fórmula de inversión de möbius
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UNIVERSIDAD DE PANAMÁ
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES EXACTAS Y
TECNOLOGÍAS
ESCUELA DE MATEMÁTICA
LA FORMULA DE INVERSIÓN DE MÖBIUS
CIPRIANO BONILLA A.
CED: 8-826-1580
Ciudad Universitaria, Octavio Méndez Pereira
Panamá, 2011
Trabajo presentado en el
Seminario como opción para la
obtención del Título de
Licenciado en Matemática.
1
DEDICATORIA
A mi familia y en especial a mi madre por sus esfuerzos y apoyo incondicional en cada
etapa de mi vida.
A mis vecinos y amigos de la comunidad de La Gloria, dulce hogar, por ser la inspiración
de querer ser alguien en la vida y ayudar a los demás.
2
AGRADECIMIENTO
Primeramente a Dios nuestro padre y creador de todo, por ayudarme en cada momento
de mi vida.
Al Doctor Jaime Gutiérrez, profesor del Departamento de Matemática y encargado del
Seminario que ha permitido desarrollar el presente trabajo, por su paciencia, ayuda y
disponibilidad de brindar información y guía.
A todos y cada uno de mis compañeros del Cuarto año de la Licenciatura en Matemática
por haberme ayudado y motivado a hacer este trabajo.
3
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN……………………………………………..………..1
AUGUST FERDINAND. MÖBIUS.……………….……………………..2-5
FUNCIONES ARITMÉTICAS…………………………..……………....6-9
CONVOLUCIÓN DE DIRICHLET O PRODUCTO DE DIRICHLET……..10-11
LA FUNCIÓN DE MÖBIUS……………………………………...……12-17
LA FORMULA DE INVERSIÓN DE MÖBIUS……………………………18-23
APLICACIONES DE LA FORMULA DE INVERSIÓN DE MÖBIUS
EN LA DEMOSTRACIÓN DE TEOREMAS……………….……..24
EN LOS POLINOMIOS IRREDUCIBLES………………..…...25-27
EN LA TEORÍA DE LOS SISTEMAS DINÁMICOS……………28-29
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES…………………………………30
BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………..………31
4
RESUMEN
Este trabajo tiene como objetivo cumplir con uno de los requisitos establecidos por la
Universidad para la obtención del título universitario.
Se pretende ampliar el nivel de conocimiento sobre La Fórmula de Inversión de
Möbius,veremos algunas demostraciones (pruebas) y aplicaciones o usos que le podemos
dar. Para esto necesitamos introducirnos en las Funciones Aritméticas, en las cuales no
profundizaremos a fondo, ya que solo nos dedicaremos a dar la definición, algunos
ejemplos y propiedades, haciendo rápida mención especial a la Convolución o Producto
de Dirichlet el cual nos será de gran utilidad, nos enfocaremos más en la Función de
Möbius a pesar de su arbitraria definición, esta función será de gran importancia, para
entrar a nuestro enfoque de estudio “La Fórmula de Inversión de Möbius”.
5
INTRODUCCIÓN
La Teoría de Números es una rama de la Matemática que estudia las propiedades de los
enteros positivos 1; 2; 3;… o números naturales (Schroeder, 1990). Dichos números
constituyeron el primer descubrimiento matemático y el interés en ellos es tan antiguo
como la misma civilización. Los retos intelectuales de los problemas de la Teoría de
Números han atraído a matemáticos notables desde el tiempo de Pitágoras (c. 540 a.c.) y
el trabajo realizado en la búsqueda de soluciones a dichos problemas ha resultado en la
creación de nuevas ramas de laMatemática. El desarrollo de las computadoras y las
comunicaciones digitales ha mostrado que la Teoría de Números es capaz de dar
respuestas inesperadas a problemas de aplicación práctica (Hardy y Wright, 1984).
