formulation et mise en oeuvre d'un élément continu de

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Formulation et mise en oeuvre d’un élément continu decoque axisymétrique raidie

Douha Tounsi Chakroun

To cite this version:Douha Tounsi Chakroun. Formulation et mise en oeuvre d’un élément continu de coque axisymétriqueraidie. Vibrations [physics.class-ph]. Ecole Centrale Paris, 2015. Français. �NNT : 2015ECAP0005�.�tel-01145990�

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THÈSE

Présentée par Dhouha TOUNSI CHAKROUN

pour l'obtention du

GRADE DE DOCTEUR

École Doctorale : École Centrale de Paris (ED287)/École Nationaled'Ingénieur de Sfax

Spécialité : Génie Mécanique

Laboratoire d'accueil : LISMMA (EA2336)/LA2MP

Formulation et Mise en ×uvre d'un ÉlémentContinu de Coque Axisymétrique Raidie

Soutenue le 13/01/2015 devant le Jury composé de :

M. DEÜ Jean-François Professeur des Universités LMSSC, CnamM. ASSAF Samir Maître de Conférences, HDR ESTACAM. BOURAOUI Chokri Professeur des Universités ENISOM. TAWFIQ Imad Professeur des Universités SUPMECAM. HADDAR Mohamed Professeur des Universités ENISM. CASIMIR Jean-Baptiste Maître de Conférences, HDR SUPMECAM. ABID Said Professeur des Universités IPEIS

N 2015ECAP0005

Remerciements

Le travail de recherche exposé dans ce mémoire de thèse a été réalisé en cotutelleentre le Laboratoire de Mécanique, Modélisation et Productique (LA2MP)à l'EcoleNationale d'Ingénieur de Sfax (ENIS- Tunisie) et le Laboratoire d'Ingénierie des Sys-tèmes Mécaniques et des Matériaux (LISMMA)à l'institut Supérieur de Mécaniquede Paris (SUPMECA- Paris).

Je tiens à exprimer mes vifs remerciements et toute ma reconnaissance à mesdirecteurs de thèse Monsieur HADDAR Mohamed , Professeur des universités àl'Ecole Nationale d'Ingénieur de Sfax, et Monsieur TAWFIQ Imad , Professeurdes universités à l'Institut Supérieur de Mécanique de Paris, pour avoir assuré ladirection de mes travaux et pour la qualité de leur encadrement, leurs conseils et lacon�ance qu'ils m'ont accordée.

Je tiens à exprimer mes remerciements et ma très vive gratitude à mes encadreursMonsieur CASIMIR Jean Baptiste , Maître de conférence HDR à l'Institut Su-périeur de Mécanique de Paris, et Monsieur ABID Said Professeur des universitésà l'Institut Préparatoire aux Etudes dÍngénieur de Sfax pour leurs conseils scienti-�ques, leurs encouragement et la con�ance qu'ils mónt accordée ainsi que pour lesdiscussions scienti�ques et les échanges qui nous ont permis de mieux appréhender lesujet de la thèse.

Je remercie Monsieur BOURAOUI Chokri , Professeur des universités à LÍns-titut Supérieur des Systèmes Industriels de Gabes, ainsi que Monsieur ASSAF

Samir , Maître de Conférence à Ecole Supérieure des Techniques Aéronautiques etde Construction Automobile de Paris d'avoir accepté de rapporter mon mémoire etpour l'intérêt qu'ils ont bien voulu porter à ce travail.

Mes remerciements s'adressent également à MonsieurDEU Jean François Pro-fesseur des universités à la Conservatoire National des Arts et Métiers de Paris pouravoir accepté de prendre part au jury.

Mes sincères remerciements s'adressent à tous les membres de LA2MP et deLISMMA et à tous ceux qui m'ont aidé de près ou de loin à achever ce travail.

Finalement, je tiens à remercier du fond du c÷ur ma famille sans qui je ne serais

iii

jamais arrivée là.

iv

Table des matières

Introduction générale xiii

1 Etude bibliographique 31.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Etat de l'art des structures de coques raidies . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Dé�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Intérêt industriel de l'étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3 Analyse vibratoire des coques raidies . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Etat de l'art sur la méthode des éléments continus . . . . . . . . . . . 101.3.1 Méthode des éléments continus . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2 Les méthodes numériques de l'analyse vibratoire . . . . . . . . 121.3.3 Structures vibratoires traitées par la MEC . . . . . . . . . . . 161.3.4 Les Limite actuelles de la Méthode des Eléments Continus. . 19

1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Développement d'un élément continu d'anneau circulaire 232.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Théorie des poutres courbes de Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1 Dé�nition de la géométrie de l'anneau circulaire . . . . . . . . 232.2.2 Hypothèses cinématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.3 Relations comportementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Equation de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.1 Energie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.2 Energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.3 Principe de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 Elément continu d'anneau circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4.1 Développements en série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 322.4.2 Matrices de raideur dynamique de l'anneau circulaire . . . . . 33

2.5 Validation du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.1 Propriétés géométriques et matérielles . . . . . . . . . . . . . 342.5.2 Réponse harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.3 Champ de déplacement à fréquence �xée . . . . . . . . . . . . 40

2.6 Performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6.1 In�uence des approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

v

TABLE DES MATIÈRES

2.6.2 Temps de calcul et occupation mémoire . . . . . . . . . . . . . 432.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Reformulation complexe de la raideur dynamique des coques de ré-volution 473.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Théorie des coques axisymétriques de type Reissner/ Mindlin . . . . . 48

3.2.1 Description géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2.2 Cinématique de Ressner/Mindlin . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.3 Champ des contraintes de Cauchy et e�orts internes . . . . . . 533.2.4 Relations comportementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2.5 Equations du mouvement de la coque axisymétrique . . . . . . 55

3.3 Elément continu de coque axisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3.1 Vecteur d'état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3.2 Recherche de solutions de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4 Validation de l'élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4 Développement d'un élément continu de coque raidie par raidisseurscirconférentiels 674.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2 Formulation par couplage coque/poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2.1 Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2.2 Matrice de rigidité dynamique de la coque raidie . . . . . . . . 704.2.3 Validation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3 Formulation par variation d'épaisseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.3.1 Géométrie de la structure de coque raidie . . . . . . . . . . . . 814.3.2 Matrices de transfert dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . 834.3.3 Matrices de raideur dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.3.4 Validation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5 Développement d'un élément continu de coque raidie par un raidis-seur longitudinal 975.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.2 Présentation des structures de poutres droites de Timoshenko . . . . 97

5.2.1 Dé�nition de la géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.2.2 Hypothèses cinématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.2.3 Loi de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.2.4 Relations e�ort-déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.2.5 Equation de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.3 Elément continu de coque raidie par un raidisseur longitudinal . . . . 1005.3.1 Formulation de l'équation de mouvement d'une coque raidie

par un raidisseur longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.4 Validation du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

vi

TABLE DES MATIÈRES

5.4.1 Propriétés géométriques et matérielles . . . . . . . . . . . . . 1055.4.2 Réponse harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Conclusion générale et perspectives 111

Annexes 115.1 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

vii

TABLE DES MATIÈRES

viii

Table des �gures

1.1 Coques cylindriques raidies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Réservoirs de stockage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Exemple de structures aéronautiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Exemple de satellite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 coques sous marine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Flexion d'une poutre de Bernoulli : chaque section est à un angle de

90 degré par rapport à la ligne moyenne [51] . . . . . . . . . . . . . . 71.7 Déplacement d'un point q de la structure [51] . . . . . . . . . . . . . 71.8 Berceau de submersible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1 Poutre circulaire avec un rayon de courbure constant . . . . . . . . . 242.2 Section de la poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Chargement selon z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4 Elément de maillage : poutre à trois noeuds . . . . . . . . . . . . . . 362.5 Réponse harmonique en θ =0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.6 Réponse harmonique en θ = π/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.7 Anneau soumis à un chargement ponctuel radial appliqué en θ =0 . . 392.8 Réponse dynamique au point de la ligne moyenne situé en θ = 0 . . . 402.9 Champ de déplacement à 8000 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.10 Maillage 3D constitué de 14580 éléments hexaédriques à 8-noeuds. . . 42

3.1 Divergence numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2 Coque axisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3 Vecteurs unitaires des bases locales et cylindriques . . . . . . . . . . . 503.4 Les composantes du déplacements et rotations d'un point dans une coque 523.5 Chargement ponctuel en thêta θ=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.6 Comparaison des réponses éléments �nis et élément continu . . . . . . 623.7 Réponse harmonique du cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1 Coque axisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2 Anneau circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.3 Principe de couplage entre le raidisseur et la coque . . . . . . . . . . 694.4 Dé�nition d'une base commune entre le raidisseur et la coque . . . . . 714.5 Coque raidie soumise à un chargement radial axisymétrique . . . . . . 754.6 Réponse harmonique à un chargement axisymétrique radial . . . . . . 76

ix

TABLE DES FIGURES

4.7 Réponse harmonique suite à un chargement axisymétrique radial d'unecoque sans raidisseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.8 Superposition de la réponse harmonique d'une coque sans et avec rai-disseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.9 Coque raidie soumis à un chargement antisymétrique radial . . . . . . 784.10 In�uence du nombre de termes de la série de Fourier sur la réponse

harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.11 Réponse harmonique suite à un chargement antisymétrique radial . . 804.12 Coque axisymétrique raidie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.13 Surface moyenne de la coque raidie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.14 La géométrie des discontinuités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.15 La géométrie des discontinuités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.16 Pression radiale axisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.17 Réponse harmonique pour un chargement axisymétrique radial . . . . 874.18 Réponse harmonique pour di�érents niveaux d'amortissement . . . . 884.19 Coque raidie soumise au chargement radial antisymétrique . . . . . . 884.20 La réponse harmonique pour un chargement radial antisymétrique . . 894.21 Chargement ponctuel radial en θ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.22 Réponse harmonique à un chargement ponctuel radial . . . . . . . . . 924.23 Etude de convergence vis à vis du nombre d'harmoniques de Fourier

requis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.1 Géométrie de la poutre droite de Timoshenko . . . . . . . . . . . . . 985.2 Action du raidisseur sur la coque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.3 Chargement réparti appliqué par le raidisseur sur la coque . . . . . . 1025.4 Coque raidie soumis à un chargement ponctuel . . . . . . . . . . . . . 1065.5 Réponse harmonique de la coque raidie . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.6 Convergence des termes des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 108

x

Liste des tableaux

2.1 Les coe�cients de rigidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2 Propriétés géométriques et matérielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3 Les premières fréquences propres de �exion dans le plan . . . . . . . . 422.4 Temps de calcul et espace mémoire pour 500 fréquences . . . . . . . 43

3.1 Propriétés géométriques et matérielles de la coque . . . . . . . . . . . 61

4.1 Correspondance entre les déplacements et les forces . . . . . . . . . . 724.2 Propriétés matérielles de la coque et du raidisseur . . . . . . . . . . . 744.3 Propriétés géométriques de la coque et du raidisseur . . . . . . . . . . 744.4 Temps de réponse pour 1000 Fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . 814.5 Propriétés géométriques et matérielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.6 Les fréquences de �exions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.1 Propriétés géométriques et matérielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

xi

xii LISTE DES TABLEAUX

Introduction générale

Le problème de la réponse harmonique

Depuis de nombreuses années, l'analyse vibratoire des structures fait l'objet d'étudespoussées de la part de chercheurs et ingénieurs de secteurs industriels très variés.Ainsi, les industries du transport, de la construction navale et aéronautique sont,dans une large mesure, confrontées à la nécessité de prévoir le comportement vi-bratoire des structures mécaniques. En e�et, dans ces secteurs dès l'instant où unestructure industrielle est soumise à des systèmes motorisés ou à des mouvements avecfrottements, elle devient le siège de vibrations qu'il s'agit de prévoir. Le génie civiln'est pas en reste sur ces problématiques. Les ouvrages d'art soumis à des sollicita-tions naturelles telles que celles du vent, de la houle ou à des sollicitations sismiquesmais aussi à des perturbations fonctionnelles comme celles du passage de véhiculessont également le siège de vibrations d'amplitude parfois conséquente. La plupart desstructures mécaniques complexes sont constituées d'éléments structuraux de topolo-gie relativement simple comme des poutres, des plaques et des coques de géométriesdiverses. L'approche la plus usitée pour la modélisation du comportement vibratoirede ces structures est aujourd'hui la Méthode des Eléments Finis. Les résultats obte-nus par cette approche e�cace sont très �ables dès l'instant où l'on a pris soin dedé�nir un maillage en bonne adéquation avec le domaine fréquentiel étudié tant d'unpoint de vue des formulations élémentaires utilisées que de sa �nesse. Le second pointreste cependant la principale limitation de cette méthode dans la mesure où l'on peutatteindre rapidement les limites des ressources informatiques de calcul. Ainsi, dansle cas des plaques et coques dites épaisses, même si les formulations élémentaires lesplus élaborées permettent une modélisation correcte des comportements à moyennesfréquences, la �nesse de maillage reste un paramètre incontournable de la modélisa-tion. Pouvoir se passer de cette contrainte est aujourd'hui l'un des principaux intérêtsdes méthodes alternatives aux éléments �nis basée sur une absence de discrétisation.Ces méthodes, dites "meshless" apparaissent comme de véritables alternatives à laméthode des éléments �nis particulièrement performantes lorsque les gammes de fré-quences d'intérêt ne peuvent plus être considérées comme des basses fréquences. L'ob-jet de cette thèse s'inscrit dans cette démarche dans le cas où le problème dynamiqueétudié est celui de la réponse harmonique des structures, c'est à dire de la réponsevibratoire de structures soumises à des sollicitations dont la dépendance temporelleest harmonique. La méthode qui est plus particulièrement envisagée dans cette thèse

xiii

xiv INTRODUCTION GÉNÉRALE

est celle des Eléments Continus également connue sous la dénomination de "DynamicSti�ness Method" ou encore de "Spectral Element Method". Le terme "élément" faitréférence au principe d'assemblage lorsqu'il y a discontinuité topologique, ce principeconstitue le point commun avec la Méthode des Eléments Finis. Le terme "continu"fait référence quant à lui à l'absence de discrétisation des éléments structuraux as-semblés. L'intérêt majeur de cette approche est alors la possibilité de maximiser laprécision des résultats tout en minimisant le volume de données requis à la simpledescription topologique de la structure étudiée. Les points clés de cette approche sont :

� Une partition de la structure en éléments de formes géométriques simples nondiscrétisés.

� La résolution exacte et non approchée des équations de l'élastodynamique élé-mentaire issues du principe de Hamilton par exemple. Cette résolution est menéepour des conditions aux limites dites libres.

� La mise sous forme matricielle des relations e�orts/déplacements localisés surle contour élémentaire autorisant les principes d'assemblage classique de la Mé-thode des Eléments �nis.

Objectifs du travail de thèse

Le travail présenté dans cette thèse a consisté à développer une formulation élé-mentaire permettant la modélisation de coques axisymétriques raidies selon une for-mulation de type Reissner/Mindlin. Ce travail s'inscrit dans la continuité de plusieurstravaux réalisés en France par diverses équipes de recherche et qui ont abouti auxformulations élémentaires suivantes :

� Poutres gauches : LISMMA, 1997, Casimir.

� Plaques isotropes de Kirchho� : LISMMA, 1997, Fleuret et Paris VI, 1998, Ke-vorkian.

� Coques axisymétriques de Kirchho� et coude : Ecole Centrale de Nantes, 1998,Le Sourne.

� Coques axisymétriques en couplage �uide-structure : LISMMA, 2010, Khadi-mallah.

Deux con�gurations sont envisagées. Le couplage de coques axisymétriques avecdes éléments d'anneaux circulaires de Timoshenko agissant comme raidisseurs cir-conférentiels puis avec des poutres droites de Timoshenko agissant comme raidisseurslongitudinaux. Le mémoire est ainsi constitué de cinq chapitres.

xv

Le premier présente dans un premier temps une synthèse des travaux de recherchesmenés depuis 1870 concernant l'analyse vibratoire des structures en général et les dif-férentes approches numériques qui ont pu être développées jusqu'à présent. Dans unsecond temps, les travaux relatifs à la Méthode des Eléments Continus sont présentésen rappelant le principe de cette méthode. Cette double présentation tient égalementlieu d'étude comparative des méthodes numériques permettant de démontrer l'intérêtde la présente approche. En�n, un état de l'art concernant l'analyse des structuresde coques raidies et leurs applications sont présentés.

Le deuxième chapitre est consacré au développement de l'élément continu d'an-neau circulaire de Timoshenko caractérisé par une section et un rayon de courbureconstants. La validation numérique de cet élément est menée par une confrontationdes résultats obtenus avec ceux issus de modélisations éléments �nis réalisées sur uncode de calcul commercial. Di�érents type de chargement sont analysés.

Le troisième chapitre présente une reformulation complexe de l'élément continude coque axisymétrique de Reissner/Mindlin. Cette reformulation a permis de leverun certain nombre de verrous numériques qui ont longtemps limité l'utilisation decet élément à des longueurs relativement réduites. Ces limitations se sont révélées demanière plus précise lors de la formulation du couplage coque/poutre et ont conduità réaliser ce travail complémentaire à ceux menés antérieurement par Nguyen et Kha-dimmallah. Cette reformulation est ainsi devenue indispensable dans le contexte denotre thèse. Elle est basée sur l'utilisation de séries de Fourier complexes en lieu etplace des séries trigonométriques réelles. L'élément ainsi reformulé a fait l'objet d'unevalidation numérique fondée sur une comparaison avec des modélisations éléments �-nis.

Le quatrième chapitre est consacré au développement de l'élément continu decoque raidie par raidisseurs circonférentiels. Deux approches sont détaillées. La pre-mière consiste à réaliser un couplage coque/anneau circulaire, la seconde est baséesur une nouvelle formulation des coques axisymétriques impliquant n discontinuitésde son épaisseur. Des analyses harmoniques sont ensuite menées de manière à validerles formulations présentées par comparaison avec les résultats issus de modélisationséléments �nis.

Le cinquième chapitre est consacré au développement de l'élément continu decoque raidie par raidisseurs longitudinaux. Le couplage entre coque axisymétrique etéléments de poutre droite de Timoshenko est détaillé. La validation de la formulationest ensuite obtenue par une confrontation des réponses harmoniques avec celles issuesd'analyses par éléments �nis.

xvi INTRODUCTION GÉNÉRALE

Etude bibliographique

1

1 Etude bibliographique

1.1 Introduction

L'objectif principal de ce chapitre est une description de l'état de l'art permettantde présenter le cadre général de ce travail. Il se compose de deux parties distinctes :

. La première partie est destinée à la présentation des structures de coques rai-dies. Les structures simples de poutres et de coques formant ces structures ysont détaillées. Ensuite, une synthèse des travaux de recherches sur ce thèmeest présentée ainsi que l'intérêt industriel de ce type de structures.

. La seconde partie est consacrée à la présentation de la méthode des élémentscontinus (MEC). Après avoir dé�ni le principe de cette méthode et présenté sonhistorique, une comparaison avec les diverses autres approches utilisées dans lalittérature pour l'étude du comportement vibratoire des structures est abordée.Cette partie se termine par une présentation d'exemples de structures vibrantesqui ont pu être étudiées par la MEC.

1.2 Etat de l'art des structures de coques raidies

1.2.1 Dé�nition

Les coques raidies sont des structures habituellement composées d'une coque deforme cylindrique, conique ou bien sphérique raidie par des raidisseurs longitudinauxou bien circonférentiels (voir �gure 1.1). Ce type d'assemblage permet la mise aupoint de structures plus stables à forts moments quadratiques. L'étude dynamiquede telles structures nécessite la connaissance des théories de coques axisymétriques etde poutres. A�n de pouvoir étudier la structure globale, on peut s'attacher à étudierséparément les sous-structures simples qui sont d'une part les coques et d'autre partles poutres. Ces dernières vont constituer les raidisseurs, que ce soit dans le senscirconférentiel ou le sens longitudinal. On aura alors à faire respectivement à despoutres circulaires ou des poutres droites.

3

CHAPITRE 1. ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

Figure 1.1 � Coques cylindriques raidies

1.2.2 Intérêt industriel de l'étude

Les coques raidies sont des structures qui se présentent comme un assemblage depoutres et de coques de formes diverses. Elles sont présentes pratiquement dans tousles secteurs industriels. Pour notre étude, quelques exemples industriels d'utilisationde coques raidies sont présentés.

Production d'énergie

Ces structures sont par exemple utilisées dans les centrales de production d'éner-gie électrique ainsi que dans le domaine pétrolier pour constituer des réservoirs destockage (voir �gure 1.2). Ces structures sont susceptibles de supporter de grandes

Figure 1.2 � Réservoirs de stockage

pressions internes qui peuvent in�uencer soit leur forme soit leur capacité à supporter

4

1.2. ETAT DE L'ART DES STRUCTURES DE COQUES RAIDIES

de telles charges.

Construction aéronautique

Les structures de coques minces avec raidisseurs sont très largement employéesdans le domaine aéronautique a�n de garantir la tenue mécanique notamment vis-à-vis du �ambement. Ainsi, ces structures sont utilisées, tant au niveau du fuselage desavions que de celui des lanceurs (voir �gure 1.3).

Figure 1.3 � Exemple de structures aéronautiques

Dans le secteur spatial, les applications dans la conception des satellites sontfréquentes. Les structures coques peuvent constituer aussi bien le corps des satellitesque les panneaux solaires ou les tuyères des moteurs (voir �gure1.4).

Figure 1.4 � Exemple de satellite

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Construction navale

La discrétion acoustique des bâtiments sous-marins constitue un problème d'im-portance majeure. En e�et les structures sous-marines sont souvent constituées decoques axisymétriques couplées avec des raidisseurs a�n de résister à la pression d'im-mersion de l'eau. L'eau constituant un milieu favorable à la propagation des ondessonores, la nécessité d'une grande précision de modélisation pour une large gammede fréquences devient d'une grande importance (voir �gure 1.5)

Figure 1.5 � coques sous marine

1.2.3 Analyse vibratoire des coques raidies

Di�érentes théories de coques et de poutres peuvent être utilisées dans la for-mulation de ces structures. Chaque théorie correspond à un niveau d'hypothèsessimpli�catrices donné.

Théorie des poutres

Pour mener des calculs de résistance des matériaux, on peut distinguer deux théo-ries principales relatives à l'application de la théorie de l'élasticité isotrope, à savoir :

� Théorie d'Euler Bernoulli [51] :Il s'agit d'une simpli�cation de la théorie de l'élasticité linéaire, elle est baséesur les hypothèses suivantes :

� Les sections droites restent perpendiculaires à la ligne moyenne, ceci permetde négliger le cisaillement dans le cas de la �exion.

� Les sections droites restent planes selon Navier-Bernoulli (pas de gauchisse-ment) (voir �gure1.6).

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Figure 1.6 � Flexion d'une poutre de Bernoulli : chaque section est à un angle de90 degré par rapport à la ligne moyenne [51]

� Théorie de Timoshenko [51] :Elle est basée sur l'hypothèse cinématique dite des sections droites pour laquellele champ de déplacement varie linéairement dans l'épaisseur tout en tenant encompte de l'in�uence des déformations dues au cisaillement transverse. Ainsi,l'hypothèse des sections droites permet d'exprimer les déplacements virtuels(u∗q) d'un point quelconque q de la structure en fonction des déplacementsvirtuels d'un point p appartenant à la ligne moyenne et en fonction d'un ac-croissement de déplacements virtuels (zβ∗) due à la rotation de la section. La�gure ci-dessous illustre ce comportement :

Figure 1.7 � Déplacement d'un point q de la structure [51]

� Théorie de Vlassov [51] :C'est un modèle classique en théorie des poutres voiles. Les hypothèses cinéma-tiques sur lesquelles se basent la théorie de Vlassov sont :� Le pro�l est indéformable dans le plan d'une section.

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� La distorsion du feuillet moyen est nulle.

� Hypothèse de petits déplacements.

Théories des coques

De nombreuses théories de coques sont décrites dans la littérature a�n d'analyserleur comportement vibratoire. Les principales que l'on peut citer sont :

� Théorie de Love Kircho� : La toute première théorie décrite est celle de Loveen 1888. Cette théorie est basée sur les mêmes hypothèses que la théorie desplaques de Kirchho�. Selon Frey et Studer, ces hypothèses sont les suivantes[52] :

� L'hypothèse de linéarisation : deux types de linéarisation sont considérés,l'hypothèse de linéarisation géométrique et matérielle. Ainsi, la première ad-met que les déformations et les déplacements restent toujours petits, ce quiconduit à des équations cinématiques linéaires. Comme conséquence, les dila-tations et les rotations restent également petites. La deuxième admet que lematériau constituant la coque obéit à la loi de Hooke de l'élasticité linéaire.

� Les hypothèses propres aux poutres de Bernoulli et aux plaques de Kirchho�ont été généralisées par Love pour les coques. Ces deux hypothèses sont appe-lées hypothèses des structures minces, on peut les décrire de la façon suivante.

� La première concerne la conservation de la normale à la surface moyenneau cours de la déformation. Il s'en suit que les glissements sont nuls dansles plans perpendiculaires à la surface moyenne.

� La seconde hypothèse admet que la contrainte normale transversale est né-gligeable, c'est une hypothèse statique qui entraîne la non prise en comptedes e�ets qui se manifestent à travers l'épaisseur. Elle s'écrit : σz = 0.

Ces deux hypothèses impliquent de nombreuses simpli�cations au niveau deséquations d'équilibres de la coque mais elles restent conditionnées à l'hypothèseselon laquelle l'épaisseur h de la coque reste su�samment faible vis à vis durayon de courbure minimal de la surface moyenne (hypothèses de coques minceset faiblement courbées). En tenant compte de ces hypothèses, il est clair quela théorie de Love est approximative, elle néglige de nombreux e�ets et conduità des équations qui ne sont pas satisfaites. On la nomme première approxima-tion cohérente de la théorie des coques [52]. La plupart des études vibratoiresdes coques sont néanmoins basées sur cette théorie simpli�ée de Love-Kirchho�.

� Théorie de Reissner /Mindlin : A�n de limiter les erreurs de modélisation in-hérentes aux diverses simpli�cations d'autres théories ont été proposées. Ontrouve ainsi des théories qui restent du même ordre que la théorie de Love-Kircho� comme la théorie de Reissner/Mindlin pour laquelle l'épaisseur est

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modérée.

