frank m. whithe cap 8

8/7/2019 Frank M. Whithe Cap 8

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L f ne a s d e c o rr ie n te , o b te n id a s a n al ft ic am en te , d e l f lu jo p o te n ci al a lr ed e do r d e u n p e rf il s im e t ri coc on a ng ulo d e a ta qu e. P ro ba ble m en te , e l m a yo r lo gro d e la te orfa p ote nc ia l s ea p re de cir la s us-te nta ci6 n d e u n p erfil. O b se rv ese q ue la s lin ea s d e c orrie nte se ju nta n m u ch o e n la p arte su pe rio r . . .d el p erf il ( alta velocidad, b aja p re sio n), m ie ntra s q ue e n la p arte . in fe rio r o cu rre 1 0 contrario. -P ara o bte ne r la s olu cio n te oric a s e d eb e u tiliz ar la c on dic io n d e K u tta ( ve as e F ig yr a 8 .2 2) , q ueex ige q ue el fiu jo en el bo rde de sa lida a filado sea suave y para le lo a la linea de la cuerda . L ate orfa p ote nc ia l n o tie ne e n c ue nta la se pa ra cio n d e la c ap a lim ite (e ntra da e n p erd id a) a g ra nd esa ng ulo s d e a ta qu e .

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~t18--1-~_1i lu in_nf i tp_nl ' i ! : l1 . I- .a .. . . I .. . . .J v l ' v . . . , " " . . I .. . I ." " . . I . . . . . . . .1 .

y M e c a n i c a d e F l u id o sC o m p u t a c i o n a l'. &

M o t iv a c i o n . E n el C ap itu lo 4 se d iscu tie ro n las ecu ac io nes d ife ren cia les b as ic a s d eco nse rvac ion de la m asa , la c an tidad d e m ov im ien to y la energ ia . E n 1a Secc io n 4.10d irn os a lg un as so lu cio nes ex ac tas p ara e l ftu jo viscoso in com p re sib le . L a s s olu cio n esexactas d e fiu jo s v isc oso s se lim ita n a g eo m etria s se nc illa s y fiu jo s u nid ire cc io na le s,d on de se p ue de n d esp re cia r lo s te rm in os c on ve ctiv os n o lin ea le s. L os flu jo s p ote ric ia le sno su fren la lim itac ion de lo s te rm ino s no line a les . A con tin uac i6n , en e l C ap itu lo 7 ,in tro du jim o s u na a pro xim a ci6 n: e l a co pla m ie nto d el flu jo en la capa lim ite c on e l. f lu jo ..ex te rio r n o v isco so . P ara fiu jo s v isco so s m as co m ple jo s n o ex is te n in gu na teo ria n i h ays olu cio n es e xa cta s, s olo d ato s e xp er im e n ta le s.

L os o bje tiv os d el p resen te cap itu lo so n (1) ex plo ra r m as e jem p lo s d e la teo ria p oten -c ia l y (2 ) d isc utir a lg un os flu jo s q ue p ue de n a pro xim a rse u sa nd o la M e ca nic a d e F lu id osC om pu ta cio na l ( CFD , Computa tio n a l F lu id D y n am ic s ). L a com binac ion d e es tas do stecn icas i1u stra m u y b ien 1a teo ria d el flu jo in co m pres ib le y su re lac i6 n co n lo s ex peri-m en to s. U na d e las a plicac io nes m as im p orta ntes d e la teo ria d el flu jo p oten cia l se d a enla a er od in am i ca y la h id rc din ar nic a. S in em b arg o , p rim e ro re pa sa re m o s y ex t ende r emoslo s co ncep to s d el C ap itu lo 4 .

8 . 1 . I n t r o d u e d o n y r e p a s o L a F ig ur~ 8 .1 n os recue rd a e l p rob lem a a tra ta r . U na co rrien te lib re q ue se ap rox im a ad os c ue rp os p ro xim o s e ntre s i, c re an do u n ftu jo "in te rn o" e ntre e no s y u n ftu jo "e xte rn o"po r en c im a y po r deb a jo de eno s . En la p arte fron ta l de lo s cuerpo s hay un a reg i6 n d eg ra die nte fa vo ra ble (la p re sio n d ism in uy e a 1 0 la rgo de la sup erfic ie ) y la cap a lim ite ,q ue e sta ra a dh erid a, y se ra d elg ad a: la te oria n o v isc osa d ara e xc ele nte s re su lta do s p arala c orrie nte e xte rio r s i R e > 10 4. E n lo s fiu jo s in te rn os, la s c ap as lim ite c re ce n d esd e la sp ared es , y a l enco ntra rse desap arec e e l m ic leo n o v iscoso . P ero la teona no v isco sa esap l id i b le - 'e n_'conduc t o s " co rt o s ",_LID < 10 , ta le s co m o la to bera d e u n n in el.ae ro di-n am ico . E n co ndu cto s m as la rgo s debem os es tim ar e l c rec im ien to d e la capa lim ite yte ne r e n c ue nta q u e lo s ca tcu lo s basado sen - la teo rfa n o v iscosa se ran so lo una bu rdaa pro xim a cio n d el flu jo in te rn o re al.

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5 2 1 , '


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5 2 2 C a p f t u l o 8 . F l u j o p o te n c i a l y M o e . n ic n d F lu id o s C o m p u ta c i o n a l

F tu jo e x t e m o n o v i s c o s e- - -F i g u r a 8 . 1 . A c o p l a m i n t e n t r el a s r e g i o n e s v i s c o s a s y n o v is c o a sd e u n n u j o . L Ie o r f a p o t e n c i a l d ee t e c a p t u l n o e a p l i c a b l e a laz o n a d I n c a p o l fm i t e , . . ,

R e p a so d e l c o n c e p t o d e p o t e n c ia ld e v e lo c id a d e s

C o r r i e n t e - - -l i b r e

- - - -, F lu jo ' e x i e m o n o v i s c o s o - e p a r a c i o nL a teo rfa no v isco sa d eb erfa fu ncion ar b ien p ara los flu jo s e xte rn os de la F igu ra 8 .1,

e sp ec ia lm e nte c erc a d e Ia p arte fro nta l d e l cu erp o, h asta q ue el grad ien te d e p resio nes a1 0 la rg o de la su pe rfic ie se v ue lv e a dv erso (la p re si6 n au me nta ) y la capa lfm ite se des-p re nd e. T ra s e l p un to d e d esp re nd im ie nto , la teoria de la capa Iimite s e v u el ve imprecisa,y l a c orr ie nt e d es pr en did a d efi ec ta y mo dific a la s lin ea s d e c orrie nte d el flu jo e xte rio r n ov isc oso , qu e in terac cion a fu erte me nte c on e l flu jo visc oso c erca d e la pa re d. E l analisiste6rico de las reg iones de flu jo desprend ido es un area de investigac i6n ac tiva en la ac-tualidad .

C om o vim os en la Secc i6n 4 ,9 , s i d es pre ciam os l os e fe cto s v is co so s y e l flu jo e s in c om -p re si ble , e l m o v im i en to e s i rr ot ac io na l, V . V = 0 , y e xi st e u n p ote nc ia l d e v elo cid ad ese / > , ta l q ue

V = V c p a 4 >u=-a x (8.1)e / >v=-a y a e / >w=-a zoL a ecuac i6n de la con tinuidad (4.73 ), V . ii = 0, se co nv ie rte e n la e cua ci6 n d e L ap lac epara e / > :

,? 2), 2. ) ' , a - < / > . " a , , ' f " a e / > . ., Y - < / > ='1--;;;-'+2+: -1 = Q .. ' . . . ' a ' ,:..ol-V_.:! ' ' j,-- '''j ,~" vy . 0


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R e p a s o de~ c o n c e p t o d e f u n c i o nd e c o r r ie n t e

8 .1. In troducc i6n y rep aso 523A d iferen cia d e la co nd ic io n d e n o d eslizam ien to d el flu jo v isco so , aq uf n hay c nd ic i np ara la v elo cid ad ta ng en cia l e n L a su pe rfic ie s 6lid a, V s = a / a s , que deb d termlnarsco mo p arte d e la so lu ci6 n, d on de s es la coord enada a 1 0 la rg o d e la s up er fic ie .

En el flu jo no v isco so a veces in terv ienen superfic ie s lib res; en ta les caso e con cl a ? r~siQn_en .d i cha superf icie .v . es . iaual .a a . no rm alm en te constan te . L a ecu aci6n de B r-- - - unoul l i (8 .3 ) p ro po rc io na u na re lac i6 n en tre e l v alo r d e V en la su perfic ie lib re y la p osic io nz d e d ic ha s up er fic ie . P o r e jem plo , e n flu jo e sta cio na rio ,Supe rf ic ie l ib r e : V 2 = I V 1 2 = cte - 2gZsupe r f i c i e (8 .6)E llec to r d eb eria ten er c laro q ue in teg rar la ecu aci6 n d e L ap lace , c on v alo res co no cid osp ara la d eriv ad a d e en el co nto rn o, es m uch o m as sen cillo q ue u tilizar d irec tam en te lase c uac ione s c9 lE l e~a s 4 .e )~l "a~ i~ r-S t oke s .:.l .a p .a .l is i~de l~ e cuac ion deLap la c e, que con s: . .titu y e la t e o r ia po t enc ia l , esta m uy b ien d esarro llad o, co n lib ro s en tero s escrito s acercade ella [1] y de su ap licac i6n ala M ecan ica de F lu idos [1 a 4]. H ay m uchas tecn ica s p arae nc on tra r la s fu nc io ne s p ote nc ia le s q ue s atis fa ce n la e cu ac io n d e L ap la ce , in c1u ye nd ~~J asu perp osic i6 n d e fu ncio nes e lem errta le s, la tran sfo nn aci6 n co nfo rm e [4], lo s rn eto do sn um e ric os m e dia nte d ife re nc ia s fin ita s [5 ], e le m en to s fin ito s [6 ] y e le m en to s d e c on to rn o[7], y l as a n a log i as e le c tr ic a s y m e ca nic as [8 ], h oy e n d fa o bs ole ta s. H a bie nd o d ete rm in a-do (x , y, z , t ) m e dia nte a lg un o d e e sto s p ro ce dim ie nto s, s e d ete rm in a V po r de ri v ac i6n ,Ecuaci6n (8.1) , y _ d esp ues se calcu la p u sa nd o la E cu ac io n (8 .3 ) . E l p ro c ed im i en to esba s ta n te d i re c to y p erm ite o bte ne r b as ta nte s r es ulta do s in te re sa nte s, a un qu e id ea liz ad o s.

" ' ,.,

C om o v im os en la Secci6n 4.7, si e l flu jo esta descritoso lo p or d os coo rd enad as, ex istetam bien la fun ci6 n de corrien te 1 / 1 . P ara e l flu jo p lan o incom presib le en coo rd enad ascar tesianas xy , la fo rm a aprop iad a es

a 1 / 1u=-a y a 1 / 1v= -- a x (8 .7)L a cond ic i6n de irro tac ionalidad se redu ce de nu evo a la ecuacion de L ap lace pa ra I / I t a r / ! Kv o = - - = =U s e n f ) +-a r r ( 8 . 2 7 )E n l a F ig u r a 8 . - lO s e h a n r e p r e s e n t a d o l a s l i n e a s d e c o r r i e n t e u ti l i z a n d o e i m e to d a g ra fi c o ,m e d i a n te l a i n te r s e c c i 6 n d e l a s l i n e a s d e c o rr i e n te c i r c u la r e s d e l t o rb e ll i n o c o n l a s hori-z o n t a le s d e l a c o r r i e n t e u n if o r m e .

r.

r---


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534 C ap itu lo 8 . F lu jo p ote nc ia l y M ec an ic a d e F lu id os C om pu ta cio na l

F i l a i n f i n i t a d e t o r b e ll i n o s

F ig ur a 8 .1 1. S up erp osic i6 n d etorbel l inos: (a ) f il a d e t or be llin o sd e la rn ism a in te nsid ad ; (b ) l fneasde com n t de l fiu jo (a);(c ) capa d to rb c llino s: fiu jo (b )v i s r ( ) d 's d l c j o s .

, 'D e la E cu ac i6 n (8 .2 7), h ac ie nd o v , = v o = 0, encon tram os un pun to de rem anso en

o = 90, r = a = KIU . ., 0 (x , y ) = (0 , a) , q ue e s d on de la v elo cid ad in du cid a p or e l to r-bell ino K l r en el sen tid o co ntrario a las ag ujas d el re lo j es ig ual a la v elo cid ad U " , de lac o rr ie n te un if o rme .

r o a 15 leme n te , 1 0 m as m teresan teaeesteeJem plo"es quehay una fuerza no nu la ,- ~...::n orm al a la co rrien te u nifo rm e, so bre cu alq uier reg i6 n q ue ro dee al m ic leo d el to rb ellin o, __p ero d eja re m os e sta d is cu sio n p ara la p r6 xim a s ec ci6 n.

C on sid ere m os u na fila in fin ita d e to rb ellin os d e la m ism a in te ns id ad K equiespaciadosu n a d is ta n cia a , com o m uestra la F igura 8 .l1a . Se inc luye aquf este caso p ara ilustrare l co ncep to im po rtan te d e u na c ap a d e t or be lli no s.

S eg iin la E cu ac i6 n ( 8.14 ), e l to rb ellin c i d e la F ig ura 8.11a tie ne p or f un cio n d e c o- -.----.-rriente r j I . = - K In r , d e m od o q ue la fu nci6 n d e co rrien te d e la fila in fin ita esI I

00

r jI = -K L i n r,i=l

+x,y) y

Torbel l ino i rj

(a ) xa a a a a a a

y

(b )

y

(c )

u = +1tKla

u = =tcK!

- - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ x


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~ S lIp Cq ill i ' lOll . le '0111\ 0111" Ii I h l ) ( ) S pill iON 5

P ue de d em o stra rs e [2 , S ec ci6 n 4 .5 1] q u csra sum a d ' illiln ilo s 1 0 'III itm o: 's 'qlllval III'a la fu nc i6 n

~ i J = - ~ l n [ ~ ( C ~ s h; _ c o s 2 ; " ) jCom o e n la d em o stra cio n s e u tiliz a la v aria ble c om p le ja z = x + i y , i = ( -1)"2, n dare-m os aq uf lo s d eta lles d e la m ism a.

