I. MEHĀNIKA Ievads.

1. Vienību sistēma.

Fizikālo lielumu vienmēr novērtē ar skaitli šim lielumam pieņemtajās vienībās. Galveno fizikālo lielumu etalonu – vienību izvēli reglamentē vienību sistēma. Protams, dažādiem mērķiem un vajadzībām var lietot un arī lieto atšķirīgas vienības. Taču fizikas politehniskais raksturs visos tajos gadījumos, kuros izpaužas fizikas tiešs sakars ar tehniku vai ar citām zinātņu jomām, rada nepieciešamību lietot vienotu, internacionālu vienību sistēmu. Tā ir obligāta arī fizikas pamatu mācīšanā. Starptautiskajā vienību sistēmā (SI), kas pieņemta XI Mēru un svaru ģenerālajā konferencē 1960. gadā, ir pamatvienības (1. tabula) un atvasinātās vienības (galvenās no tām dotas 2. tabulā). Pieļaujāmi arī SI vienību decimāldaudzkārtņi un decimāldaļas (3. tabulā). Atsevišķos gadījumos un specifiskās jomās tiek lietotas vēl arī ārpussistēmas vienības, piemēram, enerģijai - elektronvolts (eV), spēkam – spēka kilograms (kgf), spiedienam – dzīvsudraba staba milimetri (mm Hg) u. c. 1. tabula. SI sistēmas pamatvienības.

Lielums Nosaukums Apzīmējums

Garums metrs m Masa kilograms kg Laiks sekunde s Strāvas stiprums ampērs A Temperatūra kelvins K Gaismas stiprums kandela cd Vielas daudzums mols mol Papildvienības

Plaknes leņķis radiāns rad Telpisks leņķis steradiāns sr

2. tabula. SI sistēmas atvasinātās vienības.

Lielums Nosaukums Apzīmējums

Spēks ņūtons N Spiediens paskāls Pa Enerģija, darbs džouls J Jauda vats W Elektriskais lādiņš kulons C Spriegums, potenciāls volts V Elektriskā kapacitāte farads F Elektriskā pretestība oms Ω Elektriskā vadītspēja sīmenss S Magnētiskā plūsma vēbers Wb Magnētiskā indukcija tesla T Induktivitāte henrijs H Gaismas plūsma lūmens lm Apgaismojums lukss lx 3. tabula. SI sistēmas decimāldaudzkārtņi un decimāldaļas. Priedēklis Skaitliskā vērtība Apzīmējums

jokto- 10-24 y zepto- 10-21 z atto- 10-18 a femto- 10-15 f piko- 10-12 p nano- 10-9 n mikro- 10-6 μ mili- 10-3 m centi 10-2 c deci 10-1 d deka- 101 da hekto 102 h kilo- 103 k mega- 106 M giga- 109 G tera- 1012 T

4

peta- 1015 P eksa- 1018 E zeta- 1021 Z jota- 1024 Y

2. Skalāri un vektoriali lielumi. Ja fizikāla lieluma vērtība ir skaitlis, tad šādu lielumu sauc par skalāru. Piemēram, ķermeņa masa ir nenegatīvs skaitlis. Vispārīgā gadījumā skalāra skaitliskā vērtība var būt arī negatīvs skaitlis. Šāda skalāra piemērs ir ķermeņa temperatūra Celsija skalā. Darbības ar skalāriem fizikāliem lielumiem ir darbības ar reāliem skaitļiem. Dažkārt fizikāla lieluma vērtību nevar viennozīmīgi raksturot ar vienu reālu skaitli, bet tā ″vērtība″ ir jānosaka ar skaitļu kopu. Fizikā lieto vairākas šādas komplicētākas matemātiskās struktūras. Šajā grāmatā, kā arī elementārās fizikas kursā jāsastopas tikai ar vienu šādu struktūru – vektoru. Pastāv vairākas ekvivalentas iespējas, kā definēt vektoru. Fizikā plaši sastopams šāds vektora apraksts: vektori ir telpā orientēti nogriežņi, ar kuriem ″drīkst″ izpildīt noteiktas ģeometriskas operācijas – darbības. Šīs darbības noskaidro vektoru algebra. Ģeometrijā galvenokārt jāsastopas tikai ar vienu vektoru saimes ″pārstāvi″ - pārvietojuma vektoru sr . Fizikā bez pārvietojuma vektora un ar to saistītajiem kinemātikas vektoriem – ātruma un paātrinājuma jāsastopas vēl arī ar citiem vektoriem, piemēram, elektriskā

lauka intensitātes vektoru

sr vr

ar

Er

, magnētiskā lauka indukcijas vektoru Br

, dažādu momentu vektoriem u. c.

3. Darbības ar vektoriem.

1. Att

O

ax

X

Y ay

az

Z

ar

Neatkarīgi no vektoru konkrētās fizikālās jēgas darbības ar tiem vienmēr ir jāizpilda pēc vieniem un tiem pašiem likumiem. 3.1. Vektoru parasti apzīmē ar kādu latīņu alfabēta burtu, virs kura liek ″vektora zīmi″ -

5

bultiņu, piemēram, FAarrr ,, . Ar šo

apzīmējumu saprot, ka ir dots gan vektora virziens telpā, gan arī vektora – orientētā nogriežņa garums jeb vektora modulis. Vektora modulim lieto

apzīmējumus FAarrr ,,

vai tiem ekvivalentus apzīmējumus a, A, F.

2. Att.

b ar

ba

α

3.2. Koordinātu sistēmā vektoru uzdod ar tā koordinātām. Vektoram telpā ir trīs koordinātas. Piemēram, vektora ar koordinātas Dekarta koordinātu sistēmā ir skaitļi ax, ay, az, kurus ar vektora moduli a saista sakarība

222zyx aaaa ++=

(1. Att.). Vektoram plaknē ir divas koordinātas, bet uz taisnes - viena koordināta. 3.3. Doto vektoru var projicēt uz jebkuru izraudzītu staru telpā. Vektora a projekcija uz staru b ir skaitlis

r

αcos⋅= aab , kur α ir leņķis, ko veido

vektora un stara virzieni (2. Att.). Vektora ar koordinātas ir šī vektora projekcijas uz taisnleņķa koordinātu asīm x, y, z. r

zyx aaa ,,

3.4. Vektoru un b summa ir

vektors , kura virzienu un moduli nosaka pēc trijstūra vai paralelograma likuma (3. Att.). Saskaņā ar šo likumu saskaitīt (arī atņemt) var tikai tādus vektorus, kurus ir ″atļauts″ pārvietot telpā pašiem vektoriem paralēli, ja vien to pielikšanas punkti jau nesakrīt.

ar

bacrrr

+=

3. Att

br

ar

cr

ar

cr

3.5. Vektoru un starpība

ir vektora

ar br

bacrrr

−= ar un

vektoram br

pretēja vektora -

6

br

summa: (4. Att.).

)( bacrrr

−+=

3.6. Triju, pa pāriem perpendikulāru vienības vektoru sistēmu , kur kji

rrr,,

1=== kjirrr

, sauc par

taisnleņķa bāzi jeb ortogonālu bāzi telpā (5. Att.). Šajā bāzē jebkuru vektoru var uzrakstīt kā triju vektoru summu

.

ar

zyx akajaiarrrr

++=

ar

br

−

br

4. Att

cr

3.7. Katru telpas punktu Dekarta ortogonālajā koordinātu sistēmā viennozīmīgi nosaka šī punkta rādiusvektors zkyjxir

rrrr++= ,

kur x, y, z ir punkta koordinātas. Katram rādiusvektoram savukārt viennozīmīgi atbilst viens punkts telpā. Šis apstāklis matemātikā ļauj lietot divējādu valodu, piemēram, punkta koordinātu funkciju f(x, y, z) var interpretēt arī kā vektora rr funkciju ).(rf r

x

y

z

kr

jr

ir

M(x;y;z)

rrz y

x

3.8. Jāievēro, ka viendimensionālā gadījumā (uz koordinātu taisnes) faktiski nav atšķirības starp punkta rādiusvektoru xir

rr= un punkta

koordinātu x. Skalārais lielums x un vektors rr ir viennozīmīgi noteikti ar vienu un to pašu skaitli. 3.9. Divu vektoru un bar

r

skalārais reizinājums barr⋅ ir

skaitlis (skalārs lielums): , kur α - leņķis αcos⋅⋅=⋅ baba

rr

ar

brα

6. Att

5. Att

7

starp abu vektoru virzieniem. Skalārajam reizinājumam ir pareiza arī šāda formula

zzyyxx babababa ⋅+⋅+⋅=⋅rr

, kur az, ay, az un bx, by, bz ir vektoru

un br

koordinātas (6. Att.). arar

α αsinab

br

cr

7. Att

3.10. Divu vektoru un barr

vektoriālais reizinājums ir vektors r

. Vektora c moduli aprēķina pēc šādas formulas:

bac rr×=

r

αsin⋅⋅= bacr , kur α ir leņķis starp vektoriem. Jāievēro, ka c ir skaitliski vienāds ar tāda paralelograma laukumu, kurš konstruēts uz vektoriem a un

r br

. Vektoriālā reizinājuma vektors ir orientēts perpendikulāri plaknei, kurā atrodas vektori un ar b

r. Tā

vērsumu nosaka pēc labās vītnes skrūves vai vārpsta likuma: ja pieņem, ka ar vektoru saistīta skrūve tiek griezta tā, ka šis vektors novirzās paralēli vektoram

pa īsāko loku, tad vektors

ar

br

cr ir vērsts skrūves kustības virzienā (7. Att.). 3.11. Fizikā jāsastopas ar triju veidu vektoriem – brīviem, slīdošiem un saistītiem. Vektors ir brīvs, ja to ″drīkst″ pārvietot telpā pašam vektoram paralēli. Vektors ir slīdošs, ja to var pārvietot pa taisni, uz kuras tas atrodas. Ja vektora pielikšanas punkts ir viennozīmīgi noteikts, tad vektors ir saistīts (8. Att.).

Brīvs vektors

Slīdošs vektors

Saistīts vektors

8. Att

8

4. Funkcijas fizikā. Funkcija ir definēta (uzdota), ja ir dotas divas kopas X un Y un piekārtojuma likums (algoritms), ar kuru katram kopas X elementam tiek piekārtots viens kopas Y elements. Piekārtojuma likumu parasti apzīmē ar burtu f, F, G. Kopu X sauc par funkcijas definīcijas kopu, bet kopu Y – par funkcijas vērtību kopu. Definīcijas kopas brīvi izraudzītu elementu x sauc par funkcijas argumentu (tas var būt skaitlis, vektors, punkts u. tml.). ja piekārtojuma likums ir apzīmēts ar burtu f, tad simbols f(x) nozīmē funkcijas vērtību, kas argumenta vērtībai x. Aprakstot fizikālu parādību vai procesu matemātiski, izmanto dažādas funkcijas. Fizikā gandrīz vienmēr lieto funkcijas, kas ir uzdotas analītiski (ar formulām) vai grafiski. Parasti fizikā sastopamajām funkcijām definīcijas un vērtību kopas pat neuzrāda, jo allaž no fizikālajiem apsvērumiem ir skaidrs, kādām argumenta vērtībām funkcija ir definēta un kāda ir tās vērtību kopa. Tāpēc arī gan funkciju (piekārtojuma likumu), gan tās vērtību parasti apzīmē ar vienu un to pašu simbolu f(x). Ja, piemēram, materiāla punkta koordināta x ir laika t funkcija, tad raksta, ka x = x(t). Šādā pierakstā tiek akcentēts, ka katram laika momentam t atbilst noteikta koordināta x. Fizikas pamatkursā ir sastopamas šādas funkcijas: viena argumenta skalāras funkcijas, vairāku argumentu vai vektora skalāras funkcijas, viena argumenta vektorfunkcijas un vairāku argumentu vektorfunkcijas. Īsi raksturosim tās. 4.1. Funkciju (arī argumentu) sauc par skalāru, ja tās vērtības ir skalāra lieluma vērtības. Piemēram, virs Zemes pacelta ķermeņa potenciālā enerģija W = mgh ir skalāra funkcija, kuras vērtības ir atkarīgas no argumenta – augstuma h. Ja ķermeņa temperatūra ir atkarīga no tā punktu koordinātām x, y, z, tad T = T(x, y, z) jeb )(rTT r

= ir triju argumentu skalāra funkcija. 4.2. Skalāra argumenta vektorfunkcija ir vektors. Piemēram, ja materiāls punkts kustas telpā un tā rādiusvektors rr ir atkarīgs no laika t, tad )(trr rr

= ir šāda vektorfunkcija. Tā kā katru vektoru telpā nosaka tā trīs koordinātas, tad vektorfunkcija )(trr rr

= ir uzdota, ja ir dotas trīs skalāras funkcijas x = x(t); y = y(t) un z = z(t). Tāpēc vektorfunkciju )(trr rr

= Dekarta ortogonālajā bāzē

kjirrr

,, var uzrakstīt šādi: ).()()()( tzktyjtxitrrrrr

++= Cits skalāra

9

argumenta vektorfunkcijas piemērs ir punkta momentānais ātrums atkarībā no laika: ).(tvv rr

=

5. Viena argumenta skalāras funkcijas pieaugums, atvasinājums un diferenciālis.

Praktiski visi fizikālie lielumi ir mainīgi, un tāpēc tos lietderīgi raksturot ar funkcijām. 5.1. Fizikā bieži aplūko funkcijas f(t), kuru arguments ir laiks t. Tādēļ aplūkosim tieši šo gadījumu. Starpību Δf(t0) = f(t0+Δt)-f(t0) sauc par funkcijas pieaugumu. Funkcijas pieaugums parāda, par cik mainās funkcijas vērtība, laikam mainoties no t0 līdz t0+Δt, Δt ir argumenta pieaugums (9. Att.).

f(t)

5.2. Robeža ttf

ttfttf

tt ΔΔ

=Δ

−Δ+

→Δ→Δ

)()()( 0

0

00

0limlim ir funkcijas

atvasinājums laika momentā t0. Atvasinājumu apzīmē ar vienu no šādiem simboliem:

( ) ( )dtdf

dttdf

tf ;; 00′ ⎪ . Atvasinājums f′(t

0tt=0) ir skaitliski vienāds ar tās

pieskares virziena koeficientu (9. zīm.), kura novilkta funkcijas grafika punktā M(t0; f(t0)), t. i., f′(to) = tgα. 5.3. Ja funkcijas atvasinājumu aplūko nevis kādā noteiktā laika momentā t0, bet jebkurā momentā t, tad iegūst jaunu funkciju f′(t), kuru sauc par atvasināto funkciju. Atvasinot funkciju f′(t) vēlreiz, iegūst funkcijas f(t) otrās kārtas atvasināto funkciju f′′(t) utt. 5.4. Par funkcijas f(t) diferenciāli sauc reizinājumu f′(t)Δt. Diferenciāli apzīmē ar simbolu df(t). Vienveidības labad arī argumenta pieaugumu Δt

t0 t

f(t0+Δt)f(t0)

O t0+Δt

9. Att

M

10

apzīmē ar simbolu dt, un to sauc par argumenta diferenciāli. Tādējādi funkcijas diferenciālis uzrakstāms šādi: df(t) = f′(t)dt. Katrā fiksētā punktā t0 funkcijas diferenciālis ir šīs funkcijas argumenta lineāra funkcija. Mazām dt vērtībām df(t0) = f′(t)dt ≈ f(t0+dt)-f(t0). 5.5. Laika momentā t0 funkcijas f(t) atvasinājums f′(t0) ir šīs funkcijas izmaiņas momentānais ātrums. Tiešām, ja f(t) ir kāda fizikālā lieluma vērtības, tad starpība f(t0+Δt)-f(t0) rāda, par cik mainījusies šī vērtība, pārejot no laika

momenta t0 uz laika momentu t0+Δt. Attiecība t

tfttfΔ

−Δ+ )()( 00 nozīmē

izmaiņu vienā laika vienībā, un tā ir atbilstošā fizikālā lieluma izmaiņas vidējais ātrums laika intervālā [t0; t0+Δt]. Tādā gadījumā robeža

ttfttf

t Δ−Δ+

→Δ

)()(lim 00

0 ir momentānais ātrums f′(t).

6. Integrālis.

Izšķir nenoteiktā un noteiktā integrāļa jēdzienu, un tos definē ar funkcijas f(t) primitīvo funkciju. 6.1 Par funkcijas f(t) primitīvo funkciju F(t) sauc funkciju, kurai visiem t ir spēkā šāda vienādība: F′(t) = f(t). Dotās funkcijas f(t) visu iespējamo primitīvo funkciju kopu sauc par funkcijas f(t) nenoteikto integrāli un apzīmē ar simbolu

. Funkcijas f(t) jebkuras divas primitīvās funkcijas atšķiras tikai par

konstantu saskaitāmo, un tātad

∫ dttf )(

∫ += CtFdttf )()( , kur F(t) ir viena

primitīvā funkcija, bet C – brīvi izraudzīta konstante. 6.2 Par funkcijas f(t) noteikto intēgrāli intervālā [a; b] sauc šīs funkcijas primitīvās funkcijas pieaugumu F(b) – F(a). Funkcijas noteikto integrāli

apzīmē ar simbolu . Tātad pēc definīcijas

, kur F ir kāda no funkcijas f primitīvajām

funkcijām. Šo formulu sauc par Ņūtona – Leibnica formulu.

∫b

a

dttf )(

∫ −=b

a

aFbFdttf )()()(

6.3 Fizikā parasti lieto citu, ekvivalentu noteiktā integrāļa definīciju. To iegūst šādi. Intervālu [a; b] sadalīsim n daļās ar dalījuma punktiem a ≤ t0 < t1

11

… < tn-1 < tn = b un aplūkosim summu f(α1)(t1-t0)+f(α2)(t2-t1) + … + f(αn)(tn –

tn-1) = , kurā α∑ Δn

iii tf )(α i ir brīvi izraudzīts punkts intervālā [ti-1; ti].

Par funkcijas f(t) noteikto integrāli intervālā [a; b] sauc

robežu ,

kur λ = max Δt

∑=→

Δn

iii tf

10)(lim α

λ

i; i = 1, 2, … , n. 6.4 Ja visos intervāla [a; b] punktos funkcija f(t) > 0, tad

skaitliski vienāds

ar līklīnijas trapeces laukumu, t. i., ar tās figūras laukumu, kuru ierobežo funkcijas f(t) grafiks, t ass, kā arī taišņu t = a un t = b nogriežņi (10. Att.).

