Matematica IFrancescoBonsanteeGiuseppeDaPrato31Maggio2008Contents1 Numerireali 11.1 Sottoinsiemidi Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Estremosuperioreeestremoinferiore . . . . . . . . . . 21.2 Numerireali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Sezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Relazionedordinein R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Teoremadiesistenzadegliestremisuperioreeinferiore . . . . 41.3.1 Operazioniconinumerireali . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Radiciepotenzedinumerirealipositivi . . . . . . . . . . . . 61.4.1 Potenzarealediunnumeroreale . . . . . . . . . . . . 71.5 Logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Successionidinumerireali 92.1 Denizionedilimite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Alcuniesempinotevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Successionilimitateemonotone . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Operazioniconilimiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 Punti limitedi unasuccessionelimitata. Limiti superioreeinferiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.6 CriteriodiCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6.1 Ilnumeroe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.7 Successioniillimitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.7.1 Successionimonotone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.7.2 Operazioniconilimiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.7.3 Punti limite di una successione qualunque. Limi-tisuperioreeinferiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23iii3 Serie 253.1 Denizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Criteridiconvergenzadiunaserie. . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.1 Criteriodelconfronto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.2 Criteriodelrapporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.3 Criteriodellaradice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.4 Serieaterminipositivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.5 Serieasegnialterni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Convergenzadimedie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 Funzionirealidiunavariabilereale. Limitiecontinuit`a 354.1 Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.1.1 Limitiinniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1.2 Limitiperx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Funzionicontinue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.1 Continuit` adialcunefunzionielementari . . . . . . . . 425 Funzionirealicontinueinunintervallo 455.1 Continuit`auniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Massimieminimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.3 Esistenzadeglizeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.4 Continuit`adellafunzioneinversa . . . . . . . . . . . . . . . . 515.5 Funzionimonotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.6 Funzioniconvesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556 Derivate 596.1 Denizionediderivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.1.1 Derivatadialcunefunzionielementari . . . . . . . . . 616.2 Regolediderivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.2.1 Derivazionedellafunzioneinversa . . . . . . . . . . . . 636.2.2 Derivazionedifunzionicomposte . . . . . . . . . . . . 656.3 Propriet` alocalidiunafunzioneI . . . . . . . . . . . . . . . . 676.3.1 Formeindeterminate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.4 Propriet` aglobaliI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.4.1 Derivatedifunzioniconvesse. . . . . . . . . . . . . . . 726.5 Derivataseconda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.6 Propriet` alocalidiunafunzioneII . . . . . . . . . . . . . . . . 756.7 Propriet` aglobaliII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77iii6.8 Derivatediordinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787 Integrazione 817.1 Denizionedellintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.2 Propriet` adellintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.2.1 Linearit`a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.2.2 Additivit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.2.3 Positivit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.2.4 Teoremadelvalormedio . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.3 Dipendenzadellintegraledagliestremidiintegrazione . . . . . 887.4 Primitivediunafunzionecontinua . . . . . . . . . . . . . . . 897.5 Integrazioneperparti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.6 Integrazionepersostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928 Successionieseriedifunzioni 958.1 Convergenzadiunasuccessionedifunzioni . . . . . . . . . . . 958.1.1 SuccessionidiCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.2 Passaggioal limite sottoil segnodi integrale e teoremadiderivazionepersuccessioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.3 Approssimazionediunafunzionecontinuaconpolinomi. . . . 998.4 Seriedifunzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.4.1 Integrazioneederivazioneperserie . . . . . . . . . . . 1038.4.2 SeriediTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049 Spazimetrici 1079.1 Denizionedispaziometrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.2 Limitidisuccessioni,spazimetricicompleti . . . . . . . . . . 1099.3 Limitiecontinuit` adiapplicazionifraspazimetrici . . . . . . 1119.4 Propriet` ageometricheetopologichediunospaziometrico . . 1129.4.1 Insiemiapertiechiusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129.5 Caratterizzazionetopologicadellacontinuit` a . . . . . . . . . . 1149.5.1 Distanzaindottasuunsottoinsiemedi(X, d) . . . . . 1159.6 Compattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1169.6.1 TeoremidiWeierstrasseHeineCantor . . . . . . . . . 1189.6.2 Intersezionedifamigliedicompatti . . . . . . . . . . . 1209.6.3 InsiemediCantor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219.7 IlTeoremadiAscoliArzel`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.8 Spazimetriciseparabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126iv9.9 Connessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279.9.1 Sottoinsiemiconnessidi R . . . . . . . . . . . . . . . . 1289.9.2 Componenticonnessediuninsieme . . . . . . . . . . . 1299.9.3 Connessioneperarchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309.9.4 Insiemiconnessidi Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.10 ArgomentodicategoriadiBaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.11 Principiodellecontrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13510Calcolodierenzialein Rn13910.1 Applicazionilineariin Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13910.1.1 Notazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13910.1.2 Funzionalilineariin Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14010.1.3 Applicazionilinearidi Rnin Rm. . . . . . . . . . . . . 14110.1.4 Normadiunapplicazionelineare . . . . . . . . . . . . 14210.2 Derivatadiunapplicazionedi Rnin Rm. . . . . . . . . . . . 14310.2.1 MatriceJacobianaederivateparziali . . . . . . . . . . 14510.3 Derivazionedifunzionicomposte . . . . . . . . . . . . . . . . 15310.4 Derivazionedellafunzioneinversa . . . . . . . . . . . . . . . . 15510.5 Derivateseconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15610.6 Massimieminimidiunafunzionef: A RnR . . . . . . 15910.6.1 Studiodimassimieminimiconlausiliodelgradientedif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15910.6.2 Studio di massimi e minimi con lausilio della derivatasecondadif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16110.6.3 Unrichiamodialgebralineare . . . . . . . . . . . . . . 16210.6.4 Condizioniperlesistenzadimassimieminimilocali . 16311Equazionidierenziali 16711.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16711.1.1 Equazioniavariabiliseparabili . . . . . . . . . . . . . 16811.1.2 Equazionidierenzialidiordinesuperiore . . . . . . . . 17111.2 ProblemadiCauchyin Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17211.2.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17211.3 Casoincuif(t, x) `eLipschitzianainx . . . . . . . . . . . . . 17311.3.1 Laleggedisemigruppo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17611.3.2 Casononautonomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17611.4 flocalmenteLipschitziana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17811.4.1 LemmadiGronwall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185v11.5 Equazionidierenzialilineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18611.5.1 ProblemadiCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18611.5.2 Sottospaziovettorialedellesoluzionidiu

(t) = Au(t) . 18711.5.3 Equazionilinearidelsecondoordine. . . . . . . . . . . 18811.5.4 Metododivariazionedellecostanti . . . . . . . . . . . 19011.6 Equazionidierenzialicondaticontinui. . . . . . . . . . . . . 19111.6.1 -soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19211.6.2 Esistenzalocale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19311.6.3 Connessioneecompattezzadellinsiemedellesoluzioni . 195AComplementisuinumerireali 199A.1 Propriet`adicampodi Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199A.2 Ilcampodeinumerireali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201A.3 Un esempio di campo ordinato nonArchimedeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205A.4 Campiordinatichegodonodellapropriet` adelsup. Teoremadiunicit`adi R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209viCapitolo1NumerirealiUseremolenotazioniseguenti:N = 1, 2, 3, .... `elinsiemedeinumerinaturali.Z = 0, 1, 2, ..., `elinsiemedeinumeriinterirelativi.Q `elinsiemedeinumerirazionali.Supponiamo note le denizioni di N, Z e Q e le loro propriet`a fondamen-tali. Inquestocapitolovogliamodenireilconcettodinumerorealeusandolacostruzionedi Dedekind. Perquestocominciamoconl introdurrealcuniconcettirelativiasottoinsiemidinumerirazionali.1.1 Sottoinsiemidi QSiaunsottoinsiemenonvuotodi Q.Sidiceche`elimitatosuperiormente(risp. limitatoinferiormente)seesister Qtalechep rperognip (risp. p rperognip ).Se`elimitatosuperiormenteeinferiormentesidiceche `elimitato.Ogni r Qtalechep r(risp. p r)perogni p `edettounmaggiorante(risp. minorante)di.SeesisteM (risp. m )talechep M(risp. p m)perognip ,sidicecheM(rispm) `eilmassimo(resp. ilminimodi).12 Capitolo1Esempi1.1(i)Sia= p Q: 1 p 2. Allora2`eilmassimoe1ilminimodi.(ii)Sia= p Q : p < 2. Alloranonhanemassimoneminimo. 1.1.1 EstremosuperioreeestremoinferioreUnconcettopi` ugeneraledi quellodi massimo(risp. minimo)`eil concettodiestremosuperiore(risp. estremoinferiore).Sia unsottoinsiemenonvuotodi QlimitatosuperiormenteesiaGlinsiemedeisuoimaggioranti. G `eovviamentelimitatoinferiormenteenonvuoto. SeGhaminimo(risp. massimo)ugualer,sidicecher`elestremosuperiore(resp. estremoinferiore)di.Lestremosuperiore(risp. inferiore)di (seesiste)si indicaconsup (risp. inf ). Selestremosuperiore(risp. inferiore)diesiste, `eunico.Inaltri termini lestremosuperioredi `eil minimo(seesiste)dei suoimaggioranti e l estremo inferiore di `e il massimo (se esiste) dei suoi mino-ranti.Adesempiose= p Q : p < 1sihasup = 1.Ovviamente se m `e il massimo (risp. minimo) di si ha m = sup (risp.m = inf )Esercizio1.2Provarechelinsieme= p Q : p2< 2.nonhaestremosuperiore.Suggerimento. Siaperassurdom = sup . Provarechenonpu` oesserenem2< 2nem2> 2. Il fattochegli insiemi limitati superiormentedi Qnonhannoingeneraleestremosuperioreconducealladenizionedinumeroreale.1.2 Numerireali1.2.1 SezioniDiremocheunsottoinsiemenonvuotodi Q `eunasezionese:(i) `elimitatosuperiormente.Numerireali 3(ii) nonhamassimo.(iii) p , q Q, q p q .Per denizione un numero reale `e una sezione. Indichiamo con R linsiemedeinumerireali.Esempio1.3Sonosezioniisottoinsiemiseguentidi Q: = p Q : p < 5, = p Q : p2< 2 p Q : p < 0,mentrenonsonosezioniiseguenti: = p Q : p 3, = p Q : p2< 5.

Si pu` oconsiderare Rcomeunestensionedi Qfacendocorrispondereadognip Qlasezione:p= q Q : q< p.`Efacilevederechequestaapplicazione`einiettiva. Nel seguito, senonvi`epossibilit` adiconfusione,identicheremopconp. Adesempioscriveremo:0 = p Q : p < 0.1.2.2 Relazionedordinein RDeniamoin Runarelazionedordine. Dati , Rscriveremo se , se .Inoltrese e `ediversodascriveremo < ese ese`ediversodascriveremo > .Proviamoorachelarelazionedordinedenita `etotale.Proposizione1.4Dati , R vale almeno una delle aermazioni seguenti:(i) , (ii) .4 Capitolo1Dimostrazione. Siha: = ( ) ( ) ( ),letreunioniasecondomembroessendodueaduedisgiunte.`Echiarocheseperassurdononvalene(i)ne(ii)siha: ,= , ,= .Sia p e q . Se fosse p < qsi avrebbe p per la propriet` a (ii)dellesezioniilche`eassurdo. Analogamentesefosseq< psiavrebbeq ilche `eassurdoperlostessomotivo. 1.3 Teoremadi esistenzadegli estremi supe-rioreeinferioreSi estendonoinmodoovviolenozioni di insiemelimitato(superiormenteeinferiormente), di maggiorante, di minorante di estremo superiore e inferioreaisottoinsiemidi R. Lasciamotaliestensioniallettore.Ilteoremaseguente `ediimportanzafondamentale.Teorema1.5SiaKunsottoinsiemedi Rlimitatosuperiormente(risp. in-feriormente)enonvuoto. Alloraesisteunicolestremosuperiore(risp. in-feriore)diK.Dimostrazione. Peripotesi esisteunmaggiorantedi K. SialunionedituttelesezioniappartenentiaK. Verichiamoche:(i) `eunasezionedi Q.(ii) `eunmaggiorantediK.(iii) `eilminimomaggiorantediK.(i)`Echiaroche ,= . Datoche`eunmaggiorantediKsiha perogni K. Quindi cosicche `elimitatosuperiormente.nonhamassimo, altrimenti esisterebbeunasezionedi Kchehamas-simo,ilche `eassurdo.Innesiap eq sihax < perognix K.(ii) Sez< esistex Ktalechex > .Lestremoinferiorediunsottoinsinsiemedi Rlimitatoinferiormente `ecaratterizzatodalleduepropriet` aseguenti:(i) Sez< sihax > zperognix K.(ii) Sez> esistex Ktalechex < z.Esercizio1.7Sia R. Provareche: = supp: p .Provareinoltrecheseesononumeri reali con 0, y> 0. Provarecheesisten Ntalechenx > y. Dedurnechesex > 1, y> 0esisten Ntalechexn> y.Suggerimento(perlasecondaaermazione). Usareladisuguaglianzaxn n(x 1).1.3.1 OperazioniconinumerirealiEstendiamo la denizione di somma a coppie , di elementi di R ponendo: + = p + q: p , q .Inoltreponiamo0 = 0= p Q : p < 0ese/ R, = p Q : p 0, p/ , > 0,6 Capitolo1e = p Q : p 0 p Q : p 0, p/ , < 0.Deniamoorailprodottodiduenumerirealipositivi, ponendo= pq: p , p > 0, q , q> 0 p Q : p 0.Innesi denisceil prodottodi duenumeri reali di segnoqualunqueconleregoleusuali dei segni elapotenzaxn, n N, di unnumerorealex. Sipu` o poi vericare facilmente che le note propriet`a delle operazioni sui numerirazionalisiestendonoainumerireali.(1)1.4 RadiciepotenzedinumerirealipositiviDora in poi identicheremo p e p per ogni p Q. In questa sezione vogliamoapplicareil concettodi estremosuperiorealladenizionedellaradicedi unnumerorealepositivo.Proposizione1.9Siay >0en N. Esisteununicasoluzionex>0dellequazione:xn= y. (1.1)x`edettalaradicen-madiyed`edenotatacony1/n.Dimostrazione. Poniamo:D = x > 0 : xn< y.OsserviamocheD`enonvuoto. Infatti x=y1+y Ddatochexn0.Non pu` o essere x1< x2altrimenti si avrebbe xn1< xn2. Allo stesso modo nonpu` oesserex2< x1. Quindix1= x2. Perogninumerorazionalepositivoq=mneperogniy R+deniamoyq= (y1/n)m.Sivericafacilmentecheyp+q= ypyqperogniy> 0,p, q R+.1.4.1 PotenzarealediunnumerorealeSiano x, y> 0 reali. Vogliamo denire xy. Per questo consideriamo linsieme:K= q Q, q 0 : xq< y.Si verica facilmente che K`e non vuoto e limitato superiormente. Deniamoalloraxy:= sup K.Esercizio1.10Provarechesex, y, z> 0risulta:xyxz= xy+z.Esercizio1.11Siax > 1, y, z> 0,provareche:xyxz= xy+z.8 Capitolo11.5 LogaritmiProposizione1.12Siay>0ea>1(risp. 0 y esisterebbe n N tale che a+1/n< y il che contraddirebbeladenizionediestremosuperiore. Pervederecheuntalenesisteponiamoa= y. Allora0 < < 1e,perognin Nrisultaa+1/n= aa1/n= ya1/n.Bastaquindiscegliereninmodochea1/n 0esisten