L as lfn ea s d e c orrie nte o bte nid as d e la E cu ac io n (8 .2 8) s e m u es tra n e n la F ig ura 8 . lIb ,d on de s e o bs erv a la c on fig ura cio n H am ad a d e o jo d e g ato , c on c eld as d e r ec irc ula ci6 n q uero de an a lo s to rb ellin os in div id uales. P or en cim a d e lo s o jo s d e g ato , e l ftu jo es b acia laizquierda , y p or d eb ajo h ac ia la d ere ch a. A de m as , e sto s flu jo s h ac ia iz qu ie rd a y derechas e h ae en u nifo rm e s p ara Iy l ~ a , co mo se d ed uce p or d eriv ac io n d e la E cu acio n (8 .2 8):

(8 .28)

I.'d on de el sig no m as co rresp on de al flu jo p or d eb ajo d e la fila y el m enos por encim a. E s-ta s c or rie nte s u n if orm es h ac ia la iz qu ie rd a y la derecha se m uestran en la F igura 8 .11e.In sis tim o s e n q ue e ste e fe cto e sta in du cid o p or u na fila d e to rb ellin os : e n e ste e je m plo n oh ay c orrie nte u nifo rm e h ac ia la fila . . '

C a p a d e t o rb e l l i n o s

C uan do se o bserv a la F igura 8.11b d esde le jos, se ve una corrien te un ifo rm e h acia laiz qu ie rd a p or a rr ib a y hacia la derecha po r abajo , com o en la F igura 8 .1 lc , y l os t or be -llinos parecen estar tan pr6x im os uno s a o tros que se v en co mo una e a pa d e to rb e llin o scon tinua . L a in tensidad de la capa se defin e com o

2 1 T K"1=-a (8 .29) : iE n el caso m as g en era l, "I p ue de v ar ia r c on x. L a c ir cu la cio n a lre de do r d e c ua lq uie r c ur vac er ra da q ue e nc ie rr e u n a lo ng itu d dx d e la cap a sera , d e las E cu acio nes (8 .2 3) y (8 .29) , , .j

2 1 T Kdf = u . dx - u dx = (u - u ) dx = - dx = "I dx! S ! S a (8 .30)d o nd e lo s s ub in dic es i y s sig nific an in fe rio r y s up erio r, re sp ec tiv am en te . P or ta nto , la in -te ns id ad d ela c ap a "I = d f /dx e s la c irc ula ci6 n d e la c ap a p or u nid ad d e lo ng itu d. C ua nd ou na cap a d e to rb ellin os esta in mersa en u na co rrien te u nifo rm e, "I es proporc ional a las us te nta ci6 n, p or u nid ad d e lo ng itu d, d e c ua lq uie r s up erfic ie q ue ro de e a la c ap a.

O bserv ese q ue n o h ay v elo cid ad p erp en dicu lar a la cap a en la su perfic ie d e la m ism a.P or tan to , una capa de to rbellin os p uede sim ular un cuerpo delg ado , com o u na p laca 0U T } perfil de lgado , E sta es la base de la teo rfa de perfiles delgados que se d iscu te en laS ec cio n 8 .7 .

E I d o b le t e C uando nos situam os le jos d el par fuen te-sum idero de la F igura 8 .4, e l p atr6n de flu jocom ienza a p arecerse a una fam ilia de cfrcu los tang en tes en el o rigen , com o se m ues-traen la F igura 8 .12 . En este lim ite , en el que la d istan cia a se hace m uy peq uefia , lac on fig ur ac i6 n s e lla m a dob le t e . Cuando a s e h ac e p eq ue fio , la in te ns id ad d eb e a um e nta r


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536 Cap itu lo 8 . F lujo potencial y Meca nic a d e F lu id os C omp uta cio n al

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Figura 8 .12 . U n d o ble te , 0 par... f u en te s um id er o, c on stitu ye e lca so lim ite d e la F ig ura 4.13 v istad esd e le jo s. L as lin ea s d e c orrie nteso n c frc ulo s ta ng en te s a l e je r enel o rig en . E sta fig ura se g en er6u ti li za n do e1 comando con t our deMAT LA B [3 4, 3 5].

para que las velocidades se m antengan fin itas; por ello , se hace que el produc to 2amsea una constante, que denotarem os par A . La funci6n de corrien te de un doblete es

.. ,/ ( _ 2ay ) 2amy A y= lim =m t o ' = =

1 /1 a - + O e i+l-i i+l i+l2 am=A (8 .3 1)H em os utilizado e l hecho de que tg-I a ::::: cuando a e s p eq ue iio . E l p ara m etro A sedenornina intensidad d e l d obl et e.

L a E cu aci6 n (8 .3 1) p ued e reescrib irse en la fo rm a

( A ) 2 ( A ) 2i+ Y + 2 1 / 1 = 2 1 / 1de m odo que, co mo ya se dijo , las lineas de corrien te son c ircu los con centro en el eje y ytan gen tes en el o rig en . E sta co nfig ura ci6 n se m uestra e n la F ig ura 8 .12 .

A un qu e en el p as a do el au to r h a d ib ujad o lab orio sa men te a m an a la s lm eas d e co rrien -te, hoy en d!a'y~~~e~e~esario!~cerlo asi. L a F igura 8 .12 se d ibujo con un ordena~or,u san do el co man do c o n t o u r de la version para estudiantes de MAT LA B [3 4]. Sim ple-m en te es tab lecem os u na m alla d e p un to s, escrib im os la fu nc i6 n d e co rrien te e in vo cam ose l c om a nd o c o n t o u r . L a F ig ura 8 .12 se o btu vo m ed ian te lo s sig uien tes co man do s:

. ,. ._ . , . .t x . Y) = mesIigrid (-1: .02: 1) ;P S I =, - Y . ! ( X . A2 + y.A2 ) ic o n t o u r ( X , Y , P S I , 1 0 0 )

S e o btie ne n a s! 10 0 lin ea s 1 / 1 co ns tan te d e la E cu aci6 n (8 .3 1), d on de se h a to rn ad o A = 1p or co nv en ien cia . L a rep res en tac io n p od ria in clu ir lin eas d e m alla, m arcas en lo s ejes y


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. .

8 .4 . F lu jo s p i a n o s a lr e d e d o rd e c u e rp o s c e r r a d o s

O v a lo d e R a n k i n e

8 .4 . F lu jo s p lan o s a lre d ed o r d e cu e rp o s c e r ra d o s 5 3 7

u n re cta ng ulo a lre de do r, y adem as los c frcu lo s pueden parece r un poco elip ticos . 'P e ropodem os m ejora r la figura u sando lo s sigu ien tes tre s com ando s:

axis squaregrid offaxis off

La rep resen tac ion fin a l, F igu ra 8 .12 , no con tien e m as in fo rm acion que las prop ias lfn easde co rrien te . A sf pues, MATLAB es una herram ien ta m uy recom endab le , que adem asperm ite hacer m uch is im as o tra s co sas . En todo s lo s p rob lem as de este cap itu lo en lo s quese le p id e que "d ibu je la s lin eas d e corrien te lequ ipo ten c ia le s" puede u tiliza r e l com andocon tour . P ara m as de ta ile s , con su lte la Refe renc ia 34 .

D e ~ g d ? _ a na lo g , ..s ep ue de o b.t~!!_e r. l p ot~ nc i~ d e V~ lo ~i ~d ~s .~ el . d ~b .J e.~e .t om a nd < :> ... _ _e l lfm ite cu and o a -70 Y 2am = A en la E cuacion (8 .15):

A x1>doblete = 2 + 2X Y

o (8 .3 2 )

L as lin eas equ ipo tenc ia le s son cfrcu los tangen tes en e l o rig en can sus cen tro s en e l eje x ..Se ob tien en de la F igu ra 8 .12 , s in m as que g irarla 90 en e l sen tido de las agu jas de l re lo j,~y son perp end icu la res a la s lineas de corrien te . .

L as func iones correspond ien tes a l dob le te pueden esc rib irse tam bien en coordenadas. - po la res:

A sen ()Ij J =-- r 1> = A cos er (8 .33)Esta es la fo rm a m as conven ien te pa ra e l an a lis is d e flu jo s a lrededor d e c ilind ro s de lap ro xim a s ec ci6 n.

, 1 ' ,

Es po sib le con stru ir una g ran varied ad de cuerpo s ce rrado s m ed ian te la superpo sic ion deuna co rrien te un ifo rm e con fuen tes , sum idero s y to rb ellin os . E l cue rpo se ra ce rrado so losi e l cauda l n eto sum in is trado por las fu en tes es igua l a l recog ido po r lo s sum idero s.

C uando una fu en te y un sum idero se a line an en la d irecc ion de una corrien te un ifo rm e,com o en Ia F igu ra 8 . l3a , se ob tien e una fo rm a c ilind rica denom inada o v alo d e R a n kin e ,que es m as la rgo que ancho .

D e las Ecuac iones (8 .12 ) y (8 .15 ), la func i6n de co rrien te d e l con jun to es-I 2ay- -Ij J = U "y - m tg 2 2 2 = U s r sen 8 + m ( } 1 - (2) (8 .34). -- x+y-a------

C uando se d ibu jan las lin eas d e co rrien te Ij J con stan te d e la E cuacion (8 .3 4) se ob tien e uncuerpo de form a oval, com o e l de la F igura 8 . l3b . L a s em i lo n gi tu d L y la s em ia nc hu ra hde l ova lo dependen de.la in ten sid ad relativa de la fu en te y de la co rrien te un ifo rm e, estoes, de la re lacion ml(U",a) , que en la F igura 8 . 1 3b es igua l a 1. L as lineas d e corrien tec ircu lato ria s en e l in ter io r de l ova lo no son in te resan tes y norm alm ente no se m uestran .L a lfn ea ova l co rresponde a I jJ = O . ,~ -

H ay pun tos de rem anso en la pa rte an te rio r y poste rio r d el ova lo , x = L, y = 0 , ypun to s de ve lo cidad m axim a y presion m in im a en x = 0, y = tzh, T od os e sto s va lo re s


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5 38 C ap itu lo 8 . F lu jo p ote nc ia l y Mec an ic a d e F lu id o s C omp ut ac io n al,y (x,y)

.--.-. - - _.-

( a )

Um a x = 1.74U~

F ig ura 8 .13 . F lu jo a lre de do r d eu n o va lo d e R an kin e: (a ) corr ien teu nifo rm e m a s u n p ar fu en te -sumidero ; (b ) f or m a o va l y l fneasd e c or rie nt e p ar a m /( U . P) = 1.0.

... - . . . . . . . . . ;. .. .

( b )

s on fu nc io ne s d el p ara rn et ro a dim e n si on al b as ic o m/(u'"a), y se pu ede n d ete rm ina r d e laE c ua c io n ( 8. 34 ):

h h la~ = c tg 2m/(U""a) ~ = ( 1 + 2 m ) 1 / 2a U~

Um a x 2m/(U""a)- = 1 + --'--::--:::U " " 1 + h 2/ a 2(8 .35)

C u an do a um e n tam o s ml(U""a) d esd e c ero h asta v alo re s gran des , la fo rm a d el o valo a u-m en ta de ta rn afio y e spe so r d esd e u na p la ca p la na d e lon gitud 2 a a u n c ilin dro e no rm ec asi c ircu lar. E sto se m ue stra e n la T ab la 8 .1. E n ellirn ite ml(U,,a) -100, Uh -7 1.0 yU , IU -7 2.0 ,10 q ue c orr es po nd e a l f lu jo a lr ed e do r d e u n c il in d ro c ir cu la r.r.l_1T od os lo s o va lo s d e R an kin e, e xc ep to lo s m u y d elg ad os , tie ne n u n g ra die nte a dv ers od e p re si on m u y g ra nd e e n s u p art e p os te ri or. A s ! p ue s, la c ap a l im i te s e d es pre nd e fo rm a n-d ose u na e stela a nc ha, d e m od o qu e e l m ode lo n o v isco so no es rea lista e n e sta z on a.

,,~..,;'::.. ~.'

F lu jo a lr e rlc d o r d e u n c i l i n d r oC I I I I c i l ' c u l u c i 6 n

Segun se deduce de la T abla 8 .1, cuando la in ten sidad de la fuen te es m uy g rande , eJo va lo d e R an kin e se co nvierte e n u n c frcu lo d e d ia rn etro m uc ho m ay or q ue la d is ta ncia2 a e n tr e f ue n te y sum idero . M irando con la esc ala de l c ilindro , es to es equ ivalen te a


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8 .4. F lu jos p la nos a lre de dor d e c ue rp os c erra do s 5 39T ab la 8 .1. P ara m etr es d el 6valode R ank in e dado s en laE c ua c i6 n ( 8. 35 ).

m I CU. ,a ) h ta Va 1 J h um,; /U. ,0. 0 1.0 00 1.00 .031 1.010 32.79 1.0200 .263 1.095 4.169 U87J..3V,-..---t7J", - __ L."'l.,.,c _4-"L.,f\1.JLU 1./J'74.435 4 .583 1.033 1.96814.130 14.177 1.003 1.99700 00 1.000 2.000

0. 0o m0. 1--- __:_-.-. .....-----.,...- ---::::::':::::::':~:jl:l:.O""------;:10.0

100.0

u na co rrien te u nifo rm e m as u n d ob le te . A fiad ire mo s tam b ien u n to rb ellin o en el m ism o.. p u nta . qu e e l d o ble te , 1 0 que no cam b ia la fo rm a ..de l c ilind ro . .. . .

