formulario psu matemÁtica

Luis Fauré Navarro

FORMULARIO PSU

MATEMÁTICA

INTRODUCCIÓN

En este formulario de matemática he querido mostrar todas las fórmulas que se utilizarán en la

Prueba de Selección Universitaria, adicionalmente se ha agregado Trigonometría que no está

contemplado en el programa, pero será de gran utilidad para alumnos de Enseñanza Media.

Se dan a conocer fórmulas, teoremas y tablas y en casos que se estimó necesario se mostró algún

ejemplo.

El libro está dividido en cuatro partes: Números, Álgebra, Geometría y Datos y Azar al igual que

estructura la comisión organizadora de la prueba.

Números, se refiere a los conjuntos numéricos y sus propiedades, como son los naturales,

cardinales, enteros, racionales, irracionales, complejos y reales. Potencias, raíces y logaritmos.

Álgebra, contempla productos notables, ecuaciones e inecuaciones, funciones y gráfico de

funciones.

Geometría, establece generalidades de ángulos y polígonos, propiedades de los triángulos y figuras

planas, vectores, isometría, teoremas de geometría, ecuación de la recta y cuerpos geométricos.

Datos y Azar, este ítem muestra medidas de tendencia central, tablas de frecuencias, medidas de

dispersión, distribución normal, combinatoria y probabilidades.

Conjuntos Numéricos

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) corresponde al menor de los números naturales, que es

múltiplo de todos los elementos a la vez. Por ejemplo, para obtener el m.c.m. de {12, 30, 45} se

descompone cada uno de los elementos: 12 = 2231, 30 = 213151 y 45 = 3251, luego, el m.c.m. es 223251

= 180.

El máximo común divisor (M.C.D.) corresponde al mayor de los números naturales que es divisor

de todos los elementos del conjunto a la vez. Por ejemplo, para obtener el M.C.D. de {90, 108, 270)

se descompone cada uno de los elementos 90 = 213251, 108 = 2233 y 270 = 213351, luego, el M.C.D.

es 2132 = 18.

Transformación en los racionales

Para transformar un número decimal finito a fracción se escribe en el numerador todo el número

sin la coma y en el denominador una potencia de 10 que tenga tantos ceros como espacios haya

después de la coma. Por ejemplo: 2,35 =235

100.

Para transformar un número decimal periódico a fracción se escribe en el numerador todo el

número sin la coma, menos la parte no periódica, menos la parte no periódica, y en el denominador

un número formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo. Por ejemplo: 5,242424… =

5, 24 =524−5

99=

519

99.

Para transformar un número decimal semiperiódico a fracción se escribe en el numerador todo el

número sin la coma, menos la parte no periódica (incluyendo el anteperiodo), y en el denominador

un número formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguido de tantos ceros como

cifras tenga el anteperiodo. Por ejemplo: 3,12666… = 3,126 =3.126−312

900=

2.814

900.

C

R Q Z N

Q*

I

Aproximación, redondeo y truncamiento en los racionales

Al aproximar por redondeo a la n-ésima cifra decimal se eliminan los decimales desde la posición

(𝑛 + 1), y si el decimal en la posición (𝑛 + 1) es mayor o igual que 5, entonces el decimal en la

posición n se aumenta en una unidad. Por ejemplo, al redondear 3,126 a la segunda cifra decimal

(centésima) queda 3,13 y al redondear 4,73 a la primera cifra decimal queda 4,7.

Al aproximar por truncamiento (o por defecto) a la n-ésima cifra decimal, se eliminan los decimales

desde la posición (𝑛 + 1), independiente del valor de este. Por ejemplo, al truncar 3,126 a la

segunda cifra decimal (centésima) queda 3,12 y al truncar 4,73 a la primera cifra decimal (décima)

queda 4,7.

Al aproximar por exceso a la n-ésima cifra decimal, se eliminan los decimales desde la posición (𝑛 +

1), y el decimal en la posición n se aumenta en una unidad. Por ejemplo, al aproximar por exceso

3,126 a la segunda cifra decimal (centésima) queda 3,13 y al aproximar por exceso 4,73 a la primera

cifra decimal (décima) queda 4,8.

Número mixto

a𝑏

𝑐= 𝑎 +

𝑏

𝑐=

𝑎𝑐+𝑏

𝑐

Propiedades de potencias

𝑎𝑝 ∙ 𝑎𝑞 = 𝑎𝑝+𝑞

𝑎𝑝

𝑎𝑞= 𝑎𝑝−𝑞

𝑎𝑝 ∙ 𝑏𝑝 = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑝

𝑎𝑝

𝑏𝑝= (

𝑎

𝑏)𝑝

(𝑎𝑝)𝑞 = 𝑎𝑝∙𝑞

𝑎−𝑝 =1

𝑎𝑝

(𝑎

𝑏)−𝑝

= (𝑏

𝑎)𝑝

Propiedades de radicación

𝑥 = √𝑐𝑛

↔ 𝑥𝑛 = 𝑐

√𝑎𝑞𝑝

= 𝑎𝑞𝑝

√𝑎𝑛

∙ √𝑏𝑛

= √𝑎 ∙ 𝑏𝑛

√𝑎𝑛

√𝑏𝑛 = √

𝑎

𝑏

𝑛

𝑎 ∙ √𝑏𝑛

= √𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛

√√𝑎𝑞

𝑝

= √𝑎𝑝𝑞

𝑎

√𝑏∙√𝑏

√𝑏=

𝑎√𝑏

𝑏

𝑎

√𝑏𝑞𝑝 ∙

√𝑏𝑝−𝑞𝑝

√𝑏𝑝−𝑞𝑝 =

𝑎√𝑏𝑝−𝑞𝑝

𝑏

𝑎

√𝑏 + √𝑐∙√𝑏 − √𝑐

√𝑏 − √𝑐=

𝑎(√𝑏 − √𝑐)

