fizika iii: valovi i optika
TRANSCRIPT
FIZIKA III: VALOVI I OPTIKA
Pregled formula
Velimir LabinacOdjel za fiziku, Sveuciliste u Rijeci
E-mail: [email protected]
Branka MiloticOdjel za fiziku, Sveuciliste u Rijeci
E-mail: [email protected]
3. sijecnja 2015.
Sadrzaj
I GEOMETRIJSKA OPTIKA 5
1 Zakoni geometrijske optike 51.1 Svjetlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 51.2 Zraka svjetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 51.3 Brzina svjetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 51.4 Apsolutni i relativni indeks loma . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 51.5 Dioptar. Ravni dioptar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 61.6 Zakoni geometrijske optike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 6
1.6.1 Zakon pravocrtnogsirenja svjetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6.2 Zakon o nezavisnosti snopova svjetlosti . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 61.6.3 Zakon odbijanja (refleksije) svjetlosti . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 61.6.4 Zakon loma (Snellov zakon, zakon refrakcije, Descartes-Snellov zakon) . . . . . 61.6.5 Nacelo povratne putanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7 Fermatovo nacelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.8 Planparalelna ploca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.9 Opticka prizma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.10 Totalna refleksija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 8
2 Zrcala 92.1 Ravno zrcalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 9
2.1.1 Realna i virtualna slika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 92.1.2 Konstrukcija i narav slike kod ravnog zrcala . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 9
2.2 Sferno zrcalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 92.2.1 Karakteristicne tocke i velicine sfernog zrcala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2 Paraaksijalne zrake (Gaussova optika) . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 102.2.3 Konstrukcija i narav slike kod sfernog zrcala . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 102.2.4 Jednadzba (konjugacije) sfernog zrcala . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 122.2.5 Jednadzba ravnog zrcala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 122.2.6 Povecanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.7 Zarisna daljina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.8 Dogovor o predznacima velicina kod zrcala i leca . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Sferni dioptar. Debela leca 133.1 Sferni dioptar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 13
3.1.1 Zarista i zarisne daljine sfernog dioptra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.2 Konstrukcija i narav slike kod sfernog dioptra . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 133.1.3 Jednadzba (konjugacije) sfernog dioptra . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 153.1.4 Jednadzba ravnog dioptra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 153.1.5 Povecanje slike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Sustav sfernih dioptara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 153.2.1 Glavne ravnine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 163.2.2 Konstrukcija slike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 163.2.3 Jednadzba konjugacije i povecanje slike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Debela leca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.1 Konstrukcija slike kod debele lece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.2 Jednadzbe za debelu lecu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1
3.3.3 Zarisne daljine debele lece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.4 Glavne ravnine za debelu lecu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Tanka leca 194.1 Jednadzba (konjugacije) za tanku lecu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Vrste tankih leca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3 Konstrukcija i narav slike za konvergentnu lecu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3.1 Povecanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3.2 Jakost ili konvergencija lece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4 Dublet leca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Opticki instrumenti 235.1 Oko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
5.1.1 Normalno oko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235.1.2 Moc razlucivanja normalnog oka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.1.3 Akomodacija oka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 235.1.4 Bliza tocka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.1.5 Dalekovidno oko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 235.1.6 Kratkovidno oko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 245.1.7 Vidni kut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
5.2 Lupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 255.3 Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 255.4 Keplerov dalekozor (teleskop) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 265.5 Galileiev dalekozor (teleskop) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 265.6 Newtonov dalekozor (teleskop) - reflektor . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 265.7 Moc razlucivanja dalekozora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
II VALNA OPTIKA 28
6 Valna jednadzba. Nacelo superpozicije 286.1 Jednodimenzionalna valna jednadzba . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 28
6.1.1 Primjeri zaΨ(x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.2 Sirenje valova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 28
6.2.1 Putujuci val . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.2.2 Stojni val . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 286.2.3 Transverzalni val . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 286.2.4 Longitudinalni val . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 28
6.3 Harmonijski valovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 296.3.1 Zapis harmonijskog vala pomocu kompleksne eksponencijalne funkcije . . . . . 29
6.4 Faza i fazna brzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 296.5 Valovi u tri dimenzije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 30
6.5.1 Harmonijski ravni val u 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 306.5.2 Harmonijski sferni val . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 316.5.3 Harmonijski kruzni (cilindricni) val . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.6 Iradijancija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 316.7 Nacelo superpozicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 326.8 Superpozicija dva vala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 32
6.8.1 Ravni valovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 326.8.2 Sferni valovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 32
2
7 Interferencija 337.1 Youngov eksperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 33
7.1.1 Geometrijska razlika putova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 337.1.2 Opticka razlika putova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.1.3 Pojacanje i ponistenje svjetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347.1.4 Svijetle i tamne pruge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 347.1.5 Iradijancija monokromatskih valova . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 34
7.2 Fresnelova zrcala, Fresnelova biprizma i Lloydovo zrcalo . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.3 Lokalizirane pruge interferencije . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 36
7.3.1 Interferencija na tankom, prozirnom sloju . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 367.3.2 Newtonovi kolobari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 37
8 Difrakcija (ogib) 398.1 Fraunhoferova difrakcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 398.2 Ogib na jednodimenzionanoj pukotini . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 398.3 Ogib na pravokutnoj pukotini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 408.4 Ogib na optickoj resetki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408.5 Braggov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 41
9 Polarizacija. Fresnelove jednakosti 439.1 Ravni elektromagnetski val . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 439.2 Polarizacija monokromatskog, ravnog EM vala . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 43
9.2.1 Linearna polarizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 449.2.2 Kruzna polarizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 449.2.3 Elipticna polarizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459.2.4 Nepolarizirana svjetlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 45
9.3 Nacini polarizacije EM vala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 459.3.1 Brewsterov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 459.3.2 Malusov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 469.3.3 Stupanj polarizacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 46
9.4 Fresnelove jednakosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 47
10 Disperzija. Apsorpcija. Dopplerov efekt 4910.1 Disperzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 49
10.1.1 Valni paket i grupna brzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 4910.1.2 Grupna brzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 49
10.2 Apsorpcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 5010.3 Dopplerov efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 50
10.3.1 Longitudinalni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 5010.3.2 Transverzalni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 51
III MEHANI CKI VALOVI. AKUSTIKA 52
11 Brzina i energija mehanickoga vala 5211.1 Brzina transverzalnog vala na napetoj niti . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 5211.2 Zvuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 5211.3 Brzina zvuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 52
11.3.1 Brzina zvuka u plinovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 5211.3.2 Brzina zvuka u tekucinama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5311.3.3 Brzina zvuka ucvrstim tvarima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3
11.4 Gustoca energije elasticnog valaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5311.4.1 Gustoca energijskoga tokaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5311.4.2 Intenzitet valaI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5311.4.3 Amplituda promjene tlaka∆pm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
11.5 Razina jakosti zvukaLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
12 Stojni valovi. Dopplerov efekt u akustici 5512.1 Titranje napete niti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 5512.2 Titranje ucvrscenogstapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5512.3 Titranje zraka u svirali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 55
12.3.1 Titranje zraka u otvorenoj svirali . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 5512.3.2 Titranje zraka u zatvorenoj svirali . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 55
12.4 Udari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 5512.5 Dopplerov efekt u akustici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 56
12.5.1 Izvor zvuka giba se brzinomui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5612.5.2 Prijemnik se giba brzinomup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5612.5.3 Izvor i prijemnik gibaju se po istom pravcu . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 56
IV FOTOMETRIJA 57
13 Osnovne fotometrijske velicine 5713.1 Snaga zracenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5713.2 Fotometrijski ekvivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 5713.3 Svjetlosni tok (svjetlosni fluks)Φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5713.4 Svjetlosna jakost (svjetlosni intenzitet)I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
13.4.1 Candela (cd) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 5813.4.2 Izotropan tockasti izvor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
13.5 Osvjetljenje (iluminancija)E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5813.5.1 Prvi Lambertov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 58
13.6 Sjaj (luminancija)L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5913.6.1 Ukupni tok s povrsine dA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
13.7 Svijetljenje plohe (svjetlosna odzracnost, svjetlosna egzitancija)M . . . . . . . . . . . 5913.8 Difuzni izvori svjetlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 60
13.8.1 Svijetljenje povrsine za difuzne izvore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6013.9 Drugi Lambertov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 60
V PRILOZI 61Prilog 1: Interferencija na tankim listicima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
LITERATURA 62
4
I GEOMETRIJSKA OPTIKA
1 Zakoni geometrijske optike
1.1 Svjetlost
Svjetlost je, u uzem smislu rijeci, vidljivi dio EM spektra iz intervala valnih duljina 380 -780 nm. Usirem smislu, cijeli EM spektar.
1.2 Zraka svjetlosti
Model u kojem jesirenje svjetlosti opisano pomocu zraka svjetlosti, valjan je samo u posebnim uvjetima.Ako su ti uvjeti zadovoljeni, valna optika prelazi u geometrijsku, a uvjet formalno zapisujemo u obliku
λ → 0 (1.1)
Zrake svjetlosti su putanje po kojima se svjetlosna energija prenosi iz jedne u drugu tocku. U homogenomi izotropnom optickom sredstvu zrake su okomite na valne fronte (plohe konstantne faze). Valne frontedaju oblik valu pa tako govorimo o ravnom, sfernom ili cilindricnom valu.
ravni val kruzni val
Slika 1.1
1.3 Brzina svjetlosti
U vakuumu iznosic = 3 · 108 m s−1 (1.2)
1.4 Apsolutni i relativni indeks loma
Apsolutni indeks loma optickog sredstva definiran je izrazom
n =c
v(1.3)
gdje jev brzinasirenja svjetlosti u tom sredstvu. Za vodu jen = 4/3, a za staklon = 3/2.Relativni indeks loma sredstva 2 prema sredstvu 1 definiramorelacijom
n2,1 =v1
v2
Brzinav1 je brzinasirenja svjetlosti u optickom sredstvu 1, av2 brzinasirenja u sredstvu 2.
5
1.5 Dioptar. Ravni dioptar
Dioptar je granica (granicna ploha) izmedu dva razlicita opticka sredstva. Ako je granicna ploha ravnina,govorimo o ravnom dioptru.
1.6 Zakoni geometrijske optike
Empirijski zakoni koje su vecim dijelom otkrili jos stari Grci.
1.6.1 Zakon pravocrtnogsirenja svjetlosti
U homogenom i izotropnom optickom sredstvu svjetlost sesiri pravocrtno.
1.6.2 Zakon o nezavisnosti snopova svjetlosti
Ako jedan svjetlosni snop prolazi kroz drugi, snopovi ne utjecu jedan na drugog.
