Formularium Natuurkunde

Enric Junque de Fortuny

May 17, 2010

Part I

Mechanica

1

Chapter 1

Newton & Kinematica

1.1 Bewegingswetten van Newton

Inertiaalstelsels:

• Een inertiaalstelsel is een assenstelsel waarin de eerste wet van Newton(“traagheidswet”) geldt.

• De aarde is, in goede benadering, een inertiaalstelsel.

• Een assenstelsel dat met constante snelheid beweegt ten opzichte van eeninertiaalstelsel, is eveneens een inertiaalstelsel.

Eerste wet: Een deeltje, gezien vanuit een inertiaalstelsel, blijft in rust ofin eenparige rechtlijnige beweging als er geen externe krachten op inwerken.Evenwicht van een puntmassa : ∑

~F = 0∑Fx = 0∑Fy = 0∑Fz = 0

Tweede wet: De versnelling van een deeltje is, gezien vanuit een inertiaals-telsel, evenredig met de netto-kracht die er op inwerkt en omgekeerd evenredigmet de (constante) massa. Dynamica van een puntmassa :∑

~F = m~a∑Fx = m~a∑Fy = m~a∑Fz = m~a

2

Derde wet: Oefent een lichaam A een kracht uit op een lichaam B, dan oefentB een gelijke maar tegengestelde kracht uit op A.

~FAopB = −~FBopA

1.2 Empirische wettten voor droge wrijving (Coulomb)

Kinetische frictie :fk = µk.n

Statisch frictie :fs <= µs.n

1.3 Fluıdumweerstand

Bij lage snelheid :

f = kv

v = vt

(1e−kt/m

)vt =

mg

k

Bij hoge snelhied

f = Dv2

vt =

√mg

D

1.4 Kinematica cirkelvormige beweging

Centripetale versnelling bij de eenparige cirkelvormige beweging (ar en Fr cen-tripetaal, v is tangentieel):

ar =v2

r=

4π2r

T 2

Fr = mar

= mv2

r

Tangentiele en radiale versnelling bij de kromlijnige (of ogenblikkelijk cirkelvormige)beweging (a is samengesteld uit centripetale ar en tangentiele at):

~a = ~at + ~ar

3

at =dv

dr

ar =v2

r

4

Chapter 2

Arbeid en kinetischeenergie

2.1 Arbeid

Arbeid verricht door een veranderlijke kracht langs een kromlijnig pad:

dW = ~F · d~r= FT dr

W =

∫ B

A

~F · d~r

=

∫ P2

P1

F cos(φ) dl

Arbeid uitgevoerd door een veranderlijke kracht op een recht pad:

W =

∫ x2

x1

Fx dx

Arbeid uitgevoerd door een constante kracht :

W = ~F · ~s= Fs cos(φ)

Arbeid verricht op een elastische veer :

Wel =

∫ x2

x1

kx dx

=kx212− kx22

2= −∆Uel

5

2.2 Kinetische energie

Kinetische energie :

K =mv2

2

2.3 Arbeid en energie

Arbeid energie theorema : Arbeid is transfer van energie (van omgevingnaar deeltje)

Wtot = ∆K

Gemiddeld vermogen :

Pav =∆W

∆t

Ogenblikkelijk vermogen :

P =dW

dt

= ~F · ~v

6

Chapter 3

Potentiele energie enbehoud van energie

3.1 Conservatieve krachten

De arbeid verricht door een conservatieve kracht op een deeltje dat beweegt vanA naar B is onafhankelijk van de gevolgde weg.

Gevolg: De arbeid verricht door een conservatieve kracht op een deeltje datbeweegt langs een gesloten pad is nul.∮

~Fc · d~r = 0

3.2 Potentiele energie

De arbeid verricht door een conservatieve kracht is minus de verandering vande potentiele energie.

W =

∫ 2

1

~F · d~r

= U1 − U2

= −∆U

Omgekeerd : voor een infinitesimale verplaatsing dx geldt dan dat een conser-vatieve kracht de negatieve gradient van de potentiele energie is.

Fx(x) = −dU(x)

dx~F = −~∇U

= −(∂U

∂x~i+

∂U

∂y~j +

∂U

∂z~k

)

7

Gravitationele potentiele energie :

Ugrav = mgy

Elastische potentiele energie :

Uel =kx2

2

3.3 Mechanische energie & interne energie

De totale mechanische energie van een systeem is gedefinieerd als de som vande kinetische en de potentiele energie,

E = K + U

De interne energie is geassocieerd met de temperatuur van een systeem.

