fondamenti di analisi matematica 2 tema...
TRANSCRIPT
Numero ordine alfabetico:
Cognome-Nome:
Fondamenti di Analisi Matematica 2
Vicenza, 5 Febbraio 2019
TEMA11. Si consideri la curva piana � con x(t) = t e y(t) = t
2+2 per t 2 [0, 1]. L’integraleR
� yds`
e uguale a:
� a)
R 1
0 (t2+ 2)
p1 + 4t
2dt
� b)
R 1
0 (t2+ 2)2t dt
� c)
R 1
0 (t2+ 2)dt
� d)
R 1
0 (t2+ 2)
p1 + 2t dt
2. Siano f, g 2 C
1(R2
), Z = {(x, y) | g(x, y) = 5}. Supponiamo che Z 6= ;, che Z
sia limitato e che per ogni P 2 Z, rg(P ) 6= (0, 0), allora necessariamente si
ha:
� a) f ammette punti critici in Z, e tra questi si trovano i punti di massimo e
minimo di f su Z.
� b) Le ipotesi non sono sufficienti a dire se f ammette massimo e minimo su
Z.
� c) Esistono sicuramente dei punti critici di L(x, y,�) = f(x, y)� �g(x, y).
� d) Tutte le precedenti risposte sono errate.
1. Definire le equazioni differenziali del primo ordine, a variabili separabili, e
descrivere il metodo risolutivo.
2. Definizione di rotore di campo vettoriale, dimostrare che se un campo
`
e con-
servativo allora
`
e anche irrotazionale.
Fondamenti di Analisi Matematica 2
Vicenza, 5 Febbraio 2019
TEMA1
1. Per ogni valore del parametro ↵ 2 R, si consideri la seguente equazione
differenziale:
y
00(t)� (↵ + 4)y
0(t) + 4↵y(x) = e
↵t,
(a) Determinare le soluzioni dell’equazione omogenea associata per ogni
valore del parametro ↵ 2 R,
(b) Determinare le soluzioni dell’equazione completa ↵ = 2
(c) Determinare le soluzioni dell’equazione completa ↵ = 4
2. Si consideri la funzione:
f(x, y) = 2 log [(x+ 3)(y � 1)] +
x
2
2
� y
2
2
.
(a) Determinare il dominio D di f e disegnarlo nel piano cartesiano.
(b) Dire se D
`
e aperto, chiuso, n
´
e chiuso n
´
e aperto.
(c) Calcolare le derivate parziali di f , quando possibile, e i suoi punti critici.
(d) Determinare la natura dei punti critici.
3. Data la superficie � definita da:
8<
:
x = u
y = u
2 � v
2
z = v
dove
D = {(u, v) | u2+ v
2 25, v |u| }.
(a) Dimostrare che essa
`
e regolare e calcolare un vettore normale al soste-
gno di �
(b) Calcolare l’integrale superficiale
Z
�
|x|d�.
Tempo: 110 minuti.
`
E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
Numero ordine alfabetico:
Cognome-Nome:
Fondamenti di Analisi Matematica 2
Vicenza, 5 Febbraio 2019
TEMA21. Si consideri la curva piana � con x(t) = t
3+ 1 e y(t) = t
2per t 2 [0, 1].
L’integrale
R� xds
`
e uguale a:
� a)
R 1
0 (t3+ 1)dt
� b)
R 1
0 (t3+ 1)3t
2dt
� c)
R 1
0 (t3+ 1)
p9t
4+ 4t
2dt
� d)
R 1
0 (t3+ 1)
p3t
2+ 2t dt
2. Siano f, g 2 C
1(R2
), Z = {(x, y) | g(x, y) = 0}. Supponiamo che Z 6= ; e che
per ogni P 2 Z, rg(P ) 6= (0, 0), allora necessariamente si ha:
� a) Se rf(P ) 6= 0 per ogni P 2 Z, allora f non ammette massimo e minimo
su Z.
� b) Se Z
`
e un insieme limitato, allora esistono sicuramente dei punti critici di
L(x, y,�) = f(x, y)� �g(x, y).
� a) Se Z
`
e un insieme limitato, allora esistono sicuramente dei punti critici di
f(x, y).
� d) nessuna delle precedenti risposte
`
e corretta
1. Definire le equazioni differenziali del primo ordine, a variabili separabili, e
descrivere il metodo risolutivo.
2. Definizione di campo conservativo e di potenziale, dimostrare che se un cam-
po
`
e conservativo allora il lavoro lungo una curva dipende solo dalla differenza
di potenziale agli estremi della curva.
