forelesning nr.12 inf 1410 - uio.no · 2009 analyse i frekvensdomenet 20.04.2009 inf 1410 5 ofte er...
TRANSCRIPT
2009
Forelesning nr.12 INF 1410
Komplekse frekvenser – analyse i frekvensdomenet
20.04.2009 INF 1410 1
2009
Oversikt dagens temaer
Intro
Komplekse tall
Komplekse signaler
Analyse i frekvensdomenet
20.04.2009 INF 1410 2
2009
Intro Har så langt i kurset analysert kretser med spoler,
kondensatorer og ohmske motstander i tidsplanet
Ohmske motstander er tids-uavhengige, dvs at strømmen gjennom
og spenningen over ikke avhenger av tiden
Spoler og kondensatorer er tidsavhengige, dvs at strømmen gjennom
og spenningen over dem varierer over tid
Den tidsavhengige strøm-spenningsrelasjonen for en kondensator er
Den tidsavhengige strøm-spenningsrelasjonen for en spole er
20.04.2009 INF 1410 3
dt
dvCi
dt
diLv
2009
Intro (forts)
20.04.2009 INF 1410 4
I tidsplanet kan man dele analysen av kretsoppførsel inn
i kategorier avhengig av type innsignal:
Direct Current (DC)
Impuls
Sinusformet
Alternating Current (AC)
Videre deler man totalresponsen inn i to deler
Naturlig
Påtrykket (tvungen)
2009
Analyse i frekvensdomenet
20.04.2009 INF 1410 5
Ofte er det vel så viktig å analysere oppførselen til en
krets som funksjon av frekvensen til inn-signalet
istedenfor som funksjon av tiden
Analyse i frekvensplanet kan også gjøre analysen i
tidsplanet enklere vha Laplace-transform
I frekvensanalysen benyttes som oftest et sinus-signal
som basis innsignal
Det kan vises vha av Fourier-transform at et vilkårlig ac-
signal kan representeres som en sum av sinus-signal
mmed ulik frekvens og amplitude
2009
Sinussignaler
Et sinussignal er et tidsvarierende signal og karakteriseres ved
Amplitude
Frekvens
Et sinusformet spenningssignal kan skrives på formen
der Vm er amplituden, ωt er argumentet og ω vinkelfrekvensen
(radianfrekvensen)
Et sinussignal er et periodisk signal, dvs at det gjentar seg
med en bestemt hyppighet, bestemt av frekvensen
03.03.2009 INF 1410 6
)tsin(V)t(v m
2009
Sinussignaler (forts)
Sammenhengen mellom frekvens f og periode T er gitt ved
der enheten for periode er sekunder, og for frekvens 1/s
Hvis frekvensen oppgis i radianer, får man følgende
sammenheng
20.04.2009 INF 1410 7
Tf
1
fT 22
2009
Sinussignaler med forskyving
Et sinussignal kan uttrykkes enda mer generelt ved å ta med
en fasevinkel θ
Fasevinkelen angir en tidsforskyvning i forhold til ωt, dvs enten
til ventre eller til høyre langs tidsaksen
20.04.2009 INF 1410 8
)tsin(V)t(v m
2009
Sinussignaler med forskyving
Fasevinkelen er spesielt nyttig når man sammenligner to
sinussignaler med samme frekvens
Hvis to signaler har sammen verdi for fasevinkelen er signalene i fase
Hvis de har ulik fasevinkel er de ute av fase
For å sammenligne to signaler mhp fase må de
Begge være sinussignaler eller begge cosinussignaler
Begge skrives med positiv amplitude
Ha samme frekvens
20.04.2009 INF 1410 9
2009
Sammenheng mellom sinus og cosinus
For å konvertere signaler som er en blanding av sinus og
cosinus, kan man benytte følgende ligninger:
20.04.2009 INF 1410 10
)tsin()tcos(
)tcos()tsin(
)tcos()tcos(
)tsin()tsin(
90
90
180
180
2009
Komplekse frekvenser
Ved å introdusere komplekse signaler (dvs signaler i det
komplekse planet) får man en enkel og generell måte å
representere alle typer innsignaler
I tillegg vil innsignaler representert som komplekse variable
også forenkle analysen, både i tids- og frekvensplanet
Med komplekse signaler vil ligningene som beskriver generelle
