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Resistências dos Materiais Prof. José Wallace B. do Nascimento
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Capítulo 4
Flexão Pura
Flexão pura: Barras prismáticossubmetido à ação de dois conjugados iguais e de sentido contrário, que atuam em um mesmo plano longitudinal.
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Capítulo 4
Outros tipos de carregamentos• Carregamento excêntrico:
carregamento axial o qual não passa através da centróide produz forças internas equivalente a uma força axial e um momento.
• Carregamento transversal: Cargas concentrada e transversal produz forças internas equivalente a força de cisalhamento e momento.
• Princípio de superposição: A tensão normal devido a flexão pura pode ser combinada com a tensão normal devido ao carregamento axial e tensão de cisalhamento, devido ao carregamento de cisalhamento, para encontrar o estado completo de tensão.
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Capítulo 4
Flexão pura de barra prismática• Forças internas em uma seção transversal são
equivalente ao conjugado. O momento do conjugado é o momento de flexão.
∫ =−=
∫ ==∫ ==
MdAyM
dAzMdAF
xz
xy
xx
σ
σσ
00
• Da estática, um conjugado M consiste de duas forças iguais e opostas.
• A soma dos componentes de forças sobre um plano é zero.
• A soma das componentes e dos momentos dos esforços elementares deve ser igual à soma das componentes e dos momentos do conjugado M.
• O momento é a soma do conjugado sobre um eixo perpendicular e zero sobre o eixo que estar o plano.
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Capítulo 4
Deformação na flexão puraVigas com um plano de simetria em flexão pura:
• Membros com linhas de simetria
• Flexão uniformemente para a forma de um arco circular
• O plano da seção transversal passa através do centro do arco e no plano
• O comprimento do topo decresce e o da base aumenta
• A superfície neutra existe e é paralela a superfície superior e inferior e, e seu comprimento não se altera
• As tensões e deformações são negativas (na compressão) acima da linha neutra e positiva a baixo (tração)
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Capítulo 4
( )( )
mx
mm
x
cy
cρc
yyL
yyLLyL
εε
ερε
ρρθθδε
θρθθρδθρ
−=
==
−=−==
−=−−=−=−=′
or
linearly) ries(strain va
´
Considerar um segmento de viga de comprimento L
Após a deformação, o comprimento da linha neutra permanece L. As outras seções,
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Capítulo 4
linearly) varies(stressm
mxx
cy
EcyE
σ
εεσ
−=
−==
∫
∫∫
−=
−===
dAyc
dAcydAF
m
mxx
σ
σσ
0
0
• Para material elástico
• Equilíbrio estático
• Primeiro, o momento em relação a linha neutra é zero. Portanto, a linha neutra passa através da centróide.
• Do equilíbrio estático
IMy
cy
SM
IMc
cIdAy
cM
dAcyydAyM
x
mx
m
mm
mx
−=
−=
==
==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−=−=
∫
∫∫
σ
σσ
σ
σσ
σσ
ngSubstituti
2
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Capítulo 4
Propriedades das seções de vigas• Tensão normal máxima devido ao carregamento,
resistente módulo
seção da inércia de momento
==
=
==
cIW
IWM
IMc
mσ
Uma viga com momerto de inércia da seçãomaior terá menor tensão
• Considerar uma viga com seção retangular,
Ahbhhbh
cIW 6
1361
3121
2====
Entre duas vigas com mesma área de seçãotransversal, a viga com maior profundidadeterá maior resistência.
• Vigas metálicas são projetadas com grandemódulo resistente.
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Capítulo 4
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Capítulo 4
Deformação em uma seção transversal
EIM
IMc
EcEccmm
=
===11 σε
ρ
ρννεε
ρννεε yy
xzxy =−==−=
inelástica curvatura 1==
′ ρν
ρ
• Deformação devido ao momento M é quantificado pela a curva da superfície neutra
• Através da seção transversal que permanecem planas quando submetida ao momento fletor, as deformações no plano não são nulos
• A expansão acima da superfície neutra e contração abaixo causa no plano de curvatura
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Capítulo 4
Problema resolvido 4.2
Uma peça de máquina de ferro fundido fica submetida à ação do conjugado M de 3 kN.m. Sabendo-se que E=165GPa e desprezando o efeito da curvatura das arestas do perfil, determinar: a) as máximas tensões de tração e compressão no perfil; b) o raio de curvatura da peça fletida.