1.6.3 Zakon odbijanja (refleksije) svjetlosti
Ako svjetlosni snop upada na zrcaloZ, onda upadna i reflektirana zraka leze u jednoj ravnini. Pri tomeje kut upadanjaα jednak je kutu odbijanjaβ.
aa = b
b
upadna zraka odbijena zraka
Z
Slika 1.2
1.6.4 Zakon loma (Snellov zakon, zakon refrakcije, Descartes-Snellov zakon)
a
b
upadna zraka
lomljena zraka
n2
n2 > n1
n1
Slika 1.3
Matematicka formulacija zakona loma glasi
n1 sinα = n2 sinβ ilisinαsinβ
=n2
n1= n2,1 (1.4)
6
gdje jen2,1 relativni indeks loma sredstva 2 prema sredstvu 1. Ako jen2 > n1 tada kazemo da je sredstvo2 opticki gusce, odnosno sredstvo 1 opticki rjede.
1.6.5 Nacelo povratne putanje
Ako zraka svjetlosti prolazeci razlicitim optickim sredstvima slijedi putanjuγ iz tockeA u B, onda odB doA slijedi istu putanju gibajuci se u suprotnom smjeru. Slicno se zbiva i ako zraka svjetlosti prolazinehomogenim optickim sredstvom kojemu je indeks loma funkcija polozaja,n = n (r ) (slika 1.4).
A
Ag
g B
B
Slika 1.4
1.7 Fermatovo nacelo
Svjetlost se izmedu dviju tocakaA i B giba po onoj putanji po kojojce iz jedne u drugu tocku stici unajkracem vremenu. Kad racunamo putanju svjetlosti po Fermatovom nacelu, na pocetku promatramosljedeci integral:
t =1c
∫B
A
n (s) ds (1.5)
gdje odA doB uzimamo bilo koju mogucu putanju, an(s) je indeks loma kao funkcija putas. Zatimtrazimo ekstrem integrala
∫B
An (s)ds koji ima dimenziju puta pa se zato nazivaopticki put svjetlosti. Iz
dobivenog izraza potrazimo pravu putanju svjetlosti.Svi se zakoni geometrijske optike mogu izvesti iz Fermatovog nacela. Fermatovo nacelo vrijedi samo
ako se indeks loma polagano mijenja na duljini reda velicine valne duljine svjetlosti.
1.8 Planparalelna ploca
Homogeno, izotropno, opticko sredstvo omedeno s dva paralelna, ravna dioptra. Na slici 1.5 velicina∆je pomak zrake nakon prolaska kroz planparalelnu plocu.
b
a
nd
D
D =d sin (a - b)
cos b
Slika 1.5
7
1.9 Opticka prizma
Homogeno, izotropno opticko sredstvo omedeno s dva ravna dioptra koji zatvaraju kutA. Kut A nazivase kut prizme.
A
n
d
d = a + a -1 2 A
a1
a2
Slika 1.6
Kut izmedu upadne i izlazne zrake naziva se kut devijacijeδ. Minimalni kut devijacijeδmin dobije se zaα1 = α2. Tada indeks loma mozemo izracunati po formuli
n(δmin, A) =
sin
(
δmin + A
2
)
sin
(
A
2
) (1.6)
1.10 Totalna refleksija
Promatramosirenje svjetlosti iz opticki gusceg u opticki rjede sredstvo. Pri odredenom kutu upadana dioptar, svjetlost vise ne prelazi u opticki rjede sredstvo. Taj se kut naziva granicni kut za totalnurefleksiju i na slici 1.7 obiljezen je saαg. Ako je upadni kut veci od granicnog, svjetlost se reflektiranatrag u opticki gusce sredstvo. Pojava se naziva totalna refleksija ili potpunoodbijanje svjetlosti.
n2
n2 < n1
n1
aga1
a1 < a ag < 2
a2
Slika 1.7
Granicni kut za totalnu refleksiju racunamo po formuli
αg = arcsin
(
n2
n1
)
(1.7)
8
2 Zrcala
2.1 Ravno zrcalo
Uglacana, ravna povrsina koja moze reflektirati svjetlost, tako da je za cijelu plohu upadni kut jednakkutu odboja. Ako to nije slucaj radi se o plohi koja reflektira difuzno.
2.1.1 Realna i virtualna slika
Oko ce opaziti tockasti izvor svjetlosti ako se on nalazi u sjecistu zraka svjetlosti. Ako su u blizinisvjetlosnog izvora zrcala ili dioptri, tada je moguce da se reflektirane ili lomljene zrake sijeku u tockamakoje predstavljaju sliku izvora. Te se zrake mogu zaista sjeci ili ljudskom oku moze izgledati kao dase zrake sijeku (ustvari se sijeku produzeci reflektiranihili lomljenih zraka),sto oko ne razlikuje. Akose zrake zaista sijeku, onda je slika stvarna (realna). Sijeku li se produzeci zraka, slika je nestvarna(virtualna).
2.1.2 Konstrukcija i narav slike kod ravnog zrcala
I - predmet, izvor svjetlosti
I' I- virtualna slika predmeta
I
I'
Z
Z - ravno zrcalo
Slika 2.1
• virtualna slika
• velicina slike jednaka je velicini predmeta
• zamijenjena je lijeva i desna strana
• slika je na istoj udaljenosti od reflektirajuce plohe kao i predmet
• svjetlosni snop je stigmatican: slika tocke je tocka.
2.2 Sferno zrcalo
Reflektirajuca ploha oblika kalote kugle (dio kugline povrsine). Sferna zrcala mogu biti konkavna (udub-ljena) i konveksna (ispupcena).
2.2.1 Karakteristicne tocke i velicine sfernog zrcala
Na slici 2.2 prikazane su karakteristicne tocke i velicine sfernog zrcala. Karakteristicne tocke nalaze sena optickoj osio.
• T, tjeme
9
• F, zariste (fokus)
• C, srediste zakrivljenosti (centar)
• d(T, F ) ≡ f, zarisna (fokalna) daljina
• d(T, C) ≡ r, polumjer zakrivljenosti
C F
f f
T
o
r r
T F C
Konkavno zrcalo Konveksno zrcalo
Slika 2.2
2.2.2 Paraaksijalne zrake (Gaussova optika)
Za konstrukciju slike kod sfernih zrcala i leca sluzimo se paraaksijalnim zrakama. Upadni kutovi para-aksijalnih zraka na zrcalo su mali, odnosno, zraka upada na zrcalo blizu opticke osi (slika 2.3).
C F T
neparaaksijalna zraka
paraaksijalna zraka
o
Slika 2.3
2.2.3 Konstrukcija i narav slike kod sfernog zrcala
Sliku kod sfernog zrcala konstruiramo pomocu karakteristicnih zraka. Za konstrukciju slike dovoljne sudvije karateristicne zrake.
10
Konkavno zrcalo; r < 0, f > 0; predmet je izmedu centra i zarista.
C F T
h
h - visina predmeta
h' - visina slike
s - udaljenost predmeta od
tjemena zrcala
s' - udaljenost slike od
tjemena zrcala
s'
s
h'o
Slika 2.4
Narav slike:
• realna
• obrnuta
• uvecana
Konveksno zrcalo;r > 0, f < 0
oT F C
h
h - visina predmeta
h' - visina slike
s - udaljenost predmeta od
tjemena zrcala
s' - udaljenost slike od
tjemena zrcala
s's
h'
Slika 2.5
Narav slike:
• virtualna
• uspravna
• umanjena
11
2.2.4 Jednadzba (konjugacije) sfernog zrcala
Jednadzba sfernog zrcala vrijedi samo za paraaksijalne zrake. Jednadzba glasi:
1s+
1s′
=1f
(2.1)
gdje jes udaljenost predmeta, a udaljenost slike od tjemena zrcala.Za s → ∞ ⇒ s′ = f (definicijazarista i zarisne daljine).
2.2.5 Jednadzba ravnog zrcala
Jednadzbu ravnog zrcala dobijemo zar, f → ±∞ ⇒ s = −s′.
2.2.6 Povecanje
m =h′
h= −s′
s(2.2)
gdje jeh visina predmeta, ah′ visina slike.
2.2.7 Zari sna daljina
f = − r
2(2.3)
Za konkavno zrcalo je prema dogovorur < 0 pa jef > 0.Za konveksno zrcalo jer > 0 pa jef < 0.
2.2.8 Dogovor o predznacima velicina kod zrcala i leca
• Velicinas je pozitivna za realne predmete, a negativna za virtualne.
• Velicinas′ je pozitivna za realne slike, a negativna za virtualne.
• Radijus zakrivljenostir je pozitivan za konveksne plohe gdje se predmet i srediste zakrivljenostinalaze na suprotnim stranama zrcala ili lece, a negativan za konkavne plohe gdje se predmet isrediste nalaze na istoj strani.
• Zarisna daljina zrcala je po definiciji zarisna daljina predmeta. Ako je zarisna daljina predmetapozitivna, predmet i zariste predmeta nalaze se na istim stranama zrcala ili lece.
• Velicineh, h′, m pozitivne su za uspravne, a negativne za obrnute predmete ili slike.
12
3 Sferni dioptar. Debela leca
3.1 Sferni dioptar
Granica izmedu dva opticka sredstva koja ima oblik dijela kugline plohe (kalote).
3.1.1 Zari sta i zarisne daljine sfernog dioptra
F1
n2
n2 > n1
n1 r
T F2Co
Slika 3.1
F1
n2
n2 > n1
n1 r
T
F2C o
Slika 3.2
Promatramo samo paraaksijalne zrake (Gaussova optika). Ako je predmet beskonacno daleko, svezrake paralelne s optickom osio sijeku se u zaristu slike (drugo zariste) F2. Ako je slika predmetabeskonacno daleko tada se on nalazi u zaristu predmeta (prvo zariste) F1. Udaljenostd(T, F1) = f1
naziva se zarisna daljina predmeta, ad(T, F2) = f2 zarisna daljina slike. Na slici 3.1 prikazana su zaristakonveksnog, a na slici 3.2 konkavnog sfernog dioptra.
Oprez: zan2 < n1 zarisne daljine mijenjaju predznake.
3.1.2 Konstrukcija i narav slike kod sfernog dioptra
Konveksni sferni dioptar; r > 0;f1, f2 > 0
13
F1
n2
n2 > n1
n1 r
T
F2
C
oh
s s'
h'
Slika 3.3
Narav slike:
• realna
• obrnuta
• umanjena
Konkavni sferni dioptar; r < 0;f1, f2 < 0
F1
n2
n2 > n1
n1
TF2C o
hh'
s
r
s'
Slika 3.4
Narav slike:
• virtualna
• uspravna
• umanjena
14
3.1.3 Jednadzba (konjugacije) sfernog dioptra
Jednadzba sfernog dioptra vrijedi samo za paraaksijalne zrake. Jednadzba glasi:
n1
s+
n2
s′=
n2 − n1
r(3.1)
gdje jes udaljenost predmeta, as′ udaljenost slike od tjemena zrcala. Po definiciji zarista slike, zarisnadaljina slike iz jednadzbe konjugacije (3.1) je
s → ∞ ⇒ s′ = f2 =n2r
(n2 − n1)(3.2)
Po definiciji zarista predmeta, zarisna daljina predmeta iz jednadzbe konjugacije (3.1) je
s′ → ∞ ⇒ s = f1 =n1r
(n2 − n1)(3.3)
Dijeljenjem jednadzbi (3.2) i (3.3) dobijemo
f2
f1=
n2
n1(3.4)
3.1.4 Jednadzba ravnog dioptra
ZaR → ±∞ jednadzba (3.1) postajen1s
′= −n2s (3.5)
i to je jednadzba ravnog dioptra.