Ntaleche[anl[ n

, (2.1)Intal casosidicechel`eil limitedi(an).Evidentementela(2.1)equivaleal < an< l +perogni n > n

.Esempio2.2Siaan=nn+1, n N. Sihaallora:limnan= 1.910 Capitolo2Infatti,dato > 0,essendo[an1[ =nn + 1 1=1n + 1,risulta [an1[ < sen >1

1. Quindibastasceglierepern

ilpi` upiccolointeropositivomaggioredi1

1.Proviamooralunicit`adellimite.Proposizione2.3Unasuccessione(an)haal pi` uunlimite.Dimostrazione. Supponiamochelimnan= l, limnan= l1.Vogliamoprovarechel = l1. Dato > 0esisten

Ntaleche[anl[ n

en

Ntaleche[anl1[ n

.Poniamon

= maxn

, n

.Allorasen > n

sihaperladisuguaglianzatriangolare[l l1[ [anl[ +[anl1[ < 2.Quindil = l1perlarbitrariet`adi. Esercizio2.4Supponiamo che an l, bn l e che (cn) sia una successionetaleche:an cn bn, n N.Provarechecn l.Esercizio2.5Supponiamo che an le sia k R tale che an< k. Provarechel k.Successioni 112.2 AlcuniesempinotevoliEsempio2.6Perogni > 0risulta:limnn= 0.Infatti, dato>0lacondizionen

1quindi bastasceglieren

> 1.Esempio2.7Perognix > 0siha:limnx1/n= 1.Lacosa `eovviasex = 1. Supponiamox > 1eponiamoyn= x1/n1.Sihayn> 0einoltre:x = (1 + yn)n 1 + nyn.Nesegueyn x 1n,cosicche:[x1/n1[ = yn< , n > n

,purdiprenderen

>x1

.Ilcasox < 1sitrattaanalogamente.Esempio2.8Siha:limnn1/n= 1.Poniamoinfattixn= n1/n1cheimplican = (1 + xn)nn(n 1)2x2n,dacuixn _2n 1.Quindisiha:[n1/n1[ = xn< , n > n

,sen

> 1 +2

2.12 Capitolo22.3 SuccessionilimitateemonotoneSidiceche(an) `elimitatainferiormenteosuperiormenteoche `elimitatasetale `elinsiemean: n N.Proposizione2.9Sia (an) una successione convergente. Allora (an) `e limi-tata.Dimostrazione. Siaan lesian1 Ntaleche[anl[ < 1, n > n1.Sihaallora:[an[ [anl[ +[l[ 1 +[l[, n > n1.Quindi(an) `eovviamentelimitata. Si dice che (an) `e crescente (risp. decrescente) se anan+1(risp.an an+1)perogni n N. Sepoi anan+1)perognin Nsi diceche(an)nN`estrettamentecrescente(risp.strettamentedecre-scente). Unasuccessionecrescenteodecrescente `edettamonotona.Proposizione2.10Sia(an)unasuccessionecrescente(risp. decrescente)elimitatasuperiormente(risp. inferiormente). Allorarisulta:limnan= supnNan(risp. limnan=infnNan).Dimostrazione. Supponiamoche (an) siacrescente e limitatasuperior-menteesial := supnNan.Perdenizionedi estremosuperioreperogni >0esisten

Ntalechel an

< . Datochelasuccessione(an) `ecrescenteneseguechel an

< , n > n

,dacuilatesi. Successioni 132.4 OperazioniconilimitiCominciamoconillimitedellasommadiduesuccessioniconvergenti.Proposizione2.11Siaan l, bn . Alloraan + bn l + .Dimostrazione. Perogni > 0esistonon

, n

Ntaliche[anl[ < /2 n > n

, [bn[ < /2 n > n

.Sian

= maxn

, n

alloraperladisuguaglianzatriangolaresiha:[an + bn(l + m)[ [anl[ +[bnm[ n

.Quindian + bn l + mcomerichiesto. Consideriamooraillimitedelprodottodiduesuccessioniconvergenti.Proposizione2.12Siaan l, bn . Alloraanbn l.Dimostrazione. CominciamoconlosservarechegrazieallaProposizione2.9esisteM> 0taleche[an[ +[bn[ M, perogni n N.Perogni > 0esisten

taleche:[anl[ n

sihaquindi:[anbnl[ = [anbnlbn + lbnl[ [bn[[anl[ +[l[[bn[ M[anl[ +[l[[bn[ ,dacuilatesi. Esercizio2.13Siaan l, bn m, bn ,=0per ogni n Nem ,=0.Provarecheanbnlm.Esercizio2.14Sia an l e sia K R tale che an< K. Provare che l K.14 Capitolo22.5 Punti limitedi unasuccessionelimitata.LimitisuperioreeinferioreData una successione (an) useremo la convenzione seguente: diremo che unapropiet` avaledenitivamenteper(an)seesisten0 Ntalechevalepertuttiglin Nmaggioridin0.Conquestaconvenzionean lseesoloseperogni > 0risultadeni-tivamente [anl[ < .Sia(an)unasuccessionelimitata. Perstudiarneilcomportarmentoasin-toticoal cresceredi n(n )`eopportunointrodurrei concetti di sotto-successioneepuntilimitedi(an).Unasottosuccessionedi(an) `eunasuccessionedellaforma(ank)kNdove(nk)kN`eunasuccessionedinumerinaturalistrettamentecrescente.Diremo che R `e un puntolimite di (an) se esiste una sottosuccessionedi(an)convergentea.`Echiarochesean lalloral`elunicopuntolimitedi(an).Esempio2.15Siaan= (1)n, n N.Sihaallora:a2k= 1, k N,a2k+1= 1, k N.Quindi1e 1sonopuntilimitedi(an).Fissiamooraunasuccessionelimitata(an). Indichiamoconlinsiemedei suoi punti limite. Vogliamo provare che `e non vuoto e dotato di massimoeminimo.Per questo`e utile introdurre i concetti di limite superioree inferiore.Cominciamoconladenizionedellimitesuperiore. Poniamo:b1= supn1an, b2= supn2an, ..., bk= supnkan, ...`Echiaroche(bn)`eunasuccessionedecrescente. Quindi dallaProposizione2.10seguecheesisteillimitelimkbk= infkbk=: l

.Successioni 15l

`e detto il limite superiore di (an) ed `e indicato con limsupnan. Si ha quindi:l

= limsupnan=infk1supnkan.Esercizio2.16Provarechesean lrisultal = l

.Studiamooraalcunepropriet` adellimitesuperiore.Proposizione2.17Sia(an)limitataesial

=limsupnan. Alloravalgonolepropiet`aseguenti.(i) Se > l

alloraesisten Ntalechean< perognin > n. Quindi(an)`edenitivamenteminoredi.(ii) Se < l

alloraesisteunasottosuccessione(ank)talecheank> , k N.Quindi(an)non`edenitivamenteminoredi.(iii) l

`eunpuntolimitedi(an).(iv) l

`eil massimopuntolimitedi(an).Dimostrazione. (i) Sia>l

=infk1bk. Per denizione di estremoinferiore esiste k N tale che bk< . Ci`o implica supnk an< , cio`e an< perognin > k.(ii)Sia < l

= infk1bk. Allorasiha < bk= supnk an> perognik N. Quindiperognik Nesistenk Ntalecheank> .(iii)Datok Nda(i)seguecheesistenk Ntaleche:an< l

+1k, n > nk.Inoltreda(ii)seguecheesisten

k> nktalean

k> l

1k.16 Capitolo2Quindi:l

1k< an

k< l

+1k, k N.`Eallorachiarochean

k l

(cfr. Esercizio2.4),cosich`el

`eunpuntolimitedi(an).(iv)Siaperassurdo > l

unpuntolimitedi(an)esiaank . Ci` o`eimpossibilepoicheank`edenitivamenteminoredil

+12( l

). Passiamooraalladenizionedellimiteinferiore. Poniamo:c1=infn1an, c2=infn2an, ..., ck=infnkan, ...`E chiaro che (cn) `e una successione crescente e limitata. Quindi dalla Propo-sizione2.10seguecheesisteillimitelimkck=: l

.l

`edettoillimiteinferioredi(an)ed `eindicatoconliminfnan. Sihaquindi:l

= liminfnan= supk1infnkan.Esercizio2.18Provarechesean lrisultal = l

.Studiamooraalcunepropriet` adellimiteinferiore.Proposizione2.19Sia(an)limitataesial

= liminfnan. Alloravalgonolepropiet`aseguenti.(i) Se < l

alloraesisten Ntalechean> perognin > n. Quindi(an)`edenitivamentemaggioredi.(ii) Se > l

alloraesisteunasottosuccessione(ank)talecheank< , k N.Quindi(an)non`edenitivamentemaggioredi.(iii) l

`eunpuntolimitedi(an).(iv) l

`eil minimopuntolimitedi(an).Successioni 17Dimostrazione. (i) Sia. Ci` oimplicainfnk an>, cio`ean> perognin > k.(ii)Sia>l

=supk1ck. Allorasiha>ck=infnk an>perognik N. Quindiperognik Nesistenk Ntalecheank< .(iii)Datok Nda(i)seguecheesistenk Ntaleche:an> l

1k, n > nk.Inoltreda(ii)seguecheesisten

k> nktalean

k< l

+1k.Quindi:l

1k< an

k< l

+1k, k N.`Eallorachiarochean

k l

,cosich`el

`eunpuntolimitedi(an).(iv)Siaperassurdo 0esisten

Ntaleche:n, m N, n > n

, m > n

= [anam[ < . (2.2)18 Capitolo2`Echiarochesean l allora(an)`edi Cauchy. Infatti, dato>0esisten

Ntaleche:[anl[ n

.Allorasen, m > n

siha:[anam[ [anl[ +[aml[ < ,cosicche(an) `ediCauchy.Esercizio2.22Sia(an)unasuccessione. Provarechese(an)`edi Cauchyallora `elimitata.Teorema2.23Dataunasuccessionedi Cauchy(an)esistel Rtalechean l.Dimostrazione. Sia(an)unasuccessionedi Cauchy. Dall Esercizio2.22sappiamoche(an) `elimitata. Sianol

andl

ilimitisuperioreeinferioredi(an). Basta provare che l

= l

(per il Corollario 2.20). Sia> 0 e sia n

Ntale:n, m N, n > n

, m > n

= [anam[ nM. (2.5)Intal casosidiceanchecheil limitedi(an)`e+.Sidicecheunasuccessione(an)tendea esiscrivelimnan= , oppure an ,seperogniM> 0esistenM Ntalechean< M perogni n > nM, (2.6)Intal casosidicecheil limitedi(an)`e .Esempio2.28Siha:limnn2n 1= +.Infattin2n 1 n > Msen > M.22 Capitolo22.7.1 SuccessionimonotoneEsercizio2.29Provarechese(an)`ecrescente(risp. decrescente) enonlimitatasuperiormente(resp. inferiormente)risulta:limnan= +, limnan= .2.7.2 OperazioniconilimitiProposizione2.30Siaan +, bn +. Alloraan + bn +.Siaan , bn . Alloraan + bn .Dimostrazione. Proviamolaprimaaermazione. Per ipotesi per ogniM> 0esistenM Ntaleche:an> M, bn> M, n > nM.Quindi:an + bn> M, n > nM,dacuilatesi. Osservazione2.31(Formaindeterminata ) Sia an +, bn . Allora non si possono dare informazioni in generale sul comportamentodellasuccessione(an + bn). Consideriamoinfattigliesempiseguenti.1)Siaan= n3, bn= n2. Allorarisultaan +, bn ean + bn= n2(n 1) n2.Quindian + bn +.2)Siaan= n, bn= n2+ 1. Allorarisultaan +, bn ean + bn= n n2+ 1 = 1n +n2+ 1.Quindian + bn 0.Proposizione2.32Siaan , bn . Alloraanbn +.Siaan , bn . Alloraanbn .Successioni 23Dimostrazione. Proviamolaprimaaermazione. Per ipotesi per ogniM> 0esistenM Ntaleche:an> M, bn> M, n > nM.Quindi:anbn> M2, n > nM,dacuilatesi. Proposizione2.33Sial > 0,an l, bn . Alloraanbn .Dimostrazione. Supponiamochebn +. Peripotesi perogni M>0esistenM Ntaleche:an> l/2, bn>2Ml, n > nM.Quindi:anbn> M, n > nM,dacuilatesi. Osservazione2.34(Formaindeterminata0 ) Siaan0, bn. Alloranonsipossonodareinformazionisulcomportamentodellasuc-cessione(anbn)ingenerale.Considerazioni analoghe si posssono fare per il comportamento del limitedelquozienteanbneperleformeindeterminatee00.2.7.3 Punti limite di una successione qualunque. Limi-tisuperioreeinferioreSia (an) una successione di numeri reali. Si dice che R `e un puntolimitedi(an)seesisteunasottosuccessionedi(an)convergentea.Deniamoilmassimoeminimolimitedi(an)ponendo:limsupnan=infk1supnkan.Se (an) `e limitata inferiormente deniamo il limite inferiore di (an) ponendo:liminfnan= supk1infnkan.24 Capitolo2Se(an)non `elimitatasuperiormente(risp. inferiormente)siha:limsupnan= +, resp. limsupnan= .Osservazione2.35Sel