𝑏 − 𝑐

Propiedades de logaritmos

log𝑎 𝑏 = 𝑐 → 𝑎𝑐 = 𝑏

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑎 = 1

𝑙𝑜𝑔𝑎1 = 0

𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏 ∙ 𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 + 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐

𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑏

𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏

𝑙𝑜𝑔𝑎 √𝑏𝑛

=1

𝑛∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 =𝑙𝑜𝑔𝑐𝑏

𝑙𝑜𝑔𝑐𝑎

Números Complejos

𝑖 = √−1

𝑖2 = −1

𝑖3 = −𝑖

𝑖4 = 1

𝑖4𝑝 = 1

𝑖4𝑝+1 = 𝑖

𝑖4𝑝+2 = −1

𝑖4𝑝+3 = −𝑖

𝑬𝒍 𝒎ó𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒐 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒂𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒐 𝑑𝑒 𝑧 = |𝑧| = √𝑅𝑒(𝑧)2 + 𝐼𝑚(𝑧)2

𝑬𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒈𝒂𝒅𝒐 𝑑𝑒 𝑧. 𝑆𝑒𝑎 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 → 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖

𝑬𝒍 𝑰𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒐 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝑑𝑒 𝑧. 𝑆𝑒𝑎 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 →𝑎 − 𝑏𝑖

𝑎2 + 𝑏2

𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒓 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒋𝒐𝒔 𝑎 + 𝑏𝑖

𝑐 + 𝑑𝑖= (𝑎 + 𝑏𝑖)

𝑐 − 𝑑𝑖

𝑐2 + 𝑑2

Productos Notables

Cuadrado de binomio:

(𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Cubo de binomio:

(𝑎 ± 𝑏)3 = 𝑎3 ± 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 ± 𝑏3

Suma por diferencia:

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2

Producto de binomios:

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏

Cuadrado de trinomio:

(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 2𝑎𝑐

Diferencia de cubos:

(𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) = 𝑎3 − 𝑏3

Suma de cubos:

(𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) = 𝑎3 + 𝑏3

Factorizaciones sucesivas:

𝑥𝑧 + 𝑥𝑤 + 𝑦𝑧 + 𝑦𝑤 = (𝑥𝑧 + 𝑥𝑤) + (𝑦𝑧 + 𝑦𝑤)

= 𝑥(𝑧 + 𝑤) + 𝑦(𝑧 + 𝑤)

= (𝑥 + 𝑦)(𝑧 + 𝑤)

Sistemas de ecuaciones de primer grado

Método de reducción: se amplifica una o ambas ecuaciones, de manera que se generen inversos

aditivos en una de las incógnitas, y luego se suman para dejar una ecuación con una incógnita.

Método de igualación: se despeja la misma variable en ambas ecuaciones y se igualan las

expresiones resultantes, resolviendo la ecuación.

Método de sustitución: se despeja una de las variables en una de las ecuaciones, se reemplaza la

expresión resultante en la otra ecuación y se resuelve.

Ecuaciones de segundo grado

𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

𝑐𝑜𝑛 𝒙 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠, 𝒂 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 0, 𝒃 𝑦 𝒄 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠.

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑎 > 0 la parábola se abre hacia arriba (concavidad positiva)

𝑎 < 0 la parábola se abre hacia abajo (concavidad negativa)

Si a y b tienen igual signo, entonces el eje de simetría se encuentra a la izquierda del eje Y.

Si a y b tienen distinto signo, entonces el eje de simetría se encuentra a la derecha del eje Y.

Si b = 0, entonces el eje de simetría coincide con el eje Y.

∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 (Discriminante)

∆> 0 tiene dos soluciones reales, ∆= 0 tiene 1 solución real, ∆< 0 tiene dos soluciones complejas

Vértice: (−𝑏

2𝑎,4𝑎𝑐−𝑏2

4𝑎)

Intersección con el eje y: (0, c)

𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏

𝑎

𝑥1 ∙ 𝑥2 =𝑐

𝑎

Inecuaciones de primer grado

Intervalos

El intervalo 𝑥 < 𝑎 se expresa algebraicamente como ] − ∞, 𝑎[ y gráficamente como

−∞

Se dice que es abierto en a, es decir, que no incluye al elemento a.

El intervalo 𝑥 ≤ 𝑎 se expresa algebraicamente como ] − ∞, 𝑎] y gráficamente como

−∞

a

a

Se dice que es cerrado en a, es decir, que incluye al elemento a.

El intervalo 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 se expresa algebraicamente como ]𝑎, 𝑏] y gráficamente como

Se dice que es abierto en a y cerrado en b, es decir, que no incluye al elemento a y que incluye a b.

En los Sistemas de Inecuaciones de primer grado, la solución es la intersección.