3.1.5 Povecanje slike
m =h′
h= −n1
n2
s′
s(3.6)
gdje jeh visina predmeta,h′ visina slike.
3.2 Sustav sfernih dioptara
Vi se razlicitih optickih sredstava odvojenih sfernim dioptrima nazivamo sustavom sfernih dioptara. Pro-matratcemo sustave kod kojih se opticke osi pojedinih dioptara podudaraju. Tada govorimo o centrira-nom sustavu sfernih dioptara.
F1
nkn1 n2 n3 nk-1
1
1
2
2
3
4
4
3
F2
o
Slika 3.5
Na slici 3.5 tockaF1 je zariste predmeta, a tockaF2 zariste slike sustava sfernih dioptara.
15
3.2.1 Glavne ravnine
G2G1
o F1 F2
2
2
1
1
Slika 3.6
Pustimo zraku 1 kroz zariste predmetaF1 na sustav sfernih dioptara. Izlazna zraka je paralelna soptickom osi. Spojimo produzetke ulazne i izlazne zrake. RavninaG1 koja prolazi sjecistem produzetaka,a koja je okomita na opticku os naziva se glavna ravnina predmeta (prva glavna ravnina).
Pustimo zraku 2 paralelno s optickom osi na sustav sfernih dioptara. Izlazna zraka prolazi kroz zaristeslike F2. Spojimo produzetke ulazne i izlazne zrake. RavninaG2 koja prolazi sjecistem produzetaka, akoja je okomita na opticku os naziva se glavna ravnina slike (druga glavna ravnina).
3.2.2 Konstrukcija slike
Konstrukcija slike za sustav sfernih dioptara ide sukcesivno: konstruiramo sliku za prvi dioptar kojapostaje predmetom za drugi dioptar. Slika za drugi postaje predmetom za treci dioptar i tako redom dozadnjeg dioptra.
Medutim, ako su nam poznati polozaji glavnih ravnina, tada jekonstrukcija slike kod sustava sfernihdioptara znatno laksa (slika 3.7).
G2G1
o
F1 F2
h
x
n1 n2
g1 g2
x'
h'
Slika 3.7
3.2.3 Jednadzba konjugacije i povecanje slike
Prema slici 3.7, jednadzba konjugacije za sustav sfernih dioptara glasi:
g1
x+
g2
x′= 1 (3.7)
Povecanje slike je:
m =h′
h= −n1
n2
x′
x(3.8)
gdje sun1, n2 indeksi loma pocetnog i konacnog optickog sredstva.
16
3.3 Debela leca
Leca je centrirani, opticki sustav sastavljen od dva dioptra, a barem jedan od dioptara je zakrivljen. Zakonstrukciju slike i racun najjednostavnije je promatrati lece sastavljene od sfernih ili ravnih dioptara.
Ako je razmakd izmedu tjemena dioptara mali (d ≪ r1, r2), govorimo o tankoj sfernoj leci, a ako jevelik, leca je debela (d & r1, r2).
3.3.1 Konstrukcija slike kod debele lece
Slika predmeta nakon loma na prvom dioptru postaje realan ili virtualan predmet za drugi dioptar.Konacnu sliku predmeta dobijemo nakon loma na drugom dioptru.
n2n1
h'1 = h2
h1
h'2
n1 , n n3 2<
s1 ds2
s '1
s '2
o F1 F'1 F'2
F2
n3
Slika 3.8
3.3.2 Jednadzbe za debelu lecu
Za lom na prvom dioptru vrijedi jednadzba:
n1
s1+
n2
s′1=
n2 − n1
r1(3.9)
Za lom na drugom dioptru jednadzba glasi:
n2
s2+
n3
s′2=
n3 − n2
r2(3.10)
pri cemu jes′1 + s2 = d (3.11)
u sto se lako mozemo uvjeriti ako je realna slika koju daje prvi dioptar takoder realan predmet za drugidioptar, odnosno,s′1, s2 > 0.
3.3.3 Zari sne daljine debele lece
Zarisnu daljinu slike za debelu lecuf2 mozemo dobiti iz jednadzbi (3.9) - (3.11) za
s1 → ∞ , s′1 = fD12 , s2 = d − f
D12 , s′2 = f2 (3.12)
17
gdje jefD12 zarisna daljina slike za dioptarD1. Slicno, za
s1 = f1 , s′1 = d − fD21 , s2 = f
D21 , s′2 → ∞ (3.13)
iz (3.9) - (3.11) dobivamo zarisnu daljinu predmeta za debelu lecu f1 pri cemu jefD21 zarisna daljina
predmeta za dioptarD2. Konacne formule zaf1 i f2 glase:
n2
d − fD12
+n3
f2=
n2
fD21
n1
f1+
n2
d − fD21
=n2
fD12
(3.14)
gdje je:
n2
fD21
=n3 − n2
r2
n2
fD12
=n2 − n1
r1(3.15)
Naglasimo: zarisnu daljinu predmetaf1 debele lece mjerimo od tjemena prvog, a zarisnu daljinuf2 odtjemena drugog sfernog dioptra.
3.3.4 Glavne ravnine za debelu lecu
G2G1
D1 D2
o
F1
g1 g2
F2
Slika 3.9
Kod debele lece mozemo jednostavno odrediti polozaje glavnih ravninaako su zadani indeksi loma ipolumjeri zakrivljenosti sfernih dioptara. Ako mjerimo odtjemena debele lece, polozaj glavne ravninepredmeta je:
∆1 = f1d
fD21
(3.16)
a polozaj glavne ravnine slike:
∆2 = −f2d
fD12
(3.17)
18
4 Tanka leca
4.1 Jednadzba (konjugacije) za tanku lecu
Iz jednadzbe (3.11) u granicid → 0 ⇒ s2 = −s′1. Zbrojimo li lijeve i desne strane jednadzbi (3.9) i(3.10) dobijemo jednadzbu tanke lece koja vrijedi samo za paraaksijalne zrake
n1
s+
n3
s′=
n2 − n1
r1+
n3 − n2
r2(4.1)
gdje smo uvelis1 = s, s′2 = s′. Za s → ∞ i s′ = f2 definirana je reciprocna zarisna daljinu slike tankelecef2:
1f2
=1n3
(
n2 − n1
r1+
n3 − n2
r2
)
(4.2)
Za s′ → ∞ i s = f1 definirana je reciprocna zarisna daljina predmeta tanke tecef1
1f1
=1n1
(
n2 − n1
r1+
n3 − n2
r2
)
(4.3)
Posebno, ako je leca indeksa loman smjestena u zraku (za zrakn ≈ 1), vrijedi n1 = n3 = 1. Jednadzbe(4.2) i (4.3) postaju
1f1
=1f2
=1f
= (n − 1)
(
1r1
− 1r2
)
(4.4)
pa jednadzba konjugacije za tanku lecu (4.1) dobiva oblik
1s+
1s′
=1f
(4.5)
Naglasimo: predznaci polumjera zakrivljenosti u relacijama (4.1) - (4.4) definirani su u odnosu na smjersvjetlosti. Zarisne daljine postaju jednake, no treba i dalje razlikovati tocke: zariste predmeta (prvozariste) i zariste slike (drugo zariste).
4.2 Vrste tankih leca
Nazivi leca dani su u odnosu na promatraca koji gleda u lece s njihovih vanjskih strana, a ne u odnosuna smjer svjetlosti.
r1 > 0 r1 < 0r1 ® ¥
r2 < 0 r2 < 0r2 < 0
f > 0 |r f1| > | | > 0r2 Þf > 0
KONVERGENTNE LECE (pozitivne, konveksne, sabirace,
lece tankog ruba)
bikonveksna konkavkonveksnaplankonveksna
upadni smjer
svjetlosti
Slika 4.1
19
r1 < 0 r1 < 0r1 ® ¥
r2 > 0 r2 < 0r2 > 0
f < 0 |r r | f2| > | < 01 Þf < 0
bikonkavna
upadni smjer
svjetlosti
konkavkonveksnaplankonkavna
DIVERGENTNE LECE (negativne, konkavne, rastresace,
lece debelog ruba)
Slika 4.2
4.3 Konstrukcija i narav slike za konvergentnu lecu
Konvergentna leca; f > 0; predmet se nalazi na udaljenosti vecoj od zarisne daljinef.
L
F2
F1
oh
s s'
h'
F1 - zariste predmeta
F2 - zariste slike
Slika 4.3
Narav slike:
• obrnuta
• realna
Divergentna leca; f < 0
20
L
F1F2
oh
s
s'
h'
F1 - zariste predmeta
F2 - zariste slike
Slika 4.4
Narav slike:
• virtualna
• uspravna
• umanjena
4.3.1 Povecanje
m =h′
h= −s′
s(4.6)
4.3.2 Jakost ili konvergencija lece
j =1f
(4.7)
Jedinica za jakost lece je m−1 .
4.4 Dublet leca
Sustav od dvije tanke, centrirane lece. Ako jef1 zarisna daljina za prvu lecu if2 zarisna daljina za drugulecu, a njihov razmak jed, zarisne daljine dubletaϕ1, ϕ2 mozemo izracunati iz relacija
1ϕ1
+1
d − f2=
1f1
1ϕ2
+1
d − f1=
1f2
(4.8)
Nakon sredivanja izrazi (4.8) postaju
ϕ1 =f1 (f2 − d)f1 + f2 − d
ϕ2 =f2 (f1 − d)f1 + f2 − d
(4.9)
U gornjim je formulamaϕ1 prva zarisna daljina dubleta: to je udaljenost zarista predmeta dubletaΦ1 odleceL1. Velicinaϕ2 naziva se druga zarisna daljina dubleta i to je udaljenost zarista slikeΦ2 od leceL2.
21
F1
F2 o
L2L1
F1L1
L1
L2 L2
F2
F1 F2
F1
- zariste predmeta dubleta
F2
- zariste slike dubleta
Slika 4.5
Zad → 0 vrijedi
1ϕ1
=1ϕ2
=1ϕ
=1f1
+1f2
ili j = j1 + j2 (4.10)
22
5 Opticki instrumenti
5.1 Oko
5.1.1 Normalno oko
Kod normalnog oka slika predmeta uvijek nastaje na mreznici. Ulogu lece u oku, najvecim dijelom,imaju dva dijela: roznica i ocna leca. Zarisne daljine za oko kao sustava leca suf1 = 15 mm if2 =
24 mm, a ukupna jakost sustava leca jej ≃ 58 m−1 .
Velicina kojom se opisuje normalni vid jestdaljina normalnog vidadnv = 25 cm.
o
Slika 5.1
5.1.2 Moc razlucivanja normalnog oka
Najmanji vidni kut za koji oko razlikuje dvije tocke definira se kao:
α =promjercunjica
duljina oka=
4 · 10−6 m
24 · 10−3 m= 1,66 · 10−4 rad≃ 35′′ (5.1)
5.1.3 Akomodacija oka
Stezanjem i otpustanjem misica priraslog za lecu oka mijenja se zarisna daljina oka. Na taj nacin, nor-malno oko jasno vidi predmete na svim udaljenostimad & dnv jer slika uvijek nastane na mreznici.Ovakvo mijenjanje zarisne daljine oka naziva se akomodacija oka.
