UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA DEPARTAMENTO DE FSICA GRUPO DE ENSINO DE FSICA

FLUIDOS REAIS E IDEAIS Joecir Palandi Dartanhan Baldez Figueiredo Joo Carlos Denardin Paulo Roberto Magnago Karla Weber Capa: Naieni Ferraz SANTA MARIA - RS 2010

PREFCIO

Os professores do Grupo de Ensino de Fsica da Universidade Federal de Santa Maria (GEF-UFSM) orientam acadmicos de licenciatura nas disciplinas de Estgio Supervisionado em Ensino de Fsica e desenvolvem atividades de pesquisa em ensino e de extenso, procurando contribuir para o aperfeioamento dos professores do ensino mdio. As atividades de extenso envolvem emprstimo de material instrucional para atividades experimentais, apresentao de cursos, oficinas e palestras e elaborao de cadernos didticos.

De modo geral, a necessidade que os professores do ensino mdio tm de educao continuada no fica satisfeita devido dificuldade de acesso a atividades presenciais como oficinas e cursos de atualizao e tambm devido pouca oferta de material de apoio, como cadernos didticos e artigos de divulgao. Alm disso, entre esses professores, o livro texto goza de excessiva importncia, determinando a seqncia dos contedos a serem trabalhados em sala de aula e o prprio mtodo de ensino, que privilegia a soluo de exerccios e problemas numricos, como se a aplicao coerente das expresses matemticas pudesse levar, por si mesma, aprendizagem significativa. Por outro lado, os conhecimentos de Fsica so produzidos por meio de atividades tericas e experimentais integradas e, por isso, a prtica docente baseada apenas no trabalho com o livro texto apresenta a disciplina de modo parcial e incompleto. Esses trs fatores representam importantes limitaes ao ensino de Fsica na escola de ensino mdio.

O GEF-UFSM defende que uma melhor compreenso dos contedos alcanada quando o professor privilegia a discusso conceitual aprofundada dos princpios e leis fundamentais e de como eles operam no interior dos fenmenos, trabalhando paralelamente a notao matemtica, o vocabulrio, as representaes grficas, as escalas e as propores. Essa compreenso no alcanada pelo ensino centrado no professor, que privilegia a soluo de exerccios e problemas numricos e que conduz atividades experimentais isoladas, apenas para reproduzir fenmenos ou comprovar o valor numrico de uma ou outra constante, e sim atravs do processo que se estabelece pelo dilogo professor-aluno, construdo a partir dos conhecimentos que os alunos j dominam. Nesse sentido, o GEF-UFSM defende uma abordagem ao ensino de Fsica em que a experimentao acompanhe a seqncia lgica dos contedos, com uma estratgia de integrao teoria, motivando o dilogo em sala de aula, apoiando a discusso conceitual e vinculando-a a elementos concretos na observao.

Este caderno foi elaborado para dar ao professor uma viso mais consistente e rigorosa do paradigma da Fsica, ajudando-o na elaborao de planejamentos em que os contedos sejam distribudos ao longo da carga horria disponvel de modo mais condizente com sua importncia relativa, com estratgias de ensino mais prximas do modo de fazer cincia. O planejamento das atividades didticas no deve ser uma tarefa meramente burocrtica, uma simples cpia do sumrio do livro texto, sem qualquer vnculo com a importncia relativa dos contedos da disciplina em questo, com a carga horria disponvel, com os conhecimentos que seus alunos j dominam e com a realidade do meio em que a escola est inserida. Um planejamento bem executado e constantemente reavaliado pode ser um instrumento til para que o processo de ensino-aprendizagem se estabelea e seja efetivo. Este caderno foi elaborado para ser til tambm no trabalho direto com os alunos em sala de aula e, para isso, incorpora discusses detalhadas de um grande nmero de exemplos e prope exerccios de aplicao.

O GEF-UFSM agradece as crticas e sugestes que possam levar esse caderno mais facilmente aos seus objetivos.

SUMRIO

FLUIDOS REAIS

I Introduo 1

II Modelos 1

III Teoria Cintica dos Gases Ideais 2

IV Foras Intermoleculares 5

V Gases Reais 8

VI Modelo Cintico dos Lquidos 9

VII Viscosidade 11

VIII Lei de Poiseuille 14

IX Fora de Arraste 17

X Nmero de Reynolds 21

XI Tenso Superficial 24

XII Gotas de Lquido 28

XIII Influncia de um Segundo Meio 29

XIV Interface entre Lquido e Slido 30

XV Presso de Laplace 34

XVI Capilaridade 37

FLUIDOS IDEAIS

I Introduo 41

II Presso 41

III Densidade 43

IV Experimento de Torricelli 44

V Teorema Fundamental da Hidrosttica 46

VI Variao da Presso Atmosfrica com a Altitude 51

VII Teorema de Pascal 52

VIII Teorema de Arquimedes 53

IX Equao da Continuidade 56

X Equao de Bernoulli 58

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FLUIDOS REAIS I. Introduo As propriedades mais notveis dos slidos cristalinos so a dureza, a incompressibilidade e as caractersticas geomtricas. Estas propriedades podem ser explicadas em termos da Teoria Atmica, envolvendo a idia de um retculo ou arranjo de tomos permanentemente ordenados, ligados entre si por foras intensas.

As propriedades mais notveis dos gases so a compressibilidade, a fluidez e a capacidade de preencher totalmente qualquer recipiente. A Teoria Cintica explica estas propriedades em termos de um modelo cuja caracterstica central o movimento desordenado de um grande nmero de molculas que raramente exercem aes sensveis umas sobre as outras.

Assim, os slidos e os gases apresentam comportamentos opostos. Os lquidos apresentam algumas propriedades que aparecem nos gases e

algumas que aparecem nos slidos. Como os gases, so isotrpicos, isto , suas caractersticas fsicas no dependem da direo em que so observadas ou medidas, e fluem facilmente por efeito de qualquer diferena de presso. Como os slidos, so densos, relativamente incompressveis e suas propriedades so determinadas pela natureza e intensidade das foras intermoleculares.

Em relao estrutura microscpica, o fato de os lquidos serem isotrpicos significa que no tm estrutura organizada como os slidos, mas como tm densidades, em geral, apenas cerca de 10% menor do que as dos correspondentes slidos, suas molculas devem estar arrumadas com certa regularidade, no apresentando o caos associado aos gases. II. Modelos A cincia constri representaes do mundo. Os elementos bsicos dessas representaes so os modelos. Um modelo uma imagem mental simplificada e idealizada, que simula, com maior ou menor preciso, o comportamento de um sistema. O modelo incorpora apenas as caractersticas consideradas importantes para a descrio do sistema, selecionadas intuitivamente ou por convenincia matemtica. De modo geral, o propsito de um modelo simplificar certa realidade para que ela possa ser analisada. A construo de um modelo se d no contexto de uma teoria, quando fatos estabelecidos pela observao e hipteses sobre a estrutura do sistema e sobre o comportamento dos seus constituintes bsicos so correlacionados por leis e princpios. Como exemplo, vamos considerar o modelo de Bohr para o tomo, construdo com as seguintes hipteses:

Num referencial em que o ncleo do tomo est em repouso, os eltrons

giram ao redor dele em rbitas circulares de acordo com as leis de Newton. Os eltrons podem ocupar apenas certas rbitas especiais ao redor do

ncleo, chamadas rbitas estacionrias. Um eltron pode passar de uma rbita estacionria para outra se o tomo

emite ou absorve radiao eletromagntica. importante compreender que o modelo de Bohr para o tomo no o

desenho de uma bolinha com circunferncias concntricas para representar o ncleo e as rbitas dos eltrons, como se encontra nos livros didticos. Nem uma bola de

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isopor com argolas de arame ao seu redor, que o professor manuseia para explicar o contedo aos alunos. O modelo de Bohr para o tomo simplesmente a idia de que existe um ncleo cercado por eltrons que se movem segundo as leis de Newton. Para o modelo no faz diferena se essas partculas tm existncia real ou se no passam de idias desenvolvidas para tentar entender o comportamento dos tomos reais em certas situaes e fazer previses sobre o que pode ser observado em outras situaes.

Como os modelos so construdos para dar sentido ao mundo, necessrio que sejam validados. Em outras palavras, atravs da verificao experimental das suas previses, as hipteses, aproximaes e limites de aplicabilidade do modelo so testados. Se o modelo tem apenas um sucesso parcial na predio do comportamento do sistema, as hipteses iniciais devem ser modificadas. Pode acontecer tambm que um modelo seja completamente abandonado com base em novas descobertas.

O modelo atmico de Bohr permite compreender alguns aspectos da estrutura dos tomos, em particular, dos tomos mais simples, mas falha redondamente na explicao de muitos outros aspectos. De qualquer modo, mesmo tendo sido substitudo por um modelo mais elaborado, ele ainda til para uma primeira abordagem dos fenmenos atmicos.

Um modelo pode ser tambm uma representao matemtica de um conceito. Assim, o modelo associado ao conceito de fora construdo a partir das seguintes proposies:

Toda fora representada por um vetor. As foras que agem sobre uma determinada partcula, causadas por um nmero qualquer de outras partculas, so independentes umas das outras, isto , o efeito de cada uma delas independente dos efeitos das demais.

O efeito de um nmero qualquer de foras sobre uma partcula idntico ao efeito de uma nica fora, chamada fora resultante, representada pelo vetor que resulta da soma dos vetores que representam aquelas foras.

As duas ltimas proposies, tomadas em conjunto, constituem o que

chamamos princpio de superposio. Estritamente falando, podemos dizer que as foras devem ser representadas matematicamente por vetores devido ao princpio de superposio. A qualidade de um modelo depende de certos fatores como, por exemplo, do nmero de hipteses e proposies iniciais necessrias para constru-lo. Um bom modelo aquele em que esse nmero mnimo. Alm disso, como todo modelo construdo a partir de certo conjunto de observaes, um bom modelo aquele que explica o maior nmero possvel de caractersticas dessas observaes. Finalmente, um bom modelo deve ser capaz de predio. Em outras palavras, deve ser capaz de explicar outras observaes alm daquelas que serviram de base para sua construo. III. Teoria Cintica dos Gases Ideais

Amostras gasosas no tm formas permanentes nem volumes definidos porque tendem a preencher completamente os recipientes onde so colocadas. Amostras gasosas tm alta compressibilidade e nas mesmas condies exercem aproximadamente a mesma presso. A Teoria Cintica explica de modo satisfatrio essas e outras propriedades das amostras de gases a partir de um modelo microscpico em que uma amostra de gs descrita como composta de um grande

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nmero de partculas em contnuo movimento, colidindo umas com as outras e com as paredes do recipiente.

