Fonaments Físics de les Estructures

Tema 12.- Entramats articulats plans. Mètode dels nusos.

Objectius:

• Saber les hipòtesis simplificadores utilitzades en l’anàlisi

dels entramats articulats.

• Reconèixer els diferents tipus d’entramats bidimensionals.

• Conèixer la resposta d’un entramat 2D a l’acció de forces

externes.

• Conèixer las forces internes axials sobre els membres de

un entramat 2D pel mètode analític dels nusos, Ritter o pel

mètode gràfic del diagrama Maxwell-Cremona.

Estructures

Estructura de formigó

Estructura metàl·lica

Cavall de fusta

Una estructura o entramat és un sistema de peces unides entre sí i construïda per a suportar càrregues importants. Un cavall és una estructura bàsica plana triangular.

Entramats plans o CavallsPont per a un antic ferrocarril construït amb dos cavalls

El cavall és un dels principals tipus d’estructures utilitzades en enginyeria. Proporciona una solució pràctica i econòmica a moltes situacions d’enginyeria, especialment en el disseny de ponts i edificis. Una encavallada està formada per barres rectes unides mitjançant juntes o nodes. Els elements d’un cavall s’uneixen només en els extrems amb passadors sense fricció per a formar una estructura rígida; per tant, cap element continua més enllà d’un node. Cada cavall es dissenya perquè suporte les càrregues que actuen en el seu pla i, en conseqüència, poden considerar-se com a una estructura bidimensional. Totes les càrregues han d’aplicar-se en les unions i no en els seus elements (barres). Per açò cada cavall és un element sotmès a forces axials directes (tracció o compressió).

CavallsLes estructures tridimensionals estan compostes per varis cavalls.

Cavalls

Estructura horitzontal

Hipòtesis simplificadores per a resoldre entramats articulats plans:

• Cap barra travessa un nus.

• Les barres són indeformables i no flexionaran a causa de l’acció de les càrregues aplicades.

• El pe de les barres es considerarà aplicat en els nusos adjacents.

• Les articulacions o nusos estan lliures de fregament.

• Les càrregues exteriors actuen sempre sobre les articulacions.

Tipus de cavalls

Encavallada HOWE

Pont HOWE

Pont "K"

Pont WA RREN

Encava llada POLONCEA UEst r uct ura hexagonal

B iga en gelosia

Figura 11.4 Exemples d’entramats simples, compostos i complexos

Cavalls

Pont Warren sobre el riu Rhin en Karlsruhe, Alemanya.

Els cavalls són primes i no són capaços de suportar grans càrregues

laterals. Les càrregues exteriors s’apliquen sobre els nusos.

Estructura tridimensionalLas construccions arquitectòniques solen estar formades per diversos entramats que formen la estructura tridimensional.

EntramatWarren

NusosLes barres s’uneixen en les articulacions (nusos) mitjançant passadors,

tornavisos, rebladures o soldadures.

Nusos Al ser plans els entramats, se suposarà que només hi ha esforços

axials (compressió o tracció) en la direcció de les barres, però no de

flexió.

Idealització d’un nus

FAB

FAD

FAC

FAE

FAG

Nusos

Forces en els nusos

N

B

FBN

FNB FBN

FNB

(a) (b)

Per la tercera llei de Newton, les forces que s’exerceixen sobre la barra

(FNB, del nus sobre la barra ) i sobre el nus (FBN, de la barra sobre el nus ) són iguals i de

sentits oposats.

Quan ambdues forces són cap a dins són a compressió (a), i quan són

cap a fora són a tracció (b).

Es diu que el nus i la barra “treballen” sempre de la mateixa manera.

Idealització d’un entramat

3m

3m 3m3m3m

250 N/m

EF

D

G

C

H

B

A

3m

3m 3m3m3m

250 N/m

EF

D

G

C

H

B

A

Deformabilitat d’un entramatDepenent del nombre de barres (b) i del nombre de nusos (n) de

l’estructura, es classifiquen en:

• Deformables, si es b<2n-3.

• Indeformables Isostàticament, si es b=2n-3.

• Indeformables Hiperestàticament, si es b>2n-3.

Els entramats indeformables no col·lapsaran quan suporten càrregues.

L’entramat indeformable més senzill és el format per triangles.

Deformable Indeformable

Vincles d’un entramatEls entramats solen estar sotmesos a dos tipus de vincles, subjeccions

o recolzaments:

• Articulació fixa.

• Articulació sobre corrons.

Articulació sobre corrons(reacció perpendicular al pla)

Articulació fixa(reacció amb dos components)

Mètode dels nusos

0

0

0

X

Y

A

F

F

M

És un mètode analític per a conèixer les forces internes axials que

suporten cadascuna de les barres de l’entramat.