Funciones

1. Función inyectiva o uno a uno

Caso 1:

1 5 2 6 3 7 4 8 Caso 2: 1 5 2 6 3 7 8 Nota: en el Rango f2 pueden sobrar uno o más elementos.

b a

A f1 B

A f2 B

2. Función epiyectiva o sobreyectiva Caso 1: A f1 B 1 5 2 6 3 7 4 8 Caso 2: A f2 B 1 5 2 6 3 7 4 Nota: en el Rango f2 se pueden hacer múltiples asociaciones, pero no debe sobrar ningún elemento. 3. Función biyectiva

Se dice que una función es biyectiva si es inyectiva y además, es sobreyectiva.

Función inversa

1. Se despeja la variable x en función de la variable y.

2. Se aplica f-1(x) y se intercambia la variable y por la variable x.

Dominio y recorrido de funciones

Dominio = Preimagen = X

Recorrido = Imagen = Rango = Y

Composición de funciones

f o g = f(g(x))

g o f = g(f(x))

Función afín

y = f(x) = mx + n

Función lineal

y = f(x) = mx

Función constante

y = f(x) = n

Función Valor Absoluto

𝒚 = 𝒇(𝒙) = |𝒙|

𝑦 = |𝑥| = {𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0}

Función Parte Entera

𝒚 = 𝒇(𝒙) = [𝒙]

𝑥 − 1 ≤ [𝑥] < 𝑥

y

x

y

x

Ecuación de la recta

Ecuación Principal: 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒏

m: pendiente, n: es el corte en el eje y o coeficiente de posición

Ecuación General

Ax + By + C = 0

Ecuación de la recta dados 2 puntos (𝒙𝟏, 𝒚𝟏) 𝒚 (𝒙𝟐, 𝒚𝟐)

𝑦 − 𝑦1 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1(𝑥 − 𝑥1)

Pendiente de la recta dados 2 puntos (𝒙𝟏, 𝒚𝟏) 𝒚 (𝒙𝟐, 𝒚𝟐)

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

Rectas paralelas:

𝑚1 = 𝑚2

Rectas perpendiculares:

𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1

Si m > 0, la recta es creciente.

Si m < 0, la recta es decreciente.

Si m = 0, la recta es horizontal.

Si m es indeterminada, la recta es vertical.

Posiciones relativas de rectas en el plano

Si las rectas son coincidentes, los puntos de intersección son infinitos. Es decir, el sistema de

ecuaciones tendrá infinitas soluciones. Las pendientes serán iguales y los coeficientes de posición

también serán iguales.

Si las rectas son paralelas, no habrá puntos de intersección. Es decir, el sistema de ecuaciones no

tendrá solución. Las pendientes serán iguales y los coeficientes de posición distintos.

Si las rectas son perpendiculares, habrá un punto de intersección. Es decir, el sistema de ecuaciones

tendrá una solución. El producto de las pendientes dará -1.

Si las rectas sólo se cruzan, habrá un punto de intersección. Es decir, el sistema de ecuaciones tendrá

una solución.

Función Exponencial

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑎𝑥

𝑐𝑜𝑛 𝑥 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠, 𝑎 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 1 𝑦 𝑏 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 0.

a > 1 a > 1 b > 0 b < 0 creciente 0 < a < 1 0 < a < 1 b > 0 b < 0 decreciente

y

x

y

x

y

x

y

x

Función Logarítmica

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒃 ∙ 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒙

𝑐𝑜𝑛 𝒙 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠, 𝒂 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 1 𝑦 𝒃 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 0.

a > 1 0 < a < 1 b > 0 b > 0 También se obtiene esta También se obtiene esta forma si 0 < a < 1 y b < 0 forma si a > 1 y b < 0

Función Potencia

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂 ∙ 𝒙𝒏

𝑐𝑜𝑛 𝒙 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠, 𝒏 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 1 𝑦 𝒂 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 0.

n par n par a > 0 a < 0 n impar n impar a > 0 a < 0

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

Función Cuadrática

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

a < 0 a > 0 a y b igual signo a y b distinto signo ∆= 0 ∆> 0 c < 0 c < 0 a > 0 a > 0 b = 0 a y b distinto signo ∆< 0 ∆> 0 c > 0 c > 0

Función Raíz Cuadrada

𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂 ∙ √𝒙

𝑐𝑜𝑛 𝑥 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑦 𝑎 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 0.

a > 0 a < 0

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

Proporción Directa, Inversa y Porcentajes

Dos variables son directamente proporcionales si al aumentar (o disminuir) una de ellas en cierta

razón la otra también aumenta (o disminuye) en la misma razón y se puede desarrollar por una regla

de tres.

En el caso de porcentajes cuando se dice “el x% de y” esto es 𝑥

100𝑦

Dos variables son inversamente proporcionales si al aumentar (o disminuir) una de ellas en cierta

razón la otra disminuye (o aumenta) en la misma razón y se puede desarrollar por una regla de tres,

pero cambiando de posición dos variables

Interés Simple e Interés Compuesto

Interés Simple:

𝐶 = 𝐾 (1 +𝑖

100𝑡)

Interés Compuesto:

𝐶 = 𝐾(1 +𝑖

100)𝑡

𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑪 𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙, 𝑲 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝒊 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 𝑦 𝒕 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑛 𝑎ñ𝑜𝑠. 𝑆𝑖 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑡 𝑝𝑜𝑟 12. 𝑆𝑖 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑑í𝑎𝑠 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑡 𝑝𝑜𝑟 365.

