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FÍSICA NA BIOLOGIA Um ponto de partida Um ponto de partida Um ponto de partida Um ponto de partida

Ana Nunes Margarida Cruz

Ana Simões Margarida Godinho



FCUL 2001



Índice

ÍNDICE

CAPÍTULO 1

REPRESENTAÇÃO DAS GRANDEZAS FÍSICAS – L EIS DE ESCALA...………………...........1

CAPÍTULO 2

MECÂNICA...........................……………….....................................................15

CAPÍTULO 3

MECÂNICA DE FLUIDOS..........................................……………….....................49

CAPÍTULO 4

T ERMODINÂMICA............................................………………............................85

CAPÍTULO 5

ELECTRICIDADE.................................................................……………..........103

CAPÍTULO 6

MAGNETISMO.....................................................……………...............……...141

CAPÍTULO 7

ONDAS...........................................................................………………........171

CAPÍTULO 8NOÇÕES DE ÓPTICA GEOMÉTRICA...........................................………………....195

CAPÍTULO 9

RADIOACTIVIDADE......................................................…………….................211



Representação das Grandezas Físicas – Leis de Escala 1

CAPÍTULO 1.

REPRESENTAÇÃO DAS GRANDEZAS FÍSICAS

LEIS DE ESCALA

1.1. Introdução

A física teve neste século um desenvolvimento muito importante catapultando a

tecnologia ao mesmo tempo que aproveitava esses mesmos avanços tecnológicos. O avanço

tecnológico influi em todas as ciências por via das técnicas utilizadas: é um exemplo

evidente a evolução do microscópio que, de uma simples lupa, passou pelo microscópio

óptico, de contraste de fase, de luz polarizada, de electrões (TEM e SEM) e ainda de campo

iónico. As técnicas de imagem por absorção de radiação com raios X, RMN e positrões são

ainda exemplos de técnicas recentes que permitem "olhar" os sistemas biológicos de um

ponto de vista novo.

A importância da física nos outros ramos da ciência, e em particular na biologia, surge

como consequência natural não só da evolução dos métodos e técnicas utilizados por esta

ciência, mas ainda do facto de muitos comportamentos dos sistemas biológicos poderem ser

descritos em termos de interacções físicas e reacções químicas.

Em particular, na biologia molecular defende-se que toda a biologia depende em última

análise de processos moleculares, de tal modo que não só áreas como a genética mas

também a fisiologia e mesmo a classificação de organismos (taxonomia) podem ser descritas

e eventualmente reduzidas ao nível molecular. Embora fortemente discutida, esta última

tese orientou e continua ainda a orientar o trabalho de muitos biólogos moleculares. Num

relatório preparado por cientistas ingleses para o “Council for Scientific Policy” no final da

década de 1960 afirmava-se que a biologia se encontrava então numa fase tão dinâmica e

produtiva como aquela por que a física passara no primeiro quartel deste século. Adiantava-



Capítulo 12

se ainda que a razão para um sucesso tão espectacular residia no tipo de investigação que

estava então a orientar a biologia e que tinha por objectivo descrever a estrutura,

organização e função das células vivas em termos químicos e físicos. Para os autores do

relatório, o recurso a conceitos físicos, químicos e matemáticos, e a novos instrumentos

físicos tinha fornecido à biologia um “poderoso estímulo intelectual”, que para citar apenas

dois exemplos, tinha conduzido em 1953 à descoberta da estrutura do DNA por J. D.

Watson e F. Crick e em 1959 à descoberta da estrutura da hemoglobina.

Mas já antes da emergência da biologia molecular, existia na biologia uma forte tradição

biofísica que tentara explicar as propriedades de compostos de interesse biológico em termos

das leis que governam os agregados moleculares. Esta tradição, que chamara a atenção para

a importância dos fenómenos associados ao transporte de cargas eléctricas no estudo das

propriedades das membranas e dos aspectos dinâmicos da organização celular, viria no

entanto a ser suplantada pela biologia molecular.

Um exemplo de fenómeno biológico cuja descrição básica depende da física é a condução

dos impulsos nervosos que se baseia no transporte de carga devido a uma variação na

concentração de iões ao longo do axónio. O estado de repouso corresponde a um axónio

carregado em que a concentração de iões sódio é maior no exterior e a de iões

Figura 1.1

potássio maior no interior, e em que há deficiência de carga positiva no meio intracelular em

relação ao meio extracelular. Quando o axónio é estimulado num determinado ponto, a

parede da célula torna-se mais permeável aos iões sódio nesse ponto, de modo que

localmente passa a existir um excesso de carga positiva no interior da célula relativamente

ao exterior. Esta variação local do campo eléctrico afecta as zonas adjacentes de maneira

similar, e o impulso nervoso propaga-se assim ao longo do axónio.

O mecanismo básico pelo qual a parede da célula modifica a sua permeabilidade aos iões

+Na , bem como aquele que, após a passagem do impulso nervoso, restabelece as

concentrações iniciais dos iões +Na e +K (bomba de sódio/potássio) não é ainda

completamente compreendido e é objecto actualmente dos esforços de muitos investigadores

em biofísica. No entanto este é um exemplo de um processo fundamental em biologia cuja

compreensão envolve o estudo de fenómenos físicos básicos: electricidade e difusão.

Bomba de

K+

K+

Na+

Na+

Bomba de Na




1.2. Unidades e Dimensões

A experiência desempenha um papel fundamental em todas as ciências e em particular

na física. Daí a importância especial que deve ser dada à forma como os resultados são

adquiridos, isto é, ao modo como são feitas as medições.

O resultado da medição de uma grandeza física é dado por um número (valor) e uma

unidade; o valor só por si é insuficiente! É óbvio que se estamos a medir a altura de uma

planta, dizer que a sua medida é 10 não significa nada, visto que tanto pode ser mm 10 (por

exemplo uma gramínia) como m 10 . O número não acompanhado da unidade respectiva não

tem significado. Medir é comparar, e as medidas expressas em determinadas unidades

representam comparações com padrões "standards". As unidades são determinadas por

estes padrões.

Figura 1.2

Para o mesmo tipo de grandeza é possível definir unidades diferentes as quais estarão

sempre relacionadas entre si por um factor numérico.

Ao contrário das unidades, as dimensões são características de cada grandeza, eidentificam a sua natureza, independentemente das unidades escolhidas para apresentar

um determinado valor.

A distância d entre os extremos do corpo de um animal, por exemplo uma jibóia, é uma

grandeza física com as dimensões de um comprimento (simbolicamente representa-se

[ ] L d = ), independentemente de escolher como unidade de comprimento o metro ou o

milímetro. Assim

mm 10 1m 1d 3 ×==

Da mesma maneira a massa específica de um líquido, por exemplo água, tem dimensões3 L − independentemente de ser expressa em 3 m kg − ou 1gl − . Por exemplo para a água

13 3 3 gl 10 1m kg 10 1 −−×=×= ρ

Por vezes definem-se grandezas relativas, sem unidades ou dimensões, cujo valor só tem

significado quando relacionado com a grandeza de referência. Suponhamos a seguinte

10m?

10cm?



Capítulo 14

afirmação: "50% dos animais observados não contraíram qualquer doença". O valor 0.50

apesar de não ser afectado de unidade refere-se a metade de uma população de indivíduos.

O número de indivíduos da amostra pode alterar fortemente o significado do valor relativo: a

conclusão tem obviamente um significado diferente para uma população de dois indivíduos

ou para uma população de 200 indivíduos.

Porque transportam significado físico, as dimensões permitem:

- avaliar a correcção de uma equação

- estabelecer dependências entre variáveis.

Em geral, as dimensões de qualquer grandeza física podem ser expressas em termos das

dimensões de apenas quatro grandezas, i.e., num dado sistema métrico podem ser

escolhidas arbitrariamente quatro grandezas (grandezas fundamentais), podendo as

restantes (grandezas derivadas) ser expressas em função destas.

Existem vários sistemas de unidades, baseados em conjuntos de unidades escolhidos

intencionalmente. São exemplos:

MKSA (SI) metro, quilograma, segundo, ampère

CGS centímetro, grama, segundo

FPS foot, pound, second

As quatro entidades base escolhidas são, por exemplo para o SI

GRANDEZA DIMENSÃO UNIDADE

M

K

S

A

comprimento

massa

tempo

corrente eléctrica

L

M

T

A

metro (m)

quilograma (kg)

segundo (s)

ampere (A)

Isto significa que apenas estas quantidades necessitam de ser definidas, sendo as suas

unidades padronizáveis. De facto, neste sistema são ainda definidas outras quantidades: a

intensidade luminosa e a temperatura.

As unidades de base são grandezas do mesmo tipo das grandezas a medir, e são definidas

por padrões aceites internacionalmente. Estes padrões vão evoluindo, em função da precisão

com que podem ser medidos. Inicialmente o quilograma, o metro e o segundo

encontravam-se referidos à massa de um certo volume de água, à fracção de comprimento

de um meridiano e à fracção do comprimento do dia, respectivamente. No entanto estes

padrões para o comprimento e a massa não eram satisfatórios devido à imprecisão que lhes

estava associada, o que levou a recorrer a objectos únicos: blocos de metal (platina iridiada)




de comprimento padrão e massa padrão. Contudo a maior precisão das medidas e a

necessidade de ter padrões inalteráveis no tempo e acessíveis em locais diferentes levou a

que os padrões passassem a ser traduzidos em termos de grandezas à escala atómica: O

metro é definido como 1 650 763.73 do comprimento de onda da radiação electromagnética

visível no vermelho emitida por um átomo de 86Kr . O segundo é definido como o tempo de

duração de 9 192 631.770 períodos da radiação do 133Cs para uma certa transição.

No caso da massa, porque a precisão com que se pode medir não é comparável com a

ordem de grandeza das massas atómicas, não faz sentido definir o padrão desse modo. A

massa do quilograma padrão pode ser escrita como a massa de 5 0188 1025. × átomos do

12C , mas a precisão com que se pode estabelecer esta relação comporta um erro que é 1020

vezes superior à massa do átomo do 12C . Assim para o quilograma, kg, continua a ser

usado como padrão a massa dum bloco de platina.

A unidade de corrente eléctrica, ampère, é também definida em termos macroscópicos

como a corrente que ao percorrer um fio de 1m exerce uma força de repulsão de

2 000 10 7, × − N num fio paralelo percorrido por uma corrente idêntica de sentido oposto,

quando os dois fios se encontram no vazio e distam de 1m.

As restantes unidades são unidades derivadas e por isso podem ser definidas em termos

das unidades básicas. Por exemplo o newton (N), a unidade de força do S.I., pode obter-se a

partir da massa e da aceleração recorrendo a ma F = logo

2 kgms 1N 1 −=

Quando a unidade tem o nome de um/uma cientista convencionou-se que é representadapela letra inicial maiúscula desse nome, embora se escreva com letra minúscula quando a

unidade é escrita por extenso

A necessidade de usar unidades para ordens de grandeza muito variadas levou à criação

de múltiplos e submúltiplos. Os prefixos actualmente aceites, assim como a correspondência

respectiva a potências em 10, encontram-se indicados no quadro seguinte.

( )10 1− deci d ( )101 deca da



Capítulo 16

( )10 2− centi c ( )102 hecto h

( )10 3− mili m ( )103 quilo k

( )10 6− micro µ ( )106 mega M

( )10 9− nano n ( )109 giga G

( )10 12− pico p ( )1012 tera T

( )10 15− fento f ( )1015 peta P

( )10 18− atoa ( )1018 exa E

Utilizando-se ainda frequentemente outras unidades que não pertencem ao MKSA como

por exemplo

angstrom ( Å) 1 Å m 10 10 −=

electrão-volt ( )eV J 10 6 .1eV 1 19 −×=

centímetro Hg ( )cmHg 2 Nm 1333 cmHg 1 =

1.3. Medidas e Erros

Quando se apresenta o resultado de uma medida está sempre presente a precisão com

que ela pode ser efectuada, o que se traduz directamente na forma como o número aparece,

ou seja, no número de algarismos significativos.

O número de algarismos significativos é o número de algarismos "até ao primeiro que é

alterado" no intervalo ] [a a ,a a δ δ +− onde a e a δ representam, respectivamente, o

resultado de uma medida e o erro de que é afectado. O número de algarismos

significativos com que se apresenta o resultado de uma medida traduz assim a precisão com

que a medida foi efectuada.

Aplicação: Se o erro de uma grandeza a é 01 10 19. × − , e se obteve o valor 160 10 19. ×

− ,o

resultado final deve representar-se 16 10 01 1019 19. .× ± ×− − , ou de uma forma reduzida,

16 10 19. × − .

No cálculo do produto de duas grandezas afectadas de um erro, o resultado não poderá

ter mais algarismos significativos que as quantidades medidas de que depende (cuidado com

as calculadoras).

O resultado de uma medida deve expressar, para além do valor obtido, a precisão com

que foi obtido. Essa precisão tem limites que dependem do equipamento e do




experimentador. A precisão de uma medida é tão importante como a própria medida e cada

experimentador deve dar o resultado da sua medida e uma estimativa da sua precisão.

Para estimar a precisão de uma medida é preciso ter em conta os erros associados.

Existem dois tipos de erros possíveis, os erros sistemáticos e os erros aleatórios.

Os erros sistemáticos resultam de uma deficiência no equipamento ou no método de

observação. São sempre no mesmo sentido, isto é, sempre por defeito ou sempre por

excesso. A sua identificação e correcção é normalmente difícil e exige uma análise cuidada

dos instrumentos e dos procedimentos. Por exemplo, um aparelho cujo zero não está bem

ajustado dará sempre um resultado afectado de um erro na mesma direcção.

Os erros aleatórios resultam do próprio processo de comparação e podem ser nos dois

sentidos. São inevitáveis mas o seu valor pode ser controlado e reduzido ao mínimo usando

um número grande de medidas e análise estatística.

Admite-se à partida que os erros são aleatórios, pelo que os valores medidos devem teruma distribuição normal em torno do valor real. Por essa razão toma-se a média >< x dos

valores medidos i x , N ...,,1i =

x

x

N

1i i ∑

=>=<

como o valor mais provável. Para estimar o erro utiliza-se a largura σ da distribuição

( )N

x x

N

1i

2

i

∑=

><−

=σ

ou o desvio padrão

( )

1N

x x

s

N

1i

2 i

−

><−

=

∑=

que é calculado tendo em conta a perda de um grau de liberdade ao definir a média >< x .

Se realizarmos não uma mas séries de medidas, os valores ( )M ,...1i x i =><

obtidos distribuem-se de acordo com uma distribuição normal de desvio padrão N /s = µ .

É este desvio que se considera o erro associado ao valor médio >< x determinado para um

conjunto de medidas experimentais

( )

( )1N N

x x 2 i

−

∑ ><−= µ



Capítulo 18

Assim o resultado de uma série de medidas é

µ ±>< x

De um modo geral, pretendemos apenas ter um majorante do erro, um limite superior

para o erro, o que significa que na maior parte das situações experimentais é mais prático,

em vez de efectuar um número grande de medições, tomar como erro x ∆ um valor

garantidamente superior ao erro na medida. Este está relacionado com o instrumento de

medida usado e a precisão das escalas respectivas analógicas ou digitais.

No caso em que a medida é obtida por comparação com uma escala analógica, considera-

se como erro máximo, metade da menor divisão da escala. No caso em que a medida é obtida

por um aparelho digital, o erro máximo é igual a uma unidade do último dígito que aparece

no visor.

Estas regras aplicam-se quando as flutuações de grandeza medida são desprezáveis face

ao erro máximo definido. Se existem flutuações apreciáveis toma-se como erro máximo x ∆ a

largura dessas flutuações.

Em qualquer dos casos, obtemos como resultado de uma medida x x ∆± . Vejamos como é

que o erro que afecta a grandeza x se propaga para uma grandeza que depende de x . Este

problema traduz-se em calcular f ∆ para uma função ( )x f quando x varia de x ∆ .

