franka miriam bruckler -...

Kina Indija Grcka

Povijest matematike

Franka Miriam Bruckler

PMF-MO, Zagreb

Ozujak 2018.

Kina (2. dio), Indija i jonsko razdoblje grcke matematike

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Teorija brojeva

Sunzi Suanjing (3., 4. ili 5. st.): Kineski teorem o ostatcima :

”Prebroji po 3, ostanu 2; prebroji po 5, ostane 3; prebroji po

7, ostane 2. Koliko je toga?” (opisuje i rjesenje koje je uosnovi suvremena metoda, za razlicite ostatke, ali samomodulo 3, 5 i 7)

u 13. st. Qiu Jiushao (ca. 1202–1261) opisuje opci slucaj usvom djelu Devet knjiga o matematici (Shushu jiuzhang,1247)

u Devet poglavlja Zadatak 100 ptica: Ako jedan pijevac kosta5 novcica, jedna kokos 3, a tri pilica zajeno 1, koliko pijevaca,kokosi i pilica se moze kupiti za 100 novcica ako treba kupitiukupno 100 ptica?


Povijest matematike

http://www.math.uniri.hr/~ajurasic/trece%20predavanje1.pdf

Kina Indija Grcka

Iterativne metode za rjesavanje jednadzbi

Zhoubi suanjing (Aritmetika Zhou-gnomona): metoda zaracunanje

√x ; kasnije poopcena na 3

√x : u Devet poglavlja

tijekom prvog tisucljeca te su metode poopcene na iterativnemetode rjesavanja kubnih jednadzbivrhunac: Qui Jiushao i njegovih Devet knjiga o matematici –rjesava polinomijalne jednadzbe proizvoljnog stupnjametodom tianyuan koja je u osnovi Hornerov algoritam

Starokineski izracun√

55225

Ocito je b√

55225c troznamenkasti broj (abc),tj. 55225 = (100a + 10b + c)2.

55225 = 10000a2 + 100(20a + b)b + (20(10a + b) + c) c ⇒ a = 215225 = 100(40 + b)b + (20(20 + b) + c) c ⇒ b = 3

2325 = (460 + c) c ⇒ c = 5⇒√

55225 = 235.


Povijest matematike

Kina Indija Grcka







55225

Ocito je b√

55225c troznamenkasti broj (abc),tj. 55225 = (100a + 10b + c)2.55225 = 10000a2 + 100(20a + b)b + (20(10a + b) + c) c ⇒ a = 2

15225 = 100(40 + b)b + (20(20 + b) + c) c ⇒ b = 3

2325 = (460 + c) c ⇒ c = 5⇒√

55225 = 235.


Povijest matematike

Kina Indija Grcka







55225

Ocito je b√

55225c troznamenkasti broj (abc),tj. 55225 = (100a + 10b + c)2.55225 = 10000a2 + 100(20a + b)b + (20(10a + b) + c) c ⇒ a = 215225 = 100(40 + b)b + (20(20 + b) + c) c ⇒ b = 3

2325 = (460 + c) c ⇒ c = 5⇒√

55225 = 235.


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Linearna interpolacija

Zadatak iz 7. knjige Devet poglavlja

Imamo zid, debel 5 stopa. Dva stakora se probijaju kroz njeg jedanprema drugom. Pritom veliki stakor prvi dan probije 1 stopu; i malistakor prvi dan probije 1 stopu. Veliki stakor dalje svaki dan prokopadvostruko od prethodnog dana, a mali upola manje nego prethodnogdana. Nakon koliko dana ce se sresti i koliko je koji prokopao?Odgovor kaze: 2 2

17 dana treba. Veliki stakor prokopa 3 stope i 4 1217 palca.

Mali stakor prokopa 1 stopu i 5 517 palaca.

Vrijeme (u danima)

Udaljenost (u stopama)

0 1 2 30

1

2

3

4

5

G

K

Rjesenje


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Sustavi linearnih jednadzbi: Metoda fang-cheng

Zadatak iz 8. knjige Devet poglavlja

Iz tri snopa dobrog zita, dva snopa srednjeg i jednog snopa loseg zitadobije se prinos 39 tou.Iz dva snopa dobrog zita, tri snopa srednjeg i jednog snopa loseg zitadobije se prinos 34 tou.Iz jednog snopa dobrog zita, dva snopa srednjeg i tri snopa loseg zitadobije se prinos 26 tou.Koliki je prinos po jednog snopa dobrog, srednjeg i loseg zita?