En primer lloc cal conèixer les reaccions en els suports que subjecten

l’estructura que equilibren las càrregues externes.

Per a això es considera l’entramat com un sòlid rígid bidimensional, i

se li apliquen les condicions d’equilibri estàtic:

Armadura Pratt

Mètode dels nusosA continuació es van calculant els esforços nus a nus, aplicant les

condicions d’equilibri.

Aquestes forces són les externes, les reaccions en els suports i les

internes de cadascuna de les barres que formen el nus. Les forces

internes tenen les direccions de les barres i les suposarem a priori

cap a fora (tracció). Les forces sobre els nusos a ambdós extrems

d’una barra són iguals però amb sentits oposats.

L’equilibri del nus equival a suposar que la suma de totes les forces

és nul·la:

Els nusos es van resolent consecutivament, tenint la precaució de

triar cada vegada el que no tinga més de dos esforços desconeguts.

0

0X

Y

F

F

Mètode dels nusos

B

FCD

DFDG

FDEFDF

FBD

FCA

FCB

FCDC

RAY

AFAC

FAB

FED

EFEFFEB

FBA

P

FBE

FBD

No treballa

No treballa

A B

90º60º 60º

60º

60º

30º 30º

30º

a a a

B´

b

La coberta d’una casa està formada por dues estructures planes o cavalls units mitjançant bigues de suport que sostenen el sostre a dos aigües, com mostra la figura.

El pes del sostre es transmet a les estructures i recolza en els seus nusos a través d’unes bigues de suport horitzontals.

Calculeu els esforços en les barres de les estructures en funció de las dimensions de la coberta i del pes del sostre que suporten.

Exemple 1

Armadura Polonceau

A

2P

B

90º60º 60º

60º

60º

30º 30º

30º

a a a

2P2P

PP

Com que les càrregues actuen en el pla de les estructures, l'anàlisi de forces sobre cada barra es pot reduir a dos dimensions.

Suposem que el sostre té un pes per unitat d’àrea Q (kN·m-2)

El pendent és del 33.3 % (és a dir 30º). El pes total és que les bigues reparteixen en parts iguals en cada tram, Les càrregues verticals en cada nus són 2P i P .

Qabcos

QabW

32º30

3

316 8WP abQ

La substitució dels suports per les seues reaccions dóna lloc al diagrama de sòlid lliure de l’estructura, i la resolució de les equacions d’equilibri estàtic permet conèixer el valor d’aquestes.

A

2P

B

2P2P

PP

RAY RBY

RBX

C

D F

E

G

Les equacions d’equilibri són:

X 0,F BX 0R

Y 0,F AY BY 2 2 2 0R R P P P P P AY 4R P

A 0,M 2 2BY

3cos 30º 2 2 3 cos 30º 2 3 02

a P a P a P aR

BY 4R P

Per a conèixer ara els esforços sobre cada barra, s’apliquen les mateixes equacions d’equilibri per a les forces concurrents en cada nus de l’estructura. La simetria d’aquesta ens evita repetir molts càlculs:

NUSOS A i B

X 0,F 24 30º 0P P T sen 2 6PT (compressió).

Y 0,F 1 2 cos30º 0T T 1 3 3 5.2P PT (tracció).

NUSOS C i G

X 0,F 4 36 30º 30º 60º 0Pcos T cos T cos 3 3 1.73PT P

Y 0,F 4 36 30º 2 30º 60º 0Psen P T sen T sen 4 5PT

NUSOS D i F

Y 0,F 6 60º 3 60º 0T sen Psen 6 3 1.73PT P

El resultat complet, amb les forces sobre cada barra es presenta en la figura següent:

A

2P

B

2P2P

PP

4P 4P

C

D F

E

G

6P 6P

5P 5P

5.2P 5.2P3.46P

1.73P1.73P 1.73P

1.73P

X 0,F 5 63 3 60º 3 60º 0P T T cos Pcos 5 2 3 3.46P PT

El pont metàl·lic de la figura està format per dues estructures planes

iguals unides mitjançant bigues horitzontals i travessers per a

suportar una determinada càrrega distribuïda sobre la seua coberta.

Estudia com es distribueixen les forces entre les distintes barres de

cada cavall.

Exemple 2

Armadura Howe

A

C E G

D F H Bq (kN/m)

a a a a

a

El pes total sobre el pont és , on a és la distància horitzontal entre nusos. Cada estructura plana suporta W/2, que es transmet mitjançant els jaços i travessers i es distribueix en càrregues puntuals P i 2P sobre los nusos, sent .

El problema és bidimensional, al ser la càrrega coplanària amb l’estructura.