Fondamenti di Analisi Matematica 2
Vicenza, 5 Febbraio 2019
TEMA2
1. Per ogni valore del parametro ↵ 2 R, si consideri la seguente equazione
differenziale:
y
00(t)� (↵ + 3)y
0(t) + 3↵y(x) = e
↵t,
(a) Determinare le soluzioni dell’equazione omogenea associata per ogni
valore del parametro ↵ 2 R,
(b) Determinare le soluzioni dell’equazione completa ↵ = 2
(c) Determinare le soluzioni dell’equazione completa ↵ = 3
2. Si consideri la funzione:
f(x, y) = 2 log [(x� 3)(y + 1)] +
x
2
2
� y
2
2
.
(a) Determinare il dominio D di f e disegnarlo nel piano cartesiano.
(b) Dire se D
`
e aperto, chiuso, n
´
e chiuso n
´
e aperto.
(c) Calcolare le derivate parziali di f , quando possibile, e i suoi punti critici.
(d) Determinare la natura dei punti critici.
3. Data la superficie � definita da:
8<
:
x = u
y = u
2 � v
2
z = v
dove
D = {(u, v) | u2+ v
2 25, u |v| }.
(a) Dimostrare che essa
`
e regolare e calcolare un vettore normale al soste-
gno di �
(b) Calcolare l’integrale superficiale
Z
�
|z|d�.
Tempo: 110 minuti.
`
E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
Numero ordine alfabetico:
Cognome-Nome:
Fondamenti di Analisi Matematica 2
Vicenza, 5 Febbraio 2019
TEMA31. Si consideri la curva piana � data in rappresentazione cartesiana da
y = x
2+ 3 con x 2 [0, 1]. La lunghezza di �
`
e uguale a:
� a)
R 1
0 (x2+ 3)dx
� b)
R 1
0
p(1 + 2x)dx
� c)
R 1
0
p(1 + 4x
2)dx
� d)
R 1
0 (1 + 4x
2)dx
2. Siano f, g 2 C
1(R2
), Z = {(x, y) | g(x, y) = �1}. Supponiamo che Z 6= ; e che
per ogni P 2 Z, rg(P ) 6= (0, 0), allora necessariamente si ha:
� a) Se Z
`
e un insieme limitato e f ha due soli punti critici in Z, allora questi
sono sicuramente i punti di massimo e minimo di f su Z.
� b) Se rf(P ) 6= 0 per ogni P 2 Z, allora f non ammette massimo e minimo
su Z.
� c) Se Z
`
e un insieme limitato, allora esistono sicuramente dei punti critici di
L(x, y,�) = f(x, y)� �(g(x, y) + 1).
� d) Se Z
`
e un insieme limitato allora esistono sicuramente dei punti critici di
L(x, y,�) = f(x, y)� �g(x, y)
1. Definire le equazioni differenziali lineari del primo ordine e scrivere l’integrale
generale.
2. Definizione di campo conservativo e di potenziale, dimostrare che se un cam-
po
`
e conservativo allora il lavoro lungo una curva dipende solo dalla differenza
di potenziale agli estremi della curva.
Fondamenti di Analisi Matematica 2
Vicenza, 5 Febbraio 2019
TEMA3
1. Per ogni valore del parametro ↵ 2 R, si consideri la seguente equazione
differenziale:
y
00(t)� (↵ + 3)y
0(t) + 3↵y(x) = e
↵t,
(a) Determinare le soluzioni dell’equazione omogenea associata per ogni
valore del parametro ↵ 2 R,
(b) Determinare le soluzioni dell’equazione completa ↵ = �1
(c) Determinare le soluzioni dell’equazione completa ↵ = 3
2. Si consideri la funzione:
f(x, y) = 2 log [(x+ 1)(y � 3)]� x
2
2
+
y
2
2
.
(a) Determinare il dominio D di f e disegnarlo nel piano cartesiano.
(b) Dire se D
`
e aperto, chiuso, n
´
e chiuso n
´
e aperto.
(c) Calcolare le derivate parziali di f , quando possibile, e i suoi punti critici.
(d) Determinare la natura dei punti critici.
3. Data la superficie � definita da:
8<
:
x = u
y = u
2 � v
2
z = v
dove
D = {(u, v) | u2+ v
2 16, v |u| }.
(a) Dimostrare che essa
`
e regolare e calcolare un vettore normale al soste-
gno di �
(b) Calcolare l’integrale superficiale
Z
�
|z|d�.
Tempo: 110 minuti.
`
E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
Numero ordine alfabetico:
Cognome-Nome:
Fondamenti di Analisi Matematica 2
Vicenza, 5 Febbraio 2019
TEMA41. Si consideri la curva piana � data in rappresentazione cartesiana da
y = x
2+ 2x+ 1 con x 2 [0, 1]. La lunghezza di �
`
e uguale a:
� a)
R 1
0
p(1 + (2x+ 2)
2)dx
� b)
R 1
0 (1 + (2x+ 2)
2)dx
� c)
R 1
0 (x2+ 2x+ 1)dx
� d)
R 1
0
p(1 + (2x+ 2))dx
2. Siano f, g 2 C
1(R2
), Z = {(x, y) | g(x, y) = 0}. Supponiamo che Z 6= ;, che Z
sia limitato e che per ogni P 2 Z, rg(P ) 6= (0, 0), allora necessariamente si
ha:
� a) Esistono sicuramente dei punti critici di L(x, y,�) = f(x, y)� �g(x, y).