Door een niet-conservatieve kracht (wrijving) wordt mechanische energie omgezetin interne energie van het systeem. Experimenten tonen aan dat :

∆Uint = −Wfric

3.4 Behoud van energie

Voor een niet-geısoleerd systeem is de verandering van de totale energie van hetsysteem gelijk aan de som van de energietransfers doorheen de grenzen van hetsysteem.

∆K + ∆U + ∆Uint =∑

T

In een geısoleerd systeem geldt :

∆K + ∆U + ∆Uint = 0

In een geısoleerd systeem waarin geen niet-conservatieve krachten (zoals wrijv-ing) inwerken op voorwerpen binnen het systeem is de totale mechanische energieconstant,

∆K + ∆U = 0

Indien niet-conservatieve krachten arbeid verrichten, is deze arbeid gelijk aande verandering van mechanische energie

Wother = ∆K + ∆U

8

Chapter 4

Impuls, Stoot en Botsingen

4.1 Impuls

Impuls (en: momentum) van een deeltje met constante massa :∑~F = m

d~v

dt

=d

dt(m~v)

~p = m~v

2e wet van Newton in impulsgedaante :∑~F =

d

dt~p

4.2 Stoot

Stoot (en: impulse)

~J =

∫ t2

t1

∑~F dt

= ~p2 − ~p1

Stoot-impuls theorema : De verandering van de impuls van een deeltje tij-dens een tijdsinterval is gelijk aan de stoot van de netto-kracht op het deeltjetijdens dat tijdsinterval. (= 2e gedaante formule ~J)

Als de netto-kracht op een n-deeltjessysteem nul is, dan is de totale impuls vanhet systeem constant.

~P = ~pA + ~pB

9

d~P

dt= 0

4.3 Botsing

Een botsing is een sterke interactie tussen lichamen die gedurende een relatiefkorte tijd werkt (zij het door direct contact, of door verstrooing).

• Bij een elastische botsing worden de totale impuls (in elke richting) en detotale kinetische energie behouden.

• Bij een inelastische botsing wordt de totale impuls behouden, maar wordteen deel van de kinetische energie van de botsende voorwerpen omgezetin inwendige energie, elastische potentiele energie, ...

• Bij een volledig inelastische botsing blijven de voorwerpen na de botsingin contact.

4.4 Massamiddelpunt van een stelsel puntmassa’s

Het massamiddelpunt is de “massa-gewogen gemiddelde plaats (r)” van de deelt-jes:

M =∑

mi

~rcm =

∑mi~riM

~vcm =

∑mi~viM

~acm =

∑FextM

~P = M~vcm

10

Chapter 5

Rotatie

5.1 Rotatie van starre lichamen-kinematica

Afgelegde weg, hoeksnelheid en hoekversnelling.

s = rθ

ωz =dθ

dt

αz =dωzdt

Radiale en tangentiele versnelling.

arad = ω2r

atan = rα

Rotatie met constante hoekversnelling. (alle hoeken in radialen θrad =θdeg360 π)

ωz = ω0z + αzt

θ − θ0 =1

2(ω0z + ωz)t

θ = θ0 + ω0zt+1

2αzt

2

ω2z = ω2

0z + 2αz(θ − θ0)

Traagheidsmoment (moment of inertia)

I =∑i

mir2i

=

∫r2dm

11

Theorema der evenwijdige assen voor 2 assen IP en Icm en d = dist(IP , Icm)

IP = Icm +Md2

Kinetische energie

K =1

2Iω2

5.2 Dynamica van de rotatiebeweging

Torsie (torque) rond een as tangentieel aan as ( moment bij mechanica).

~τ = ~r ~F

τ = Fr sinφ

Moment en hoekversnelling bij de rotatie van een star lichaam.∑τz = Iαz

Rotatie van een star lichaam om een bewegende as is een samengestelde translatie-en rotatiebeweging. (NB: Laatste formume ook geldig als de as door het mas-samiddelpunt een symmetrie-as is, en de richting van de rotatie-as niet veran-dert)

K =1

2Mv2cm +

1

2Icmω

2

~Fext = M~acm

~τz = Icmαz

Rollen zonder glijden (samengestelde op onderkant bal = 0).

vcm = Rω

Rolweerstand enkel bij vervormbaar object.

