masa M
temperatura 0
intensidad de corriente j 1
cantidad de sustancia mol
intensidad luminosa J
M a g n i t u d f í s i c a
b á s ic a
E c u a c ió n
DIM ENSIONAL
área L2
volumen L3velocidad L T l
aceleración ir2
fuerza M L T 7
trabajo MÚ-r1potencia MLZT~3
energía ML2T~2
presión M C lr 2impulso M t r 1
frecuencia T-1
carga eléctrica IT
calor Mi2r 2velocidad angular r l
3. Determine la ecuación dimensional del li.i bajo W.
W/=fuerza • distancia
Resolución
Piden determinar [W \, entonces:
[l/l/] = [fuerza] ■ [distancia]
ÍW] = {m LT~2)-(L)
[ W ]=M L2r 2
i u m i ir e r a s Ed it o r e s
A Determine la ecuación dimensional de la fuerza centrípeta FCp-
(masaXveloddad)2Fcp - -
radio
Resolución
Piden calcular [ f cp], entonces
[masa][velocidad]2[radio]
m (lt
/w(í.2r ' 2)
[^ ] =
[ * , ] =
[ £ , ] =
\ f cp] = M L r
5. Si A=área y S=volumen, calcule la dimensión de x, siendo
x = (A-B)4.
Resolución
Piden [x] entonces
ix ] = (ÍA ]-[B ])4
[x ] = (l} -I?)4
-> [x ] = ¿20
6. Si la ecuación x+d=z3 es dimensionalmente correcta, determine las dimensiones de z.
Considere que d es la distancia.
Resolución
Debemos tener presente que en toda ecuación dimensionalmente correcta, los térm inos que se suman o se restan deben tener la misma ecuación dimensional.
Por ejemplo, si la ecuación A + B=C es dimensionalmente correcta, entonces se debe cumplir que [A] = [s] = [c], es decir, ambas magnitudes deben presentar la misma ecuación dimensional (a esta igualdad se le denomina principio de homogeneidad).
En el ejemplo dado se tiene
x+ d = z3
-> íx] = [d] = íz]3
Como d es la distancia
-> [d]=L- <*>
Además, como la ecuación dada es dimensionalmente correcta, entonces los otros términos deben tener las dimensiones de la distancia. Por lo que
[x ]= ¿ a [z f= L
[z]=L~3
7. Determine cuál o cuáles de las proposiciones son correctas.
I. LT~2-LT~2= 0
II. M 2+ M 2 = M 2
ni.i/w“ 2-n “ 2=/w“ 2rE“ 1
Resolución
I. Falsa
El hecho de restar las unidades de dos magnitudes iguales no quiere decir que resultará cero, entonces
LT~2- L r 2= L r 2
1 4
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c io h i
II. Verdadera
De la misma manera la suma de dos magnitudes iguales resulta
M 2 + M 2= M 2
III. Verdadera
Como se trata de la multiplicación de magnitudes, no es necesario que ellas sean del mismo origen
LM~2-TL~2= M ~ 2TL~x
3. Determine las dimensiones de R y de b, para que la ecuación
(Ra) + (bF)2=\og2
sea dimensionalmente correcta.
Considere
o=aceleración y F=fuerza.
Resolución
Piden determinar [/?] y [b]
[/?][o] + ([fa][F])2 =[log2]
......................... ■, Observación i?
La ecuac ión d im e n s io n a l de to d o ángu lo,
razón tr ig o n o m é tr ic a , lo g a r itm o y, en
g en e ra l, de to d a c a n tid a d a d im e n s io n a l
es la unidad.
• [4 5 o] = 1
• [ io g ] — 1
• [c o s 3 0 ° ] = l
Entonces
[r ] lt~2+ [ó ]2 (m l t ~2)2 = 1
Del principio de homogeneidad
• [r] l t 2= 1
->■ [r ] = l~1t2
• lb ]2(MLT~2)2 =1
[b ]= M ~ 1L~1T2
19. Si se cumple que A + B = —, entonces señale
Bla proposición verdadera y la falsa.
I. A y B son magnitudes adimensionales.
II. A y B son razones trigonométricas.
Resolución
I. Verdadera
Para que esta igualdad se dé, amb<r. magnitudes deben cumplir con el prin cipio de homogeneidad
Como podemos observar, ello solo so cumple si las magnitudes son números.
II. Falsa
No solo son razones trigonométricas, sino también pueden ser logaritmos o algún ángulo dado.
10. Indique las proposiciones verdaderas o falsas según corresponda.
I. Solo se pueden sumar o restar cantidades físicas de la misma dimensión.
II. Todos los términos de una ecuación físii a deben tener las mismas dimensiones.
I IJMBRERAS EDITORES
Resolución
I. Verdadera
Por ejemplo, sea la suma
5 m + 3 m =8 m.
Podemos observar que al sumar los metros, nos da como resultado metros. Sin embargo, sería falso decir que se cumple
5 m + 3 s=8m/s.
Entonces, para realizar la adición o sustracción de cantidades físicas, estas deben ser de la misma magnitud.
II. Verdadera
Por ejemplo, sea la ecuación
vf=v0+at,
donde v^y v0 son la rapidez final e inicial, a es la aceleración y t es el tiempo. Esta ecuación será dimensionalmente correcta si las unidades de cada término son las mismas.
11. Si la ecuación E = ^2kv2 es dimensionalmente correcta, ¿cuál es la dimensión de k? (E es energía y v es velocidad).
Resolución
Determinemos cuáles son las dimensiones de la ecuación dada
[F l = [V 2 ]M M 2
ML2T~2 = l-[k ](L T ~ 1)2
m i?t ~2 = M /.2r~ 2
_>[fc] = /W
V*12. La ecuación d = --------- es dimensional-
o(sen0)mente correcta.Donded= distanciao=aceleraciónv=velocidad
¿Cuál es el valor de x?
Resolución
Del problema
r ! [ v f to ][sen0 ]
LT~2-1
L2r 2=L*rx—>x=2
10
P* PROBLEMAS RESUELTOS
N iv e l b á s ic o
PROBLEM A IM.° ISi la ecuación dada
d/Vsen30° = P
es dimensionalmente correcta, calcule las dimensiones de N.
Considere
d: densidad
P: presión
a) r 4r _4 B) L2r 2
D) L4T~4
Resolución
Tener presente
sen30° = l /2
-a P=dNin
Ahora
[P] = íd ][N ]1/2
ML~1r 2= M r 3[N ]1/2
L2T~2= [N ]1/2
[N]=L4r A
C) LT4
e) r 4r 4
PROBLEMA N.° 2
La energía cinética viene dada por
Ec = - m V .c 2
Determine x+y, siendo m: masa y v: rapidez.
A) 2
D) 4
B) 5 C) 3
E) 1
Resolución
Dado que la energía cinética depende de la masa y de la rapidez, entonces
V[^c]
M l} r 2 = 1-M X
[ m f í v f
(l t - 'Y
ML2T~2 = M xLyT~y
Se observa que
• M = M X
-> x = l
-> y=2
x+y= 3
Clave ( D _C lave (C)
1 7
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
PROBLEMA N .° 3
Calcule el valor xy*y en la siguiente expresión dimensionalmente correcta
d = ^¡20axt y.
Donde
d: distancia
a: aceleración
t: tiempo
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Resolución
De la expresión dada
[d ] = [V 2Ó ][o ]*[t]y
L = l-(LT ~2Y (r)y
i = ¿xr Y -2 x
se observa que
• L=LX
> x = l
. 7°=7^_2x
0 = y -2 x
> y=2
x / y=22=A
PROBLEMA N.° 4
De las siguientes proposiciones, determine cuál(es) de ellas son correctas.
I. v=a t
^ d = - a t 2 2
II 1/2II. a = —2 d
Donde
a: aceleración
d: distancia
v. rapidez
t: tiempo
A) VFV „ B) VVF
D) VFF
Resolución
I. Verdadera
[v] = [o] [t] '
-H> LT~1 = LT~1
II. Verdadera
ld ] = [o ] [ í ]2
l= i -{lt~2)t2
L = L
Verdadera
[v ]2[o] =
LT~2 =
[2][of]
' ( /T -1 )21 -L
LT~2 = L r 2
C) VVV
E) FVV
Clave ( D C la v e (C
ih
Hf .............................
PROBLEMA N.° 5
En la siguiente ecuación física
E=Av2 + BP,
donde E: energía, v\ velocidad y P: presión, calcule [a / b \.
A) M r 3 B) ML2 C) MLT4
D) ML~3T E) M r 4
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i ••
PROBLEMA N.° 6
Sabiendo que la siguiente expresión es dimensionalmente correcta
H =aF-bp,
donde: F: fuerza y p: impulso, indique qué mui; nitud representa a/b.
A) energía B) velocidad C) tiempo
D) fuerza E) aceleración
Resolución
Se tiene que
E=Av2+BP
Entonces
[e ] = [a ) M 2+ [ b ] [ p ]
Podemos observar que tanto E como cada sumando debe tener las mismas dimensiones, por lo que
[E] = [A ][v] 2= [B ][p ]
De esta manera
• [E] = [A ][v ]2
m l2t ~2 = [A ] ( t r -1 )2
ML2T~2=[Á \L2r 2 [A ]= M
Resolución
Del problema
[H] = [a ] [F ]- [b ] [p ]
No deberíamos preocuparnos por las dlmen siones de H ya que esta relación cumple con el principio de homogeneidad, entonces
[H] = [a ][F ] = [b ][p ]
-> [o ][F ] = [b ]fp ]
[ a ]M L r 2 = [b ]M L r 2
[o] _ M LT '1[b ] MLT~2
Clave ( c )
[e] = [b ] [ p ] PROBLEMA N.° 7
m l 2t~2= [b ] m l ~1t~2Dada la siguiente ecuación dimensionalmente correcta
ÍB ]=L3 n _ n ¡ l
> [A /B ]=M L
A = P + - x v 2,
[fi] i} donde P: presión y v: velocidad, determine l,e.unidades de x en el S. I.
A) kg/m3 B) kg/m2 C) kg
Clave ( A ) d ) kg-s e) kg-s/m
1 ()
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Resolución
W = [p]+ M M
Del principio de homogeneidad
ÍA] = [P] = [x][v]2
Entonces
[P] = [x ]M 2
ML h 2 = 1 -[x]{lT x)
[x ]=M L~3
Comoi- M [masa]W = t = ------------ ^
L [longitud]
Resolución
Dada la ecuación
[x | = lo | + M l t ] + [c ] [ t ]2
Del principio de homogeneidad
• [x] = [o]
-> [a ]=L
• [x] = [b ][t]
L= [b ]T
-» [ b ] = t r 1
[x ] = [c ] [ t ]2
L = l- [c ]T 2
[ c ] = t r 2
sus unidades serán kg m 3
Clave (A )
PROBLEMA N.° 8
Si la ecuación
x = a + bt + - c t 2 2
es dimensionalmente correcta, calcule x: distancia y t: tiempo
A) Tc) L r 1
d ) r 1!
B) LT'
E) LT
abc .
Piden calcular
ab. c
ab c .
[a ][b ] L -LT [c] LT
= LT
C lave (E
PROBLEMA N .° 9
Si A representa el área, ¿cuáles serán las dimensiones de x e y, respectivamente?
7/4log20°= 2x1/2+ 5y2sen30°
A) L; L
D) L4; L
C) L, L~
E) r 4;¿ -
2 0
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o k i s
Resolución
Dada la ecuación
[7] [A] [Iog20°] = [2] [x ]1/2+ [5] [y ]2[sen30°]
Del principio de homogeneidad
. [7 ][A ][log20“ ] = [2 ][x ]1/2
1 - L2 ■ 1 = 1 • [x ]1/2
-> [x]=¿4
• [7] [A] [Iog20°] = [5 ] [y ]2[sen30°]
1 ■ L2 -1 = 1 ■ [y ]2- 1
-> [y]=L
_ C lave ( § )
Entonces
a=b*cy (I)
[a] = [b]*[cY L r 2={L2T(T)y
LT~2 = L2xl y
Por lo que
• L=Llx l= 2 x
X = l/2
• T~2=T y -> y = -2
Reemplazando en la ecuación (I)
o= ó 1/2c - 2
C lave ( d)
PROBLEMA N.° 10
Se tiene que b = 20 m2 y c=2s. ¿Cuál sería la relación correcta para representar a la aceleración o?
A) a= b /c B) a = 4 b /c C) a = 4 b -c
D) a = y fb /c 2 E) a=b /c2
Resolución
Dato
• b= 20 m2
-> [b ] = L 2
• c=2s
> [c] = T
l’iden determinar la relación correcta para representar la aceleración a en términos de b y c.
N iv e l in t e r m e d io
PROBLEMA N.° 11Señale si las siguientes proposiciones son verd.ideras (V) o falsas (F):
I. Una expresión dimensional es una cantidad física cuya representación se encuentra es tablecida mediante símbolos en el S. I.
II. Se denomina ecuación dimensional a aque lia ecuación que resulta al representar las ecuaciones involucradas, en una ley física mediante sus expresiones dimensionales.
III. Una ecuación dimensional es homogénea cuando las unidades a ambos lados del signo igual son las mismas.
A) VVF B) VFV C) FVV
D) VVV E) FFV
21
I UM8RERAS EDITORESm
Resolución
I. Verdadera
Sea A una cantidad física, entonces
[A ]=LxMyTz...,
donde x; y; z son números y L; M; T;...; son símbolos que representan las cantidades físicas fundamentales en el Sistema Internacional.
II. Verdadera
Sean las ecuaciones
A —B • C o A —B+C,
entonces las ecuaciones dimensionales serán
[A] = [B][C] o [A] = [B] + [C],
donde observamos que [A]; [s ] y [c ] son las dimensiones de las cantidades involucradas en una ecuación dada.
III. Verdadera
Sea la ecuación
A=B+C,
entonces esta ecuación será dimensionalmente correcta si se cumple que U ] = [fi] = [c].
Clave ( p )
PROBLEMA N.° 12
Señale si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F).
I. Una longitud de 10 pm es Igual a 0.01 t]m.
II. Cuando se tiene una ecuación física, todas las constantes son adimensionales.
III. La cantidad de carga eléctrica tiene como expresión dimensional IT.
A) W V B) FVF C) W F
O) VFV E) FVV
Resolución
Veamos la siguiente tabla:
Prefijos para las unidades del S. I.
P o t e n c ia P r e f i j o A b r e v ia t u r a
io - 15 femto- f
10~12 pico- : P
10” ® na no- n
10“ 6 micro- : p
10~3 mili- m
10“ 2 centi- c
10"1 deci- d
fl.01 deca- da
103 kilo- k
1 o6 mega- M
10® gtga- G
10a tera- T
1015 peta- P
Algunas conversiones
1 cm = 10~2m
- 1 cm2 = 10“ 4m2
1 cm3=10“ 6 m3
1 litro = 1 dm3
1 dm3 = 1 0 "3m3
1 litro = 1 0 "3m3
1 kg=103g
1 g=10~3kg
1 min = 60 s
1 h=3600 s
1 km = 103m
10 m /s=36 km/h
22
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o u i \
I Falsa
De la tabla dada
1 nm = lCT9 m
1 nm = 10~3-1 0 '6 m
Pero
1 p,m = 10-6 m
—> 1 nm = 10-3 (1 p,m)
lp .m = 103 nm
Entonces
10 |im = 1 0 x l0 3 nm
II. Verdadera
En una ecuación física, todas las constantes (números reales) son adimensionales.
III. Verdadera
La intensidad de corriente viene dada por la siguiente expresión
tDondeQ: cantidad de carga
t: tiempo
Entonces
= -> [q ] =IT
C lave (JE)
PROBLEMA N.° 13
Determine la ecuación dimensional de la constante de coulomb k si se sabe que esta ley se encuentra expresada como
i~ d2
Donde F es la fuerza electrostática, d es la di-, tancia y q1 y q2 son cantidades de carga.
A) ML3r 4/ ' 2 B) MLT~2I C) ML2r 2l 1
D) ML3T r 2 E) MLTI
Resolución
Del problema
r f 1 [ f c M f t l Id ?
MLT- 2 j m nt
MLT~2 = [k ] l2T2L~2
[k ] = M t? r2T~*
_ C la v e ( a )
PROBLEMA N.° 14
Dada la siguiente ecuación
2
determine las dimensiones de k si S es adimon sional; m: masa; v: rapidez; T: tiempo
A) MLT2Q
B) ML2T~2Q~1
C) ML2T2Q
D) ML2T2Q~2
E) /WL_1r 26
2 <
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
Resolución
De la ecuación dada
[ 5 ] =2
lm ][v l2
3_2
[k lT ]
1 = i-We[k ]=M L2r 2Q~1
Clave ( B
PROBLEMA N.° 16
La teoría nos indica que cuando un cuerpo se mueve con una velocidad cercana a la luz, su energía está dada por la siguiente ecuación
E = ^ p 2c2+ m xcy .
Si p es la cantidad de movimiento lineal y m es la masa del cuerpo, ¿cuál debe ser el valor de x+ y para que la ecuación sea dimensionalmente correcta?
A) 0,5
D) 6
B) 1 C) 2
E) 4
PROBLEMA N .° IS
Determine cuál será la expresión dimensional de una cantidad física cuyas unidades se expresan en joule por kilogramo Kelvin.
A) /.2r 20_1 B) M ¿L¿T~¿Q C) M ¿L¿T~2/ 2-,— 2q a2¡ 2-t—2a-1
d ) i 2r 2e E) l~2t\
Resolución
Sea la cantidad física A cuyas unidades es
Jl-k
* A =[energía]
> |A =
[masa][temperatura]
[energía]
|/4|:
[masa] [temperatura]
ML2T~2M-Q
I A] = L2r “ 20~1
Clave ( A
Resolución
Del problema
• El módulo de la cantidad de movimiento p=m v
donde m = masa y v=rapidez
-> [p] = [m ] [v]
[p\=M LT~1
• c es la rapidez de la luz
[ c ] = ¿ r 1
Entonces
[E]2= [p ]2[c ]2+ [m ]x[c]y
(/wL2r “ 2)2= ( /w / . r 1)2(LT“ 1)2+/wx( / . r '1)y
M 2LAr ‘l = M 2L4T~A+ M xLvr y
Del principio de homogeneidad
M 2L4T~a= M xLyT~ y
Entonces
• M 2= M x x=2
• L4=Ly -
x+ y= 6
y -4
Clave ( D
24
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c io h i
PROBLEMA N.° 17
Si la expresión
es dimensionalmente correcta (m : masa, t: tiempo, i/: velocidad y W: trabajo), calcule a+b+c.
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 5
Resolución
De la expresión dada se tiene
[M/ ] = f [ t ] í’ [v ]c
J V - U r 1)'2 -2 I MM LT 2 = ( j2
M?T~2 = M aT la -Tb -LcT c
ML1r 1 = M aLcTb~c~
Lntonces
• M = M a
> 0 = 1
2o
PROBLEMA N.° 18
Determine las dimensiones de a y b si la ecuac ión
oF , l2 P = — + bd¿,
R
es dimensionalmente correcta.
Considere
F=fuerza
P=presión
R=radio
d=densidad
A) L "1
B) r 1
c) r 1d) r 1
E) r 1
/ w r 2r 2
M~^L~21 2
M ^ 1L5r 2
M ~1r 5r 2
M ~1r 1r 2
Resolución
[P ]= Í £ M + [ f c ] [ d ] 2Ir ]
/w r1! -2 =[a]MLT~
\-[b]ÍML 3
- L2=Lc
> c=2
. j - 2 _ j b - c - 2 a
■ - 2 = b - c - 2 a
- 2 = b - 2 ~ 2 ( l)
b=2
ML~1r 1= [a]M T~2+ [b]M 2L~6
Del principio de homogeneidad
• /VÍ/.'1r _2=[o ]/W r“ 2
[o ]=L - i
ML T = [b ]M L2 , - 6
Cor lo tan to a + b + c = 5
C la ve CE
[¿ > ]= /w _ 1 ¿5r 2
Clave (C J
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
PROBLEMA N.° 19
Si la ecuación QnP2 + SP + R = ^ + esv
dimensionalmente correcta, en donde v es la rapidez, determine [p].
A) kg-C-s B) kg-A C) kg--
D) kg — E) kg--^s C
A) LT
D) LT■1/2
B) L~1/2Tx/2 C) L~1/2T
E) L2
Resolución
[Q ]" [P]2 + [S][P] + [Rl = [Q] + [5 ][|0gP]M
[q ] " [ p ]2 + [s ] [ p ]+ [/? ] =[q ] + i i
LT- 1
Se observa que [Q] = l
Entonces
i -{p}2+ [s] [ p ]+ [r ] = l ~1t
Usando el principio de homogeneidad se obtiene
[P]2=L~XT
> [ P ] = r 1/2r 1/2
CLAVE ( B )
PROBLEMA IM.° 20
Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta
ssen(w|3)P m-
donde m\ masa; q: cantidad de carga; w. rapidez ungular; determine la unidad de a/(3.
Resolución
ÍP] = ( [m ] + [ a ]sen(w/|3)
Para que la expresión sea dimensionalmente correcta
r n [a ][m] = —
[d ]
M =[a]IT
-> [a ]= M IT
Además, sen(w(3) debe ser un número por lo que
[w p ]= l
[w][|3] = l
^ [P ] = l
-> [p]=r
. [a ] MIT• • T -r = ------= MI
[P] T
M I - [masa] [amperio]
Por lo tanto
— tiene como unidad kg-AP
Clave ( B
/ ó
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o u i •
PROBLEMA N.° 21
Dada la siguiente ecuación correcta
/ 3 c ' 'm -n-a = AV. eos
determine la ecuación dimensional de ac.
Donde F: fuerza; V: volumen; m y n son masas.
A) MLT
D) LT3
B) /W_1í.4r~ 2 C) ML2T~s
E) ML¿
Resolución
[m ][n ][o ] = [4][v.
M - M ■ [o] = 1 • í 3 • 1
[o] =Z.3/W~2
3c
Indique el tipo de movimiento que realiza cuerpo y cuál de las expresiones, F, G o H, dlmenslonalmente correcta.
A C2 B2F = — + B;G = — + A;H = hC
C B A
A) MRUV; H B) MRUV; F C) MRU; H
D) MRU; F E) MRUV; G
Resolución
lx ]= - [A ) + [B ] [ t ] - ÍC ] [ t ]2
L = -[A ] + [B ]T -[C ]T 2
Del principio de homogeneidad
l = [a ] + [b ] t= [ c] t2
A . , 3c . . [3 ][c ] 1Ademas, — es un numero, por lo que — - = 1.d [d]
[c] = [d]=M LT~2
[ac] = [a ][c ]= L 3M ~2- M L r 2
> [a c ]= M ~ 1L4T~2
CLAVE (B
PROBLEMA N .° 22
( onsidere la siguiente ecuación del movimiento di‘ un cuerpo
i -A + B t-C t2
(x: distancia, t: tiempo; además, A; B; Cson constantes no nulas).
Entonces
[A ]=L
[B]=LT~1
[C]=LT~2
Ahora
AF = ----- FB
C
[F] J - f L + [B][C]
[F] = - ^ + ¿ r “ 1 LT
[F]=L72 + / . r 1
2 /
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
Se observa que la ecuación dimensional de F no es correcta ya que
CL• G = — + A
B
[ C l2
[S]
LT
[G ]= L r 3+L
De igual manera, 6 es dimensionalmente Incorrecta.
LT~3*L
• H = — + C A
-> [H] J f j + [cl [ A ]
ÍH lj F l T l ^
[,H} = L r 2+ L T 2
[h ] es correcta.
Además, como
1 /-/] =L7 2, estas son las dimensiones de la aceleración, por lo que el movimiento será un MRUV.
C la v e (A)
PROBLEMA N .° 23
Si las expresiones dadas
myoz = xy; x =
yjy2 - v 2son dimensionalmente correctas, determine la dimensión de z. Donde m, v y a son masa, velocidad y aceleración.
