fizk202 d6 gauss kanunu - universe of ali ovgungauss kanunu gausskanunu:tanım qkapalı bir yüzey...
TRANSCRIPT
FİZK 202Ders 6
Gauss Kanunu
Yrd. Doç. Dr. Ali ÖVGÜNDAÜ Fizik Bölümü
www.aovgun.com1
Kaynaklar: -Fizik 2. Cilt (SERWAY) -Fiziğin Temelleri 2.Kitap (HALLIDAY & RESNIK) -Üniversite Fiziği (Cilt 2) (SEARS ve ZEMANSKY)
Gauss Kanunu
Gauss kanunu:Tanım
q Kapalı bir yüzey boyunca toplam elektrik akısı, yüzeydeki net elektrik yükünün e0 a bölümüne eşittir.
q Gauss kanunu Coulomb kanununa eşdeğerdir.
Gauss kanunu : Tanım
qBir yük dağılımını düşünelim•Yüklerle kaplı hayali bir yüzeyle kuşatılmış olsun• Hayali yüzey üzerindeki çeşitli noktalarda elektrik alana bakalım
+ q
E!E
!
E!
Hayali yüzey
0qFE!
!=+ 0q
F! Deneme yükü
• Hayali yüzeydeki yük dağılımını ortaya çıkarmak için, özellikle yüzeydeki elektrik alanı ölçmemiz gerekmektedir.•Bunu yapmak için yük miktarı bilinen bir deneme yükü yerleştirilir ve elektrik kuvvet ölçülür.
Yük ve Elektrik Akısı
q Farklı yüklerin elektrik alanları
+q+ q2+
q-q2-
+ +
-
-
-
Dışa doğru akı
Dışa doğru akı
İçe doğru akı
İçe doğru akı
Yük ve Elektrik Akısı
qElektrik akısı
+q+ q2+
+ +Dışa doğruakı
Dışa doğru akı
+q+ Yüzeye uzaklık iki katına çıktığında
Yüzey alanı dört katına çıkarElektrik alan 1/4 olur.
Yük ve Elektrik Akısı
q Elektrik akısının tanımıYüzeyde küçük bir alan üzerindeki herhangi bir nokta için, yüzeye dik elektrik alan bileşenini ve yüzey alanı bileşenin çarpımını alırız.Böylece yüzey boyunca toplanan bu nicelik net elektrik akısını verir.
•Kapalı bir yüzey boyunca elektrik akısının dışa doğru mu yoksa içe doğru mu olduğu ,yüzeyi kaplayan yükün işaretine bağlıdır.•Yüzeyin dışındaki yükler yüzey boyunca net elektrik akısı vermez.
• Net elektrik akısı yüzeyle kuşatılmış olan net yük miktarıyla doğru Orantılıdır fakat bunu yanında kapalı yüzeyin boyutlarından bağımsızdır.
q Gauss kanununun nitel ifadesi
Elektrik Akısının Hesaplanması
q Hız alan vektörü ile elektrik akı arasındaki analojiAkan sıvı içindeki hız alan vektörü ve elektrik akı arasında iyi bir anoloji kurulabilir.
A (alan)
A! u!
Hız vektörü (akış hızı)Alan düzlemini belirten bir vektör alan,düzleme diktir.
A!
u!
f
Hacim akış oranı: AdtdV uº
Hacim akış oranı:
^
^
=
×===
A
AAAdtdV
u
uufu!!cos
nAAAA !!=== ^^ ;cos;cos ffuu
^uA
Elektrik Akısının Hesaplanması
q Hız alan vektörü ile elektrik akı arasındaki analoji
A (area)
A! E!
Hız vektörü (akış hızı)Bir alanın düzlemini tanımlayan vektör alan düzleme diktir.
A!
f
Elektrik akısı: EAE =F
Elektrik akı:
AAAdtdV !!
×=== ^ uufu cos
ff cos;cos AAEE == ^^
AdtdV uº
AEAEEA!!×===F ^fcos
Hacim akış oranı:
E!
Elektrik Akısının Hesaplanması
q Küçük bir alan unsuru ve Akı
AdEd E
!!×=F
q Bir alan için toplam akı
ò ò òò =×===F=F ^ dAnAdAdEdAEdAEd EE!!!!
;cosf
qÖrnek 22.1: Bir disk boyunca elektrik akısı
E!
A!r = 0.10 m
°= 30f
C/mN5430cos)m4N/C)(0.031100.2(cos
m0314.0m)10.0(
2
23
22
×=
´==F
==°f
p
EAA
E
Elektrik Akısının Hesaplanması
q Örnek 22.2: Bir küp boyunca elektrik akısı
1n2n3n
4n
5n
6nL
E!