Arbeid en energie bij rotatie (analoog)

dW = Ftanr dθ

= τz dθ

12

W =

∫ θ2

θ1

τz dθ

=1

2Iω2

2 −1

2Iω2

1

= ∆K

P =dW

dt= τzωz

Impulsmoment van een puntmassa.

~L = ~r × ~p= ~r ×m~v

d~L

dt= ~r × ~F

= ~τ

Impulsmoment van een star lichaam.

L =∑

Li

=(∑

mir2i

)ω

= Iω

Rotatie rond een symmetrie-as.

~L = I~ω

Behoud van impulsmoment

Voor elk stelsel puntmassas geldt dat

∑~τ =

d~L

dt

Als het netto-moment van de externe krachten op een stelsel nul is, dan is hettotale impulsmoment van het stelsel constant,

d~L

dt= 0

13

5.3 Conversietabel

lineaire beweging rotatiepositie x θ hoeksnelheid v ω hoeksnelheidacceleratie a α hoekversnellingkracht F τ torsieimpuls p L hoekimpulsmassa m I intertiaalmoment

v = dx/dt ω = dθ/dta = dv/dt α = dω/dt

K = mv2

2 K = Iω2

2F = ma τ = Iαp = mv L = Iωdp/dt = F dL/dt = τ

14

Chapter 6

Evenwicht van starrelichamen

6.1 Evenwichtsvoorwaarden

Resulterende externe kracht is nul,∑~F = 0

Resulterend moment om een willekeurig punt is nul,∑~τ = 0

6.2 Resulterenden

Vrije keuze van het momentpunt mogelijk, als voorwaarden rond O gelden, dan:

⇒∑

~τO′ = 0

15

Chapter 7

Periodieke beweging

De wet van Hooke voor een elastische veer :

Fx = kx

7.1 Eenvoudige Harmonische Beweging

Definities.

A = amplitude

ω = angulaire frequentie

φ = initiele fase

T =2π

ω

f =1

T

Bewegingsvergelijkingen.

x(t) = A cos(ωt+ φ)

v =dx

dt= −ω sin(ωt+ φ)

a =d2x

dt2= −ω2A cos(ωt+ φ)

Energie.

K =mv2

2=mω2A2 sin2(ωt+ φ)

2

U =kx2

2=kA2 cos2(ωt+ φ)

2

16

E = K + U =kA2

2

Harmonische oscillatie.

T = 2π

√m

k

7.2 Gedempte Oscillatie

Demping indien niet conservatieve krachten optreden.

~R = −b~vb = dempingscoefficient

Zwakke demping (oscillatie).

x = Ae−b

2m t cos(ω1t+ φ)

Sterke demping (kruipend).

x = C1ep1t + C2e

p2t

Kritische demping.

x = (A+Bt)e−b

2m t

Energie.

E = 1/2kA2e−bm t

Kwaliteitsfactor Q = aantal radialen waarover de oscillator moet trillen alvorenszijn energie met een factor 1/e is afgenomen.

Q = ω1τE =ω1m

b

17

Part II

Golven & Akoestiek

18

Chapter 8

Mechanische Golven

8.1 Golven en hun eigenschappen

Mechanische golf : de verstoring (golf) die energie transporteert door een medium.Er kan een onderscheid gemaakt worden tussen transversaal (koord, recht oplengte) en longitudonaal (geluid, in richting van lengte).

v = λ/T

= λf

=

√F

µgofl op koord

8.2 Golfvergelijkingen & dynamica

y(x, t) = Acos(kx− ωt)

k =2π

λω = 2πf = vk

8.3 Golfkracht

De gemiddelde kracht van een sinusoıdale golf wordt bepaald als :

Pav =1

2

√µFω2A2

De inverse-wortel wet voor lage golfintensiteiten zegt dat :

I1I2

=r22r21

19

8.4 Superpositie van golven

y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t)

8.5 Staande golven op een koord

Als het koord vastgenomen is aan zijde x = 0 :

y(x, t) = ASW sin(kx)) sin(ωt)

Aan beide kanten :

f1 =1

2L

√F

µ

fn = nv

2L(n = 1,2,3,...)

= nf1 (n = 1,2,3,...)