1 2 3

2 3 2

3 1 1

26 34 39

3

4 5 2

8 1 1

39 24 39

3

5 2

36 1 1

99 24 39

Rjesenje je 9936 = 2 3

4 tou za lose, (24− 1 · 2 34 ) : 5 = 4 1

4 tou za srednje i(39− 1 · 2 3

4 − 2 · 4 14 ) : 3 = 9 1

4 tou za dobro zito.Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Malo indijske povijesti

u 3. tisucljecu pr. Kr. gradske civilizacije oko rijeke Ind (MohendaDara, Harappa) — decimalni sustav mjera, astronomija

iza 1500. pr. Kr. indoarijski doseljenici

1200.–500.: razdoblje veda (druga datiranja: 1500.–800.), prvedrzave, veliki brojevi

oko 600. pr. Kr.: sanskrt (jezik brahmana)

u to doba nastaju pravila za oltare (pocetak geometrije)

oko 500. pr. Kr.: budizam, jainizam, hinduizam

327.–325. Aleksandar Veliki na Indu

322.–184. dinastija Maurya

nakon 184. pr. Kr. helenisticki utjecaj

320.–544. dinastija Gupta: vrhunac indijske civilizacije

5.–12. st.: razne dinastije u malim drzavama; vrhunac indijskematematike


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Ugrubo se staroindijska matematika moze podijeliti na dvarazdoblja:

1 Doba Sulb(v)asutra (”pravila konopa”) — ca. 8.–5. st. pr. Kr.

2 Doba procvata matematike (5.–12. st.)

Glavne karakteristike indijske matematike: prakticna orijentacija,uglavnom iskustvena — razvoj matematickih postupaka (ganita —znanost o racunanju), nema dokaza, ravnopravnost racionalnih iiracionalnih brojeva

Najvazniji indijski doprinos matematici: decimalni pozicijski sustavs nulom. Razvio se postepeno iz brahmanskih brojki (odca. 3. st. pr. Kr.).


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Ugrubo se staroindijska matematika moze podijeliti na dvarazdoblja:

1 Doba Sulb(v)asutra (”pravila konopa”) — ca. 8.–5. st. pr. Kr.

2 Doba procvata matematike (5.–12. st.)

Glavne karakteristike indijske matematike: prakticna orijentacija,uglavnom iskustvena — razvoj matematickih postupaka (ganita —znanost o racunanju), nema dokaza, ravnopravnost racionalnih iiracionalnih brojevaNajvazniji indijski doprinos matematici: decimalni pozicijski sustavs nulom. Razvio se postepeno iz brahmanskih brojki (odca. 3. st. pr. Kr.).


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Koristeni su i alfasilabicki sustavi: slicno alfabetskim sustavima —slova predstavljaju slogove (tocnije: suglasnici s dijakritickimznakovima za slogove).

Nula kao broj se pojavljuje najkasnije u 7. st.: kmerski natpis

(Sambor, 683.). Najveci indijski matematicar tog doba,Brahmagupta (598–ca. 670), nulu definira kao rezultat oduzimanjabroja od sebe. Kod njega se moze naci i opis pravila za racunanje(+, −, ·, :) s pozitivnim i negativnim brojevima te nulom.1

Negativni brojevi su vjerojatno bili poznati nekoliko stoljeca ranije.Nulu indijci nazivaju sunya, sto znaci praznina. U arapskomprijevodu to je sifr, sto je u latiniziranoj verziji dalo pojam cifre.S vremenom se brahmanski brojevni sustav preoblikovao upozicijski.

1Iznimka u ispravnosti je dijeljenje s nulom: kod njega je 0 : 0 = 0, adozvoljava i razlomke oblika m/0.


Povijest matematike

http://nickythump.s3.amazonaws.com/blog/wp-content/uploads/2015/05/29235747/wpid-wp-1430558172916.jpeg

Kina Indija Grcka




Negativni brojevi su vjerojatno bili poznati nekoliko stoljeca ranije.

Nulu indijci nazivaju sunya, sto znaci praznina. U arapskomprijevodu to je sifr, sto je u latiniziranoj verziji dalo pojam cifre.S vremenom se brahmanski brojevni sustav preoblikovao upozicijski.



Povijest matematike


Kina Indija Grcka




Negativni brojevi su vjerojatno bili poznati nekoliko stoljeca ranije.Nulu indijci nazivaju sunya, sto znaci praznina. U arapskomprijevodu to je sifr, sto je u latiniziranoj verziji dalo pojam cifre.S vremenom se brahmanski brojevni sustav preoblikovao upozicijski.