A) LT~l
B) M r 1
C) LT
D) M r 1
E) MT*
Resolución
1_ [m][y]M =V m 2 - m 2
Para que la parte del denominador sea correcta, las dimensiones de y y v deben ser iguales, por lo tanto [y] = [v]
[x ] M[y]
-> [x ]= M
Piden calcular z a partir de la ecuación
[o] [z] = [x] [y]
(lt~2) [z] = m ■ L r 1
[z ]=M T
Clave (E
28
r A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o k i
PROBLEMA N .° 24
1.1 fuerza de rozamiento que experimenta una pequeña esfera dentro de un líquido está dada por la siguiente expresión
I k n W c,
donde k: constanté, F: fuerza de rozamiento; r: ra- (lio, v. velocidad; n: viscosidad
2b + 2 c -a
viscosidad = -masa
longitudxtiem po
( .ilcule a+b+c.
A) 1
li) 4
Resolución
I LltO
ln] =
B) 2 C) 3
E) 5
[m asaj[longitud][tiempo]
In] = — -» [n ]=M L~1T~1 LT
l n el problema
\F] = [ k ] [ n f [ r ] 2blv ]2c
MLT~2 = 1 • (mí.-1! -1 )° (L)2b (¿T-1)
MLr2=MaL2b+2c~°ra~lc
2c
L=L
l = 2b + 2\ - | -1v2/
b =
a + b+ c= 2
l= 2 b + 2 c -a
Clave ( B )
PROBLEMA N.° 25
Dada la siguiente ecuación dimensionalmenle correcta
A = Ve -Bt\
donde v: velocidad y t: tiempo, determine la di mensión de A/B.
A) LT~1
D) L ^ r 1
B) LT
Resolución
Como e es la base del logaritmo neperiano, entonces
[e] = 1
Donde
flt2=número
[s ] r 2= i
[ e ] = r 2
[fl] [ t ]2=1
I n lon ces
• M = M a -> o = l
• r 2 = r a~2c -> - 2 = —o -2 c
- 2 = - l - 2 c
c= 1/2
Del problema
[A] = [v ] [e ] -et2
[A ]= ( ir
[A /B ]:
M = i r
[A] LT
' [B] T
-1
-2 = LT
Clave ( B
?<)
I UMBRERAS EDITORES•H
PROBLEMA N.° 26
Determine las dimensiones de S, si la expresión
S I/W/cItc —(logó)3)
es dimensionalmente correcta.
Donde W\ trabajo; v: velocidad.
A) ML2T4
D) ML3T 3
B) ML T2 -r-2 C) M T
E) ML2T 3
Resolución
Para que pueda darse la diferencia tc—(logk)3, log/c debe ser un número; por lo tanto, k debe ser una constante adimensional.
De esta manera
|s ] = M [v ]|> ][(7 i-( lo g £ > )3) ]
[s] = m l 2t 2-l t 1- i - i
-4 [s] = m l 3t
C lave (D
PROBLEMA N.° 27
Cuando un cuerpo se mueve dentro de un fluido, su rapidez varía de acuerdo a la siguiente expresión
F_
k)]1 -e
(kn)tA
donde v: rapidez, F: fuerza, t: tiempo.
Determine la ecuación dimensional de [/cr|A].
Resolución
[F] \ - M r
[lcr\]
[kr\] = M T 1
Para que la ecuación dada sea dimensionalmentekr)t
correcta e A debe ser adimensional.
Por lo que
kr[tA
- es un numero
kr\t . A
[/CT|][t][A]
= 1
= 1
- = 1MT -T
[A]
[a] = M
[kr\A ]= M 2T 1
Clave ( D
PROBLEMA N .° 28
Si la siguiente ecuación es dimensionalmentecorrecta
x=asen(bcx),
donde [o ]=L y [c] = 7, determine la dimensión de b.
A) ML
D) M 2T 1
B) M 1r 2 C) M
E) M TA) TL
D) L
B) r-2
c) r M 1E) 71 1
to
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i
Resolución
Dada la ecuación
[x ] = [o][sen(bcx)]
> [x] = L - l = L
I as dimensiones de una razón trigonométrica es l,i unidad, por lo que
[sen(ócx)] = 1
> bcx=número
[bcx] = l
[b ][c ][x ] = 1
[b ]T -L = l
[ ó ] = r 1r
C lave (C
Resolución
[o] = [R] sen 0 +vt
Como
sen 0 +vt
= 1
= [número] = 1
= 1
= 1
[v ][t ][A,]
(l t - ^ í t )[A]
[A]=L
Como podemos observar, A representa una Ion gitud.
Clave ( Á )
PROBLEMA N.° 29
i u.il debería ser la unidad de A para que la ex- lu f.lón dada sea dimensionalmente correcta?
a /fsen 0 +vtA
l 'linde
,i ai eleración
i nipidez
i in'inpo
'v| km 1 I m /s 2
l ' l ki:/m3
B) kg
E) m/s
PROBLEMA N.° 30
Un cuerpo a una cierta temperatura irradia enei gía, la cual viene expresada mediante la expresión
H=EcATy
A:área
T: temperatura
H: energía por unidad de tiempo
Q Wa = 5,67x10
Calcule y.
m V
A) 1
D) 4
B) 2 C) 3
E) 5
i I
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
Resolución
Debemos tener en cuenta energía
H =
ÍH)
tiempo_ [energía] _ MI?T~2
[tiem po] T
H> [H ]=M L2T~3
• [£] = [número] =1
• ÍA ]=L2
• [ r ]= e
• [a ] = [5 ,6 7 x l0 “ 8]l w ]
= [5 ,6 7 x l0 -8 ] ------------ | P°tGnCÍal---------- j[distancia] [temperatura]
-> [c r ] = l -
3q - 4[o]=/wr3e
Entonces
[H] = [ £ ] [ a ] W W Y
ML2r 3 = l - M T 3e~4-L2-Q'í
ML2T~3=M T~3L2Qy~4
> o°=eY-40 = y -4 -> y=4
C lave (D
PROBLEMA N.° 31
'.i l.i siguiente ecuación es dimensionalmente ( orrccta
/Wcos0(
Ák 2+p Y
determine la ecuación dimensional de C. Donde
M: momento de una fuerza
m: masa
P: peso
A) ML
D) M _1L
B) MLT- i C) ML2
E) ML - i
Resolución
Debemos tener en cuenta que el momento de una fuerza lo podemos escribir como
M =fuerzax distancia
—» [m ] = [fuerza] x [distancia]
[M ]= M L r 2-L
[m ] = m l 2t 2
Además
peso= masaxgravedad
[peso] = [masa] x [gravedad]
[P ] = M L r 2
De la ecuación dada
[C] =[M ][cos0]
[M ]{ [k f+ [P ] )
Para poder sumar [/r]2+ [P ], ambos sumandos deben ser de la misma magnitud.
Entonces
[C] =
[C] =
[<W ]-1
[M ][P ]m i} t ~2 -i
M -MLT
[C ]= M ~1L
-2
Clave ( D
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i \
PROBLEMA N .° 32
Determine bajo qué condiciones la siguienteexpresiónF{Q + b) 2f?sen0
4~r be
puede ser efectuada, siendo F: fuerza, R: radio y 0=7t/6.
A) solo es posible si £> = —
B) solo es posible si b adopta las unidades de
la aceleración y b = —2
C) solo es posible si b es una cantidad adimen- sional y lc ]= M ~ 1L~1 2T2
D) solo es posible si b y c son cantidades adi- mensionales
I ) solo es posible si la magnitud de b es igual a la de c
Resolución
Del principio de homogeneidad
|F ][0 + ¿>] [2][/?][sen0]
[RÍ|l/2 íb ][c \
i'.n.i que esta igualdad sea dimensionalmente coi recta, b debe ser una cantidad adimensional y.i que solo así podrá sumarse con 0.
\F] _ 1-[R]-11/2\R]
MLT
1-lc]
,1/2_L_
=/vr1r 1/2r2C la v e (C
PROBLEMA N.° 33
Si la siguiente ecuación dimensional es corréelakvea
- + d ,y = -sen(wf)
calcule [vkw]-
Donde
o: aceleración
E: energía
t: tiempo
d: densidad
e: base del logaritmo neperiano
a) m 1r 2r 3 B) /w_2¿_1r 2 C) M ^ T T 2
D) ML~3r l E) M ~2L~2T
Resolución
|sen(wt)J
Dado que la ecuación mostrada es dimensional mente correcta, esta debe cumplir con el princi pío de homogeneidad por lo que
r n í k ]M íe íavt)M = _ r— T 7 y T = [D][sen(wt)j
. lk ][v ][e ]{avt)[sen(wt)]
lk ][v ]
= [D]
-3■1 = MC1
[kv]=M L~3
Además
• [sen(M/t)] = l
[w ][ t] = l
[w ]T = l —> [w ] = 7 1
[vkw]=ML~3T~1
[w t] = [número] = 1
Clave ( D )
33
Lu m b r e r a s E d it o r e s
PROBLEMA N.° 34
Sobre un cuerpo actúa una fuerza que depende del tiempo según la expresión
abe„t i bc + t F = Ae sen| — :— I. Determine
Donde
t: tiempo
e: base del logaritmo natural
F: fuerza
Ad
A) M ~xL~l T B) M 1LT 1 C) ML 1F“ 1h - 1!
D) M Í L i r E) MLT~
Entonces
[b \[c ] + [t ] TId] [d ]
-> [d] = T
Además de la ecuación (I) se tiene
M L T 2= [A ]-1 -1 -> [a] =MLT~2
Piden
abeAd
[o ][bc] T~x -T[A ][d ] MLT~2-T
Resolución
[F] = [A ][e ]ot( bc + t
X ~ ~ d ~ (O
Esta ecuación es dimensionalmente correcta si
• [ e ] o t= l
[o f] = [número] = 1
[o ][t ] = l
[o ]= r _1
De igual manera ^bc + t
sen
bc + t d
lfa][c] + [t ] Id ]
= [número] = 1
= 1
,i suma será correcta si
I b][c ] = [t]
\b ][c] = T
abeAd
= M 1L 1T
Clave ( A )
PROBLEMA N .° 35
Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta
A B C -~ D + BF = DC[1 + AB)ZX, x
determine la ecuación dimensional de B y D.
Donde
C: trabajo
F: fuerza
A) L T 2; 1 B) r 1! " 3; 1 C) LF2; 1
D) MLT; 1 E) 1
Resolución
Para que la ecuación dada sea dimensionalmente correcta, A y B deben ser adimensionales, es decir
[AB] = 1
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o ii i
Del principio de homogeneidad
[ABC] = - D.x .
= [b f ] = \_d c ( i + a b )zx~\
-> [a b c ] = [ d c ( i + a b )zx]
[AB][C] = [D ][C ][{1 + AB)ZX]
i • [c] = [d] [c] ■ 1
> [D ]= 1
l.imbién observamos
[ABC] = [BF]
\AB][C} = [B}[F]
1 ■ ML2T~2= [b ] ■ MLT~2
■ I B]=L
C la v e (E
Resolución
De la expresión dada, se tiene
AX + By- = ( ^ f (metros)2x + y
U ] M + [fi| [ l [ W [ met r0s]2[x ]+ [y ]2
Para que ello sea correcto [x] = [y ]2, entonces
[A ][y }2+ [B ][y ] 2
[y]2De esta manera
• [A \[y }2=L2[y ]2
-> [A\ = L2
• [s ][y ]= L 2[y ]2
-+ [B ]=L2- [y]
[B ]=L2- Í M L r 2)
[B]=M L3r 2
Clave (B
PROBLEMA N.° 36
I ' ik I.i la expresión
d i I By /—- y = V20 metros
» ' y
ilim i'iis ionalm ente correcta, determ ine las d imensiones de B y A si y = V 20 newton.
A| M IJr 1yM L2
(II MI ! f -2 y í.2
i I M ' r 2yL 2
H| M il 2 y L2
I I M '/ '2r 3y¿ “ 2
PROBLEMA N.° 37
Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta
Pcos45°=4c/V'tz, calcule (x+y)2.
Donde
P: potencia
d: densidad
v: velocidad
t: tiempo
A) 1
D) 25
B) 9 C) 16
E) 36
35
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
Resolución
[P] [cos45°] = [4] [c/]x[v ]y[ í ]z
/W/.27 '3-l=(ML_3)X(/.r-1)y(T)zML2r 3= M xLy~3xTz~y
Entonces
• M = M X -> x = l
. L 2 = L y- 3x
2 = y -3 x
2 = y —3(1)
y=5
. r 3 = T z- y -> - 3 = z - y
- 3 = z —5
z=2
(x+y)z= ( l + 5)2
(x+y)z=36
C lave (E
Resolución
IfJW =
W =
[¿0 ]
[A]
MLT~Z ( L L
[ L ] - [ V
- 2
[k ]=M L~1T~2
Clave ( B
PROBLEMA N .° 39
Se sabe que la unidad de la viscosidad es el poise. Si esta viscosidad viene dada por
P77T 8 LV
donde T es el tiempo necesario para que un volumen 1/ de líquido recorra una longitud L de un tubo de radio R sometido a una presión P.
Determine las dimensiones de la viscosidad.
PROBLEMA N.° 38
Si sobre una barra de longitud L0 y de sección transversal A se le aplica una fuerza F, esta se alarga una longitud L. Determine las dimensiones de k si se cumple la siguiente relación
A \ L - L
A) M L ^ r 1
») ML-1 r -2
0 m l ~2t~2
l>) M L ^ T 2
1) m l ~1/2t~
A) ML 1T~2
D) M r 1/2T1/2
B) ML - i T - i
Resolución
[p ] [ r ] [ f i ]4
M =
[ 8 ] [ L ] [ V ]
( /w r1r -2 )(r)¿4
|A = -m-s
C) ML~2r 2
E) ML~1/2T2
i - ¿ - r
[ja] = / w r1!"1
Entonces, sus unidades serán
kg
C la v e (B
16
VA n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o k i
PROBLEMA N .° 40
Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta
•fh = ír(sen40)F W t calcule b —a.
Donde /: fuerza W\ trabajok: constante adimensional
Luego en (II)
1a = —
2
■ h n 3 1 1b - a = ------- = 12 2
_CLAVE (A )
A) 1
D) 0,5
B) 2 C) 1,5
E) 2,5N iv e l a v a n z a d o
Resolución
'.i la ecuación dada la elevamos al cuadrado y lomamos sus ecuaciones dimensionales, obtenemos
I h] = [k]2 [sen40]2 [ f 0-1]2 [vv^1?
l = i -i -(m l t ~2)2a 2(m i} t ~2)2b 2
L = ^2o-2-f2¿ )-2^2a~2+4b~4y-~4o+4-4 í)+4
lnionces, i _ ^2 a + 4 fc-6
■ l= 2 o + 4 b -6
7=2o+4b
M °= M 2a+2b~i
0 -2 o + 2 b -4
4 =2a+2b
? a+b (II)
it r l.r, ecuaciones (II) en (I) obtenemos
/, *2
PROBLEMA N.° 41
La presión (P) que ejerce un fluido en movimiento puede hallarse en cierto caso particular por
P = mv
donde m : masa; t: tiempo; s: área; a: aceleración.
Determine las unidades de k.
A)
D)m
B) — C) m3-ss
E) m-s
Resolución
[P l = [m l[v ]>
Esta ecuación será dimensionalmente correcta
si x| at — | es un numero
[ x ] | [ o ] [ t ] - j í 0 = l
37
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
Donde
[ a ] [ t ] = ¥ \LsJ
(£r!)r-ÍLÍí2
- » [ k ] = / . 3 r _1
Por lo tanto, las unidades de k serán m3/s.
Clave ( D )
PROBLEMA N.° 42
La energía por unidad de volumen que transporta una onda que se propaga en una varilla está de-
1terminada por la ecuación p = - p xw yAz, donde
p es la densidad, w es la frecuencia angular de oscilación y A es la amplitud. Determine el valor de 2x+y+z.
A) 2 B) 6 C) 10
D) - 4 E) - 8
Resolución
Dato
_ energía volumen
[energía] _ Ml?T~z [volumen] ¿3
> [y,]=ML~1r 2
Ahora del problema
[p] = 1 • [p ]x[w ]y[/\]z
M c h '2 = (m c 3T (r_1)y (l)z
ML~1T~2=M xLz~3xT~'/
Entonces
• M = M X
-4 x=l
. / . “ 1= ¿ z_3x
—> - l = z - 3 x
- l = z - 3 ( l )
z=2
. r 2= r y-» y =2
2x+y+z=2(l) + 2+2 = 6
Clave ( B )
PROBLEMA N.° 43
La rapidez de la propagación (v) de las vibraciones acústicas en un medio determinado depende del módulo de Young (£) y de la densidad del medio (p) como se indica
v = £ V -
Si £ se expresa en /V/m2, ¿a que es igual x -y ?
A) 0 B) 1 C) 2
D) 0,5 E) 1,5
Resolución
Dato
newton
(metro)2
[fuerza] _M LT~2
[longitud]2 L2
[E ]=M L~1r 2
¡8
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o u i
Del problema
M = [ f ] x[p F
L7” 1 = ( w f 1! -2)* {m C 3Y
LT_1 = M x+yL~x~3yr 2x
1 ntonces
. T~2 = r 2x
> - l = - 2 x
x = l/2
. M °= M x+y
> 0=x+ y
0 = - + y 2
y = ~ :
C la v e (B
PROBLEMA N.° 44
11 torque (x) en un acoplamiento hidráulico v.nía con las revoluciones por minuto (N) del■ de entrada, la densidad (p) del aceite y del ili.imetro (D) del acoplamiento. Determine una • ■■(presión para el torque. Considere k como una■ (instante adimensional.
A) kNDp
i ) kN2D5p
o) kND5p
B) k{DNp)3/2
E) kN2DAp2
Resolución
Dato2 n
N =
N-
tiempo_ [ 2 tc] _
[tiempo]
[N] = - = T~1 T
• x=fuerzaxdistancia
[t ] = [fuerza] x [distancia]
[ t ] = {m l t 2)(l)
[x] =M L2T~2
Del problema
%=kNxpyDz
Como el torque depende de N, p y D, entonces para que esta ecuación sea dimensionalmenle correcta debemos encontrar los valores de los exponentes x; y; z.
De esta manera
h } = [k ][N ]x[p ]y[DY
ML2r 2= i - [ r v)x{ML~3)y(L)z ML2T 2=T~xMyLz~3y
Entonces
• M = M y -> y = l
T~2=T~ x=2
L2=Lz~3y 2 = z -3 y
2=z—3(1)
z=5
x=kN2pDs
__CLAVE ( Ó )
3‘)
I UMBRERAS EDITORES
PROBLEMA N.° 45
La presión P de un fluido sobre una pared depende de la rapidez v, de su densidad D. Si su lórmula empírica es p = -s[xvxDy, determine la fórmula física correcta.
A) V3i/2D B) vD2 C) Vdv
D) 4 l v2D E) vD
Resolución
[P] = [x ]1/2[v]x [DV
Podemos observar que como x es un componente, entonces debe ser un número.
Por lo tanto
[P] = l - [ v ] x[D ]y
/wr1r-2=(/.r1)x(M/r3)yML~1r 2=M yT~xLx~3y
,1/2 ■
PROBLEMA N.° 46
Dada la ecuación dimensionalmente correcta
vx=acos60°+EP2, calcule la dimensión de - ^
Donde
V: velocidad
E: energía
A) M ~1/2r 1/2T1/2
B) M ~1/2L~1/3T1/2
C) M ~1/2r 1/2T1/3
D) M _3/2L“ 1/2r 1/2
e) /vr3/2r 1/2r3/2
Resolución
[v ][x ] = [a ]1/2+ [ f ] [P ]2
Del principio de homogeneidad
[v] [x] = [o] 1/2= [ f ] [p ] 2
Lntonces
• M = M y
> y= 1
. r 1=Lx~3y
> - l = x - 3 y
- l= x - 3 ( l )
x=2
I n la ecuación dada en el problema obtenemos
P = sÍ2v2D
C la v e (D)
Entonces
L r 1[x ]=M L2T~2[P ]2 ->
LxJ
Sacando la raíz cuadrada
LT~[Pf_ =_____[x ] ML27“ 2
[P]
[x ];l/2= 4 m ~
W _ = M -1/2L-1I2T1I2[x ]1/2
C la v e (A)
40 jhsf
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o u i
PROBLEMA N.° 47
La ecuación de estado para un gas real viene
dada por
P + - j |{ v - b ) = RT,
donde
presión absoluta del gas
v — = volumen molar n Y mol
a y b son constantes que dependen del tipo del
K.is
/( constante universal de los gases
/ Temperatura absoluta del gas
Indique las proposiciones verdaderas (V) o falsas
( I ) según corresponda
I [o] = [ó]
II [ab] = [RTv2]
III [b ]= L 3 A/-1
A) FFV B) FFF C) FVF
l>) VFF E) FVV
Resolución
I i.ilo
V =(metro)
mol
[m etro]3[mol]
\V\ = — = L3N N
R = -mol.fc
R =(energía)
(mol)-(temperatura)
ÍR] =[energía]
[mol]-[temperatura]
[R] = r ll = ML2T -2N -1Q-1N Q
Del problema
[o][P] + - y |( [v ]- [b ]) = [R ][r]
[v]
Entonces
[P líb ]:
M
[o]
[v]
Ib jM C 1 2 =—1t—2 [o]l?N 1
-> [a] = M tT ~ 2N "1[b ]
También
[o] [a lb ]
M [v ]2
-» [ó] = M = ¿ 3n - 1
[R][T]
Al
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
Ahora
I. Falsa
[a ] * [b ]
II. Verdadera
[ab] = [RTv2]
Del principio de homogeneidad
—— = [fl ][T ]M 2
■> [ab] = [RTv2]
III. Verdadera
[b ]= L3N~1
C l a v e ( E
PROBLEMA N.° 48
La magnitud y tiene por unidades kg m3s~2. Si h es la constante de Planck y c es la rapidez de la luz, ¿cuál de las siguientes alternativas es una ecuación dimensionalmente correcta?
y=hc
y=hc2
y=/?c_1
y= h2c
y=h~1c2
Además, la constante de Planck viene dada por h=E/f, donde E es energía y /e s frecuencia.
lE]
[h] =
[ / ]
/wl2t ~2
2 - r - l(I)[b ]= M L2T
También
[c ]= L r_1
Entonces, al multiplicar (I) y (II) se obtiene
[/?][c] = (/W¿2r " 1)(L r"1)
[h ][c ] = MI?T~2
—> y=hc
C la v e (A
PROBLEMA N.° 49
Haciendo uso del análisis dimensional deduzca una ecuación empírica para hallar la fuerza centrípeta que actúa sobre un cuerpo con movimiento circular sabiendo que depende de la masa del cuerpo, de su rapidez lineal y del radio de curvatura.
Resolución
Dato
y=kg m3s~2
> [ y]=M L3T~2
42
A) kmvr
B) kmv/r
C) kmr/v
D) kmv2/ r
E) km r/v2
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i •.
Resolución
Dudo el movimiento
1 n este caso se presenta que depende de R, m, v.
Fcp=(m; R; v)
l ’or lo tanto
Fcp=m xRy 1/
> [Fcp] = [m ]x [R]y [ v f
M L T 2 = MxLy{L T 1)z
MLT~2= M xLy+zT1
Intonces
• M = M X
> x = l
♦ r 2= r z
> z=2
. L = Ly+z
> l= y + z
l= y + z
y = - i
Reemplazando en la ecuación (I)
Fcp= mR ^
Fcp = k ——H r
Donde k es una constante adimensional.
_CLAVE ( b )
PROBLEMA N.° 50
Una cuerda se mantiene de forma horizontal debido a la acción de una fuerza F. Si se le hace
la fuerza centrípeta osc¡|ar verticalmente, se encuentra que el periodo de oscilación T depende de su longitud (/.), de su masa por unidad de longitud (Á) y de la fuerza F aplicada.
Entonces, T es directamente proporcional a
(l) A) r \ X / F ) 1/2.
B) L(F/X)1/2.
C) (\L /F)1/2.
D) L(F/X)~1/2.
E) XLF~1/2.
Resolución
A I
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Dato
X = -masa
longitud
[masa][longitud]
[X] = — = M¿"1 L
[periodo] = T
del problema
T=(L-, X; F)
-> T= LxXyFz
Luego
lT] = lL)x[X n F lz
T=Lx(ML~1)y(MLT~2)z
T=Lx~y+zMy+zT~2z
Entonces
T = r lz -> l = —2z
z = - 1/2
M °= M y+z -> 0=y+z
0 = y - i
1y = I
¿o—[X-y+z
1 10 = x -----2 2
x = l
0 = x -y + z
En la ecugción (I)
t = lx1/2f - 1/2\l/2
r = L- 1/2
4 4
C l a v e ( 6 )
PROBLEMAS PROPUESTOS
N iv e l b á s ic o
1. Determine las unidades de x si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta
W Áxk
Donde
1/1/: trabajo
F: fuerza
v: rapidez
k: constante numérica
A) m B) m-s C) m -s2
D) m -s“ 2 E) m -s-1
A I og 20 = a/bC + v2.