5.1.4 Bliza tocka
Tocka najbliza oku koju ono jos uvijek jasno vidi naziva se bliza tocka. Za normalno oko bliza tocka jena udaljenostid ≈ 25 cm, no moze biti i manja.
5.1.5 Dalekovidno oko
Po definiciji, dalekovidno oko jestneakomodiranooko kod kojeg slika beskonacnog predmeta nastajeiza mreznice. Korigira se konvergentnom lecom. Napomenimo da je bliza tockaakomodiranogdaleko-vidnog oka uobicajno nekoliko puta udaljenija od oka nego bliza tocka normalnog oka.
23
o
o
Neakomodirano dalekovidno oko
Slika 5.2
5.1.6 Kratkovidno oko
Po definiciji, kratkovidno oko jestneakomodiranooko kod kojeg slika beskonacnog predmeta nastajeispred mreznice. Korigira se divergentnom lecom. Napomenimo da je bliza tockaakomodiranogkrat-kovidnog oka uobicajno nekoliko puta bliza oku nego bliza tocka normalnog oka.
o
o
Neakomodirano kratkovidno oko
Slika 5.3
5.1.7 Vidni kut
ou
24
Slika 5.4
5.2 Lupa
Lupa je konvergentna leca zarisne daljinef ≈ 10 cm. Lupa povecava vidni kut kod gledanja bliskihpredmeta smjestenih na udaljenostima blizim nego bliska tocka oka. Kutno povecanje za lupu definiramokao:
M =u′
u=
dnv
s(5.2)
gdje jednv daljina jasnog vida.
L
F2
F1
o
s
u'
f
h'
h
Slika 5.5
Ako je predmet priblizno u zarisnoj ravnini lece tada je kutno povecanje:
M =dnv
f(5.3)
5.3 Mikroskop
U mikoskopu su dvije konvergentne lece. Leca bliza predmetu naziva se objektiv, a leca bliza okupromatraca okular koji djeluje kao lupa. Ukupno povecanje mikroskopa jednako je umnosku povecanjaza objektivMob i povecanja (5.3) za lupuMok
M = MobMok =(d − fok − fob)
fob
dnv
fok(5.4)
gdje jed udaljenost izmedu okulara i objektiva,fok zarisna daljina okulara, afob zarisna daljina objek-tiva.
Fob Fok
o
d
u'
25
Slika 5.6
5.4 Keplerov dalekozor (teleskop)
U Keplerovom dalekozoru objektiv i okular su konvergentne lece. Objektiv je leca velike fokalne daljine.Ukupno povecanje Keplorovog dalekozora glasi
M =fob
fok(5.5)
Fob = Fok
o
u u'
Slika 5.7
5.5 Galileiev dalekozor (teleskop)
U Galileievu dalekozoru objektiv je konvergentna leca, a okular divergentna leca. Objektiv je leca velikezarisne daljine. Ukupno je povecanje Galileieva dalekozora
M =u′
u=
fob
fok(5.6)
Pri tom treba paziti jer jefok < 0.
Fob = Fok
o
u u'
Slika 5.8
5.6 Newtonov dalekozor (teleskop) - reflektor
Osnovu Newtonova dalekozoracini konkavno zrcalo koje sluzi kao objektiv.
26
5.7 Moc razlucivanja dalekozora
Najmanji vidni kut kod kojeg jos uvijek razlikujemo dva tockasta izvora. Racunamo ga po formuli:
α = 1,22λ
D(5.7)
gdje jeλ valna duljina upadne svjetlosti, aD promjer objektiva. Moc razlucivanja je posljedica difrakcijesvjetlosti na otvoru objektiva.
27
II VALNA OPTIKA
6 Valna jednadzba. Nacelo superpozicije
6.1 Jednodimenzionalna valna jednadzba
∂2Ψ
∂x2=
1
v2
∂2Ψ
∂t2(6.1)
v je fazna brzinasirenja vala. Opce rjesenje gornje jednadzbe glasi:
Ψ(x, t) = f (x − vt) + g(x + vt) (6.2)
Funkcijaf (x − vt) opisuje val koji sesiri u smjeru pozitivnex osi, a funkcijag(x + vt) val koji sesiri unegativnom smjerux osi.
6.1.1 Primjeri zaΨ(x, t)
Titranje napete zice: funkcijaΨ(x, t) je pomak dijelova zice iz ravnoteznog polozaja.
Zvuk u fluidu:Ψ(x, t) je pomak dijelova fluida (zrak, voda).
Svjetlost:Ψ(x, t) je komponenta elektricnog ili magnetnoga polja(
Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz
)
6.2 Sirenje valova
Promatrajmo kako se valovisire kroz neko sredstvo, na primjer, po povrsini vode. Ako udarimo popovrsini vode, pomaknutce secestice vode iz ravnoteznog polozaja. Energija titranjaprenosi se nacijelu povrsinu, jer sucestice vode povezane medumolekulskim silama. Tako smo dobili val na vodi.
6.2.1 Putujuci val
Ako je sustav dovoljno velik te ga mozemo ga smatrati otvorenim (npr. more, jezero), energija titranjace sesiriti u druge dijelove sustava. Kazemo da je val putujuci.
6.2.2 Stojni val
Ako svecestice u sustavu titraju, ali se titranje ne mozesiriti jer je sustav zatvoren (na primjer, lokvavode), kazemo da su se stvorili stojni valovi.
6.2.3 Transverzalni val
Kod transverzalnog je vala smjer titranja (cestica ili EM polja) okomit nasirenje vala.
6.2.4 Longitudinalni val
Kod logitudinalnog vala smjer titranja je u smjerusirenja vala.
28
6.3 Harmonijski valovi
Harmonijski ravni val (krace - ravni val) u jednoj dimenziji opisujemo funkcijama
Ψ(x, t) = A0 sin(kx ± ωt + ε) ili Ψ(x, t) = A0 cos(kx ± ωt + ε) (6.3)
A0 - amplituda
λ - valna duljina (prostorna periodicnost vala)
k - valni broj (valni vektor);k = 2π/λ
τ - perioda (vremenska periodicnost vala)
ν - frekvencija;ν = 1/τ
ω - kruzna frekvencija;ω = 2π/τ = 2πν
ε - fazni pomak (zadan u radijanima)
Argument u (6.3) mozemo transformirati pomocu gornjih formula pa dobijemo
Ψ(x, t) = A sin[
2π(x
λ− t
τ+
ε
2π
)]
(6.4)
6.3.1 Zapis harmonijskog vala pomocu kompleksne eksponencijalne funkcije
Ψ = A0 sin(kx ± ωt + ε) = Im[
A0 ei(kx±ωt+ε)]= Im
[
(A0 eiε) ei(kx±ωt)]
= Im[
Aei(kx±ωt)]
Ψ = A0 cos(kx ± ωt + ε) = Re[
A0 ei(kx±ωt+ε)]= Re
[
(A0 eiε) ei(kx±ωt)]
= Re[
Aei(kx±ωt)]
(6.5)
U gornjim izrazima uveli smo kompleksnu amplitudu
A = A0 eiε (6.6)
koja sadrzi informaciju o faznom pomaku. Zapis ravnog valapomocu kompleksne eksponencijalnefunkcije pojednostavljuje racun kod zbrajanja, deriviranja i integriranja ravnih valova. Na kraju racunauzme se realni ili imaginarni dio dobivene funkcije.
6.4 Faza i fazna brzina
Faza harmonijskog vala jeϕ(x, t) = kx ± ωt + ε (6.7)
Brzina tocaka vala s konstantnom fazom (dϕ/dt = 0) naziva se faznom brzinom. Za harmonijski val,fazna brzina je
dϕdt
= kdxdt
± ω = 0
⇒ dxdt
≡ v = ∓ω
k= ∓λν (6.8)
Tocke konstantne faze imaju konstantanΨ (slika 6.1).
29
v
Y = konst.
Slika 6.1
Dokazimo gornji iskaz. ZaΨ = f [ϕ(x, t)] i tocke konstantne faze imamo
dΨdt
=dfdϕ
dϕdt
dϕdt
= 0 ⇒ dΨdt
= 0 (6.9)
cime smo pokazali da jeΨ = konst.
6.5 Valovi u tri dimenzije
Valna jednadzba u 3D glasi:∂2Ψ
∂x2+
∂2Ψ
∂y2+
∂2Ψ
∂z2=
1
v2
∂2Ψ
∂t2(6.10)
6.5.1 Harmonijski ravni val u 3D
Harmonijski ravni val u 3D opisujemo funkcijom
Ψ(r , t) = A sin(k · r ± ωt + ε) (6.11)
Plohe konstantne faze (valne fronte) ravnog vala jesu ravnine okomite na smjer valnog vektora. U ravni-nama koje su medusobno udaljene zaλ, cestice ili EM polje titraju u fazi (slika 6.2).
xl l
z
y
k
Slika 6.2
Plohe konstante faze odredene su jednadzbom
ϕ(r , t) = k · r ± ωt + ε = konst. (6.12)
30
Jedinicni vektor u smjeruk zapisimo kao
k =kk
(6.13)
pa (6.12) postajek · r = b (t) (6.14)
gdje je b (t) = (konst. ∓ ωt − ε) /k. Jednakost (6.14) jest jednadzba ravnine kojoj se udaljenost odishodistab(t) mijenja s vremenom.
6.5.2 Harmonijski sferni val
Harmonijski sferni val opisujemo funkcijom
Ψ(r, t) =A
rsin(kr ± ωt + ε) (6.15)
Amplituda vala jeA/r, dakle, ovisi or. Plohe konstantne faze su sferer = (konst. ∓ ωt − ε) /k.
6.5.3 Harmonijski kru zni (cilindri cni) val
Harmonijski kruzni (cilindricni) val opisujemo funkcijom
Ψ(ρ, t) ∼ A√ρ
sin(kρ ± ωt + ε) (6.16)
Amplituda vala ovisi o koordinatiρ. Funkcija (6.16) je rjesenje valne jednadzbe za velike vrijednostiρ
sto smo naglasili pomocu znaka∼ .
6.6 Iradijancija
Promatramo elektromagnetske valove, a za valnu funkciju uzimamo komponentu elektricnog polja
Ψ → E (6.17)
Iradijancija I je prosjecna energija elektromagnetskog vala koja padne u jedinicnom vremenu na je-dinicnu plostinu, a jednaka je
I = ǫ0c⟨
E2⟩
T(6.18)
Ovdje jeǫ0 permitivnost, a⟨
E2⟩
Tje prosjecna vrijednost kvadrata elektricnog polja po vremenu
⟨
E2⟩
T=
1T
∫T
0E2dt (6.19)
Vremenski intervalT je mnogo veci od periode titranja vala,T ≫ τ. Za ravni harmonijski valE =
E0cos(kx − ωt + ε) gornji integral jednak je
⟨
E2⟩
T=
E20
2(6.20)
pa za harmonijski val iradijancija postaje
I =12ǫ0cE
20 (6.21)
Stariji naziv za iradijanciju koji se jos uvijekcesto koristi jeintenzitet.
