fluctuation d'échantillonnage en pratique.ppt
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8/18/2019 Fluctuation d'échantillonnage en pratique.ppt
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FluctuationFluctuation
d’échantillonnage end’échantillonnage enpratiquepratiquedans les programmes de
mathématiques de la voieprofessionnelle
Source :[email protected]
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Le parti pris des programmesde la voie professionnelle est
celui d’une introductionprogressive
progressive du formalismedu calcul des probabilités,fondée sur l’expérimentation statistique.
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« e fa!on apparemmentparado"ale, l#accumulation
d#événements au hasarda$outit % une répartition
parfaitement prévisi$le desrésultats possi$les. Le hasardn'est capricieux qu'au coup
par coup. &'ichel S())(S et *a+la )/01,« Le Trésor » - article loi des grands
nom$res.
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ÉmileBorel23453- 36789
Vers 1910 : « Si la notion de véritéstatistique devenait familière à tous ceuxqui parlent ou écrivent au sujet dequestions où la vérité statistique est laseule vérité !ien des sop"ismes et !iendes paradoxes seraient évités# $
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Des questions…Des questions…
%st&ce le fruit du "asard '
%n (000 à )icun *+"ine, - filles 1. /arons
%n (001 à ouvres *Val d23ise, 40 filles 5( /arons
%ntre 1999 et (006 à 7amji8naa/*+anada,
5. filles -. /arons
http://www.dinosoria.com/clipart_bebe/images/1854730_jpg.jpg
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Des questions…Des questions…
e ma/aine Le Point du1609(00( écrit : « ;ne
crue de la Seine compara!leà celle de 1910 se produiten moyenne tous les cent
ans et la probabilité d2unetelle catastrop"e augmente d2année en année $#
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Des questions…Des questions…
;ne petite ville des =tats&;nis a connu 9cas de leucémies c"e de jeunes
/arons en l2espace de 10 années# >oit&on en « accuser le "asard $ '
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Des questions…Des questions…
>ans une usine automo!ile oncontr?le les défauts de peinture
de t@pe « grains ponctuels surle capot $# orsque le processusest sous contr?le on a 20% de
ce t@pe de défauts#ors du contr?le aléatoire de 50 vé"icules on o!serve 25% dedéfauts# Aaut&il s2inquiéter '
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Des questions…Des questions…
+omment aux =tats&;nis la statistique a&t&elle permis de mettre en évidence une
discrimination conduisant à casser un ju/ement '
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Des questions…Des questions…
e dernier sondage de (00( ne prévo@aitpas la présence de Bean&Carie e Den au
second tour# Deut&on croire un sonda/e '
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Des questions…Des questions…
VRAI ! "A!# $
El @ a peu de risques de tom!er en panne de FV entre ( et G ansd2utilisation#
3n a une c"ance sur . de tom!er en panne entre ( et G ans#
Sur 6.0 FV vendues 10 seront en panne d2ici G ans#
Si on au/mente le nom!re de téléviseurs la fréquence des pannes
approc"era la valeur 00(45#
El @ a plus de risques d2avoir 100 FV en panne sur 6.00 venduesque 10 en panne sur 6.0 vendues#
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Des questions…Des questions…
+omment la loi des /rands nom!respermet&elle d2estimer
une probabilité '
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Seconde professionnelleSeconde professionnelle
$ectif :
("périmenter la « loi desgrands nom$res &, du point devue des ;uctuations 2% taille
d’échantillon
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luctuations d’unefréquence
L’étude des ;uctuations d’unefréquence développe l’esprit
critique du cito+en et duprofessionnel face % desrésultats statistiques.
=c"antillon de taille n H 10Aréquence des rou/es f H 04
Aréquence des rou/esdans la population
p H 0.
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Expérimenter, d’a$ord %
l’aide de pi=ces, de dés oud’urnes, puis % l’aide d’unesimulation informatique, la
prise d’échantillons aléatoires de taille n xée,
e"traits d’une population o> lafréquence p d’un caract=reest connue.