20

Chapter 9

Geluidsgolven

9.1 Geluidsgolven

De harmonische positiefunctie is

y(x, t) = A cos(kx− ωt)

Druk fluctuatie ten gevolge van geluidsgolven

p = pmaxsin(kx− ωt)pmax = BkA

= pvωA

De snelheid in verschillende media van een geluidsgolf.

v =

√B

ρ(longitudonale golf in vloeistof)

v =

√γRT

M(geluidsgolf in een ideaal gas)

v =

√Y

ρ(longitudonale golf in een vaste stof)

9.2 Intensiteit en geluidsniveau

I =PavS

β = (10dB) logI

I0

9.3 Staande geluidsgolven

In een open buis geldt :

fn =nv

2L(n = 1,2,3,...)

21

Voor een gesloten buis geldt:

fn =nv

4L(n = 1,3,5,...)

9.4 Fenomenen met geluidsgolven

Interferentie treed op wanneer 2 of meer golven overlappen in de ruimte. Deresulterende amplitude van de golf can groter (constructief) of kleiner (destruc-tief) worden, afhankelijk van het feit of deze in fase zijn of niet.

Beats kunnen waargenomen wordezn wanneer twee zeer dicht bij elkaar liggendefrequenties tegelijk gehoord worden, de beat frequentie is dan :

fbeat = fa − fb

Doppler effect is een frequentieshift doordat de bron en/of de luisteraar vanhet geluid verplaatsen, relatief tot het medium.

fL =v + vLv + vS

fS

Shockwave* treed op wanneer de bron zich voortplant met een snelheid diegroter is dan die van het geluid in dat medium. Het golffront is dan een kegelmet grootte α.

sinα =v

vs

22

Part III

Thermodynamica

23

Chapter 10

Temperatuur & Warmte

10.1 Temperatuur & temperatuurschaal

Kelvin vs Celsius.

TK = TC + 273.15

In een systeem met vast volume geldt:

T2T1

=p2p1

10.2 De nulde wet van de thermodynamica

Wanneer systemen A en B in thermisch evenwicht zijn met een systeem C, danzijn A en B ook onderling in thermisch evenwicht.

10.3 Thermale expansie & spanning

Een temperatuursverandering ∆T veroorzaakt in elke dimensie een lineaire ex-pansie. Wanneer deze expansie tegengehouden wordt, ontstaat er tensile span-ning met grootte F/A.

∆L = αL0∆

∆V = βV0∆

F

A= −Y α∆

Voor een vaste stof geldt :

β = 3α

24

Een gat in een materiaal (bvb een gat in een schijf) zet uit net alsof het gatgevuld zou zijn met het materiaal. M.a.w. bij een temperatuutstijging wordthet gat groter.

10.4 Warmte, faseverandering & calorimetrie

Warmte (Q) is energie die overgedragen wordt van een systeem naar een an-der omwille van een temperatuursverschil via conductie, convectie of straling.Wanneer warmte wordt toegevoegd aan een lichaam, is Q positief.

Q = mc∆T

Q = nC∆T

Een fase-overgang (constante temperatuur) vereist een toevoeging/aftrekkingvan warmte :

Q = ±mL

met

m = massa

M = molaire massa

c = specifieke warmtecapaciteit van het materiaal

C = Mc

n = aantal mol in stof

L = latente warmte

10.5 Warmte-uitwisseling

Conductie (geleiding) :

H =dQ

dt= kA

TH − TCL

Convectie :

H = AeσT 4

Straling

Hnet = Aeσ(T 4 − T 4s )

25

Chapter 11

Thermische eigenschappenvan materie

11.1 De ideale gaswet

Druk (p), volume (V ) en temperatuur (T ) bepalen de toestand van een stof enstaan in relatie volgens de ideale gasvergelijking :

pV = nRT

Verder kunnen we ook gebruik maken van de volgende eigenschap :

p1V1T1

=p2V2T2

(constante massa)

Let op consistentie in gebruikte units.

103 L = 106 cm3

⇒ 1m3

X◦C ⇒ 273.15 +XK

1atm = 1.01325 bar

= 1.01325 105N

m2

⇒ 1.01325 105 Pa

11.2 Moleculaire eigenschappen van materie

mtotaal = nM

M = NAm

ρ =mtotaal

V

26

11.3 Kinetisch-moleculair model

Volgens de kinematica staan de staatvariabelen als volgt in relatie met elkaar :

p =2

3

(N

V

)(1

2m(v2)av

)

11.4 Equipartitie van energie

Elke vrijheidsgraad voegt 1/2kT energie toe aan het systeem. Merk op dat devrijheidsgraden deze zijn die geassocieerd zijn aan : translatie, rotatie & vibratievan molecules.