Ángulos

Complemento de α: 90 – α

Suplemento de α: 180 – α

Sean L1 y L2, rectas paralelas entre sí y L3 recta transversal, se cumple que:

L3

𝛼 = 𝛿 = 휀 = 휃 𝛽 = 𝛾 = 휁 = 휂

Polígonos

Polígono Lados

Triángulo 3

Cuadrilátero 4

Pentágono 5

Hexágono 6

Heptágono 7

Octágono 8

Eneágono 9

Decágono 10

Endecágono 11

Dodecágono 12

Dado un polígono convexo (ángulos menores de 180º) de n lados, se cumple que:

La suma de sus ángulos interiores es igual a 180º(𝑛 − 2)

La suma de sus ángulos exteriores es igual a 360º

El número de diagonales que se pueden trazar desde un único vértice es igual a (𝑛 − 3)

El número total de diagonales que se pueden trazar es igual a 𝑛(𝑛−3)

2

L1

L2

α β

γ δ

ε

γ

ζ

γ η

γ

θ

γ

Elementos del triángulo

1. Altura (h): es el segmento perpendicular a un lado que se prolonga por el vértice opuesto.

Todas las alturas se intersectan en el Ortocentro (H).

2. Bisectriz (b): es el segmento que divide a un ángulo en dos ángulos congruentes. Todas las

bisectrices se intersectan en el Incentro (I), el cual es el centro de la circunferencia inscrita

al triángulo.

3. Simetral: es el segmento perpendicular al punto medio de un lado. Todas las simetrales se

intersectan en el Circuncentro (O), el cual es el centro de la circunferencia circunscrita al

triángulo.

4. Transversal de gravedad (t): es el segmento que une el punto medio de un lado con el

vértice opuesto. Todas las transversales de gravedad se intersectan en el centro gravedad

(G). El centro de gravedad divide una transversal de gravedad en dos segmentos en la razón

2:1, donde el segmento que llega al vértice mide el doble que el segmento que llega al lado.

5. Mediana (m): es el segmento que une los puntos medios de dos lados del triángulo. Cada

mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de él. Al dibujar las tres medianas de

un triángulo, se forman cuatro triángulos congruentes entre sí.

El perímetro de un triángulo es la suma de todos los lados de él.

El área de un triángulo = 𝑏𝑎𝑠𝑒∙𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

2

Sea un triángulo equilátero de lado a: 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎(ℎ) =𝑎√3

2

Á𝑟𝑒𝑎 =𝑎2√3

4

Según sus ángulos, los triángulos se pueden clasificar como: acutángulo si tiene los tres ángulos

agudos, obtusángulo si tiene un ángulo obtuso y rectángulo si tiene un ángulo recto.

Según sus lados, los triángulos se pueden clasificar como: equilátero si tiene los tres lados

congruentes, isósceles si tienen dos lados congruentes y escaleno si no tienen lados congruentes

entre sí.

Congruencia de triángulos (≈)

Dos figuras son congruentes cuando tienen igual forma y tamaño. Criterios de congruencia:

LLL: si dos triángulos tienen los tres lados congruentes, entonces los triángulos son congruentes

entre sí.

LAL: si dos triángulos tienen dos lados congruentes y el ángulo comprendido entre ambos es

congruente, entonces los triángulos son congruentes entre sí.

ALA: si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes entre sí, y el lado entre ambos congruentes,

entonces los dos triángulos son congruentes entre sí.

AAL: si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes entre sí y el lado opuesto al primero, entonces

los dos triángulos son congruentes entre sí.

Semejanza de triángulos (~)

Dos figuras son semejantes si tienen igual forma, pero distinto tamaño. Para que dos triángulos sean

semejantes se cumple que sus que sus ángulos correspondientes son congruentes entre sí y los lados

homólogos son proporcionales.

LLL: si dos triángulos tienen los lados proporcionales entre sí, entonces los dos triángulos son

semejantes entre sí.

LAL: si dos triángulos tienen dos lados proporcionales y congruentes el ángulo entre ambos,

entonces son semejantes entre sí.

AA: si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes, entonces son semejantes entre sí.

Teorema de Pitágoras

h a b

𝑎2 + 𝑏2 = ℎ2 Cateto al cuadrado más cateto al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado. La hipotenusa es opuesta al ángulo recto.

Los números pitagóricos son: (3 – 4 - 5), (5 – 12 - 13) y (8 – 15 - 17)

Teorema de Euclides

b a h p q

𝑎2 = 𝑞 ∙ (𝑝 + 𝑞) 𝑏2 = 𝑝 ∙ (𝑝 + 𝑞) ℎ2 = 𝑝 ∙ 𝑞

ℎ =𝑎 ∙ 𝑏

𝑝 + 𝑞

Trigonometría

c

a

𝛼

b

𝑠𝑒𝑛(𝛼) =𝑎

𝑐=

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

cos(𝛼) =𝑏

𝑐=

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑡𝑔(𝛼) =𝑎

𝑏=

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

sec(α) =1

cos (𝛼)=

𝑐

𝑏

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝛼) =1

𝑠𝑒𝑛(𝛼)=

𝑐

𝑎

𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼) =1

𝑡𝑔(𝛼)=

𝑏

𝑎

Identidades Trigonométricas

𝑠𝑒𝑛2(∝) + 𝑐𝑜𝑠2(∝) = 1

1 + 𝑡𝑎𝑛2(∝) = 𝑠𝑒𝑐2(∝)

1 + 𝑐𝑜𝑡2(∝) = 𝑐𝑠𝑐2(∝)

0 30 o π⁄6 45 o π⁄4 60 o π⁄3 90 o π⁄2 180 o π 270 o 3 π⁄2

𝒔𝒆𝒏(𝜶) 0 1

2

√2

2

√3

2 1 0 -1

𝐜𝐨𝐬 (𝜶) 1 √3

2

√2

2

1

2 0 -1 0

𝒕𝒈(𝜶) 0 √3

3 1 √3 Indef. 0 Indef.