Povijest matematike


Kina Indija Grcka

Prvo poznato koristenje posebnih simbola za decimalne znamenkeukljucivo simbola za znamenku nula (mali krug) je na kamenom

natpisu u hramu u Gwalioru (876.). U to doba: Gupta- iNagari-znamenke:

Indijci su razvili efikasne algoritme za racunanje u dekadskompozicijskom sustavu. Cini se da je najstariji spis koji ih opisujerukopis Bakhshali koji se datira izmedu 2. st. pr. Kr. i 12. st. n. e.

U svakom slucaju se opis pravila racunanja s prirodnim brojevima irazlomcima moze naci kod Mahavıre (9. st.). On je bio autorprvog indijskog samo matematici posvecenog teksta. Prviznameniti matematicar koji korektno opisuje sva ta pravila jeBhaskara II (1114–ca. 1185). Kod njega dijeljenje s nulom kaorezultat daje beskonacno.


Povijest matematike

http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-india-zero

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Diagrams/Indian_num_2.gif

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/64/Bakhshali_numerals_1.jpg

Kina Indija Grcka

Prvo poznato koristenje posebnih simbola za decimalne znamenkeukljucivo simbola za znamenku nula (mali krug) je na kamenom

natpisu u hramu u Gwalioru (876.). U to doba: Gupta- iNagari-znamenke:

Indijci su razvili efikasne algoritme za racunanje u dekadskompozicijskom sustavu. Cini se da je najstariji spis koji ih opisujerukopis Bakhshali koji se datira izmedu 2. st. pr. Kr. i 12. st. n. e.

U svakom slucaju se opis pravila racunanja s prirodnim brojevima irazlomcima moze naci kod Mahavıre (9. st.). On je bio autorprvog indijskog samo matematici posvecenog teksta. Prviznameniti matematicar koji korektno opisuje sva ta pravila jeBhaskara II (1114–ca. 1185). Kod njega dijeljenje s nulom kaorezultat daje beskonacno.Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-india-zero

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Diagrams/Indian_num_2.gif

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/64/Bakhshali_numerals_1.jpg

Kina Indija Grcka

Sulvasutre

”Pravila konopa”

dodatci vedskim tekstovima, opisuju mjerenja i konstrukcijevezane za izgradnju hramova i oltaraelementarna geometrija: povrsine i volumeni, Pitagorinpoucak, . . .npr. u Baudhayana sulvasutri (ca. 800. pr. Kr.) Konoprastegnut preko dijagonale kvadrata daje povrsinu dvostrukupovrsini polaznog kvadrata.sva pravila su dana bez dokazaegzaktne i aproksimativne konstrukcije (no nigdje se ne isticerazlika)razlicite procjene povrsine kruga (najcesce se uzima 13

15promjera kao stranica kvadrata (sto odgovara ne bas dobrojaproksimaciji π ≈ 3, 00444).


Povijest matematike

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Indian_sulbasutras.html

Kina Indija Grcka

Aryabhata I (ili stariji, ca. 476–550)

Prvi poimence poznat indijski matematicar.

Aryabhatıya: astronomsko djelo, u stihovima, sadrzi tada uIndiji poznate matematicke rezultate bez dokaza

aritmetika i algebra, sferna i ravninska trigonometrija

Dodaj 4 k 100, pomnozi s 8 i svemu dodaj 62000. To sto sidobio je priblizna duljina opsega kruga s promjerom 20000(π ≈ 3,1416), na drugom mjestu π ≈

√10.

koliko je poznato prva tablica sinusa (polutetiva), kosinusa isinus versus-a (r − cosφ) (neki autori spominju jedan nestostariji rukopis nepoznatog autora kao prvu pojavu sinusa)


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Trigonometrija

Vidimo: indijski su se matematicari odmakli od starogrckog racunatetiva na jednostavniji racun polutetiva, tj. sinusa. Moze se reci damoderna trigonometrija potjece iz Indije.Oko 500. g. vec se pojavljuju pravila ekvivalentna mnogim vaznimtrigonometrijskim formulama.U 10. st. se vec sinusi i kosinusi gledaju u sva cetiri kvadranta.Ipak, indijska trigonometrija nije postala sustavna disciplina, negose radilo o rjesavanju pojedinacnih problema.