La Teoría de Números es posiblemente el área más rica de laMatemática; en ellas
confluyen las demás y de ella nacen muchas otras.
Estudiar la Teoría de Números es estudiar la obra de grandes genios que se dedicaron a
ella y es una excelente forma de adquirir lo que se conoce como “madurez matemática”.
El tema principal de esta monografía es el estudio de La Fórmula de Inversión de
Möbius y algunos temas relacionados con ella, pero que también tiene un interés por sí
mismos, como lo es la Función de Möbius y las Funciones Aritméticas.
Es así como se pretende ser y proporcionar gran ayuda a aquellos que deseen
incursionar en este bello tema de la Teoría de Números. Se presupone que el lector ya
haya visto un curso en Teoría de Números, pues el objetivo principal es el de utilizar este
trabajo como complemento de los textos tradicionales de Teoría de Números.
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LA FORMÚLA DE INVERSIÓN DE MÖBIUS
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1. CONTEXTO HISTÓRICO
AUGUST FERDINAND. MÖBIUS.
Figura 1. August Ferdinand Möbius.
La fórmula de inversión de, objeto de nuestro trabajo, es
asociada al matemático alemán August Ferdinand
Möbius.
Nació el 17 de noviembre de 1790 en Schulpforta,
Sajonia, ahora Alemania, y murió el 26 de septiembre de
1868 en Leipzig, Alemania. Fue hijo único de Johann
Heinrich Möbius, un maestro de baile, quien falleció
cuando August tenía tres años de edad.
Su madre era descendiente de Martín Lutero. Möbius fue educado en casa hasta los 13
años de edad y ya entonces mostraba interés en laMatemática. Fue a la universidad en
Schulpforta en 1803. Se graduó en 1809 y se convirtió en estudiante de la Universidad de
Leipzig. Su madre deseaba que estudiase leyes y, en efecto, comenzó a estudiar esa
materia. Sin embargo, pronto descubrió que esto no lo satisfacía y en la mitad de su
primer año decidió seguir sus propias preferencias en vez de las de su familia. Así
comenzó a estudiar Matemática, Astronomía y Física.
El maestro que más influencia tuvo sobre Möbius durante su estancia en Leipzig fue el
astrónomo y matemático Karl Mollweide, quien también es bien conocido por un cierto
número de descubrimientos matemáticos, en particular, las relaciones trigonométricas de
Mollweide, que descubrió entre 1807 y 1809, y la proyección conforme de mapas de
Mollweide, es decir, que conserva ángulos.
En 1813, Möbius viajó a Göttingen, donde estudió Astronomía bajo la dirección de
Gauss, quien era director del Observatorio en Göttingen y, por supuesto, considerado por
8
muchos el más grande matemático de su época. Así, nuevamente Möbius pudo estudiar
con un astrónomo, cuyos intereses eran de tipo matemático. De Göttingen, Möbius se fue
a Halle, donde estudió con Johann Pfaff, maestro también de Gauss. Con Pfaff, Möbius
estudió Matemática más que Astronomía, así que a estas alturas ya estaba trabajando
sólidamente en ambas disciplinas.
En 1815, Möbius escribió su tesis doctoral sobre La ocultación de estrellas fijas, escrita
originalmente en latín con el título “Decomputandisoccultationibusfixarum per planetas”
y comenzó a trabajar en su Habilitación, que es un grado posterior al doctorado, que en
muchas universidades de Europa central se exige para ocupar una plaza definitiva como
profesor universitario. De hecho, mientras escribía este trabajo, hubo un intento de
enrolarlo en el ejército prusiano. Möbius escribió:
“Ésta es la idea más horrible que he escuchado, y cualquiera que se aventure, ose, se
atreva, inste y tenga la audacia de proponérmelo ya no estará seguro ante mi daga”.
Evitó el ejército y terminó su trabajo de Habilitación sobre Ecuaciones Trigonométricas.