Como o volume ocupado pelas partculas muito menor do que o volume do recipiente, as foras exercidas pelas partculas umas sobre as outras so muito pouco efetivas. Isso explica a alta compressibilidade das amostras de gs e a tendncia que as partculas tm de ocupar todo o volume disponvel. A presso de uma amostra de gs compreendida em termos da taxa de transferncia da quantidade de movimento das partculas para as paredes do recipiente por causa das colises e a temperatura compreendida em termos da energia cintica mdia das partculas.

A Teoria Cintica uma teoria microscpica em que as leis da Mecnica Newtoniana so consideradas verdadeiras em escala molecular. Mas como uma amostra de gs descrita como composta de um nmero extremamente grande de partculas, no podemos pretender especificar as posies e as velocidades de cada uma dessas partculas e tentar aplicar as leis de Newton para calcular os valores individuais das grandezas fsicas de interesse. Ao invs disso, usamos procedimentos estatsticos para calcular valores mdios. De qualquer forma, o que medimos experimentalmente so valores mdios e os resultados da teoria concordam muito bem com os dados experimentais.

Genericamente falando, as amostras gasosas so formadas por molculas, exceto no caso de amostras de gases nobres, que so formadas por tomos. Por simplicidade, nesse caderno no faremos essa distino e usaremos a palavra molcula para as unidades fundamentais de qualquer amostra de gs.

Como j dissemos acima, um modelo uma imagem mental simplificada e idealizada, que simula, com maior ou menor preciso, o comportamento de um sistema. O modelo da Teoria Cintica para uma amostra de gs ideal se baseia nas seguintes hipteses.

Uma amostra de gs constituda por um nmero muito grande de molculas

em movimento desordenado. As foras intermoleculares so desprezveis, isto , as molculas interagem

apenas nas colises mtuas e com as paredes do recipiente e o seu movimento, entre colises sucessivas, retilneo e uniforme.

As colises so elsticas e de durao desprezvel. As dimenses das molculas so muito menores do que a distncia mdia

entre elas e o seu volume prprio pode ser desprezado frente ao volume do recipiente. O movimento das molculas que constituem a amostra de gs acontece segundo as leis de Newton. A caracterstica mais importante desse modelo da Teoria Cintica que as molculas, na maior parte do tempo, no exercem foras umas sobre as outras, exceto quando colidem. Para justificar essa caracterstica devemos considerar o seguinte. Segundo a lei das presses parciais de Dalton, a presso total de uma mistura de amostras de gases a soma das presses que cada amostra de gs exerceria se as demais no estivessem presentes. Isto significa que so desprezveis as foras entre as molculas de uma amostra de gs e as molculas das outras amostras de gs da mistura. Agora, pensando em uma amostra de gs como uma mistura de duas amostras de gases idnticos, podemos concluir que so desprezveis as foras entre suas prprias molculas. Assim, todas as propriedades macroscpicas bvias de uma amostra de gs so conseqncias primrias do movimento das suas molculas e por isso que se fala em Teoria Cintica dos gases.

As conseqncias mais importantes desse modelo cintico so as relaes:

4

= 2qmvm2

1N

3

2PV

e

Tk2

3vm

2

1B

2qm =

Nessas expresses, P, V e T representam, respectivamente, a presso, o volume e a temperatura Kelvin da amostra de gs ideal, m representa a massa de uma molcula e vqm representa a velocidade quadrtica mdia, definida como a raiz quadrada do valor mdio dos quadrados dos mdulos das velocidades das molculas:

m2

qm ]v[v =

Alm disso, N representa o nmero de molculas da amostra do gs em

questo e kB representa a constante de Boltzmann:

kB = 1,38 x 1023 J / K

A primeira expresso relaciona a presso da amostra de gs energia cintica

mdia de translao das suas molculas e a segunda, relaciona a temperatura absoluta (Kelvin) a essa mesma energia cintica mdia. Se a presso de uma amostra de gs aumenta, a energia cintica mdia de suas molculas aumenta e, tambm, a sua temperatura.

Atravs desse modelo, podemos explicar, com boa preciso, as leis dos gases reais e fazer previses sobre seu comportamento, desde que em situaes no muito diferentes das usuais. No podemos, com esse modelo, descrever o comportamento de uma amostra de gs real em altas presses ou baixas temperaturas. A distncia mdia percorrida por uma molcula entre duas colises sucessivas chamada livre caminho mdio. medida que o volume do recipiente cresce, com a temperatura constante, o livre caminho mdio das molculas se torna cada vez maior e as foras intermoleculares se tornam cada vez menos efetivas. medida que a temperatura cresce, com o volume constante, a energia cintica mdia das molculas cresce e as foras intermoleculares se tornam cada vez menos efetivas porque o tempo de coliso diminui. Assim, o comportamento de um gs real se aproxima do comportamento de um gs ideal para baixas presses e/ou altas temperaturas. A alta compressibilidade de um gs explicada pelos pequenos volumes prprios das molculas relativamente ao espao disponvel para o seu movimento. A presso exercida por um gs contra as paredes do recipiente atribuda taxa de transferncia de momentum (quantidade de movimento) a estas paredes pelos impactos das molculas.

Pela lei de Boyle-Mariotte, numa transformao a temperatura constante, a presso de uma dada amostra de gs varia com o inverso do seu volume. Pela lei de Charles, numa transformao a volume constante, a presso de uma dada amostra de gs varia linearmente com a sua temperatura absoluta. Estas duas leis valem para gases ideais, ou seja, valem para gases reais na medida em que eles se comportam como gases ideais.

Podemos compreender estas duas leis a partir da Teoria Cintica como segue. Se o volume da amostra gasosa diminui e a temperatura permanece constante, as distncias entre as paredes do recipiente diminuem sem que mude a velocidade quadrtica mdia das molculas. Assim, elas colidem com maior freqncia com as paredes do recipiente e a presso aumenta. Isto explica a lei de Boyle-Mariotte. Se a

temperatura da amostra gasosa aumentavelocidade quadrtica mdiaentre as paredes do recipiente. Assim, com as paredes do recipiente e a presso aumenta.

O sucesso da Teoria nicas propriedades moleculares responsveis pelas leis de BoyleCharles.

Exerccio 1 Calcule a velocidade quadrtica m

mantida temperatura de 1000

Exerccio 2 Uma amostra de hlio e uma amostra de argnio tm a mesma temperatura.

Discuta em qual delas as molcula

IV. Foras Intermoleculares

Com base na terceira leimolculas quaisquer A e Bfora que a molcula A exerce sobreexerce sobre a molcula A. Estas sentidos contrrios e podem ser atrativas (Fig.

As molculas exercem separadas por distncias da ordem de alguns angstroms e a intensidiminui rapidamente medida que as distncias intermoleculares aumentam. Em outras palavras, as foras intermolecul

Quando as molculas esto muito prximas umas das outras, elas

foras repulsivas e a intensidade dmedida que diminui a separao intermolecular.

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temperatura da amostra gasosa aumenta e o volume permanece constantequadrtica mdia das molculas aumenta sem que mudem as distncias

entre as paredes do recipiente. Assim, as molculas colidem com maior freqncia com as paredes do recipiente e a presso aumenta. Isto explica a lei de

eoria Cintica mostra que a massa e o movimento so as nicas propriedades moleculares responsveis pelas leis de Boyle

lcule a velocidade quadrtica mdia dos tomos de uma amostra de1000 K. A massa atmica do hlio 4,0 g / mol.

Uma amostra de hlio e uma amostra de argnio tm a mesma temperatura. molculas do gs tm velocidade mdia quadrtica

. Foras Intermoleculares

terceira lei de Newton, podemos dizer que a interao A e B de uma amostra gasosa d origem a duas foras, A exerce sobre a molcula B e uma fora que a molcula

A. Estas foras tm mesmo mdulo, mesma dsentidos contrrios e podem ser atrativas (Fig.1(a)) ou repulsivas (Fig.1(

As molculas exercem foras atrativas umas sobre as outras quando separadas por distncias da ordem de alguns angstroms e a intensidade destas foras diminui rapidamente medida que as distncias intermoleculares aumentam. Em outras palavras, as foras intermoleculares so de curto alcance.

Quando as molculas esto muito prximas umas das outras, elas intensidade das foras de repulso aumenta muito rapidamente

nui a separao intermolecular.

e o volume permanece constante, a sem que mudem as distncias

as molculas colidem com maior freqncia lei de Charles.

ssa e o movimento so as nicas propriedades moleculares responsveis pelas leis de Boyle-Mariotte e de

uma amostra de hlio mol.

Uma amostra de hlio e uma amostra de argnio tm a mesma temperatura. velocidade mdia quadrtica maior.

a interao entre duas duas foras, uma

a molcula B e uma fora que a molcula B foras tm mesmo mdulo, mesma direo, mas

1(b)).

umas sobre as outras quando dade destas foras

diminui rapidamente medida que as distncias intermoleculares aumentam. Em

Quando as molculas esto muito prximas umas das outras, elas exercem muito rapidamente

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Estas caractersticas das foras intermoleculares podem ser representadas pela curva da energia potencial de um par de molculas em funo da distncia entre seus centros de massa. A Fig.2 mostra a funo de Lennard-Jones:

=

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rr4)r(U

usada para descrever a interao entre duas molculas esfricas no carregadas. Nesta expresso, r representa a distncia entre os centros das molculas e e so dois parmetros caractersticos das molculas interagentes.

A curva da energia potencial tem o valor mnimo U(r0) = em r = r0 1,12 . Dessa forma, o parmetro (com o sinal negativo) representa a energia potencial mnima de um par de molculas.

Para todos os efeitos prticos, a energia potencial de um par de molculas muito distantes uma da outra zero. Alm disso, se so nulas as suas energias cinticas, a energia total do par tambm zero. Agora, se essas molculas se aproximam e colidem uma com a outra, a distncia de mxima aproximao, em que as molculas voltam a ter energias cinticas nulas, corresponde, por conservao da energia, distncia em que a energia potencial do par tambm volta a ser zero. Essa distncia, que pode ser considerada como sendo a soma dos raios das molculas, ou seja, o dimetro de cada uma delas, exatamente igual a . Por isso, o parmetro usualmente tomado como sendo o dimetro de uma molcula. Contudo, estritamente falando, as energias cinticas de molculas muito distantes podem ser diferentes de zero e, se assim for, quando elas colidem uma com a outra, a distncia de mxima aproximao fica menor do que . Por isso, o dimetro de uma molcula no uma grandeza definida univocamente.

