fizica 22-26

Oscilaţii forţate În cazul oscilaţiilor amortizate, s-a văzut că după un anumit timp se sting. În aplicaţiile

practice, unde oscilaţiile se folosesc la transmiterea la distanţă a unor informaţii este necesar ca timpul de amortizare să fie infinit sau în orice caz suficient de mare.Acest deziderat se realizează prin introducerea unui sistem de compensare a energiei pierdute

într-o oscilaţie, fie din exteriorul oscilatorului, oscilaţiile numindu-se forţate, fie din interiorul oscilatorului, oscilaţiile numindu-se auto întrţinute Presupunem că asupra corpului acţionează o forta compensatoare, exterioară sistemului,

periodică de forma P = P0 sin1tcu pulsatie 1, pe care o considerăm constantă. Am notat cu P0 amplitudinea acestei forţe.

Deci forţa rezultantă care acţionează asupra sistemului este suma forţelor : -elastică Fe

-frecare Fr

-compensatoare P de pulsaţie 1,adică :

F = Fe + Fr + P sau

m = -kx –r + P0 sin1t (32)

Se împarte ecuaţia (32) la masa m a oscilatorului şi aşa cum am mai arătat facem următoarele notaţii:

; ; iar (33)

Introducem în ecuaţia (32) substituţiile (33) şi obţinem:

(34)

Ecuaţia (34) este ecuaţia diferenţială a mişcării oscilatorii forţate. Se face un artificiu pentru a putea rezolva această ecuaţie şi anume membru drept al acestei ecuaţii se poate scrie şi sub forma :

=

=deci:

(35)

Această ecuaţie admite ca soluţie : x=x1+x2 (36)

unde

22

Curs de Fizică Conf. univ.dr. Vasile Mârza

reprezintă oluţia particulară a ecuaţiei (35), în lipsa forţie P;

, ca la mişcarea oscilatorie amortizată;

este o soluţie particulară a ecuaţiei (35) de forma termenului liber, adică de forma (37)cu B ampitudinea oscilaţiei rezultante care se va determina.

Deci (38)Pentru a putea reprezenta grafic ecuaţia (38), vom presupune pentru moment că mărimile B şi

sunt constante

Din graficele prezentate mai sus tragem următoarele concluzii pentru mişcarea oscilatorie

forţată:-în intervalul de timp t1 oscilaţiile cresc în ampitudine până la o valoare maximă pentru care energia pierdută într-o pseudo-perioadă se compensează cu energia furnizată sistemului din exterior, acest interval de timp t1 se numeşte în această mişcare timp de amorsare.-după trecerea timpului t1 sistemul îşi menţine amplitudinea constantă atâta timp cât se comunică din exterior câtă energie se pierde în acelaşi timp prin frecări, deci amplitudinea rezultantă B a oscilaţiilor va fi constantă (dacă pulsaţia forţei exterioare 1 se menţine constantă.)

D eci pentru t.>t 1 x=x2=Bsin ( 1 t + 1).

Determinarea mărimilor B şi 1

Deoarece x2 este o soluţie particulară a ecuaţiei (35) prin înlocuirea acestei soluţii în această ecuaţie trebuie să o verifice, trebuie deci să facem derivata de ordin întăi, respectiv doi în raport cu timpul a lui x2 adică:

23


x2 = Bsin(t + ) (37)

(38)

(39)

Introducem ecuaţiile (37) ,(38) şi (39) în ecuaţia (35) şi vom obţine o identitate din care prin egalarea coeficienţilor membrului stâng şi celui drept obţinem expresiile luiB şi 1 , adică:

+ =

Prin identificarea coeficienţilor rezultă:

= şi

- =

Sistemul de mai sus se mai poate scrie :

(40)

Prin împărţirea celor două relaţii ale ec. (41) se obţine

sau

(41)

Prin ridicarea la pătrat a fiecărei ecuaţii din sistemul (40) şi apoi prin adunarea lor se obţine:

24


sau

(42)

Relaţiile (41) şi (42) arată că mărimile care definesc mişcarea oscilatorie forţată, după scurgerea timpului t1 de amorsare, deci soluţia x2 depind de pulsaţia 1 (celelalte mărimi care intră în

componenţa lor sunt constante: 0 constant, constant =constant ) şi deci B şi 1 sunt

constante pentru 1 constant.

În practică nu totdeauna 1 =constant, de unde se vede că atât B cât şi 1 pot să varieze când 1

variază. Este foarte important să se cunoască modul de variaţie a acestor mărimi cu 1. Pentru aceasta

se derivează relaţia (43) în raport cu 1 şi egalând rezultatul cu zero obţinem maximul lui B, adică:

=0

sau cum 1 se poate scrie

adică :

(43)Deci pentru 1 dat de relaţia (43) amplitudinea rezultantă B va avea valoare maximă, adică

=

25


(44)

Dacă 10 în (43), ca şi cum 0 ( din punct de vedere matematic se poate explica dar pe o cale mai complexă), relaţia (44) ne arată că în această situaţie Bmax .

Fenomenul care constă în creşterea amplitudinii rezultante B atunci când 10 se numeşte fenomen de rezonanţă.

26


fizica 22-26

Documents