El interés de Mollweide en laMatemática era tal que había desocupado la cátedra de
astronomía para ocupar la de Matemática en Leipzig, por lo que Möbius tenía grandes
esperanzas de ser nombrado profesor de Astronomía ahí mismo. En efecto, ocupó la
cátedra de astronomía y mecánica superior en la Universidad de Leipzig en 1816. Su
nombramiento inicial fue como Profesor Extraordinario.
Sin embargo, Möbius no fue promovido pronto a profesor titular. Parecía que no era un
buen expositor en sus clases, por lo que no atraía estudiantes que pagaran cuota por sus
clases, lo que le hacía la vida difícil. Se vio forzado a anunciar sus cursos como gratuitos,
para que los estudiantes consideraran que valía la pena inscribirse en ellos.
Le ofrecieron una posición como astrónomo en Greifswald en 1816, y luego otra como
matemático en Dorpat en 1819. Rechazó las dos, en parte por su convicción acerca de la
alta calidad de la Universidad de Leipzig, y en parte por su lealtad hacia Sajonia. En 1825
Mollweide murió y Möbius aspiró a ser transferido a su cátedra de Matemática siguiendo
la ruta que Mollweide había seguido antes. Sin embargo, éste no fue el caso y se prefirió a
otro matemático para el puesto.
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Hacia 1844 la reputación de Möbius como investigador le valió una invitación a la
Universidad de Jena, y en esta etapa, también la Universidad de Leipzig le otorgó la
titularidad en su puesto de profesor de Astronomía, la que claramente se merecía.
Desde los días de su primer nombramiento en Leipzig, Möbius también ocupó el puesto
de Observador en el Observatorio en Leipzig. Se involucró en la reconstrucción del
Observatorio y de 1818 hasta 1821 supervisó el proyecto. Visitó varios otros
observatorios en Alemania antes de dar sus recomendaciones para el nuevo Observatorio.
En 1820 se casó y de su matrimonio tuvo una hija y dos hijos. En 1848 fue nombrado
director del Observatorio.
En 1844 Grossman visitó a Moebius. Le pidió que revisara su obra principal Die lineare
Ausdehnungslehre, einneuerZweig der Mathematik(La Teoría de Expansión Lineal, una
nueva rama de laMatemática) (1844), que contenía muchos resultados similares a los de
Möbius. Aunque Möbius no comprendió la importancia de la obra de Grossman y no la
revisó, lo convenció de someterla para un premio y, después de que Grossman lo ganó, en
1847 Möbius escribió una revisión de la participación que lo hizo ganar. Su relación con
Grossman fue a todas luces conflictiva, su negativa a aceptar ese trabajo como tesis
doctoral y remitirlo a otro matemático sin haberlo leído es una mancha.
Aunque su obra más famosa es en Matemática, Möbius publicó una obra importante en
Astronomía, De ComputandisOccultationibusFixarum per Planetas (1815), concerniente
a las ocultaciones de los planetas. También escribió Die Hauptsätze der Astronomie (Los
principales postulados de la Astronomía)(1836) y Die Elemente der Mechanik des
Himmels (Los elementos de la Mecánica Celeste) (1843).
Las publicaciones de Möbius, si bien no siempre original, eran presentaciones efectivas y
claras. Sus contribuciones a laMatemática fueron descritas por su biógrafo Richard
Baltzer como sigue:
“La inspiración para su investigación casi siempre la encontró en la rica fuente de su
propia mente. Su intuición, los problemas que él mismo se planteaba y las soluciones que
encontraba, todas exhibían algo extraordinariamente ingenioso, algo original en una
forma espontánea. Trabajaba sin prisa, tranquilamente y solo. Su obra permaneció casi
10
bajo llave hasta que todo se fue poniendo en su lugar. Sin premura, sin pompa y sin
arrogancia, esperó a que los frutos de su mente maduraran. Sólo después de esa espera
publicó sus obras perfeccionadas...”
