fisika zat padat bab 1 2
TRANSCRIPT
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 1/27
BAB I
STRUKTUR KRISTAL
1.1 . Pendahuluan
Suatu padatan dapat berupa kristal atau amorf. Berupa kristal jika atom-atom tersususun
sedemikian rupa sehingga posisinya periodik, sedangkan amorf jika atom-atom tersusun secara
tidak periodic. Sebagai ilustrasi untuk mengetahui susunan kristal dan amorf adalah sebagai
berikut:
> > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > >>
> > > > > > >> > > > > >
> > > > > > > >> > > >
Gambar 1.1a. Struktur ristal Gambar 1.1b. Struktur !morf
1.2 . Kisi Kristal
isi kristal yang biasa disebut kisi dapat dikatakan sebagai abstraksi dari kristal, sehingga
kisi merupakan pola dasar atau pola geometri dari kristal, ilustrasi kisi dapat digambarkan
seperti gambar 1."
• • • • •
• • • • •
• • • • •
• • • • •
• • • • •
Gambar 1.". isi kristal
#itik-titik pada gambar 1." merupakan tempat kedudukan atom dalam suatu kristal, pada suatu
kristal setiap titik tersebut dapat ditempati oleh atom yang sama atau atom berbeda, namun
masing-masing posisi satu dengan yang lain tetap periodic.
isi ada dua kelompok: kisi Bra$ais dan non-Bra$ais. isi disebut kisi Bra$ais jika semua
titik kisinya e%ui$alen, sedangkan kisi non-Bra$ais jika ada beberapa titik kisi yang tidak
e%ui$alen. Gambar 1." merupakan ilustrasi dari kisi Bra$ais, sebab setiap titik pada gambar
tersebut sama, sedangkan gambar 1.& merupakan ilustrasi dari kisi non-Bra$ais sebab ada titk
kisi yang berupa ' titik 'yang bulat dan kecil.
1
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 2/27
• • • • •
• • • • •
• • • • •• • • • •
• • • • •
Gambar 1.&. isi non-Bra$ais
1.3 . Sel Satuan
Sel satuan ditentukan oleh dua $ector yang membatasinya, untuk dua demensi sel
satuan merupakan luasan suatu jajaran genjang yang dibatasi oleh sisi-sisi $ector a dan b
seperti gambar 1.&
Gambar 1.&. Sel satuan yang dibatasi $ector a dan b
Sel satuan tersebut mempunyai empat titik kisi di setiap pojoknya, tetapi masing-masing titik
kisi digunakan bersama oleh empat sel terdekat. (adi masing-masing sel satuan mempunyai satu
titik kisi.
Sel satuan untuk tiga demensi dibentuk oleh $ector ba, dan c seperti ditunjukkan
dalam gambar 1.) dan $olume sel satuannya adalah cbaV ×⋅=
Gambar 1.*. Sel satuan dalam " demensi
1.4 . Sel kisi Primitive dan non!rimitive
+
♦
♦
ab
a b
c
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 3/27
Sel satuan yang hanya mempunyai satu titik kisi disebut sel kisi primiti$e, sel tersebut
mempunyai $olune yang paling kecil, sedangkan sel non-primiti$e $olumenya
merupakan kelipatan dari $olume sel primiti$e.
1." . #m!at $elas Kisi Bravais dan tu%uh sistem Kristal
e empat belas macam kisi Bra$ais merupakan konsekuensi dari kondisi simetri
translasi. e empat belas kisi Bra$ais dikelompokkan dalam tujuh sistem kristal, masing-
masing dicirikan oleh bentuk dan simetri dari sel satuan. Sistem ini adalah #riklinik,
monoklinik, orthorhombic, tetragonal, kubik, heksagonal dan trigonalrhombohidral.
asing-masing bentuk kristal ditentukan oleh sumbu kristal ba, dan c serta sudut
kristal β α , dan γ seperti ditunjukkan pada gambar 1./
Gambar 1./. Bentuk kristal " dimensiSedangkan ke tujuh sistem kristal dan ke empat-belas kisi Bra$ais seperti pada table 1.1.
#abel 1.1. Sistem kristal dan kisi Bra$ais
0o. Sistem kristal isi Bra$ais Sumbu kristal dan sudut
kristal pada kon$ensional sel1. #riklinik Simple #riklinik
γ β α ≠≠≠≠ cba
+. onoklinik Simple onoklinik
Base-centered onoklinik β γ α ≠==
≠≠
2
cba
". 3rthorhombik Simple 3rthorhombik
Base-centered 3rthorhombik
4ace-centered 3rthorhombik
Body-centered 3rthorhombik
2===
≠≠
γ β α
cba
&. #etragonal Simple #etragonal
Body-centered #etragonal
2===
≠=
γ β α
cba
). 5ubic Simple cubic
4ace-centered cubicBody-centered cubic
2
===
==
γ β α
cba
"
ab
c
α γ
β
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 4/27
*. #rigonal Simple #rigonal
2,1+ ≠⟨==
==
γ β α
cba
/. 6e7agonal Simple 6e7agonal
1+
2
=
==
≠=
γ
β α
cba
1.& . Arah Kristal
!rah kristal dituliskan sebagai $ector cnbnan R 888 "+1 ++=
9engan :
bnan 8,8 +1 dan cn 8" masing-masing merupakan proyeksi $ector ke arah sumbu
a, b dan c. (ika +1 , nn dan "n merupakan bilangan bulat maka notasi arah kristal tersebut
adalah [ ]"+1 nnn , sedangkan jika +1 , nn atau "n merupakan bilangan pecahan maka
bilangan tersebut dikalikan dengan faktor kelipatan terkecilnya sehingga menjadi
bilangan bulat semua. (ika arah proyeksi $ector ke arah sumbu a, b atau c berla;anan
dengan arah a,b atau c maka arah yang berla;anan tersebut diberi simbul garis atas n .
