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Fahrzeugsysteme undGrundlagen der ElektrotechnikProf. Dr. rer. nat. L. Brabetz
Formelsammlung GET1Dr. Oliver Haas
9. Februar 2015
Inhaltsverzeichnis1 Formelzeichen und Einheiten 3
2 Zehnerpotenzen und Vorsatzzeichen 3
3 Ladung, Stromstärke 33.1 Driftgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2 Ladung, Stromstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 Widerstand, Ohmsches Gesetz 44.1 Widerstand eines homogenen Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.2 Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.3 Temperaturabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5 Kirchhoffsche Gesetze 55.1 Knotengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.2 Umlaufgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6 Reihenschaltung von Widerständen 5
7 Parallelschaltung von Widerständen (Leitwerten) 67.1 Stromteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.2 Zwei parallel geschaltete Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
8 Dreieck- und Sterntransformationen 78.1 Dreieck–Stern–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78.2 Stern–Dreieck–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
9 Ersatzquellen 7
10 Leistung, Arbeit, Wirkungsgrad 810.1 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810.2 Anpassung der Last . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810.3 Arbeit, Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 810.4 Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
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Formelsammlung Grundlagen der Elektrotechnik I
11 Elektrostatisches Feld, Kondensator 911.1 Abstandsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911.2 Permittivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911.3 Coulombsches Gesetz: Kraft zwischen zwei Punktladungen . . . . . . . . . . 911.4 Elektrische Feldstärke, Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911.5 Elektrische Flussdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011.6 Gaußscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011.7 Potenzialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011.8 Kapazität, Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011.9 Reihenschaltung von Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111.10 Parallelschaltung von Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111.11 Kondensatoren als Spannungsteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111.12 Energie im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
12 Stationäres Strömungsfeld 1212.1 Stromdichte, Stromstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.2 Materialgleichung, elektrische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.3 Widerstandsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
A Linien- und Flächenelemente 13A.1 Linienelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13A.2 Flächenelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
B Kochrezepte Umlauf- und Knotenanalyse 14
C Ersatzquellen 15
D Kondensatoren 16
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1 Formelzeichen und EinheitenGröße Formelzeichen Einheitenname Einheitenkürzel
Basis-Größen des SI-SystemsLänge l Meter mMasse m Kilogramm kgZeit t Sekunde sStromstärke I, i Ampere ATemperatur T Kelvin K
Abgeleitete GrößenKraft F Newton N bzw. VAs m−1
Leistung P Watt W bzw. VAArbeit, Energie W Joule J bzw. Wsel. Ladung Q Coulomb C bzw. Asel. Spannung U , u Volt Vel. Widerstand R Ohm Ω bzw. V A−1
el. Leitwert G Siemens S bzw. A V−1
Kapazität C Farad F bzw. As V−1
Magn. Fluss Φ Weber Wb bzw. VsMagn. Flussdichte B Tesla T bzw. Vs m−2
Induktivität L Henry H bzw. Vs A−1
2 Zehnerpotenzen und VorsatzzeichenZehnerpotenz Name Vorsatzzeichen1024 Yotta Y1021 Zetta Z1018 Exa E1015 Peta P1012 Tera T109 Giga G106 Mega M103 Kilo k102 Hekto h101 Deka da
Zehnerpotenz Name Vorsatzzeichen10−1 Dezi d10−2 Centi c10−3 Milli m10−6 Mikro µ10−9 Nano n10−12 Piko p10−15 Femto f10−18 Atto a10−21 Zepto z10−24 Yocto y
3 Ladung, Stromstärke3.1 Driftgeschwindigkeit
vm = I
N · A · e, N = n
V(1)
I: Stromstärke, N : Ladungsträgerdichte, e: Elementarladung, A: Fläche des Leiters,V : Volumen, n: Anzahl der Ladungsträger.
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3.2 Ladung, Stromstärke
I = dQ
dtoder ∆Q
∆t , Q = e · n , e = 1,602 · 10−19 As (2)
Q(t) =∫ t
τ=0i(τ) dτ . (3)
Falls I konstant gilt vereinfacht
Q(t) = I · t . (4)
e : Elementarladung, I: Stromstärke, n: Anzahl der Ladungsträger,τ : Integrationsvariable der Zeit, t: Betrachtungszeitraum,Q(t): geflossene Ladung bis zum Zeitpunkt t, i(t): zeitabhängige Stromstärke.