Casi toda la obra de Möbius fue publicada en el CrelleJournal, la primera revista
dedicada exclusivamente a publicar Matemática. La obra de Möbius de 1827 Der
barycentrischeCalkül (El cálculo baricéntrico), sobre Geometría Analítica, se convirtió
en un clásico e incluye muchos de sus resultados sobre Geometría Proyectiva y
Geometría Afín. En ella introduce las coordenadas homogéneas y también discute
transformaciones geométricas, en particular, transformaciones proyectivas. Introdujo una
configuración ahora llamada red de Möbius, que ha jugado un importante papel en el
desarrollo de la Geometría Proyectiva.
El nombre de Möbius está ligado con muchos importantes objetos matemáticos tales
como la función de Möbius, que introdujo en su artículo de 1831 Übereinebesondere Art
von Umkehrung der Reihen (Sobre una forma especial de invertir las series) así como la
fórmula de inversión de Möbius.[1]
La transformación de Möbius, importante en Geometría Proyectiva, no debe ser
confundida con la transformación de Möbius de la Teoría deNúmeros, que también lleva
su nombre.
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1.2 FUNCIONES ARITMÉTICAS
En teoría de números, una función aritmética es una función real o compleja ƒ(n),
definida sobre el conjunto de los números naturales, que "expresa alguna propiedad
aritmética en función de n".Las funciones aritméticas de mayor interés son las que
dependen de la factorización entre primos; además las funciones aritméticas juegan un
papel importante en el estudio de las propiedades de la divisibilidad de los números
enteros y la distribución de los primos.[2]
Definición 1.2.1: una función aritmética es una función . La mayor parte
de las veces la imagen también estará dentro de ℕ, o al menos de ℝ. El conjunto de
lasfunciones aritméticas se denota por F.
FUNCIONES ARITMÉTICAS NOTABLES:
1. Función unidad: u(n) = 1 para todo n ℕ.
2. Funciónidentidad: (n) =
3. = (número de divisores de n).
4. = (suma de los divisores de n).
5. (n) = , donde a ℝ (funciones divisores).
6. Indicatriz de Euler: ) = , (número de enteros positivos menores o
iguales que n que son primos con n).
7. (n) = , donde a ℝ.
8. = .
9. (número de primos menores o iguales que n).
10. Función de Mangold:
11. Función de Liouville:
12
12. Función de Möbius :
OPERACIONES ENTRE FUNCIONES ARITMÉTICAS.
La suma, la multiplicación y la división de funciones aritméticas están definidas de la
forma usual es decir:
1.
2.
3.
FUNCIONES ADITIVA Y MULTIPLICATIVA
Una función aritmética f es:
Una función aditiva es un una aritmética (n) que va desde los enteros positivos n
tales que cada vez que a y b son coprimos, la función del producto es la suma de
las funciones.
f(ab) = f(a) + f(b).
Una función aditiva f(n) es completamente aditiva o totalmente aditiva sif(ab) =
f(a) + f(b) se cumple para todos los enteros positivos a y b, inclusive aquellos que
no son coprimos.
Toda función completamente aditiva es aditiva, pero no viceversa.
A partir de cualquier función aditiva f(n) es fácil crear una función
multiplicativarelacionada g(n), utilizando la propiedad de que cuando a y b son
coprimos se cumple lo siguiente:
g(ab) = g(a) × g(b).
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Ejemplo:
La función g(n) = 2f(n) − f(1)
, .
Completamente multiplicativa si f(ab) =f(a)f(b) para todos los números naturales a
y b;
Ejemplo la función
Observación. Toda función completamente multiplicativa es multiplicativa.
Ejemplo. La función donde , la función y la función
constante son ejemplos de funciones completamente multiplicativas.
Lema 1.2.1.Si es una función multiplicativa entonces .
Demostración: como es no nula, existe tal que . Dado que
, pues , cancelando a ambos lados
de la ecuación se tiene que .