(risp. l

`enito)valelaProposizione2.17(resp.2.19). Infattinelladimostrazioneditaleproposizionenonsi `eusatoilfattoche(an) `elimitata.Esempio2.36Sia:an= nsin_n2_, n N.Sihaallora:a2k= 2k sin(k) = 0, k N,a4k+1= (4k + 1) sin_2k +2_= (4k + 1), k Na4k1= (4k 1) sin_2k 2_= (4k 1), k N.Quindi0 `eunpuntolimitedi(an)erisulta:limsupnan= +, liminfnan= .Capitolo3Serie3.1 DenizioniDataunasuccessione(an)in Rponiamo:sn= a1 + a2 + + an:=n

k=1ak, n N.Selasuccessione(sn)convergeaunnumerorealesscriveremo:s =

k=1akediremochelaserie

k=1ak`e convergente. Se (sn) non `e convergente diremo che la serie `e divergente. Lasuccessione(sn) `edettalasuccessionedellesommeparzialidellaserie.Osserviamocheogni successione(bn)si pu`oscriverecomeunaseriepo-nendo:a1= b1, a2= b2b1, ..., an= bnbn1, n N.Infattisihan

k=1ak= b1 + (b2b1) + . . . + (bnbn1) = bn.2526 Capitolo3Quindi il concetto di serie `e equivalente a quello di successione anche se certesuccessionisipresentanonaturalmentesottoformadiserie.Possiamo ora applicare tutti i risultati provati nel capitolo precedente allasuccessione (sn). In particolare dal Teorema 2.23 segue il criteriodiCauchy.Proposizione3.1La serie

k=1ak `e convergente se e solo se per ogni> 0esisten

Ntaleche[snsm[ =n

k=m+1ak n

. (3.1)Dimostrazione. Infattila(3.1)equivaleadirechelasuccessione(sn)`ediCauchy. Corollario3.2Selaserie

k=1ak`econvergenterisultaak 0.Dimostrazione. Infatti,poston = m + 1in(3.1)sihacheperogni > 0esisten

Ntaleche [am[ < perognim > n

. Osserviamo che la condizione ak 0 non `e suciente per la convergenzadellaserie(vediEsempio3.15).Si dicechelaserie

k=1ak`eassolutamenteconvergenteselaseriedeivalori assoluti

k=1[ak[ `econvergente. Si vericafacilmentecheunase-rieassolutamenteconvergente`econvergentementreilviceversanonvaleingenerale(vediProposizione3.16conan=1n.)Proposizione3.3Sia(an)unasuccessionetaleche:[an+1an[ cn, n N,dove la serie

k=1cn `e convergente. Allora la successione (an) `e convergente.Proof. Verichiamocheper(an)valelacondizionediCauchy. Sen > msiha:[anam[ [anan1[ +[an1an2[ + +[am+1am[ cm + cm+1 + + cn1,dacuilatesi. Serie 27Esempio3.4(Seriegeometrica) Siax>0. Consideriamolaseriegeo-metrica

k=0xk.Sex 1laserie`eovviamentedivergente. Supponiamo0 n

= [an[ < .Inoltre dalla Proposizione 2.9 segue che esiste K> 0 tale che [an[ K, n N. Sihaalloraperognin > n

[pnl[ =1nn

k=1ak l1nn

k=1[ak l[=1nn

k=1[ak l[ +1nn

n

+1[ak l[ 2Kn

n+n n

n.Pern siottienelimsupn[pnl[ .Datalarbitrariet` adineseguelimsupn[pnl[ = 0,ilcheimplicapn l. Esercizio3.18Dataunasuccessione(an)provarechelimnann=limn(anan1),nellipotesicheilimitisuddettiesistano.Suggerimento. Considerarelasuccessione(bn)denitadabn= anan1.

34 Capitolo3Capitolo4Funzionirealidiunavariabilereale. Limitiecontinuit`aSia Iun sottoinsime non vuoto di R e f: I R unapplicazione. Si dice chef`e una funzione reale di una variabile reale. Limmagine f(I) di f`e denitada:f(I) = f(x) : x I.Inquestocapitolosupporremosempre che I siaunintervallocio`e unsottoinsiemenonvuotodi Rtaleche:x, y I, 0 t 1 tx + (1 t)y I.Ci` osignicacheoIconsistediunsolopunto,oppuresecontieneduepuntialloracontieneilsegmentochelicongiunge.SiaIunintervallolimitato. Poniamo:inf I= a, sup I= besupponiamochea < b. IhaalloraunadelleformeseguentiasecondacheaebsianoonopuntidiminimoomassimodiI:I= x R : a x b =: [a, b] intervallochiuso,I= x R : a < x < b =: (a, b), intervalloaperto,I= x R : a x < b =: [a, b), intervalloapertoadestra,I= (a, b] = x R : a < x b, intervalloapertoasinistra.3536 Capitolo4SiaoraInonlimitato. Seinf I= a Resup I= +sihaI= x R : x a =: [a, +), intervallochiuso,oppureI= x R : x > a =: (a, +), intervalloaperto.Seinf I= , sup I= b RsihaI= x R : x < b =: [, b), intervallochiuso,oppureI= x R : x b =: (, b), intervalloaperto.Inneseinf I= esup I= +sihaI= R.InognicasoinumeriaebsonodettigliestremidellintervalloI.4.1 LimitiSiaI unintervallo, f : I R. Siainoltrex0unelementodi I ounsuoestremoel R(1).Si dicechef(x)tendeal perxtendenteax0seperogni >0esiste

> 0taleche[f(x) l[ 0talecheperogni> 0esistex (x0, x0 + ) Idiversodax0erisulta [f(x) l[ 0.Fissato0> 0scegliamo=1nesiaxn (x01n, x0 +1n) I x0taleche:[f(xn) l[ 0. (4.1)Osserviamoche [x0 xn[ 1ncosicchexn x0. Perlipotesi (ii)nesegueallorachef(xn) lilchecontraddice(4.1). UsandolaProposizione4.2eirisultatisullesuccessionidelCapitolo2sihaimmediatamentelunicit` adellimiteeilrisultatoseguente.Proposizione4.3Sianof, gapplicazioni di unintervalloI in Resiax0appartenenteaI oaunsuoestremo. Supponiamoinoltrecheesistanoilimiti:limxx0f(x) = l, limxx0g(x) = l1Valgonoalloraleaermazioniseguenti:(i) limxx0(f(x) + g(x)) = l + l1(ii) limxx0f(x)g(x) = ll1.(iii) Seinoltreesiste > 0talecheg(x) ,= 0perognix (x0 , x0 + ),siha limxx0f(x)/g(x) = l/l1.La proposizione seguente permette di confrontare il limite di f(x) con quellodialtrefunzioni. Lasemplicedimostrazione `elasciataallettore.38 Capitolo4Proposizione4.4(diconfronto) Sianof, g, h:I R, x0appartenenteaIoaunsuoestremo. Supponiamoche:f(x) g(x) h(x) x I.Alloraseesistonoilimitilimxx0f(x) =limxx0h(x) = l,siha:limxx0g(x) = l.Esempi4.51)SiaI= R,f(x) = x2perognix R. Sihaalloraperognix0 R:limxx0f(x) = x20.2)SiaI= R,f(x) = sin xperognix R. Proviamochelimx0sin x = 0.In virt` u dellOsservazione 4.1 possiamo limitarci agli x (/2, /2). In talcasorisulta:0 [ sin x[ [x[elatesiseguedallaProposizione4.4.Inmodoanalogosiprovache:limx0cos x = 1.3)SiaI= (0, +),f(x) =sin xx. Proviamochelimx0sin xx= 1.Ragionando come nellesempio precedente possiamo limitarci agli x (0, /2).Siha:sin x x tan x, x (0, /2),Funzionireali 39ilcheimplica:cos x sin xx 1, x (0, /2).LatesiseguedallaProposizione4.4.4)SiaI= Resiafdenitada:f(x) =_x se x ,= 0,1 se x = 0.Alloralimx0f(x) = 0.Danotarechef(0) = 1.5)SiaI= ResiaHlafunzionediHeavsidedenitada:H(x) =_1 se x > 0,0 se x 0.Allora `efacilevederechenonesisteillimitelimx0H(x).Consideriamo le restrizioni H(0,+) e H(,0] di H a (0, +) e (, 0] rispet-tivamente. Allorarisulta:limx0H(0,+)= 1, limx0H(,0]= 0.Ci` ociinduceaporre:limx0+H(x) = 1, limx0H(x) = 0.4.1.1 LimitiinnitiSiaf: I Rex0unelementodiIounsuoestremo. Sidicecheftendea+(risp. )perx x0seperogniM> 0esisteM> 0talechef(x) > M (risp. f(x) < M) x (x0M, x0 +M) Idiversoda x0.40 Capitolo4Intalcasosiscrivelimxx0f(x) = + (risp. limxx0f(x) = ).Sipossonooraripetereconovviemodicheleconsiderazioniprecedenti. Inparticolareperprovarechelimxx0f(x) = +baster` aprovarecheperogni successione(xn) I x0convergenteax0risultaf(xn) +.Esempi4.61)SiaI= (0, +),f(x) =1xperognix > 0. Sihaallora:limx0f(x) = +.2)SiaI= [0, +)efdenitada:f(x) =_1xse x > 0,3 se x = 0.Sihaallora:limx0f(x) = +.3)SiaI= Refdenitada:f(x) =_1x1se x ,= 1,0 se x = 1.Alloranonesisteillimitelimx0f(x).Consideriamolerestrizioni f(1,+)ef(,1)di f a(1, +) e(, 1)rispettivamente. Allorarisulta:limx1H(0,+)= +, limx1H(,0]= .Perquestoponiamo:limx1+f(x) = +, limx1f(x) = .Funzionireali 414.1.2 Limitiperx SiaIunintervallononlimitatoadestra(risp. sinistra)ef: I R.Sidicecheftendealperx +(risp. )seperogni > 0esisteM

> 0taleche[f(x) l[ < , perogni x (M

, +) I risp. perogni x (, M

).Intalcasosiscrivelimx+f(x) = l risp. limxf(x) = l.Inmodoanalogosideniscelimx+f(x) = elimxf(x) = .4.2 FunzionicontinueSiaIunintervallo,f: I R. Sidicechef`econtinuanelpuntox0 Iserisulta:limxx0f(x) = f(x0).Sefnon `econtinuainx0sidicechex0`eunpuntodidiscontinuit`adif. Sef`econtinuainognipuntodiIsidicechef`econtinuanellintervalloI.DalleProposizioni4.2e4.3segueimmediatamentecheProposizione4.7Sia f: I R e sia x0appartenente a I. Le aermazioniseguentisonoequivalenti:(i) f`econtinuainx0.(ii) Perognisuccessione(xn) Iconvergenteax0sihaf(xn) f(x0).Proposizione4.8Sianof, gapplicazionidiunintervalloIin Resiax0 I. Supponiamoinoltrechefegsianocontinueinx0eche, R,alloraf+ gefgsonocontinueinx0.Ilteoremaseguente `edifaciledimostrazionemautile.Teorema4.9(Permanenzadelsegno) SiaI unintervallo, f : I Rcontinuanelpuntox0 Ietalechef(x0) > 0. Alloraesiste> 0taleche:f(x) > 0, x I (x0, x0 + ).42 Capitolo4Dimostrazione. Datochef`econtinuainx0esiste> 0taleche:12f(x0) < f(x) f(x0) 12f(x0) > 0. Esercizio4.10Sia Iun intervallo, f: I R, g: I R continue nel puntox0 Iesiag(x0) > 0. ProvarecheesisteunintervalloJ Icontenentex0talechefJgJ`econtinuainx0(fJegJsonolerestrizionidifegaJ).Vogliamo ora provare che la composta di due funzioni continue `e continua.Per questoconsideriamodue funzioni f : I Re g : JRtali chef(I) J. Consideriamolafunzione:g f: I R, x f(g(x)).Valeallorailrisultatoseguente.Teorema4.11Se f: I R `e continua in x0 Ie se g: J R `e continuainf(x0)sihacheg f`econtinuainx0.Dimostrazione. Infatti sexn x0inIsi hag(xn) g(x0)perlaconti-nuit` adigequindif(g(xn)) f(g(x0))perlacontinuit` adif. 4.2.1 Continuit`adialcunefunzionielementari1)Siaf: R R, x sin x.Abbiamogi`avisto(Esempio4.5) chef `econtinuain0. Siax0 R.Alloraperognih Rsiha:sin(x0 + h) sin x0= sin x0 cos h + cos x0 sin h sin x0.Quindilimh0sin(x0 + h) = sin x0,cosicchelafunzionef(x) = sin x `econtinuain R.2)Siaf: R R, x cos x.Ladimostrazionechef`econtinua `esimileallaprecedente.Funzionireali 433)Siaf:_2,2_R, x tan x.UsandolEsercizio4.10sivedechef`econtinua.4)Siaf: R R, x ex.Ricordiamoche(Esempio2.6)sihalimne1/n= 1Usandoquestorisultatoe il fattoche f `e strettamente crescente`e facileprovareche:limx0ex= 1,cio`echef`econtinuain0.Possiamo ora dimostrare facilmente la continuit` a di fin ogni punto x0 H. Sihainfatti:limxx0(exex0) = ex0limxx0(exx01) = 0.44 Capitolo4Capitolo5FunzionirealicontinueinunintervalloInquestocapitolostudiamoalcunepropriet`aglobali dellefunzioni reali econtinueinunintervalloIdi R.5.1 Continuit`auniformeSiaIunintervalloesiaf:I RcontinuainI(cio`einogni puntodi I).Alloraperognix Ieogni > 0esistex,> 0taleche:x, y I, [x y[ < x, [f(x) f(y)[ < .Se`epossibiletrovarex,indipendentedaxsi dicechef`euniformementecontinua. Sihacio`eladenizioneseguente.Denizione5.1Unafunzionef:I R`edettauniformementecontinuaseperogni > 0esiste

> 0taleche:x, y I, [x y[ <

[f(x) f(y)[ < . (5.1)Luniformecontinuit` a`eunapropriet`aimportantedi unafunzionecontinuacomesivedr`anelseguito.Esempi5.21)Lafunzionef(x) = x2perognix Rnon `euniformementecontinua. Infattiposto:xn= n +1n, yn= n,4546 Capitolo5siha [xnyn[ =1ne[f(xn) f(yn)[ =1n2+ 2 > 2.2)SiaI= Ref(x) = sin xperognix R. Proviamochef`euniforme-mentecontinua. Siax, y R,poniamoh = y x. Sihaallorasin(x + h) sin x = sin x cos h + cos x sin h sin x,cosicche[ sin(x + h) sin x[ [1 cos h[ +[ sin h[.Datochelimh0sin h =limh0(1 cos h) = 0,sihachef`euniformementecontinua.3)SiaI= (0, 1)ef(x) =1x, x (0, 1]. Allorafnon `euniformementecontinua. Infatti,postoxn=1n, yn=1n + 1,siha[xnyn[ =1n(n + 1) 1n, [f(xn) f(yn)[ = 1.Esempio5.3Sidicechef: I R `elipschitzianaseesisteK> 0taleche:[f(x) f(y)[ K[x y[, x, y I,che `e-holderiana, (0, 1),seesisteK> 0taleche:[f(x) f(y)[ K[x y[, x, y I.Sivedefacilmentecheunafunzionelipschitzianao-h olderiana `euniforme-mentecontinua.Adesempiosef`e-h olderianabastaprenderein(5.1)