RCL-kretser være rent algebraiske og ikke integro-differensial
ligninger
Løsning av rene algebraiske ligninger er mye enklere enn
integro-differensialligninger
20.04.2009 INF 1410 11
2009
Kort om komplekse tall
Komplekse tall kan tenkes på som en utvidelse av de reelle
tallene
Et kompleks tall består av en reell og en imaginær del:
der konstanten
Et vanlig reelt tall er et kompleks tall hvor b=0
Den reelle og imaginære delen kan refereres til som hhv
20.04.2009 INF 1410 12
A= a + jb
1j
b}AIm{a}ARe{
2009
Kort om komplekse tall (forts)
Man kan tenke seg et kompleks tall i et to-dimensjonalt
koordinatsystem
Den horisontale aksen representerer rene reelle tall (b=0),
mens resten av planet representerer generelle imaginære tall
20.04.2009 INF 1410 13
2009
Kort om komplekse tall (forts)
For at to komplekse tall A=a+jb og B=c+jd skal være like, må
a=c og samtidig b=d
Addisjon av to komplekse tall:
Subtraksjon av to komplekse tall:
20.04.2009 INF 1410 14
)db(j)ca()jdc()jba(
)db(j)ca()jdc()jba(
2009
Kort om komplekse tall (forts)
Multiplikasjon av to komplekse tall:
For å definere divisjon, defineres først den konjugerte:
Hvis A=a+jb, så er den konjugerte A*=a-jb
Summen av et kompleks tall og dets konjungerte er et reelt tall
Differensen av et kompleks tall og dets konjungerte er et imaginært
tall
Produktet av et kompleks tall og dets kompleks konjungerte er et
imaginært tall
20.04.2009 INF 1410 15
)adbc(j)bdac()jdc)(jba(
2009
Kort om komplekse tall (forts)
Divisjon av to komplekse tall A=a+jb og B=c+jd:
20.04.2009 INF 1410 16
2222
22
dc
)adbc(j
dc
)bdac(
dc
)adbc(j)bdac(
jdc
jba
)B)(B(
)B)(A(
B
A
2009
Eulers identitet
Sinus og cosinus kan defineres ved rekkeutvikling
20.04.2009 INF 1410 17
!!!
cos642
1642
!!!
sin753
753
!!!!
jsinjcos5432
15432
2009
Eulers identitet (forts)
Den naturlige eksponentialfunksjonen defineres som
Dette gir følgende sammenheng mellom e, sin og cos
20.04.2009 INF 1410 18
!
z
!
z
!
zzez
4321
432
!!
j!
je j
4321
432
)sin(j)cos(e j
)ee(j)sin()ee()cos( jjjj
2
1
2
1
2009
Komplekse tall på eksponentiell form
Gitt et kompleks tall på formen A= a + jb. Det kan vises at
dette kan skrives som en eksponentialfunksjon på formen
der
20.04.2009 INF 1410 19
jCeA
221 baCoga
btan
2009
Imaginære kilder og responser
Det kan vises at en (co)sinus kilde også gir en (co)sinus
respons:
En imaginær kilde kan lages ved å multiplisere med j:
Siden dette tilsvarer å multiplisere med en konstant, blir
responsen
20.04.2009 INF 1410 20
)tsin(jVm
)tsin(jIm
2009
Komplekse kilder og responser
Ved superposisjon kan man vise at kompleks kilde gir
kompleks respons (adderer imaginær og reell kilde/respons)
En kompleks kilde på formen:
Gir derfor responsen
20.04.2009 INF 1410 21
)t(jmeV
)t(jmeI
2009
Hvorfor komplekse kilde/respons
Med komplekse signaler blir ligningene
for kretser med spoler/kondensatorer blir
rent algebraiske, og ikke integro-
differensialligninger
For å forenkle ytterligere, kan man
”fjerne” ejωt fordi dette alltid er med. Trenger da å vite amplituden Vm (Im) og θ
Det man står igjen med er:
i(t) (og v(t)) i tidsplanet tilsvarer I (og V )i
frekvensplanet. I og V kalles for phasor
20.04.2009 INF 1410 22
2009
Phasorligning for resistor
I tidsdomenet er spenning-strøm
relasjonen gitt av v(t)=Ri(t)
I frekvensdomenet er tilsvarende
likning
Denne kan forenkles til V=RI
Det er mao ingen vits å konvertere
en ren resistiv krets til signaler fra
tidsplanet til frekvensplanet.