∫b

a

dttf )(

∫b

adttf )(

t = a t = b

f(t)

t O

a b

10. Att

4. tabula. Dažas svarīgākās atvasināšanas un integrēšanas formulas.

Funkcija f(t) tα at et sin t cos t sin ω⋅t cos ω⋅t

Atvasinā-jums α tα-1 at lna et cos t - sin t -ω cos ω⋅t -ω sin ω⋅t

Primitīvā funkcija 1

1

+

+

α

αt a

at

ln et - cos t sin t

ωω t⋅

−cos

ωω t⋅sin

7. Metodiski norādījumi uzdevumu risināšanā. Lai atrisinātu uzdevumu, vispirms jānoskaidro, kādas fizikālas likumsakarības ir dotā uzdevuma pamatā. Tad pēc formulām, kas izsaka šīs likumsakarības, jāatrod uzdevuma atrisinājums vispārīgā veidā. Pēc tam var pāriet pie skaitlisko lielumu ievietošanas, kuriem noteikti jābūt izteiktiem vienā

12

un tajā pašā mērvienību sistēmā. Vienlaikus ar Starptautiskās sistēmas mērvienībām praksē un literatūrā sastopamas citu sistēmu, kā arī ārpussistēmas mērvienības. Tāpēc uzdevumu nosacījumos skaitliskie lielumi ne vienmēr doti SI sistēmas mērvienībās. Sakarības starp Starptautiskās sistēmas mērvienībām, ārpussistēmas, kā arī citu sistēmu mērvienībām dotas tabulās katras nodaļas sākumā. Uzdevumu risināšanai SI sistēmā visi lielumi, kas doti uzdevumu nosacījumos, kā arī no Pielikuma tabulām ņemtie lielumi, jāpārvērš SI sistēmas mērvienībās. Protams, arī atbildi tādā gadījumā iegūst šās sistēmas mērvienībās. Dažkārt nav nepieciešams visus lielumus izteikt vienā un tajā pašā mērvienību sistēmā. Tā, piemēram, ja formulā kāds fizikāls lielums ir par reizinātāju skaitītājā un saucējā, tad, acīm redzot, ir svarīgi nevis tas, kadās mērvienībās šis lielums izteikts, bet gan tas, ka šīs mērvienības ir vienādas. Atrodot skaitlisko atbildi, jāpievērš uzmanība galīgā rezultāta precizitātes pakāpei. Atbildes precizitāte nedrīkst pārsniegt precizitāti, kāda ir dotajiem lielumiem. Tūlīt pēc burtu aizstāšanas ar skaitļiem skaitliskajai atbildei jāpieraksta mērvienība. Uzdevumos, kuros nepieciešama grafika, jāizraugās mērogs un koordinātu sākums. Grafikā noteikti jānorāda mērogs. Mehānisko lielumu mērvienības Atsevišķos gadījumos tiek lietotas dažādas ārpussistēmas mērvienības. 5. tabulā dotas sakarības starp dažām starptautiskās sistēmas mehānisko lielumu mērvienībam un citu sistēmu mērvienībām un ārpussistēmas mērvienībām.

13

5. tabula. Mehānisko lielumu mērvienības.

Lielums Mērvienība un tās sakarība ar SI sistēmas mērvienībām

Garums 1 centimetrs (cm) = 10-2 m 1 mikrometrs (mikrons); 1 μm = 10-6 m 1 angstrēms (Å) = 10-10 m

Masa 1 grams (g) = 10-3 kg 1 tonna (t) = 103 kg 1 centners (c) = 102 kg 1 atomārā masas vienība (1 u) = 1.66⋅10-27 kg

Leņķis 1 grāds (°) =

180π

rad

1 minūte (′) = 210108

−⋅π

rad

1 sekunde (′′) = 310648

−⋅π

rad

1 apgrieziens (apgr) = 2π rad

Laukums

1 ārs (a) = 100 m2

1 hektārs (ha) = 104 m Tilpums

1 litrs (l) = 1.000028⋅10-3 m3

Spēks 1 dins (dyn) = 10-5 N 1 spēka kilograms (kgf) = 9.81 N 1 spēka tonna (tf) = 9.81⋅103 N

14

Lielums

Mērvienība un tās sakarība ar SI sistēmas mērvienībām

Spiediens 1 2cm

dyn = 0.1 N/m2

1 kgf/m2 = 9.81 N/m2

1 mm dzīvsudraba staba (mm Hg) = 133.0 N/m2

1 mm ūdens staba (mm H2O) = 9.81 N/m2

1 tehniskā atmosfēra (at) = 1 kgf/cm2 = 0.981⋅105 N/m2

1 fiziskā atmosfēra (atm) = 1.013⋅105 N/m2

Darbs, enerģija, siltuma daudzums

1 erg = 10-7 J 1 kgfm = 9.81 J 1 vatstunda (Wh) = 3.6⋅103 J 1 elektonvolts (eV) = 1.6⋅10-19 J 1 kalorija (cal) = 4.19 J 1 kilokalorija (kcal) = 4.19⋅103 J 1 fiziskā litratmosfēra (l⋅atm) = 1.01⋅102 J 1 tehniskā litratmosfēra (l⋅at) = 98.1 J

Jauda 1

serg

= 10-7 W

1 spēka kilogrammetrs sekundē ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

skgf

= 9.81 W

1 zirgspēja (ZS) = 75 s

kgf = 736 W

Dinamiskā viskozitāte

1 puāzs (P) = 0.1 sm

kgm

sN⋅

=⋅ 1.02

Kinemātiskā viskozitāte 1 stokss (St) = 10-4 m2/s

15

1. Kinemātika. Vispārīgā gadījumā taisnvirziena kustības ātrums

,dtdsv =

paātrinājums

.2

2

dtsd

dtdva ==

Vienmērīgas taisnvirziena kustības gadījumā

consttsv ==

un a = 0. Vienmērīgi mainīgas taisnvirziena kustības gadījumā

,2

2

0attvs +=

,0 atvv += a = const. Šajos vienādojumos paātrinājums a ir pozitīvs, ja kustība ir vienmērīgi paātrināta, un negatīvs, ja kustība ir vienmērīgi palēnināta. Līklīnijas kustības gadījumā pilnais paātrinājums

,22nt aaa +=

kur at – tangenciālais paātrinājums un an – normālais (centrtieces) paātrinājums, pie tam

222zyx

zzyyxxt

vvv

avavavdtdva

++

++== un

Rvan

2

= ,

kur v – kustības ātrums un R – trajektorijas liekuma rādiuss dotajā punktā. Vispārīgā gadījumā rotācijas kustības leņķiskais ātrums

,dtdϕω =

bet leņķiskais paātrinājums

16

2

2

dtd

dtd ϕωε == .

Vienmērīgas rotācijas kustības gadījumā leņķiskais ātrums

υππϕω ⋅⋅=⋅

== 22Tt

,

kur T – rotācijas periods, υ - rotācijas frekvence, t. i., apgriezienu skaits laika vienībā. Leņķisko ātrumu ω un lineāro ātrumu v saista sakarība v = ω⋅ R. Rotācijas kustības tangenciālo un normālo paātrinājumu var izteikt šādā veidā:

,

,2 Ra

Ra

n

t

⋅=

⋅=

ω

ε

6. tabulā salīdzināti translācijas kustības vienādojumi ar rotācijas kustības vienādojumiem. 6. tabula.

Translācijas kustība Rotācijas kustība Vienmērīga

tvs ⋅= t⋅= ωϕ v = const ω = const

a = 0 ε = 0 Vienmērīgi mainīga

2

20

attvs += 2

20

tt ⋅+=εωϕ

v= v0 + at ω = ω0t+εt a = const ε = const

Nevienmērīga

s = f(t) ϕ = f(t)

dtdsv =

dtdϕω =

2

2

dtsd

dtdva == 2

2

dtd

dtd ϕωε ==

17

Uzdevumu risināšanas piemēri. Slīpi pret horizontu sviesta ķermeņa kustība. Ķermeņi izsviež ar ātrumu v0 = 15 m/s virzienā, kas ar horizontu veido leņķi α = 30°. Aprēķināt: ķermeņa trajektorijas liekuma rādiusu; normālo un tangenciālo paātrinājumu 0.5 s pēs kustības sākuma. Gaisa pretestību neievērot. Dots: v0 = 15 m/s α = 30° t = 0.5 s R - ? an - ? at - ?

y

v0y

vx

α

v0

at

vyv

ϕ•A vy = 0

vx

an

ϕ

g x

Zīm. 1-1.

A t r i s i n ā j u m s. Ja ķermenis izsviests leņķī α pret horizontu, tad tā kustību var sadalīt divos posmos: 1) ķermeņa kustība līdz augstākajam punktam A (skat. 1-1. zīm), 2) ķermeņa kustība, ja tas izsviests no punkta A horizontālajā virzienā ar ātrumu vx=v0cosα.

Vispirms jākonstatē, kurā trajektorijas punktā ķermenis atradīsies pēc 0.5 s. Pielietojot kustības neatkarības likumu, v0 var sadalīt komponentēs: a) vienmērīga taisnvirziena kustība horizontālā virzienā ar ātrumu

vx=v0cosα; b) vienmērīgi palēnināta taisnvirziena kustība ar paātrinājumu g, kas vērsta

vertikāli augšup ar ātrumu vy=v0sinα - gt. Tā kā trajektorijas augstākajā punktā vy = 0, tad atrod laiku, kādā ķermenis sasniedz trajektorijas augstāko punktu A:

75.0sin0

1 ==g

vt

α s.

18

No šejienes redzams, ka momentā t = 0.5 s ķermenis atrodas trajektorijas 1.daļā. Zīmējumā 1-1. redzams, ka

ga

vv ty ==ϕsin

ga

vv nx ==ϕcos

tad 22

0 cos

yx

xn

vv

gvvgv

a+

==α

un

( )

.sin

22

0

yx

yt

vv

gtvgv

gva

+

−==

α

Tā kā

Rvan

2

=

tad ( )

.cos0

22222

αgv

vvvv

avR yxyx

n

++==

Skaitliskais rezultāts:

( ) ( )

22286.9

5.0105.01587.015

1087.015s

man =⋅−⋅+⋅

⋅⋅=

( ) ( )

22288.1

5.0105.01587.015

10)5.0105.015(s

mat −=⋅−⋅+⋅

−⋅−⋅=

( ) ( )( ) mR 7.17

1587.0105.0105.01087.015 2

322

=⋅⋅

⋅−⋅+⋅=

1-1. Cik ilgā laikā ķermeņa ātrums no 8 m/s var samazināties līdz 1 m/s, ja paātrinājums ir –2 m/s2? [3.5 s].

1-2. Ar cik lielu paātrinājumu kustas ķermenis, ja kustības sestajā sekundē tā veiktais attālums ir 1.1 m? Cik lielu attālumu šis ķermenis veiks sešās sekundēs? [0.2 m/s2; 3.6 m].

19

1-3. Cik liels sākuma ātrums vertikāli lejup jāpiešķir lodītei, lai tā no 57 m augstuma nokristu 3 sekundēs? [4 m/s].

1-4. Divas sekundes pēc ķermeņa A krišanas sākuma no tā paša augstuma uz leju sviež ķermeni B. Cik liels ātrums jāpiešķir ķermenim B, lai

tas pēc t sekundēm no sava krišanas sākuma panāktu ķermeni A? [ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

t1120 ].

1-5. Ķermeni sviež vertikāli augšup ar ātrumu 30 m/s. Pēc cik sekundēm ķermenis atradīsies 40 m augstumā, un cik liels tad būs tā ātrums? [2 s; 4 s; 10 m/s].

1-6. Ar cik lielu ātrumu jāsviež ķermenis vertikāli augšup, lai tas 10 m augstumu saniegtu ar ātrumu 5 m/s? Cik ilgā laikā ķermenis šo augstumu saniedz? Pēc cik ilga laika no izsviešanas mirkļa ķermenis nokritīs zemē? [15 m/s; 1 s; 3 s].

1-7. Divus ķermeņus izsviež vertikāli augšup ar ātrumu 40 m/s un 30 m/s. Pēc cik ilga laika attālums starp ķermeņiem būs 5 m? [0.5 s].

1-8. Ķermenis A izsviests vertikāli augšup ar ātrumu 30 m/s. Izsviešanas brīdī no punkta, kas atrodas ķermeņa A maksimāla pacelšanās augstumā, sāk krist ķermenis B. Cik augstu no zemes un pēc cik ilga laika ķermeņi sastapsies? [33.75 m; 1.5 s].

1-9. Laiva kustas perpendikulāri krastam ar ātrumu 7.2 km/h. Straume aiznes laivu 150 m lejup pa upi. Aprēķināt: 1) upes straumes ātrumu un 2) laiku, kas jāpatērē, pārceļoties pāri upei. Upes platums 0.5 km. [1) 0.6 m/s; 2) 250 s].

1-10. Vertikāli augšup sviests akmens sasniedz 10 m augstumu. 1) Pēc cik ilga laika tas nokrīt zemē? 2) Kādā augstumā paceļas akmens, ja tā sākuma ātrumu palielina divas reizes? Gaisa pretestību neievērot. [1) 2.9 s; 2) 40 m].

1-11. Ķermenis, kura sākuma ātrums ir nulle, vertikāli krīt no augstuma h = 19.6 m. Cik ilgā laikā ķermenis noiet: 1) sava ceļa pirmo 1 m; 2) sava ceļa pēdējo 1 m? Gaisa pretestību neievērot. [1) 0.45 s; 2) 2 s; 0.05 s].

1-12. Ķermeni A izsviež vertikāli augšup ar sākuma ātrumu v1, ķermenis B krīt no augstuma h ar sākuma ātrumu v2 = 0. Atrast ķermeņu A un B attāluma x atkarību no laika t, ja zināms, ka ķermeņi sāk kustēties vienlaicīgi.

[1vh ].

1-13. No torņa, kura augstums H = 25 m, horizontālā virzienā tiek sviests akmens ar ātrumu v0 = 15 m/s. Aprēķināt: 1) cik ilgi akmens atrodas kustībā; 2) kādā attālumā s no torņa pamata tas nokrīt zemē; 3) ar kādu ātrumu v tas nokrīt zemē; 4) kādu leņķi ϕ veido akmens trajektorija ar horizontu nokrišanas

20

punktā. Gaisa pretestību neievērot. [1) 2.26 s; 2) 33.9 m; 3) 22.1 m/s; 26.7 m/s; 4) 55°48′].

1-14. Horizontālā virzienā sviests akmens nokrīt zemē pēc 0.5 sekundēm 5 m attālumā no izsviešanas vietas. 1) No kāda augstuma h akmens sviests? 2) Ar kādu sākuma ātrumu v0 tas sviests? 3) Ar kādu ātrumu v tas nokrīt zemē? 4) Kādu leņķi ϕ veido akmens trajektorija ar horizontu nokrišanas punktā. Gaisa pretestību neievērot. [1) 1.22 m; 2) 10 m/s; 3) 11.1 m/s; 4) 26°12′].

1-15. Horizontālā virzienā mesta rotaļu bumba atsitas pret sienu, kas atrodas 5 m attālumā no mešanas vietas. Bumbas atsitiena vietas augstums ir par 1 m mazāks nekā tās vietas augstums, no kuras bumba mesta. 1) Ar kādu ātrumu v0 bumba mesta? 2) Kādā leņķī ϕ bumba atsitas pret sienu? Gaisa pretestību neievērot. [1) 11.1 m/s; 2) 68°12′].

1-16. Akmens izsviests horizontālā virzienā. Pēc 0.5 s no kustības sākuma akmens ātruma skaitliskā vērtība ir 1.5 reizes lielāka par tā sākuma ātrumu. Aprēķināt akmens sākuma ātrumu. Gaisa pretestību neievērot. [4.4 m/s].

1-17. Akmens izsviests horizontālā virzienā ar ātrumu vx = 15 m/s. Aprēķināt akmens normālo un tangenciālo paātrinājumu 1 s pēc kustības sākuma. Gaisa pretestību neievērot. [5.4 m/s2; 8.2 m/s2].

1-18. Akmens izsviests horizontālā virzienā ar ātrumu 10 m/s. Aprēķināt akmens trajektorijas liekuma rādiusu 3 s pēc kustības sākuma. Gaisa pretestību neievērot. [305 m].

1-19. Rotaļu bumbu met ar ātrumu v0 = 10 m/s virzienā, kas veido ar horizontu leņķi α = 40°. Aprēķināt: 1) kādā augstumā sy paceļas bumba; 2) kādā attālumā no mešanas vietas bumba sasniedz zemi; 3) cik ilgi tā atrodas kustībā? Gaisa pretestību neievērot. [1) 2.1 m; 2) 10.0 m; 3) 1.3 s].

1-20. Ķermeni izsviež slīpi pret horizontu ar ātrumu v0. Lidojuma ilgums t = 2.2 s. Atrast šā ķermeņa vislielāko pacelšanās augstumu. Gaisa pretestību neievērot. [5.9 m].

1-21. Akmens izsviests ar ātrumu v0 = 12 m/s virzienā, kas ar horizontu veido α = 45°, un tas nokrīt zemē attālumā s no izsviešanas vietas. No kāda augstuma h ar tādu pašu sākuma ātrumu jāsviež akmens horizontālā virzienā, lai tas nokristu tajā pašā vietā? [7.4 m].

1-22. Ķermenis izsviests ar ātrumu v0 = 14.7 m/s virzienā, kas ar horizontu veido leņķi α = 30°. Aprēķināt ķermeņa normālo un tangenciālo paātrinājumu pēc t = 1.25 s no kustības sākuma. Gaisa pretestību neievērot. [3.52 m/s2; 9.15 m/s2].

1-23. Ķermenis izsviests ar ātrumu v0 = 10 m/s virzienā, kas ar horizontu veido leņķi α = 45°. Aprēķināt ķermeņa trajektorijas liekuma rādiusu pēc t = 1 s no kustības sākuma. Gaisa pretestību neievērot. [6.3 m].

21

1-24. Ķermenis izsviests ar ātrumu v0 virzienā, kas ar horizontu veido leņķi α . Aprēķināt lielumus v0 un α , ja zināms, ka ķermeņa vislielākais pacelšanās augstums h = 3 m un ķermeņa trajektorijas liekuma rādiuss R trajektorijas augšējā punktā ir 3 m. Gaisa pretestību neievērot. [9.4 m/s; 54°44′].