Beberapa contoh arah kristal diberikan seperti gambar 1.<
Gambar 1.<. !rah bidang [ ] [ ] [ ] [ ]1+11+1=111=11 dan
etika sel satuan mempunyai simetri rotasi sama, maka ada beberapa arah kristal yang
eki$alen, contoh arah eki$alen untuk sistem kubus adalah [ ] [ ] [ ]1=1=1 . Semua arah yang
eki$alen diberi simbul "+1 nnn
1.' . Bidan( Kristal dan Indek )illers
&
a b
c
[ ]11
[ ]111
[ ]1+1[ ]1+1
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 5/27
3rientasi bidang pada suatu kristal ditentukan oleh indek illers, untuk menentukan
orientasi suatu bidang kristal pertama-tama menentukan perpotongan dengan sumbu a, b dan
c. isalkan perpotongan dengan masing-masing sumbunya adalah 7, y dan c, dengan 7 pa,
y %b dan ? rc., kemudian kita cari pasangan tiplet 1@p. 1@% dan 1@ r yang merupakan
pasangan bulat. 0otasi indek illers adalah h k l dengan h 1@p atau kelipatannya = k
1@% atau kelipatannya dan l 1@r atau kelipatanya. Beberapa contoh orientasi bidang kristal
ditunjukkan seperti gambar 1.2
a b
Gambar 1.2 a 3rientasi bidang 11 dan 1
b 3rientasi bidang 1+ dan +1
1.* . +arak Antar Bidan( dari Indek )illers Sama
0otasi jarak antar bidang dari indek illers sama adalah dhkl , rumus untuk menghitung dhkl
tergantung dari struktur kristalnya. Struktur kristal yang sisi-sisinya saling tegak lurus seperti
pada gambar 1.1, maka perhitungannya adalah sebagai berikut:
)
a b
c
11
1
a
b
c
1+
+1
α
β
γ
hkl
d
0ormal
a
b
c
,-
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 6/27
Gambar 1.1. (arak antar bidang dhkl
γ β α coscoscos z y xd hkl === 1.1
berdasarkan rumus trigonometri ada hubungan antara β α cos=cos dan γ cos yaitu:
1coscoscos +++ =++ γ β α 1.+
subtitusi persamaan 1.1 ke dalam persamaan 1.+ menjadi:
1
+++
= + + z d
yd
xd hkl hkl hkl 1."
sehingga :
+@1
+++
111
1
++
=
z y x
d hkl 1.&
karena
l
ncrc z
k
nb
qb y
h
na pa x
==
==
==
maka persamaan 1.& menjadi
+@1
+
+
+
+
+
+
++
=
c
l
b
k
a
h
nd hkl
1.)
dengan n adalah jarak antar bidang ke n.Antuk struktur kubus panjang kisi-kisinya sama yaitu a, maka jarak antar bidang
terdekatnya n1 adalah
( ) +@1+++l k h
ad hkl
++= 1.*
sedangkan struktur tetragonal jarak antar bidang terdekatnya
+@1+++
1
++
=
cl
ak h
d hkl
1./
*
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 7/27
1./ . Be$era!a 0ontoh Struktur Kristal Sederhana
Beberapa contoh struktur kristal sederhana diantaranya kristal: Sodium 5hlorida, 5esium
5hlorida, 6e7agonal 5lose-acked, Cntan dan Ding Sulfida.
Struktur Sodium 5hlorida 0a5l
Struktur kristal molekul 0a5l atau garam dapur berbentuk kristal kubus pusat muka
4ace 5entered 5ubic dan struktur kristalnya merupakan kristal ion, karena struktur kristal
tersebut terdiri dari ion 0aE dan ion 5l- seperti ditunjukkan pada gambar 1.11.
Gambar 1.11. Struktur kristal 0a5l adalah kubus pusat muka abc
dengan ion 0aE dan ion 5l-
osisi Con 0aE berada di : = F F = FF = F F , sedangkan ion 5l- berada di : F FF = F = F = F . (arak antar Con 0a E dan 5l-adalah setengah panjang kisi kubus,
masing-masing Con 0aE dikelilingi oleh enam Con 5l- terdekat. Basis dari kristal 0a5l adalah
0aE pada posisi dan 5l- pada posisi F F F . Struktur kristal jenis 0a5l ini juga dimiliki
antara lain oleh molekul-molekul : i6, g3, n3, !gBr, bS, 5l, Br.
Struktur 5esium 5hlorida 5s5l
Struktur kristal 5s5l berbentuk kubus pusat badan Body 5entered 5ubic sepertiditunjukkan pada gambar 1.1+.
/
ab
c
aa = ab =
ac =
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 8/27
Gambar 1.1+. Struktur kristal 5s5l dengan Con 5sE dan ion 5l-
(arak antara Con 5sE dan ion 5l- adalah setengah diagonal kubus
"+
a dan basis dari
struktur kristal 5s5l adalah ion 5sE pada posisi dan ion 5l - pada posisi F F F . Con 5l-
dikelilingi oleg delapan ion 5s. Struktur kristal jenis 5s5l dipunyai juga antara lain pada
kristal Be5u, !l0i, 5uDn. 5ud, !gg, i6g.
