folien zu vl xi vom 08012015
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-
1/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
3.8 Mehrfachintegrale
3.8.1 Doppelintegrale
( , ) dA f x yA
2
1
( )
( )
= ( , ) dy dxo
u
y xx
x y x
f x y
2 unabhngigeVariablen
Integrationsbereich:eine Flche!
Flchen-differential
von x abhngigeFunktionen od. Konstanten
Konstanten
1. Integration (innen)
Vorgehen:
1. Innere Integration nach y ausfhren
x als Konstante betrachten!
f(x,y) nach y integrieren!
In ermittelte Stammfunktion fr y die Integrationsgrenzen yo(x) und yu(x) einsetzen und Differenz der resultierenden Funktionen bilden! (Variable y verschwindet aus Integranden!)
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2/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
( , ) dA f x yA
2 unabhngigeVariablen
Integrationsbereich:eine Flche!
Flchen-differential
2. Integration (auen)
2. uere Integration nach x in den festen Grenzen x1 und x2 ausfhren(gewhnliche Integration)
3.8 Mehrfachintegrale
3.8.1 Doppelintegrale
2
1
( )
( )
= ( , ) dy dxo
u
y xx
x y x
f x y
von x abhngigeFunktionen od. Konstanten
Konstanten
1. Integration (innen)
-
3/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
Bsp.:
3.8.1 Doppelintegrale
x1 e 2
x 0 y 1
xdy dx ?
y= =
=
x1 e
2
x 0 y 1
1x dy dx
y= =
1. Innere Integration nach y (x wird als Konstante betrachtet):x1 e
2
x 0 y 1
1x dy dx
y= =
=
( )x
1e2
1x 0
x ln y dx=
= ( ) ( )( )1
2 x
x 0
x ln e ln 1 dx=
= = 0= x
1
3
x 0
x dx=
=
2. uere Integration nach x (gewhnliche Integration, da nur noch eine Variable):
1
3
x 0
x dx=
= 1
4
0
1x
4
=
1 10
4 4= =
-
4/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
Bereich(A)
z
y
x
x
y
Funktionsflche z = f(x,y)
Grundflche Sule: A = y . x
Volumenelement Sule:V = f(xk,yj) . A
f(xk,yj)
m n
k j
k 1 j 1
V f (x , y ) A= =
Das Volumen V zwischen Funktionsflche f(x,y) und x,y-Ebene im Bereich (A) ist nherungsweise
durch die Summe der Volumenelemente V in diesem Bereich gegeben:
Volumen V = ?
3.8.1 Doppelintegrale (geometrische Deutung)
-
5/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
x,y : Integrationsvariablen
f(x,y): Integrand
dA: Flchendifferential, Flchenelement
(A): Integrationsbereich
Weitere Bezeichnungen fr Doppelintegrale:
2-dimensionales Bereichsintegral
zweifaches Integral
Flchenintegral
Definition: Der Grenzwert
wird als Doppelintegral bezeichnet und durch folgendes Symbol
gekennzeichnet:
m n
k jm n
k 1 j 1
lim lim f (x , y ) A
= =
(A) (A)
f (x, y) dA f (x, y) dA
=
( )A 0
-
6/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
x1 x2
y2
y1
Bereich(A)
z
y
x
dx
dy
Funktionsflche z = f(x,y)
dy . dx = dA
dV = f(x,y) . dA = f(x,y) . dy dxf(x,y)
Integrationsbereich (A):
1 2x x x
1 2y y y
Volumen V = ?
1. Integrationsschritt:
Summation ( = Integration) aller Sulenvolumina dV einer Schicht in y-Richtung ergibt
das Volumen einer Scheibe mit der infinitesimalen Dicke dx.
Berechnung eines Doppelintegrals (geometrische Deutung)
-
7/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
Bereich(A)
z
y
x
dx
x1 x2
y2
y1
Integrationsbereich (A):
1 2x x x
1 2y y y
1. Integrationsschritt:
Summation ( = Integration) aller Sulenvolumina dV einer Schicht in y-Richtung ergibt
das Volumen einer Scheibe mit der infinitesimalen Dicke dx.
Funktionsflche z = f(x,y)
2 2
1 1
y y
Scheibe
y y
dV dV f (x, y) dy dx
= =
2. Integrationsschritt:
Summation ( = Integration) aller Scheiben in x-Richtung ergibt das Volumen V, das
zwischen Funktionsflche f(x,y) und der x,y-Ebene im Integrationsbereich (A) liegt.
Volumen V = ?
Berechnung eines Doppelintegrals (geometrische Deutung)
-
8/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
z
y
xx1 x2
y2
y1
Integrationsbereich (A):
1 2x x x
1 2y y y
1. Integrationsschritt:
Summation ( = Integration) aller Sulenvolumina dV einer Schicht in y-Richtung ergibt
das Volumen einer Scheibe mit der infinitesimalen Dicke dx.