31
6.7 Nacelo superpozicije
Neka suΨ1,Ψ2, ...,Ψi rjesenja valne jednadzbe. Tada je i linearna kombinacija rjesenja
Ψ =
∑
i
ciΨi (6.22)
takoder rjesenje valne jednadzbe. Koeficijentici su, opcenito, kompleksni brojevi.Gornja se tvrdnja naziva nacelo superpozicije, a posljedica jelinearnosti valne jednadzbe.
6.8 Superpozicija dva vala
6.8.1 Ravni valovi
Promatrajmo dva svjetlosna vala jednakih valnih duljina
E1 = E01 cos(k1 · r − ωt + ε1)
E2 = E02 cos(k2 · r − ωt + ε2) (6.23)
VelicineE1, E2 su odgovarajuce komponente elektricnoga polja (x, y ili z komponenta) u valu iz prvogi drugog izvora. Njihov zbroj iznosi
E = E1 + E2 = E01 cos(k1 · r − ωt + ε1) + E02 cos(k2 · r − ωt + ε2) (6.24)
Iradijancija za ukupno poljeE jednaka je
I = ǫ0c⟨
E2⟩
T
=12ǫ0cE
201 +
12ǫ0cE
202 + 2ǫ0cE01E02 cos [(k1 − k2) · r + (ε1 − ε2)]
= I1 + I2 + 2√
I1I2 cos [(k1 − k2) · r + (ε1 − ε2)] (6.25)
gdje suI1, I2 iradijancija prvog i drugog vala posebno. Pretpostavili smo, takoder, da razlika faznihpomaka (ε1 − ε2) ne ovisi o vremenu. Izraz
(k1 − k2) · r + (ε1 − ε2)
naziva sefazna razlikadvaju valova.Clan (k1−k2) · r u faznoj razlici je razlika optickih putova izrazenapreko kuta.
6.8.2 Sferni valovi
Za dva sferna harmonicka vala jednakih valnih duljina
E1 =A
r1cos (kr1 − ωt + ε1)
E2 =B
r2cos (kr2 − ωt + ε2) (6.26)
iradijancija ukupnog poljaE = E1 + E2 je
I = ǫ0c⟨
E2⟩
T
= I1 + I2 + 2√
I1I2 cos [k (r1 − r2) + (ε1 − ε2)] (6.27)
gdje suI1, I2 iradijancije prvog i drugog vala posebno.Clank (r1 − r2) koji se javlja u faznoj razliciposljedica je razlike optickih putova.
32
7 Interferencija
Interferencija je posljedica superpozicije nekoliko valova, najcesce dva. U optici je opazamo kao pravilniraspored tamnih i svijetlih podrucja gdje se svjetlost ponistila ili pojacala.
Svjetlost jedne valne duljine naziva semonokromatska svjetlost, a izvor koji daje takvu svjetlost,monokromatski izvorsvjetlosti. Laser je u dobroj mjeri monokromatski izvor svjetlosti.
Da bi se interferencija mogla opaziti nuzno je da su izvori valovakoherentni. Za dva izvora kazemoda su koherentna ako je razlika faznih pomaka njihovih valova (ε1 − ε2) konstantna u vremenu. Akorazlika faznih pomaka ovisi o vremenu, iradijancija dva superponirana vala ima oblik
I = I1 + I2 + 2√
I1I2 〈cos [(k1 − k2) · r + ε1 (t) − ε2 (t)]〉T (7.1)
Clan 2√
I1I2 〈cos [(k1 − k2) · r + ε1 (t) − ε2 (t)]〉T upucuje na interferenciju. Ako izvori nisu kohe-rentni, tada je prosjecna vrijednost kosinusa kuta u (7.1) jednaka nuli, a interferencija nestaje. Zatokod prirodne svjetlosti (nekoherentan izvor) interferenciju ne mozemo opaziti.
7.1 Youngov eksperiment
Kod Youngova eksperimenta promatramo dva koherentna svjetlosna vala koji su nastali na pukotinama.Pruge interferencije mozemo uhvatiti na zastoru u cijelomprostoru pa zato kazemo da sunelokalizirane.
Vaznost Youngova eksperimenta je velika, jer je njime prviput eksperimentalno pokazana valnapriroda svjetlosti.
7.1.1 Geometrijska razlika putova
r1
1
2
M
r2
Slika 7.1
Iz slike 7.1 vidimo da je geometrijska razlika putova za zrake 1 i 2
∆ = r2 − r1 (7.2)
7.1.2 Opticka razlika putova
Opticka razlika putova jeδ = n(r2 − r1) (7.3)
gdje jen indeks loma sredstva u kojem se nalazi tockaM.
33
7.1.3 Pojacanje i ponistenje svjetlosti
Ako jeδ = mλ , m = 0,1,2, ... (7.4)
nastaje pojacanje svjetlosti.Za
δ = (2m + 1)λ
2, m = 0,1,2, ... (7.5)
nastaje ponistenje. Iz geometrijske razlike putova zakljucujemo da se mjesta pojacanja i ponistenjanalaze na rotacijskim hiperboloidimacija je jednadzba
r2 − r1 = konst. (7.6)
7.1.4 Svijetle i tamne pruge
Ako postavimo zastor paralelno ravnini u kojoj se nalaze pukotine opazitcemo da su pruge oko osiOpriblizno ekvidistantne.
y
d
zastor
a
O
Slika 7.2
Pretpostavimo da su pukotine na razmakua i da je udaljenost od pukotina do zastorad. Udaljenost odosiO do svijetle ili tamne pruge jednaka je
y =d
aδ (7.7)
Udaljenost dviju susjednih svijetlih ili tamnih pruga iznosi
∆y =d
aλ (7.8)
7.1.5 Iradijancija monokromatskih valova
Valovi nastali na pukotinama su koherentni, jednakih amplituda i titraju u fazi (ε1 = ε2) . Kod monokro-matskih valova valne duljineλ, iradijancija u Youngovu pokusu je
I = 4I0 cos2(ay
dλπ)
(7.9)
gdje jeI0 iradijancija svakog od valova zasebno.
34
7.2 Fresnelova zrcala, Fresnelova biprizma i Lloydovo zrcalo
Koherentne izvore svjetlosti nuzne za interferenciju moˇzemo dobiti i na druge nacine koji su slicni Yo-ungovu pokusu. Uz Youngov, najpoznatiji pokusi za dobivanje interferencije koriste:
• Fresnelova zrcala
• Fresnelovu biprizmu
• Lloydovo zrcalo
U tim se pokusima iz jednog realnog izvora dobivaju jedan ilidva virtualna izvora svjetlosti kaostoje prikazano na slikama 7.3 - 7.5.
Formule (7.2) - (7.9) ostaju valjane s tim da kod racunanja treba uzeti u obzircinjenicu da refleksijomna guscem sredstvu, faza svjetlosnog vala dobiva fazni pomakπ.
zastor
neprozirna preprekaZ1
S'1
S
S'2
Z1 , Z2 zrcala
Z2
S'1 , virtualni izvoriS'2
Slika 7.3: Fresnelova zrcala
biprizma
S'1
S'2
S'1 , virtualni izvoriS'2
zastor
S
Slika 7.4: Fresnelova biprizma
35
S'
S' virtualni izvor
zastor
Z
S
Slika 7.5: Lloydovo zrcalo
7.3 Lokalizirane pruge interferencije
7.3.1 Interferencija na tankom, prozirnom sloju
Promatramo interferenciju na tankom, prozirnom sloju debljine ∆ i indeksa loman. Izvor svjetlosti jesirok (nije tockast) i zato pretpostavljamo da na sloj upada ravni val. Lomljeni i reflektirani val su takoderravni valovi.
n
n'
n'
1
2
x
D
C
DA
B
yyl
Slika 7.6
Ako se listic nalazi u optickom sredstvu indeksa loman > n′ (na primjer, listic stakla u zraku), tada jegeometrijska razlika putova za zrake 1 i 2
AB + BC −DC = 2y − x (7.10)
dok je opticka razlika putova[Prilog I]
δ = 2ny −(
n′x +λ
2
)
= 2n∆ cosl − λ
2(7.11)
Pri izvodu formule (7.11) uzeli smo u obzir da se zraka 2 reflektira na opticki guscem sredstvu pa sejavlja fazni pomakλ/2.
Ako je sredstvo u kojem se nalazi listic opticki gusce, odnosnon′ > n tada je opticka razlika putova
δ =
(
2ny +λ
2
)
− n′x
= 2n∆ cosl +λ
2(7.12)
36
Uvjet zapojacanjesvjetlosti na prozirnom sloju je
2n∆ cosl ∓ λ
2= mλ , m = 0,1,2, ... (7.13)
Uvjet zaponistenjesvjetlosti na prozirnom sloju je
2n∆ cosl ∓ λ
2= (2m + 1)
λ
2, m = 0,1,2, ... (7.14)
Predznak ”−” vrijedi za slucajn > n′, a predznak ”+” za n < n′. Napomenimo da rezultati (7.13) i (7.14)vrijede i u slucaju ako se debljina prozirnog sloja polagano mijenja.
Zamijenimo li siroki izvor s tockastim, interferenciju dobijemo u beskonacnosti za konstantnu deb-ljinu sloja (slika 7.7(a)). Ako se debljina sloja obasjanogtockastim izvorom mijenja, tada interferen-cija nastaje u tockama iznad prozirna sloja pa govorimo o nelokaliziranim prugama interferencije (slika7.7(b)).
S
(a) (b)
n
Interferencija na sloju konstantne debljine
n
S
Interferencija na sloju kojem sedebljina mijenja
Slika 7.7
7.3.2 Newtonovi kolobari
Plankonveksnu lecu polozimo na planparalelnu plocu indeksa loman′ tako da njen zaobljeni dio doticeplocu. Iz sirokog izvora pustimo svjetlost na lecu i opazamo interferenciju. Pretpostavimo da je leca uoptickom sredstvu indeksa loman < n′.
1 2
R
r
dn
n'
d > d'
d'AB
Slika 7.8
37
Iz slike 7.8 slijedi da je opticka razlika putova za zrake 1 i 2 priblizno jednaka
δ = 2nd +λ
2(7.15)
gdje se druga zraka reflektirala na planparalelnoj ploci nacinjenoj od opticki gusceg sredstva pa dobijepomak u fazi zaλ/2. Iz trokuta sa stranicamaR, r, R − d zakljucujemo da vrijedi
d ≈ r2
2R(7.16)
uzmemo li u obzir da jed ≪ R. Iz (7.15) i (7.16) je polumjer svijetlih krugova
rsvijetlim =
√
(2m − 1)2
Rλ
n, m = 1,2, ... (7.17)
a polumjer tamnih krugova
rtamnim =
√
mRλ
n, m = 0,1,2, ... (7.18)
38
8 Difrakcija (ogib)
Ako neproziran objekt postavimo izmedu tockastog izvora svjetlosti i zastora, opazitcemo da se sjenaobjekta razlikuje od ”ostre” sjene koju predvida geometrijska optika. Blizi pogled na sjenu otkriva da sesvjetlost pojavljuje u geometrijskoj sjeni, a da se zatamnjenja pojavljuju izvan sjene, gdje geometrijskaoptika predvida samo svjetlost.
