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FONCTION LINEAIRE
3° Avon 2009Bernard Izard
Chapitre
13-FL
I - PROPORTIONNALITÉII – DÉFINITIONS / ExIII- GRAPHIQUEIV – DETERMINER IMAGE et
ANTÉCÉDANTV - DÉTERMINER UNE F. L.VI - % et F. LINÉAIREVII APPLICATIONS / EXERCICES
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I- PROPORTIONNALITÉ
9 5 12 x
27 72 63 yx 3
Donc: 27 = 3 x 9 72 = 3 x…..
et y = x3x
Deux grandeurs x et y sont proportionnelles s’il existe un nombre a tel
que y = a x x
coefficient de proportionnalité
La fonction qui à x fait correspondre a x x s’appelle Fonction Linéaire de coefficient a
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II-DÉFINITIONS
La correspondance qui à chaque nombre « x » associe un nombre « a x » s’appelle fonction linéaire de coefficient a.
On notera cette fonction ainsi : f : x a xL’image de x sera notée : f(x).
« a » s’appelle: Coefficient de proportionnalitéou Coefficient directeur
Exemple1 :
Soit f est la fonction linéaire de coefficient 2. On la note : f : x 2 x
Alors : L’image de 5 est : f(5) = 2 5 = 10.L’image de (-3) est : f(-3) = 2 (-3) = -6.L’image de 1 est : f(1) = 2 1 = 2.
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Exemple2: Le prix d’un CD est 7,30 €. Soit x le nombre de CD achetés. Prix en fonction de x ?
Pour calculer le prix il faut multiplier le prix d’un CD par le Nombre
p(x) = 7,3 x x et p: x 7,3 x
Exemple3: La fonction « opposée »
f: x - x
Contre-exemple: La fonction qui associe le carré:
f: x x²
Ce n’est pas une fonction linéaire
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III-GRAPHIQUE
Comme la fonction linéaire représente une proportionnalité son graphe est une droite qui passe par l’origine du repèreDémonstration
Soit f une fonction linéaire définie par f(x) = ax. On appelle y l’image de x
Si x = 0 alors y = f(0) =ax0 = 0. Le point O (0;0) est sur la courbe
Si c’est une droite, elle passe par l’origine du repère.Soit le point A de de la courbe avec x = 1, donc pour être sur la courbe il faut y= a x1 =a A(1;a)
Soit M un autre point quelconque de la courbe de coordonnées x et y=ax M(x;ax)
Les 3 points O, A et M sont donc sur la courbe. Sont-ils alignés ?
Ensemble des points de coordonnées (x ; a x)
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OB = 1
AB = a
ON = x
NM = ax
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Traçons la droite (OA) . Supposons qu’elle coupe (NM) en M’
OB = 1
AB = a
ON = x
NM = ax
Comme (AB) // (NM’), D’après le th. de Thalès
Remplaçons: D’où NM’ = ax
Donc NM =NM’ et comme les points sont sur la même droite alors M = M’ et le point M est bien sur la droite (OA)
O,A,M sont alignés
' '
OA OB AB
OM ON M N
1
' '
OA a
OM x NM
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Exemple1: Traçons la représentation graphique de la
fonction linéaire f(x) = 4x
f est une fonction linéaire, sa représentation graphique est une
droite (d1) qui passe par O. Comme f(2)=4x2= 8, alors d1 passe par le point de coordonnées (2; 8).
(en rouge sur le dessin)
x 0 2
y 0 8
x 0 -2
y 0 6
On fait un tableau de valeurs
Comme le graphe est une droite 2 points suffisent. On peut prendre un 3° point de vérification.
On choisit x, on calcule y
Exemple2: Traçons la représentation graphique de la fonction linéaire g(x) = -3x g est une fonction linéaire, sa
représentation graphique est une droite (d2) qui passe par O.
Comme g(-2)=-3x(-2)= 6, alors d2 passe par le point de coordonnées (-
2; 6). (en bleu sur le dessin)
0,5 mm pour 1 unité. Les 2 courbes sur le même graphique
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1
1
1
1
1
1
1
1
a
a
a
a
a « petit et positif » a « grand et positif » a « petit et négatif » a « grand et négatif »
a le coefficient directeur indique l’inclinaison de la droite
Dans un repère la droite passe toujours par le point de coordonnées (1;a) et par l’origine du repère.
Si a = 0 la droite représentative se confond avec l’axe des abscisses.
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IV-DÉTERMINER IMAGES ET ANTÉCÉDANTS
1) Connaissant l’expression de la Fonction
Ex1: Déterminer l’image de « -3 » par la fonction linéaire f définie par f(x) = 5x.
On remplace x par –3 dans l’expression: f(-3) = 5 x (-3) = -15
Ex2: Déterminer l’antécédent de 3/7.
On résoud l’équation: f(x) = 3/7
5x = 3/7
x = 3/35:5
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2) Avec le graphique
Ex1: Déterminer l’image de « 2 » par la fonction f ayant le graphique ci-dessous
2
4
On trace un trait vertical à l’abscisse 2 va couper la courbe
On lit la valeur sur l’axe des ordonnées
f(2) =4
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Ex2: Déterminer le nombre qui a pour image « -6 » par la fonction f ayant le graphique ci-dessous
-6
-3
On trace un trait horizontal à l’ordonnée -6
On lit la valeur sur l’axe des abscisses
L’antécédent de –6 est -3
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V-DÉTERMINER UNE FONCTION LINÉAIRE
1) Connaissant un nombre et son image.
Ex: Déterminer la Fonction linéaire f dont l’image de 4 est –12.
On écrit: f(x) = ax et on remplace x par 4 et f(x) par –12
a x = f(x)
a x 4 = -12
a = -12 /4
a = -3
f est la fonction définie par x -3x
f(x) = -3x
Il faut calculer « a »
4 x
-12 yx a
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2) Avec le graphique
0,4
+5
-2
a = -2/5 = - 0,4
f est la fonction définie par f(x) = - 0,4 x
On peut remarquer que pour x=1 on lit «a» sur les ordonnées
a =
y
x
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VI-% et FONCTION LINEAIRE
Ex1: Déterminer la fonction linéaire qui au prix affiché d’un objet fait correspondre son prix soldé à – 35%
f : x 0,65 x
On multiplie par
1 – 35/100
Ex2: Déterminer la fonction linéaire qui à un prix HT fait correspondre le Prix TTC avec une TVA à 19,6 %.
f : x 1,196 x On multiplie par 1 + 19,6/100
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VII-APPLICATION / EXERCICES
Durée t ( en h) 3/4 2,5 4 5
Distance parcourue (en km)
120 400 640 800
Ex1: Lors d’un test sur circuit d’une voiture, les mesures sont les suivantes:
1) Est-ce une situation de proportionnalité ? Pourquoi ?
2) Que représente le coefficient de proportionnalité ?3) Déterminer la fonction linéaire associée à cette proportionnalité
4) Faire le graphique. Abscisse 1cm =1h. Ordonnées 1cm =160km.
120 400 640 800160
3/ 4 2,5 4 5 Oui, car:
La vitesse
f: x 160 x
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0 1 2 3 4 5
Durée en h
Distance en km
800
640
480
320
160
0
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2)
x 0 1 -2
y 0 -2 4X -2
x 0 3 -3
y 0 2 -2 X 2/3
On fait un tableau de valeurs
1) On choisit x et on calcule y
2) On place les points
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FIN