P or tan to , la fu nc i6n de co rrien te p ara e l ftu jo a lreded or de un cilin dro circu la r co nc ircu lac ion cen trado en el o rig en es la d e una corrien te un ifonne m as un dob le te y unto rb ellin o s itu ad o s e n e l o rig en :

AsenO! / I = U ( X ) ' sen 0 - - - - K i n r + cter (8 .36)L a in ten sidad del do ble te A tien e u nid ades de velo cidad po r lon gitud al cu adrado . P erc o nv e ni en c ia , t om emo s A = U""a2 , donde a es u na lo ng itu d y la c on stan te a rb itraria d e laE cu ac i6 n (8 .3 6) ig ua l a K i n a . A si, la fu nc i6 n d e c orrie nte q ue da : .. ' ' ..

(8 .37)

E n la F ig ura 8 .14 se h an d ib ujado las lfneas de co rrien te pa ra cuatro v alo res d istin tosd e la in te ns id ad a dim e n sio n al d el to rb ellin o K I ( U " , a ) . E n to do s lo s caso s, la lin ea ! / I = 0cor re sponde a l c fr cu lo d e r ad io r = a (e sto es, a l cu erp o d e fo rm a c ilfn drica ). C uan do lac i rculac i6n r = 2 7 r K a um e nta , c re ce la v elo cid ad e n la p arte in fe rio r d el c ilin dro y deere-c e en la p arte su pe rio r. L as c om p on en tes d e la v elo cid ad estan d ad as p or . (.

1 a ! / l ( a 2)v =- - = U cos B 1 - -r r a B " " ,2(8 .38)

L a v elo cid ad e n la s up erfic ie r = a d el c ilin dro e s ta ng en cia l, c om o e ra d e e sp era r:Kvk = a) = 0 vli(r = a) = - 2 U " " sen 0 + -a (8.39)

P ara v alo re s p eq ue fio s d e K h ay d os p un to s d e re man so so bre la su perfic ie d el c ilin dro ,si tuados a-angulos O s ' donde V8 = 0 ; d ad os , s eg iin la E cu ac i6 n (8 .3 9), p or

Ks e n f =--s 2 U ( X ) a (8 .40)

L a F ig u ra 8. l4a c or re sp o nd e a K = 0, O s = 0 y 1800, e sto e s, a l f tu jo n o v is co so d o blem en -te s im e tr ic o a lr ed ed o r d e u n c ilin d ro c ir cu la r s in c ir cu la ci6 n . L a F ig u ra 8 .14b cor re sponde


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_ -5 40 C apitu lo 8 . F lu jo po tencial y Me ca ni ca d e F lu id o s C o rn pu ta cio n al

--------

F ig ura 8 .14. F lu jo alred ed or d eu n c ili nd ro c ir cu la r c on c ir cu la ci6 npara val ores d e KI(U"p): (a ) 0.0;(b ) 1.0; (c ) 2.0, y (d ) 3.0. (c)

T e o r e m a d e K u t t a -J o u k e w s k ip a ra l a s u s te n ta c ie n

. .,

a K!(U",a) = 1, O s = 30 y 150, y la F igu ra 8 .14c co rresponde al caso lfm ite K/(U,,:a) = ien que los dos punto s de rem anso coinciden en el punto m as alto del c ilind ro , O s ~ 90.

Para K > 2 Uaoa,a Ecuaci6n (8 .40) no es valida , y s6 lo hay un punto de rem anso fueradel c ilind ro , com o en la Figura 8. l4d , s itu ado en el punto y = h , dado po rh 1 2 112 J- = - [ 1 3 + (B - 4)a 2

E n la F igu ra 8. l4d , K/(U"p) = 3 . 0 , Y h la = 2 . 6 .

Kf3=->2U o o a

Para los flu jo s a lrededo r del cilindro de las F iguras 8. l4b a d hay una fuerza vertica lh ac ia a ba jo , 0 su ste nta cio n n eg ativ a, d en om in ad a e fe c to Magnu s- R ob in s , que es p ro -po rc ional a la velocidad de la co rriente uniform e y a la in ten sid ad del torbellin o. E stedescub rim iento experim enta l se a tribuy6 duran te largo tiem po a l fisico alem an Gustav ~...M agnus, que 1 0 observe en 1853 . H oy sabemos [40,45] que el brill an te ingeniero b ri- ~~tan ico B enjam in Robins predijo la fuerza de sustentae i6n sobre cuerpos gira torios po rprim era vez en 1761. Del esquem a de las l fneas de corrien te , se deduce que la veloeidaden Ia parte superio r del c ilind ro es m eno r que en 1a parte inferio r, y seg iin la eeuaci6n ~ . ....d e B e rn ou ll i, l a presi6n es m a s alta en la parte superio r, 1 0 que explica que exista es ta ---::::fuerza . Po r supuesto , no hay fuerzas viscosas, ya que nuestra teoria es no v iscosa. . .L a velocidad en la superfie ie es ta dada por la Ecuaci6n (8 .39) . L a p re si6 n P , s e o btie n e - : : . : !de la E cu ac i6 n d e B ern ou lli (8 .3 ) despreciando la gravedad , y es ta dada po r

1 1 ( K ) 2P ro + 2 . p U ~ = p s + 2 . p - 2 U c o sen 8 + -;Ps = P ro + ~pU ~(l - 4 sen2 + 4 f3 sen 8 - f 3 2 ) (8.41)


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- ~ - ---- ~-----

8 .4 . F lu jo s p Ia no s a lr ed ed or d e c ue rp os c er ra do s 5 4 1

donde f 3 = K/(U",a) y P; es la presion en la co rrien te inc iden te. S i b es la anchu ra delc ilin dro p erp en dic ula r a l p ap el, la re siste nc ia D es la in teg ral sob re la superfic ie de lac om p on en te h oriz on ta l d e la s fu erz as d e p re sio n:

c _ 2 7 rD = - - = - j -Tp~-'::poo)coS7fba d eo

- ..---~----donde P , - P a l se su stituye de la E cuac i6n (8 .41). Pero la in teg ra l de cos 0 multip l icadopo r c ualq uier p oten cia d e se n 0 e xte nd id a a to da la c ir cu nfe re nc ia 2 7 T e s n ula . P or tan to ,o bte nem os e l r es ulta do ( qu iz as s orp re nd en te )

D ( ci li nd ro c o n c ir cu la c io n ) = 0 (8.42)E ste es un caso particu lar de 1a p arado ja de D ' A lem bert m enc ionada en la Secc ion 1.2 :

,. ~D e acuerdo con Ia teona no v iscosa , cua lqu ie r cuerpo de fo rm a arb itraria inm erso enu na co nie nte u nifon ne no tie ne r e s i s t en c i a ,

D ' A le mb ert p ublic o este re su ita do e n 1752 , in dic an do e 1 m ism o qu e no c on cord ab a c on1 0 que ocu rria en lo s flu jo s de flu idos rea les. Esta desafo rtunada paradoja d io p ie a una ,r ea c ci on e x ag e ra d a y to do s re ch az aro n la s te oria s n o v is co sa s, h as ta q ue P ra nd tl, e n 1 Q 0 4 ,m ostro cual e ra e l e fecto , tan im portan te en e l flu jo , de la de lgada capa lim ite v isco sa enla p arte p osterio r d el c uerp o, c om o m uestra , p or e je mp lo , la F igu ra 7.2 b .

La su st ent a ci o n L p erp en dic ula r a la c orrie nte in cid en te , to m ad a p os itiv a h ac ia a rrib a, .e s t a dada po r la i n teg ra l de las f uerzas vertic a les de p resion : .

\"., '

( 2 7 rL = -J , ( P s - P r o ) sene ba d O

oP uesto que la in teg ra l en tre 0 y 2 7 T de cua lqu ie r potenc ia im par de sen 0 es cero , so lo e lse gu nd o su m an do d el p are nte sis d e la E cu ac i6 n (8 .4 1) c on trib uy e a la su ste nta ci6 n:

o (8 .43)

O b se rv ese q ue la s uste nta ci6 n e s in de pe nd ie nte d el ra dio a d el c ilin dro . S in em ba rg o, e nrea lid ad , c om o v ere mo s e n la Se cci6 n 8 .7, la circ ula ci6 n r d ep en de d el tam a fio y or ien-ta ci6 n d el c ue rp o p or ra zo ne s fis ic as.- -L a E cua ci6 n(8 .43 ) fue g ene ra liia da po r W . M . K u tta e n 19 02 e in de pe nd ie nte m en tepo r N . Jo uk ow s ki e n l~06,~ J c : f orma s ig u ie n te :

De acuerdo con la teo rfa n o v is co sa , la su ste nta cio n p or u nid ad de enverg adu ra d eun cilind ro de fo rm a arb itra ria inm erso en una corrien te un iform e es igual a pU"r ,donde r e s [a c ircu lac io n to ta l a lred edo r d el c ue rp o. L a d ire cc io n d e la su sten ta cio nse ob tiene girando 90 la d irecc ion de la co rrien te inciden te , en e l sen tido opuesto ala c i r cu lac ion .


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542 C ap itu lo 8 . F lu jo p o tenc ia l y M e ca nic a d e F lu id os C om p uta cio na l

E l p ro ble m a p rin cip al d el a na lisis d e p erfile s, S ec ci6 n 8 .7, c on siste e n d ete rm in ar la c ir-cu laci6n r com o func i6n de la fo rm a y o rie nta cio n d e lo s mismos. _

j- - . : J~. --I

V a l o r e s e x p e rim e n t a le s d e l a L os flu jos de la F igura 8 .14 son m as~m ~gcq~~ u n _d oblete y u n to rb ellin o s itu ad os e ns u s te n ta c id n v l a r e s i s te n c i a ~n p l m i s m o p u n to " " " ,s c " " '" , . ." ,"""';0,. . ,+0 unifcrme Do"'" (to r " I I ~ : . . . ~ " .c. . . . . ....,..,..,:.,.;- "'~ . . . .. . . .. .e le p a r a'. w _ .- .. \ . . -.. _ ~"-'" 1"- - v , . ~ ~ ~ wu~ VVU'''''''' I..U .vuu.,.' .,.v "., l'VUUU VU""5Uil Uti illVU.,l .I !c i li n d ro s g i ra t e ri o s '

Figura 8 .15 . Sustentaci6n yr es is te nc ia e n c ili nd ro s g ir at or io scon relacion d e a sp ec to g ra nd een R eD= 3800 , s e g u n Tokuma ru yDimotak i s [22] y Sengup t ae t a l. [41].

,..'_:"J-jsu representaci6n fisica hac iendo girar un cilindro en una corrien te . L a condici6n de- ._-:;no deslizam iento en un flu ido v iscoso obliga al fiu ido en con tacto con el cilindro a -::1mo ve rs e ta ng en cia lm e nte c on la v elo cid ad v a = aio, c on sig uie nd o u na c irc ula ci 6n n etar. L a m edida de las fuerzas en cilindros giratorios es en la practica m uy diffcil, y el .J'-'jautor no cuenta con datos fiab les. Sin em bargo , Tokum aru y Dim otakis [22] usan un ~,in te lig en te d is po sitiv o a ux ilia r p ara m ed ir fu erz as d e su ste nta ci6 n a R e D = 3800. l

En la F igura 8 .15 se m uestran los coeficien tes de susten taci6n y resistenc ia , basados Ie n e l a re a fr on ta l (2ba), p a r a c ilin dro s e nmo vim ie nto g ira to ri o a ReD' ; 3800. L a c U r v a d ~ - ' - " " " ' - _ " _ - la rra stre s e h a o bte nid o m e dia nte C FD [41]. E ntre lo s re su lta do s d el a rra stre o bte nid o p or lC FD p ub lic ad os p or d ife re nte s a uto re s h ay b asta nte c on tro ve rsia , p orq ue s on d istin to s jin clu so c ua lita tiv am en te . E l a uto r so stie ne q ue lo s re su lta do s d e la R efe re nc ia 41 e sta n :le ntre lo s m a s fia ble s. O b se rv e q ue e l c oe fic ie nte e xp er im e nta l C L a um e nta h as ta u n v alo r - - dde 15.3 p ara awlU", = 1O . Esto contrad ice la teo rfa de Prandtl de 1926, segiin la cual el -v alo r m a xim o p osib le d e C L serfa 4 7 T ~ 12 .6 , c orre sp on die nte a la s c on dic io ne s d el f iu jo jde la F igura 8 .l4c. La teona no viscosa para la susten taci6n p roporcionaria: . _j

!L 27TpU J(b 27TVf}s 1C L = 1 2 = 2 = (8.44) IiPU ",(2ba ) pU ",ba u;

donde v a = K i a es la velocidad periferica del c ilindro . .. .....- .._....s L a F ig ura 8 .15 m uestra que la susten ta ci6n te6rica, E cu aci6n (8 .44), es de masiado

alta , p ero la su sten taci6n m edida es bastan te resp etab le; de he che, es m ayor que la de unp erfil tfp ic o c on la m ism a c ue rd a, p or e je mp lo , v ea se F ig ura 7.2 5. P or ta nto , lo s c ilin dro sg ir at o ri os t ie n en po sibi li d ad e s pract icas , El barco con rotor de F lettner, constru ido enA lem an ia e n 19 24 , u tiliz ab a c ilin dr os g ira to ri os v ertic al es q ue p ro po rc io na ba n u n empu -je p erp en dic ula r a l v ie nto q ue so pla ba so bre e l b arc o. E l d ise fio d e F le ttn er n o a lc an z6 p o-p ula rid ad , p ero ta le s in ve nto s p od ria n se r m as a tra ctiv os e n e sta e po ca d e e ne rg fa c ara .

1614-T--~--'_---r~~~~~12 --ll'-~~-+--i.;--+:--"---t----,. 1.21 0 1 .08 ,; 0 .86--~~~,_~_t--~--~

__l1f-. ..j.6

1_ ,o o10 .14 6 8

a w l U o o

2 EI a uto r a gra de ce a J profesor T . K . Sengupta de I.I.T . K anpur los d ato s y e l an alisis d e esta subsec -c i6n .