𝑠𝑒𝑛(∝) = 𝑠𝑒𝑛(∝ +2𝜋)

𝑡𝑔(∝) = 𝑡𝑔(∝ +𝜋)

cos(∝) = cos(−∝)

𝑠𝑒𝑛(∝) = −𝑠𝑒𝑛(−∝)

Teorema del Seno

𝑠𝑒𝑛(∝)

𝑎=

𝑠𝑒𝑛(𝛽)

𝑏=

𝑠𝑒𝑛(𝛾)

𝑐

Teorema del Coseno

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 ∙ cos(𝛼)

𝑏2 = 𝑐2 + 𝑎2 − 2𝑎𝑐 ∙ cos(𝛽) Ver figura anterior

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 ∙ cos(𝛾)

α β

γ

a

b

c

El Cuadrado

Diagonal = 𝑎√2

Perímetro = 4𝑎

Área = 𝑎2 =𝑑2

2

El Rectángulo

Diagonal (d) = √𝑎2 + 𝑏2

Perímetro = 2(𝑎 + 𝑏)

Área = 𝑎 ∙ 𝑏

El Rombo

d1

d2

a a h

a

a

β

β

α

α

a

d

b

a

d

Perímetro = 4𝑎

Área = 𝑎ℎ =𝑑1𝑑2

2

El Romboide

Perímetro =2(𝑎 + 𝑏)

Área =𝑏ℎ

El Trapecio

Perímetro = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑

𝑚 =𝑎 + 𝑏

2

Área = 𝑚ℎ

α

α β

β

b

a h

b

a

m

h

α β

γ δ

c

a

d

b

El Deltoide

Perímetro =2(𝑎 + 𝑏)

Área =𝑑1𝑑2

2

Circunferencia

Perímetro de la circunferencia = 2𝜋𝑟

Área de la circunferencia = 𝜋𝑟2

Perímetro del sector circular = 2𝑟 +𝛼∙2𝜋𝑟

360

Área del sector circular = ∝∙𝜋𝑟2

360

a a

b b

α α

β β

d1

d2

O

α

r

Teoremas de Circunferencia

α β δ γ

Ángulo inscrito y ángulo del centro correspondiente

𝛽 = 2𝛼 𝛼 = 𝛾 + 𝛿

𝛽 = 2𝛾 + 2𝛿

E D α β C γ B A

Igualdad de ángulos inscritos

𝐴𝐶�� = 𝐴𝐷�� = 𝐴𝐸�� 𝛼 = 𝛽 = 𝛾

C A B O

Ángulo recto en una semicircunferencia

< 𝐴𝐶𝐵 = 90º

D B C A

Teorema del ángulo exinscrito

< 𝐴𝐵𝐶 =𝐴�� + 𝐵��

2

𝐶𝐷 : 𝑆𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒

C B A

Teorema del ángulo semiinscrito

< 𝐴𝐵𝐶 =𝐵��

2

𝐴𝐵 : 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

B D E A C

Teorema del ángulo interno

< 𝐴𝐸𝐶 =𝐴�� + 𝐵��

2

α β δ γ

Cuadrilátero inscrito en una circunferencia

𝛼 + 𝛾 = 𝛽 + 𝛿

c d b a

Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia

𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑑

A P B

Igualdad de tangentes

𝑃𝐴 = 𝑃𝐵

C D P B A

Teorema de las secantes

𝑃𝐴 ∙ 𝑃𝐵 = 𝑃𝐶 ∙ 𝑃𝐷

B A P T

Teorema de la tangente y la secante

𝑃𝑇2 = 𝑃𝐴 ∙ 𝑃𝐵

B C P A D

Teorema de las cuerdas

𝑃𝐴 ∙ 𝑃𝐵 = 𝑃𝐶 ∙ 𝑃𝐷

A B P T

Teorema del ángulo exterior

< 𝐴𝑃𝑇 =𝐴�� − 𝐵��

2

A C P B


< 𝐴𝑃𝐵 =𝐴𝐶�� − 𝐴��

2

A D P C B


< 𝐴𝑃𝐵 =𝐴�� − 𝐶��

2

Vectores y Transformaciones Isométricas

La distancia entre dos puntos o módulo de un vector

Dados A(x1, y1) y B(x2, y2), 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝐴,𝐵 𝑜 |𝐴𝐵 | = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)

2

Determinación de un vector

Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), entonces 𝐴𝐵 = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1)

Ponderación de un vector

Dado un vector �� = (𝑎, 𝑏) 𝑦 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑘, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑘 ∙ �� = (𝑘 ∙ 𝑎, 𝑘 ∙ 𝑏)

Suma vectorial

Dados los vectores �� = (𝑎, 𝑏) 𝑦 𝑣 = (𝑐, 𝑑), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 �� + 𝑣 = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑)

Resta vectorial

Dados los vectores �� = (𝑎, 𝑏) 𝑦 𝑣 = (𝑐, 𝑑), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 �� − 𝑣 = (𝑎 − 𝑐, 𝑏 − 𝑑)

Traslación en el plano

Dados un punto P y un vector traslación �� , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑃(𝑥, 𝑦) + �� (𝑎, 𝑏) = 𝑃′(𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏)

Rotación en el plano con respecto al origen

Ángulo 0 90 180 270 360

Punto (x, y) (-y, x) (-x, -y) (y, -x) (x, y)

Rotación en el plano con respecto a un punto distinto del origen

Para rotar un punto P(x1, y1) con respecto a un punto distinto del origen C(x0, y0) en un ángulo α, es

equivalente a rotar el vector T(x1-x0, y1-y0) con respecto al origen en un ángulo α y luego sumar esta

rotación al punto C.