1-25. No torņa, kura augstums H = 25 m, met akmeni ar ātrumu v0 = 15 m/s virzienā, kas ar horizontu veido leņķi α = 30°. Aprēķināt: 1) cik ilgi akmens atrodas kustībā; 2) kādā attālumā no torņa pamata tas nokrīt zemē; 3) ar kādu ātrumu tas nokrīt zemē; 4) kādu leņķi ϕ veido akmens trajektorija ar horizontu nokrišanas punktā. Gaisa pretestību neievērot. [1) 3.16 s; 2) 41.1 m; 3) 26.7 m/s; 4) 61°].

1-26. Ķermeņa noietā ceļa s atkarību no laika t izsaka vienādojums s = At – Bt2 + Ct3, kur A = 2 m/s, B = 3 m/s2 un C = 4 m/s3. Aprēķināt: 1) ātruma v un paātrinājuma a atkarību no laika t; 2) ķermeņa noieto ceļu, ātrumu un paātrinājumu 2 s pēc kustības sākuma. Konstruēt ceļa, ātruma un paātrinājuma grafiku intervālā 0 ≤ t ≤ 3 s pēc katrām 0.5 s. [1) v = (2 – 6t + 12t2) m/s; a = - 6 + 24t) m/s2; 2) 24 m; 38 m/s; 42 m/s2].

1-27. Ķermeņa noietā ceļa s atkarību no laika t izsaka vienādojums s = A – Bt + Ct2, kur A = 6 m, B = 3 m/s un C = 2 m/s2. Atrast ķermeņa vidējo ātrumu un vidējo paātrinājumu laika intervālā no 1 s līdz 4 s. Konstruēt ceļa, ātruma un paātrinājuma grafiku intervālā 0 ≤ t ≤ 5 s pēc katras sekundes. [7 m/s; 4 m/s2].

1-28. Ķermeņa noietā ceļa s atkarību no laika t izsaka vienādojums s = A + Bt + Ct2, kur A = 3 m, B = 2 m/s un C = 1 m/s2. Atrast ķermeņa vidējo ātrumu un vidējo paātrinājumu tā kustības pirmajā, otrajā un trešajā sekundē. [3 m/s; 5 m/s; 7 m/s; 2 m/s2; 2 m/s2; 2 m/s2 ].

1-29. Ķermeņa noietā ceļa s atkarību no laika t izsaka vienādojums s = A + Bt + Ct2 + Dt3, kur C = 0.14 m/s2, D = 0.01 m/s3. 1) Pēc cik ilga laika no kustības sākuma ķermeņa paātrinājums ir 1 m/s2? 2) Kāds ir ķermeņa vidējais paātrinājums šajā laika sprīdī? [1) 12 s; 2) 0.64 m/s2].

1-30. Ass, uz kuras nostiprināti divi diski attālumā l = 0.5 m viens no otra, griežas ar leņķisko ātrumu, kas atbilst frekvencei ν = 1600 apgr./min. Lode, lidojot paralēli asij, cauršauj abus diskus; pie tam izšautais caurums otrajā diskā attiecībā pret pirmā diska caurumu novirzīts par leņķi ϕ = 12°. Aprēķināt lodes ātrumu. [400 m/s].

1-31. Aprēķināt rotējoša riteņa rādiusu, ja zināms, ka lineārais ātrums v1 punktam, kas atrodas uz riteņa aploces, ir 2.5 reizes lielāks par lineāro ātrumu punktam, kas atrodas par 5 cm tuvāk riteņa asij. [8.33 cm].

22

1-32. Ritenis, rotējot vienmērīgi paātrināti, sasniedz leņķisko ātrumu ω = 20 rad/s pēc N = 10 apgr. no kustība sākuma. Aprēķināt riteņa leņķisko paātrinājumu. [3.2 rad/s2].

1-33. Spararats pēc t = 1 min. no rotācijas sākuma sasniedz ātrumu, kas atbilst frekvencei ν = 720 apgr./min. Aprēķināt spararata leņķisko paātrinājumu un apgriezienu skaitu šajā minūtē. Uzskatīt, ka kustība ir vienmērīgi paātrināta. [1.26 rad/s2; 360 apgr.].

1-34. Bremzējot riteņa griešanos, tā ātrums 1 min. laikā vienmērīgi palēnināti samazinās no 300 apgr./min. līdz 180 apgr./min. Aprēķināt riteņa leņķisko paātrinājumu un šajā laikā izdarīto apgriezienu skaitu. [-0.21 rad/s2; 240 apgr.].

1-35. Ventilators griežas ar ātrumu, kas atbilst frekvencei 900 apgr./min. Pēc ventilatora izslēgšanas tas turpina griezties vienmērīgi palēnināti un līdz apstāšānās momentam izdara 75 apgriezienus. Pēc cik ilga laika, skaitot no izslēgšanas momenta, ventilators apstājas? [10 s].

1-36. Vārpsta griežas ar pastāvīgu ātrumu, kas atbilst frekvencei 180 apgr./min. Sākot ar kādu momentu, vārpstu bremzē un tā griežas vienmērīgi palēnināti ar leņķisko paātrinājumu 3 rad/s2. 1) Pēc cik ilga laika vārpsta apstājas? 2) Cik apgriezienu tā izdara līdz apstāšanās momentam? [1) 6.3 s; 2) 9.4 apgr.].

1-37. Punkts kustas pa riņķa līniju, kuras rādiuss R = 20 cm, ar pastāvīgu tangenciālo paātrinājumu at = 5 cm/s2. Pēc cik ilga laika no kustības sākuma šā punkta normālais paātrinājums an ir: 1) vienāds ar tangenciālo paātrinājumu; 2) divas reizes lielāks par tangenciālo paātrinājumu? [1) 2 s; 2) 2.8 s].

1-38. Punkts kustas pa riņķa līniju, kuras rādiuss R = 10 cm, ar pastāvīgu tangenciālo paātrinājumu at. Aprēķināt punkta tangenciālo paātrinājumu at, ja zināms, ka pēc piektā apgrieziena punkts sasniedz ātrumu v = 79.2 cm/s. [0.1 m/s2].

1-39. Punkts kustas pa riņķa līniju, kuras rādiuss R = 10 cm, ar pastāvīgu tangenciālo paātrinājumu at. Aprēķināt punkta normālo paātrinājumu an pēc t = 20 s no kustības sākuma, ja zināms, ka pēc piektā apgrieziena punkta lineārais ātrums v = 10 cm/s. [0.01 m/s2].

1-40. Pirmajā tuvinājumā var pieņemt, ka elektrons ūdeņraža atomā kustas pa riņķveida orbītu ar pastāvīgu ātrumu v. Aprēķināt, ar kādu leņķisko ātrumu elektrons riņķo ap kodolu un kāds ir tā normālais paātrinājums. Pieņemt, ka orbītas rādiuss r = 0.5⋅10-10 m un elektrona ātrums pa šo orbītu v = 2.2⋅106 m/s. [4.4⋅1016 rad/s; 9.7⋅1022 m/s2].

1-41. Ritenis, kura rādiuss R = 10 cm, griežas ar pastāvīgu leņķisko paātrinājumu ε = 3.14 rad/s2. Aprēķināt pirmās sekundes beigās riteņa aploces

23

punkta griešanās: 1) leņķisko ātrumu; 2) lineāro ātrumu; 3) tangenciālo paātrinājumu; 4) normālo paātrinājumu; 5) pilno paātrinājumu un 6) leņķi, ko veido pilnā paātrinājuma virziens ar riteņa rādiusu. [1) 3.14 rad/s; 2) 0.314 m/s; 3) 0.314 m/s2; 4) 0.986 m/s2; 5) 1.03 m/s2; 6) 17°46′].

1-42. Punkts kustas pa riņķa līniju, kuras rādiuss R = 2 cm. Ceļa atkarību no laika izsaka vienādojums s = Ct3, kur C = 0.1 cm/s3. Aprēķināt punkta normālo un tangenciālo paātrinājumu momentā, kad punkta lineārais ātrums v = 0.3 m/s. [4.5 m/s2; 0.06 m/s2].

1-43. Punkts kustas pa riņķa līniju tā, ka ceļa atkarību no laika izsaka vienādojums s = A + Bt + Ct2, kur A = 5 m, B = -2 m/s un C = 1 m/s2. Aprēķināt punkta lineāro ātrumu, tā tangenciālo, normālo un pilno paātrinājumu pēc t = 3 s no kustības sākuma, ja zināms, ka pēc t′ = 2 s punkta normālais paātrinājums a′n = 0.5 m/s2. [4 m/s; 2 m/s2; 2 m/s2; 2.83 m/s2].

1-44. Aprēķināt riteņa leņķisko paātrinājumu, ja zināms, ka pēc 2 sekundēm no vienmērīgi paātrinātas kustības sākuma aploces punkta pilnā paātrinājuma vektors veido ar šā punkta lineārā ātruma virzienu 60° leņķi. [0.43 rad/s2].

1-45. Ritenis griežas ar pastāvīgu leņķisko paātrinājumu ε = 2 rad/s2. Pēc t = 0.5 s no kustības sākuma riteņa pilnais paātrinājums sasniedz a = 13.6 cm/s2. Aprēķināt riteņa rādiusu. [6.1 m].

1-46. Ritenis, kura rādiuss R = 0.1 m, griežas tā, ka riteņa rādiusa pagrieziena leņķa atkarību no laika izsaka vienādojums ϕ = A + Bt + Ct3, kur B = 2 rad/s un C = 1 rad/ s3. Aprēķināt, kāds pēc 2 s no kustības sākuma ir riteņa aploces punktu: 1) leņķiskais ātrums; 2) lineārais ātrums; 3) leņķiskais paātrinājums; 4) tangenciālais paātrinājums; 5) normālais paātrinājums. [1) 14 rad/s; 2) 1.4 m/s; 3) 12 rad/s2; 4) 1.2 m/s2; 5) 19.6 m/s2].

1-47. Ritenis, kura rādiuss R = 5 cm, griežas tā, ka riteņa rādiusa pagrieziena leņķa atkarību no laika izsaka vienādojums ϕ = A + Bt + Ct2 + Dt3, kur D = 1 rad/s3. Aprēķināt riteņa aploces punktu tangenciālā paātrinājuma izmaiņu Δat katrai kustības sekundei. [0.3 m/s2].

1-48. Ritenis, kura rādiuss R = 10 cm, griežas tā, ka riteņa aploces punktu lineārā ātruma atkarību no kustības laika izsaka vienādojums v= At + Bt2, kur A = 3 cm/s2 un B = 1 cm/s3. Aprēķināt leņķi, ko veido pilnā paātrinājuma vektors ar riteņa rādiusu momentos t = 0, 1, 2, 3, 4 un 5 s, skaitot no kustības sākuma. [90°; 72°17′; 30°; 15°32′; 7°58′; 0].

1-49. Ritenis griežas tā, ka riteņa pagrieziena leņķa atkarību no laika izsaka vienādojums ϕ = A + Bt + Ct2 + Dt3, kur B = 1 rad/s, C = 1 rad/s2 un D = 1 rad/s3. Aprēķināt riteņa rādiusu, ja zināms, ka kustības otrās sekundes beigās aploces punktu normālais paātrinājums an = 3.46⋅102 m/s2. [1.2 m].

24

1-50. Aprēķināt, cik reižu rotējoša riteņa aploces punkta normālais paātrinājums ir lielāks par tā tangenciālo paātrinājumu tajā momentā, kad šā punkta pilnā paātrinājuma vektors veido ar lineārā ātruma vektoru 30° leņķi. [0.58].

25

2. Translācijas kustības dinamika. Darbs, jauda, enerģija, impulss.

Dinamikas pamatlikumu (otro Ņūtona likumu) izsaka vienādojums Fdt = d(mv). Ja masa ir nemainīga, tad

,madtdvmF ==

kur a – paātrinājums, kuru spēka F iedarbībā iegūst ķermenis ar masu m. Spēka F darbu, pārvietojot ķermeni attālumā s, izsaka formula:

,dsFAS

s∫=

kur Fs – spēka projekcija uz kustības virzienu, ds – ceļa posma garums. Jāintegrē pa visu ceļu s. Atsevišķā gadījumā, kad spēks ir pastāvīgs un leņķis, ko veido spēka vektors ar pārvietošanās virzienu, ir nemainīgs, dabūjam, ka A = Fscosα, kur α - leņķis starp spēka F un ceļa s virzieniem. Jaudu aprēķina pēc formulas

.dtdAN =

Pastāvīgas jaudas gadījumā

,tAN =

kur A – darbs, ko paveic laikā t. Jaudu var aprēķināt arī pēc formulas N = Fvcosα, t. i., dabū, reizinot kustības ātrumu ar spēka projekciju uz kustības virzienu. Ja ķermeņa masa ir m un kustības ātrums v, tad tā kinētiskā enerģija

.2

2mvWk =

Atkarībā no darbojošos spēku rakstura ir dažādas potenciālās enerģijas formulas.

26

Uzdevumu risināšanas piemēri. Ķermeņu kustība uz slīpās plaknes. Slīpās plaknes augšgalā (zīm. 2-1.) nostiprināts viegls trīsis. Ķermeņi A un B (to masa ir 1 kg) saistīti ar trīsim pārmestu diegu, pie tam ķermenis A atrodas uz slīpās plaknes, bet ķermenis B saistīts ar diega vertikālo daļu. Ķermeņa A un plaknes berzes koeficients ir 0.1. Plaknes slīpuma leņķis α = 30° . Noteikt ķermeņu paātrinājumu un diega sastiepuma spēku. Berzi trīsī var neievērot. Dots: mA = mB = m = 1 kg μ = 0.1 g = 9.81 m/s2

α = 30° a -? T - ?

Y

X

ANr

B

bFr

ATr

Aar

αAPr

BTr

Bar

BPr Z

2-1. Att.

A t r i s i n ā j u m s. Uz ķermeni A darbojas šādi spēki:

APr

- smaguma spēks;

Nr

- slīpās plaknes reakcijas spēks;

27

BFr

- berzes spēks;

ATr

- diega sastiepuma spēks. Uz ķermeni B darbojas divi spēki:

BPr

- smaguma spēks;

BTr

- diega sastiepuma spēks. Tā kā berzi trīsī un tā masu var neievērot, tad TA = TB = T. Katram ķermenim var uzrakstīt otro Ņūtona likumu vektoriālā formā. Ķermenim A: ;AABA amTFNP

rrrrr=+++ (I)

Ķermenim B: .BBB amTPrrr

=+ (II)

Tā kā kustības laikā diega garums nemainās, tad .aaa BA ==rr

Izraugāmies koordinātu X asi paralēli slīpajai plaknei, Y asi perpendikulāri plaknei un Z asi vertikāli lejup. Izmantojot vektoru moduļus, vienādojumu (I) projekcijām uz X un Y asīm un vienādojumu (II) projekcijām uz Z ass varam uzrakstīt šādi: ;sin maTFP b =+−− α (1) ;0cos =+− NP α (2) .maTP =− (3) Kā zināms, ;NFb μ= (4) P = mg. (5) Izmantojot sakarības (1) … (5), varam noteikt a un T. No sakarībām (2) un (4) izriet, ka .cosαμPFb = (6) Ja ievieto šo izteiksmi (6) vienādojumā (1), bet pēc tam saskaita vienādojumus (1) un (3), ņemot vērā izteiksmi (5), iegūstam ( ) ,2cossin1 mamg =−− αμα no kurienes

.2

cossin1 αμα −−= ga

Savukārt no vienādojuma (1) atņemot (3) un ņemot vērā izteiksmes (6) un (5), iegūstam ( ) ,02cossin1 =+++− Tmg αμα no kurienes 28

.2

cossin1 αμα ++= mgT

Skaitliskie rezultāti:

.79.72

5866.181.92

866.01.05.0181.91

;/02.2/2

4134.081.9/2

866.01.05.0181.9 222

NNNT

smsmsma

=⋅=⋅++

⋅⋅=

=⋅=⋅−−

⋅=

2-1. Cik smags balasts jāizsviež no aerostata, kas vienmērīgi nolaižas,

lai tas ar tādu pašu ātrumu sāktu vienmērīgi pacelties? Aerostata svars kopā ar balastu ir 15.68 kN, aerostata cēlējspēks ir 11.76 kN. Pieņemt, ka gaisa pretestība pacelšanās un nolaišanās gadījumā ir vienāda. [7.8⋅103 N].

2-2. Noteikta diametra tērauda stieple iztur 4400 N slodzi. Kāds ir vislielākais paātrinājums, ar kuru var pacelt 3900 N lielu svaru, kas iekārts šajā stieplē, lai tā nepārtrūktu? [1.25 m/s2].

2-3. Diegā iekārts atsvars. Ja šo atsvaru paceļ ar paātrinājumu a1 = 2 m/s2, tad diega sastiepuma spēks T ir divreiz mazāks par to sastiepuma spēku, kāds nepieciešams, lai diegs pārtrūktu. Ar kādu paātrinājumu a2 jāpaceļ šis atsvars, lai diegs pārtrūktu? [13.8 m/s2].

2-4. Automobilis, kura svars ir 104 N, bremzējot apstājas pēc 5 s, šajā laikā vienmērīgi palēnināti noejot 25 m. Aprēķināt: 1) automobiļa sākuma ātrumu; 2) bremzēšanas spēku. [1) 10 m/s; 2) 2040 N].

2-5. Kāds spēks jāpieliek vagonam, kas stāv uz sliedēm, lai tas sāktu kustēties vienmērīgi paātrināti un laikā t = 30 s noietu ceļu s = 11 m? Vagona svars P = 15.5 kN. Kustības laikā uz vagonu darbojas berzes spēks, kas ir 0.05 no vagona svara. [8200 N].

2-6. Vilciens, kura svars ir 4.9⋅106 N, pēc lokomotīves vilcējspēka izbeigšanās 9.8⋅104 N liela berzes spēka iedarbībā apstājas pēc 1 min. Kāds bija vilciena ātrums? [11.75 m/s].

2-7. Vagons, kura masa ir 20 t, kustas ar pastāvīgu negatīvu paātrinājumu, kas skaitliski ir 0.3 m/s2. Vagona sākuma ātrums 54 km/h. 1) Cik liels bremzēšanas spēks darbojas uz vagonu? 2) Pēc cik ilga laika vagons apstājas? 3) Kādu attālumu vagons noiet, līdz tas apstājas? [1) 6000 N; 2) 50 s; 3) 375 m].