Zanimljivost

U sanskrtu se sinus (polutetiva) nazivao bhuya jya, tj. tetiva,skraceno jya jia. Arapi su taj izraz modificirali u giba, koji je kasnijepostao gaib: prsa, izrez na haljini, izdignuce. Pri prijevodu jednogarapskog djela je Robert iz Chestera 1154. na odgovarajucemmjestu upotrijebio latinski izraz sinus (zaobljenost, uvala, prsa).


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Teorija brojeva

pojavljuje se”razbacano” u razlicitim djelima

u Sulvasutrama: pitagorejske trojke (5, 12, 13), (12, 16, 20),(8, 15, 17), (15, 20, 25), (12, 35, 37), (15, 36, 39),

(2 1

2 , 6, 612

),(

7 12 , 10, 12 1

2

)u klasicno doba: diofantske jednadzbe

posebno: Pellova jednadzba nx2 + 1 = y 2 (ime nosi poengleskom matematicaru iz 17. st. John-u Pell-u

u 7. st. je Brahmagupta otkrio Brahmaguptin identitet

(a2 + nb2)(c2 + nd2) = (ac ∓ nbd)2 + n(ad ± bc)2

i koristio ga za zakljucivanje o rjesenjima Pellove jednadzbe,dobio je npr. tri rjesenja (9, 82), (1476, 13.447),(242.055, 2.205.226) jednadzbe 83x2 − 2 = y 2


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Brahmagupta (598.–670.)

Najveci indijski matematicar svog doba.

Brahmaguptin teorem: u tetivnom cetverokutu s okomitimdijagonalama visine iz sjecista dijagonala na pojedine straniceprepolavljaju njima nasuprotne.

Brahmaguptina formula: poopcenje Heronove formule natetivne cetverokute; P =

√(s − a)(s − b)(s − c)(s − d).

Jedna od prvih pojava kvadratne interpolacije (slicna u gotovoisto vrijeme i u kineskog astronoma Liu Zhou-a):

f (a + xt) = f (a) +x

2(f (a + t)− f (a− t)) +

+x2

2(f (a + t)− 2f (a) + f (a− t))


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Iterativne metode

Kao i Kinezi, i Indijci su razvili metode racunanja korijena, vecinomtemeljene na binomnoj formuli: ako je x = y 2 (x = y 3) i imamoprvu procjenu a za y , onda je y = a + b i x − a2 = 2ab + b2

(x − a3 = 3a2b + 3ab2 + b3), pa se to moze slicno kao i ustarokineskoj metodi iskoristiti za odredivanje b.

Poznata je i

Staroindijska metoda za rjesavanje f (x) = x2 − N = 0

Radi se o ranoj verziji Newtonove metode. Neka je prva procjenarjesenja α (α2 ≤ N, x = α + y). Iz f (α + y) = 0 dobijemo

y =−f (α)

2α + y=

N − α2

2α + y≈ N − α2

2α.


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Iterativne metode

Kao i Kinezi, i Indijci su razvili metode racunanja korijena, vecinomtemeljene na binomnoj formuli: ako je x = y 2 (x = y 3) i imamoprvu procjenu a za y , onda je y = a + b i x − a2 = 2ab + b2

(x − a3 = 3a2b + 3ab2 + b3), pa se to moze slicno kao i ustarokineskoj metodi iskoristiti za odredivanje b. Poznata je i

Staroindijska metoda za rjesavanje f (x) = x2 − N = 0

Radi se o ranoj verziji Newtonove metode. Neka je prva procjenarjesenja α (α2 ≤ N, x = α + y). Iz f (α + y) = 0 dobijemo

y =−f (α)

2α + y=

N − α2

2α + y≈ N − α2

2α.


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Postupak je dakle: Iz trenutne vrijednosti α gornja procjena dajey = N−α2

2α (gledamo samo do prve nenul znamenke). Provjerimo jeli (α + y)2 ≤ N, ako nije, smanjujemo tu prvu nenul znamenku ody . Novi α je stari α plus taj y .

Primjer

x =√

2 : α = 1

(α + y)2 = α + (2 + y)y = 2⇒ y =2− α2

2 + y≈ 2− α2

2

Za α = 1 to daje y = 0,5, no 1 + 0,5 = 1,5 je prevelik, dakle jenovi α = 1,4.

Sad je

y ≈ 2− 1,42

2= 0,01 . . . ,

dakle y = 0,01 i novi α postaje 1,41 . . .


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Postupak je dakle: Iz trenutne vrijednosti α gornja procjena dajey = N−α2

2α (gledamo samo do prve nenul znamenke). Provjerimo jeli (α + y)2 ≤ N, ako nije, smanjujemo tu prvu nenul znamenku ody . Novi α je stari α plus taj y .