4 Widerstand, Ohmsches Gesetz4.1 Widerstand eines homogenen Körpers
R = % · lA
% = 1γ
R = l
γ · A(5)
R: Widerstand, l: Leiterlänge, A: Leiterquerschnitt,%: spezifischer Widerstand, γ: spezifischer Leitwert.
l
A
g,%
Bsp. homogener Körper
4.2 Ohmsches Gesetz
R = U
IG = I
UR = 1
G(6)
R: Widerstand, U : Spannung, I: Stromstärke, G: Leitwert.
4.3 Temperaturabhängigkeit
R(T1) = R(T0)(1 + α∆T + β(∆T )2 + . . .
), ∆T = T1 − T0 , (7)
T1: aktuelle Temperatur in K, T0: Bezugstemperatur in K, α: linearer Temperaturkoeffi-zient bei T0 in K−1 , β: quadratischer Temperaturkoeffizient bei T0 in K−2
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5 Kirchhoffsche Gesetze5.1 KnotengleichungDie Summe aller Ströme in einem einzelnen Knoten ist 0:∑
k
Ik = 0 (8)
Zählweise: zufließend: +, abfließend: − .
Beispiel:
0 = I1 + I2 − I3 − I4 − I5
I1 + I2 = I3 + I4 + I5
I1 I2
I3
I4
I5
Knoten mit zu- undabfließenden Strömen
Satz: Ein Netzwerk mit n Knoten liefert n− 1 unabhängige Knotengleichungen.
5.2 UmlaufgleichungDie Summe aller Spannungen entlang eines geschlossenen Umlaufs ist 0:∑
k
Uk = 0 (9)
Zählweise: im Umlaufsinn: +, entgegen: − .
Beispiel:
a: 0 = −U0 + U1
b: 0 = −U1 + U2 + U3
c: 0 = −U0 + U2 + U3
R3
3U
R2
2UR1
1UU0
a
c
b
Netzwerk mit zwei Maschen
Anmerkung: Nur zwei Gleichungen sind linear unabhängig, z. B. kann Umlauf c durch dieUmläufe a und b gebildet werden.
Satz: Ein Netzwerk mit n Maschen liefert n unabhängige Umlaufgleichungen.
6 Reihenschaltung von WiderständenDen resultierenden Widerstand aus einer Reihenschaltung erhält man aus der Addition derTeilwiderstände:
Rges =∑k
Rk ,1Gges
=∑k
1Gk
. (10)
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Spannungsteiler
In einer Reihenschaltung gilt:
I1 = I2 = I3 = . . . = In = I .
Aus den Ohmschen GesetzenU1 = I ·R1, U2 = I ·R2, U3 = I ·R3 ,
Uges = U1 + U2 + U3 = I(R1 +R2 +R3)
R3 RgesR2R1
I IU3 UgesU2U1
Bsp.: drei Widerstände in Reihe
folgt beispielsweise:U1
Uges= I ·R1
I(R1 +R2 +R3) = R1
R1 +R2 +R3,
U1
U2= I ·R1
I ·R2= R1
R2
und allgemein für N Widerstände
UnUges
= Rn∑k Rk
,UnUm
= Rn
Rm
, n,m ∈ [1 . . . N ] . (11)
7 Parallelschaltung von Widerständen (Leitwerten)Den resultierenden Leitwert aus einer Parallelschaltung erhält man aus der Addition derTeilleitwerte:
Gges =∑k
Gk ,1Rges
=∑k
1Rk
. (12)
7.1 Stromteiler
In einer Parallelschaltung gilt:
U1 = U2 = U3 = . . . = Un = U .