O quocientex

f

∆

∆ aproxima-se, para valores muito pequenos de x ∆ pela derivada

dx

df de

modo que temos

x dx

df f ∆∆ =

Como o que se pretende é o erro máximo em f e não nos interessa se esse erro é por

excesso ou por defeito toma-se o módulo da variação

x dx

df f ∆∆ =

Aplicação: Um círculo tem de diâmetro xx ∆± . Com o perímetro p é dado por xp π= ,

então o erro p∆ é dado por

xxdx

dpp ∆π=∆=∆

Se uma grandeza depende de várias grandezas medidas, por exemplo, se

( )y ,x f f = ,toma-se




y y

f x

x

f f

x y

∆∂

∂ ∆

∂

∂ ∆

+

=

As dimensões físicas do erro que afecta uma dada grandeza têm que ser as mesmas

dimensões físicas da grandeza.

1.4. Representação Gráfica

Muitas vezes o objectivo da realização de um conjunto de medidas não é a determinação

de um único valor mas sim o de estabelecer uma relação entre duas grandezas a partir dos

valores experimentais obtidos num certo intervalo. Deste ponto de vista a representação

gráfica do conjunto dos valores experimentais é a maneira mais directa de obter informação.

Consideremos duas grandezas y ,x e representemos por ( )x f y = a dependência da

grandeza y na grandeza x . Há três tipos de dependência que caracterizam um grande

número de problemas físicos: a dependência linear em que ( ) C kx x f += ; a dependência

exponencial em que ( ) kx e C x f = ; a dependência polinomial em que ( ) k x C x f = . Em todas

as expressões anteriores C e k são constantes. Cada uma destas dependências é posta em

evidência por uma representação gráfica adequada.

A representação de uma grandeza f em função de uma grandeza x , representação

linear, é a que melhor permite pôr em evidência uma dependência da forma ( ) C kx x f += ,

dado que o gráfico de uma função deste tipo é uma recta. O declive desta recta é a constante

k e a ordenada na origem a constante C .

Figura 1.3

A Figura 1.3 representa a quantidade de água de rega necessária numa estufa em função

do número de plantas. Neste exemplo, a relação de dependência da variável y na variável x

é de facto aproximadamente linear.

Se considerarmos uma relação arbitrária ( )x f y = e tomarmos apenas alguns pares de

valores ( )i i y ,x , em que os valores i x são muito próximos de um valor 0 x , verificamos que

uma boa aproximação é a relação linear ( ) C x x a y 0 +−= com uma constante de

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

100 200 300 400 500número de plantas

Quantidade deágua diária/l



Capítulo 110

proporcionalidade ( )0 x dx df a = (aproximação de primeira ordem do desenvolvimento de

( )x f em série de potências em torno de 0 x ). Em suma, localmente todas as relações de

dependência são aproximadamente lineares.

No caso de uma dependência exponencial kx e C y = , a representação gráfica adequada é a

representação do logaritmo da variável y em função da variável x (representaçãosemilogarítmica) dado que kx C n y n += . A representação gráfica de uma dependência

exponencial nestas novas coordenadas é também uma recta.

Figura 1.4

O decaimento de núcleos radioactivos rege-se por uma lei do tipo τ

t

0 e N ) t ( N −

= em

que 0 N é o número inicial de núcleos, t é o tempo e τ é uma constante característica do

decaimento. A Figura 1.4 é uma representação semilogarítmica deste fenómeno. A ordenada

na origem é o logaritmo do número inicial de núcleos e o declive k é igual aτ

1− .

No caso da dependência polinomial k x C y = a representação gráfica adequada é a do

logaritmo da variável y em função do logaritmo da variável x (representação logarítmica)

dado que x n k C n y n += .

Em resumo para cada dependência a representação gráfica faz-se nas variáveis que a

tornam linear.

1.5. Transformações de Escala

No mundo observável, as três grandezas físicas massa, comprimento e tempo apresentam

uma gama muito grande de variações. Em particular no que diz respeito às dimensões dos

organismos vivos os comprimentos característicos podem variar entre ( )m 10 m 1

6 −

µ , para ascélulas mais pequenas e cerca de m 100 (altura de uma sequóia gigante).

Apesar de uma tão larga variação de escala (oito ordens de grandeza), no caso de muitas

características e funções dos organismos vivos é possível estabelecer uma relação com o seu

tamanho, e assim aplicar-lhes conclusões tiradas para organismos com dimensões muito

diferentes. A relação entre a função e o tamanho de uma estrutura é essencialmente

t

l o g

N ( t

)




estabelecida pela física dos processos em jogo e o estudo dessa relação denomina-se

"scaling" ou transformação de escala.

Em biologia, o "scaling" é essencialmente o estudo de como as características biológicas

dependem do tamanho do organismo. É óbvio que só é possível realizar um estudo deste tipo

se se admite que a forma do organismo se mantém. A hipótese de "scaling" (existência deuma dependência simples com a escala) supõe a semelhança de forma. Para a testar

elabora-se aquilo que se designa por teste alométrico: verificação da hipotética semelhança

de forma numa população de indivíduos quando varia o seu tamanho.

Admite-se que muitas das actividades básicas de um organismo vivo dependem

essencialmente da sua constituição e, por isso, ou da sua superfície (ou superfície de um

órgão nele contido) ou do seu volume ou do seu comprimento. Como exemplos de cada um

destes casos podemos referir, respectivamente, a perda de água por transpiração, as

necessidades de oxigénio e o tempo de circulação de nutrientes. Se o comprimento se

transformar de acordo com a relação

L ' L L Λ=→

então a superfície S e o volume V são transformados de acordo com

S ' S L S 2 2 Λ=→=

V ' V L V 3 3 Λ=→=

em que a letra Λ representa o factor de escala associado à transformação que não tem

dimensões.

Deste ponto de vista, qualquer característica de um organismo de uma família de

organismos semelhantes deve poder ser traduzida como uma potência simples da dimensão

linear, o que acarreta imediatamente uma certa lei de variação dessa característica para

uma transformação de escala. Reciprocamente, pode testar-se se existe uma relação simples

entre escala e uma determinada função, verificando se obedecem a uma lei simples de

potência. Para tal, testa-se a existência de uma relação de potência entre a função em

estudo e o tamanho dos indivíduos, traçando num gráfico log-log os valores da função

versus tamanho. Se se obtém uma recta, a relação de scaling é possível mas não é

necessariamente verificada no conjunto dos indivíduos; no entanto, se a relação não se

verifica pode garantir-se que a forma geométrica não se mantém no grupo de indivíduos

escolhido.

Aplicação: Conhecendo a força específica de um organismo numa certa escala pode

prever-se a sua força específica noutra escala. De facto, a força F é proporcional ao número de



Capítulo 112

fibras musculares e portanto à área da secção transversal dos músculos de modo que numa

transformação de escala

F'FF 2Λ=→

Por outro lado, o peso pVgmgp == é proporcional à massa e ao volume e temos

p'pp 3Λ=→

Em consequência, a força específicap

Ff = transforma-se de acordo com

f 'f f Λ

=→1

Admitindo que o comprimento L de uma formiga é aproximadamente 3 mm e o comprimento 'L

de um homem é aproximadamente 1,8 m, o factor de escala será obviamente

600m103

m8,1

L

'L 3

=

×

==Λ−

Suponha-se que uma formiga é capaz de levantar 3 vezes o seu peso, ou seja, que a sua força

específica é

3f =

Então a força específica f’ de uma formiga do tamanho de um homem seria

005,060031f 'f ==

Λ×=

o que é um valor manifestamente inferior ao da força específica de um homem. Conclui-se então

que as duas espécies não verificam a hipótese de semelhança de forma, e que além disso a

estrutura dos seres humanos é mais eficaz do ponto de vista da força específica que a das

formigas.

Aplicação: Um raciocínio de scaling permite entender a razão pela qual as células se dividem

a partir de uma certa dimensão. É condição de sobrevivência que a razão R entre a quantidade

dq de oxigénio disponível e a quantidade cq de oxigénio consumido seja superior à unidade. Aquantidade de oxigénio disponível, que é proporcional à área da membrana celular, transforma-

se com 2Λ . Por outro lado, o oxigénio consumido no metabolismo celular é proporcional ao

volume celular e portanto escala com 3Λ . Portanto a razão R transforma-se de acordo com

Λ=→

R'RR




Suponhamos que numa certa escala L a célula sobrevive. À medida que a célula cresce, a razão

R decresce. Se para L se está no limite de sobrevivência, para L ' L > a célula ou se divide, ou

pára de crescer, ou morre.

Aplicação: Um dos exemplos importantes de aplicação do “scaling” na biologia são as leis de

locomoção de Hill:

1ª lei: animais de forma idêntica saltam à mesma altura; a altura de salto é independente do

tamanho.

2ª lei: animais de forma idêntica têm a mesma velocidade de ponta; a velocidade limite em

esforço é independente do tamanho.

Analisemos a primeira lei do ponto de vista do scaling. A altura máxima do salto depende do

trabalho mecânico W fornecidos pelos músculos , que tem que ser igual à variação da energia

potencial hmg associada a um salto de altura h . O trabalho W é igual ao produto da força

muscular F , que como vimos escala com2

Λ , pela extensão muscular e , que escala obviamentecom Λ . Portanto, o trabalho W escala com 3

Λ . Assim

hhg'm

'W'h

mg

Wh

3

3

=

Λ

Λ==→=

Embora esta conclusão pareça falsa, os animais parecem saltar alturas diferentes porque

partem de alturas diferentes, visto que o seu centro de gravidade está mais alto nos animais

mais altos.

A Segunda lei de Hill pode obter-se a partir de um raciocínio de scaling e da observação

experimental de que a frequência f da passada no esforço máximo escala com 1−Λ . Como a

velocidade é igual ao produto do tamanho do passo, pela frequência da passada, a velocidade

limite v transforma-se de acordo com

vv.'vv 1=ΛΛ=→

−

Hill concluiu a partir de observações que a frequência da passada no esforço máximo verifica

1~f −Λ

Como velocidade = tamanho do passo×

frequência, temos01

itelimv Λ=Λ×Λ= −

Aplicação: Há alguns anos, um grupo de psicólogos resolveu testar o efeito do LSD em

elefantes. Num artigo relatam que consideraram a dose que sabiam ter efeitos mínimos em

gatos, multiplicaram pelo quociente entre a massa de um elefante e a de um gato, e injectaram



Capítulo 114

essa dose no elefante, que morreu depois de experimentar violentas convulsões. Como justificar

as conclusões do trabalho referido com base em argumentos de scaling?

Se representarmos por eD , em e eV a dose de LSD dado ao elefante, a sua massa e o seu

volume e representamos por gD , gm e gV as mesmas grandezas no caso do gato, é fácil de

verificar que de acordo com o enunciado a dose eD oferecida ao elefante obedece à relação

g

e

g

e

m

m

D

D=

Ora de acordo com argumentos de scaling, sabemos que

3

g

e

g

e

V

V

m

mΛ==

em que Λ representa o factor de escala que numa transformação de semelhança relaciona o

comprimento do gato com o do elefante.

Por outro lado, é evidente que os efeitos de dosagem de LSD administrada são sentidos por

intermédio de trocas metabólicas em superfície e por isso dependem de 2Λ e não de 3

Λ como

erradamente suposto pela equipa de investigadores.

Daí que não seja de admirar o nefasto resultado final!



Mecânica 15

CAPÍTULO 2.

MECÂNICA

Neste capítulo vamos estudar o movimento e o equilíbrio de pontos materiais, isto é,

objectos com uma certa massa que se consideram pontuais, e de sólidos rígidos, quer dizer,

objectos extensos também com uma certa massa e cuja forma admitimos que se mantém

constante, independentemente das forças que os actuam. Ambos se tratam, como é óbvio,

de ‘modelos’ que, não obstante a sua simplicidade, retêm as características principais dos

sistemas ‘reais’ do ponto de vista que pretendemos descrever: neste caso, os pontos

materiais correspondem a determinados pontos dos objectos cujo movimento se estuda, por

exemplo o centro de massa, e as deformações sofridas pelos corpos aos quais aplicaremos

as conclusões deduzidas para sólidos rígidos são desprezáveis.

2.1. Cinemática

O objectivo da cinemática é o de descrever o movimento de um ponto material no espaço

físico. Uma vez escolhido um referencial, isto é, um sistema de eixos Oxyz , a posição de um

ponto material em função do tempo fica determinada pelo seu vector de posição ( )t r

. A

velocidade ( )t v

e a aceleração ( )t a

definem-se a partir desta função vectorial do tempo, ( )t r

,

como a sua derivada e a sua segunda derivada, respectivamente. Portanto, temos

(2.1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t r dt

d

t v dt

d

t a t r dt

d

t v 2

2

===

Considerando o significado do operador derivada, limite de uma razão incremental,

podemos atribuir a estas grandezas o significado seguinte: a velocidade descreve a taxa de

variação da posição do ponto no tempo

t

r lim v 0 t

∆

∆= →∆



Capítulo 216

e, do mesmo modo, a aceleração descreve a taxa de variação da velocidade do ponto no

tempo

t

v lim a 0 t

∆

∆= →∆

Existe uma relação geométrica simples entre o vector velocidade e a trajectória, isto é, a

linha descrita no espaço pelo ponto material ao longo do seu movimento: o vector velocidade

tem em cada instante a direcção da tangente à trajectória nesse instante (ver Figura 2.1).

Figura 2.1

Define-se ainda velocidade média mAB v

, e aceleração média, mAB a

, entre dois pontos A e

B , como

AB

AB AB m

t

r v

∆

∆=

AB

AB AB m

t

v a

∆

∆=

onde A B AB r r r

−=∆ , A B AB v v v

−=∆ , e AB t ∆ é o tempo gasto no percurso entre A e B .

Assim, a velocidade média é igual à velocidade constante que levaria o ponto de A para B

no intervalo de tempo AB t ∆ , e a aceleração média é igual à aceleração constante responsável

pela variação de velocidade AB v

∆ no intervalo de tempo AB t ∆ .

No caso de um movimento rectilíneo estas noções de velocidade média e aceleração média

coincidem com as noções de utilização comum

AB m

t

percorrido espaço v

∆=

AB m

t

velocidade de iação var a

∆=

(t)

x(t)

z(t)



Mecânica 17

onde a velocidade e a aceleração são grandezas escalares. Na linguagem usual é costume

aplicar estas mesmas definições a trajectórias não rectilíneas: numa viagem entre dois

locais considera-se como velocidade média a distância percorrida a dividir pelo intervalo de

tempo gasto no percurso.

As equações (2.1) permitem determinar ( )t v

e ( )t a

a partir do vector de posição ( )t r

.Inversamente, é possível determinar a trajectória do ponto material a partir de ) t ( a

e ) t ( v

conhecidas as condições iniciais. Por integração das equações (2.1), tem-se

(2.2) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫== dt t a t v dt t v t r

A aceleração ( )t a

é determinada pelas forças que actuam o corpo em questão, tal como

veremos na secção seguinte. A segunda equação em (2.2) permite calcular a velocidade ( )t v

a partir da aceleração, desde que seja conhecido o valor da velocidade nalgum instante, de

modo a fixar a constante de integração que surge ao primitivar a aceleração ( )t a

. Da mesma

maneira, uma vez conhecida a velocidade ( )t v

, a primeira das equações (2.2) permite

determinar a posição ( )t r

,desde que se conheça a posição nalgum instante.

O objectivo desta secção é o de estudar as características de alguns movimentos

particulares, bem como as circunstâncias em que ocorrem.

2.1.1. Movimento Uniformemente Acelerado Unidimensional

No caso de um movimento unidimensional e rectilíneo, posição, velocidade e aceleração

podem representar-se como escalares, dado que o movimento tem lugar ao longo de uma

linha recta. No caso do movimento uniformemente acelerado a aceleração é constante.