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L’expérimentation ph!sique" valide $ les simulations
virtuelles%
mais surtout elle laisse des" images mentalesimages mentales $
essentielles&
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?ouer % pile ou face
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La machine % $illes
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La $outeille % perles
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imulation a&ec les 'I(imulation a&ec les 'I(
rand I 0#6
int*rand I 0#6, donne 00 ou ))
rand */énérateur de nom!res aléatoires,
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Avec une calculatrice
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Avec un tableur
Vide.xls
http://vide.xls/http://vide.xls/
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ProblèmeProblèmeSuite au" élections de AA4, parmi les Amairies d’arrondissement % Baris, 7 mairessont des femmes et 37 des hommes. Beut-onconsidérer que cette répartition estuniquement due au hasard C
Avec une pièce de monnaien peut o$server si le hasard est unee"plication « raisonna$le & en lan!ant A foisune pi=ce de monnaie.
Avec le tableur n augmente le nom$re d’e"périences.
A pile face."ls
http://20%20pile-face.xls/http://20%20pile-face.xls/
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Des naissances * pile ou +aceDes naissances * pile ou +ace
)icun - filles 1. /arons
ouvres 40 filles 5( /arons
7amji8naa/ 5. filles -. /arons
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Drainstorming
Eicun Louvres amiFnaag
*om$re denaissances 37 3G
Bourcentage
de gar!ons4AH 7G,6H GI,4H
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u eu e p e ouface
% la simulation
naissances pile ou face.xls
,noncé él-&e
1. Lancer 20 fois une pièce de
monnaie et noter le nombre de « pile ».
2. Recommencer l’expérience une dizaine de fois ou
regrouper les résultats obtenus dans la classe.
3. omment peut!on utiliser ces expériences pour
commenter les statisti"ues de #icun $4. %our"uoi l’expérimentation a&ec des pièces ne
permet!elle pas de répondre complètement au problème
posé $
http://naissances%20pile%20ou%20face.xls/http://naissances%20pile%20ou%20face.xls/
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Juelles « réponses & C
e ne sont "ue des réponses « statisti"ues ». Les résultats obser&éssur les naissances ' #icun et (am)i*naag sont « bizarres » +et
préoccupants,. -n a établi une « preuve statistiquepreuve statistique » rationnelle
"u’il se passe sans doute "uel"ue c/ose d’in/abituel.
%our le cas de #icun la cause probable est l’ac"uisition dans ce&illage +en 111, d’une mac/ine ' ultras!sons bon marc/é
permettant aux médecins de déterminer le sexe du ftus.
+3ource 4 Washington Post du 21 mai 200.,
5ans le cas d’(am)i*naag une en"u6te sanitaire est menée. -nconna7t en effet depuis 3e&eso le r8le de certains polluants sur les
désé"uilibres du sex!ratio.
+3ources 4 Science et Vie fé& 2009 : Environmenthal Health Perspectives oct 200;.,
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aire preuve d’esprit
critique face % unesituation aléatoire simple.2luctuations9
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ExempleExemple ()S*+Bour déterminer la cote de popularité d’uncandidat en vue d’une élection, trois ournau"
ont mené leur propre sondage dont voici lesrésultats :K ournal 3 : ,-%. / 2sondage eectué sur unéchantillon de .00 cito+ens a+ant le droit devote, tirés au hasard9 MK ournal : 12%. / 2sondage eectué sur unéchantillon de 2 000 cito+ens a+ant le droit
de vote, tirés au hasard9 MK ournal G : 1. / 2sondage eectué sur2 000 lecteurs qui ont appelé la rédactionpour voter9.
À quel journal peut-on le plus se fer pour’
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Bro$a$ilités
La compréhension de la notionmathématique de pro$a$ilité favoriseune attitude rationnelle dans un
environnement incertain 2évaluationdes risques, prise de décision9.
3n au/mente la taille n del2éc"antillon *prélevé avec remise,
Aréquence des rou/esdans la population
p inconnue
p C
N
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$tenir la probabilité d’un
événement dans le casd’une situation aléatoiresimple.
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ExempleExemplennie aime les $on$ons rouges.Le sachet contient 21 $on$ons rouges et3 $on$ons 4aunes.
Le sachet D contient 3 $on$ons rouges et 5 $on$ons 4aunes.Les sachets sont opaques et nnie ne peutprendre qu’un $on$on au hasard.Dans quel sachet la probabilité de prendre un bonbon rouge est la plusgrande ?
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Ovaluer la probabilité d’unévénement 6 partir desfréquences 2sta$ilisation
relative des fréquences versla pro$a$ilité de
l’événement quand n augmente9.