Een gevolg hiervan is dat :

nCv dT = 3/2nRdT

= dQ

Cv = 3/2R (monoatomisch)

= 5/2R (polyatomisch)

= 3R (monoatomisch vast)

27

Chapter 12

De eerste wet van dethermodynamica

12.1 Warmte & werk in thermodynamische pro-cessen

De hoeveelheid werk om van toestand (a) naar toestand (b) te gaan is padafhanke-lijk.

Werk uitgevoerd door gas (systeem) bij een volumeverandering (bvb een piston):

W =

∫ V2

V1

p dV

Bij constante druk geldt :

W = p(V2 − V 1)

12.2 Eerste wet van de thermodynamic

De interne energie (U) van een systeem is enkel afhankelijk van de staat van hetsysteem en niet van de manier waarop er naar die staat gegaan wordt.

∆U = Q−WdU = dQ− dW

De interne energie van een geisoleerd systeem is constant (Q = W = 0 dus∆U = 0).

Bij een cyclisch proces geldt dat de begintoestand gelijk is aan de eindtoestand(Q = W dus ∆U = 0).

28

12.3 Speciale klasses van processen

Adiabatische processen waarbij er geen warmteuitwisseling naar/van hetsysteem is. (Q = 0).

Isochore processen waarbij het volume constant blijft. (W = 0).

Isobare processen waarbij de druk constant is. (W = p(V2 − V1))

Isotherme processen waarbij de temperatuur constant is. (voor ideale :

Q = W en W = nRT ln(V2

V1

))

12.4 Thermodynamica van een ideaal gas

Ideale gassen vergemakelijken het gebruik van de 1ste wet van de thermody-namica. Het komt er bij ideale gassen bij ALLE processen op neer dat :

∆U = nCV ∆T

12.4.1 Isochoor

Bij constant volume (isochoor) geldt dat er geen arbeid verricht wordt, en is deinterne energie volledige afhankelijk van de warmte. Dus:

dU = dQ = nCV dT

12.4.2 isobaar

Bij constante druk (isobaar):

dU = dQ− dW= nCP dT − nRdT= n(CP −R)dT

Verder geldt ook (CX = molaire warmte capaciteit van ideaal gas bij con-stante X):

CP = CV +R

γ = CP /CV

12.4.3 Adiabatisch

Bij een adiabatisch proces voor een ideaal gas geldt er dat :

pV γ = constant

TV γ−1 = constant

29

De arbeid geleverd door het gas (in adiabatische expansie) kan uitgedrukt wor-den als :

W = nCV (T1 − T2)

=CVR

(p1V1 − p2V2)

=1

γ − 1(p1V1 − p2V2)

Hier is γ :

γ =CPCV

= 1.67 (monoatomisch)

= 1.40 (diatomisch)

30

Chapter 13

De tweede wet van dethermodynamica

13.1 Reversibele en irreversibele processen

Een reversibel proces, is een proces waarin de richting veranderd kan wordendoor een infinitesimale verandering in staat van het proces, en waarin het sys-teem altijd in, of zeer dichtbij het thermisch evenwicht ligt. Alle andere pro-cessen zijn irreversibel (alle processen van de natuur zijn irreversibel).

13.2 Heat engine

Een warmtemotor (heat engine) neemt een bepaalde warmte (QH) op en zetdeze om in een arbeid (W ). Het overschot (QC) wordt op lagere temperatuurweggegooid. De efficientie (e) van de motor wordt uitgedrukt als de ratio vanverkregen arbeid t.o.v. input (warmte).

W > 0

QH > 0

QC < 0

W = QH − |QC |

e =W

QH

= 1−∣∣∣∣QCQH

∣∣∣∣Een 4-stroke interne verbrandingsmotor volgt een Otto-cylcus (cfr. p678). Deefficientie hiervan (gegeven compressie ratio r) is :

e = 1− 1

rγ−1

31

13.3 Refrigerators

Een koeler (refrigerator) neemt een warmte QC van een koele plaats en werkW als input en gooit een zekere warmte QH weg naar een warme plaats. Deperformantie wordt bepaald door de performantiecoeficient (K).