Aus den Ohmschen Gesetzen
I1 = G1 · U1, I2 = G2 · U2, I3 = G3 · U3 ,
Iges = I1 + I2 + I3 = U(G1 +G2 +G3)R2 Rges
R1
R3
I I2
I3
I1
IgesU
U
Bsp.: drei Widerstände parallelfolgt beispielsweise:
I1
Iges= G1 · UU(G1 +G2 +G3) = G1
G1 +G2 +G3,
I1
I2= G1 · UG2 · U
= G1
G2= R2
R1
und allgemein für N Leitwerte:
InIges
= Gn∑kGk
,InIm
= Gn
Gm
, n,m ∈ [1 . . . N ] . (13)
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7.2 Zwei parallel geschaltete Widerstände
1Rges
= 1R1
+ 1R2
⇒ Rges = R1 ·R2
R1 +R2, Gges = R1 +R2
R1 ·R2= G1 +G2 (14)
I1
Iges= G1
G1 +G2= 1R1· R1 ·R2
R1 +R2= R2
R1 +R2,
I1
I2= R2
R1. (15)
8 Dreieck- und Sterntransformationen8.1 Dreieck–Stern–Transformation
Sternwiderstand = Produkt der AnliegerwiderständeUmfangswiderstand (16)
Beispiel:
RA = RAC ·RAB
RAB +RAC +RBC
RA
A A
BCC B
RBRC
RAC RAB
RBC
8.2 Stern–Dreieck–Transformation
Dreiecksleitwert = Produkt der AnliegerleitwerteKnotenleitwert (17)
Beispiel:
GAB = GA ·GB
GA +GB +GC; G = 1
RGA
A A
BCC B
GBGC
GAC GAB
GBC
9 ErsatzquellenRegeln für die Umwandlung von Spannungsquellen in Stromquellen und umgekehrt (Voraus-setzung: 0 < Ri <∞):
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Ri,u
Ri,iI
Iq
Uq
I*
Innenwiderstand
Ri,u = Ri,i = Ul
Ik
Leerlaufspannung Ul:
Uq : Ul = Uq ⇐⇒ Iq : Ul = Iq ·Ri,i (18)
Kurzschlussstrom Ik:
Uq : Ik = Uq
Ri,u⇐⇒ Iq : Ik = Iq (19)
Allgemeine Umwandlung von Netzen: siehe Seite 15.Innenwiderstand bestimmen: Spannungsquellen kurz-schließen und Stromquellen offen lassen.
10 Leistung, Arbeit, Wirkungsgrad10.1 LeistungIm Verbraucher-Zählpfeilsystem ist am Verbraucher P > 0 und am Erzeuger P < 0
Pverbr. = U · I , Perzeug. = −U · I , p(t) = u(t) · i(t) . (20)
10.2 Anpassung der Last
Ri < RLast : SpannungsanpassungRi = RLast : LeistungsanpassungRi > RLast : Stromanpassung
10.3 Arbeit, Energie
W (t) =∫ t
0p(τ)dτ für P = konst: W = P · t (21)
τ : Integrationsvariable der Zeit, t: Betrachtungszeitraum, p(t): zeitabhängige Leistung.
10.4 Wirkungsgrad
ηP = Pab
Pzu, ηW = Wab
Wzu, ηges = η1 · η2 · ... · ηn (22)
Pab: abgegebene Leistung, Pzu: zugeführte Leistung.
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11 Elektrostatisches Feld, Kondensator11.1 AbstandsvektorDer Abstandsvektor ~r zeigt immer vom Quellpunkt zum Aufpunkt (der Ortsvektor des Quell-punkts ~rQ wird somit vom Ortsvektor des Aufpunkts ~rP subtrahiert):
Q
rQ
r
rP
P
x
y ~r = ~rP − ~rQ (23)
Aufpunkt P: Punkt, an dem die Kraft wirktoder das Feld berechnet wird,Quellpunkt Q: Punkt, von dem die Kraft aus-geht oder wo die beobachtete Ladung liegt.
11.2 Permittivität
ε = ε0 · εr , ε0 = 8,854 · 10−12 AsVm (24)
ε0: elektrische Feldkonstante, εr: relative Permittivität.