=_

K_1/,poichese [x y[ <

siha:[f(x) f(y)[ K[x y[< K

= .Funzionicontinueinunintervallo 47Vediamooraunaprimaimportante conseguenzadellauniforme conti-nuit` a.Proposizione5.4Sia I= (a, b)con a, b R e sia f: (a, b) R uniforme-mentecontinua. Allora`epossibileestendereunivocamentefaunafunzionecontinuasu[a, b].Dimostrazione. Bastaprovarecheesistononitiilimiti:limxaf(x), limxbf(x).Infattiintalcasoposto:F(x) =___f(x), perogni x (a, b),limxaf(x), per x = a,limxbf(x), per x = b,`echiarocheF`elunicaestensionedifcontinuain[a, b].Proviamoadesempiocheesisteillimxbf(x). Perquestoconsideriamounasuccessione (xn) I convergente ab e proviamoche lasuccessione(f(xn))`edi Cauchy. Poi proveremocheil limitedi (f(xn)) nondipendedallasceltadi(xn).Dato che f`e uniformemente continua in (a, b), per ogni> 0 esiste

> 0talechevalgalimplicazione(5.1). Inoltre, datochexn b, esisten

Ntaleche:[xnb[ n

.Sen, m > n

sihaallora[xnxm[ [xnb[ +[xmb[ <

equindi[f(xn) f(xm)[ < .Ci` o signica che la successione (f(xn)) `e di Cauchy cosicche esiste l R talechef(xn) l.Siaora(yn) I unaltrasuccessioneconvergenteabesiaf(yn) l

.Dato > 0esisten

> n

Ntaleche:n > n

[xnb[ 0talecheperogni >0esistonox, y Italiche[x y[ < , [f(x) f(y)[ 0.Daton Nescelto=1nneseguecheesistonoxn, yn Italiche[xnyn[ M 1nk, k N.Perk ,grazieallacontinuit` adif,sihaf(x0) = M. Quindix0`epuntodimassimo. 50 Capitolo5SelintervalloInon`echiusoelimitatonon`edettoingeneralecheunafunzionecontinuaf : IRassumamassimoeminimo. Adesempiolafunzione f(x) = x, x R, non ha ne massimo ne minimo mentre la funzionef(x) =1x, x (0, 1]nonhamassimo. Pergarantirelesistenzadelmassimodi f : I RquandoI non`echiusoelimitatooccorronoulteriori ipotesi,comeadesempionelrisultatoseguente.Proposizione5.8Siaf: R Rcontinuaetaleche:limxf(x) = .Allorafhamassimoin R.Dimostrazione. Poniamo=max[1,1]f. Datochelimxf(x)= esisteK> 0taleche:f(x) 1, x (, K] [K, +).Quindirisulta:supRf= sup[K,K]fe, applicandoil Teoremadi Weierstrass allarestrizione di f allintervallo[K, K],sihacheesistex0 [K, K]talechef(x0) = M. 5.3 EsistenzadeglizeriTeorema5.9Siaf : I Rcontinua. Sianoa, b I cona 0, f(b) < 0. Alloraesistex0 (a, b)talechef(x0) = 0.Dimostrazione. SiaE= x [a, b] : f(x) > 0.OsserviamocheE`enonvuotodatochecontieneilpuntoa. Sia=supE.Allora (a, b)erisultaf() 0. Supponiamoperassurdochef() > 0.Alloradal teoremadellapermanenzadel segnoseguecheesiste>0talechef(x) > 0, x ( , + ) [a, b].Ci` ocontraddiceladenizionedicomeestremosuperiorediE. Funzionicontinueinunintervallo 51Osservazione5.10IlTeorema5.9pu` oessereutilizzatoincerticasiperlarisoluzionedellequazionef(x) = 0. Adesempiosiaf: R Rtaleche:limxf(x) = +, limx+f(x) = .Alloraesistonox1< x2talichef(x1) > 0, f(x2) < 0.QuindiperilTeorema5.9esistex0 Rtalef(x0) = 0.Corollario5.11SiaIunintervalloefunafunzionecontinuasuI. Alloraf(I)`eunintervallo.Dimostrazione. Occorreprovarechesex1, x2 Iconx1

f(x2)(il casoincui f(x1) > f(x2). Poniamog(x) = f(x) . Allorag`econtinuaerisulta:g(x1) > 0, g(x2) < 0.Quindi peril Teorema5.9esistez (x1, x2)talecheg(z)=0ovverotalechef(z) = comerichiesto. 5.4 Continuit`adellafunzioneinversaSiaf : [a, b] Rcontinuaeiniettiva. Allorarisultadenitalafunzioneinversaf1: f([a, b]) R, y f1(y) = x,dovex `elunicoelementodiItalechef(x) = y.Proposizione5.12Siaf continuain[a, b] einiettiva. Alloraf1`econ-tinuainf([a, b]).Dimostrazione. Siax0 [a, b] esiay0=f(x0). Si deveprovarechese(yn) f([a, b])tendeay0sihaf1(yn) f1y0= x0.Datochef`einiettiva,perognin Nesistexn Italechef(xn) = yn.Sidovr` aquindiprovarechexn x0.52 Capitolo5Sia(xnk)unasottosuccessionedi(xn)convergentea [a, b].Datochef`econtinuainsiha:f(xnk) = ynk f() = y0.Datochef`einiettivasi ha=x0cosicchexnk x0. Datalarbitrariet` adellasottosuccessione(xnk)sceltasihaxn x0comerichiesto. Esempi5.131)Siaf:_2, 2_ [1, 1], x sin xDatoche f `e strettamente crescente risultadenitae continualasuainversagin(1, 1)(Teorema5.12),g(y) := arcsin y, y (1, 1).Inmodoanalogosiprovalacontinuit` adellinversaarccos xdicos x.2)Siaf:_2, 2_R, x tan x.f`e continua (vedi Esercizio 4.10) e strettamente crescente. Quindi risultadenitaecontinualasuainversagin R,g(y) := arctan y, y R.3)Siaf: R R, x exeglafunzioneinversadif,g(y) = log y, y (0, +).DalTeorema5.12seguecheg`econtinua.5.5 FunzionimonotoneSiaIunintervalloef: I R. Sidicechef`ecrescente(resp. decrescente)inIse:x1, x2 I f(x1) f(x2) (risp. f(x1) f(x2)). (5.3)Sein(5.3)valeilsegnominore(risp. maggiore)sidicechef`estrettamentecrescente(resp. strettamentedecrescente) inI. Unafunzionecrescenteodecrescente `edettamonotona.Funzionicontinueinunintervallo 53Non`edettocheunafunzionemonotonasiacontinua. AdesempiolafunzionediHeavside:H(x) =_1 se x > 0,0 se x 0,`ecresecentemanon `econtinuain0.Vogliamomostrareoracheunafunzionemonotonaf: I R `econtinuain tutti i punti di Itranne al pi` u un sottoinsieme numerabile di I. Per questoconvieneintrodurreilconcettodilimitedestroesinistrodiunafunzione.Denizione5.14Siaf:(a, b) R, a, b R, esiax0 I. Si dicechefammettelimitel perx x0seperogni > 0esiste

> 0talechex (a, x0) (x0

, x0) = [f(x) l[ < .Intal casosiscrivelimxx0f(x) = lSi dicechef ammettelimitel perx x+0seperogni >0esiste

>0talechex (x0, b) (x0, x0 +

) = [f(x) l[ < .Intal casosiscrivelimxx+0f(x) = lInaltri termini si halimxx0f(x)=l (risp. limxx+0f(x)=l)seesoloselimxx0 f(a,x0)(x) = l(risp. limxx0 f(x0,b)(x) = l)dovef(a,x0)(risp. f(x0,b)) `elarestizionedifa(a, x0)(risp. (x0, b)).Teorema5.15Siaf:(a, b) Rcrescentesiax0 (a, b). Alloraesistonoilimiti:limxx0f(x) = supx(a,x0)f(x) (5.4)elimxx+0f(x) = infx(x0,b)f(x). (5.5)Inoltreseiduelimiticoincidonof`econtinuainx0.54 Capitolo5Unrisultatoanalogovalesef`edecrescente.Dimostrazione. Proviamoadesempio(5.5). Poniamo:l = infx(x0,b)f(x).Per denizione di estremo inferiore, per ogni> 0 esiste x

(x0, b) tale che:f(x

) < l + .Poniamo

= x

x0,alloraperlacrescenzadifvalelimplicazione:x (x0, b), x x0<

f(x) l f(x

) l < .Quindi(5.5) `eprovata.Lultimaaermazioneseguedalfattoche,essendofcrescente,risulta:supx(a,x0)f(x) f(x0) infx(x0,b)f(x).

Poniamo:limxx0f(x) := f(x0 ), limxx+0f(x) := f(x+0 )eindichiamoconr(x0)ilsaltodifinx0:r(x0) = f(x+0 ) f(x0 ).Sef`ecrescenterisultaevidentemente:f(x0 ) f(x0) f(x+0 ).InoltredalTeorema5.15seguechef`econtinuainxseesoloser(x) = 0.Esercizio5.16Nelle ipotesi del Teorema5.15provare che esistono(nonnecessariamenteniti)ilimiti:limxaf(x), limxbf(x)Proposizione5.17Siaf: [a, b] Rmonotona. Alloralinsiemedeipuntididiscontinuit`adif`eal pi` unumerabile.Funzionicontinueinunintervallo 55Dimostrazione. Supponiamoadesempiofcrescente. Poniamo:n=_x (a, b) :1n r(x) 0 =_n=1n,`ealpi` uquelladeldiscreto. Ladimostrazionedelsemplicecorollarioseguente `elasciataallettore.Corollario5.18Sef `ecrescentein[a, b] ef([a, b]) `eunintervallo, f `econtinuain[a, b].5.6 FunzioniconvesseUnafunzionef: I R `edettaconvessaserisultaf((1 t)x + ty) (1 t)f(x) + tf(y), x, y I, t [0, 1]. (5.6)Pervedereil signicatogeometricodella(5.6)introduciamoil concettodiepigraco. Lepigracodi f`elinsiemedei punti chestannoal di sopradelsuograco,cio`e:Epi (f) := (x, y) R2: x I, y f(x).Dalla denizione (5.6) segue immediatamente che f `e convessa se e soloseil suoepigraco`eunsottoinsiemeconvessodi R2. Ci` osignicachese(x1, y1)e(x2, y2)appartengonoaEpi (f)allorailsegmentochelicongiungeviappartiene. Inaltritermini,valelimplicazione:(x1, y1) Epi (f), (x2, y2) Epi (f), t [0, 1] ((1 t)x1 + tx2, (1 t)y1 + ty2) Epi (f).Unafunzionef: I R `edettaconcavase f`econvessa.56 Capitolo5Teorema5.19Ognifunzionef: (a, b) Rconvessa`econtinua.Dimostrazione. Siax0 (a, b). Siainoltre[, ] (a, b)talechex0 (, ). Cominciamoconilprovarechef`econtinuaadestrainx0cio`echelimxx+0f(x) = f(x0). (5.7)Perquestobaster` adimostrarechese(xn) (x0, )`eunasuccessionecon-vergenteax0si haf(xn) f(x0). Essendox0 0taleche:x (a, b), [x x0[ <

[r(x)[ < [x x0[. (6.7)Siha,tenendocontodi(6.6),g(y) g(y0) = x x0=1f

(x0)(y y0) 1f

(x0)r(x).Quindibaster`aprovareche:limyy0r(x)y y0=limyy0r(g(y))y y0= 0. (6.8)Daltra parte sappiamo dalla Proposizione 5.12 che g `e continua in y0. Quindiesiste

> 0taleche:y J, [y y0[ <

[x x0[ = [g(y) g(y0)[ <

[r(x)[ < [x x0[.Se [y y0[ <

sihaquindir(x)y y0=r(x)x x0x x0y y0< x x0y y0= x x0f

(x0)(x x0) + r(x)= 1f

(x0) +r(x)xx0 1[f

(x0)[ ,da cui (6.8). (Nellultimo passagio si `e supposto< [f

(x0)[, il che `e possibiledatochef

(x0) ,= 0). 64 Capitolo6Esempi6.91)Consideriamolafunzione:f(x) = sin x, x _2, 2_elasuainversag(y) = arcsin y, y (1, 1).DallaProposizione6.8sihaallora:Darcsin y=1cos x.Ma,datochey= sin x,siha:cos x =_1 y2,cosiccheDarcsin y=1_1 y2, y (1, 1).2)Consideriamolafunzione:f(x) = tan x, x _2, 2_elasuainversag(y) = arctan y, y (, ).Sihaallora:Darctan y= cos2x.Ma,datochey= tan x,siha:cos2x =11 + y2cosiccheDarctan y=11 + y2, y (1, 1).3)Siaf(x) = log x, x (0, +).Derivate 65Lasuainversa `e:g(y) = eyy R.Calcoliamo f

(1). Si ha, ricordando la continuit`a del logaritmo (vedi Esempio5.13),limh01hlog(1 + h) =limh0log_(1 + h)1/h= log e = 1.Si `equiusatoilfattochelimh0(1 + h)1/h= e.Ci` oseguefacilmentedalladisuguaglianza:_1 +1n + 1_n_1 +1n + 1_x 0esiste

> 0taleche:y (c, d), [y y0[ <

[r2(y)[ < [y y0[.Inoltre,perlacontinuit` adif,esiste

> 0taleche:[x x0[ <

[f(x) f(x0)[ <

[r2(f(x))[ < [f(x) f(x0)[ [f

(x0)[ [x x0[ + [r1(x)[.Nesegue:r2(f(x))x x0 [f

(x0)[ + [r1(x)[[x x0[,dacuilatesiperx x0. Esempio6.11Sianoa, b R, f: [a, b] Rderivabile, a 0taleche(x0, x0 + ) (a, b)evale(6.10). Sihaallora:1h(f(x0 + h) f(x0)) 0 se h < 0,1h(f(x0 + h) f(x0)) 0 se h > 0.QuindirisultaD+f(x0) 0eDf(x0) 0. Datochef`ederivabileinx0sihaD+f(x0) = Df(x0)dacuilatesi.(ii)Siaf crescenteinx0esia>0taleche(x0 , x0 + ) (a, b)evale(6.11). Sihaallora1h(f(x0 + h) f(x0)) 0, se h (, ).68 Capitolo6dacuilatesiperh 0. Serisultaf