Vamos supor conhecidos os valores ( )0 r r 0 = e ( )0 v v 0 = da posição e da velocidade no

instante inicial. Então as equações do movimento têm a forma simples

(2.3 a) at v v ds a dv a dt

dv t

0

0

v

v 0

+=⇒=⇒= ∫∫

(2.3 b) ( ) 2 0

t

0

0

r

r

at 2

1t v r r ds s v dr v

dt

dr

0

++=⇒=⇒= ∫∫

Um caso particular importante desta classe de movimentos é o movimento uniforme,

para o qual a aceleração a ao longo da trajectória é nula. Fazendo 0 a = nas equações (2.3),

obtemos as leis do movimento uniforme

(2.4 a) 0 v v =

(2.4 b) t v r r 0 0 +=



Capítulo 218

Uma aplicação das leis do movimento uniformemente acelerado unidimensional é a

descrição do movimento de queda livre, ou de subida e queda vertical, de um corpo sob a

acção da gravidade (desprezando os efeitos das forças de atrito a que esse corpo possa

também estar sujeito).

Aplicação: Calcule a altura máxima atingida por uma bola que é lançada na vertical comvelocidade inicial de 1ms0,15 − a partir de uma altura de m00,2 .

A altura máxima corresponde ao instante em que se inverte o sentido do movimento, e em

que portanto a velocidade se anula. Igualando a zero a equação(2.3 a), depois de substituir

0v por 1ms0,15 − e a por 2ms80,9 −− (estamos a utilizar um eixo vertical e dirigido para

cima como referencial), obtemos o instante em que se atinge a altura máxima, s53,1tmax = . A

altura máxima vem dada pela equação (2.3 b) calculada em maxtt= , tendo em conta que

m00,2r0 = , e é m5,13 .

2.1.2. Movimento Uniformemente Acelerado Bidimensional

Neste caso estamos a considerar o movimento num plano, pelo que posição, velocidade e

aceleração são representadas por vectores com duas componentes, digamos segundo o eixo

dos xx e segundo o eixo dos yy . O processo de integração que descrevemos no exemplo

anterior conduz neste caso às equações

(2.5 a) t a v v 0

+=

(2.5 b) 2 0 0 t a

2

1t v r r

++=

onde

2 0 10 0 2 y 0 1x 0 0 2 12 y 1x 2 y 1x e y e x r ,e v e v v ,e y e x r ,e v e v v ,e a e a a

+=+=+=+=+=

e 1e

, 2 e

são os versores dos eixos dos xx e dos y , respectivamente. As equações (2.5)

podem então escrever-se como pares de equações escalares na forma

(2.6 a) t a v v ,t a v v y y 0 y x x 0 x +=+=

(2.6 b)2

y y 0 0

2

x x 0 0 t a 2

1

t v y y ,t a 2

1

t v x x ++=++=

Um caso particular importante, porque se aplica ao estudo do movimento de projécteis, é

aquele em que 0 a x = , g a y −= onde como é habitual representamos por 2 e g

− a aceleração

da gravidade.



Mecânica 19

2.1.3. Movimento Circular Uniforme

No caso do movimento circular, a partícula desloca-se sobre um círculo de raio R . Este

movimento pode ser considerado um movimento unidimensional em que a trajectória é uma

circunferência. A posição em cada instante fica determinada pelo valor do ângulo ϕ nesse

instante (ver Figura 2.2). Concretamente, temos

(2.7) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 1 e t sin R e t cos R t r

ϕ ϕ +=

Se além de circular o movimento for uniforme, isso significa que o ângulo ϕ varia

uniformemente no tempo, isto é, que

(2.8) constante dt

d ==ω

ϕ

Figura 2.2

Em geral, designa-se por ω , velocidade angular ou frequência angular, a taxa de

variação temporal do ângulo associado ao arco percorrido e as suas unidades são, no

sistema MKSA, radianos por segundo.

Outra maneira de caracterizar o movimento circular uniforme é dizer que a aceleração

angular

(2.9)dt

d ω γ =

é nula. Da integração da equação (2.8) resulta imediatamente a lei do movimento para o

ângulo ϕ

( ) t t 0 ω ϕ ϕ +=

Substituindo em (2.7) vem para o vector de posição da partícula

(2.10) ( ) ( ) ( ) 2 0 10 e t sin R e t cos R t r

ϕ ω ϕ +++=

r

R

v

ϕ



Capítulo 220

Uma primeira conclusão que podemos tirar da equação (2.10) é que o movimento é

periódico de período T , dado em função da frequência angular por

ω

π 2 T =

É também habitual caracterizar um movimento deste tipo através da frequência

π

ω

2 T

1 f ==

cujas unidades são 1s − ou Hertz (Hz), e que mede o número de ciclos deste movimento

periódico que ocorrem numa unidade de tempo. Derivando em ordem ao tempo a equação

(2.10) obtém-se a expressão da velocidade

(2.11) ( ) ( ) ( ) 2 0 10 e t cos R e t sin R t v

ω ϕ ω ω ϕ ω +++−=

É fácil comprovar que, tal como se representa na Figura 2.2, o vector velocidade é

perpendicular ao vector de posição ( )t r

(basta ter em conta que, em geral, o vector

velocidade é sempre tangente à trajectória, ou então verificar que o produto interno dos dois

vectores ( )t r

e ( )t v

dados pelas equações (2.10) e (2.11) é nulo). Assim a velocidade v

, no

movimento circular uniforme, não é constante no tempo porque varia em direcção. No

entanto, o módulo v do vector ( )t v

dado por (2.11) é constante (característica do movimento

uniforme) e dado por

R v ω =

Derivando em ordem ao tempo a equação (2.10) obtemos a expressão da aceleração do

movimento

(2.12) ( ) ( ) ( ) ( )t r e t sin R e t cos R t a 2 2 0

2 10

2

ω ω ϕ ω ω ϕ ω −=+−+−=

ou seja, o vector ( )t a

é igual ao produto de um escalar negativo pelo vector ( )t r

. Portanto, a

aceleração deste movimento é radial e centrípeta, isto é, tem em cada instante a direcção do

vector de posição da partícula e está dirigida para o centro da trajectória. Quanto ao módulo

da aceleração, temos imediatamente de (2.12)

(2.13) R a 2 ω =

ou seja, tal como o módulo da velocidade, o módulo da aceleração é constante neste

movimento.



Capítulo 222

1ª Lei : um corpo livre executa um movimento uniforme e rectilíneo (lei da inércia).

2ª Lei : a força F

que actua uma partícula e a sua aceleração a

verificam a relação,

a m F

=

onde m é a massa da partícula (lei fundamental da dinâmica).

3ª Lei : as forças de interacção são iguais em módulo e direcção e de sentido contrário (lei

da acção e reacção).

A segunda lei admite um enunciado mais geral, em termos do momento linear v m p

= de

uma partícula (ou de um sistema de partículas)

(2.17)dt

p d F

=

ou seja, a força é igual à taxa de variação do momento linear.

A grandeza momento linear ou quantidade de movimento de uma partícula ou de um

sistema de partículas

i i i particula v m p

∑=

é assim uma grandeza fundamental na descrição do estado de movimento de um sistema.

Quando uma força actua sobre um corpo altera o estado de movimento deste. No entanto, o

efeito dessa força depende não só da velocidade do corpo mas também da sua massa.

Esta formulação da 2ª Lei permite tratar o caso de uma partícula (ou de um sistema de

partículas) de massa variável, como veremos em vários exemplos. Em particular, a equação

(2.17) diz-nos que o momento linear p

de um sistema livre se conserva.

Aplicação: Um disco de hockey sobre gelo desloca-se sem atrito sobre a pista. Determinar

a trajectória do disco em função da velocidade inicial que lhe é imprimida.

Como se considera desprezável o efeito das forças de atrito, as únicas forças que actuam o

objecto são o seu peso e a força de reacção que a pista exerce sobre ele. Pela 3ª Lei, estas

duas forças são iguais em módulo e direcção e têm sentidos contrários, de modo que a força

total que actua o disco é nula. Portanto, pela 1ª Lei, o movimento que executa é uniforme e

rectilíneo e temos ( )

r t r v t= +0 0 , onde

v0 é a velocidade inicial que é imprimida ao disco e

r0 é

a sua posição inicial.

Aplicação: Um veículo espacial que se desloca com velocidade 0v realiza uma manobra

expelindo durante um intervalo de tempo muito curto uma quantidade de gás de combustão

de massa igual a 5% da massa total no início da manobra. A velocidade da massa de gás em



Mecânica 23

relação ao veículo é Rv . Calcular a variação da velocidade do veículo em função dos

parâmetros do problema.

Como o sistema formado pelo veículo mais o combustível é um sistema livre, podemos

concluir da 2ª Lei que o momento linear total antes e depois da manobra é igual. Portanto,

temos

( ) f Rf 0 Mv95,0vvM05,0Mv +−=

onde M e f v denotam a massa total inicial e a velocidade final do veículo, respectivamente.

Portanto, temos

R0f v05,0vv =−

2.2.1. Centro de Massa

O movimento global de um sistema é descrito, em parte, em termos do movimento de umsó ponto, o centro de massa, ponto no qual se considera concentrada toda a massa do

sistema. De facto o movimento de um sistema mecânico, seja ele um sistema de partículas

individuais ou um objecto extenso sob a acção de forças exteriores, pode analisar-se como a

composição resultante de dois movimentos, o de translação do seu centro de massa e o de

rotação em relação ao centro de massa. O movimento de translação é o que resulta de

considerar a resultante das forças aplicada a uma partícula única de massa (massa total

do sistema) localizada no centro de massa. O conceito de centro de massa é assim um

conceito importante em dinâmica, uma vez que podemos considerar que é este ponto que se

move de acordo com as leis do movimento de translação e com as leis de conservação daenergia que veremos adiante.

Para um corpo de forma regular e densidade homogénea o centro de massa coincide com

o centro geométrico do corpo. No caso de objectos com formas irregulares o cálculo do

centro de massa é já mais complexo.

A posição do centro de massa pode ser descrita como a posição média da massa do

sistema; por exemplo, para duas partículas de 1m e 2 m colocadas no eixo dos xx nas

posições 1x e 2 x respectivamente (Figura 2.3) a posição do centro de massa será

2 1

2 2 11CM

m m x m x m x

++=

isto é, o centro de massa está sobre o eixo dos xx , mais próximo da partícula mais pesada.



Capítulo 224

Figura 2.3

Para um sistema de muitas partículas colocadas em pontos genéricos ( )i i i z ,y ,x tem-se

para a posição do centro de massa

e z m e y m e x m

r

3

i

i i 2

i

i i 1

i

i i

CM

+

+

=

∑∑∑

Se em vez de um sistema de partículas distintas se tratar de um corpo rígido, quer dizer,

de uma distribuição contínua de massa, tem-se

∫= dm r 1

r CM

2.3. Forças Fundamentais; Interacção Gravítica

Existem quatro forças ou interacções fundamentais: a gravítica, a electromagnética, e as

interacções forte e fraca. Estas duas últimas são forças de curto alcance, que são

importantes à escala do núcleo e das partículas nucleares, mas que não desempenham

nenhum papel à escala dos sistemas biológicos (à parte, claro está, serem responsáveis pela

estabilidade dos núcleos que formam os átomos que formam as moléculas que formam as

células…). A força gravítica e a electromagnética, pelo contrário, desempenham um papel

muito importante em vários sistemas biológicos, como teremos ocasião de ver ao longo docurso.

A interacção electromagnética será o objecto dos Capítulos 5 e 6. A força gravítica é

postulada pela lei da gravitação de Newton, de acordo com a qual duas massas pontuais m

e exercem uma sobre a outra uma força atractiva dirigida segundo a recta que as une e

de módulo dado por

(2.18)2 G

d

mM G F =

onde d é a distância entre elas e 2 2 11 Kg Nm 10 673 .6 G −−×= é uma constante universal. Paraalém de permitir descrever, em boa aproximação, o comportamento do sistema solar, este

modelo explica porque razão à superfície da Terra todos os corpos caem com a mesma

aceleração constante g . Na realidade, o movimento de queda de um corpo perto da

superfície terrestre deve-se à força de interacção gravítica entre a Terra e o corpo em

questão. Pela lei da gravitação de Newton, e considerando a Terra como uma massa pontual

situada no seu centro geométrico, um corpo de massa m situado a uma altura h acima da

m1 m2

x1 x2 0 xCM



Mecânica 25

superfície terrestre fica sujeito a uma força radial e dirigida para o centro da Terra (ver

Figura 2.4) de módulo

( )2

T G

h R

mM G F

+=

onde T M é a massa e R é o raio da Terra.

Figura 2.4

Em termos dos parâmetros locais de m , podemos dizer que G F

é vertical e dirigida de cima

para baixo. Tendo em conta que R h << , podemos tomar em boa aproximação

( ) 2 2 R

1

h R

1≈

+

de modo que vem

2

T G

R

mM G F ≈

Pela 2ª Lei da Dinâmica, o corpo em questão mover-se-á com uma aceleração vertical e

dirigida de cima para baixo dada por

( )2

2 6

24 11G ms 81,9

10 37 ,6

10 97 ,5 .10 67 ,6

m

F g −

−

≈×

××≈=

Como caso particular da definição de centro de massa, podemos dizer que o efeito da

força gravítica sobre um corpo se pode analisar considerando a força aplicada no seu centro

de massa, onde se considera concentrada toda a massa do corpo. Neste caso, em que a

força exterior é a força gravítica, é habitual chamar centro de gravidade ao centro de massa.

A posição de centro de gravidade é importante na determinação da estabilidade de um

corpo: para que a posição de um corpo seja estável é necessário que a linha vertical que

passa pelo centro de gravidade intersecte a base de sustentação do corpo que é o polígono

definido pelos pontos de apoio.

No caso do exemplo apresentado na Figura 2.5, a posição da mesa será estável se a linha

vertical que passa pelo centro de gravidade cair dentro dos limites da área horizontal

m

hR

MT



Capítulo 226

definida pelos pés da mesa. Veremos mais adiante que este facto está relacionado com o

efeito da força gravítica do ponto de vista da rotação do corpo.

Figura 2.5

Também na locomoção animal esta questão é importante. Para um quadrúpede em

marcha o mínimo de estabilidade corresponde à situação de três patas assentes no chão e o

animal manterá a estabilidade se o centro de gravidade estiver sobre o triângulo definido

pelas patas. A sequência correcta de movimentação das patas de um cavalo tal como

indicada na Figura 2.6, garante que este consiga andar mantendo a sua estabilidade.

Figura 2.6

2.4. Outras Forças

Em princípio, as forças que actuam um sistema ou uma componente de um sistema

arbitrário podem exprimir-se em termos das forças fundamentais. No entanto, para a

maioria dos sistemas, a complexidade das interacções presentes faz com que esta

imóvel a trote



Mecânica 27

abordagem reducionista não seja viável, e surgem modelos fenomenológicos para tratar

diversas situações.

Por exemplo, a força elástica F , que modela o comportamento de molas e, em geral, de

meios contínuos sujeitos a deformações, toma-se como sendo dada por

(2.19) x k F ∆−=

onde k é uma constante fenomenológica característica de cada situação e x ∆ é a elongação

da mola ou a deformação do meio. Como vimos na secção anterior, o movimento de uma

massa ligada a uma mola cujo comportamento seja bem descrito por este modelo (mola

ideal) é o movimento oscilatório harmónico.

Outras forças fenomenológicas que intervêm na maioria dos modelos são as forças de

atrito, que pretendem dar conta do resultado macroscópico global das interacções entre a

superfície do corpo cujo movimento se estuda e o meio no qual esse movimento tem lugar.

São sempre forças que se opõem ao movimento, e portanto têm a mesma direcção da

velocidade e sentido contrário. No caso do atrito entre superfícies de sólidos, chamado atrito

seco, a força de atrito toma-se proporcional à força que se exerce segundo a normal à

superfície de contacto

(2.20) N F a µ =

onde µ é um coeficiente fenomenológico chamado coeficiente de atrito seco. Por exemplo, no

caso de um bloco de massa m que se desloca sobre uma superfície horizontal, a força de

atrito será dada em módulo por mg F a µ = , onde µ é o coeficiente característico da

interacção entre as duas superfícies. Às vezes, distingue-se para um mesmo par de

superfícies o coeficiente de atrito estático e µ e o coeficiente de atrito cinético c µ , tendo-se

em geral c e µ µ > . Isto traduz o facto de se verificar experimentalmente que, em geral, a força

que se opõe ao movimento a partir da situação de repouso é maior que a força de atrito que

se exerce quando as duas superfícies estão já em movimento uma em relação à outra.