A curva de energia potencial informa todos os detalhes das foras

intermoleculares. Se as molculas A e B esto separadas por uma distncia r* e se o referencial for fixado na molcula A (Fig.3(a)), a declividade (com o sinal trocado) da curva de energia potencial no ponto r* fornece o mdulo e o sentido da fora que a molcula A exerce sobre a molcula B:

r

U*)r(FAB

=

Como as grandezas U e r so positivas, FAB(r*) < 0. Isso indica que a fora

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FAB, da molcula A sobre a molcula B, tem sentido oposto quele considerado positivo para o do eixo r (Fig.3(b)). Pela terceira lei de Newton, a fora FBA, da molcula B sobre a molcula A, tem a mesma direo e o mesmo mdulo, mas sentido contrrio ao da fora FAB. Por isso, a fora FBA tem o mesmo sentido que aquele considerado positivo para o do eixo r. Desse modo, as foras FAB e FBA so atrativas.

De modo geral, se a distncia entre as molculas A e B maior do que ro, as foras so atrativas e se a distncia entre as molculas A e B menor do que ro, as foras so repulsivas.

Os valores de e dependem da natureza das molculas que interagem e, em geral, aumentam medida que aumenta o seu nmero atmico. A Fig.4 mostra as curvas de energia potencial de Lennard-Jones para os gases nobres hlio, argnio e criptnio.

Para o argnio, 8,4 x 103 eV. Em presses ordinrias, duas molculas

quaisquer esto, em geral, separadas por distncias muito grandes, de modo que o valor numrico da energia potencial mdia de atrao dessas molculas bem menor do que . Por outro lado, a Teoria Cintica fornece, para a energia cintica mdia de um par de molculas de argnio em temperaturas ordinrias (~27 oC):

( ) eV10x4,77)K300)(K/eV10x6,8(3Tk2E 35B23 ===

Desse modo, para qualquer par de molculas, a energia cintica mdia

muito maior do que o valor numrico da energia potencial mdia de atrao. Portanto, a energia cintica mdia que grandemente responsvel pelo comportamento observado nos gases.

Exerccio Os pontos de fuso do hlio, do argnio e do criptnio so, respectivamente,

THe = 0,95 K, TAr = 83,80 K e TKr = 115, 79 K. Argumente fisicamente e justifique a relao THe < TAr < TKr.

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V. Gases Reais

A distncia mdia percorrida por uma molcula entre duas colises sucessivas chamada livre caminho mdio. medida que o volume do recipiente cresce, com a temperatura constante, o livre caminho mdio das molculas se torna cada vez maior e as foras intermoleculares se tornam cada vez menos efetivas. medida que a temperatura cresce, com o volume constante, a energia cintica mdia das molculas cresce e as foras intermoleculares se tornam cada vez menos efetivas porque o tempo de coliso diminui. Assim, o comportamento de um gs real se aproxima do comportamento de um gs ideal para baixas presses e/ou altas temperaturas.

A alta compressibilidade de uma amostra de gs conseqncia dos pequenos volumes prprios das molculas relativamente ao espao disponvel para o seu movimento. Pela lei de Boyle-Mariotte, numa transformao a temperatura constante, a presso de uma dada quantidade de gs varia com o inverso do volume e, pela lei de Charles, numa transformao a volume constante, a presso de uma dada quantidade de gs varia linearmente com a temperatura absoluta. Estas duas leis valem para gases ideais. Em outras palavras, valem para um gs real na medida em que ele se comporta como ideal.

Pela Teoria Cintica, compreendemos que, mantida a temperatura constante, a presso aumenta medida que o volume diminui porque as molculas colidem com maior freqncia com as paredes do recipiente. Alm disso, compreendemos que, mantido o volume constante, a presso aumenta com o aumento da temperatura porque a elevao da temperatura aumenta a velocidade mdia das molculas e, com isso, aumenta tanto a freqncia das colises com as paredes do recipiente quanto as transferncias de quantidade de movimento.

O sucesso da Teoria Cintica mostra que a massa e o movimento so as

nicas propriedades moleculares responsveis pelas leis de Boyle-Mariotte e de Charles. No modelo cintico descrito acima, o volume prprio das molculas inteiramente desprezado comparado ao volume disponvel para o seu movimento e, tambm, as foras coesivas entre as molculas so consideradas sem efeito. Assim, os comportamentos dos gases reais que se desviam do comportamento predito pelas leis de Boyle-Mariotte e de Charles indicam a existncia de foras entre molculas de tamanho finito e permitem avaliar os mdulos dessas foras. Para discutir os desvios das leis dos gases ideais, construmos grficos da grandeza PV / RT em funo da presso, com a temperatura constante, para amostras de trs gases a 0 oC: hidrognio, oxignio e dixido de carbono (Fig.5). Com isso, a lei de Boyle-Mariotte para um gs ideal fica representada por uma linha horizontal.

Podemos entender a forma das curvas para as amostras de oxignio e o

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dixido de carbono pelo seguinte argumento. Pela segunda lei de Newton, sabemos que (mv) = Ft. Isto significa que a variao da quantidade de movimento de uma partcula depende da fora aplicada e do intervalo de tempo durante o qual a fora permanece atuando. As foras intermoleculares so efetivas quando as molculas esto relativamente prximas umas das outras e, pelo que foi dito acima, quando as molculas permanecem prximas durante um intervalo de tempo suficientemente grande. Se mantivermos uma amostra de gs a baixa presso, mesmo que tambm a baixa temperatura, as molculas permanecem, em mdia, muito afastadas umas das outras. Se mantivermos a amostra de gs a alta temperatura, mesmo que tambm a alta presso, as molculas se movem com velocidades de grandes mdulos e no permanecem, umas nas proximidades das outras, por intervalos de tempo apreciveis. Nas duas situaes, as foras intermoleculares no so efetivas e a amostra de gs tem um comportamento ideal.

Se tomarmos uma amostra de gs a temperatura baixa e a presso baixa, numa situao em que o seu comportamento ideal, e, mantendo inalterada a temperatura, formos aumentando a presso, as molculas vo ficando, em mdia, cada vez mais prximas umas das outras e as foras atrativas vo se tornando cada vez mais efetivas. Assim, com o aumento da presso, o volume da amostra de gs diminui alm do que seria de esperar se o seu comportamento continuasse sendo ideal e o faz numa proporo cada vez maior. Em conseqncia, o produto PV diminui em vez de permanecer constante. Por isso, na regio de baixas presses da Fig.5, as curvas correspondentes s amostras de oxignio e de dixido de carbono caem com o aumento da presso.

Se continuarmos aumentando a presso da amostra de gs, as molculas continuam ficando, em mdia, cada vez mais prximas umas das outras e as foras intermoleculares de atrao continuam ficando mais e mais efetivas. Contudo, a partir de certo ponto, as foras intermoleculares de repulso se tornam efetivas, contrabalanam e suplantam as foras intermoleculares atrativas. Com o aumento da presso, o volume da amostra de gs diminui menos do que poderamos esperar e o faz numa proporo cada vez maior. Assim, o produto PV aumenta. Por isso, na regio de presses mais altas da Fig.5, as curvas correspondentes s amostras de oxignio e de dixido de carbono sobem com o aumento da presso.

Portanto, para altas presses e temperaturas baixas, as foras intermoleculares tm papel importante. Se esse papel fica mais importante do que as tendncias cinticas das molculas, a amostra de gs pode perder suas propriedades caractersticas e se condensar, formando um lquido ou um slido. VI. Modelo Cintico dos Lquidos Nos lquidos e nos gases, as molculas esto em movimento contnuo e desordenado. Nestas duas fases, a energia cintica mdia e a frao de molculas com dado valor de energia cintica so as mesmas mesma temperatura. Num lquido, porm, as molculas esto muito mais prximas umas das outras, em mdia, do que nos gases, e as foras intermoleculares so muito mais efetivas, de modo que a energia potencial menor (as foras so atrativas) e o livre caminho mdio, muito menor, do que os correspondentes para as molculas de fase gasosa.

Muitos experimentos simples sugerem a existncia destas foras intermoleculares de curto alcance. Uma placa de vidro, por exemplo, pode ser colocada muito perto da superfcie de um lquido sem ser especialmente atrada em sua direo. Mas se a placa de vidro toca o lquido, o lquido adere placa com surpreendentemente intensidade. Se dois blocos bem polidos so pressionados um

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contra o outro, foras surpreendentemente intensas so necessrias para separ-los. Uma gota de mercrio no plano, em vez de se espalhar como uma camada de espessura infinitesimal devido atrao gravitacional, toma uma forma quase esfrica. Os processos de soldagem e caldeamento so processos que dependem da existncia de foras intermoleculares.

Quando uma substncia passa do estado slido para o estado lquido, na maioria dos casos, o volume aumenta cerca de 10%. O lquido experimenta, com o aumento de temperatura, uma expanso (dilatao) contnua. Este aumento de volume aps a fuso uma conseqncia do aumento da separao mdia das molculas e de um ligeiro decrscimo na efetividade das foras intermoleculares.

Em um slido cristalino, os tomos (ou molculas) se encontram densamente

empacotados e ocupam os stios de uma estrutura reticular (Fig.6(a)). Em um lquido, as molculas, em sua grande maioria, tambm se encontram densamente empacotadas, mas sem a estrutura reticular dos slidos cristalinos (Fig.6(b). No lquido, existem regies onde os arranjos moleculares so empacotamentos densos quase perfeitos e regies onde as molculas tm menos vizinhos. Esta irregularidade introduz vazios que, devido ao movimento desordenado das molculas, no tm posio, forma ou tamanho fixos. Estes vazios fazem com que a distncia mdia de separao entre as molculas do lquido seja maior do que a distncia mdia de separao entre os tomos (ou molculas) do slido, de modo que a correspondente energia potencial mdia associada s interaes entre os constituintes bsicos tambm maior. Isso explica, entre outros fenmenos, a necessidade de fornecer energia para que a substncia passe do estado slido para o estado lquido. Existem outras propriedades dos lquidos que podem ser explicadas em termos de sua estrutura desordenada. Por exemplo, a fluidez. Um slido normalmente tem uma estrutura rgida e o lquido, uma estrutura que cede facilmente sob a ao de qualquer fora aplicada. A deformao de um slido cristalino perfeito importa em deslocar, ao mesmo tempo, planos de tomos em relao a outros planos, ou seja, romper as ligaes entre um grande nmero de tomos. Este nmero diminui com o aumento do nmero de imperfeies no retculo cristalino. Num lquido, existe grande nmero de imperfeies (ou vazios), de modo que so muitas as possibilidades pelas quais alguns tomos podem se mover simultaneamente, sendo relativamente fracas as foras intermoleculares que se opem a tal movimento. Uma molcula pode se deslocar para um vazio vizinho deixando outro vazio para ser ocupado por outra molcula, e assim por diante. Exerccio Quando uma substncia passa do estado slido para o estado lquido, na maioria dos casos, o volume aumenta cerca de 10%. No caso da gua, o volume diminui cerca de 10%. Descubra o porqu desse comportamento anmalo da gua.

