Formule i scheme clasice de probabilitate. Probabiliti condiionate Definiie. Probabilitatea evenimentului A condiionat de evenimentul notat P( A \ B) sau PB (A) este dat de relaia :P( A \ B) = P ( A B) P( B)B,

dac

P( B) 0

Formula nmulirii probabilitilor Teorem. Dac A1 , A2 ,....., An sunt n evenimente astfel nct probabilitatea realizrii simultane este diferit de zero, P( A1 A2 ..... An ) 0 , atunciP( A1 A2 ..... An ) = P( A1 ) P ( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 )....P ( An / A1 A2 ... An 1 )

Demonstraie. Folosind probabilitile condiionate, avem:P ( A1 ) = P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) = P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 )

P ( A3 / A1 A2 ) =

.................................................................... P ( A1 A2 ..... An 1 An ) P ( An / A1 A2 ..... An 1 ) = P ( A1 A2 ...... An 1 )

pe care nmulindu-le membru cu membru se obine formula de mai sus. Exemplu. O urn conine 4 bile albe i 6 bile negre. Se cere probabilitatea ca extrgnd de trei ori cte o bil (fr a pune bila extras napoi), s obinem la prima extragere o bil alb, iar la urmtoarele extrageri cte o bil neagr. Formula probabilitii totale Definiie. O mulime de evenimente formeaz un sistem complet de evenimente dac acestea sunt incompatibile dou cte dou i reuniunea lor este evenimentul sigur. Teorem. Dac A1 , A2 ,....., An formeaz un sistem de evenimente, atunci pentru orice eveniment A , avem :P ( A) = P ( A1 ) P ( A / A1 ) + P( A2 ) P ( A / A2 ) + .....P ( An ) P ( A / An )

Demonstraie. Se tie c o mulime de evenimente formeaz un sistem complet de evenimente dac acestea sunt incompatibile dou cte dou, iar reuniunea lor este evenimentul sigur. Cu alte cuvinte, din aceste evenimente se realizeaz cu certitudine unul i numai unul. Un eveniment A nu se poate realiza dect mpreun cu unul i numai unul din evenimentele A1 , A2 ,....., An , ceea ce nseamn c

A = ( A A1 ) ( A A2 ) ...... ( A An )

iar

P ( A) = P ( A A1 ) + P ( A A2 ) + ....... + P ( A An ) P ( A Ak ) = P ( Ak ) P ( A / Ak )

Conform regulii nmulirii probabilitilor, avem : care nlocuite mai sus, conduc la demonstrarea formulei. Exemplu. Fie trei urne coninnd bile albe i negre, dup cum urmeaz : U 1 (3a,2n) , U 2 (6a,2n) , U 3 (3a,7 n) Dintruna din aceste urne se extrage la ntmplare o bil. Care este probabilitatea ca bila extras s fie alb ? Formula lui Bayes Teorem. Dac A1 , A2 ,....., An formeaz un sistem complet de evenimente, atunci pentru orice eveniment A , avem :P ( Ai / A) = i = 1,2,...., n P ( Ai ) P ( A / Ai ) P ( A1 ) P( A / A1 ) + P ( A2 ) P ( A / A2 ) + ..... + P ( An ) P( A / An )

Demonstraie. Aplicnd formula nmulirii probabilitilor, se obine:P ( A Ai ) = P ( A) P ( Ai / A) P ( Ai A) = P ( Ai ) P ( A / Ai )

De aici rezult cP ( Ai ) P ( A / Ai ) P ( A) Pentru calculul lui P( A) aplicm P ( Ai / A) =

P ( A) = P ( A1 ) P ( A / A1 ) + P ( A2 ) P( A / A2 ) + ..... + P ( An ) P ( A / An ) P ( Ai / A) =

formula probabilitii totale:

i nlocuind, se obine:P ( Ai ) P ( A / Ai ) P ( A1 ) P( A / A1 ) + P ( A2 ) P ( A / A2 ) + .... + P ( An ) P ( A / An ) P ( Ai ) P ( A / Ai )

care se mai poate scrieP ( Ai / A) =

P( A ) P( A / A )i =1 i i

n

Exemplu. Fie dou urne care conin bile albe i negre: . Din aceste urne sa extras o bil alb. Care este probabilitatea ca bila s fi fost extras din prima urn ? Schema lui Bernoulli n urma efecturii unei experiene poate s apar evenimentul probabilitatea p sau contrariul su cu probabilitatea q=1-p. cu