2-8. Ķermenis, kura masa ir 0.5 kg, atrodas taisnvirziena kustībā, turklāt ķermeņa noietā ceļa s atkarību no laika t izsaka vienādojums s = A – Bt + Ct2 – Dt3, kur C = 5 m/s2 un D = 1 m/s3. Aprēķināt spēku, kas darbojas uz ķermeni kustības pirmās sekundes beigās. [2 N].

29

2-9. Pastāvīga spēka F = 9.8 N iedarbībā ķermenis kustas taisnā virzienā tā, ka ķermeņa noietā ceļa s atkarību no laika t izsaka vienādojums s = A – Bt + Ct2. Aprēķināt ķermeņa masu, ja constante C = 1 m/s2. [ 4.9 kg].

2-10. Ķermenis, kura masa m = 0.5 kg, kustas tā, ka ķermeņa noietā ceļa s atkarību no laika t izsaka vienādojums s = Asinω⋅t, kur A = 5 cm un ω = π rad/s. Aprēķināt spēku F, kas darbojas uz ķermeni, pēc t = 1/6 s no kustības sākuma. [- 0.123 N].

2-11. Tramvajs uzsāk kustību ar pastāvīgu paātrinājumu a = 0.5 m/s2. Pēc t = 12 s no kustības sākuma tramvaja motoru izslēdz, un līdz apstāšanās momentam tramvajs kustas vienmērīgi palēnināti. Visā ceļā koeficients k = 0.01. Aprēķināt 1) tramvaja kustības maksimālo ātrumu, 2) kopējo kustības laiku, 3) tramvaja negatīvo paātrinājumu palēninātajā kustībā, 4) visu ceļu, ko nogājis tramvajs. [1) 21.6 km/h; 2) 73 s; 3) – 0.098 m/s2; 4) 218 m].

2-12. Kādu leņķi α ar horizontu veido benzīna virsma automobiļa tvertnē, ja automobilis kustas horizontālā virzienā ar pastāvīgu paātrinājumu a = 2.44 m/s2? [α 14°].

2-13. Pie tramvaja vagona griestiem diegā pakārta lodīte. Vagonu bremzējot, tā ātrums laikā Δt = 3 s vienmērīgi mainās no v1 = 18 km/h līdz v2 = 6 km/h. Par kādu leņķi α tādā gadījumā novirzās diegs ar lodīti? [6°30’].

2-14. Bremzējot dzelzceļa vagonu, tā ātrums laikā Δt = 3.3 s vienmērīgi mainās no v1 = 47.5 km/h līdz v2 = 30 km/h. Kāda var būt berzes koeficienta maksimālā vērtība, lai, vagonu, bremzējot, čemodāns slīdētu pa plauktu? [0.15].

2-15. Automobilis sver 9.8 kN. Kustības laikā uz automobili darbojas berzes spēks, kas ir 0.1 no automobiļa svara. Aprēķināt automobiļa attīstīto vilcējspēku, ja automobilis kustas ar pastāvīgu ātrumu 1) pret kalnu, kura kāpums uz katriem 25 m ir 1 m, 2) no kalna ar tikpat lielu kritumu. [ 1) 1370 N; 2) 590 N].

2-16. Aprēķināt automobiļa motora attīstīto vilcējspēku, ja automobilis brauc pret kalnu ar paātrinājumu 1 m/s2. Kalna kāpums uz katriem 25 m ir 1 m. Automobiļa svars 9.8 kN. Berzes koeficients 0.1. [2370 N].

2-17. Ķermenis atrodas uz slīpas plaknes, kas veido ar horizontu 4° leņķi. 1) Kāda var būt berzes koeficienta maksimālā vērtība, lai ķermenis slīdētu pa slīpo plakni? 2) Ar kādu paātrinājumu ķermenis slīdētu pa slīpo plakni, ja berzes koeficients ir 0.03? 3) Cik ilgā laikā šādā gadījumā ķermenis var veikt 100 m? 4) Kāds ir ķermeņa ātrums pēc šiem 100 m? [1) k ≤ 0.07; 2) 0.39 m/s2; 3) 22.7 s; 4) 8.85 m/s].

2-18. Ķermenis slīd pa slīpu plakni, kas ar horizontu veido leņķi α = 45°. Noejot attālumu s = 36.4 cm, ķermenis sasniedz ātrumu v = 2 m/s. Aprēķināt berzes koeficientu. [0.2].

30

2-19. Ķermenis slīd pa slīpu plakni, kas ar horizontu veido 45° leņķi. Ķermeņa noietā ceļa s atkarību no laika t izsaka vienādojums s = Ct2, kur C = 1.73 m/s2. Aprēķināt berzes koeficientu. [0.5].

2-20. Divi atsvari, kuru svars P1 = 19.6 N un P2 = 9.8 N savienoti ar auklu, kas pārmesta trīsim. Aprēķināt 1) paātrinājumu, ar kādu kustas atsvari, 2) auklas sastiepuma spēku. Trīša berzi neievērot. [1) 3.27 m/s2; 2) 13.0 N].

2-21. Trīsis piestiprināts pie galda malas (2-2. Att.). Atsvari A un B, kuru svars P1 = P2 = 9.8 N savienoti ar auklu, kas pārmesta trīsim. Atsvara B berzes koeficients k = 0.1. Aprēķināt 1) paātrinājumu, ar kādu kustas atsvari, 2) auklas sastiepuma spēku. Trīša berzi neievērot. [4.4 m/s2; 2) 5.4 N].

A

B

2-2. Att.

2-22. Trīsis piestiprināts slīpās plaknes virsotnē (2-3. Att.). Atsvari A un B, kuru svars P1 = P2 = 9.8 N, savienoti ar auklu, kas pārmesta trīsim. Aprēķināt 1) paātrinājumu, ar kādu kustas atsvari, 2) auklas sastiepuma spēku. Trīša berzi, kā arī atsvara B berzi neievērot. [1) 2.45 m/s2; 2) 7.35 N].

A

B

α

2-3. Att.

2-23. Atrisināt iepriekšējo uzdevumu ar nosacījumu, ka atsvara B berzes koeficients k = 0.1. Trīša berzi neievērot. [1) 2.02 m/s2; 2) 7.77 N].

2-24. Trīsis piestiprināts divu slīpo plakņu virsotnē. Plaknes ar horizontu veido leņķus α = 30° un β = 45° (2-4. Att.). Atsvari A un B, kuru svars P1 = P2 = 9.8 N, savienoti ar auklu, kas pārmesta trīsim. Aprēķināt 1) paātrinājumu, ar kādu kustas atsvari, 2) auklas sastiepuma spēku. Trīša berzi, kā arī atsvaru A un B berzi

A

B

α

2-4. Att.

β

31

neievērot. [1) 1.04 m/s2; 2) 5.9 N].

2-25. Atrisināt iepriekšējo uzdevumu ar nosacījumu, ka atsvaru A un B berzes koeficienti k1 = k2 = 0.1. Trīša berzi neievērot. [0.244 m/s2; 2) 6.0 N].

32

3. Impulsa un enerģijas nezūdamības likumi. Izolētā sistēmā visu tās ķermeņu kopīgais impulss paliek nemainīgs, t. i., m1v1 + m2v2 + … + mnvn = const. Divu ķermeņu kustības kopīgo ātrumu pēc neelastīga centrālā trieciena, ja šo ķermeņu masas ir m1 un m2, izsaka formula

,21

2211

mmvmvm

u++

=

kur v1 – pirmā ķermeņa ātrums pirms trieciena un v2 – otrā ķermeņa ātrums pirms trieciena. Elastīga centrālā trieciena gadījumā ķermeņi kustas ar dažadiem ātrumiem. Pirmā ķermeņa ātrums pēc trieciena

( )

,2

21

221211 mm

vmvmmu

++−

=

otrā ķermeņa ātrums pēc trieciena

( )

.2

21

112122 mm

vmvmmu

++−

=

Līklīnijas kustībā spēku, kas darbojas uz materiālu punktu, var sadalīt divās komponentēs: tangenciālajā un normālajā komponentē. Normālā komponente

R

mvFn

2=

ir centrtieces spēks. Šeit v – kustības lineārais ātrums ķermenim ar masu m; R – trajektorijas liekuma rādiuss dotajā punktā. Spēks, kas rada elastīgu deformāciju x, ir proporcionāls deformācijas lielumam, t. i., F = kx, kur k – koeficients, skaitliski vienāds ar tādu spēku, kas rada vienu vienību lielu deformāciju (deformācijas koeficients). Elastīgu spēku potenciālā enerģija

.2

2kxp =ω

Divi materiāli punkti (t. i., tādi ķermeņi, kuru izmēri salīdzinājumā ar to savstarpējo attālumu ir mazi) pievelk viens otru ar spēku

,221

Rmm

F γ=

33

kur γ = 6.67⋅10-11 m3/kg⋅s2 – gravitācijas konstante; m1 un m2 - materiālo punktu masas, R – attālums starp tiem. Šis likums ir pareizs arī homogēnam lodēm; pie tam R ir attālums starp to centriem. Gravitācijas spēku potenciālā enerģija

.21

RmmWp γ−=

Mīnusa zīme norāda, ka divu savstarpēji iedarbojošos ķermeņu potenciālā enerģija ir nulle, ja R = ∞ ; šiem ķermeņiem tuvojoties, potenciālā enerģija samazinās.

Uzdevumu risināšanas piemēri. Impulsa nezūdamības likums. No lielgabala, kura masa 5⋅103 kg, horizontāli izlido lādiņš, kuram pieliktais smaguma spēks ir 980 N. Lādiņa kinētiskā enerģija izlidošanas mirklī ir 7.5⋅106 J. Aprēķināt kinētisko enerģiju, kuru šāviena brīdī atsitiena dēļ iegūst lielgabals. Dots: A t r i s i n ā j u m s:

Kinētiskās enerģijas formulu lielgabalam var uzrakstītšādi:

m1 = 5⋅103 kg P2 = 980 N Wk2 = 7.5⋅106 J g = 9.8 m/s2

Wk1 - ?

.2

211

1vm

Wk = (1)

No šejienes redzams, - lai aprēķinātu Wk1, jāuzzina v1.

Lādiņa un lielgabala mijiedarbība ir neelastīga, tāpēc jālieto impulsa (kustības daudzuma) nezūdamības likumu bet nevar lietot enerģijas nezūdamības likumu: 0 = m1v1+m2v2 (2) (absolūtām vērtībām) (3) .2211 vmvm =Lādiņa masu m2 var noteikt, izmantojot sakarību starp ķermeņa masu un smaguma spēku:

,22 g

Pm = (4)

bet lādiņa ātrumu v2 var izteikt no tā kinētiskās enerģijas formulas

.2

222

2vm

Wk = (5)

34

Izmantojot šīs sakarības, tagad var iztiekt Wk1 ar zināmiem lielumiem. No sakarības (3) iegūstam

.1

221 m

vmv = (6)

Savukārt no izteiksmes (5) –

.2

2

22 m

Wv k= (7)

Ievietot izteiksmē (6) izteiksmes (4) un (7), iegūstam

.212 22

121

221 g

PWmPgm

gWPv kk == (8)

Ņemot vērā ātruma v1 izteiksmi (8), formulu (1) varam pārrakstīt šādi:

,21

222

21

11 g

PWm

mW k

k =

t. i.,

21

21 kk W

gmP

W =

Skaitliskais rezultāts:

JJWk56

3

2

1 105.1105.78.9105

108.9⋅=⋅⋅

⋅⋅⋅

=

Enerģijas nezūdamības likums. Slēpotājs, kura masa 68 kg, sāk slīdēt pa nogāzi, neatgrūžoties ne ar kājām, ne arī ar nūjām, un nobrauc 50.6 m, iegūdams beigās ātrumu 6 m/s. Nobrauciena sākuma un beigu punktu augstumu starpība 7 m. Aprēķināt vidējo pretestības spēku, kas darbojas uz slēpotāju nobrauciena laikā. Dots:

A t r i s i n ā j u m s: Pretestības spēka F pārvarēšanai ceļā s veiktais darbs A = Fs. (1) Šīs darbs veikts un slēpotāja kinētiskā enerģija Wk iegūta uz viņa potenciālāss enerģijas samazināšanās (-Wp = Wp1 - Wp2) rēķina.

m = 68 kg s = 50.6 m v = 6 m/s h = 7 m g = 9.81 m/s2

F - ? Tāpēc

35

A + Wk = -ΔWp, (2)

kur 2

2vmWk = (3)

bet -ΔWp = mgh. (4) No šīm sakarībām var izteikt F. Sakarību (2), ņemot vērā izteiksmes (1), (3) un (4), var pārrakstīt šādi:

,2

2

mghmvFs =+

no kurienes

.2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

vghsmF

Skaitliskais rezultāts:

NNF 682

6781.96.50

68 2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅=

3-1. Lidmašīna, paceļoties augstumā h = 5 km, sasniedz ātrumu v = 360 km/h. Cik reižu darbs, ko veic lidmašīna, pārvarot savu smaguma spēku, ir lielāks par darbu, ko tā veic palielinādama ātrumu? [10 reizes].

3-2. Bumbiņu, kas lido ar ātrumu v1 = 15 m/s, atsit ar raketi, un tā turpina lidot pretējā virzienā ar ātrumu v2 = 20 m/s. Aprēķināt bumbiņas impulsa izmaiņu, ja zināms, ka tās kinētiskās enerģijas izmaiņa ΔW = 8.75 J. [-3.5 kg⋅m/s].

3-3. Automobilis sver 9.8⋅103 N. Kustības laikā uz automobīli darbojas pastāvīgs berzes spēks, kas ir 0.1 no automobiļa svara. Cik benzīna jāpatērē automobiļa dzinējam, lai tas 0.5 km garā ceļa posmā palielinātu automobiļa ātrumu no 10 km/h līdz 40 km/h. Dzinēja lietderības koeficients 20%, benzīna siltumspēja 4.6⋅107 J/kg. [0.06 kg].

3-4. Aprēķināt automobiļa dzinēja lietderības koeficientu, ja zināms, ka, braucot ar ātrumu 40 km/h, dzinējs patērē 13.5 l benzīna uz katriem 100 km un ka dzinēja attīstītā jauda tādā gadījumā ir 16.3 ZS. Benzīna blīvums 0.8 g/cm3. Pārējie uzdevuma nosacījumi tādi paši kā iepriekšējā uzdevumā.[0.22].

3-5. 19.6 N smags akmens 1.43 s laikā nokrīt no zināma augstuma. Aprēķināt akmens kinētisko un potenciālo enerģiju šā augstuma viduspunktā. [98.1 J; 98.1 J].

36

3-6. Akmens izsviests ar ātrumu v0 = 15 m/s virzienā, kas ar horizontu veido leņķi α = 60°. Aprēķināt akmens kinētisko, potenciālo un pilno enerģiju 1) pēc vienas sekundes no kustības sākuma, 2) trajektorijas augstākajā punktā. Akmens masa m = 0.2 kg. Gaisa pretestību neievērot. [1) 6.67 J, 15.97 J, 22.57 J; 2) 5.77 J, 16.87 J, 22.5 J].

3-7. Darbs, kuru patērē, grūžot lodi leņķī α = 30° pret horizontu, ir A = 216 J. Pēc cik ilga laika un kādā attālumā no grūšanas vietas lode nokrīt zemē? Lodes svars P = 19.6 N. Gaisa pretestību neievērot. [1.5 s; 19.1 m].

3-8. Materiāls punkts, kura masa 10 g, kustas pa riņķa līniju ar pastāvīgu tangenciālo paātrinājumu. Aprēķināt tangenciālo paātrinājumu, ja zināms, ka riņķa līnijas rādiuss ir 6.4 cm un otrā apriņķojuma beigās materiālā punkta kinētiskā enerģija sasniedz 8⋅10-4 J. [0.1 m/s2].

3-9. Pa 1 m augstu un 10 m slīpo plakni slīd ķermenis, kura masa ir 1 kg. Aprēķināt kinētisko enerģiju pie plaknes pamata, 2) ķermeņa ātrumu pie plaknes pamata, 3) attālumu, ko noiet ķermenis pa ceļa horizontālo daļu līdz apstāšanās brīdim. Pieņemt, ka berzes koeficients ir 0.05 un visā ceļā pastāvīgs. [1) 4.9 J; 2) 3.1 m/s; 3) 10 m].

3-10. Cilvēks, kura svars 588.6 N, skrienot ar ātrumu 8 km/h panāk ratiņus un uzlec uz tiem. Ratiņu svars 785 N un to ātrums 2.9 km/h. 1) Ar kādu ātrumu ratiņi turpina ripot? 2) Ar kādu ātrumu ripotu ratiņi, ja cilvēks būtu skrējis tiem pretī? [1) 5.14 km/h; 2) 1.71 km/h].

3-11. Slidotājs, kura svars 687 N, stāvot uz ledus, horizontālā virzienā met 29.5 N smagu akmeni ar ātrumu 8 m/s. Aprēķināt, cik tālu tādā gadījumā aizslīd slidotājs, ja zināms, ka slidām, tām slīdot pa ledu, berzes koeficients ir 0.02. [0.3 m].

3-12. Cilvēks, stāvot uz nekustīgiem ratiņiem, sviež uz priekšu horizontālā virzienā akmeni, kura masa ir 2 kg. Ratiņi ar cilvēku aizripo atpakaļ, un pirmajā momentā pēc metiena to ātrums ir 0.1 m/s. Ratiņu svars kopā ar cilvēku ir 980 N. Aprēķināt izsviestā akmens kinētisko enerģiju pēc 0.5 s no kustības sākuma. Gaisa pretestību, akmenim lidojot, neievērot. [49 J].

3-13. Automāts izšauj 600 lodes minūtē. Katras lodes masa 4 g, tās sākuma ātrums 500 m/s. Aprēķināt šaušanas vidējo atsitiena spēku. [20 N].

3-14. 19.6 N smags ķermenis kustas ar ātrumu 3 m/s un panāk otru 29.5 N smagu ķermeni, kas kustas ar ātrumu 1 m/s. Aprēķināt ķermeņu ātrumus pēc sadursmes, ja trieciens ir 1) neelastīgs, 2) elastīgs. Ķermeņi kustas pa vienu taisni. Trieciens ir centrāls. [1) 1.8 m/s; 2) 0.6 m/s; 2.6 m/s].