W < 0

QH < 0

QC > 0

|QH | = QC + |W |

K =|QC ||W |

(koelen)

=|QH ||W |

(opwarmen)

13.4 De tweede wet van de thermodynamica

Engine-formulering Het is onmogelijk om een warmtemotor te construerendie, in een cyclus opererend, geen ander effect heeft dan input energie (van eenreservoir) om te zetten in output arbeid.

Refrigerator-formulering Het is onmogelijk om een cyclische machine tebouwen, die als enige effect de continue overdracht van energie d.m.v. warmteheeft van een object naar een ander object op hogere temperatuur, zonder inputvan energie door arbeid.

Entropie-formulering De entropie van een geısoleerd systeem kan enkel ver-groten.

Beide formulering zijn equivalent en wijzen op de onmogelijkheid van een per-petuum mobile.

13.5 Carnot-cyclus

Een Carnot-cyclus is een thermodynamisch systeem met maximale efficientietussen twee warmte-reservoirs op temperaturen TH en TC , dat enkel reversibeleprocessen gebruikt.

e = 1− TCTH

KCarnot =TC

TH + TC

32

13.6 Entropie

Entropie (S), is een staat-variabele die quantitatief de maat van ongeordendheid(chaos) aanduidt. Geisoleerde systemen neigen naar ongeordendheid.

dS =dQ

T

∆S =

∫ 2

1

dQ

T(reversibele processen)

Voor reversibele processen in het algemeen geldt dat :

∆S =

∮dQ

T= 0

Dus geldt dit ook voor een Carnot-cylcus (∆S = 0), waaruit :

|QH |TH

=|QC |TC

Voor irreversibele processen geldt dat :

∆S > 0

33

Part IV

Electromagnetisme

34

Chapter 14

Elektrische lading &Elektrisch veld

14.1 Behoud van lading

De netto lading van een geısoleerd systeem is constant in de tijd.

14.2 Wet van Coulomb

Beschrijft de interactie tussen twee puntladingen op afstand r van elkaar. Hetsuperpositiebeginsel stelt dat de kracht van meerdere puntladingen op een an-dere puntlading gelijk is aan de vectoriele som van die puntladingen.

F =1

4πε0

|q1q2|r2

~Fq =∑i

~Fiq

=1

4πε0q∑i

qir2iri

14.3 Elektrisch veld

Het elektrische veld is de kracht per eenheidslading uitgevoerd op een testladingop eender welk punt in de ruimte.

~E =~F0

q0

~E =1

4πε0

q

r2r

Bij velden met continue ladingsverdeling kunne we ook het superpositiebeginseltoepassen (vectorsom / integratie over ladingsdichtheid).

dQ = λ dl

35

dQ = σ dA

dQ = ρ dτ

~E =

∫τσρ

dE

=1

4πε0

∫τσρ

dQ

r2r

Met dichtheden :

λ =Q

l

σ =Q

A

ρ =Q

V

Elektrische velden worden voorgesteld door elektrische veldlijnen met als karak-teristieken :

• Geven richting en zin aan

• Starten op positieve en eindigen op negatieve lading

• Aantal veldlijnen (densiteit) geeft sterkte van veld aan

14.4 Dipool in homogeen elektrisch veld

Een dipool in een homogeen elektrisch veld ondergaat een torsie. van de negatievenaar de positieve pool met :

p = qd

τ = pE sinφ

~τ = ~p× ~E

U = −~p · ~E

36

Chapter 15

De wet van Gauss

Flux is een maat van ‘flow’ van een electrisch veld door een oppervlak. Meeralgemeen, voor een willekeurig volume, geldt:

ΦE =

∫Ecosφ dA

ΦE =

∫~E · d ~A

De wet van Gauss stelt dan dat :

ΦE =

∮E cosφdA

=

∮~E · d ~A

=Qenclε0

Waarbij de cirkelintegraal over een gesloten oppervlak kan genomen worden alsde som van elk oppervlak. Met hulpeigenschappen:

~E ⊥ ~A ⇒ E = constant

⇒∫A

~E d ~A = ±EA

~E ‖ ~A ⇒ E⊥ = 0

⇒∫A

~E d ~A = 0

~E = 0 ⇒∫A

~E d ~A = 0

37

Chapter 16

Elektrische potentiaal

16.1 Elektrische potentiaal

Elektrisch potentiaalverschil tussen twee toestanden is het verschil in elektrischepotentiele energie van die twee toestanden.