Se repet experiena de n ori n condiii identice. Probabilitatea ca n cele n experiene evenimentul A s apar de k ori este P(n, k ) = C nk p k q nk . Exemplu. Se arunc o pereche de zaruri de ase ori. Care este probabilitatea ca exact de patru ori s obinem un total de apte puncte ? Schema lui Bernoulli cu mai multe stri n urma efecturii unei experiene pot aprea evenimentele probabilitilep1 , p 2 ,...., p s , p k = 1.k =1 s

A1 , A2 ,....., As

cu

Se repet experiena de n ori. Probabilitatea ca n cele n experiene evenimentele A1 , A2 ,....., As s apar respectiv de m1 , m2 ,...., ms ori esteP (n; m1 , m2 ,....., m s ) = n! m p1m1 p 2 2 ....... p sms m1!m2 !......m s !

cu mkk =1

s

= n.

Exemplu. Se arunc un zar de 5 ori. Care este probabilitatea ca de dou ori s obinem faa cu un punct, de dou ori faa cu dou puncte i o dat nici una din aceste dou fee ? Exemplu. Probabilitile ca diametrul unei piese de main s fie ntre limite mai mici, respectiv mai mari dect cele admisibile sunt 0.005 i 0.10, iar probabilitatea ca diametrul unei piese s fie ntre limite admisibile este de 0.85. Din ntreg lotul se extrag la ntmplare 100 piese. Care este probabilitatea ntre piesele alese, 5 s fie cu diametrul mai mic, iar 5 cu diametrul mai mare dect cel admis ? Schema lui Poisson Se fac n experiene independente. n urma experienei de rang k poate s apar evenimentul A cu probabilitatea p k sau A cu probabilitateaq k = 1 p k , k = 1,2,....., n.

Probabilitatea ca n cele n experiene evenimentul ori, cu m < n , este coeficientul lui x m din polinomulp ( x ) = ( p1 x + q1 )( p 2 x + q 2 ).....( p n x + q n )

A

s se realizeze de m

unde pi = P( Ai ), qi = 1 pi , i = 1,2,..., n . Exemplu. Se consider urnele : U 1 (10a,4b),U 2 (5a,3b),U 3 (2a,6b) . Care este probabilitatea ca lund la ntmplare cte o bil din fiecare urn s obinem 2 bile albe i una neagr ? Exemplu. Se experimenteaz 4 prototipuri de aparate, cte unul din fiecare prototip. Probabilitatea ca un prototip s corespund este 0.8, 0.7, 0.9 i respectiv 0.85.

Se cere probabilitatea ca toate cele 4 aparate experimentate s corespund. Schema bilei nerevenite O urn conine a bile albe i b bile negre. Din aceast urn se se extrag n bile fr a pune bila extras napoi n urn, n a + b . Probabilitatea ca din bilele extrase s fie albe i negre ( + = n) este dat dePa ,b ( , ) = C a C b C a ++b

Considerm o urn care conine biele de m culori: a1 de culoare c1 , a 2 de culoare c 2 , , a m de culoare c m . Se extrag n bile deodat sau una cte una fr ntoarcerea bilei extras din urn. Probabilitatea de a obine 1 bile de culoare c1 , 2 bile de culoare c 2 , , m bile de culoare c m ( 1 + 2 + .... + m = n) este C a11 C a2 ......C amm2

C a1 + a221+......+ amm

+ +...... +

Exemplu. ntr-un lot de 100 piese, 6 piese au defecte remediabile, 4 piese sunt rebuturi, iar restul sunt piese bune. Din acest lot au fost luate la ntmplare 10 piese. Care este probabilitatea ca din aceste piese 7 s fie bune, 2 s aib defecte remediabile i una s fie rebut.