forma algébrica forma trigonométrica 1 abril 2015
TRANSCRIPT
Z
Z cisZ a bi a Re Z
Forma algébrica Forma trigonométrica
b Im Z Arg Z
O ponto é o de P afixo Z
cos , s eP n
é o de OP afixo vetorial Z
P a,b
1
abril 2015
Números Complexos
Conjugado cisZ
Z cis
Simétrico cisZ
Z a bi
Z a bi
aZ bi
Forma algébrica Forma trigonométrica
2
abril 2015
Conjugado
1 -c sZ Z i Simétrico
2 a biZ Z
3
abril 2015
Consideremos os dois números complexos
Operações com Complexos
1 2 3 5 4 2Z Z i i
3 4 2 5 4 2i i i
2
12 6 20 10i i i
12 6 20 10i i
2 26i
3 5 Z i 1
2Z Ze 1
MULTIPLICAÇÃO
2 4 2Z i
2atendendo a que -1i
Consideremos dois números complexos quaisquer
Operações com Complexos
1 2 a bi c dZ Z i 2
ac adi bci bdi
ac bd ad bc i
Z a bi 1
MULTIPLICAÇÃO
2Z c di
Operações com Complexos
Propriedades da MULTIPLIÇÃO
1 2 1 2 2 1z ,z , z z z z Comutativa:
1 2 3 1 2 3 1 2 3z ,z ,z , z z z z z z Associativa:
1 1z , z z z Elemento neu tro:
1 2 1 2 2 10 1z \ , z z z z z Elementos opost : os:
Operações com Complexos
Propriedades da MULTIPLIÇÃO
1 2 1 2 1 2Z ,Z Z Z Z Z Se , então
2Z Z Z Z Se , então
Demonstrações (página 188 do manual escolar – Vol. II)
Multiplicação de um número complexo por i e - i
Operações com Complexos
1 2iZ Consideremos
1 1 2i Z iZ i
2 1 2i Z i iZ
2 i
2 i
Multiplicação de um número complexo por i e - i
Operações com Complexos
No Plano de Argand…
Multiplicação de um número complexo por i e - i
Operações com Complexos
corresponde à rotação do vetor que é a sua imagem
vetorial segundo um ângulo de 90º no sentido negativo
Z a bi i Z b ai Se então
corresponde à rotação do vetor que é a sua imagem
vetorial segundo um ângulo de 90º no sentido positivo
Z a bi Z b ii a Se então
(página 188 - manual escolar)
Considere os números complexos:
1 3 2 3. 63. iz z z
1 2 31 3 2 1 2z i z i z i Apresentando o resultado na forma ,calcula:a bi
1 3 1 2 23 1 2 22 3 6
1 7
i i i ii i i
i ii
(página 188 - manual escolar)
Considere os números complexos:
2 1 3 4. 63. z z z
1 2 31 3 2 1 2z i z i z i Apresentando o resultado na forma ,calcula:a bi
2
2 1 3 1 2
2 5
2 5
10 55 10
i i i
i i
i i
i ii
Consideremos os números complexos
Operações com Complexos
1
2
3 54 2
ZZ
ii
3 5 4 24 2 4 2
i ii i
2 2
12 6 20 104 2
i ii
8 416 4
i
DIVISÃO
8 420 20
i
2 15 5
i
3 5Z i 1 2 4 2Z i
Consideremos dois números complexos quaisquer
Operações com Complexos
1
2
a bZZ
ic di
a bi c dic di c di
2 2 ac bd bc ad i
c d
DIVISÃO
2 2 2 2
ac bd bc ad ic d c d
Z a bi 1 2 2 0Z c di, Z com
1 2
2 2
Z ZZ Z
(página 189 - manual escolar)
2
1 6 2. 5.z
1 2 3 1 3 2 1 Representa na fo
Considere os números complexos:65.
rm :
az i z i z i
a bi
2 2
2 22 2 2 2
2 1 18 4 8
i ii i
i i
1 3
3 2
6 4 5. . z zz z
1 3 1 2 21 2 3 3
i i i ii i
Potenciação
Operações com Complexos
21 i 21 2i i 2i
32 i 22 2i i
26 3 8 4i i i
24 4 2i i i
3 4 2i i 2 11i
55 5i
... pelo Binómio de Newton...