No caso do atrito entre camadas de um fluido ou entre a superfície de um sólido e o

fluido em que este se move, a força de atrito toma-se proporcional à velocidade,

(2.21) v F a µ =

onde µ é agora o coeficiente de atrito fluido. Por exemplo a força de atrito que se exerce

sobre um automóvel devida ao contacto com o ar é proporcional à velocidade com que o

automóvel se desloca, e a constante de proporcionalidade depende da geometria do veículo.

Para além das forças fundamentais e das forças fenomenológicas de que falamos até

agora, existe uma outra classe de forças de natureza diferente, que são as forças de inércia.

A necessidade de considerar a existência destas forças prende-se com o facto de os



Capítulo 228

referenciais da mecânica, isto é, os sistemas de eixos escolhidos para descrever o

movimento, não terem todos o mesmo estatuto. Na realidade, o enunciado correcto da 1ª Lei

diz que um corpo livre descreve um movimento uniforme e rectilíneo num referencial de

inércia, isto é, num referencial em repouso ou em movimento rectilíneo e uniforme em

relação ao espaço absoluto. Podemos então pensar na 1ª Lei como a que postula a

existência do espaço absoluto e define a classe de referenciais privilegiados a que chamamos

referenciais de inércia. Estes referenciais caracterizam-se por terem aceleração nula em

relação ao espaço absoluto, e é só neles que a relação fundamental da dinâmica, a m F

= ,

onde F

é a resultante das forças fundamentais e fenomenológicas a que o corpo está

sujeito, se verifica. Mas a maioria dos referenciais em que é útil trabalhar não são

referenciais de inércia, a própria Terra, devido ao seu movimento de translação e de rotação

própria, não é um referencial de inércia. Portanto, foi necessário estender a teoria de modo a

dispor de uma equação fundamental válida nestes referenciais. Não é difícil mostrar que, em

consequência da 1ª e da 2ª Leis, a relação a m F

= é válida num referencial arbitrário desde

que se tome F

como sendo a resultante de todas as forças a que o corpo está sujeito,

incluindo, para além das forças fundamentais e fenomenológicas que intervêm na situação

considerada, uma força de inércia, I F

, que depende da aceleração do referencial no qual se

está a observar o movimento, e que é dada por

R I a m F

−=

onde m é a massa do corpo cujo movimento se estuda e R a

é a aceleração do referencial em

que se faz a descrição do movimento.

Aplicação: Um rapaz muito preocupado com o controle do seu peso aproveita o tempo que

passa no elevador do prédio onde vive para se pesar. Constata que as medições que realiza

nessas circunstâncias diferem sistematicamente das medições que faz em casa. Mais

precisamente, o peso medido na subida é sistematicamente maior do que o peso medido em

casa, o qual por sua vez é sistematicamente maior do que o peso medido na descida. Explique

este fenómeno, e faça uma estimativa para as diferenças encontradas em função da

aceleração de subida e de descida do elevador.

Por um lado, o rapaz está, em cada uma das três situações que se comparam, em equilíbrio

do ponto de vista de um referencial solidário com a balança. Esse referencial é inercial no caso

em que a pesagem tem lugar em casa, e não inercial no caso em que a pesagem tem lugar no

elevador, dado que este se move com uma certa aceleração de subida ou de descida, conforme

o caso. Por outro lado, as forças que o actuam são, para além das forças de inércia que se

tenham que considerar, o peso P

e a reacção R

que a balança exerce sobre o rapaz, sendo a

intensidade desta última força a quantidade que é medida pela balança.



Mecânica 29

Portanto temos, para o caso em que o elevador sobe com aceleração, 2SI2SS emaF,eaa

−==

e a equação 0FRP I=++

escreve-se

0emaeRemg 2s22 =−+−

ou seja,( )SagmR +=

. Da mesma maneira, quando o elevador desce com uma aceleração

2dI2dd emaF,eaa

=−= e a equação 0FRP I =++

fica

0emaeRemg 2d22 =++−

ou seja, ( )dagmR −= .

Em resumo, quando o elevador sobe (desce) com aceleração 2Sea

( )2dea

− a medida do

peso é superior (inferior) à medida do peso num referencial inercial, e a diferença é igual a

Sam ( )dma .

2.5. Dinâmica de Rotação

Até agora falámos do movimento de um ponto material, que no caso de corpos extensos

identificamos com o movimento de um ponto especial designado por centro de massa do

corpo. Em muitos casos é importante saber descrever o movimento geral de corpos extensos

ou de sistemas de várias partículas, que se pode decompor no movimento do centro de

massa (que já sabemos como estudar), e no movimento do sistema em relação ao centro de

massa. Este último é em geral uma composição de rotações, de modo que o que nos

interessa para abordar o problema é saber descrever o movimento de rotação de um corpo

em relação a um ponto, que podemos supor fixo.

Tal como no caso da dinâmica de um ponto material aparecem conceitos muito

importantes como os conceitos de momento linear, P

, e força aplicada, F

; em dinâmica de

rotação os conceitos relevantes são os de momento angular, L

, e momento da força (ou

forças) aplicada,

.

O momento angular de uma partícula em relação a um ponto define-se como

(2.22) p r v r m L

×=×=

sendo r

o vector de posição da partícula em relação a esse ponto, m a sua massa, v

a sua

velocidade e portanto p

o seu momento linear. O momento angular total de um sistema departículas em relação a um ponto é a soma dos momentos angulares, em relação a esse

ponto, das partículas que o constituem.

No caso particular importante de um sistema rígido a rodar em torno de um eixo fixo com

velocidade angular ω , todos os pontos rodam com a mesma velocidade ω .O momento

angular será



Capítulo 230

∑ ×=i

i i i v r m L

ondeii

r m

, e i

v

são respectivamente a massa, o vector de posição e a velocidade da

partícula i . Neste caso todas as partículas do sistema descrevem trajectórias circulares em

planos que são perpendiculares ao eixo e centradas no eixo.

Consideremos agora, tal como a figura indica, um cubo que roda, com velocidade angular

ω, em torno de um eixo que passa pelo centro de duas faces opostas (Figura 2.7). Neste caso

particular é fácil mostrar que o momento angular em relação a qualquer ponto do eixo tem a

direcção do eixo de rotação e, consequentemente, do vector velocidade angular.

∑ ×=i

i i i v r m L

=

i i

i

i

i i i i

i

i

i i

i

i

v R m

v R m v ' O O m

v ) R ' O O ( m

×=

=×+×=

=×+=

∑

∑

∑

pois neste caso os termos que contribuem para a primeira parcela da soma anulam-se dois

a dois, dado que para cada partícula com uma determinada velocidade existe uma outra

com velocidade oposta. Então

3 z

i

3 2 i i

i

3 i i i

i

i i i

e L

e w R m

e v R m

v R m L

=

==

==

=×=

∑

∑

∑

Figura 2.7

onde i R representa o raio da trajectória circular da partícula em torno do eixo (distância da

partícula ao eixo), i i R v = e 3 e

é o vector normal ao plano da trajectória da partícula

definido de maneira que ),,( 3ev R

é um triedro directo. O vector 3 e

ω ω = é o vector

velocidade angular.

vi

Ri

ri

-vi

ω

O

O’



Mecânica 31

Assim o momento angular L

em relação ao eixo de rotação é um vector colinear com o

eixo, de sentido positivo ou negativo conforme a rotação seja directa ou retrógrada, dado por

(2.23) ω

I L =

onde a quantidade I , chamada momento de inércia do corpo em relação ao eixo fixo,depende da geometria da distribuição de massa do corpo, e é definida como

(2.24) 2 i i

i

R m I ∑=

No caso geral de um sólido sem simetrias particulares a rodar em torno de um eixo OZ

qualquer, ainda que a expressão (2.23) já não seja válida, o que significa que o momento

angular total já não é paralelo ao eixo de rotação, é ainda possível mostrar que w I L z = .

Para uma distribuição contínua da massa o somatório transforma-se num integral, logo

(2.25) ( ) 2 r r dV I

ρ ∫=

onde dV representa o elemento de volume. Por exemplo, para um cilindro homogéneo de raio

R , o momento de inércia em relação ao eixo de simetria do cilindro é dado por 2 /MR 2 ,

onde é a massa do cilindro. No caso de uma superfície cilíndrica homogénea, que se

toma por vezes como modelo simples para o comportamento rotacional da hélice de DNA, o

momento de inércia em relação ao eixo é 2 R , onde é a massa e R é o raio da

superfície.

O efeito de uma força no movimento de rotação do corpo sobre o qual actua depende da

posição do seu ponto de aplicação em relação ao centro (ou eixo) de rotação e da

componente força segundo a normal ao vector ao vector posição do seu ponto de aplicação;

quando empurramos uma porta giratória fazêmo-lo num ponto muito afastado do eixo de

rotação porque exige menos esforço (uma força de intensidade menor) e empurramo-la na

direcção da rotação. Para o movimento de rotação, a grandeza que mede o efeito de uma

força F

, o momento

dessa força em relação a um ponto P , é definida como

(2.26) F r M

×=

em que r

é o vector posição do ponto de aplicação da força relativamente a P . De acordo

com a definição o momento é um vector perpendicular ao plano formado por r

e F

cujo

sentido é definido pelo sentido da rotação que F

imprime ao corpo.

O módulo deste vector é dado pelo produto da intensidade da força pela distância

perpendicular θ cos r r =⊥ do ponto P à linha de acção da força (braço da força), ou seja



Capítulo 232

(2.27) θ cos Fr Fr M == ⊥

onde θ é o ângulo definido pela direcção de r

e pela direcção perpendicular a F . Note-se

que ϕ θ sen cos = de modo que a expressão 2.27 coincide com a que se obtém de 2.26

aplicando a definição de produto externo.

Convenciona-se tomar como positivo um momento que leva a uma rotação no sentido

directo, contrário ao dos ponteiros do relógio, e negativo no caso contrário.

A acção de várias forças pode ser analisada em termos da soma dos momentos de cada

uma.

Os dois conceitos básicos, momento angular e momento das forças, estão relacionados

pela equação fundamental da dinâmica de rotação, de acordo com a qual a variação do

momento angular total do sistema em relação a um ponto é igual ao momento total das

forças aplicadas em relação a esse ponto

(2.28)dt

L d M

=

Na tabela abaixo pretende-se chamar a atenção para o paralelismo que se pode

estabelecer entre a dinâmica de translação e a dinâmica de rotação: os papéis

desempenhados no primeiro caso pela força, pelo momento linear e pela massa

correspondem no segundo caso ao momento da força, ao momento angular e ao momento

de inércia. A velocidade angular desempenha no movimento de rotação um papel análogo o

da velocidade linear no movimento de translação.

Translação F

v m p

= dt

p d F

= mv p =

Rotação F r M

×= v m r L

×= dt

L d M

= ω I L =

Aplicação: Considere o sistema representado na Figura 2.8, formado por duas massas

iguais ligadas por uma barra rígida de comprimento 2R e massa desprezável e actuadas por

um binário de forças. Determine o momento de inércia do sistema em relação ao eixo de

rotação, e caracterize o movimento

Figura 2.8-F

F

x

y

R



Mecânica 33

Tomaremos como ponto de referência para o cálculo dos momentos angulares e dos

momentos das forças o ponto médio da barra, situado sobre o eixo de rotação. Como

θ= sinbabxa

, onde θ é o ângulo formado pelos dois vectores, neste caso, dado que r

e F

são perpendiculares, da equação (2.26) vem que o momento de cada uma das forças tem

módulo M dado por RFM= . Por outro lado, decorre também da definição de produto externo

que os vectores momento de cada uma das forças têm a mesma direcção e o mesmo sentido,

de modo que o momento total T M é igual a RF2 . Outra maneira de ver que os momentos de

cada uma das forças se somam em valor absoluto é pensar que as duas forças induzem

rotações no mesmo sentido.

Da definição de momento angular (2.22) tem-se para o módulo do momento angular total

deste sistema de duas partículas ω== mR2Rmv2L 2 T , onde na segunda igualdade se usou o

facto de ser ω=Rv . Da relação entre momento angular e velocidade angular obtém-se

imediatamente 2mR2I= , como decorre também da definição directa 22iii mR2rmI =Σ= ou seja,

neste caso, tal como para a superfície cilíndrica homogénea, o momento de inércia é igual ao produto da massa total pelo raio ao quadrado.

Finalmente, a equação (2.28) dá-nos informação sobre o movimento

mR

F

dt

d

dt

dmR2RF2

dt

dL M 2 =

ω⇒

ω=⇒=

ou seja, trata-se de um movimento com aceleração angular constante. Supondo que o sistema

está em repouso no instante em que as forças começam a actuar, o ângulo ϕ que a barra

forma com a posição inicial varia no tempo de acordo com

2t2

1γ =ϕ

onde a aceleração angular mR/F=γ .

2.6. Trabalho e Energia

Trabalho e energia são termos usados na vida de todos os dias, com significados que

podem ser bem diferentes daqueles que correspondem à sua definição em física.

Vamos ver que a partir dos conceitos de trabalho e energia é possível analisar a dinâmica

de um sistema mecânico sem usar explicitamente as leis de Newton; convém notar, no

entanto, que esta abordagem do trabalho - energia é uma consequência directa das leis de

Newton, não envolvendo conceitos físicos novos.

Quando uma força actua sobre um corpo provocando um certo deslocamento diz-se que

essa força realizou trabalho, alterando o estado de movimento do corpo. O teorema

trabalho – energia, que resulta directamente da 2ª lei de Newton, diz-nos que o trabalho



Capítulo 234

realizado pelas forças que actuam sobre um corpo é igual à variação da sua energia cinética

c E (energia que possuí pelo facto de estar em movimento), definida como metade do

produto da massa do corpo pelo quadrado da velocidade respectiva ( 2 c mv

2

1E = ).

Vejamos como chegamos a este resultado a partir do conceito de trabalho.

Consideremos em primeiro lugar o caso simples de um objecto que se desloca de uma

distância s ∆ , segundo uma dada direcção constante, sob a acção de uma força constante

(módulo e intensidade). O trabalho realizado pela força é neste caso dado por

(2.29) θ ∆∆ cos s F s .F W ==

sendo θ o ângulo que a força faz com a direcção do deslocamento. De acordo com esta

definição o trabalho será nulo sempre que o deslocamento s ∆ for nulo ou a força

perpendicular à direcção do deslocamento; uma força não realiza trabalho quando não tem

componente na direcção do deslocamento ou quando este é nulo.

No sistema internacional a unidade para a grandeza trabalho é o Joule

2 2 s /m kg 1m .N 1J 1 ==

e no sistema c.g.s. o erg

cm .dyne 1erg 1 =

Assim

erg 10 cm .dyne 10 m .N 1J 1 7 7 ===

O trabalho de uma força é positivo ou negativo consoante a direcção relativa da força e do

deslocamento: para θ cos F (componente da força na direcção do deslocamento) e s ∆ com o

mesmo sentido o trabalho é positivo, sendo negativo no caso contrário. Considerando por

exemplo um objecto que se desloca sobre uma mesa o trabalho realizado pela força de atrito

entre as duas superfícies sólidas (objecto e mesa) é negativo, uma vez que a força de atrito

se opõe ao movimento.

O conceito de trabalho que referimos contraria a noção de trabalho que usamos no dia a

dia; por exemplo, quando deslocamos um objecto pesado segundo a horizontal, tal como se

indica na Figura 2.9, o trabalho realizado pela força que exercemos é nulo!



Mecânica 35

Figura 2.9

No caso em que as direcções da força e do deslocamento são constantes mas a

intensidade da força varia, o trabalho realizado pela força no deslocamento entre os pontos

1 e 2 será

( )∫=

2

1

ds .s F cos W θ

ou

∫±=

2

1

ds ) s ( F W

no caso em que a força e o deslocamento são colineares.