Donde
B: área
v: rapidez
A) LT B) C) L2
d) t2 e) r 2
4. Dada la siguiente ecuación dimensional mente homogénea
A=-BCsen(w/t+(|)),
determine [A],
Considere que [fi] = [w ]2 y que C es una longitud.
2. Calcule las dimensiones de A y B para que laecuación sea dimensionalmente correcta:
x=A t3+Bt.
Donde
x: longitud
f: tiempo
A) ÍJ3; / . ! -1 B) ÍT-2 ; ÍX-4 C) L T ^ L T 1
D) ZX-1 ; LT E) ZX; ZX-3
I. Determine las dimensiones de c en la siguiente ecuación homogénea
A) LT 2 B) L T 1 C) L2T
D) i -1 ! 2 E) /.-1 r _2
5. Determine las dimensiones de x en la ecu.i ción
1 2 = nx eos 60°,14 + 1/2
donde V1 y l/2 son velocidades.
A) M 1/2T112 . B) L1,2T2 C) M 1/2í.1/2
D) l~1,2T1/2 E) f 1/2
4'.
I IJMBRERAS EDITORES n
Calcule las unidades dexen el S. I.
2nzl}(L-R)ser\d
t 1 ADonde
L y R\ longitudes
t: tiempo
A: área
Dada la ecuación dimensionalmente correcta\2
P = \^ - + ah
donde P se mide en kg/m3 y h se mide en metros, calcule [o/b]-
A) L
d) r 1
B) L2 C) L
E) L- 2
A) m/s
B) s -2
C) m/s2
D) m2
E) es adimensional
7. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta, calcule el valor de x+y.
(^s e n B )"+ (/?2sen(3)v
(/?! eos 0)2 - (R2 eos |3)2
L; /?1; R2 son distancias
A) 2
D) 8
B) 4 C) 6
E) 10
Determine las unidades dexen la ecuación
V m sen9 d
Donde
g-. aceleración de la gravedad
m: masa
d: longitud
10. Cuando un cuerpo se encuentra en un líquido ya sea sumergido total o parcialmente, experimenta una fuerza denominada empuje (f), lo cual se puede representar como
F = p W ,siendo p densidad, g la aceleración de la gravedad y v volumen.
Calcule (x+y+z).
A) 1
D) 3
B) 1/2 C) 2
E) 3/2
N iv e l in t e r m e d io
11. Determine las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F).
I. Si en una ecuación que es dimensionalmente correcta a uno de sus términos se le multiplica por log(o(3), esta deja de ser dimensionalmente correcta.
La expresión sen(oP), donde o es la aceleración, es adimensional.
Dada la ecuación
y=Asen(wt) + Bsen(wt)
se podría decir que A y B tienen la misma dimensión.
II.
III
A) kg/s
D) kgs3
B) kg-s C) k g -s '
E) kg-s2
A) FVF B) FFV C) FFF
D) FVV E) VVV
4(>
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i *.
17. Dada la ecuación
R= k^A -t-A ^ j + k1k2,
se puede afirmar que
A) A-l y A2 son adimensionales siempre y cuando k2 sea la aceleración.
B) R es un número.
C) Si R es un número, es porque k± tam bién es un número.
D) Si k2 es un número, entonces las unidades de R serán las mismas que kx.
E) R es la aceleración.
i:i. Una de las leyes establecidas por Newton es la ley de gravitación universal, la cual viene dada por la siguiente ecuación
r _ Gm1m2 d2^ '
donde
F: fuerza
m1 y m2: masas
d: distancia
Calcule las dimensiones de G.
A) LMT~1 B) L3M T"2 C) L2MT~2
D) ¿3M _1r 2 E)
11 Calcule x + y + z , si
(log l2 )2ergios = x a /a-v/b^ Cz
Donde
A: aceleración
II: masa
C: velocidad
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
15. Determine las dimensiones dexs ilaecua ción dada es dimensionalmente correcta.
Rx + Z + 2s[s cm = 4 ti2A cos(2ti RZ)
A) L B) L2 C) L3
d) r 1 e) r 2
16. En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta
donde: m: masa y C la rapidez de la luz. Determine las dimensiones de E.
A) MLT~1 B) ML2T~1 C) M 2LT~1
D) MLT E) M C ^T
17. Cuando se hizo una investigación en un laboratorio, un profesor encontró la siguiente relación
F-d=Anmx2,
donde F es la fuerza, d la longitud y m la masa. Respecto al análisis dimensional, determine la cantidad física que podría repre sentar x.
A) tiempo
B) aceleración
C) rapidez
D) distancia
E) trabajo
47
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
18. Dada la expresión dimensionalmente correcta
costc/6 + yM |asdimensiones5 + P(3
de y y (3.
Donde
M: momento de una fuerza
P: peso de un cuerpo
A) /W~1¿~2r 2; M _1L_1r 2
B) MLT~2; M L T 2
C) m ^1l~ 2t 2- M ^ L T 2
D) MLT~2; /VfL-1 ! -2
E) /W_1i “ 2r 2; MLT~2
19. El ángulo de torsión (0) de un eje de sección circular de diámetro D, sometido a un torque t , viene dado por
0 = ^ .GJ
Determine las dimensiones de J si G tiene las mismas dimensiones que la presión.
a) lat b) ¿2r ~2 c) /.3r _1
D) L3M E) L4
20. De la siguiente relación
V2 =Vq +2gxRy( —-----— )0 U R + h )
calcule x+y, si se sabe que V y l/0 son larapidez, h es la altura, R es el radio y g laaceleración de la gravedad.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
21. La rapidez de una onda en la superficie de un líquido en un canal cuya profundidad es H viene dada por
V2 = í — + — |(oX)tana. Determine las d¡- \ d a j
mensiones de o.
Donde
k: fuerza /long itud
g: aceleración de la gravedad
d: densidad
X: longitud de onda
A) ML2 B) i r 2 C) L
D) MLT_1 E) r 1
22. En la ecuación
o t1= (o t2+¿)cítan0)(l+¿i):L2, calcule las dimensiones de a.
Donde
t 1 y f2: tiempo
d: distancia
A) LT B) L T 1 C) LT2
D) LT~2 E) L2T
23. El periodo de oscilación de un M.A.S. viene dado por
T=2nmxky
m: masa
k: constante elástica (N/m)
Calcule (x+y).
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
............................... i
48
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i
24. Si la ecuación de estado para algunos gases reales es
P + - ^ r \ v - b ) = — , calcule [ a / b \ - i/2) 273
Donde
P: presión
V: volumen
k: temperatura
A) ML5r 2
B) M 2L5T~2C) ML2T3D) MLT
E) ML2r 2
¡\t La rapidez de un líquido en un tubo cilindrico a una distancia r del eje central es
v = —— ( r 2 - r 2). Calcule la dimensión de n. AnL
Donde
P: presión
R y r: radios
longitud
A) ML2r x B) M L ^ r 2 C) M L ^ r 1
D) M W 1 E) m l 2t~2
n I n un condensador, la capacitancia eléctrica(C) se define como
V i - V 2
donde
(): cantidad de carga
V, y l/2: potencia eléctrica (Joule/Coulomb).
Determine [c] -
A) M " 1/."2! 4/2
B) M -1 /.2! " 4/
C) /w_1¿ '2r 4/2
d) M~1L~2r 4r2e) /w_1¿2r 4/“ 2
27. El calor absorbido o disipado por un cuerpo cuando este varía su temperatura viene dado por
Q=mCeAT
donde
Q: calor, cuya unidad es la caloría (1 Joule=0,24 calorías)
T: temperatura
M: masa
Calcule [Ce] •
a ) ¿2r 2e b ) l 2t~ 2q~2 c ) l 2t 2q
D) L2T~2Q2 E) L2r 2B2
28. ¿Cuál será la ecuación dimensional de H
H _ m(a2Acos(üt p
F2/ 2sen|3 Donde
m: masa
F: fuerza
(o: frecuencia angular (rad/s)
A: amplitud
/ : frecuencia
A) T
B) T2
c) r 1d) r 2E) es adimensional
49
I IJMBRERAS EDITORES
29. Cuando un cuerpo es abandonado desde una cierta altura h, luego de un intervalo de tiempo adquiere una rapidez v. Si la aceleración de la gravedad viene dada por
g = h * vy,2
calcule y*.
A) 1/2 B) 1 C) 2
D) 1/4 E) 3
32. Determine las dimensiones de y en la ecuación
J ¡ = Ásen45° (A + a)
f, donde
o: aceleración y /: frecuencia.
a ) ¿7/2r 5
b) r 5r7/2c) lst7/1
d) l3,2t 5
E) l7/2t3/2
acd
30. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta
F=o/rcx+£>sen(x2d+7i)/ determine
Donde
F: fuerza
k: constante adimensional
x: longitud
33. Si la ecuación es dimensionalmente correcta, determine a.
¿ 17+ b3 = tana-abcosx
A) 30° B) 60° C) 120°
D) 180° E) 90°
A) MLT
D) ML2r 2
B) /W 1/.2r -2 C) ML~3T2
E) ML2T2
31. Dada la siguiente expresión
y m m2 (3 p2 + aL
Donde
o: aceleración
m: masa
L: longitud
, determine [y].
a) M3/._1r b) m 3l t 1 c) /w3/._1r 1D) M 3L~2T2 E) M3L2r 2
34. Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta
P=aF+bp+ct2, determine [abe].
Donde
P: presión
t: tiempo
p: densidad
F: fuerza
A) M L T 6
B) ML~1T~6
C) M L ^ T 6
D) M ~1L~1T 6
E) M ~1L T e
■>()
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o k i •,
115. En la siguiente expresión dimensionalmente correcta
m/ sen30°=-y/3 ?
Donde
w. rapidez angular
a: aceleración
t: tiempo
Calcule [xyz]-
x a - y + — ->
nz
A) LT3
D) L~2T~3
B) L T2x3 c) r 2r3E) L2T- 3
38. Determine la dimensión de k para que l.i siguiente expresión dimensionalmente co rrecta
_ i
t = — í 2g + — tan30° ] 2 L k \ 3t )
L: longitud
g: aceleración de la gravedad
t: tiempo
A) L1/2
D) r 3/2
B) L C) L
E) L
- 1/2
3/2
lli. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta
P = c(B + nH) m + \ f j b 3/2
las dimensiones de c, H y D.
DondeP: presiónB: diámetroA: áream y n : adimensionales
,2A) M i -4 ! " 2
B) /W/.-5 ! -2 ,
C) ML~4T~2,
d) /w¿“4r_2,E! m l ~at 2
L; Lc
L;L2
L2;L
L~2; L
; L '2; L~2
M En la ecuación homogénea\sen37°
R k -rk *w=
determine
KD(Ek-F)
B: altura C: masa
, determine [F].
E: fuerza
A) L2T 1
D) ¿“ 2F_1
B) l2t 2 C) L ¿T
E) L~2T2
39. Dada la ecuación de onda
y=Ae~ktsen[bt+a),
donde y es la posición de las partículas que oscilan ye es la base del logaritmo neperiano, encuentre la ecuación dimensional de
A2ks
a) L2r 2
d) ¿ r 2
B) L T 1 C) L2T 1
E) LT2
40. Si la ecuación es dimenslonalmente correcta, determine [y] en ysen0=Axe-Adlog(oxv).
Donde
a: aceleración
v: volumen
e: base del logaritmo neperiano
d: densidad
A) ML~ST~2
T 1L~2!
C) m ~1l5t 2
D) ML3T2
E) m ~2t 2l3
51
Lu m b r e r a s Ed it o r e s%
N iv e l a v a n z a d o
41. A la resistencia que los líquidos ofrecen a los cuerpos se les denomina viscosidad. La fuerza debido a la viscosidad es proporcional a la rapidez del cuerpo (Fv¡sc=/cv). Si consideramos a un cuerpo de forma esférica, entonces k=6nRn. Siendo R radio, calcule [n].
a) M r 1r 1 b) iwr2¿_1 c) M ' h r 1
D) M r 2L~2 E) MT~2L
42. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta
W =Pfx+mvyR~1, determine los valores de x e y.
Donde
R: radio
W\ peso
/: frecuencia de oscilación
m: masa
P: cantidad de movimiento
A) 1; 2 B) 0; 1 C) 2 ; - 1
D) 1; 2 E) 2; 2
43. Si la ecuación es dimensionalmente correcta
^ _ P/log-y/ít . determine [ f ] •
(M -Ja -kv )
Donde
p: densidad
a: aceleración
v: rapidez
|i: coeficiente de fricción
M: momento de una fuerza
/: frecuencia de oscilación
'..2
A) L~SMT~2
B) L~8M ~1T5
C) L "sM ~ 1r 2
D) L~8MT5
e) r 8M~1r 5
44. Determine la dimensión de z si la ecuación dada es dimensionalmente correcta
P=EVxcosQ+agv0-Vbc.
Donde
P: presión
E: energía
g\ aceleración de la gravedad
v0: Rapidez inicial
V\ volumen
b\ área
Además, S = z -a xV2x.
A) M ~1L~8T~'í
B) M ^ L 3T
C) /W_1í.“ 3rD) M ~2L~3T~1
E) m ~2l ~3t~2
45. La fuerza resistiva sobre un glóbulo rojo (esférico) en la sangre depende del radio R, de la viscosidad q y de la rapidez v.
Además, experimentalmente se obtuvo que /?=2pm, v = 7 x l0 _7m/s, r | = 3 x ic r 3kg/ms y la fuerza resistiva es 2527txlO_16A/. Luego, la expresión para denotar la fuerza resistiva es
A) 6tcvr\R B) nv2r\R C) nvr¡zR
D) 6nv2r\R1/2 E) 4nvr\R2
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i
1(1. En un cuerpo rígido, la energía cinética de rotación (kg m2/s2) de un cuerpo depende de su momento de inercia / (kg m2) y de la rapidez angular w.
Determine una expresión para la energía cinética de rotación en función de las variables dadas. Considere k una constante adimensional.
A) A. QP B) A Q2 P
m.
A) klw
D) klw2
B) kl w C) k2l2w2
E) k — w
411
En el estudio de la acústica, los decibelios vienen dados por una constante adimen- cional multiplicada por el logaritmo entre la presión P y una presión referencial P0. Determine la ecuación dimensional de los decibelios.
A) M L T 1
B) M l } r x
C) MLT
D) ML2r 2
E) adimensional
Si sobre una placa se hace incidir una cierta presión de agua, la presión que la placa experimenta es
P=XQxpyAz. Determine la composición f inal de la ecuación dada
Donde
A: constante adimensional
l>: densidad del agua
A: área de la placa
Q\ caudal
C) A
E) A
Qp
Q2p2
49. La fuerza de sustentación del ala de un avión depende del área A del ala, de la den sidad p del aire y de la rapidez v del avión. Calcule la suma de los exponentes de A y p.
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
50. El periodo de un planeta que gira en una órbita circular depende del radio de la órbita (R), de la masa (M) y de la constante (G).
Si G se expresa en (m3/kg s2), determine la fórmula empírica para el periodo.
D) T = k
E) T = k.M 2G
53
Nivel básico1 -1 °
Nivel intermedio |
11 - 40
Nlvd avanzado 4
41-50 _ j f
1 D 11 D 21 E 31 A 41 A
2 C 12 D 22 B 32 A 42 D
3 E 13 D 23 A 33 C 43 B
4 A 14 E 24 E 34 B 44 A
5 D 15 B 25 C 35 E 45 A
6 C 16 A 26 A 36 B 46 D
7 C 17 C 27 B 37 B 47 E
8 c 18 A 28 A 38 A 48 B
9 E 19 E 29 A 39 A 49 C
10 D 20 C 30 D 40 C 50 B
54
ANALISIS VECTORIAL
NOCIONES PREVIAS
l n nuestro quehacer cotidiano existen una serie de situaciones matemáticas que por su frecuencia i', incluso, simplicidad pasan desapercibidas para la mayor parte de la gente. Por ejemplo, consido icmos tres objetos A; B y C, ubicados en diferentes lugares, tal que conocemos que la medida do l.i longitud entre A y 6 es 30 cm, y entre B y C es 50 cm. Si preguntamos qué longitud hay entre A y (, ¿esta sería 80 cm? Naturalmente, y haciendo uso del sentido común, la mayoría de las personas • ilirmarían tal respuesta, pero esto no es del todo correcto.
Veamos
I Los objetos no solo pueden estar en línea recta y en orden
A B CÍH# Lac=80 cm
30 cm 50 cm
podrían estar en cualquier otro orden, por ejemplo
50 cm
B A Ci-------------- 1--------------------1
30 cm
Lac= 20 cm
Aún más sutil sería pensar que los objetos podrían estar dispuestos tal que los segmentos que los unen formen ciertos ángulos tal es así que
I u m b r e r a s Ed it o r e s
I n estos casos, si queremos determinar la longitud que existe entre A y B debemos hacer uso no del.is reglas de la aritmética común, sino de una herramienta conocida como análisis vectorial (elementos de geometría), es decir, aplicar las reglas conocidas para las operaciones con vectores, por ejemplo, en el caso en el cual forman 60°, podríamos demostrar que l-AC = 10^19 cm; en el caso en que forman 90°, se tendrá l ' AC = 10>/34 cm, y así sucesivamente.
I n el presente capítulo examinaremos los métodos y reglas básicas de las operaciones vectoriales.
Observación ,...................................................................................................................................
La importancia que tiene el uso de los vectores en física radica en que con ellos podemos representar las magnitudes vectoriales, lo cual nos permite una mejor descripción, comprensión y explicación de una gran variedad de fenómenos físicos.
• Es una herramienta matemática que sirve para representar las magnitudes vectoriales.
• Se representan geométricamente mediante un segmento de recta orientado (flecha), que presenta un origen y un extremo
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN VECTOR
VECTOR
Notación
Un vector se puede representar con cualquier letra del alfabeto, con una pequeña flecha en la parte superior
A; se lee vector A.
También se denota indicando el origen y el extremo.
\origen del vector (P )
PQ; se lee PQ.— línea de acción
Gráfico 1
Nota
Ambas notaciones son válidas y pueden usarse indistintamente, es decir: A = PQ.
%
■A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i s
1 1 EMENTOS DE UN VECTOR
Módulo del vector
i In medida o el tamaño del vector y generalmente está asociado a la intensidad de la magnitud a l.i ■ u,il representa. Por ejemplo: las fuerzas son magnitudes vectoriales y son representadas medíanle In', vectores, además su unidad de medida es el newton; así, podemos representar dos fuerzas de lo N y 50 N dirigidas hacia la derecha.
Molamos que estas guardan cierta proporciona- En el gráfico 1, el módulo del vector A seHilad en sus tamaños o módulos. representa como el vector entre barras o,
nuplemente, con la letra (sin flecha).
Módulo del A: |A| o A
Dirección del vector
i a dirección del vector está definida por la medida del ángulo obtenido a partir del semieje X positivo i la línea de acción del vector, medido en sentido antihorario,
i ><•! gráfico 1
Dirección del A: 0A
5 7
Lu m b r e r a s E d it o r e s
l« Observación
E n tre ve c to re s n o está d e fin id a la re la c ió n d e o rd e n , es decir, no p o d e m o s c o m p a ra r los ve c to re s
aun si re p re s e n ta n una m ism a m a g n itu d .
A > B : no está d e f in id o
II. Lo q u e sí p o d e m o s c o m p a ra r en los ve c to re s es su m ó d u lo .
—> A < B; es to es v a lid o , sí está p e rm it id o
III. El m ó d u lo de c u a lq u ie r v e c to r s ie m p re es p o s itiv o , es dec ir, v e r if ic a la s ig u ie n te re la c ión
M Ó D U LO > 0
Linea de acción
• Es la línea Imaginaria en la cual se considera contenido el vector.
• Un vector puede ubicarse en cualquier punto de la línea de acción e incluso puede trasladarse a líneas de acción paralelas sin que se altere ni su módulo ni su dirección.
Usualmente, a estos vectores se les denomina vectores libres.
■ > K
i
A n á l is is d i m e n s i o n a l y v e c i o h i
REPRESENTACIÓN CARTESIANA DE UN VECTOR EN EL PLANO
I',ira esta representación, debemos ubicar un vector en un sistema de ejes coordenados cartesiano
Mol gráfico \
El vector PQ lo obtenemos como la diferencia de
coordenadas del extremo y el origen.
PQ = Q - P
= (Qx; Qy)~{Px; Py)
PQ = (Qx -P x;Q y-Py)
donde
Qx-P x: componente del vector PQ contenido en el ejeX.
Qy-Py. componente del vector PQ contenido en el eje Y.
Su módulo se obtiene aplicando el teorema de Pltágoras a partir del triángulo sombreado.
\PQ\ = J ( Q X- P x f + ( Q y - P y f
• Su dirección es
I templo
A partir del gráfico mostrado, determine cada vector con sus respectivos elementos (módulo y di i<•< ción).
C lu
I UMBRERAS EDITORES
Resolución
Para determinar los vectores, debemos conocer las coordenadas de cada punto, ya sea origen o extremo; para simplificar ello se suele colocar a cada vector de manera independiente de tal manera que su origen coincida con el origen de un sistema de ejes cartesianos.
• Para el vector A
(0; 0)
- 3 u -
A (3; 0) >----------»-A +X
1
El vector
0A = A - 0
= (3;0) — (0; 0)
OA = A = (3; 0)
Su módulo|/4| = a/32 + 0 2 = y¡9 = 3u
Su dirección QA = 0o (está sobre el semieje +X)
El vector
O B = B -0
= (0; —.2) — (0; 0)
OB=~B = {0 ;-2 )
Su módulo: |s| = /o2 +(-2)2 = V4
|s | = 2u
Su dirección: 0S=27O°
Para el vector C
Para el vector B
2 u
(0; 0 )
B
B(0;-2)
+X
El vector
O C = C -0
- (3 ; 3)—(0; 0)
OC = C = (3;3)
Su módulo: |c | = V32+32 = V Í8
|c | = 3V2 u
Su dirección: 0 C= 45°
(>0
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i ■»
Para el vector D El vector
0 D = D - 0
= (-3 ; 4) — (0; 0)
OD = £> = ( - 3; 4)
Su módulo: \o d \ = V (-3)2 + 4 2 = ^|25
|od| = 5u
Su dirección: 0D= 127°
TIPOS DE VECTORES
VI CTORES COLINEALES
'.un aquellos que se encuentran contenidos en una misma línea de acción.
8 ^ * '
A, II y C son vectores colineales porque están en una misma línea de acción.
VI CTORES PARALELOS
•im aquellos que tienen sus líneas de acción respectivamente paralelas.
Nota
P odem os e xp re sa r la c o n d ic ió n de
p a ra le lis m o en fo rm a m a te m á tic a ,
in d ic a n d o que si
a = (3 —> A//~B
A y II son vectores paralelos porque sus líneas de acción son paralelas.
6J
Lu m b r e r a s E d it o r e s
VECTORES OPUESTOS
Son aquellos que presentan igual módulo, pero sus direcciones se diferencian en 180°.
+X Sea
J B UA =180° y A = 8
A qa .+x
entonces B = -A
B es el opuesto de A
VECTORES IGUALES*
Son aquellos que presentan igual módulo e igual dirección.
Nota ,•.................
Matemáticamente
S i l ^ l = l ® 1 v q ^ = q e
A=B;
los ve c to re s son igua les.
VECTORES COPLANARES
Son aquellos que se encuentran contenidos
A,B y C son vectores coplanares por estar
un mismo plano.
Como D no está contenido en el plano P, no será coplanar con los demás vectores.
el mismo plano.
i . ;
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o u i •>
VICTORES CONCURRENTES
'.on aquellos cuyas líneas de acción se cortan en mi mismo punto.
Ejemplo
Dado el vector A cuyo módulo es de 50 u, detei mine el vector unitario del vector A.
Resolución
Determinemos el vector A como una combina clón de sus componentes
A, II y C son vectores concurrentes porque imlos van a un solo punto.