4W qa

16 4W qaP

Se substitueixen els suports per les seues reaccions, i la càrrega distribuïda pels seus equivalents puntuals, obtenint el diagrama de sòlid lliure que suposarem en equilibri. La resolució de les equacions d’equilibri permet conèixer les reaccions:

A

C E G

D F H B

2P 2P 2P

P P

RAY RBY

RBX

X 0,F BX 0R

Y 0,F AY BY 2 2 2 0R R P P P P P AY 4R P

A 0,M 0423222 BYRPaPaPaPa BY 4R P

S’apliquen les equacions d’equilibri per a les forces concurrents en cada nus de l’estructura (mètode dels nusos). La seua simetria ens evita repetir molts càlculs:

NUSOS A i BX 0,F 0º45cos21 TT PT 31 (tracció).

Y 0,F 0º454 2 senTPP 24.4232 PT (compressió).

NUSOS C i GX 0,F 0º45cos23 4 TP PT 34 (compressió).

Y 0,F 0º4523 3 TPsen PT 33 (tracció).

A

C E G

D F H B

2P 2P 2P

P P

RAY RBY

RBX

NUSOS D i H

X 0,F 0º45cos3 65 TTP PT 45

Y 0,F 0º4523 6 senTPP PT 26

A

C E G

D F H B

2P 2P 2P

P P

RAY RBY

RBX

NUS EY 0,F 0º4522 7 TPsen PT 27

A

C E G

D F HB

2P 2P 2P

P P

2P 2P 2P 2P

2P3P 3P

3P 3P

4P 4P

4.24P 4.24P1.41P 1.41P

El resultat complet, es presenta en la figura de la part inferior.

Les barres horitzontals inferiors treballen a tracció, mentre que les

superiors ho fan a compressió.

Les barres verticals suporten forces de tracció, mentre que en les

inclinades són forces de compressió.

Fonaments Físics de les Estructures

Tema 13.- Entramats articulats plans. Mètode de Ritter.Mètode de Maxwell-Cremona

Objectius:

• Saber les hipòtesis simplificadores utilitzades en l’anàlisi

dels entramats articulats.

• Reconèixer els diferents tipus d’entramats bidimensionals.

• Conèixer la resposta d’un entramat 2D a l’acció de forces

externes.

• Conèixer las forces internes axials sobre els membres de

un entramat 2D pel mètode analític dels nusos, Ritter o pel

mètode gràfic del diagrama Maxwell-Cremona.

Aquest procediment està especialment indicat per quan es desitja

determinar les tensions en determinades barres de l’estructura,

sense necessitat de resoldre-la completament. És un mètode analític.

Es comença calculant les reaccions en els suports: RAy , RHx , RHy .

Mètode de Ritter

Mètode de RitterA continuació dibuixem una línia 1-2 que talle les barres la tensió de

les quals ens interessa (no més de tres, ja què el nombre d’equacions

disponible serà tres). Dividint l’estructura en dues parts que també es

poden suposar en equilibri (mètode de les seccions).

Mètode de RitterAnomenant FEF , FDF i FDG a les tensions desconegudes en les barres,

es representa el diagrama de sòlid lliure de qualsevol de les dues

parts en què queda dividit l’entramat, i resolent les eq. d’equilibri

estàtic (eq. extern) s’obtenen les tensions sobre aquestes barres.

(Les tensions se suposaran, a priori, a tracció)

Mètode de Ritter0 cos 45º 0

0 sin 45º 0 0

0 0

X EF DF DG

Y DF DF

F DG DG

EF DG

F F F F

F P F P F

M F a P a F P

F F P

(aquesta barra no treballa)

(a tracció)

(a compressió)

Notació de Bow

La notació de Bow permet descriure els nusos, les barres i les zones

de l’espai interiors i exteriors d’una estructura. Aquesta notació és

molt útil per a la seua resolució per mètodes gràfics.

RAY

RAX

RBY

P P2P 2P

Notació de BowS’envolta l’estructura amb una corba tancada, i es prolonguen cap a

fora rectes en les direccions de les forces externes aplicades i les

reaccions. Es representa amb lletres minúscules consecutives

cadascuna de les regions delimitades en el pla: les exteriors al

voltant de l’estructura i les interiors.