(x0)=0allorafnonhanecessariamenteunmassimoounminimolocaleinx0;bastaconsiderarelafunzionef(x) = x3ex0= 0.Proposizione6.14Siaf: (a, b) Resiax0 (a, b). Supponiamochefsiaderivabileinx0echerisulti f

(x0)>0(risp. f

(x0) 0taleche:x (a, b), [x x0[ < [r(x)[ 12f

(x0)[x x0[.Sex x0> 0siha:f(x) f(x0) f

(x0)(x x0) [r(x)[ 12f

(x0)(x x0) > 0,esex x0< 0f(x) f(x0) f

(x0)(x x0) +[r(x)[ 12f

(x0)(x x0) < 0.Quindif`estrettamentecrescente(risp. decrescente)inx0. 6.3.1 FormeindeterminateIlrisultatoseguente `eilprototipodiunaseriedirisultaticoncernentilimitidiformeindeterminate.Proposizione6.15(RegoladellHospital) Sianof, gderivabiliin(a, b)ex0 (a, b). Supponiamoche:(i) f(x0) = 0, g(x0) = 0.(ii) g(x) ,= 0perognix (a, b) x0.Derivate 69(iii) g

(x0) ,= 0.Allorarisulta:limxx0f(x)g(x)=f

(x0)g

(x0).Dimostrazione. Dato che fe gsono derivabili in x0esistono r : (a, b) Res : (a, b) Rtaliche:f(x) = f

(x0)(x x0) + r(x), g(x) = g

(x0)(x x0) + s(x), x (a, b),e:limxx0r(x)x x0= 0, limxx0s(x)x x0= 0.Sihaallora:f(x)g(x)=f(x) f(x0)g(x) g(x0)=f

(x0)(x x0) + r(x)g

(x0)(x x0) + s(x)=f

(x0) +r(x)xx0g

(x0) +s(x)xx0,dacuilatesiperx x0. 6.4 Propriet`aglobaliISiaf :[a, b] Rcontinuain[a, b] ederivabilein(a, b). Sappiamodal teo-remadi WeierstrasschefhamassimoMeminimomin[a, b]. GrazieallaProposizione6.13-(i)pertrovareMemsipu`oprocederealmodoseguente.Siconsideralinsieme: = x (a, b) : f

(x) = 0esiosservacheilmassimoeilminimodifsitrovanonellinsieme: a b.Esempio6.16Siaf(x) = 2x39x2+ 12x, x [0, 3]. Siha:f

(x) = 6x218x + 12, x [0, 3].70 Capitolo6Datochef

si annullain1e2il massimoeil minimodi fsonoassunti inunodeipunti0, 1, 2, 3. Datoche:f(0) = 6, f(1) = 11, f(2) = 10, f(3) = 15,ilmassimodif`e15eilminimo `e6.Peraverealtreinformazioniglobalidifin[a, b]sonoutiliiteoremidiRolleedelvalormediodiLagrange.Teorema6.17(Rolle) Siaf : [a, b] Rcontinuain[a, b], derivabilein(a, b)etalechef(a) = f(b). Alloraesiste (a, b)talechef

() = 0.Dimostrazione. Peril teoremadi Weierstrassfhamassimoeminimoin[a, b]. Se sonouguali f `e costante e quindi f

`e nullain(a, b). Se sonodiversinonpossonoessereassuntientrambiagliestremidellintervallo[a, b].Supponiamoadesempiocheil massimosiaassuntoinunpunto (a, b).Allorasihaf

() = 0perlaProposizione6.13-(i). Proviamoorailteoremadel valormedio.Teorema6.18(Lagrange) Siaf :[a, b] Rcontinuain[a, b]ederivabilein(a, b). Alloraesiste (a, b)talechef(b) f(a) = f

()(b a). (6.12)Dimostrazione.Primopasso. Supponiamoa = 0, b = 1.Poniamo:g(t) = t(f(1) f(0)) f(t), t [0, 1].Allorag(0) = g(1)cosiccheperilTeoremadiRolleesiste (0, 1)talecheg

() = f(1) f(0) f

() = 0,dacuilatesi.Secondopasso. a, bgenerali.Poniamo:h(t) = f((1 t)a + tb), t [0, 1].Alloraperilprimopasso,esiste (0, 1)taleche:h(1) h(0) = f(b) f(a) = h

().Derivate 71Usandolaregoladiderivazionedellefunzionicompostesiha:h

() = (b a)f

((1 )a + b).Posto= (1 )a + bsihalatesi. Vediamooraalcuneconseguenzedelteoremadelvalormedio.Proposizione6.19Siaf : [a, b] Rcontinuae derivabile in(a, b). Serisultaf

(x) = 0perognix (a, b)alloraf`ecostante.Dimostrazione. Siax1(a, b). Per il teoremadel valor medioesiste (x1, b)talechef(b) f(x1) = f

()(b x1) = 0.Quindif(x1) = f(b)perognix1 (a, b). Proposizione6.20Sia f : (a, b) Rderivabile. Se risulta f

(x) 0(risp. f

(x) > 0)perognix (a, b)alloraf`ecrescente(risp. strettamentecrescente)in(a, b).Se risultaf

(x) 0(risp. f

(x) 0)perogni x (a, b)esianox1, x2 (a, b), x1 0),dacuilatesi. Siaf derivabilein(a, b). Laproposizioneseguentemostracheper laderivataf

valeilteoremadiesistenzadeglizeri.Proposizione6.21Siaf: R Rderivabilein(a, b). Sia[x1, x2] (a, b)talechef

(x1) < 0,f

(x2) > 0. Alloraesiste (x1, x2)talechef

() = 0.Dimostrazione. In virt` u della Proposizione 6.14 f`e strettamente crescentein x2e strettamente decrescente in x1. Quindi esiste h (0, x2x1) tale chef(x1 + h) < f(x1), f(x2h) < f(x2).Quindi il minimodi f in[x1, x2], cheesisteperil Teoremadi Weierstrass,cadeinpunto (x1, x2)cosiccherisultaf

() = 0. Corollario6.22Siaf: R Rderivabilein(a, b). Alloraf

((a, b))`eunintervallo.72 Capitolo66.4.1 DerivatedifunzioniconvesseRicordiamocheunafunzionef: (a, b) R `econvessaseesolose:x, y (a, b), t [0, 1] f((1 t)x + ty) (1 t)f(x) + tf(y). (6.13)Unutile caratterizzazione dellaconvessit`a`e dataintermini del rapportoincrementale:R(x, y) =f(x) f(y)x y, x, y (a, b), x ,= y.Da notare che R`e simmetrico, cio`e R(x, y) =R(y, x) per ogni x, y (a, b), x ,= y.Proposizione6.23Leaermazioniseguentisonoequivalenti.(i) f`econvessa.(ii) R(x, y)`ecrescenteinxey.Dimostrazione. (i) (ii). DatocheR`esimmetricobastaprovareche`ecrescenteinx,cio`echesex < zconx, z (a, b)risulta:f(x) f(y)x yf(z) f(y)z y, y (a, b), x ,= y, z ,= y. (6.14)Occorredistingueretrecasi secondoche: y 0,cosicchef`estrettamenteconvessainx0. Osservazione6.32Siaf :(a, b) Runafunzionederivabileduevolteesiax0 (a, b). Serisultaf

(x0) 0non`edettochef siaconvessainx0.Basta considerare lesempio f(x) = x3, x R, e prendere x0= 0. In tal casosihaf

(x) = 6xcosicchef`econcavain(, 0)econvessain(0, )e0`eunpuntodiessocrescente.In generale si dice che x0 `e un punto di esso crescente (risp. decrescente)perfseesisteh > 0taleche:(i) f`econcava(risp. convessa)in(a, b) (x h, x),(ii) f`econvessa(risp. concava)in(a, b) (x h, x).6.7 Propriet`aglobaliIIProposizione6.33Se f: (a, b) R `e derivabile due volte in (a, b) e risultaf

(x) 0perognix (a, b),alloraf`econvessa.Dimostrazione. Datochef

(x) 0per ogni x (a, b) si hachef

`ecrescente per la Proposizione 6.13,cosicche f`e convessa per la Proposizione6.25. Ilrisultatoseguentegeneralizzailteoremadelvalormedio.Proposizione6.34Siaf : (, ) Rderivabileduevolteesia[a, b] (, ). Esisteallora (a, b)talechef(b) = f(a) + f

(a)(b a) +12f

()(b a)2. (6.20)78 Capitolo6Dimostrazione. Poniamo:M=f(b) f(a) f

(a)(b a)(b a)2.SideveprovarecheM f

((a, b)).Poniamog(t) = f(t) f(a) f

(a)(t a) M(t a)2.Si ha allora g(a) = g(b) = 0 cosicch`e per il Teorema di Rolle esiste 1 (a, b)talecheg

(1)=0. Daltraparteg

(a)=0equindi ancoraperil Teoremadi Rolle esiste 2 (a, 1) tale che g

(2) = 0. Dato che g

(2) = f

(2) Mlatesi `eprovata. 6.8 DerivatediordinenSiaf :(a, b) Rderivabileduevolteinognipuntodi(a, b). Sef

`ederiv-abileinx0 (a, b) si dicechef `ederivabiletrevolteinx0. Procedendoanalogamente si denisce la derivata n-ma in x0(che si indica con il simbolof(n)(x0))diunafunzionederivabilen 1voltein(a, b).Proposizione6.35Supponiamochef siaderivabilenvolteinx0. Alloraesisteunafunzionern: (a, b) Rtaleche:f(x) = f(x0) +n

k=1f(k)(x0)k!(x x0)k+ rn(x), x (a, b) (6.21)elimxx0rn(x)(x x0)n= 0. (6.22)Dimostrazione. BastaprocederecomeperladimostrazionedellaPropo-sizione6.26,usandopi` uvoltelaregoladellHospital. La(6.17) `edettalaformuladiTaylorallordinenconrestodiPeano.Il risultato seguente generalizza il teorema del valor medio allordine n. Ladimostrazione, che`eunasemplicegeneralizzazionedellaProposizione6.23,`elasciataallettore.Derivate 79Proposizione6.36Siaf : R Rderivabilenvolteesiaa0esiste

talechevalga(7.2). Datochef`euniformementecontinua(perilTeoremadiHeine-Cantor),perogni > 0esiste

> 0taleche,x, y [a, b], [x y[ <

[f(x) f(y)[ 0. Alloraperil teoremadellapermanenzadelsegno esiste > 0 tale che [x0, x0 +] (a, b) e risulta f(x) > 0 per ognix [x0, x0 + ]. Sihaallora,ricordando(7.9)_baf(x)dx =_x0af(x)dx +_x0+x0f(x)dx +_bx0+f(x)dx_x0+x0f(x)dx 2 minx[x0,x0+]f(x) > 0,ilchecontraddicelipotesi_baf(x)dx = 0.Supponiamoinnechevalga(7.13)e, perassurdo, cheesistax0 (a, b)talechef(x0) < 0.Ancoraperilteoremadellapermanenzadelsegnoesiste >0tale che [x0 , x0+ ](a, b) e risultaf(x) 0esiste

> 0taleche:x [a, b], [x x0[ <

[f(x) f(x0)[ < .Sceltoallorahtaleche [h[ <

siha:1h(F(x0 + h) F(x0)) f(x0)< .

7.4 PrimitivediunafunzionecontinuaSiaf : [a, b] Rcontinua; alloraogni funzioneF: [a, b] RcontinuaetalecheF

(x)=f(x)perogni x (a, b)`edettaunaprimitivadi f. PerlaProposizione6.19, dueprimitivedi f dierisconoperunacostante. DalTeorema7.11seguequindichelinsiemedelleprimitiveFdif`edatoda:F(x) =_xaf(y)dy + c, c R, x [a, b]. (7.17)Dalla(7.17)segueimmediatamentelaformulafondamentaledel calcoloin-tegrale:_baf(x)dx = F(b) F(a), (7.18)doveF`eunaqualunqueprimitivadif.90 Capitolo7Linsieme delle primitive Fdi fverr` a indicato con_f(x)dx, detto anchelintegraleindenitodif.Siag: R Rcontinuaederivabile. Postof(y)=g

(y), y [a, b] in(7.17)siottiene:_xag

(y)dy= g(x) f(a). (7.19)Esempi7.121)Sian 0 N,allorasiha:_xndx =xn+1n + 1+ c, c R.2)Siha:_x1dx = log x + c, c R, x > 0.Inoltresen Nen > 1,_xndx =x1n1 n+ c, c R, x > 0.3)Siha:_sin x dx = cos x + c,_cosx dx = sin x + c, c R.4)Siha:_tan x dx = log(cos x) + c, x (/2, /2), c R.Sihainfatti,postoF(x) = log(cos x):F

(x) = 1cos x(sin x) = tan x, x (/2, /2).Integrazione 915)Siha:_11 + x2dx = arctan x + c, c R.6)Siha:_11 x2dx = arcsin x + c, x (1, 1), c R.7)Siha:_exdx = ex+ c, c R.8)Siha:_log x dx = x log x x + c, x > 0, c R,comesivericafacilmente.9)Siag: R Rcontinuaederivabileconladerivatag

positiva. Allorasiha:_g

(x)g(x)dx = log(g(x)) + c, c R.7.5 IntegrazioneperpartiProposizione7.13Sianof: R Reg: R Rderivabili conderivatacontinuaesia[a, b]unintervallo. Risultaallora:_baf(x)g

(x)dx = fgba_baf

(x)g(x)dx, (7.20)dovefgba=: f(b)g(b) f(a)g(a).92 Capitolo7Dimostrazione. Posto:F(x) = f(x)g(x), x R,siha:F

(x) = f(x)g

(x) + f

(x)g(x),dacuilatesiintegrandoin[a, b]eusandola(7.18). Esempio7.14Calcoliamolintegrale:_10arctan x dx.Perquestoapplichiamola(7.20)conf(x) = arctan x, g(x) = x, x [0, 1].Siottiene:_10arctan x dx = x arctan x10_10x1 + x2dx=4 _10x1 + x2dx.Daltraparteunaprimitivadix1+x2`edatada12log(1 + x2)(vedi Esempio7.12-(9)). Quindisiottiene:_10arctan x dx =4 12log 2.7.6 IntegrazionepersostituzioneSupponiamodi dovercalcolarelintegrale_baf(x)dxconf:[a, b] Rcon-tinua. Operiamolasostituzione x=(t) concrescentein[c, d] e taleche:(a) = c, (b) = d.Sihaalloraformalmente:dx =

(t)dt,Integrazione 93dacui:_baf(x)dx =_dcf((s))