Zajednicko ime pojavama u kojima putanja svjetlosti blizu rubova neprozirnih objekata odstupa odpravocrtne jest difrakcija ili ogib.
Razlike izmedu interferencije i difrakcije nema, jer je kod obje pojave konacni efekt jednak: proma-tramo pojacanja ili slabljenja svjetlosti (opcenito, pojacanja ili slabljenja valova) na zastoru iza pukotinaili neprozirnih objekata. Fizicari razlikuju ova dva efekta samo po broju izvora: kod interferencije suobicno dva izvora svjetlosti, dok je kod difrakcije broj izvoravelik ili cak beskonacan.
8.1 Fraunhoferova difrakcija
U primjerima koji slijede pretpostavitcemo da na pukotine ili neprozirne objekte upada ravni val i dase ravni val nakon ogibasiri iza pukotina. Takva se aproksimacija naziva Fraunhoferova difrakcija imatematicki je formulirana izrazom
12
(
1d+
1d′
)
a2 ≪ λ (8.1)
gdje jed udaljenost od izvora do pukotine ili neprozirnog objekta,d′ udaljenost od pukotine do zastora,a sirina pukotine iλ valna duljina svjetlosti.
8.2 Ogib na jednodimenzionanoj pukotini
Promatramo ogib na pukotinicija je duljina mnogo veca od njenesirine. Neka jesirina pukotinea, avalna duljina upadne svjetlostiλ.
Zastor
Leæa
a q
a
-8 -4 00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
4 8
II
/0
-p p 2p-2p
Slika 8.1
Iradijancija na zastoru iza pukotine jednaka je
I = I0
(
sinαα
)2
(8.2)
gdje jeα
α =πa
λsinθ (8.3)
39
Kut θ je kut ogibazraka svjetlosti (slika 8.1). VelicinaI0 je iradijancija centralnog maksimuma. Iz (8.2)vidimo da centralno pojacanje dobivamo za
α = 0 ⇒ θ = 0 (8.4)
Ponistenja svjetlostidobijemo za
α = mπ ⇒ a sinθ = mλ , m = ±1,±2, ... (8.5)
8.3 Ogib na pravokutnoj pukotini
Promatramo ogib na pravokutnoj pukotinisirinea i duljine b.
a z
y
x
b
z
y
x
q
j
Slika 8.2
Iradijancija na zastoru je
I = I0
(
sinαα
)2(sinββ
)2
(8.6)
gdje su
α =πa
λsinθ
β =πb
λsinϕ (8.7)
Kutovi θ i ϕ definiraju smjer ogiba zraka svjetlosti (slika 8.2). Velicina I0 je iradijancija centralnogmaksimuma. Centralno pojacanje dobijemo za
α = β = 0 ⇒ θ = 0 (8.8)
Ponistenja svjetlostidobijemo za
α = mπ ⇒ a sinθ = mλ , m = ±1,±2, ...
β = nπ ⇒ b sinθ = nλ , n = ±1,±2, ... (8.9)
8.4 Ogib na optickoj resetki
Promatramo ogib naN jednodimenzionalnih pukotinasirina a, izmedu kojih je razmakh. Velicina h
naziva sekonstantom opticke resetke.
40
q
h
a
Slika 8.3
Iradijancija na zastoru je
I = I0
(
sinαα
)2 ( sinNγ
N sinγ
)2
(8.10)
Velicineα i γ jesu
α =πa
λsinθ
γ =πh
λsinθ (8.11)
Pojacanja svjetlostikoja odgovaraju glavnim maksimumima javljaju se za
γ = nπ ⇒ h sinθ = nλ , n = 0,±1,±2, ... (8.12)
pri cemu mora bitiα 6= mπ ⇒ a sinθ 6= mλ , m = ±1,±2, ... (8.13)
Indeksn u izrazu (8.12) pokazujered difrakcijskih maksimuma.
8.5 Braggov zakon
Kristali ogibaju rendgenske zrake (λ ∼ 10−10 m) kao prostorna opticka resetka.
d
d
Qd
d
Q
Slika 8.4
41
Smjerovi u kojima dobijemo pojacanja dani su Braggovim zakonom
2d sinΘ = mλ , m = ±1,±2, .... (8.14)
Ovdje jed razmak izmedu susjednih ravnina s atomima u kristalu, a kutΘ je kut komplementan upadnomkutu. Na slici 8.4 prikazana su dva izbora kristalnih ravnina za koja se dobiju pojacanja.
42
9 Polarizacija. Fresnelove jednakosti
9.1 Ravni elektromagnetski val
x
z
y
k
E
B
Slika 9.1
U ravnom EM valu smjerovi titranja elektricnogE i magnetskog poljaB u svakom su trenutku medusobnookomiti. Titranje elektricnog i magnetskog polja zbiva se u ravnini okomitoj na smjer gibanja vala.
9.2 Polarizacija monokromatskog, ravnog EM vala
Ey
Ex
E
Slika 9.2
Promatratcemo samo elektricno polje u monokromatskom, ravnom EM valu. Pretpostavimo da se valgiba u smjeru osiz, a elektricno polje titra u ravninama paralelnim ravninix-y.
Opcenito, smjer titranja elektricnog polja stalno se mijenja. Takvo titranje u ravniniz = konst.
paralelnojx-y ravnini moze se prikazati kao suma dvaju okomitih titranja(slika 9.2)
E = Ex + Ey (9.1)
gdje su
Ex = E0x cos (kz − ωt) exEy = E0y cos (kz − ωt + ε) ey (9.2)
Fazni pomakε konstantan je u vremenu. Kod monokromatskog, ravnog vala elektricno polje titra naposebno jednostavan nacin. Drugim rijecima, vrh vektora elektricnog polja opisuje u ravnini paralelnojx-y ravnini jednostavne krivulje. Kazemo da je monokromatskiravni val polariziran.
43
9.2.1 Linearna polarizacija
x
z
y
k
ravnina titranja
E
Slika 9.3
Pretpostavimo da jeε = 0 ili π (9.3)
u jednakostima (9.2). Tada je
Ex = E0x cos (kz − ωt) exEy = ±E0y cos (kz − ωt) ey (9.4)
iE =
(
E0xex ± E0yey)
cos (kz − ωt)
Vektor elektricnog polja ima fiksan smjer titranja. Gledano u prostoru, elektricno polje titra u ravninikoja je okomita nax-y ravninu i naziva se ravnina titranja (slika 9.3).
9.2.2 Kruzna polarizacija
k
E E
Lijeva polarizacija Desna polarizacija
k
Slika 9.4
Uzmimo da jeε = ±π/2 (9.5)
i E0x = E0y = E0. Imamo
E = E0 cos (kz − ωt) ex ∓ E0 sin (kz − ωt) ey (9.6)
Vrh vektora elektricnog polja opisuje kruznicu. Predznak odreduje smjer vrtnje vektora elektricnogpolja: za ”−” dobivamo lijevu kruznu polarizaciju (suprotno smjeru kazaljke na satu), a za predznak
44
”+” desnu kruznu polarizaciju (u smjeru kazaljke na satu). Zavalove s lijevom kruznom polarizacijomkazemo da imaju pozitivan helicitet, a oni s desnom negativan helicitet. Promatrac je okrenut u smjerusuprotnom od gibanja EM vala i gleda vrh valnog vektora (slika 9.4).
9.2.3 Elipticna polarizacija
Ey
Ex
E
Slika 9.5
Ako suE0x, E0y razliciti, a ε ima bilo koju konstantnu vrijednost, govorimo o elipticnoj polarizaciji.Linearna i kruzna polarizacija su posebni slucajevi elipticne polarizacije (slika 9.5).
9.2.4 Nepolarizirana svjetlost
Ukoliko je svjetlost sastavljena od valova razlicitih frekvencija, fazni pomakε, opcenito, ovisi o vre-menu. Ako seε mijenja u vremenu nasumicno i vektor elektricnoga polja ima nasumican smjer titranjapa govorimo o nepolariziranoj svjetlosti.
9.3 Nacini polarizacije EM vala
Svjetlost se moze polarizirati refleksijom, selektivnom apsorpcijom, dvostrukim lomom ili rasprsenjem.Polarizacija refleksijom temelji se na Brewsterovu zakonu.Polarizaciju svjetlosti pomocu kristala mozemouspjesno obaviti pomocu svima poznatog polaroida, kristala koji koristi selektivnu apsorpciju.
9.3.1 Brewsterov zakon
n1
ravnina upada
u
l
l + r = p/2
r
n2
Slika 9.6
45
Promatramo upad svjetlosti iz optickog sredstva indeksa loman1 u opticko sredstvon2. Ako je upadnikut svjetlostiu jednak Brewsterovom kutuuB, reflektirana svjetlost je linearno polarizirana i ravninatitranja okomita je na ravninu upada. Reflektirana i lomljena zraka zatvaraju pravi kut pa iz Snellovazakona slijedi
tanuB =n2
n1(9.7)
9.3.2 Malusov zakon
ulazna nepolariziranasvjetlost
ravnina propuštanjapolarizatora
a
analizator
polarizator
Slika 9.7
Kristal pomocu kojeg polariziramo svjetlost selektivnom apsorpcijom ili dvostrukim lomom naziva sepolarizatorom.Postavimo dvalinearna polarizatora tako da svjetlost prolazi najprije kroz jedanpa ondakroz drugi (slika 9.7). Drugi polarizator naziva seanalizatorom i njime mijenjamo intenzitet izlazne,polarizirane svjetlosti. Intenzitet svjetlostiI iza analizatora racunamo po Malusovu zakonu
I = Imaxcos2 α (9.8)
Kut α je kut sto ga zatvaraju ravnine propustanja polarizatora i analizatora, a maksimalni se intenzitetizlazne svjetlostiImax dobije ako se ravnine propustanja analizatora i polarizatora podudaraju.
9.3.3 Stupanj polarizacije
Djelomicno polariziranu svjetlost mozemo zamisliti kao mjesavinu nepolarizirane i linearno polariziranesvjetlosti. Stupanj polarizacije djelomicno polarizirane svjetlost i definira se kao
P =Imax− Imin
Imax+ Imin(9.9)
gdje suImax i Imin maksimalan i minimalan intenzitet svjetlosti propustene kroz linearni polarizator kadaga zakrecemo od 0 do 360.
Upada li svjetlost na granicu izmedu dva opticka sredstva, reflektirana i lomljena zraka bitce dje-lomicno polarizirane. Ako je kut upada jednak Brewsterovom kutu, tada je reflektirana zraka potpunolinearno polarizirana i stupanj polarizacije jeP = 1. Lomljena zraka maksimalno je djelomicno polari-zirana jer je stupanj polarizacije najveci za upad pod Brewsterovim kutom.