Simetría axial

Es la simetría que se realiza con respecto a una recta o al eje X o al eje Y.

Simetría central

Es la simetría que se realiza con respecto a un punto. Es equivalente a una rotación en 180º con

respecto a dicho punto.

Homotecia

Una homotecia es una transformación geométrica, que dado un centro de homotecia O y una razón

de homotecia k, transforma todo punto P en un punto P’ tal que 𝑂𝑃′ = |𝑘| ∙ 𝑂𝑃, O, P y P’ colineales.

Para trazar una figura:

Paso 1. Ubica el punto de homotecia.

Paso 2. Marcamos la figura dada.

Paso 3. Tomamos las medidas del punto de homotecia a los vértices de la figura.

Paso 4. Multiplicamos cada medida por la razón dada.

Paso 5. Se marcan los vértices con las nuevas medidas.

Paso 6. Se unen los vértices para crear una nueva figura.

Teorema de Thales

Caso general del Teorema de Thales: Sean L1//L2//L3, intersectadas por L4 y L5. Se cumple que: L4 L5

L1

L2

L3

𝐴𝐵

𝐵𝐶 =

𝐷𝐸

𝐸𝐹 ;𝐴𝐵

𝐴𝐶 =

𝐷𝐸

𝐸𝐹 ;𝐵𝐶

𝐴𝐶 =

𝐸𝐹

𝐷𝐹

A D

B E

C F

Primer caso particular del Teorema de Thales: Sean L1//L2. Sean L4 y L5, transversales como

muestra la figura. Se cumple que:

L4 L5

𝑂𝐴

𝐴𝐵 =

𝑂𝐶

𝐶𝐷 ;𝑂𝐴

𝑂𝐵 =

𝑂𝐶

𝑂𝐷 ;𝐴𝐵

𝑂𝐵 =

𝐶𝐷

𝑂𝐷

𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠,𝑂𝐴

𝐴𝐶=

𝑂𝐵

𝐵𝐷 ;𝑂𝐶

𝐴𝐶 =

𝑂𝐷

𝐵𝐷

Segundo caso particular del Teorema de Thales: Sean L1//L2. Sean L4 y L5, transversales como muestra la figura. Se cumple que: L4 L5 L1 O L2

𝐴𝑂

𝑂𝐵 =

𝐶𝑂

𝑂𝐷 ;𝐴𝑂

𝐴𝐵 =

𝐶𝑂

𝐶𝐷 ;𝑂𝐵

𝐴𝐵 =

𝑂𝐷

𝐶𝐷

𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠,𝑂𝐴

𝐴𝐶=

𝑂𝐵

𝐵𝐷 ;𝑂𝐶

𝐴𝐶 =

𝑂𝐷

𝐵𝐷

A C

B D

L1

L2

O

C

B D

A

División de segmento y teorema de la bisectriz

División interior de un segmento: dado un trazo AB, un punto P lo divide interiormente en la razón m:n si se cumple que P pertenece al trazo AB y AP:PB = m:n. A P B

𝐴𝑃

𝑃𝐵 =

𝑚

𝑛

División exterior de un segmento: dado un trazo AB, un punto P lo divide exteriormente en la razón m:n si se cumple que P pertenece a la prolongación del trazo AB (sin pertenecer al trazo) y AP:PB = m:n. A B P

𝐴𝑃

𝑃𝐵 =

𝑚

𝑛

Teorema de la bisectriz: el teorema de la bisectriz establece una proporción válida en todo triángulo donde esté dibujada una bisectriz. Sea el triángulo ABC con bisectriz interior CD. Se cumple que: α α

𝐴𝐶

𝐴𝐷 =

𝐶𝐵

𝐷𝐵

𝑏

𝑢=

𝑎

𝑣

C

A B

b a

u v D

Distancia en el espacio

𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)

2 + (𝑧2 − 𝑧1)2

Ecuación vectorial de la recta en el espacio

Sean los puntos P0(x0, y0, z0) y P1(x1, y1, z1). La recta que pasa por ambos puntos es:

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) + 𝜆 ∙ (𝑑𝑥 , 𝑑𝑦, 𝑑𝑧) 𝑐𝑜𝑛 𝜆 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙

La dirección de la recta queda determinada por el vector director:

(𝑑𝑥 , 𝑑𝑦, 𝑑𝑧) = (𝑥1 − 𝑥0, 𝑦1 − 𝑦0, 𝑧1 − 𝑧0)

Plano en el espacio vectorial

Por tres puntos distintos no colineales en el espacio pasa un único plano. Dos rectas que se

intersectan en un punto, determinan un único plano. Sean los puntos P0(x0, y0, z0), P1(x1, y1, z1) y

P2(x2, y2, z2), podemos determinar el plano que pasa por dichos puntos:

��

𝑣

Todo punto P(x, y, z) del plano π satisface la ecuación vectorial del plano:

π : (x, y, z)= (x0, y0, z0)+λ𝑑 + μ𝑣

Para determinados λ y μ 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠.