Struktur 6e7agonal 5lose-acked 65
Struktur 65 mempunyai sel primiti$e kisi he7agonal, tetapi dengan dua basis, yaitu
pada posisi dan +
1
+
1
"
+
seperti ditunjukkan pada gambar 1.1". Struktur 65 ideal
perbandinga kisi *",1"
<≈=
a
c . (umlah atom tetangga terdekat sebanyak 1+ atom dan
struktur tersebut merupakan salah satu struktur yang paling padat sama padat dengan
struktur 455. erbandingan $olume atom dengan $olume selnya atomic fraction /& H.
Gambar 1.1". Struktur 65 dengan basis pada
<
a
ab =
c
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 9/27
osisi dan+
1
+
1
"
+
1.1 Struktur Intan
Struktur kristal intan sama dengan struktur kristal 455 dengan & atom di dalamnya pada
posisi&
"
&
"
&
1,
&
"
&
1
&
",
&
1
&
"
&
",
&
1
&
1
&
1, seperti ditunjukkan pada gambar 1.1&
Gambar 1.1&. Struktur kristal intan9alam satu satuan kon$ensional sel terdiri dari < atom yaitu F atom pada masing-masing
* bidang muka kubus, 1@< atom pada masing-masing < pojok kubus dan & atom di dalam kubus.
1.11 Struktur in Sulide 5 nS6
Struktur DnS merupakan struktur kristal ion yang bentuknya sama dengan struktur kristal
intan, dimana ion DnEE pada posisi , F F, F F , F F dan posisi dari ion S - pada
posisi&1
&"
&",
&"
&1
&",
&"
&"
&1,
&1
&1
&1 . !da empat molekul DnS per sel kon$ensional,
Beberapa contoh struktur kristal jenis DnS adalah 5u4, Si5, 5u5l, Ga, Dn Se, Ga!s.
2
&
1
&
1
&
1
+ atom pertitik kisi
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 10/27
BAB II
7I8RAKSI 9#L:)BA;9 :L#< KRISTAL
2.1 Pendahuluan
ita belajar struktur kristal melalui difraksi photon, neutron maupun electron. 9ifraksi
tergantung dari struktur kristal dan panjang gelombangnya. (ika panjang gelombang jauh lebih
besar dari pada ukuran atom atau konstata kisi kristal maka tidak akan terjadi peristi;a difraksi,
tetapi akan terjadi peristi;a pemantulan. Sedangkan jika panjang gelombang mendekati ataulebih kecil ukuran atom dari kristal maka akan terjadi peristi;a difraksi. Akuran atom adalah
dalam orde I !ngstrom maka supaya terjadi peristi;a difraksi panjang gelombangnya harus
dalam orde I. Seperti disebutkan di atas bah;a ada " macam difraksi yaitu difraksi photon,
neutron dan elektron, sehingga sebagai contoh untuk mendapatkan panjang gelombang 1 I λ
1 I maka energi photon, neutron maupun elektron masing-masing:
Jnergi photon photon sinar-K keV hc
h E ",1+≈==
λ
υ
1
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 11/27
Jnergi 0eutron eV m
h
m
p E
nn
n <,++ +
++
≈==λ
Jnergi electron eV
m
h
m
p E
ee
n 1&&
++ +
++
≈==
λ 2.2 Pem$an(kit Sinar=
Sinar K adalah gelombang elektromagnetik yang mempunyai panjang gelombang dalam
orde !ngstrom I, panjang gelombang tersebut sama ordenya dengan konstanta kisi kristal,
sehingga sinar K sangat berguna untuk menganalisa struktur kristal.
Gambar +.1. embangkit Sinar K
Skema pembangkit sinar K seperti ditunjukkan dalam gambar +.1. Jlektron diemisikan
dari katode dalam tabung $akum dan dipercepat oleh beda potensial tinggi yang ditimbulkan
oleh oleh anode dan katode, sehingga electron memperoleh energi kinetik. etika electron
mengenai target, maka sinar akan di emesikan dari target tersebut. #arget yang terpasang pada
anode berupa logam o, 4e , 0i atau 5u.
Jmisi radiasi sinar K mempunyai spectrum kontinu yang lebar dan spectrum diskrit
secara o$erlap. Spektrum kontinu disebabkan emisi radiasi dari interaksi electron dengan
electron luar atom-atom dalam target akibatnya gerak electron ketika menumbuk target
mengalami perlambatan. eristi;a tersebut disebut peristi;a 'bremstrahlungL , sedangkan
spectrum diskrit disebabkan emisi setelah atom-atom dalam target tereksitasi karena electron
yang datang.
4rekuensi maksimum νo dari spectrum kontinu berhubungan dengan potensial
pemercepat eM h νo , sebab energi maksimum foton tidak dapat melebihi energi kinetik dari
electron datang. 6ubungan antara potensial dengan panjang gelombang minimum λo adalah
V
".1+ =λ I +.1
11
!
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 12/27
dengan M #egangan dalam kilo$olt.
etika sinar K mele;ati medium material, maka sebagian sinarK tersebut diserap oleh
material. Cntensitas dari sinar akan berkurang sesuai dengan formula :
( ) x I I α −= e7p
+.+
dengan C adalah intensial a;al pada permukaan medium, 7 jarak lintasan sinar dan α merupakan
koefiisien serapan. Berkurangnya intensitas seperti dalam persamaan +.+ disebabkan karena
peristi;a hamburan dan serapan sinar oleh atom medium.
