formulario analisi matematica

Universita’ Degli Studi “G.D’annunzio” – Facolta’ Di Architettura – A.A. 2009-2010

CORSO INTEGRATO DI MATEMATICA E INFORMATICA –

DOCENTE: prof. Arch. PIERPAOLO PALKA

CFU TOTALI 10 (matematica 6 cfu - informatica 4 cfu)

Universita’ Degli Studi “G.D’annunzio” – Facolta’ Di Architettura – A.A. 2009-2010

CORSO INTEGRATO DI MATEMATICA E INFORMATICA –

DOCENTE: prof. Arch. PIERPAOLO PALKA

CFU TOTALI 10 (matematica 6 cfu - informatica 4 cfu)

FORMULARIO

Gradi ° Radianti Seno Coseno Tangente Cotangente

0° 0 0 1 0 ∞

10° π/18 0,1736 0,9848 0,1763 5,6713

15° π/12 0,2588 0,9659 0,2679 3,7321

20° π/9 0,3420 0,9397 0,3640 2,7475

25° 0,4226 0,9063 0,4663 2,1445

30° π/6 0,5000 0,8660 0,57735 1,7321

35° 0,5736 0,8192 0,7002 1,4281

40° 2π/9 0,6428 0,7660 0,8391 1,1918

45° π/4 0,7071 0,7071 1 1

60° π/3 0,8660 0,5000 1,7321 0,5774

90° π/2 1 0 ∞ 0

180° π 0 -1 0 ∞

270° 3/2π -1 0 ∞ 0

360° 2π 0 1 0 ∞

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI “G.D’ANNUNZIO” - FACOLTA’ DI ARCHITETTURA – CORSO INTEGRATO DI MATEMATICA E INFORMATICA –

A.A. 2009-2010 – DOCENTE: PIERPAOLO PALKA



OPERAZIONI CON LE DERIVATE

SOMMA ALGEBRICA TRA DERIVATE

La derivata della somma di due funzioni derivabili è uguale alla somma delle derivate delle funzioni stesse, cioè:

)]()([ xgxfy

)(')('' xgxfy

Allo stesso modo se abbiamo:

)]()([ xgxfy

)(')('' xgxfy




PRODOTTO TRA DERIVATE

La derivata del prodotto di due funzioni derivabili è uguale al prodotto della derivata della prima funzione per la seconda invariata più il prodotto della derivata della seconda funzione per la prima invariata, cioè:

)]()([ xgxfy

)(')()()('' xgxfxgxfy




QUOZIENTE DI DUE FUNZIONI

La derivata del quoziente di due funzioni derivabili con il denominatore ovviamente diverso da 0 è uguale a una frazione che ha:

)()(

xgxfy

2)]([)(')()()(''

xgxgxfxgxfy

per denominatore il quadrato del denominatore

e per numeratore il prodotto del denominatore invariato per la derivata del numeratore meno il prodotto del numeratore invariato per la derivata del denominatore, cioè



Derivate elementari

nxy

xy 1'

xey

xy

1' nxny

)log(xy

xey '

xy

21'



Derivate elementari

senxy

xy cos

xy cos'

senxy '

)(log xy a ex

y alog1'

xay aay ex log'



Integrali elementari

nxy cnxdxx

nn

1

1

xy 1 cxdx

x ln1

xey cedxe xx

xy cxxdxx 32



INTEGRALI DELLE FUNZIONI INVERSE DELLE FUNZIONI CIRCOLARI

dxx21

1 cxarctg )(

dxx21

1 cxarcsen )(

cmxarctg

mdx

mx

11

22

cm

kxarctgm

dxmkx

1)(1

22



Integrali elementari

senxy cxdxsenx cos

tgxy cxdxx

senx coslog

cos

gxy cot csenxdxx

senx log

cos

xy cos csenxdxx cos



INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE

In alcuni casi (specie in presenza di funzioni irrazionali o goniometriche) è utile introdurre sotto il segno di integrale una variabile ausiliaria, ottenendo un integrale più semplice da calcolare riconducendoci alla regola fondamentale.

Il procedimento si sviluppa attraverso i seguenti passaggi:

1) Si stabilisce la sostituzione f(x)=t.

2) Si calcola il differenziale della funzione sostituita.

3) Nell’integrale da risolvere alla x e al dx si sostituiscono le espressioni che si sono ricavate dal punto 2).4) Si calcola l’integrale che ha per variabile di integrazione la t.5) Al risultato dell’integrale si sostituisce al posto della t la sua espressione

iniziale.



INTEGRAZIONE PER PARTI

Capita a volte che la funzione integranda si presenti come il prodotto di due funzioni, tali che nessuna di esse sia la derivata dell’altra. In questi casi, è opportuno risolvere l’integrale con il metodo di integrazione per parti.Detto:

l’integrale di partenza, chiamiamo:

a(x) fattore finito e b(x) fattore differenziale

La soluzione di questo integrale è data dalla seguente formula:

ossia l’integrazione per parti si risolve moltiplicando il fattore finito per l’integrale del fattor differenziale meno il prodotto tra l’integrale dell’integrale trovato per il differenziale del fattore finito.

dxxbxa )()(

)()()()( xadxbxbxa

=

dxxf

dxxfxGx )(

)(



APPLICAZIONE INTEGRALE=

Calcolo del baricentro:

Calcolo dell’area:

b

a

dxxfA )(

FORMULA DI TAYLOR

)(...)(''!2

)()('

!1)()( 0

20

00

0 xRxfxx

xfxx

xfxf n

Se la formula di Taylor è scritta intendendo che x0 sia uguale a 0 e il punto è appartenente al campo di esistenza, la formula prende il nome di MacLaurin .



Formule da ricordare per centrare una figura

Occorre per prima cosa calcolare la scala. Per fare ciò dobbiamo valutare i seguenti casi, ovvero:Se Lmax>Hmin allora potrebbe accadere che

Se Lmin<Hmax allora potrebbe accadere che

2) L >=H per cui la SCALA = Hmin/L

3) L >=H per cui la SCALA = Lmin/L4) L< H per cui la SCALA = Lmin/H

1) L< H per cui la SCALA = Hmin/H

Lmax

Hmin H

LLmax

HminH

LLmin

Hmax

H

L

Lmin

Hmax

H

L



Formule da ricordarePer trasformare le coordinate reali dell’oggetto in coordinate pixel ci serviremo delle seguenti formule:

X = round( ( x - Ox ) * Scala)Y = -round( ( y + Oy ) * Scala)

In questa formula non si conoscono i valori dell’origine 0x e 0y.Per trovare tali valori ricorreremo alla seguente formula:

L’operatore round occorre introdurlo per arrotondare a numeri naturali i prodotti ottenuti

tra numeri reali.

5.0*max)min(5.0*min

5.0*max)min(5.0*max

YYScalaHOy

XXScalaLOx

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