TRANSFORMASI FOURIER

Oleh :

HENDRY MULIAWAN INDRA RAMDANI PRATAMA

UNIVERSITAS GUNADARMA TAHUN 2011

ABSTRAK Istilah Fourier digunakan untuk menghormati Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 1830), matematikawan yang memecahkan persamaan differensial parsial dari model difusi panas, beliau memecahkannya dengan menggunakan deret tak hingga dari fungsi-fungsi trigonometri. Analisis Fourier adalah proses matematika yang digunakan untuk memecahkan masalah bentuk gelombang kompleks dengan menguraikan gelombang itu menjadi komponen sinusoidanya. Setiap bentuk gelombang yang kompleks dapat diperlihatkan terjadi dari sejumlah gelombang sinus murni terdiri dari suatu gelombang sinus dasar ditambah harmonik-harmonik khusus gelombang itu. Sebagai contoh, dengan menambahkan harmonik gasal pada sebuah gelombang sinus (yaitu 3f, 5f, 7f, dst.) akan diperoleh gelombang persegi. Fourier terdiri dari Transformasi Fourier dan Deret Fourier. Transformasi Fourier adalah sebuah transformasi integral yang menyatakan kembali sebuah fungsi dalam fungsi basis sinusioidal, yaitu sebuah fungsi sinusoidal penjumlahan atau integral dikalikan oleh beberapa koefisien ("amplitudo"). Ada banyak variasi yang berhubungan dekat dari transformasi ini tergantung jenis fungsi yang ditransformasikan. Transformasi Fourier memiliki sifat sifat seperti linearitas, time shift, frekuensi shift, konvolusi dan modulasi. Transformasi Fourier juga terdiri dari TF Dikrit, TF Kontinu, TF Balik serta TF cepat. Kata kunci : Transformasi Fourier, sifat-sifat Transformasi Fourier, TF Dikrit, TF Kontinu, TF Balik dan TF cepat.

1. Pendahuluan Seri Fourier umum yang dapat digunakan untuk menggambarkan fungsi periodik apapun ditentukan oleh :

dan disini harmonik.

dan

adalah koefisien-koefisien yang akan dievaluasi untuk berbagai

yang disini

dan T adalah waktu periodik. Suku DC adalah

.

Perhatikan bahwa jika F (t) = f ( t) maka fungsi itu adalah genap, yang memberikan simetri terhadap asal dan kemudian hanya suku-suku cosinus yang muncul. Sebaliknya jika F (t) = f ( t) maka fungsi adalah gasal dan hanya suku-suku sinus yang muncul.

Bentuk Gelombang Persegi Segitiga Gigi gergaji

DC -

Dasar

Ke-2 -

Ke-3

Ke-4 -

Ke-5

Ke-6 -

Ke-7

Gambar 1.1. C t

Anali i Fouri r.

2. Tr

sform si o ri r Transformasi Fouri r adalah operasi matemati a yang terurai sebuah sinyal ke frekuensi penyusunnya. Jadi transformasi Fourier dari sebuah musical chord adalah representasi matematis dari amplitudo dari catatan indi idu yang menebusnya. Sinyal asli tergantung pada waktu, dan karena itu disebut representasi domain waktu dari sinyal, sedangkan transformasi Fourier tergantung pada frekuensi dan disebut domain frekuensi representasi dari sinyal. Istilah transformasi Fourier mengacu baik untuk representasi domain frekuensi dari sinyal dan proses yang mengubah sinyal ke representasi domainnya frekuensi.

F(t)

Transformasi Fourier

F([)

Gambar 1.2. Transformasi Fourier Dalam istilah matematika, salah satu transform Transformasi Fourier kompleksnilai fungsi real variabel ke yang lain. Akibatnya, transformasi Fourier terurai fungsi menjadi fungsi osilasi. Transformasi Fourier dan generalisasi adalah subjek analisis Fourier. Dalam kasus khusus ini, baik waktu dan domain frekuensi terbatas linear continua. Hal ini dimungkinkan untuk mendefinisikan transformasi Fourier dari sebuah fungsi dari beberapa variabel, yang penting misalnya dalam studi fisik gerakan gelombang dan optik. Hal ini juga memungkinkan untuk menggeneralisasi Transformasi Fourier pada struktur diskrit seperti kelompok terbatas. Perhitungan efisien struktur tersebut, dengan Transformasi Fourier cepat, adalah penting untuk kecepatan tinggi komputasi.