� La �bre normale à la surface moyenne non déformée de la coque ne reste pasnormale à la surface moyenne de la coque déformée. γxz 6= 0 et γyz 6= 0. γxzet γyz représentent les glissements dans les plan (x,z) et (y, z).

� Le cisaillement n'est plus négligé.

� Autres théories : Des théories d'ordre supérieur ont également été développées.Elles sont plus précises mais ne présentent pas un fort intérêt pratique [52].

Théorie des coques raidies

La résistance des coques cylindriques au voilement, au �ambement et à toute autredéformation possible est souvent améliorée par l'usage de raidisseurs circonférentielset/ou longitudinaux. La taille, l'espacement et la position de ces raidisseurs sur lesfaces extérieures ou intérieures de la paroi cylindrique sont des facteurs qui agissentsur le comportement à l'instabilité de la coque. C'est ainsi que les coques raidiesoccupent une place prépondérante dans le domaine d'ingénierie comme par exempledans les structures aérospatiales, mécaniques ainsi que dans les structures marines. Laplupart de ces structures sont soumises à di�érentes charges dynamiques qui peuventa�ecter les caractéristiques dynamiques de la coque. Par conséquent un grand nombrede méthodes de calcul a été développé pour étudier le comportement dynamique descoques raidies. L'étude des vibrations libres des coques cylindriques raidies a étédéveloppée depuis les années 50 par plusieurs équipes de recherche.Ainsi, les chercheurs ont essayé d'analyser le comportement vibratoire des structuresde coques raidies pour di�érentes formes et allures. En e�et, les di�érentes formes decoques qui ont été étudiées présentent soit des allures simples telles que les coquescylindriques et coniques ou bien des formes plus complexes telles que l'assemblage deformes simples. Le couplage des coques avec les raidisseurs prend plusieurs aspects.En e�et, on trouve des coques couplées avec des raidisseurs circonférentiels ou bienlongitudinaux ou bien avec les deux formes. Aussi la position des raidisseurs au niveaude la coque concerne un bon nombre de recherches. Les raidisseurs peuvent être soitrégulièrement espacés ou bien situés à des endroits bien dé�nis. Ils peuvent êtreexcentrés à la coque ou bien situé la ligne moyenne que la coque. Toutes ces formes etpositions de raidisseurs et coques in�uent considérablement sur la réponse harmoniquedes structures des coques raidies. Ces études ont été basées sur di�érentes approcheset méthodes. En 1965, Mikulas et McElman [54] ont étudié les vibrations libres d'unecoque raidie excentrée simplement appuyée. Ils ont constaté que l'excentricité desraidisseurs peut avoir des e�ets signi�catifs sur les fréquences naturelles. Dans lemême contexte, Zhi et al. [7] ont concentré leurs travaux sur l'étude vibratoire decoques cylindriques raidies dans laquelle les raidisseurs ont été aussi considérés commedes éléments discrets. En 2006, Jafari et Bagheri [8] ont analysé l'e�et de variationde l'excentrement des raidisseurs ainsi que l'e�et de l'inégalité de l'espacement entreles raidisseurs en utilisant trois méthodes : expérimentale, analytique et par éléments

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�nis. Rosen et Singer ont présenté une étude théorique et expérimentale des coquescylindriques raidies chargées axialement en utilisant les théories de Donell et Flügge[55]. On trouve aussi la procédure de Rayleigh-Ritz qui a été utilisée pour la prédictiondes fréquences naturelles d'une coque cylindrique raidie dans le travail de Mustaphaet Ali [53]. Pour les structures les plus complexes qui présentent l'assemblage dedi�érentes formes de coque avec des raidisseurs, on peut citer le travail de Yeago etal. [6] qui ont analysé les vibrations d'une coque conique cylindrique raidie en utilisantl'approche variationnelle modi�ée et en adoptant di�érentes conditions aux limites.

Dans la section suivante, nous allons présenter la méthode des éléments conti-nus ainsi que les di�érentes autres méthodes qui ont pu être utilisées pour l'étudevibratoire des coques raidies.

1.3 Etat de l'art sur la méthode des éléments conti-nus

1.3.1 Méthode des éléments continus

L'expression "élément continu" est due à P.H.Kulla [4]. Il s'agit d'une méthodematricielle de calcul de structures qui a fait l'objet de très nombreuses recherches de-puis le début des années soixante-dix. Cette méthode permet une description exactedes régimes harmoniques pour une théorie élastodynamique donnée. Le principe decette méthode est de représenter le comportement dynamique des structures par desrelations matricielles entre les déplacements et les e�orts appliqués. Elle est baséesur la construction d'une matrice dite matrice de raideur dynamique permettant dedéterminer la réponse vibratoire d'une structure à des sollicitations harmoniques.

Dès son apparition, cette méthode a été con�née à l'étude du comportement dyna-mique des assemblages structuraux formés par un ensemble de poutres droites. Tel adonc été le cas de l'industrie de l'armement naval préoccupée par des problématiquesde discrétion acoustique des sous-marins. En e�et, l'eau étant un milieu qui favorisela propagation des ondes sonores, les niveaux d'émissions acoustiques des submer-sibles doivent rester faibles, ceci nécessite une étude très précise qui s'étend sur unelarge gamme de fréquences. Les performances des modèles éléments �nis restant re-lativement limitées pour les plages de fréquences élevés, des solutions alternativesont dû être cherchées. Les premières études développées étaient plutôt spéci�ques àdes structures sollicitées par les moyens de propulsion des bâtiments : les arbres detransmission et les berceaux qui supportent les groupes motorisés de propulsion. La�gure 1.8 ci-dessous présente un exemple de la topologie de ces berceaux et leursdimensions. Ce sont essentiellement des structures constituées d'un assemblage depoutres.

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1.3. ETAT DE L'ART SUR LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS CONTINUS

Figure 1.8 � Berceau de submersible

En 1975, R.W. Clough et J. Penzien ont présenté la méthode des éléments conti-nus dans leur ouvrage " Dynamic of structures" [2]. A partir des années 80 plusieurscodes de calcul basés sur cette méthode ont été élaborés un peu partout dans lemonde : on trouve, en Suède l'équipe du professeur Akesson qui a développé le pre-mier code de calcul, le code PFVIBAT [15], limité au structures planes ( poutresd'Euler Bernoulli) puis le code SFVIBAT dédié à l'analyse des assemblages tridimen-tionnelles de tubes (assemblage de poutres de Timoshenko). Plus tard est apparu lecode DISTEL (Distributed Element) faite par l'ESTEC (centre d'étude de l'AgenceSpatiale Européenne) qui est dédié à l'étude de la réponse dynamique des armaturesde panneaux de satellites qui se résume dans la détermination de la matrice d'impé-dance de la structure [16]. En Angleterre, plusieurs codes de calcul sont égalementapparus. Entre autres, le code VICONOPT [17] développé par F.W Williams à l'uni-versité de Cardi� permet l'étude de la réponse dynamique et l'analyse du �ambage desstructures de plaques prismatiques anisotropes assemblées. Aux Etats-Unis, le codeBUNVIS-RG développé par la NASA traite d'une part des poutres de Timoshenkopour le calcul des modes propres d'assemblages, des sous-structures répétitives et desplaques de formes prismatiques [18]. Plus tard en Allemagne, Kulla a développé uncode nommé IDA qui permet l'étude dynamique des plaques et l'analyse des assem-blages de poutres [19].

En France la Direction des Constructions Navales (D.C.N), dont le rôle est laconception et la production de navires militaires, a cherché à améliorer la précisionde ces simulations en dynamique à travers l'utilisation de la méthode des élémentscontinus dans un code de calcul développé en interne, le code ETAPE [20] (Etudede Transmissibilité des Assemblages de Poutres Elastiques). Ce code est destiné àl'analyse harmonique des structures embarquées telles que les berceaux, les lignes detuyauteries et les mâtures.

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A partir des résultats obtenus pour ces types d'assemblage, les équipes de re-cherche ont pris conscience des performances de cette approche comparées à cellesdes autres méthodes de résolution. Alors que la précision des modèles éléments �nisest fortement conditionnée par la �nesse de maillage, celle des éléments continus nel'est que par le nombre de termes des séries utilisées pour la construction des ma-trices de raideurs dynamique. Ce nombre de termes peut être arbitrairement grandsans pour autant conduire à une augmentation sensible du volume de données trai-tées. Seul, le temps de calcul est impacté par la richesse des séries.

La méthode est aujourd'hui apte à traiter des assemblages de dimensions quel-conques constitués de poutres, plaques et coques pour une discrétisation réduite auminimum, c'est à dire uniquement dé�nie vis à vis des discontinuités géométriquesde la structure.

1.3.2 Les méthodes numériques de l'analyse vibratoire

La réponse harmonique des structures constitue une information capitale pour bonnombre de secteurs industriels. Ainsi, une structure mécanique qui interfère avec dessystèmes motorisés ou bien soumise à des frottements ou des sollicitations sismiquespeut devenir le siège de vibrations très importantes qu'il s'agit de prévoir. La majoritédes acteurs industriels sont confrontés à la nécessité de prévoir le comportementvibratoire des structures mécaniques. A�n d'atteindre cet objectif, les chercheurs ontessayé de développer di�érentes méthodes et approches sur structures vibratoiressimples telles que les poutres, les plaques ou les coques ainsi que sur des structuresplus complexes. On détaille ci-dessous, les méthodes les plus usitées dans ce domaine.

Procédures de Rayleigh-Ritz

Pour résoudre le problème de la réponse harmonique des structures, les chercheursont essayé d'utiliser des méthodes approchées qui se basent sur la résolution de l'équa-tion di�érentielle partielle du mouvement pour des conditions aux limites prescrites.Parmi ces méthodes, les plus exploitées restent les méthodes de type Rayleigh-Ritz.Elles consistent à rechercher une approximation des modes de la structure dans unespace de dimension N engendré par N fonctions choisies. Le choix des fonctions estimportant puisqu'il contribue directement à la précision des résultats. Les solutionsprennent alors la forme suivante :

w (x, y, t) =N∑i=1

Ai (t) .φi (x, y) (1.1)

où les coe�cients Ai représentent les coordonnées généralisées.

Un grand nombre de codes a ainsi été développé dans le but d'étudier di�érentesformulations de types poutres, coques et plaques. Ensuite, de très nombreuses re-cherches ont porté sur le développement de la méthode de Rayleigh-Ritz en vue

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d'étudier des structures aux dé�nitions géométriques plus complexes telles que lescoques et les plaques raidies. Wang et al. [56] ont utilisé la méthode de Rayleigh-Ritz pour résoudre le problème des vibrations libres d'une coque cylindrique avecvariation dans la distribution des raidisseurs circonférentiels. De même Jafari et Ba-gheri [8] ont mené une étude analytique, expérimentale et numérique qui porte surl'étude du comportement vibratoire d'une coque cylindrique raidie équipée de plu-sieurs raidisseurs externes qui ne sont pas régulièrement espacés tout au long de lacoque. L'étude analytique a été basée sur le choix des fonctions de Ritz qui in�uentconsidérablement sur la précision des résultats ce qui présente l'un des inconvénientsmajeurs de cette méthode. J.Tian et al [57] ont utilisé la méthode de Ritz a�n d'ana-lyser le �ambement élastique d'une coque cylindrique raidie soumise à une chargegénérale de pression.

Méthode des éléments �nis

La méthode des éléments �nis reste évidemment la démarche la plus adoptée au-jourd'hui. L'utilisation de modèles éléments �nis permet en e�et de résoudre la grandemajorité des problèmes mécaniques tels que la tenue statique des structures, leur com-portement dynamique au sens large du mot c'est à dire allant de l'analyse modalejusqu'à l'analyse transitoire, les problèmes de dynamique rapide, d'élasto-plasticité,de thermoélasticité et ce, quelle que soit la nature du comportement des matériaux,qu'il soit linéaire ou non.

Le principe de cette approche réside dans la discrétisation du domaine géomé-trique en sous domaines appelés éléments �nis (EF) et dans l'écriture des équationslocales aux dérivées partielles de l'élastodynamique sous forme variationnelle. Unesolution faible du problème est obtenue par des approximations polynômiales dé�niessur chaque élément. Le système d'équations aux dérivées partielles est ainsi trans-formé par exemple par une méthode de type résidus pondérés.

La méthode des résidus pondérés est destinée à a�aiblir un système d'équationspour permettre sa résolution dans le cas où celui-ci présenterait des di�cultés d'ordremathématique (discontinuités, fonction non dé�nie, valeurs in�nies ...). Elle est baséesur la dé�nition d'un résidu R(u) = L(u) + fv (L est l'opérateur di�érentiel carac-térisant le système, u fonction inconnue, fv sollicitations). Ensuite, la recherche desfonctions u qui annulent la forme intégrale globale W =

∫V

〈ψ〉 · {R (u)} dV = 0, Ψ

étant une fonction test (fonction de pondération), le nombre de fonctions Ψi est égalau nombre de paramètres inconnus. Le choix des fonctions de pondération Ψi conduitaux di�érentes méthodes de résolution, parmi lesquelles on peut citer la plus répan-due : la méthode de Galerkine. Cette méthode consiste à prendre les fonctions testΨi

égales à la variation des fonctions u. La forme d'intégrale obtenue est une formeparticulière qui permet d'avoir une solution qui rend stationnaire la fonctionnelleassociée. Ainsi, la formulation variationnelle du problème élémentaire puis la procé-dure d'assemblage permettent de ramener le problème d'élastodynamique linéaire à

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un problème décrit par un système d'équations di�érentielles du second ordre de laforme :

[M]{U}

+ [C]{U}

+ [K] {U} = {F} (1.2)

avec [M] matrice de masse, [C] matrice d'amortissement, [K] matrice de rigidité,

{U} et {F} représentent les vecteurs déplacements et e�orts généralisés.{U}et{U}

sont les vecteurs vitesse et accélération relatifs aux degrés de libertés dé�nis par lemaillage.

Dans le cadre de l'analyse des vibrations, ce système se particularise ensuite parla recherche de solutions harmoniques, et donne lieu à :

� ([K]− ω2 [M ]) . {W} = {0}, dans le cas d'un système libre non amorti.

� ([K]− ω2 [M ]) . {W} = {F}, dans le cas d'un système forcé non amorti.

La méthode la plus précise pour résoudre ce système est la méthode dite complète,basée sur l'inversion du système ([K]− ω2 [M ]) pour chaque valeur de la pulsationω. Une seconde méthode, moins précise mais beaucoup plus rapide est basée sur leprincipe de superposition modale. Les équations de mouvement sont projetées surune base de vecteurs propres réduite ce qui permet d'obtenir un système formé parn équations découplées de la forme :

miui + kiui = fi (1.3)

avec ui le déplacement modal en chaque noeud de chaque élément et fi est la forcemodale associée au mode i . La solution générale du problème est la superposition detoutes les solutions élémentaires.

Si l'on compare les deux approches de résolution du problème harmonique, ons'aperçoit que la précision des résultats obtenus par la seconde de superposition mo-dale est fortement conditionnée par le nombre de modes qui forment la base. Laméthode complète permet de garantir une précision maximale des résultats comptetenu de la discrétisation retenue.

De très nombreux chercheurs ont exploité la MEF pour analyser le comportementvibratoire des di�érents types de structure. Il est impossible d'être exhaustif sur lesujet. On peut néanmoins se reporter à quelques ouvrages de référence. Batoz a ainsidétaillé tous les types de structures (poutres [9], plaque [10] et coques [11]) traitéspar la MEF. Pour le sujet qui nous intéresse plus directement, on peut citer les tra-vaux de A. El Damatty et al. [12] qui ont examiné le comportement dynamique d'unecoque cylindrique-conique raidie en utilisant la méthode des éléments �nis tridimen-sionnelle, B.P.Patel et al. [13] ont appliqué la MEF pour étudier les vibrations libres

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d'une coque composite feuilletée conique-cylindrique.

Malgré l'importance majeure de la MEF, ses nombreux avantages pour le traite-ment des basses fréquences et son vaste domaine d'application, cette méthode présentedes inconvénients qui peuvent être un obstacle aux avancées des études de l'ingénie-rie mécanique. Ainsi, l'utilisation de la MEF pour le traitement des moyennes ethautes fréquences présente de grandes di�cultés car lorsque la fréquence augmente,le nombre de modes propres requis pour l'analyse modale ou l'étude de la réponse har-monique croit ainsi que la densité modale. Ceci conduit à des di�cultés numériquesd'extraction des modes propres. La solution décrite à l'aide de grandeurs ponctuellesqui sont les déplacements généralisés devient hypersensible aux moindres petites va-riations des paramètres structuraux et des conditions aux limites.

De plus, le maillage demeure une di�culté et un inconvénient majeur de la MEF.L'augmentation de la plage fréquentielle étudiée nécessite ou conduit à des �nesses demaillage rédhibitoires, les temps de calcul sont ainsi allongés et nécessitent l'utilisationde puissances de calcul toujours plus grandes. Confrontés à ces problèmes, plusieurschercheurs essaient de trouver des alternatives de résolution tant dans le domaineaéronautique et que celui de la construction navale. Des méthodes plus aptes à êtreexploitées en moyennes et hautes fréquences ont ainsi été adoptées.

Méthode des éléments de frontière

Le principe de la Méthode des Eléments de Frontières ou Boundary Element Me-thod (BEM), consiste, entre autre, à ne discrétiser que les frontière du domaine étudiéa�n de réduire le nombre de degrés de liberté [14]. Cette approche est basée sur l'uti-lisation de la fonction de Green qui constitue une méthode de transformation d'équa-tions di�érentielles en équations intégrales. Par cette modélisation on parvient à uneformulation intégrale de la frontière qui établit un lien entre les champs intérieurs etles quantités sur le bord. Comme seule la frontière est discrétisée, la matrice obtenueest de petite taille, pleine et non symétrique ce qui mène à une perte d'e�cacité etde précision numérique.

Le principal avantage de cette méthode est la réduction du maillage puisque seulela frontière est discrétisée. Le manque de précision associé au principe de discrétisa-tion est donc également réduit ce qui fait de la méthode des éléments de frontièresune assez bonne alternative à la méthode des éléments �nis lorsque la fréquenceaugmente. Malgré ses avantages la méthode des éléments de frontière présente aussiquelques inconvénients qui résident essentiellement dans la complexité de la formu-lation. L'utilisation de la fonction de Green apporte certes un plus par rapport auxpolynômes mais son extraction et sa manipulation se révèlent souvent délicates. Deplus la forme matricielle obtenue est complexe à résoudre car non symétrique, pleineet doit être résolue pour chaque fréquence.

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1.3.3 Structures vibratoires traitées par la MEC

Eléments continus de poutres

Les premiers éléments développés ont été les poutres droites. L'approche trouveson origine dans la méthode dite des matrices de transfert [58]. L'idée de cette ap-proche est de construire des matrices de transfert reliant les déplacements et les e�ortsgénéralisés (e�ort, moment, �èche, rotation) aux extrémités de la poutre. Cette ma-trice de transfert permet, par simple multiplication, la résolution de problèmes depoutres y compris lorsque les sections et les propriétés du matériau changent. Lesmatrices de raideur dynamique peuvent être obtenues à partir des matrices de trans-fert par une réorganisation des variables d'état. Le principe multiplicatif est alorsremplacé par un principe d'assemblage permettant la modélisation de structures com-plexes. Le problème est ramené à la résolution d'un système matriciel paramétré parla pulsation ω du régime harmonique qui prend alors la forme suivante :

{Fext} = [K (ω)] {U} (1.4)

où {Fext} est le vecteur des forces extérieures, {U} est le vecteur des déplacements,[K (ω)] est la matrice de rigidité dynamique.

Le vecteur des e�orts extérieurs étant donné, la résolution de ce système matricielpour chaque pulsation balayant un intervalle �xé permet d'obtenir les déplacementsen fonction d'icelle.

Les éléments continus de poutres sont également connus sous d'autres dénomina-tions. On peut citer : méthode de la rigidité directe [2]. En réalité, Clough a présentéune technique de construction globale de la matrice de rigidité dynamique telle queles coe�cients matriciels sont calculés terme à terme en se basant sur les fonctionsde Kolousek [21]. On trouve également Méthode de déplacement exacts [15], Méthodede la raideur dynamique [59], et Méthode des éléments �nis analytique [3].

La matrice de raideur dynamique est fonction de la pulsation du régime harmo-nique, elle condense à la fois les propriétés élastiques et massiques. Elle est obtenue parrésolution exacte de l'équation di�érentielle régissant les mouvements harmoniquespour des conditions aux limites libres. La relation e�ort/déplacement est obtenuesans approximation et sans faire appel aux modes propres de l'élément.

Dans ce cadre s'illustrent plusieurs travaux de recherches, on peut notamment citerceux de Banerjee en Angleterre [22] qui a établi les raideurs d'une poutre droite d'Eu-ler Bernoulli en tenant compte du couplage �exion-torsion. Les travaux de Williamet Kennedy [23] ont permis la détermination de la matrice de raideur dynamiqued'une poutre de Bernoulli sur fondation élastique. En France, les travaux de Duforet[20] ont permis la construction de matrices de rigidité de poutres de Timoshenko entenant compte de l'e�et de l'amortissement structural, les termes de la matrice deraideur sont alors complexes. Les travaux de Capron et Williams [24] ont permis de

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dé�nir un principe de construction numérique de la raideur dynamique d'une poutreen torsion plongée dans un milieu élastique. Montalvao [25] a utilisé cette techniquepour étudier un élément continu de poutre circulaire vibrant hors de son plan. Encou-ragées par les performances de cette approche en analyse harmonique des structures,les équipes de recherche se sont ensuite attachées à étendre la formulation à des élé-ments structuraux plus complexes selon diverses hypothèses d'élastodynamiques.

Les travaux de recherches de Casimir restent les plus complets à ce jour concernantles éléments continus de poutres [26], [27]. Ces travaux sont basés sur une techniquepermettant le calcul numérique des raideurs dynamiques impliquant le calcul préa-lable de matrices de transfert. Cette approche lui a permis de développer un ensembled'éléments de poutres courbes et gauches [28]. De même, Lee dans le cadre de la mé-thode des éléments spectraux [29] présente un ensemble de formulations élémentairesunidimensionnelles (conduite, corde, poutre en rotation, poutre multicouche à plisviscoélastique).

Plus récemment, les travaux de Banarjee et al. [30, 31], ceux de Howson et al. [32]ont traité du comportement vibratoire de poutres sandwichs et composites. Et aussiles travaux de Kim et al. [33] qui ont concerné l'étude des poutres à parois minces.

Eléménts continus de plaques

Pour les formulations de plaque, il est possible de considérer deux principales théo-ries élastodynamiques : la théorie de Love-Kircho� et la théorie de Reissner/Mindlin.La di�culté réside dans le fait que les solutions analytiques pour des conditionsaux limites quelconques n'existent pas. Contrairement à la formulation des élémentspoutres, il est alors nécessaire d'utiliser des développements en série de solutions.

D.J.Gorman [34] a proposé une approche permettant l'obtention des déplacementstransverses pour des conditions aux limites quelconques. Cette méthode consiste àdécomposer le problème aux limites en plaques élémentaires aux conditions aux li-mites plus simples pour lesquelles des solutions de type Lévy peuvent être écrites. Lestravaux de Gorman ont ainsi porté tant sur les plaques de Kirchho� que sur celles deMindlin [35]. Il a ensuite corrélé sa technique à la méthode Galerkin [36].

En s'appuyant sur la méthode de Gorman, P. Hagedorn et al. [37] ont déterminéles solutions sous forme de séries paramétrées par des coe�cients : Am, Bm, Cm etDm. Les relations entre le vecteur des e�orts généralisés, les déplacements généraliséset ces coe�cients peuvent alors être établies. L'inversion d'une de ces relations per-met ensuite d'obtenir une matrice de raideur dynamique. Dans ce contexte s'illustrentégalement les travaux de P. H. Kulla [4, 38]. Il utilise le développement en séries deLévy [60] pour exprimer la solution d'une plaque de Kirchho� en �exion.

En se référant aux travaux de Gorman et Kulla, Fleuret [39, 40] a pu construireune matrice de rigidité dynamique d'une plaque libre-libre dans le cadre théorique

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de Kirchho�. De même, Lee [29] développe la méthode des éléments spectraux pourl'étude d'une plaque, cependant Lee se limite au cas d'une plaque ayant les conditionsaux limites simples pour lesquelles une solution de Levy existe. Cette simpli�cationlui permet de réduire le problème d'une dimension. Les travaux de Casimir et al. [41]portent sur l'étude du comportement vibratoire des éléments de plaque. La solutionde l'équation de mouvement étant inaccessible, une matrice de rigidité est tout demême construite par des développements en série. Une approche similaire est utiliséepar Donadon et al. [42] pour étudier le comportement vibratoire des plaques renfor-cées.

Plus récemment, les travaux de Boscolo et Banerjee [45] ont permis le développe-ment de la matrice de rigidité d'un élément de plaque pour une théorie du premierordre de déformation de cisaillement. Tandis que, Fazzolari et al. [46] ont étudié lesplaques composites de Mindlin selon la théorie de déformation de cisaillement d'ordresupérieur.

Eléments continus de de coques axisymétriques

Les coques axisymétriques sont des structures très fréquemment utilisées dans denombreux domaines de la mécanique. Plusieurs méthodes ont été employées pour larésolution de ce type de structure basées sur les équations de Kirchho� ou encorecelles de Reissner/ Mindlin. Kalnin [47] a établi le modèle analytique de référence descoques axisymétriques minces ou épaisses.

Les équations générales d'une coque sont en général exprimées dans le système decoordonnées curviligne (s, θ, ϕ) associé à la coque. Pour ce modèle on distingue troisdéplacements us, v, w, deux rotations β, βθ, cinq e�orts internes Ns, Nθ, Nsθ, Ts, Tθet trois moments Ms,Mθ,Msθ. Selon la théorie adoptée, l'idée est de constituer unvecteur d'état à partir des e�orts internes et des déplacements de manière à rame-ner le problème harmonique à un système di�érentiel d'ordre 1 dé�ni par l'équationsuivante :

dEmds

= ∆m (s, ω)Em (1.5)

E = (u, v, w, β, βθ, Ns, Nθs, Ts,Ms,Mθs) est le vecteur d'état, s l'abcisse curvilignele long de l'axe de la coque.

La résolution numérique de cette équation permet d'obtenir la matrice de trans-fert dynamique de la coque Tm (ω).