24/81

_.'8 .4 . F lu jo s p lano s a lred ed or d e cu erp os ce r rad os 5 4 3

E JB M P L O 8 .3La F ig u ra E8 .3 m ues tra e l b a rco expe r im en ta l c on ro to r d e F le ttn e r d e la U n iv e rs ida d d eRhode I s l and . El ro to r tien e 2 .5 ft d e diametro y un a lon g itu d d e 10 fty g ira a 220 rpm~10 nudos y se d esp re c ia e l m ov im ien to re la tiv o d e l bo te , i,cm il e s e l em pu je m ax im o qu eproporc iona e l r ot or ? Suponga dens idad es tandar p ara . e l a ire . .

S o l u d d nConver t imos la v e loc id ad d e g iro a w = 217'(220)/60 = 23 .04 ra d /s . L a v e loc id ad d e l v i e n t oe s d e 10 nudo s = 16 .88 ft/s , lu eg o la re lac ion de v e lo c id ad es es

tuo ( 1. 25 f t) (2 3 . 04 rad /s ) . .- = = 1.71V "" 1 6 ,8 8 ftlsE ntran do en la F ig ur a 8 .15 , le em o s C L"" 2 .5 Y C D " " 0 .7 . D e H i T a b la A . 6, la o de ~s id a d'-c j. 6ia i re es tandar es de 0 .002 38 .s lu g7 fe . D e e ste m odo , lo s v alo re s es t imados para la-sustentaciony la re s is ten c ia de l ro to r so n . , .. , . .

L = C L ~ pU;, u 7" (2 .5 )i(0 .002 38 S lu 3i)(16 .88 ~)\(10 ft)(1.25 ft) = 21'.2 1b f ' "2 2 ft s . ;" . _ __ ." ,_ N _ __ . . . ~ _ _ _ . ' . ~

. , ' .~.E l em pu je m ax im o p ro po rc ion ad o-po r e l ro to r ' e s l~. re su ltan te de ' e~tas" d os fue rzas : ....,',. . F = [(21.2).~ + (5 .9 /] : = 22 .01b f , R'esp'..,,.. .O bserv e qu e en lo s ca lcu lo s n o h a en trad o la den s idad de l a gu a , s in o la de l a ire , q ue es q u ienp rodu ce la fu e rza . E n caso d e e sta r a line ado con la q u illa , e s te em pu je h a ria n av eg a r e l'tim -C O". , .con una v e lo c id ad de 4 nudo s . .

E8 .3 . [C orte s(a d e R . C . L es sm a nn , U n iv ers id ad .d e R h od e I sla nd .]


25/81

---------- --5 44 C ap itu lo 8 . F lu jo p ote nc ia l y Me c an ic a d e F lu id o s C om p uta cio n al

. . . . . . . . . . . -~. 'l'

Comentar i o : E n ara s d e la d idac tic a se h a hecho aqu f a lg o in de bid o. H e m os u sa do lo s d ato s... ,. .j. .. -, .... ~o b te n id o s c o n R eD = -3 8 00 , c u an d o e n e s te e jemp lo -R e ,; -::::< " '2 6 0;OOO :o sele ocurrahacer ---- .es to en su fu tu ra v id a p ro fes io na l. ..

O v a lo d e K e lv in

I .

A n a lo g ia s p a ra f i u jo s p o te n c i a le s

F ig ura 8 .16 . F orm a s d el c ue rp oo va l d e K e lv in e n fu nc io n d elp ar am e tr o d e in te ns id ad d eltorbe l l ino K/(U",a); n o se m u estra nl as l fn e as d e c o rr ie n te e x te ri or es .

S e p ue de sim u la r u na fa m ilia d e c ue rp os m a s a lto s q ue a nc ho ssu pe rp on ie nd o u na c orr ie nteun i fo rme y u n p ar d e to rb ellin os a lin ea do s e n d ire cc io n p erp en dic ula r a la c orrie nte in ci-d en te . S i U " , es h acia la derecha, se sin ia un to rb ellino de in tensidad -K en y =' + a yo tr o d e in te ns id ad +K en y = -a, co m o m ue stra la F ig ura 8.16. L a fu nc io n d e c orrie nted e d ich a combinacion es

1 ;. + (y + a) 2! / J = U o o y - - K in 2 2. . . . . 2 " x +'(y - a) . .. .. . ( 8 . .4 5 ) .L a fo rm a d el cu erp o c orresp on de ala linea ! / J = 0, y en la F igura 8 .16 se dan algunasd e e sta s fo rm a s. P ara K/(U",a) > 10, es, sa lv o d iferen cias d e u n 1% , u n o valo d e R an kin e( Fig ur a 8 .13 ) g ir ad o 9 0 , p er o p ar a v alo re s p eq ue fi os d e K/(U",a) se e stre ch a e n l a p arte c en -tr al, a do pta nd o p ara O .S fo rm a de ocho . Pa ra KI(U",a) < 0.5 , la corrien te pasa en trelo s to rb ellin os, q ue da nd o d os c ue rp os a isla do s, m a s 0 me no s c irc ula re s, ro de an do a c ad atorbel l ino.

S e p ued e co nstru ir u n cu erp o cerra do d e fo rm a p racticam en te arb itraria m ed ian te lasu pe rp osic io n a de cu ad a d e fu en te s, su m id ero s y t or be ll in os c on c or rie nte s u n if orm es .P ara m as d eta lles, v ean se las R efere ncias 1 a 3 . E n la T ab la 8 .2 se resu m en alg un os flu jo sp o te n ci al es p la n os e leme n ta le s.

P ara ftu jos po tencia les con geo metria s com plicadas se pu eden u tilizar o tro s m etodo sd istin to s a l d e su pe rp osic i6 n d e fu en te s, su m id ero s y to rb ellin os. H ay u na g ra n v arie da dd e d isp ositiv os q ue p erm ite n o bten er so lu cio nes d e la ecu acio n d e L ap lace .

E ntre 18 97 y 19 00 , H ele -S ha w [9 ] d esa rro llo u na te cn ic a m e dia nte la c ua l u n flu jo v is-coso y la m in ar, e ntre d os p la ca s p la na s p ara le la s m u y proximas, s im u la e l f lu jo p o te nc ia lc ua nd o se o bse rv a e n d ire cc io n tr an sv er sa l a la s p la ea s. C ua nd o s e c olo ea n obstaculos en-

yKU".a = 1 . 5

1 . 00 . 7 50 . 5 50 .5

U..-


26/81

T ab la 8 .2 . A lgu nos flu jo sp ote nc ia le s p ia no s incompresibles,

-- =--

8.4. F lu jo s p ian os a lred ed or d e cu erp os cerrad os 545

T ip o d e tlu jo F u n ci on c s p o te n ci al es O b e rv a clo u esCorriente iUFuente (m > 0) 0 sumidero (m < 0)TorbellinoCu er po s emnn !lm to

Vea se F ig u ra 8 . 3 aVea se F i gu ra 8 . 3 bVea se F i gu ra 8 . 3 c

'" = U y 4 > = U x" '= m I J 4 > = m ln r' "=- K In r 4 > = _ K I J.----- -{; ; U ; :s ~ T+ -m IJ = U r co s I J + m In r'" = -A se n I J = A co s IJ

r r Ve as e F ig ur a 8 .12V ea se F ig ura 8 .9

Doble teOv al o d e R a nk in e V e as e F ig ur a 8 .13" = U rs e n I J + m ( I J I - I J t J

( a 2 ) r'" = U s e n I J r - - ; - K I n ~ V ea se F ig ura 8 .14i li nd r o con c ir cu la c i6 ntr e la s p la ca s, la s lin e a s d e c or rie nte , v is ua liz ad as m e dia nte tra za s d e c olo ra nte s, c oin cid enc on la s d el fiu jo p ote nc ia l a lre de do r d e lo s o bs ta cu lo s. E l a pa ra to d e H ele -S ha w p err nite a s!h ac er re pre se nta cio ne s e xc ele nte s e n e lla bo ra to rio d e la s f orm as d e f lu jo s p ote nc ia le s [ 16 ,p p. 19 7-19 8,2 19 -2 20 ]. L a F ig ur a 8 .17a ilu str a e l f lu jo e xp er im e nta l d e H e le -S ha w a lre de -do r d e u na distrib uci6n de cilind ros lim itado s po r dos placas, u n flu jo que seria d iffcil d ean aliz ar u sa nd o sim plem en te la ec uac i6 n d e L ap la ce . P es e a 1 0 b on ito q ue p ud ie ra p ar ec eres te fiu jo , n o e s u na b uen a ap ro xim ac i6 n d el flu jo re al (lam in ar y v isco so) a traves d e u nad is tr ib u ei en -d e c il in d ro s. E n l a F ig ur a 8 .1 7b s e mu e st ra n l as lf ne as d e t ra za e xp er im e nt al esc or re sp on die nte s a u n f lu jo s im ila r a R e ::::::4 00 . V em os q ue la in te ra cc i6 n e ntre la s e ste la sdel f lujo r ea l( F ig u ra 8 .17 b ) fo m en ta la m ezc la y p ro v oc a mo v im i en to s t ra ns ve rs ale s f ue r-te s, n o e l f lu jo s ua ve q ue p re dic e e l m o de lo p ote nc ia l ( Fig ura 8. l7a) . L a id ea es que se tratade u n f lu jo in te rn e a lre de do r d e m u ltip le s c ue rp os , p or 1 0 q ue n o es u n bu en candida to p araq ue u n m o de le d e fiu jo p ote nc ia l p ro po rc io ne u na a pro xim a ci6 n r ea lis ta .

E n la R eferenc ia 8 se discuten o tras tecn icas d e representaci6n de flu jos. L os cam po selec tro mag netic o s ta mb ien satisface n la ec ua ci6 n d e L ap la ce, sien do el v oltaje an alo goa l p ote nc ia l d e v elo cid ad es y las lfneas de corrien te electrica ana logas a las lfneas decorrien te del flu ido . T iem po atras se em pleaban trazad ores an al6gico s co merciales queutilizab an un p ape l co ndu ctor qu e po dia co rtarse co n la form a geo metric a de lo s con tor-n os d el flu jo . P ro ban do c on el p un z6 n d e u n p ote nci6 me tro se lo ca liza ban la s lin ea s eq ui-p ote nciales . T am b ie n se u sab an p ro ced im ien to s g rafico s m an uales . P ero en la actu alid adla e xis ten cia d e rn eto do s n um eric o s sen cillo s p ara e l c alcu lo d e fiu jo s p oten cia le s [5 a 7]h a d eja do o bs oletas este tip o d e a nalo gia s,

'j: I\

1

r.

. "I ~ ","E h6 va lo d e, ..K elv in d e'Ia F ,ig ura 8 \ J 6 t iene K k f : j . .a),~;1 ., Ca l, c. ule o la ,. ve lo c id a d en e l' p u nt o> superio r de l6yaloe~ funciori de u~ , . ' , " > ~ '~ , , : . . '"'''1"' -',~ ,... '.~:~. ; . ~"'~"'...;: ,.....~...i , '. ; " '; ~ ~. . , ; '!

I. ,

~. , t ' I i ; " . K . hla>f. 1~ 'I -=-In ,,;. " _ " . a , U ; . , a . . . .h 1 a , . - : 1 . ,', . _~, '.' I_ ' j , 7 , - . . - ' ' ' 4 t , 'I, oj'" . _", I ;-- ; J,. ,..

, ~ConKI('U'a),~ 1.0, y a la vista. de l a ' F ; g~ra 8.12, p~6b~~~si . i l . i c i a lmente .e lvalor.h/a,~ 1.5;'.y ,/ ( ( )( ) < , I! .' e i te r ando , se obt iene hl a = 1.5434'.

I,) . 1. :'. ~ J ' (0 I , ,


27/81

----.-- -_5 46 C ap itu lo 8 . F lu jo p ote nc ia l y M e ca nic a d e F lu id os C om p uta cio na l

------- _ En e l pun to m as a lto d e l ova lo v = 0, p orq ue la lin ea d e c on ie nte e s h oriz on ta l. P o r tanto ,la ve loc id ad en este pun to es , Ecuacion (8 .45), -l - =-U""_K_. K_- = > " . h - a f" + an [J; -y= n ,. ,.

F ig u ra 8 .1 7 . F lu jo a lre ded or d eun c on ju nto d e c ilin dr os c ir cu la re sc on fin ad os e ntr e p ar ed es p la na s:(a ) f iu jo p o te nc ia l v is ua liz ad opo r el m etoda de Hele-Shaw [T QEd u ca tio n a n d T ra in in g L td .];( b ) lfn ea s d e tr az a o bte nid ase xp erim en talm en te e n u n flu jorea l a R eD : : : : : : 6400_ [ Tom ad a d ef a Re f er en ci a 3 6 , c orte sia d e J ac kH oyt, co n pe rm iso d e fa A merica nS oc ie ty o f M e ch an ic al E n gi ne er s.]

-jT od os lo s ovalos de K elv in , po r se r m as estrecho s qu e un cilindrocircular, t ie ne n u na veloci- 1dad en e l pu n t? m as a lto rna~or qu e la de l c ilin d ro , . 2 . 0 U " " o bte nid a d e la _E cu ac i6 n (8.3~~~_. . ._._. - - - 1

III- I

Susti tuyendo K = U",a y h '= 1 . 5 4 3 4 a , ob t ene . rnosU ! y = h = U " , , ( 1 . 0 + 1.84 - 0.39) = 2 . 4 5 U " ,

;; ~

(a)

(b )

R e s p .

- 1IIII- t

' 1I


28/81

8 .5 . O t ro s f lu jo s p o te n c i a le sp l a n e s '

-

8 . S . O t ro s f lu jo s p o te n ci al es p ia n o s

A dem as de lo s casos p resen tados en las Secc iones 8 .3 y 8 .4 , en las Referenc ias 2 a Ise tra tan m uch os m as flu jo s p oten cia les de interes. E n p rin cip io , c ua lq uie r flu jo p ote n-c ia l p lano puede reso lverse po r e l metodo de la t ra n sfo rma c io n c o n fo rme , util izandola v aria ble c om p le ja-~----~- z = x + iyCu al qu ie r f un c i6 n analft ica d e la v aria ble c om p le ja z tiene la p rop iedad de que tan to sup arte rea l co mo su p arte im ag in aria so n so lu cio nes d e la ecu ac io n d e L aplace . S i

j (z) = j( x + iy ) = 1 1 (x , y) + i 1 2 ( X , y )ij a 2j i; a 2 ;_1+ _1= 0 = _ J _ ~ 2 + _12. . a x ? a i ' " . . . . . - a i . . . a i ' " . (8 ,46 ).. ..