3-15. Kādai sakarībai jāpastāv starp iepriekšējā uzdevuma ķermeņu masām, lai pirmais ķermenis pēc elastīgā trieciena apstātos? [m1/m2 = 1/3].

3-16. Lode, lidodama horizontālā virzienā, trāpa bumbu, kas iekārta vieglā stienī, un iestrēdz tajā. Lodes masa m1 = 5 g un bumbas masa m2 = 0.5 kg.

37

Lodes ātrums v1 = 500 m/s. Cik garam jābūt stienim (attālums no stieņa piekāršanas punkta līdz lodes centram), lai bumba pēc trieciena varētu pacelties līdz riņķa līnijas augšējam punktam? Stieņa masu neievērot [0.64 m].

3-17. Tērauda lodīte, kuras masa m = 20g, krītot no augstuma h1 = 1 m uz tērauda plāksni, atlec no tās augstumā h = 81 cm. Aprēķināt: 1) spēka impulsu, kādu iegūst plāksne trieciena momentā; 2) triecienā izdalītā siltuma daudzumu. [1) 0.17 N⋅s; 2) 37.2⋅10-3 J].

3-18. Akmeni, kas iesiets auklā, kuras garums l = 50 cm, vienmērīgi griež vertikālā plaknē. Aprēķināt, kādam jābūt apgriezienu skaitam sekundē, lai aukla pārtrūktu, ja zināms, ka tā pārtrūkst, kad slodze desmitkārt pārsniedz akmens svaru. [2.1 apgr./s].

3-19. 4.9 N smagu akmeni, kas piesiets 50 cm garā auklā, vienmērīgi griež vertikālā plaknē. Riņķa līnijas viszemākajā punktā auklas sastiepuma spēks T = 44 N. Cik augstu paceļas akmens, ja aukla pārtrūkst momentā, kad ātruma virziens vērsts vertikāli augšup? [2 m].

3-20. Kādu darbu veic celtņa motors, lai paceltu 10 kg smagu ķermeni no miera stāvokļa vienmērīgi paātrināti 10 m augstumā ar paātrinājumu 5 m/s2, ja dzinēja lietderības koeficients ir 75%? [2⋅10-3 J].

3-21. Kāds darbs jāveic, lai 100 kg smagu ķermeni ar paātrinājumu 1m/s2 paceltu pa slīpo plakni augšup, ja plaknes garums 2 m, bet slīpuma leņķis ar horizontu 30°. Berzes koeficients 0.1. [1.35 kJ].

3-22. Automašīna, kuras masa 3 t, kustās ar ātrumu 40 km/h. Aprēķināt automašīnas dzinēja jaudu, ja berzes koeficients ir 0.06. [20 kW].

3-23. Kāda ir ūdeņsūkņa jauda, ja 0.5 h tas piepilda 30 m3 tvertni ar ūdeni? Tvertne atrodas 30 m augstumā. Sūkņa lietderības koeficients 80%. [6250 W].

3-24. Diegā iekārts atsvars. Par kādu leņķi no vertikālā stāvokļa jānovirza diegs, lai, atsvaram ejot caur līdzsvara stāvokli, diega sastiepuma spēks būtu 2 reizes lielāks par atsvara smaguma spēku? [60°].

3-25. Pa slīpo plakni no lejas uz augšu ar sākuma ātrumu 2 m/s izslidina ķermeni. Pacēlies kaut kādā augstumā, tas slīd pa to pašu ceļu atpakaļ. Kāds ir ķermeņa ātrums atgriežoties izejas punktā? Berzes koeficients 0.4, plaknes slīpuma leņķis 30°. [0.84 m/s].

38

4. Rotācijas kustības dinamika. Spēka F momentu M attiecībā pret kādu rotācijas asi izsaka formula M = Fl, kur l - attālums no rotācijas ass līdz taisnei, pa kuru darbojas spēks. Par materiāla punkta inerces momentu attiecība pret kādu rotācijas asi sauc lielumu I = mr2, kur m – materiālā punkta masa un r – attālums no punkta līdz asij. Cieta ķermeņa inerces moments attiecībā pret tā rotācijas asi ,2dmrI ∫=kur integrēšana jāveic pa visu ķermeņa tilpumu. Integrējot var iegūt šādas formulas:

1) blīva homogēna cilindra (diska) inerces moments attiecībā pret cilindra asi

,21 2mRI =

kur R – cilindra rādiuss un m – tā masa; 2) doba cilindra (stīpas) inerces moments attiecībā pret cilindra asi

,2

22

21 RR

mI+

=

kur R1 – iekšējais rādiuss un R2 – ārējais rādiuss. Ja doba cilindra sieniņas ir ļoti plānas, tad R1 ≈ R2 = R un J ≈ mR2;

3) homogēnas lodes, kuras rādiuss ir R, inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur tās centru,

;52 2mRI =

4) homogēna stieņa inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur tā viduspunktu perpendikulāri stieņa garumam l,

.121 2mlI =

Ja zināms kāda ķermeņa inerces moments I0 attiecībā pret asi, kas iet caur ķermeņa smaguma centru, tad inerces momentu attiecībā pret jebkuru asi, kas paralēla pirmajai, var atrast pēc Šteinera formulas I = I0 + md2, kur m – ķermeņa masa un d – attālums no ķermeņa smaguma centra līdz rotācijas asij.

39

Rotācijas kustības dinamikas pamatlikumu izsaka vienādojums Mdt = d(Iω), kur M – ķermeņa pielikto spēku moments, ja šā ķermeņa inerces moments, ir I; ω - ķermeņa rotācijas leņķiskais ātrums. Ja I = const, tad

,εω IdtdIM ==

kur ε - leņķiskais paātrinājums, ko ķermenis iegūst rotācijas momenta M iedarbībā. Rotējoša ķermeņa kinētiskā enerģija

,2

2ωIWk =

kur I – ķermeņa inerces moments un ω - tā leņķiskais ātrums. 7. tabulā salīdzināti rotācijas kustības dinamikas vienādojumi ar translācijas kustības vienādojumiem. Fiziskā svārsta mazo svārstību periods

,2gdm

IT⋅⋅

⋅⋅= π

kur I – svārsta inerces moments attiecībā pret rotācijas asi, m – svārsta masa, d – attālums no rotācijas ass līdz smaguma centram, g – smaguma spēka paātrinājums. 7. tabula.

Translācijas kustība Rotācijas kustība

Otrais Ņūtona likums

FΔt = mv2 – m v1 MΔt = Iω2 - Iω1vai vai

F = ma M = Iε

Impulsa nezūdamības likums Impulsa momenta nezūdamības likums

∑ = constmv ∑ = constIω

Darbs un kinētiskā enerģija

22

21

22 mvmv

SFA −=⋅= 22

21

22 ωω

ϕII

MA −=⋅=

40

Kombinētās kustības gadījuma pilnā kinētiskā enerģija ir:

22

20

2 ωImvE C

K += , kur vc – masas centra kustības ātrums.

Uzdevumu risināšanas piemēri Rotācijas dinamikas pamatlikums Divi atsvari, kuru svars P1 = 20 N un P2 = 10 N savienoti ar auklu, kas pārmesta trīsim. Trīša rādiuss R = 10 cm un tā svars P = 10 N. Aprēķināt: 1) paātrinājumu a, ar kādu kustas atsvari; 2) auklas sastiepuma spēkus T1 un T2, pie kuras piekārti atsvari. Trīsi uzskatīt par homogēnu disku. Berzi neievērot. Dots: P1 = 20 N A t r i s i n ā j u m s.

Atsvara P1 kustībā uz leju darbojas divi spēki; atsvara svars P(kas vērsts uz leju) un diega sastiepuma spēks T1 (kas vērsts uz augšu). Tāpēc atsvaram P1 ir spēkā vienādība .111 TPam −= (1)

P2 = 10 N R = 10 cm P = 10 N a - ? T1 -? T2 - ? Atsvars P2 ar to pašu paātrinājumu a kustas uz augšu svara P2 (kas vērsts uz leju) un diega sastiepuma spēka T2 (kas vērsts uz augšu) iedarbībā. Tāpēc atsvaram P2 ir spēkā vienādība (2) .222 PTam −= Trīša abās pusēs diegs ir sastiepts dažādi, un tā sastiepuma spēku starpība T1 – T2 rada momentu, kas griež trīsi. Pielietojot dinamikas pamatlikumu, iegūstam, ka

( ) ,21 RaJJRTT ==− ε (3)

kur

.2

2MRJ = (4)

Formulā (4) M – trīša masa. 1) Atrisinot vienādojumus (1), (2), (3) un (4) sistēmā, atrodam, ka

41

.

221

21

221

21Mmm

PP

RJmm

PPa

++

−=

++

−= (5)

2) Ievietojot izteiksmi (5) vienādojumos (1) un (2), dabūjam attiecīgi

221

221

1

2

RJmm

RJmP

T++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= (6)

un

.2

221

212

2

RJmm

RJmp

T++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= (7)

Ievietojot skaitliskās vērtības, dabūjam, kā ;/8.2

2112

1020 2sma =++

−=

;2.14

2112

211220

1 NT =++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

=

un

NT 9.12

2112

212210

2 =++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

= .

Impulsa momenta nezūdamība likums. Horizontāla platforma, kuras masa 100 kg, griežas ap vertikālu asi, kas iet caur platformas centru, izdarot 10 apgr./min. Uz platfirmas malas stāv cilvēks, kura svars 600 N. Ar kādu ātrumu sāk griezties platforma, cilvēkam pārejot no platformas malas uz tās centru? Platformu uzskatīt par apaļu, homogēnu disku, bet cilvēku par punktveida ķermeni.

42

Dots: A t r i s i n ā j u m s:

Pamatojoties uz impulsa momenta nezūdamības likumu, iegūstam, ka ,2211 ωω II = (1) kur I1 – inerces moments platformai kopā ar cilvēku, kas stāv uz platformas malas, I2 – inerces moments platformai

m1 = 100 kg ω1 = 10 apgr/min P2 = 600 N υ2 - ? kopā ar cilvēku, kas stāv platformas centrā; ω1 un ω2 – platformas leņķiskie ātrumi atbilstoši cilvēka pirmajam un otrajam stāvoklim. Tādā gadījumā

22

21

1 2Rm

RmI += (2)

un

,2

21

2Rm

I = (3)

kur R – platformas rādiuss, m1 – platformas masa un m2 – cilvēka masa. Ievietojot izteiksmes (2) un (3) vienādojumā (1) un ievērojot, ka ω = 2πυ, kur υ - platformas apgriezienu skaits minūtē, iegūstam, ka

,2

222

21

212

2

21 Rm

RmRm

πυπυ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

no kurienes

.22

1

2112

1

22

21

12 mmm

RmRmRm +

=+

= υυυ

Skaitliskais rezultāts:

.min/.2210100

6021002 apgr=⋅

⋅+=υ

4-1. Noteikt zemeslodes inerces momentu un impulsa momentu attiecībā pret griešanās asi. [9.7⋅1037 kg⋅m2; 7⋅1033 kg⋅m2/s].

4-2. Divas lodes, kuru rādiusi r1 = r2 = 5 cm, piestiprinātas tieva stieņa galos. Stieņa svars ir daudz mazāks par ložu svaru. Attālums starp ložu centriem R = 0.5 m. Katras lodes masa m = 1 kg. Aprēķināt: 1) šīs sistēmas inerces momentu I1 attiecībā pret asi, kas iet caur stieņa viduspunktu perpendikulāri tā garumam; 2) šīs sistēmas inerces momentu I2 attiecībā pret to 43

pašu asi, uzskatot lodes par materiāliem punktiem, kuru masas koncentrētas to

centros; 3) relatīvo kļūdu ,2

21

III −

=δ kas rodas, ja, aprēķinot šīs sistēmas

inerces momentu, lieluma I1 vietā ņem lielumu I2. [1) 63.5⋅10-3 kg⋅m2; 2) 62.5⋅10-3 kg⋅m2; 3) 1.6%].

4-3. Pie homogēna diska aploces, kura rādiuss R = 0.2 m, pielikts pastāvīgs tangenciālais spēks F = 98.1 N. Rotējot uz disku darbojas berzes spēku moments Mb = 4.9 N⋅m. Aprēķināt diska svaru P, ja zināms, ka disks rotē ar pastāvīgu leņķisko paātrinājumu ε = 100 rad/s2. [7.36 kg].

4-4. Homogēns stienis, kura garums 1 m un svars 4.9 N rotē vertikālā plaknē ap horizontālu asi, kas iet caur stieņa viduspunktu. Ar kādu leņķisko paātrinājumu rotē stienis, ja rotācijas moments ir 9.81⋅10-2 N⋅m? [2.35 rad/s2].

4-5. Homogēns disks, kura rādiuss R = 0.2 m un svars P = 49.05 N, rotē ap asi, kas iet caur tā centru. Diska rotācijas leņķiskā ātruma atkarību no laika izsaka vienādojums ω = A+ Bt, kur B = 8 rad/s2. Aprēķināt tangenciālo spēku, kas pielikts diska aplocei. Berzi neievērot. [4 N].

4-6. Spararats, kura inerces moments I = 63.6 kg⋅m2, griežas ar pastāvīgu leņķisko ātrumu ω = 31.4 rad/s. Aprēķināt bremzējošo momentu M, kura iedarbībā spararats apstājas pēc t = 20 s. [100 N⋅m].

4-7. Pie diskveida riteņa aploces pielikts 980 N liels tangenciālais spēks. Riteņa rādiuss ir 0.5 m un masa m = 50 kg. Aprēķināt: 1) riteņa leņķisko paātrinājumu; 2) pēc cik ilga laika no spēka iedarbības sākuma ritenis iegūst ātrumu, kas atbilst 100 apgr./s. [1) 7.8 rad/s2; 2) 1 min. 20 s].

4-8. Spararatu, kura rādiuss R = 0.2 m un masa m = 10 kg, savieno ar motoru dzensiksna. Siksnas sastiepuma spēks ir pastāvīgs un ir T = 14.7 N. Cik apgriezienu sekundē izdara spararats pēc 10 s no kustības sākuma? Spararatu uzskatīt par homogēnu disku. Berzi neievērot. [23.4 apgr./s].

4-9. Spararats, kura inerces moments ir 245 kg⋅m2, griežas, izdarot 20 apgr./s. Pēc vienas minūtes no brīža, kad uz spararatu pārstāj darboties rotācijas moments, tas apstājas. Aprēķināt: 1) berzes spēku momentu; 2) cik apgriezienu izdara ritenis kustības pēdējā minūtē, līdz tas pilnīgi apstājas. [1) 513 N⋅m; 2) 600 apgr.].

4-10. Divi atsvari, kuru svars P1 = 19.6 N un P2 = 9.8 N savienoti ar auklu, kas pārmesta trīsim. Trīša rādiuss R = 10 cm un tā svars P = 9.8 N. Aprēķināt: 1) paātrinājumu a, ar kādu kustas atsvari; 2) auklas sastiepuma spēkus T1 un T2, pie kuras piekārti atsvari. Trīsi uzskatīt par homogēnu disku. Berzi neievērot. [1) 2.8 m/s2; 2) 14 N, 12.6 N].

44

4-11. Uz veltņa, kura masa M = 9 kg, uztīta aukla, kuras galā piesiets atsvars ar masu m = 2 kg. Aprēķināt atsvara paātrinājumu. Veltni izskatīt par homogēnu cilindru. Berzi neievērot. [3 m/s2].

4-12. Uz veltņa, kura rādiuss R = 0.5 m, uztīta aukla, kurai piesiets atsvars P1 = 980 N. Aprēķināt veltņa inerces momentu, ja zināms, ka atsvars krīt ar paātrinājumu a = 2.04 m/s2. [9.5 kg⋅m2].

4-13. Uz veltņa, kura rādiuss R = 20 cm un inerces moments I = 0.1 kg⋅m2, uztīta aukla, kurai piesiets atsvars P1 = 4.9 N. Pirms veltņa griešanās atsvara P1 augstums virs grīdas h1 = 1 m. Aprēķināt: 1) pēc cik ilga laika atsvars nonāk līdz grīdai; 2) atsvara kinētisko enerģiju trieciena momentā pret grīdu; 3) auklas sastiepuma spēku. Berzi neievērot. [1) 1.1 s; 2) 0.81 J; 3) 4.1 N].

4-14. Divi dažāda smaguma atsvari savienoti ar auklu, kas pārmesta trīsim, kura inerces moments I = 50 kg⋅m2 un rādiuss R = 20 cm. Trīša berzes spēku moments Mb = 98.1 N⋅m. Aprēķināt auklas sastiepuma spēku starpību T1 – T2 abās trīša pusēs, ja zināms, ka trīsis griežas ar pastāvīgu leņķisko paātrinājumu ε = 2.36 rad/s2. [1080 N].

4-15. Trīsis, kura svars P = 9.8 N, piestiprināts galda galā. Vienāda smaguma atsvari A un B, kuru svars P1 = P2 = 9.8 N, savienoti ar auklu, kas pārmesta trīsim. Berzes koeficients, atsvaram B slīdot pa galdu, k = 0.1. Trīsi uzskatīt par homogēnu disku. Berzi trīsī neievērot. Aprēķināt: 1) paātrinājumu, ar kādu kustas atsvari; 2) auklas sastiepuma spēkus T1 un T2. [1) 3.53 m/s2; 2) 6.3 N, 4.5 N].

4-16. Disks, kura svars 19.6 N bez slīdes ripo pa horizontālu plakni ar ātrumu 4 m/s. Aprēķināt diska kinētisko enerģiju. [24 J].

4-17. Lode, kuras diametrs 6 cm, bez slīdes ripo pa horizontālu plakni, izdarot 4 apgr./s. Lodes masa 0.25 kg. Aprēķināt lodes kinētisko enerģiju. [0.1 J].

4-18. Stīpai un diskam ir vienāds svars P, un tie ripo bez slīdes ar vienādu lineāro ātrumu v. Stīpas kinētiskā enerģija W1 = 39.2 J. Aprēķināt diska kinētisko enerģiju W2. [29.4 J].

4-19. Lode, kuras masa m = 1 kg, ripojot bez slīdes, atsitas pret sienu un atripo atpakaļ. Lodes ātrums pirms trieciena pret sienu v1 = 10 cm/s, pēc trieciena v2 = 8 cm/s. Aprēķināt triecienā izdalīto siltuma daudzumu Q. [2.51⋅10-3 J].