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VII. Viscosidade A viscosidade dos fluidos vem do atrito interno. Para entender essa afirmativa, vamos considerar duas placas slidas, planas, horizontais, uma sobre a outra, com certa quantidade de fluido entre elas (Fig.7). Fixando o referencial numa das placas e aplicando uma fora horizontal constante F na outra placa, a experincia mostra que esta ltima se move, durante certo intervalo de tempo, com acelerao no nula e, depois, com velocidade constante vT, chamada velocidade limite ou velocidade terminal. O mdulo da velocidade terminal proporcional ao mdulo da fora aplicada, isto , se a intensidade da fora aplicada for duplicada, o mdulo da velocidade terminal tambm duplica, se a intensidade da fora aplicada for triplicada, o mdulo da velocidade terminal tambm triplica e assim por diante.

Durante o movimento, o fluido entre as placas se separa em lminas paralelas

entre si e paralelas s placas. A primeira lmina, adjacente placa mvel, se move solidria a ela e, por isso, tem velocidade vT. A segunda lmina, adjacente primeira, se move com velocidade de mdulo menor. A terceira lmina, adjacente segunda, se move com velocidade de mdulo ainda menor e assim por diante. A ltima lmina, adjacente placa imvel, est solidria a ela e, por isso, tem velocidade nula. fato experimental que os mdulos das velocidades das lminas variam linearmente entre os dois extremos, zero e vT. Por isso, podemos escrever, para o mdulo da velocidade da lmina a uma distncia genrica y da placa em repouso:

yL

v)y(v T

=

Como lminas adjacentes se deslocam com velocidades de mdulos

diferentes, elas deslizam uma em relao outra. A viscosidade vem do atrito entre lminas adjacentes. Alm disso, por causa desse atrito, existe transformao de energia mecnica em energia interna.

A expresso acima indica que a variao do mdulo da velocidade das camadas em que se divide o fluido com a distncia placa em repouso no referencial considerado :

L

v

y

v T=

Como j dissemos, mantendo A e L constantes, vT aumenta com o aumento de

F. Alm disso, mantendo F e A constantes, vT aumenta com o aumento de L e

12

mantendo F e L constantes, vT diminui com o aumento de A. Desse modo, usando o smbolo para indicar proporcionalidade, temos:

A

1LFv T

e com a introduo da constante de proporcionalidade , podemos escrever, por convenincia:

=

L

vAF T

Esta expresso define , o coeficiente de viscosidade do fluido, que depende

apenas do fluido e da sua temperatura. Para definir o coeficiente de viscosidade, escolhemos o caso em que o fluido, por efeito do movimento de uma das placas, divide-se em camadas muito estreitas, que se deslocam com velocidades de diferentes mdulos. Esse tipo de escoamento chamado de laminar ou lamelar e caracterizado pela proporcionalidade entre o mdulo da fora aplicada placa mvel e o mdulo da sua velocidade terminal, no referencial em que a outra placa est em repouso.

Por outro lado, definimos , a tenso de cisalhamento, pelo cociente do mdulo da fora aplicada placa mvel pela sua rea:

A

F=

e, com isso, a expresso acima, que define o coeficiente de viscosidade, fica:

L

v

=

Esta expresso representa matematicamente a lei de Newton para a

viscosidade. Os fluidos para os quais ela verdadeira so chamados de fluidos newtonianos.

Da expresso que define o coeficiente de viscosidade temos tambm que a unidade do coeficiente de viscosidade, que vamos representar por [], pode ser escrita como o produto da unidade de presso pela unidade de tempo. No SI temos, portanto:

)s)(Pa(sm

N][

2=

= (Sistema Internacional)

No sistema CGS, a unidade do coeficiente de viscosidade chamada de poise

e simbolizada por P. Assim:

)s)(Pa(10P][ 1== (Sistema CGS) A tabela a seguir mostra os coeficientes de viscosidade para algumas

substncias.

13

Fase Substncia (P)

Lquido

Glicerina (20 oC) 8,3

gua (0 oC) 1,8 x 102

gua (100 oC) 2,8 x 103

ter (20 oC) 1,2 x 102

Mercrio (20 oC) 1,5 x 102

Ar ( 192 oC) 1,7 x 103

Gs

Hidrognio (15 oC) 8,9 x 105

Ar (0 oC) 1,7 x 104

Ar (20 oC) 1,8 x 104

Ar (100 oC) 2,2 x 104

gua (100 oC) 1,3 x 104

CO2 (15 oC) 1,4 x 104

Os coeficientes de viscosidade dos leos lubrificantes automotivos so

normalmente expressos na escala SAE, estabelecida pela Sociedade dos Engenheiros Automotivos dos EEUU. Um leo cuja viscosidade SAE 10 a 55 oC, por exemplo, possui viscosidade entre 1,6 P e 2,2 P.

Suspenses coloidais, emulses e geles no seguem a lei de Newton para a viscosidade e so chamados de fluidos no newtonianos. O coeficiente de viscosidade desses fluidos no constante. Sangue, ketchup, suspenses de amido, tintas e petrleo cru so exemplos de fluidos no newtonianos.

Viscosidade nos Lquidos A viscosidade dos fluidos vem do atrito interno. Nos lquidos, isto significa que a viscosidade vem das foras de atrao entre molculas relativamente juntas.

Por outro lado, com o aumento da temperatura, maior se torna a energia cintica mdia das molculas e, em conseqncia, menor se torna o intervalo de tempo mdio durante o qual as molculas passam umas nas proximidades das outras. Desse modo, as foras intermoleculares se tornam menos efetivas e a viscosidade diminui com o aumento da temperatura.

Viscosidade nos Gases

Em uma gs, as molculas esto, em mdia, muito longe umas das outras.

Desse modo, as foras de atrao entre molculas no so efetivas e, por isso, a viscosidade do gs no pode se originar dessas foras.

A viscosidade de um gs vem da transferncia de momentum, isto , da transferncia de quantidade de movimento entre camadas adjacentes que se movem

14

com velocidades de mdulos diferentes. Para compreender o fenmeno, vamos considerar um gs que escoa atravs de um tubo cilndrico, com uma velocidade de mdulo no muito grande num referencial fixo no tubo, de modo que o escoamento seja lamelar e estacionrio. Vamos supor que A e B sejam duas camadas cilndricas adjacentes, com a camada A se movendo mais rapidamente que a camada B (Fig.8).

Ento, o mdulo da quantidade de movimento transferida quando molculas da

camada A passam para a camada B maior do que o mdulo da quantidade de movimento transferida quando molculas da camada B passam para a camada A. O mdulo da velocidade da camada mais rpida tende a diminuir e o mdulo da velocidade da camada mais lenta tende a aumentar. Dito de outra maneira, o mdulo da velocidade relativa entre as camadas tende a diminuir e por isso que podemos dizer que existe atrito interno no gs.

Exerccio 1 Compare as definies de presso e de tenso de cisalhamento. Exerccio 2 Enquanto que, nos lquidos, a viscosidade decresce com o aumento da

temperatura, nos gases ocorre o contrrio. Explique o porqu.

VIII. Lei de Poiseuille Vamos considerar o movimento de um fluido atravs de um tubo cilndrico num referencial fixo no tubo. Quando todos os elementos de volume do fluido que passam por um ponto qualquer dentro do tubo o fazem sempre com a mesma velocidade, o escoamento chamado de estacionrio ou permanente. Em pontos diferentes, as velocidades dos elementos de volume podem ser diferentes. Um escoamento estacionrio pode ser conseguido se o fluido se desloca com velocidade de mdulo relativamente pequeno. Consideremos, ento, um fluido viscoso em escoamento estacionrio e lamelar atravs de um tubo cilndrico. Desse modo, o fluido se divide em camadas cilndricas coaxiais, que se movem com velocidades de mdulos diferentes. A camada mais externa, chamada de camada limite, adere parede do tubo e tem velocidade nula no referencial considerado. A camada central tem velocidade de mdulo mximo.

15

Para discutir o valor do mdulo da velocidade de cada camada em funo da sua distncia ao eixo de um tubo cilndrico de raio R, consideremos um elemento cilndrico do fluido, de raio r e comprimento L, coaxial com o tubo (Fig.9).

O elemento cilndrico escoa por efeito de uma diferena de presso:

12 PPP = de modo que a fora que o impulsiona no sentido do seu movimento tem mdulo:

PrF 2= Esta fora deve estar em equilbrio com a fora de viscosidade, que atua em

sentido contrrio, na superfcie cilndrica do elemento de fluido considerado. Como a rea dessa superfcie A = 2rL, podemos escrever:

r

v)rL2(Pr 2

=

e como )r(rr2 2= , vem:

)r(L4

Pv 2

=

ou ento, de modo mais detalhado:

( )212212 rrL4P

)r(v)r(v

=

Se esta expresso aplicada entre uma camada cilndrica genrica qualquer,

de raio r1 = r, que se desloca com velocidade de mdulo v, e a camada limite, que se encontra em contato com a parede do tubo, de raio r2 = R, que se encontra em repouso, obtemos:

16

( )22 rRL

P

4

1)r(v

=

Esta expresso mostra que o mdulo da velocidade de uma dada camada

cilndrica do fluido num referencial fixo no tubo diretamente proporcional ao gradiente de presso L/P e inversamente proporcional ao coeficiente de viscosidade .

Alm disso, a camada cuja velocidade tem o mdulo mximo a camada central, para a qual r = 0, e a camada cuja velocidade tem o mdulo mnimo (e igual a zero) a camada limite, solidria parede do tubo, para a qual r = R. Entre esses dois extremos, a variao parablica (Fig.10).

A vazo, ou seja, o volume de fluido que passa atravs de uma seo reta do

tubo por unidade de tempo, dada pela equao de Poiseuille:

=

L

P

8

RQ

4

Portanto, a vazo diretamente proporcional ao gradiente de presso sobre o

fluido e inversamente proporcional viscosidade, como era esperado. Por outro lado, escrevendo:

QR

L8P

4

=

podemos interpretar a constante entre parnteses como uma espcie de resistncia ao escoamento. Assim, esta expresso guarda certa analogia com a expresso:

RiV = que representa a diferena de potencial eltrico num resistor de resistncia R, percorrido por uma corrente i.

Exerccio Com base na equao de Poiseuille, o coeficiente de viscosidade de um lquido pode ser determinado experimentalmente.

17

Considere um fluido em escoamento lamelar e estacionrio em um tubo de raio R, seo reta circular de rea A, percorrendo uma distncia L no intervalo de tempo t. Como a vazo dada por:

AvQ = em que:

t

Lv

=

o mdulo da velocidade de escoamento do fluido, a equao de Poiseuille fornece:

PvL8

R2

=

Portanto, a medida do mdulo da velocidade de escoamento de um fluido

atravs de um tubo de raio R, para um dado gradiente de presso P/L, permite determinar o coeficiente de viscosidade desse fluido. Tome um tubo de vidro com dimetro interno de 2 mm e comprimento de 1 m e incline-o de um ngulo com a horizontal.