Se pretendermos calcular
abordaremos em breve uma forma mais rápida resolução...
Potenciação
Operações com Complexos
0 1i
6
4
7
5
1
1
i
i
i
i
i
i
1i i2 1i 3i i
10
8
11
9
1
1
i
i
i
i i
i
Potências de i
Operações com Complexos
4 1ni
Potências de i
34ni i
24 1ni
14ni i
no plano de Argand…
67 i 6 7 4
2 7 1 6 3
Na calculadora:
67 : 4 = 16,…
67 – 4 x 16 = 3
2013 i2013 4
013 503 1
Na calculadora:
2013 : 4 = 503,…
2013 – 4 x 503 = 1
50 14 3 =i
3164 =i
3 =i i
1 =i i
Operações com Complexos
1. Resolve em C as equações:
2 1+1 3.1 z. 1i i i
2 3.2. 2 21 z i z i i
3 Determine de modo que
seja um número re
2 6
.
l
2.
a
i x ix
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO:
3. Calcula e representa na forma algébrica:
11 5 7471 .2. 3 i i i 4 2 3 4 1 4 18 2 3 i i i
3 1 2 3 i i i
3i i
1 3i
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO:
Z a bi
i Z i Z
b a i
b ai
Z cis
i Z
i Z
2cis
2cis
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO POR i e - iForma algébrica Forma trigonométrica
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abril 2015
Z a bi
1Z 2 2
Z a bia bZ Z
Z cis
1 cis
1Z
Forma algébrica
Forma trigonométrica
INVERSO DE UM NÚMERO COMPLEXO
23
abril 2015
1 2Z Z
11 1 cZ is
22 2 cZ is 1 11 aZ b i
2 22 aZ b i
1 2Z Z 1 2
1 2
a ab b
1 2
1 2 2
k ,k
Forma algébrica Forma trigonométrica
IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS
24
abril 2015
1 2 1 2 1 22 2 11 a a b b a a bZ b iZ
1 1Z a b i 1
MULTIPLICAÇÃO
1 2 1 2 1 2 2 12 2 2 2
2 2 2
1
22
+ a a b b a b a bi
a bZ
a bZ
DIVISÃO
ADIÇÃO
SUBTRAÇÃO
OPERAÇÕES COM COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA
2 2 2Z a b i
11 1 22 2a aZ Z b b i
11 1 22 2a aZ Z b b i
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SINTETIZANDO…
OPERAÇÕES COM COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
1 21 22 1 +cisZ Z MULTIPLICAÇÃO
11 1 cZ is 22 2 cZ is
DIVISÃO 112
21
2
cisZZ
POTENCIAÇÃO
11 1 n nncisZ
26
10 .05. 2013
4 1ni
POTÊNCIAS de i
34ni i
24 1ni
14ni i
no plano de Argand…
27
10 .05. 2013abril 2015
OPERAÇÕES COM COMPLEXOS NA FORMA TRIGONOMÉTRICA
0 1 2 1+2 nk
kZ cis k , , ,...,nn
FÓRMULA DE DE MOIVRE DA RADICIAÇÃO
A equação tem soluções distint
a
s.n
kn n
w n
w is
z
cz
Seja um número complexo, não nulo, e seja n um número natural.
Então, o número complexo w tem n raízes de índice n, que são dadas por
c sw i
OU FÓRMULA DE MOIVRE GENERALIZADA28
abril 2015
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO:
Considera, no plano complexo, o pentágono [ABCDE] inscrito numa circunferência de raio 1 e centro na origem do referencial, representado na figura. 1. Determina z.
2. Representa na forma trigonométrica o número complexo:
2.1. cuja imagem é A; 2.2. cuja imagem é D;
2.3. em que a imagem do conjugado é C.
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