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.e segment aléatoire.e segment aléatoire
3egment aleatoire.
xls
http://segment%20aleatoire.xls/http://segment%20aleatoire.xls/http://segment%20aleatoire.xls/http://segment%20aleatoire.xls/
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ProblèmeProblème/n professeur construit un J.P.'. de 50questions indépendantes, proposant ,réponses possibles % chaque question,une seule réponse étant e"acte.Juelle est la pro$a$ilité d’o$tenir au
moins 20 bonnes réponses, enrépondant au hasard C
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Juestion :
/ pile 1 consécuti+s/ pile 1 consécuti+s
n lance 5 fois une pi=ce de monnaieéquili$rée, quelle est la pro$a$ilité d’avoir 5fois pile C
< piles consécutifs.xls
http://xn--7%20piles%20conscutifs-q8b.xls/http://xn--7%20piles%20conscutifs-q8b.xls/
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pplication au contrQle de qualité :
/ pile 1 consécuti+s/ pile 1 consécuti+s
Si l’on constate uneSi l’on constate unesérie de sept pointssérie de sept pointsconsécutifs duconsécutifs du
m7me c8té de lam7me c8té de lamo!enne% surveillermo!enne% surveillerle processusle processus.
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aire preuve d’esprit
critique face % unesituation aléatoire simple.2Bro$a$ilités9
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ExerciceExercice 2B1S9u loto, des $oules numérotées sont tirées au hasardchaque semaine./n ournal pu$lie les numéros gagnants de lasemaine précédente, ainsi qu’une liste des numérosqui ne sont pas sortis depuis longtemps.1ndiquer si les aRrmations suivantes sont vraies ou
fausses. Les informations pu$liées ne sont d’aucune utilitécar toutes les com$inaisons ont la mTme pro$a$ilitéde sortie.
D Les numéros de la semaine précédente ontdavantage de chances de sortir car ils sont« chauds &.P Les numéros de la semaine précédente ont moinsde chances de sortir car il est peu pro$a$le qu’un
numéro sorte deu" fois de suite.
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(remi9re professionnelle(remi9re professionnelle
Juanti
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Palculer le pourcentage deséchantillons de taille n simulés,
pour lesquels la fréquence
relative au caract=re étudiéappartient % l’intervalle donné: p ; 2 2
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La « varia$ilité naturelle & C
Lorsque la fréquence pour un
échantillon de taille n se situedans l’intervalleU p 3Vrac2n9 M p W 3Vrac2n9X ,
la pro$a$ilité est supérieure %A,67.
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ProblèmeProblème
>ans une usine automo!ile on contr?le les défauts depeinture de t@pe « /rains ponctuels sur le capot $# orsque le
processus est sous contr?le on a 20% de ce t@pe de défauts#ors du contr?le aléatoire de 50 vé"iculeson o!serve 25% de défauts#Aaut&il s2inquiéter '
carte de controle."ls
http://carte%20de%20controle.xls/http://../maths/Expose%20Probas-stats/Essais%20soucier.xlshttp://carte%20de%20controle.xls/
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eut3on croire un sondage $eut3on croire un sondage $
e dernier sonda/e de (00( ne prévo@aitpas la présence de Bean&Carie e Den ausecond tour# Deut&on croire un sonda/e '
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remier tour remier tour
ernier sondage D.Y.. , eectué sur 3AAAélecteurs le vendredi 36VAIVA
?acques Phirac 36 H
Lionel ?ospin 34 H ?ean-'arie Le Ben 3I H
Aésultats du premier tourAésultats du premier tour
52
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,c4antillonnage le our de,c4antillonnage le our de
l6électionl6élection
+"irac(0J
Bospin1.J
e Den
14J
7utres-4J
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=0>0? @@n
f n
f +−
p
=0>0?22 n
f n
f +−
=0
>0
? 00 n f n f +−
"ourc4ettes de sondage"ourc4ettes de sondage
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Simulati
on
Alection 2002.xls
G i lG i l
http://election%202002.xls/http://election%202002.xls/
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GerminaleGerminaleprofessionnelleprofessionnelle
Bratiquer, en situation, le
formalisme du calcul despro$a$ilités.
K B d l
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K Basser du langage pro$a$iliste au langage
courant et réciproquement.K /tiliser ar$res, ta$leau",diagrammes, pour organiser etdénombrer.K /tiliser les notations
et les formules :M .
B A B A A ∩∪ >>
,+0,+ A P A P −=
,+,+,+,+ B A P B P A P B A P ∩−+=∪