Usando uma seringa, encha o tubo com gua. Mea o intervalo de tempo que a gua leva para escoar atravs de uma distncia L. Repita o procedimento dez vezes e calcule tM, o intervalo de tempo mdio.

Calcule o mdulo da velocidade mdia de escoamento pela expresso:

MM t

Lv

=

Calcule a diferena de presso do fluido atravs da distncia L pela expresso:

= sengLP Anote a temperatura ambiente. Usando a expresso acima e os dados obtidos, calcule o coeficiente de

viscosidade da gua. Repita o experimento com lcool.

IX. Fora de Arraste Consideremos um recipiente preenchido por um fluido e um corpo em movimento atravs desse fluido. Num referencial fixo no recipiente, o fluido est em repouso e o corpo tem velocidade no nula. O fluido exerce, sobre o corpo, uma fora de arraste com sentido contrrio ao da velocidade do corpo. Se o corpo muito menor do que o recipiente e se move longe de suas paredes, o mdulo da fora de arraste depende das propriedades do fluido, da forma do corpo e do mdulo da velocidade do corpo no referencial em que o fluido est em repouso. De modo geral, o mdulo da fora de arraste aumenta quando o mdulo da velocidade do corpo aumenta. Por isso, usual escrever o mdulo da fora de arraste

18

como uma potncia do mdulo da velocidade do corpo:

nkvF = (k constante)

Vamos discutir os casos n = 1 e n = 2.

Lei de Stokes

Se o corpo que se move atravs do fluido uma esfera de raio R e se a sua velocidade constante, com mdulo pequeno, ento o mdulo da fora de arraste dado por:

Rv6F =

em que o coeficiente de viscosidade do fluido. Esta expresso matemtica constitui a lei de Stokes. A lei de Stokes vale para velocidades de mdulos pequenos. Isto significa, em termos aproximados, velocidades de mdulos menores do que 2 m/s no ar e velocidades de mdulos menores do que 0,03 m/s na gua.

Lei de Newton

Se o corpo que se move atravs do fluido tem velocidade constante, com mdulo no muito pequeno, o mdulo da fora de arraste proporcional ao quadrado do mdulo da velocidade do corpo:

2

21 AvcF =

em que c o coeficiente de resistncia do fluido para o corpo em questo, a densidade do fluido e A a rea da figura obtida pela projeo dos pontos do corpo num plano perpendicular sua velocidade. Essa expresso matemtica constitui a lei de Newton. A lei de Newton vale para velocidades de mdulos no muito pequenos. Isto significa, em termos aproximados, velocidades de mdulos entre 10 m/s e 200 m/s no ar e velocidades de mdulos entre 0,05 m/s e 2 m/s na gua.

Para uma esfera no ar, c = 0,41. Velocidade Terminal

Consideremos um referencial fixo no solo e a atmosfera em repouso nesse referencial. Um corpo, abandonado de certa altura, cai atravs da atmosfera. A partir do instante em que o corpo comea a cair, passa a existir, sobre ele, uma fora de arraste. Como o mdulo da velocidade do corpo aumenta com a queda, aumenta tambm o mdulo da fora de arraste. Se a altura da qual o corpo foi abandonado suficientemente grande, o mdulo da fora de arraste pode ficar igual ao mdulo do peso do corpo, torna-se nula a resultante das foras que agem sobre o corpo e, pela segunda lei de Newton, torna-se nula tambm sua acelerao. A partir de ento, o mdulo da velocidade do corpo permanece constante e dizemos que o corpo atingiu sua velocidade terminal.

Exemplo

Num referencial fixo no solo, gotas de chuva caem de uma nuvem situada a

2000 m de altura.

19

Inicialmente, vamos calcular o mdulo da velocidade com que as gotas

alcanam o solo ignorando a resistncia do ar. A fora resultante sobre cada gota o seu peso e o intervalo de tempo levado para chegar ao solo dado por:

s2,20s/m8,9

)m2000(2

g

h2t

2/1

2

2/1

=

=

=

Portanto, o mdulo da velocidade com que cada gota atinge o solo, no

referencial considerado, :

s/m0,198)s2,20)(s/m8,9(gtv 2 ===

Esse valor muito grande, de modo que, se as gotas de chuva provenientes de nuvens situadas a alguns quilmetros de altura, realmente no encontrassem a resistncia do ar, elas seriam extremamente danosas ao atingir qualquer corpo na superfcie da Terra.

Agora, vamos calcular o mdulo da velocidade com que as gotas alcanam o solo levando em conta a resistncia do ar. Podemos calcular o mdulo da velocidade terminal de cada gota, no referencial considerado, igualando o mdulo do seu peso ao mdulo da fora de arraste, este ltimo dado pela lei de Newton:

2

21 Avcmg =

em que m a massa de uma gota e a densidade do ar. Dessa expresso, vem:

2/1

Ac

mg2v

=

Vamos supor que as gotas tenham forma esfrica. O volume de uma esfera

dado por:

334 RV =

e se A for a densidade da gua, podemos escrever:

3

A34

A RVm == Por outro lado, a rea da figura obtida pela projeo dos pontos de uma esfera

num plano qualquer :

2RA = e ento:

2/1

A

2/1

c3

Rg8

Ac

mg2v

=

=

20

Levando em conta que, a 25 oC e 1 atm:

33A m/kg10x0,1=

e 3m/kg2,1=

para gotas com dimetro de 2 mm, temos:

s/m29,7)m/kg2,1)(41,0(3

)m10x1)(m/kg10x0,1)(s/m8,9(8

c3

Rg8v

2/1

3

33322/1

A =

=

=

Devido resistncia do ar, as gotas de chuva provenientes de nuvens situadas a alguns quilmetros de altura atingem velocidades terminais com mdulos relativamente pequenos e no causam danos ao atingir os corpos na superfcie da Terra. Para gotas de 1 mm de dimetro, as velocidades terminais tm mdulos de cerca de 4 m/s e, para gotas de 2 mm de dimetro, as velocidades terminais tm mdulos de cerca de 6 m/s.

Uma ltima observao: o mdulo da velocidade terminal no depende da altura da nuvem. O argumento usado subentende que a altura suficiente para que o regime de velocidade de mdulo constante seja atingido. De qualquer forma, a velocidade terminal com mdulo de 7,29 m/s alcanada pelas gotas depois de alguns metros de queda.

Exerccio 1 Refrigerante uma bebida no alcolica, fabricada base de gua e adoante,

contendo edulcorantes, extratos sintticos de frutas e/ou outros vegetais e dixido de carbono. Considere uma bolha de dixido de carbono de 1 mm de dimetro que passa a se mover, ascendendo atravs do lquido. Calcule o intervalo de tempo levado pela bolha para chegar na superfcie livre do lquido.

Exerccio 2 Com base na lei de Stokes, o coeficiente de viscosidade de um lquido pode

ser determinado experimentalmente. Considere um recipiente contendo um lquido no qual abandonada uma

esfera. Num referencial fixo no recipiente, o lquido est em repouso e a esfera se desloca atravs do lquido, caindo em direo ao fundo do recipiente. Atuam, na esfera, trs foras: a fora peso P, o empuxo E e a fora de arraste F.

Suponha que a esfera tenha atingido sua velocidade terminal, de mdulo v. A resultante das foras que atuam nela zero e, em mdulo, segue-se que:

FEP +=

Sendo R o raio da esfera, m, sua massa, E, sua densidade, L, a densidade do

lquido em questo e g, o mdulo da acelerao gravitacional, e se o movimento da esfera observado longe das paredes e do fundo do recipiente, a expresso acima fornece:

21

Rv6gRgR L3

34

E3

34 +=

e da:

( )LE2Rv9g2

=

Portanto, a medida do mdulo da velocidade terminal da esfera permite

determinar o coeficiente de viscosidade do lquido. Tome uma esfera de PVC, de 1 cm de dimetro, e uma proveta com glicerina. O dimetro da proveta deve ser bem maior do que o dimetro da esfera.

Abandone a esfera na superfcie livre da glicerina. Com a esfera tendo atingido sua velocidade terminal, mea o intervalo de tempo que ela leva para percorrer certa distncia. Calcule o mdulo da velocidade terminal.

Repita o procedimento vrias vezes e calcule o valor mdio do mdulo da velocidade terminal.

Com os dados conhecidos e com os dados obtidos, calcule o coeficiente de viscosidade da glicerina usando a expresso acima.

X. Nmero de Reynolds

Vamos considerar novamente o movimento de um fluido atravs de um tubo cilndrico num referencial fixo no tubo. Quando o fluido se desloca com velocidade de mdulo relativamente pequeno, o escoamento lamelar. Assim, o fluido se divide em camadas cilndricas coaxiais, que se movem com velocidades de mdulos diferentes. A camada mais externa, chamada de camada limite, adere parede do tubo e tem velocidade nula no referencial considerado. A camada central tem velocidade de mdulo mximo. Quando o mdulo da velocidade do fluido excede certo valor crtico, o regime de escoamento passa de lamelar para turbulento, exceto nas proximidades imediatas da parede do tubo, onde a antiga estrutura de camadas permanece. Onde o escoamento turbulento, o movimento do fluido altamente irregular, caracterizado por vrtices locais e um grande aumento na resistncia ao escoamento. O regime de escoamento, se lamelar ou turbulento, determinado pela seguinte quantidade adimensional, chamada de nmero de Reynolds:

mR vDN

=

em que D o dimetro do tubo, a densidade, o coeficiente de viscosidade e vm o mdulo da velocidade mdia de escoamento do fluido. A velocidade mdia de escoamento definida como sendo a velocidade constante, igual para todos os elementos de volume do fluido, que produz a mesma vazo. um dado experimental que o escoamento de um fluido pode ser lamelar ou turbulento conforme o valor do nmero de Reynolds:

NR < 2 000 lamelar e

NR > 3 000 turbulento Se o nmero de Reynolds est entre 2 000 e 3 000, o escoamento instvel,

podendo mudar de um regime para outro.

22

Exemplo Vamos considerar o escoamento de gua e de ar por um tubo com dimetro

interno de 1 cm. Para a gua a 20 oC temos:

1 102 P

e 1 g/cm3

de modo que o escoamento de gua laminar se o mdulo da velocidade mdia de escoamento pelo tubo considerado tiver, no mximo, o valor:

s/cm20)cm1)(cm/g1(

)P10x1(0002

D

0002v

3

2

m =

=

Um clculo anlogo mostra que o escoamento de gua pelo mesmo tubo

turbulento se a velocidade mdia tem mdulo vm > 30 cm/s. Para o ar a 20 oC temos:

1,8 104 P

e 1,3 x 103 g/cm3

de modo que o escoamento de ar laminar se o mdulo da velocidade mdia de escoamento pelo tubo considerado tiver, no mximo, o valor:

s/cm277)cm1)(cm/g10x3,1(

)P10x8,1(0002v

33

4

m

Um clculo anlogo mostra que o escoamento de ar pelo mesmo tubo

turbulento se a velocidade mdia tem mdulo vm > 415 cm/s. Conseqncia da Mudana de Regime J vimos que, quando um objeto se move em um fluido viscoso com velocidade

de mdulo relativamente pequeno, no referencial em que o fluido est em repouso, atua sobre ele uma fora de arraste cujo mdulo proporcional ao mdulo da velocidade. Por outro lado, quando um objeto se move em um fluido viscoso com velocidade de mdulo no muito pequeno, atua sobre ele uma fora de arraste cujo mdulo proporcional ao quadrado do mdulo da velocidade.