46
9.4 Fresnelove jednakosti
ni
ravnina upada
qi qr
qt
ki kr
kt
nt
Slika 9.8
Promatrajmo upad ravnog, monokromatskog vala iz optickog sredstva indeksa lomani na opticko sred-stvo indeksa lomant Smjer upadnog vala zadan je valnim vektoromki. Smjer reflektiranog vala zadan jeskr, a smjer transmitiranog (propustenog) vala jekt (slika 9.8).
ni
Refleksija i lom električnog poljaokomitog na ravninu upada
qi
qr
qt
ki
Ei
kr
Er
kt
Et
ni
Refleksija i lom električnog poljaparalelnog ravnini upada
qi
qr
qt
ki
Ei
kr
Er
kt
Et
nt
nt
Slika 9.9
Elektricno polje u monokromatskom, ravnom valu u svakoj tocki mozemo rastaviti na dvije okomitekomponente na nacin slican onome u jednadzbama (9.1) i (9.2). Neka je jedna komponenta elektricnogapolja paralelna, a druga okomita na ravninu upada (slika 9.9). Zaparalelnukomponentu omjer amplitudareflektiranogai upadnoga elektricnog polja glasi
rq =
(
E0r
E0i
)
q
=nt cosθi − ni cosθtni cosθt + nt cosθi
(9.10)
Zaokomitu komponentu omjer amplitudareflektiranogai upadnoga elektricnog polja glasi
r⊥ =
(
E0r
E0i
)
⊥=
ni cosθi − nt cosθtni cosθi + nt cosθt
(9.11)
Zaparalelnu komponentu omjer amplitudatransmitiranogai upadnoga elektricnog polja glasi
tq =
(
E0t
E0i
)
q
=2ni cosθi
ni cosθt + nt cosθi(9.12)
47
Zaokomitu komponentu omjer amplitudatransmitiranogai upadnoga elektricnog polja glasi
t⊥ =
(
E0t
E0i
)
⊥=
2ni cosθini cosθi + nt cosθt
(9.13)
Jednakosti (9.10) - (9.13) nazivaju seFresnelovim jednakostima.
48
10 Disperzija. Apsorpcija. Dopplerov efekt
10.1 Disperzija
U vecini se optickih medija svjetlost razlicitih valnih duljina siri razlicitim brzinama. U tom slucajuindeks loma ovisi o valnoj duljini
n = n (λ) (10.1)
i govorimo o disperziji svjetlosti. U formuli (10.1)λ je valna duljina svjetlosti u vakuumu.
10.1.1 Valni paket i grupna brzina
Brzinusirenja monokromatskog vala s kruznom frekvencijomω i valnim vektoromk nazvali smo faznombrzinom. Relaciju za faznu brzinu izveli smo u (6.8):
v =ω
k(10.2)
Promotrimo, sada, grupu ravnih, monokromatskih EM valova razlicitih valnih vektora koji se gibaju upozitivnom smjeru osix. Superponirajmo (zbrojimo) valove oblika (6.5) po kontinuiranom intervaluvalnih vektora:
E (x, t) =∫∞
−∞Ak ei(kx−ωkt) dk (10.3)
U izrazu (10.3) kompleksna amplitudaAk koja ukljucuje fazni pomak i kruzna frekvencijaωk ovise ovalnom vektoruk. Novi val (10.3) nazivamo valnim paketom. Na slici 10.1 prikazan je karakteristicniizgled Gaussova valnog paketa u trenutkut = 0.
vg
Gaussov valni paket
E x t = 0 x x( , ) = exp( 0,001 ) sin(0.5 )- 2
100-100
Slika 10.1
10.1.2 Grupna brzina
Brzina valnoga paketa naziva se grupnom brzinom. To je brzina ovojnice superponiranih valova (slika10.1). Definirana je formulom
vg =dωdk
∣
∣
∣
∣
k=k0
(10.4)
Valni vektork0 je vektor za koji je amplitudaAk maksimalna (dAk/dk = 0).
49
Ako indeks loma ne ovisi o valnoj duljini, svi se valovi u valnom paketusire istom faznom brzinom(10.2). Tada je grupna brzina jednaka faznoj brzini, a ovisnost kruzne frekvencije o valnom vektoru jeposebno jednostavna
ω (k) = vgk (10.5)
Ako indeks loma ovisi o valnoj duljini (ili valnom vektoru),valovi u paketusire se razlicitim faznimbrzinamav (k) . Iz definicije indeksa loma
n (k) =c
v (k)(10.6)
te iz (10.2) slijedi
ω (k) =kc
n (k)(10.7)
Uvrstimo li (10.7) u formulu za izracun grupne brzine (10.4) dobijemo
vg =c
n− dn
dkkc
n2
= v
(
1− dndk
k
n
)
(10.8)
Ako umjesto valnog vektora u (10.8) upotrijebimo valnu duljinu λ = 2π/k dobijemo
vg = v
(
1+λ
n
dndλ
)
(10.9)
10.2 Apsorpcija
Eksperimenti pokazuju da se intenzitet EM valaI smanjuje dok prolazi kroz opticko sredstvo po Bougu-erovu zakonu (Beer-Lambert-Bouguerov zakon)
I (x) = I0 e−κx (10.10)
• I0 je intenzitet EM vala ux = 0.
• κ je koeficijent apsorpcije. Ovisi o sredstvu kroz koje se valsiri.
• x je debljina sloja u sredstvu kojeg je val prosao.
10.3 Dopplerov efekt
10.3.1 Longitudinalni
Pretpostavimo da izvor emitira EM valove frekvencijeν0. Izvor i prijemnik nalaze se u vakuumu i gibajuse duz istoga pravca relativnom brzinomu. Frekvencija EM valovaν koju biljezi prijemnik mijenja sepo formuli
ν = ν0
√
1− u/c
1+ u/c(10.11)
gdje jec brzina svjetlosti u vakuumu. Ako se izvor i prijemnik medusobno priblizavaju tada jeu < 0, aako se udaljavajuu > 0.
Zau ≪ c gornju formulu mozemo pojednostaviti
ν ≈ ν0
(
1− u
c
)
(10.12)
Ako smjer brzine prijemnika nije paralelan sa smjerom spojnice, racunatcemo s projekcijom te brzineup na spojnicu (slika 10.2).
50
izvor prijemnik
uo u
up
Slika 10.2
10.3.2 Transverzalni
Ako se prijemnik giba u odnosu na izvor tako da je njegova brzinau okomita na spojnicu s izvorom, tadaprijemnik biljezi frekvenciju
ν = ν0
√
1− u2
c2(10.13)
gdje jeν0 frekvencija EM valova koje odasilje izvor.Ako smjer brzine prijemnika nije okomit na smjer spojnice s izvorom, racunatcemo s projekcijom
te brzineuo na smjer okomit na spojnicu (slika 10.2).
51
III MEHANI CKI VALOVI. AKUSTIKA
11 Brzina i energija mehanickoga vala
Valovi koji se sire kroz elasticna sredstva (fluidi icvrste tvari) nazivaju se mehanickim valovima. Krozfluide (tekucine i plinove) mogu sesiriti samo longitudinalni valovi. Krozcvrste tvari mogu sesiriti ilongitudinalni i transverzalni valovi.
11.1 Brzina transverzalnog vala na napetoj niti
Fazna brzina transverzalnog valavz koji sesiri napetom niti iznosi
vz =
√
FN
µ(11.1)
gdje jeFN napetost niti,µ duljinska gustoca
µ =∆m
∆l
11.2 Zvuk
Longitudinalni valovi u elasticnim sredstvima jesu zvucni valovi. Dio fizike koji proucava zvuk nazivase akustikom.
11.3 Brzina zvuka
Brzina je zvuka u elasticnom sredstvu
vz =
√
1KQρ
(11.2)
gdje jeρ gustoca elasticnoga sredstva, aKQ adijabatska kompresibilnost koja se racuna po formuli
KQ = − 1V
∆V
∆p(11.3)
11.3.1 Brzina zvuka u plinovima
Fazna brzina zvuka u idealnom plinu gustoceρ tlakap i adijabatske konstanteκ iznosi
vz =
√
κp
ρ(11.4)
Iz jednadzbe stanja idealnog plina kvocjentp/ρ mozemo izraziti pomocu temperatureT
p
ρ=
RT
M(11.5)
gdje je opca plinska konstantaR = 8,314 J mol−1 K−1, aM molna masa plina. Brzina je zvuka u plinuiskazana u obliku:
vz =
√
κRT
M(11.6)
52
11.3.2 Brzina zvuka u tekucinama
Brzina je zvuka u tekucinama
vz =
√
B
ρ(11.7)
pri cemu jeB obujamni modul elasticnosti.
11.3.3 Brzina zvuka ucvrstim tvarima
Brzina zvuka ucvrstim tvarima iznosi
vz =
√
EY
ρ(11.8)
Ovdje jeEY Youngov modul elasticnosti koji se javlja u Hookovu zakonu
∆F
∆S= EY
∆l
l(11.9)
11.4 Gustoca energije elasticnog valaw
Gustoca energije elasticnog vala opisanog valnom funkcijomΨ jednaka je zbroju gustoca kineticke ipotencijalne energije
w = wk + wp =12ρ
[
(
∂Ψ
∂t
)2
+ v2(
∂Ψ
∂x
)2]
(11.10)
Za harmonijski valΨ(x, t) = A sin(kx − ωt + α), gornja formula postaje
w = ρA2ω2 sin2(kx − ωt + α) (11.11)
Izracunamo li vremenski prosjek izraza (11.11) zbog⟨
sin2(kx − ωt + α)⟩
T= 1/2 dobijemo
〈w〉T =12ρA2ω2 (11.12)
11.4.1 Gustoca energijskoga toka j
Gustoca energijskog toka vala je energija∆E koju val prenese u jedinicnom vremenu∆t kroz jednicnuplostinu okomitu na smjer vala∆S⊥
j =∆E
∆t∆S⊥= wvz = ρA2ω2vz sin2(kx − ωt + α) (11.13)
11.4.2 Intenzitet valaI
Vremenski prosjek gustoca energijskog toka vala naziva se intenzitetom valaI
I = 〈j〉T = 〈w〉T vz =12ρA2ω2vz (11.14)
U akustici se umjesto intenziteta zvuka upotrebljava nazivjakost zvuka.
53
11.4.3 Amplituda promjene tlaka∆pm
Kod sirenja zvuka u plinovima amplituda valaA moze se izraziti pomocu amplitude promjene tlaka∆pm
A =vz∆pm
κpω(11.15)
Za intenzitet zvuka pomocu (11.15) i (11.4) dobije se
I =12ρA2ω2vz =
12
ρv3z (∆pm)2
κ2p2
=12
(∆pm)2
ρvz(11.16)
11.5 Razina jakosti zvukaLI
Subjektivna ocjena glasnoce zvuka raste mnogo sporije nego stvarni intenzitet zvuka.Zato se uvodirazina jakosti zvuka
LI = 10 logI
I0(11.17)
gdje jeI0 jakost zvuka na pragucujnosti
I0 = 10−12 W m−2
Mjerna jednica za razinu jakosti zvuka je decibel (dB).