2.3. <ukum Bra((
etika sinar K monokromatik datang pada permukaan kristal, sinar tersebut akan
dipantulkan. !kan tetapi pemantulan terjadi hanya ketika sudut datang mempunyai harga
tertentu. Besarnya sudut datang tersebut tergantung dari panjang gelombang dan konstanta kisi
kristal. Sehingga peristi;a tersebut dapat digunakan sebagai salah satu model untuk menjelaskan
pemantulan dan interferensi. odel tersebut ditunjukkan dalam gambar +.+, ketika kristal
digambarkan sebagai bidang parallel sesuai dengan bidang orientasi atomnya. Sinar datang
dipantulkan sebagian pada masing-masing bidangnya, dimana bidang tersebut berfungsi seolah-
olah sebagai cermin, dan pantulan sinar-sinar kemudian terkumpul pada detector. arena
kumpulan pantulan sinar - sinar tersebut merupakan sinar-sinar yang koheren dan ada selisih
lintasan dari masing-masing pantulan bidang kristal maka akan terjadi peristi;a interferensi
ketika diterima oleh detector.
Gambar +.+. antulan sinar K pada bidang kristal
1+
θ θ 5
!
B
9
Sinardatang
Sinar pantul
1
+
"
d
J
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 13/27
Cnterferensi kontruktif terjadi jika selisih lintasan antara dua sinar berturutan merupakan
kelipatan dari panjang gelombangnya λ. Berdasarkan gambar +.+ jarak selisih lintasan sinar
pantul 1 dan + adalah AE BD AB −+=∇ +."
dengan θ sind BD AB == dan θ
θ θ sincos+cos.
+
d AD AE == +.&
dengan d merupakan jarak antara + bidang pantul yang berdekatan dan θ sudut antara sinar
datang dan bidang pantul.Substitusi persamaan +.& dalam persamaan +." didapatkan
(θ
θ
θ sin+
sin
cos1+ +
d d =
−=∇ +.)
sehingga interferensi konstruktif terjadi jika
θ λ sin+d n = +.*
dengan n 1,+,",N. berturut-turut menujukkan oder pertama, ke dua, ke tiga dst. ersamaan
+.* pada umumnya disebut sebagai hukum Bragg untuk mempelajari struktur kristal.
(ika panjang gelombang sinar-K λ dapat ditentukan dari macam target tabung generator
sinar-7 dan θ dapat diukur dari percobaan sudut θ merupaka setengah sudut antara sinar datang
dan sinar difraksi. enurut persamaan +.* peristi;a difraksi terjadi apabila λO+d, sehingga
untuk gelombang optik tidak dapat digunakan .
2.4. <am$uran 5Satterin(6 dari suatu Atom
Beberapa atom dikelilingi oleh elektron-elektron yang mengalami percepatan karena
pengaruh medan magnet yang berhubungan dengan sinar-K yang menumbuknya. (ika suatu
muatan dipercepat memancarkan radiasi, demikian juga untuk elekton-elekton atom. !kibat dari
electron-elektron menyerap energy dari sinar-K, dan menghambur kesegala arah. #etapi elektron-
elektron membentuk a;an muatan charge cloud disekeliling atom, sehingga ketika kita
menganggap hamburan dari atom, kita harus memperhitungkan perbedaan fase sinar-sinar
hamburan dari tempat yang berbeda-beda disekitar a;an muatan. (ika hamburan dari sebuah
atom seperti ditunjukkan dalam gambar +.".
1"
Sinar datang
Sinarhamburan
Jlektron
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 14/27
Gambar +.". 6amburan dari sebuah elektron
(ika suatu medan gelombang datar pada sebuah electron diberikan sebagai :
( )t r k i Au ω −⋅= e7p +./
dengan: ! amplitudo, ok $ector gelombang ko +π@λ dan ω frekuensi anguler. edan
hamburan mengeluarkan gelombang sferis yang dituliskan sebagai:
( )[ ]t kDi D
A f u e ω −= e7pP +.<
dengan f e adalah suatu parameter yang diketahui sebagai panjang hamburan scattering length
dari electron, dan 9 adalah jarak radial dari electron ke titik dimana medan di e$aluasi. Besarnya
k adalah angka gelombang dari gelombang terhambur. 9an mempunyai besar sama dengan k.
Sebagai catatan bah;a amplitudo dari gelomabng hambur berkurang dengan seperjarak 1@9,
hal tersebut merupakan bagian dari sifat gelombang sferis.
!ndaikan gelombang datang berinteraksi dengan dua eelektron seperti ditunjukkan pada
gambar +.& dalam hal ini, ke dua electron memancarkan gelombang sferis, dan medan hambur
yang diamati pada suatu jarak tertentu adalah merupakan penjumlahan dari dua medan, dimana
perbedaan fasenya harus turut dihitung, sehingga secara matematis dapat ditulis sebagai:
( ) ( )( )[ ]δ ++= kDiikD D
A f u e e7pe7pP +.2
dengan δ merupakan beda fase antara gelombang dari elektron 1 dan electron +.
Gambar +.&. 6amburan dari + elektron
9ari gambar +.& ketinggalan fase δ gelombang dari electron 1 terhadap electron + dapat ditulis
( ) ( )k ! r ! r " E # E 11 88+ ⋅−⋅=−=
λ π δ +.1
1&
8!
! 8
Sinardatang r
J1
J+
0
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 15/27
dengan r merupakan jarijari $ector electron + relatif terhadap electron 1, 8! dan ! 8 berturut Q
turut merupakan unit $ector arah sinar datang dan sinar hambur, ekspresi untuk δ dapat ditulis
dalam bentuk
r s ⋅=δ +.11dimana $ector hamburan scattering $ector s didefinisikan sebagai:
( ) k k ! ! k s −=−= +.1+
Seperti ditunjukkan dalam gambar +.) , besarnya $ector hamburan diberikan oleh
θ sin+k s = +.1"
dimana θ adalah setengah sudut hamburan scattering angle.