221 180cosˆ
1ELELAnEE -=°=×=F
!
222 0cosˆ
2ELELAnEE +=°=×=F
!
090cos26543
=°=F=F=F=F ELEEEE
06
1=F=F å =
=
i
i EE i
Elektrik Akısının Hesaplanması
qÖrnek 22.3: Bir küre boyunca elektrik akısı
+
+q
r=0.20 m
Ad!
q=3.0 µCA=2pr2
C/mN104.3
)(0.20m)N/C)(41075.6(
N/C1075.6(0.20m)
C100.3)C/mN100.9(4
//ˆ//,
25
25E
5
2
6229
20
×´=
´===F
´=
´×´==
=
ò
-
^
p
pe
EAEdA
rqE
AdnEEE!!
Gauss kanunu
q Öncelikle : Herhangi bir kapalı yüzey boyunca toplam elektrik akısı (belirli bir hacimle kaplanan yüzey) yüzeydeki toplam elektrik yüküyle orantılıdır.
q Durum 1: Bir tek pozitif q yükünün alanı
+q+
r=R
E!
E!
204
1RqE
pe=
r=R olan bir küre
at r=R
surface^E!
0
2
0
)4(41
ep
peqR
RqEAE ===F
Akı R yüzey yarıçapından bağımsızdır .
Gauss Kanunuq Durum1: Bir tek pozitif q yükünün alanı
+q+
r=R
r=2R
RE!
RR EE!!
41
2 =
dAdAR =
dAdA R 42 =
Küçük bir küreden geçen her alan çizgisi aynı zamanda daha büyük bir küreden de geçer
Her bir küre boyunca toplam akıaynıdır.
Benzerlik dA gibi yüzeyin her bir parçasıiçin doğrudur.
RR ERRRRRRE ddAEdAEdAEd2224
41
F====F
ò =×=F0eqAdEE
!!
Yükü kaplayan kapalı yüzeyi sağlayan her boyut veya her şekil için bu doğrudur.
Gauss Kanunuq Durum 2: Bir tek pozitif yükün alanı (Genel yüzey)
+q+
E!
dA
+
E!fcosE
EnE=
×=^
!!
fdA
fcosdAYüzeye dik E
!
dAEdAEd E fcos==F ^
ò =×=F0eqAdEE
!!
Gauss kanunuqDurum 3: İçinde yük bulunmayan kapalı bir yüzey
ò =×=F 0AdEE
!!
+
İçeri giren elektrik alan çizgileri, dışarı çıkar.Elektrik alan çizgilerinin alanın bir bölgesinde başlayabilmesi ya da bitebilmesi ancak o bölge içinde yük mevcutken olur.
q Gauss kanunu
Kapalı yüzey boyunca toplam elektrik akı yüzey içindeki net elektrik yükününe0 a bölümüne eşittir
ååò ===×=Fi ii iencl
enclE EEqQQAdE
!!!!,;
0e
Bir başka örnek 22.4
Gauss kanununun uygulamalarıq Tanım
• Yük dağılımı Alan
• Simetri uygulamanın prosedürünü kolaylaştırır.
q Bir iletken üzerindeki yük dağılımını elektrik alanı• Fazla yük katı iletken üzerine yerleşmişken ve sabitken,
tamamen yüzeyde bulunur, bu metalin iç yükü değildir.(fazla yük = metali iletken yapan serbest elektron ve iyonlar dışındaki yüktür.)
İletken içindeki gauss yüzeyi
Yüzeydeki yük
iletken
Gauss kanununun uygulamaları
qİletken üzerindeki yük dağılımının elektrik alanı
İletken içindeki gauss yüzeyi
Yüzeydeki yükler
İletken
•İletken içerisindeki gauss yüzeyi çizilir• Bu yüzeyde her yerde E=0 dır (iletken içinde)• Yüzey içindeki net yük sıfırdır.• Katı iletken içerisinde herhangi bir noktada hiçbir fazla yük olmayabilir.• Her bir fazla yük iletken yüzeyinde bulunmalıdır.• Yüzeydeki E yüzeye diktir.
Gauss kanunu
İletken metal içerisinde her noktadaki elektrik alanbir elektrostatik konumda sıfırdır. (bütün yükler hareketsizdir).Şayet E sıfır olmasaydı, yükler hareket ederdi.