Primjer

x =√

2 : α = 1

(α + y)2 = α + (2 + y)y = 2⇒ y =2− α2

2 + y≈ 2− α2

2

Za α = 1 to daje y = 0,5, no 1 + 0,5 = 1,5 je prevelik, dakle jenovi α = 1,4. Sad je

y ≈ 2− 1,42

2= 0,01 . . . ,

dakle y = 0,01 i novi α postaje 1,41 . . .


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Bhaskara II (1114-1185)

Najveci matematicar klasicnog indijskog razdoblja.Dva cisto matematicka djela: Lilavati (? utjeha kceri ?) iBijaganitaZnao je da primjerice jednadzba x2 = 9 ima dva rjesenja.Opisao racun u decimalnom pozicijskom sistemu.Poznavao je adicijski teorem za sinus.Dalje razvio Brahmaguptine metode za Pellovu jednadzbu teje otkrio jedan algoritam za racunanje njenih rjesenja(”ciklicka metoda”)

Siddhanta-siroman. i : rjesenje(x , y) = (226.153.980, 1.766.319.049) jednadzbe61x2 + 1 = y 2

U Lilavati se vidi da su mu bila poznata pravila za racunanjekombinacija i permutacija.


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Primjer

Kako naci broj mogucih rasporeda otvorenih i zatvorenih vrata uzgradi s 8 vrata?

Koliko varijacija boga Sambhu-a se dobije rasporedivanjem 10atributa u njegovih 10 ruku?

Opcenito, stari Indijci su od najranijih vremena imali interes zavelike brojeve. Najkasnije u 6. st. pr. Kr. bave se i prebrajanjemrazlicitih rasporeda. Tada je Sushruta u jednom tekstu nabrojiomoguce okuse koji nastaju iz 6 osnovnih (slatko, kiselo, slano,ljuto, gorko, trpko).Tekst Brhatsamhita iz 6. st.: kako dobiti mirise mijesanjem 4 od16 sastojaka u razlicitim omjerima? Navodi se 1820 mogucnostiodabira 4 od 16 sastojaka.


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Primjer

Kako naci broj mogucih rasporeda otvorenih i zatvorenih vrata uzgradi s 8 vrata?Koliko varijacija boga Sambhu-a se dobije rasporedivanjem 10atributa u njegovih 10 ruku?

Opcenito, stari Indijci su od najranijih vremena imali interes zavelike brojeve. Najkasnije u 6. st. pr. Kr. bave se i prebrajanjemrazlicitih rasporeda. Tada je Sushruta u jednom tekstu nabrojiomoguce okuse koji nastaju iz 6 osnovnih (slatko, kiselo, slano,ljuto, gorko, trpko).

Tekst Brhatsamhita iz 6. st.: kako dobiti mirise mijesanjem 4 od16 sastojaka u razlicitim omjerima? Navodi se 1820 mogucnostiodabira 4 od 16 sastojaka.


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Primjer

Kako naci broj mogucih rasporeda otvorenih i zatvorenih vrata uzgradi s 8 vrata?Koliko varijacija boga Sambhu-a se dobije rasporedivanjem 10atributa u njegovih 10 ruku?

Opcenito, stari Indijci su od najranijih vremena imali interes zavelike brojeve. Najkasnije u 6. st. pr. Kr. bave se i prebrajanjemrazlicitih rasporeda. Tada je Sushruta u jednom tekstu nabrojiomoguce okuse koji nastaju iz 6 osnovnih (slatko, kiselo, slano,ljuto, gorko, trpko).Tekst Brhatsamhita iz 6. st.: kako dobiti mirise mijesanjem 4 od16 sastojaka u razlicitim omjerima? Navodi se 1820 mogucnostiodabira 4 od 16 sastojaka.


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Izvori i opcenito

Pocetak razvoja: Mala Azija, jonski gradovi drzave(8./7. st. pr. Kr.) – poceci znanstvenog razmisljanja

Grci su od Fenicana preuzeli ideju alfabeta.