Essa mudana no mdulo da fora de arraste, de uma dependncia linear para uma dependncia quadrtica com o mdulo da velocidade do corpo, no gradual, mas acontece bruscamente e ocorre, para um dado fluido, sempre que o mdulo da sua velocidade alcana o mesmo valor crtico, independentemente do aparato de medida.

Alm disso, podemos verificar experimentalmente que a mudana no mdulo da fora de arraste ocorre simultaneamente com a mudana no regime do escoamento no aparato de medida, de laminar para turbulento.

23

Exerccio A mudana no mdulo da fora de arraste, da dependncia linear para a

dependncia quadrtica com o mdulo da velocidade do corpo, ocorre simultaneamente com a mudana no regime do escoamento, de laminar para turbulento. Com base nesse fato, o nmero de Reynolds pode ser determinado experimentalmente.

Conecte uma mangueira transparente a uma torneira. Abra a torneira o suficiente para que a gua escoe com velocidade de mdulo pequeno e tenha um escoamento laminar.

Com uma seringa, introduza lentamente um lquido colorido (como suco de

uva, por exemplo) no centro da mangueira (Fig.11(a)). Como o escoamento laminar, o fio de lquido colorido que sai da agulha deve ser contnuo e acompanhar a curvatura da mangueira.

Enquanto injeta o lquido colorido no centro da mangueira, v abrindo cada vez mais a torneira, gradativa e lentamente, at o exato instante em que o regime de escoamento passa de laminar para turbulento (Fig.11(b)). Agora, o fio de lquido colorido violentamente agitado e sua continuidade destruda por curvas e vrtices. Determine, pela medida da vazo, o mdulo da velocidade de escoamento da gua num referencial fixo na mangueira. Repita vrias vezes todo o procedimento para encontrar um valor mdio para o mdulo da velocidade de escoamento da gua na mangueira.

Sabendo que, para 0 oC, para 20 oC e para 40 oC, o coeficiente de viscosidade da gua tem, respectivamente, os valores:

= 1,79 102 P = 1,01 102 P

e = 0,66 102 P

faa uma interpolao linear e determine o coeficiente de viscosidade da gua temperatura ambiente. Com o valor mdio vm do mdulo da velocidade de escoamento e com os valores conhecidos do dimetro interno D da mangueira, da densidade e do coeficiente de viscosidade da gua temperatura ambiente, calcule o nmero de Reynolds pela expresso NR = Dvm / .

24

XI. Tenso Superficial Nos lquidos, as foras intermoleculares atrativas so responsveis pelos fenmenos de capilaridade. Por exemplo, a subida de gua em tubos capilares e a completa umidificao de uma toalha quando apenas uma ponta fica diretamente mergulhada na gua. As foras intermoleculares atrativas so responsveis tambm pelos fenmenos de superfcie, em que o teorema de Arquimedes aparentemente violando. Por exemplo, o andar dos insetos sobre a superfcie livre da gua e a flutuao de uma agulha de ao, muito embora sua densidade seja muito maior do que a densidade da gua. As foras atrativas entre duas molculas so significativas at uma distncia de separao d, que chamamos de alcance molecular. Em geral:

d ~ 107 cm

Consideremos um lquido em equilbrio com seu vapor. A resultante das foras atrativas sobre uma molcula qualquer no interior do lquido , em mdia, nula porque as demais molculas esto igualmente distribudas em todas as direes (Fig.12(a)).

Contudo, no nula a resultante das foras atrativas sobre uma molcula que

se encontra a uma distncia da superfcie do lquido menor do que o alcance molecular (Fig.12(b)). Isto acontece porque o hemisfrio de raio d, abaixo da molcula em questo, contm mais molculas do que o hemisfrio de raio d acima dela. A resultante das foras atrativas tem mdulo mximo quando a molcula est na superfcie livre do lquido (Fig.12(c)). Desse modo, existe uma forte tendncia de as molculas que se encontram dentro de uma camada superficial de espessura d serem puxadas para o interior do lquido e, por isso, a superfcie do lquido tende a se contrair espontaneamente nesta direo. Devido a esta tendncia de se contrair, o interior de um lquido est sujeito a uma enorme presso que, para a gua, por exemplo, vale cerca de 104 atm. Contudo, no existe modo direto (hidrosttico) de medir essa presso. Se um lquido tem uma interface com seu prprio vapor, cada molcula da camada superficial est submetida a uma fora resultante no nula, dirigida para o interior do lquido, devida s demais molculas.

A superfcie livre de um lquido diminui se existe passagem de molculas da camada superficial para o interior do lquido. Nesse caso, a energia associada ao trabalho que as demais molculas realizam sobre elas positiva. A superfcie livre de

25

um lquido aumenta se existe passagem de molculas do interior do lquido para a camada superficial. Nesse caso, a energia associada ao trabalho que as demais molculas realizam sobre elas negativa.

Vamos considerar uma pequena variao A na rea da superfcie livre de um lquido a temperatura constante. Escrevemos, ento, para a energia W associada ao trabalho que as demais molculas realizam sobre aquelas que provocam essa variao:

AW =

Esta expresso define , o coeficiente de tenso superficial do lquido. Esse coeficiente est associado s propriedades da camada superficial do lquido em questo. A tabela a seguir mostra alguns valores do coeficiente de tenso superficial para lquidos em contato com o ar.

Substncia Temperatura (oC) (102 N/m)

lcool Etlico 20 2,3

Acetona 20 2,4

Benzeno 20 2,9

leo de Oliva 20 3,3

Glicerina 20 5,9

gua 60 6,6

gua 20 7,3

gua 0 7,6

Mercrio 20 46,5

Quando existe passagem de molculas do interior do lquido para a camada superficial, a energia associada ao trabalho que as demais molculas realizam sobre elas negativa. Por isso, as molculas da camada superficial tm energia potencial maior do que as molculas do interior do lquido. Por outro lado, dentre todos os possveis estados de equilbrio compatveis com as restries que lhe so impostas, um sistema est naquele estado para o qual a energia mnima. Desse modo, o estado de equilbrio de um lquido aquele para o qual a rea da superfcie livre a menor possvel. Em outras palavras, devem existir foras na superfcie livre de um lquido, tangentes a essa superfcie, agindo no sentido de reduzir a sua rea. Chamamos essas foras de foras de tenso superficial. Ento, podemos pensar no coeficiente como o mdulo da fora de tenso superficial por unidade de comprimento. De modo geral, a intensidade das foras de tenso superficial decresce com o aumento da temperatura. Isso ocorre porque, com maior energia cintica, as molculas passam menos tempo prximas umas das outras e as foras intermoleculares ficam menos efetivas.

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Podemos realizar um experimento muito simples para discutir a atuao das foras de tenso superficial. Tomamos um pedao de arame com a forma de um anel e o introduzimos em uma soluo de gua com sabo, de modo que fique recoberto com uma fina pelcula da soluo. Colocamos um lao de linha de costura sobre a pelcula e observamos a forma tomada pelo lao (Fig.13(a)).

Ento, destruindo a pelcula dentro do lao, podemos observar a forma que ele

toma (Fig.13(b)). O lao toma a forma de uma circunferncia por efeito das foras de tenso superficial da parte restante da pelcula, que atuam perpendicularmente linha de costura em todos os seus pontos.

Tomamos, agora, um pedao de arame mais grosso com a forma de um anel e o introduzimos na soluo de gua com sabo de modo que tambm fique recoberto com uma pelcula da soluo. Sacudindo rapidamente o arame, podemos produzir bolhas de sabo e observar como cada uma delas, independentemente do seu volume, mais cedo ou mais tarde, toma a forma esfrica. A forma esfrica de cada bolha um efeito das foras de tenso superficial, que tendem a minimizar a rea da superfcie interna e a rea da superfcie externa da pelcula que forma a gota. Um experimento como este s pode ser conduzido com lquidos que formam pelculas. A habilidade de formar pelculas no est ligada ao valor do coeficiente de tenso superficial, mas estrutura molecular subjacente. O valor do coeficiente de tenso superficial de uma soluo de gua e sabo, por exemplo, aproximadamente 1/3 do valor do coeficiente de tenso superficial da gua pura, mas esta ltima no forma pelculas estveis. A tendncia de minimizar a rea superficial caracterstica no apenas de pelculas lquidas, mas tambm de amostras lquidas com formas arbitrrias porque est associada prpria existncia das foras atrativas entre molculas. Alm disso, como, para um dado volume, o slido geomtrico com a menor rea superficial a esfera, se a energia potencial superficial fosse o nico fator a determinar a forma de uma amostra lquida, ela seria esfrica.

Tensoativos A gua no molha muito bem as superfcies onde aplicada. Isso pode ser observado quando enchemos um recipiente e o esvaziamos. O recipiente fica umedecido internamente de forma irregular, apresentando reas secas e reas midas. Por esse motivo, a capacidade de lavagem da gua no muito grande. Para aumentar sua eficincia na remoo de manchas e sujeiras, podemos adicionar a ela compostos que diminuem sua tenso superficial, favorecendo seu espalhamento e promovendo um contato mais ntimo com a superfcie a ser limpa. Estes compostos, chamados de tensoativos, so os principais componentes dos detergentes.

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Os tensoativos tm molculas com cabea polar e cauda apolar (Fig.14). A cabea polar hidroflica, tem afinidade com as molculas de gua. A cauda apolar hidrofbica, tem pouca ou nenhuma afinidade com as molculas de gua.

Para poder entender a ao de um tensoativo na reduo das intensidades das foras de tenso superficial, vamos analisar a distribuio de suas molculas numa soluo aquosa. No equilbrio, as molculas do tensoativo tendem a se concentrar na superfcie livre da gua, com as cabeas hidroflicas voltadas para o interior do lquido e as caudas hidrofbicas voltadas para o exterior (Fig.15(a)).

Sendo assim, quanto maior a quantidade de tensoativo presente na gua, mais

afastadas ficam umas das outras, em mdia, as molculas de gua na superfcie livre e, portanto, menores devem ser as intensidades das foras de tenso superficial.