Gambar 1.3. Kedua gambar di atas courtesy: Margrave G. et al., Consortium for Research in Elastic Wave Exploration Seismology, The University of Calgary. Tabel di bawah ini merupakan beberapa pasangan Transformasi Fourier yang umum dikenal

2.1. T an

a i F u ie 1 Di en i Transformasi Fourier kontinu 1D dari suatu fungsi waktu f(t) didefinisikan dengan :g

F ([ ) !

f (t ).eg

j[t

dt

dimana : F( ) adalah fungsi dalam domain frekwensi adalah frekuensi radial 0 2 f, atau dapat dituliskan bahwa Contoh 2.1 : Diketahui fungsi f(t) sebagai berikut :f(t) 3

=2 f

-1

0

1

t

Transformasi Fourier dari f(t) di atas adalah :1 1 j[ t

F ([ ) ! (3)e1

dt ! 3 e j[t dt11

2.2. T an orma i Fourier 2 Dimen i Transformasi Fourier kontinu 2D dari suatu fungsi spasial f(x,y) didefinisikan dengan :

([1 , [ 2 ) !

g

dimana : F( , ) adalah fungsi dalam domain frekwensi f(x, y) adalah fungsi spasial atau citra x dan y adalah frekuensi radial 0 2 . Transformasi fourier yang digunakan dalam pengolahan citra digital adalah transformasi fourier 2D.

!

3 j 6 sin( ) e ej ! j

?

A

f ( x, y ).e

!

3 j e j

t 1

g j [1 x [ 2 y

dxdy

Contoh 2.2 : Diketahui fungsi spasial f(x,y) berikut:f(x,y) 1

1

1

y

x

Transformasi fourier dari f(x,y) di atas adalah :1 1

[ F 1 ,[2 !1

(1).e1 1

j [1 x [ 2 y

dydx

1 e j[1 x j[ 2 y sin([ 2 ) j[1 x ! e e dx dx ! [2 j[ 2 1 1 1

1

sin([ 2 ) e j[1 x sin([ 2 ) sin([1 ) ! . ! [ 2 j[1 1 [2 [1 ! sin([ 2 ) sin([1 ) [ 2 [1

1

3. Tran orma i Fourier Di krit Transformasi fourier diskrit atau disebut dengan Discrete Fourier Transform (DFT) adalah model transformasi fourier yang dikenakan pada fungsi diskrit, dan hasilnya juga diskrit. DFT didefinisikan dengan :N

F (k ) ! f ( n).e j 2TknT / Nn !1

3.1. DFT 1 Dimen i DFT seperti rumus di atas dinamakan dengan DFT 1D, DFT semacam ini banyak digunakan dalam pengolahan sinyal digital. Contoh 2.3 : Diketahui f(t) dalam bentuk diskrit f(n) sebagai berikut :f(t)

0

1

2

3

t

DFT dengan t=1 dari fungsi f(n) di atas adalah :

k=0

F (0) ! f (n).e jn 0 ! f (n)n! 0 n !0

3

3

! 1111 ! 4F (1) ! f ( n).e j 2Tn / 4 !n!0 3

k=1

f (n).en !0

3

0.5 jnT

!0

3

k=2

F (2) ! f ( n).en !03

j 4n / 4

! f ( n).e jnT ! 0n !03

3

k=3

F (3) ! f ( n ).e j 6 nn / 4 ! f ( n).e j1.5 nT ! 0n!0 n!0

Hasil dari DFT untuk t (periode sampling) yang berbeda akan juga berbeda. Sehingga dalam proses perhitungan DFT, penentuan nilai T juga merupakan perhatian penting. Sebagai acuan dapat digunakan aturan frekuensi Niquist bahwa frekwensi sampling minimal dua kali frekuensi informasi (data), atau dengan kata lain periode sampling maksimal setengah kali periode dari nilai fungsinya. Contoh 2.4 : Diketahui f(t) dalam bentuk diskrit f(n) sebagai berikut :f(t) 2 1 t 0 1 2 3 0 1 2 3

DFT dengan t=1 dari fungsi f(n) di atas adalah :

F ( k ) ! f (n).en !0

7

j 2Tnk / 8

! f (n).e jTnk / 8n !0

7

Hasil DFT fungsi f(t) di atas adalah : k F(k) 0 12 1 0 2 -2 2j 3 0 4 0 5 0 6 -2 + 2j 7 0 Terlihat bahwa hasil dari DFT adalah bilangan komplek, yang terdiri dari unsur real dan imaginer. Sehingga dapat dipisahkan dalam unsur real dan imaginer sebagai berikut : k Real{F(k)} Im{F(k)} 0 12 0 1 0 0 2 -2 -2 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 -2 2 7 0 0 Dan dapat digambarkan sebagai berikut :