Lema 1.2.2.Sean funciones multiplicativas entonces es también una
función multiplicativa. Si además , entonces también es una
función multiplicativa.
Demostración. Es claro que . Sean , utilizando la propiedad
de las funciones multiplicativas y la conmutatividad en los complejos tenemos
que:
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Funciones aritméticas que son ni aditivas ni multiplicativas.
Hemos mencionados algunos ejemplos de funciones aritméticas que son aditivas y
multiplicativas. Aquí están algunos ejemplos que son ni aditivas ni multiplicativas:
r4(n), el número de maneras que n puede ser expresado como la suma de cuatro
cuadrados de los números enteros no negativos, donde distinguimos entre
diversas pedidos de los sumandos. Por ejemplo:
1 = 12+0
2+0
2+0
2 = 0
2+1
2+0
2+0
2 = 0
2+0
2+1
2+0
2 = 0
2+0
2+0
2+1
2, por lo tanto
r4(1)=4.
P(n), Función de la partición - el número de representaciones de n como suma de
los números enteros positivos, donde no distinguimos entre diversos pedidos de
los sumandos. Por ejemplo: P(2 · 5) = P(10) = 42 y P(2)P(5) = 2 · 7 = 14 ≠
42.
π (n), Función de cuenta primera - el número de primos inferior o igual a un
número dado n. Tenemos el π (1) = 0 y π (10) = 4 (primos debajo de 10 que
son 2, 3, 5, y 7).
ω (n), el número de distintos primos que dividen a un número dado n. Tenemos
el ω (1) = 0 y ω (20) = 2 (los primos que dividen a 20 que son 2 y 5).
Λ (n), función de von Mangold la cual se define para ser ln(p) si n es una energía
del número entero de una prima p y 0 para todo el otro n.
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1.3 Convolución de Dirichlet o Producto de Dirichlet.
Definición1.3.1.Sean funciones aritméticas. Definimos su convolución de
Dirichlet como una nueva función aritmética dada por
Esto puede escribirse equivalentemente:
(Llamando ). Notamos que en esta expresión los roles de f y g son
simétricos. En consecuencia, la convolución de Dirichlet es conmutativa, es decir:
Observación: se tiene que
Esto que la función aritmética es el elemento neutro para la convolución de Dirichlet.
Esto justifica la denominación que le hemos dado de “función aritmética identidad”.
Observación: la convolución de Dirichlet es asociativa, esto significa que si f,gy h son
tres funciones aritméticas, entonces:
Prueba:
Si asociamos al revés llegaríamos a la misma expresión.
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Observación. También se verifica la propiedad distributiva con respecto a la suma usual
de funciones aritméticas.
Donde se define por:
El hecho de que la convolución de Dirichlet verifique las propiedades usuales del
producto, significa que el conjunto de las funciones aritméticas tiene estructura de anillo
conmutativo con respecto a las operaciones de suma (usual) y convolución de Dirichlet.
Inversa de Dirichlet
Teorema 1.3.2: Si f es una función aritmética con , entonces existe una única
función aritmética , llamada la inversa de Dirichlet definida de la siguiente manera:
, en donde esta dada por la formula de recurrencia :
Demostración:
Probaremos que dada la ecuación tiene una única solución para
evaluada en n. para n=1, definimos , como , entonces existe
una única solución llamada .
Supongamos que esta dada definida para cada y probemos que esta definida
para n,
, o , luego,
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Si los valores de
Ya que , con lo cual se establece la existencia y la unicidad de dada por
inducción.
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1.4 FUNCIÓN DE MÖBIUS.
En el campo de la aritmética, la función μ (« mu » o « my ») de Möbius se define así:
Para todo número naturaln se considera su descomposición en factores primos:
Si n contiene un factor cuadrado, es decir si una de las potencias ri es superior o
igual a dos, entonces se decide que μ(n) = 0.