No caso geral de uma força variável para um deslocamento segundo uma direcçãogenérica r

, o trabalho realizado pela força que actua o objecto quando este se desloca entre

os pontos 1 e 2 é dado por

∫=

12

12 r d .F W

onde o símbolo representa o integral tomado ao longo da linha descrita pelo ponto de

aplicação da força no percurso entre 1 e 2.

O trabalho total realizado por diferentes forças que actuam um objecto será a soma dos

trabalhos realizados por cada uma das forças.

Voltemos à dedução do teorema trabalho – energia. Da 2ª lei de Newton sabemos que

quando uma força actua sobre uma partícula esta adquire uma aceleração segundo a

direcção da força. Para uma força constante x F

, dirigida por exemplo segundo o eixo dos

xx , uma partícula de massa m adquire uma aceleração x a

, que é constante. Se a partícula

se desloca de 12 x x x −=∆ , entre os pontos 1 e 2, o trabalho realizado pela força é

m

v



Capítulo 236

( ) x ma x F W x x 12 ∆=∆=

sendo

( )t v v 2

1x 2 1 +=∆

e

t

v v a

12

x

−=

uma vez que o movimento é uniformemente acelerado. Assim

( ) 2 1

2 2 2 1

12 12 v m

2

1v m

2

1t v v

2

1

t

v v m W −=+

−=

o que nos mostra que o trabalho realizado pela força constante x F

é igual à variação da

energia cinética da partícula.

Pode mostrar-se que este resultado, conhecido como o teorema do trabalho–energia, é

válido para o caso geral de uma força variável (em direcção e intensidade) que actua sobre

uma partícula, que segue uma trajectória arbitrária. Podemos então escrever

(2.30) ( ) ( )1E 2 E W c c 12 −=

resultado que permite uma análise simples da dinâmica de um corpo, mesmo no caso desituações complexas em que a aplicação directa da lei de Newton se torna mais difícil. Este

método alternativo para o estudo do movimento é particularmente útil no caso de forças

variáveis.

Aplicação: Considerando um corpo que é lançado com uma velocidade nula de uma altura

h , determinar a velocidade com que o corpo atinge o solo.

O trabalho da força gravítica é igual à variação de energia cinética do corpo, logo

2i

2f mv

2

1mv

2

1mgh −=

como 0v i = tem-se

gh2v f =



Mecânica 37

Aplicação: Um bloco desliza com atrito não desprezável sobre uma superfície; a sua

velocidade inicial é 0v e pára depois de percorrer uma distância d . Quanto vale o coeficiente

de atrito µ , entre o bloco e a superfície?

Como se trata de uma força de atrito entre sólidos

mgNFa µ=µ=

o trabalho realizado por esta força será igual à variação de energia cinética do bloco, logo

2

mv0mgdW

20−=µ−=

e portanto

gd2

v20=µ

As forças podem classificar-se como conservativas ou não conservativas; uma força

diz-se conservativa quando o trabalho por ela realizado ao actuar sobre um dado corpo que

se desloca entre dois pontos é independente do caminho percorrido pelo corpo entre esses

dois pontos. Por oposição, uma força não conservativa é uma força tal que o trabalho

realizado sobre a partícula depende do caminho percorrido.

É fácil verificar que a força gravítica é uma força conservativa, enquanto que a força de

atrito é um exemplo de força não conservativa.

Considerando o carro representado na Figura 2.10 e o caminho indicado, é evidente queo trabalho realizado pela força gravítica entre os pontos 1 e 2 é

mgh W 12 =

e idêntico ao trabalho realizado pela mesma força no caso do corpo cair na vertical.

Figura 2.10

1

2

h



Capítulo 238

2.7. Conservação da Energia

No caso de forças conservativas, o trabalho realizado é apenas função das posições inicial

e final da partícula; pode assim definir-se uma função que depende apenas da posição da

partícula e cuja variação é igual e de sinal contrário ao trabalho realizado pelas forças

conservativas. Esta função é a energia potencial pE que representa a energia que a partícula

tem devido à sua posição no campo de forças e que pode ser transformada em energia

cinética ou utilizada para realizar trabalho. No caso de forças conservativas tem-se então

(2.31) ( ) ( ) ( ) ( )2 E 1E 1E 2 E E W p p p p p 12 −=−−=∆−=

Considerando esta relação e a expressão (2.30) atrás deduzida tem-se que

( ) ( ) ( ) ( )2 E 1E 1E 2 E W p p c c 12 −=−=

ou seja

(2.32) ( ) ( ) ( ) ( )1E 1E 2 E 2 E p c p c +=+

Definindo a energia mecânica total de um sistema como a soma das energias cinética e

potencial desse sistema, pode dizer-se que a expressão anterior traduz o principio de

conservação da energia mecânica - a energia mecânica total de um sistema permanece

constante se sobre ele só actuarem forças conservativas.

Este resultado é um caso particular de um princípio fundamental em física o princípio

da conservação da energia que nos diz que a energia total de um sistema isolado se

mantém constante.

Vejamos um pouco melhor o significado deste princípio o qual generaliza o resultado

derivado anteriormente, incluindo todas as forças conservativas e não conservativas que

podem actuar um sistema.

Nos processos que envolvem sistemas físicos reais estão em geral presentes forças não

conservativas como, por exemplo, as forças de atrito. Estas forças vão retirar energia

mecânica do sistema; a energia mecânica deixa de ser conservada. No entanto é sempre

possível identificar uma variação de energia, ainda que sob outra forma, que compensa

exactamente a energia mecânica perdida. Veremos por exemplo, ao estudar a

termodinâmica, que a energia mecânica pode ser transformada em energia interna do

sistema: quando um corpo se desloca sobre uma superfície com atrito a energia mecânica

que é perdida, é transformada em energia térmica, isto é, há um aumento de energia interna

do corpo e da superfície associada à vibração dos átomos constituintes que se manifesta



Mecânica 39

através do aumento de temperatura. Tendo em conta este aumento de energia interna pode

dizer-se que a energia total do sistema é constante.

Sabemos que para além da energia mecânica temos várias outras formas de energia

(térmica, eléctrica, química, etc.) e que é possível transformar as diferentes formas de

energia umas nas outras; conhecemos outros exemplos de transformação de energia talcomo a transformação de energia química em energia eléctrica e vice-versa. O que o

princípio geral da conservação da energia nos diz é que, tendo em conta todas as formas de

energia, a energia total de qualquer sistema isolado é constante; se uma parte desse sistema

ganha energia (sob qualquer forma), outra parte do mesmo sistema tem que perder uma

quantidade de energia equivalente.

2.8. Forças Conservativas e Potenciais

No caso de forças conservativas tem-se então

∫−=−=∆

12

p s d .F W E

onde o valor do integral depende apenas dos pontos inicial e final.

Esta expressão mostra-nos que só tem significado falar de variação de energia potencial

entre dois pontos dado que o seu valor não fica definido de uma forma absoluta. Fala-se, no

entanto, de energia potencial num dado ponto, o que corresponde a tomar uma dada

posição para referência; a escolha desta posição é arbitrária, já que é sempre possível somar

um valor constante a dois valores de energia potencial, sem que a diferença entre eles seja

alterada.

Vejamos agora como é que a expressão que escrevemos se pode aplicar para determinar a

função energia potencial associada a alguns campos de forças conservativas.

Consideremos o caso da força gravítica junto à superfície da terra, exemplo de força

conservativa. Suponhamos, uma massa m que se move segundo uma trajectória arbitrária

desde um ponto de altura 0 y , de coordenadas ( )0 0 y ,x até um outro ponto de altura f y de

coordenadas f f y ,x . A força gravítica é dada por

2 e mg F

−=

Sendo o deslocamento genérico infinitesimal r d

3 2 1 e dz e dy e dx r d

++=

a variação de energia potencial correspondente é

( ) ( ) mgdy e dz e dy e dx .e mg r d .F dU 3 2 12 −=++−==−



Capítulo 240

logo

(2.33) ( )∫ −−=∆

f

0

y

y

dy mg U

Para deslocamentos junto à superfície da terra mg é constante, logo

0 f

y

y

mgy mgy dy mg U

f

0

−==∆ ∫

Escolhendo para referência 0 U 0 = no ponto 0 y 0 = , pode escrever-se simplesmente,

para pontos próximos da superfície da terra

y mg U =

sendo y a altura do ponto relativamente a0

y .

A partir de (2.33) verificamos que a função energia potencial associada a uma força

conservativa se obtém por integração desta (e troca de sinal). Inversamente a força

(conservativa) pode ser obtida a partir da derivação da energia potencial (e troca de sinal);

vejamos com mais detalhe o que acabamos de afirmar.

Em problemas a uma dimensão, esta derivação é particularmente simples

( ) e s U ds

d F

−=

em que s representa qualquer coordenada necessária para especificar a dimensão única em

que o movimento se processa (deslocamento segundo x , altura y , posição radial r , etc.) e

e

o versor correspondente

No caso da força gravítica, tem-se

( ) 2 2 y e mg e mgy dy

d F

−=−=

Para o caso genérico ter-se-ia

+

+

−= 3 2 1 e

z U e

y U e

x U F

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

Definindo o operador gradiente dado por

3 2 1 e z

e y

e x

grad

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ++=



Mecânica 41

e que corresponde à derivada da função segundo a direcção para a qual a variação da

função é máxima, a força pode escrever-se como

U grad F −=

Como outros exemplos de forças conservativas podemos referir, a força gravítica em gerale a força elástica. As energias potenciais correspondentes serão de acordo com o que

dissemos atrás

g m F

= mgy dy mg U

y

0

== ∫ ( 0 U = para 0 y = )

r 2 grav e r

GmM F

−= r

GmM dr

r

1GmM U

R 2

−== ∫∞

( 0 U = para ∞=r )

1elast e Kx F

−= 2

Kx dx x K U

2 x

0

== ∫ ( 0 U = para 0 x = )

Aplicação: Deduzir o potencial correspondente ao peso gmF

= a partir da expressão para a

força gravítica em geral. Considerando um ponto à distância hRR += do centro da Terra de

raio R , podemos escrever na aproximação Rh <<

mgh

2

tetancons

h.R

1GmM

R

1GmM

hR

1GmM

+−≅

+−

Aplicação: Uma mola de constante elástica 1Nm500 − , com uma extremidade presa a uma

massa de 5 kg é comprimida de 5 cm em relação à sua posição de equilíbrio. Qual a

velocidade máxima atingida pela massa?

Uma vez que a força elástica é conservativa pode escrever-se

( ) ( ) ( ) ( )2E2E1E1E pcpc +=+

( )2

xk

2

v5

2

1055000

2222

+=××

+−

222 xk10625v5 −×= −

Esta expressão mostra que a maxv corresponde a 0x = , e portanto

11max sm105v −−×=



Capítulo 242

2.9. Estática

Neste capítulo vamos analisar as condições de equilíbrio estático de um corpo rígido.

O termo equilíbrio para corpos rígidos implica como sabemos que o corpo (centro de

massa do corpo) está em repouso ou tem um movimento uniforme. Trataremos aqui do caso

de corpos em repouso, ou seja corpos em equilíbrio estático. Designa-se em geral por

estática o estudo do equilíbrio estático de corpos sujeitos a forças exteriores. Este estudo é

importante em diversos domínios, como a engenharia, a arquitectura, a biomecânica, etc.

Sabemos pelas leis de Newton que uma condição necessária para um corpo esteja em

equilíbrio é que a força resultante que actua o corpo seja nula. No caso em que o corpo é

uma partícula, esta condição será a única condição para que a partícula esteja em equilíbrio

estático: sendo a resultante das forças que actua o sistema nula a partícula não será

acelerada e permanecerá em repouso ou deslocar-se-á com movimento uniforme rectilíneo,

dependendo das condições iniciais (corpo inicialmente em repouso ou em movimento).

Para objectos reais, com determinado tamanho, forma e distribuição de massa, o objecto

só estará em equilíbrio estático se, para além de ter o centro de massa em repouso, não

rodar; é necessário portanto que as forças que actuam o corpo não dêem origem a um

movimento de rotação.

Como vimos em 2.5 a grandeza que nos dá a medida do efeito de uma força relativamente

a uma rotação do corpo sobre o qual actua, é o momento da força. Vejamos alguns exemplos

que nos permitem entender quais os parâmetros que vão determinar o efeito de uma força

relativamente à rotação de um corpo sobre o qual actua.

Considerando a situação representada na Figura 2.11 em que são exercidas forças 1F

e

12 ' F F

−= nos bordos de um banco de piano, sabemos que embora estas forças sejam iguais

e opostas o banco vai rodar.

Figura 2.11

F2= −F1

F1



Mecânica 43

Podemos então dizer que, para que um corpo esteja em equilíbrio estático, é necessário

que:

- a resultante das forças que o actuam seja nula

∑ = 0 F

- a resultante dos momentos em relação a qualquer ponto do corpo seja nulo

∑ = 0 M

Estas duas condições garantem que o corpo permanece em equilíbrio, tanto no que diz

respeito ao movimento de translação como relativamente ao movimento de rotação: há

equilíbrio translacional e equilíbrio rotacional e o corpo diz-se em equilíbrio estático.

Aplicação: Duas crianças de pesos 1p e 2p estão a andar de baloiço. Determine o peso da

criança mais leve que tem que se sentar a uma distância de m2 do centro (charneira) para

equilibrar o baloiço, quando a outra criança que pesa N400 está sentada a uma distância de

m1 .

As forças em jogo são os pesos 1p e 2p e a força normal N

tal que Npp 21

=+ . Esta

última é dirigida de baixo para cima, com o ponto de aplicação na charneira e tem por isso

momento nulo relativamente a este ponto.

Os momentos 1M e 2M são respectivamente positivo e negativo de acordo com a

convenção utilizada. Da condição de equilíbrio rotacional para o baloiço

0MM 21 =+

( ) ( ) ( ) N200p0m1N400m2p 11 =⇒=×−×

Figura 2.12

N

p2 p1

d1 d2



Capítulo 244

Aplicação: O músculo principal responsável pelo movimento do antebraço é o biceps.

Supondo que uma pessoa segura na mão um objecto de peso N134p = e tomando um modelo

simples em que o biceps é representado por uma corda sujeita a uma tensão T , pretende-se

calcular a tensão muscular de equilíbrio T nas duas situações:

-

o ângulo 1θ (definido pelo braço e a vertical) é zero.

- o ângulo 01 ≠θ .

Figura 2.13

Desprezando o peso do antebraço, para 01 =θ , a tensão T

é dirigida de baixo para cima

segundo a vertical. Sendo T

e p

verticais a força E

exercida no cotovelo também é vertical.

As condições de equilíbrio estático são,

−=

−⇔=∑

+=⇔=∑

2 2 2

sen p 40 2

sen T 4 0 M

E p T 0 F

θ π

θ π

e vem

=

=

⇒

p9E

p10 T

Verifica-se que a tensão produzida é bastante elevada, devido ao facto do músculo estar

ligado ao antebraço a uma pequena distância do cotovelo ( )cm4 . Este facto faz com que o

levantamento de grandes pesos seja impossível mas tem, no entanto, a vantagem de permitir

uma rotação importante para uma pequena contracção do músculo (a evolução da anatomia

humana deu-se no sentido de favorecer os movimentos rápidos em detrimento da capacidade

de levantar grandes pesos).

θ1

θ2

36cm

4cm



Mecânica 45

Para a situação correspondente ao segundo caso (Figura 2.13) tem-se como condições para

o equilíbrio estático

x1x Esen T 0F =θ⇔=∑

y 1 y Epcos T 0F +=θ⇔=∑

α=

θ

π×⇒= sen T 4

2psen400M 2-

( ) ( )p10

cos

cosp10

2sen

cosp10 T

1

21

2

21

2sen

2

2

>θ+θ

θ=

θ+θ−

π

θ=⇒

>

α

θ−

π

2 y 1x

2

2111

eEeEE

epp

ecos T e Tsen T

−=

−=

θ+θ−=

( )21

21

2

2

θ+θ−π

=α

π=θ+θ+π

+α

2.10. Deformação nos Sólidos; Módulos de Elasticidade

No estudo que fizemos até aqui tomámos sempre os corpos como rígidos, ou seja, não

considerámos a sua deformação sob a acção das forças exteriores. Na realidade, todos os

corpos são deformáveis, isto é, é possível alterar a sua forma e tamanho ou mesmo parti-los

através da aplicação de forças.