20.04.2009 INF 1410 23
)t(jm
)t(jm eRI)t(RieV
2009
Phasorligning for spole
I tidsdomenet er spenning-
strøm relasjonen gitt av
v(t)=Ldi(t)/dt
I frekvensdomenet er
tilsvarende likning
Denne kan forenkles til V=jωLI
Betydelig forenkling
20.04.2009 INF 1410 24
)eI(dt
dLeV )t(j
m)t(j
m
2009
Phasorligning for kondensator
I tidsdomenet er spenning-
strøm relasjonen gitt av
i(t)=Cdv(t)/dt
I frekvensdomenet er
tilsvarende likning
Denne kan forenkles til I=jωCV
Betydelig forenkling
20.04.2009 INF 1410 25
)eV(dt
dCeI )t(j
m)t(j
m
2009
Oppsummering
Tidsdomenet Frekvensdomenet
20.04.2009 INF 1410 26
idtC
1v
dt
diLv
Riv
ICj
1V
LIjV
RIV
2009
Kirchhoffs lover med phasorer
I tidsdomenet er Kirchhoffs spenningslov lik
Det kan vises at i frekvensdomenet er
Med andre ord gjelder Kirchhoffs spenningslov
Tilsvarende kan vises for Kirchhoffs strømlov at denne
også gjelder i frekvensdomenet
20.04.2009 INF 1410 27
021 )t(v)t(v)t(v n
021 nVVV
2009
Eksempel
I tidsdomenet har kretsen følgende KVL:
I frekvensdomenet:
20.04.2009 INF 1410 28
)tsin(LR
LV)tcos(
LR
RV)t(i
)tcos(VRidt
diL
mm
m
222222
LjR
VI
VLIjRIVVV
s
ssLR
2009
Kompleks impedans
Impedans kan defineres i det frekvensdomenet som
forholdet mellom spenning og strøm:
Disse kan tenkes på som motstand i frekvensdomenet, og
uttrykker hvordan motstanden varierer med frekvensen ω:
Resistans R: Ingen frekvensavhengighet
Induktans L: Motstanden øker når frekvensen øker
Kapasitans C: Motstanden synker når frekvensen øker
20.04.2009 INF 1410 29
CjI
VZLIj
I
VZR
I
VZ CLR
1
2009
Kompleks impedans (forts)
Kompleks impedans består av resistans og reaktans
Resistans er reell og angis i Ω
Reaktans er imaginær og angis i jΩ
En ideel ohmsk motstand har 0 reaktans
Ideelle spoler og kondensatorer har 0 resistans
Det er mulig å lage kretser med spoler og kondensatorer som
har 0 reaktans
Kan eliminere frekvensavhengighet, slik at for en bestemt frekvens har
kretsen kun ohmsk motstand
20.04.2009 INF 1410 30
2009
Eksempel
Skal beregne den ekvivalente
motstanden for kretsen ved f=5rad/s
Beregner først de tilsvarende
komplekse impedansene
Motstanden i parallell med
kondensatoren (1) gir
20.04.2009 INF 1410 31
12
39820026550
406
406
.j.
.j
).j)((
ZZ
ZZZ||ZZ
CR
CRCR