Si no es el caso, n es «libre de cuadrado», y se define así la función:
o Si n tiene un número par de factores primos, entonces μ(n) = 1.
o Si n tiene un número impar de factores primos, entonces μ(n) = -1.
En ambos casos, n se escribe (todos los son iguales a 1), y
.
La tabla para los 10 primeros números naturales seria:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 -1 -1 0 -1 1 -1 0 0 1
Tabla 1.4.1
Otros ejemplos:
μ(1) = 1 porque 1 es un producto de cero factor primo (un producto vacío), y cero es par.
μ(18) = 0 porque 18 = 2×32 contiene el factor cuadrado 9.
μ(32) = 0 porque 32 = 25 contiene los cuadrados 4 = 2
2 y también 16 = 2
4.
μ(30) = -1 pues 30 = 2×3×5 es producto de tres (impar) primos distintos.
μ(77)= 1 pues 77 = 7×11 es un producto de dos (par) primos distintos.
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Figura 2. Los 50 primeros valores de la función (n).
En teoría de números, la función de Mertens está emparentada con la función de Möbius,
y se define como:
para todo número natural n.Esta función está relacionada con las posiciones de los ceros
de la función ζ de Euler-Riemann y con la conjetura de Riemann.
Una propiedad dela función de Möbius: Si m y n son coprimos, entonces μ(m·n) =
μ(m)·μ(n). Es la multiplicatividad condicional.
Prueba: Si m o n contiene un cuadrado, entonces el producto m·n también, y los dos
miembros de la igualdad son iguales a cero. Si no, sea k y k' los números de factores de m
y n. Entonces m·n tiene k + k' factores primos, todos distintos porque m y n son coprimos,
y la igualdad se escribe sencillamente (-1) k + k'
= (-1) k
· (-1) k'
.
Lema 1.4.1.La función de Möbius es multiplicativa pero no completamente
multiplicativa.
Demostración. Veamos que es multiplicativa, para ello tomemos con
i)
20
Si =1, idéntico.
ii) si existe primo tal que , entonces .
Si existe primo tal que , idéntico.
iii) Si y son libres de cuadrados, es decir y donde
, son todos primos diferentes pues . Se tiene que:
Para ver que no es completamente multiplicativa, basta con tomar primo y observar
que:
Pero
Muchas identidades aritméticas involucran sumas sobre los divisores positivos de un
entero . Veamos un ejemplo:
Teorema 1.4.1. Para todo ,
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Prueba: Para el resultado es trivial, luego podemos suponer . Al calcular la
suma del enunciado, solo resultan no nulos los términos correspondientes a divisores de
que son el producto de primos distintos que aparezcan en la factorización de . Luego,
si posee factores primos distintos
Donde representa una elección de factores primos distintos entre los
posibles.
Pero por definición de , , y hay ( ) elecciones posibles de
factores primos entre . Queda pues:
Utilizando el teorema del binomio de Newton.
II Interés
La función de Möbius fue inventada para resolver sistemas particulares de ecuaciones.
Para entenderlo, hay que introducir el producto de convolución entre dos sucesiones (o
funciones sobre los enteros naturales): si f y g son sucesiones, se define su producto f*g
así:
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1.5 LA Fórmula de Inversión de Möbius.
La clásica fórmula de inversión de Möbius fue introducida en la teoría de números
durante el siglo XIX por August Ferdinand Möbius. Fue generalizada más adelante a
otras "fórmulas de inversión de Möbius"
Vamos a demostrar que las funciones μ y 1 son inversas la una de la otra, es decir: μ * 1 =
ε, concretamente:
Para n = 1 ,
y si n> 1,
Lo primero es obvio porque la suma vale μ (1) = 1.
Lo segundo se muestra por etapas:
Si n = p es primo entonces la suma es μ(1) + μ(p) = 1 – 1 = 0.