Les conditions nécessaires pour la résolution sont Tm (0, ω) = I. La matrice deraideur dynamique est ensuite déterminée numériquement à partir de la relation :

Km (ω) =

[T−1

12 (ω)T11 (ω) T−112 (ω)

T21 (ω)− T22 (ω)T−112 (ω)T11 (ω) T22 (ω)T−1

12 (ω)

](1.6)

18

1.4. CONCLUSION

En se basant sur cette approche, Le Sourne [48] a établi une base d'élémentscontinus de coques minces telles que des cylindres, des cônes et a étendu le principeà des coques non axisymétriques toriques (coudes). Les plus récents travaux sur leséléments continus de coques sont ceux de Casimir [49], ils concernent les coques detype Reissner/Mindlin dont la formulation a pu être validée par une étude expérimen-tale. Dans le même contexte les travaux de Khadimallah [50] ont permis d'introduirel'action d'un �uide interne ou externe à la coque axisymétrique.

1.3.4 Les Limite actuelles de la Méthode des Eléments Conti-nus.

Actuellement la méthode des éléments continus permet de couvrir un vaste champd'applications concernant le calcul de la réponse harmonique de structures simplesou complexes. Elle permet d'obtenir des résultats aussi satisfaisants que ceux obtenuspar les autres méthodes de résolution sans nécessiter de discrétisation géométrique.La facilité d'utilisation et la précision des résultats en sont améliorés. Malgré cesavantages, la MEC présente quelques limitations que l'on peut résumer ci-dessous :

� Elle ne concerne que les structures et les chargements qui permettent de se pla-cer dans les hypothèses des petites déformations et de comportement linéaire.

� Les formulations d'éléments structuraux massifs ou de coques quelconques nesont pas établies.

1.4 Conclusion

Dans ce premier chapitre, un état de l'art est présenté concernant la méthodedes éléments continus ainsi que les autres méthodes retenues pour la modélisationdu comportement vibratoire des structures. On s'est attaché à mettre en évidenceles avantages que présente la méthode des éléments continus par rapport aux mé-thodes concurrentes. Nous avons aussi présenté les di�érentes théories de coques etde poutres existantes susceptibles d'être exploitées dans la suite de ce travail.

Le deuxième chapitre est consacré à la formulation et la mise en oeuvre d'un élé-ment continu de poutre circulaire selon la théorie de Timoshenko. Cette formulationélémentaire est nécessaire puisqu'un tel élément n'a pas encore été développé selonl'approche des éléments continus. Il représente un des constituants des structures decoques raidies décrites par la suite. La validation est menée par une confrontationavec la méthode bien établie des éléments �nis.

19


20

Développement d'un élément continu

d'anneau circulaire

21

2 Développement d'un élément continu

d'anneau circulaire

2.1 Introduction

Ce chapitre est consacré au développement d'un élément continu d'anneau cir-culaire. Nous présentons en premier lieu la géométrie et la théorie adoptée pour lespoutres courbes de Timoshenko. Ensuite une procédure pour la détermination d'unélément continu d'anneau circulaire est présentée. En�n la validation de la formu-lation élément continu est faite en utilisant la méthode des éléments �nis (Ansys) .Ainsi ce travail est une continuation des di�érents travaux concernant le développe-ment d'éléments continus de type poutre. Son objectif est de présenter une procédurede construction de la matrice de rigidité dynamique d'un anneau circulaire à partird'une solution des équations de l'élastodynamique développée en série de Fourier.Cette approche permettra le couplage ultérieur de cet élément avec les éléments decoques axisymétriques exploitant déjà ce type de solutions. La particularité de cetélément vis à vis des éléments de poutres circulaires existants est qu'il ne possèdepas d'extrémités sur lesquelles des conditions de Neuman puissent être appliquées.La relation de raideur dynamique concerne les déplacement de la ligne moyenne etles e�orts s'y exerçant. Ces déplacements et ces e�orts sont des fonctions vectoriellesde l'abscisse curviligne s et non des vecteurs localisés aux extrémités.

2.2 Théorie des poutres courbes de Timoshenko

2.2.1 Dé�nition de la géométrie de l'anneau circulaire

La géométrie de l'anneau circulaire est dé�nie par un rayon de courbure constantR et une section constante S orientée de telle sorte que l'axe principal d'inertie Zreste normal au plan de l'anneau et que l'axe principal d'inertie Y reste parallèle à ceplan. La ligne moyenne de la poutre est décrite par l'abscisse curviligne s (voir �gure2.1).

23

CHAPITRE 2. DÉVELOPPEMENT D'UN ÉLÉMENT CONTINU D'ANNEAUCIRCULAIRE

Figure 2.1 � Poutre circulaire avec un rayon de courbure constant

On note G(s) le point courant de la ligne moyenne. La position d'un point courantM de la section d'abscisse s est décrite par deux coordonnées η,ζ relativement aurepère principal d'inertie (G;Y,Z) (voir �gure 2.2).

Figure 2.2 � Section de la poutre

Les grandeurs mécaniques dé�nies en un point quelconque M (déplacements, dé-formations, contraintes) seront décrites dans le système de coordonnées curvilignes(s, η, ζ) et seront projetées sur la base courante (X,Y,Z). Il est donc utile d'exprimer

le gradient gradV d'un champ vectoriel V(s, η, ζ) dans ce système de coordonnées.Ce gradient est obtenu à partir de l'écriture de sa dé�nition, à savoir :

dV = ∇.dOM (2.1)

24

2.2. THÉORIE DES POUTRES COURBES DE TIMOSHENKO

La description paramétrique d'un point courant M est donnée par :

OM (s, η, ζ) = OG (s) + ηY (s) + ζZ (2.2)

La base (X,Y,Z) se confond avec la base de Frénet (t,n,b) dé�nie en tout pointG(s) de la ligne moyenne, c'est à dire :

X(s) = t(s) =dOG

dsY (s) = n (s) Z = b = t ∧ n (2.3)

et satisfait donc les relations de Frénet-Serret des courbes planes, soit :{dXds

= YR

dYds

= −XR

(2.4)

L'élément di�érentiel dM peut donc s'écrire : En e�et la base (X, Y, Z) satisfait lesformules de Fernet- Serret dé�nie par :

dOM = dOG + dηY(s) + ηdY + dζZ =dOG

dsds+ dηY (s) + η

dY

dsds+ dζZ

dOM =(

1− η

R

)X (s) ds+ Y (s) dη + Zdζ (2.5)

De même, l'élément di�érentiel dV s'écrit :

dV =∂V

∂sds+

∂V

∂ηdη +

∂V

∂ζdζ (2.6)

Si l'on note Vs, Vη, Vζ les composantes du champ vectoriel V sur la base (X,Y,Z),c'est à dire :

V(s, η, ζ) = Vs(s, η, ζ)X + Vη(s, ηζ)Y + Vζ(s, η, ζ)Z (2.7)

L'identi�cation de 2.1 et 2.5 associée à 2.6 donne immédiatement :

[∇V ] =

1

1− ηR

(∂Vs∂s− Vη

R

)∂Vη∂s

∂Vζ∂s

11− η

R

(∂Vη∂s− Vs

R

)∂Vη∂η

∂Vη∂ζ

11− η

R

(∂Vζ∂s

)∂Vζ∂η

∂Vζ∂ζ

(X,Y,Z)

(2.8)

2.2.2 Hypothèses cinématiques

Pour ce type de poutre, les hypothèses cinématiques de Timoshenko sont retenues :

� Hypothèse des petits déplacements.� Hypothèse de �exion de Timoshenko : Les sections restent planes après défor-mation mais pas nécessairement normales à la ligne moyenne.

� Le gauchissement associé à la torsion de Saint -Venant n'est pas considéré.

25


En tenant en compte de ces hypothèses, le champ de déplacement en tout pointcourant M peut être exprimé comme suit :

U(s, η, ζ) = UG(s) + [θx(s)X(s) + θy(s)Y(s) + θZ(s)Z(s)] ∧GM (2.9)

d′o :U(s, η, ζ) = UG + (θyζ − θZη)X− ζθxY + ηθxZ (2.10)

Si on note us ; uη et uζ les composantes du vecteur UG sur la base (X,Y,Z), onobtient pour les composantes de U sur cette même base :

Us (s, η, ζ) = us (s) + ζθy (s)− ηθZ (s)Uη (s, η, ζ) = uη (s)− ζθX (s)Uζ (s, η, ζ) = uζ (s) + ηθX (s)

(2.11)

θX , θY , θZ sont les rotations de la section d'abscisse s autour des directions X,Y,Zrespectivement.

En tenant compte de l'hypothèse des petits déplacements le tenseur de déforma-tion s'écrit :

ε =1

2

(∇U +∇U

)(2.12)

Compte tenu de l'expression du gradient établie précédemment (Equation 2.8), letenseur des petites déformations prend la forme suivante :

[ε] =

1

1− ηR

(dusds

+ ζ dθYds− η dθZ

ds− uη

R+ ζ

RθX)

1

2(1− ηR)

(−θZ + duη

ds− ζ dθX

ds+ us

R+ ζ

RθY

)0 sym

1

2(1− ηR)

(duζds

+ η dθXds

+ θY − θY ηR

)0 0

(X,Y,Z)

(2.13)

2.2.3 Relations comportementales

Loi de comportement

Le matériau constitutif est supposé isotrope et caractérisé par son module d'YoungE et son coe�cient de poisson ν. Le module de Coulomb est noté G. Sa masse volu-mique est notée ρ. Le tenseur de contraintes de Cauchy est alors déterminé en tenantcompte de deux hypothèses :

� Une loi de comportement élastique linéaire isotrope donnée par :ε = 1+νEσ− ν

EIσI

� L'hypothèse de Saint-Venant qui consiste à dire, que loin de l'application descharges, le tenseur des contraintes est de la forme :

[σ] =

σss σsη σsζσsη 0 0σsζ 0 0

(X,Y,Z)

(2.14)

26

2.2. THÉORIE DES POUTRES COURBES DE TIMOSHENKO

Ce qui permet d'obtenir :σss = Eεss = E

1− ηR

(dusds


ds− uη

R+ ζ

RθX)

σsη = E1+ν

εsη = 2Gεsη = G

(1− ηR)

(−θZ + duη

ds− ζ dθX

ds+ us

R+ ζ

RθY

)σsζ = E

1+νεsζ = 2Gεsζ = G

(1− ηR)

(duζds

+ η dθXds

+ θY − θY ηR

) (2.15)

Relation e�ort déplacement

Les e�orts internes permettent de ramener la distribution des contraintes dansune section à un torseur à 6 composantes. Ils sont dé�nis par unité de longueur selonles expressions suivantes :

� L'e�ort normal : N =∫S

σssdS.

� Les e�orts tranchants : Ty =∫S

σsηdS et TZ =∫S

σsζdS.

� Le moment de torsion : MX =∫S

ησsζ − ζσsηdS.

� Les moments de �exions : MY =∫S

ζσssdS et MZ =∫S

−ησssdS.

En remplaçant les contraintes par leurs expressions, on détermine ainsi les rela-tions entre e�orts internes et composantes des déplacements des sections le long del'anneau. On obtient :

N =∫S

σssdS = Hm

(dusds− uη

R

)−Hmf

dθzds

Ty =∫S

σsηdS =Hcy

(−θz + duη

ds+ us

R

)Tz =

∫S

σsζdS =Hcz

(duζds

+ θy

)+HcT

(dθxds− θy

R

)Mx =

∫S

ησsζ − ζσsηdS =HcT

(duζds

+ θy)

+HT

(dθxds− θy

R

)My =

∫S

ζσssdS =Hfy

(dθyds

+ θxR

)Mz =

∫S

−ησssdS =Hmf

(−dus

ds+ uη

R

)+Hfz

dθzds

(2.16)

Les coe�cients de rigidité Hm, Hmf , Hcy, Hcz, HCT , HT , Hfy, Hfz sont donnés dansle tableau 2.1. Trois approximations distinctes peuvent ensuite être retenues :

� Cas 1 : aucune approximation n'est réalisée. Les intégrales présentées dans lesystème (2.16) sont calculées sans aucune simpli�cation.

� Cas 2 : on considère l'approximation 1

(1− ηR)∼ 1 + η

R. Les coe�cients de rigidité

sont alors plus simples à calculer.� Cas 3 : on considère l'hypothèse selon laquelle les dimensions transversales sontfaibles par rapport au rayon de courbure, c'est à dire η

R<< 1.

27


Les coe�cients de rigidités sont présentés dans le tableau suivants pour les trois casmentionnés ci- dessus.

Table 2.1 � Les coe�cients de rigidité

Coe�cients de rigidités Sans Approximation 1

(1− ηR)∼ 1 + η

R1

(1− ηR)∼ 1

Hm∫S

E1− η

RdS ES ES

Hmf∫S

E1− η

RdS EIZ

R0

Hcy ky∫S

G1− η

RdS kyGS kyGS

HcZ kZ∫S

G1− η

RdS kZGS kZGS

HcT kz∫S

Gη1− η

RdS KZ

GIZR

0

HT∫S

G(η2+ζ2)1− η

RdS GJ GJ

HfY∫s

Eζ2

1− ηRdS EIY EIY

HfZ ρ∫S

η2

1− ηRdS ρIZ ρIZ

avec kY et kZ les coe�cients de corrections du cisaillement transverse ou appelésencore coe�cients de Timoshenko. En e�et, l'incompatibilité des hypothèses cinéma-tiques et statiques conduit dans le cas des poutres courbes à une répartition linéairedes contraintes de cisaillement dues à l'e�ort tranchant dans la section. Cette répar-tition contredit les conditions aux limites sur les peaux inférieures et supérieures dela poutre. Pour corriger cette approximation, un coe�cient de correction du cisaille-ment est introduit dans les deux directions Y et Z au moment de l'intégration descontraintes sur la section.

2.3 Equation de mouvement

Les équations du mouvement d'un système dynamique peuvent être formulées enutilisant trois méthodes :

� Le Principe de d'Alembert : Il permet de construire directement l'équilibre dy-namique de toutes les forces appliquées sur le système en tenant en compte del'e�et d'inertie.

� Le Principe des déplacements virtuels : Il est utilisé dans le cas de système pluscomplexe. L'équation de mouvement est élaborée en considérant le travail dese�orts dans un champ de déplacements virtuels.

28

2.3. EQUATION DE MOUVEMENT

� Le Principe de Hamilton : Il constitue un autre moyen qui permet d'éviter lesproblèmes de l'établissement des équations d'équilibres vectorielles. Il est basésur l'utilisation des quantités énergétiques dans une forme variationnelle.

On retient ici le Principe de Hamilton. Ce principe considère que la somme de la va-riation des énergies cinétiques et potentielles et du travail des forces non conservativesentre deux instant t1 et t2 est nulle, soit :

δ

t2∫t1

T −We +Wext dt = 0 (2.17)

T, We, Wext étant respectivement l'énergie cinétique, énergie potentielle de défor-mation élastique et le travail des forces extérieures. Les équations du mouvement del'anneau circulaire sont alors déterminées par calcul variationnel.

2.3.1 Energie cinétique

On note T l'énergie cinétique de l'anneau circulaire, elle s'écrit :

T =1

2

∫V

ρV 2dV =1

2

∫V

ρ

(∂U

∂t

)2

dV (2.18)

On considérant le vecteur déplacement donné par l'équation (2.11) :

T =ρ

2

L∫0

∫S

(1− η

R

)(us + ζθy − ηθZ

)2

+(uη − ζθX

)2

+(uζ + ηθX

)2

dSds(2.19)

T =ρ

2

L∫0

∫S

u2s + ζ2θ2

Y + η2θ2Z + u2

η + ζ2θ2X + u2

ζ + η2θ2x + 2

η2

RusθZ − 2

η2

Ruζ θXdSds

(2.20)

T =1

2

L∫0

ρS(u2s + u2

η + u2)

+ρIY θ2Y +ρIZ θ

2Z +ρI0θ

2X +2

IZR

(usθZ − uζ θX

)ds (2.21)

La variation de l'énergie cinétique pour le déplacement virtuel δU est donnée par :

δT =L∫0

ρS (usδus + uηδuη + uζδuζ) + ρIY θY δθY + ρIZ θZδθZ

+ρI0θXδθX + IZR

(usδθZ + θZδus − uζδθX − θXδuζ

)ds

(2.22)

29


2.3.2 Energie potentielle

L'énergie potentielle, notée V, est la di�érence entre l'énergie de déformationélastique de l'anneau circulaire et le travail des e�orts extérieurs, elle s'écrit :

V = We −Wext (2.23)

L'énergie de déformation élastique s'écrit :

We =1

2

∫V

σ : εdV =1

2

∫V

σssεss + 2σsηεsη + 2σsζεsζ dV (2.24)

Compte tenu de l'expression du tenseur des petites déformations 2.13, l'énergie dedéformation élastique devient :

We = 12

L∫0

∫S

σss(dusds


ds− uη

R+ ζ

RθX)

+ σsη

(−θZ + duη

ds− ζ dθX

ds+ us

R+ ζ

RθY

)+

σsζ

(duζds

+ η dθXds

+ θY − θY ηR

)(2.25)

soit :

We = 12

L∫0

(dusds− uη

R

)N +

(dθYds

+ θXR

)MY + dθZ

dsMZ +

(−θZ + duη

ds+ us

R

)TY +

(duζds

+ θY

)TY

+(dθXds− θY

R

)MXds

(2.26)Puis, en utilisant les relations e�orts-déplacements 2.16 :

We = 12

L∫0

Hm

(dusds− uη

R

)2 − 2HmfdθZds

(dusds− uη

R

)2+Hfy

(dθYds

+ θXR

)2+HfZ

(dθZds

)2+

HcY

(−θZ + duη

ds+ us

R

)2

+HcZ

(duζds

+ θY

)2

+ 2HcT

(duζds

+ θY

) (dθXds− θY

R

)+HT

(dθXds− θY

R

)2ds

(2.27)La variation de l'énergie de déformation élastique pour le déplacement virtuel est

donnée par :

δWe =L∫0

Hm

(dδusds− δuη

R

) (dusds− uη

R

)−Hmf

dδθZds

(dusds− uη

R

)−Hmf

dθZds

(dδusds− δuη

R

)+

Hfy

(dδθYds

+ δθXR

) (dθYds

+ θXR

)+HfZ

(dδθZds

) (dθZds

)+HcY

(−δθZ + dδuη

ds+ δus

R

)(−θZ + duη

ds+ us

R

)+HcZ

(dδuζds

+ δθY

)(duζds

+ θY

)+HcT

(dδuζds

+ δθY

) (dθXds− θY

R

)+HcT

(duζds

+ θY

) (dδθXds− δθY

R

)+HT

(dδθXds− δθY

R

) (dθXds− θY

R

)ds

(2.28)Si on note fs, fη, fξ les résultantes des actions extérieures dé�nies par unité de

longueur s'exerçant sur la ligne moyenne etms,mY ,mZ les composantes des moments

30

2.3. EQUATION DE MOUVEMENT

de ces actions ramenées sur la ligne moyenne et dé�nies par unité de longueur. Lavariation du travail de ces actions dans le champ de déplacement virtuel s'écrit :

δWext =

L∫0

δusfs + δuηfη + δuζfζ + δθXms + δθYmY + δθZmZds (2.29)

2.3.3 Principe de Hamilton

Considérant ces di�érentes quantités énergétiques, le Principe de Hamilton s'écrit :

t2∫t1

δWe − δWext − δTdt = 0 (2.30)

soit :

⇒t2∫t1

L∫0

(dδusds− δuη

R

)N +

(dδθYds

+ δθXR

)MY + dδθZ

dsMZ +

(−δθZ + dδuη

ds+ δus

R

)TY

+(dδuζds

+ δθY

)TZ +

(dδθXds− δθY

R

)MXdsdt

−t2∫t1

L∫0

δusfs + δuηfη + δuζfζ + δθXms + δθYmY + δθZmZdsdt

−t2∫t1

L∫0

ρS (usδus + uηδuη + uζδuζ) + ρIY θY δθY + ρIZ θZδθZ + ρI0θXδθX

+ IZR


)dsdt = 0

(2.31)Une intégration par parties permet d'obtenir :

⇒t2∫t1

[δusN + δθyMY + δθZMZ + δuηTY + δuζTZ + δθXMX ]L0 +L∫0

−δus dNds −δuηRN − δθY dMY

ds

+ δθXRMY − δθZ dMZ

ds− δθZTY − δuη dTYds + δus

RTY − δuζ dTZds + δθyTZ − δθX dMX

ds− δθY

RMXdsdt

−L∫0

(ρS (usδus + uηδuη + uζδuζ) + ρIY θY δθY + ρIZ θZδθZ + ρI0θXδθX + IZ

R


)]t2t1

−t2∫t1

ρS (usδus + uηδuη + uζδuζ) + IZR


)+ρIY θY δθY + ρIZ θZδθZ + ρI0θXδθXdtds = 0

(2.32)Le champ cinématique virtuel est statiquement admissible, il satisfait donc : δU (0, t) =δU (L, t) = 0 et on le choisit satisfaisant δU (s, t1) = δU (s, t2) = 0. D'où :

t2∫t1

L∫0

δus

(−dN

ds+ Ty

R+ ρSus + ρ Iz

Rθz − fs

)+ δuη

(−NR− dTy

ds+ ρS uη − fη

)+δuζ

(dTzds

+ ρSuζ − ρ IzR θx − fζ)

+ δθx

(−dMx

ds+ My

R− ρ Iz

Ruζ + ρI0θx −ms

)+δθy

(−dMy

ds+ Tz − Mx

R+ ρIyθy

)+ δθz

(−dMz

ds− Ty + ρ Iz

Rus + ρIz θz

)dtds = 0

(2.33)

31


L'expression 2.33 étant vraie quel que soit le champ de déplacement virtuel, elleéquivaut à annuler chacun des termes en facteur de ces déplacements. On obtientalors les équations du mouvement suivantes : Le travail des e�orts extérieurs estdonné par la formule suivante :

−dNds

+ TyR

= fs − ρS us − ρ IZR θz−NR− dTy

ds= fη − ρSuη

−dTzds

= fζ − ρSuζ + ρ IZRθx

My

R− dMx

ds= ρ IZ

Ruζ − ρI0θx +ms

−dMy

ds− Mx

R+ Tz = mη − ρIyθy

−dMz

ds− Ty = −ρ IZ

Rus +mζ − ρIZ θz

(2.34)

En considérant l'abscisse curviligne s = Rθ, ces équations deviennent :

−dNdθ

+ Ty = R(fs − ρS us − ρ IZR θz

)−N − dTy

dθ= R (fη − ρSuη)

−dTzdθ

= R(fζ − ρSuζ + ρ IZ

Rθx

)My − dMx

dθ= R

(ρ IZRuζ − ρI0θx +ms

)−dMy

dθ−Mx +RTz = R

(mY − ρIyθy

)−dMz

dθ−RTy = R

(−ρ IZ

Rus +mZ − ρIZ θz

)(2.35)

2.4 Elément continu d'anneau circulaire

2.4.1 Développements en série de Fourier

La matrice de rigidité dynamique de ce type de poutre est obtenue en considé-rant la 2π-périodicité du problème. La première étape consiste à utiliser les relationse�orts-déplacements dans les équations du mouvement de manière à obtenir le sys-tème aux dérivées partielles satisfait par les seules inconnues de déplacement. Enconsidérant que s = Rθ le système aux dérivées partielles obtenu est alors :

M∂2X

∂t2+ AX +B

∂X

∂θ+ C

∂2X

∂θ2= F (2.36)

avec X = (us, θy, θz, uη, uζ , θx), le vecteur des déplacements composé de trois déplace-ments et trois rotations et F = (fs,mη,mζ , fη, fζ ,ms), le vecteur des e�orts extérieurscomposé des trois forces et trois moments répartis le long de la ligne moyenne. A,B, C, M sont des matrices de taille 6 × 6 (voir Annexe A). L'élément est formulédans le domaine fréquentiel, ainsi, si on note ω la pulsation du régime harmonique,la variable t est éliminée du système et on obtient un simple système di�érentiel :

[A− ω2M

]X +B

∂X

∂θ+ C

∂2X

∂θ2= F (2.37)

32

2.4. ELÉMENT CONTINU D'ANNEAU CIRCULAIRE

La 2π-périodicité du problème élastodynamique permet de rechercher les solutionssous la forme de développements en série de Fourier. Les déplacements sont développésselon l'expression 2.38.

X (ω, θ) = X0(ω) +∞∑m=1

sXm (ω) cos (mθ) +∞∑m=1

aXm (ω) sin (mθ) (2.38)

Les e�orts extérieurs s'exerçant le long de la ligne moyenne sont développés selonl'expression 2.39 :

F (ω, θ) = F0(ω) +∞∑m=1

sFm(ω) cos (mθ) +∞∑m=1

aFm(ω) sin (mθ) (2.39)

L'introduction de ces développements dans le système di�érentiel (2.37) permet d'éli-miner la variable θ et conduit à des systèmes d'équations algébriques pour chaquevaleur entière de m :{

(A− ω2M) .sXm +mB. aXm −m2C. sXm=sFm(A− ω2M) .aXm −mB. sXm −m2C. aXm=aFm

(2.40)

2.4.2 Matrices de raideur dynamique de l'anneau circulaire

La partition des inconnues en contributions symétriques et antisymétriques per-met, pour chaque valeur de m, d'obtenir des systèmes algébriques découplés. Cettepartition est dé�nie en considérant les ordres de dérivation des inconnues par rapportà θ et conduit à deux classes d'inconnues. Les composantes qui appartiennent à lamême classe possèdent les mêmes propriétés de symétrie ainsi que la même paritédans l'ordre de dérivation par rapport à θ. On obtient ainsi :

� Une première classe de composantes notée U composée de (us, θy, θz).

� Une seconde classe notée V composée de (uη, uζ , θX).

En tenant compte de cette partition nous obtenons les deux systèmes matricielssuivants :

(A11 − ω2M11 −m2C11 mB12

−mB21 A22 − ω2M22 −m2C22

)X1m = F1m (2.41)

(A11 − ω2M11 −m2C11 −mB12

mB21 A22 − ω2M22 −m2C22

)X2m = F2m (2.42)

avec X1m = (sUm,aVm) = (susm,

sθym,sθzm,

auηm,auζm,

aθxm) ,X2m = (aUm,

sVm) = (ausm,aθym,

aθzm,suηm,

suζm,sθxm) et de même pour les vec-

teurs des forces extérieures : F1m = (sfsm,smym,

smzm,afηm,

afζm,amsm)

F2m = (afsm,amym,

amzm,sfηm,

sfζm,smsm)

33


Les matrices intervenant dans ces relations sont les matrices de raideurs dyna-miques relatives aux contributions symétriques et antisymétriques du mouvement.Elles relient les projections des déplacements à celles des e�orts extérieurs sur la basefonctionnelle de Fourier :

Kim (ω) . Xim = Fim (2.43)

Avec Kim (ω) =

(A11 − ω2M11 −m2C11 (−1)i+1mB12

(−1)imB21 A22 − ω2M22 −m2C22

)Ces matrices dépendent à la fois de la pulsation ω du régime et de l'harmonique

m du développement en série de Fourier.