VI CTOR UNITARIO (p)
¡(.■presenta la unidad vectorial de un vector ' tialqulera y se caracteriza porque su módulo es
iK■ *■ 11 a la unidad.
-vector
-módulo
£ * = lu
Del gráfico
A = (50cos37°;50sen37°)
A = (40; 30) y A 40z +30z
Nos piden: p¿
Se sabe que
V a = T =(40; 30)
40 +30
VA(40; 30)
504 3
5 ' 5
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
Vectores unitarios en el plano cartesiano
Sea el plano XY
Resolución
Del gráfico
>4
Se verifica
/ = (1; 0),-/=(-l; 0)/ —(0; 1), - /= (0 ; -1)
Tal que: |/ | = |/| = l
donde
I : vector unitario en el eje X (+)
-/ ': vector unitario en el eje X (-)
1 : vector unitario en el eje / (+)
- j : vector unitario en el eje Y (-)
tjemplos
1. Exprese cada vector del conjunto mostrado en términos de los vectores unitarios.
A
‘c
D ■B 1 u
A = (4; 0) = 4(1; 0) = 4/
S = (-2;0) = 2(—1;0) = 2(-/) C = (0;3) = 3(0; 1) = 3j
D = (0;-2) = 2(0;-l) = 2(-y)
2. Exprese los vectores mostrados en términos de los vectores unitarios.
Resolución
Primero debemos ubicar el origen de cada vector de tal manera que coincida con el origen de un sistema de ejes cartesianos.
• Para el vector/!
1 u
M
■A n á l is is d im e n s io n a l y v i x i o i u
Del gráfico
A = (100cos37°;100sen37°)
A = (80; 60)
A = (80; 0) + (0; 60)
A = 80(1; 0) +60(0; 1)
A = 80/ + 60j
• Para el vector 6
Del gráfico
8 = (40cos30°; -40sen30°
B = ( 20V 3 ;-20 )
B = ( 20>/3;0) + (0 ;-20)
B = 20>/3(1; 0) + 20(0; — 1)
B = 20>/3/-20/'
• i IMPONENTES CARTESIANOS DE UN VECTOR* N I L PLANO
.'■■i el plano XV; dado el vector A expresarlo en i • i minos de sus componentes cartesianos.
Del gráfico
A = AX + A y
También
A = A x i + Ayj
A demás
0 = tan i y
Nota
Representación polar de un vector
Se ve rif ic a A = (A ; 0); s ien d o
A x =A co sq
A j,= A se n q
L u m b r e r a s E d it o r e s
Ejemplo
Exprese los vectores mostrados en su forma polar.
Á
Resolución
Nos piden expresar los vectores en la forma polar
T = (r ; 6)módulo <------ 1
dirección «----------
Del gráfico
• Para el vector A
Su módulo
A = -\¡32+ 4 2
A= 5 u
Su dirección
Qa = 53°
Finalmente
A = ( 5; 53°)
t)6
• Para el vector B
Su módulo
B = V 22 +22
B = 2 iÍ2u
Su dirección
QTa = 53°
Finalmente
8 = ( 2a/2;135°)
• Para el vector C
Su módulo
C = V 32+ 4 2
C =5 u
Su dirección
0^ = 307°
Finalmente
C = (5; 307°) = (5 ;-53 °)
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i ■
MULTIPLICACION DE UN VECTOR POR UN ESCALAR
'■'■.i e l v e c to r A y u n n ú m e r o re a l n, te n e m o s e l v e c to r n A , c u y o m ó d u lo s e rá n v e c e s e l m ó d u lo d e
■\ y c o lin e a l a l v e c to r A .
A
Observación
I n gen e ra l, n p ue d e ser c u a lq u ie r n ú m e ro rea l. A c o n tin u a c ió n , se p rese n ta un ta b la re sum e n re spe c to
.1 los va lo re s q u e pue d e to m a r n.
Si 0 < n < 1(n = 1 /2 ; 1 /3 ; 1 /4 ; ...)
nos da un v e c to r m ás p eq u e ñ o , pe ro en su m ism a d ire cc ión .
nA
Si n > 1(n = 2; 3 ; 4 ; . . . )
Si - 1 < n < 0( n = - l / , 2 ; - 1 /5 ; - 2 /5 ; .
Si n < - 1(,n = - 5 / 4 ; - 2 ; - 3 ; ...)
nos da un v e c to r m ás g ran d e , en su m ism a d ire cc ió n .
nos da un v e c to r m ás p eq u e ñ o y en d ire c c ió n o pu e s ta .
nos da un v e c to r de m a y o r ta m a ñ o , pe ro en d ire c c ió n o pu e s ta .
67
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Ejemplo
Sea el vector 4 cuyo módulo es de 4 u. Grafique los vectores
2A, 1 / 2 (4 ), - 3 /2 (1 )
Resolución
Consideremos una cuadrícula donde cada celda tenga una longitud de una unidad.
Notemos
• El vector 24 tiene el doble del módulo de 4y mantiene su dirección.
• El vector 1 /24 tiene la mitad del módulo de4 y mantiene su dirección.
• El vector -3 /2 4 tiene 1,5 veces el módulo de 4 , pero su dirección está invertida(opuesta).
Graficando los vectores
24
Í4 i
1 ;4 ...... :..... i......
2
Nota
Sean los ve c to re s A y B . Si 4 y 8 son p a ra le los , se d eb e v e r if ic a r
|4 | = /f|s ’|i —*• I4
ta l q u e /L =|e|
(~Ü| O PERACIO NES CON VECTORES
Están referidas usualmente a la adición de vectores (donde la diferencia es también una adición), donde la suma significa hallar la resultante, la cual puede ser determinada mediante dos métodos generales, los que a su vez cuentan con otros métodos auxiliares.
111 general
- Método del triángulo- Método del paralelogramo- Método del polígono
- Método del triángulo (ley de senos)- Método del paralelogramo
(ley del paralelogramo y ley de cosenos)
Nota /............................................................................................................................ .
H ay o tra s o p e ra c io n e s , c o m o el p ro d u c to e sca la r y e l p ro d u c to v e c to r ia l, q u e se rán e s tu d ia d a s m ás
a d e la n te . j
_— ..................................................................... ........................................................... _ J
Para la suma de vectores
Métodosgráficos
Métodosanalíticos
(.8
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c io k i
MÍ TODOS GRÁFICOS
'■"ti .iquellos en los cuales para determinar la resultante se usan instrumentos de dibujo tales como "T.l.is, escuadras, compás, escalímetros, etcétera.
i mi este método usualmente solo se puede representar gráficamente la resultante.
Método del triángulo
i i" '. permite hallar la resultante de dos vectores, consiste en graficar los vectores uno a continuación ili’l otro, tal que el extremo del primero coincida con el origen del segundo vector. Su resultante se "biiene uniendo el origen del primero con el extremo del segundo vector.
'•' .ni A y 6 los vectores
i irmplos
l A partir del gráfico que se muestra determine el vector resultante; ABCD es un rectángulo y M: punto medio.
69
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
Resolución
Nos piden el vector resultante
’R—’p + Q + T (I)
para lo cual sumaremos los vectores agrupándolos de a dos, usando el método del triángulo.
Trasladamos paralelamente el vector T hasta el lado AB, haciendo coincidir su origen con el extremo de P.
Nótese que la suma de P y T es un vector idéntico a Q.
Luego en (I)
R = PH-Q + T
R = Q + Q
7? = 2Q
2. A partir del gráfico que se muestra, halle elvector resultante.
Resolución
Nos piden el vector resultante de los vectores mostrados, es decir, R = A + B,
para lo cual trasladaremos los vectores usando el método del triángulo.
Mantenemos fijo A y trasladamos paralelamente al vector B.
fí = A + S
De la figura, se obtiene un vector paralelo al eje Y.
fi = Sj
Método del paralelogramo
Es una variante del método del triángulo, solo que en este caso debemos hacer coincidir el origen de ambos vectores y a partir de los extremos trazamos rectas paralelas a los otros vectores formando así un paralelogramo.
7 0
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c io k i
i t e mp l o
I Lulo un sistema de vectores, determine el vector M-.ultante.
Resolución
Podemos agruparlos de a dos y usar el método del paralelogramo, es decir
'r = ’a + b + c + d + e (I)si s2
Sumamos A y B
Si — A + Br
y es un vector idéntico al vector E (a)
Sumemos C y D
S2 =C + D,
es otro vector idéntico a E
Finalmente, (a) y (|3) en (I)
R — Si + S2 + E
= £ + ? + ?
' R = 3E
Método del polígono
Nos permite determinar la resultante de n vectores. Consiste en colocar los vectores uno a continuación del otro, donde el vector resul tante se obtiene uniendo el origen del primei vector con el extremo del último.
Sean los vectores libres
JZD
No interesa el orden al dibujar a los vectores pues la resultante siempre será la misma.
• Polígono cerrado
Es un caso particular. Cuando los vectores graficados cierran la figura, deben orien tarse en forma horaria o antihoraria; por lo tanto, su resultante es nula.
(P)
_^R = 0 20 II o
/ I
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
Ejemplos
1. Para el sistema de vectores mostrados, determine el vector resultante.
Resolución
Nos piden determinar el vector resultante, para lo cual usaremos el método del para- lelogramo para poder reducirlo. Sabemos que
R = A + B + C + D + E + F + G (cc)
Del gráfico notamos que los vectores A, B, F y G forman un polígono cerrado y en consecuencia se verifica que su resultante es nula, es decir
/?! = A + B + F + G — 0
En (a), tendremos
R =C +D +E
Representando nuevamente el sistema
R = C + D +E
R = £ +£
R = 2E
2. Para el sistema de vectores que se muestra, determine el módulo del vector resultante.
P
Resolución
Nos piden determinar el módulo del vector resultante, para lo cual trasladaremos adecuadamente los vectores.
Del gráfico
~R = N + Q + P
Su módulo
\~r \ = 4 u
MÉTODOS ANALÍTICOS
Son aquellos por los cuales mediante el uso de ecuaciones matemáticas podemos determinai el módulo y la dirección del vector resultante.
72
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o u i
Método del triángulo
Podemos resolver un triángulo vectorial si mnocernos algunos de sus lados y ángulos, ir.ando la ley de senos.
Van A, B y C vectores que forman un triángulo i uyos módulos son A; B y C y cuyos ángulos sor/ a, |Sy 5.
'a' verifica
I Ley de senos
A B _ Csena senp sen8
II Ley de cosenos
A2=B2 + C2-2BCcosa
B2=A2+C2-2BCcos(3
C 2 = A 2 + B 2 - I A B c o s 8
I irmplos
i A partir del sistema de vectores que se muestra, determine el módulo de A.
S¡)b | = 15a/2 u .
Resolución
Nos piden el módulo del vector A.
Del triángulo vectorial, aplicaremos la ley de senos.
B _ A sen45° sen53°
15^2 A
(V2 /2 ) (4/5)
A =24u
Se tienen dos vectores de módulo igual a 10 u, tal que forman determinados ángulos con la horizontal. Determine el módulo de la diferencia de dichos vectores.
Q
,17o
71
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Resolución
Nos piden el módulo de la diferencia de los vectores.
Debemos tener en cuenta que dicho módulo será el mismo si formamos P — Q o Q -P . Para esto uniremos los orígenes de ambos vectores.
Del gráfico
S = A + B
En módulo
I= 4 a 2+ B +2ABcos0
Además, la dirección de la resultante con respecto a B es
Asena0 = arctan
_B + Acosa
Ejemplos
1. Se tienen dos vectores A y B de módulos 3 u y 5 u. SI forman 60° entre sí, determine el módulo de su resultante.
Usando la ley de cosenos
ID I = V p2 + Q 2 -2PQ cos60°
102 + 102 - / ( 10)(10)- - r
í
D = 10 u
Resolución
Nos piden el módulo de la resultante entre los vectores A y B.
Consideremos que el módulo de A sea 3 u y el de B sea 5 u, hagamos una representación gráfica de los vectores.
Método del paralelogramo
Conociendo los vectores y el ángulo que forman entre sí podemos determinar el módulo de su resultante, usando la ley del paralelogramo.
Sean A y B los vectores: -5 u-
A Usaremos la ley del paralelogramo
R = V a 2 + B 2 + 2A B cos6
« = V32 + 5 2 +2(3)(5)cos60°
B = V 49
R = 7 u
/A
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c io h i
Se tienen dos vectores de igual módulo, si su resultante tiene un módulo igual a uno de ellos, determine el ángulo que forman entre sí.
Resolución
Sean A y B los vectores, y 0 el ángulo que forman entre sí. Nos piden determinar el valor del ángulo.
Hagamos una gráfica de los vectores y usemos el método del paralelogramo.
Se sabe que
+ B +2ABcos0 O)Además R=A=B Reemplazando en (I)
A = V a 2 + A 2 + 2A 2 cos0 cosG = -1 /2 6 = 120°
................................................................................................ x Nota tf.......
De la ley del p a ra le lo g ra m o : R = *Ja 2 +B2 + 2 A B c o s 0
I. La sum a d e dos ve c to re s será m á x im a si q = 0°.
• máxima “ ®
IJ. La sum a de dos ve c to re s será m ín im a si q = 180°.
S , . = A - B ■ mínima ^
/ r.
i
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
3. Si la suma máxima y mínima para dos vec
tores es 15 u y 5 u, respectivamente, deter
mine el módulo de cada vector.
Resolución
Nos piden determinar el módulo de cada vector, sean A y B los vectores, tal que A > B.
De los datos
^ 6 = 1 5 A ± p = 5
¿ = 10 y S = 5
Observación
Para el caso p a r t ic u la r en el cua l fo rm e n á ngu los
de 9 0 ° (ve c to res o rto g o n a le s o p e rp e n d ic u la re s ),
se ve rif ic a
VECTORES EN EL ESPACIO
Consideremos el sistema de ejes cartesianos X, V'yZ.
ZA
Donde A = (Ax;Ay;AzJ
/(>
En forma cartesiana: A = Axi + Ayj + Azk
módulo: A = ^ (A x f+ ^ A y f +(Az fEn
También
¿x = ¿cos|3
Ay = A eos a
A = A c o s 8
siendo a , |3 y 8 los ángulos que form an el vector
con los respectivos ejes coordenados.
Se verifica además
cos2|3 + cos2a + cos28 = 1,
denom inados cosenos directores.
mA n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i
l irmplos
i Sean los puntos
P = (15; -7 ; 12) y Q = (-12; 4; 9),
halle los vectores PQ y QP; además determine el módulo de cada uno de ellos.
Resolución
Usando la representación cartesiana del vector y extendiéndola para el caso de tres coordenadas, tendremos que determinar cada uno de ellos de manera independiente.
Hallando el vector PQ
PQ = Q -P
PQ = { - 12; 4; 9 )- (1 5 ;-7 ; 12)
PQ = (-27; 11;-21)
Cálculo de su módulo
l = J ” 2PQ = V27 +11 +21
PG = a/1291
PQ = 35,9 u
Hallando el vector QP
Q P = P -Q
QP = ( 15 ;-7 ; 12 )-(-1 2 ; 4; 9)
QP = (27; -1 1 ; 21)
Cálculo de su módulo
PQ = V272 + l l 2 +212
Notamos a partir de los resultados que lie. vectores PQ y QP son opuestos, es dei it,
PQ = -QP.
2. En el sistema que se muestra, determine el \ módulo del vector resultante.
Z
X'X
Resolución
Nos piden hallar el módulo del vector te sultante, para lo cual trasladaremos a los vectores de manera adecuada.
Z A
b/A
4 u -- -z /\ \ /
/ // C ^ y / 4 U
PG = >/l291
PQ = 35,9 u
XX
Del gráfico: R = A + B + C
Su rínódulo será: R = 4s/2 u
/ /
Lu m b r e r a s E d it o r e s
PRODUCTO ESCALAR
Si
A = (Ax ;Ay ;Az ) y B = (Bx;B,,;B2),
entonces el producto escalar entre A y 6 es el número escalar dado por
A ' B — AXBX + AyBy + AZBZ
Si se conoce el módulo de cada vector y el ángulo que forman entre sí, se puede calcular como
A ■ B = ABcosQ
Geométricamente, se puede entender como el producto de un vector por el módulo de la proyección del otro vector sobre él.
Propiedades
Siendo A, B y C vectores y o un escalar, se ve- ulica
. Á-A = A2
• Á B = B-A
• á -(b + c ) = a -s + a -c
• (oa)-B = o (a -b ) = A -Íob)
• Ó ■ A = 0
is Nota
R especto de los v e c to re s u n ita r io s se v e r if ic a
/■/ = j- j =k-k = 1
i - j= j- k = i-k = 0
Ejemplos
1. Se sabe que los vectores
A = ( l , - 2 m )y B = (4 , - l) ,
son perpendiculares. Halle m.
Resolución
Nos piden el valor de m, sabiendo que los vectores forman 90° entre sí.
De acuerdo al producto escalar, si dos vectores son perpendiculares, dicho producto es cero (condición de perpendicularidad). Veamos
Se sabe que
A-B = ( l , - 2 m ) - ( 4 , - l ) = 4 + 2m = 0
resolviendo tenemos que m = -1 /2 .
2. El producto escalar del vector P de módulo 5 u y el vector Q de módulo 8 u es 32. Determine la componente del vector P en Q.
Resolución
Nos piden la componente del vector P en Q o, en otras palabras, la proyección de P en Q. Recuerde que el resultado del producto escalar es solo un número. Graficando los vectores
/H
■ .............................
Siendo P-Q = PQcos0 = (Pcos0)Q
De los datos se tiene Pr
32 = 8 PR
Pr = 4 u
i Los vectores P y Q forman 60° entre sí y |P| = 2 u. Determine el módulo de Q para que el vector P -Q sea perpendicular a P.
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i •.
Si se conoce el módulo de cada vector y el ángu lo que forman entre sí, se puede calcular como
A xB = ABsen0
Geométricamente, el nuevo vector es perpen dicular al plano que forman los vectores que lo originan, siendo su módulo el área del paralelo gramo formado por los primeros y su orienta ción se determina a partir de la regla de la mano derecha.
Resolución
Nos piden|Q|, para que P i (p - q ).
Usaremos el producto escalar sabiendo que si dos vectores forman 90° su producto escalar es cero.
Luego
p -(p - q ) = p -p - p -q = 0
P2- P - Q - cos60° = 0
4 - 2 Q — = 01 1 2
|Q| = 4u
PRODUCTO VECTORIAL
M A = (Ax; Ay) Az) y B = (Bx; By; Bz), entonces el producto vectorial entre A y B es un nuevo vector A x B que se define por
C =AxB=
i ¡ k
A X A y A z
Bx By Bz
Es decir
| C | s Área paralelogramo
Los vectores A, B y A xB forman un trío a de rechas (un sistema dextrogiro), lo que quiere decir que la dirección A x B es la que indica el dedo pulgar de la mano derecha cuando esta se cierra desde el vector A hacia el vector B, en el plano AB.
Las propiedades del producto vectorial son
1. A xB = -B x A anticonmutatividad
2. A x (b + c ) = A x B + A x C (distributivo re1, pecto de la suma)
3. m(A>iB) = (m A)xB = Ax(m B)I
siendo m un escalar
/ ' )
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
Observación
El g rá fic o s ig u ie n te re su m e lo e n c o n tra d o , p ro
p o rc io n a n d o ade m á s una bue n a fo rm a de re
c o rd a r lo en el fu tu ro .
P ro d u c to v e c to r ia l e n tre ve c to re s .
j x i = - k
k x j = - f
i x k = - j
Ejemplos
1. Halle un vector ortogonal a U = (l; - l ; 0 ) y a V = (2; 0; 1), cuyo módulo sea ~J¡2A u.
Resolución
Nos piden un vector que sea perpendicular a los vectores U y V (aunque podemos considerar que dicho vector sea perpendicular al plano formado por U y V), para lo cual usaremos el producto vectorial entre U y V .
Consideremos que sea x el vector pedido, es decir
X = k{uxv) y |x j = >/24u
1. Si los vectores A y B son paralelos, enton
ces, por definición
A xB = (ABser\Q)ü = 0
Esta es la condición de paralelismo.
2. i x i = 0; j X j = 0 ;l< x í< - 0
Según la aplicación anterior.
I. También se tiene, aplicando la definición,que
¡ x y = {(l)(l)(sen90 °)}k = k
} x k = { (l)(l)(sen90°)}f = f
k x i = {(l)(l)(sen90°)} J = /
Y según la propiedad de anticonmutativi- dad
Hallando U xV
= ( - / ) - ( / - 2/r)
= - i - j + 2 k
= ( - l ; -1 ; 2)
Ahora determinemos su módulo
/c||Z/xv] = W l 2 + l 2+22 = 4 ia
kV6 = >/24 ^ K = 2
Finalmente en (a)
x = 2 ( - l ; - l ; 2 ) = (-2 ;-2 ,4 )
jhsf
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i •>
2. Halle un vector U que tenga la misma direcciÓQ de V = ( l ; - 2 ;3 ) , de tal forma que dicho veclory 1/1/= (-2; 4 ;-1 ) formen un paralelogramo de 25 u2 de área.
Resolución
Nos piden U, tal que sea paralelo con \/ = (1; — 2; 3); por lo tant^-
U = mV = m( 1; -2 ; 3)
U = (m ;-2m ;3m ) (k¿ 0)
Regla de S arruz para h a lla r el d e te rm in a n te de una m a tr iz :
/ / kSea A = (Ax ; A y ; A z ) y B = (Sx ; By ; Bz ) - >
O pe ram os
A x Ay A2
Bx By Bz
Observación
—> A x B = (re s u lta d o 1) - (re s u lta d o 2)
Ahora, para formar un paralelogramo con W, debemos obtener el producto vectorial de estos, es decir
12m1-m]+Amk 2 m f-6 m j+ 4 m k \
= (2m i-G m j+4m k)-(12m i-m j+4m k)
= (-1 0 mi - 5m j) = (-10m ; - 5m; 0)
81
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
Luego su módulo será el área del paralelogramo
\ u x w \ = sjl00m 2 +25m 2 =25
125m2 = 625
m = ±V 5
Finalmente, serán dos los vectores que cumplan la condición
Ui=(J5 ; - 2 a / 5 ; 3 V 5 ) o U2 = (-^Í5;2S;-3^5)
3. Por medio de la combinación de productos se pueden construir expresiones más complejas.Por ejemplo, con tres vectores podemos construir las siguientes combinaciones. Identificar suvalidez.
a. A-(b -c ) b. (Á-~b )-C
e. X(sxc) f. (a -b )x C
Resolución
No todas estas combinaciones tienen sentido, analicémoslas de una en una.
a. A ■ (fi • c) es un vector colineal con A, y tiene la misma dirección, o con dirección contraria, si el escalar (fl • c) es positivo o negativo.
b. (/A • fl)- C es un vector colineal con C, y tiene la misma dirección, o con dirección contraria, si
el escalar (/A • fi) es positivo o negativo.
c. A x {b x c ) es un vector (resultado del producto vectorial entre dos vectores) que es perpendicular al vector BxC ; por lo tanto, se encuentra en el plano que contiene a los vectores B, y C y dentro de dicho plano en una dirección perpendicular al vector A.
d. (A x b )x C es un vector (resultado del producto vectorial entre dos vectores) que es perpendicular al vector A x B , por lo tanto, se encuentra en el plano que contiene a los vectores A, y B, y dentro de dicho plano en una dirección perpendicular al vector C.
e. >A ■ (b x c ) es un escalar, resultado del producto escalar entre los vectores /A y ( b x c ).
f. (/A b )xC ¡no tiene sentido! El producto vectorial es una operación entre dos vectores, no entre un escalar y un vector, es decir (/A - f l) es un escalar.
g. A x (b ■ c) ¡no tiene sentido! El producto vectorial es una operación entre dos vectores, no entre un vectory un escalar, es decir (s-c) es un escalar.
h. (a x b )-C es un escalar (resultado del producto escalar entre dos vectores).
c . A x C b x c ) d. ( a x ~ b ) x C
g. A x ( b - c ) - Ii.C axb)-C
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o n i
Del análisis anterior podemos deducir las siguientes propiedades:
• A-[b - b )-C no verifica la asociativa (ver combinaciones a y b).
• A x (b x c ) ^ ( a x b ) x C no verifica la asociativa (ver combinaciones c y d).