D ejam os para e l P rob lem a C 8.4 la dem ostrac i6n de esta p rop iedad . L o m as no tab le , s inunca 1 0 h a v isto an tes , es q ue las lfneas i,c on sta nte s on p erp en dic ula re s a la s lin ea s Y 2c on sta nte e n to do e l p la no c om p le jo :( : L c ~ 1 (8 .47)E sto e s c ie rto p ar a c ua lq uie r f un ci6 n a rb itr ar ia f(z) s ie m pre q ue s ea a na litic a; e sto e s, q ue 't en g a d e ri v ad a dfldz iin ica en cada pun to de l dom in io . .~

E 1 resu ltad o d e las E cu ac io nes (8 .46 ) y (8 .47) es q ue las fu nc io nes i, y t,puedeninterpretarse COII;lO la fu nc i6 n p oten cia l y la fu nc io n d e co rrien te d e u n flu jo n o v isco so .Es costum bre que la parte rea l de f(z) se asoc ie a l po tenc ia l de ve loc idades y la parteim a gin aria a la fu nc i6 n d e c orrie nte :

J

, f ( z ) = < I > ( x , y) + i l f ; ( x , y ) (8 .48)P ro ba re m os . c on v ar ia s f unc i one s f(z) p ara v er s i re pre se nta n a lg iin tip o d e flu jo in te re -san te . P or su pu esto , y a h em os en co ntrad o m uch as, y s im p le m en te r ec op ila re m os a qu ia lg un as d e e lia s.

N o e ntrare m os e n d eta lle s, p ero h ay e xc ele nte s tra ta do s s ob re la te cn ic a d e la v aria bleco mp le ja , tan to in tro du cto rio s [4] co mo de n iv el m as av an zad o [2 ,3 ]. H oy en d fa , e l m e-to do h a p erd id o p arte d e su p op ula rid ad deb id o al au ge d e las tecn icas n um ericas.

C om o e je m plo s en cilio , c on sid er em o s 1a fu nc i6 n lin ea lf ( z ) = U ez = U s ; x + il l o o y

.,,'. Ir.

D e la E cuac i6n (8 .48 ) se deduce que < I> = U c o x y I f; = U , ; y , q ue r ep re se nta u na c or rie nteu nifo rm e en la d irecc i6 n d el e je x, E cu ac i6 n (8 .12 ). U na v ez q ue s e a co stu m bre a u tiliz arla v aria ble c om p le ja , la s olu ci6 n e sta ra p ra ctic am en te a s u a lc an ce .

L a v elo cid ad p ue de d ete rm in arse a p artir d e la d eriv ac io n d e < I> y t f ; p o r s ep a ra d o, 0 bienm e dia nte d er iv ac i6 n d ir ec ta d e f(z):

d f a < I > . a l j ; - - . a < l > a t / ! .- = - + 1- = -1- + - = U IVd z a x a x a y a y (8.49)P or tan to , la parte real de dfldz es igua l a u(x, y ) y la parte im ag inaria a -v(x, y). Parac on se gu ir u n r es ulta do p ra ctic e, la d er iv ad a dfldz d eb e e xis tir y se r tin ic a; d e a qu f la c on -

) E s ta s ec cio n p u ed e om itir se s in p er did a d e c on tin u id ad .


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_-_._----5 48 C ap itu lo 8 . F lu jo p ote nc ia l y Mec an ic a d e F lu id os C ompu ta c io na l

dic i6n de que f sea u na fun cio n an alitica . P ara f ( z ) = U o o z , d f l d z = U o o = u e s re al, p or ---;,-:-:1 0 que v = 0, com o era de esperar. ~- ..,.. .-

A lg unas v eces es co nven ien te u tilizar la variable co mp le ja en coo rden ad as po lares :

C o rr i e n t e u n i f o rm e c o n a n g u lo. . . . . . . . . . . , d e a ta q u e . . . . . . . . . "

_

F u e n t e s i t u a d a e n e l p u n to Z o

donde . .Esta fo rm a es especia lm ente conven ien te cuando aparecen po tencias de z .

T odos lo s fiu jos e lem enta les p ianos de la Secci6n 8 .2 pueden form ularse en term inos" de}~ variab le com ple ja . L a corrien teun ifo rm e Y o con . a!!gu lo de ataque ~.tieT le ._~,L ... ,.p ote nc ia l c om p le jo .f i ) ; ) = U c o z e - ia'Com pare es ta exp resi6n con la Ecuaci6n (8 .22 ).

( 8 . 5 0 )

Considerese una fuente bid im ensional de in tens idad m situada en un pun to arb itra rioz o = X o + i y o ' Su po tencia l com ple jo es

f l . z ) = m In ( z - ~ ) ( 8 . 5 1 )Se puede com parar esta exp resi6n con la Ecuacion (8 .13 ), que so lo es valida cuandola fuen te esta situada en el o rigen . P ara un sum idero bid im ensional, la in ten sidad m e S : , ~ : : . . , . . . .negat iva . . .

T o rb e l l i n o s i t u a d o e n e l p u n to Z o Si se sin ia un to rbe llino bid im ensional de , in ten sidad K en el pun to z o ' s u p ote nc ia lcom ple jo es

F lu jo a lr e d e d o r d e e sq u i n a s yr i n c o n es c o n a n g u l O a rb it r a r i o . .

f ( z ) = -iK I n (t - ~) (8 .52)que se debe com parar con la Ecuaci6n (8 .14). Com parando adem as con la Ecuaci6n (8 .51),se o bserva q ue al m ultip licar e l p oten cia l com ple jo p or - i , lo s p ap eles d e 4 > y l { ! s e i n vi er te n .

EI flu jo a lrededor de esquinas. y rincones es un case que no puede describ irse ade--cU lidam e~te ' m ed ian te superposic ion de fuentes, sum idero s y to rbe llino s. T iene unar e p r e s e n ta c i 6 n c o r n p le ja m u y s i m p l e : ; ' J ~ .,

f ( z ) = Azn = _ A rne in6 = A r n cos n O + i A rn s e n nedonde A y n s e n c on st an t es .

Segun la Ecuaci6n (8 .48 ), para este f lu jc s e tie ne4 > = A r n cos n O . ' " =A r n se n n O

En la F igu ra 8 .18 se han rep resen tado las line as de co rrien te dadas po r la Ecuaci6n(8 .53) para c inco valores d iferen tes de n . Se ve que el flu jo rep resen ta una co rrien te queg ira u n an gu lo f 3 = 1 T ' l n . L os casos de las F igu ras 8 . 1 8 d y e no son rea lis tas , ya que en ellado de aguas abajo de la esquina hay desp rend im ien to de la capa lfm ite deb ido al g ra-d ie nte a dv erso d e p re sio n y al cam bio b rusco de d irecc i6n . En genera l, e l d e s p r e n d i m i e n -to se p roduce s iem pre aguas abajo de los sa lien tes, 0 p ro tu be ra nc ia s, y e sq uin as, e xc ep toen m ov im ien to s len to s a bajos m im eros de Reyno ld s, Re < 1.


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,F igu ra 8 .18 . L in ea s d e c orr ie ntep ara e l f lu jo a lre de do r d e r in co ne sy e sq u in as , E cu ac i6 n (8 .5 3) :a ng ulo d el rin co n 0 esqu ina ( 3= (a ) 60 ; (b). 90 ; (c ) 120 ;(d ) 270 , y (e ) 360 .

It

F lu jo n o r m a l a u n a p la c a p la n a

--.,:--- . . . . . . . .

8.5. O tro s flu jo s po ten c ia les p ian os 5 49

(a ) (b )

3n=-2

(c ) (d ) (e )

..... P u es to q u e ~6 0 = 2 7 T ese l an gu lo m ax im o qu e pue de ten er u na e squ in a, lo s flu jo spara n < ~no rep re sen tan flu jo s a lred edo r de e squ inas . .

S i dup lic arno s e l d ibu jo de c ada un a de las F ig uras 8. l8a a C , o bte ne m os e l flu jo e ne l en tom o de l p un to de rem anso d e un rinc6n d e angu lo 2 f 3 = 2 7 T l n . E sto es 1 0 qu e seha hec ho en la F ig ura 8 .19 p ara n = 3 ,2 y 1.5 . E sto s flu jo s son m uy rea lis tas ; au nqu e e lfiu id o d esliz a p or la p are d, se p ue de n a co pla r b ie n c on la c ap a lim ite . C on a nte rio rid ady a tra ta m os b re ve m en te e sto s flu jo s, e n lo s E je m plo s 4 .5 y 4.9 y e n lo s P ro ble m as P 4.49a P 4 .5 1. .' ..: r.

T ra ta rem os este ca so po r sepa rado , po rque lo s 6v a lo s de K elv in de la F igu ra 8 .16 nolleg an a degen era r en una p laca p lan a cu ando K es p eq uefio . L a p la ca p lan a perp en -d icu la r a un a co rrien te in c iden te es un caso ex trem o d igno d e in te res .

A unq ue e lre su ltado es ' b~tan te s im p le , su o bten ci6n es m uy co mp lic ada y se d a, po re je m plo , e n la R efe re nc ia 2 , S ec ci6 n 9 .3 . S e n ec es ita n tre s c am b io s d e v aria ble c om p le ja ,o tra ns fo rm a cio ne s, c om e nz an do c on la s olu ci6 n d el c ilin dro c irc ula r d e la F ig ura 8. l4a .P rim e r o s e g ir a l a c o rr ie nt e u n if or m e p ar a d e ja rla d ir ig id a v e rt ic alm en te h a ci a a rr ib a , d es -p ue s se a pla sta e l c ilin dro h asta c on ve rtir lo e n u na p la ca p la na , y f in a lmen t e, l a c o rr ie n tein cid en te s e v ue lv e a p on er h oriz on ta l. E l re su lta do fin al p ara e l p ote nc ia l c om p le jo e s

(8 .54)d o nd e 2 a ..e sJ a a lt ur a d e la p la ca . P a ra a is la r c P 0 l / t , s e e le va n a l c ua dra do am bo s m i em b ro sy se se pa ra n la s p arte s re al e im a gin aria :

c P l / t = U~x yL a fu nc i6 n d e c orrie nte l / t se o btie ne d e

l / t 4 + l / t 2 V ~ ( x 2 - l + a 2 ) = u ~ x 2 l (8 .55)


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- 550 Cap itu lo 8 . F lu jo po tencia l y Mec an ic a d e F lu id o s C omp ut ac io n al

~"-

3n=-2

.(aL

(b ) (c )

F.igura 8.19. L in ea s d e c orrien te e n e l e nto rn o d e p un to s d e re m an so , E cu ac i6 n (8.53): a ng ulo d el r in c6 n 0 esquina f 3 = (a ) 12 00,( b ) 1 8 0 0 y ( c ) 2 4 0 .E n la F igura 8.20a se h a re prese nta do la E cu ac io n (8 .5 5), m ostra nd o u na c on fig ura ci6 ndoblem ente sim etrica de lineas de corriente que se acercan m ucho a la placa y despuess e d ef ie ct an , c on v el oc id ad es m u y altas y presiones m uy bajas cerca de los extrem os del a p la ca .

L a v el oc id ad U s a 1 0 largo de la p laca se determ ina calcu lando dfldz de I a Ecuaci6n(8.54) y q u e d a n d o n o s s 6lo c on la p arte im a gin aria :

Vs I y /a- u , = (1 2 1 2 ,112co su p e r f ic ie p la c a - Y a) (8.56)A c on tin ua ci6 n se ta bu I an alg un os v alore s d e la v elo cid ad e n la su pe rfic ie :

y /a 0 .0 0 .2 0 .6 0.7070.0 0.204 0.750 1.00

1 .000

E l o rige n e s u n p un to d e re man so ; la v elo cid ad c re ce lin ea lm en te a l p rin cipio y m uy ra pi-:: ._:~,. " ., dam cntc cercadel borde, sicndo infin itas la velocidad y l a ace le r ac ion eli el .

C omo p od ra im a gin ars e, la F ig ura 8.20a n o e s re alista . E n u n flu jo re al se d esp re nd e lac orrie nte e n e lb orde , o rig in an do se u na e ste la a nc ha y d e ba ja p re si6n a gu as ab ajo , c om oen la F ig ura 8.20b. E l c oefic ie nte d e re siste ncia , e n lu ga r d e se r c ero , e s b asta nte g ra nd e,t or na nd o e l v al or C D : : : = 2.0, dado en la T abla 7.2 .H elm holtz en 1868 y K irchhoff en 1869 desarro llaron una teona potencial con dis-continuidades que tiene en cuenta el desprendim iento de la corrien te . L a soluci6n co-rrespondiente a la linea de corrien te libre se m uestra en la F igura 8.20e, con la linea de


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8.6. Imagenes 5 5 1

. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . --. . .. .. .- ----( a )

..-.....u..

-," I \ "-"'/, ... , . " '.

(a ) (b )

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - .- - - - . . . .- -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~---~---_ ----y ...- . . . . .. . . . . . --.. . " , , " -.---~--_ ....."j" ,'," .,..,,"...< .r>. . . . . . . . . . . . . . . ~ - _ - - - -.. . ".