2.5 Validation du modèle

2.5.1 Propriétés géométriques et matérielles

La validation numérique de l'élément continu d'anneau circulaire est menée encomparant la réponse harmonique obtenue par la MEC avec celle obtenue par laMéthode des Eléments Finis. La structure étudiée est modélisée par un seul élémentcontinu. Les réponses harmoniques sont obtenus pour une con�guration libre-librepour di�érents types de charges appliquées. L'élément étudié est un anneau circulaireayant les propriétés suivantes :

Table 2.2 � Propriétés géométriques et matérielles

Rayon de courbure de la ligne moyenne R = 0.1855 mSurface de la section transversale S = 4× 10−4 m2

Les moments d'inerties Iy = Iz = 1.33× 10−8 m4

Moment de torsion I0 = J = 2.66× 10−8 m4

Les constantes de cisaillement transversale ky = kz = 0.833Module d'Young E = 2.1× 1011 PaCoe�cient de poisson ν = 0.3Masse volumique ρ = 7850 kg/m3

Les modèles utilisés ne considèrent pas le gauchissement des sections en torsion,ce qui mène à l'égalité de l'inertie polaire I0 et du module de torsion de Saint VenantJ .

2.5.2 Réponse harmonique

Deux types de chargements harmoniques sont appliqués sur l'anneau circulaire :

� Une densité linéique d'e�ort dirigée selon la direction Z.

34

2.5. VALIDATION DU MODÈLE

� Un chargement concentré radial en un point de la ligne moyenne.

Densité linéique d'e�ort symétrique dirigée selon la direction Z

Un e�ort uniforme en valeur absolue dé�ni par unité de longueur est appliqué surla ligne moyenne (voir Figure 2.3).

Figure 2.3 � Chargement selon z

Pour une origine des angles située au milieu de la demi-circonférence chargée posi-tivement cette répartition d'e�ort est symétrique, elle est dé�nie mathématiquementpar :

θ ∈[−π,−π

2

], fζ (θ) = −p

θ ∈]−π

2, π

2

], fζ (θ) = p

θ ∈]π2, π], fζ (θ) = −p

(2.44)

Le développement en série de Fourier de cette densité est alors donné par :

fζ (θ) =∞∑m=0

(−1)m+1 4p

(2m+ 1) πcos (2m+ 1)θ (2.45)

La symétrie du chargement vis à vis de θ permet donc de dé�nir les harmoniques dechargement extérieur par les deux vecteurs dé�nis en 2.46 :

F1m = (0, 0, 0, 0, 0, 0)F2m = (0, 0, 0, 0, sfζm, 0)

(2.46)

avec sfζm = (−1)m+1 4p(2m+1)π

L'équation (2.43) prend la forme suivante :

K1m.X1m = 0K2m.X2m = F2m

(2.47)

35


La résolution du second système de l'équation 2.47 est menée pour chaque fré-quence discrète parcourant l'intervalle choisi et pour chaque valeur de m du dévelop-pement. Les solutions de ce système sont les harmoniques du développement en sériede Fourier du déplacement. La réponse harmonique proprement dite est ensuite obte-nue par reconstruction de la série 2.38 puis comparée à celle obtenue par la Méthodedes Eléments Finis. Les conditions aux limites libres sont considérées. La réponsede l'anneau est déterminée au point situé en θ = 0 pour une fréquence parcourantl'intervalle [0, 10000 ] Hz. Un seul élément continu est utilisé et dix termes de sériede Fourier sont pris en compte.

Le modèle éléments �nis de validation exploite un élément de poutre à 3 noeudset à 6 degrés de liberté par noeuds (Ansys Beam 189, voir �gure 2.4). Cet élément estbasé sur la théorie des poutres de Timoshenko. L'élément fournit des options pour legauchissement et la déformation modérée des sections.

Figure 2.4 � Elément de maillage : poutre à trois noeuds

La réponse harmonique donnée par le modèle éléments �nis est obtenue pour unerésolution complète, c'est à dire sans troncature modale, de manière à maximiserla précision des résultats. La �gure 2.5 présente les réponses obtenues par diversemodélisations EF et par le modèle développé. Plusieurs niveaux de �nesse de maillagesont utilisés (40, 60, 120 éléments �nis) de manière à s'assurer de la convergence desrésultats.

36


Figure 2.5 � Réponse harmonique en θ =0

Une excellente convergence des résultats est ainsi observée. Il s'agit d'un premierélément de validation. L'ensemble des autres directions de chargement a égalementété analysé selon ce procédé, ce qui permet de conclure quant à la validité de lamatrice de raideur symétrique.

Pression antisymétrique uniforme selon la direction Z

Le chargement dé�ni sur la �gure 2.3 peut également être considéré comme an-tisymétrique dès l'instant où on choisit une origine des angles au niveau d'une desdiscontinuités de chargement. Il est alors dé�ni mathématiquement par :{

θ ∈ [−π, 0] , fζ (θ) = −pθ ∈ ]0, π] , fζ (θ) = p

(2.48)

Le développement en série de Fourier de cette densité est alors donné par :

fζ (θ) =∞∑m=0

(−1)m+1 4p

(2m+ 1) πsin (2m+ 1)θ (2.49)

L'antisymétrie du chargement vis à vis de θ permet donc de dé�nir les harmoniquesde chargement extérieurs par les deux vecteurs dé�nis en 2.50 :

F1m = (0, 0, 0, 0, afζm, 0)F2m = (0, 0, 0, 0, 0, 0)

(2.50)

avec afζm = (−1)m+1 4p(2m+1)π

.

L'équation (2.43) prend cette fois-ci la forme :

K1m.X1m = F1m

K2m.X2m = 0(2.51)

37


La résolution du premier système de l'équation 2.47 est menée sur l'intervalle[0, 10000 ] Hz également. La réponse de l'anneau est évaluée en θ = π/2. Un seulélément continu est utilisé et dix termes de série de Fourier sont pris en compte. Lacomparaison de la réponse obtenue avec celle obtenue par le modèle éléments �nispour di�érentes �nesses de maillage est donnée sur la �gure 2.6.

Figure 2.6 � Réponse harmonique en θ = π/2

Là encore, on peut observer une excellente convergence des résultats EF vers ceuxproduits par le modèle développé. Les autres directions de chargement ont été testéesde la même façon ce qui a permis de valider la matrice de raideur antisymétrique.

Chargement concentré radial

Le second type de chargement testé est un chargement concentré radial en unpoint de la ligne moyenne localisé en θ = 0 (voir Figure 2.7). Les conditions auxlimites sont également libres et la réponse harmonique est déterminée au niveau dupoint de l'application du chargement.

La direction étant radiale, la seule composante non nulle de chargement est fη.Ce chargement est donné mathématiquement par une expression impliquant la dis-tribution de Dirac :

fη (θ) = −Fδ (θ) (2.52)

La distribution δ de Dirac est telle que :

+∞∫−∞

δ (θ)ϕ (θ) dθ = ϕ (0) (2.53)

Le développement en série de Fourier du chargement appliqué est donné par :

fη (θ) = fη0 +∞∑m=1

sfηm cos (mθ) +∞∑m=1

afηm sin (mθ) (2.54)

38


Figure 2.7 � Anneau soumis à un chargement ponctuel radial appliqué en θ =0

avec :

fη0 =1

2π

π∫−π

−F δ (θ) dθ =−F2π

(2.55)

sfηm =1

π

π∫−π

−Fδ (θ) cos (mθ) dθ =−Fπ

(2.56)

afηm =1

π

π∫−π

−Fδ (θ) sin (mθ) dθ = 0 (2.57)

Ce qui permet d'écrire :

fη (θ) =−Fπ

+∞∑m=1

−Fπ

cos (mθ) (2.58)

Le système des vecteurs des e�orts extérieurs prend la forme suivante :F1m = (0, 0, 0, 0, 0, 0)F20 =

(0, 0, 0, −F

2π, 0, 0

)F2m =

(0, 0, 0, −F

π, 0, 0

) (2.59)

et le système algébrique à résoudre se réduit à :{K1m.X1m = 0K2m.X2m = F2m

(2.60)

Le développement en série du déplacement du point situé en θ = 0 est calculé à partirdes solutions de 2.60 successives selon l'expression 2.61.

39


uη = suη0 +n∑

m=1

suηm (2.61)

Le nombre de termes du développement est augmenté progressivement de manièreà s'assurer de la convergence de la solution. La validation de la réponse est ensuitemenée en la comparant avec celle obtenue par la méthode des éléments �nis. Desmodélisations semblables aux précédentes sont utilisées. La réponse harmonique estdéterminée pour des fréquences situées sur l'intervalle [0, 10000] Hz. La �gure 2.8rassemble les réponses obtenues.

Figure 2.8 � Réponse dynamique au point de la ligne moyenne situé en θ = 0

En comparant les quatre courbes présentées sur la �gure 2.8, on observe une bonneconvergence des résultats EF vers les résultats du modèle EC lorsque le maillages'a�ne.

2.5.3 Champ de déplacement à fréquence �xée

Le calcul du déplacement de tous les points de la ligne moyenne à une fréquence�xée est un autre élément de validation qu'il s'agit de contrôler. Une comparaisonde ces déplacements avec ceux obtenus par la méthode des éléments �nis est doncmenée. Le chargement imposé est pontuel et radial, la fréquence d'excitation est �xéeà 8000 Hz. La �gure 2.9 ci-dessous donne les champs de déplacement obtenus à cettefréquence pour chacun des modèles.

On note, là encore, une excellente concordance des deux déformées obtenues res-pectivement par 120 éléments �nis et un unique élément continu.

40

2.6. PERFORMANCES

Figure 2.9 � Champ de déplacement à 8000 Hz

2.6 Performances

Dans cette section, les performances des di�érentes déclinaisons de la formulationéléments continus en termes de précision des résultats et de rapidité de traitement,sont analysées. La première analyse porte sur l'in�uence de l'approximation utiliséedans la formulation de l'élément continu.

2.6.1 In�uence des approximations

Les approximations utilisées sont celles qui ont été décrites dans le tableau 2.1concernant les coe�cients de rigidité de l'anneau. A�n de mettre en évidence l'in-�uence de ces approximations sur les résultats trouvés, une variation du rapportgéométrique S/R est faite et les trois premières fréquences propres de �exion dans leplan sont calculées. Les résultats obtenus par la méthode des éléments continus sontcomparés à ceux issus de modélisations éléments �nis volumiques supposées être plusprécises qu'un modèle linéique. Des modélisations éléments �nis linéiques sont éga-lement comparées de manière à évaluer les performances respectives des modèles entermes de précision numérique. Les modèles soumis à cette analyse sont les suivants :

� Un maillage 1D constitué d'éléments de poutres linéiques à deux noeuds.

� Un maillage 1D constitué d'éléments de poutres courbes à trois noeuds.

41


� Un modèle volumique 3D constitué d'éléments hexaédriques à huit noeuds.

Trois rapports S/R sont utilisés. La section transversale est conservée constante(S = 4 × 10−4 m2) alors que le rayon de courbure varie. La �gure 2.10 présente lesmodèles volumiques pour les trois rayons de courbure testés :

Figure 2.10 � Maillage 3D constitué de 14580 éléments hexaédriques à 8-noeuds.

Les résultats sont présentés dans le tableau 2.3. Le calcul de l'erreur est obtenu àpartir de l'écart sur les fréquences propres vis à vis de celles obtenues par le modèlevolumique considéré comme le plus précis.

R = 0.1885 m R = 0.09425 m R = 0.06283 m

14580 EF hexaédrique à 8 noeuds f = 358 Hz f = 1412 Hz f = 3104 Hz1 EC sans approximation f = 358 Hz f = 1410 Hz f = 3096 Hz

0% 0.1% 0.3%Approximation1 pour 1 EC 1

1− ηR∼ 1 + η

Rf = 357 Hz f = 1405 Hz f = 3074 Hz

0.3% 0.5% 1.0%Approximation 2 pour 1 EC : 1

1− ηR∼ 1 f = 357 Hz f = 1398 Hz f = 3045 Hz

0.3% 1.0% 1.9%180 EF de poutre linéique à 2 noeuds f = 357 Hz f = 1398 Hz f = 3031 Hz

0.3% 1.0% 2.4%180 EF de poutre courbe à 3 noeuds f = 357 Hz f = 1397 Hz f = 3034 Hz

0.3% 1.1% 2.3%

Table 2.3 � Les premières fréquences propres de �exion dans le plan

42

2.7. CONCLUSION

Ces résultats montrent clairement la précision plus grande des modèles EC visà vis des modèles EF linéiques qu'ils soient linéaires ou quadratiques. Le gain enprécision est mis en évidence en particulier pour les modèles EC sans approximationlorsque la courbure de l'anneau augmente.

2.6.2 Temps de calcul et occupation mémoire

Les deux autres critères de performance évalués sont ceux qui font appel aux res-sources de calcul en termes de rapidité d'exécution et d'encombrement mémoire pourla résolution d'un problème de réponse harmonique. Ainsi, de manière à comparerles performances respectives des modélisations EC et EF, les réponses pour 500 fré-quences de calcul sont déterminées de manière itérative. Le calcul est lancé un PCPentium 2,53 GHz. Les deux formulations sont programmées dans un même environ-nement de développement (Matlab). Les matrices EF ont fait l'objet d'un stockagedit sparse, c'est à dire d'un stockage qui permet de minimiser l'occupation mémoirelorsqu'il s'agit de matrices creuses, comme c'est le cas ici. Le tableau 2.4 ci-dessousrassemble les résultats obtenus.

Table 2.4 � Temps de calcul et espace mémoire pour 500 fréquences

Modèles EF 40 éléments 60 éléments 120 élémentsTemps de calcul(s) 0,41 0,60 1,28Taille de la mémoire (octets) 26 908 40 348 80 668

Modèles EC 10 termes 15 termes 20 termesTemps de calcul 0,45 0,64 0,91Taille de la mémoire (octets) 1248 1248 1248

Ces résultats montrent clairement le gain en termes d'occupation mémoire obtenuepar le modèle EC. Le gain en temps de calcul peut paraître moins important mais ilest à mettre en perspective avec la précision très faible du modèle EF constitué de120 éléments (voir tableau 2.3)

2.7 Conclusion

Ce chapitre a permis de présenter la formulation d'un nouvel élément continu :l'anneau circulaire. Le principe de construction des matrices de raideur dynamique aété détaillé. Quelques éléments de validation de cet élément ont été présentés, ils sontfondés sur la comparaison des résultats du modèle avec ceux issus de modélisationséléments �nis. L'ensemble des autres éléments de validation n'ont cependant pas puêtre présentés dans le cadre limité de de mémoire. Ils concernent essentiellement lesautres directions de chargement imposés et de déplacement calculés. Ces validationsreposent sur le même principe et ont pu être menées de façon complète.

43


L'élément développé ici est un des constituants de l'élément de coque raidie quifait l'objet de la suite de ce mémoire. Sa formulation basée sur les séries de Fourierpermet son couplage avec l'élément de coque axisymétrique déjà développé [49].

44

Reformulation complexe de la raideur

dynamique des coques de révolution

45

3 Reformulation complexe de la rai-

deur dynamique des coques de ré-

volution

3.1 Introduction

La formulation des éléments continus de coque de révolution est menée depuisune quinzaine d'années suite aux travaux de Le Sourne [48] et de Nguyen [61, 49].Le premier s'est attaché aux formulations de Kirchho� pour lesquelles les e�ets decisaillement sont négligés alors que les seconds ont pu traiter des formulations deMindlin adaptées aux coques épaisses. Khadimmallah [50] a prolongé ces travauxpour tenir compte de l'in�uence d'un �uide interne ou externe à la coque. Le sujetde thèse traité aujourd'hui doit permettre de coupler ces éléments à des élémentslinéiques de type poutre de manière à constituer des coques raidies soit de façoncirconférentielle soit de façon longitudinale. Le chapitre précédent a ainsi permis dedévelopper un de ces éléments linéiques dans le cas de raidisseurs circonférentiels.Le couplage des deux types d'éléments a donc pu être tenté à partir de l'élémentd'anneau et de l'élément de coque axisymétrique disponible. Rapidement des vérousnumériques sont apparus. Ainsi, les premiers éléments de coques raidies ont montréune incapacité à produire des résultats stables lorsque la longueur de la coque dé-passait son diamètre. Ce type de problème a déjà été décrit lors de la formulationdes coques axisymétriques non raidies mais dans le cas de couplage coque/poutre, ilsemble se produire pour des longueurs de coque plus faibles. La �gure 3.1 ci-dessousprésente le type de problème numérique rencontré sur des coques non raidies.

Les deux courbes présentées sur la �gure 3.1 sont des réponses harmoniques ob-tenues sur l'intervalle fréquentiel [0, 15000 Hz] pour de coques axisymétriques delongueurs respectives 0,11 m et 0,0725 m. Elles mettent en évidence le fait qu'au-delàd'une certaine longueur, il existe une fréquence à partir de laquelle le calcul numé-rique n'est plus stable. En l'occurence, cette instabilité se produit un peu avant 10000Hz dans le cas de la réponse de la plus longue des deux coques. Ce problème n'estpas nouveau mais on a pu constater qu'il se produit de manière fréquente pour lespremières formulations de coques raidies développées.

47

CHAPITRE 3. REFORMULATION COMPLEXE DE LA RAIDEURDYNAMIQUE DES COQUES DE RÉVOLUTION

Figure 3.1 � Divergence numérique

Une reformulation de coques axisymétriques est donc envisagée basée sur l'uti-lisation de séries de Fourier complexes en lieu et place des séries de Fourier réellesutilisées jusqu'à présent. C'est l'objet de ce quatrième chapitre. La validation de cenouvel élément est menée par une comparaison des résultats obtenus par Casimir [49]et par diverses modélisations éléments �nis.

3.2 Théorie des coques axisymétriques de type Reiss-ner/ Mindlin

3.2.1 Description géométrique

Système de coordonnées curvilignes utilisé

La surface moyenne S de la coque axisymétrique est obtenue par une rotation dela courbe plane l autour d'un axe ∆. L'abscisse curviligne le long de la courbe planel est notée s. Le rayon de courbure de la courbe plane l est fonction de l'abscissecurviligne s, il est noté Rs. On note Rθ le rayon circonférentiel de la surface S, il nedépend que de l'abscisse curviligne s. L'épaisseur h de la coque est supposée constante(Voir Figure 3.2).

48

3.2. THÉORIE DES COQUES AXISYMÉTRIQUES DE TYPE REISSNER/MINDLIN

Figure 3.2 � Coque axisymétrique

Un repère cartésien (X,Y,Z) est dé�ni tel que l'axe Z coïncide avec l'axe derévolution ∆ de la coque. Chaque point P de la surface S est alors dé�ni par deuxcoordonnées paramétriques s et θ. s décrit la courbe méridienne génératrice de lacoque et θ l'angle positionnant le plan méridien.

La surface moyenne S est également décrite en coordonnées cylindriques (r, θ, z).Ainsi, le vecteur position relatif à chaque point P (rθ, z) de la surface moyenne s'écrit :

OP (s, θ) = r (s)ur (θ) + z (s)k (3.1)

On dé�nit l'angle ϕ par ∂r∂s

= cosϕ, ∂z∂s

= sinϕ et r = Rθ sinϕ et on associe ausystème de coordonnées paramétriques une base locale en tout point P :

us =∂OP

∂s(3.2)

uθ =∂OP

∂θ(3.3)

On dé�nit alors une base orthonormée directe (es, eθ,n) par normalisation des vec-teurs us, uθ et en posant n = es ∧ eθ, n est normal à la surface moyenne (voir �gure3.3).

49


Figure 3.3 � Vecteurs unitaires des bases locales et cylindriques

On a les relations suivantes :∂eθ∂s

= 0 (3.4)

∂eθ∂θ

= −er = − cosϕes + sinϕn (3.5)

∂n

∂s= − 1

Rs

es (3.6)

∂n

∂θ=∂es∂θ∧eθ+es∧

∂eθ∂θ

=dr

dseθ∧eθ−es∧er = − (cosϕer + sinϕz)∧er = − sinϕeθ

(3.7)

Elément de volume

Soit M un point du volume de la coque et soit P la projection du point M sur lasurface moyenne on a :

OM (s, θ, z) = OP (s, θ) + zn (s, θ) (3.8)

d'où :

dOM =

(1− z

Rs

)esds+ (r − z sinϕ) eθdθ + ndz (3.9)

Un élément de volume in�nitésimal peut donc s'écrire :

dV =

(1− z

Rs

)(r − z sinϕ) dsdθdz =

(1− z

Rs

)(r − z sinϕ) dSdz (3.10)

50


Gradient d'un champ vectoriel quelconque

On cherche à exprimer le gradient d'un champ vectoriel dans le système de coor-données curvilignes dé�ni ci-dessus :

V = Vs (s, θ, z) es + Vθ (s, θ, z) eθ + Vz (s, θ, z)n (3.11)

⇒ dV =(∂Vs∂sds− Vz 1

Rsds+ ∂Vs

∂sds− Vθ cosϕdθ + ∂Vs

∂zdz)es

+(∂Vθ∂sds+ Vs cosϕdθ + ∂Vθ

∂θdθ − Vz sinϕdθ + ∂Vθ

∂zdz)eθ

+(∂Vz∂sds+ Vs

1Rsds+ Vθ sinϕdθ + ∂Vz

∂zdz + ∂Vz

∂θdθ)n

(3.12)

d'où l'expression gradient du champ vectoriel V sur la base (es, eθ,n) :

[GradV] =

1

1− zRs

(∂Vs∂s− Vz 1

Rs

)1

r−z sinϕ

(∂Vs∂θ− Vθ cosϕ

)∂Vs∂z

11− z

Rs

∂Vθ∂s

1r−z sinϕ

(Vs cosϕ+ ∂Vθ

∂θ− Vz sinϕ

)∂Vθ∂z

11− z

Rs

(∂Vz∂s

+ Vs1Rs

)1

r−z sinϕ

(Vθ sinϕ+ ∂Vz

∂θ

)∂Vz∂z

(es,eθ,n)

(3.13)

3.2.2 Cinématique de Ressner/Mindlin

Champ de déplacement

Cette hypothèse permet d'exprimer les déplacements d'un point quelconque M enfonction des déplacements d'un point P appartenant à la surface moyenne et d'unerotation du feuillet moyen, on écrit :

U (M) = U (P ) + β ∧PM (3.14)

Les composantes du champ du déplacementU(M) sont dé�nies sur la surface moyenneet sont relatives à la base curviligne (es, eθ,n) et respectivement notées : u, v, w. Deuxcomposantes dé�nissent la rotation du feuillet moyen, elles sont notées : β, βθ. Lesaxes de ces deux rotations appartiennent au plan tangent en P. Ces déplacementssont résumés dans la �gure suivante 3.4 :

51


Figure 3.4 � Les composantes du déplacements et rotations d'un point dans unecoque

Ainsi le champ du déplacement au point M s'écrit :

U (M) = U (P ) + β ∧ PM= u (s, θ) es + v (s, θ) eθ + w (s, θ)n + [β (s, θ) es + βθ (s, θ) eθ] ∧ zn

(3.15)

⇒ U (M) = u (s, θ) es + v (s, θ) eθ + w (s, θ)n− zβ (s, θ) eθ + zβθ (s, θ) es (3.16)

Champ des petites déformations

Pour une coque axisymétrique de type Reissner/Mindlin les sections droites nor-males à la surface moyenne ne restent pas normales lors de la déformation, en consé-quence on ne peut pas négliger le cisaillement. Le tenseur des petites déformationsest donnée par :

ε =1

2

(GradU +Grad

TU

)(3.17)

et l'expression du gradient sur la base curviligne établie précédemment permet d'écrire :

[ε]

=

εss εsθ εszεsθ εθθ εθzεsz εθz εzz

(es,eθ,n)

(3.18)

52


avec :

εss = 11− z

Rs

(∂u∂s

+ z ∂βθ∂s− w 1

Rs

)2εsθ = γsθ = 1

r−z sinϕ

(∂u∂θ

+ z ∂βθ∂θ− v cosϕ+ zβ cosϕ

)+ 1

1− zRs

(∂v∂s− z ∂β

∂s

)2εsz = γsz = 1

1− zRs

(∂w∂s

+ βθ + u 1Rs

)εθθ = 1

r−z sinϕ

(∂v∂θ− z ∂β

∂θ+ u cosϕ+ zβθ cosϕ− w sinϕ

)2εθz = γθz = 1

r−z sinϕ

(−βr + v sinϕ+ ∂w

∂θ

)εzz = 0

(3.19)

3.2.3 Champ des contraintes de Cauchy et e�orts internes

Le champ des contraintes de Cauchy est déterminé à partir de la loi de compor-tement de l'élasticité linéaire de Hooke :

ε =1 + ν

Eσ − ν

EIσI (3.20)

Cette relation est établie en respectant l'hypothèse des contraintes planes. Cettehypothèse combinée avec l'hypothèse d'épaisseur constante conduit à dire que σzz = 0.En tenant comptes de toutes ces hypothèses le tenseur de champ de contrainte s'écrit :

[σ]

=

σss σsθ σszσsθ σθθ σθzσsz σθz 0

(3.21)

avec :

σss = E

(1−ν2)(1− zRs

)

(∂u∂s

+ z ∂βθ∂s− w 1

Rs

)+ Eν

(1−ν2)(r−z sinϕ)

(∂v∂θ− z ∂β


)σsθ = G

r−z sinϕ

(∂u∂θ

+ z ∂βθ∂θ− v cosϕ+ zβ cosϕ

)+ G

1− zRs

(∂v∂s− z ∂β

∂s

)σsz = G

1− zRs

(∂w∂s

+ βθ + Us1Rs

)σθθ = Eν

(1−ν2)(1− zRs

)

(∂u∂s

+ z ∂βθ∂s− w 1

Rs

)+ E

(1−ν2)(r−z sinϕ)

(∂v∂θ− z ∂β


)σθz = G

r−z sinϕ


∂θ

)(3.22)

Les e�orts internes sont établis en intégrant sur l'épaisseur les contraintes dé�niesprécédemment, dans la base curviligne on obtient :

. Les e�orts résultants de membrane

Ns =

h2∫

−h2

σss

(1− z

rsinϕ

)dz Nθ =

h2∫

−h2

σθθ

(1− z

Rs

)dz (3.23)

53


Nsθ =

h2∫

−h2

σsθ

(1− z

Rs

)dz Nθs =

h2∫

−h2

σθs

(1− z

Rs

)dz (3.24)

. Les moments de �exion

Ms =

h2∫

−h2

zσss

(1− z

rsinϕ

)dz Mθ =

h2∫

−h2

zσθθ

(1− z

Rs

)dz

(3.25)

Msθ =

h2∫

−h2

zσsθ

(1− z

Rs

)dz Mθs =

h2∫

−h2

zσθs

(1− z

Rs

)dz

(3.26). Les e�orts tranchants

Tθ =

h2∫

−h2

σθs

(1− z

Rs

)dz Ts =

h2∫

−h2

σsz

(1− z

rsinϕ

)dz

(3.27)

3.2.4 Relations comportementales

En remplaçant les contraintes par leurs expressions, on obtient les relations com-portementales entre les e�orts internes et les déplacements de la coque. On a :

Ns = Hm11∂u

∂s+Hm12

1

R

(∂v

∂θ− w

)+Hmf11

∂βθ∂s

(3.28)

Avec Hm11 = E1−ν2

h2∫−h

2

1− zr

sinϕ

1− zRs

dz, Hm12 = Eνh1−ν2 , Hmf11 = E

(1−ν2)

h2∫−h

2

1− zr

sinϕ

1− zRs

zdz.