Devido à sua constituição, um sólido, formado por átomos ligados entre si por forças de

interacção, deforma-se de uma forma reversível (elástica) até um certo valor limite da

deformação (limite elástico) a partir do qual a deformação permanece mesmo depois de

retirada a força externa que a originou. É fácil entender esta afirmação se considerarmos

que o efeito das forças de interacção entre os átomos pode ser assimilado ao efeito de molas

elásticas que ligam os átomos entre si. Deste modo, qualquer deslocação de um átomo ou

conjunto de átomos da respectiva posição de equilíbrio será transmitida a todos os outros

átomos através da deformação das molas elásticas consideradas, cujo comportamento já

conhecemos.

A análise do comportamento dos objectos do ponto de vista da sua deformação perante a

aplicação de forças exteriores faz-se, em geral, com base em dois conceitos: o conceito de

tensão que nos dá uma medida da força que actua o objecto e o conceito de deformação que

é uma medida da deformação relativa do objecto causada por determinada força.



Capítulo 246

Define-se a tensão σ σσ σ como a força exercida por unidade de área da superfície em que a

força actua, ou seja

A

F =σ

em que F é o módulo da força aplicada e A a área sobre a qual se considera a acção da

força. Como referimos para tensões não muito elevadas, a tensão é proporcional à

deformação, sendo a constante de proporcionalidade, denominada módulo de elasticidade,

característica do material em causa e dependente do tipo de deformação.

É possível considerar três tipos independentes de deformação, e definir módulos elásticos

correspondentes: deformação em comprimento, deformação de forma e deformação em

volume.

No caso representado na Figura 2.14, em que a uma barra é aplicada uma dada força

perpendicularmente a uma das suas faces, o efeito da força vai ser o de provocar umaalteração do comprimento L da barra sendo o novo valor, 0 L , o valor correspondente à

distância entre as partículas constituintes tal que a força externa compensa exactamente as

forças internas de interacção. Define-se neste caso a deformação ε como a variação relativa

do comprimento, e o módulo de elasticidade respectivo, designado por módulo de Young, é

dado por

o L /L

A /F Y

∆ε

σ ==

em que a tensão σ pode ser de extensão ou de compressão, Figura 2.14, sendo a alteraçãodo comprimento L ∆ respectivamente positiva ou negativa.

Figura 2.14

Para valores elevados da tensão aplicada, ultrapassando o chamado limite elástico do

material, a tensão (de compressão ou extensão) vai originar já uma deformação permanente

L

∆L

F

FL

∆L

Tensão de extensão Tensão de compressão



Capítulo 248

Aplicação: Considere um levantador de pesos que levanta sobre a sua cabeça uma barra de

peso total igual a N1000 . Sabendo que a área de cada um dos discos que separa as

vértebras é de23

100.1 m−× e que o módulo de Young dos discos é de 26 m/N100.7 × , calcule

a diminuição de altura do levantador de pesos neste processo, considerando a compressão

dos discos a partir de uma espessura total livre de cm15 .

Desprezando o efeito do peso da parte superior do corpo do homem, a força exercida por

um dado disco nas vértebra imediatamente acima deve ser igual a N1000 e por sua vez a

força de reacção da vértebre sobre o disco será também de N1000 . O mesmo raciocínio pode

ser feito para a vértebra situada abaixo do disco considerado por isso pode dizer-se que cada

disco “sentirá” em cada face superior e inferior forças opostas de módulo N1000= . Estamos

assim perante uma deformação por compressão sendo a tensão em cada disco

2623

3

m/N10x0.1m10x0.1

N10x0.1

A

F===σ

−

A deformação de cada disco será dada por

14.0m/N10x0.7

m/N10x0.1

l

l

Y 26

26

==∆

=σ

=ε

ou seja cada disco será comprimido de 14% o que corresponde a uma diminuição total de

comprimento de

( ) m021.0101514.0L 2 =××=∆ −

Como este limite é inferior ao limite elástico a deformação não permanece depois do

processo!

Figura 2.17

1000N

1000N



Mecânica de Fluidos 49

CAPÍTULO 3.

MECÂNICA DE FLUIDOS

3.1. Introdução

Todos os sistemas biológicos utilizam os fluidos durante o seu tempo de vida: movem-se

no seio deles e usam-nos como meio de transporte de nutrientes, oxigénio e outros gases.

Quando olhamos o meio que nos rodeia verificamos que a matéria se apresenta em

diferentes estados. Uma grande parte da matéria à superfície da Terra existe no estado

sólido, líquido e gasoso, mas existem outros estados tais como cristais líquidos, geles e

plasmas. Como podemos então definir um fluido? A maneira mais prática é considerar fluido

tudo o que não é sólido, entendendo-se como sólido toda a matéria em que as distâncias deequilíbrio entre os pares de partículas constituintes são fixas e bem determinadas. Num

sólido a interacção entre as moléculas é muito forte. Deslocar uma molécula significa

deslocar de maneira semelhante todas as outras (obviamente que estamos a pensar no caso

limite de um sólido rígido e a desprezar os efeitos de deformação). Diz-se então que a

alteração do estado de uma molécula influi no estado de outra que se encontre a grande

distância: há interacções fortes e de longo alcance. No caso dos fluidos, a alteração do

estado de uma molécula ou grupo de moléculas por aplicação de uma força não se comunica

a grande distância. As interacções são mais fracas e de curto alcance. Se pensarmos nos

fluidos mais frequentes, líquidos e gases, podemos dizer que as interacções no caso doslíquidos ainda são relativamente fortes enquanto que no gás as moléculas são já

praticamente independentes.

Normalmente, consideramos os organismos vivos, pelo menos no caso dos mais

complexos, como sendo sólidos (uma vez que mantêm a sua forma). Na realidade, eles são

constituídos por água, meio de transporte de nutrientes e informação, numa percentagem

que varia entre 60% e 95%.



Capítulo 350

3.2. Noção de Densidade e de Pressão

Ao contrário dos sólidos, os fluidos não mantém nem o volume nem a forma geométrica.

Para caracterizá-los escolhemos assim grandezas que não dependem do volume do fluido.

Escolhemos então a massa por unidade de volume, ρ , também designada por densidade ou

massa específica

V

m = ρ

Sangue, plasma ou seiva, por exemplo, têm densidades semelhantes à densidade da

água, podendo variar, (em geral menos de 10%) com as concentrações das espécies

dissolvidas.

Tanto para o ar como para a água, às temperaturas usuais, a densidade diminui com o

aumento da temperatura, sendo essa variação muito maior para o ar do que para a água.

Apesar de ser verdade que a densidade aumenta quando a temperatura diminui, a água éum líquido com um comportamento especial: a sua densidade atinge um máximo a 4ºC

diminuindo para temperaturas inferiores. O gelo tem uma densidade inferior à água líquida

e é esta característica que permite que o gelo flutue na água líquida.

Densidade Kg / m3

gelo 0.92 × 103

água 1.0 × 103

sangue 1.1 × 103

ar 1.2

É muito mais fácil provocar uma variação de volume numa dada massa de gás do que

num líquido. Isto significa que nos líquidos se pode tomar como boa aproximação

≅ ρ constante. Apesar da forma variar, o volume de uma certa massa mantém-se

praticamente constante e o líquido diz-se incompressível. Os gases, por oposição, são fluidos

compressíveis.

Uma outra grandeza que caracteriza um fluido é a pressão. Esta define-se como a força

por unidade de superfície que o fluido exerce numa superfície que com ele se encontre em

contacto. No que se segue vamos considerar o exemplo de um líquido, embora as conclusões

a que chegamos se possam aplicar também aos gases, com a ressalva de estes serem

compressíveis.

Quando colocamos um líquido num recipiente não se observa qualquer movimento a nível

macroscópico e a superfície livre do líquido é horizontal, o que significa que a força que o

líquido exerce sobre o recipiente é sempre normal à superfície do recipiente. Se assim não




fosse o vaso exerceria sobre o líquido uma força que teria uma componente paralela à sua

superfície e dever-se-ia observar uma deformação da superfície do líquido junto às paredes

do recipiente. Mais adiante veremos que este efeito de deformação, embora pouco

importante, se observa em muitos casos; no entanto, no contexto desta discussão, vamos

considerá-lo desprezável.

Qualquer que seja a forma do recipiente que contem o líquido (ou de um objecto nele

imerso) este exerce uma força, F

, sobre a superfície de contacto, dirigida segundo a normal

à superfície e independente da sua orientação. Essa força F

diz-se força de pressão do

líquido, definindo-se a pressão p como

S

F p =

onde S é a área da superfície referida.

No S.I. a unidade de pressão é o pascal ( )Pa , 2 m /N 1Pa 1 = . Outra unidade de pressão

muito utilizada é o milímetro de mercúrio que se designa também por Torr, em homenagem

a Torricelli, tendo-se Pa 10 013 ,1mmHg 760 5 ×= .

A explicação microscópica para a existência desta força pode ser dada no quadro da teoria

cinética. Para uma temperatura absoluta diferente de zero, as partículas que constituem o

fluido não estão paradas mas movem-se em todos os sentidos de tal modo que a sua

velocidade média é nula, as moléculas em movimento chocam com a parede, e são

reflectidas sofrendo em consequência uma alteração da sua quantidade de movimento. Isso

significa que exercem sobre a parede uma força, sendo a força de reacção correspondente

responsável pela variação da sua quantidade de movimento. A força é assim sempre

perpendicular à parede.

As grandezas pressão p , densidade ρ e temperatura T estão relacionadas entre si por

uma equação do tipo ( ) 0 ,T , p f = ρ que se chama equação de estado e que é característica

de cada fluido.

3.3. Hidrostática. Princípio de Pascal e Princípio de Arquimedes

No caso de um liquido em repouso num recipiente, não existindo outras forças aplicadas,

a força de pressão é a mesma em todas as paredes. Se o líquido se encontra no campo de

gravidade da Terra ou noutro campo de forças, a pressão vai depender da posição do ponto

considerado no campo de forças.

Consideremos então um recipiente com um líquido



Capítulo 352

Fo

F

h

Figura 3.1

Podemos supor o líquido dividido em camadas horizontais numa situação “estática”. Pelo

facto de existir gravidade, as camadas mais profundas devem suportar um peso maior do

que as camadas menos profundas e, consequentemente, uma superfície a uma profundidade

h está sujeita, para além da pressão na ausência de gravidade, ao peso da coluna de líquido

que se encontra sobre ela: a pressão aumenta com a profundidade. Por exemplo no caso da

Figura 3.1 a força que se exerce sobre a superfície de área S que se encontra a uma

profundidade h é

hSg S p mg F F 0 0 ρ +=+=

onde ρ é a densidade do líquido, à força F corresponde uma pressão

gh p S /F p 0 ρ +==

Num líquido a pressão varia mas a densidade mantém-se aproximadamente constante.

Num gás a pressão e a densidade variam, sendo o gás mais denso nas regiões maisprofundas.

Conhecida a pressão 0 p à superfície livre do líquido pode obter-se a pressão numa

superfície no interior do líquido a partir de

(3.1) gh p p ρ += 0

em que ρ é a densidade do líquido, e h é a profundidade da superfície considerada.

Por outro lado a diferença de pressão entre dois pontos do fluido, a que se chama altura

manométrica, permite obter a altura de um deles em relação ao outro, a partir de

g

p p h 12

ρ

−=

A pressão de saída do sangue do coração nos mamíferos tem que ser suficiente para

transportar o sangue até ao cérebro com pressão não nula, referida à pressão ambiente. Por

esta razão a altura correspondente à pressão sistólica de um animal, tem que ser pelo




menos igual à distância vertical entre o coração e o cérebro. Esta regra explica vários factos

observados, como por exemplo, o facto das cobras que sobem a árvores terem pressões

sistólicas maiores que as que não sobem.

Aplicação: Estime o valor da pressão sistólica de uma girafa em relação à pressão ambiente,

supondo que a altura do pescoço da girafa é m3 e sabendo que a circulação do sangue nocérebro necessita de uma pressão sanguínea de .mmHg60

Tomando ghp ρ=∆ com 33 mkg101 −×=ρ , 2ms8.9g −

= e m3h= vem

mmHg218Pa109.2p 4 =×=∆

Como a pressão no cérebro tem que ser pelo menos mmHg60 a pressão sistólica tem que

ser superior a mmHg278 .

A equação (3.1) permite ainda enunciar o Princípio de Pascal: num fluido incompressível

em repouso, pontos à mesma altura são pontos em que a pressão é idêntica.

Uma aplicação deste princípio ocorre no macaco hidráulico, dispositivo que permite

levantar grandes pesos com uma força de pequena intensidade.

p1

p2

Figura 3.2

No dispositivo representado na Figura 3.2

2 1 p p =

e numa situação de equilíbrio

P A p 2 2 = e F A p 11 =

Portanto, o peso P

que se pretende levantar é equilibrado por uma força F

tal que

12

2 2 11 A A

P A p A p F ===

P A

A F

2

1=

Se, por exemplo, 12 A 10 A = a força F é 10 vezes menor que o peso P .

PF

A1 A2



Capítulo 354

Considerando a situação em que se pretende levantar o peso P

o trabalho realizado pela

força F

, de menor intensidade, deve ser igual ao trabalho recebido por P

, pelo que o

deslocamento dos pontos de aplicação de F

será sempre maior que o deslocamento do peso

elevado.

A variação da pressão com a altura permite ainda construir dispositivos (barómetros), emque o valor da pressão é obtido a partir da altura de colunas de líquido, por exemplo de

mercúrio.

Como a pressão varia com a profundidade, as forças de pressão que se exercem nas faces

inferior e superior de um corpo mergulhado num fluido são diferentes, sendo obviamente

maior a força que actua na parede inferior. Isto significa que o corpo mergulhado é actuado

por uma força resultante vertical dirigida de baixo para cima, a que se chama força de

impulsão I

. Vejamos como o módulo dessa força depende do volume do corpo e da

densidade do líquido em que está mergulhado.

1

2

hh1 2F 1

F 2

Figura 3.3

Considerando a situação representada na Figura 3.3, nas paredes laterais a pressão vai

variando com a altura mas a força total que se exerce sobre cada uma delas é exactamente

compensada pela força que se exerce sobre a parede oposta.

As outras forças de pressão que actuam no corpo são

( )[ ] 12 2 112 2 1 e A p F e A h h g p F

=−+−= ρ

onde A é a área da secção horizontal do corpo e 1e

o versor da direcção vertical. A

resultante será

( ) I e gV e A h h g F F R 1112 2 1

=−=−−=+= ρ ρ

que em módulo é igual ao peso do volume de fluido deslocado.

Assim, qualquer corpo mergulhado num fluido é actuado por uma força, a impulsão, que

é vertical, dirigida de baixo para cima, e em módulo igual ao peso do volume de fluido

deslocado. Este é o enunciado do princípio de Arquimedes.

O ponto de aplicação da força de impulsão é exactamente o centro de massa ou centro de

gravidade da quantidade de fluido que ocuparia o volume do corpo. É esta característica que

é utilizada na análise da estabilidade dos barcos.




Aplicação: Calcule a fracção de um iceberg que se encontra mergulhada na água, sabendo

que 33mardoagua m/kg1003.1 ×=ρ e 33

gelo m/kg1092.0 ×=ρ

O peso do iceberg é

VgP geloρ=

e a força de impulsão é

gVI mergaguaρ=

Considerando a condição de equilíbrio 0IP =+

vem

gVVg mergaguagelo ρ=ρ

logo

%8903.1/92.0/V/V aguagelomerg ==ρρ=

ou seja 89% do iceberg encontra-se submerso e apenas 11% do seu volume é visível à

superfície.

Quando um corpo é mergulhado num líquido, o seu comportamento depende assim da

relação entre P e I , ou seja, no caso de um corpo homogéneo totalmente mergulhado, da

relação entre as densidades do corpo e do fluido.