11.3 Coulombsches Gesetz: Kraft zwischen zwei PunktladungenFür die Kraft, die von einer Punktladung Q auf eine Probeladung q ausgeübt wird, gilt
~Fq = q Q
4πε~r 0
r2 = q Q
4πε~r
r3 , ~r 0 = ~r
r. (25)
11.4 Elektrische Feldstärke, KraftKraft auf eine Punktladung q in einem elektrischen Feld:
~F = q ~E (26)
Elektrische Feldstärke der Punktladung:
~EQ = Q
4πε~r 0
r2 = Q
4πε~r
r3 (27)
Q: Ladung der Punktladung
Elektrische Feldstärke der Linienladung:
~Eλ = λ
2πε~r 0
r, λ = Q
l(28)
λ: Linienladungsdichtel: Länge der Linienladung
Überlagerung elektrischer Felder durch vektorielle Addition:
~Eges = ~E1 + ~E2 + ...+ ~En . (29)
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11.5 Elektrische Flussdichte
~D = ε ~E , ε = ε0 · εr (30)
ε0 = 8,854 · 10−12 AsVm : elektrische Feldkonstante, εr: relative Permittivität.
11.6 Gaußscher Satz
Q =∮A
~D · d ~A (31)
Q: Ladung, ~D: Elektrische Flussdichte, d ~A: Vektorielles Flächenelement
11.7 Potenzialfunktion
UAB = ΦA − ΦB =∫ B
A
~E · d~s (32) ~E = −gradΦ (33)
Wirbelfreiheit des elektrostatischen Feldes:∮L
~E · d~s = 0 (34)
Potenziale spezieller Anordnungen:
Punktladung:
Φ(r) = Q
4πε r +K (35)
Linienladung (idealisiert):
Φ(r) = λ
2πε ln(K
r
)(36)
11.8 Kapazität, KondensatorDer Quotient aus gespeicherter Ladungsmenge Q und der anliegenden Spannung U wird alsdie Kapazität des Kondensators bezeichnet
C = Q
U. (37)
Für einen Plattenkondensator gilt speziell:
C = εA
d= ε0 · εr
A
d(38)
A: Plattenfläche, d: Plattenabstand. Allgemeine Berechnung der Kapazität und weitereBauformen siehe Seite 16.
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11.9 Reihenschaltung von KondensatorenFür die Gesamtkapazität von N in Reihe geschalteten Plattenkondensatoren gilt
1Cges
=N∑k=1
1Ck
. (39)
11.10 Parallelschaltung von KondensatorenFür die Gesamtkapazität von N parallel geschalteten Plattenkondensatoren gilt
Cges =N∑k=1
Ck . (40)
11.11 Kondensatoren als SpannungsteilerIn einer Reihenschaltung verhalten sich die Kapazitäten umgekehrt zu den dazugehörigenSpannungen. Bsp. für zwei Kondensatoren:
U2 = C1
C1 + C2· U = C1
C2· U1 (41)
und allgemein für N Kondensatoren
UnUges
= Cges
Cn,
UnUm
= CmCn
, n,m ∈ [1 . . . N ] . (42)
11.12 Energie im elektrischen FeldFür die gespeicherte Energie gilt allgemein
We =∫ te
0u(t) i(t) dt =
∫ Qe
0u dQ =
∫ Ue
0uC du (43)
und für C = konst.
We = 12 C U
2e = 1
2C Q2e = 1
2 QeUe . (44)
Allgemein gilt für die Energiedichte
we =∫ De
0~E · d ~D We =
∫Vwe dV (45)
und für ε = konst
we = 12 εE
2 = 12ε D
2 = 12 ED . (46)
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12 Stationäres Strömungsfeld12.1 Stromdichte, Stromstärke
I =∫A
~J · d ~A , Quellenfreiheit:∮A
~J · d ~A = 0 . (47)
Falls ~J konstant über ~A und parallel zu d ~A:
I = J · A und nur dann: J = I
A. (48)
~J : Vektor der Stromdichte, d ~A: Vektorielles Flächenelement der Fläche A,J : Betrag der Stromdichte, I: Stromstärke.
12.2 Materialgleichung, elektrische Feldstärke
~J = γ ~E U =∫L
~E · d~s . (49)
J : Stromdichte, γ: spez. elektrischer Leitwert, E: elektr. Feldstärke.