Com a adio de mais tensoativo, a superfcie livre da gua atinge a saturao (Fig.15(b)). Nesse ponto, as intensidades das foras de tenso superficial atingem seus valores mnimos. Com a adio de ainda mais tensoativo, o restante do lquido atinge a saturao, isto , a concentrao crtica micelar. A partir da acontece a formao de micelas (Fig.15(c)).

Nas micelas, as caudas hidrofbicas se voltam para dentro e as cabeas

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hidroflicas, para fora, ficando em contato com as molculas de gua. A forma das micelas depende do tensoativo. Em sua maioria, as micelas so globulares, mas podem ser tambm elipsoidais, cilndricas, discoidais e assim por diante.

Por outro lado, a maior parte da sujeira do tipo graxa. As caudas hidrofbicas das molculas do tensoativo presente no detergente se fixam nas superfcies das partculas de graxa e as cabeas hidroflicas ficam em contato com a gua (Fig.16). Assim, as partculas de graxa so afastadas da superfcie que sujavam e podem ser removidas pela gua corrente.

Exerccio Discuta em detalhe a formao de uma bolha de sabo.

XII. Gotas de Lquido

Alm das foras intermoleculares, que originam as foras de tenso superficial, atuam, no lquido, foras externas como as foras gravitacionais e as foras associadas interao das molculas do lquido com as partculas que formam as paredes do recipiente. A forma tomada pela amostra lquida determinada pela relao entre estas foras. As foras gravitacionais, por si prprias, no podem afetar a forma do lquido porque causam as mesmas aceleraes em todas as suas molculas. Isso explica, por exemplo, a forma esfrica de uma pequena poro de lquido em queda, numa situao em que a resistncia do ar pode ser ignorada. Um lquido apoiado sobre uma superfcie horizontal ou que pende de um tubo estreito adquire forma esfrica se as foras gravitacionais so pouco importantes. Este o caso das pequenas gotas. Aqui, a forma do lquido est associada energia potencial superficial e no energia potencial gravitacional.

Quando o lquido abandona um tubo estreito, o tamanho da gota gradualmente aumenta at tingir um valor bem definido (Fig.17). Isto ocorre porque, enquanto a gota no grande o suficiente, as foras de tenso superficial so suficientes para contrabalanar o seu peso e impedir a sua separao do resto do lquido. A gota se separa quando o mdulo do seu peso fica igual ao mdulo da resultante das foras de tenso superficial. Este fato permite, entre outras coisas, determinar o coeficiente de tenso superficial do lquido em questo.

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medida que a gota toma forma, desenvolve-se um pescoo ligando-a ao resto do lquido. O raio desse pescoo um pouco menor do que o raio do tubo (Fig.17(b) e (c)). A resultante das foras de tenso superficial que atuam ao longo da circunferncia desse pescoo, no momento da separao, deve ter mdulo igual ao mdulo do peso da gota (Fig.18).

Assim, podemos escrever:

mgr2 = em que r o raio do pescoo e m, a massa da gota.

Sendo assim, medindo a massa da gota e o raio do pescoo no momento da separao, podemos determinar o coeficiente de tenso superficial do lquido de que feita a gota.

Esse mtodo fornece bons resultados. Contudo, na realidade, uma gota pode no se separar exatamente da forma descrita. No momento em que a gota atinge o tamanho determinado pela expresso acima, o pescoo rapidamente se torna mais estreito (Fig.17(d)) e a gota formada pode vir acompanhada por outra gota, de raio bem menor (Fig.17(e)).

Exerccio Discuta a razo pela qual o conta-gotas de um medicamento no deve ser

usado para dosar outro medicamento.

XIII. Influncia de um Segundo Meio

A energia potencial superficial de um lquido depende no apenas das propriedades das suas prprias molculas, mas tambm das propriedades das molculas do meio vizinho.

Definimos, acima, o coeficiente de tenso superficial e o relacionamos apenas s propriedades do lquido em questo, tendo em mente um lquido em contato com seu vapor. A energia potencial superficial permanece praticamente a mesma se o meio vizinho for um gs qualquer a baixa presso porque, nesse caso, a intensidade da interao das molculas do lquido com as molculas do gs muito menor do que a intensidade da interao das molculas do prprio lquido entre si. As coisas so

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diferentes quando o meio vizinho outro lquido, um slido ou um gs a alta presso, da ordem de centenas de atmosferas. Ento, o valor do coeficiente de tenso superficial de um lquido vizinho ao seu prprio vapor difere apreciavelmente do valor do coeficiente de tenso superficial desse mesmo lquido vizinho a outra substncia mais densa. A tabela a seguir, de coeficientes de tenso superficial a temperatura ambiente, fornece dados para ilustrar esta circunstncia.

Substncia (102 N/m)

gua 7,3

gua-Benzeno 3,4

gua-ter 1,2

Mercrio 49,0

Mercrio-gua 42,7

Mercrio-lcool 39,9

A inspeo da tabela mostra que a intensidade das foras de tenso superficial na superfcie de um lquido em contato com outro lquido sempre menor do que a intensidade das foras de tenso superficial na superfcie de um lquido em contato com seu prprio vapor. XIV. Interface entre Lquido e Slido Vamos considerar as condies na interface entre um lquido e um slido. A forma tomada pelo lquido determinada pela relao entre as seguintes foras que atuam nas suas molculas: as foras gravitacionais, as foras associadas interao de suas molculas entre si e as foras associadas interao de suas molculas com as partculas do slido.

A relao entre as foras associadas interao das molculas do lquido entre si e as foras associadas interao delas com as partculas do slido caracterizada pelo ngulo de contato , entre a superfcie livre do lquido e a superfcie do slido, na vizinhana imediata em que as duas se encontram (Fig.19).

O ngulo de contato determinado pela condio de equilbrio: a soma das

foras aplicadas em qualquer elemento de comprimento L ao longo da linha de contato dos trs meios nula. Portanto, na direo paralela superfcie do slido e em mdulo:

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122313 FcosFF +=

Se 13, 23 e 12 so os correspondentes coeficientes de tenso superficial, podemos tomar:

LF 1313 =

LF 2323 =

e LF 1212 =

de modo que, da expresso acima, resulta:

23

1213cos

=

Esta expresso mostra que = 0 no caso em que:

121323 = Fisicamente, isto significa que o lquido se espalha completamente sobre a

superfcie do slido, formando uma camada de pequena espessura. Isto tambm acontece quando:

121323 /2 (Fig.20(b)), so a regra. A interao das molculas de um lquido com as partculas de um slido tambm afeta a forma da superfcie livre do lquido em um recipiente. Se uma grande

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quantidade de lquido colocada dentro de um recipiente amplo, a forma de sua superfcie livre determinada pela interao gravitacional que, naturalmente, assegura uma superfcie livre plana e horizontal. Junto s paredes do recipiente, contudo, a superfcie livre do lquido curvada, formando um menisco cncavo, se o lquido molha a parede (Fig.21(a)) e um menisco convexo, se o lquido no molha a parede (Fig.21(b)).

A propriedade de no-molhabilidade pode tornar possvel o fenmeno de

flutuao de um corpo em um lquido mesmo nos casos em que a densidade do corpo maior do que a densidade do lquido. Para discutir essa possibilidade, vamos considerar um lquido que no molha um corpo colocado em contato com ele (Fig.22(a)). Sobre esse corpo, atuam as seguintes trs foras verticais: P, o peso do corpo, E, o empuxo, e F, a fora associada curvatura da superfcie do lquido em contato com o corpo.

A fora peso aponta para baixo e as outras duas foras apontam para cima.

Se o corpo tem forma de barra e est colocado por comprido na superfcie do lquido, a fora F pode ter mdulo de valor significativo, j que ele dado pelo produto do coeficiente de tenso superficial pelo comprimento da linha de contato do corpo com o lquido. Alm disso, se o peso do corpo tem mdulo pequeno, podemos ter:

EFP +=

Desse modo, o corpo pode flutuar na superfcie do lquido. Por outro lado, a propriedade de molhabilidade pode tornar possvel a

submerso de um corpo em um lquido mesmo quando a densidade do corpo menor do que a densidade do lquido. A discusso desse caso anloga discusso do caso anterior, mas devemos levar em conta que, agora, a fora peso e a fora F apontam para baixo e o empuxo aponta para cima (Fig.22(b)).

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Exerccio 1 Encha um copo com gua at quase transbordar. Observe a forma da superfcie livre da gua.

Ento, com um conta-gotas, adicione mais e mais gua, at derramar. Descreva o comportamento da superfcie livre da gua neste processo.

Exerccio 2 O fenmeno de flutuao de um corpo em um lquido, mesmo nos casos em que a densidade do corpo maior do que a densidade do lquido, permite estimar o coeficiente de tenso superficial do lquido. Coloque uma lmina de barbear sobre a superfcie livre da gua contida em um copo, de modo que permanea sobre a superfcie. Estime o comprimento da linha de contato da lmina de barbear com a gua.

Sabendo que a lmina feita de ao, cuja densidade de cerca de 7 g/cm3, estime o valor do coeficiente de tenso superficial da gua.

Repita o procedimento com uma agulha.

Exerccio 3 O coeficiente de tenso superficial de um lquido que forma pelcula pode ser determinado de modo muito simples, pelo menos em princpio.

Dobre um pedao de arame em forma retangular e, com outro pedao, faa uma corredia (Fig.23).

Mergulhe o dispositivo em uma soluo de gua com sabo e observe o que

acontece com a corredia quando se forma uma pelcula conforme a representao da figura.

A corredia se move rapidamente num referencial fixo no resto do dispositivo porque as foras de tenso superficial tendem a minimizar as reas das duas superfcies livres da pelcula.

Suspenda um objeto na corredia de modo que as foras de tenso superficial sejam balanceadas pelo peso do objeto.

Sem danificar a pelcula, mude a posio da corredia. Observe que a corredia permanece em repouso em qualquer posio,

independentemente das reas das duas superfcies livres da pelcula. Este comportamento diferente do comportamento de uma membrana de borracha

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esticada, que exerce uma fora cujo mdulo tanto maior quanto maior so as reas das suas duas superfcies. Por isso, a analogia usualmente feita entre a superfcie livre de um lquido e uma membrana de borracha esticada no pode ser levada muito adiante.

A pelcula possui duas superfcies livres e junto a cada uma delas existe uma camada com espessura equivalente a alguns dimetros moleculares. Entre as duas camadas existe certa quantidade de lquido. A espessura total da pelcula muito grande se comparada com o dimetro molecular.

Quando a corredia puxada para baixo, as reas das superfcies livres da pelcula aumentam, com molculas passando do interior do lquido para as superfcies. Por isso, com o aumento das reas, a pelcula no fica esticada como uma membrana de borracha, mas fica mais fina.