~,_ _ ,--+----:; .--+- . . . ./~ . ..--- . . . ._-+-----+~ - - .--(c ) (d )

n o lim itad os p or p ared es se p ued en m od ificar in clu yen do su efecto m ed ian te el m eto dade las imagenes . 1Con sid er emo s'u na f ue nte , s itu ad a a u na d is ta nc ia a de una pared , com o en la F igura ' --j

8.21a. P ara sim ular la p ared se sim a u na fu en te im ag en d e ig ual in ten sid ad y a Ia m ism a Id istancia por debajo de la pared . P or sim etria , las dos fuen tes dan lugar a una linea de -e - ~c or rie nte h or iz on ta l e ntr e e lla s, q ue e qu iv ale a la p ar ed . __j. En 1a Figura 8:2Ib , el torb ellin o cerca d e 1a p ared req uiere u n to rb ellino im ag en p or 1d eb ajo a 1am i sr na d is ta nc ia , p er o c on r ota ci6 n opuesta. Hem os som breado la p ared , pero _.1a co nfig uracio n tam bien p ued e in terp re tarse co mo el flu jo en 1ap ro xim id ad d e u na p are ja -::_de to rbellinos con trarro tato rios en un flu ido ilim itado . '

E 1 efe cto su elo so bre u n p erfil e n u na c orrie nte u nifo rm e se sim u 1a a iia die nd o e l p erfilim a ge n p or d eb ajo d el su elo c on c irc u1a ci6 n y s us te n ta ci 6n o p ue st as , F ig u ra 8.2Ie. Estop are ce fac il, p ero re alm e nte n o 1 0 e s, p orq ue lo s p erfile s e sta n ta n p r6 xirn os q ue in te ra c-c io na n e ntr e e llo s y cad a u no d isto rsio na la fo rm a d el o tro . C om o reg la , se p ued e co nsi-


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'" . . ",

.. - - ,--

"

8 , 6 , Imagenes 5 5 3

de rar qu e la d isto rsi6 n es im portan te si e l cuerp o es ta a un a d istancia de la pared in ferio rad os v ec es su c uerd a. P ara elim in ar la d is to rsio n es n ecesario afia dir a l flu jo u na se rie d eim ag en es d e "co rreccio n" co n o bje to d e recu pera r la fo rm a o rig in al d el p erfil a islad o. E nla R eferen cia 2 , S eccio n 7.7 5, e nco ntrara u na b uen a ex po sic i6 n d e este p ro ced im ien to ,!l111l' n or m alm e nte -r ia ie re p o L " " " , .1 " " -" . .. . . " ' . . , .1 " ' . . . . , , .1 ' " ' . . p""" "",.,...".lo s 0+0."'"'' do lnn mult iples, __ ... ... ... ... .. _ . ., ;-u l';.._ .... "1-........ ...,J.. Io4oVV- ......"'" I,4U V.1.U-"'uu ......J. Co4A. ,u , io1\.U .u .c .u . J.V ~.lI",;""\'V" \J ..I .(.&.0U U.U...1i!lC~im a ge n es n e ce sa ri as .

E n la F ig ura 8,2ld se m uestra u na fuen te en presen cia de d os p ared es. U na pa red s6 10requ iere una im ag en , com o en la F igu ra 8 ,2 1a, pero para d os p are des se n ecesita u na d is-tr ib uci6 n in fin ita d e fu en tes im ag en p or e ncim a y por deba jo de la con figu raci6n que seb usca d escrib ir, ta l com o se m uestra en la F igura 8 ,17 d . N o rm a lm e nte e s n ec esa rio h ac erla sum a co n ord enad or, p ero a veces es pos ib le o bten erla en fo rm a analitica , com o p ara lah ilera d e to rb ellin os d e la E cu ac i6 n (8 .2 8).

E JE M P L O 8 .5P ara lafu en te c erc ~'d e u na p ared .d e Ia F .ig u~a8 .21a , la v ~} oc id a:d en l a ;;u .e d'e s'n u la e nt~e1a fuente y su im a g en , a lc an z a un :Q1iximo~ald esp la za m os a )'o la rgo de la pared; Y r final-'~ente d ec a e a ce ro l e N ' s ,d e la s fu e~te s.s-L la ~i~n sld ad d e 1a fu e~te ' e s d e' 8 mr fs , ' l,a q u e,d is ta nc ia d e la p ared d eb e. s i tuarse l1i"fueI\ te 'g~a q u e t a- m a x im a , v e io c id il ct 'a .k f la rg o d e l et

.. , ,,"",' , .~4 'I. \p i ll ;e 4_e a d~ 2 J l l / . ~L ~ .S , o l u c i o n, C ; ~~o se o b se rv a e rr la Figu r a -E8r:5; 'en . un 'p~lJ.~o':1Sjtl . ia:d(nn: '!a;ateacada'1i:Jeil te 'indijc~'~una ve loe idad .r ad i a l'v , = mlr , qu e t iene una componen te v rcos 8 a lo la rgo d e',Iil p ared , L avelocidad to ta l en lapa red~s en .tO llc e s," .

Fuente m'= 8~/s/:; .- ,f", -

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E'uente.m

, U p r u .- e d = 2~r . ',c~~ 1 . '\ " ~ . : . .

D e 1a geomet r i a d e 1 < 1 :Figu r a : E 8 . ~ : ; r ,= { i : : , r a ! ) ' I 2 Y I ~ C Q S ; . f J , ; , = x l . r : , P o r ta nto , la v e lo c id a d t ot alen l a . p a red se p ued e exp re saF com o ,'- - , . . :," - -, ,

~----.......--~.-.-- ..-~.-:--,~....-:- --.1--c.7;~:~'2mx'

. . " . . . .\1"" _ .....

, L a . ve loc idad e s u u lie n-,x ::: 0 y ~n x : ~ co , Pa ra - ha l i a r la v e lo c id a d max ima ; de r i v amos eig ua la m os a c ere :

" , du '-=0,d x ". ' , ," men x = a


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554- C apftu lo 8 . F lu jo po tenc ia l y M e ca nic a d e F lu id os C om p uta cio na l--

8 .7 . T e o r f a d e p e rf i l e s '

C o n d ic io n d e K u t t a

F igu ra 8 .2 2 . L a cond icion deKu t t a s imula d e fo rm a a pro pia dae l fiu jo a lrededo r de u n p erfil;(a ) c ir cu la c io n r n en o r d e lan ecesa ria , e l pu nto de rem ansop os te rio r e sta e n la s up erfic iesupe r io r ; (b ) c ir cu la ci6 n e x ce si va ,e l pu n to d e rem anso po ste rio r e stae n la s up er fic ie in fe rio r;(e ) c ir cu la ci6 n c or re cta , laco nd ic i6n de K utta im plica q uela co rrien te ab andon a e l b o rd e d ea li da s u av em e n te .

I .H em os om itido . pa rte d el a lgeb ra a l p re sen tar e s to s re su ltado s. T en iendo en cu en ta e l va lo r'd ado pa ra la in ten sidad de -la fuente y l a - expres ion l 'ara-la- velocidad m ax im a, la 'd is tanciaap rop i ada a e s

a _ m _ 8 . m 2/ s _ - 1 - . 6 mUm a x : > m ls R esp; __ ~ ~

En x > a , e l g ra die nte d e pres iones a 1 0 la rgo de ' la p are d e s ad ve rs o, y se d eb e u til iz ar late orfa d e la c ap a lim ite p ara p re de cir e l d es pre nd im ie nto ,

C om o se h a m en cio nad o cu an do se h ab 16 d el teo rem a d e K u tta -Jo uk ow sk i p ara la su s-. t en t ac io n , E c n a ci on (8. ,43), e l . .prob lema e n . la te o rf ad e p e rf il es . co n sis te _ en d e te rm i n er ___ .la c ir cu la ci6 n n e ta r com o func i6 n de la fo rm a d el p e rfil y e l angu lo de a taq ue d e lac o r ri e n te i n c id e n t e a.

A un qu e la fo rm a d el p erf il y e l an gu lo d e a taq ue sean co no cid os, la so lu ci6 n p ro po r-c io nad a p or la teo ria p oten cia l n o es r inica: s e p ue de e nc on tra r u na fa m ilia in fin ita d eso lu cio ne s c ad a u na d e e lla s c orre sp on dien te a u n v alo r d e r. En la F ig ura 8 .14 se m os-tra ro n cu atro e jem plo s d e esta n o u nic id ad p ara e l c ilin dro c ircu la r . L o m ism o o cu rrep ara u n p erf il, y e n la F ig ura 8 .2 2 s e m u estra n tre s "s olu cio ne s" p ara la c orrie nte a lre-d ed or d e u n p erfil q ue s on m a te m atic am e nte a ce pta ble s, c on v alo re s p eq ue fio s (F ig ura8.22a) , g ra n de s ( F ig u ra 8 .22b ) y me d ia n os ( F ig u ra 8 .22e ) d e la c irc ula ci6 n to ta l .

( a )

(c )

5 E sta sec cio n p ued e o m itirs e s in p erd id a d e co ntin uid ad .


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8 .7 . T e oria d e p erfile s 5 55D e a cu erd o c on la d is cu si6 n d el c ap itu lo a nte rio r a ce rc a d el d esa rro llo d e la su ste nta ci6 n,Figura 7.23, d eb en a p od er d ed uc ir q ue c aso sim u la m e jo r e l flu jo re al a lre de do r d e u n p erfil.E n e ste c as o ( Fig ura 8.22c), l os flu jo s s up erio r e i nfe rio r s e e nc ue ntra n y a ba nd on an e l b ord ed e s ali da s ua vem en te . S i e l b or de d e s alid a e s lig eram en te re do nd ea do , h ab ra a lli u n p un to d e

. _ . _ _ ~ _ _ ~ z _ :-:-remanso_SieLborde. .de.. . sal ida.es. .afi lado ,_como _enla.m.ayor iade los perf i les , las velocidadesd el f lu id o e n la s s up er fic ie s s up erio r e in fe ri or d eb en s er ig ua le s a l a ba nd on ar e l p er fil.

E ste ra zo na rn ie nto fis ic o p ro po rc io na e l v alo r a pro pia do d e I'y s e a tr ib uy e g e ne ra lmcn -te a W . M . K utta , de ah i e l nom bre de c on dic io n d e K u tta ; sin em bargo , a lguno tex tos e1 0 a cr ed it an a J ou k ow s k i y / o a C ha ply gin . T od as la s te oria s d e p erfile s u tiliz an la c on dic i nd e K u tta , q ue c on cu erd a m u y b ie n c on lo s e xp erim en to s. E I v alo r c orre cto d e la c irc ula cio nI' u t t a d ep en de d e la v elo cid ad in cid en te , d el a ng ulo d e a ta qu e y d e la fo rm a d el p erfil.

d e I i c a p a d e t o rb e l l i n o s -p a r a u n a p l a c a p l a n a

L a p lica pla na 'es el pe rfil '-rn ~s'-sen dllo ; y aqu e n o"ue neru esp eso r 'iii "form a", rero"inc luso as! su teona no es tan sim ple. El problem a puede reso lverse m ediante la trans-fo rm a ci6 n c on fo rm e [2 , pag . 480], pero aqu i u tilizarem os la capa de torbellino s. La ,Figura 8.23a m uestra una placa plana de longitud C sim ulada por una capa de to rbe-llin os d e in te nsid ad v aria ble -y(x). L a c orrie nte lib re U " " form a un angu lo de a taque acon la cuerda de la p laca.

P ara qu e la su ste nta ci6 n se d irija h acia arriba co n el flu jo d e izq uie rda a de rec ba, co mos~ m uestra e~ la ~gu~a, la circu lacion debe ser en el sen tido de las agu jas del relo j. Re-cuerde de la F igu ra 8 .lIe que a traves de la capa de torbellino s hay un sa lta de velocidadtan ge ncia l que e s igu al a la in te nsidad loca l:

.- . . . . . '1S i om itim os la corrien te libre , la cap a deb e orig in ar u n flu jo h acia la d erec ha B u = + 2 ' - y

e n la su perficie sup erio r, e ig ual y en sen tid o co ntra rio e n la su perficie infe rior, com o sem uestra en la F igura 8.23a. La condici6n de K utta para este borde de salida afiladose traduce en que esta d ife renc ia de velocidades debe desaparecer en el borde de salidapara que e l flu jo sea alii suave y paralelo :

. ..... u ,': ,u i- ~ - y (x )

' Y ( C ) = 0 (8.57) ,', I! IL a so lu ci6 n a pro pia da d eb e sa tisfa ce r e sta c on dic i6 n, d esp ue s d e 1 0 c ua l s e p ue de c al cu la rla su ste ntac i6n to tal sum and o la in te nsidad de la ca pa so bre to do el pe rfil. D e la E cua ci6 n(8 .4 3) p ara u n p erfil d e a nc hu ra b :

r = Ie -y (x) dxoUna fo rm a a lte rn ativ a d e d ete rm in ar la s uste nta ci6 n e s a p artir d el c oe fic ie nte a dim e nsio -nal d e presio n C en las sup erficies su perior e in ferior:p

L = p U o o b f (8.5.8)

(8.59)do nd ela ultim a exp resion p rov iene de la e cua ci6n de B erno ulli. E l c uad rad o de la ve loci-d ad e n la su pe rfic ie se o btie ne c om b in an do la c orrie nte u nifo rm e y las com po nen tes d e lave loc ida d deb ida s a la c apa de to rbe llin os. D e la F ig ura 8.23a s e t ie n e:

U ; ' i= ( U o o cos a o u / + ( U O O sena)2= U ~ iu ; s cos a + oi ~U ~ ( 1 2 : o o U ) (8.60)


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55 6 C apitu lo 8 . F lu jo po tencia l y Meca n ic a d e F lu id o s C ompu ta ci on al

. .. ~ : ;.-.~

8642.. .. -,~.. , c , 0- s e n a

- 2

- 4- 6- 8

F ig ura 8 .2 3. S olu cio n para lap laca p lan a co n ang ulo d e ataq ueu tiliz an do ia c ap a d e to rb ellin os ;(a) g eo m etria d e la c ap a;(b ) c oe fic ie n te t eo ri co d e p re si ons ob re la s s up er fi cie s s up e ri ore i nf er io r ; (c ) v elo cid ad e n las up er fi ci e s up er io r, d o nd e l ospuntas D ind ican el pu nto d ed es pre nd im ie nto d e la c ap a lim i telaminar .

y t

1y ( x } . . - . - - ou ' " ly~J -.." - - -2. _O U O O O O O O O O O O x",Cx

o ,__.ou '" ly- 2 "( a )

( b )

..Desprendimiento:D(6) D ( 5 )

. . D W ) D (30)

0 .2 0 . 6 1 .0.4(e )

xC .: .

d on d e, e n la u ltim a e xp re si on , h emo s h ec ho la s a pr ox ir na cio ne s 8u ~ U co y cos a "'"1 porc on sid er ar p eq u ef io e l a ng ul o d e a ta qu e, E np rim e ra aproximacion, l as E c ua c io n es ( 8.5 9 )y (8 .6 0) se co m bin an p ara d ar - - -

(8.61)L a su sten ta ci6 n es la in teg ra l d e la d iferen cia d e p resio nes ex te nd id a a to da la lo ng itu dd el p er fil, s up u es to d e a nc hu ra b :

." " . 'L ':::. I C ( P i' - P~)b'(fi.. "o

- L I I d x 1 1 " 1 ( x )o C L = t p U ; b C = 0 (C p I - C p ) C = 2 0 U O O d C (8 .62)L as E cu ac io n es ( 8,5 8) y (8 .6 2) so n to ta lm e nte e qu iv ale nte s d en tro d e la a pro xim a ci6 n d ea ng ulo d e a ta qu e pequefio, - _


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. . . . .