12.3 Widerstandsberechnung
(a) Das elektrische Feld ist inhomogen entlang der Leiterlänge,z. B. ändert sich die Fläche entlang der Leiterlänge, dann gilt
dR = dlγ(l)A(l) ⇒ R =
∫l
dlγ(l)A(l) . (50)
(b) Das elektrische Feld ist inhomogen über die Leiterfläche, z. B.ändert sich die Länge über die Leiterfläche, dann gilt
dG = γ(A) dAl(A) ⇒ G =
∫A
γ(A) dAl(A) . (51)
A( )%
l( )%
JJ
a
b
J
l: Leiterlänge, γ: spez. Leitwert, A: Leiterfläche.
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A Linien- und FlächenelementeA.1 Linienelemente
Weg auf Radius r ds = dr (52)Weg auf Kreisbogen ds = r dϕ (53)
A.2 Flächenelemente
Rechteck (x, y) dA = dx dy (54)Kreisfläche dA = % dϕ d% (55)Zylindermantel dA = % dϕ dz (56)Kugeloberfläche dA = r2 sinϑ dϕ dϑ (57)
j
j
dj
J
dJ
r dJ
J
J
r
r
r
r sinJ
r sinJ jd
x
x
x
y
y
y
z
z
zdA
dA
dA
d%
% dj
j
n
%
x
x
y
y
z
dA
dA
AZylindermantel
AKreis
AKugel
% dj
dz
j
%
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B Kochrezepte Umlauf- und Knotenanalyse
UmlaufanalyseGesuchte Ströme in die Verbindungszweige.
1 Stromquellen in Spannungsquellen um-wandeln, falls nicht möglich: Strom-quellen zwingend in die Verbindungs-zweige legen.
2 Definition eines vollständigen Baums:Alle unabhängigen Ströme in die Ver-bindungszweige legen. Übrige Zweigesind Baumzweige.
3 Bestimmung der Umläufe und der zujedem unabhängigen Strom gehören-den Umlaufwiderstände. Eintrag in dasLGS.
4 Bestimmung der Kopplungswiderstän-de, vorzeichenrichtiger Eintrag in dasLGS:positiv, wenn die zugehörigen Umlauf-ströme gleichgerichtet,negativ, wenn sie entgegengesetztsind.
5 Eintrag der Spannungsquellen auf derrechten Seite des LGS in den Zeilen derzugehörigen Umläufe:positiv, wenn die zugehörigen Um-laufströme entgegengerichtet, negativ,wenn sie gleichgerichtet sind.
I4 I5 I6(R1 +R2 +R4) −R2 −R1 0
−R2 (R2 +R3 +R5) −R3 0−R1 −R3 (R1 +R3 +R6) U0
R5R3
R2
R1
I1
I3
I2
I4
I5
I6
R6 R4
U0
KnotenanalyseGesuchte Spannungen in die Baumzweige.
1 Spannungsquellen in Stromquellen um-wandeln, falls nicht möglich: Spannungs-quellen zwingend in die Baumzweige le-gen.
2 Definition eines vollständigen Baumesmit zentralem Knoten: Alle unabhängi-gen Spannungen in die Baumzweige.
3 Definition der Zählpfeile: an den Baum-zweigen zeigen die Spannungen alle aufden zentralen Knoten, ansonsten ist dieWahl wie üblich frei.
4 Knotenleitwert eintragen: Summe allerLeitwerte, die an einem Knoten liegen.Wird der unabh. Spannung zugeordnet,deren Zweig zu diesem Knoten führt.
5 Kopplungsleitwerte bestimmen: Leitwer-te der Verbindungszweige. Eintrag mitnegativem Vorzeichen in das LGS alsKoeffizient zu den Spannungen, derenBaumzweige verbunden werden.
6 Eintrag der Stromquellen auf der rech-ten Seite in die Zeilen des LGS, in wel-cher auch der zugehörige Knotenleitwertsteht. Positiv, wenn der Strom in denKnoten hineinfließt, sonst negativ.