O coeficiente de tenso superficial da pelcula dado pela expresso:

L2

mg=

em que L o comprimento da corredia e m a massa do corpo suspenso. O fator 2 aparece porque a pelcula tem duas superfcies livres. Mea m e L e determine para a pelcula de gua com sabo.

Exerccio 4 Com um conta-gotas, deposite uma gota de gua sobre uma superfcie de vidro limpa e seca. Descreva o que acontece com a gota. Molhe a superfcie de vidro e deposite outra gota. Descreva o que acontece com esta gota. Na superfcie de vidro novamente seca, deposite uma gota de lcool. Descreva o que acontece com a gota e relacione com as situaes anteriores. Tire uma concluso. Na superfcie de vidro novamente seca, deposite uma gota de gua com sabo. Descreva o que acontece com a gota e relacione com as situaes anteriores. Tire uma concluso. XV. Presso de Laplace

Em qualquer lquido, as foras de tenso superficial so tangentes respectiva superfcie livre. Se a superfcie livre de um lquido plana, ele est sujeito a uma presso devida ao meio vizinho. Se a superfcie de um lquido curva, ele fica sujeito a uma presso devida ao meio vizinho e a uma presso adicional, chamada de presso de Laplace, associada resultante das foras de tenso superficial que atuam nessa superfcie curva.

Para discutir a presso de Laplace vamos considerar, por convenincia, uma gota com forma esfrica.

Um aumento no raio da gota implica em um aumento da rea da superfcie livre e isto, por sua vez, implica em um aumento na energia potencial superficial da gota. Por isso, um aumento no raio da gota s pode ser conseguido se existe trabalho sobre as molculas que passam do interior do lquido para a superfcie.

Inversamente, uma diminuio no raio da gota implica em uma diminuio da rea da superfcie livre e isto, por sua vez, implica em uma diminuio na energia potencial superficial da gota. Sendo assim, uma diminuio no raio da gota s pode

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ser conseguida se as molculas que passam da superfcie para o interior do lquido realizam trabalho. Por isso, a poro de lquido abaixo da superfcie livre da gota esfrica est sempre comprimida em certa medida, isto , est sujeita a uma presso adicional. Essa presso adicional a presso de Laplace.

Para encontrar uma relao que permita calcular a presso de Laplace, vamos supor que a gota esfrica tenha uma reduo no seu volume, de V para V V, por efeito desta presso (Fig.24). O trabalho de compresso do lquido feito pelas molculas da superfcie livre e, portanto, leva a uma diminuio da energia potencial superficial.

A energia associada ao trabalho das foras de tenso superficial igual

energia associada ao trabalho de compresso da gota. Essas energias so dadas, respectivamente, pelas expresses:

AW =

e VPW =

em que A a variao da rea da superfcie livre da gota, dada por:

rr8A =

e V a variao do volume da gota, dada por:

rr4V 2 = Dessa maneira, podemos escrever:

r)r8(r)r4(P 2 = e da temos, para a presso de Laplace:

r

2P

=

A presso de Laplace no pode ser relacionada diretamente s foras de

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tenso superficial porque elas so tangentes superfcie livre do lquido. Contudo, esta presso aparece, sim, como resultado indireto da ao de tais foras, quando elas atuam nas pores curvas da superfcie do lquido (Fig.25). Nesse caso, as foras de tenso superficial, dirigidas tangencialmente superfcie, atuam em qualquer elemento de comprimento da circunferncia ABCD. A resultante dessas foras aponta para o centro de curvatura e, relacionada unidade de rea da superfcie, d a presso adicional que atua no lquido sob a superfcie curva.

Numa superfcie convexa, a resultante das foras de tenso superficial aponta

para o interior do lquido e numa superfcie cncava, a resultante das foras de tenso superficial aponta para o exterior do lquido. Assim, no primeiro caso, a presso do lquido maior do que a presso normal e, no segundo caso, a presso do lquido menor do que a presso normal. No caso de uma bolha de sabo, a pelcula tem duas superfcies livres, uma interna e outra externa, em contato com o meio vizinho. Ento, a expresso para a presso de Laplace fica: r/4P =

Exerccio 1 Os efeitos da presso adicional associada curvatura da superfcie livre de um

lquido podem ser observados com um tubo em Y (Fig.26).

Coloque as extremidades A e B de um tubo em Y dentro de uma soluo de

gua com sabo. Retire o tubo da soluo e produza duas bolhas, soprando na extremidade C.

Feche a extremidade C e observe o que acontece.

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Devido a circunstncias aleatrias, as bolhas tm raios diferentes e no esto em equilbrio. Quando a extremidade C fechada, a bolha de raio maior se expande e a bolha de raio menor se contrai. Isto mostra que a presso associada curvatura da superfcie cresce com a diminuio do raio de curvatura.

Exerccio 2 Gotas perfeitamente esfricas podem ser produzidas com gua, lcool e leo.

A gua mais densa que o leo. O lcool menos denso que o leo. Misture quantidades apropriadas de gua e lcool para produzir um lquido com densidade o mais prximo possvel da densidade do leo.

Com um conta-gotas, deposite gotas de leo no seio deste lquido. Observe a forma das gotas obtidas e tente explicar a sua esfericidade.

XVI. Capilaridade A superfcie de um lquido colocado em um recipiente tem certa curvatura nas proximidades das paredes, isto , onde as foras de interao entre as molculas do lquido e as do recipiente desempenham um importante papel. No restante do lquido, a superfcie plana por efeito da interao gravitacional. Contudo, a influncia das paredes do recipiente se estende a toda a superfcie livre do lquido quando ela no grande como, por exemplo, quando o lquido est em um tubo estreito.

Um tubo pode ser considerado estreito e pode ser chamado de tubo capilar quando seu raio interno da mesma ordem que o raio de curvatura da superfcie livre do lquido que contm. Os fenmenos em tais tubos so chamados fenmenos de capilaridade. Alm disso, como os capilares so caracterizados pela curvatura da superfcie do lquido no seu interior, a influncia da presso de Laplace a maior possvel. Um resultado direto dessa presso a ascenso do lquido no capilar.

Consideremos um tubo capilar imerso em um amplo recipiente com um lquido que molha suas paredes (Fig.27). O lquido penetra no tubo, forma um menisco cncavo e fica sob o efeito da presso de Laplace:

0r

2P

=

Nesta expresso, o coeficiente de tenso superficial do lquido e ro o raio

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de curvatura do menisco. Como a superfcie livre do lquido cncava, a resultante das foras de tenso

superficial aponta para o exterior do lquido, mais especificamente, para o centro de curvatura do menisco. Por isso, o lquido sobe pelo tubo capilar por ao da presso de Laplace.

O lquido sobe no interior do tubo capilar at uma altura h, medida a partir do

nvel da superfcie livre do lquido fora do tubo, que pode ser calculada partindo da seguinte igualdade:

ghr

2

0

=

em que representa a densidade do lquido e g, o mdulo da acelerao gravitacional.

Por outro lado, sendo o ngulo de contato entre o lquido e as paredes do tubo capilar e r, o raio interno do tubo (Fig.28), podemos ver que:

= cosrr 0 de modo que a expresso anterior fornece:

gr

cos 2h

=

Para um lquido que molha completamente as paredes do tubo, = 0. Assim, a

expresso acima se reduz a:

gr

2h

=

Como poderamos ter esperado, a altura de ascenso do lquido no tubo capilar tanto maior quanto maior o seu coeficiente de tenso superficial. Alm disso, a altura de ascenso do lquido no tubo capilar tanto maior quanto menor o raio interno do tubo. Se o lquido no molha as paredes do tubo capilar, temos a situao inversa: o menisco convexo, a resultante das foras de tenso superficial aponta para o interior do lquido, mais especificamente, para o centro de curvatura do menisco. Por isso, a

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presso de Laplace faz com que a superfcie livre do lquido no capilar fique abaixo da superfcie livre do lquido fora do tubo (Fig.29). Neste caso, h a profundidade do menisco, medida a partir do nvel da superfcie livre do lquido fora do tubo. De qualquer modo, a profundidade h dada pelas mesmas duas expresses acima.

Exerccio 1 O coeficiente de tenso superficial de um lquido pode ser determinado atravs do fenmeno de capilaridade. Encha um copo com gua e coloque tubos capilares com diferentes dimetros internos na regio central do copo.

Mea os dimetros internos dos tubos capilares e as respectivas alturas das colunas de gua no interior deles.

A densidade da gua de 103 kg/m3 e o mdulo da acelerao da gravidade de 9,8 m/s2.

Supondo que a gua molhe completamente as paredes dos tubos capilares, de modo que valem as relaes acima, determine o coeficiente de tenso superficial da gua para cada tubo capilar e, da, calcule o valor mdio.

Exerccio 2 Xilema um sistema de tubos capilares, presentes no interior das plantas, que

transportam gua com sais minerais desde a raiz at as folhas. O dimetro interno desses tubos da ordem de 105 m. Supondo que a gua molhe completamente as paredes desses tubos, calcule a altura que ela pode alcanar no seu interior por capilaridade.

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FLUIDOS IDEAIS I. Introduo

Fluidos so corpos cujas molculas no guardam suas posies relativas tomando, assim, a forma do recipiente. Alm disso, em condies favorveis, escoam.

Os fluidos so constitudos por um grande nmero de molculas em movimento desordenado e em constantes colises. Para ser exato na anlise de qualquer fenmeno que envolva fluidos, devemos considerar a ao de cada molcula ou grupo de molculas. Tal procedimento adotado na Teoria Cintica e na Mecnica Estatstica e muito laborioso sob o ponto de vista matemtico. Em se tratando de estabelecer relaes entre grandezas macroscpicas associadas ao escoamento de fluidos, contudo, podemos substituir o meio molecular real por um meio contnuo, hipottico, facilitando o tratamento matemtico. De qualquer modo, a idia do contnuo deve ser usada apenas nos casos em que conduz a uma descrio razoavelmente aproximada dos fenmenos em questo. No pode, por exemplo, ser usada na descrio da tenso superficial porque as dimenses caractersticas do fenmeno so da ordem do livre caminho mdio das molculas que constituem o fluido. Assim, vamo-nos restringir, agora, ao estudo dos fluidos ignorando os fenmenos de tenso superficial, capilaridade e viscosidade e tomando os fluidos como incompressveis. Em outras palavras, fluidos ideais e, quando for o caso, em regime de escoamento estacionrio.

A Hidrosttica estuda os fluidos em repouso num referencial fixo no recipiente que os contm, considerando o equilbrio das presses que atuam em qualquer elemento de volume.

A Hidrodinmica estuda os fluidos em movimento num referencial fixo na tubulao pela qual eles escoam. Contudo, como esse estudo complexo e difcil, envolvendo matemtica avanada, vamos estudar os fenmenos que podem ser descritos apenas com os princpios de conservao da massa e da energia, o primeiro levando equao da continuidade e o segundo, e