Aplicação: Um teste comum realizado a dadores de sangue consiste em largar uma gota do seu

sangue numa solução de densidade igual à densidade do sangue no limiar do conteúdo em Fe

que diferencia a pessoa anémica da não anémica. Se a gota de sangue desce na solução o

conteúdo em ferro do dador é conveniente e este pode dar sangue.

3.4. Tensão Superficial

Se um fluido entra em contacto com outro com o qual é imiscível, ou com uma superfície

sólida, surge uma superfície de separação entre os dois meios: uma interface. As moléculas

junto à interface encontram-se numa situação diferente das moléculas no interior. No

interior do fluido uma molécula está sujeita a interacções semelhantes em todas as

direcções e a resultante das forças de interacção é nula. Junto a uma interface a situação é

diferente uma vez que deixa de existir esta simetria. Aparece assim uma força de ligação que

“puxa” as moléculas da superfície para o interior do fluido cujo efeito é análogo, como

veremos, ao de uma força de coesão na interface que se opõe ao aumento da sua superfície

tal como acontece numa membrana elástica.



Capítulo 356

Figura 3.4

A distância entre as moléculas na interface é em média constante. Aumentar a superfície

da interface significa levar moléculas do seio do líquido para a superfície e isso envolve

consumo de energia. A energia E que é necessário fornecer a uma interface para aumentar

de uma unidade a sua superfície designa-se por tensão superficial e representa-se

habitualmente pela letra γ . Para uma variação de área S ∆ tem-se

S E ∆γ ∆ =

Porque esta energia é sempre positiva para uma interface líquido/vapor, a tensão

superficial, energia por unidade de área, é também positiva. De facto, a energia da interface

aumenta proporcionalmente à área desta.

Consideremos a Figura 3.5 onde se representa um processo de medida da tensão

superficial. Um arame em forma de U é fechado por um troço móvel e o conjunto sustenta

uma membrana fina do fluido cuja tensão superficial se pretende determinar. O troço móvel

tende a deslocar-se reduzindo a superfície do filme, podendo esta acção, ser equilibrada poruma força F

adequada. Nesta situação, num pequeno deslocamento x ∆ do troço móvel, o

trabalho realizado pela força F

, x F W ∆= , é igual à variação da energia de superfície

x S E ∆γ ∆∆ == . Então

F

S

E ==

∆

∆γ

Figura 3.5

Neste sentido, a tensão superficial γ pode ser interpretada como uma força por unidade

de comprimento que se exerce ao longo de qualquer linha fronteira definida na interface e

líquido

vapor

interface

l 2F




que tende a reduzir a área de interface no interior dessa fronteira. Esta força pode também

ser interpretada como a força de ligação que se opõe à separação da interface por essa linha.

Esta força deve ser tangente à interface e normal em cada ponto à linha considerada.

O facto da energia da interface tender para um valor mínimo leva a que pequenas gotas

de um líquido qualquer assumam, quando largadas no ar, uma forma esférica, quecorresponde à superfície mínima para um certo volume V . Se apenas existisse o termo de

energia de superfície, o volume tenderia para zero; o termo de energia que evita o colapso da

gota está relacionado com o volume médio que ocupa cada molécula no líquido e o acréscimo

de energia associado a uma diminuição de volume V ∆ é, como veremos adiante, dado por

V p ∆

onde p é a pressão no líquido relativamente ao exterior

ext int p p p −=

Então, o tamanho final da gota corresponde ao equilíbrio entre este acréscimo de energia

em volume e o decréscimo de energia de superfície

( ) S V p p ext int ∆γ ∆ =−

Considerando as variações de volume e superfície de uma esfera

R R 4 R 3

4 V 2 3 ∆π π ∆∆ =

=

( ) R R 8 R 4 S 2 ∆π π ∆∆ ==

vem

( ) R R 8 R R 4 p p 2 ext int ∆π γ ∆π =−

logo

(3.2) ( ) γ 2 R p p ext int =−

equação designada equação de Laplace. Esta equação permite relacionar o raio de uma

interface, neste caso de uma gota, com a diferença de pressão entre o interior e o exterior da

gota. Este resultado pode ser generalizado a qualquer interface curva.

Note-se que, no exemplo de partida, falámos apenas de gotas “pequenas” para poder

assumir que a pressão interior (e exterior) era idêntica em todos os pontos interiores (ou



Capítulo 358

exteriores) junto da interface. Para gotas maiores a gravidade destroi esta hipótese e a forma

esférica da gota.

Existem algumas moléculas que adicionadas a uma interface modificam a sua energia,

logo a tensão superficial correspondente. Devido a esta propriedade designam-se moléculas

tensioactivas.

Aplicação: Nos pulmões há pequenos sacos de ar, os alvéolos, que se expandem e contraem

( ≅ 15000 vezes por dia), sendo as trocas de oxigénio e 2CO feitas através da membrana dos

alvéolos. Os alvéolos podem ser considerados como pequenas esferas com pequenas aberturas,

logo, utilizando a equação de Laplace

r/2ppp extint γ =−=∆

Se γ for constante, ext p p −int de equilíbrio diminui quando r aumenta. Para a mesma

pressão interior (pressão atmosférica) isto levaria a que o primeiro alvéolo a aumentar de

volume na inspiração crescesse sempre preferencialmente antes dos outros, acabando por

rebentar.

Este problema não ocorre devido à presença de uma substância tensioactiva constituida por

moléculas alongadas cujas interacções favorecem uma configuração com os eixos alinhados. A

presença desta substância torna a membrana altamente elástica uma vez que quando o raio dos

alvéolos aumenta, as moléculas tensioactivas são puxadas para longe umas das outras o que

aumenta a tensão superficial na parede. Tem-se portanto para um aumento de r , um

aumento correspondente de γ , mantendo-se a condição de equilíbrio.

Em muitas situações, estão em jogo interfaces entre três e não apenas dois meiosdiferentes.

Consideremos a situação representada na Figura 3.6

Sólido

S Líquido

L

Vapor

V

Figura 3.6

Esta situação pode ser interpretada como a intersecção da interface líquido/vapor já

considerada com duas novas interfaces, sólido/líquido e sólido/vapor. O resultado final

depende das energias associadas. Se as interacções sólido/líquido são preferenciais



Capítulo 360

Aplicação: Gota de óleo sobre o vidro.

Considere-se o caso de uma gota de óleo sobre uma superfície de vidro. A experiência mostra

que as pequenas gotas de óleo tendem a apresentar a forma aproximadamente esférica como se

representa na Figura 3.9.

θθθθ

Figura 3.9

Neste caso o ângulo de contacto é 90>θ e o óleo não molha o vidro.

Quando colocamos um líquido num recipiente, e o recipiente é largo, a interface

vapor/líquido é determinada pela existência de gravidade e é normalmente plana na maior

parte da sua extensão. O ângulo de contacto pode ser observado junto à linha onde os três

meios coexistem

Figura 3.10

A gravidade deixa de dominar no caso de gotas pequenas ou de recipientes finos. Se o

tubo é fino, o balanço das forças de tensão superficial é responsável pela subida ou descida

do líquido no tubo. É esta variação de altura do líquido que se designa efeito de

capilaridade.

A subida ou descida de um líquido num capilar pode ser quantificada pelo valor do

ângulo de contacto.

Consideremos então o balanço das forças quando introduzimos um capilar num líquido.

Se o líquido molha a superfície do capilar, podemos pensar que a situação mais favorável

será a de subir no capilar até o preencher completamente. Isto seria assim, se apenas

interviesse no processo o balanço de energia nas interfaces. Acontece que, pelo facto de o

capilar se encontrar no campo gravítico da Terra, existe um termo de energia de volume,

mgh E = , que não pode ser desprezado. À variação em energia de superfície

[ ] R 2 h SL SV π γ γ −

h




Figura 3.11

que implicará um h máximo, tem de ser adicionada à variação de energia potencial gravítica

e atingir-se-à a altura máxima quando a energia for mínima

[ ] 0 h mg R 2 h E SL SV =−−= ∆π ∆γ γ ∆

e

[ ] mg R 2 SL SV =− π γ γ

ou seja, quando a força que leva à elevação do líquido equilibra o peso deste, o que

considerando

ρ π h R m 2 =

conduz a

g R 2 h SL SV

ρ

γ γ −=

Assim, quanto mais fino é o capilar maior é a variação de altura do líquido, maior é o

efeito de capilaridade.

Como as forças que actuam no líquido e o fazem subir correspondem ao balanço entre as

forças de interface líquido/sólido, sólido/vapor e líquido/vapor, tanto se pode pensar naforça elevatória como resultante de SL SV γ γ − como de ( )θ γ cos LV . O equilíbrio na linha de

coexistência dos três meios vapor (V ), líquido ( L ) e sólido (S ) implica ( )θ γ γ γ cos LV LS SV =− ,

logo

(3.4)g R

cos 2

g R 2 h LV LS SV

ρ

θ γ

ρ

γ γ =

−=

Aplicação: Durante muito tempo pensou-se que o efeito de capilaridade era responsável pela

subida da seiva nas árvores, o que um cálculo simples mostra não ser verdade. Calcule para

uma árvore com m10 de altura e com um xilema formado por canais de m105.2

5−

× de diâmetro,qual a altura a que a seiva sobe por efeito de capilaridade. Considere

133aguaseiva m/kg101

−×=ρ=ρ e 13

agua Nm1073 −−×=γ =γ

Usando a expressão (3.4) e tomando 1cos =θ obtém-se a altura máxima a que a seiva pode

subir



Capítulo 362

m2.1rg/cos2h =ρθγ =

A subida da seiva não pode portanto ser explicada apenas pelo efeito de capilaridade, mas

resulta de um processo dinâmico que implica a existência de uma pressão mais baixa no cimo

das árvores devido à evaporação nas folhas. Nas árvores, a seiva corre através do xilema que

forma canais de raios da ordem de m10 4− os quais estão cheios de água até às folhas. Àmedida que a água se evapora nas folhas, a coluna de água vai-se movendo para cima devido à

diferença de pressão.

Figura 3.12

A pressão pL no ponto junto à interface (Figura 3.12) é inferior à pressão pL ’ que é medida

à profundidade h. Como pL ’ é igual à pressão do vapor pV, tem-se:

L V p p >

e o raio de curvatura da interface pode ser calculado usando a equação de Laplace (3.2)

R

2 p p VL

v l γ

=−

3.5. Fluxo Laminar de Fluidos Incompressíveis não Viscosos. Equação de Bernoulli

Os organismos biológicos vivem nos fluidos numa situação dinâmica, o que, como

veremos adiante, não torna inúteis as considerações feitas até aqui. Interessa pois

caracterizar o movimento de um fluido. Quando um fluido está em movimento dizemos que

flui ou que existe um fluxo. A maneira como este movimento se processa pode dar origem a

dois tipos de fluxo com características diferentes: o fluxo laminar e o fluxo turbulento.

Para perceber a diferença entre estes dois regimes vejamos como se deslocam porções

muito pequenas de fluido (à escala de uma ou de algumas moléculas). Uma linha descrita

por esta “pequena porção de fluido” será aquilo que designaremos por linha de fluxo. Se as

moléculas de fluido tiverem um movimento colectivo unidireccional, Figura 3.13, o fluxo diz-

se laminar.

pV

pL h

pV

p’ L




Figura 3.13

No caso contrário o fluxo diz-se turbulento. Neste caso as partículas têm trajectórias que

se cruzam, colidindo entre si.

No que se segue iremos supor que o fluido está sujeito a um escoamento laminar e é um

fluido ideal. Um fluido ideal tem as seguintes características:

• O fluido é não viscoso: no seu movimento não há dissipação de energia.

• O fluido é incompressível ( = ρ constante). Esta hipótese é válida para as substâncias

líquidas de uma forma geral mas contraria a ideia normal que temos de um gás. No

entanto, se é verdade que é fácil comprimir um gás numa situação de estacionaridade

já não é fácil comprimir um gás em fluxo. Como veremos à frente um fluxo de gás com

uma velocidade de s /m 30 (da ordem de grandeza da velocidade máxima do fluxo de

ar a que um sistema biológico ainda pode sobreviver) corresponde quando parado a

uma compressão %53.0 / =∆ ρ ρ .

Suporemos ainda que o fluxo é estacionário, isto é a distribuição de velocidades

mantém-se constante no tempo.

Independentemente do regime de movimento, válido para todos os fluidos, o princípio da

conservação da massa enuncia-se do seguinte modo: para um fluido que se move com uma

velocidade v uniforme através de uma secção S de um tubo, a massa de fluido que entra

nessa secção de tubo é igual à massa de fluido que sai dela, se não existirem fontes ou

sumidouros de massa no interior do tubo.

Tem-se assim

2 2 11 Q Q ρ ρ =

em que Q se designa por caudal e é o volume do fluido que atravessa a secção do tubo por

unidade de tempo

(3.5) Sv t

S t

V Q ===

∆

∆

∆

∆

Se admitirmos que o fluido é incompressível, 2 1 ρ ρ = e a relação anterior escreve-se

simplesmente

(3.6) 2 1 Q Q =



Capítulo 364

ou

2 2 11 v S v S =

em que 1S e 2 S são respectivamente as secções rectas do tubo em 1 e 2. As velocidade 1v e

2 v devem ser interpretadas como velocidades médias do fluido nestas secções já que, como

veremos adiante, a velocidade varia desde zero junto a uma parede sólida até um valor

máximo no interior.

S1

S2

Figura 3.14

Aplicação: Circulação da água dentro de uma esponja.

Muitas esponjas têm vários poros pequenos e apenas uma abertura apical grande na sua

superfície.

Figura 3.15

Em 1825 Grant mostrou que o fluxo da água é unidireccional e dirigido das aberturas

pequenas para a abertura apical. O valor elevado da velocidade de fluxo através das esponjas

(sabe-se que uma esponja bombeia o seu volume em água cada s5 ) sempre surpreendeu os

zoólogos. Procurou-se então um mecanismo que explicasse tão grande caudal. Sabia-se que as

esponjas tinham flagelos, mas durante muito tempo pensou-se que a sua actuação era

insuficiente e por isso invocou-se a existência de músculos que funcionassem como motor do

fluxo.

Sabendo que cada flagelo pode propulsionar a água com uma velocidade máxima de

s/m50µ determine se estes órgãos são ou não suficientes para justificar o fluxo referido.

Considere que na esponja a velocidade de saída da água é de s/cm20 e que a área de saída

é 2cm1 enquanto que a soma das áreas de entrada é 2cm6000 .

Considerando a equação de continuidade (3.6)




21 QQQ ==

onde 1Q é o débito de entrada e 2Q é o débito de saída logo

1122 SvSv =

Supondo 12 ms2.0s/cm20v −== pode calcular-se a velocidade da entrada 1v

( ) 2.010x6/1S/Svv 31221 ×==

−

141 ms33s/m103/1v −− µ=×=

Conclui-se portanto que a acção dos flagelos é suficiente para justificar este processo.

Se o movimento de um fluido num tubo (ou o movimento de um corpo num fluido) se faz

sem dissipação de energia, a energia de um certo volume de fluido pelo princípio da

conservação da energia mantém-se constante. O princípio de conservação de energia podeenunciar-se neste caso dizendo que o trabalho das forças de pressão (externas) iguala a

variação de energia cinética e potencial do fluido.

Se existe um gradiente de pressão entre duas secções 1S e 2 S de um fluido num tubo

então existe trabalho realizado sobre a porção de fluido que se encontra entre 1S e 2 S

quando este se desloca. Sejam 1F

e 2 F

as forças que o resto do fluido exerce sobre essa

porção.