UAB UCB UDB(G1 +G4 +G6) −G4 −G6 I0
−G4 (G2 +G4 +G5) −G5 0−G6 −G5 (G3 +G5 +G6) −I0
G5G3
G2
G1
U6
U4
U5
UAB
UDB
UCB
G6
G4I0
A
B C
D
9. Februar 2015 Seite 14 von 16 Dr.-Ing. Oliver Haas
GET I – WS 11 – V6
Prof. Dr. L. Brabetz
Seite: 38
Veranschaulichung
der Berechnung:
2.4.4 Quellenersatzzweipole
2 Berechnung von Strömen und Spannungen in elektrischen Netzen
R2
Uq1
R1
R2
Uq1
R1
Uq1
R1
U1
IK
R2
Uq1
R1 U1
R2
Uq1
R1 IK
Ermittlung
von U1
Ermittlung
von Ik
GET I – WS 11 – V6
Prof. Dr. L. Brabetz
Seite: 39
Ersatzstromquelle:
Dieselben Eigenschaften wie die einer Ersatz-
spannungsquelle lassen sich auch mit einer
Ersatzstromquelle darstellen (untere Abbildung):
Diese besteht aus einer
idealen Stromquelle, d.h. einer Komponente, die
einen konstanten Strom IK abgibt und den
Innenwiderstand unendlich hat und
einem parallel liegenden Widerstand Ri .
2.4.4 Quellenersatzzweipole
2 Berechnung von Strömen und Spannungen in elektrischen Netzen
I U
Ri=1/Gi
I
U Uq
IK
RiI
R I
Uq I U
Ri
IK
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Formelsammlung Grundlagen der Elektrotechnik I
9. Februar 2015 Seite 15 von 16 Dr.-Ing. Oliver Haas
GET I – WS 14 – V22
Prof. Dr. L. Brabetz
Seite: 22 3.6 Die Kapazität
Berechnung der Kapazität
Rekapitulation der Berechnungsschritte:
Vernachlässigung von Randeffekten (wenn notwendig)
Idealisierung (wenn notwendig)
Berechnung der elektrischen Flussdichte über Q und
Gaußschen Satz der Elektrostatik:
a) Auswahl geeigneter Integrationsfläche A
b) Berechnung des Integrals
0
2
( ) ?D r
( ) ( )A
D r dA Q D r
Annahmen über den Feldverlauf der elektrischen
Flussdichte:
- Innerhalb der Elektroden
- Außerhalb der Elektroden
1
Berechnung der elektrischen Feldstärke aus der el.
Flussdichte über Q 3
Berechnung der Potenzialdifferenz:
a) Wahl des Integrationsweges
b) Berechnung des Linienintegrals
Berechnung der Kapazität:
5
6
1 2,s ds s s s
( )( )
D rE r
2
1
12 ( )
s
s
U E s ds
12
QC
U
3 Elektrostatische Felder
Anmerkungen: Bei nicht einfachen Geometrien ist Schritt (1) nicht machbar und die einfachen Flächenintegrale in (2),
welche sich bisher immer als Produkt von Fläche und (konstanter) elektrischer Flussdichte
ausdrücken ließen, werden zu echten Flächenintegralen über dem Skalarprodukt.
Die Permittivität kann auch ein Tensor sein, worauf hier nicht eingegangen wurde.
4
GET I – WS 14 – V22
Prof. Dr. L. Brabetz
Seite: 23 3.6 Die Kapazität
3 Elektrostatische Felder
1 2
2,
1
ln2
U
l
2
1
2
ln
lC
2
l
d Q
A
l
1r
2r
1
2E
l
1
ln2
l
d
QU d
A
Q AC
U d
z
QE z
A
Q
z zA
1 2
2 1,
1 24r r
r rQU
rr
2 1
2 1
4r r
Cr r
2
1
4r
QE r
r
1
4
Qr
r
Q
ll
Plattenkondensator Zylinderkondensator Kugelkondensator
z
r
Q
Q
Bilder: R.Marklein, GET 1 06
1l
Q
Fahrzeugsysteme undGrundlagen der ElektrotechnikProf. Dr. rer. nat. L. Brabetz
Formelsammlung Grundlagen der Elektrotechnik I
9. Februar 2015 Seite 16 von 16 Dr.-Ing. Oliver Haas