Tri perioda starogrcke matematike: jonski (do ca. pocetka5. st. pr. Kr.), atenski (do ca. sredine 4. st. pr. Kr.) tehelenisticki (do kraja antike), kojeg dijelimo na klasicni (dobitke kod Akcija 31. pr. Kr.) i postklasicni

najpoznatiji sekundarni izvor: Proklovi komentari EuklidovihElemenata (5. st.)

za jonski period nije sacuvan nikoji originalni izvor, no u to jedoba matematika postala znanost u kojoj se tvrdnje dokazujulogickim putem


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Tales iz Mileta

Prvi poimence poznati matematicar u povijesti je filozof,znanstvenik i inzinjer Tales iz Mileta (oko 624–527. pr.Kr.).Nijedno njegovo djelo nije opstalo i ne zna se je li uopce ista pisao.Prema Proklu, Tales je iz Egipta prenio geometrijska znanja uGrcku. Tradicionalno se navodi, ali to nije pouzdano, da je Talesprvi koji je svoje matematicke tvrdnje i dokazivao.

Po Talesu se nazivaju koja dva teorema?

Teorem

Talesov poucak U svakom krugu je obodni kut nad svakimpromjerom pravi.

Teorem su u kombinaciji s Pitagorinim koristili jos Babilonci.Dokaz mu se nalazi u Elementima ( EEIII31 ):


Povijest matematike

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Thales.html

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIII/propIII31.html

Kina Indija Grcka

Tales iz Mileta

Prvi poimence poznati matematicar u povijesti je filozof,znanstvenik i inzinjer Tales iz Mileta (oko 624–527. pr.Kr.).Nijedno njegovo djelo nije opstalo i ne zna se je li uopce ista pisao.Prema Proklu, Tales je iz Egipta prenio geometrijska znanja uGrcku. Tradicionalno se navodi, ali to nije pouzdano, da je Talesprvi koji je svoje matematicke tvrdnje i dokazivao.Po Talesu se nazivaju koja dva teorema?

Teorem

Talesov poucak U svakom krugu je obodni kut nad svakimpromjerom pravi.

Teorem su u kombinaciji s Pitagorinim koristili jos Babilonci.Dokaz mu se nalazi u Elementima ( EEIII31 ):


Povijest matematike

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Thales.html

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIII/propIII31.html

Kina Indija Grcka

A B

C

D

M

∠DCB = ∠CAB + ∠CBA, ∠MAC = ∠MCA, ∠MCB = ∠MBC⇒ ∠ACB = ∠DCB.

Talesovi poucci o proporcionalnosti: Pripisani su mu zbog legendeo odredivanju visine piramide.Oba navedena teorema pripisani su mu temeljem opisa DiogeneseLaertiusa (2. st.) u biografiji Talesa.


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Proklo pak Talesu pripisuje sljedeca cetiri teorema:

1 Svaki dijametar raspolavlja krug.

2 Kutevi uz osnovicu jednakokracnog trokuta su jednaki.

3 Vrsni kutevi su jednaki.

4 KSK-teorem o sukladnosti trokuta.

U oba slucaja postoje rasprave o smislu tvrdnji.Empirijski ili dokazano?


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Starogrcka aritmetika

arithmos (α′ριθµo ′ς), broj;

u starogrckom smislu brojevi su iskljucivo prirodni brojevi(izuzev broja

”jedan”, koji je izvor svih brojeva);

dvije vrste aritmetike: prakticna (logistika) i teorijska (”prava”

aritmetika);

za logistiku se u jonsko doba (do ca. 400. pr. Kr.) kaopomocna sredstva koriste kamencici i prsti;

teorijska aritmetika moze se smatrati zacetkom teorije brojeva.

Brojevni sustavi:

jonski period: akrofonski (aticki) brojevni sustav

1 5 10 50 100 500 1000 5000 10.000 50.000


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Pitagorejci

Pitagora iz Samosa (ca. 569–475 pr. Kr.)

O zivotu Pitagore sa Samosa se jako malo pouzdano zna. Cak nije

sigurno je li ikoji od njemu pripisanih teorema sam otkrio i/ili dokazao.Kao dijete je putovao s ocem trgovcem po Sredozemlju. Bio je dobroobrazovan. Na njega su jako utjecali Tales i ucenik mu Anaksimandar.Smatra se da je bas Tales potakao Pitagorin interes za matematiku. Oko535. pr. Kr. otputovao je u Egipat. Obicaji egipatskog svecenstva suimali jaki utjecaj na kasniju pitagorejsku skolu. Nakon sto su Perzijanci525. pr. Kr. osvojili Egipat, cini se da je Pitagora oko 5 g. proveo uperzijskom zatocenistvu. Oko 520. se vratio na Samos i tamo osnovaoskolu

”polukrug”.