• En un producto mixto entre tres vectores (combinación de producto escalar y vectorial, vei combinaciones e, f, g y h) la expresión solo tiene sentido si se realiza primero el producto vectorial y luego el escalar; es por ello que no es necesario escribir los paréntesis:
a - b x c = a - ( b x c )
1 a expresión de un producto mixto en función de las componentes de los vectores viene dada como el desarrollo de un determinante
Ax Ay *z
A ■ BxC= Bx By Bz
cx Cy Cz
y utilizando las propiedades de los determinantes se puede demostrar que
A-BxC = B-CxA = C-AxB
I I valor absoluto del producto mixto (tomamos el valor absoluto ya que el resultado podría mm negativo) es igual al volumen del paralelepípedo formando por los tres vectores, como se muosii.i en la siguiente figura
volumen = área de la base-altura =
= |fix c ||A c o s 0 | = |X (e x c ) | \
Relación entre el volumen de paralelepípedo formado por tres vectores y su producto mixto.
8 *
IUM BRERAS EDITORES
Un doble producto vectorial puede desarrollarse en productos escalares de la siguiente forma
A x ( s x c ) = { A ' C ) b
Sale del paréntesis el vector B, que es el vector más cercano al vector externo A , el cual entra en el paréntesis m u ltip licándose escalarmente por eí o tro vector.
(a - e je
Sale del paréntesis el vector C, que es el vector más alejado al vector externo A , el cual entra en el paréntesis multiplicándose escalarmente por el o tro vector.
Utilizando el mismo razonamiento podemos desarrollar el siguiente doble producto vectorial viendo que nos da lo mismo que el anterior
(/T x b) x c = (a • c )e - (e ■ c )a
Nota ,■............................................................................................................................
Diferencias entre el álgebra escalar y el álgebra vectorial
En los a p a rta d o s a n te r io re s h em o s v is to d ife re n te s o pe ra c io n e s e n tre v e c to re s y escalares. En una e x p re
s ión m a te m á tic a en la q u e aparezcan a m b o s t ip o s de m a g n itu d e s fís icas, la fo rm a de m a n e ja rla s es s im ila r
a c ó m o se o p e ra b a e n el á lg e b ra de escalares. C om o e je m p lo , su po n g am o s la s ig u ie n te re la c ió n e n tre los
escalares a y b y los ve c to re s A, B, C, D y E :
a(A-~B¡C-bD = E
Y nos p id e n q u e d e sp e je m o s el v e c to r C en fu n c ió n de las d em á s m a g n itu d e s . El p roce so sería c o m o s igue:
a{~A -7)7-bD =7 -» o( a -7 ]c = 7 + bD
t-r ^ 7+bD - r 7+b7->■ (a -b )c =-------- c = -a q{a -7)
N ótese q u e el d e n o m in a d o r de la fra c c ió n es un escalar, so lo te n e m o s esca la res: a y (a -B J.
Esta fa m ilia r id a d en el m a n e jo de los v e c to re s , de fo rm a s im ila r a o p e ra r con escalares, p u e d e c o n d u c ir a
e rro r. Si nos h u b ie sen p e d id o d e s p e ja r e l e sca la r a, e s ta ría m o s te n ta d o s de re a liza r lo s ig u ie n te
a (^A • 7 ) 7 - bD = 7 - > o ( a - 7 ) c = 7 + bD
- 7 + b D 7 + b O-> aC - - p ^ a- p - - ^ —
[A ■ B) (a • eje
|Y es ta ríam os c o m e tie n d o un grave e r ro r ! En este caso el d e n o m in a d o r d e la fra c c ió n , ( a • fi)c, es un vec to r,
y ila división por un vector ni está definida ni tiene ningún sentido! Este d e ta lle ju n to con el h ech o de
que el p ro d u c to v e c to r ia l e n tre dos ve c to re s es a n t ic o n m u ta tiv o son dos de las cosas q u e hay q u e te n e r
en cu en ta cu a n d o se m a ne ja n e xp re s io ne s con ve c to re s .
HA
PROBLEMAS RESUELTOSJS
N iv e l B á s ic o
PROBLEMA N.° I
l’ara los vectores mostrados
|a | = 8u, |B| = 10u y |C| = 6 u,
halle el módulo de R, si R = 2A -3B + 4C
A B C
A) 26 u B) 28 u C) 32 u
D) 38 u E) 42 u
Resolución
Nos piden \r \.
Nótese que los vectores son colineales, su suma dependerá de la dirección que tengan.
Siendo
|r | = |2Á-3S + 4c | (I)
Nótese que -3B y 4C tienen la misma dirección, podemos sumarlos directamente.
5 i = -3B + 4C
I uego, su módulo será
|s¡| = 3 |-fi| + 4 |c |
|? i| = 3(10)+ 4(6)
I Sil = 54u (a)
Ahora, para hallar R sumaremos2A y Si, tenii-n do en cuenta que tienen direcciones opuestas, por lo tanto su módulo será el valor absoluto (lila diferencia de sus módulos, es decir
En (I)
R = 2A + Sí
Luego, su módulo será
|b’|= |2 /v- s1|
De (a)
|ff| = |2(8)-54|
|/?| = 38u
Clave (D )
PROBLEMA N.° 2
Dos vectores son proporcionales a 8 y 6. Si la resultante mínima es 20 u, halle el módulo de la resultante máxima.
A) 14 u
B) 28 u
C) 35 u
D) 70 u
E) 140 u
8 '.
I UMBRERAS EDITORES
Veamos
2-» 2 (2 2 ^—4 = - (1 2 ;-1 5 )= - x l 2 ; — x l5 3 3 V3 3 )
- A = (8; -10 )3
Resolución
Nos piden: 6máx
Sean A y 8 los vectores, tal que A = SAr y 8 = 6k. Sabemos que
^máx. = 4 + 6
= Zk+6k
RmSx= l A k (I)
Por dato
^mín.= 4 —6
20 = 8 k -6 k
k= 10 (a)
Luego (a) en (I)
« m á x .= 1 4 (1 0 )
••• «m áx. = 140u
Clave ( É )
PROBLEMA N.° 3
Si 4 = (12;-15), determine las coordenadas del 2 -
vector- 4 .3
A) (6 ;-5 ) B) (24 ;-30 ) C) (8 ;-10 )
D) (4 ;-5 ) E) (16 ;-20)
Resolución
Nos piden las coordenadas de un nuevo vector,— 2
obtenido al multiplicar 4 por el escalar -
Finalmente
^ 4 = (8; -10 )
C lave ( C j
PROBLEMA N.° 4
Sabiendo que A = (5;6) y S = (4;6) halle el módulo de 4 + 6.
A) 9 u B) 12 u C) 15 u
D) 20 u E) 25 u
Resolución
Nos piden |a + b |.
Ordenamos los vectores, y sumamos las respectivas componentes.
y (5;6) y >6 = (4; 6) /
4 + 6 = (9; 12)
Luego, hallando su módulo
14 + £51 = a/92 + 122
14 + £?| = 15u
C la v e (C)
8 6
A n á l is is d im e n s io n a l y v r c m iu
PROBLEMA N.° 5
'..ibiendo que A = (13; 11) y S = (7; 3), halle el módulo de A -B .
Resolución
Nos piden1 - * - -A + 3B
A) 5u
II) 10 u
t ) 15 u
II) 20 u
I) 25 u
Resolución
Nos piden U - b|
Ordenamos los vectores y en este caso restamos las respectivas componentes.
A = (13; 11),
B = ( 7; 3)
A - 6 = (6; 8)
I uego, hallando su módulo
H
|a - b | = V62+82
A -B = 10u
CLAVE (B
PROBLEMA N.° 6
Sabiendo que A = (4; 6) y B = (2; 1), halle el mó
dulo del vector — A + 3B. 2
A) 4 u
l>) 12 u
B) 6u C) 10 u
E) 15 u
Lo primero que haremos será hallar el nuevo vector
Í A = Í(4 ;6 ) = (2;3)N 2 2 N
3B = 3(2; 1) = (6; 3)(+>
-A + 3B = (8; 6)
Ahora, hallando su módulo
- A + 3B 2
- A + 3~B 2
= y ¡8 -2 + 62
= 10u
Clave
PROBLEMA N.° 7
Si A = 10 u; B = 10 u y C= 10 u, tal que A l B C, halle el ángulo entre A y B.
A) 37°
B) 45°
C) 60°
D) 90°
E) 120°
8 /
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
Resolución
Nos piden la medida del ángulo que forman los vectores A y B.
Usando la ley del paralelogramo
I A +'b \ = J a 2 +B2 +2A6cos0
|c | = V l0 2 +102 + 2(10)(10)cos9
102 = 102+ 102+ 2(lO)2cos0 1
cos0 = —2
0 = 120°
Clave ( E )
PROBLEMA N .° 8
Dados los vectores A y B, tal que | a | = 5 u y » l 3 u, determine el módulo de su resultante.
M 8 u B) 7 u C) 6 u
>) 9 u E) 2 u
RH
Resolución
Nos piden el módulo de la resultante entre los vectores A y B.
Para hallarlo uniremos los orígenes de los vectores (libres), obteniendo el ángulo que forman entre sí y, finalmente, usaremos la ley del paralelogramo.
De la ley del paralelogramo
R = ^ A 2 +B2 +2ABcos60
/? = V52 + 32+ /(5 ) (3 ) ( l/¿ )
R = a/49
.'. R = 7 u
_CLAVE (B )
PROBLEMA N.° 9
Si el módulo de la resultante máxima de dos vectores es 28 u y la mínima es 4 u, determine el módulo de la resultante cuando estos formen 90° entre sí.
A) 12 u B) 16 u C) 18 u
D) 20 u E) 25 u
................................!i
Resolución
Nos piden el módulo de la resultante cuando los vectores sean perpendiculares; para esto debemos conocer los vectores.
Sean A y B los vectores, tal que A > B.
Por dato
ANALISIS D IM ENSIONAL Y VECTOItl '
5 máx. - A + 6 - 2 8 U (+)
2A = 32 u/4 = 1 6 u y f í = 12u
Resolución
Nos piden el módulo del vector diferencia, p.11.1 lo cual unimos los orígenes de cada vector.
Ahora, hagamos que los vectores formen 90° entre sí, tendremos
R = Va 2 + 82
R = V l6 2 + 122
R = 20 u
Clave ( D
PROBLEMA N.° 10
Sabiendo que |a | = 5 u y |b | = 6u, determine el módulo de la diferencia entre los vectores.
De la ley de cosenos
t o - í | = Vo2 + b 2 -2obcos0
la - b| = f é + 6 2 - 2(5)(6)cos53°
.-. M = 5u
Clave ( B )
PROBLEMA N.° 11
A partir del sistema de vectores que se muesii.i, determine el vector resultante.
(ABCD: paralelogramo)
A) 3 u
0) 11 u
B) 5 u C) 7 u
E) l u
A) P
D) - P
B) 2P C) Q
E) - Q
K'l
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
Resolución
Se pide el vector resultante R.
De la figura: R = M + N + P + Q + S (I)
se puede notar que los vectores M ,N y P forman un polígono cerrado, por lo tanto
M + N + P = 0
En (I)
~R = 0 + Q+~S (II)
Haciendo un nuevo gráfico, se tiene
La resultante es un vector de igual tamaño que P, pero su dirección es opuesta, es decir, R = -P
Clave ( D )
PROBLEMA N.° 12
I n el gráfico adjunto, halle la resultante de los vectores mostrados.
A) F
B) 2F
C) 3 ?
D) - F
E) -2 F
Resolución
Se pide el vector resultante, para lo cual agruparemos los vectores de manera conveniente, usando el método del polígono.
Sea
R ~ A^+ B + C + D H-E + F (I)
B
de la figura notamos
I. A + B + C = ? (a)
II. D + ? = F ((3)
Luego (a) y ((3) en (I)
R = F + ? + F
~R = 3F
__CLAvE ( C )
'10
■ A n á l is is d i m e n s io n a i y v i i m m
PROBLEMA N.° 13
l.n el sistema de vectores mostrados determine el vector resultante (M\ punto medio).
A) C B) 2 C C) -2 C
D) -C E) - 3 C
Haciendo un nuevo gráfico
Se tiene que a + d = 2c
En (II)
R = 2c
Clave ( B )
Resolución
Se pide el vector resultante. Agruparemos los vectores convenientemente.
Sea
R = a + b + c + d + e + f + g (I)
En el gráfico notamos que b ,e , f ,g y c forman un polígono cerrado, es decir
b + e + f+ g + c = 0
Hn (I)
R = a + b + c + e + f+ g + d
o
R = o + d (II)
PROBLEMA N.° 14
En el gráfico se muestra un hexágono regular de lado a. Halle el módulo de la resultante de los vectores mostrados.
A) a B) 2a C) oy/2
D) oV 3 E) o V I
' I I
1 UMBRERAS EDITORES
Resolución
Piden el módulo del vector resultante, para lo cual trasladaremos el vector A en forma paralela hasta que su extremo coincida con el origen del vector 8; lo mismo hacemos con Cy D.
Sea
R — A + 8 + C + D (I)
Del gráfico
Si = 4 + 8 (a)
S2 =C + D (P)
Luego (a) y (P) en (I)
R = S1 +S2
Además, Si es paralelo a S2
I n módulo
fi = 51 + S2= o + a
8 = 2o
Clave (JÉ)
PROBLEMA N ." 15
A partir del gráfico mostrado, halle x en térm inos de A y B (G: baricentro).
Q
A) (2o + f>)/3 B) (o + 2f>)/6 C) (~a + b )/6
D) (o + f>)/3 E) (2o + 3Íb)/2
Resolución
Nos piden x en términos de A y 8, para lo cual usaremos la propiedad del baricentro: QG = 2GM-
Además, usaremos también un vector auxiliar que al final debe ser eliminado.
De la figura
En el A(l)
A + n = 3x (a)
«)2
■ A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o u i s
I nel A(ll)
8 = 3x + n
Sumando (a) y ((3)
A + B = 6x
- (a + b )
(P )
Clave (CEn el triángulo sombreado
A B - A —+ - + x = — 4 4 2
PROBLEMA N .° 16
Determine el vector x en función de los vedo- íes A y B, si rpqs es un paralelogramo.
A -B
Clave (A)
A)
<)
l > )
A -B4
2 A -3 84
A -3 6
B)A —26
E)2 A -6
Resolución
Nos piden hallar x en función de A y 8.
Nótese que el módulo de x es una base media.
PROBLEMA IM.° 17
Se tiene dos vectores A y 8, de modo que l.i suma máxima es 15 u y la mínima 5 u. Determine el módulo de cada vector.
A) 10 u; 5 u
C) 8 u; 7 u
D) 7 u; 2 u
B) 12 u; 3 u
E) 12 u; 7 u
Resolución
Nos piden el módulo de cada vector,
sabiendo que
■ máx. —15 u y 5m¡n — 5 u
Recuerde que para la Smáx , los vectores deben formar 0o y para la suma mínima 180°.
01
Lu m b r e r a s Ed it o r e sTl
I ntonces, sean A y B los vectores, tenemos
smáx. = ¿ + e = 15u
^m ín. —A — B = 5 U
A = 10 U
S = 5 u
Clave ( A ;
PROBLEMA N .° 18
11 gráfico muestra tres vectores de igual módulo. Halle la medida del ángulo 0 para que la resul- lante sea mínima.
\) 15°
)) 53°/2
B) 37°/2 C) 45°/2
E) 30°
Note que los vectores A y B ahora caen sobre los ejes de coordenadas.
Y iA + B
Se puede notar que la suma de A y 6 forma 45° con los ejes.
Para que la resultante sea mínima, el vector (A + B ) y C deben formar 180°.
Del gráfico
20 = 45°
.-. 0 = 45°/2
C lave CC
PROBLEMA N.° 19
A partir del gráfico mostrado, exprese x en función de los vectores A y B (O: centro de la circunferencia).
Resolución
Mus piden 0 para que la resultante sea mínima,
n este caso, vamos a girar el sistema de vecto- i". un ángulo 0, en sentido antihorario.
••t.i acción no altera el módulo del vector remítante.
A) (a - £ 0 / 2
B) (2 A -B )/2
C) 3(a - 2 s ) /6
D) 4(a —fi) /3
E) (b —a )/2
14
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c i o i i i
Resolución A) 2 u B) 4 u C) 6 u
Nos piden x en función de A y B. D) 8 u E) 10 u
Nótese que el módulo de cada vector es un diámetro, por lo que O representa el punto medio de ambos.
Del triángulo vectorial sombreado
x + A /2 = S /2
H = (b - a )/2
Clave ( ¥ )
PROBLEMA N.° 20
En el gráfico se muestra un polígono regular de 2 u de lado. Determine el módulo del vector resultante del sistema mostrado.
Resolución
Nos piden el módulo de la resultante. Traslucí.i reríios de manera adecuada los vectores, p .it.i usar el método del polígono.
1 ---------------4 u-------------- *
Sea la resultante
R = P + Q + m + n
En módulo
|/?| = |'p + Q + m+"n| (I)
Además
|p + m| = |n + Cj|
En (I)
\r | = 2| P + m |
= 2(4)
.-. |/? | = 8 u
Clave ( j í )
UMBRERAS EDITORES
PROBLEMA N.° 21
n el sistema de vectores mostrado, determine ■I módulo del vector resultante.
PROBLEMA N.° 22
En el sistema de vectores mostrado determine la dirección la dirección del vector resultante.
1 u
\) VI)) 2>/3
B) 2V I C) V I
E) V I
Resolución
slos piden el módulo del vector resultante
R = a + b + c
n módulo
| h | = | o + ó + c |
)el gráfico
/? = ( 4; 2)
B) 30°A) 15°
D) 60°
Resolución
Nos piden: 0fí
Se sabe que 0fi = tan
C) 45°
E) 75°
R*(I)
Para esto debemos reducir el sistema.
/A
aliando su módulo
| r | = V 4 2 + 2 2 = 2 V I u
Cl a v e ( B
En el eje X
Rx= 10cos37°-5
Rx = 8 -5
fí = 3 u ( a )
)(>
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o u i
I n el eje Y
R = 10sen37°-3
Ry = 6 -3
Ry = 3u
l inalmente, (a) y (¡3) en (I)
0R = 45°
((3)
Cl AVE (C )
PROBLEMA N.° 23
Un el sistema de vectores que se muestra, determine el módulo del vector P para que la resultante sea vertical.
Descomponiendo los vectores
Del gráfico
Pcos37°=20
PUJ=2°P= 25 u
Clave U
K-f20 V T
\4 5 °
X
A) 18 U B) 20 uC) 25 u
D) 30 u E) 35 u
PROBLEMA N.° 24
Sabiendo que A = 6/ +2 j y 6 = 2/ + 4y, determino el unitario del vector resultante.
A) ¿ ( 7 / + 24y)
B) |(4 ? + 3y)
C) | ( /+ J )
Resolución
Nos piden P para que la resultante sea vertical; esto se cumplirá si y solo si en la horizontal se verifica Rx = 0.
D)
El
<)7
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
Resolución
Nos piden
(a)\R\
Hallando en primer lugar el vector resultante
A = 6i + 2j \- . . ) (+)8 = 2/ + 4; <
R = 8i + 6j jpj
Calculamos su módulo
|fí| = V82+62
|ff| = 10u (y)
Finalmente, (P) y (y) en (a)
8/ + 6/ 4 í 3 -JJLp — ------------- — — / H— J
R 10 5 5
_ C la v e ( b )
PROBLEMA N.° 25
Determine el módulo de la resultante de los
vectores mostrados ( A = 2 u ).
A) V7
B) 2-V7
C) V5
D) 2>/5
E) 5V7
Resolución
Nos piden el módulo de la resultante.
Examinemos el gráfico:
Podemos deducir que
| s j = 4u
Ahora, usaremos la ley del paralelogramo
| A + B | = v/a2 +B2 + 2ABcos0
Reemplazando los valores
| A + b| = i j l 2 + 4 2 +2(2)(4)cos60°
= ^28
| a + s | = 2 a /7 u
Clave | B )
<)H
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c io h i •,
N iv e l in t e r m e d io
PROBLEMA N.° 26
II,ille |/?|; sabiendo que
H - A — B + 3C 2
donde
4 u-
I -2 U-H
A) 2u
D) 8 u
H h
B) 4u
-8 u -
2 B
C) 6u
E) 10 u
PRO BLEM A N.° 27
Halle la resultante del conjunto de vectore mostrados en la figura.
A) 2A B) 3E C) D + E
D) B E) O
Resolución
Nos piden el módulo de R, siendo
R = A - - f i + 3C 2
(I)
Como los vectores son paralelos, hallaremos la representación cartesiana para cada uno
A = 4 l; 8 = 4/; C = —2/
l n (I)
8 = 4 /— (4 /) + 3 ( —2/)2
fí = 4/ - 2 ¡ - 6 /
8 = - 4 /
I n módulo
|r | = 4 u
Clave ( B
Resolución
Nos piden la resultante del sistema de vectores mostrados.
Representaremos los vectores como pares or
denados. De la figura
A = [3; 2)
B = ( l;3 )
C = (2 ;-3 ) (+)
D = ( -2 ;-2 )
£ = ( -4 ;0 ) /
S=(0; 0)
5 = 0
Clave (j¡)
')■)
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
PRO BLEM A N.° 28
Sabiendo que la cuadrícula mostrada es de 1 cm de lado, determine el vector resultante.
X(cm)
B) - 2 i C) 4/
E) 2 /+ 4 j
A) 2/
D) - 4 /
Resolución
Nos piden el módulo de la resultante. Expresemos los vectores en función de pares ordenados.
Del gráfico
A + B + C = S =(0; 4)
i inalmente
5 = 4 /
Clave ( C
PROBLEMA N.° 29
A partir del siguiente sistema de vectores, de termine el vector resultante.
A) i - j D) 2j
Resolución
B) i + j C) 2i - j
E) - j
Nos piden el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrado.
Hallemos la representación cartesiana de cada vector y sumamos.
Del gráfico
A = (2; 2) \
B = (0 ;-3 ) (+)
C = ( - l ; 2 ) ¡
A + B + C = S =(1; 1)
S = i + j
Cla v e ( B )
LOO
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c io u i •
PROBLEMA N .° 30
Calcule el módulo de F para que la resultante del sistema se oriente según la perpendicular al iodo AC.
PROBLEMA N.° 3 I
A partir de los vectores que se muestran dotoi mine el módulo de su resultante.
A) 16 u
li) 18 u
C) 20 u
n) 22 u
I ) 24 u
20 u
,cvá 5 3 ° 60°C
Resolución
Nos piden el módulo de F.
Como la resultante tiene dirección perpendicular al lado AC; la resultante horizontal será nula. Descomponiendo los vectores.
A) 5V2
D) 5
B) V5 C) 10
E) 15
l'or condición
1 n el eje X
Fcos60°= 20cos53°
"iM iF=24 u
Cl a v e (E
Resolución
Nos piden el módulo del vector resultante.
Si notamos los ángulos, deducimos que los vec tores mostrados son colineales, es decir
y como tienen direcciones opuestas la suma será mínima.
-h riín .- 1® 5 5 U
Clave (D >
101
Lu m b r e r a s E d it o r e s
PROBLEMA N.° 32
Determine el módulo del vector resultante.
A) 30 u B) 40 u C) 50 u
D) 60 u E) 100 u
Resolución
Nos piden R.
Agrupemos convenientemente los vectores je n este caso hallaremos la resultante de los vectores de igual módulo y forman 60° entre sí.
I ,i resultante será
R' = 10V3-(V Í)
R‘= 30 u
I ¡nalmente, sumaremos vectorialmente R' y 40 u,
Note que forman 90° entre sí.
De la figura
R = a/402 + (/?')2
Pero: R' = 30 u
Luego
r = 4 402+302
.-. R=50 u
Clave ( c )
PRO BLEM A N.° 33
Si la resultante del sistema de vectores mostrado es vertical, determine la medida del ángulo 0.
A) 16° B) 37° C) 45°
D) 53° E) 74°
102
■ A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o u i •,
Resolución
Nos piden el módulo de la resultante sabiendo que es vertical. Vamos a descomponer los vectores dados en los respectivos ejes
Resolución
Nos piden el módulo de la resultante, para lo cual descomponemos los vectores adecuada mente.
2Ocos0 u X
Por dato
Como la resultante del sistema es vertical, en la horizontal la resultante debe ser nula.
