Bueno, creo que tu problema está muy claramente expuesto:

Dados los dos puntos de amarre de un cable cuyo peso por unidad de longitud es conocido y vale  , y tendido de tal forma que la componente horizontal de la tensión del cable es   hallar la ecuación de la curva que lo sustenta (se sabe que es una Catenaria, pero aquí debería demostrarse no te parece).

Cabe decir algunas cosas al respecto de este planteamiento, en primer lugar que este no es un planteamiento matemático sino físico, es decir es un problema mecánico, de estática, para ser exactos. Por lo que para resolverlo deben usarse en primer lugar las leyes de la física. Con los datos que aportas un matemático no podría encontrar nunca la solución, salvo que aplicara conocimientos de física. En segundo lugar que debe suponerse que el cable debe satisfacer unas determinadas propiedades, es decir que sus características (peso por unidad de longitud) son independientes de cual sea la tensión a la que se ecuentra sometido. Y por útimo que dichas carácteristicas son las que tendrá el cable una vez se encuentre sometido a tensión mecánica.

En estos supuestos es posible resolver el problema. De hecho es posible resolverlo considerando incluso que el cable es real, que presenta un comportamiento elástico y que además se dilata con la temperatura (problema que se resuelve mediante la famosa ecuación del cambio de condiciones), aunque para resolverlo en esa forma es necesario recurrir a métodos aproximados. Este es un problema que en las empresas de transporte y distribución eléctrica se conoce muy bien y se resuelve a menudo.

No es necesario recurrir a métodos aproximados con tu planteamiento, es decir suponiendo que el cable se comporta de forma ideal. Bastará demostrar en primer lugar que la curva es una Catenaria, demostración que es relativamente sencilla y que seguro tienes expuesta en los libros que tratan estos temas, y en segundo lugar el problema se reducirá a hallar la catenaria que pasa por los dos puntos de anclaje dados, problema que es más sencillo de lo que parece.

1º).- Demostración de que la curva es una catenaria:

Para esta primera demostración bastará considerar el equilibrio de un elemento del cable suspendido con una inclinación  , que se encuentra sometido a la tensión   y tal que sus proyecciones horizontal y vertical sean  . Al descomponer las fuerzas actuantes sobre él en sus componentes horizontal y vertical obtenemos lo siguiente:

             

De la primera es fácil deducir que debe satisfacerse la   y entrando con este valor de   en la segunda concluimos que:

con lo que nuestro problema se ha reducido a resolver esta ecuación diferencial con las condiciones de contorno adecuadas, lo que ya resulta un problema muy fácil. ¿Sabrías seguir? Hagamos el cambio de variable:

que nos conduce finalmente, mediante una sencilla integración, a la solución buscada:

lo que demuestra que la solución a nuestro problema es efectivamente una catenaria, trasladada horizontal y verticalmente y con factores de escala distintos según las direcciones horizontal y

vertical, pero no por ello dicha curva deja de ser una catenaria.

2º).- Cálculo de la catenaria que pasa por dos puntos dados:

La segunda parte de nuestro problema se reduce ahora a determinar los valores de   y   para conseguir que nuestra catenaria pase por los dos puntos de anclaje del cable dados, lo que ya es casi un problema elemental.

Veamos, impongamos en primer lugar la condición de que nuestra catenaria pase por el origen:

y habida cuenta de que:

podemos escribir nuesta solución en la forma:

y por último determinar   para conseguir que nuestra catenaria pase por el punto  , para lo que nos basta imponer la condición:

ecuación en la que despejar   resulta ser ahora un problema elemental. Una vez conseguido esto bastará trasladar nuestra

catenaria (desde el origen hasta el primer punto de anclaje) para haber conseguido que también pase por el segundo punto de anclaje, lo que resuelve nuestro problema. Te dejo a ti los últimos matices que, aunque no son difícles, resultan engorrosos para ser mostrados en un mensaje como éste, pero que una buena hoja de cálculo debería poder resolver sin problemas.

La última ecuación puede reescribirse como:

lo que nos conduce definitivamente a la solución. Pero siempre teniendo en cuenta que los valores obtenidos de   y   están referidos a un sistema cartesiano en el que el primer punto de anclaje está situado en el origen de coordenadas. Al considerar que el origen de coordenadas es otro punto dstinto deberán realizarse las oportunas correciones, pero ese es un problema muy fácil ya que se resuelve trasladando simplemente la catenaria. 

Re: Catenaria entre dos puntos. ¿Cómo sacar la función matemática?

También se podría calcular las constantes directamente en un sistema de referencia arbitrario: dadas las condiciones de contorno nos quedaría la expresión

Considerando   y llamando

se tiene

y por último Un saludo.