Iz ne pouzdano poznatih razloga (vj. vjerske i filozofske nesuglasice) iseliose oko 518. u Kroton u juznoj Italiji i tamo osnovao pitagorejsku skolu.To je bila dijelom tajna zajednica pa mnogi podaci o njoj nisu pouzdani.Oko 508. je zbog politicko-ratnih sukoba u kojima su sudjelovalipitagorejci pobjegao u Metapont i vjerojatno ondje umro.


Povijest matematike

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Pythagoras.html

Kina Indija Grcka

Pitagorejci

Starogrcki pojam broja

Pitagorejci su prvi razvijali teorijsku (sprekulativnu) aritmetiku.Prema pitagorejskoj filozofiji bit svijeta je u harmoniji brojeva:prirodnih brojeva.

Razlomci nisu brojevi, nego omjeri dvaju brojeva (iako su uprakticnoj aritmetici koristeni).Pitagorejci su prvi koji brojeve gledaju kao samostalne objekte.Pridavana su im misticna znacenja, ali su dokazani i prvi rezultati onjima.Klasificirali su ihna parne i neparne brojeve: parni se mogupodijeliti na dva jednaka broja, a neparnima pri dijeljenju popolapreostaje jedinica.2 Pitagorejski rezultati o parnim i neparnimbrojevima nalaze se u EEIX.

2Jedinica ili monada (monos) nije broj, nego osnova svih brojeva. Tako udrugoj definiciji EEVII: Broj je skup jedinica.


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Pitagorejci

Starogrcki pojam broja

Pitagorejci su prvi razvijali teorijsku (sprekulativnu) aritmetiku.Prema pitagorejskoj filozofiji bit svijeta je u harmoniji brojeva:prirodnih brojeva.Razlomci nisu brojevi, nego omjeri dvaju brojeva (iako su uprakticnoj aritmetici koristeni).Pitagorejci su prvi koji brojeve gledaju kao samostalne objekte.Pridavana su im misticna znacenja, ali su dokazani i prvi rezultati onjima.Klasificirali su ihna parne i neparne brojeve: parni se mogupodijeliti na dva jednaka broja, a neparnima pri dijeljenju popolapreostaje jedinica.2 Pitagorejski rezultati o parnim i neparnimbrojevima nalaze se u EEIX.

2Jedinica ili monada (monos) nije broj, nego osnova svih brojeva. Tako udrugoj definiciji EEVII: Broj je skup jedinica.


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Pitagorejci

Pitagorejske klasifikacije brojeva

pravcasti i ravninski (prosti i slozeni),

savrseni i prijateljski,

figurativni brojevi : trokutasti, kvadratni, pravokutni,peterokutni, sesterokutni brojevi,

kubicni, piramidalni, tetraedralni brojevi, . . .


Povijest matematike

http://mathworld.wolfram.com/FigurateNumber.html

Kina Indija Grcka

Pitagorejci

Teorem ( EEIX36 )

Ako je p = 2m − 1 prost broj, onda je n = 2m−1p savrsen.

Dokaz (suvremeni, prilagodeni): p = 2m − 1 = 1 + 2 + . . . 2m−1.Neka je on prost. Euklid je znao da su jedini djeljitelji potencijeprostog broja manje potencije tog prostog broja, dakle jedinidjelitelji od 2m−1 su 1, 2, . . . , 2m−1. Iz tog slijedi da su jedinidjelitelji od n = p2m−1 upravo oni te njihovi umnosci s p. Stoga jezbroj svih djelitelja od n (bez njega) jednak

1 + 2 + 22 + . . .+ 2m−1 + p + 2p + 22p + . . .+ 2m−2p =

= (1+p)(1+2+. . .+2m−1)−n = (1+p)(2m−1)−n = (1+p)p−n = n

Obrat (da ne postoje drugi parni savrseni brojevi osim onih gornjegoblika) je pokazao tek Euler u 18. st.


Povijest matematike

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX36.html

Kina Indija Grcka

Pitagorejci

Pitagorejske trojke

Pitagorejska trojka je uredena trojka prirodnih brojeva takva da jezbroj kvadrata prva dva od njih jednaka kvadratu treceg.Primitivna je ako su joj clanovi relativno prosti.Pitagorejskih trojki ima beskonacno mnogo: Za svaki n ∈ N brojevi2n, n2 − 1 i n2 + 1 cine pitagorejsku trojku.