Del gráfico
2Ocos0= 10cos37° + 8
2Ocos0=8+8
4cos0=—
5
.'. 0=37°
Clave ( B
5+5sen37°
Donde
Ir l = V¿2 +92
= V64 + 81
IRI = a/ 145 u
Clave ( D )
PROBLEMA N.° 35
Determine el módulo de la resultante del sistr ma de vectores mostrado (¿>=1 u).
PROBLEMA N.° 34
Dado el sistema de vectores, determine el módulo de su resultante.
'79 u
í95 u
Ou
A) 2 a/ I u
D) a / Í9 u
B) . 3a/ I u C) a/ Í I u
E) 2a/ I u
10 3
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
Resolución
Nos piden el módulo del vector resultante.
Sea R = A + B + C , en el módulo sería
|fí| = | !+ S + c |
Examinemos la gráfica
Notemos que
O P=A+C
Además
U + c | = 3u (I)
Reordenando la figura
Aplicaremos la ley de paralelogramo a los vec
tores B y (a + c ).
r \ = \B 2+ \a + c \ 2 + 2b \a + c \ c o s 6 0 °
R| = ^ l 2+32+ 2 ( l) ( 3 ) - ^ j
PROBLEMA IM.° 36
En el trapecio se indican los vectores A y B . Determine el módulo de la suma vectorial.
(M: punto medio)
4 u
A) 4 u B) 10 u C) 12 u
D) 16 u E) 20 u
Resolución
Nos piden el módulo del vector resultante. Para lo cual trasladaremos adecuadamente al vector A.
4 u
De la figura, los triángulos sombreados son congruentes.
Luego
PQ=~R = A + B
De donde, en módulo será
■................................
PROBLEMA N .° 37
Dado el paralelogramo ABCD, determine el mó
dulo del vector resultante.
B C
A D
A) 10 u B) 5u C) 15 u
D) 20 u E) 25 u
Resolución
Nos piden el módulo del vector resultante, para lo cual trasladaremos a los vectores de manera
adecuada.
Su módulo
7? = |x+"y+T| (I)
De la figura notamos que(z + y) y x son collnenlc,
Luego
En (I)
|/?| = |x| + |y + z|
= 5 + 10
|/?| = 15 u
Clave (» )
PROBLEMA N.° 38
Determine el módulo de la resultante de los vectores mostrados, si se cumple
|a| = |c ] = |>/3 b| = W 3
M: punto medio
A n á l is is d im e n s io n a l y v i c m u i •.
A) 6 u B) 8 u C) 12 u
Sea R = x + y + z D) 16 u E) 20 u
105
M im b r e r a s Ed it o r e s
Resolución
Nos piden el módulo de la resultante.
Sea R = A + B + C
Entonces: |r | = |a + B + c | (5)
De la figura
Se puede notar que el vector B es paralelo con Á i C, en (§)
Ir I= U + c I+Ib I (i)
Nótese I a | = | c |
l ’or propiedad U + c | = |a |>/3
I liego en (I)
Ir M W 3 ) V 3 + 4
Ir 1 = 16 u
Clave (6)
PROBLEMA N.° 39
II hexágono regular que se muestra tiene lado L. Determine el vector E en función del vector C,
M / ’ 2A + 2B-2D + C .
I O lí
A) 4C B) 3C C) 2C
- 3 —D) O E) -C
2
Resolución
Nos piden determinar el vector E en términos de C, para lo cual vamos a trasladar algunos vectores de manera conveniente.
Redibujando el sistema
D
De la figura sombreada
~B = C + A + D
Donde
C = -A + B -D
Multiplicamos x 2
2C = -2A + 2B -2D (I)
Del dato
E = -2A + 2S-2D + C
2CDe (I)
? = 2C + C
E = 3C
Clave ( § )
# ...............................
PROBLEMA N.° 40
En el sistema vectorial mostrado halle x en función de A y B, si ISI = 2¡ A I.
Resolución
Nos piden x , en términos de A y B. Trasladamos de manera conveniente los vectores y completamos el triángulo vectorial.
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c i o i i i \
En el triángulo sombreado
2x + — = A 2
2x = A - - 2
x = - ( 2 A - e )4
Clavi ( E )
PROBLEMA N.° 41
Dos vectores de módulos iguales a 4 u forman 74° entre sí. Determine el módulo del vector di ferencia de dichos vectores.
A) 1,2 u B) 2,4 u C) 3,6 u
D) 4,8 u E) 5,6 u
Resolución
Nos piden el módulo de la diferencia de los vm tores.
Sean los vectores A y 6, los graficaremos segun los datos
1 0 /
I u m b r e r a s E d it o r e s
Como | A | = | S |, el triángulo vectorial OPQ es isós- i ('les. Del vértice O bajamos la ± al lado desigual y esta resulta ser la mediana, mediatriz, bisectriz, altura.
I n el A AMP
2
|a - s| = 2/WP (I)
Además
MP = 4sen37° = 4(3/5)
.-. M P= 2,4
I inalmente, en (I)
Ia - b1 = 2(2,4)
.-. |a - s1 = 4 ,8 u
C l a v e ( D )
PROBLEMA N.° 42
n el paralelogramo mostrado, M y A/son puntos
nedios. Calcule a en función de x e y.
M
A) 3y~2x B) y - 3 x C) ( y -2 x ) /3
D) ( y - 6x ) /2 E) { 2 y - 3 x ) / A
Resolución
Se pide a en términos de x e y.
P
Introducimos el vector auxiliar P.
• En el AM C D tenemos
o + 2x = P /2
P -o = 2x (|)
2
• En el A ACD
P + 2x = y
P = y - 2 x (II)
• Luego (II) en (I)
2
y -6 x
C l a v e
0 8
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i *,
PROBLEMA N.° 43
l letermine el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrados.
A) 2u B) 4 u C) 6u
D) 8u E) 10 u
Resolución
Nos piden el módulo de la resultante
Sea la resultante
S = o ^ + c + c¡- n 2 n
S = n
En módulo
|s|=|n|=2u
C l a v e Í A
PROBLEMA N.° 44
Determine el módulode la suma de los vectores mostrados si el radio de la circunferencia de centro O es 2 u.
A) V Iu B) S u C) W 2 u
D) 2 -S u E) i S u
Resolución
Nos piden el módulo de la suma para el sistema mostrado.
Se puede notar:|o | = |b | = |e| = 2u
Usando el método del polígono.
S
1 0 ')
i i m b u i r a s Ed it o r e s
Irni'inos S = a + b + c + d + eb
)r l.i figura S = a + 2b
n módulo
\l\ = Ja2+(2bf = V 22 + 4 2
. | 's | = 2 a /5 u
C l a v e ( í )
ROBLEM A N .° 45
•etermine el módulo del vector resultante.
) l u B) 2u C) 3u
) 4 u E) 5u
esolución
os piden el módulo del vector resultante,
s.iremos el método del polígono para dos vec-H OS
En el triángulo sombreado
S = a + b
Su módulo
|s | = 2V3-cos300
.-. |s| = 3u
CLAVE (C)
PROBLEMA N.° 46
Si ABCD es un rectángulo, determine el vector resultante del sistema de vectores mostrados.
4 B
1-------- 6 u ------- *--------6 u
A) (-3 / + 4 /)u
B) ( - 6 / - 4 / ) u
C) (6 / -4 /) u
D) (4 / -8 /) u
E) (3/ + ioy)u
II )
■A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o u i
Resolución
Ñus piden determinar al vector resultante,
■..iliemos que ABCD es un rectángulo
v i
i >—►: i x
b
Usaremos el método del polígono, para lo cual nasladamos paralelamente al vector b y trazamos la resultante.
I'.ira determinar la resultante en función de los i (imponentes de la figura
/? = (-6 /-4 y ')u
C la v e ( b )
PROBLEMA N.° 47
I n el sistema mostrado, halle el ángulo a, sabiendo que IA I = 6 u; IB | = 5 u.
A) 16° B) 30° C) 37°
D) 45° E) 60°
Resolución
Nos piden determinar la medida del ángulo a.
A partir de la figura construyamos un triángulo.
Usaremos la ley de senos
\A\ _ \B\sena sen30°
6 _ 5sena (1/2)
sena = 3/5
a = 37°
_ C lave (C )
PROBLEMA N.° 48
Si se verifica 2A + B = 0, donde A = (x;y); S = (3;x), halle los valores d e x e y .
11 1
UMBRERAS EDITORES
lesolución
le pide determinar x e y. Para que se verifique ,3 relación
24 + 6 = 0
)el dato 2(x; y) + (3; x) = 0
(2x;2y) + (3;x) = 0 = (0; 0)
(2x + 3; 2y + x) = (0;0)~ i j t
2x+3=0 a 2y+x=0
3 3x = — a 2y — = 0
2 2
y = 3/4
C l a v e ( § )
ROBLEM A N.° 49
l R1 =A + B, Rj =C — B y
i 2 /-3 / ; 6 = 4 /+ 11/ yC = - 7 / - 7 / ,
.illn la resultante entre Ri y 62 sabiendo que irrnan un ángulo de 37°.
) 27,9 u
) 29,7 u
) ¡0,2 u
) ¡2,4 u
) 40,6 u
17
Resolución
Se pide el módulo de la resultante entre R i y 6 2 ;
hallaremos cada vector
• « 1 = (2/ - 3 / ) + (4/+ 11/)
Ri = 6 /+ 8/
• R2 = ( - 7 / - 7 . / ) - ( 4/+ 1 1 /)
Rz= ( -1 1 /-1 8 /)
Graficando los vectores Ri y R2, y usando el método del paralelogramo
Además
j« i| = 10u
|«2| = 2 1 ,1 u
Tendremos como módulo
| R | = V ^ i + + 2RiR2 eos 37o
|ff| = V l0 2+ (21 ,l)2+2(10)(21,l)(4/5)
| r | = 2 9 ,7 u
_CLAVE ( § )
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o u i s
PROBLEMA N.° 50
l l gráfico muestra un cilindro recto de radio R y altura h. Desde el centro de la base inferior se (onstruyen 12 vectores que terminan en los 12 puntos equidistantes A, B, C, ..., entre sí. Halle el módulo del vector resultante.
A) 10h B) U h C) 12/?
D) 13/7 E) 14/7
Resolución
Nos piden el módulo del vector resultante.
Al descomponer los vectores, notamos que 2 a 2 sus componentes de la base se anulan.
Es decir
A + G = 2~h
~B+~H = 2h
C+7=2/7
~F + M = 2h
~R = 6Í2h)~R = 12h
En módulo
|r | = 12/7
Clave
PROBLEMA N.° 51 t
Halle a y | A | para que la resultante de los 3 vec tores mostrados sea nula.
Si ISI = 7 u y ICI = 25 u
A) 12 u B) 18 u C) 24 u
D) 30 u E) 36 u
Resolución
Nos piden a y el módulo del vector A, para lo cual construiremos un polígono. Como la resul tante es nula el polígono debe ser cerrado.
113
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
De la ley de senos
A Bsen(82°-a) sen(8°+a) sen90°
Entre B y C
7__________ 25sen(8°+a) 1
7sen(8°+a) =
a = 8°
E n tre /íyC
A
25
Bsen74° sen90°
A = 24 u
C lave (C
Resolución
Nos piden determinar el vector resultante, para lo cual expresaremos los vectores como pares ordenados.
Del gráfico
A + B + C + D = R = ( - l ; 2)
R = - i + 2j
C lave (C)
PROBLEMA N.° 52
En el sistema de vectores mostrados, determine el vector resultante.
Yl
PROBLEMA N.° 53
Dado los vectores [ A (= 10 u; 18 1 = 25 u; | C | = 40 u, determine el vector D para que la resultante del sistema de vectores sea nula.
/ 6V
/
53 ° \ /(,74oX
/37 0 \ .
c . D
A) / —4/ B) - / 3/ C) - i + 2j A) 18/ B) -12 / C) 23/
D) / - 3/ E) -2 / + 4J D) -25/ E) 40/
I 14
A n á l is is d i m e n s i o n a l y v e c io u i
Resolución
Nos piden determinar el vector D.
Vamos a descomponer los vectores en los respectivos ejes sabiendo que la resultante en cada uno de ellos debe ser nula.
PROBLEMA N .° 54
Halle el vector x + y en función de los vectorc
o y b.
A) - b + Gr 3
B) 6 + 2cT
O 5S
D ) | í
E) b + —a 2
Resolución
Nos piden la suma de x e y en términos de lo vectores a y b. Para esto descomponemos lo vectores de manera conveniente
En el e jeX
7 + Dx =30
Dx = 23
En el eje Y
8+24 = 32+DV
Dy= 0
Finalmente
D = DX¡ + Dyj
D = 23/
(I)
( I I )
C la v e (C
Del gráfico
x = 2 n+m
y = 2 m + n
x + y = 3(m + n) (I)
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Además
b = 2Ím + n) (II)
Luego (II) en (I)
3 -x + y = —b
Clave @
PROBLEMA N.° 55
Determine el vector x en función de los vectores A y B si se sabe que M y N son puntos medios de los respectivos lados.
A) 1 /6 (2A - b )
m - ( 2 a - b)' 3
C) - Í A - 2 b )' 3
D) -(2 A -3 B )5
I.) 1 /3 (a - b )
Resolución
Nos piden x en términos de A y B. Usaremos la propiedad del baricentro.
GR =2NGR
I 16
En el triángulo sombreado
B -» ——+ 3x = A 2 _- - B
3 x = A —2
x = - ( 2 A - b )6
_CLAVE (A )
PROBLEM A N.° 56
Halle x en términos de a y c, si P es punto medio del lado del paralelogramo que se muestra
en el gráfico.
A) - ( o + c) B) —(0 + 0/ 2) C) - l / 2 ( o + c)
D) - 1 / 2(0 + 2c) E) l / 2 ( o -7 )
Resolución
Nos piden determinar x en términos de o y c, para lo cual completaremos el gráfico y trasla daremos los vectores de manera conveniente.
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o iu
1 n el triángulo sombreado
X H 1-C = 02
x = - - ( a + 2c) 2
C l a v e ( D )
PROBLEMA N.° 57
l.n el sistema mostrado, determine la suma de A y 8 en función de los vectores a,b y c .
Se verifica que
A = a + b + c
Para ^
(I)
- b
A) a + b + c B) 2(o + c) C) 2(b + c)
0) (o + fa) E) o - c
Se verifica que
~B = c - b + a
Luego hacemos (l)+ (ll)
A = o + ib + c
8 = c - ü + a
A + 8 = 2(o + c)
(II)
(+)
CLAVF i b )
Resolución
Nos piden A + B en términos de a, b y c.
Hallaremos cada vector de manera independiente, para luego sumarlos
De la figura
Para A
PROBLEMA N.° 58
Sean los vectores
x = 3ti + 4 j - 5 k ; y = 2i + ( t - l ) j + k y
z = 3/ + 7y +0,5 tk.
Determine el tiempo para el cual la result.inli
de los vectores sea paralela al plano xy.
A) 2 s
D) 8 s
B) 4 s C) 6 s
E) 10 s
I /
lUM BR ER AS EDITORES
Resolución
Nos piden el tiempo para el cual la resultante sea paralela al plano xy, para esto la componente en el eje Z debe ser cero.
Es decir
"x = 347 + 4/ - 5k
~y = 2l + ( t - l ) j + k ](+)
z = 3/ +7 / +0 ,5 tk >
R = { 5 + 3 t)i + (10 + t) j + (-4 + 0,5 t)k
De la condición
( -4 + 0,5 t)í< =0
- 4 + 0,5t = 0
t = 8s
C la v e (D
PROBLEMA N.° 59
Dado el gráfico mostrado, determine
|a + B + C + d |, si se trata de un cubo de ladoigual a 4 u.
A) V 5u B) 4 ^6 u C) 4-^5 u
D) 8sÍ6u E) 4-v/3 u
Resolución
Nos piden el módulo del vector resultante. Representaremos como par ordenado cada vector y luego hallaremos el módulo pedido.
Del gráfico
A = (0; 4 ; 4 ) - (4; 0 ; 4) = ( - 4 ; 4 ; 0) \
B = (4 ; 4 ; 4 ) - (4; 0 ; 4) = (0; 4 ; 0)
C = (0; 4 ; 0) - (4; 0; 4) = ( - 4 ; 4 ; - 4)
D = (4; 4 ; 0) - (4; 0; 4) = (0; 4 ; - 4 ) I
(-0
A + B + C + D = S = ( - 8 ; 1 6 ; - 8 )
|s"| = V s 2 + 162 +-82
Is"I = S-n/6 u
Clave ( D
I 18
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c io io
PROBLEMA N .° 60 PROBLEMA N.° 6 1
Determine el módulo de R = A + 6 + p, siendo p Determine el módulo del vector resultan..........los vectores A y B ubicados en el cubo m ostudu
un vector unitario.
A) 4 u
D) 2u
B) l u L ) á U
E) 0
Resolución
Nos piden el módulo de R. Para hallar dicha resultante, trasladaremos de manera conveniente los vectores.
Se sabe que
R — A H- B + JU.
Del gráfico
A + B = ¡x
En (I)
R = J I + Jl í
R = 2|I
En módulo
R = 2 u
(I)
C la ve ÍD
A) 2y¡5 u
B) 4 u
C) 6 u
D) 4 J 5 u
E) 6a/5 u
Resolución
Nos piden el módulo del vector resultante de los vectores A y B.
Hagamos coincidir el origen del vector A con el origen del sistema de ejes coordenados.
kz
k— -2 u-
I I '
Lu m b r e r a s E d it o r e s
Ahora, hallamos los vectores en función de sus componentes y sumamos.
A = (2/ + 2j +p£)u
S = ( 2 / - ^ ) u
A + S = (4/ + 2 /)u
\a + b \ = ^ 4 2 +22
|a + b | = 2 V 5 u
_ C la v e (A)
PROBLEMA N.° 62
Halle el módulo de a — b si se sabe que a=13 u, b 19 u y que el módulo de su suma es 24 u.
Por dato, tenemos la suma. Para relacionarla usaremos la ley del paralelogramo
|o + b| = a 2+ b 2 +2abcosQ
242= 132+192+2ab cos0 (II)
Sumamos (I) y (II)
| a - b f +242 = 2 ( l3 2 +192)
Operamos
| o - b f =484
|o -b f= 2 2
CLAVE ( B )
A) 21
li) 22
C) 23
D) 32
I) 33
Resolución
Nos piden el módulo de la diferencia entre los vectores o y ó .
De l.i ley de cosenos
\a -b \ = ^ a 2 +b2 -2ob-cos0
Mendo 0 el ángulo formado por los vectores
PROBLEM A N.° 63
Si a + b + c = 0 y I o I = 2, |b | = 5 y |c | = 8, calcule
o-fa.
A) 15 B) 25 C) 35
D) 40 E) 45
Resolución
Nos piden el producto escalar entre a y b, es decir
a b = a b -cos0 (I)
De la condición
o + b + c = 0
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c i d i i i
Tomando módulos y elevando al cuadrado
|a + fa| = | — c |
De la ley del paralelogramo
! a | + 2 afocos8+|fc| = |c |
| o [ + 2 a-b +|fa| = |c |
Reemplazando los datos
22 + 2o-b + 52 = 82
Operando tenemos
o-fa = 35
Clave ©
PROBLEMA N.° 64
Dado los vectores a = (5; 2); b = (~3; 4) y c = (7;4), resolver la siguiente ecuación vectorial 2x + 5 o -3 b = 4c.
A) (-3 ; 9) B) (-3 ; 6) C) (3; 6)
D) (6 ;-3 ) E) (9 ;-3 )
Resolución
Al resolver la ecuación vectorial debemos encontrar el valor de x que satisfaga dicha ecuación.
Es decir
Resolviendo tenemos
2x = (-6; 18)
x = (-3;9)
C lave (A)
PROBLEMA N.° 65
El vector c se puede expresar de la siguiente manera: c = ra + sb. Si c = (9;4), o = (2; 3) y i> = (l;2), determine sr.
A) 1 B) 49 C) 81
D) 16 • E) 25
Resolución
Debemos tener en cuenta que rysson númenc.
reales.
Reemplazando los vectores en la expresión
c = ra + sb
(9; 4) = r(2; -3 )+ s ( l; 2)
(9; 4 )= (2r+s;-3r+2s)
Identificando componentes 2r + s = 9
2 s -3 r= 4
Operando
r = 2 a s=5
2x + 5(5; 2) - 3(—3; 4) = 4(7; 4)
2x + (25; 10) + (9; -1 2 ) = (28; 16)
Finalmente, nos piden
sr=52=25
C la v e ( j F )
IUM BRERAS EDITORES
PROBLEMA N.° 66 PROBLEMA N.° 67
Halle un vector unitario paralelo a la resultante Un vector P, cuyo módulo es 6 u, tiene las trc .de los vectores A = (2; 2; 2) y B = (1; -1 ; -1). componentes de igual valor. Determine P.
A)B) v h (2;0;3) A) W i (1;1;1)
C) -2 a/3(—1; — 1; 1)
D) 2a/3(1; 1; 1)
B) -^=(1; 1; 1)
Resolución
Nos piden un vector unitario ü, tal que sea paralelo al vector A + B; es decir, podemos determinar el unitario de la suma y este será el vector pedido.
(a + b)u - U a +B = ■
\a + b ¡(I)
Hallamos la suma
A = (2; 2; 2)
's = (1; — 1; — 1)(+)
A + B = (3; 1; 1)
Cálculo del módulo de la suma
\ a + b \\ = s + T + T
|a + b |= V í T
l inalmente, en (I)
„ „ 1 u = ua+b
Clave (E
Resolución
Nos piden hallar P.
Sea P = {Px.Py.Pz)
Y su módulo
\p \ = y[px +Py + Pz ' Per0
Se sabe que Px=Py=Pz-
Entonces
|p | = ^ = PxV 3 = 6
Px = 2 a/3
Luego en (I)
P = ( 2^3; 2^3 ; 2^/1)
= 2^3(1; 1; 1)
.-. P = 2a/3(/+ ji+ k )
(I)
C la v e (D
122
I IA n á l is is d im e n s io n a l y v e c io u i
PROBLEMA N .° 68
Halle U x b | , si feI = 2 u y A + B + C = 6/
A) 2^3 u B) 20V3 u C) 36 u
D) 16->/3 u E) loVIu
Resolución
Nos piden el módulo del producto vectorial entre A y B.
Es decir
|A x B | = |A |s |s e n 0 (I)
Donde 0 es el ángulo entre A y B; de la figura 0=90°.
En (I)
|a x b | = |a ||b | , .1 1 1 11 1 (a)
Del dato
A + B+C = 6/; además|c| = 2u
De la figura
C está sobre el eje X
C :—2/
En el dato
A + B — 2/ = 6 i
A +~B = 8/
El vector suma entre A y B está sobre el eje 1 X
Redibujando los vectores
Podemos obtener
| a ] = 4u y | B | = 4t/3 u
Finalmente en (a)
| A x B | = 16^3 u
= 16V3u
C l a v e ( D
PROBLEMA N.° 69
Dados los vectores P = (n; 1) y Q = (2n; n), halle n para que sean paralelos.
A) -1 B) 1/3 C) 2
D) -1 /2 E) 3
12 I
UMBRERAS EDITORES
Icsolución
los piden n para que P 1t Q.
abemos que para tal condición basta con que n vector sea múltiplo del otro, es decir
P = K Q /K e R
(n; l)=K (2n ; n)
(n; 1)=(2Kn; Kn)
’ualamos los respectivos componentes
n = 2Kn -> K= 1/2
. l= K n n=2
_C LAV E (C
ROBLEM A N.° 70
ea A = ( l ; - l ; l ) y B = (2 ; l; -1 ) , halle el vector
, de tal manera que se verifique A xP = B.
) (2; 0; -1 ) B) (2 ;-1 ; 1) C) - ( l ; - 2 ;4 )
4E) — (1; — 4; — 2)
esolución
os piden P, tal que se verifique A xP = B sien- o~P = (Px -,Py-,Pz)
, decir
AxP= s
l \k + P i +P2j )
-(-Pzí +Pyi< + Px})
tdenando, tenemos
P-{~Py-Pzy + {px -Pz)i+{Py-Px)í<=( 2 ; l ; - l )
Identificando se tiene Py+Pz= -2
P*~Pz= 1
Py+Px=-1
Resolviendo
Px= l/3 ;P )/= -4 /3 y P z= -2 /3
Finalmente
P = - ( l ; - 4 ; - 2 )
CLAVE (E
PROBLEMA N.° 71
Determine qué vector debemos sumar al vectoi (3; -2 ; 4) para que se obtenga el vector (8; 0; 0).