Sayfa 84 deki problem çözüm stratejisini okuyun
Gauss kanununun uygulamaları
qörnek 22.5: Yüklü iletken kürenin alanı
+
+
+
+
+ +
++
R
R 2R 3R
Gauss yüzeyi
0: =< ERr!
:rR < Küre dışında bir Gauss yüzeyi çizilir
204
1:RqERr
pe==
204
1RqER pe
=
4/RE9/RE
Gauss kanununun uygulamaları
q Örnek 22.6: Çizgi yükün alanı
Çizgi yük yoğunluğu
Simetriye göre seçilen Gauss yüzeyiEEE =^,!
Ad!
l!=enclQ
0
)2(elp !
! ==F rEE
rE l
pe021
=
Gauss kanununun uygulamaları
qÖrnek 22.7: Yüklü sonsuz düzgün bir levhanın alanı
+++
+
+
++++ +
+
Gauss yüzeyi
E! E
!
AQencl s=
0
)(2esAEAE ==F
02es
=E
İki sonlu yüzey
Gauss kanununun uygulamaları
q Örnek 22.8: Zıt yüklü paralel iletken plakalar arasındaki alan
+++++++++
---------
plate 1 plate 22E!
1E!
1E!
1E!
E!
2E!
2E!
ab
cS1
S2 S3
S4
Çözüm 1:
Bu yüzeyler üzerinde elektrik akı yok
Çözüm 2:
İçe doğru akı
Dışa doğru akı
Noktada a : 02121
!!!!!!=+=®-= EEEEE
b :
c :00
21 22
es
es
==®= EEE!!!
02121
!!!!!!=+=®-= EEEEE
Gauss kanununun uygulamaları
qÖrnek 22.9: Düzgün bir şekilde yüklü kürenin alanıGauss yüzeyi
r=R
R
+++
+
+ +
++
+ +
+
+0
3 /)34(: epr rEARr =<
30
032
41
/)34()4(
RQrE
rrE
pe
eprp
=®
=
204
1:RQERr
pe==
20
0
2
41
)4(:
rQE
QrErR
pe
ep
=®
=<
Gauss kanununun uygulamaları
qÖrnek 22.10: Yüklü içi boş kürenin alanı
R=0.250 m
r=0.300 m
E!
İçi boş yüklü küre
N/C1080.1 2´=E
nC801.0)4(
)4(
20
0
2
-=-=
=-==F
-=
ò ^
^
rEq
qrEdAE
EE
E
pe
ep
Gauss yüzeyi
İletkenler üzerindeki yükler
q Durum 1: Katı iletken üzerindeki yük elektrostatik bir durumdakiİletken yüzeyinde bulunur.
+ +++
++++++
+++ + + +
qDurum 2: Oyulmuş iletken üzerindeki yük
+ +++
++++++
+++ + + + Gauss yüzeyi
İletken içerisinde her noktada elektrik alan sıfırdır veKatı iletken üzerindeki her bir fazla yükonun yüzeyi üzerine yerleşir.
Oyuk içinde yük yoksa, oyuk yüzey üzerindeki net yük sıfırdır.
İletkenler üzerindeki yükler
qDurum 3: Oyuklu bir iletkenin yükü ve oyuk içindeki q yükü
+ +++
++++++
+++ + + +
Gauss yüzeyi
+-- - ----
•İletken yüklenmemiştir ve q yükünden yalıtılmıştır.
•Gauss yüzeyindeki toplam yük Gauss kuralı ve yüzeyde E=0 olduğundan sıfır olmalıdır.Bu yüzden boşluğun yüzeyinde yüzeye dağılmış –q yükü olmalıdır
•Benzer tartışma başlangıçta qC yüküne sahip iletken durumu için kullanılabilir.Bu durumda dış yüzeydeki toplam yük oyuk içine koyulan q yükünden sonraq+qC olmalıdır
İletkenler üzerindeki yüklerq Faraday ın buz kovası deneyi
iletken
Yüklü iletken top
(1) Faraday yüksüz metal buz kovası(metal kova) ve yüksüz elektroskop ile işe başladı
(2) Daha sonra, dikkatli bir şekilde kovanın yanlarına dokundurmadan buz kova içerisine metal topu sarkıttı. Elektroskop’ un yaprakları ayrıldı.Bununla birlikte, ayrılma derecesi metal topun yerleşiminden bağımsızdır. Sadece metal top tamamen geri çekildiğinde yaprakları eski pozisyonuna geri döner.
