FRACTALES:

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoit Mandelbrot en el año de 1975 y deriva del latín “fractus”, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número no entero.

Si bien el término “fractal” es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más comunes de determinar lo que hoy denominamos dimensión fractal fueron establecidas a principios del siglo XX en el seno de la teoría de la medida.

Los fractales son demasiado irregulares para ser descritos en términos geométricos tradicionales, también es auto similar, ya que su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura. Las copias son similares al todo: misma forma pero diferente tamaño. Existen cuatro tipos de auto similaridad:

Fractales naturales: son objetos naturales que se pueden representar con muy buena aproximación mediante fractales matemáticos con auto similaridad estadística. Los fractales encontrados en la naturaleza se diferencian de los fractales matemáticos en que los naturales son aproximados o estadísticos y su auto similaridad se extiende sólo a un rango de escalas.

Conjunto de Mandelbrot: es un fractal auto similar, generado por el conjunto de puntos estables de órbita acotada bajo cierta transformación iterativa no lineal.

Paisajes fractales: este tipo de fractales generados computacionalmente pueden producir paisajes realistas convincentes.

Fractales de pinturas: se utilizan para realizar el proceso de decalcomania.

Los fractales se definen mediante un simple algoritmo recursivo.

Entre los fractales podemos encontrar ejemplos como curvas que llenan todo el plano. En ese caso, la dimensión topológica de la curva, que es uno, no nos informa sobre la forma en que esta ocupa el espacio ambiente. De modo general, podríamos preguntarnos cómo densamente un conjunto ocupa el espacio métrico que lo contiene. Los números que nos informan objetivamente de este tipo de cuestiones son:

La dimensión fractal: Las fórmulas que la definen tienen que ver con el recuento de las bolas necesarias para recubrir el conjunto o con el de cajas de una cuadrículas que contienen parte del conjunto, cuando las dimensiones de unas y otras tienden a cero. Podemos medir la dimensión fractal de objetos reales: líneas de la costa (1.2), nubes, árboles, etc. Con estas medidas podemos comparar objetos del mundo real con fractales generados por algoritmos matemáticos.

La dimensión de Hausdorff-Besicovitch: tiene una definición más compleja que la de dimensión fractal. Su definición no suele usarse para comparar conjuntos del mundo real.

Existen tres técnicas comunes para generar fractales:

Sistemas de funciones iteradas(IFS): Unos conjuntos se reemplazan recursivamente por su imagen bajo un sistema de aplicaciones: el conjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski, el triángulo de Sierpinski, la curva de Peano, la curva del dragón, el copo de nieve de Koch o la Esponja de Menger, son algunos ejemplos.

Fractales de algoritmos de Escape: definidos por una relación de recurrencia en cada punto del espacio (por ejemplo, el plano complejo): el conjunto de Mandelbrot, conjunto de Julia, y el fractal de Lyapunov.

Fractales aleatorios: generados por procesos estocásticos, no deterministas: el movimiento browniano, el vuelo de Lévy, los paisajes fractales o los árboles brownianos. Éstos últimos son producidos por procesos de agregación por difusión limitada.

Se han utilizado técnicas de fractales de la compresión de datos y en diversas disciplinas científicas.

Compresión de imágenes Modelado de formas naturales Sistemas dinámicos Manifestaciones artísticas