4-20. Noteikt relatīvo kļūdu, kas rodas, aprēķinot ripojošas lodes kinētisko enerģiju, ja neievēro lodes griešanos. [40%].

4-21. Disks, kura svars 9.8 N un diametrs 60 cm, rotē ap asi, kas iet caur tā centru perpendikulāri diska plaknei, izdarot 20 apgr./s. Cik liels darbs jāpadara, lai disks apstātos? [355 J].

45

4-22. Vārpsta rotē ar pastāvīgu ātrumu, kas atbilst 5 apgr./s. Tās kinētiskā enerģija ir 60 J. Aprēķināt šās vārpstas impulsa momentu. [3.8 kg⋅m2/s].

4-23. Aprēķināt riteņbraucēja kinētisko enerģiju, ja tā ātrums v = 9 km/h. Riteņbraucēja un velosipēda kopīgais svars P = 764.4 N, pie tam riteņu svars P1 = 29.4 N. Velosipēda riteņus uzskatīt par stīpām. [253 J].

4-24. Zēns ripina stīpu pa horizontālu ceļu ar ātrumu 7.2 km/h. Cik augstu kalnā uzripo stīpa kinētiskās enerģijas dēļ, ja kalna kāpums uz katriem 100 m ir 10 m? [4.1 m].

4-25. Kādam jābūt vismazākajam augstumam H, no kura jāuzsāk brauciens riteņbraucējam, lai inerces dēļ (bez berzes) izbrauktu ″nāves cilpu″, kuras rādiuss R = 3 m, neatraujoties no cilpas augšējā punkta. Riteņbraucēja un velosipēda kopīgā masa m = 75 kg, pie tam riteņu masa m1 = 3 kg. Velosipēda riteņus uzskatīt par stīpām. [7.56 m].

4-26. Vara lode, kuras rādiuss R = 10 cm rotē ap asi, kas iet caur tās centru. Rotācijas ātrums v atbilst 2 apgr./s. Cik liels darbs jāpadara, lai rotācijas leņķisko ātrumu palielinātu divas reizes. [34.1 J].

4-27. No slīpās plaknes, kura ar horizontu veido 30° leņķi, bez slīdes ripo: 1) lode; 2) disks un 3) stīpa. Aprēķināt to smaguma centru lineāros paātrinājumus, ja visu šo ķermeņu sākuma ātrums ir nulle. 4) Salīdzināt atrastos paātrinājumus ar ķermeņa paātrinājumu, kas bez berzes slīd pa šo slīpo plakni. [1) 3.5 m/s2; 2) 3.27 m/s2; 3) 2.44 m/s2; 4) 4.9 m/s2].

4-28. No slīpās plaknes bez slīdes ripo: 1) lode; 2) disks un 3) stīpa. Aprēķināt to smaguma centru lineāros ātrumus, ja slīpās plaknes augstums h = 0.5 m un visu ķermeņu sākuma ātrums ir nulle. 4) Salīdzināt atrastos ātrumus ar ķermeņa ātrumu, kas bez berzes slīd pa šo slīpo plakni. [1) 2.65 m/s; 2) 2.56 m/s; 3) 2.21 m/s; 4) 3.13 m/s].

4-29. Ir divi cilindri: alumīnija (blīvs) un svina (dobs). Abiem cilindriem ir vienāds rādiuss R = 6 cm un vienāds svars P = 4.9 N. Cilindru virsmas nokrāsotas vienāda krāsā. 1) Kā var atšķirt cilindrus, novērojot to translācijas kustības ātrumus pie slīpās plaknes pamata? 2) Aprēķināt šo cilindru inerces momentus. 3) Cik ilgā laikā katrs cilindrs bez slīdes noripo no slīpās plaknes? Slīpās plaknes augstums h = 0.5 m, plaknes slīpuma leņķis α = 30°. Katra cilindra sākuma ātrumi ir nulle. [2) 9⋅10-4 kg⋅m2, 15.9⋅10-4 kg⋅m2; 3) 0.88 s].

4-30. Riteni bremzējot, tas griežas vienmērīgi palēnināti un vienā minūtē samazina griešanās ātrumu no 300 apgr./min. līdz 180 apgr./min. Riteņa inerces moments ir 2 kg⋅m2. Aprēķināt: 1) riteņa leņķisko paātrinājumu; 2) bremzējošo momentu; 3) bremzēšanas darbu; 4) riteņa apgriezienu skaitu šajā minūtē. [1) – 0.21 rad/s2; 2) 0.42 N⋅m; 3) 630 J; 4) 240 apgr.].

4-31. Ventilators griežas ar ātrumu, kas atbilst 900 apgr./min. Pēc izslēgšanas ventilators turpina griezties vienmērīgi palēnināti un līdz apstāšanās

46

momentam apgriežas 75 reizes. Bremzēšanas spēku darbs ir 44.4 J. Aprēķināt: 1) ventilatora inerces momentu; 2) bremzēšanas spēku momentu. [1) 0.01 kg⋅m2; 2) 9.4⋅10-2 N⋅m].

4-32. Spararats, kura inerces moments I = 245 kg⋅m2, izdara 20 apgr./s. Kad uz riteni pārstāj darboties spēku rotācijas moments, tas vēl apgriežas 1000 reižu un tad apstājas. Aprēķināt: 1) berzes spēku momentu; 2) laiku, kurā spararats izdara pēdējos 1000 apgriezienus. [1) 308 N⋅m; 2) 100 s].

4-33. Uz skriemeļa, kas nostiprināts uz kopīgas ass ar spararatu, uztīta aukla, kuras galā piekārts 9.8 N smags atsvars. Cik zemu jānoslīd atsvaram, lai spararats ar skriemeli iegūtu ātrumu, kas atbilst 60 apgr./min.? Spararata un skriemeļa inerces moments ir 0.42 kg⋅m2, skriemeļa rādiuss 10 cm. [0.865 m].

4-34. Spararats sāk griezties ar pastāvīgu leņķisko paātrinājumu ε = 0.5 rad/s2 un pēc t1 = 15 s no kustības sākuma sasniedz impulsa momentu L = 73.5 kg⋅m2/s. Aprēķināt spararata kinētisko enerģiju pēc t2 = 20 s no griešanās sākuma. [490 J].

4-35. Spararats griežas ar pastāvīgu ātrumu, kas atbilst υ = 10 apgr./s; tā kinētiskā enerģija Wk = 7.4 kJ. Cik ilgā laikā spēku rotācijas moments M = 50 N⋅m, kas pielikts šim spararatam, palielina tā leņķisko ātrumu divas reizes? [5 s].

4-36. Diska aplocei pielikts pastāvīgs tangenciālais spēks F = 19.6 N. Diska masa m = 5 kg. Kāda ir diska kinētiskā enerģija pēc Δt = 5 s no spēka iedarbības sākuma? [1.92 kJ].

4-37. Homogēns stienis piekārts pie horizontālas ass, kas iet caur stieņa augšējo galu. Par kādu leņķi stienis jāatvēž, lai, ejot caur līdzsvara stāvokli, stieņa apakšējā gala ātrums būtu 5 m/s? Stieņa garums 1 m. [81°22′].

4-38. 85 cm garš homogēns stienis piekārts pie horizontālas ass, kas iet caur stieņa augšējo galu. Kāds vismazākais ātrums jāpiešķir stieņa apakšējam galam, lai tas izdarītu pilnu apgriezienu ap asi? [7.1 m/s].

4-39. Uz galda vertikāli nostādīts zīmulis apgāžas. Kāds leņķiskais un lineārais ātrums krišanas beigās ir zīmuļa: 1) vidum; 2) augšējam galam? Zīmuļa garums 15 cm. [1) 14 rad/s, 1.05 m/s; 2) 14 rad/s; 2.1 m/s].

4-40. Horizontāla platforma, kuras masa 100 kg, griežas ap vertikālu asi, kas iet caur platformas centru, izdarot 10 apgr./min. Uz platformas malas stāv cilvēks, kura svars 588.6 N. Ar kādu ātrumu sāk griezties platforma, cilvēkam pārejot no platformas malas uz tās centru? Platformu uzskatīt par apaļu, homogēnu disku, bet cilvēku par punktveida ķermeni. [22 apgr./min.].

4-41. Kādu darbu padara cilvēks, pārejot no platformas malas uz tās centru, ja ir spēkā iepriekšējā uzdevuma nosacījumi. Platformas rādiuss 1.5 m. [162 J].

47

4-42. Horizontāla platforma, kuras svars 784 N un rādiuss 1 m, griežas ar leņķisko ātrumu, kas atbilst 20 apgr./min. Platformas centrā stāv cilvēks un izplestās rokās tur atsvarus. Cik apgriezienu minūtē izdara platforma, ja cilvēks nolaižot rokas, samazina savu inerces momentu no 2.94 kg⋅m2 līdz 0.98 kg⋅m2? Platformu uzskatīt par apaļu, homogēnu disku. [21 apgr./min.].

4-43. Cik reižu palielinās platformas un cilvēka kopīgā kinētiskā enerģija, ja ir spēkā iepriekšējā uzdevuma nosacījumi? [1.05 reizes].

4-44. Cilvēks, kura svars 588 N, atrodas uz nekustīgas platformas. Cik apgriezienu minūtē izdara platforma, ja cilvēks virzās ap griešanās asi riņķa līniju, kuras rādiuss ir 5 m? Cilvēka kustības ātrums attiecībā pret platformu ir 4 km/h. Platformas masa 100 kg un rādiuss 10 m. Uzskatīt platformu par homogēnu disku, bet cilvēku par punktveida ķermeni. [0.49 apgr./min.].

4-45. Homogēns stienis izdara nelielas svārstības vertikālā plaknē ap horizontālu asi, kas iet caur augšējo galu. Stieņa garums l = 0.5 m. Aprēķināt stieņa svārstību periodu. [1.16 s].

4-46. Aprēķināt iepriekšējā uzdevumā dotā stieņa svārstību periodu, ja rotācijas ass iet caur punktu, kas atrodas 10 cm attālumā no stieņa augšējā gala. [1.07 s].

4-47. Vertikāla stieņa galos piestiprināti divi atsvari, kuru smaguma centrs atrodas 5 cm zem stieņa viduspunkta. Stienis kopā ar atsvariem izdara nelielas svārstības ap horizontālu asi, kas iet caur stieņa centru. Aprēķināt stieņa garumu, ja šo svārstību periods T = 2 s. Stieņa svaru neievērot. [0.446 m].

4-48. Stīpa, kuras diametrs ir 56.5 cm, pakārta uz naglas, kas iedzīta sienā, un izdara nelielas svārstības plaknē, kas paralēla sienai. Aprēķināt šo svārstību periodu. [1.5 s].

4-49. Diegā iekārta homogēna lodīte, kuras diametrs D = 4 cm. Kāds ir diega vismazākais pieļaujamais garums L, lai, nosakot lodītes mazo svārstību periodu, to varētu uzskatīt par matemātisko svārstu? Turklāt pielaistā kļūda nedrīkst pāsniegt 1%. [6.9 cm].

4-50. Homogēna lodīte iekārta diegā, kura garums ir vienāds ar lodītes rādiusu. Cik reižu šā svārsta mazo svārstību periods ir lielāks par matemātiskā svārsta mazo svārstību periodu, ja matemātiskā svārsta piekāršanas punkta attālums no tā smaguma centra ir tāds pats? [1.05 reizes].

48

5. Statika. Hidrostatika (šķidrumi un gāzes) Ķermenis, kuram nav rotācijas kustības, atrodas līdzsvarā, ja uz ķermeni darbojošais rezultējošais spēks ir vienāds ar nulli.

00

=∑=

n

iiFr

Ja uz ķermeni darbojas paralēli vienā virzienā (vai pretējos) vērsti spēki, tad 21 FFR

rrr+=

R pielikšanas punktus atrod:

1

2

2

1

ll

FF

= ,

kur l1 ir attālums no F1 līdz R, l2 ir attālums no F2 līdz R. Ķermenis, kuram ir nekustīga rotācijas ass, atrodas līdzsvarā, ja visu uz to darbojošos spēku momentu vektoriālā summa ir vienāda ar nulli:

00

=∑=

n

iiM

r.

Uzdevumu risināšanas piemēri. Spēka sadalīšana komponentēs. Ķermenis, kura masa 300 kg, pakārts trosē, kas piestiprināta punktā B (5-1. zīm.). Ar cik lielu spēku tas darbojas uz stieni AB un stieni BC? Leņķis α = 30°.

αα

α

A

C

B2Fr

1Fr

PTrr

=

Pr5-1. Att.

Dots. m = 300 kg α = 30° g = 9.81 m/s2

F1 - ? F2 - ?

49

A t r i s i n ā j u m s. Tā kā trosē pakārtais ķermenis atrodas miera stāvoklī, troses sastiepuma spēka un ķermeņa smaguma spēka moduļi ir vienādi. Punktā B troses sastiepuma spēks pielikts stieņiem un vērsts uz leju. Tāpēc stienis AB tiek stiepts ar spēku F1, bet stienis BC – spiests ar spēku F2. Kā redzams 5-1.Att., spēki 1F

r un 2F

r ir spēka PT

rr= komponentes.

Tāpēc

;sin1

α=FP

(1)

,2

αtgFP

= (2)

no kurienes, ievērojot, ka ,mgP = (3) iegūstam

αsin1

mgF = un .2 αtgmgF =

Skaitliskais rezultāts.

58865.0

81.93001 =

⋅=F N; 5100

577.081.9300

2 =⋅

=F N.

5-1. Plakanam ķermenim, (5.-2. Att) kuram ir kvadrāta forma, pielikti spēki: F1 = F2 = F3 = 2 N, F4 = F5 = 1 N. Kvadrāta malas garums 2 m. Aprēķināt spēku summāro momentu attiecībā pret punktiem A un B. Kā kustas šis ķermenis? [0].

B

A

1Fr

2Fr

3Fr

4Fr

5Fr

5-2. Att.

5-2. Uz zemes guļ lauznis, kura smaguma spēks 100 N. Cik liels spēks jāpieliek, lai paceltu vienu laužņa galu? [50 N].

5-3. Divi strādnieki nes 5 m garu cauruli, kuras masa 40 kg. Pirmais strādnieks tur cauruli 1 m attālumā no gala, otrs - aiz caurules otra gala.

50

Aprēķināt, ar kādu spēku caurule iedarbojas uz pirmā un otrā strādnieka roku. [250 N; 150 N].

5-4. Homogēns baļķis, kura garums l un masa 100 kg, guļ horizontāli uz 2 atbalstiem. Attālums no baļķa labā gala līdz tuvākajam atbalstam l/3, no kreisā - l/4. Ak kādu spēku baļķis spiež uz atbalstu? Kādu minimālo spēku jāpieliek baļķa labajam galam, lai to paceltu? [400 N; 600 N].

5-5. Homogēns stienis, kura masa 1 kg, guļ uz horizontāla galda tā, ka 1/3 no stieņa garuma ir pāri galda malai. Aprēķināt masu, kas jāpiekar labajam stieņa galam, lai kreisais gals tiktu pacelts augšup? [0.5 kg].

5-6. Uz galda novietots lineāls, tā, ka uz galda atrodas 4/5 daļas no lineāla garuma, bet 1/5 karājas pāri malai. Ja lineālu grib novietot vertikāli, pieliekot spēku tā brīvajam galam, tad – kā šo spēku ir izdevīgāk pielikt? Cik reižu atšķirsies minimālais spēks no maksimālā? [3/2 P; 1/2 P].

5-7. 10 m gara sija, kuras masa 50 kg, ar vienu galu atbalstās pret horizontālu grīdu. Otru sijas galu notur virve tā, ka virve un sija veido taisnu leņķi, bet sija un grīda 60° leņķi. Aprēķināt virves sastiepuma spēku. [125 N].

5-8. Trīs konteineri, kuru svars, skaitot no augšas, ir 1500 N, 1600 N un 1700 N, novietoti vertikāli viens virs otra. Aprēķināt, cik liela papildu slodze pielikta katram konteineram un ar cik lielu spēku visi trīs kopā spiež uz pamatu. [1500 N; 3100 N; 4800 N].

60°

5-3. Att.

5-4. Att

αB

A

C

5-9. Piekrautu liellaivu velk divi traktori, veinmērīgi pārvietojoties gar abām kanāla malām. Cik liels ir ūdens pretestības spēks, ja troses ir sastieptas ar 10000 N lielu spēku, bet leņķis starp trosēm ir 60°? [17.3 kN].

5-10. Stieplē iekārtu 200 N smagu atsvaru velk uz sāniem. Aprēķināt stieples saspiepuma spēku brīdī, kad tā veido 26° lielu leņķi ar vertikāli. [225 N].

5-11. Apgaismošanas armatūra (5-3. Att.) piekārta trosē un atvilkta sānis ar horizontālu atsaiti. Aprēķināt troses un atsaites sastiepuma spēku, ja armatūras svars ir 5 N. [5.8 N].

5-12. Kronšteinam (5-4. Att.) piekārta armatūra, kuras svars ir 100 N. Aprēķināt

51

spēkus stieņos AB un BC, ja leņķis α = 60°. [200 N; 173 N].

5-13. Atsvars, kura masa m = 0.5 kg, iekārts divās atsaitēs AB un BC (5-5. Att.). Vai var nostiept atsaiti AB horizontāli, bet BC tā, lai leņķis α būtu 150°, ja atsaite BC iztur maksimālu slodzi 15 N? Ja var, tad cik liels būs atsaites BC sastiepuma spēks? [9.8 N].

5-14. Dēļa garums 3.2 m. Kādā maksimālā augstumā var pacelt tā vienu galu, lai 35 N spēks, kas vērsts paralēli dēļa virsmai, noturētu uz tā kravu, kuras svars 140 N? [0.8 m].

5-15. Cik lielam jābūt optimālam leņķim α (5-6. Att.), lai stumtu no sāniem automašīnu ar spēku F, ja berzes koeficients rokām pret automašīnu ir 0.8? [32°].

5-16. Cik liels spēks F1 jāpieliek āmura kātam, lai izrautu naglu no dēļa? Naglas pretestības spēks F2 = 160 N, roktura garums l1 = 32 cm, bet attālums no āmura pieta līdz naglai l2 = 8.0 cm (5-7. Att.). [40 N].

5-5. Att.

α

C A

B

5-7. Att.

F1

l1

F2 l2

mg

F

5-8. Att.

50 cm

75 cm

O

5-6. Att.