( )∑ +=∑∑= ′
2dAIIAAyY x
SOLUÇÃO:
• Baseado na seção transversal, ,calcula-se a localização da centróide e o momento de inércia
IMc
m =σ
• Aplica-se a fórmula de flexão elástica para encontrar as tensões máximas de tração e compressão,
EIM
=ρ1
• Cálculo da curvatura
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Capítulo 4
mm 383000
10114 3=
×=
∑∑=
AAyY
∑ ×==∑
×=××=×
3
3
3
32
101143000104220120030402109050180090201
mm ,mm ,mm Area,
AyA
Ayy
( ) ( )( ) ( )
49-3
2312123
121
231212
m10868mm10868
18120040301218002090
×=×=
×+×+×+×=
∑ +=∑ +=′
I
dAbhdAIIx
SOLUÇÃO:
Com base na seção transversal calcula-se ao centróide e momento de inércia
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Capítulo 4
49
49
mm10868m038.0mkN 3
mm10868m022.0mkN 3
−
−
×
×⋅−=−=
×
×⋅==
=
IcM
IcM
IMc
BB
AA
m
σ
σ
σ
MPa0.76+=Aσ
MPa3.131−=Bσ
• Aplica-se a fórmula de flexão elástica para encontrar as tensões máximas de tração e compressão,
• Cálculo de curvatura
( )( )49- m10868GPa 165mkN 3
1
×
⋅=
=EIM
ρ
m 7.47
m1095.201 1-3
=
×= −
ρρ
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Capítulo 4
Flexão de barras constituídas por vários materiais
• A tensão normal varia linermente
ρε y
x −=
• Sabe-se que a variação da tensão nornalé linear.
ρεσ
ρεσ yEEyEE xx
222
111 −==−==
• Forças elementares na seção são:
dAyEdAdFdAyEdAdFρ
σρ
σ 222
111 −==−==
( ) ( )1
2112 E
EndAnyEdAynEdF =−=−=ρρ
• Define um transformada da seção
xx
x
nI
My
σσσσ
σ
==
−=
21
• Considerando uma viga formada por dois materiais E1 e E2 (compósito)
O eixo neutro não passa através da centróide da seção da seção do centróide
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Capítulo 4
Exemplo 4.2
Bar is made from bonded pieces of steel (Es = 29x106 psi) and brass (Eb = 15x106 psi). Determine the maximum stress in the steel and brass when a moment of 40 kip*in is applied.
SOLUTION:
• Transformar a barra numa seçãoequivalente feita de latão
• Avaliar as propriedades da seçãotransversal da seção transformada
• Calcular a tensão máxima da seçãotransformada. Esta é a máxima tensão dapeça de latão da barra.
• Determinar a máxima tensão na porçãode aço da barra pela multiplicação datensão máxima da seção trransformadapelo o raio e o módulo de elasticidade.
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Capítulo 4
• Avaliar as propriedade da seção transformada( )( )
4
31213
121
in063.5
in 3in. 25.2
=
== hbI T
SOLUTION:• Transformar a barra em uma seção equivalente
feita inteiramente de lãtão.
in 25.2in 4.0in 75.0933.1in 4.0
933.1psi1015psi1029
6
6
=+×+=
=×
×==
T
b
s
b
EEn
• Calcular as tensões máximas( )( ) ksi 85.11
in5.063in 5.1inkip 40
4 =⋅
==I
Mcmσ
( )( ) ksi 85.11933.1max
max×==
=
ms
mb
nσσ
σσ ( )( ) ksi 22.9
ksi 85.11
max
max=
=
s
b
σ
σ
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Capítulo 4
Vigas de concreto armado• Concrete beams subjected to bending moments are
reinforced by steel rods.
• In the transformed section, the cross sectional area of the steel, As, is replaced by the equivalent areanAs where n = Es/Ec.
• To determine the location of the neutral axis,( ) ( )
0
022
21 =−+
=−−
dAnxAnxb
xdAnxbx
ss
s
• The normal stress in the concrete and steel
xsxc
x
nI
My
σσσσ
σ
==
−=
• The steel rods carry the entire tensile load below the neutral surface. The upper part of the concrete beam carries the compressive load.
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