Bagian Real Bagian Imaginer Gambar 1.4. Contoh DFT Real dan Imaginer Atau dapat dinyatakan dalam magnitude dan phase dengan definisi sebagai berikut : Magnitude : Phase :

F (k ) !

e_f (k )a2 Im_f (k )a2Im_ (k )a F Re_ ( k )a F

Arg _ (k )a! F

Magnitude Phase Gambar 1.5. Contoh DFT Real dan Imaginer Bila DFT dihitung untuk k=0 s/d 15 maka hasilnya adalah : k 0 1 2 3 4 5 6 7 F(k) 12 0 -2 2j 0 0 0 -2 + 2j 0 K 8 9 10 11 12 13 14 15 F(k) 12 0 -2 2j 0 0 0 -2 + 2j 0

Terlihat terjadi pengulangan hasil, hal ini disebabkan proses DFT memang mengakibatkan terjadinya periodik. Ini sebagai akibat dari adanya unsur radial 2 dalam bentuk transformasi fourier. Sehingga dalam proses perhitungan DFT, perhitungan cukup dilakukan sampai 1/2 periodik saja. Dan perhitungan inilah yang dinamakan dengan FFT (Fast Fourier Transform). 3.2. DFT 2 Dimen i Transformasi Fourier Diskrit (DFT) 2D adalah tranformasi fourier diskrit yang dikenakan pada fungsi 2D (fungsi dengan dua variabel bebas), yang didefinisikan sebagai berikut :

F ( k1 , k 2 ) !

f (n , n1 n1 ! 0 n2 ! 0

N1

N2

2

).e j 2TT ( k1n1 / N1 k 2 n2 / N 2 )

DFT 2D ini banyak digunakan dalam pengolahan citra digital, karena data citra dinyatakan sebagai fungsi 2D.

Contoh 2.5 : Diketahui f(x,y) adalah sebagai berikut : 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 Bila digambarkan hasilnya adalah sebagai berikut :

Gambar 1.6. Contoh citra dalam f(x,y) DFT dari fungsi f(x,y) di atas adalah :

F ( k1 , k 2 ) !

n1 ! 0 n 2 ! 0

4

6

f (n1 , n 2 ).e j 2TT ( k1n1 / 4 k 2 n2 / 6 )

Hasil dari DFT adalah sebagai berikut : 16 0 -2 - 3.46i 0 -1.27 - 4.73i 0 0 0 0 0 -4.73+ 1.27i 0

0 0 0 0

-2 + 3.46i 0 0 0

0 4.73 - 1.27i 0 1.27 + 4.73i

Secara Grafis dapat ditunjukkan bahwa :

Bagian Real Bagian Imaginer Gambar 1.7. Contoh hasil DFT 2D Hasil DFT dalam bentuk magnitude dan phase adalah sebagai berikut : Magnitude = 16.0000 0 4.0000 0 4.0000 0 0 4.8990 0 0 0 4.8990 0 0 0 0 0 0 0 4.8990 0 0 0 4.8990 Phase = 0 0 0 0

0 -1.8326 0 2.8798

-2.0944 0 0 0

0 0 0 0

2.0944 0 0 0

0 -2.8798 0 1.8326

Secara grafis dapat digambarkan sebagai berikut :

4.

Magnitude Phase Gambar 1.8. Contoh hasil DFT 2D dalam magnitude dan phase Fa t Fourier Tran orm FFT (Fast Fourier Transform) adalah teknik perhitungan cepat dari DFT. Untuk pembahasan FFT ini, akan dijelaskan FFT untuk 1D dan FFT untuk 2D. Dimana FFT 2D adalah pengembangan dari DFT 2D.

4.1. FFT 1D FFT adalah DFT dengan teknik perhitungan yang cepat dengan memanfaatkan sifat periodikal dari transformasi fourier. Perhatikan definisi dari DFT :N

F (k ) ! f (n).e j 2TknT / Nn !1

Atau dapat dituliskan dengan :N n !1 N n !1

F ( k ) ! f ( n) cos(2TnkT / N ) j f (n) sin( 2TnkT / N )Perhatikan fungsi cosinus berikut ini :

Gambar 1.9. Fungsi cosinus 1 periode Pada gambar di atas, dapat dilihat bahwa nilai fungsi cosinus untuk setengah bagian bila dilihat dari kiri dan setengah bagian dari kanan akan sama, atau dapat dikatakan bahwa nilai fungsi cosinus untuk setengah periode adalah kebalikan horisontal (shift) dari nilai setengah periode sebelumnya, atau dapat dituliskan bahwa : cos(T/2-x) = -cos(x), untuk 0