A) (5; 2 ;-4 ) B) (4; 2 ,-1 ) C) (5; 0 ;-1 )
D) (2; 0; -1 ) E) ( - 4 ; - 2 ;0 )
Resolución
Sea el vector pedido A = (Ax;Ay;Az)
Luego, por condición del problema tenemos que
A + (3; - 2; 4) = (8; 0; 0)
(Ax;A y;A z)+(3 ;-2 ; 4)=(8; 0; 0)
(Ax+ 3; Ay- 2; Az+4)=(8; 0; 0)
Identificando las componentes
Ax+3 = 8 -> Ax=5; Ay-2 = 0 A =2
y Az+ 4= 0 Az= - 4
Finalmente, el vector A será
A = (5; 2 ;-4 )
C la v e ( A
24
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o ii i •>
PROBLEMA N.° 72
Encuentre el producto vectorial de los vectores
A = 3i + Aj +2k y B = i + 3j -S k
A) -26 / + 17y + 5k
B) -13/ + a í
C) 7 /— l l / + Sk
D) 12/— 7/ + lOk
E) 1 1 / - 2 2 / + 5/C
A) (—1; 0; 1) B) 2(1; 0; 1) C) V 2 ( l;0 ; l)
D) e)
Resolución
Nos piden un vector unitario, perpendicular al plano formado por otros vectores.
Por definición, el vector _L al plano formado por A y B es su producto vectorial.
Resolución
Nos piden el producto vectorial entre A y 6.
Por definición
/ 7 í:A x B = *x ¿z
«x
Reemplazando los valores correspondientes
AxB = /
-(4 Í + 6 /-1 5 /) ,
- (-20/ + 9k+2j)
Ordenamos
A xB = (-26 / +17/ + 5k)
Clave ( A
PROBLEMA N.° 73
Halle un vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores
A = (2 ;3 ;-2 ) y B = ( l ; 2 ; - 1 )
Por lo tanto
(a x b )
Ia x b I(a)
Hallamos A xB
A xB=x
{ük — 4/ — 2/) A
Ordenamos
-> ~AxB = l+ k
Su módulo
IA x fil = V2
(—3/+ 4/c-2y)
En (a)
Clave (E
12'.
I UMBRERAS EDITORES
PROBLEMA N .° 74
líos vectores A y B d e 3 u y 5 u , respectivamente, lorman un ángulo de 37°. Determine el módulo de la suma y de la diferencia e indicar el menor
módulo.
A) 1,18 B) 2 ,26C) 3,16
D) 4,32 E) 5,81
Resolución
Mos piden tanto el módulo de la suma como el ■nodulo de la diferencia,
draficando los vectores y usando la ley del para- elogramo para la suma y la ley de cosenos para ,i diferencia.
.ilculo de |A + S| del gráfico
| A + B | = -y/32 + 52 + 2(3) (5) eos 37°
|a + b | = a/58
|a + b | = 7,62u
.ilculo de |a - b | del gráfico
|Á - B | = -y/32 + 52 - 2(3)(5)cos37°
|a b | = V io
|a - b | = 3,16u
Clave ©
I 71)
PROBLEMA N.° 75
Encuentre el valor de o, de manera que los vecto res A = (-o ; z) y B = (-1; 3) sean perpendiculares
A) - 3 B) - 4C) 4
D) - 6 E) 6
Resolución
Nos piden a, tal que A _L B . Por condición de peí pendicularidad, se debe verificar que A-B = 0.
Es decir
~A-~B = (-a ; 2) • (—1; 3) = 0
o+6= 0
o = - 6
_C LAVE ©
N iv e l a v a n z a d o
PROBLEMA N .° 76
Determine el vector
R = A + f3 + C + D + £ + F + 6 , si la figura es un hexágono regular de lado a.
A n á l is is d im e n s io n a l y vec m u i
A) — (—2/ + a/ 3 / ) 3
C) | { S i - j )
D) 0 (2/ + Í3 j)
B) o ( - 2 / -2 / )
E) a- ( i + S j )
En (I)
R = 2ai + ay¡3j
R = a(2i + ¡3 j)
CLAVI ( ¡ i )
Resolución
Nos piden hallar el vector resultante del sistema de vectores mostrados.
PROBLEMA N.° 77
En el gráfico que se muestra, determine x + y.
Del gráfico
R = A + 5 + C + P + E + F + G~F
R = 2F + G
-1 X
Reconstruyendo la gráfica, nótese que
IGI = oV3 u y IFI = 2o u
A) - J la ( i+ j)
B) | 0( i - ^ ) ( - / - y )
C) £ (3
D) £ (2 - V 3 ) ( - /+ / )
E) £ ( 2 -> /2 ) ( /+ / )
12/
I UMBRERAS EDITORES
Resolución
Nos piden determinar la resultante entre x e y . Consideremos los datos geométricos del problema.
PROBLEMA N.° 78
En el gráfico se muestra un cuadrado cuyo lado mide dos unidades y un arco de circunferencia. Determine el vector a.
De donde
I. En el A sombreado I
y = a —:— \¡~n (a)
En el A sombreado II
x = q\ —- l/' + n ((3)
>umando (a) y ((3)
x + y = a
A)
B) (V2-f)(-/-;)
C) £ { i + j )
D) (2 -V 2 )( -? + 7 )
E) V 2 ( / - / )
Resolución
Nos pide determinar a . En términos de los vet tores unitarios.
Examinando el gráfico
Cl a v e ( E 2-V2
178
■A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i •.
Sea el vector
a = mi + nj ^
Debemos determinar los valores d e m y n .
Se tiene
o = ( 2 - ^ ) ( - / ) + (2 -V 2 ) ;
a = ( 2 - J Í ) { - l + j )
C lave ( d )
PROBLEMA N.° 79
En el gráfico, halle x en función de a y b.
« (I-!)
Resolución
Nos piden x en términos de a y b.
Graficando a los vectores
Por definición
~ _ x
Ix IX = |x | j ix (I)
Se tiene
x l f n £ x = j l n = •—|
[ 1 * = ^ (M)| n |
De la figura sombreada
I UMBRERAS EDITORES
¡nalmente, ((3) y (y) en (I)
x =
x =
b - b —b - a / 2
\ b - ^ n \ /
[ b - a / l l IV 2Clave (E
PROBLEMA N .° 80
Sabiendo que la resultante de las fuerzas / 1 =(3;8)/V, F2 = ( x ; - 4 )N y F3 = ( -6 ;y) es igual .1 cero, halle el vector unitario de la resultante de F2 y F3.
A)V ll3
1
[-8 ;-7 ) B)3 _ 4
5 ' 5
q ^ d ; i)
15) V 73( - 3 ; - 8 ) E)
a/65-7; 4)
Resolución
Nos piden el unitario del vector que resulta de sumar F2 y F3.
Por definición
F2 + F 3 M- = ,f — = rr (■)
| f 2 + f 3|
Por dato tenemos
F i +F 2 + F 3 =0
(3; 8) + (x ;-4 ) + ( - 6; y) = 0
(x -3 ; 4+y) = (0; 0)
Identificamos los componentes
x -3 = 0 a 4+y= 0
x=3 a y = -4
Luego los vectores serán
F2 = (3 ;-4 ) a g = ( -6 ;-4 )
Hallamos la suma
F2 +F 3 = ( -3 ;-8 ) (a)
Cálculo de su módulo
| f 2 +F 3| = V32 + 8 2 =V73 (P)
Finalmente, (a) y ((3) en (I)
~ _ ( - 3 ; - 8 ) _ 3 - 8 -U~ V73 "
C lave (D
PRO BLEM A N.° 81
Determine p - q si ABCD es un paralelogramo en donde se cumple que AC = SAE,BC = 3BF y además EF = p U o ) + q(/4s).
A) -4 /3
B) -1 /3
C) -2 /3
D) +2/3
E) 4/3
I 30
ÉA n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i
Resolución
Nos piden p -q .
trafiquemos los vectores representando los datos.
De la figura
AC =AB +AD
Por dato
AC= 5AE
(a)
Reemplazando (I) y (II)
— AD AD + AB —;AB + ---- = -------------+ EF
3 5
De donde
EF
Identificando los coeficientes
2 12p = — a q = —
15 15
Finalmente
p-q =
_2__12
15 15
2
Clave (C
lin (a)
5A E=A B+AD
■■■ AE--AB + AD
Del dato
BC = 3BF
Además
ADBC = AD —> BF = -
Del polígono sombreado
AB + BF = AE + EF
(0
PROBLEMA N.° 82
En el gráfico mostrado, M es punto medio de JH. Si ¡2/A — S| = 2>/3 u y r= 2 u, calcule |á -b |.
A) -J íu
C) V5u
D) >/Í3u
B) -J7u
E) V il u
1 I I
I IJMBRERAS EDITORES
Resolución
Nos piden el módulo de la diferencia entre los vectores A y B.
Veamos el gráfico
En (II)
2| >41 = 4sen30°
\ a \ = 1 u
De la figura sombreada
PH = 2A-~B
En módulo
|w | = | 2 ^ - b | = 2V3
En el ^ J H N
= 2|/4| = 2r.sen0 = 4sen0
(I)
( M )
Utilizando la ley de cosenos
MA -B l = VA2 +B2 -2/4Scosl20°
¡ A - B I = ^ / l2 +22 — 2(1)(2) - (—1/2)
|a - b | = V 7 u
C la v e (B j
I n el HNP, aplicando la ley de senos
\p h \ _ \ñ h \ _ |fi[sen(9O°+0) sen(9O°-20) sen0
Reemplazando (I) y (II) en (a)
2^3 _ 4sen0 cos0 cos20
PROBLEMA N.° 83
(a) Halle el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrado, si 0=120 y A = f =10u.
2sen0cos0 cos20
tan20 = ^3
20=60° 0=30°
n (oc) y reemplazando
|s| _ 2V3sen30° cos30°
B = 2 u
A) 2a/37
5
B) 5V Í7
C) 4^37
D) u25
n V 37
132
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c iu h i
Resolución
Nos piden el módulo de la resultante.
De la gráfica
se deduce también que el A NMO es isósceles.
M P 1N O
Se tiene
A = -5 ^ /1 7 -5 / y U = |V 3 ?
Reemplazando en (I)
R = 5 (-5>/3 / — 5 /) +14 Q V3 /
R = 1 0 ^3 /-2 5 /
En módulo
|r | = -\/(io V 3)2 +(25)2
••• I/? I = 5V37 u
C la v e (B )
Pero
R = A + B + C + D + F + 4 U (Y)
Del sistema de vectores tenemos
'b = A + U-,C = A + 2U:D = A + 3U y F = A + 4Í/
En (y)
R = X + X + Ü + X + 2L/ + X + 3L/ + X + 4L/ + 4D
7? = 5A + 1AU (I)
hallamos los vectores A y U a partir del gráfico.
5V3
PROBLEMA N.° 84
En el gráfico mostrado PQ es tangente a la sumí circunferencia mostrada.
Halle x en función de A y B. MNOP es un cu.i drado
A) B) - l ~ B j C) - - A i I SBj5 5 3 3 3 3
D) - —A / - —/ 5 5
3 „ ■ B ■E) - - A , V
13 1
I UMBRERAS EDITORES
Resolución
Nos piden determinar x en términos de A y B.
Examinemos la gráfica
2 a
6 (l-sen20)
Tenemos que
x = /4cos20(-/) + fi( l-se n 2 0 )y (a)
Del sombreado0 = 53°/2 -> 20 = 53°
Reemplazamos en (a)
x = /Acos53°(-/) + S (l-sen53°)y
3 '= A ( - í ) + b ( i - í )
- 3 - 8 ?x = — Ai + —J 5 5
C la v e (E
PROBLEMA N.° 85
'><■ tienen los vectores (2a + 6b) y (2 a -3 b ) tal
que forman un ángulo de 60°. Si |o + 3b| = l,5
y 2o 3b = 5u, determine el módulo de 4o + 3b.
A) 2u
D) 6u
B) 3u C) 5u
E) 7u
Resolución
Nos piden el módulo de 4o + 3b.
Sea m = 2a + 6b y n = 2 a -3 b , se sabe que fot man 60° entre sí. Si sumamos m y n obtenemo' el vector perdido
Aplicando la ley del paralelogramo
4o + 3b = ^ m 2+ n 2+ 2mncos60°
Por dato
|m | = 2|o + 3b| = 2(l,5) = 3u
|n| = |2o -3b | = 5u
Reemplazando en
>1=./4o + 3b I = a/ 32 + 52 + 2(3)(5)cos 60°
4o + 3b = 7u
C l a v etí
PROBLEMA N.° 86
Si A xB = 24i + 7j y A-B = 25, determine la tan gente del ángulo entre A y B.
A) 1
D) - 1
B) 2 C) 1/2
E) 1/3
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o m i
Resolución
Nos piden tan0, siendo 0 el ángulo entre A y B.
Se sabe que A xB = 24/ + 7/
Su módulo
Ia x s | = V242+ 7 2 =25
A) 0 ,23 /-0 ,72 / -0,65/c
B) 0,23/+ 0,72/ + 0,65fc
C) -0,12/ + 0,72/ + 0,67^
D) 1,2/+ 4,2/ + 3,6¿
E) 1 ,2 /-4 ,2 /-3 ,
Además
|A x e | = |A||8|sene = 25 (I)
Del otro dato
A -B = |a ||b |cos9 = 25
Luego hacemos (I) + (II)
jlí[se n 0 25
25jB |cos t
tan0 = l
(II)
Clave ( A
Resolución
Nos piden hallar el vector unitario Pj. De l.i ecuación dada
6 ^ = v + 5p (I)
Del dato v = ( - 2 t ; t ;3 t ) (II)
Nos falta ^ el cual se obtendrá de la figura que se muestra
se
sen37°
cos37°■'S 37°
PROBLEMA N.° 87
Halle el vector unitario Mi que satisface la siguiente ecuación vectorial
6 ^ = v + 5p, siendo v = -2 t i + t j + 3tk y t: tiempo.
Tenemos que
p = (0; cos37°; sen37°)
• , _ 4 3p = 0 ; - ; -
1 5 5
Reemplazando (II) y (III) en (I)
( 4 36/Lj = ( -2 t ; t ;3 f ) + 5l 0 ;— ; —
6 Mi = ( - 2 t ; t + 4; 3t + 3)1
P-L = - ( - 2 t ; t + 4; 3í + 3)6
(III)
(5)
1 0
IJMBRERAS EDITORES
hora, como Mi es unitario, se verifica
||¿i| = i> /(2 t)2+ ( t + 4)2+ (3 f + 3)2 =1 6
l1 tiene
14t2+ 2 6 t - l l= 0
('solviendo
t=0,3551s
njlm ente, reemplazamos í en (5)
ILij = -(-2(0,3551); 0,3551 + 4; 3(0,3551) + 3) 6
, = —0,12/ + 0,72/ + 0,67¿
Clave ( C )
R OBLEM A N .° 88
l.i arista del cubo es 5 unidades, obtenga
H / ' - B h ) ( d g ) x ( a b ) 1
zA
I (>25j B) -125/ C) -525k
I i 75j E) -275/
Resolución
Nos piden determinar la expresión
M = [ ( BF ■ Bh )(d g ) \ x (as).
Busquemos información de la gráfica
Tenemos
AS = (-5 ; 0; 0) = -5 /
BF = ( 0; 0;5) = +5 k
BH = ( 5; 5; 5) = 5/ + 5j + 5k
DG = ( - 5; 0; 5) = -5 /+ 5k
Hallamos el producto escalar
BF-BH = (0;0; 5)• (5; 5; 5)
=0+0+25
••• BF-BH = 25
Ahora en la expresión
M = [2 s (—5? + 5fc) ] x (—5/)
M = -6 2 5 ( - /+ /r )x ( /)
/V7 = - 625 t^ h d + k x l), 0 T
M = -625y
_ C la v e (A)
I I ,
A n á l is is d im e n s io n a l y v e c t o h i
PROBLEMA N .° 89
Según la figura, simplifique Q en función de o;
y c, si AB = 3a, BC = 2b y AC = - 6 c .
Q = 2(¡CE + DB)-3(d H + Bh ) + (fE + AG)
Se tiene
• CE + DB = AB = 3a
• DF + BH = BC = 2b
• AG + FE = AC = -6 c
Reemplazando en la expresión Q!
q = 2{c e + db) - 3 ( d f + b h )+ {f e + a b )
¡ ! \ f > 1i i X i = 2 AB -3 BC - ACI I ^ 1
hL — i________1 = 2 (3o) - 3 { ib ) + (-6c
A) a - b + c
B) 2Í3a + b -7 )
C) 3 (o -2 b -c )
D) E i{ a - b - c )
E) 2a - b + c
Resolución
Nos piden simplificar la expresión Q sabiendo que
AS = 3o; BC = 2b Y AC = - 6 c .
Examinemos el gráfico
Q = 6 ( o - b - c )
Clave (D )
PROBLEMA N.° 90
En el paralelepípedo mostrado, determine el vector resultante en términos de los vectores a, b y c.
A) a -2 b + c
B) o -2 b
C) 2 a + c
D) a + b + c
E) ~b + 2c
1 U
UMBRERAS EDITORES
Resolución
Mos piden la resultante de todos los vectores.
>ea R = a + b + c + x + y + z (I)
Examinemos la figura
onemos
x + y = c
a = c + b + z
R = a+ a + c
~R = 2a + c
(a)
(P )
Resolución
Nos piden hallar 1P:A + ^ B1I^ a+bI
(I)
para lo cual determinaremos los respective, vectores unitarios y también sus módulos
n -*■ - A Í3/ + 4y) 3~ 4~ , ,• Para A \\x . = „ = \ - ^ - = - j + - j (a)U Vb2 + 4 2 5 5
• Para f i : í iB= í^ T = ~ ; = - y (fl)8 4
Para A + B:
J a + b ) _ 3 l + - f l f _~V-A+B ' = 1
¡A + t(Y)
Luego (a), ((3) y (y) en (I)
(«emplazamos (a) y (|3) en (1) +Üfl|3~ 4 - -- / + —] - j 3 j _ i
5 5 yR = a + b + c + z + x + y 1 Í*a+b| |/| 1
|Myi +Ps|_ V2
C lave (C¡M-A+el ^
Clave (? )
‘ ROBLEM A N.° 9 1
ii he denota un vector unitario asociando al vec-
iii P, calcule
'a 1 ^bKI^a+bI; sabiendo que A = 3 /+ 4/ y
i 4j .
y) ;v / ÍÓ /5 B) V lO /5 C) V 5 /2
i) J Í / 5 E) V 5 /V 2
PROBLEMA N.° 92
Se tienen dos vectores: r = rxi + ryj y s = sxi + syi y forman un ángulo de 60°, de tal forma que | s | = 1, rx = -J lry y ~r-"s = 1,5.
Determine el valor de P = rx + ry +sx +sy.
A) 8 B) - 8 C) 4
D) 10 E) - 1 0
18
mA n á l is is d im e n s io n a l y v i c io h i
Resolución
Nos piden determinar el valor de P.
Nótese que: r 2 = r 2 + ry + s2 = s2 + sy
De donde: p = r 2 +s2 (I)
Por dato
• |s| = l , es decir: s2+ s2 = 1 2 (a)
• Del producto escalar
» 3r s = -
23
r-s-cos60°= —2
r,(1)'(lH r=3 (P)Finalmente, (a) y ((3) en (I)
P=32 + l 2
P=10
_C LAV E ( 6 )
PROBLEMA N.° 93
SI se sabe que A = 2/; 8 = 4/ -3 j ,
calcule: A -b (a + A x b )
A) 2 {l+ 2 j-3 Í< ) B) 6 (/-2 y )C) 1 2 (/-£ )
D) 8 ( - ¡ -2 k ) E) 1 6 (i-3 k )
Resolución
Nos piden determinar la expresión
M = A -b ( a + A x B ) (I)
Hallaremos de manera separada los produc l<>\ entre vectores.
• Hallamos A-B
A-fi = (2;0)-(4 ;-3) = 8 (ex)
• Hallamos 2 x 8
A xB = (2 /)x (4 /-3 i)
= 8 / x / - 6 /x y
A xB = -6k (|3)
Luego reemplazamos (a) y (p) en (I)
M = &(2j + (-Gk))
M = 16 /-48^
Clave ( E )
PROBLEMA N.° 94
Los vectores a = 3i + 10j; b = bxi + byj ; yc = -1 2 /-6 y forman un polígono cerrado. Dolei mine el producto escalar ¿>-c (en valor absoluto).
A) 84 B) 70 C) 56
D) 42 E) 14
Resolución
Nos piden el valor del producto b - c . Por dalo, nos dicen que los vectores forman un polígono de tres lados, en este caso un triángulo
I t ' l
im i ih e r a s Ed it o r e s
ll (|UC
a i- b + c = 0
(i +10j +b + ( - 1 2 /-6 / ) = 0
b -=9/-4y
n,límente
ib-c = (9 /-4 y )-(-1 2 /-6 y )
= (9 ;-4 ) - ( -1 2 ; -6 )
b -c = -8 4
i valor absoluto
|fe-'c| = 84
C lave (A )
Notamos que el ángulo pedido es 0.
Usando la definición de producto escalar tenemos
(p + q ) - (p —q ) = I'p + q ||"p - q |cos0
De donde
COS0 =' p + q ) - ( p - q !
| p + q ||p - q |(i)
ROBLEMA N.° 95
P -4, Q=3, y el ángulo formado por dichos ■i lores es 60°, halle el ángulo formado por los i lores P + Q y P -Q .
e o s "1 (0,295)
eos-1 (0,271)
53°
i eos-1 (0,319)
74°
Hallaremos cada término de la expresión de manera Independiente
i. ( p + q M p - q )
= p2- q 2
=42- 3 2 = 7 (a)
|P + q | = P2+ Q2+ 2PQ .3 ■ cos60°
=42+32 + 2(4)(3)(l/2)
| p + q | = a/37 ((3)
•*olución
r, piden el ángulo formado por la suma y la lerenda de los vectores P y Q.
presentemos gráficamente la situación.
III. | p + q | = P 2 + Q 2 - 2 P Q cos60°
= 4 2+ 3 2-2 (4 ) (3 ) ( l/2 )
| p + q | = V Í3 (y)
1(1
A n á l is is d im e n s io n a l y v i < m u i
Finalmente, reemplazamos (a), ((3) y (y) en (I)
cos0 = ,—^ 7— = 0,319 V37V13
0=cos-1 (O,319)
C l a v e ( 0 )
PROBLEMA N.° 96
Halle la proyección del vector A = i + 2 j+ k so
bre el vector B = 4/ + 4j + 7k.
A) 1,7
D) 3,1
B) 2,1 C) 2,2
E) 5,4
De (I)
A-B = AeB
También se sabe que
A -B = ( 1; 2; 1)■ (4; 4; 7)
A -B = (4 + 8 + 7) = 19
Finalmente, en (II)
19 = Afl • Vá2 + 42 + 72
19- t Af i= — = 2,1
8 9
(II)
C lav i (B )
Resolución
Nos piden la proyección de A sobre el vector B, para lo cual representemos de manera esquemática los vectores A y B.
PROBLEMA N.° 97
Dados los vectores A = 2 i—j ; B = i+ k ;y C j 1 k. Determine
a) Un vector unitario en la dirección del ven leu A + B -3 C .
b) Un vector perpendicular al plano formado por los vectores B y C.
c) El área del paralelogramo formado por A y B.
De la figura
Proyección 1AR=Acos0
de A sobre B )
De la definición del producto escalar
A-B = ABcos0 = (/4cos0)B
(I)
Resolución
a) Nos piden un vector unitario en la direct iói del vector A + B -3 C , por definición
. ÍA + B - 3 c ) [ i= p r - » - ^ T
A + B -3C0 )
M I
m h r e r a s E d it o r e s
Hallamos A + B -3C
A = 2 i - j
S = /+íc
-3C = - 3 j - 3 k
A+~B-3C = 3 i - 4 j - 2 k
Su módulo
I A + S - 3 c | = V 3 2 + 4 2 + 22
| a + B - 3 c [ = a/ 29 = 5 ,3 9 u
En (I)
. f 3 ¡ - 4 j- 2 k|T = --- -------------------
l 5,39
£ = 0 ,5 6 / '- 0 ,7 4 / -0 ,3 7 ¿
Un vector perpendicular al plano formado por B y C; puede ser su producto vectorial
( s x c ) .