Si n = pr (r>1), la suma es μ(1) + μ(p) + μ(p
2) + ... + μ( p
r) = 1 – 1 + 0 + ... + 0 = 0.
Si n = a·b, con a y b coprimos, los divisores de a·b son de la forma d1·d2, con d1 y 2
coprimos. Como hipótesis de inducción admitimos el resultado para a y b (ambos
superiores a 1). Luego:
La «inversión» del sistema anterior es, aplicando la fórmula:
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Claro, se puede resolver el sistema "paso a paso" y se hallará la misma solución.
Aplicada a la función fi de Euler, la inversión da como expresión:
Proposición 1.5.1: Forma del producto de la fórmula de inversión de Möbius. Si
para todo y si es real, entonces:
Si i solo si:
En donde , es la inversa de Dirichlet.
Primera Prueba de la fórmula de inversión de Möbius a través de
convolución de Dirichlet.
Tomando la función unidad:
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Como es el neutro de la convolución de Dirichlet, esto significa que y son
elementos inversos para la convolución de Dirichlet. Podemos escribir esto
simbólicamente como:
Queremos probar que:
Dado funciones aritméticas. Entonces:
Y solo si:
Prueba: En términos de convolución de Dirichlet, la ecuación (1) significa que
Convolucionando ambos miembros con , y utilizando la propiedad asociativa:
Con lo que que es la afirmación (2).
Recíprocamente si vale (2), esto implica que y Convolucionando con ,
Que es la afirmación (1).
Segunda Prueba de la fórmula de inversión de Möbius
Nuestro deseo es mostrar que para
La transformación inversa de Möbius es
25
Y viceversa. Nosotros notamos que
e introduciendo esto sobre la ecuación, complaciendo:
Invirtiendo el orden de la sumatoria sobre d y d’, nosotros obtenemos:
Donde la primera suma es igual a cero, excepto para i.e., (comprobar).
El inverso es comprobado similarmente.
Segunda fórmula de inversión de Möbius.
dejando
entonces
Y viceversa. La prueba resulta para la uno poniendo que: y
Lo derivado anteriormente, aplicándolo a esta fórmula;
Donde d(n) es el número de divisores de n, llegando a obtener la curiosa representación
de :
26
Terceraformulade inversión de Möbius.
Para x>0, dejando:
y viceversa, previendo
Converge.
Cuartafórmula de inversión de Möbius.
Para x>0, dejando:
27
1.6 Aplicaciones de la fórmula de inversión de Möbius
Para demostrar algunos teoremas.
Teorema 1.6.1. , se tiene que
Demostración: Por el corolario que dice que:
Tenemos que:
Luego utilizando la fórmula de inversión de Möbius obtenemos el resultado buscado.
Ejercicio 1.6.1: vamos a demostrar que:
Dado que:
Utilizando la fórmula de inversión de Möbius obtenemos que:
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En los polinomios irreducibles
Vamos a ver una bonita aplicación de la fórmula de inversión de Möbius en los
polinomios irreducibles, en este caso la función de Möbius toma una posición de
contador.
Para comprender mejor esto, veamos lo siguientes puntos:
Polinomios irreducibles sobre cuerpos finitos.
Un método de construcción de extensiones de un cuerpo es a través de la consideración
de polinomios irreducibles en .
En el caso de ℚes relativamente simple, pues dado un entero positivo n existe un
polinomio de grado n e irreducible sobre ℚ. En efecto, basta considerar primo y
En el caso de los cuerpos finitos la historia es más complicada
pero también más emocionante.
Teorema 1.6.2.Sean un cuerpo, y . Entonces para
enteros positivos y se tiene:
El resultado básico para demostrar la existencia de polinomios irreducibles sobre cuerpos
finitos, y el cual demostraremos como ejercicio, es el siguiente teorema.
Teorema sean un número y teros positivos, el cuerpo con elementos
y el producto de los polinomios monicos de grado e irreducibles sobre .