52

5-17. Klucis, kura masa 10 kg,

jāapgāž ap šķautni O (5-8. Att.). Cik liels spēks jāpieliek, ja kluča platums 50 cm, bet augstums 75 cm? [33 N].

5-9. Att.

F3

B O

F2

C A

F1

α

5-18. 10 N smaga un 0.6 m gara homogēna stieņa galos piekārti 10 N un 20 N smagi atsvari. Kurā vietā stienis jāatbalsta, lai tas atrastos līdzsvarā? [37.5 cm].

5-19. Stienis AB, kura garums ir 0.8 m, atbalstīts puktā O (5-9. Att.). Triju spēku iedarbībā stienis atrodas līdzsvarā, pie tam F1 = 6.7 N, F2 = 3 N, F3 = 4 N, OB = 0.2 m, CO = 0.4 m un leņķis α = 30°. Aprēķināt stieņa smaguma spēku, ja stieņa smaguma centrs ir tā vidū. [8 N].

5-20. 10 N smaga un 0.6 m gara homogēna stieņa galos piekārti 10 N un 20 N smagi atsvari. Aprēķināt pielikto spēku plecus un spiediena spēku, kas darbojas uz atbalsta punktu, ja stienis atrodas līdzsvarā. [0.2 m; 0.4 m; 30 N].

5-21. Četras homogēnas lodes, kuru masas ir m1 = 1 kg, m2 = 5 kg, m3 = 7 kg, m4 = 3 kg, nostiprinātas uz stieņa tā, ka to centri atrodas attālumā d = 0.2 m viens no otra. Noteikt sistēmas smaguma spēka pielikšanas punktu. Stieņa smaguma spēku neievērot. [0.25 m].

5-22. Sadalīt 5 N lielu spēku divos paralēlos un pretēji vērstos spēkos, kuru pielikšanas punkti atrodas no dotā rezultējošā spēka attālumā 3 m un 4 m. [20 N; 15 N].

5-23. Smaga sija ar vienu galu ielaista sienā un atbalstās punktos A un B (5-10. Att.), bet otrā galā C piekārta 2⋅103 N smaga krava. Pieņemot, ka visu slodzi uzņem atbalsta punkti A un B, aprēķināt spiediena spēku,

P

C

A

B

5-10. Att.

53

kas darbojas uz atbalstu punktā A, un sijas svaru. Sijas garums 2 m, bet sienā iestiprinātās daļas garums 0.5 m. Uz atbalstu punktā B darbojas spiediena spēks FB = 8⋅103 N. [12 kN; 2 kN].

5-24. Divas homogēnas lodes, kuru smaguma spēks 3 kgf un 5 kgf, savienotas ar stieni. Stieņa smaguma spēks 2 kgf un garums 30 cm. Noteikt kopējā smaguma centra atrašanās vietu, ja pirmās lodes rādiuss R1 = 5 cm, bet otrās – R2 = 7 cm. [0.25 m].

5-25. 100 N smags dzelzs lauznis guļ uz zemes. Cik liels spēks jāpieliek, lai paceltu tā vienu galu? [50 N].

54

6. Hidro- un aerodinamika.

Uz šķidrumā vai gāzē iegremdētu ķermeni darbojas vertikāli augšup vērsts spēks - Arhimeda spēks Fa. Fa = g⋅ρ⋅Vkp, Kur g – brīvas krišanas paātrinājums; ρ - izpiestā šķidruma vai gāzes blīvums; Vkp – šķidrumā vai gāzē iegremdētā ķermeņa (vai tā iegremdētās daļas) tilpums. Hidrauliskās mašīnas virzuļiem pieliktie spēki F1 un F2 ir tieši proporcionāli virzuļu šķērsgriezuma laukumiem S1 un S2:

1

2

1

2

SS

FF

= ,

bet šo spēku padarītie darbi, ja neievēro berzi, ir vienādi, t.i., F2h2 = F1h1, kur h1 un h2 - virzuļu pārvietojumi. Hidrauliskais spiediens p ir tieši proporcionāls šķidruma blīvumam ρ un iegremdēšanas dziļumam h: p = g⋅ρ⋅h, Kur g – brīvās krišanas paātrinājums. Kopējais spiediens pk šķidruma iekšienē, ja uz to darbojas vēl kādu ārēju spēku radītais spiediens pa: pk = pa + g⋅ρ⋅h. Savienotajos traukos ar dažāda blīvuma šķidrumiem, kuri nesaraujas, līdzsvara gadījumā slāņu augstumi h1 un h2, kas mērīti no abu šķidrumu robežlīmeņa, ir apgriezti proporcionāli šķidrumu blīvumiem ρ1 un ρ2, t.i.,

.1

2

2

1

ρρ

=hh

Strūklas nepārtrauktības vienādojums:

1

2

2

1

SS

vv

= ;

kur S1 un S2 – struklas šķērsgriezumi, v1 un v2 – atbilstošie ātrumi. Bernulli vienādojums:

constpvpv=+=+ 2

22

1

21

22ρρ

.

Ja ķermenis kustas šķidrumā, uz to darbojas pretestības spēks, kuru nosaka Stoksa likums: uRF rr

⋅⋅−= ηπ6 ,

55

η - šķidruma dinamiskā viskozitāte, R – ķermeņa rādiuss, u – ķermeņa ātrums.

Uzdevumu risināšanas piemēri Arhimeda spēks. Ķermeņa peldēšanas nosacījums. Doba cinka lode (6-1.Att.), kuras ārējā sieniņa norobežo tilpumu V1 = 200 cm3, peld līdz pusei iegrimusi ūdenī. Aprēķināt lodes iekšējā dobuma tilpumu. (ρZn = 7.1⋅103 kg/m3; ρū = 1⋅103 kg/m3.) Dots: V1 = 200 cm3

V2 = 21V

ρZn = 7.1⋅103 kg/m3

ρū = 1⋅103 kg/m3

V3 - ? Ja lode peld, tad Arhimeda spēks

AFr

līdzsvaro lodes

smaguma spēku Pr

, t. i., .0=+ PFA

rr

V3

V2

V1

AFr

Pr

6-1. Att.

Projicējot spēkus uz vertikālu asi un izsakot projekcijas ar spēku moduļiem, iegūstam FA = P. (1) Arhimeda spēku var izteikt ar izspiestā ūdens tilpumu un blīvumu ,2 gVF ūA ρ= (2) kur g – brīvās krišanas paātrinājums, bet

.21

2VV = (3)

Lodes smaguma spēks ( ) ,31 gVVP Zn −= ρ (4) kur (V1 – V3) – cinka čaulas tilpums. Izmantojot sakarības (1) … (4), var noteikt V3.

56

Ievietojot izteiksmes (2) un (4) formulā (1), ņemot vērā izteiksmi (3), iegūstam

( ) ,2 31

1 gVVgV

Znū −= ρ

ρ

no kurienes

21

13VVV

Zn

ū

ρρ

−=

jeb

.2

113 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Zn

ūVVρρ

Skaitliskais rezultāts.

1862.14

11200101.72

1011200 3

3

3 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

⋅−⋅=V cm3.

6-1. Aprēķināt dzīvsudraba līmeņu starpību divos savienotajos kapilāros, kuru kanālu diametri 1 mm un 3 mm, ja Hg blīvums 1.36⋅104 kg/m3, virsmas spraiguma koeficients 0.47 N/m, brīvās krišanas paātrinājums 9.8 m/s2. [4.5 mm].

6-2. Savienotajos traukos iepildīts šķidrums, kura blīvums ρ1 un šķidruma stabiņa augstums h1. Savienoto trauku augstums H. Pēc tam vienā caurulītē ielej šķidrumu, kura blīvums ρ2 > ρ1. Cik augstam jābūt šī šķidruma stabiņam, lai otrā caurulē šķidrums sasniegtu caurules augšgalu? [2h1 > H].

6-3. Kubiskas formas trauks, kura šķautnes garums 10 m, līdz malām piepildīts ar ūdeni. Aprēķināt spiediena spēku uz trauka dibenu un sānu virsmu, ja atmosfēras spiediens ir normāls. [6⋅107 N].

6-4. Glāzē, kura ir pilna ar ūdeni, ieliek ķermeni, kura masa 20 g un blīvums 800 kg/m3. Cik ūdens izlīst? [20 g].

6-5. Ar plostu, kas sastav no 20 vienādiem baļķiem, var pārvadāt kravu, kuras maksimālā masa 1800 kg. Aprēķināt koksnes blīvumu, ja katra baļķa tilpums ir 0.3 m3. [700 kg/m3].

6-6. Doba cinka lode (ρ = 7.1⋅103 kg/m3), kuras ārējais tilpums ir 2⋅10-4 m3, ūdenī peld tā, ka puse lodes ir ūdenī. Aprēķināt lodes dobuma tilpumu. [1.86⋅10-4 m3].

6-7. Taisnstūrveida pontona masa 100 kg, tā izmēri: garums 5 m, platums 3 m, augstums 0.7 m. Aprēķināt pontona iegrimi bez slodzes un

57

maksimālo celtspēju, ja bortu augstums virs ūdenslīnijas ir 0.2 m. [6.8⋅103 kg].

6-8. Ķermenis gaisā sver 3 N, ūdenī 1.8 N, šķidrumā, kura blīvums nav zināms, - 2.04 N. Aprēķināt šķidruma blīvumu. [800 kg/m3].

6-9. Baļķis, kura garums 3.5 m un šķērsgriezuma laukums 0.04 m3 peld ūdenī. Baļķa blīvums 500 kg/m3, ūdens – 2 reizes lielāks. Uz baļķa uzkāpj cilvēks. Aprēķināt cilvēka maksimālo masu, lai baļķis to noturētu virs ūdens. [70 kg].

6-10. Homogēna lode peld līdz pusei iegrimusi ūdenī. Aprēķināt lodes tilpumu, ja uz to darbojas 2 N Arhimeda spēks. [4⋅104 m3].

6-11. Metāliska cilindra tilpums ir 400 cm3, to nosvēra gaisā un ogļskābajā gāzē. Svaru starpība 28⋅10-3 N. Aprēķināt ogļskābās gāzes un gaisa blīvumu, ja to attiecība ir 20/13. [2 kg/m3; 1.3 kg/m3].

6-12. Ķermenis, kura masa ir 2 kg un tilpums 1000 cm3, atrodas ezerā 5 m zem ūdens. Cik liels darbs jāveic, lai to paceltu 5 m virs ūdens? [150 J].

6-2. Att.

6-13. Koka lodīte krītot no 20 cm augstuma, iegrimst ūdenī par 60 cm. Cik augstu šī logīte ″izlēks″ virs ūdens, ja ūdens pretestība nemainās, gaisa – neievērot. Koka blīvums 800 kg/m3. [0.1 m].

h1

h2?

6-3. Att.

6-14. Korķa lodīte ir vienu metru zem ūdens. Lodīte atbrīvota, tā uzpeld un ″izlec″ 0.5 m virs ūdens. Aprēķināt vidējo ūdens pretestības spēku lodītes kustībai. Gaisa pretestības spēku neievērot, lodītes masa 100 g, korķa blīvums 200 kg/m3. [3.5 N].

6-15. Homogēns stienis, kura viens gals nostiprināts tā, kā paradīts 6-2. attēlā, atrodas līdzsvarā, ja puse no tā iegremdēta petrolejā. Aprēķināt stieņa materiāla blīvumu, ja petrolejas blīvums ir 800 kg/m3. [600 kg/m3].

6-16. U veida caurulītes labajā pusē ieliets dzīvsudrabs, kura staba augstums h1

= 1 cm. Virs tā uzlietā ūdens staba augstums h2 = 2 cm (6-3. Att.). Cik augstu jāielej ūdens caurulītes kreisajā pusē, lai līdzsvarotu šo abu šķidrumu radīto spiedienu? [24 cm].

58

6-17. Traktora hidrauliskajā sistēmā var radīt 3⋅105 Pa lielu eļļas spiedienu. Cik lielu spēku var attīstīt šī palīgiekārta, ja eļļa darbojas uz virzuli, kura diametrs ir 10 cm? [23.6 kN].

6-18. Dzelzs riteni iepresē tērauda gredzenā ar 500 kN lielu spēku, ko attīsta hidrauliskā spiede. Spiedes lielā virzuļa laukums ir 1 m2, bet mazā – 2 cm2. Cik liels spēks jāpieliek mazajam virzulim? [100 N].

6-19. Savienotajos traukos ieliets dzīvsudrabs, bet virs tā vienā traukā ielieta eļļa augstumā h1 = 48 cm, otrā – petroleja augstumā h2 = 20 cm. Aprēķināt dzīvsudraba līmeņu starpību abos traukos. [Δh = 2 cm].

6-20. Koka gabals peld ūdenī, iegrimstot par ¾ sava tilpuma. Aprēķināt šā koka blīvumu. [ρ = 0.75 g/cm3].

6-21. Uz ūdens virsmas peld trauks, kura dibena laukums S0 (6-4. Att.). Traukā ielietā ūdens līmeņa augstums h0 un trauka iegrime H0. Kā mainīsies augsrumi h0 un H0, ja traukā ievietos koka klucīti, kura smaguma spēks

P? [dSP

].

H0 h0 H h

6-4. Att.

6-22. Gumijas bumba, kuras rādiuss R = 10 cm, peld ūdenī tā, ka tās centrs atrodas 9 cm virs ūdens virsmas. Cik liels darbs jāveic, lai bumbu iegremdētu ūdenī līdz diametra plaknei? [0.74 J].

6-23. Lodi, kuras rādiuss R = 6 cm, ārējs spēks notur zem ūdens tā, ka tās augšējais punkts pieskaras ūdens virsmai. Lodes materiāla blīvums ρ = 500 kg/m3. Cik lielu darbu padara izgrūdējs spēks, ja lodi atbrīvo no ārējā spēka un ļauj tai brīvi peldēt? [0.17 J].

6-24. Lode, kuras diametrs D = 35 cm, peld ūdenī. Cik liels darbs jāpadara, lai iegremdētu lodi vēl par h = 5 cm dziļāk ūdenī? Lodes materiāla blīvums ρ = 500 kg/m3. [4.6 J].

6-25. Ledus gabals, kura šķērsgriezuma laukums S = 1 m2 un augstums H = 0.4 m, peld ūdenī. Cik liels darbs jāpadara, lai ledus gabalu pilnīgi iegremdētu ūdenī? [7.84 J].

59

7. Mehāniskās svārstības un viļņi. Harmonisko svārstību vienādojums ir

( ) ( ,sin2sin2sin ϕωϕνπϕπ+⋅=+⋅⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅⋅= tAtA

TtAx )

kur x – punkta novirze no līdzsvara stāvokļa, kura dažādos laika momentos ir

dažāda, A – amplitūda, T – periods, ϕ - sākumfāze, T1

=υ – svārstību

frekvence, Tπω ⋅

=2

- leņķiskā frekvence.

Svārstoša punkta ātrums

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

⋅⋅== ϕππ

Tt

TA

dtdxv 2cos2

un paātrinājums

.2sin42

2

2

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅

⋅⋅−=== ϕππ

Tt

TA

dtxd

dtdva

Spēks, kura iedarbībā punkts ar masu m harmoniski svārstās, ir

,42sin42

2

2

2

kxxT

mTtm

TAmaF −=−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−==

πϕππ

kur ,42

2

Tmk π

= no kurienes .2kmT π=

Šeit T – punkta svārstību periods, kuras notiek spēka F = -kx iedarbībā; k – deformācijas koeficients, kas skaitliski ir vienāds ar spēku, kas rada vienu vienību lielu novirzi. Svārstoša punkta kinētiskā enerģija

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅⋅== ϕππ

Tt

TmAmvWk

2cos22

22

222

un potenciālā enerģija

.2sin22

22

222

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅⋅== ϕππ

Tt

TmAkxWp

Pilnā enerģija

60

.22

22

TmAW π

=

Kā harmonisko svārstību piemēru var minēt svārsta nelielas svārstības. Matemātiskā svārsta svārstību periods

,2glT π=

kur l - svārsta garums un g – smaguma spēka paātrinājums. Saskaitot divas vienāda virziena un vienāda perioda harmoniskās svārstības, iegūst tā paša perioda harmoniskas svārstības, kuru amplitūda

( ),cos2 122122

21 ϕϕ −++= AAAAA

bet sākumfāzi aprēķina no vienādojuma

2211

2211

coscossinsin

ϕϕϕϕ

ϕAAAAtg

++

=

kur A1 un A2 – saskaitāmo svārstību amplitūdas, bet ϕ1 un ϕ2 – to sākumfāzes. Saskaitot divas vienāda perioda savstarpēji perpendikulāras svārstības, rezultējošās kustības trajektorijas vienādojums ir

( ) ( ).sincos212

212

2122

2

21

2

ϕϕϕϕ −=−−+AAxy

Ay

Ax

Ja uz materiālu punktu, kura masa m, bez elastības spēka F = -kx darbojas vēl berzes spēks Fb = -rv, kur r – berzes koeficients un v – svārstošā punkta ātrums, tad punkta svārstības ir rimstošas. Rimstošo svārstību vienādojums ir ( ),sin ϕωδ +⋅= − tAex t

kur δ - rimšanas koeficients. Pie tam mr

2=δ un ,22

0 δωω −= kur ω0

– pašsvārstību leņķiskā frekvence. Lielumu χ = δT sauc par rimšanas logaritmisko dekrementu. Ja uz materiālu punktu ar masu m, kura svārstības nosaka vienādojums ,sin 01 tAex t ωδ−=darbojas ārējs periodisks spēks F = F0sinω⋅t, tad punkta svārstības ir uzspiestas un svārstību vienādojums ir ( ),sin2 ϕω +⋅= tAx

61

kur

( ) 22222

0

0

4 ωδωω +−=

m

FA

un

.222

0 ωωϕδϕ

−⋅

=tg

Rezonanse iestājas tad, kad uzspiesto svārstību frekvenci ω, pašsvārstību frekvenci ω0 un rimšanas koeficientu δ saista sakarība

.2 220 δωω −=

Nerimstošām svārstībām izplatoties ar ātrumu c kādā virzienā, ko sauc par staru, jebkura punkta novirzi, kurš atrodas uz šā stara attālumā l no svārstību avota, izsaka vienādojums

,22sin ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

−⋅

=λππ l

TtAx

kur A – punkta svārstību amplitūda, λ - viļņa garums. Pie tam λ = cT. Divu punktu fāzu starpība, kuri atrodas uz stara attālumos l1 un l2 no svārstību avota, ir

λ

πϕϕ 1212 2 ll −

⋅=− .