Es decir
/ ’■ ( * ) - ( / - / )
P = - l - j + k
c) Nos piden el área del paralelogramo formado por los vectores A y B, esta resulta ser el mó dulo de su producto vectorial, es decir
| a x s | = | ( - / ) - ( - £ + 2_/')|
área= I A x ¿31 = V i2 + 22 + 12
área = 2,4 u2
PROBLEMA N.° 98
Dados los siguientes vectores A = 3i +2 j +2k;
B = i - 3 j + 4 k ;y C = 2i + 3j —k, determine
a) Si A y 6 son o no perpendiculares.
b) Calcule A - ( s x c ) .
Resolución
a) Para que A y 8 sean perpendiculares se debe verificar que su producto escalar sea cero.
Es decir
A -fi = (3; 2; 2) (1; -3 ; 4)
A-"6 = 3 - 6 + 8 = 5
Por lo tanto, A y 6 no son perpendiculares.
?
r.A n á l i s i s d i m e n s i o n a l y v i t i o h i
b) La única interpretación posible de este producto , denominado producto triple, es que geométricamente representa el volumen del paralelogramo cuyas aristas son los vectores A, B y C .
Es decir
A - ( e x c ) = (3 ;2 ;2 )-SxC (5)
Hallando
S X C
Se tiene
= (3 / + 3fc + 8y ) - ( - 6 k + 1 2 l- j )
£3xC = —9/ + 9y + 9/c
SxC = ( - 9;9;9)
Reemplazamos en (8)
A - ( b x c ) = (3;2;2)-(-9;9; 9)
= -2 7 + 1 8 + 1 8
.'. ~A-(~Bx~C )=9 u3
PROBLEMA N.° 99
Demuestre que los vectores A = 2i + j -4 k , B = i - 3 j +5k, y C = 3 /-2 ; +£ forman un triángulo rectángulo.
Resolución
Hay que demostrar que los vectores forman un triángulo, para lo que se necesita que la iu m iI tante de dos de ellos sea el tercero, o que la i r sultante de los tres sea el vector nulo, como sr ve en las figuras
A + B = C A + B + C ()
De los datos tenemos
A + B = 3 l- 2 j+ k = C ,
con lo que tendremos un triángulo.
En segundo lugar, para que sea rectángulo, rl producto escalar entre dos de ellos debe mu cero.
Consideramos
I. A • £¡ = (2; 1; -4 ) • (1; -3 ; 5)
.'. A -B = - 21u
II. A -C = ( 2; 1 ;-4 )-(3 ;-2 ; 1)
A • C = 0; esto significa que A y C son pri pendiculares.
Por lo tanto, el triángulo será rectángulo.
I UMBRERAS EDITORES
PROBLEMA N .° 100
Usando el producto vectorial, demuestre la ley li' senos.
Resolución
supongamos un triángulo formado por los vec- ores A, B y C, tal como se muestra en la figura
ntonces: A + B + C = 01 Multiplicando vectorialmente por A se tiene
A x A + A xB + A xC = A x()
A x 8 + A xC = 0 (I)
’ Multiplicando vectorialmente por B
B x A + B x B + B x C = B x O
B x A + B x C = 0 (II)
Multiplicando vectorialmente por C
C x A + C x B + C x C = C x 0
C x A + C x B = 0 (III)
De (I)
A x B = C x A
De (II)
~BxA=~CxB
De (III)
C x A = B x C
De donde se tiene
A x B = C x A = B x C
Por definicfón
ABsenQAB j i = ACsen 0AC p, = BCsen 0SC (i
Como tienen la misma dirección (son vectores axiales)
/4Bsen0/,s=C/4sen0c =BCsen0BC
Además sen(18O-0)=sen0
—> ABseny=CAsenP=BCsena
Dividiendo entre A B C tendremos
seny _ senp _ sena C ~ B ~ A
Con lo cual estamos demostrando la ley de senos.
si PROBLEMAS PROPUESTOS
N iv e l b á s ic o
1. Dada la dirección de los vectores que se indican en la figura ¿cuál podría ser la dirección del vector A — 2B -C ?
3. Sean los vectores A y B no nulos, enlom < el vector C = A -B está representado poi
B
A)D)
B) C)E)
A)
D)
B) C)
E) —
Para los vectores u, v y w de la figura,¿cuál de los siguientes vectores representa
—■ - * w mejor al vector u - 2v + —?
4
4. En los casos (I) y (II), el módulo de la tca il tante es de 17 u y 7 u, respectivamente Determine el módulo de la resultante en el caso (III).
A)
D)
B) C)
E)
(I) (II)
------
(III)
A) 6 u B) 7 u C) 13 u
D) 15 u E) 24 u
1 4 '
( i m b r e r a s Ed i t o r e s
i. Calcule el módulo de A - B - C si
6 u A
A) 2u
D) 5u
B) 3u C) 4u
E) 6u
9. Para los vectores mostrados en la figura, l.i opción que mejor representa la dirección del vector x - 7 + Z es
I. Dados los vectores A = (3; 5) y B = (6; 4), determine el módulo de 2A -3B .
A) J 2 9 u B) 8u
D) a /ÍÍ9 u
C) 12 u
E) V Í48u
Dado los vectores A = (3; 4), B = (6;4) y
C = (9;8), determine: | a + 2 B -3 c |. '
A) 12 u B) 12a/ 2 u C) 14 u
D) 14^2 u E) 24 u
I. Para el conjunto de vectores mostrados determine 2A + 3B -C si
2 u
1 u
5 u
A) l u
D) 9 u
B) 3u C) 6 u
E) 12 u
A)
D)
B) C)
E)
10. Del diagrama de vectores mostrados, Indi que cuál de las ecuaciones vectoriales es falsa.
A) a - g - f = 0
B) ~b + h + g = 0
C) i = e + d
D) i + c = h
E) f + e + d - a - b - c = 0
4(>
A n á l is is d im e n s io n a l y v i < m u i ■
11. ¿Cuál de las siguientes opciones es correcta para el diagrama vectorial mostrado?
A) c = a + b
B) c = d + f + g + i
C) c = d + h + i
D) h = i + c + d
E) |o - e + / | = | / + c|
12. A partir del diagrama de vectores adjunto, y dado que |a | = | b | y | c | = |d |, encuentre el vector resultante.
A) A
B) B
C) F
D) D
E) C
B
14. Sobre los lados de un hexágono rcgul.n de lado L se encuentran vectores como se IihIm .i en la figura. La magnitud del vecloi m i i u . i
resultante es
A) L
B) 2L
C) 3¿
D) 4L
E) 6L
Tomado de ia Olimpiada de Física de Colombia d<*l i ) de septiembre de
15. Si se suman los cuatro vectores de l.i ligum la magnitud del vector resultante os
A) 0
B) 1
C) 2
D) 4
E) 8
16. Del sistema de vectores encontrar el vtv i<n resultante.
13. Los vectores mostrados en la figura tienen igual módulo. El módulo del vector resultante es
A) 0
B) 2
C) 5
D) 7
E) 10
Tomado de la Olimpiada de Física de Colombia del 21 de septiembre de 1993
A) C
D) 0
B) 2C C) 3C
E) 26
1 4 /
UMBRERAS EDITORES
7. Halle el módulo de la resultante de los vectores mostrados. ABCD es un rectángulo.
B
20. Determine el módulo de los vectores mos trados.
A) 10 u B) \ o 4 l u C) 20 u
D) 20^2 u E) 30 u
8. Determine la resultante del sistema de vectores que se muestra.
A) e
B) 2e
C) 0
D) -~e
E) - l e
9. En el sistema de vectores que se muestra, determine su resultante.
A) E
D) 0
B) 2E C) B
E) 2B
A) 0
B) 2 a
C) 0V 2
D) 2oV2
E) 4o
N iv e l in t e r m e d io
21. Determine el módulo del vector A, si se sabe que el friódulo del sistema dado es 12 u.
A) 3u
B) 5u
C) 6u
D) 12 u
E) 24 u
22. Exprese X en función de A y fi.
A) (a - 2 b ) /3
C) (a + b ) / 2
D) (a - Í ) / 3
B) (2A + 3B)/4
E) (a + 2b) /3
4H
A n á l is is d im e n s io n a l y v i ( m iu
23. Determine el menor módulo del vectorresultante de los vectores mostrados
(Ia I = 4 u).
A) 2u B) 2-s/íu C) 4>/3u
D) 4 u E) 3a/2 u
24. Dado el paralelogramo ABCD, determine elmódulo del vector resultante.
26. Determine el módulo de la result.m lr dHsistema de vectores mostrado sabiondoque|A| = 13.
A) 12 u
B) 24 u
C) 36 u
D) 48 u
E) 60 u
27. Si la resultante del sistema de vectoic.mostrados es cero, determine el módulode la resultante de A y B.
A) 12 u
B) 18 u
C) 20 u
D) 24 u
E) 30 u
A) 9u
D) 24 u
B) 10 u C) 15 u
E) 24 u
25. El módulo de la resultante máxima de dosvectores es 20 u, y cuando estos forman120° su resultante es 10 u.
¿Cuál será el módulo de la resultante cuandolos vectores formen 74° entre sí?
A) 12 u
B) 15 u
C) 16 u
D) 20 u
E) 24 u
28. Determine el módulo del vector F, si la msultante del sistema mostrado es nula.
A ) 0 ,5V Í3u B ) V Í3 u c ) 2 ^ 1 3 u
D) 4-\/l3 u E) 6a/ Í 3 u
1 4 ‘ 1
Lu m b r e r a s Ed it o r e s
29. En el cubo mostrado, determine el módulo 32. Determine el módulo de la resultante dede la resultante del sistema de vectores. los vectores mostrados.
A) 12 u
D) 48 u
B) 24 u C) 36 u
E) 4-y/38 u
A) 6u B) 8 u C) 10 u
D) 12 u E) 20 u
30. Halle la resultante de los vectores mostrados.
31. Determine X en función de los vectoreso y ó, si 2MN=NP.
A) { a - b ) / 2 B) {2a -b ) /3 C) { a - b ) / 3
D) (a + b) / 3 E) {a + 2b)/3
33. Si el módulo de la fuerza F es 10 N y P es el punto medio de dicho vector, ¿qué módulo tiene la fuerza resultante del sistemamostrado?
^ - A) 5 N
B) 10 N
A) 6 U (—>) B) 7 U (4 ) C) 7,5 U ( t ) C) 15 N
D) 8 U (< -) E) 8 U (-») D) 20 N
E) 0 N
34. Si el vector b tiene un módulo de 5 u, determine el módulo de la resultante del sistema mostrado
A) 5u
B) 12 u
C) 15 u
D) 16 u
E) 20 u
ISO
A n á l is is d im e n s io n a i y v i i m u í
35. Si ABCDEFes un hexágono regular, determine 38. En ei conjunto de vectores que se mur-.ii.i el módulo de la resultante de los vectores o y ó , siendo (|o| = 2u).
A D
A) l u
D) 4 u
B) 2u C) Bu
E) 5u
36. Dados los vectores A yB , halle el módulo de A + B si 1/aI = 5 u y ISI = 2 u-
A) 72 u B) S u C) 3^5 u
D) 2 S u E) S u
37. SI PQRS es un cuadrado y además X = mA + nB, determine m+n.
A) 1
B) 2
C) 2,5
D) 3
E) 0
determine el módulo del vector rnsult.inii-
1 cm
D) l S cm
i ni
E) 4 ( in
39. Halle el módulo del vector resull.ini*- ilH sistema vectorial mostrado
(consldere:BA4= M N = ND).
A) 6 u
D) 12 u
B) 8u C) 10 u
E) 16 u
40. Sobre una estaca se aplican dos fu n /.i
Fl y F2 tal como se Indica, sabiendo i|in |F i¡ = 40N. Determine la mínim.i lucí/, que reemplace al sistema.
A) 16 N
B) 24 N
C) 32 N
D) 40 N
E) 48 N
r ,
UMBRERAS EDITORES
H. Sean los vectores oyfo, tal que a-b = 0, y
\a \ = P¡ \b \ = q Determine E = p r-= n\a — b\
A) 0 B) - 1 C) - 2
D) 1 E) 2
2. Halle un vector A paralelo al vector B = ( - 2; 1; 3), y que además A B = 28.
A) ( -1 ; 2; 3)
B) ( -2 ; 1; -3 )
C) ( -3 ; 2 ;-3 )
D) ( -4 ; 2; 6)
E) (4 ; -2 ;-6 )
3. Un vector A está dirigido a lo largo de la diagonal de un cubo. Calcule el ángulo que este vector forma con su proyección sobre el plano Y-Z.
A) 65°
B) 55°
C) 45°
D) 35°
E) 25°
l. Halle un vector cuyas componentes tengan la misma dirección que el vector 8/+9j+12/c y cuyo módulo sea 51 u.
A) 49/' + 10/+10¿
B) 10Í+10j+A9k
C) 24Í+27/+36/C
D) 30/ + 2iy W l2 6 0 ¿
I) 21í + 3 0 jW l2 6 0 ír
45. Para el gráfico de la figura, determine el vector unitario del vector a + b + c.
A) —(3 /V Í4 )/ —(2 / s/ i a ) } + ( l /V l4 ) £
B) - f - j + k
C) ( i /w í6 ) / - ( 2 /V 6 ) y + ( i /V e ) ^
D) (3 /-\/l7 )/ — (2 / -s/l7)_/ + (2 /y f l7 )k
E) (3 /V Í4 ) / + ( 2 /V Í4 ) 7 - ( l /V l4 ) ¿
46. Si el vector v tiene una dirección tangente a la trayectoria circular, que es paralela al plano X -Y , entonces es cierto que los ángulos directores para esa situación son
Z i
1
a P YA) 30° 0 30°
B) 120° 0 30°
C) 120°
0O00 OOen
D) 30° 60° 90°
E)
OOro 90° 60°
>7
A n á l is is d im e n s io n a l y v i ( m m •.
47. El vector F de la figura se dirige de acuerdo a la diagonal del paralelepípedo. Las componentes ortogonales del vector F son
Zh
5 m
49. Determine el vector que al sumarse .i vectores a y b da una resultante nula.
10 m
A) 1 0 Í+ 5 /+ 10 k A) /■-10/+3/C
B) 200?+100/+50k B) 2Í-E>j+6k
c) 50?+200/+100k C) 5 j+ 6 k
D) NJ O O O o +* NJ O O D)
00IK—s
OY—i
E) 50Í+100/+50/C E) ~ 10 j+3k
48. Para los vectores mostrados en la figura, 50. Determine el vector de la suma F1 i f '.e encuentre al vector que representa a la sabe que Fi =2F i =100 unidades,suma ~ci-~b/2.
yk
i
A) 6 /-9 /+ 1 2 /C A) 7 3 /+ 6 2 .9 /+ 1 0 0 .
B) 3 /'+ 12 /+ 6¿ B) 1 2 3 Í+ 6 2 .9 /-1 5 .6 fc
C) 6 i-9 j+ 4 k C)
'£> Y—11<•—SOyH< +
<oyH
D) 4Í+&J+12k D) 7 3 /+ 6 2 .9 /-1 0 0 .6 ¿
E) 8Í+5/+10/C E) 8 3 Í+ 6 2 .9 /+ 1 0 0 .6 Í
m b r e r a s Ed it o r e s
Dados los vectores L = 2 i-3 j+ 2 k y M = i+ 2 j - k , el vector de módulo 3 u que se encuentra en la dirección del vector ~[+M es
55. SeanlosvectoresP=(2;3;4)yQ = 4 /-2 y + 3 k. Determine el área del paralelogramo que tiene a estos vectores por lados.
A) (3 /V ñ ) (3 i+ j+ k )B) 3i + j -\-k
C) (3 /V Í Í ) (3 i - j + k )D) 3f - j + k
E) i + j+ k
A) 17, 62 m
B) 21, 57 m2
C) 9, 72 m2
D) 31, 72 m2
E) 25, 39 m2
N iv e l a v a n z a d o56. Sean los vectores A = ( l ; - l ; l ) y B=(2;l;-1).
Halle el vector P tal que AxP=B y A P=1.
Halle un vector A que es para lelo a B = ( l; l;-1 )
y AxC=(0;2;2), donde C = (2; 1;-1). A) —( l; - 4 ;-2 ) B) -(2 ; 3; 4) 2
A) (-1 ; 2; 2)
C) V3(2;-2; 1)
D) (-2 ; 2; 2)
B) (2 ;-1 ; 2)
E) 2(—1;—1; 1)
Halle un vector A que es paralelo al vector B=(—2; 1;3); A-8=28 u.
A) (-4 ; 2; 6)
C) (3; 1; 6)
D) (-9 ; 1; -2 )
B) (-2; 2; — 1)
E) (-4 ; 6; 3)
Sea A=(3;l;2). Determine un vector en el plano xy de módulo 2 u y que sea perpendicular al vector A.
A) -v/s (2 / —3/)
<) J E { i - 3 j )
1» f ( h y ) E) f ( í - 3 j )
C) —(2 ;- l;4 )
D) —(1;—2;4) E) —(1;4;2)
57. Halle el ángulo que forman las diagonales de un cubo.
A) sen 1( l/3 )
C) sen“ 1( l/5 )
D) cos_1( l/3 )
B) cos_1( l/5 )
E) cos_1( l/2 )
58. Dados los vectores V = 2i + 3 ,5 j-4 ,2 k y A = A ,S i-2 ,2 j - í ,5 k - Determine el ángulo que forman estos vectores.
A) eos 1( l/5 )
C) cos_1( l/3 )
D) sen_1(l/3 )
B) sen_1( l/4 )
E) eos \ l /4)
I
*A n á l is is d im e n s io n a l y v i < m u i
59. Halle un vector paralelo al vector unitario de la suma de los vectores A = ( l;2 ; -5 ) , B =(2 ;l;-1 ) ■
A) (2;2 ;-4)/V6
B) ( l ; - l ; - 2 ) /V 3
C) ( -2 ;- l;4 ) /V 5
D) ( l;-2 ;3 )/V 3
E) (-2;2;4)/V3
60. Dado los vectores P = 2i + 3j - k y Q = 4 i - 3 j + 2k, encontrar PQ.
A) í - 6 j+ 3 k
B) 3 i+ 6 j+ k
C) 2 i-& j+ 3 k
D) 3 /-6 y -5 /c
E) 2 ¡ - j+ 5 k
61. Sean o y b dos vectores no paralelos. Se tienen los vectores c=(m +n-l)a+ (m +n)b y ~d=(m -n)a+(2m -n+ l)b . Encuentre m y n tal que c= 3 d .
63. Dados a = (1; 1; 1), b = (2; 1; -1 ) y c (2;l>, l),
calcule
a = (o x b) x (b + o x c) • (o + b)
A) -1 3
C) -4 3
D) -4 9
B) -2 3
E) -2 9
64. Sea los vectores Q = (5 ;l;2 ) y V = { l',2 \x), determine el valor de x para que U y V mmm ortogonales.
A) 12,7
C) 7,2
D) 16,5
B) 21,9
E) 14,4
65. Siendo A = (0;2;4), 6 = (3 ;- l;2 ),C (2;0, I) y D = (4;2;0), determine un vector orlogo
nal tanto a AB como a CD .
A) 9/ + j - 1 2 k
C) 13 /'-5 /+12 k
D) 7/+24y+25¿
B) 7i - j l U,k
E) 7i - ¡ i I2A
A) -1 /2 ; 1/2
C) -1 /4 ; 1/4
D) -1 /3 ;-1 /1 2
B) 2 /3 ;-1 /1 2
E) 1 /2 ;-1 /1 2
66. Sean los vectores x = (1; - 5; 2); y = (3; 4; I ), 7 = (6; 3 ;-5 ); w = (2 4 ;-2 6 ;-6 ).Halle a; b y c para que , se cumpla
ox + fay + cz = w
62. Halle m {eR ) tal que a=(m ;~2;1) y b=(2m;m ;-A) son ortogonales.
A) 3 o - 1
C) - 3 o -2
D) 2 o - 1
B) - 2 o 1
E) - 3 o 1
A) o = 3 b = 3 c = 4
D) o = 3 ¿ = -1 c = 2
B) o = 3 b = 2
c = - 2
C) o = 6 b 1 c 4
E) o = 7 b = 4C = • 4
j u r e r a s Ed it o r e s
Dados P = (1; 2; -1 ) y q = (2;1;3), se define el vector U = aP + { l - a ) q , donde a es un real.
Determine el valor de a para que U sea ortogonal al vector V = (1; 2;-2).
70. Se tiene un vector conocido no nulo, A, y uno que se desea determinar, x . Se dan como datos su producto escalar y su producto vectorial por A.
A -x = k y A x x = c. Determine el valor de x.
A) 5/2
D) 2/7
B) 3/2 C) 2/9
E) 11/2
Si o y b son dos vectores no paralelos y se definen c = (2a -3P + l)o + (a + (3 - l)b ;
d = (a + p + 2)(axf)) + 3 (c x f l)/ determine la condición que deben cumplir a y P (e R ) para que se tenga d = 2cxb .
A) 6a=-4(3+3B) 6P=4oc+3C) 3P=2a+3
D) 6a=4P+3
I ) 3 a = 2 P + l
Dados los vectores P = (1; -1 ; 2); Q = (3; 4; 5) y R = ( - 2; 3;-3), calcule la proyección de PxR sobre PxQ.
A)
B)
C)
-1 + c
+ l+ k
Ia I
y jk + C
D) 4 jc - r c ‘
E)
\A\
71. Halle un vector A que sea perpendicular al vector que pasa por los puntos P = (- l; 1; -1), R=(2; 2; 3) y cuyo módulo sea 3u; además sus componentes x e y son ¡guales.
A) ± J ; ± J ; ± J 5
A n á l is is d im e n s io n a l y v i < m m >.
72. Si U y V son dos vectores unitarios y ortogo
nales entre s íy s e tie n e q u e a = 3 U -s j2 V yb = kU + 2^j2 V, calcule el valor de k para que el ángulo a entre los vectores a y b esté dado por a = eos-1 (l / s í l í .).
A)
D)
3±V52
1±V5
B)3±>/3
C)
E)
1±2¡3_2
5±V3
73. Para la figura que se muestra, determine el menor ángulo que forman el plano sombreado y el plano x -y .
A) 71,2°
D) 34,7°
B) 58,6° C) 61,9°
E) 68,7°
74. En la figura se muestra, un cubo de lado 4 u, determine un vector perpendicular al plano sombreado.
A) 1 2 /+ llír
B) Í2 i+ 12k
C) 1 6 /'-8 /
D) & i-8 k
E) - (16Í+16k)
75. A partir de la figura determine el .Higuln sombreado (en forma aproximada)
A) 45°
D) 74°
B) 53° C) 60°
E) 90°
76. Con los vectores A = (2/ + 6y +3fc)cm y ~B = (3 ¡+ 4 j+ 8k)cm se forma el triángulo mostrado en la figura. ¿Cuál es el valor dr la altura b?
A) 5,4 cm B) 6,2 cm C) 7,8 un
D) 8,2 cm E) 9,7 m i
I ' . /
Claues
básico20
term edi°j
L 51 .J f f
i\mtu<wAo ji
) 76 ii
1 E 20 A 39 B 58 E
2 A 21 C 40 C 59 A
3 B 22 E 41 D 60 C
4 C 23 B 42 D 61 B
5 D 24 C 43 D 62 D
6 E 25 C 44 C 63 A
7 B 26 C* ■
45 A 64 D
8 C 27 D 46 D 65 E
9 D 28 C 47 A 66 C
10 E 29 A 48 C 67 C
11 E 30 C 49 E 68 D
12 B 31 C 50 C 69 C
13 A 32 C 51 C 70 D
14 D 33 B 52 D 71 E
15 D 34 E 53 A 72 A
16 C 35 B 54 E 73 E
17 B 36 C 55 E 74 E
18 D 37 E 56 A 75 C
19 D 38 C 57 D 76 A
B ib l io g r a f ía
CALDERÓN, Ángel. Física para bachillerato. Segunda edición ampliada. Costa Rica, 1989.
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