(s)ds. (7.21)Inmodorigorososidimostrailrisultatoseguente.Proposizione7.15Siaf : [a, b]Rcontinuae sia: [c, d][a, b]continua,strettamentecrescenteetaleche(a) = c, (b) = d. Alloravale(7.21).Dimostrazione. SiaFunaprimitivadif. Allorarisulta:ddsF((s)) = f((s))

(s), s [c, d].Integrandorispettoasin[c, d]sihalatesi. Esempio7.16Calcoliamolintegrale:_21xex2dx.Posto:x = (s) = s1/2, s [1, 4],siha

(s) =12s1/2ef((s))

(s) =12es, s [1, 4].Quindi_21xex2dx =12_41esds =12(e4e).94 Capitolo7Capitolo8Successionieseriedifunzioni8.1 Convergenza di una successione di fun-zioniDenizione8.1Unasuccessione(fn)di funzioni [a, b] R`edettapun-tualmenteconvergenteaunafunzionef: [a, b] Rserisulta:limnfn(x) = f(x), x [a, b].`Echiaro che (fn) `e puntualmente convergente a f se e solo se per ognix [a, b]eperogni > 0esistenx, Ntaleche:x [a, b], n nx, [f(x) fn(x)[ < . (8.1)Osserviamocheseunasuccessione(fn)di funzioni continueconvergepun-tualmente a fnon `e detto che fsia continua come mostra lesempio seguente.Esempio8.2Sia(fn)lasuccessione,fn(x) = xn, x [0, 1].`E chiaro che fn`e continua per ogni n N e che (fn) converge puntualmenteallafunzionefdatada:f(x) =_0, se x [0, 1),1, se x = 1.Tuttaviafnon `econtinuainx = 1.9596 Capitolo8Data una una successione (fn) di funzioni continue convergente puntualmenteaf, unacondizionesucienteper lacontinuit`adi f `eche(fn) convergauniformementeaf.Denizione8.3Unasuccessione(fn) di funzioni [a, b] R`edettauni-formementeconvergenteaf: [a, b] Rseperogni > 0esisten

Ntaleche:n n

[f(x) fn(x)[ 0 si pu` osceglierenx, Nindipendentedaxtalechevalga(8.1).Teorema8.4Sia(fn)unasuccessionedifunzionicontinue[a, b] Runi-formementeconvergenteaf. Alloraf`econtinua.Dimostrazione. Proviamochef`econtinuainognix0 I. Datoche(fn)`euniformementeconvergenteaf,perogni > 0esisten

Ntalechen n

[f(x) fn(x)[ 0taleche:[x x0[

[fn

(x) fn

(x0)[ 0esisten

Ntaleche:n, m n

[fn(x) fm(x)[ 0esiste

> 0taleche:x, y [0, 1], [x y[ <

[f(x) f(y)[ < .Spezziamolasommain(8.6)indueparti, dovesiha [x k/n[ n

2Mn2

< ,cosicche:[f(x) fn(x)[ 2, x [0, 1],ilcheprovaluniformeconvergenzadi(fn)af.Restadaprovare(8.10). Perquestossiamox [0, 1]eponiamo:F() =n

k=0_nk_k(1 x)nk= ( + 1 x)n.Sihaallora:F

() =n

k=1_nk_kk1(1 x)nk= n( + 1 x)n1(8.11)eF

() =n

k=2_nk_(k2k)k2(1 x)nk= (n2n)( + 1 x)n2. (8.12)Posto= xin(8.11)e(8.12)siottienerispettivamente:n

k=1_nk_kxk1(1 x)nk= n,102 Capitolo8dacuin

k=1_nk_kxk(1 x)nk= nx, (8.13)en

k=1_nk_(k2k)xk2(1 x)nk= n2ndacuin

k=1_nk_(k2k)xk(1 x)nk= (n2n)x2. (8.14)Da(8.13)e(8.14)seguefacilmente(8.10). Ladimostrazione `ecompleta. 8.4 SeriedifunzioniSia(fn)unasuccessionedifunzionirealiin[a, b]. Poniamo:Sn(x) =n

k=1fk(x), n N, x [a, b].Selasuccessione(Sn)convergepuntualmenteaunafunzioneSscriveremonaturalmente:S(x) =

k=1fk(x), x [a, b]ediremocheS`elasommadellaserie

k=1fk(x).Selaconvergenzadi (Sn)aS`euniformediremochelaserieconvergeuni-formemente.DallaProposizione8.8seguesubitoilrisultato.Proposizione8.13Supponiamocheperogni > 0esistan

Ntaleche:n n

, p N n+p

k=n+1fk(x)0esisten

Ntaleche:n n

, p N n+p

k=n+1Mk< .Sen

Nep Nnesegue:n+p

k=n+1fk(x)n+p

k=n+1Mk 0taleche(1)[f(k)(x)[ M, x [a, b], k = 0, 1, ...Allorarisulta:f(x) =

k=0f(k)(x0)k!(x x0)k, x [a, b], (8.16)laserieessendototalmenteconvergentein[a, b].Dimostrazione. Ricordiamocheperognin NvalelaformuladiTaylor:f(x) =n

k=0f(k)(x0)k!(x x0)k+f(n+1)(n)(n + 1)!(x x0)n+1, x [a, b],doven`eunpuntoopportunodi[a, b]. Nesegue:f(x) n

k=0f(k)(x0)k!(x x0)k M(b a)n+1(n + 1)!,dacuilatesi,datochelaserienumerica

k=0(ba)kk!`econvergente. (1)Poniamof(0)= f, f(1)= f

, ecc.Successionidifunzioni 105Esempio8.19Negliesempiseguenti(, ) `eunintervallocontenente0.1)Siaf(x) = ex, x Resiax0= 0. Datoche:f(k)(0) = 1, k = 0, 1, ...,risulta:ex=

k=01k!xk, x R.2)Siaf(x) = sin x, x Resiax0= 0. Datoche:f(2k+1)(0) = (1)k, f(2k)(0) = 0, k = 0, 1, ...,risulta:sin x =

k=1(1)k(2k + 1)!xk, x R.3)Siaf(x) = cos x, x Resiax0= 0. Datoche:f(2k+1)(0) = 0, f(2k)(0) = (1)k, k = 0, 1, ...,risulta:cos x =

k=1(1)k(2k)!xk, x R.106 Capitolo8Capitolo9Spazimetrici9.1 DenizionedispaziometricoSia Xun insieme non vuoto. Una metrica o distanza d su X `e unapplicazioned : X X [0, +), (x, y) d(x, y),taleche:(i) d(x, y) = 0seesolosex = y.(ii) d(x, y) = d(y, x), x, y X.(iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y), x, y, z X.La(iii)`edettadisuguaglianzatriangolare. Sed`eunametricasuXsi dicechelacoppia(X, d) `eunospaziometrico.Nel seguito del capitolo (X, d) rappresenta uno spazio metrico; gli elementidiXsarannodettipunti. AvoltascriveremoXanziche(X, d)perbrevit` a.Esempio9.1SiaX= R,poniamo:d(x, y) = [x y[, x, y R.Allora (R, d) `e uno spazio metrico. Nel seguito intenderemo sempre R munitodellametricad.107108 Capitolo9Esempio9.2(Spazioeuclideo) Sian N, n>1eRnlinsieme dellen-pleordinatex = (x1, ..., xn)dinumerireali.Deniamosu Rnilmodulodiunpuntox Rn,[x[ =_n

k=1x2k_1/2eilprodottoscalarefrax, y Rn,x, y) =n

k=1xkyk.DanotarechevaleladisuguaglianzadiCauchySchwartz,[x, y)[ [x[ [y[, x, y Rn. (9.1)Ci` oseguefacilmenteosservandocheiltrinomio:F(t) = [x + ty[2= t2[y[2+ 2tx, y) +[x[2`emaggioreougualea0perognit R.Innedeniamounametricadi Rnponendo:d(x, y) = [x y[ =_n

k=1(xk yk)2_1/2, x, y Rn.(Il fattochedverichi gli assiomi (i)-(iii) delladistanzaseguefacilmenteusando(9.1).)(Rn, d) `eunospaziometricoed `edettalametricaeuclidea.Esempio9.3Sia [a, b] un intervallo in R. Indichiamo con C([a, b]) linsiemedelle funzioni reali continue su[a, b]. DeniamosuC([a, b]) unametricaponendo:d(f, g) =maxx[a,b][f(x) g(x)[, f, g C([a, b]).Esempio9.4Sia Rlafamigliadellesuccessionix = (xn)dinumerireali.Sidenisceunametricain Rponendo:d(x, y) =

k=12k[xk yk[1 +[xk yk[.Spazimetrici 109Esempio9.5SiaXuninsiemenonvuoto. DeniamounametricasuXponendo:d(x, y) =_0 se x = y1 se x ,= y.d `edettalametricadiscretaEsempio9.6SiaY unsottoinsiemenonvuotodi X. Allora(Y, dY), dovedY`elarestrizionedidaY Y`eunospaziometrico.9.2 Limiti di successioni, spazi metrici com-pletiConsideriamounapplicazioneN X, n xn. Alloralinsieme(xn)nN,scrittoancheperbrevit` a(xn), `edettounasuccessioneinX.Denizione9.7Sia(xn)unasuccessioneinX. Sidiceche(xn)`econver-genteseesistex Xtaleche:limnd(x, xn) = 0.Intal casosidiceche(xn)convergeax(ochehaperlimitex)esiscrive:limnxn= x, oppure xn x.`Echiarocheunasuccessione(xn)haal pi` uunlimite. Supponiamoinfatticherisultixn x, xn y.Alloraperogni > 0esisten

Ntaleche:n > n

d(x, xn) 0esisten

Ntaleche:m, n > n

d(xn, xm) < .Si dice che lo spazio X `e completo se ogni successione di Cauchy `e convergente.110 Capitolo9Esercizio9.8(i). Provarecheognisuccessioneconvergente `ediCauchy.(ii) Sia (xn) una successione in X. Supponiamo che esista una successione(k)in Rtaleche:d(xn+1, xn) n, n Neche:

k=1

k< .Provareche(xn) `ediCauchy.Vediamooraalcuniesempidispazimetricicompletienoncompleti.Esempio9.9R `ecompletocome `estatoprovatonelCapitolo1.Esempio9.10Lospaziodeinumerirazionali Qconlametrica:d(p, q) = [p q[, p, q Qnon `eovviamentecompleto.Esempio9.11PerogniN N, RN,munitodellametricaeuclidea, `ecom-pleto. Infattisia(xn)unasuccessionediCauchyin RNexn= (x1n, ..., xNn ), n N.Alloraperogni > 0esisten

Ntaleche:n, m > n

N

k=1[xknxkm[2< 2.Neseguecheperognik = 1, ..., N,lasuccessionein R,(xkn)nN`ediCauchy.Quindi perogni k=1, ..., Nesistexk Rtalechexkn xkpern .Postoallora: x = (x1, ..., xk)sivericafacilmentechexn xin Rn.Esempio9.12C([a, b]) `e completo. Osserviamo innanzi tutto che se (fn), f C([a, b])sihafn fseesolose(fn)convergeuniformementeaf. QuindilacompletezzadiC([a, b])seguedalTeorema8.4.Esercizio9.13Provareche R`ecompleto.Spazimetrici 1119.3 Limiti e continuit`a di applicazioni fra spazimetriciSiano (X, d) e (Y, ) spazi metrici, K un sottoinsieme di X e funapplicazionediKinY .Si dicechex0`eunpuntodi accumulazioneounpuntolimitedi Kseesisteunasuccessione(xn)contenutainX Ktalechexn x0.Denizione9.14Siaf unapplicazione KXY e x0unpuntodiaccumulazionediK. Sidicechefammettelimitey0perx x0seperogni > 0esiste

> 0talechex K x0, d(x, x0) <

d(f(x), y0) < .Intal casosiscrivelimxx0f(x) = y0IlrisultatoseguentesiprovainmodoanalogoallaProposizione4.2.Proposizione9.15Sia f: K X Ye sia x0un punto daccumulazionediK. Leaermazioniseguentisonoequivalenti:(i) limxx0f(x) = y0.(ii) Valelimplicazione:(xn) K x0, xn x0 f(xn) y0.Denizione9.16Siaf : KXY esiax0 K. Si dicechef `econtinuainx0seperogni > 0esiste

> 0taleche:x K x0, d(x, x0) <

(f(x), f(x0)) < .Evidentementesex0`eunpuntodaccumulazionedi K, f`econtinuainx0seesoloserisulta:limxx0f(x) = f(x0).Sidicechef`econtinuainKse`econtinuainognipuntodiK.Innesidicechef`euniformentecontinuainKseperogni > 0esiste