Nθ = Hm12∂u

∂s+Hm22

1

R

(∂v

∂θ− w

)−Hmf22

1

R

∂β

∂s(3.29)

Avec Hm22 = E1−ν2

h2∫−h

2

1− zRs

1− zr

sinϕdz, Hmf22 = E

1−ν2

h2∫−h

2

1− zRs

1− zr

sinϕzdz

Nsθ = Hm441

R

∂u

∂θ+Hmf44

1

R

∂βθ∂θ

+Gh∂v

∂s(3.30)

Nθs = Hm431

R

∂u

∂θ+Hm33

∂v

∂s−Hmf34

∂β

∂s(3.31)

54


Avec Hm44 = G

h2∫−h

2

1− zRs

1− zr

sinϕdz, Hm43 = Gh, Hmf44 = G

h2∫−h

2

1− zRs

1− zr

sinϕzdz

et Hm33 = G

h2∫−h

2

1− zr

sinϕ

1− zRs

dz, Hmf34 = G

h2∫−h

2

1− zr

sinϕ

1− zRs

zdz.

Ms = Hmf11∂u

∂s+Hf11

∂βθ∂s−Hf12

1

R

∂β

∂θ(3.32)

Avec Hf11 = E1−ν2

h2∫−h

2

1− zr

sinϕ

1− zRs

z2dz, Hf12 = Eνh3

12(1−ν2)

Mθ = Hf12∂βθ∂s

+Hmf221

R

(∂v

∂θ− w

)−Hf22

1

R

∂β

∂θ(3.33)

Avec Hf22 = E1−ν2

h2∫−h

2

1− zRs

1− zR

sinϕz2dz

Msθ = Hmf441

R

∂u

∂θ+Hf44

1

R

∂βθ∂θ−Hf43

∂β

∂s(3.34)

Mθs = Hf43∂βθ∂θ

+Hmf34∂v

∂s−Hf33

∂β

∂s(3.35)

Avec Hf44 = G

h2∫−h

2

1− zRs

1− zr

sinϕz2dz, Hf43 = Gh3

12, Hf33 = G

h2∫−h

2

1− zr

sinϕ

1− zRs

z2dz.

Tθ = Hc221

R

(−βR + v +

∂w

∂θ

)(3.36)

Ts = Hc11

(∂w

∂s+ βθ

)(3.37)

Avec Hc22 = kG

h2∫−h

2

1− zRs

1− zr

sinϕdz, Hc11 = kG

h2∫−h

2

1− zr

sinϕ

1− zRs

dz.

3.2.5 Equations du mouvement de la coque axisymétrique

A�n de déterminer les équations du mouvement de la coque axisymétrique, onutilise le principe de Hamilton, de la même façon que pour l'anneau circulaire. Ceprincipe s'exprime comme suit :

δ

t2∫t1

T −We +Wextdt = 0 (3.38)

où T, We, Wext sont respectivement l'énergie cinétique, l'énergie de déformation etle travail des forces extérieures.

55


Energie cinétique

L'énergie cinétique s'exprime par :

T =1

2

∫V

ρV

(dU

dt

)2

dV =1

2

∫S

ρv.h.(u2 + v2 + w2

)− 2ρmf

(uβθ − vβ

)+ ρf

(β2 + β2

θ

)dS

(3.39)avec :

ρm =

h2∫−h

2

ρv

(1− z

Rs− z

rsinϕ+ z2

rRssinϕ

)dz = ρv

(h+ h3

12rRssinϕ

)ρmf =

h2∫−h

2

ρv

(z − z2

Rs− z2

rsinϕ+ z3

rRssinϕ

)dz = ρv

(− h3

12Rs− h3

12rsinϕ

) (3.40)

La variation de l'énergie cinétique donne :

δT =

∫S

ρm. (uδu+ vδv + wδw) + ρmf

(uδβθ + δuβθ − δvβ − vδβ

)+ ρf

(βδβ + βθδβθ

)dS

(3.41)

Energie de déformation

L'énergie de déformation de la coque est donnée par :

We =1

2

∫V

σ : εdV (3.42)

We = 12

∫S

∂u∂sNs+

∂βθ∂sMs +

(∂v∂s− w

)1RNθ− ∂β

∂θ1RM

θ+ 1

R∂u∂θNsθ

+ ∂βθ∂θMsθ + ∂v

∂sMsθ

+(∂w∂s− βθ

)Ts + 1

R

(∂w∂θ

+ v − βR)TθdS

(3.43)En remplaçant les e�orts internes par leurs expressions, on obtient :

We = 12

∫S

Hm11

(∂u∂s− w

Rs

)2

+ 2Hm121r

(u cosϕ+ ∂v

∂θ− w sinϕ

) (∂u∂s− w

Rs

)+2Hmf11

∂βθ∂s

(∂u∂s− w

Rs

)+Hf11

(∂βθ∂s

)2+ 2Hf12

1r

(βθ cosϕ− ∂β

∂θ

)∂βθ∂s

+Hm221r2

(u cosϕ+ ∂v

∂θ− Uz sinϕ

)2

+2Hmf221r2


∂θ

) (u cosϕ+ ∂v

∂θ− w sinϕ

)+Hf22

1r2


∂θ

)2

+Hm441r2

(∂u∂θ− v cosϕ

)2+ 2Hmf44

1r2

(∂βθ∂θ

+ β cosϕ) (

∂u∂θ− v cosϕ

)+Hf44

1r2

(∂βθ∂θ

+ β cosϕ)2 − 2Hf43

1r∂β∂s

(∂βθ∂θ

+ β cosϕ)

+Hm33

(∂v∂s

)2

−2Hmf34∂β∂s

∂v∂s

+Hf33

(∂β∂s

)2+Hc11

(∂w∂s

+ u 1Rs

+ βθ

)2

+1r


∂θ

)2Hc22dS

(3.44)

56


La variation de l'énergie de déformation s'écrit alors :

δWe =∫S

rNs

(∂δu∂s− δw

Rs

)+Nθ

(δu cosϕ+ ∂δv

∂θ− δw sinϕ

)+Ms

∂δβθ∂s

+Mθ

(δβθ cosϕ− ∂δβ

∂θ

)+Nsθ

(∂δu∂θ− δv cosϕ

)+

Msθ

(∂δβθ∂θ

+ δβ cosϕ)

+ rNθs

(∂δv∂s

)− rMθs

∂δβ∂s

+ rTs

(∂δw∂s

+ δu 1Rs

+ δβθ

)+Tθ

(−δβr + δv sinϕ+ ∂δw

∂θ

)dθds

(3.45)On utilise la formule d'intégration par parties pour une intégrale double dé�nie par :

∫S

u∂v

∂xjdxidxj =

∫∂S

uvnjdl −∫S

∂u

∂xjvdxidxj (3.46)

avec n la normale au contour ∂S .

⇒ δWe =∫δS

rNsδuns +Nsθδunθ +Nθδvnθ + rNθsδvns + rTsδwnθ + rMsδβθns

+Msθδβθnθ −Mθδβnθ − rMθsδβnsdl −∫S

δu(∂rNs∂s

+ ∂Nsθ∂θ−Nθ cosϕ− 1

RsrTs

)dθds

−∫S

δv(∂Nθ∂θ

+ ∂rNθs∂s

+Nsθ cosϕ− Tθ sinϕ)dθds

−∫S

δw(∂rTs∂s

+ ∂Tθ∂θ

+Nθ sinϕ+ 1RsrNs

)dθds

−∫S

δβθ(∂rMs

∂s+ ∂Msθ

∂θ+Mθ cosϕ− rTs

)dθds

+∫S

δβ(∂rMθs

∂s+ ∂Mθ

∂θ+Msθ cosϕ− rTθ

)dθds

(3.47)

Travail des e�orts extérieurs

Le travail des e�orts extérieurs est déterminé par :

Wext =∫V

fv.UdV =∫V

(fV sus + fV θuθ + fV zn) . (uus + vuθ + wn + zβθus − zβuθ)dV

=∫S

h2∫−h

2

[fV s (u+ zβθ) + fV θ (v − zβ) + fV zw](

1− zRs

) (1− z

rsinϕ

)rdsdθdz

(3.48)

Wext =

∫S

(fsu+ fθv + fzw +msβ +mθβθ)rdsdθdz (3.49)

57


avec

fs =

h2∫−h

2

fV s

(1− z

Rs

) (1− z

rsinϕ

)dz

fθ =

h2∫−h

2

fV θ

(1− z

Rs

) (1− z

rsinϕ

)dz

fz =

h2∫−h

2

fV z

(1− z

Rs

) (1− z

rsinϕ

)dz

ms =

h2∫−h

2

−fV θz(

1− zRs

) (1− z

rsinϕ

)dz

mθ =

h2∫−h

2

fV sz(

1− zRs

) (1− z

rsinϕ

)dz

(3.50)

Sa variation s'exprime par :

δWext =

∫S

(fsδu+ fθδv + fzδw +msδβ +mθδβθ)rdsdθ (3.51)

En appliquant le principe de Hamilton cité, on obtient le système des équations demouvement d'une coque axisymétrique de forme quelconque :

∂rNs∂s

+ ∂Nsθ∂θ−Nθ cosϕ− 1

ρrTs + rfs = rρmu− ρmf βθ

∂Nθ∂θ

+ ∂rNθs∂s

+Nsθ cosϕ− Tθ sinϕ+ rfθ = rρmv + rρmf β∂rTs∂s

+ ∂Tθ∂θ

+Nθ sinϕ+ 1ρrNs + rfz = rρmw

∂rMs

∂s+ ∂Msθ

∂θ−Mθ cosϕ− rTs + rms = rρmf u+ rρf βθ

∂Mθ

∂θ+ ∂rMθs

∂s+Msθ cosϕ− rTθ + rmθ = rρmf v −Rρf β

(3.52)

3.3 Elément continu de coque axisymétrique

3.3.1 Vecteur d'état

Les équations du mouvement et les relations comportementales sont rassembléessous la forme suivante :

∂E

∂s= Mc

∂2E

∂t2+ Ac (s)E + Bc (s)

∂E

∂θ+ Cc (s)

∂2E

∂θ2(3.53)

avec E vecteur d'état dont les composantes rassemblent celles des déplacements etcelles des e�orts internes dé�nies par : E = (u, v, w, β, βθ, Ns, Nθs, Ts,Ms,Mθs). Ac,Bc, Cc, Mc sont des matrices 10 ×10 dé�nies en Annexe B.

Dans le cadre des régimes harmoniques qui nous intéressent ici, la variable tem-porelle est éliminée. On obtient :

∂E

∂s=[Ac(s)− ω2Mc

].E + Bc (s)

∂E

∂θ+ Cc (s)

∂2E

∂θ2(3.54)

58

3.3. ELÉMENT CONTINU DE COQUE AXISYMÉTRIQUE

avec ω la pulsation du régime.

3.3.2 Recherche de solutions de Fourier

La résolution de l'équation 3.54 satisfaite par le vecteur d'état est basée sur desdéveloppements en série de Fourier complexes du fait de leur 2π-périodicité. Lesdérivées par rapport à θ sont alors supprimées. En posant :

E (s, θ, ω) =m=+∞∑m=−∞

Em (s, ω) eimθ (3.55)

on obtient :

∂Em

∂s=[Ac (s)− ω2

Mc

].Em + im.Bc (s) .Em −m2Cc (s) .Em (3.56)

C'est à dire un ensemble de systèmes di�érentiels du premier ordre obtenus pourchaque valeur de l'harmonique m du développement. Ces systèmes peuvent s'écriresous la forme généralisée suivante :

∂Em

∂s= ∆m (s, ω) .Em (3.57)

avec ∆m(s, ω) = Ac (s)− ω2Mc + im.Bc (s)−m2Cc (s)

La résolution du système 3.53 a été ramenée à celles de systèmes di�érentiels dupremier ordre dé�nis pour chaque valeur de m. La méthode numérique utilisée parCasimir pour résoudre ces systèmes d'équations est basée sur la dé�nition de matricesde transfert. Cette matrice est notée [Tm (s→ s′, ω)], elle établit la relation entre levecteur d'état à l'abscisse curviligne s et le vecteur d'état à l'abscisse curviligne s′.Lorsqu'il s'agit de solutions exprimées sous la forme de développement en série, cesont les coe�cients de Fourier de ces développements qui constituent les composantesdes vecteurs d'état. Ces matrices de transferts satisfont les relations suivantes :

Em (s, ω) = Tm (s, s′, ω)Em (s′, ω) (3.58)

Dans le cas où l'abscisse initiale est à l'origine +0, la matrice de transfert estnotée : Tm (s, ω). Elle permet de relier le vecteur d'état à l'abscisse 0 au vecteurd'état à l'abscisse s. L'introduction de l'équation 3.58 pour s = 0 dans l'équation3.57 donne :

∂Tm (s, ω)

∂s.Em (0, ω) = ∆m (s, ω) .Tm (s, ω)Em (0, ω) (3.59)

Cette équation doit être véri�ée quelque soit le vecteur Em (0, ω) à l'origine, ce quipermet d'obtenir :

∂Tm (s, ω)

∂s= ∆m (s, ω) .Tm (s, ω) (3.60)

59


Sachant que : Tm (0, ω) = I. La solution de l'équation 3.60 est donnée par :

Tm (s, ω) = e

s∫0

∆m(l,ω)dl (3.61)

avec la fonction exponentielle de matrice dé�nie par : eX =+∞∑k=0

Xk

k!. La matrice de

transfert dynamique qui relie le vecteur d'état en s=0 au vecteur d'état en s=L estnoté Tm (ω). A�n de résoudre l'équation 3.61 les valeurs et les vecteurs propres de lamatrice ∆m (ω) sont utilisés. Dans le cas ou cette matrice possède n valeurs propresλi (ω) distinctes, elle est diagonalisable et elle possède n vecteurs propres regroupésdans une matrice notée Q (ω). Par la suite l'équation 3.61 prend la forme suivante :

Tm (ω) = [Qm (ω)]

eλ1m(ω) 0. . .

0 eλnm(ω)

[Qm (ω)]−1 (3.62)

L'équation 3.58 devient : E (L, ω) = Tm (ω) .E (0, ω). Pour déterminer la matricede raideur dynamique de l'élément, il est nécessaire d'établir les relations entre lese�orts extérieurs et déplacements des extrémités de l'élément, c'est à dire en s=0 eten s=L . La matrice de transfert est réécrite sous la forme suivante :{

Um (L)Fm (L)

}=

[T11 (ω) T12 (ω)T21 (ω) T22 (ω)

] {Um (0)−Fm (0)

}(3.63)

Les signes négatifs proviennent du fait qu'e�orts internes et e�orts extérieurs sontopposés à l'extrémité s = 0 selon la convention adoptée pour les e�orts internes.

Sous cette forme, des manipulations matricielles permettent d'obtenir la matricede raideur en fonction des sous-matrices de transfert, de manière à satisfaire :

Km (ω) .Xm = Fm (3.64)

On obtient ainsi la matrice de raideur dynamique pour chaque harmonique m dudéveloppement :

Km (ω) =

(Tm12(ω)−1.Tm11 (ω) Tm12(ω)−1

−Tm12(ω)−T Tm22(ω)−1.Tm11(ω)−1

)(3.65)

3.4 Validation de l'élément

A�n de valider l'e�cacité de l'utilisation des séries de Fourier complexes par rap-port aux séries de Fourier trigonométriques, une comparaison a été menée entre lesrésultats trouvés par Casimir [49] et ceux obtenus par la présente formulation. Lastructure étudiée est une coque axisymétrique de longueur L, d'épaisseur h et de dia-mètre D. Dans le tableau 3.1, toutes les propriétés géométriques et matérielles sontprésentées.

60

3.4. VALIDATION DE L'ÉLÉMENT

Table 3.1 � Propriétés géométriques et matérielles de la coque

Module d'Young E = 2.1× 1011 PaCoe�cient de poisson ν = 0.3Masse volumique ρ = 7850kg/m3

Les constantes de cisaillement transversale ky = kz = 0.833Diamètre D = 0.1385mLongueur de la coque L = 0.14mL'épaisseur h = 0.015m

La structure est modélisée par un seul élément continu en employant des conditionsaux limites libres. Un chargement ponctuel est appliqué en un point appartenant àla base de la coque en s=0 comme illustré sur la �gure 3.5.

Figure 3.5 � Chargement ponctuel en thêta θ=0

Le chargement radial ponctuel est donné par l'expression suivante :

fz (θ) = −Fδ (θ) (3.66)

avec δ (θ) l'impulsion delta de Dirac dé�nie par :

+∞∫−∞

δ (θ)ϕ (θ) dθ = ϕ (0) (3.67)

Le développement en série de Fourier complexe du chargement appliqué est donnépar :

fz =m=+∞∑m=−∞

fm eim θ (3.68)

avec

fm =1

2π

π∫−π

F. δ (θ) e−im θ dθ =F

2π(3.69)

61


La réponse obtenue par la méthode des éléments continus est comparée à celle obte-nue par la méthode des éléments �nis selon di�érentes �nesses de maillage, ceci a�nde s'assurer de la convergence des résultats. La structure est ainsi maillée à l'aided'éléments coques à 8 noeuds (shell 281) et à six degrés de liberté par noeud. Lesrésultats sont évalués sur une plage de fréquence comprise entre [0, 10000] Hz etprésentés sur la �gure 3.6.

Figure 3.6 � Comparaison des réponses éléments �nis et élément continu

On observe sur cette �gure une excellente convergence des résultats éléments �nisvers ceux obtenus par l'élément continu. La nécessité d'un maillage su�samment �nen ce qui concerne la méthode des éléments �nis est mise en évidence. Cette e�cacitéde la formulation rejoint celle établie par les travaux précédents basés sur des sériestrigonométriques réelles.

En ce qui concerne l'e�cacité de la formulation complexe vis à vis de la formulationréelle, une comparaison des résultats obtenus par chacune des deux formulationsprésentée sur la �gure 3.7 ci-dessous. Elle concerne le cas d'une coque dont la longueurest portée à L = 0, 14 m.

62

3.5. CONCLUSION

Figure 3.7 � Réponse harmonique du cylindre

La �gure 3.7, montre clairement une amélioration signi�cative de la stabilité nu-mérique pour une formulation basée sur les séries de Fourier complexes.

3.5 Conclusion

Ce chapitre présente une reformulation complexe de l'élément continu de coqueaxisymétrique. Cette reformulation consiste à utiliser les séries de Fourier complexesau lieu des séries de Fourier trigonométriques. Cette approche nous a permis d'élimi-ner les problèmes de divergence numériques observés lorsque les longueurs de coques'accroissaient. De nombreuses autres validations de l'élément ont pu être menéesavec succès par comparaison avec des modélisations éléments �nis, elles n'ont pas puêtre toutes présentées dans ce mémoire mais elles concernent l'ensemble des autresdirections de sollicitations et de réponse.

63


64


de coque raidie par raidisseurs

circonférentiels

65


de coque raidie par raidisseurs cir-

conférentiels

4.1 Introduction

Ce chapitre et le suivant constituent le travail de thèse principal tel qu'il a été dé-�ni lors de la rédaction du sujet et la recherche de candidat potentiels par le LISMMA.Il s'agit de parvenir à formuler un élément continu de coque axisymétrique compor-tant des raidisseurs. Deux types de raidisseurs sont envisagés :

. des raidisseurs circonférentiels, internes ou externes à la coque,

. des raidisseurs longitudinaux également internes ou externes à la coque.

Ce chapitre développe plus particulièrement le premier cas évoqué. La formula-tion d'un tel élément consiste en réalité à dé�nir une procédure de construction de lamatrice de raideur dynamique de ce type de coque raidie.

Deux approches sont envisagées : la première consiste à réaliser un couplage entrel'élément continu de coque et l'élément continu de poutre circulaire dé�nissant leraidisseur. Elle fait l'objet du paragraphe (4.2) qui suit. La seconde, décrite au pa-ragraphe (4.3), consiste à considérer l'ensemble coque/raidisseurs comme une uniquecoque axisymmetrique dont l'épaisseur peut subir de fortes variations localement.

Les deux formulations sont présentées et validées par une comparaison systéma-tique des courbes de réponses harmoniques produites avec celles issues de modélisa-tions éléments �nis.

4.2 Formulation par couplage coque/poutre

Le couplage qui conduit à la formulation de l'élément de coque raidie est réalisé auniveau des matrices de raideurs dynamiques de l'élément d'anneau circulaire présenté

67

CHAPITRE 4. DÉVELOPPEMENT D'UN ÉLÉMENT CONTINU DE COQUERAIDIE PAR RAIDISSEURS CIRCONFÉRENTIELS

au chapitre 2 et de l'élément de coque axisymmetrique.

4.2.1 Géométrie

La structure de coque raidie étudiée est constituée d'une coque axisymétrique detype Reissner/Mindlin et d'un anneau circulaire situé à l'une de ses deux extrémités.La description géométrique de la partie coque reste identique en tout point à celleprésentée en section 3.2.1. On rappelle ici rapidement cette géométrie.

La coque est dé�nie par un feuillet moyen généré par la rotation d'une courbeplane autour d'un axe ∆. En chaque point P de la surface moyenne est dé�nie unebase locale (es, eθ,n) (voir �gure 4.1). La surface moyenne est caractérisée par deuxcoordonnées : s et θ.

� s : abscisse curviligne décrivant la courbe méridienne génératrice de la coque.� θ : angle positionnant le plan méridien

Figure 4.1 � Coque axisymétrique

Le raidisseur est la poutre circulaire de type Timoshenko présentée au chapitre2. Il est caractérisé par un rayon de courbure constant et une section constante. Unebase (X,Y,Z) est dé�nie en chaque point de la ligne moyenne (voir �gure 4.2).

68

4.2. FORMULATION PAR COUPLAGE COQUE/POUTRE

Figure 4.2 � Anneau circulaire

Le couplage de ces deux structures est réalisé en plaçant le raidisseur au niveau de labase de la coque c'est à dire en s = 0.La ligne moyenne du raidisseur est supposée située sur la surface moyenne de la coque.Le rayon de cette ligne moyenne est noté R. La section transversale du raidisseur estconstante le long de sa ligne moyenne. La géométrie du raidisseur est supposée telleque son axe principal d'inertie Z reste normal au plan du raidisseur, et que l'axed'inertie Y reste parallèle à ce plan lorsqu'on décrit la ligne moyenne du raidisseur.Ces hypothèses sont rassemblées sur la �gure 4.3.

Figure 4.3 � Principe de couplage entre le raidisseur et la coque

69


4.2.2 Matrice de rigidité dynamique de la coque raidie

Partition des inconnues

Dans cette section une procédure de construction de la matrice de rigidité dyna-mique de la coque raidie est présentée. Cette construction est basée sur le couplagedes matrices de rigidités dynamiques de la coque axisymétrique [49] et de l'anneau(chapitre 2) utilisé en tant que raidisseur circonférentiel.

Il s'agit d'un problème de périodicité 2π, les solutions recherchées ont été écritessous la forme de développements en séries de Fourier trigonométriques selon :

E (s, θ, ω) = sE0 (s, ω) ++∞∑m=1

sEm (s, ω) cosmθ ++∞∑m=1

aEm (s, ω) sinmθ (4.1)

E représente le vecteur d'état, il est constitué de toutes les composantes de déplace-ments et d'e�orts internes de la coque, soit E = (u, v, w, β, βθ, Ns, Nθs, Ts,Ms,Mθs).L'introduction des développements en série de Fourier dans le système 3.53 permetd'obtenir pour chaque harmoniquem les deux systèmes di�érentiels du premier ordre :

dsEm

ds=[A (s)− ω2

M].sEm +mB (s) .aEm −m2C (s) .sEm

daEm

ds=[A (s)− ω2

M].aEm −mB (s) .sEm −m2C (s) .aEm

(4.2)

A, B, C, M sont des matrices 10 ×10 dé�nies en Annexe B. Les deux systèmes sontdécouplés en réalisant une partition des composantes du vecteur d'état. Cette parti-tion est menée en considérant les ordres de dérivation des inconnues par rapport à θ,et conduit à deux classes d'inconnues :

� Une première classe dé�nie par :E1m = (su,sw,sβθ,sNs,

sTs,sMs,

av,aβ,aNθs,aMθs)

� Une seconde classe dé�nie par : E2m = (au,aw,aβθ,aNs,

aTs,aMs,

sv,sβ,sNθs,sMθs)

Ce qui permet de réécrire le système 4.2 selon :

dE1m

ds=

(A11 (s)− ω2M11 −m2C11 (s) mB12 (s)

−mB21 (s) A22 − ω2M22 −m2C22 (s)

).E1m

dE2m

ds=

(A11 (s)− ω2M11 −m2C11 (s) −mB12 (s)

mB21 (s) A22 − ω2M22 −m2C22 (s)

).E2m

(4.3)

La résolution du système 4.3 est menée selon une démarche identique à celle décriteau chapitre 3. On obtient alors la matrice de rigidité de la coque axisymétrique pourchacune des partitions dites symétrique et antisymétrique. L'adjectif symétrique ouantisymétrique correspondant à la nature de la composante w du feuillet moyen. Cechoix est arbitraire.