Donde �� y 𝑣 son vectores directores del plano . Dados los puntos P0, P1, P2, son vectores directores:

�� = 𝑃0𝑃1 𝑦 𝑣 = 𝑃0𝑃2

El punto P0(x0, y0, z0) pertenece al plano.

P0

P2

P1

P(x1, y1, z1)

Q(x2, y2, z2)

Fórmulas de Área y Volumen de Cuerpos Geométricos

Figura Esquema Área Volumen

Cilindro

h

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2𝜋𝑟(ℎ + 𝑟)

𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ

Esfera

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 4𝜋𝑟2

𝑉 =4

3𝜋𝑟3

Cono

g h

𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜋𝑟2 + 𝜋𝑟𝑔

𝑉 =𝜋𝑟2ℎ

3

Cubo

a

𝐴 = 6𝑎2

𝑉 = 𝑎3

Prisma

a c b

𝐴 = 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑐𝑏

𝑉 = 𝑎𝑏𝑐

Pirámide

a h b b

𝐴 =4𝑎𝑏

2+ 𝑏2

𝑉 =𝑏2ℎ

3

r

r

r

Tetraedro

a

𝐴 = 𝑎2√3

𝑉 =√2

12𝑎3

Estadística

Para datos agrupados

Marca Clase Estatura (cm)

Frecuencias Absolutas Frecuencias Relativas

Simple(f) Acumulada(F) Simple(h) Acumulada(H)

1,055 1,01 – 1,10 1 1 0,033 0,033

1,155 1,11 – 1,20 3 4 0,1 0,133

1,255 1,21 – 1,30 3 7 0,1 0,233

1,355 1,31 – 1,40 2 9 0,066 0,299

1,455 1,41 – 1,50 6 15 0,2 0,499

1,555 1,51 – 1,60 4 19 0,133 0,632

1,655 1,61 – 1,70 3 22 0,1 0,732

1,755 1,71 – 1,80 3 25 0,1 0,832

1,855 1,81 – 1,90 2 27 0,066 0,898

1,955 1,91 – 2,00 3 30 0,1 0,998

30 0,998

1. Media Aritmética (��)

�� =∑ 𝑓𝑖 ∙ 𝑥𝑛

𝑖=1

𝑛

(1∙ 1,055 + 3 ∙ 1,155 + 3 ∙ 1,255 + 2 ∙ 1,355 + 6 ∙ 1,455 + 4 ∙ 1,555 + 3 ∙ 1,655 + 3 ∙ 1,755 + 2 ∙

1,855 + 3 ∙ 1,955)/30

�� = 1,525

2. Mediana

𝑀𝑒 = 𝐿𝑖𝑚. 𝐼𝑛𝑓.+

𝑛2 − 𝐹𝑎𝑖−1

𝑓𝑖∙ 𝑎𝑖

a: amplitud

N = 30 n/2 = 15 Fai-1 = 9 fi=6 a = 0,09 Lim. Inf. = 1,41

1,41 +

302 − 9

6∙ 0,09

1,41 + 0,09

1,5

3. Moda

Se ubica en la tabla la fila de la moda.

𝑀𝑜 = 𝐿𝑖𝑚. 𝐼𝑛𝑓.+ 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1

(𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1) + (𝑓𝑖 − 𝑓𝑖+1)∙ 𝑎𝑖

1,41 +6 − 2

(6 − 2) + (6 − 4)∙ 0,09

1,41 + 4

4 + 2∙ 0,09

1,47

Para datos no agrupados

Dados los siguientes datos 2, 3, 5, 5, 7

1. Media Aritmética

�� = ∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

2 + 3 + 5 + 5 + 7

5

22

5= 4,4

2. Mediana

Me = 5

3. Moda

Mo = 5

Medidas de Dispersión

1. Rango: corresponde a la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de un conjunto.

2. Varianza

𝜎2 =∑ (𝑥𝑖 − ��)2𝑛

𝑖=1

𝑛

3. Desviación Estándar

a. Datos no agrupados

𝜎 = √∑ (𝑥𝑖 − ��)2𝑛

𝑖=1

𝑛

b. Datos agrupados

𝜎 = √∑ 𝑓𝑖 ∙ (𝑥𝑖 − ��)2𝑛

𝑖=1

𝑛

Ejemplo

Nota fi Marca de Clase

3 – 3,9 3 3,45

4 – 4,9 11 4,45

5 – 5,9 10 5,45

6 - 7 6 6,5

n=30

�� =3 ∙ 3,45 + 11 ∙ 4,45 + 10 ∙ 5,45 + 6 ∙ 6,5

30

�� = 5,093 ≈ 5,1

𝜎 = √3 ∙ (3,45 − 5,1)2 + 11 ∙ (4,45 − 5,1)2 + 10 ∙ (5,45 − 5,1)2 + 6 ∙ (6,5 − 5,1)2

30

𝜎 = √35,94

30= 1,09

Distribución Normal o de Gauss

N(0,1) . Una variable X con promedio 0 y desviación estándar 1.