Teorem ( EEX29 ,lema)

Za svaka dva relativno prosta prirodna broja m > n, koji nisu obaneparni, je (2mn,m2 − n2,m2 + n2) primitivna pitagorejska trojka iobrnuto, za svaku primitivnu pitagorejsku trojku (a, b, c) postojedva relativno prosta prirodna broja m i n, koji nisu oba neparni,takvi da je (a, b, c) = (2mn,m2 − n2,m2 + n2).


Povijest matematike

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookX/propX29.html

Kina Indija Grcka

Pitagorejci

Iracionalnost

Cesto se KRIVO kaze: Pitagorejci su otkrili iracionalne brojeve.

Pitagorejci su smatrali da se cijeli svijet moze opisati prirodnimbrojevima. Posebno je to znacilo da im je osnovno uvjerenje bilo:Svake dvije istovrsne velicine su sumjerljive.Kako to suvremeno formulirati?Neki pitagorejac (navodno: Hipasus iz Metaponta oko450. g. pr. Kr.) je dokazao:

Teorem

Dijagonala kvadrata nije sumjerljiva njegovoj stranici.


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Pitagorejci

Iracionalnost

Cesto se KRIVO kaze: Pitagorejci su otkrili iracionalne brojeve.Pitagorejci su smatrali da se cijeli svijet moze opisati prirodnimbrojevima. Posebno je to znacilo da im je osnovno uvjerenje bilo:Svake dvije istovrsne velicine su sumjerljive.

Kako to suvremeno formulirati?Neki pitagorejac (navodno: Hipasus iz Metaponta oko450. g. pr. Kr.) je dokazao:

Teorem



Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Pitagorejci

Iracionalnost

Cesto se KRIVO kaze: Pitagorejci su otkrili iracionalne brojeve.Pitagorejci su smatrali da se cijeli svijet moze opisati prirodnimbrojevima. Posebno je to znacilo da im je osnovno uvjerenje bilo:Svake dvije istovrsne velicine su sumjerljive.Kako to suvremeno formulirati?

Neki pitagorejac (navodno: Hipasus iz Metaponta oko450. g. pr. Kr.) je dokazao:

Teorem



Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Pitagorejci

Iracionalnost

Cesto se KRIVO kaze: Pitagorejci su otkrili iracionalne brojeve.Pitagorejci su smatrali da se cijeli svijet moze opisati prirodnimbrojevima. Posebno je to znacilo da im je osnovno uvjerenje bilo:Svake dvije istovrsne velicine su sumjerljive.Kako to suvremeno formulirati?Neki pitagorejac (navodno: Hipasus iz Metaponta oko450. g. pr. Kr.) je dokazao:

Teorem



Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Pitagorejci

Omjer zlatnog reza

Zapravo, mozda je otkrice nesumjerljivih velicina vezano za omjerzlatnog reza.

A BE

CD

F

d

d2

d2

x

Pitagorejci su uocili: Dijagonala pravilnog peterokuta se premavecem dijelu iste odnosi kao taj prema manjem.

a : x = x : (a− x).

Mnogi pitagorejski rezultati, kako iz teorijske aritmetike, tako i izgeometrije, sacuvani su unutar Euklidovih Elemenata, primjerice


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Pitagorejci

Omjer zlatnog reza

Zapravo, mozda je otkrice nesumjerljivih velicina vezano za omjerzlatnog reza.

A BE

CD

F

d

d2

d2

x

Pitagorejci su uocili: Dijagonala pravilnog peterokuta se premavecem dijelu iste odnosi kao taj prema manjem.

a : x = x : (a− x).

Mnogi pitagorejski rezultati, kako iz teorijske aritmetike, tako i izgeometrije, sacuvani su unutar Euklidovih Elemenata, primjericeFranka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Pitagorejci

Teorem (EEI32)

U svakom trokutu je svaki vanjski kut jednak zbroju dvama njemunesusjednih unutrasnjih kutova, a zbroj sva tri unutrasnja kutajednak je dvama pravim kutovima.

Teorem (EEI47, EEI48)

Trokut je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad njegovomnajduljom stranicom jednak zbroju kvadrata nad njegovim kracimstranicama.


Povijest matematike

Kina Indija Grcka

Pitagorejci

Teorem

Postoje samo tri pravilna poplocavanja ravnine.

Kako je zbroj kutova u n-terokutu 2n − 4 prava kuta, znaci da je upravilnom n-terokutu svaki kut jednak α = 2n−4

n pravih kuteva.Ako se u nekoj tocki ravnine sastaje m pravilnih n-terokuta:

mα = m · 2n − 4

n· π

2= 2π.


Povijest matematike

franka miriam bruckler -...

Documents