8.7. Teoria de perfiles 557

L a in ten sid ad d e la ca pa y(x) s e d ete rm i na d e la c on dic i6 n d e q ue la v elo cid ad n orm a lvex) e s ce ro en y = 0 , y a q ue re pre se nta u na p la ca s6 lid a 0 s u p er fic ie d e c o rr ie n te . C o n s i-d eran do u n e le m en to d e c ap a y dx s it ua d o e n x o ' 'Lave loc idad v e n e l p un to x d e la c ap a e sla d e bid a a u n to rb e llin o b id im e n sio n al d e in te n sid a d a T = - y d x:

dv l=:~~:-~;-L a v elo cid ad n orm a l e n e l p un to x in du cid a p or to da la c ap a e sI c - ydxvcapa = - 0 2 7 T ( X O - x)

M ie ntra s ta nto , d e la F ig ura 8.23a, la c o rr ie n te u n if or m e in d uc e u n a v e lo c id ad n o rm a l- -- - -- c o n s ta n t e e n c ad a p un to d e ' l i i ' c ap a d ad a po r---- '- ... .. . _... - ._- .. . .. .. .. .. ..- .. .( 8 . 63 )

Veo r r i e n t e = U" , s e n aH aciendo qu e la sum a de v y v . se a ig ua l a ce ro , s e o btie ne la e cu ac i6 n in te gra lc ap a com en teI c v d x-- = 2 7 T U oo sen ao x o - xq u e d eb e re so l:v ers e p ara y(x) con la cond ic i6 n d e K u tta y ( C ) = 0 , d ad a po r la Ecu a -c io n (8 .5 7 ). ', .

A un qu e la E cu ac io n (8 .6 4) e s b as ta nte d iffc il (y n o s6 lo p ara lo s p rin eip ia nte s) ; fu ere su elta h ae e tie m po u tiliz an do f6 rm u las in te gra les d esa rro llad as p or P ois so n en e l s i-.glonx. L a ln te ns id ad d e l a cap a qu e s a tis fa ce la E cu ac i6 n (8 .6 4 ) e s ' .. . . .

(c ) 1 / 2

y~ x) = 2 U r x > sen a -:;- 1

(8 .64)

(8 . 65 )E l e oe fie ie nte d e p re sio n e n la s up erfie ie se o btie ne d e la E cu ac io n (8 .6 1):

. ( ) 1 / 2C p .. = = + = 2 sen a C - 1J.' X ( 8 . 66 ) - ' , l O tE n te xto s a va nz ad os [p or e je m plo , 11, C ap itu lo 4 ] s e d an lo s d eta lle s d el c alc ulo .

E n la F ig u ra 8.23b se h an rep re sen tad o lo s co efie ien tes d e p re s i6 n d e la E cu ac io n(8 .6 6), m o stran do q ue e n la su pe rfic ie su pe rio r la .p re si6 n a um e nta co ntin ua m en te co nx , es to es , h ay u n g rad ien te ad ve rso d e p re s io n. L a v elo cid ad en la su perf ic ie su perio rU s = U ' X ) + B u = U ' X } + ~y se h a rep re sen tad o en la F ig ura 8.23c p ara v ario s a ng u lo sd e a taq ue . P o r en e im a d e a = 5 , la c o ntr ib u cio n Bu d e la cap a e s a lred edo r d e l 2 0%de U ' X } ' lu e go s e v io la la h ip o te sis d e p e qu e fia s p e rtu rb ae io n es . E n la F ig u ra 8.23c t amb i ense m u es tran lo s p un to s d e d esp re nd im ien to d e la ea pa lfm ite la m in ar c ale ula do s p o~ e lm e to do d e T hw a ites , E cu ac io ne s (7 .5 4) y (7 .5 5). L a p re dic cio n, a pro xim a da m en te c o-rre cta , e s q ue la p la ea p la na s ufre u n d es pre nd im ie nto m a siv o e n la su pe rfie ie su pe rio r q ue

. -:~~.:. p ro vo ca Ia en t r a da e n p erd id a p ara a :: > 6,..E l c oe fie ie nte d e su ste nta cio n d el p erfil e s p ro p ore io n al a l a re a e ntre ~I y C p o en la

F i gu r a 8.23b, d e la EC u ae i6 n ( 8.6 2 ):C , = z J , ' ; d W = 4 s e n a J . t - 1rd ( ~ ) = 2 1 T s en a ~ 2 1 T a ( 8 . 67)E ste e s u n resu lta do c las ico a l q ue y a a lu dim o s a nte rio rm e nte en la E cu ac io n (7 .7 0) , s indemos t r a r l o .


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558 C ap itu lo 8 . F lu jo po tencia l y Mecanica d e F lu id o s C omp ut ac io n al

T am bien es interesante el coeficiente d e m om en to alreded or d el bo rd e d e ataq ue (B A)del p erfil, co nsid erad o po sitiv o en el sen tido co ntrario de las ag ujas d el re lo j: .

MB A ( 1 X ( x ) 1 1 ' 1C _ . M . . : :: , B : . . :_ A = _ _ r y l p u ; , b C - : ~ J b - ( C ~ s ~p)Cd C = " 2 se n a = 4 . C L (8 .68) _---

P or tanto , e l c e nt ro d e p re s io n e s (CP), 0 p o si ci 6n d e l a s us te nt ac i6 n r es ul ta nt e, esta situa-do en el pun to un cuarto de la cuerda:(8.69)

Este resu ltad o te6 rico es in dep en dien te d el an gu lo d e ataq ue .. ~~tos resultado s p ued en c~m p~arse c? ,n "los resultad os ex perim en ta lesd e los p e.!:'...._.

files N ACA de la Figura 8 .24. EI perfil N ACA m as delgado tiene ti C = 0.06 y el m asgrueso tiene un espe or del 24%, 0 ti C = 0,24. La pendien te de la curva de sustenta-ci6n dCJda esta den tro d el 9 % d el v alo r teo rico 2 1 1 ' p ara to das las fam ilias de p erfilesde tod os lo s esp eso res. A l au mentar el esp eso r, C L.m u y el angulo de en trada en perd idatienden a aum entar. EI angu lo de entrada en perdida es aproxim adam ente de 80 cuandoti C = 0.06, y pu ede ser in c1u so m en or p ara u na p laca p lan a, 1 0 q ue p err nite v er if ic ar la sestim aciones hechas para el desprend im iento de la capa lim ite en la F igura 8.23c.L as m ejo re s a ctu ac io ne s p ara cu alq uie r tip o d e p erfil su ele n co rresp on de r g en era lm en tea esp eso res d el 12%.

T e o r i a p o t e n c ia l p a r a p e r f i l e sg r u e s o s c o n ' c u r v a t u r a . , L a teona de perfiles g ruesos c~n curvatura se da en tex~os avanzados [por ejem plo, 2a 4]; en la Referencia 13 hay una revision com pleta y d eta lla da d el c omp ortam ie ntode perfiles tan to en ftu jo v iscoso com o no v iscoso.

B asicam ente , la teorfa u tiliza la tran sfo rm acio n con fo rm e para transform ar el flujoalred ed or de u n cilin dro circu lar con circulacion , F igu ra 8.14, en el flujo alreded or d e unp erfil cu alq uie ra c on circ ula ci6 n. L a circ ula cio n se aju sta e nto nc es p ara c um p lir la c on di-c i o n d c-K utta de flu jo su av e en ei b ord e d e salid a.

P re scin die nd o d e la fo rm a e xa cta d el p erfil, la tra nsfo rm ac i6 n c on fo rm e p re dic e q ue lac ircu la ci6 n c orre cta p ara c ua lq uie r p erfil g ru eso co n c urv atu ra e s

(8.70)

donde ( 3 = tg - I(2h1C) Y h es la fiecha maxima , 0 desviacion m axim a de la linea m edia delp erfil co n respecto a su cu erd a, com o m uestra la F ig ura 8.25a.E l co efic ie nte d e su sten ta cio n p ara p erfile s d e a la rg am ien to in fin ito e s

p u o o r ( t )CL = I 2 = 2 7 T 1 + 0 . 7 7 - se n (a + (3 )2 P U " " b C C (8.71),". ~ I~ ...... qll~ s e reduce a la E r . 1 I 3 c i 6 n (8 6 7) cu an do ~ 1 espesor y ]( l c u r v a r n r a s on le w La F i g n r a

8.2 4 m uestra q ue el efecto te6rico d el espesor 1 + a .77e t lC) n o co ncu erd a co n lo s e xp eri-m en to s. E n a lg un os p erfile s la su ste ntac i6 n a urn en ta c on e l e sp eso r, en o tro s d ec rec e, y enn ing iin caso se aju stan d em asiad o a la teo ria, L a raz6 n p rincip al d e la d ificu ltad esta en elc re cim ie nto d el e sp eso r d e la ca pa lim ite e n la su perfic ie su pe rio r, q ue a fec ta a la "fo rm a"d el p erfil. A s! p ues, es co stum bre elim inar d e la teon a el efecto del espesor:

(8 .72)


40/81

8 .7 . T eo rfa d e p e rfile s 5 59

5 12%tC

I ' ' _18%

, .tC

, I!

_, . ..' I.F ig u ra 8 .2 4. C a ra cte ris ti ca ss us te nt ad or as d e p er fi le s li so sN AC A en fun c i6n d e la re laci6ne sp es or -c ue rd a, p ar a a la rg am ie ntoi n f in i to , [D e la R eferen cia 1 2.]

12%tC

15% 18%

L a teo ria p red ic e co rre c tam en te q u e un p e rfil co n cu rv a tu ra tien e su s ten ta c i6 n fin ita aangu lo d e a taqu e nu lo y su s ten ta c i6 n nu la (SN ) a un angu lo d e a taq u e

_12h1SN = -f 3 = -tg -. C (8 .73)L a E cu ac i6 n (8 .73 ) so b ree s tim a e l angu lo d e su s ten ta c io n nu la a lred edo r d e 1 , com o sem ues tra en la T ab la 8 .3 . L os v a lo re s m ed id o s so n p rac tic am en te in d ep end ien tes d e l e s-p e so r . L a d e s ig n ac i6 n X X en la s se rie s N AC A ind ica e l e sp e so r en tan to po r c ien to , y lo so tro s d ig ito s se re fie ren a la cu rv atu ra y o tro s d eta lle s . P or e jem p lo , e l p erf il 2 415 tien eun a cu rv a tu ra m ax im a d e l 2% (p rim er d ig ito ) , q u e se d a a l40% de Ia cu e rd a (seg undo


41/81

-- -- 560 - Cap itu lo 8 . F lu jo p o tencia l y Mec an ic a d e F lu id os C ompu ta c io na lT ab la 8 .3 . A ng ulo d e a ta qu e d e Serle p e rfil Cu rva tu re h i e , % aSi" expe rim en ta l, g rade s - / 3 , t e e ri co , g r ad e s-susten taci6n nu la pa ra-perfiles - -'- ..:..... ..:.:...._ .. ! . . - ' _N A C A . . ~ 2 4 X X 2.0 -------2.]-- ----~-2.3

44XX 4 .0 -4 .0 -4 .6230XX 1 .863-2XX 2.26 3 -4XX 4 .464-1XX . 1 . 1

-1.3-_-:f.s - --3.1-0.8

-2.1-2.5-5.0-1.2

d ig ito ) c on u n e sp eso r m a xim o d el 15% (lo s d os iiltim o s d ig ito s). E l e sp eso r m a xim o n ose d a n ec es aria m en te e n la m ism a p os ic i6 n q ue la c urv atu ra m a xim a .

L a F ig ur a 8 . 2 5 b m uestra la po sic i6n m ed ida del c entro de pre sion es de v ario s p erfi-le s MACA , sim e tric os y co n c urv atu ra . E n to do slo s c aso s-x ~p dis ta m e no s d e '0 '.02 d e la--'-'-"--"lon gitu d de la cue rda d el pu nto u n cu arto q ue predice la teoria , E cua ci6 n (8 .69). E n los

.'

L in ea m ed ia

(a)

Xc pC

6% tC

(b )

.CD m in

F ig ur a 8 .2 5 . C a ra c te ri st ic a s d eperfiles NACA : (a ) per fi l t ip i cogrueso y co n cu rv a tu r a; 0 ' ' ' ' 6 %( b ) c e nt ro d e p re si on es , y t( c ) m i nim o c oe fi ci en te d e Cresistencia. (c)


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8 .7 . T e oria d e p er file s 5 ( , 1perfile s estandar con cu rva tu ra (series 24, 44 Y 23 0) esta s ituado lige ram en te delan te dx/ C = 0.25 Y en lo s perfile s de baja res is tenc ia (se rie 60) lige ram en te de tras. E n lo s per-file s s im e tric os e sta e n 0.2 5.