Gambar +.). Mektor hambur s
(ika persamaan +.11 di substitusikan ke persamaan +.2, maka didapatkan( )( )[ ]r siikD
D
A f u e ⋅+=
e7p1e7pP +.1&
di dalam penurunan persamaan tersebut, kita telah memilih pusat koordinat di electron 1. #etapi
untuk lebih sesuai kita pilih pusat disembarang titik. Sehingga untuk hamburan dari + elektron
medan hambur dapat ditulis sebagai :
( ) ( )( )[ ]+1 e7pe7pe7pP r sir siikD D
A f u e ⋅+⋅= +.1)
dimana 1r dan +r merupakan $ector posisi dari dua electron terhadap titik pusat yang baru.ersamaan +.1& merupakan hal khusus dari persamaan +.1), dimana 1 =r dalam hal ini
pusat dipilih posisi electron 1. ersamaan umum untuk 0 electron hambur adalah
( ) ( )∑=
⋅= "
l l e r siikD
D
A f u
1
e7pe7pP
+.1*
dengan l r adalah posisi dari electron ke l , !nalogi dengan hal ini untuk elekron tunggal pada
persamaan +.< , panjang hambur scattering length untuk sistem itu adalah
( )∑ ⋅=l
l e r si f f e7p +.1/
1)
θ +
k
k
s
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 16/27
#otal panjang hambur adalah jumlah dari masing-masing panjang dengan phase telah masuk
dalam perhitungan. Cntensitas C dari sinar hambur adalah proporsional dengan kudrat dari
besarnya medan, sehingga
( )
+++
e7p∑ ⋅=∝ r si f f I e
+.1<hasil persamaan-persamaan +.1/ dan +.1< adalah persamaan dasar dalamperlakuan hamburan
dan proses difraksi.
ersamaan intensitas dalam persamaan +.1< merupakan intensitas hasil interferensi
antara beberapa sinar hambur yang koheren, apabila sinar-sinar hambur tersebut tidak koheren,
maka tidak akan terjadi interfensi, sehingga Cntensitas totalnya+e "f I ∝ +.12
dengan 0 merupakan jumlah hamburan.anjang hambur electron telah dikenal dengan baik dandapat ditemukan dalam buku
elektromagnit yaitu:
( )[ ] ee r f +@1+
+@+cos1 θ += +.+
dengan r e disebut jari-jari klasikclassical radiuselectron, dan mempunyai harga sekitar 1-1) m.
ita sekarang dapat menerapkan hasil itu ke dalam aton bebas tunggal. 9alam usaha
untuk menerapkan persamaan +.1/, dimana jumlah dari semua electron yang tampak, kita
mencatat bah;a electron tidak mempunyai posisi diskrit, tetapi menyebar sebagai muatan a;ancontinu ke seluruh muatan atom. Sehingga perlu dikon$ersi dari bentuk diskrit ke bentuk
kontinu, yaitu dengan mengubah ∑ ke bentuk ∫ :
( ) ( ) ( ) r d r sir f r si f el
l e"e7pe7p ⋅→⋅ ∫ ∑ ρ +.+1
dimana ρr merupakan kerapatan a;an muatan dalam elektron per $olume dan integral
meliputi semua $olume atom. 4aktor hambur atom the atomic scattering factor f a didefinisikan
sebagai integral yang diekspresikan dalam bentuk( ) ( )r sir d f a ⋅= ∫ e7p" ρ +.++
f a merupakan besaran tanpa satuan. Cntegral tersebut dapat merupakan persamaan yang lebih
simple jika kerapatan ρr simetri bola, dan persamaan +.++ menjadi
( ) ( )
dr sr
sr r r f
R
a
sin&
" ρ π ∫ = +.+"
dengan adalah jari-jari atom, Seperti dilihat dalam persamaan +.+" faktor hambur f a
tergantung dari sudut hambur θ sin+k s = , dan hal itu datang dari adanya faktor osilasi( ) sr sr @sin dalam integral. anjang gelombang osilasi adalah berbanding terbalik dengan s
1*
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 17/27
seperti ditunjukkan dalam gambar +.*. ita dapat melihat bah;a sudut hambur + θ bertambah,
sehingga $ector hambur s bertambah pula dan hasinya adalah berkurangnya faktor hambur f a.
Gambar +.*. 4aktor osilasi ( ) sr
sr sin
2.". <am$uran dari Kristal
#ujuan dalam subbab ini untuk mengin$estigasi hamburan dari kristal, dan kita akan
melanjutkan persamaan +.1/ untuk keadaan ini. !nalog dengan pembicaraan hamburan satu
atom, kita definisikan faktor hambur kristal crystal scattering factor f cr sebagai berikut( )∑ ⋅=
l l cr r si f e7p +.+&
penjumlahan dalam hal ini merupakan pada penjumlahan ke seluruh elektron dalam kristal, kita
mungkin membagi persamaan +.+& menjadi + bagian : pertama kita menjumlah ke seluruh
elektron dalam atom tunggal dan jumlah keseluruh atom dalam kisi. (ika penjumlahan yang
pertama menunjukkan faktor hambur atom, maka persamaan +.+& menjadi bentuk
( l l
at cr R si f f ⋅=∑ e7p +.+)
dengan l adalah posisi atom ke l dan f at berhubungan dengan faktor atom.
2.&. Struktur 8aktor Kisi
Struktur faktor kisi S didefinisikan sebagai penjumlahan keseluruhan dari semua sel
satuan, yang dituliskan secara matematika dalam bentuk
∑ ⋅=l
cl R si! e7p +.+*
dengan cl
R merupakan posisi dari sel ke l . 6al ini sangat penting dalam membahas tentang
hamburan sinar-K. arilah kita selidiki ketergantungan S pada $ector hambur s .