� b) Le ipotesi non sono sufficienti per concludere che f ammette massimo e
minimo assoluto su Z.
� c) Esistono sicuramente dei punti critici di f su Z.
� d) Se rf(P ) 6= 0 per ogni P 2 Z, allora f non ammette massimo e minimo
su Z.
1. Definire le equazioni differenziali lineari del primo ordine e scrivere l’integrale
generale.
2. Definizione di rotore di campo vettoriale, dimostrare che se un campo
`
e con-
servativo allora
`
e anche irrotazionale.
Fondamenti di Analisi Matematica 2
Vicenza, 5 Febbraio 2019
TEMA4
1. Per ogni valore del parametro ↵ 2 R, si consideri la seguente equazione
differenziale:
y
00(t)� (↵ + 4)y
0(t) + 4↵y(x) = e
↵t,
(a) Determinare le soluzioni dell’equazione omogenea associata per ogni
valore del parametro ↵ 2 R,
(b) Determinare le soluzioni dell’equazione completa ↵ = �1
(c) Determinare le soluzioni dell’equazione completa ↵ = 4
2. Si consideri la funzione:
f(x, y) = 2 log [(x� 1)(y + 3)]� x
2
2
+
y
2
2
.
(a) Determinare il dominio D di f e disegnarlo nel piano cartesiano.
(b) Dire se D
`
e aperto, chiuso, n
´
e chiuso n
´
e aperto.
(c) Calcolare le derivate parziali di f , quando possibile, e i suoi punti critici.
(d) Determinare la natura dei punti critici.
3. Data la superficie � definita da:
8<
:
x = u
y = u
2 � v
2
z = v
dove
D = {(u, v) | u2+ v
2 16, u |v| }.
(a) Dimostrare che essa
`
e regolare e calcolare un vettore normale al soste-
gno di �
(b) Calcolare l’integrale superficiale
Z
�
|x|d�.
Tempo: 110 minuti.
`
E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
Tamaleat
Esty
de 3 g'e 3dgPca d des d e 32 O
dip 2 3 fest Gd
LIa
2 3 È Gt3 la 3
a 32
soluzioni omogenea
se 3 get getti e e
se D 3 yoctl.ge tgte
atD 2 y 5g 6g e
radici polinomio caratteristico Io
soluzione omogenea za te e
poiche d L È radice semplice del polinomiocaratteristico la soluzione particolare sara
del tipo
9pct A feat
9pct Ae date
j'G 2aeat saeat.ca feet
g 5g 6gAe 4 5 loft
at 2TAe e
A 1
yctl.ge gesta featat
a 3y 6g e 9g e
3Tsoluzione omogenea G geste te
d 3 e radice doppia del polinomio caratteristico
quindi la soluzione particolare sara del tipo
4pct a fest
gip Latest safest
g2 Ae'I Gateste 6Atestasafest
g p6gg
9 Aes latest µ Igfsta
3T 3T2 Ae e
A 12
yet g c test fest
Eslfcxgt2lgfx skg.ee È
D g x 3 4h so
x_g 4h o II oppure
p.a
ff.ae
12
De definito tramite disuguaglianze strette
quindi e un insieme aperto
7cg 244 3 Cgil È
e derivabile g ED e si ha
gg 2 Creise
2
j I IX 3 Crei x 3
Of 2
g g
punticritici fx.xesxtlx3fye.FIyet
È t Eeg 2 0
22 3 1 0 e 3 Ì 3
41
Fey 2 0 qae itf a t.IE Ig
punti possibili Ps 2,1 par 2 2
Bla I 1 2
di questi solo Letamaio
2 3 3 E 3 2
x 3 2
27 1 Cerea 57 2
ya
f g f 0
Afidi
definita negativa Pae'di Max relativo
Head
e indefinito e pt di sella
Es 3 U
E
la superficie e una superficie cartesiana
del tipo y face quindi è regolaree
poiche fix si È E C
Abbiamo
tu 1 da 0
to 0 ao 1
tanto da 1 ao
un vettore normale al sostegno
D yo Eto'E 25 ne lol
Ireneo la It qu 48
lei di lol FÀ dado
5 ciao
Dce 5
passando in coordinate polari
vi p cost le ft
p seno q E o 5
sentendo
iresuoi
It
senti da 2 sono da
TI 44 I
2 cost
a s Ea
Fede
senti t.coshgf.de
sentita cosi calda
sentieri EII.ze.ie a
codice È e ta
E.ee a Ce7EEz da
e 11 25 1 ie 2etaE ze
aada
è a da