L a F ig ura 8.25c m uestra e l coefic ien te de resis tenc ia m in im o de lo s perfiles N ACAel) .._f \. ln c i6n -de]_espesQr~CQm o-se-men r jon6_an te r ionnen te_con_[espec ta .a la F igu ra 7 .25 ,c ua ndo se a lisa su su perfic ie e sto s p erfile s tie nen m en os resistencia que una placa p lanacon capa lim ite tu rbu len ta, espec ia lm ente lo s de la serie 60 de ba ja res is tenc ia . S in em -b ar go , c on r ug os id ad es tandar to do s lo s p erfile s tie ne n m as 0 m e no s la m ism a re sis te nc iam in im a, aprox im adam en te un 30% m ayor que la de una p laca p lana lisa .

A J a s d e a la r g a m i e n t o f i n it o L os resu ltados de la teo rfa de perfiles de las subsecc iones p rev ias son validos para a lasb id imensionales 0 de a la rgam ien to in fin ito . P ero todas las a las rea les tienen ex trem os y.. . .. .. .. .... ',., . ,_. ,,.,.,,,_ .. ..s o ii, p or tan to ':'c te 'en ve rg ad ura "fin itao "'re Ia ci6 n d e"a sp ec to RA fin Ito ; de firu do ' c o m o

b 2 bRA=-==A p C

donde b e s la e nv er ga du ra 0 d is ta nc ia e ntr e e xt rem o s 0 pun tas del a la y A es e l a rea de lapfo rm a e n p la nta d el a la v ista d esde a rrib a. L os c oe fic ie nte s de su ste nta ci6 n y resis ten ciade un a la de a largam ien to fin ito dependen fuertem en te de la re lac i6n de aspec to y m uyp_o~o~el a .rea d~ ~a4o rm a en p lanta . _

L os torbellino s no pueden te rm inar en e l flu ido ; 0 b ien se e xtie nde n h asta lo s c on to r-nos 0 b ie n fo rm an un circ uito c errad o. L a F ig ura 8.26a m ue stra c 6m o lo s to rb ellin os q uep ropo rcionan la c ircu lac i6n a lrededor del a la se cu rvan aguas abajo en lo s ex trem os de

.. " '-u n"a la d e a la rg am ie nto fin ito , a lin ea nd ose c on I I I c orrien te p ara un irse le jo s a gu as a bajo'fo rm ando e l to rbellino de arranque (F igura 7 .23 ). L os to rbe llino s ~e m ayo r in ten sidadse desp renden de lo s ex trem os, pero a lgunos se desprenden de l in terio r del a la , com om u es tra e sq uem atic am e nte la F ig ura 8.26b. L a c ir cu la ci 6n e fe ct iv a I '(y) d e l os t or be ll in o sdesp rendidos es cero en lo s bo rdes y , genera lm en te , tiene un m ax im o en el p lano cen tra l,o ra fz de l a la . E n 1918 , P rand tl m ode16 este flu jo de fo rm a sa tisfac to ria reem plazando e la la p or u na lin ea s uste nta do ra y u na c ap a s em iin fin ita d e to rb ellin os d e in te nsid ad ,,(y) =df /dy, com o en la F igura 8.26c. Cada to rb e ll in o e lemen t a l " ( 7 ) ) d 7 ) i nd uc e u na v el oc id adver t ical dw( y ) d ad a p or

," ' .. '

, t.

dw( y ) = Y(7))d7)4 1 T ( y - 7 ) )

---~--.

en e l pun to y d e la lin ea su ste nta do ra . N 6te se e l fac tor 4 1 T en e l denom inado r en lugar de2 1 T a causa de que lo s to rbe llino s se extienden desde 0 hasta + 0 0 en lugar de desde - 0 0hasta + 0 0 .

L a v elo cid ad v ertic al to ta l d esc en de nte w( y ) inducida po r e l s is tem a com ple to de to r-b ellin os d es pre nd id os e s

1 r C Y 2 )b Y(7))d7)- w (y ) = -, J ' .- - - - - ' - - - - . , 4 1 T Y _ . 7 )- C l/2 )b (8 .75)C uando esta velocidad vertical se sum a vec to ria lm en te con la con ien te inc idente U " " e langu lo de a taque efec tivo en esta secc i6n de l a la es

-1 W Wa = t g _""=-I o ; V a l (8 .76)

donde hem os hecho usa de la ap rox im ac ion de pequefia am plitud w ~ V 00'


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5 62 C ap itu lo 8 . F lu jo p ote nc ia l y Mec an ic a d e F lu id o s C omp ut ac io n al~----- - ---

F ig ur a 8 .2 6. T eo rta d e la lfn eas u st en ta d or a p a ra a la s f in it as :(a ) s is te m a d e to rb ellin os r ea l e nla e ste la de un a la ; (b ) s imulac i6nd e l s is tem a d e t or be ll in o s"lig ad os " a l a la ; (e ) v elo cid adv ertic al in du cid a e n e l a la d eb id aa u n e le m en to in fin ite sim a l d eto rbe l li no s de sp r end idos .

y

Circulaci6nr(y)

( b )

Alay, 1 1/

y( T O d ry = e le m en to c ap a t or be lli nod w : : v el oc id ad d eb id a a 'Y d ry

(e )

E l U ltim o p aso c on sis te e n su po ne r q ue la c ircu la ci6 n to ta l f ( y ) es igua l a la de unp er fi l ( bid ime ns io n al ) de .l a m i sma f orma y con e l m is m o a ng ulo d e a ta qu e c fe ctiv c. D el a t eo ri a d e p erf ile s d el ga do s, E c ua cio ne s (8 .5 8) y ( 8 .6 7 ), t e n emo s

o

pUJ. ' bCL = ~ pU~ bC " '" 21Tl l e f

f "'"cu; (8.77)


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8.7. T een a d e p erf ile s 5 63C om bin an do las E cu ac io nes (8 .75 ) a (8 .77), o bten em os la teo rfa d e P rand tl d e la lfn eas us te n ta do ra p a ra a la s d e a la rg a rn ie n to f in it o:

~- ---- (8 .78). q u e e s u n a e c ua c i6 n i nt eg r od if er en c ia l p a ra I '(y) c o n l as c o n di ci on e s f(!b) = I'( -~b) = O .E sta e cu ac i6 n e s s im ila r a la e cu ac i6 n in te gra l ( 8.6 4) p ara p erfile s d elg ad os , p er o rn uc hom a s co m plica da . U na v ez q ue s e h a re su elto , la su ste ntac i6 n d el a la y l a r es is te n c ia i nd u -c id a e sta n d ad as p or

f(l/2)b

L = p U " " r(y) d y. -..,." - (1I2)b- f (1I2)bD , = p ll ; r (Y)O'b) d y.. ." ..... - (l/2)b .. .- (8 .79)

T en em o s a qu i u n c as o e n q ue la res is ten cia n o e s n ula e n u n flu jo n o v is co so , d eb id o a q uela v elo cid ad v er tic al h ac e q ue la s us te nta ci6 n s e in clin e h ac ia a tra s u n a ng ulo a; d e m O ~9q ue p ro po rc io na u na co mp on en te d e re sis ten cia p ara le la a la d irecc i6 n d e la co rrien teinc idente , d D . = d L sen O '. ::::< d ia .., "L a s olu ci6 n c om p le ta d e la E cu ac i6 n (8 .7 8) p ara u na fo rm a e n p la nta a rb itrar ia C ( y )y u n a t or si 6n a rb it ra ri a a(y) se d a en tex to s av an zad os [p or e jem plo , 11]. S in em barg o,e xiste u na so lu cio n s en cilla en e l c as o d e u n ala d e fo rm a e n p la nta e lip tic a y s in to rs i6 n: ,

C ( y ) = C o [ 1 - ( 2 : J r 2E I a re a y a la rg am ie nto d el a la s on .-. .

J (lI2)b iA p = C d y = - 7 T ' b C o-(lI2)b 4 4 bRA=-1 1 ' C o (8 .80)L a so lu cio n d e la E cu ac i6 n (8 .78 ) p ara e sta C ( y ) e s u na d is trib uc i6 n d e c irc ulac i6 n q uetam b ie n tie n e f orm a e lf ptic a: : {,

r(y) = r, [ 1 - ( i J r 2S us titu ye nd o e n la E cu ac i6 n (8 .7 8) e in te gra nd o s e o btie ne u na r ela cio n e ntre r o y C o :

r - 1 1 ' C o U " " a0- 1 + 2 /RA

donde a e s c on sta nte a 1 0 la rg o d el a la s in to rs i6 n.S us titu ye nd o e n la E cu ac i6 n (8 .7 9) s e o btie ne la s us te nta ci6 n p ar a e l a la e lfp tic a:

. . . . . . ' I t ' L = ~ 7 T ' 2 b C o P U ~ O ' / ( 1 + 2 1 R A )

2 1 1 ' 0 'C ------ L = - I+-2 /RA (8 .81)S 1g en er aliz arn os e sto a u n a la fin ita g ru es a c on c urv atu ra y d e fo rm a e n p la nta a pro xirn a-d a rn e n te e li pt ic a , t en emo s

(8 .82)


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5 64 C ap itu lo 8 . F lu jo p oten cia l y Mec an ic a d e F lu id o s C omp u ta ci on a lE ste resultado se d io sin dem ostraci6n en la E cuaci6n (7 .70). D e la E cu ac i6 n (8 .75), la - --_ve locid~d_vertical para e l ala elfp tica es constants: __ ..._-

2 U " , aw(y) = = c te----------------- 2 -+RA - - -, - - - -

F ig ur a 8 .2 7. Comparac ion e n t r ~ " i a 'teoria y lo s e xp er im e nto s p ar a u na l a f in i ta : (a) s u st en t ac i 6n med i d a[ 1 4 ] ; ( b ) p o la r m e d id a [14 ];(c) s u st en ta c i6 n r ed u ci da a l c a sod e a l ar g am i e n to i n fi n it o ; (d ) polarre du cid a a l c as o d e re la ci6 n d ea spec to in f in i ta .

(8 .8 3) "

F in alm en te , d e la E cu ac i6 n (8 .7 6), el c oeficien te d e re sis te nc ia in du cid a es -w C ICD=CL-=-I U ", 'lT R A (8.84)

q ue ta mb ien s e d io s in d em os tra ci6 n en la E cu aci6 n (7.71).E n la F ig ura 8 ,27 se m uestra la efectiv idad de esta teo rfa cu an do se co mpara co n lo s

e ns ay os en a la s n o elip tic as y -c on c urv atu ra rea liz ad os p orP ra nd tl e n 192 1 [14]. L a~"'""'''~'--Figuras 8.27a y b mu es tr an la s c ur va s d e s us te nta ci6 n y la s c ur va s p o la re s d e r es is te nc iap ara c in co re la cio ne s d e a sp ec to d if er en te s. O b se rv es e q ue h ay u n in cre m en to d el a ng ulod e e ntra da e n p erd id a y d e l a r es is te n ci a y u na d is min uci6 n en la p en dien te d e la s us ten -ta ci 6n c ua nd o d ism in u ye e l a la rg am i en to .

rr' i" '" , '\. . P = 5 'I ' . I 00 I10 20 0. 1 0. 2a Co

(a ) ( b ) - . . .1.5

15 a+p--1+ 2 fR A(c )

'"II

0" la 0.05 0. 1c lCo -- 1 t R A

(d )


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.

E s t e la d e . t o rb e l l i n o s e n a v i o n e s

f .l_ ..

F ig ura 8 .2 8. Visua l i zac ionm ed ian te hu mo de lo s to rb ellin osen lo s ex trem os de las a las d e

.~-.lJIiB oe in g 7 37 . L os to rb ellin osde las gran de s ae ronaves puedens er e xtre m ad am e nte p elig ro so sp ara lo s s ig uie nte s a vio ne s,esp ec ia lm en te s i es te s so np eq ue iio s. E ste e xp erim e nto fu ep ar te d e u na in ve stig ac i6 n d irig id aa a liv ia r e sa s e ste la s g ira to ria s.[F oto d e fa N AS A.]

8 .7 . T eo rfa d e perfile s S ()3

L a F igu ra 8 .27 c m uestra la sus ten tac i6n rep resen tada en funcion del angu lo de ataqueefectivo aef = (a + {3)/ (1 +. 21 R A ) , com o predice la Ecuaci6n (8 .82 ). Estas cu rvas debe-nan ser equ iva len tes a las de un ala de alargam ien to in fin ito , y de hecho todas co lapsanex cepto cerca del d esp ren dim ien to . Su p en dien te cormin dC /da es a lrededo r de un 10%r ne n oc .q u e.e l.v a lo c ...e 6 ri cQ -2 ,.~ ,-p e rQ e st o.e s-c o ns is te n te c .o I! l os . e f e c to sde espesor y defo rm a en p lan ta observados en la F igu ra 8 .24.

L a polar de la Figura 8 .27d , que recoge lo s dato s de resistenc ia , se ha rep resentadoah ora restan do la resisten cia in du cid a te6 rica C D i = q/(1 T R A) . De nuevo , excepto cercade la entrada en perdida , los dato s co lapsan en una un ica linea con coefic ien te de res i s-tenc ia ap ro xim ad am en te co nstan te co rresp on dien te a a larg am ien to in fin ito , C D O : : : : : 0 . 0 1 .Conclu im os que la t eona para a las fin itas es m uy efec tiva y se puede u tilizar en ca lculosd e d is ef io .

Los to rbe llino s de la este la en la F igu ra 8.26a son rea les, no fo rm an parte de n ingunaabs t racc i6n matematica . En un av i6n com erc ia l, d ichos to rbe llino s son in tensos y persis-ten tes , hasta e l pun to de que pueden pe rv iv ir du rante kil6m etros detras de un g ran av ion,pon iendo en pelig ro a lo s siguien tes av iones a l p rovocar m om entos de g iro . L a persistenc iade los to rbe llinos gob iem a la separac i6n en tre aeronaves y determ ina , por tan to , la capa-c idad de un aeropuerto . En la F igura 8 .28 se m uestra un ejem p lo de es t

frank m. whithe cap 8

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