1/
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 18/27
ita mulai dengan situasi yang sangat sederhana, suatu hamburan sinar-K satu kisi
monoatomik satu demensi, seperti ditunjukkan dalam gambar +./.
Gambar +./. 6amburan dari kisi satu dimensi
(ika kita misalkan $ector basis dari kisi adalah a , maka struktur faktornya menjadi
( )∑=
⋅= "
l
al si! 1
e7p
+.+/
dimana kita menggantikan al Rcl = dan 0 merupakan jumlah total atom. 9engan penjabaran
secara matematika persamaan +.+/ dapat ditulis sebagai
( )
⋅
⋅
=
+sin
+sin
a s
a s "
!
+.+<
embahasan dalam fisika, kita memilih menge$aluasi S+ dari pada S, sebab S+ merupakan
kuantitas dari intensitas yang diberikan oleh persamaan
( )
⋅
⋅
=
+sin
+sin
+
+
+
a s
a s "
!
+.+2
S+ dalam persamaan +.+2 merupakan perbandingan dari dua fungsi osilasi yang mempunyai
periodisitas π +=⋅ a s , karena 0 sangat besar maka osilasi pembilang lebih cepat dibandingkan
pada penyebut. ada keadaan khusus =⋅ a s baik pembilang dan penyebut hilang bersamaan,
tetapi harga limit dari S+ 0+ yang merupakan nilai yang sangat besar. 0ilai itu mirip dengan
harga S+ pada π +=⋅ a s yaitu S+ 0+. sehingga S+ merupakan suatu fungsi periodic seperti yang
ditunjukkan dalam gambar +.<
1<
Sinar datang
S
1 +
S
!
B
5
9
a
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 19/27
Gambar +.<. 9ifraksi maksimum
ada gambar +.< terdapat + maksimum yaitu pada =⋅ a s dan π +=⋅ a s . 9ari perhitungan
menunjukkan bah;a ketika jumlah sel sangat besar, puncak-puncak kecil dapat diabaikan
terhadap puncak primer puncak yang paling tinggi, sebagai contoh puncak yang paling tinggi
dari puncak-puncak kecil hanya ,& puncak yang primer. 9an kita ambil fungsi S + tidak
berharga nol jika pada puncak primer. ebih jauh dapat juga ditunjukkan bah;a bah;a lebar dari
masing-masing puncak primer maksimum berkurang dengan cepat ketika 0 bertambah. 9an
lebar puncak lenyap ketika limit 0 ∞. Sehingga S+ tidak lenyap hanya jika =⋅ a s , +π Sebab
S+ periodik dengan periodisitas +π, juga terbatas pada semua harga
ha s π +=⋅ , dengan h bilangan asli ,1,+,",N +."
ada harga tersebut S+ sama dengan 0+ atau S0.
ersamaan +.+2menentukan semua arah yang mana S tidak mempunyai harga nol dan
arah disini adalah dimana difraksi terjadi. 9ari persamaan +.1+ dan memperhatikan gambar +./
didapatkan
( ) ( )%B ADa! ! a s −=⋅−=⋅ λ
π
λ
π ++
+."1Rang mana beda fase diantara dua sinar hambur berurutan, sehingga persamaan +." adalah
kondisi untuk interferensi konstruktifpenguatan
Antuk harga tertentu dari h, persamaan +." kenyataannya tidak menentukan arah
tunggal, tetapi arah yang tak berhingga membentuk suatu kerucut yang a7isnya terletak
sepanjang garis kisi. Antuk melihat hal itu kita dapat menulis persamaan +." menjadi
( ) hπ α α
λ
π +coscos
+ =− +."+
12
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 20/27
dimana α adalah sudut antara sinar datang dan garis kisi dan α berhubungan dengan sudut sinar
terdifraksi. 9ifraksi kerucut berhubungan dengan beberapa harga h seperti ditunjukkan pada
gamabr +.2
Gambar +.2. 9ifraksi kerucut untuk order pertama h dan order ke dua h 1
(ika ditinjau $ektor kisi dalam " dimensi maka struktur faktor dalam persamaan +.+*
menjadi
( )( )∑ ++⋅="+1 ,,
"+1e7pl l l
cl bl al si! +.""
dengan ba, dan c merupakan $ector basis, dan penjumlahan rangkap tiga merupakan
penjumlahan semua sel dalam kristal. ita dapat memisah penjumlahan tersebut dalam " bagian penjumlahan
( ) ( ) ( )
⋅
⋅
⋅= ∑∑∑
"+1
"+1 e7pe7pe7pl l l
al sial sial si! +."&
ondisi untuk interferensi konstruktif adalah masing-masing dari tiga faktor tersebut masing-
masing harus terbatas. Ctu berarti bah;a s harus memenuhi ketiga persamaan di ba;ah
π
π
π
+
+
+
l c s
k b s
ha s
=⋅
=⋅
=⋅
+.")
dengan h,k dan l merupakan set bilangan bulat. enulisan dalam bentuk sudut yang dibentuk
oleh s dengan $ector basis, dengan menganalogikan dengan persamaan +."+, persamaan +.")
menjadi
( )
( )
( ) λ γ γ
λ β β
λ α α
l c
k b
ha
=−
=−
=−
coscos
coscos
coscos
"."*
+
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 21/27
dengan ,β α dan γ adalah sudut yang dibentuk antara sinar datang dengan $ekktor basis,
sementara β α , dan γ berhubungan dengan sinar difraksi. ersamaan +.") dan +."* dikenal
sebagai persamaan aue nama orang yang menemukan persamaan tersebut.