Viļņu interferencē amplitūda sasniedz maksimumu, ja

,2

212λnll =− (n = 0, 1, 2, …),

kur l2 - l1 – staru gājiena starpība. Amplitūda sasniedz minimumu, ja

( )2

1212λ

+=− nll (n = 0, 1, 2, …).

Uzdevumu risināšanas piemēri. Harmoniskas svārstības.

Punkta kustības vienādojums ir .6

sin2 tx π= Aprēķināt laika

momentus, kuros punkts sasniedz maksimālo ātrumu un maksimālo paātrinājumu.

62

Dots.

.6

sin2 tx π=

t - ?

A t r i s i n ā j u m s. Pēc nosacījuma .6

sin2 tx π= No šejienes

ātrums ;6

cos6

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== t

dtdxv ππ

.6

sin6

22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== t

dtdva ππ

Ātrums ir

maksimālais, ja ,16

cos =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ tπ

t. i., ja ,6

ππ nt = kur n = 0, 1, 2, … .

Tādejādi maksimālo ātrumu sasniedz momentos t = 0, 6, 12 s … .

Pāātrinājums ir maksimālais, ja ,16

sin =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ tπ

t. i., ja ( ) .2

126

ππ+= nt

Tādejādi maksimālo paātrinājumu sasniedz momentos t = 3, 9, 15 s … . Rimstošas un uzspiestas svārstības. Ķermenis, kura masa m = 10 g, svārstās rimstoši. Svārstību maksimālā amplitūda 7 cm, sākumfāze ir nulle un rimšanas koeficients 1.6 s-1. Uz ķermeni sāk darboties ārējs periodisks spēks, kura iedarbībā rodas uzspiestās svārstības. Uzspiesto svārstību vienādojums ir

( )ππ 75.010sin5 −= tx cm. Uzrakstīt: 1) pašsvārstību vienādojumu (ar skaitliskajiem koeficientiem); 2) ārējā periodiskā spēka vienādojumu (ar skaitliskajiem koeficientiem). Dots. m = 10 g; A = 7 cm = 0.07 m; δ = 1.6 s-1;

( )ππ 75.010sin50 −= tx ; x(t) - ? F(t) - ?

A t r i s i n ā j u m s. 1) Pašsvārstību vienādojums ir

.sin 000 teAx t ωδ−= (1) Atrodam ω0. No nosacījuma fāzu nobīde starp pašsvarstībām un uzspiestajām svārstībām ir –0.75π, tātad

( ) ,175.0222

0

=−=−

= πωω

δωϕ tgtg

63

( ) ,175.0222

0

=−=−

= πωω

δωϕ tgtg

no kurienes

.220 δωωω += (2)

Šajā gadījumā ω = 10π un δ = 1.6 s-1. Ievietojot šīs vērtības vienādojumā (2). Iegūstam, ka ω0 = 33 = 10.5π, un pašsvārstību vienādojums tad ir .5.10sin7 6.1 tex t ⋅= − π

Ārējā periodiskā spēka vienādojums ir .sin0 tFF ⋅= ω

Aprēķinām ārējā periodiskā spēka maksimālo vērtību F0:

( ) .4 2222200 ωδωω +−= AmF

Ievietojot šajā formulā skaitliskās vērtības, dabūjam, ka F0 = 7.2⋅10-2 N un ārējā periodiskā spēka vienādojums tad ir F = 7.2⋅10-2sin10πt N.

7-1. Uzrakstīt harmonisko svārstību vienādojumu, ja svārstību amplitūda

5 cm, 1 min notiek 150 svārstības un svārstību sākumfāze ir 45°. Konstruēt šo svārstību grafiku.

7-2. Uzrakstīt harmonisko svārstību vienādojumu, ja svārstību amplitūda 0.1 m, periods 4 s un sākumfāze ir nulle.

7-3. Harmonisko svārstību amplitūda ir 50 mm, periods 4 s un

sākumfāze 4π

. 1) Uzrakstīt šo svārstību vienādojumu; 2) Aprēķināt svārstību

punkta novirzi no līdzsvara stāvokļa laika momentos t = 0 un t = 1.5 s; 3) Konstruēt šo svārstību grafiku. [2) 35.2 mm; 0].

7-4. Uzrakstīt harmonisko svārstību vienādojumu, ja svārstību

sākumfāze ir 1) 0; 2) 2π

; 3) π; 4) π23

; 5) 2π. Svārstību amplitūda ir 5 cm un

svārstību periods 8 s. Konstruēt svārstību grafiku visiem šiem gadījumiem. 7-5. Konstruēt vienās koordinātu asīs divu harmonisko svārstību

grafikus, ja šo svārstību amplitūdas ir vienādas (A1 = A2 = 2 cm) un ir vienādi

periodi (T1 = T2 = 8 s), bet ir dažādas fāzu starpības: 1) 4π

; 2) 2π

; 3) π; 4) 2π.

64

7-6. Pēc cik ilga laika no kustības sākuma harmoniski svārstoša punkta novirze no līdzsvara stāvokļa sasniedz pusi no amplitūdas? Svārstību periods 24 s un sākumfāze ir nulle. [2 s].

7-7. Harmonisko svārstību sākumfāze ir nulle. Kāda daļa no svārstības perioda būs pagājusi, kad punkts būs sasniedzis pusi no maksimāla ātruma?

[ T61

].

7-8. Punkta harmoniskās svārstības nosaka vienādojums tx ⋅= π5.0sin7 . Cik ilgā laikā no kustības sākuma punkts noiet ceļu no

līdzsvara stāvokļa līdz maksimālai novirzei? [1 s]. 7-9. Harmonisko svārstību amplitūda ir 5 cm un periods 4 s. Aprēķināt

svārstoša punkta maksimālo ātrumu un maksimālo paātrinājumu. [7.85⋅10-2 m/s; 12.3⋅10-2 m/s2].

7-10. Punkta kustības vienādojums ir ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

42sin2 ππ tx cm.

Aprēķināt: 1) svārstību periodu; 2) punkta maksimālo ātrumu; 3) tā maksimālo paātrinājumu. [1) 4 s; 2) 3.14⋅10-2 m/s; 3) 4.93⋅10-2 m/s2].

7-11. Punkta kustības vienādojums ir tx6

sin π= . Aprēķināt laika

momentus, kuros punkts sasniedz maksimālo ātrumu un maksimālo paātrinājumu. [3, 9, 15 s …].

7-12. Punkts svārstās harmoniski. Svārstību periods 2 s, amplitūda 50 mm, sākumfāze ir nulle. Aprēķināt punkta ātrumu laika momentā, kad punkta novirze no līdzsvara stāvokļa ir 25 mm. [0.136 m/s].

7-13. Uzrakstīt harmonisko svārstību vienādojumu, ja punkta maksimālais paātrinājums ir 49.3 cm/s2, svārstību periods 2 s un punkta novirze no līdzsvara sākummomentā ir 25 mm.

7-14. Harmonisko svārstību sākumfāze ir nulle. Kad punkta novirze no līdzsvara stāvokļa ir 2.4 cm, punkta ātrums ir 3 cm/s, bet, kad novirze ir 2.8 cm, ātrums ir 2 cm/s. Aprēķināt šo svārstību amplitūdu un periodu. [3.1⋅10-2 m; 4.1 s].

7-15. Materiāla punkta svārstību vienādojums ir ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

48sin1.0 ππ tx

m; šā punkta masa m = 1.6⋅10-2 kg. Attēlot grafiski atkarību, kāda pastāv starp spēku F, kas darbojas uz punktu, un laiku t (viena perioda robežās). Aprēķināt maksimālā spēka vērtību. [24.6⋅10-5 N].

65

7-16. Materiāla punkta svārstību vienādojums ir ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

45sin5 ππ tx

cm; šā punkta masa 10 g. Aprēķināt maksimālo spēku, kas darbojas uz punktu, un svārstošā punkta pilno enerģiju. [19.7⋅10-5 N; 4.93⋅10-6 J].

7-17. Materiāla punkta svārstību vienādojums ir ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

44sin2 ππ tx

cm; šā punkta masa 16 g. Attēlot grafiski punkta kinētiskās, potenciālās un pilnās enerģijas atkarību no laika (viena perioda robežās).

7-18. Kāda ir harmoniski svārstoša punkta kinētiskās un potenciālās

enerģijas attiecība laika momentos: 1) 12Tt = s; 2)

8Tt = s; 3)

6Tt = s.

Svārstību sākumfāze ir nulle. [1) 3; 2) 1; 3) 31

].

7-19. Kāda ir harmoniski svārstoša punkta kinētiskās un potenciālās enerģijas attiecība laika momentos, kad punkta novirze no līdzsvara stāvokļa

ir: 1) 4Ax = ; 2)

2Ax = ; 3) Ax = ; A - svārstību amplitūda. [1) 15; 2) 3;

3) 0]. 7-20. Harmoniski svārstoša ķermeņa pilnā enerģija ir 3⋅10-5 J,

maksimālais spēks, kas darbojas uz ķermeni, ir 1.5⋅10-3 N. Uzrakstīt šā ķermeņa kustības vienādojumu, ja svārstību periods ir 2 s un sākumfāze 60°.

7-21. Materiāla punkta harmonisko svārstību amplitūda A = 2 cm, svārstību pilnā enerģija W = 3⋅10-7 J. Cik liela ir svārstoša punkta novirze no līdzsvara stāvokļa, kad uz to darbojas spēks F = 2.25⋅10-5 N? [1.5⋅10-2 m].

7-22. Ja matemātiskā svārsta garumu samazina par 10 cm, tad tā frekvence izmainās 1.2 reizes. Cik liels ir svārsta sākuma garums? [33 cm].

7-23. Viens svārsts izdara 30 svārstības, bet otrs tajā pašā laikā 15 svārstības. Abu svārstu garumu starpība ir 3 m. Cik garš ir katrs svārsts? [1 m; 4 m].

7-24. Lifts pārvietojas vertikāli augšup ar paātrinājumu 2 m/s2. Pie lifta griestiem 1 m garā diegā piekārta lodīte. Aprēķināt svārsta svārstību periodu. Cik liels būs šī svārsta periods, ja lifts pārvietosies lejup ar paātrinājumu 2 m/s2? [1.8 s; 2.2 s].

7-25. Ar cik lielu paātrinājumu un kādā virzienā vertikālā plaknē jāpārvietojas liftam, lai pie tā griestiem piestiprināta 1 m gara svārsta svārstību periods būtu 2.3 s? [2.6 m/s2].

66

7-26. Uzrakstīt tādas kustības vienādojumu, kas rodas, summējoties divām vienāda virziena harmoniskām svārstībām, kam vienādi 8 s periodi un

vienādas 0.02 m amplitūdas. Fāzu starpība starp šīm svārtībām ir 4π

.

Sākumfāze vienai no šīm svārstībām ir nulle. 7-27. Aprēķināt amplitūdu un sākumfāzi harmoniskai svārstībai, kuru

iegūst, saskaitot divas vienāda virziena svārstības:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅=

25sin02.01

ππ tx m un ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅=

45sin03.02

ππ tx m.

[4.6⋅10-2 m; 62°46′]. 7-28. Saskaitot divas vienāda virziena harmoniskās svārstības, kuru

periodi vienādi un vienādas amplitīdas, iegūst rezultējošo svārstību ar tādu pašu periodu un tādu pašu amplitūdu. Aprēķināt saskaitāmo svārstību fāžu

starpību. [3

2π].

7-29. Uzrakstīt rezultējošās svārstības vienādojumu, ko iegūst, saskaitot divas savstarpēji perpendikulāras svārstības ar vienādu frekvenci ν1 = ν2 = 5 Hz un vienādu sākumfāzi ϕ1 = ϕ = 60°. Vienas svārstības amplitūda A1 = 0.10 m, otras A2 = 0.05 m.

7-30. Punkts piedalās divās svārstībās, kuru periodi un sākumfāzes ir vienādas. Svārstību amplitūda A1 = 3 cm un A2 = 4 cm. Aprēķināt rezultējošās svārstības amplitūdu, ja: 1) svārstības notiek vienāda virzienā; 2) svārstības ir savstarpēji perpendikulāras. [1) 7 cm; 2) 5 cm].

7-31. Punkts vienlaicīgi piedalās divās savstarpēji perpendikulārās svārstībās tx ⋅= ωsin2 m un ty ⋅= ωcos2 m. Aprēķināt punkta kustības trajektoriju.

7-32. Punkts vienlaicīgi piedalās divās savstarpēji perpendikulārās

svārstībās tx ⋅= πcos un 2

cos ty ⋅=

π. Aprēķināt punkta rezultējošās

kustības trajektoriju. 7-33. Punkts vienlaicīgi piedalās divās savstarpēji perpendikulārās

svārstībās tx ⋅= πsin un ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=

2sin2 ππ ty . Noteikt punkta kustības

trajektoriju un konstruēt tās grafiku, ievērojot mērogu.

67

7-34. Punkts vienlaicīgi piedalās divās savstarpēji perpendikulārās svārstībās tx ⋅= πsin un ( )ππ +⋅= ty sin4 . Noteikt punkta kustības trajektoriju un konstruēt tās grafiku, ievērojot mērogu.

7-35. Rimstošu svārstību periods ir 4 s, rimšanas logaritmiskais

dekrements 1.6, sākumfāze ir nulle. Punkta novirze ir 4.5 cm, ja 4Tt = . 1)

Uzrakstīt šo svārstību vienādojumu. 2) Konstruēt šo svārstību grafiku divu periodu robežās.

7-36. Rimstošo svārstību vienādojums ir tex t

2sin5 25.0 π⋅−= m.

Aprēķināt svārstošā punktā ātrumu šādos laika momentos: 0, T, 2T, 3T un 4T. [7.85 m/s; 2.88 m/s; 1.06 m/s; 0.39 m/s; 0.14 m/s].

7-37. Matemātiskā svārsta rimšanas logaritmiskais dekrements ir 0.2. Aprēķināt, cik reižu samazinās svārstību amplitūda viena perioda laikā. [1.22].

7-38. Kāds ir matemātiskā svārsta rimšanas logaritmiskais dekrements, ja vienā minūtē svārstību amplitūda samazinās divas reizes? Svārsta garums 1 m. [0.023].

7-39. 24.7 cm garš matemātiskais svārsts svārstās rimstoši. Pēc cik ilga laika svārsta svārstību enerģija samazinās 9.4 reizes? Uzdevumu atrisināt, pieņemot, ka rimšanas logaritmiskais dekrements: 1) χ = 0.01 un 2) χ = 1. [1) 120 s; 2) 1.22 s].

7-40. Matemātiskais svārsts svārstās rimstoši. Rimšanas logaritmaiskais dekrements ir 0.2. Cik reižu samazinās svārsta pilnais paātrinājums tā malējā stāvoklī vienas svārstības laikā? [1.22 reizes].

7-41. Matemātiskā svārsta rimstošo svārstību amplitūda vienā minūtē samazinās divas reizes. Cik reižu tā samazinās trijās minūtēs? [8 reizes].

7-42. 0.5 m garš matemātiskais svārsts, izvirzīts no līdzsvara stāvokļa, pirmajā svārstībā novirzās par 5 cm, bet otrajā svārstībā (tajā pašā virzienā) par 4 cm. Aprēķināt relaksācijas laiku, t. i., laiku, kurā svārstību amplitūda samazinās e reizes, kur e – naturālo logaritmu bāze. [6.4 s].

7-43. Vertikālā atsperē iekārts smagums, tāpēc atspere pagarinās par 9.8 cm. Pavelkot smagumu uz leju un palaižot vaļā, tas sāk svārstīties. Kādam jābūt rimšanas koeficientam δ, lai: 1) svārstības izbeigtos pēc 10 s (pieņemt, ka svārstības ir izbeigušās, ja to amplitūda samazinājusies līdz 1% no sākotnējās vērtības); 2) smagums aperiodiski atgrieztos līdzsvara stāvoklī; 3) rimšanas logaritmiskais dekrements būtu 6? [1) 0.46 s-1; 2) 10 s-1; 3) 6.9 s-1].

7-44. Aprēķināt svārstību viļņa garumu, ja to periods ir 10-14 s. Svārstību izplatīšanās ātrums 3⋅108 m/s. [3⋅10-6 m]. 68

7-45. Skaņas svārstības, kuru frekvence υ = 500 Hz un amplitūda A = 0.25 mm, izplatās gaisā. Viļņa garums λ = 70 cm. Aprēķināt: 1) svārstību izplatīšanās ātrumu; 2) gaisa daļiņu maksimālo ātrumu. [1) 350 m/s; 2) 0.785 m/s].

7-46. Nerimstošu svārstību vienādojums ir tx ⋅= π5.0sin10 cm. 1) Sastādīt viļņa vienādojumu, ja svārstību izplatīšanās ātrums ir 300 m/s. 2) Uzrakstīt un attēlot grafiski punkta svārstību vienādojumu, ja punkts atrodas 600 m attālumā no svārstību avota. 3) Uzrakstīt un attēlot grafiski viļņa punktu svārstību vienādojumu momentā t = 4 s pēc svārstību sākuma.

7-47. Nerimstošu svārstību vienādojums ir tx ⋅= π600sin4 cm. Aprēķināt punkta novirzi no līdzsvara stāvokļa 0.01 s pēc svārstību sākuma, ja punkts atrodas 75 cm attālumā no svārstību avota. Svārstību izplatīšanās ātrums ir 300 m/s. [0.04 m].

7-48. Nerimstošu svārstību vienādojums ir tx ⋅= π5.2sin cm. Aprēķināt punkta novirzi no līdzsvara stāvokļa, tā ātrumu un paātrinājumu momentā t = 1 s pēc svārstību sākuma, ja punkts atrodas 20 m attālumā no svārstību avota. Svārstību izplatīšanās ātrums ir 100 m/s. [0; 7.85⋅10-2 m/s; 0].

7-49. Kāda ir fāžu starpība divu punktu svārstībām, ja punkti atrodas attiecīgi 10 m un 16 m attālumā no svārstību avota? Svārstību periods 0.04 s un svārstību izplatīšanās ātrums 300 m/s. [π].

7-50. Aprēķināt fāžu starpību divu punktu svārstībām, ja punkti atrodas uz stara 2 m attālumā viens no otra un viļņa garums ir 1 m. [4π].

69