2
1
2 2
1 1
x
Scheibe
(A) x
x y
x y
V f (x, y) dA dV
f (x, y) dy dx
= =
=
2. Integrationsschritt:
Summation ( = Integration) aller Scheiben in x-Richtung ergibt das Volumen V, das
zwischen Funktionsflche f(x,y) und der x,y-Ebene im Integrationsbereich (A) liegt.
Funktionsflche z = f(x,y)
Volumen V =
Hinweis: Wenn alle Integrationsgrenzen Konstanten
sind (rechteckiger Integrationsbereich!), so ist die
Integrationsreihenfolge vertauschbar!
Berechnung eines Doppelintegrals (geometrische Deutung)
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9/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
Hinweis:
Nur wenn alle Integrationsgrenzen konstant sind (rechteckigerIntgrationsbereich!), darf die Integrationsreihenfolge vertauscht werden:
( ) ( )2 2 2 2
1 1 1 1
x y y x
x y y x
f x, y dy dx f x, y dx dy=
Beispiel:
( ) ( )1 /2 1 /2
0 0 0 0
x cos y dy dx x cos y dy dx
=
( )11 1
/2 2
000 0
1 1x sin y dx x 1 dx x
2 2
= = = =
-
10/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
oder andere Reihenfolge:
( ) ( )/2 1 /2 1
0 0 0 0
x cos y dx dy cos y x dx dy
=
( ) ( )1/2 /2
2
0 00
1 1cos y x dy cos y dy
2 2
= =
( ) ( )/2
/2
00
1 1 1cos y dy sin y
2 2 2
= = =
-
11/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
z
y
xx1 x2
y2
y1
Integrationsbereich (A):
1 2x x x
1 2y y y
1. Integrationsschritt:
Summation ( = Integration) aller Sulenvolumina dV einer Schicht in y-Richtung ergibt
das Volumen einer Scheibe mit der infinitesimalen Dicke dx.
2
1
2 2
1 1
x
Scheibe
(A) x
x y
x y
V f (x, y) dA dV
f (x, y) dy dx
= =
=
2. Integrationsschritt:
Summation ( = Integration) aller Scheiben in x-Richtung ergibt das Volumen V, das
zwischen Funktionsflche f(x,y) und der x,y-Ebene im Integrationsbereich (A) liegt.
Funktionsflche z = f(x,y)
Volumen V =
Hinweis: Wenn alle Integrationsgrenzen Konstanten
sind (rechteckiger Integrationsbereich!), so ist die
Integrationsreihenfolge vertauschbar!
Berechnung eines Doppelintegrals (geometrische Deutung)
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12/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
z
y
x
dxdy
Funktionsflche z = f(x,y)
dy . dx = dA
dV = f(x,y) . dA = f(x,y) . dy dxf(x,y)
x1 x2
Integrationsbereich (A):
1 2x x x
u oy (x) y y (x)
Volumen V = ?
1. Integrationsschritt:
Summation ( = Integration) aller Sulenvolumina dV einer Schicht in y-Richtung ergibt
das Volumen einer Scheibe mit der infinitesimalen Dicke dx.
yu=yu(x)
yo=yo(x)
Bereich(A)
Berechnung eines Doppelintegrals (geometrische Deutung)
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13/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
z
y
x
dx
Funktionsflche z = f(x,y)
x1 x2
Volumen V = ?
1. Integrationsschritt:
Summation ( = Integration) aller Sulenvolumina dV einer Schicht in y-Richtung ergibt
das Volumen einer Scheibe mit der infinitesimalen Dicke dx.
yu=yu(x)
yo=yo(x)
Bereich(A)
o
u
o
u
y (x)
Scheibe
y (x)
y (x)
y (x)
dV dV
f (x, y) dy dx
=
=
2. Integrationsschritt:
Summation ( = Integration) aller Scheiben in x-Richtung ergibt das Volumen V, das
zwischen Funktionsflche f(x,y) und der x,y-Ebene im Integrationsbereich (A) liegt.
Integrationsbereich (A):
1 2x x x
u of (x) y f (x)
Berechnung eines Doppelintegrals (geometrische Deutung)
-
14/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
z
y
xx1 x2
yu=fu(x)
2
1
o2
1 u
x
Scheibe
(A) x
y (x)x
x y (x)
V f (x, y) dA dV
f (x, y) dy dx
= =
=
Volumen V = ?
Funktionsflche z = f(x,y)
Integrationsbereich (A):
1 2x x x
u of (x) y f (x)
1. Integrationsschritt:
Summation ( = Integration) aller Sulenvolumina dV einer Schicht in y-Richtung ergibt
das Volumen einer Scheibe mit der infinitesimalen Dicke dx.
2. Integrationsschritt:
Summation ( = Integration) aller Scheiben in x-Richtung ergibt das Volumen V, das
zwischen Funktionsflche f(x,y) und der x,y-Ebene im Integrationsbereich (A) liegt.