> 0talechex, y X, d(x, y) <

= (f(x), f(y)) < .Esercizio9.17Siax0 Xef(x)=d(x, x0)perognix X. Provarechef`euniformentecontinua.112 Capitolo99.4 Propriet`a geometriche e topologiche diunospaziometrico9.4.1 InsiemiapertiechiusiPerogni x Xer>0deniamolapalla B(x, r)di centroxeraggiorponendo:B(x, r) = x X: d(x, x) < r.Denizione9.18Si dicecheunsottoinsiemenonvuotoAdi X`eapertoseperogni x Aesister>0talecheB(x, r) A. Linsiemevuoto `eaperto.Si verica facilmente che lunione di un arbitraria famiglia di aperti e lintersezionediunnumeronitodiaperti `eunaperto.Denizione9.19Si dicecheunsottoinsiemeKdi X`echiusoseil suocomplementareKc`eaperto.Ricordandolaformuladi DeMoivre(1)neseguechelintersezionedi unafamigliaarbitrariadi chiusi elunionedi unnumeronitodi chiusi `eunchiuso.Esempio9.20SiaX= R,d(x, y) = [x y[, x, y R. Sex Rer> 0sihaB(x, r) = (x r, x + r). Quindiogniintervalloaperto `eunapertodi R.InoltreogniintervallochiusoI= [a, b] `echiusodatoche:Ic= (, a) (b, +),`eaperto.Osserviamochelintersezionenumerabiledegliaperti:

k=1(0, 1 + 1/k) = (0, 1],non `euninsiemeaperto.`E interessante notare che ogni aperto non vuoto A di R `e lunione di unasuccessionediintervalliaperti. Siainfatti(xk)unasuccessionecostituitada(1)Se AiJ`e una famiglia di sottoinsiemi diXrisulta (

iJ Ai)c=

ij(Ai)c.Spazimetrici 113tuttiirazionalicontenutiinA. Perognik N, datochexk A, esisteunintervalloapertoIkdicentroxkcontenutoinA. Sivedefacilmenteche:A =_k=1Ik.Denizione9.21Sia Gunsottoinsieme nonvuoto di X. LinternoGdi G`e lunione di tutti gli aperti contenuti inG. LachiusuraGdi G`elintersezionedituttiichiusicontenentiG.SeG `eapertosihaovviamenteG = GeseG `echiusosihaG = G.Esempio9.22SiaX= R,d(x, y) = [x y[, x, y R. SiaG = (0, 1)alloraG = [0, 1]. SeinveceG = (0, 1]alloraG = [0, 1]eG = (0, 1).Osservazione9.23Siax X,r > 0. Allorarisulta:B(x, r) x X: d(x, r) d. (9.2)Linsieme di destra `e detto la palla chiusa di centro x e raggio r ed `e denotatoconilsimboloB(x, r).Ingeneralenonvaleleguaglianzain(9.2). SiaadesempioXuninsiemenon vuoto di almeno due elementi munito della metrica discreta e sia x X.Sihaallora:B(x, 1) = x = B(x, 1),mentreB(x, 1) = X.Esercizio9.24ProvarecheseX`eugualea RnoaC([a, b])risulta:B(x, r) =B(x, r), x X, r > 0.Proposizione9.25SiaKunsottoinsiemechiusoenonvuotodi X. Leaermazioniseguentisonoequivalenti:(i) K`echiuso.(ii) Valelimplicazione:(xn) K, xn x x K.114 Capitolo9Dimostrazione. (i) (ii). SiaKchiusoesia(xn) Kconvergenteax.Seperassurdox Kcesister>0talecheB(x, r) Kcequindinonpu` oesserexn x.(ii) (i). Supponiamo per assurdo che valga (ii) e che Knon sia chiuso.AlloraKcnon `eapertoeesisteunelementox Kcchenon `einternoaKc.Quindiperognin NlapallaB(x,1n)contieneunpuntoxn K.`Echiarochexn x/ Kmentreperipotesidovrebbeesserex K. Concludiamo questa sezione con alcune denizioni. Sia G un sottoinsiemediX.G `emagroseGnonhapuntiinternicio`eseG = .G `edensoinXseG = X.LafrontieradiG,indicataconG, `elinsiemeGG.Un punto x0 G`e isolato se esiste r > 0 tale che B(x0, r)(Gx0) =.`Echiaroche se x0non`e isolatoallora`e unpuntolimite (odiaccumulazione)diG.Esercizio9.26Sia Kun sottoinsieme di X. Provare che la sua chiusuraKcoincideconlinsiemedeisuoipuntilimite.9.5 Caratterizzazionetopologicadellaconti-nuit`aSiano(X, d) e(Y, ) spazi metrici esiaf : X Y . Allora`echiarochelacontinuit`adifinunpuntox0diXpu` oesprimersidicendocheperogni > 0esiste

> 0taleche:f1(B(f(x0),

)) B(x0, ).Proposizione9.27Sia funapplicazione di Xin R. Le aermazioni seguentisonoequivalenti:(i) f`econtinuainX.(ii) B Y apertoinY f1(B)apertoinX.Spazimetrici 115Dimostrazione. (i) (ii). SupponiamochefsiacontinuainXecheBsiaapertoinY . PoniamoA = f1(B)esupponiamoperassurdocheAnonsiaaperto. Alloraesistex0 Aeunasuccessione(xn) Acconvergenteax0. Allora(f(xn))`eunasuccessioneinY convergenteaf(x0) BchenonappartieneaB,ilche `eassurdo.(ii) (i). Suppostochevalga(ii)proviamochef `econtinuainognipuntox0 X. Siay0= f(x0)e > 0. Peripotesif1(B(y0, )) `eunapertocontenentex0,quindiesiste

> 0talechef1(B(y0, ))contieneunapallaB(x0,

). Nesegue(2)f(B(x0,

)) B(y0, ),cosicchef`econtinuainx0. 9.5.1 Distanzaindottasuunsottoinsiemedi(X, d)Sia(X, d) unospaziometricoe Y unsottoinsieme nonvuotodi X. LarestrizionedidaYY `eevidentementeunadistanzainY ,dettadistanzaindottadadinY , cheindicheremoconil simbolodY. Quandononvi siapossibilit`adiconfusionescriveremodalpostodidY.Perognix Y eognir>0indichiamoconBY(x, r)lapallain(Y, dY)dicentroxeraggior.`Efacilevedereche:BY(x, r) = B(x, r) Y.Proposizione9.28Un sottoinsieme Bdi (Y, dY) `e aperto se e solo se esisteunapertoAdiX,talecheB= A Y .Dimostrazione. SiaAunapertoin(X, d)esiay A Y . Alloraesiste > 0talecheB(y, ) A. Sihaquindi:BY(y, ) = B(y, ) Y A Y.Ci` oprovacheognipuntodiA Y`einternocosiccheA Y`eaperto.Viceversa sia B un aperto in (Y, dY). Allora per ogni y B esiste (y) > 0talecheBY(y, (y)) Berisultaevidentemente:B=_yBBY(y, (y)).(2)Si vede facilmente chef(f1(B)) Bper ogni sottoinsiemeBdiY .116 Capitolo9IndicatoconA :=

yB B(y, (y))lapertodi(X, d),sihaA Y=_yBY B(y, (y)) =_yBBY(y, (y)) = B.

Esempio9.29Sia X= R, d la metrica euclidea e Y= [0, 1]. Allora [0, 1/2)`eunsottoinsiemeapertodi(Y, dY)datoche:[0, 1/2) = [0, 1] (, 1/2).Esercizio9.30SiprovicheH Y`echiusoin(Y, dY)seesoloseesisteKchiusoin(X, d)talecheH= H Y .9.6 CompattezzaSia(X, d)unospaziometricoeKunsottoinsiemenonvuotodiX.Denizione9.31K `e sequenzialmente compatto se ogni successione (xn) KpossiedeunasottosuccessioneconvergenteaunelementodiK.Esercizio9.32Provarecheunospaziometricosequenzialmentecompatto`ecompleto.Suggerimento. Mostrarecheseunasuccessionedi Cauchy(xn)inXhaunasottosuccessioneconvergentea xalloraxn x.La propriet`a di un insieme di essere sequenzialmente compatto `e di grandeimportanzacomeabbiamovistonelcasodegliintervallichiusielimitati(adesempioperprovarei teoremi di Wieierstrass, di Heine-Cantoredi Dini).Vogliamoadessopresentarealcuniimportanticoncettiequivalentiallacom-pattezzasequenziale.Cominciamoconlintrodurrelanozionediricoprimento.Denizione9.33UnricoprimentodiK`eunafamiglia(Ak)kIdisottoin-siemidiXtaleche_kIAk K.SelinsiemeI `enitosi dicecheil ricoprimento`enito. Segli Aksonoapertisidicecheil ricoprimento`eaperto.Spazimetrici 117SeJ Iese_kJAk K,sidiceche(Ak)kJ`eunsottoricoprimentodi(Ak)kI.AdesempioseK`elimitatoesisteunapallaB(x, r)talecheB(x, r) K.QuindiB(x, r) `eunricoprimentodiK.Denizione9.34 (i) K`e limitatose esiste x0Ke r >0tali cheK B(x0, r).(ii) K`etotalmentelimitatoseperogni r>0possiedeunricoprimentonitodipallediraggior.OvviamenteseK`etotalmentelimitato`elimitato.Denizione9.35SidicecheK`ecompattoseogniricoprimentoapertodiKpossiedeunsottoricoprimentonito. Intal casoseK= XsidicecheX`eunospaziometricocompatto.Limportante teorema seguente mostra lequivalenza di alcuni dei concettiintrodotti.Teorema9.36Sia (X, d) uno spazio metrico compatto. Allora le aer-mazioniseguentisonoequivalenti.(i) X`esequenzialmentecompatto.(ii) X`ecompletoetotalmentelimitato.(iii) X`ecompatto.Dimostrazione. (i) (ii). Procediamo per assurdo supponendo che Xsiasequenzialmentecompattomanontotalmentelimitato. Alloraesister0> 0talechenessunafamiglianitadi palledi raggior0ricopreK. Prendiamounelementox1 X. AlloralapallaB(x1, r0)nonricopreXcosiccheesistex2 Ktaleched(x1, x2)>r0elunionedellepalleB(x1, r0), B(x2, r0)nonricopreX. Procedendoanalogamentesicostruisceunasuccessione(xk)taleche:d(xi, xj) > r0, se i ,= j.`Echiarocheda(xk)nonsipu` oestrarealcunasottosuccessioneconvergente.118 Capitolo9(ii) (iii). Procediamo ancora per assurdo supponendo che Xsia total-mentelimitatoecompletomanoncompatto,dimodocheesisteunricopri-mentoaperto(Ai)iIdiXchenonhaunsottoricoprimentonito. Conside-riamounricoprimentonitodiXconpallediraggio1.`EchiarocheesisteunapallaB(x1, 1)talechenonesisteunsottoricoprimentonitodi (Ai)iIchericopreB(x1, 1). AncheB(x1, 1)`etotalmentelimitato,quindiesisteunricoprimento nito di B(x1, 1) con palle di raggio 1/2. Per lo stesso motivo diprima esiste una palla B(x2, 1/2) B(x1, 1) tale che non esiste un sottorico-primentonitodi(Ai)iIchericopreB(x2, 1/2). Procedendoanalogamentesicostruisceunasuccessionedipalle(B(xn, 2n)taleche:(i) B(xn, 2n) B(xn+1, 2(n+1)),(ii) Perogni n N, nonesisteunsottoricoprimentonitodi (Ai)iIchericopreB(xn, 2n).Graziea(i)lasuccessione(xn)`ediCauchye,datocheX`ecompleto,con-vergeaunelemento x. Siainnei0 I taleche x Ai0. DatocheAi0`eapertoexn x, Ai0conterr` alapallaB(xn0, 2n0)pern0sucientementegrande. Quindi si `eprovatochelunicoinsiemeAk0ricopreB(xn0, 2n0)ilchecontraddice(ii).(iii) (i). SiaXcompattoesupponiamoperassurdocheesistaunasuccessione (xk) da cui non si pu` o estrarre una sottosuccessione convergente.Evidentemente(xk) `ecostituitadaunnumeroinnitodielementi. Perognix Xesisterx>0talechelapallaB(x, rx)contienesoltantounnumeronitodi punti di (xk). Quindi lafamiglia(B(x, rx))xX`eunricoprimentoapertodiXdacuinonsipu`oestrarreunsottoricoprimentonito. Esercizio9.37Provare che ogni sottoinsieme chiuso di un insieme compatto`ecompatto.9.6.1 TeoremidiWeierstrasseHeineCantorProposizione9.38Siano(X, d)e(Y, )spazi metrici ef : X Y con-tinua. SiaKunsottoinsiemecompattodiX. Alloraf(K)`ecompatto.Spazimetrici 119Dimostrazione. Infatti sia(Bi)iIunricoprimentoapertodi f(K)esiaAi=f1(Bi), i I. Datochef `econtinuasi hache(Ai)iI`eunrico-primentoapertodi K. DatocheK`ecompattoesistonoi1, ..., in I taliche

nk=1Aikricopre K. Quindi

nk=1Bikricopre f(K), cosicche f(K) `ecompatto. Esercizio9.39Sia n N, X= Rncon la metrica euclidea. Provare che unsottoinsiemeKdi Rn`ecompattoseesolose `echiusoelimitato.PossiamoorageneralizzareiTeoremi5.7e5.5.Teorema9.40(Weierstrass) Sia(X, d)unospaziometricoef: X Rcontinua. SiaKunsottoinsiemecompattodi X. Alloraf hamassimoeminimoinK.Dimostrazione. Infatti per laProposizione9.38f(K) R`ecompatto,quindichiusoelimitato. Teorema9.41(Heine-Cantor) Siano (X, d) e (Y, ) spazi metrici e f :X Y continua. SiaKunsottoinsiemecompattodi X. Alloraf `euniforme-mentecontinuasuK.Dimostrazione. Supponiamoper assurdoche f nonsiauniformementecontinua su K. Allora esiste 0> 0 tale che per ogni > 0 esistono x, y Ktaliched(x, y) < , (f(x), f(y)) 0.Daton Nescelto=1nneseguecheesistonoxn, yn Ktaliched(xn, yn) 0talechex, y [0, 1], [x y[ <

[f(x) f(y)[ < , f .Un insieme equicontinuo di C([0, 1]) non `e necessariamente limitato, bastaconsiderareilsottoinsiemedellecostanti: = f C([0, 1]) : f(x) = c, x [0, 1], c R.124 Capitolo9Esempio9.49Sia = f C([0, 1]) : [f(x) f(y)[ K[x y[, x, y [0, 1],doveK> 0e (0, 1].`Echiaroche `eequicontinuo.Teorema9.50(Ascoli-Arzel`a) Sia C([0, 1]). Alloraleaermazioniseguentisonoequivalenti:(i) `echiuso,limitatoeequicontinuo.(ii) `ecompatto.Dimostrazione. (i) (ii). Bastamostrareperil Teorema9.36cheognisuccessione(fn)inpossiedeunasottosuccessioneuniformementeconver-gente. Procederemoinduepassi;nelprimoproveremocheesisteunasotto-successione (gk) di (fn) convergente in tutti i punti di Q[0, 1] (che `e densoin[0, 1]),nelsecondoche(gk) `euniformementeconvergentein[0, 1].Primopasso.Usiamoqui il procedimentodiagonaledi Cantor. Datoche Q [0, 1] `enumerabileesisteunasuccessione(xk) talecheQ [0, 1] =(xk). Inoltre,datoche `elimitatoesisteM> 0taleche:d(f, 0) =supx[0,1][f(x)[ M, f .Inparticolare [fn(x1)[ Mperognin Ncosiccheesisteunasottosucces-sionedi(fn)cheindichiamocon(f1,k)taleche(f1,k(x1)) `econvergente. Perlo stesso motivo esiste una sottosuccessione (f2,k) di (f1,k) tale che (f2,k(x2))`econvergente. Procedendoanalogamentesi costruisceunamatriceinnitadifunzioni:f1,1, f1,2, f1,3, . . . , f1,m, . . .f2,1, f2,2, f2,3, . . . , f2,m, . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .fk,1, fk,2, fk,3, . . . , fk,m, . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,talicheogniriga `eunasottosuccessionedellaprecedenteeesistonoilimitilimmfk,m(xk), k N.Spazimetrici 125Consideriamooralasuccessionediagonale(gk) = (fk,k) :f1,1, f2,2, . . . , fm,m, . . . .`E chiaro che (fk,k(x1)) `e una sottosuccessione di (f1,k(x1)) ed `e quindi conver-gente;inoltre (fk,k(x2)) `euna sottosuccessionedi(f2,k(x2)) (a parte ilprimotermine)ed`equindi convergente. Analogamenteperogni n Nsi hache(fk,k(xn)) `e una sottosuccessione di (fn,k(xn)) (a parte i primi n1 termini)ed `equindiconvergente.Inconclusione(gk(x)) `econvergenteperognix Q [0, 1].Secondopasso. (gk) `euniformementeconvergentein[0, 1].Datoche(gk) `eequicontinuo,perogni > 0esiste