İletkenler üzerindeki yükler
q Faraday ın buz kovası deneyi
iletken
Yüklü iletken top
(3) Faraday şayet metal topun buz kovanın yüzeyi içine kontak etmesine müsaade edilseydi elektroskop’un yapraklarının ayrı kalacağına dikkat çekti.
(4) Daha sonra , buz kova içerisinden topu tamamen çıkardığında, yapraklar ayrı kaldı. Bununla birlikte, metal top artık yüksüzdür.
Bunun için küreye dıştan bağlı olan elektroskobun yaprakları, top kürenin içerisine dokundurulduğunda, hareket etmedi , böylece Faraday topu nötürleştirmek için içyüzeyin yeterince yüke sahip olduğunu buldu.
İletkenler üzerindeki yükler
q Bir İletken yüzeyindeki alan
• İletken dışındaki elektrik alanın büyüklüğü s /e0dır ve yüzeye dik yönlendirilmiştir.
İletken içine ilerleyen küçük bir hap kutu çizilir.içerde alan olmadığı için , bütün akılar üsttaraftan çıkar.
EA=q/e0= sA/ e0,
E= s / e0
Alıştırmalar
q Alıştırma 1
Alıştırmalar
q Alıştırma 1
Alıştırmalar
qAlıştırma 2: Bir küre ve bir iletken kabuk
R1
R2
Q1
Q2Q2=-3Q1 • Gauss kanunundan iletken içerisinde net yük olmaz,
ve yük küre yüzeyi dışında bulunmalıdır.
• Küre içinde net yük olmaz.Bu yüzden kabuk yüzeyine –Q1 net yükü götürülmelidir ve yüzeyin dışına +Q1+Q2 net yükü götürülmelidir. Böylecekabuk üzerinde net yük Q2 ye eşittir. Bu yükler düzenli bir şekilde dağılır.
22
122
1222
1
42
44 RQ
RQQ
RQ
outerinner pps
ps -
=+
=-=
Alıştırmalar
qAlıştırma 2: Bir küre ve bir iletken kabuk
R1
R2
Q1
Q2Q2=-3Q1
rrQkr
rQQkErR
rrQkERrR
ERr
ˆ2ˆ:
ˆ:
0:
21
221
2
21
21
1
-=+
=<
=<<
=<
!
!
!
Alıştırmalar
qAlıştırma 3: Silindir
l
sdış
R
siç
h
stoplam
Sonsuz bir çizgi yük yarıçapı R olan içi boş yüklü iletken sonsuz bir silindiriksel kabuğun tam olarak ortasından geçer. Şimdi uzunluğu h olan silindirik kabuğun bir parçasına odaklanalım. Çizgi yük l lineer yük yoğunluğuna sahiptir, ve silindirik kabuk stotal yüzey yük yoğunluğuna sahiptir.
Alıştırmalar
qAlıştırma 3: Silindir
l
sdış
R
siç
h
stoplam
Silindirik kabuk içinde elektrik alan sıfırdır. Bu yüzden silindirde silindir kabuk içinde bulunan bir gauss yüzeyi seçersek , kuşatılmış net yük sıfır olur. Çizgi boyunca dış yükü dengelemek için silindir duvar içinde bir yüzey yük yoğunluğu mevcuttur.
Alıştırmalar
q Alıştırma 3: Silindir
l
sdış
R
siç
h
stoplam
•Çizgi yükün kuşatılmış parçası ( h uzunluğu) üzerindeki toplam yük :
• İletken silindir kabuğun yüzeyi içindeki yük:
hlhQinner l-=
RRhh
inner pl
pls
22-=
-=
Alıştırmalar
q Alıştırma 3: Silinidir
l
sdış
R
siç
h
stoplam
• Silindir üzerindeki net yük yoğunluğu:
•Harici yük yoğunluğu :
totals
Rtotalinnertotalouter plssss2
+=-=
outers
Alıştırmalar
q Alıştırma 3: Silindir
l
sdış
R
siç
h
stotal
• r (>R) yarıçaplı çizgi yükle çevrelenen Gauss yüzeyini çizelim;
Rrfor2
,200
<=®==r
EhqqrhE renclencl
r pell
ep
Alıştırmalar
qAlıştırma 3: Silindir
l
sdış
R
siç
h
stotal
•r (>R) yarıçaplı çizgi yükle çevrelenen Gauss yüzeyini çizelim;
Rrfor2
,2000
>+=®+==rr
REhQqqrhE totalrencl
enclr pe
lesl
ep
•Çizgi üzerindeki net yük: kabuk boyunca net yük:hl totalRhQ sp2=