70


De même, les matrices de rigidité de l'anneau présentées au chapitre 2 sont rela-tives aux deux contributions symétrique et anti-symétrique. Elles relient les déplace-ments aux e�orts extérieurs selon :

K1m (ω) . X1m = F1m

K2m (ω) . X2m = F2m(4.4)

X1m et F1m représentent les composantes symétriques de déplacements et d'e�ortsexternes dé�nies par :X1m = (sUm,

aVm) = (susm,sθym,

sθzm,auηm,

auζm,aθxm),

F1m = (sfsm,smym,

smzm,afηm,

afζm,amsm) , . X2m et F2m présentent les compo-

santes anti-symétriques de déplacements et d'e�orts externes dé�nit par :X2m = (aUm,

sVm) = (ausm,aθym,

aθzm,suηm,

suζm,sθxm) ,

F2m = (afsm,amym,

amzm,sfηm,

sfζm,smsm).

Couplage

La première étape consiste à écrire la relation entre la base locale (es, eθ,n) de lacoque sur l'extrémité raidie, et la base locale de l'anneau (X,Y,Z) circulaire. Sur la�gure 4.3, on note une correspondance entre les vecteurs des deux bases : X = eθ,Y = n, Z = es. Ainsi au niveau du bord raidi de la coque, on dé�nit une basecommune comme illustré sur la �gure 4.4.

Figure 4.4 � Dé�nition d'une base commune entre le raidisseur et la coque

Par conséquent, une correspondance s'établit entre les composantes de déplace-ments du raidisseur et celles de la coque. De même, une correspondance s'établit entrecomposantes d'e�orts extérieurs (voir tableau 4.1).

71


Table 4.1 � Correspondance entre les déplacements et les forces

Coque u v w β βθ Ns Nθs Ts Mθs Ms

Raidisseur uζ us uη θz θx fζ fs fη ms mz

Le couplage entre le raidisseur et la coque au niveau de la base en s = 0 conduità l'apparition d'actions et de réactions entre ces deux structures. Les relations deraideurs dynamiques entre ces deux structures prennent la forme suivante :

� Pour la coque, l'action du raidisseur est prise en compte et conduit pour chacunedes contributions symétriques et antisymétriques aux relations suivantes :

[Kcoque1m ] .

susm (0)avm (0)swm (0)sβθm (0)aβm (0)susm (L)avm (L)swm (L)sβθm (L)aβm (L)

=

sN r→csm

aN r→cθsm

sT r→csmsM r→c

θsmaM r→c

sm

00000

+

sNsm (0)aNθsm (0)sTsm (0)sMθsm (0)aMsm (0)sNsm (L)aNθsm (L)sTsm (L)sMθsm (L)aMsm (L)

(4.5)

[Kcoque2m ] .

ausm (0)svm (0)awm (0)aβθm (0)sβm (0)ausm (L)svm (L)awm (L)aβθm (L)sβm (L)

=

aN r→csm

sN r→cθsm

aT r→csmaM r→c

θsmsM r→c

sm

00000

+

aNsm (0)sNθsm (0)aTsm (0)aMθsm (0)sMsm (0)aNsm (L)sNθsm (L)aTsm (L)aMθsm (L)sMsm (L)

(4.6)

� Pour le raidisseur, deux relations de raideur dynamiques permettent de tenircompte de l'action de la coque, pour chacune des contributions symétrique puisantisymétrique :

[K1m(raidisseur)

]

susmsθymsθzmauηmauζmaθxm

=

sfsmc→r

smY mc→r

smZmc→r

afηmc→r

afζmc→r

amsmc→r

=

−sN r→c

θsm

0−sM r→c

sm

−aT r→csm

−aN r→csm

−aM r→cθsm

(4.7)

72


[K2m(raidisseur)

]

ausmaθymaθzmsuηmsuζmsθxm

=

afsmc→r

amY mc→r

amZmc→r

sfηmc→r

sfζmc→r

smsmc→r

=

−aN r→c

θsm

0−aM r→c

sm

−sT r→csm

−sN r→csm

−sM r→cθsm

(4.8)

L'indice r → c désigne l'action du raidisseur sur la coque et l'indice c → r désignel'action de la coque sur le raidisseur. Le couplage des deux structures nécessite l'usaged'une matrice de permutation P qui est dé�nie en Annexe B et qui permet la permu-tation du vecteur des déplacements et du vecteur des forces extérieures a�n d'avoirune séquence similaire à celle de la coque. Ainsi on obtient la nouvelle matrice derigidité dynamique de l'anneau après permutation dé�nie par l'équation 4.9.[

Kraidisseurim

]p

= [P]T .[Kraidisseur

im

]. [P] (4.9)

La matrice de rigidité dynamique de la coque raidie est alors décomposée en deuxcontributions : la première correspond à la partition dite symétrique, la seconde à lapartition antisymétrique.

([Kcoque

1m ] +[Kraidisseur

2m

]p

).

susm (0)avm (0)swm (0)sβθm (0)aβm (0)susm (L)avm (L)swm (L)sβθm (L)aβm (L)

=

sNsm (0)aNθsm (0)sTsm (0)sMθsm (0)aMsm (0)sNsm (L)aNθsm (L)sTsm (L)sMθsm (L)aMsm (L)

(4.10)

([Kcoque

2m ] +[Kraidisseur

1m

]p

).

ausm (0)svm (0)awm (0)aβθm (0)sβm (0)ausm (L)svm (L)awm (L)aβθm (L)sβm (L)

=

aNsm (0)sNθsm (0)aTsm (0)aMθsm (0)sMsm (0)aNsm (L)sNθsm (L)aTsm (L)aMθsm (L)sMsm (L)

(4.11)

Par conséquent, la matrice de rigidité dynamique globale de la coque raidie par unraidisseur circonférentiel est donnée par l'équation suivante :

[Km (ω)] =

([Kcoque

1m ] +[Kraidisseur

2m

]p

0

0 [Kcoque2m ] +

[Kraidisseur

1m

]p

)(4.12)

73


Cette matrice ne dépend que de la pulsation du régime harmonique ω et de l'indicedes harmoniques m de la série de Fourier.

4.2.3 Validation numérique

A�n d'illustrer l'exactitude et l'e�cacité de l'élément continu de coque raidie, desexemples d'analyse vibratoire d'une coque raidie soumise à un chargement quelconquesont présentés. Les réponses harmoniques sont comparées à celles déterminées par laméthode des éléments �nis mise en ÷vre par le code de calcul ANSYS.

Par ailleurs, a�n de mettre en évidence l'in�uence du raidisseur sur la réponse har-monique une comparaison a été faite entre les résultats obtenus pour une coque raidie,et celles obtenus pour une coque simple pour des conditions aux limites identiquesen termes de déplacements et de chargement imposés.

Propriétés géométriques et matérielles de la structure analysée

Le raidisseur et la coque sont constitués du même matériau. Les propriétés maté-rielles et géométriques sont présentés respectivement dans les tableaux 4.2 et 4.2.3 .

Table 4.2 � Propriétés matérielles de la coque et du raidisseur

Module d'Young Coe�cient de Poisson densité massique2,1 GPa 0,3 7800 kg/m3

Table 4.3 � Propriétés géométriques de la coque et du raidisseur

Propriétés géométrique de la coque Rayon (R) Epaisseur (h) Longueur (L)0,0925 0,01 0,145

Propriétés géométriques du raidisseur Rayon (R) Section (S)0,0925 0,04 m 4

Réponse harmonique

L'étude de la structure de coque raidie est menée en adoptant des conditions auxlimites dites libres, c'est à dire sans aucun déplacement imposé, et en appliquant deuxtypes de chargements :

74


� Un chargement axisymétrique radial

� Un chargement antisymétrique radial

Pression axisymétrique radiale

Une pression axisymétrique radiale est appliquée sur la ligne moyenne du raidis-seur voir �gure 4.5. Ce chargement est dé�nit par :

θ ∈ [0, 2π] , fη (θ) = p (4.13)

Figure 4.5 � Coque raidie soumise à un chargement radial axisymétrique

Le développement en série de Fourier du chargement appliqué est donné par l'ex-pression suivante :

fη (θ) = fηs0 +∞∑m=1

sfηm. cos (mθ) +∞∑m=1

afηm. sin (mθ) (4.14)

avec fη0 = P , sfηm = 0 et afηm = 0.

Pour chaque pulsation ω, les coe�cients de la série de Fourier du vecteur dépla-cement le long des deux bords de la coque raidie sont solutions du système linéairesuivant :

[Km (ω)] .Um = Fm (4.15)

75


La pression appliquée est une force symétrique par rapport à θ, donc les vecteurs desforces extérieures peuvent être écrits sous la forme suivante : F10 = (0, 0, p, 0, 0, 0) etF20 = (0, 0, 0, 0, 0, 0). La réponse harmonique a été déterminée et validée par le codeéléments �nis ANSYS.

La modélisation éléments �nis met en ÷vre deux types d'éléments :

� un élément coque à huit noeuds et à six degrés de liberté par noeud qui tientcompte des e�ets de l'inertie rotationnelle et de la déformation au cisaillement.

� un élément poutre à trois noeuds et à six degrés de liberté par noeud.

La modélisation éléments continus met en ÷vre deux éléments assemblés qui per-met de diviser la longueur de la coque par deux :

� un élément de coque axisymétrique,

� un élément de coque axisymétrique raidie composé d'un élément continu decoque couplé avec un élément continu d'anneau circulaire .

La �gure 4.6 présente la réponse harmonique (déplacement radial) obtenue par lesmodèles éléments �nis pour di�érentes �nesses de maillage ainsi que celle issue de lamodélisation éléments continus. Les résultats sont donnés pour l'intervalle fréquentiel[0,20000] Hz.

Figure 4.6 � Réponse harmonique à un chargement axisymétrique radial

76


Cette �gure permet de véri�er que la réponse harmonique obtenue par la MEFconverge vers celle obtenue par la MEC, ce qui est un premier élément de validationde la formulation présentée. Par ailleurs, cette �gure permet de mettre en évidence lanécessité d'a�ner su�sament le maillage EF lorsque la fréquence augmente. Un mi-nimum de 3000 éléments est ici requis pour obtenir une réponse correcte au voisinagede 18000 Hz.

In�uence du raidisseur

L'in�uence du raidisseur est analysée sur les �gures 4.7 et 4.8 pour ce mêmechargement. La première �gure présente la réponse harmonique d'une coque sans rai-disseur soumis à un chargement axisymétrique radial, cette réponse est confrontée àla réponse EF. La seconde �gure permet de comparer les réponses respectives d'unecoque raidie ou non de manière à s'assurer que le raidisseur est bien pris en comptedans les modèles.

Figure 4.7 � Réponse harmonique suite à un chargement axisymétrique radial d'unecoque sans raidisseur

77


Figure 4.8 � Superposition de la réponse harmonique d'une coque sans et avecraidisseur

On observe une nette diminution du niveau de réponse pour la coque raidie, cequi est bien cohérent avec le raidissement supposé de la structure.

Pression antisymétrique radiale

Une pression antisymétrique uniforme est dé�nie par unité de longueur, elle s'exercesur la ligne moyenne du raidisseur comme indiqué sur la �gure 4.9.

Figure 4.9 � Coque raidie soumis à un chargement antisymétrique radial

78


Cette pression est dé�nie analytiquement comme suit :∀θ ∈ ]0, −π[ , fn (θ) = −p∀θ ∈ ]0, π[ , fn (θ) = pfn (0) = fn (π) = 0

(4.16)

Le développement en série de Fourier de ce chargement est donné par l'expressionsuivante :

fn = fn0 ++∞∑m=1

sfnm cos (mθ) ++∞∑m=1

afnm sin (mθ) (4.17)

avec fn0 = sfnm = 0 et afnm = 2pmπ

[1− (−1)m]. La pression appliquée est une forceantisymétrique par rapport à θ, donc les vecteurs des forces extérieures peuvent êtreécrits sous la forme suivante :

F1m = (0, 0, 0, 0, 0, 0)F2m =

(0, 0, 2p

mπ[1− (−1)m] , 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

) (4.18)

Pour chaque pulsation ω, les coe�cients de Fourier du déplacement le long desdeux bords de la coque raidie sont obtenus en résolvant le système d'équation 4.15 surl'intervalle fréquentiel [0,10000] Hz. Ces coe�cients sont évalués numériquement puisutilisés pour déterminer la réponse harmonique de la structure en θ=π/2 au niveaude la ligne moyenne du raidisseur. Le déplacement radial de ce point est ainsi donnépar l'expression suivante :

w(π

2

)=

n∑m=0

aw2m+1(−1)m (4.19)

où n désigne le nombre de termes de la série de Fourier utilisée. Ce nombre dépendessentiellement du type de chargement appliqué, ainsi pour un chargement antisymé-trique radial, dix termes su�sent pour obtenir un niveau de convergence acceptable,(voir �gure 4.10).

79


Figure 4.10 � In�uence du nombre de termes de la série de Fourier sur la réponseharmonique

La �gure 4.11 présente la confrontation MEF/MEC pour ce problème.

Figure 4.11 � Réponse harmonique suite à un chargement antisymétrique radial

80

4.3. FORMULATION PAR VARIATION D'ÉPAISSEUR

Cette �gure apporte un nouvel élément de validation de l'élément. La convergencedes réponses EF vers la réponse EC est clairement mise en évidence. En termes detemps de calcul, le gain est également signi�catif. Le tableau 4.4 donne les temps decalcul mesurés pour chacune des formulations évoquées. Ces temps correspondent autraitement de 1000 pas de fréquence sur un PC Pentium cadencé à 2,53 GHz.

Table 4.4 � Temps de réponse pour 1000 Fréquence

Modèles EF 2091 éléments 3111 éléments 5151 élémentsTemps de calcul(min) 21 40 81

Modèles EC 10 termes 20 termes 30 termesTemps de calcul(s) 5 10 15

Les résultats que l'on a choisi de présenter dans le cadre de ce mémoire ne sont quetrès partiels. Ils permettent simplement de présenter la méthodologie de validationde l'élément développé. L'ensemble des autres composantes de déplacement ont étévalidées de cette façon ce qui a permis de conclure quant à la précision et à l'e�cacitéde la méthode pour traiter de la réponse harmonique de ces structures.

4.3 Formulation par variation d'épaisseur

4.3.1 Géométrie de la structure de coque raidie

Dans cette partie, la formulation de la matrice de rigidité d'une coque raidieest menée d'une toute autre façon. L'idée est de considérer la coque raidie par nraidisseurs comme une coque dont l'épaisseur varie localement. Une discontnuité géo-métrique est introduite au niveau de chacun des raidisseurs (voir �gure 4.12).

81


Figure 4.12 � Coque axisymétrique raidie

La description géométrique et cinématique de cette structure a été détaillée auchapitre 3. Les n discontinuités d'épaisseur permettent de représenter l'in�uence den raidisseurs de section rectangulaire, (voir �gure 4.13).

Figure 4.13 � Surface moyenne de la coque raidie

82


Les raidisseurs sont caractérisés par une épaisseur hi et une longueur li. La coqueet les raidisseurs ne possèdent pas la même ligne moyenne, il s'agit donc de raidisseursexcentrés (voir �gure 4.14).

Figure 4.14 � La géométrie des discontinuités

4.3.2 Matrices de transfert dynamiques

La méthode de construction des matrices de raideurs dynamiques des coques axi-symétriques est basée sur la résolution d'un système di�érentiel satisfait par le vecteurd'état E dont les composantes sont à la fois des déplacements et des e�orts internes.Ce système a été présenté au chapitre précédent (voir équation 3.54). Sa résolutionnumérique a conduit à obtenir une matrice de transfert dynamique qui permet de re-lier les vecteurs d'état dé�nis sur les deux extrémités de la coque (voir equation 3.62).

On rappelle ici les composantes du vecteur d'état :

E = (u, v, w, β, βθ, Ns, Nθs, Ts,Ms,Mθs)

avec u, v, w les composantes du déplacements d'un point du feuillet moyen de la coqueselon la base locale, β et βθ sont les rotations de ce feuillet respectivement autour dees et eθ. Ns et Nθs sont les e�orts internes de traction, Ts est l'e�ort tranchant, Mset Mθs sont les moments de �exion.

Dans le cas d'une coque présentant des variations d'épaisseur, le principe retenuest de considérer cette structure comme un ensemble de coques axisymétriques as-semblées les unes aux autres. Pour chaque harmonique m, la matrice de transfertdynamique de l'ensemble est alors obtenue par multiplication des matrices de trans-fert élémentaires. Ainsi, la matrice de transfert dynamique relative à l'harmonique mde la coque dé�nie sur la �gure 4.14 est donnée par :

Tm =N∏k=1

T(k)m (4.20)

où T(k)m est la matrice de transfert dynamique de la k-ème coque relative à l'harmo-

nique m. Le calcul numérique de la k-ème matrice de transfert est mené à partir de

83


l'équation 3.61 écrite pour s = Lk, soit :

T(k)m = e

Li∫0

∆(k)m ds

(4.21)

∆(k)m est la matrice 10 × 10 dé�nissant le système di�érentiel 3.57. En réalité, dans le

cas de développements en série de Fourier trigonométriques, deux systèmes di�éren-tiels découplés sont établis suite à une partition des inconnues telle que celle présentéeà la section 4.2.2. Ces systèmes conduisent à deux séries de matrices notées ∆

(k)im pour

i=1,2 dont les expressions sont données par :

∆(k)im (s, ω) =

(Aks11 (s)− ω2Mks

11 −m2Cks11 (s) (−1)i+1mBks

12 (s)

(−1)imBks21 (s) Aks22 (s)− ω2Mks

22 −m2Cks22 (s)

)(4.22)

où Aksij (s) , Bksij (s),Mks

ij et Cksij représentent les parties symétriques et antisymétriques

des matrices Aks (s), Bks (s), Mks (s) et Cks (s) dé�nies en Annexe B.

4.3.3 Matrices de raideur dynamiques

Les matrices de raideur dynamiques symétriques et antisymétriques sont ensuitedéterminées à partir des matrices de transfert dynamiques globales Tm qui présentele produit des matrices de transferts élémentaires réécrite pour chacune des deuxcontributions, soit :

Kim =

(12T−1

im . 11Tim −12T−1im

−12T−Tim22T−1

im . 11Tim

)(4.23)

Les matrices Kim ne sont donc pas issues d'un simple assemblage de matrices deraideur élémentaires. La prise en compte des variations d'épaisseurs est réalisée auniveau des matrices de transfert.

4.3.4 Validation numérique

Propriétés géométriques et matérielles de la coque raidie

La validation des réponses harmoniques a été menée par comparaison des résultatsobtenus par la méthode des éléments continus avec ceux déterminés par la méthodedes éléments �nis. La structure étudiée est une coque raidie par deux raidisseurscirconférentiels. Les caractéristiques géométriques et matérielles sont données dans letableau 4.5 ci-dessous.

84



Rayon de courbure de la ligne moyenne R = 0.35 mLongueur de la coque L = 0.53mÉpaisseur de la coque h = 0.05mModule d'Young E = 2.1× 1011 PaCoe�cient de poisson ν = 0.3Masse volumique ρ = 7850 kg/m3

La �gure 4.15 présente la distribution des raidisseurs dans la coque :

Figure 4.15 � La géométrie des discontinuités

Trois types de chargements harmoniques sont appliqués sur la coque raidie enadoptant la condition libre-libre comme condition aux limites :

� Un chargement radial axisymétrique

� Un chargement radial antisymétrique.

� Un chargement concentré en un point de la ligne moyenne de la coque.

Ces di�érents chargements sont des e�orts dynamiques qui varient harmoniquementavec une amplitude constante.

Chargement radial axisymétrique

Un e�ort uniforme en valeur absolue dé�ni par unité de longueur est appliqué surla ligne moyenne (voir Figure 4.16).

85


Figure 4.16 � Pression radiale axisymétrique

La pression appliquée est symétrique par rapport à θ, elle est dé�nie analytique-ment par :

θ ∈ [0, 2π] fn (θ) = p (4.24)

Le développement en série de Fourier de cette densité d'e�ort est donnée par :

fn (θ) = fns0 +∞∑m=1

sfnm. cos (mθ) +∞∑m=1

afnm. sin (mθ) (4.25)

avec fn0 = P , sfnm = 0 et afnm = 0. Le système des vecteurs forces extérieures prendla forme suivante :

F10 = (0, 0, P, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)F1m = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)F2m = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

(4.26)

Pour chaque pulsation ω, les coe�cients de la série de Fourier du vecteur déplacementle long des deux bords de la coque raidie sont solutions des systèmes linéaires suivants :

[K1m (ω)] .U1m = F10

[K2m (ω)] .U2m = 0(4.27)

La résolution des systèmes 4.27 est déterminée pour une discrétisation de l'inter-valle de fréquences 0 et 20000 Hz, ce qui permet d'obtenir la réponse harmoniquede la structure. Les harmoniques du développement du Fourier sont déterminés pourchaque valeur de m puis sont rassemblés pour déterminer la réponse harmoniquesur le bord situé en s=0 et pour une position θ = 0 sur ce bord. Dans ce cas, seull'harmonique m = 0 intervient dans la réponse compte tenu du chargement, soit :

w = sw0 (4.28)

La validation des résultats numériques est menée en les comparant aux résultats élé-ment �nis. Le maillage éléments �nis est constitué d'éléments de coque à 8 noeuds

86


qui tiennent compte de l'inertie de rotation et des déformations de cisaillement. Lesréponses obtenues pour di�érentes �nesses de maillage et pour le modèle élémentscontinus peuvent être comparées sur la �gure 4.17.

Figure 4.17 � Réponse harmonique pour un chargement axisymétrique radial

La �gure 4.17 montre une excellente convergence des résultats éléments �nis versceux obtenus par l'élément continu développé. On note qu'il est nécessaire d'utiliserplus de 2500 éléments �nis de type coque à 8 noeuds pour atteindre la précision denotre formulation. Quelques remarques qualititatives concernant la réponse obser-vées :

� malgré des conditions libres, il n'est pas surprenant d'observer une réponse �nieau voisinage du cas statique (0 Hz) du fait de l'axisymétrie du problème.

� il n'a été introduit aucun amortissement dans les modèles présentés de manièreà pouvoir compare précisément les niveaux de réponse. L'introduction d'unamortissement structural est tout à fait possible par l'utilisation de modulescomplexes. La �gure 4.18 présente la réponse harmonique de cette structurepour di�érents niveaux d'amortissement.

87


Figure 4.18 � Réponse harmonique pour di�érents niveaux d'amortissement

Chargement antisymétrique radial

Le deuxième cas de chargement de validation est une pression antisymétrique parrapport à θ s'exerçant sur la ligne moyenne de la coque, au niveau de la base inférieuresupportant le premier raidisseur (voir �gure 4.19).

Figure 4.19 � Coque raidie soumise au chargement radial antisymétrique

88


L'e�ort est dé�ni analytiquement par :∀θ ∈ ]0, −π[ , fn (θ) = −p∀θ ∈ ]0, π[ , fn (θ) = pfn (0) = fn (π) = 0

(4.29)

Le développement en série de Fourier de ce chargement est donné par l'équationsuivante :

fn = fn0 ++∞∑m=1

sfnm cos (mθ) ++∞∑m=1


où fn0 = sfnm = 0 et afnm = 2pmπ

[1− (−1)m]. Le système des forces extérieures prendla forme suivante :

F1m = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)F2m = (0, 0, afnm, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

(4.31)

Pour chaque pulsation ω, les coe�cients de la série de Fourier du déplacement le longdes deux bords de la coque raidie sont solutions du système linéaire suivant :

[K1m (ω)] .U1m = 0[K2m (ω)] .U2m = F2m

(4.32)

Le déplacement radial est calculé en un point appartenant au feuillet moyen de lacoque située au niveau de l'abscisse s = 0 et en θ= π/2. La réponse est obtenue surl'intervalle de fréquences [0, 10000 ] Hz. Un seul élément continu est utilisé pour dixtermes de série de Fourier pris en compte.La �gure 4.20 présente les réponses obtenues par diverses modélisations EF et par lemodèle développé. Plusieurs niveaux de �nesse de maillage sont utilisés (960, 2500,6000 éléments �nis) de manière à s'assurer de la convergence des résultats.

Figure 4.20 � La réponse harmonique pour un chargement radial antisymétrique

89


Cette �gure 4.20 montre une très bonne convergence des résultats EF vers lesrésultats du modèle EC. Là encore, la nécessité d'a�ner fortement le maillage EF estmise en évidence.

Chargement concentré

Un troisième type de chargement est testé sur cette structure pour valider le mo-dèle EC, il s'agit d'un chargement ponctuel radial appliqué en un point du feuilletmoyen de la coque sur le bord localisé en s = 0 et en θ = 0 (voir �gure 4.21. Lesconditions aux limites sont libres et la réponse harmonique est déterminée au pointd'application de la charge.

Figure 4.21 � Chargement ponctuel radial en θ = 0

Ce chargement est donné mathématiquement par une expression impliquant ladistribution de Dirac :

fn (θ) = −Fδ (θ) (4.33)

La distribution δ de Dirac est telle que :

+∞∫−∞

δ (θ)ϕ (θ) dθ = ϕ (0) (4.34)

Le développement en série de Fourier du chargement appliqué est dé�ni par :

fn (θ) = fn0 +∞∑m=1

sfnm cos (mθ) +∞∑m=1


avec :

fn0 =1

2π

π∫−π

−F δ (θ) dθ =−F2π

(4.36)

90


sfnm =1

π

π∫−π

−Fδ (θ) cos (mθ) dθ =−Fπ

(4.37)

afnm =1

π

π∫−π

−Fδ (θ) sin (mθ) dθ = 0 (4.38)

Ce qui permet d'écrire :

fn (θ) =−F2π

+∞∑m=1

−Fπ

cos (mθ) (4.39)

Le système des e�orts extérieurs prend la forme suivante :F10 =

(0, 0, −F

2π, 0, 0, 0

)F1m =

(0, 0, −F

π, 0, 0, 0

)F2m = (0, 0, 0, 0, 0, 0)

(4.40)

et les systèmes à résoudre se réduisent à :{K1m.X1m = F1m

K2m.X2m = 0(4.41)

Après avoir calculé les solutions successives de l'équation 4.41, elles sont superposéesde manière à obtenir le déplacement du point souhaité selon :

w = sw0 +n∑

m=1

swm (4.42)

La réponse harmonique est déterminée pour la plage de fréquences [0, 5000] Hz. Ellea été validée par les réponses harmoniques issues des modélisations EF impliquantdes maillages identiques à ceux présentés précédemment (voir �gure 4.22).