2.'. Kisi Resi!rokal dan 7iraksi Sinar=
ulai dengan kisi yang mempunyai $ector basis ba, dan c , kita dapat mendifinisikan
suatu himpunan baru dari $ector basis yaitu 11,ba dan 1c yang memenuhi persamaan
( ) ( )cb
cbaa
×
×⋅=
π +1
( ) ( )ac
cbab
×
×⋅=
π +1 +."/
( ) ( )ba
cbac
××⋅
= π +1
dengan ( cba ×⋅ merupakan $olume sel satuan. ita sekarang dapat menggunakan $ector
11,ba dan 1c sebagai basis dari kisi baru yang $ektornya diberikan sebagai
1"1+11 cnbnan&n ++= +."<
dengan +1,nn dan "n merupakan himpunan bilangan bulat. isi baru tersebut disebut sebagai
kisi resiprokal, dan 11,ba dan 1c disebut sebagai $ector basis resiprokal.
6ubungan antara $ector basis resiprokal 11,ba dan 1c dengan ba, dan c ditunjukkan
pada gambar +.1
+1
a
b
c
1a
1b
1c
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 22/27
Gambar +.1. Mektor basis resiprokal
Mektor 1a merupakan normal dari bidang yang dibentuk oleh $ector b dan c , demikian juga
untuk 1b merupakan normal dari bidang yang dibentuk oleh $ector c dan a ,serta 1c
merupakan normal dari bidang yang dibentuk oleh $ector a dan b . (ika $ector basis ba, dan
c membentuk set orthogonal, maka 11,ba dan 1c juga orthogonal, dengan 1a sejajar dengan
a , 1b sejajar dengan b , demikian juga 1c sejajar dengan c .
6ubungan matematika berikut adalah berguna dalam hubungan dengan kisi resiprokal
π +1 =⋅ aa 11 =⋅=⋅ caba
π +1 =⋅bb 11 =⋅=⋅ cbab +."2π +1 =⋅ cc 11 =⋅=⋅ bcac
baris pertama pada persamaan +."2, sebagai contoh, dapat dibuktikan sebagai berikut: Antuk
membuktikan π +1 =⋅ aa , kita mensubstitusikan persamaan baris pertama persamaan +."/ ke
dalam persamaan tersebut, sehingga ditemukan ( ) ( ) π
π +
+1 =⋅×
×⋅=⋅ acb
cbaaa
, e dua persamaan
berikutnya yaitu 11 =⋅=⋅ caba , untuk membuktikan persaan tersebut kita tahu bah;a Mektor
1a adalah tegak lurus bidang yang dibentuk oleh $ector b dan c , sehingga dot product antara
$ector 1a dengan b maupun c sama dengan nol.
5ontoh kisi reciprocal ditunjukkan pada gambar +.11, gambar +.11a menunjukkan suatu
kisi satu demensi dan resiprokalnya. 5atatan bah;a dalam hal ini 1a adalah sejajar a dan
aa 11 = , gambar +.11b menunjukkan bidang kisi tegaklurus dan resiprokalnya, contoh "
dimensi adalah lebih komplek, tetapi prosedur untuk menentukan 11,ba dan 1c adalah sesuaidengan persamaan +."/, sebagai contoh bah;a kisi suatu kubus sederhana a maka kisi
reciprocal untuk kubus sederhana adalah
( ) aa
cba
a 8++
"1
π π =×=
( ) ba
aca
b 8++"1
π π =×=
+.&
( ) cabaac 8
++"1
π π
=×=
++
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 23/27
dengan persamaan +."/ kita dapat menentukan bah;a resiprokal dari B55 adalah merupakan
kisi dari 455, atau sebaliknya.. ita dapat menentukan bah;a antara kisi dan kisi resiprokalnya
selalu sama dengan system kristalnya, sehingga resiprokal untuk kisi monoklinik, triklinik,
orthorhombic, tetragonal, kubik, trigonal dan he7agonal adalah juga monoklinik, triklinik,
orthorhombic, tetragonal, kubik, trigonal dan he7agonal.
Gambar +.11a. isi dan kisi resiprokal untuk kisi kristal satu demensi
Gambar +.11b. isi resiprokal untuk kisi dua demensi
Sel satuan resiprokal dipilih dalam suatu cara khusus, misalkan pada kisi persegi panjang
seperti pada gambar +.1+ dipilih titik 3 sebagai pusat dan gambar $ector-$ektor kisi dengan cara
menghubungkan setiap titik kisi tetangga ke titik pusat, kemudian gambar garis tegak lurus pada
setiap $ector kisi dari titik tengahnya. uasan terkecil yang dibatasi garis-garis tersebut yang
berupa luiasan persegi panjang ! adalah sel satuan resiprokal dan biasa disebut daerah Brillouin pertama. 9aerah BrillouinBD adalah suatu sel satuan yang diterima, sebab hal itu memenuhi
semua persyaratan penting.Ctu juga mempunyai sifat yang berhubungan dengan titik-titik kisi
tepat pada pusat sel tidak seperti halnya dalam kisi.yang titik-titik kisinya terletak pada pojok sel.
(ika daerah Brillouin pertama sekarang ditranslasikan oleh semua $ector resiprokal Gn maka
seluruh ruang kisi resiprokal tertutup.
9aerah Brillouin untuk kisi "-demensi dapat dikontruksikan mirip pada +-demensi, tetapi
catatan bah;a dalam hal ini $ector resiprokal kisi dibagi dua oleh bidang tegak lurus, dan BD pertama sekarang merupakan $olume terkecil tertutup bidang-bidang tegak lurus tersebut.
+"
isi kristal a
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 24/27
9alam hal paling sederhana yaitu pada kisi kubus sederhana, diba;ah ini adalah daerah Brillouin
pertama untuk kubus sederhana, kubus pusat badan dan kubus pusat muka.