Integrationsreihenfolge nicht
vertauschbar!
Berechnung eines Doppelintegrals (geometrische Deutung)
-
15/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
z
x
y
z = 4
y = 2
x = 2
Funktionsflche:2 2z(x, y) 4 (x y )= +
Integrations-bereich (A)
Volumen = ?
Beispiel: Volumen eines Rotationskrper
Integrationsbereich: y
x
x2=2x1=-2
2
oy 4 x=
2
uy 4 x=
( )2
2
2 4 x
2 2
x 2 y 4 x
4 x y dy dx ???
= =
= Lsungsweg zu aufwendig!
Bei rotationssymmetrischen Problemen: Polarkoordinaten verwenden!!!
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16/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
x
y
x
y
yr
xP(x,y)
r 0
0 2
<
mit
x, y = kartesische Koordinaten
r, = Polarkoordinaten
x r cos( )=
y r sin( )=
2 2 2
2 2
r x y
r x y
= +
= +
Polarkoordinaten
mit diesen Angaben lsst sich die Funktion f(x,y) in die Funktion f(r,)transformieren.
-
17/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
(A)y1
y2
r2
r1
x
y
(A)
x
y
x1 x2
Integrationsbereiche in kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten
Kartesische Koordinaten: Polarkoordinaten:
1
2
-
18/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
1
2
(A)
y1
y2
x
y
(A)
x
y
x1 x2
Flchendifferential dA in kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten
dxdy
dA=dy.dx
dx
dy
d
dr
dA = r.d.dr
r
Kartesische Koordinaten: Polarkoordinaten:
bei Integration inPolarkoordinatenzu verwenden!
-
19/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
z
x
y
z = 4
y = 2
x = 2
Funktionsflche:2 2z(x, y) 4 (x y )= +
Integrations-bereich (A)
Volumen = ?
1. Transformation von z(x,y) in Polarkoordinaten:
Beispiel: Volumen eines Rotationskrper
x und y durch r und ersetzen
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20/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
x
y
x
y
yr
xP(x,y)
r 0
0 2
<
mit
x, y = kartesische Koordinaten
r, = Polarkoordinaten
x r cos( )=
y r sin( )=
2 2 2
2 2
r x y
r x y
= +
= +
Polarkoordinaten
-
21/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
z
x
y
z = 4
y = 2
x = 2
Funktionsflche:2 2z(x, y) 4 (x y )= +
Integrations-bereich (A)
Volumen = ?
1. Transformation von z(x,y) in Polarkoordinaten:
( )2 2z(r, ) 4 (r cos ) (r sin ) = + ( )2 2 2 24 r cos r sin= +
2 2 2
2
4 r (cos sin )
4 r
= +
=
3. Integrationsformel in Polarkoordinaten aufschreiben:
( )2 2
2
(A) 0 r 0
V z dA 4 r r dr d
= =
= =
dAz(r,)
Beispiel: Volumen eines Rotationskrper
2. Integrationsbereich in Polarkoordinaten: , 0 r 2 0 2 <
2
y
x2
-
22/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
1
2
(A)
y1
y2
x
y
(A)
x
y
x1 x2
Flchendifferential dA in kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten
dxdy
dA=dy.dx
dx
dy
d
dr
dA = r.d.dr
r
Kartesische Koordinaten: Polarkoordinaten:
-
23/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
( ) ( )22 2 2 2 2
2 3 2 4
00 r 0 0 r 0 0
4 1V 4 r r dr d 4r r dr d r r d
2 4
= = = = =
= = =
und Integral von innen nach auen berechnen:
( )2 2 2
2 4
0 0 0
12 2 2 d 8 4 d 4d
4
= = =
= = = =
[ ]2
2
0
0
4 d 4 8
=
= = = (Volumen des Rotationskrpers)
-
24/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
8.3.2 Dreifachintegrale
Integration von Funktionen mit drei unabhngigen Variablen x, y, z:
Graphische Darstellung solcher Funktionen:
Jedem Punkt im Raum ist ein Funktionswert zuzuordnen
darstellbar z.B. als Farbintensitt oder Punktdichte
Beispiel: Atomorbitale reprsentiert als Elektronendichteverteilung um Raum:
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25/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15
3.8.2 Dreifachintegrale
( ) ( )( )
( )
( )
( )o o2
1 u u
y x z x,yx
(V) x y x z x,y
f x, y,z dV f x, y,z dz dy dx=
1. Integration (innen)(Variable z fllt raus!)
2. Integration (mitte)(Variable y fllt raus!)
3. Integration (auen)(gewhnliche Integration)
Integrationsbereich:ein Volumen!
(Umschliesst Funktionswertedie integriert werden)
Volumen-differential
3 unabhngigeVariablen
Konstanteni Allg. von x und y abhngige
Funktionen
i. Allg. von x abhngigeFunktionen