91


Figure 4.22 � Réponse harmonique à un chargement ponctuel radial

Là encore, 6000 éléments �nis de coque et un temps de calcul très importantsont nécessaires pour atteindre la précision du modèle élément continu. 20 termes dedéveloppement en série de Fourier sont ici requis par notre formulation. Ce nombrea été déterminé par une étude de convergence des résultats (voir �gure 4.23).

Figure 4.23 � Etude de convergence vis à vis du nombre d'harmoniques de Fourierrequis

92

4.4. CONCLUSION

Analyse modale

La réponse harmonique d'un chargement concentré est utilisée pour évaluer lesfréquences propres de �exion de la structure. Elles sont déterminées en considérantles fréquences pour lesquelles la réponse non amortie devient in�nie. Le tableau 4.6donne les six premières fréquences propres obtenues par la MEC et la MEF.

Table 4.6 � Les fréquences de �exions

Fréquences Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 Mode 5 Mode 6MEC 328 Hz 442 Hz 897 Hz 1081 Hz 1669 Hz 1875 HzMEF (325 EF) 327 Hz 442 Hz 898 Hz 1082 Hz 1673 Hz 1879 HzMEF (960 EF) 327 Hz 442 Hz 897 Hz 1082 Hz 1670 Hz 1876 HzMEF (2500 EF) 327 Hz 442 Hz 897 Hz 1082 Hz 1670 Hz 1875 Hz

La bonne concordance de fréquences apporte un élément de validation supplémentaire.

4.4 Conclusion

Ce chapitre a permis de présenter le développement d'un élément de coque axi-symétrique raidie par des raidisseurs circonférentiels. Il s'agit du premier élémentcontinu de ce type développé. Deux approches ont été envisagées permettant de re-présenter les raidisseurs de façon plus ou moins précise. La formulation par couplagecoque/poutre met en euvre une modélisation permettant de prendre en compte desraidisseurs à section plus complexe comme les pro�lés. La seconde est plus adaptéeà des géométries de raidisseurs dont la section serait pleine. Il sagit d'une représen-tation simpli�ée du raidisseur par variation des caractéristiques géométriques de lacoque.

Les éléments de validation des modèles ont concerné l'ensemble des directions dechargement et de réponse. Il a été choisi de ne présenter que certains d'entre eux dansle cadre de ce mémoire.

Le chapitre qui suit présente le développement et la validation d'un élément decoque raidie par des raidisseurs longitudinaux.

93


94


de coque raidie par un raidisseur

longitudinal

95


de coque raidie par un raidisseur

longitudinal

5.1 Introduction

Dans ce chapitre, un deuxième type de couplage est traité. Il s'agit d'un couplageentre la coque axisymétrique et le raidisseur longitudinal. Cette approche consiste àréaliser un couplage entre la coque et la poutre au niveau des équations d'équilibrede chacune, a�n d'obtenir un système qui régit le mouvement d'une coque raidie. Audébut, on commence par une présentation non exhaustive de la structure de poutredroite de Timoshenko. Ensuite la procédure de couplage adoptée est détaillée. Eten�n, la formulation élément continu de coque raidie est présentée et validée par unecomparaison des réponses harmoniques produites avec celles issues de la modélisationéléments �nis.

5.2 Présentation des structures de poutres droitesde Timoshenko

5.2.1 Dé�nition de la géométrie

La géométrie de la poutre droite est dé�nie par une section constante S. La lignemoyenne est décrite par l'abscisse curviligne (s), elle possède une longueur assez im-portante par rapport aux dimensions transversales de la poutre. Une base (X,Y,Z)est dé�nie en chaque point de la ligne moyenne (voir �gure5.1).

Soit G(s) un point courant de la ligne moyenne. La position d'un point courantM de la section d'abscisse s est décrite par deux coordonnées η et ζ relativement aurepère principal d'inertie (G;Y,Z). La description paramétrique d'un point courantM est donnée par :

OM (s, η, ζ) = OG (s) + ηY (s) + ζZ (5.1)

97

CHAPITRE 5. DÉVELOPPEMENT D'UN ÉLÉMENT CONTINU DE COQUERAIDIE PAR UN RAIDISSEUR LONGITUDINAL

Figure 5.1 � Géométrie de la poutre droite de Timoshenko

La base (X,Y,Z) se confond avec la base de Frénet (t,n,b) dé�nie en tout point Gde la ligne moyenne, c'est à dire :

X(s) = t(s) =dOG

dsY (s) = n (s) Z = b = t ∧ n (5.2)

5.2.2 Hypothèses cinématiques

Il s'agit d'une poutre droite de Timoshenko caractérisée par les hypothèses sim-pli�catrices suivantes :

� Hypothèse des petits déplacements,� Hypothèse de �exion de Timoshenko,� Pas de gauchissement associé à la torsion de Saint-Venant.

En tenant comptes de ces hypothèses, le champ de déplacement est dé�ni en toutpoint M par :

U(s, η, ζ) = UG(s) + [θx(s)X(s) + θy(s)Y(s) + θZ(s)Z(s)] ∧GM (5.3)

d'où :U(s, η, ζ) = UG + (θyζ − θZη)X− ζθxY + ηθxZ (5.4)

Si on note us ; uη et uζ les composantes du vecteur UG sur la base (X,Y,Z) etθX , θY , θZ sont les rotations de la section d'abscisse s autour des directions X,Y,Zrespectivement. On obtient les composantes de U sur cette même base :

Us (s, η, ζ) = us (s) + ζθy (s)− ηθZ (s)Uη (s, η, ζ) = uη (s)− ζθX (s)Uζ (s, η, ζ) = uζ (s) + ηθX (s)

(5.5)

5.2.3 Loi de comportement

La poutre est une structure caractérisée par un module d'Young E, un coe�cientde poisson ν, un module de cisaillement G et une masse volumique ρ. En tenant

98

5.2. PRÉSENTATION DES STRUCTURES DE POUTRES DROITES DETIMOSHENKO

compte de l'hypothèse de l'élasticité linéaire isotrope, le tenseur de contrainte deCauchy s'écrit par :σ = E

1+νε+ ν

1+νI.

En tenant en compte de l'hypothèse de Saint-Venant qui consiste à dire que loin del'application des charges, le tenseur des contraintes est de la forme :

[σ] =

σss σsη σsζσsη 0 0σsζ 0 0

(X,Y,Z)

(5.6)

Ce qui permet d'obtenir :σss = Eεss = E.

(dusds


ds

)σsη = E

1+νεsη = 2Gεsη = G.

(−θZ + duη

ds− ζ dθX

ds+ ∂us

∂η+ ζ ∂θy

∂η

)σsζ = E

1+νεsζ = 2Gεsζ = G.

(duζds

+ η dθXds

+ θY − η ∂θz∂ζ + ∂us∂ζ

) (5.7)

5.2.4 Relations e�ort-déplacement

Les e�orts internes sont dé�nis par unité de longueur selon les expressions sui-vantes :

� L'e�ort normale N =∫S

σssdS = E.S.dusds.

� Les e�orts tranchants Ty =∫S

σsηds = G.S.ky

(−θz + duη

ds

)et Tz =

∫S

σsζds =

G.S.kz

(θy +

duζds

).

� Le moment de torsion : MX =∫S

ησsζ − ζσsηdS = G.I0.dθxds.

� Les moments de �exion : MY =∫S

ζσssdS = E.Iy.dθyds

et MZ =∫S

−ησssdS =

E.Iz.dθzds.

Avec ky et kz représentent les coe�cients de corrections du cisaillement transverse ouappelés encore coe�cients de Timoshenko. I0 est le moment d'inertie de la poutre, Iyet Iz sont les moments quadratiques de la section selon y et z respectivement.

5.2.5 Equation de mouvement

Les équations de mouvement d'une poutre droite de Timoshenko sont donnéespar le système suivant [62]

dNds

= ρSus − fsdTyds

= ρS uη − fηdTzds

= ρS uζ − fζdMx

ds= ρI0 θx −ms

dMy

ds= ρIy θy + Tz −my

dMz

ds= ρIz θz − Ty −mz

(5.8)

99


En remplaçant les e�orts internes par leurs expressions, on obtient :

E.S dusds

= ρSus − fsG.ky.S

(−dθz

ds+ d2uη

ds2

)= ρS uη − fη

G.kz.S(dθyds

+d2uζds2

)= ρS uζ − fζ

G.I0d2θxds2

= ρI0 θx −ms

EIyd2θyds2

= ρIy θy +G.S.kz

(θy +

duζds

)−my

EIzd2θzds2

= ρIz θz −G.S.ky(−θz + duη

ds

)−mz

(5.9)

5.3 Elément continu de coque raidie par un raidis-seur longitudinal

5.3.1 Formulation de l'équation de mouvement d'une coqueraidie par un raidisseur longitudinal

Le but de cette section est d'établir une relation au niveau des équations d'équi-libre de la coque et celles du raidisseur. L'action du raidisseur sur la coque est assimiléeà une charge répartie appliquée sur toute la longueur de la coque comme s'est illustréà la �gure 5.2.

Figure 5.2 � Action du raidisseur sur la coque

Si on suppose qu'en couplant ces deux structures, on aura des actions et des

100

5.3. ELÉMENT CONTINU DE COQUE RAIDIE PAR UN RAIDISSEURLONGITUDINAL

réactions qui vont apparaître. D'une part le système d'équilibre du raidisseur devient :

dNds

= ρSus − f c→rsdTyds

= ρS uη − f c→rηdTzds

= ρS uζ − f c→rζdMx

ds= ρI0 θx −mc→r

sdMy

ds= ρIy θy + Tz −mc→r

ydMz

ds= ρIz θz − Ty −mc→r

z

(5.10)

D'autre part, l'action du raidisseur sur la coque est assimilée à un chargement répartiappliqué sur toute la longueur de la coque. Ainsi le système exprimant les équationsd'équilibre de la coque sera dé�ni par :

∂Ns∂s

+ ∂Nsθ∂θ− Ts = ρmu− ρmf βθ − hf r→cs

∂NθR∂θ

+ ∂Nθs∂s− Tθ

R= ρmv + ρmf β − hf r→cθ

∂Ts∂s

+ ∂TθR∂θ

+ NθR

+Ns = ρmw − hf r→cz∂Ms

∂s+ ∂Msθ

R∂θ− Ts = ρmf u+ ρf βθ + h3

12Rmr→cs

∂Mθ

R∂θ+ ∂Mθs

∂s− Tθ = ρmf v − ρf β − h3

12Rmr→cθ

(5.11)

Tel que f r→c présente l'action du raidisseur sur la coque et f c→r présente l'action de lacoque sur le raidisseur. SoitE le vecteur d'état dé�ni par :E = (u, v, w, β, βθ, Ns, Nθs, Ts,Ms,Mθs)et f le vecteur des forces réparties sur la coque dé�ni par :

f =(

0, 0, 0, 0, 0,−hf r→cs ,−hf r→cθ ,−hf r→cz , h3

12Rmr→cs ,− h3

12Rmr→cθ

).

Le système 5.11 est exprimé par :

∂E

∂s= M

∂2E

∂t2+ A (s)E +B (s)

∂E

∂θ+ C (s)

∂2E

∂θ2+ f (5.12)

Avec A, B, C et M sont des matrices 10× 10 dé�nies en annexe B. La résolution del'équation 5.12 est basée sur les développements en série de Fourier complexes du faitde leur 2π périodicité. Par conséquent les dérivées par rapport à θ sont supprimées. Levecteur d'état et le vecteur des forces extérieures s'expriment sous la forme suivante :

E (s, θ, ω) =m=+∞∑m=−∞

Em (s, ω) eimθ (5.13)

f =m=+∞∑m=−∞

fm eimθ (5.14)

Ainsi l'équation 5.12 devient :

∂Em∂s

=[A (s)− ω2

M].Em + (i)×m.B (s) .Em −m2C (s) .Em + fm (5.15)

Avec fm la charge exercée par le raidisseur sur la coque. En e�et cette action est unecharge répartie qui s'exerce sur la surface limitée par la longueur et la largeur de la

101


Figure 5.3 � Chargement réparti appliqué par le raidisseur sur la coque

poutre. La répartition de cette force peut être dé�nie par la fonction représentée dansla �gure 5.3, telle que e représente la largeur de la poutre.

Le développement en série de Fourier complexe de la fonction présentée par la�gure 5.3 est donné par :

fm =1

2π

+π∫−π

f r→c. e−imθdθ =1

2π

θ2∫

− θ2

f r→c. e−imθdθ

(5.16)

D'après la �gure 5.3 le raidisseur est placé en θ = 0 de la coque, ainsi la valeur de−θ/2 et θ/2 correspondent à −e/2R et e/2R. Avec R est le rayon de la coque. Ledéveloppement en série de Fourier prend la forme suivante :

fm =1

2π

e2R∫

− e2R

f r→c e−imθdθ =f r→c

2πsin c

(me2R

)(5.17)

Ainsi l'équation 5.15 prend la forme suivante :

∂Em∂s

=[A (s)− ω2

M].Em + (i)×m.B (s) .Em −m2C (s) .Em +

f r→c

2πRsin c

(me2R

)(5.18)

Pour maintenir l'équilibre entre les deux structures étudiées, il faut que f r→c =−f c→r.

102

5.3. ELÉMENT CONTINU DE COQUE RAIDIE PAR UN RAIDISSEURLONGITUDINAL

D'après les système 5.11 et 5.10, on obtient :f r→cs = −f c→rs = dN

ds− ρSus

f r→cθ = −f c→rη = dTyds− ρS uη

f r→cz = −f c→rζ = dTzds− ρS uζ

mr→cs = −mc→r

s = dMx

ds− ρI0 θx

mr→cθ = −mc→r

y = dMy

ds− ρIy θy + Tz

(5.19)

En insérant les équations du système 5.11 dans le système 5.19,on obtient les équationsd'équilibre du système couplé dont les quelles interviennent les caractéristiques de lacoque axisymétrique et de la poutre droite :

∂Ns

∂s= c

(ρh+ ρS + ρ d.h3

12R2

)u−

(ρ h3

12R(1− d)

)βθ

−∂2u∂θ2

(K(1−ν)

2R2

(1− K

b

)+ d

(νK2

R2b− KνD

R4b− D(1−ν)

2R4

(1− K

b

)))−∂2βθ

∂θ2

(D(1−ν)(1−K

b )2R3 + d

(νKDR3b− νD

R3

(1 + D

R2b

)+ D2(1−ν)

2R5b

))−∂Nθs

∂θ

(KRb− d

(2νK

Rb(1−ν)+ 2νD

R3b(1−ν)− D

R3b

))−∂Mθs

∂θ

(KR2b− d

(2νK

R2b(1−ν)− 2ν

R2(1−ν)

(1 + D

bR2

)+ 1

R2

(1 + D

R2b

)))−d(

νKRkGh

+ 1R

)Ts + dνK

Rβθ

(5.20)

∂Nθs

∂s= q

ρ(h+ h

2πRsin c

(me2R

).S + n.h3

6bR2(1−ν)

).v − ρ

(h3

12R+ n.h3

6bR(1−ν)

)βθ

−∂w∂θ

(K2ν2

R− K

R− kGh

R2 + n(− νK2

R2b2− νKD

R4b2− 2

Rb(1−ν)

(ν2Kb− 1)

+ 2kGhR2b(1−ν)

))−∂2v∂θ2

(KR2 − K2ν2

R2 + n(νKDR4b2

+ νK2

R2b2− 2D

R4b(1−ν)

(1− ν2K

b

)))−∂2βθ

∂θ2

(DR3 − ν2KD

R2 + n(νKDR3b

+ DR2

(νR

+ νDR3b2

)− 2D

R3b(1−ν)

(1− ν2 − ν2D

Rb

)))−∂Ns

∂θ

(KνR

+ n(− KRb2− D

R2b2− 2νD

R3b2(1−ν)

))−∂Ms

∂θ

(KνR2 + n

(− KR2b2− D

R2

(1D

+ 1R2b2

)− 2νD

R2b(1−ν)

(1D

+ 1R2b

)))+v(kGhR2 − 2nkGh

R2b(1−ν)

)+ βθ

(kGhR− 2nkGh

Rb(1−ν)

)

(5.21)

∂Ts∂s

= g

ρhw − kGh

R2∂2w∂θ2− ∂v

∂θ

(kGhR2 + K

R2

(1− Kν

b

)+ p νK

R2b

)−∂βθ

∂θ

(kGhR

+ DR3

(1− ν2K

b

)+ p

(νDR3b

+ νR

))+w

(2pRb− Kν

Rb

)+Ms

(p(

1D

+ 1R2b

)− Kν

R2b

)− 2

(1−ν)

(1D

+ 1R2b

)Mθs

− 2Rb(1−ν)

Nθs − KR2b

∂us∂θ−(DR2b

+ 1R

)∂βθ∂θ

(5.22)

103


∂Ms

∂s= c1

−ρ(

h3

12R+ d1h

Rb

)u+ ρ

(h3

12+ I0.h3

24πRsin c

(me2R

)+ d1h3

12R2b

)β + Ts

(1− d1νK

R2bkGh

)+ d1νK

R2bβ

−∂Nθs∂θ

(DR2b

+ d1

(− 2νK

(1−ν)R2b− K

R2b2−(νDR3b

+ νR

)2

Rb(1−ν)

))−∂Mθs

∂θ

((1R

+ DR3b

)+ d1

(− 2νKR3b(1−ν)

− KR3b2− 2

(1−ν)

(νDR3b

+ νR

) (1D

+ 1R2b

)))−∂2u∂θ2

(D(1−ν)

2R3

(1− K

b

)+ d1

(νK2

R3b2− K(1−ν)

2R3b

(1− K

b

)+(νDR3b

+ νR

)KR2b

))−∂2βθ

∂θ2

(D2(1−ν)

2R4b− d1

(DνKR4b2− D(1−ν)

2R4b

(1− K

b

)+(νDR3b

+ νR

) (DR3b

+ 1R

)))

(5.23)

∂Mθs

∂s= p1

−ρ(

h3

12R+ 2n1

Rb(1−ν)

)+ ρ

(h3

12+

Iyh3 sin c(me2R )24πR2 + 2n1h3

12R2b(1−ν)

)βθ

+kGhR

(1− 2n1

Rb(1−ν)

)v + kGh

(1− 2n1

Rb(1−ν)

)βθ

−∂w∂θ

(ν2KDR3b− D

R3 − kGhR

+ n1(− νK2

R3b2+ νK

R2b− 2

Rb(1−ν)

(K2ν2

R2b− K

R2

)− kGh

R

))−∂Ns

∂θ

(DνR2b

+ n1(− KR2b2−(DR3b

+ 1R

)1Rb− 2

Rb(1−ν)νKRb

))−∂Ms

∂θ

(νR

+ DνR3b

+ n1(− KR3b2

+(DR3b

+ 1R

) (1D

+ 1R2b

)− 2νK

R3b(1−ν)

))−∂2v∂θ2

(DR3 − ν2DK

R3b+ n1

(νK2

R3b2+(DR3b

+ 1R

)νKR2b− 2

R(1−ν)

(KR2 − K2ν2

R2b

)))−∂2βθ

∂θ2

(DR2 − ν2D2

R4b− ν2D

R2 + n1(νKDR4b2

+(DR3b

+ 1R

) (νDR3b

+ νR

)− 2

Rb(1−ν)

(DR3 − KDν2

R3b

)))

(5.24)

L'équation 5.16 prend la forme suivante :

∂Em∂s

=[AR (s)− ω2

MR

].Em + (j)×m.BR (s) .Em −m2CR (s) .Em (5.25)

Avec MR, AR, BR et CR présentent des matrices 10× 10 qui contiennent les carac-téristiques de la structure de coque raidie par un raidisseur longitudinal et qui sontprésentées à l'annexe C. Ce système peut s'écrire sous la forme généralisée suivante :

∂Em

∂s= ∆m (s, ω) .Em (5.26)

La résolution du système 5.25, a été faite en utilisant la méthode de matrice detransfert présentée au chapitre 3 et qui nécessite la détermination de la matrice detransfert notée[Tm (s→ s′, ω)]. Cette méthode de résolution conduit à la constructionde la matrice de rigidité dynamique de la coque raidie qui est obtenue par manipula-tion matricielle, ce qui permet d'obtenir la relation suivante :

Km (ω) .Xm = Fm (5.27)

104


Avec Km est la matrice de rigidité dynamique donnée par l'expression suivante :

Km (ω) =

(Tm12(ω)−1.Tm11 (ω) Tm12(ω)−1

−Tm12(ω)−T Tm22(ω)−1.Tm11(ω)−1

)(5.28)

5.4 Validation du modèle

5.4.1 Propriétés géométriques et matérielles

La validation numérique de l'élément continu de coque raidie par un raidisseurlongitudinal est menée en comparant les résultats obtenus par la MEC avec ceuxobtenus par la Méthode des Eléments Finis. La structure est modélisée par un seulélément continu. Les réponses harmoniques sont déterminées pour une con�gurationlibre-libre en appliquant un chargement concentré sur la structure. L'élément étudiéest une coque raidie par un raidisseur longitudinal ayant les propriétés géométriqueset matérielles suivantes


Diamètre de la coque R = 0.1855 mEpaisseur de la coque h = 0.01mLongueur de la coque L = 0.1mEpaisseur du raidisseur e = 0.02mLes moments d'inerties du raidisseur Iy = Iz = 1.33× 10−8 m4

Moment d'inertie polaire du raidisseur I0 = 2.66× 10−8 m4

Les constantes de cisaillement transversale ky = kz = 0.833Module d'Young E = 2.1× 1011 PaCoe�cient de poisson ν = 0.3Masse volumique ρ = 7850 kg/m3

5.4.2 Réponse harmonique

La coque raidie est soumise à un chargement ponctuel radial appliqué en θ = 0de la coque (voir �gure 5.4).

Le chargement appliqué est un chargement ponctuel radial, la seule composantenon nulle de ce chargement est fz. Ce chargement est donné mathématiquement parune expression impliquant la distribution de Dirac :

fz (θ) = −Fδ (θ) (5.29)

Avec δ (θ) est l'impulsion de Dirac dé�nie par :+∞∫−∞

δ (θ)ϕ (θ) dθ = ϕ (0) (5.30)

105


Figure 5.4 � Coque raidie soumis à un chargement ponctuel

Le développement en série de Fourier complexe du chargement ponctuel est donnépar :

fz =m=+∞∑m=−∞

fm eim θ (5.31)

Avec

fm =1

2π

π∫−π

F. δ (θ) e−im θ dθ =F

2π(5.32)

Le système des vecteurs des e�orts extérieurs prend la forme suivante :{Fm =

(0, 0, F

2π, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

)(5.33)

Le développement en série du déplacement du point situé en θ = 0 est calculé à partirdes solutions de 5.27 successives selon l'expression 5.34.

w =n∑

m=−n

wm (5.34)

La validation de la réponse harmonique obtenue par la MEC est menée en lacomparant avec celle obtenue par la MEF. La réponse harmonique est déterminéepour des fréquences situées sur l'intervalle [0, 10000] Hz. La �gure 5.5 rassemble lesréponses obtenus.

106


Figure 5.5 � Réponse harmonique de la coque raidie

En comparant les courbes présentées à la �gure 5.5, on note une bonne conver-gence entre les résultats EF et les résultats du modèle développé par la MEC surtoutlorsque le maillage s'a�ne. La nécessité d'un maillage su�samment �n en ce quiconcerne la méthode des éléments �nis est mis en évidence. Cette constatation estsignalée dans l'interprétation de tous les résultats qui �gurent dans cette thèse.

Le nombre de termes du développement est augmenté progressivement de manièreà s'assurer de la convergence de la solution. En e�et dans ce cas là il nous a fallu 20termes pour obtenir la meilleure convergence (voir �gure 5.6).

107


Figure 5.6 � Convergence des termes des séries de Fourier

5.5 Conclusion

Ce chapitre permet de fournir une présentation détaillée de la formulation de lamatrice de rigidité dynamique de la coque axisymétrique raidie par un raidisseurlongitudinal. La validation de la formulation présentée est faite en déterminant laréponse harmonique obtenue suite à l'application d'un chargement concentré et en lacomparant avec celle obtenue par la MEF.

108

Conclusion générale et perspectives

109

Conclusion générale et perspectives

La méthode des éléments �nis présente jusqu'à aujourd'hui la méthode la plususitée pour l'analyse des structures vibratoires. Néanmoins, la précision des résultatsobtenus est conditionnée par la �nesse du maillage et le choix des fonctions d'inter-polation. Ceci pose un problème lorsque la discrétisation du domaine est corrélée àla gamme de fréquences d'étude. Nous avons présenté dans ce travail de recherche laméthode des éléments continus qui est une alternative à la méthode des éléments �niset qui est basée sur les solutions quasi-exactes des équations d'équilibres. Le noyau decette approche est la matrice de raideur dynamique, fonction de la fréquence et reliantle vecteur d'e�orts généralisés au vecteur de déplacements généralisés. La précisiondes résultats ne dépend que du nombre de termes pris en compte dans les sériesexprimant les solutions de l'équation du mouvement de la structure étudiée. Dansce travail, la méthode des éléments continus a été appliquée aux structures de typecoque raidie selon la formulation de Reissner/Mindlin. Deux con�gurations ont étéenvisagées : le couplage d'une coque axisymétrique par des raidisseurs circonférentielspuis par des raidisseurs longitudinaux. Pour le premier type de couplage, la construc-tion de la matrice de raideur dynamique a été menée en utilisant deux approchesdistinctes. La première suppose que la coque raidie est une structure complexe quinécessite le couplage de deux éléments continus : l'élément de coque axisymétriquequi a été l'objet d'un travail antérieur et l'élément de poutre circulaire de Timo-shenko qui a été développé dans le cadre de cette thèse. Les courbes de réponsesharmoniques obtenues sont conformes à celles attendues par la méthode des éléments�nis selon la formulation de Mindlin. La seconde approche consiste à considérer lesraidisseurs ciconférentiels successifs comme autant de discontinuités d'épaisseur de lacoque. Là encore, les réponses harmoniques obtenues concordent avec celles issues demodélisations éléments �nis mettant en euvre ce principe. Ces résultats permettentde montrer que la méthode décrite ici permet de s'a�ranchir des problèmes de �nessede maillage.