9aerah Brillouin pertama untuk kubus sederhana :
(ika $ektor basis primiti$e dari kisi kubus sederhana dinyatakan dalam yab xaa 8=8 ==
dan z ac 8= , dengan y x 8=8 dan z 8 adalah $ector satuan panjang dan satu sama lain adalah
orthogonal, maka $olume dari sel tersebut adalah "acba =×⋅ . Mektor basis primitif resiprokal
ditentukan seperti pada persamaan +.& yaitu :
xa
a 8+
1
= π
= ya
b 8+
1
= π
dan z a
c 8+
1
= π
+.&1
disini kisi resiprokal merupakan kisi kubus sederhana pula dan konstanta kisinya +π@a.
erbatasan dari daerah-daerah Brillouin C adalah normal bidang pada tengah-tengah enam
$ector resiprokal 111 == cba ±±± :
xa
a 8+
11
±=± π
= ya
b 8+
11
±=±
π
dan z a
c
±=± π
1+
1 +.&+
Jnam bidang membatasi kubus dengan rusuk +π@a dan $olume +π@a", kubus tersebut
merupakan daerah Brillouin C kisi kristal kubus sederhana.
9aerah Brillouin pertama untuk kubus pusat badan :
Mektor basis primiti$e dari kisi kubus pusat badan seperti pada gambar +.1+ dapat
dinyatakan dalam :
( ) z y xa
a 888+
++−= = ( ) z y xa
b 888+
+−=
dan ( ) z y xa
c 888+
−+= +.&"
dengan a merupakan rusuk dari kubus kon$ensional dan z y x 8=8=8 adalah satuan $ector yang
saling tegak lurus orthogonal dan masing-masing satuan $ector parallel dengan rusuk kubus.
+&
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 25/27
Gambar +.1+. Mektor basis primiti$e kubus pusat badan
Molume sel primiti$enya adalah
"
+
1acbaV =×⋅=
+.&&
Mektor basis primiti$e resiprokal dapat ditentukan menggunakan persamaan +."/ :
( ) z ya
a 88+
1 +
= π
= ( ) z xa
b 88+
1 +
= π
= ( ) y xa
c 88+
1 +
= π
+.&)
persamaan +.&) merupakan $ector primiti$e dari kisi kubus pusat muka, sehingga suatu kisi
kubus pusat muka juga merupakan kisi resiprokal kisi kubus pusat badan.
Secara umum $ector kisi resiprokal adalah:
( ) ( ) ( )[ ] z k h yl h xl k a
cl bk ah& 888+111 +++++=++= π +.&*
G paling pendek adalah meliputi 1+ $ektor, dimana semua pilihan tanda adalah independent :
( ) z ya
88+ ±±
π
= ( ) z xa
88+ ±±
π
= ( ) y xa
88+ ±±
π
+.&/
Sel primiti$e kisi resiprokal adalah parallelepiped yang digambarkan oleh 111 == cba .
Molume sel tersebut dalam ruang resiprokal adalah"
111
+
+
=×⋅= acbaV
π
+.&<
Sel tersebut terdiri satu titik kisi resiprokal , sebab masing-masing kedelapan titik pojok dibagi
antara delapan parallelepiped. asing-masing parallelepiped terdiri seperdelapan dari masing-
masing kedelapan titik pojok.
9i dalam fisika ?at padat kita mengambil sel pusat kisi resiprokal sebagai daerah
Brillouin C. asing-masing sel terdiri satu titik kisi pada pusat titik dari sel tersebut. 9aerah
tersebut untuk kisi kubus pusat badan dibatasi oleh normal bidang ke 1+ $ektor persamaan
+.&/ pada titik tengahnya. 9aerah Brillouin C seperti ditunjukkan pada gambar +.1& . Mektor dari titik origin ke pusat masing-masing muka adalah
( ) z ya
88 ±±
π
= ( ) z xa
88 ±±
π
= ( ) y xa
88 ±±
π
+.&2
Semua pilihan tanda adalah independen, memberikan 1+ $ektor.
+)
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 26/27
Gambar +.1&. 9aerah Brillouin C kubus pusat badan
9aerah Brillouin pertama untuk kubus pusat muka :
Mektor basis primitif dari kisi kubus pusat muka seperti pada gambar +.1) dapat
dinyatakan dalam :
( ) z ya
a 88+
+= = ( ) z xa
b 88+
+=
dan ( ) y xa
c 88+
+= +.)
Gambar +.1). Mektor basis primitif kubus pusat muka
Molume sel primitifnya :
"
&
1acbaV =×⋅= +.)1
Mektor basis primitif resiprokal dari kubus pusat muka dapat ditentukan menggunakan persamaan +."/ yaitu :
+*
7/24/2019 Fisika Zat Padat Bab 1 2
http://slidepdf.com/reader/full/fisika-zat-padat-bab-1-2 27/27
( ) z y xa
a 888+
1 ++−
= π
= ( ) z y xa
b 888+
1 +−
= π
= ( ) z y xa
c 888+
1 −+
= π
+.)+
persamaan +.)+ merupakan $ektor primitif kubus pusat badan, sehingga kisi kubus pusat badan
adalah resiprokal dari kisi kubus pusat muka. Molume sel primiti$e dari kisi resiprokal adalah
"+
&
a
π . 9aerah Brillouin C dibatasi oleh normal bidang ke < $ektor ( ) z y xa
888+ ±±±
π
pada
titik tengahnya. 9aerah Brillouin C seperti ditunjukkan pada gambar +.1*
Gambar +.1*. 9aerah Brillouin C kubus pusat muka
http:@@;;;.lpp.uns.ac.id@;eb@moodle@moodledata@)/@4isikaDatadatBab1+.9oc