> 0taleche:x, y [0, 1], [x y[ <

[gk(x) gk(y)[ < /3, k N. (9.4)Consideriamounadecomposizionedellintervallo[0, 1], 0=v0 n

siha:[gk(x) gh(x)[ , x [0, 1],cosicche(gk)`ediCauchyuniforme.(ii) (i). Datoche`ecompatto`echiusoelimitato; restaquindi daprovareche`eequicontinuo. Sia >0. Datoche`etotalmentelimitato(Teorema 9.36) lo si pu` o ricoprire con un numero nito di palle di raggio /3:B(h1, /3), ..., B(hn

, /3).126 Capitolo9Per il Teoremadi Heine-Cantor le funzioni h1..., hn

sonouniformementecontinue. Quindiesiste

> 0taleche:x, y [0, 1], [x y[

[hi(x) hi(y)[ < /3, i = 1, 2, ..., n

.Possiamooravericareche `eequicontinuo. Siax, y [0, 1], [x y[

ef . Sihaallora:[f(x) f(y)[ [f(x) hi(x)[ +[hi(x) hi(y)[ +[hi(y) f(y)[,dovei(dipendentedaf)`esceltoinmodotalechef B(hi, /3)cosicched(f, hi) < /3.Sihaallora:[f(x) f(y)[ , f .Quindi `eequicontinuo. 9.8 SpazimetriciseparabiliDenizione9.51Unospaziometrico(X, d)`eseparabileseesisteunsot-toinsiemenumerabileY lacuichiusuracoincideconX.Esempio9.52SiaX=C([0, 1]). AlloraX`eseparabile; unsottoinsiemedenso di K `e dato dai polinomi a coecienti razionali. Ci` o segue dal TeoremadiBernstein.Proposizione9.53Sia(X, d) unospaziometricocompatto. AlloraX`eseparabile.Dimostrazione. Infattiperognin NesisteunricoprimentonitodiX:B(xn1, 1/n), ..., B(xnan, 1/n)`Echiarochelunionedituttiicentri:xn1, ..., xnanalvariaredin N `euninsiemedensoinX. Spazimetrici 1279.9 ConnessioneDenizione9.54Sia(X, d)unospaziometrico.(i) Si diceche(X, d) `esconnessoseesistonoduesottoinsiemi aperti AeB, disgiunti enonvuoti tali cheX=A B. Si diceche(X, d)`econnessosenon`esconnesso.`Echiaroche(X, d)`econnessoseesolosegliunicisottoinsiemidiXchesonoapertiechiusisono eX.(ii) SiaY unsottoinsiemedi X. Si dicecheY `esconnessosetale`elospaziometrico(Y, dY)dovedY`eladistanzaindottasuY . SidicecheY `econnessosenon`esconnesso.Esempio9.55Unpuntoxdi(X, d) `euninsiemeconnesso.Proposizione9.56Siano(X, d) e (Y, ) spazi metrici e f : (X, dX) (Y, dY)continua. SeX`econnessoalloraf(X)`econnesso.Dimostrazione. SiaBunsottoinsiemeapertoechiusodi f(X). Invirt` udella Proposizione 9.28 esiste un aperto A in Ytale che B= AY. Dato chef`e continua si ha che f1(B) = f1(A) `e un sottoinsieme aperto e chiuso diX. Dato che X`e connesso si ha che f1(B) `e o linsieme vuoto o X. PoicheB= f(f1(B)),risultacheB= f(X)oppureB= . Proposizione9.57Sia(X, d)spaziometricoesia(Xi)iIunafamigliadisottoinsiemiconnessidiXtalicheX=_iIXi

iIXi ,= .AlloraX`econnesso.Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che Xsia sconnesso e siano A, BapertinonvuotidisgiuntidiXtaliche X= AB. PoniamoAi= AXieBi= B Xi, i I. Aie Bisono sottoinsiemi aperti di (Xi, dXi). Si noti cheXi= Ai Bi i I.Quindi,poich`eXi`econnesso,sihaAi= oppureBi= perognii I.128 Capitolo9Fissiamo i0 Ie supponiamo ad esempio Bi0= , in modo che Ai0= Xi0(IlcasoincuiAi0= pu` oesseretrattatoanalogamente).Peripotesiesisteunpuntox0 XcheappartieneatuttigliXi. Allorax0 Xi0=Ai0. Quindi x0 Aeanchex0 A Xi=Aiperogni i I.PoicheabbiamoosservatocheunotraAieBideveesserevuoto, neseguechetuttiiBisonovuoti. PoicheB=

iI Bi,risultacheBstesso`evuoto.Ci` ocontraddicelipotesicheBsianonvuoto. Proposizione9.58SiaY Xconnesso. AlloraY `econnesso.Dimostrazione. Siano per assurdo A, Bsottoinsiemi di Yaperti non vuotidisgiuntitalicheY= A B. AlloraA Y eB Y sonoapertidisgiuntidiY esiha:Y= (A Y ) (B Y ).Sia x0 A. Allora x0 `e un punto di accumulazione di Ye quindi AY ,= .Perunmotivoanalogosi haA Y,= . Ci` ocontraddiceil fattocheY `econnesso. Esempio9.59SiaX=Q, d(p, q)= [p q[, p, q Q, esiaKuninsiemeconnessodi Q. AlloraKconsiste di unsolopunto. SupponiamoinfattiperassurdocheKcontengaduepunti aebcona a. Poich`eB`eapertoin[a, b]esiste > 0taleche(t0, t0 +) [a, b] B.Allorat0/2 Bilchecontraddicelasceltadit0. Proposizione9.61Ogni intervallo Idi R (aperto o chiuso a destra,apertoochiusoasinistra,limitatooillimitato)`econnesso.Dimostrazione. Svolgiamoladimostrazionenel casoI =(a, b)lasciandoglialtricasiperesercizioallettore.Siano(an)e(bn)successionimonotone(risp. decrescenteecrescente)in(a, b)convergentirispettivamenteadaeabetalichean t0. Alloraf([t0, t1]) sarebbeunsottoinsiemeconnessodi Q Xcontenente(0, y0) e(x0, sin 1/x0).OraperdenizioneQ X= (0, y) : y01/2 < y< y0 + 1/2 (x, sin 1/x) : x < 1/2, y01/2 < sin 1/x < y0 + 1/2Poich`elintervallo[y0 1/2, y0 + 1/2]halunghezza1mentrelintervallo[1, 1] halunghezza2, esistem [1, 1] [y0 1/2, y0+ 1/2]. PossiamossareM> 1/x0talechesin M= m.Siaallorar larettaverticaledenitadax=1/M. NotiamochetalerettanonintersecaQ X. SianoAeA+i semipiani aperti delimitati dar. Chiaramente si ha che QX= QX AQX A+. In particolarepoich`ef([t0, t1]) `econtenutoinQ Xsihaf([t0, t1]) = f([t0, t] A f([t0, t1] A+Oraf([t0, t1]) Aef([t0, t1]) A+sonoaperti disgiunti. Inoltref(t0)=(0, y0) A (infatti la sua ascissa `e minore di 1/M) mentre f(t1) = (x0, sin 1/x0)appartieneaA+(poicheM> 1/x0,sihachex0> 1/M,ovverof(t1) `ealladestradir). Maci` ocontraddiceilfattochef([t0, t1]) `econnesso.9.9.4 Insiemiconnessidi RnConsideriamoqui lospaziometrico Rnmunitodellametricaeuclidea. Os-serviamoche Rn`econnessoperarchi. Infattidatix, y Rn, unarcocheliconnette `edatodaf(t) = (1 t)x + ty, t [0, 1].Spazimetrici 133Inmodoanalogosidimostrachelepalledi Rnsonoconnesseperarchi.Proviamolageneralizzazionedi questofattoaungenericoapertoconnessodi Rn.Proposizione9.70Siasottoinsiemedi Rnapertoeconnesso. Allora`econnessoperarchi.Dimostrazione. Fissiamox ;vogliamomostrarechetuttiipuntidisonoconnettibiliax. PerquestoconsideriamolinsiemeAdeipunticonnet-tibiliax. A `enonvuoto,datochex `econtenutoinA. Dunque `esucientemostrarecheA `eapertoechiuso(in).A`eaperto. Siay Aesia>0talecheB(y, ) . DimostreremocheB(y, ) A(ovverocheognipuntoinB(y, ) `econnettibileaxtramiteunarcocontenutoin).Per ipotesi esiste un arco f: [0, 1] che connette x a y. Inoltre poich`eB(y, )`econnessoperarchi, ssatoz B(y, )esisteunarcog: [0, 1] B(y, ) checonnetteyaz. Alloraunendogli archi fegsi ottieneunarcocontenutoincheconnettexaz. (vediOsservazione9.67)A`echiuso. Siay A esia>0talecheB(y, ) . Poich`ey Aesistez B(y, )contenutoinA. Oraesisteunarcocheconnettexaz. PoicheB(y, ) `econnessoperarchi,esisteunarcocontenutoinB(y, )(edunquein)checonnettezay. Lunioneditaliarchi `ealloraunarcocheconnettexay. Dunquey A. Esercizio9.71Simostricheunacomponenteconnessadiunapertodi Rn`eaperta.Proposizione9.72Nonesistealcunamappacontinuaeiniettivaf: RnR.Dimostrazione. Ladimostrazione`ebasatasullosservazionechedatov Rn, linsiemeRn v`econnesso. Infatti dati w, u Rn v si possonoconsiderareduearchichelicongiungonoin Rn:f(t) = (1 t)u + tw g(t) = ((1 t)u + tw) + (sin2t)z,134 Capitolo9zessendounvettoreortogonaleallarettapassanteperuev(ovveroorto-gonalealvettoreu v).Ora`efacilemostrarechef([0, 1]) g([0, 1])= u, wedunqueilpuntovpu` oappartenereal pi` uadunodi questiarchi. Inparticolarealmenounodiquestiduearchiconnetteuawin Rn v.TorniamoalladimostrazionedellaProposizione. Supponiamocheesistaf : Rn Rcontinuaeiniettiva. Poiche Rn`econnessoalloraf(Rn)`eunintervalloI(nonpu`oessereunpuntopoichef`einiettiva!).Fissiamo v Rntale che f(v) appartiene alla parte interna di I. Osservia-mocheI f(v) `esconnesso.Del resto, poich`ef`einiettiva, si haf(Rn f(v))=I v. Poich`eRn f(v) `econnessoeI v `esconnessoci`oportaadunassurdo. 9.10 ArgomentodicategoriadiBaireSia(X, d)unospaziometricocompleto. RicordiamocheunsottoinsiemeBdi X`e magro se la sua chiusura Bnon ha punti interni. Se X`e unione nitaonumerabilediinsiemimagrisidicecheX`ediprimacategoria,altrimentisidicecheX`edisecondacategoria.Teorema9.73(Baire) Sia(X, d)unospaziometricocompletoe(Cn)unasuccessionediinsiemichiusitaliche:X=_n=1Cn,Alloraalmenounodei Cnhaunpuntointernoe quindi X`e di secondacategoria.Dimostrazione. Supponiamoper assurdoche ogni Cnnonabbiapuntiinternicio`echesiamagro. Perognin NponiamoAn= Ccndimodoche:n=1An= .Dato che C1 `e magro esiste x1 A1 e 1> 0 tali che B(x1, 1) A1. Analoga-mente,datocheC2`emagroesistex2 A2e2> 0talicheB(x2, 2) A2.Spazimetrici 135Iterandoquestoprocedimentosi costruisceunasuccessionedecrescentedipallechiuse(B(xn, n))taleche:B(xn, n) An.Possiamosceglierelasuccessione(n)inmodoche:i=1i< .(Adesempioscegliendoi< 2i1)Quindi lasuccessione(xn)`edi Cauchyeconvergeaunelemento xcheappartieneatuttelepalleequindianessunCnilche `eassurdo. Ilcorollarioseguente `eimmediato.Corollario9.74(Baire) Sia (X, d) uno spazio metrico completo e sia (An)unasuccessionediapertidensiinX. Allora:n=1An ,= .Esempio9.75(i)SiaX= Rconlametricaeuclidea. Alloraisottoinsieminitidi Rsonomagrimentre Qnon `emagrodatoche Q = R.(ii)SiaX=Qconlametricad(x, y)= [x y[. AlloraX`edi primacategoria.(iii)SiaX= Nconlametricad(m, n) = [mn[. AlloraX`edisecondacategoria.Esercizio9.76Provareche R2non `eunionenumerabiledirette.9.11 PrincipiodellecontrazioniSia(X, d)unospaziometricocompletoef unapplicazionedi XinX. Sidicechex X`eunpuntossodifserisultaf(x) = x.136 Capitolo9Teorema9.77Sia(X, d)unospaziometricocompletoefunapplicazionediXinX. Supponiamocheesista (0, 1)taleche:d(f(x), f(y)) d(x, y), x, y X. (9.6)Allorafhaununicopuntosso.Dimostrazione. Fissiamounelementox0 Xedeniamoperricorrenzaunasuccessione(xn)ponendo:xn+1= f(xn), n N.Proviamoche(xn) `ediCauchy. Procedendoperricorrenzasivedeche:d(xn+1, xn) nd(x1, x0), n N.Datoche laserien=1n`e convergente,nesegueche(xn) `ediCauchyed `equindiconvergenteaunelemento x. Dallaltraparteda(9.6)seguechef`econtinua. Passandoal limitepern nelleuguaglianzaxn+1=f(xn)sitrovachef( x) = x.Restadaprovarelunicit`adelpuntosso. Sia y Xtalechef( y)= y.Sihaallora:d( x, y) = d(f( x), f( y)) d( x, y),ilcheimplica x = y. Esempio9.78Dataf C([0, 1])vogliamotrovareu C([0, 1])taleche:u(t) =12_t0sin(u(s))ds + f(t), t [0, 1]. (9.7)Ricordiamo che X:= C([0, 1]) `e uno spazio metrico completo con la distanza:d(u, v) =supt[0,1][u(t) v(t)[.Deniamounapplicazione: X Xponendo:((u))(t) =12_t0sin(u(s))ds + f(t), t [0, 1],Osservandoche:[ sin(u(s)) sin(v(s))[ [u(s) v(s)[, s [0, 1],Spazimetrici 137siha:d((u), (v)) 12d(u, v), u X,quindi `eunacontrazioneelequazione(9.7)haununicasoluzione