Le deuxième type de couplage consiste à étudier la structure constituée d'unecoque axisymétrique et d'une poutre droite comme une seule et unique structure. Lamatrice de rigidité dynamique obtenue intègre les deux sous-structures. Les courbesde réponses sont validées vis à vis de celles obtenues par les modèles élémens �niséquivalents. Nous avons mis en évidence la convergence de ces derniers vers ceuxbtenus par l présente formulation. Les courbes de réponses con�rment la validationde la méthode. En conclusion, nous avons pu montré que la méthode des élémentscontinus appliquée aux coques raidies constitue une approche e�cace pour l'étude du

111

CONCLUSION GÉNÉRALE ET PERSPECTIVES

comportement dynamique de ces structures.Perspectives

Les perspectives de développements de la méthode des éléments continus entrentdans le cadre de :

� la continuation des développements élémentaires pour les structures complexestelles que les plaques sandwich, les plaques raidies, les coques multicouches .....

� l'exploration d'un nouvel axe, qui concernerait l'optimisation des structures.L'utilisationde modèles éléments continus dans des processus d'optimisations pour lesquellesle nombre de pas de calcul est important peut être un avantage pour la di�usionde cette méthode.

112

Annexes

113

Annexes

Annexe A

Matrices intervenant dans l'équation d'équilibre de l'anneau (Chapitre2)

[A] =

(A11 00 A22

)(35)

Avec

A11 =

HcyR2 0 −Hcy

R

0 a22 0

−HcyR

0 HcyR

A22 =

HmR2 0 00 0 0

0 0HfyR2

(36)

Avec a22 =(−2HcT

R+Hcz + HT

R2

)B =

(B12 00 B21

)(37)

Avec

B12 =

(HmR2 + Hcy

R2

)0 0

0(−HcT

R2 + HczR

)−(HfyR2 + HT

R2 − HCTR

)(−Hmf

R2 − HcyR

)0 0

(38)

et

B21 =

−(HmR2 + Hcy

R2

)0

(HmfR2 + Hcy

R

)0 −

(HczR− HCT

R2

)0

0(HfyR2 + HT

R2 − HcTR

)0

(39)

[C] =

(C11 00 C22

)(40)

Avec

C11 =

−HmR2 0

HmfR2

0 −HfyR2 0

HmfR2 0 −Hfz

R2

C22 =

−HcyR2 0 00 −Hcz

R2 −HcTR2

0 −HcTR2 −HT

R2

(41)

115

ANNEXES

[M ] =

(M11 0

0 M22

)(42)

M11 =

Mm 0 −Mmf

0 Mfy 0−Mmf 0 Mfz

M22 =

Mm 0 00 Mm Mmf

0 Mmf MT

(43)

116

Annexe B

Matrices intervenant dans l'équation d'équilibre de la coque (Chapitre 3 )

[Ac] = a

0 0 KRν 0 0 R2 0 0 R 0

0 0 0 0 0 0 2R2

1−ν 0 0 2R1−ν

0 0 0 a34 0 0 0 a38 0 0

0 0 Kν 0 0 R 0 0 KR2

D0

0 0 0 0 0 0 2R1−ν 0 0 a510

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 a72 0 0 a75 0 0 0 0 00 0 a83 0 0 −KνR 0 0 0 00 0 0 0 0 0 −a34 0 0 00 a102 0 0 a105 0 0 0 0 0

(44)

Avec a = 1KR2−D , a102 =

kGh(KR2−D)R

, a105 = kGh (KR2 −D), a83 = K2 (1− ν2) −KDR2 , a72 =

kGh(KR2−D)R2 , a75 =

kGh(KR2−D)R

, a34 = −KR2 + D,a38 = KR2−DkGh

, a510 =2KR2

(1−ν)D.

[Bc] = a

0 −KRν 0 0 −νD 0 0 0 0 0−KR 0 0 −D 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 −Kν 0 0 −Kν 0 0 0 0 0−K 0 0 −KR 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 −KR 0 0 −K0 0 −B57 0 0 −KRν 0 0 −Kν 00 B57 0 0 B58 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 −D 0 0 −KR0 0 −B58 0 0 −Dν 0 0 −KRν 0

(45)

Avec B57 = K2 (ν2 − 1)+KDR2 − kGh

R2 (KR2 −D), B58 = KDR

(ν2 − 1)− kGhR

(KR2 −D)+D2

R3 .

[Cc] =1

KR2 −D

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0c61 0 0 c62 0 0 0 0 0 00 c72 0 0 c75 0 0 0 0 00 0 c83 0 0 0 0 0 0 0c91 0 0 c94 0 0 0 0 0 00 c102 0 0 c105 0 0 0 0 0

(46)

117

ANNEXES

Avec c61 = KD(1−ν)2R2 , c62 = D2(1−ν)

2R3 , c72 = K2 (ν2 − 1) + KDR2 , c75 = KD

R2 (ν2 − 1) + D2

R3 ,

c83 = −kGh(KR2−D)R2 , c91 = D2(1−ν)

2R3 , c102 = KDR

(ν2 − 1) + D2

R3 , c94 = D2(1−ν)2R2 , c105 =

KD (ν2 − 1) + D2

R2

[Mc] =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

ρh 0 0 − ρh3

12R0 0 0 0 0 0

0 ρh 0 0 − ρh3

12R0 0 0 0 0

0 0 ρh 0 0 0 0 0 0 0

− ρh3

12R0 0 ρh3

120 0 0 0 0 0

0 − ρh3

12R0 0 ρh3

12R0 0 0 0 0

(47)

Matrices intervenant dans l'équation du mouvement de la coque raidie(chapitre 4)

A =

(Aks11 0

0 Aks22

)(48)

Aks11 =1

KR2 −D

0 KRν 0 R2 0 R

0 0 −KR2 +D 0 KR2−DkGh

0

0 Kν 0 R 0 KR2

D

0 0 0 0 0 00 K2 (1− ν2)− KD

R2 0 −KνR 0 −Kν0 0 0 0 KR2 −D 0

(49)

Aks22 =1

KR2 −D

0 0 2R2

1−ν2R

1−ν0 0 2R

1−ν2KR2

(1−ν)DkGh(KR2−D)

R2

kGh(KR2−D)R

0 0kGh(KR2−D)

RkGh (KR2 −D) 0 0

(50)

B =

(0 Bks

12

Bks21 0

)(51)

Bks12 =

1

KR2 −D

−KRν −νD 0 0

0 0 0 0−Kν −KRν 0 0

0 0 −KR −KB57 B58 0 00 0 −D −KR

(52)

118

Bks21 =

1

KR2 −D

−KR 0 −D 0 0 0−K 0 −KR 0 0 0

0 −B57 0 −KRν 0 −Kν0 −B58 0 −Dν 0 −KRν

(53)

C =

(Cks

11 00 Cks

22

)(54)

Cks11 =

1

KR2 −D

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

KD(1−ν)2R2 0 D2(1−ν)

2R3 0 0 0

0 −kGh(KR2−D)R2 0 0 0 0

D2(1−ν)2R3 0 D2(1−ν)

2R2 0 0 0

(55)

Cks22 =

1

KR2 −D

0 0 0 00 0 0 0

K2 (ν2 − 1) + KDR2

KDR2 (ν2 − 1) + D2

R3 0 0KDR

(ν2 − 1) + D2

R3 KD (ν2 − 1) + D2

R2 0 0

(56)

M =

(Mks

11 00 Mks

22

)(57)

Mks11 =

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

ρh 0 − ρh3

12R0 0 0

0 ρh 0 0 0 0

− ρh3

12R0 ρh3

120 0 0

(58)

Mks22 =

0 0 0 00 0 0 0

ρh − ρh3

12R0 0

− ρh3

12Rρh3

12R0 0

(59)

La matrice de permutation P est donnée par :

P =

0 0 0 1 01 0 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 10 1 0 0 0

(60)

119

ANNEXES

Annexe C

Matrice intervenant dans l'équation d'équilibre de la coque raidie par unraidisseur longitudinal (Chapitre 5).On dé�nit les constantes suivantes :

d =ES.e. sin c(m.e2R )

a.π.2.R, c = 1

1+d.

t =e. sin c(m.e2R )

2πR.

p =GSkze sin c(m.e2R )

2πR, g = 1

1+ pkGh

.

n =GSky .e. sin c(m.e2R )

2πR.a, q = 1

1+ 2n(1−ν)

.

d1 =G.J.e. sin c(m.e2R )

2πR, c1 = 1

1+d1( 1D

+ 1Ra)

.

n1 =EIy .e. sin c(m.e2R )

2πR, p1 = 1

1+n1

(2

D(1−ν)+ 2R2.a.(1−ν)

) .

[AR] =

0 0. KRνa

0 0 R2

a0 0 R

a0

0 0 0 0 0 0 2R2

a(1−ν)0 0 2R

a(1−ν)

0 0 0 −KR2+Da

0 0 0 KR2−Da.kGh

0 0

0 0 Kνa

0 0 Ra

0 0 KR2

aD0

0 0 0 0 0 0 2Ra(1−ν)

0 0 2KR2

a(1−ν)D

0 0 0 A64 0 0 0 A68 0 00 A72 0 0 A75 0 0 0 0 00 0 A83 0 0 A86 0 A88 0 00 0 A93 0 0 0 0 A98 0 00 A102 0 0 A105 0 0 0 0 0

(61)

Avec A64 = −c ∗ dνKR, A68 = −c ∗ d

(νKRkGh

+ 1R

),

A72 = q(kGhR2 − 2nkGh

R2(1−ν)

),

A75 = −g(KR2

(Kν2

b− 1)− pKν

R2b

),

A83 = −g(KR2

(Kν2

b− 1)− pKν

R2b

),

A86 = − gRb

(Kν − p),A88 = −g

(KνR2b− p

(1D

+ 1R2b

)),

A93 = c1d1νKR2b

,A98 = c1

(1− d1νK

R2bkGh

),

A102 = p1R

(kGh− 2n1kGh

b(1−ν)

),

120

A105 = p1

(kGh− 2n1kGh

Rb(1−ν)

).

[BR] =

0 −KRνa

0 0 −νDa

0 0 0 0 0−KRa

0 0 −Da

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 −Kν

a0 0 −KRν

a0 0 0 0 0

−Ka

0 0 −KRa

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 B67 0 0 B610

0 0 B73 0 0 B76 0 0 B79 0gpKR2b

B82 gp(DR3b− 1

R

)0 B85 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 B97 0 0 B910

0 0 B103 0 0 B106 0 0 B109 0

(62)

Avec B67 = −c(d(− 2νKRb(1−ν)

− 2νDR3b(1−ν)

− DR3b

)+ K

Rb

).

B610 = −c(d(−2νK

R2b(1−ν)− 2νD

R2(1−ν)

(1 + D

R2b

)− 1

R2 − DR4b

)+ K

R2b

).

B73 = −q(−kGhR2 − K

R2 + K2ν2

R2b+ n

(−νK2

R2b− νKD

R4b− 2

R(1−ν)

(−kGhR

+ ν2KD2

R3b− D

R3

))).

B76 = −q(KνRb

+ n(−DR3b− K

Rb− 2νD

R3b(1−ν)

)).

B79 = −q(KνR2b

+ n(−KR2b− 1

R2 − DR4b− 2

R(1−ν)

)).

B82 = −g(kGhR2 + K

R2 − ν2K2

bR2 + pKνbR2

).

B85 = −g(kGhR

+ DR3

(1− ν2K

b

)− pν

(DR3b− 1

R

)).

B97 = −c1

(DR2b

+ d1

(−2νK

(1−ν)R2b2− K

R2b2− 2R

b(1−ν)

(νDR3b

+ νR

))).

B910 = −c1

(1R

+ DR3b

+ d1

(−2νK

R3b2(1−ν)− K

R3b2− 2

(1−ν)

(νDR3b

+ νR

) (1D

+ 1R2b

))).

B103 = −p1

(ν2KDR3b− D

R3 − kGhR

+ n1

(−νK2

R3b2− νK

R2b

(DR3b

+ 1R

)− 2

Rb(1−ν)

(K2ν2

bR2 − KR2 − kGh

R

))).

B106 = −p1

(DνR2b

+ n1

(−KR2b2− D

R4b− 1

R2b− 2Kν

R2b2(1−ν)

)).

B109 = −p1

(νR

+ DνR3b

+ n1

(−KR3b2−(DR3b

+ 1R

) (1D

+ 1R2b

)− 2Kν

R3b2(1−ν)

)).

[CR] =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0C61 0 0 C64 0 0 0 0 0 00 C72 0 0 0 0 0 0 0 00 0 −g

(kGhR2

)0 0 0 0 0 0 0

C91 0 0 C94 0 0 0 0 0 00 C102 0 0 C105 0 0 0 0 0

(63)

Avec C61 = −c(

d2R4

((K2νR2b

)+ KνD

R4b−(D (1− ν)

(1− K

b

)))+

K(1−ν)(1−Kb )

2R2

).

121

BIBLIOGRAPHIE

C64 = −c(d

(νKDR3b

+

(νD(1+ D

R2b)

R3

)+ D2(1−ν)

2R5b

)+

D(1−ν)(1−Kb )

2R3

).

C72 = −q(KR2 − K2ν2

R2b+ n

(νK2

R2b+ νKD

R4b−(

2R(1−ν)

(DR3 − ν2KD

R3b

)))).

C91 = −c1

(D(1−ν)(1−K

b )2R3 + d1

(νK2

R3b2− K(1−ν)(1−K

b )2R3b

+

(K

( νDR3b

+ νR)

R2b

))).

C94 = c1

(D2(1−ν)

2R4b− d1

(DνKb2R4 −

D(1−ν)(1−Kb )

2R4 +(νDR3b

+ νR

).(DR3b

+ 1R

))).

C102 = −p1

(DR2 − ν2DK

R2b+ n1

(νK2

R3b2+ νK

R2b

(DR3b

+ 1R

)− 2

Rb(1−ν)

(KR2 − K2ν2

R2b

))).

C105 = −p1

(DR2 − ν2D2

R4b− ν2D

R2 + n1

(νKDR4b2

+ νDR3b

(DR3b

+ 1R

)− 2

Rb(1−ν)

(DR3 − ν2DK

R3b

))).

[MR] =

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0M61 0 M63 0 0 0 0 0 0 0

0 M72 0 0 M75 0 0 0 0 00 0 M83 0 0 0 0 0 0 0M91 0 0 M94 0 0 0 0 0 0

0 M102 0 0 M105 0 0 0 0 0

(64)

Avec M61 = cρ(h+ St+ dh3

12R2

).

M63 = − cρh3(1+d)12R

.

M72 = qρ(h+ St+ nh3

6R2(1−ν)

).

M75 = −qρh3R

(1 + n

6(1−ν)

).

M83 = gρ (h+ S.t).

M91 = c1ρR

(−h3

12− d1h

b

).

M94 = c1ρ(h3

12+ I0.t+ d1h3

12R2b

).

M102 = p1ρR

(−h3

12− n12h

b(1−ν)

).

M105 = p1ρ(h3

12+ Iy.t+ n1h3

12R2b(1−ν)

).

.1 Bibliographie

[1] W.L.Hallauer et R.Y.L.Liu: Beam bending-torsion dynamics sti�ness method forcalculation exact vibration modes. Chinese Journal of Aeronautics, 20(1) :86�96,2006.

[2] Clough, R.W. et Penzien, J.: Dynamics of structures. Mc Graw Hill, 1975.

[3] P.H.Kulla: Analytical �nite elements. Sym aeroelasticity and struct. Dyn, 1985.

122

BIBLIOGRAPHIE

[4] P.H.Kulla: Continuous elements- Some practical examples. 1989.

[5] P.H.Kulla: Analytical �nite elements. Sym aeroelasticity and struct. Dyn, 1985.

[6] Q.Yeago, C.Yong, L. Xinhua et M.Guang: A modi�ed variational approach forvibration analysis of ring-sti�ened conical-cylindrical shell combinations. Euro-pean Journal of MEchanics A/Solids, 37 :200�215, 2013.

[7] P.Zhi, M.Janjun, L.Xuebin: A Study on free vibration of a ring-sti�ened thincircular cylindrical shell with arbitrary boundary conditions. Journal of soundand vibration, 314 :330�342, 2008.

[8] A.A.Jafari et M.Bagheri: Free vibration of non-uniformly ring sti�ened cylin-drical shells using analytical, experimental and numerical methods. Thin walledstrucutres, 44 :82�90, 2006.

[9] Batoz, J. L. et Dhatt, G.: Modélisation des structures par éléments �nis :1-Solides élastiques. Hermès Paris, 1990.

[10] Batoz, J. L. et Dhatt, G.: Modélisation des structures par éléments �nis :2-Poutres et Plaques. Hermès Paris, 1990.

[11] Batoz, J. L. et Dhatt, G.: Modélisation des structures par éléments �nis :3-Coques. Hermès Paris, 1990.

[12] A.A .El Damatty, M.S .Saafan et A.M.I.Sweedan.: Dynamic characteristics ofcombined conical-cylindrical shells. Thin walled strucutres, 43 :1380�1397, 2005.

[13] B.P.Patel, M.Ganapathi et S.Kamat: Free vibration characteristics of laminatedcomposite joined conical-cylindrical shells. J.Sound.Vib, 55 :920�930, 2000.

[14] De.Langre: Calcul de vibrations de plaques par équation intégrales. Dans CEA,page 89.443, 1989.

[15] B.A.Akeson: PFVIBAT, A Computer program for plane frame vibration analysisby an exact method. Journal of numerical in engineering, 10, 1976.

[16] Poelaert, D.: DISTEL, a Distributed Element Program for Dynamic Modellingand Response Analysis of Flexible Strucutres. Dans 4th VPI SU/AIAA Sympo-sium on Dynamics and Control of Large Strucutres� Blacksburg, 1983.

[17] F.W.Williams, P.N.Bennettand D.Kennedy: Theory, software and new resultsfor vibration of prismatic plate assemblies. Dans -ESA International Workshopon Advanced Mathematical Methods in Dynamics of Flexible Bodies, ESTEC,Noordwijik, pages 47�58, 1996.

[18] F.W.Williams, M.S.Anderson et: BUNVIS-RG : exact frame buckling and vibra-tion program with repetitive geometry and substructuring. Journal of spacecraftand Rockets, 24 :353�361, 1987.

[19] P.H.Kulla: IDA : A Program Package for Interactive Dynamic Analysis. Journalof spacecraft and Rockets, 24 :353�361, 1987.

[20] C.Duforet: Dynamic study of an assembling of rods in medium and higher fre-quency rangecomputer code ETAPE. Dans the third collioquium on new trendsin structure calculations, Bstia , Corsica, pages 229�46, 1985.

123

BIBLIOGRAPHIE

[21] V.Kolousec: Structural dynamics of continuous beams and frame systems.PRague, 1950.

[22] J.R.Banerjee: Coupled Bending -Torsional Dynamic sti�ness Matrix for BeamElement. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 28, 1989.

[23] F.W.Williams, D.KENNEDY: Exact Dynamic Member Sti�enesses for a Beamon an Elastic Foundation. Earthquake Engineering and structural Dynamics,15, 1987.

[24] Capron, M.D. et F.W.Williams: Exact dynamic sti�ness for an axially loadeduniform Timoshenko member embedded in an elastic medium. Journal of soundand vibration, 124 :453�466, 1988.

[25] J.M.Montalvao et Silva, A.P.V: Out of plane dynamic response of curved beams,an analytical model. International Journal of Solids and Structures, 24, 1988.

[26] J.B.Casimir, C.Duforet et T.Vinh: Eléments continues numériques (applicationsau calcul de réponses dynamiques des poutres. Dans Journée " Chocs et vibra-tions" du GAMI, Lyon, Juin 1996.

[27] J.B.Casimir et C.Duforet: Eléments continues de poutres courbes en analyse har-monique. Dans Dans Actes du 3ème colloque National en calcul des structures,mai 1997.

[28] J.B. Casimir, C.Duforet et T.Vinh: Dynamic behavior of structures in large fre-quency range by continuous element method. J. Sound Vib, 267 :1085�106, 2003.

[29] U.Lee: Spectral element method in structural dynamics. John Wiley and Sons,2009.

[30] J.R.Banerjee et .Sobey, A.J: Dynamic sti�ness formulation and free vibrationanalysis of a three-layered sandwich beam. Int .J. Solids Struct, 42 :2181�97,2005.

[31] J.R.Banerjee et Su, H.: Dynamic sti�ness formulation and free vibration analysisof a spinning composite beam. Comput Struct, 84 :1208�14, 2006.

[32] Howson, W.P. et A.Zare: Exact dynamic sti�ness matrix for �exure vibration ofthree-layered sandwich beams. J.Sound Vib, 282 :753�67, 2005.

[33] N.I. Kim, J.H. Lee et M.Y.Kim.: Exact dynamic sti�ness of non-symmetric thin- walled beams on elastic foundation using power series method. Adv Eng Softw,36 :518�32, 2005.

[34] D.J.Gorman: Free vibration analysis of rectangular plates. Elsevier, 1982.

[35] D.J.Gorman et W.Ding: Accurate free analysis of the completely free rectangularMindlin plate. Journal of Sound and Vibration, 189 :341�353, 1996.

[36] D.J.Gorman et W.Ding: The superposition - Galerkin method for free vibrationanalysis of rectangular plates. Journal of Sound and Vibration, 194 :187�198,1996.

[37] P.Hagedorn, K.Kelnel et J.Wallaschek :: Vibration and impedance of rectangularplates with free boundaries. Lecture Notes in Engineering, Spring -Verlag, 1986.

124

BIBLIOGRAPHIE

[38] P.H.Kulla: Continuous element formulation for rectangular plate with point sup-port. Dans ESTEC Workshop Proceeding , Modal Representation of �exibleStructures by Continum Method, pages 299�310, 1992.

[39] J.S.Fleuret et C.Duforet: Eléments continus de plaques en régime harmonique.Dans actes du 3ème colloque national en calcul des strucutres, Giens vol I, pages81�92, 1997.

[40] J.S.Fleuret:Méthode des éléments continus appliquée à la dynamique des plaques.Thèse de doctorat, conservatoire National des Arts et Métiers de Paris, 1997.

[41] J.B.Casimir, S.Kevorkian, T.Vinh: The dynamic sti�ness matrix of two-dimensional elments- application to kircho�'s plate continuous element. J. SoundVib, 287 :571�89, 2005.

[42] L.V .Donadon, E.L.Albuquerque: Modelling reinforced plates using the spectralelement method. Dans Arruda.J.R.F, the 33rd international congress expositionon noise control engineering INTRT NOISE, 2004.

[43] W.H.Wittrick, F.W .William: Buckling and vibration of anisotropic or isotropicplates assemblies under combined loadings. Int.J.Mech Sci, 16 :209�39., 1974.

[44] S.Kevorkian: Méthodes analytiques en dynamique des structures application auxstrucutres en treillis et aux plaques. Thèse de doctorat, l'université Paris, 2000.

[45] .Boscolo, M et .Banerjee, J.R: Dynamic sti�ness elements and their applicationsfor plates using �rst order shear deformation theory. Comput Struct, 89,(3-4) :395�410, 2011.

[46] .Boscolo, M et .Banerjee, J.R: Dynamic sti�ness formulation for composite Mind-lin plates for exact modal ;analysis of structures. Part I : Theory. Comput andStruct, 96-97 :61�73, 2012.

[47] A.Kalnins: Analysis of shells of revolution subjected to symmetrical and nonsym-metrical loads. Journal of Applied Mechanics, 31 :467�476, 1964.

[48] Sourne, H. Le: Développement d'éléments Continus de coques axisyétriques etcoudes. Thèse de doctorat, l'université de Nantes, 1998.

[49] J.B.Casimir, M.C.Nguyen et I.Taw�q: Thick shells of revolution : Derivation ofthe dynamic sti�ness matrix of continuous elements and application to a testedcylinder. Comp and Struct, 85 :1845�1857, 2007.

[50] M.A.Khadimallah, J.B.Casimir et Smaoui, H.: Dynamic sti�ness matrix of anaxisymmetric shell and response to harmonic distributed loads. Compt andStruct, 89 :467�475, 2011.

[51] Remacle, J.F.: Mécanique des structures. Université Catholique de Louvain,Faculté des Sciences appliquées, Unité de génie civil et environnemental, 2002.

[52] F.Frey et M.A.Studer: Analyse des structures et milieux continus coques,volume5. Traité de génie civil école Polytechnique fédérale de Lausanne,, 2003.

[53] Mustafa, B.A.J. et Ali., R.: An energy method for free vibration analysis of stif-fened circular cylindrical shells. Comptand Struct, 32 :355�363, 1989.

125

BIBLIOGRAPHIE

[54] .Jr, M.M. Mikulas et McElman, J.A.: On the free vibration of excentrically stif-fened cylindrical shells and plates. NASA, 1965.

[55] A. Rosen, J.Singer: Vibrations of axially loaded sti�ened cylindrical shells. J.Sound Vib, 34 :357�378, 1974.

[56] C.M.Wang, S.Swaddiwudhipong, J.Tian: Ritz method for vibration analysis ofcylindrical shells with ring sti�eners. J. Eng. Mech., ASCE 123 :134�142, 1997.

[57] J.Tian, C.M.Wang, S.Swaddiwudhipong: Elastic buckling analysis of ring-sti�ened cylindrical shells under general pressure loading via the Ritz method.Thin-Walled Structures, 35 :1�24, 1999.

[58] Pestel.E.C, Leckie.F.A: Matrix MEthods in Elastomechanics. McGraw-Hill, NewYork, 35, 1963.

[59] Haullauer Jr.W.L, Liu.R.Y: Beam bending-torsion dynamic sti�ness method forcalculation exact vibration modes. Journal of Sound and Vibration, 85 :105�113,1982.

[60] M.Levy: Comptes rendus. pages 535�539, 1899.

[61] NGUYEN, M.Manh Cuong: Eléments Continus de Plaques et Coques avec Priseen Compte Du Cisaillement Transverse Application à L'Intéraction Fluide-Structure. Thèse de doctorat, Université Pierre et Marie Curie, 2003.

[62] J.B.CASIMIR: Eléments Continus de Type Poutre. Thèse de doctorat, Conser-vatoire Nationale des Arts et Métiers de Paris, 1997.

126

formulation et mise en oeuvre d'un élément continu de

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