RAY

RAX

RBY

P P2P 2P

a

b

j k

i l

m

g

h

f

c

e

d

n

ñ

o

Notació de BowAixí, cada nus es pot anomenar amb la seqüència de les regions al

seu voltant (sentit horari):

Nus A = a-h-f-j = h-f-g-a = f-g-a-h = g-a-h-f

Nus B = o-e-f = e-f-o = f-o-e

Nus C = a-b-i-h = b-i-h-a = i-h-a-b = h-a-b-i … etc

RAY

RAX

RBY

P P2P 2P

a

b

j k

i l

m

g

h

f

c

e

d

n

ñ

o

A B

C

Notació de BowI cada barra o la força o tensió que suporta es descriu amb les

lletres de les dues regions que separa:Barra a-h, Barra h-i, Barra i-b, … Força a-b=b-a=P, Força b-c=c-b=2P, …Tensió a-h=h-a, Tensió h-i=i-h, Tensió i-b= b-i, …ReaccióAX = a-g=g-a, ReaccióAY = g-f=f-g, ReaccióBY = f-e= e-f

RAY

RAX

RBY

P P2P 2P

a

b

j k

i l

m

g

h

f

c

e

d

n

ñ

o

Diagrama de Maxwell-CremonaÉs un procediment gràfic per a determinar els valors dels

esforços en cadascuna de les barres. El sentit de l’esforç es

determina posteriorment nus a nus, utilitzant per a això el

polígon de les forces que concorren en cada nus.

RAY

RAX

RBY

P P2P 2P

a

b

j k

i l

m

g

h

f

c

e

d

n

ñ

o

Diagrama de Maxwell-Cremona1r) Es construeix el polígon de forces externes i reaccions, amb

costats en les direccions de cadascuna de les forces, de longituds

proporcionals al valor de cada força.

En aquest cas és el polígon de vèrtexs: a-b-c-d-e-f-g-a.

L’equilibri extern garanteix que aquest polígon és tancat.

RAY

RAX

RBY

P P2P 2P

a

b

j k

i l

m

g

h

f

c

e

d

n

ñ

o

Mètode de Maxwell-Cremona

2 kN7 kN 3 kN 2 kN

2m 2m 2m

3m

9.3 kN

9.3 kN

b c d

ef g

h

a

ij k

A partir d’aquest polígon, es dibuixa el polígon de forces per a cada nus buscant els vèrtexs en traçar les paral·leles a les barres.

Es comença per qualsevol nus en què desconeguem, com a màxim, les forces en dues de les barres que conflueixen en el nus.

Mètode de Maxwell-Cremona2 kN7 kN 3 kN 2 kN

9.3 kN

9.3 kN

b c d

ef g

h

a

ij k

gj

h

k

a

c

b

d

e f

i

Diagrama de Maxwell-Cremona

Les distàncies entre cada dos vèrtexs del diagrama són (a escala) les magnituds de les tensions en cadascuna de les barres de l’estructura.

Els sentits de les forces les determinarem a partir d’una força coneguda en recórrer el polígon corresponent a cada nus.

Mètode de Maxwell-CremonaEn resum, el procediment consisteix en:

Calcular analíticament o gràficament les reaccions en els suports.

Anomenar totes les zones de l’estructura mitjançant lletres seguint la notació de Bow.

Dibuixar a escala el polígon de forces externes amb totes les forces conegudes, incloent-hi les reaccions d’acord a la notació de Bow.

A partir d’aquest polígon, dibuixar un polígon de forces per a cada nus buscant els vèrtexs en traçar les paral·leles a las barres. Es comença per un qualsevol dels nusos sobre el que actua alguna força coneguda i desconeguem, com a màxim, les forces en dues de les barres que incideixen en el nus.

Els valors de les forces amb què actuen les barres sobre els nusos s’obtenen mesurant en el diagrama de Maxwell-Cremona la longitud del segment entre els vèrtexs corresponents a cada barra.

Determinar el sentit de les forces en les barres a partir del sentit de les forces conegudes en el recorregut del polígon de cada nus.

Exemple 1

PA

B C

D

E

a a

a

a

P

A

B C

D

E

d

e

f

R

A

Ex

R

a

b

c

Figura 11.19 Exemple d’entramat i diagrama de sòlid

lliure d’aquest

P

a

b

c

de

f

Diagrama deMaxwell-Cremona

PA

B C

D

ER

A

Ex

R

Figura 11.20 Diagrama de Maxwell-Cremona de l’entramat de

la Figura 11.19

Exemple 2

3 m

3 m 3 m

1000 N/ m

BA C

D

E

F

N1000;0623000;0

N2000;03000;00;0

CyCyiA

AyCyAyiy

Axix

RRM

RRRFRF

Barra Força (N)

af –1250

bf 0

ci 0

di –250

eg 750

eh 750

fg –1061

gh 0

hi –1061

Exemple 2

1250 N

BA C

D E F

1500 N

250 N

a

b c

d

e

f

g h

i

2000 N

1000 N

a

b

f

d

eg

h

c

i

0 1000 N