54
12 Stojni valovi. Dopplerov efekt u akustici
12.1 Titranje napete niti
Napeta nit duljinel po kojoj se valovisire brzinomv moze titrati samo odredenim frekvencijama koje suvisekratnici frekvencije osnovnoga tona
ν1 =vz
2l=
12l
√
FN
µ(12.1)
gdje jeFN napetost niti, aµ = ∆m/∆l duljinska gustoca niti. Frekvencije koje su visekratnici osnovnefrekvencije nazivamo harmonicima ili svojstvenim (vlastitim) frekvencijama
νn = nν1 =n
2l
√
FN
µ, n = 1,2, ... (12.2)
12.2 Titranje ucvrscenogstapa
Ako je stap duljinel po kojemu se valovisire brzinomv ucvrscen na jednome kraju, vlastite frekvencijetitranja su
νn = (2n − 1)vz
4l=
(2n + 1)4l
√
EY
ρ, n = 1,2, ... (12.3)
Ako je stap ucvrscen u sredini vlastite frekvencije titranja su
νn = (2n − 1)vz
2l=
(2n + 1)4l
√
EY
ρ, n = 1,2, ... (12.4)
12.3 Titranje zraka u svirali
12.3.1 Titranje zraka u otvorenoj svirali
Svojstvene frekvencije titranja zraka u otvorenoj sviralidane su izrazom
νn = nvz
2l, n = 1,2, ... (12.5)
gdje jevz brzina zvuka u zraku.
12.3.2 Titranje zraka u zatvorenoj svirali
Svojstvene frekvencije titranja zraka u svirali zatvorenoj na jednome kraju jesu
νn = (2n − 1)vz
4l, n = 1,2, ... (12.6)
U formulama (12.4) i (12.5) brojn je broj cvorova nastalog stojnog vala.
12.4 Udari
Promotrimo dva vala iz koherentnih izvoracije su frekvencijeν1 ≈ ν2. Frekvencija vala koji je superpo-zicija pocetnih valova iznosi (ν1 + ν2)/2, a amplituda (time i intenzitet) vala se periodicno povecava ismanjuje frekvencijom
νb = |ν1 − ν2| (12.7)
Ovaj efekt naziva se udarima, aνb naziva se frekvencijom udara.
55
12.5 Dopplerov efekt u akustici
12.5.1 Izvor zvuka giba se brzinomui
Valna duljina zvuka frekvencijeν0 kojeg prima slusatelj (prijemnik) jest
λ′ =vz + ui
ν0(12.8)
Ako se izvor giba prema prijemniku, brzinaui < 0, a ako se giba od prijemnikaui > 0. Ovdje jevzbrzina zvuka u elasticnome sredstvu u kojem se nalaze izvor i slusatelj. Frekvencija zvuka kojeg primaslusatelj glasi
ν′ =v0
λ′=
ν0
1+ ui/vz(12.9)
12.5.2 Prijemnik se giba brzinomup
Frekvencija zvuka kojeg prima slusatelj iznosi
ν′ =vz − up
λ0(12.10)
Giba li se prijemnik prema izvoru zvuka, brzina prijemnikaup < 0, dok jeup > 0 ako se prijemnik gibaod izvora. Zbogλ0 = vz/ν0 vrijedi
ν′ = ν0
(
1−up
vz
)
(12.11)
12.5.3 Izvor i prijemnik gibaju se po istom pravcu
ν′ = ν0vz − up
vz + ui(12.12)
Ako brzine izvora i prijemnikane leze na istom pravcu, tada racunamo s projekcijama tih brzina naspojnicu izvora i prijemnika (slika 10.2). Transverzalni Dopplerov efekt u akustici ne postoji.
Naglasimo da su formule (12.8)-(12.12) napisane u koordinatnom sustavu u kojem zrak miruje. Naprimjer, recenica ”izvor se giba prema prijemniku” znaci da je vektor brzine izvora usmjeren premaprijemniku gledano iz koordinatnog sustava u kojem zrak miruje.
56
IV FOTOMETRIJA
13 Osnovne fotometrijske velicine
13.1 Snaga zracenja
Neka svjetlosni izvor zraci energiju dES u vremenu dt. Snagu zracenja svjetlosnog izvora definiramoizrazom
P =dES
dt(13.1)
Jedinica za snagu zracenja je watt (W).
13.2 Fotometrijski ekvivalent
Fotometrija proucava svjetlosne velicine u podrucju valnih duljina elektromagnetskog zracenja na koje jeosjetljivo ljudsko oko. Svjetlost razlicitih valnih duljina ima razlicit ucinak na ljudsko oko. Na primjer,normalno oko je najosjetljivije za svjetlost valne duljine555 nm (zeleno-zuta svjetlost), dok infracrvenosvjetlo oko ne moze zapaziti.
Fizicka velicina koja pokazuje osjetljivost ljudskog oka na svjetlost razlicitih valnih duljina nazivase fotometrijski ekvivalent ili spektralna svjetlosna ucinkovitostK (λ) . Na slici 13.1 prikazan je kvalita-tivno fotometrijski ekvivalent za normalno ljudsko oko.
555400 750
K(
)l
l/nm
Kmax
Slika 13.1
13.3 Svjetlosni tok (svjetlosni fluks)Φ
Snagu zracenja koju oko zapaza ovisno o valnoj duljini svjetlosti nazivamo svjetlosnim tokom ili svje-tlosnim fluksom i definiramo ga kao
dΦ = K (λ) dP (13.2)
Jedinica za svjetlosni tok je lumen (lm).
57
13.4 Svjetlosna jakost (svjetlosni intenzitet)I
Promatramo tockasti izvor svjetlosti. Svjetlosna jakost je svjetlosni tok dΦ kojeg emitira izvor (a kojegoko zapaza) po prostornom kutu dΩ
I =dΦdΩ
(13.3)
Opcenito, svjetlosti tok iz svjetlosnog izvora ovisi o smjeruu kojem je svjetlost emitirana, pa jeI =
I (θ, ϕ) . Jedinica za svjetlosnu jakost je candela (cd).
13.4.1 Candela(cd)
Candela je jedinica za svjetlosnu jakost u danom pravcu izvora koji emitira monokromatsko zracenjefrekvencije 540· 1012 Hz i cija je energijska jakost u tom pravcu 1/638 W sr−1 . Candela je osnovna SIjedinica.
13.4.2 Izotropan tockasti izvor
Kazemo da je tockasti izvor svjetlosti izotropan ako je svjetlosna jakostkonstantna
I = konst. (13.4)
Tada je ukupni svjetlosni tok iz tockastog izvora
Φ = 4πI (13.5)
13.5 Osvjetljenje (iluminancija) E
Svjetlosni tok dΦ koji upada na plohu plostine dS odreduje osvjetljenje ploheE
E =dΦdS
(13.6)
Jedinica za osvjetljenje je lux (lx).
13.5.1 Prvi Lambertov zakon
Ako tockasti izvor osvjetljava plohu, tada za osvjetljenost dobijemo
E = IdΩdS
= IdΩdS⊥
cosα (13.7)
Ovdje je povrsina dS⊥ projekcija povrsine dS okomito nar (slika 13.2)
dS⊥ = dS cosα (13.8)
Izvor
r
a DS
DS
Slika 13.2
58
Prostorni kut dΩ povezan je sa dS⊥ relacijom
dΩ =dS⊥
r2(13.9)
pa za osvjetljenje plohe tockastim izvorom dobijemo
E =I
r2cosα (13.10)
Gornju jednakost nazivamo Prvim Lambertovim zakonom.
13.6 Sjaj (luminancija) L
normala na
plohu DS
DAA
q DW
Slika 13.3
Promatramo plosni izvor svjetlosti. Svjetlosni tok kojeg emitira povrsina dA u smjeruθ u prostorni kutdΩ (slika 13.3) glasi
d2Φ = L cosθdAdΩ (13.11)
Sjaj plosnog izvora je, prema tome
L (θ, ϕ) =1
cosθd2Φ
dAdΩ(13.12)
13.6.1 Ukupni tok s povrsine dA
Prostorni kut jednak jedΩ = sinθdϕdθ (13.13)
a tok s povrsine dA
dΦ = dA∫2π
0dϕ
∫π
0dθ sinθ cosθL (θ, ϕ) (13.14)
13.7 Svijetljenje plohe (svjetlosna odzracnost, svjetlosna egzitancija)M
Promatramo plosni izvor svjetlosti. Ukupan svjetlosni tok sa povrsine dA iznosi
dΦ = MdA (13.15)
Usporedbom s (13.14) za svijetljenje plohe dobijemo
M =
∫2π
0dϕ
∫π
0dθ sinθ cosθL(θ, ϕ) (13.16)
59
13.8 Difuzni izvori svjetlosti
Plosni izvor svjetlosti je difuzan ili Lambertov ako je njegov sjaj konstantan
L = konst. = L0 (13.17)
Jedini pravi Lambertov izvor je povrsina savrseno crnog tijela.
13.8.1 Svijetljenje povrsine za difuzne izvore
Ako je izvor difuzan, mozemo izracunati integrale u (13.16)
M = πL0 (13.18)
13.9 Drugi Lambertov zakon
Promatramo difuzni izvor svjetlosticiji je sjaj L0. Iz (13.3) i (13.11) slijedi da je svjetlosna jakostpovrsine dA u smjeruθ
dI =d2Φ
dΩ= L0 cosθdA (13.19)
Zaθ = 0 iz gornjeg izraza dobijemo svjetlosnu jakost povrsine dA u smjeru normale na plohu
dI0 = L0dA (13.20)
a Drugi Lambertov zakon je iz (13.19) i (13.20)
dI = dI0 cosθ (13.21)
60
PRILOZI
PRILOG I: Interferencija na tankim listi cima
n
n'
n'
1
2
xuu
D
C
D
A
B
yy l
Pretpostavimo da jen > n′. Opticka razlika putova za zrake 1 i 2 iznosi
δ = 2ny −(
n′x +λ
2
)
(I.1)
gdje je fazni pomak posljedica refleksija zrake 2 na opticki guscem sredstvu. Duljinay je
y =∆
cosl(I.2)
Iz trokutaACD duljinax je AC sinu. Duljinu AC mozemo izraziti pomocu∆ i kuta l
AC
2= ∆ tanl (I.3)
a Snellov zakon upotrijebitcemo da izrazimo upadni kutu pomocu kuta lomal
n′ sinu = n sinl (I.4)
Duljina x postaje
x = AC sinu
= (2∆ tanl)(
sinln
n′
)
= 2∆n sin2 l
n′ cosl(I.5)
Opticka razlika putova (I.1) postaje
δ = 2n
(
∆
cosl
)
− n′(
2∆n sin2 l
n′ cosl
)
− λ
2
= 2n∆
(
1− sin2 l
cosl
)
− λ
2
= 2n∆ cosl − λ
2(I.6)
61
LITERATURA
Hecht E.,Optics, 4th ed., Addison Wesley, Reading, MA, 2001.
Henc-Bartolic V., Kulisic P.,Valovi i optika, Skolska knjiga, Zagreb, 2004.
62