Entonces:
Donde el índice del producto recorre los divisores positivos de .
Aplicando la fórmula de inversión de Möbius:
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Si y solo si
Aplicándola a la ecuación 1) obtenemos
Donde indica la cantidad de polinomios mónicos irreducibles de grado .
En resumen,
Con la aplicación de la fórmula de inversión de Möbius, obtenemos:
Por lo tanto la cantidad de polinimios monicos e irreducibles de grado esta dada
por:
Esto obvio que y con esto hemos probado que dados y un cuerpo finito
, existe un polinomio irreducibles de grado sobre
Ejemplo 1.6.1:
Calcular la cantidad de polinomios de grado 3 y 4 mónicos e irreducibles que hay en un
cuerpo de elementos.
1) C(3) para
30
2) C(4) para
.
1) C(3) para
.
2) C(4) para
31
.
32
En la teoría de los sistemas dinámicos.
Una prueba del Pequeño Teorema de Fermat de los Sistemas
Dinámicos.
Vamos a desarrollar una prueba del pequeño Teorema de Fermat desde la teoría de los
Sistemas Dinámicos, usamos la fórmula de inversión de Möbius para contar el número de
orbitas periódicas de un sistema dinámico en la circunferencia para derivar el pequeño
teorema de Fermat:
Proposición 1.6.1. Si a es un número entero y p un primo que no divide aa entonces:
Prueba:
Sea la circunferencia S de un radio uno en el plano complejo y sea la familia de funciones
a un parámetro:
Donde . Esta función está bien definida porque si t y s son tales que y
representan el mismo punto en S entonces = .
Consideramos la semidinámica determinada por la iteración de esta familia de funciones
en la circunferencia.
Dado un punto x en S, el conjunto
Es la órbita del punto x, donde denota la composición def con sí misma, n veces. Un
punto x en S es periódico n, si n es el mismo número natural que satisface En
este caso el conjunto es finito (tiene n elementos) y es llamado una órbita periódica
de periodo n.
33
Para cada n la función tiene puntos periódicos de todos los órdenes posibles, de
hecho, el conjunto de los puntos de , de periodo que divide a n es
En efecto: es claro que y también es fácil ver
, de manera que es periódico, de periodo n si y solo si
=
Entonces = donde , entonces los puntos periódicos de periodo n son las
raíces de la unidad y contiene elementos.
Calculamos el número, de orbitas periódicas de periodo n observando que
Y aplicando la fórmula de inversión de Möbius a esta igualdad obtenemos:
Cuando n es numero primo p, que no divide a a, obtenemos
Puesto que es un entero, y como p no divide a a, es necesariamente un factor de
, lo cual prueba el teorema de Fermat. [5]
34
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
En el trabajo anterior hemos podido apreciar algunos aspectos de la Teoría de los
Números y el tipo de problemas que pretende resolver. Ne debe extrañar que
ciertas funciones definidas sobre los naturales tengan en ella una importancia
capital, tanto por su utilidad como por ser un objeto de estudio en sí mismas. Estas
funciones, reales o complejas, son las funciones aritméticas.
Dentro de todas las funciones aritméticas hay unas que merecen especial atención
por la importancia de sus propiedades y porque engloban a la mayoría de las
funciones aritméticas interesantes: son las funciones multiplicativas.
Una de las funciones aritméticas más importantes en la teoría analítica de los
números es la función de Möbius. Aunque la primera definición de la función
pueda resultar algo artificial en un principio, aparece de manera natural cuando,
por ejemplo, se trata de contar el número de primos menores que una cantidad
dada.
El promover actividades adicionales a los cursos regulares en donde los
estudiantes de matemática entren en contacto con temas como este, puede ser un
factor motivador para compenetrarse en el mundo del conocimiento matemático.
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BIBLIOGRAFÍA
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Circunferencia, Tesis profesional UNAM.
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