Tabla para conocer el área bajo la curva

X Área

intervalo ] − ∞, 𝑋]

X

Área intervalo ] − ∞, 𝑋]

X

Área intervalo ] − ∞,𝑋]

-3,1 0,0010 -1,0 0,1587 1,1 0,8643

-3,0 0,0013 -0,9 0,1841 1,2 0,8849

-2,9 0,0019 -0,8 0,2119 1,3 0,9032

-2,8 0,0026 -0,7 0,2420 1,4 0,9192

-2,7 0,0035 -0,6 0,2743 1,5 0,9332

-2,6 0,0047 -0,5 0,3085 1,6 0,9452

-2,5 0,0062 -0,4 0,3446 1,7 0,9554

-2,4 0,0082 -0,3 0,3821 1,8 0,9641

-2,3 0,0107 -0,2 0,4207 1,9 0,9713

-2,2 0,0139 -0,1 0,4602 2,0 0,9772

-2,1 0,0179 0,0 0,5000 2,1 0,9821

-2,0 0,0228 0,1 0,5398 2,2 0,9861

-1,9 0,0287 0,2 0,5793 2,3 0,9893

-1,8 0,0359 0,3 0,6179 2,4 0,9918

-1,7 0,0446 0,4 0,6554 2,5 0,9938

-1,6 0,0548 0,5 0,6915 2,6 0,9953

-1,5 0,0668 0,6 0,7257 2,7 0,9965

-1,4 0,0808 0,7 0,7580 2,8 0,9974

-1,3 0,0968 0,8 0,7881 2,9 0,9981

-1,2 0,1151 0,9 0,8159 3,0 0,9987

-1,1 0,1357 1,0 0,8413 3,1 0,9990

Tipificación

Sea Z una variable estadística con distribución normal no tipificada de promedio µ y desviación

estándar 𝝈, entonces se puede transformar la variable Z en una variable estadística X con

distribución normal tipificada mediante el cambio 𝑋 =𝑍−𝜇

𝜎.

-3 -2 -1 0 1 2 3

El intervalo de confianza de nivel (1 )100%, con 0, 1, para la media de una población

que se modela con una distribución normal de varianza conocida , a partir de una muestra x1, x2,

…, xn de tamaño n es:

Combinatoria

Nombre de Combinatoria Fórmula ¿Importa el orden?

Permutación

n! Sí

Permutación con repetición 𝑛!

𝑎! 𝑏! 𝑐! …

Sí

Variación 𝑛!

(𝑛 − 𝑘)!

Sí

Variación con repetición

𝑛𝑘 Sí

Combinación 𝑛!

𝑘! (𝑛 − 𝑘)!

No

Combinación con repetición (𝑛 + 𝑘 − 1)!

𝑘! (𝑛 − 1)!

No

Ejemplos:

Permutación: de los 5 primeros números naturales se escogen 5. 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120.

Permutación con repetición: de 3 números naturales repetidos (2, 3, 4) se escogen tres 2, cuatro 3

y dos 4. 9!

3!∙4!∙2!=

9∙8∙7∙6∙5

3∙2∙2= 9 ∙ 4 ∙ 7 ∙ 5 = 1260.

Variación: de los 5 primeros números naturales se escogen 3.

5 – 4 – 2

3 – 2 – 1

1 – 2 – 3 (donde si importa el orden)

…

5!

(5 − 3)!= 5 ∙ 4 ∙ 3 = 60

Variación con repetición: de 4 casillas donde se ponen en cada una los 9 primeros números

naturales.

1 – 8 – 1 – 9

1 – 1 – 9 – 8 (donde si importa el orden)

…

94 = 9 ∙ 9 ∙ 9 ∙ 9 = 6561

Combinación: de los 5 primeros números naturales se escogen 3.

2 – 3 – 4

3 – 5 – 1

1 – 5 – 3 (no importa el orden, la secuencia se considera 1 vez)

…

5!

3! (5 − 3)!=

5 ∙ 4

2= 10

Combinación con repetición: de los 4 primeros números naturales se escogen 3.

1 – 1 – 1

2 – 1 – 1

1 – 2 – 3

3 – 2 – 1 (no importa el orden, la secuencia se considera 1 vez)

…

(4 + 3 − 1)!

3! (4 − 1)!=

6 ∙ 5 ∙ 4

3 ∙ 2= 20

Probabilidad

Espacio Muestral (E): es el conjunto formado por todos los resultados posibles del experimento

aleatorio.

Evento o Suceso: corresponde a todo subconjunto de un espacio muestral, asociado a un

experimento aleatorio.

𝑃(𝐴) + 𝑃(��) = 1

𝑅𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝑃(𝐴) =𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴

𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴 𝑦 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴 ó 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵 𝐴⁄ ) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴)

En el caso de un experimento aleatorio con 2 dados se usa la tabla de doble entrada donde se anotan

los casos favorables:

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

En el caso de un experimento aleatorio con monedas se usa el siguiente diagrama:

1º 2º 3º C C S C C S S C C S S C S S 1º, 2º y 3º son los lanzamientos de las monedas

Variable aleatoria contínua

𝑃(𝑋 ≥ 𝑎) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎)

𝑃(𝑋 ≥ 𝑎) = 𝑃(𝑋 ≤ −𝑎)

𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑏) − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎)

Modelo Binomial

La probabilidad de tener éxito en un experimento aleatorio dicotómico es p y la probabilidad de

tener fracaso, en el mismo experimento, es q = 1 - p, entonces la probabilidad de obtener

exactamente k éxitos, al efectuar de forma independiente N veces dicho experimento aleatorio,

está dado por la expresión:

(𝑁𝑘)𝑝𝑘 ∙ 𝑞𝑁−𝑘

formulario psu matemÁtica

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