VB − VA =UB − UA

q

= −∫ B

A

~E · d~s

Voor een puntlading is de potentiaal gedefinierd als min de arbeid per een-heid van lading die het veld verricht om een testlading van oneindig naar P tebrengen.

VP =Upq

= −∫ P

∞~E d~s

Deze wordt uitgedrukt in volt : 1V = 1J/C. De potentiaal kan berekend wordenvia :

~E = k∑i

Qir2iri (0-D)

~E = k

∫L

λr

r2dl (1-D)

~E = k

∫S

σr

r2dA (2-D)

~E = k

∫τ

ρr

r2dτ (3-D)

Waaruit :

~VP = k∑i

Qiri

(0-D)

38

~VP = k

∫L

λ

rdl (1-D)

~VP = k

∫S

σ

rdA (2-D)

~VP = k

∫τ

ρ

rdτ (3-D)

16.2 Elektrisch veld & equiptentialen

Equipotentiaaloppervlakken hebben de volgende eigenschappen :

• E staat loodrecht op een equipotentiaalvlak

• E wijst in de richting van dalende potentiaal

16.3 Eigenschappen van geladen geleiders

• Binnen een geleider is het elektrisch veld nul

• Binnen een geleider zijn er geen ladingen. Lading bevindt zich op hetoppervlak

• Het veld staat loodrecht op het oppervlak en heeft als grootte σ/ε0

• Een geleider is een equipotentiaalvolume

• Een veldsterkte aan het oppervlak is omgekeerd evenredig met de plaat-selijke kromtestraal

Een rechtstreeks gevolg hiervan is de Corona-ontlading die zich voordoet opscherpe punten rond dunne geleiders : boven een kritische elektrische veldsterkteondergaat het gas rondom deze punt een doorslag , het gas wordt geleidend.

39

Chapter 17

Capaciteit & Dielectrisch

17.1 Capaciteit van een condensator

Voor een condensator geldt dat onder een aangelegde spanningsverschil Va−Vb:

C =Q

Va − VbEenheid : 1F = 1C/V . Dit vertaalt zich in :

Cvlakke =ε0A

d

Cbol = 4πε0rarbrb − ra

Ccilinder = L2πε0

ln(rbra

)Merk op dat in schakelingen geldt dat :

Cparallel = C1 + C2

1

Cserie=

1

C1+

1

C2

17.2 Energie in een condensator

Opgeslagen energie.

U =1

2

Q2

C

=1

2QV

=1

2CV 2

Energiedichtheid

w =1

2ε0E

2

40

17.3 Dielektrica

Dielektrica zijn nuttig omdat ze de capaciteit van een condensator kunnen ver-hogen met een factor K (de dielektrische constante). Soms ook uitgedrukt inpermitiviteit ε. Voor een plaatcondensator :

Ei = E0

(1− 1

K

)C = KC0

ε = Kε0

w =1

2E2

Nota bene dat in een dielektricum de volgende wetten gelden.∮C

~E · d~l = 0

ΦE =

∮A

~E · d ~A =Q−Qiε0

41

Chapter 18

Stroom, weerstand &Elektromotieve kracht

18.1 Stroomsterkte

I =dQ

dt

Eenheid : 1A = 1C/s

18.2 Resistiviteit & conductiviteit

Wet van Ohm in sommige materialen (ohmse geleiders) is de stroomdichtheidrecht evenredig met de veldsterkte.

Resistiviteit (ρ) en conductiviteit (sigma) in functie van stroomdichtheid (J =I/A).

ρ =E

J

σ =1

ρ

Voor metalen geldt:

ρ(T ) = ρ0(1 + α(T − T0))

18.3 Weerstand

Weerstand.

R =V

IRserie = R1 +R2

1

Rparallel=

1

R1+

1

R2

42

Wet van pouillet :

R =ρL

A

18.4 Bronspanning

Bronspanning is dient om elektromotirische kracht te leveren.

ε =∆U

|q|

18.5 Wetten van Kirchhoff

Knooppuntenwet (behoud van lading) : de algebraische som van destromen naar of van een knooppunt is nul.

Lussenwet (behoud van energie) : in een lus van een netwerk is de alge-braische som van alle spanningen nul.

43

Chapter 19

DC Circuits

44