S1

F1 F2

S2

dl 1

dl 2

Figura 3.16

No caso representado na figura 3.16 suponha-se um deslocamento do fluido para a

direita, a que corresponde um volume deslocado dV

2 2 11 dl S dl S dV ==

então o trabalho realizado pelas forças de pressão 1F

e 2 F

tal que 111 S p F =

e 2 2 2 S p F =

é,

nesse deslocamento

dV p p dl F dl F W W W 2 12 2 112 1 −=−=+=

Este trabalho deve ser, para um fluido ideal, igual à variação da energia dE do volume

dV .




pV mgh mv 2

1E 2 ++=

A equação de Bernoulli é assim uma equação de conservação da energia por unidade de

volume para um fluido ideal que se pode traduzir por

=++ 2 v 2

1gh p ρ ρ constante

Como referimos anteriormente, um fluido ideal é uma abstracção, pelo que a equação de

Bernoulli só é válida em situações aproximadas. Quando o fluido não é ideal a energia por

unidade de volume diminuí ao longo do tempo devido às forças de viscosidade.

A equação de Bernoulli permite-nos ainda definir a pressão dinâmica d p , pressão que

um fluido em movimento exerce sobre um objecto colocado na sua frente e que depende da

velocidade a que o fluido se desloca. Consideremos a situação representada na Figura 3.17.

Aplicando a equação de Bernoulli aos pontos A e O situados à mesma altura e atendendo aque no ponto O , junto ao objecto a velocidade do fluido é nula vem

2 A A O v

2

1 p p ρ =−

onde A p é a pressão no ponto A , A v a velocidade nesse ponto e 0 p a pressão em O que

corresponde ao que definimos como pressão dinâmica d p . Pode escrever-se então que

2 d v

2

1 p p ρ +=

Figura 3.17

Aplicação: A partir da relação para a pressão dinâmica determine a pressão a que está

sujeito um organismo no seio de um gás que flui com uma velocidade de s/m30 .

Considerando a Pa xatm p 51001.11 == e 3

/ 2.1 mkgar = ρ na definição da pressão dinâmica

vem

Pa100154.1p 5d ×=

A compressão ( ) p/ppd − é de %53.0 .

A

v

O



Capítulo 368

Usando a dependência da pressão dinâmica na velocidade é possível construir

dispositivos que nos permitem determinar velocidades de fluxos. No medidor de Venturi

(Figura 3.18)

Figura 3.18

usa-se um tubo estrangulado no interior do qual o fluido se desloca. É então possível obter a

sua velocidade a partir da diferença de altura h ∆ entre as colunas de outro fluido no

interior do tubo em forma de U . Vejamos como

Pela equação de Bernoulli, sendo o tubo horizontal

2 2 2

2 11 v

2

1 p v

2

1 p ρ ρ +=+

ou seja

( )2 1

2 2 2 1 v v

2

1 p p −=− ρ

Como

12

12 v

S

S v =

vem

2 1

2

2

1 v 1S

S

2

1 p

−

= ρ ∆

e finalmente

−

=

1S

S

p 2 v

2

2

1

1

ρ

∆

A medição de p ∆ , que se obtém directamente a partir de h ∆ , permite obter 1v .

∆h

V1 V2




O tubo de Pitot representado na Figura 3.19 fornece um meio mais directo para medir a

velocidade de um fluido.

Figura 3.19

Recorrendo à definição da pressão dinâmica é imediato verificar que

2 0 1 v

2

1 p p p ρ =∆=−

Medindo a diferença de pressão p ∆ , conhecida a densidade do fluido obtém-se

imediatamente

ρ

p 2 v

∆=

Este é o tipo de sonda que se utiliza nos aviões para medir a sua velocidade relativa ao ar.

Aplicação: A equação de Bernoulli permite também compreender a ventilação de tocas ou

outros habitat. Nestas os orifícios de entrada do fluido que ventila situam-se a um nível mais

baixo que o orifício de saída.

Figura 3.20

Quanto maior é a velocidade do fluido maior será a diferença de pressão entre 2 e 1

existindo no interior do sistema um fluxo forçado de baixo para cima.

p1

p0

Orifícios estáticos



Capítulo 370

A equação de Bernoulli permite ainda tirar algumas conclusões sobre as forças a que um

corpo está sujeito quando se movimenta no seio de um fluido. Seja o caso de um corpo

imerso num fluido como representado na Figura 3.21.

Figura 3.21

Se o corpo tem um raio de curvatura menor (superfície mais curva) na sua face superior,o efeito sobre as linhas de fluxo é idêntico ao de um estrangulamento; a velocidade do fluido

é aí maior, e em consequência a pressão menor. Existe um gradiente de pressão entre a face

inferior e a face superior do corpo, a que corresponde uma força de sustentação que tende

a levantar o corpo.

É este efeito que explica, por exemplo, a sustentação em voo de um avião. A força de

sustentação será tanto maior quanto maior for a velocidade do avião.

3.6. Viscosidade. Lei de Poiseuille e Lei de Stokes

Falámos até aqui de fluidos ideais em que não há dissipação de energia e a equação deBernoulli é verificada. Não existir dissipação significa que a viscosidade η é nula. Embora

num fluido real a viscosidade não seja nula, pode ser uma boa aproximação considerar o

fluido como não viscoso nos casos em que as perdas de energia, relativamente à energia

transportada, são pequenas.

Quando existem perdas significativas de energia, é possível ainda assim contabilizá-las

através da relação

++∆=∆ gh v

2

1 p V E 2 ρ ρ

Para um fluido que se desloca num tubo horizontal de secção constante, havendo

dissipação de energia, deve observar-se uma diminuição de pressão ao longo do movimento,

já que a velocidade é determinada pela lei de conservação da massa e pela secção do tubo. A

variação de energia de um certo volume V entre dois pontos do tubo pode assim ser

contabilizada por




p V E ∆∆ =

Se não for fornecida esta energia não haverá fluxo; a potência necessária para manter um

fluxo estacionário é assim

p t

V

t

E

P ∆∆=∆

∆

=

logo

(3.8) p Q P ∆=

Aplicação: Se o coração bombeia 5 litros de sangue por minuto com pressão máxima de

saída de mmHg120 e uma velocidade inicial s/m4.0 , calcule a potência máxima posta em

jogo, considerando que a velocidade de entrada do sangue no coração é igual a 0.1 m/s.

Despreze a diferença de alturas entre o vaso de saída e o vaso de entrada e considere a

pressão de entrada do sangue praticamente nula.

W 33 .1Q v 2

1 p

t

) v ( m 2

1

pQ t

E P 2

2

=

+=+== ρ ∆

∆

∆

∆∆

∆

Vejamos como se modela nos fluidos viscosos o mecanismo que dá origem à dissipação de

energia. Pensando no fluido como dividido em camadas que deslizam umas sobre as outras,

podemos interpretar as perdas de energia como sendo devidas à existência de atrito entre as

camadas, ou seja uma variação de velocidade de cada camada para a que lhe é adjacente.

No caso de um fluido, a acção de uma força não conduz a uma deformação estática; asforças de ligação entre as moléculas não são suficientemente intensas para equilibrar a força

exterior e assistir-se-á a uma deformação contínua do fluido, traduzindo uma diferente

distribuição de velocidades nas diferentes camadas do fluido, Figura 3.22.

Figura 3.22

Em vez de uma deformação estática define-se uma taxa de deformação

∆ y

v+∆v

v

v=0

v



Capítulo 372

( )y

v tan

dt

d

∆

∆θ =

e a relação entre a tensão aplicada e a deformação escreve-se (ver em 2.10 a definição de

módulo de corte)

(3.9)

=

y

v

S

F

∆

∆η

onde v ∆ representa a diferença de velocidade entre duas camadas separadas de uma

distância y ∆ . A constante η designa-se por viscosidade. A força F aparece sempre que

existe movimento relativo no fluido e pode ser interpretada como devida à existência de

atrito entre as camadas do fluido.

No sistema internacional usa-se para a viscosidade a unidade 2 m .s .N − . É também

comum encontrar a viscosidade expressa em poise, cuja unidade cgs , nome que

homenageia Poiseuille.

2 12 m .s .N 10 cm .s .dyn 1 p 1 −−−==

De um modo geral um fluido desloca-se em contacto com um meio sólido (deslocamento

junto a uma parede ou um corpo imerso no fluido). Em geral, pode considerar-se que as

interacções a nível molecular entre a parede sólida e o fluido são suficientes para poder

considerar que a camada de fluido junto à parede termaliza com ela e desloca-se à mesma

velocidade. Por essa razão pode sempre admitir-se que a camada de fluido junto à parede do

sólido não se desloca. Junto a esta interface a velocidade variará muito depressa (de um

certo valor no seio do fluido até zero). Existem perdas de energia no fluido viscoso devido às

forças de ligação entre as moléculas. Quando a equação de Bernoulli não é aplicável as

perdas de energia podem descrever-se por uma resistência h R ao movimento do fluido, tal

que

Q R p h =∆

Figura 3.23

2R 2r

L

∆p




Para um tubo percorrido por um fluido, o valor desta resistência depende da forma do

tubo. No caso de um tubo cilíndrico, como o representado na Figura 3.23 a força global

devida ao gradiente de pressão que se exerce sobre o cilindro de fluido de raio r é

( )2 12 p p r F −=π

Considerando o fluxo estacionário esta força deve ser compensada exactamente pela força

de viscosidade exercida entre camadas adjacentes de fluido

dr

dv S F η η =

onde S é a área lateral desse cilindro. Logo

dr

dv rL 2 p r 2

π η ∆π −=

onde L é o comprimento do cilindro, e o sinal − traduz a variação negativa de v com o

aumento do raio. Portanto

r L 2

p

dr

dv

−=

η

∆

Integrando tem-se

( )[ ]R

r

2 R r

2

r

L 2

p r v

−=

η

∆

e considerando a condição fronteira ( ) 0 R r v ==

( ) ( )2 2 r R L 4

p r v 0 −−=−

η

∆

ou seja

(3.10) ( ) ( )2 2 r R L 4

p r v −=

η

∆

A distribuição de velocidades no tubo obedece a um perfil parabólico, sendo nula junto às

paredes do tubo e atingindo um máximo no centro.




Definindo t R a partir de Q R p =∆ vem

2 1t R R R +=

Figura 3.26

No caso da associação em paralelo o gradiente de pressão é idêntico para os dois tubos e

o débito total é a soma dos débitos para cada tubo

21 ppp ∆=∆=∆

pR1

R1

Rp

RpQQQ

212

2

1

121 ∆

+=∆+∆=+=

Definindo t R a partir det R

p Q

∆= tem-se

2 1t R

1

R

1

R

1+=

Aplicação: Estime a resistência hidrodinâmica de um músculo irrigado por 610 capilares com

um comprimento de mm20 e um raio de m10µ 23Nsm10x0.1 −−=η .

Considerando a resistência de um capilar determinada pela expressão 3.12

smPa101.5R

L 8R 315

4capilar1−×=

π

η=

Como no músculo os capilares estão em paralelo11 R

N

R

1

R

1==

∑ e temos uma resistência

hidrodinâmica total R

smPa101.510

R

R

39

6

1 −

×==

Aplicação: Um exemplo do efeito que tem a redução do raio de um tubo na circulação do fluido

é a formação de placas arterioescleróticas nas paredes das artérias coronárias. O estreitamento

das artérias provoca um aumento (com 4r ) da resistência à passagem de fluxo sanguíneo, logo

uma diminuição do oxigénio e a morte de algumas células. Se a zona afectada se torna grande



Capítulo 376

produz-se um enfarte do miocárdio. Para resolver este problema, realiza-se uma intervenção

cirúrgica em que se coloca uma veia em paralelo com a zona afectada (bypass).

No que diz respeito ao movimento de corpos em fluidos de viscosidade não desprezável, a

força de resistência dominante é a devida à viscosidade. Como vimos atrás, a força de

viscosidade entre duas camadas de fluido pode escrever-se (3.9)

dy

dv S F η η =

sendo proporcional à variação da velocidade. É então natural admitir que quando um corpo

se desloca no fluido existe uma força η F que se opõe ao movimento da forma

f v F η η =

onde f representa um factor geométrico. No caso de uma esfera o factor geométrico é

simplesmente R 6 π , sendo R o raio da esfera. Obtém-se assim

(3.13) v R 6 F η π η =

expressão que traduz a Lei de Stokes. Na seguinte secção voltaremos a referir-nos ao

fenómeno das forças de resistência em fluidos reais.

A lei de Stokes é muito utilizada na análise dos processos de sedimentação de partículas

pequenas. Nos processos de sedimentação as partículas caem sob acção do seu próprio peso

num fluido sujeitas a uma força I P

+ onde P

é o peso e I

a força de impulsão. Se estafosse a única força existente as partículas teriam um movimento uniformemente acelerado.

Como caem num fluido viscoso existe uma força de resistência que é proporcional à

velocidade. A partir de certo valor da velocidade a força de resistência compensa

exactamente I P

+ , ou seja.

0 F I P =++ η

Quando este equilíbrio se verifica as partículas passam a mover-se com movimento

uniforme e o valor da sua velocidade designa-se por velocidade limite.

Aplicação: Calcule o tempo que um glóbulo vermelho leva a depositar-se em cm1 de plasma

sanguíneo. Considere para o glóbulo m2R µ= e 33kgm10x3.1 −=ρ e para o plasma

33kgm10x06.1 −=ρ e 113 skgm10x08.2 −−−=η .




Desprezando o intervalo de tempo muito pequeno em que o movimento é acelerado, a

velocidade limite, que corresponde a

gR3

4gR

3

4vR6 pl

3gl

3lim ρπ−ρπ=ηπ

é

( )1

plgl3

lim ms1R6

gR3

4

v −µ≈ηπ

ρ−ρπ

=

o tempo de queda vem dado aproximadamente por s10v/cm1t 4==∆ .

Como se vê o processo de sedimentação passiva é normalmente muito lento. A razão de

ser deste facto está no valor pequeno da força motora I P

+ . Para contornar este problema

utilizam-se centrifugadoras, em que se recorre à força centrífuga r m F 2 ω = e não ao peso

para separar as partículas de densidade diferente. Numa centrifugadora o próprio fluido está

sujeito a uma aceleração, existe uma distribuição de pressões no seio do fluido; aparece uma

força equivalente à força de impulsão (força resultante das diferentes pressões a que se

encontra o fluido em cada ponto). O problema é em tudo equivalente ao caso anterior

substituindo g pela aceleração centrífuga r 2 ω . Esta pode ser muito grande, visto que

depende da frequência de rotação da centrifugadora.

3.7. Turbulência e Número de Reynolds

Como vimos atrás a maneira como o movimento de um fluido se processa pode dar

origem a um de dois tipos de fluxo: laminar ou turbulento. Para decidir qual o tipo de fluxo

que devemos considerar para um fluido, devemos considerar qual é a probabilidade de, para

além da componente da velocidade na direcção do fluxo, aparecem componentes de

velocidade em outras direcções. Se essa probabilidade é não desprezável um regime laminar

pode facilmente transformar-se em turbulento, no caso contrário permanecerá sempre

laminar. Assim, para que um fluido flua em regime laminar as forças dissipativas têm que

ser capazes de eliminar as variações de velocidade resultantes das colisões microscópicas.

Consideremos um tubo cilíndrico. A força dissipativa associada à viscosidade é

S dr dv F η η =

onde r representa uma direcção transversal à do fluxo.

Por outro lado a interacção que é responsável por variações de velocidade nessa direcção

pode ser medida por uma força inercial



Capítulo 378

dt

dr

dr

dv V

dt

dv m F in ρ ==

⊥= v dr

dv V F in ρ

onde ⊥v denota uma componente da velocidade transversal ao fluxo.

No regime laminar as componentes transversais da velocidade devem ser pequenas

relativamente à velocidade do fluxo0v , 0 v v <<⊥ , e a força de viscosidade η F deve dominar a

força inercial inF . Tomar-se-ão então como condições para um regime laminar

1000

v v 0 <⊥ e 1

F

F in <η

o que implica

1S

Vv <⊥η

ρ

e portanto

1000 v

S

V 0 <η

ρ

De um modo geral o factor geométrico S /V é proporcional à dimensão linear r . Por

exemplo, no caso de um tubo cilíndrico, Lr V 2π = e rLS π 2= , logo o factor geométrico é

2

r

rL 2

L r

S

V 2

==π

π

No caso de uma esfera que se move num fluido3 r 3

4 V

π = e 2

tan r 4 S π = , de modo que temos

3

r

r 4

r 3

4

S

V 2

3

==π

π

Define-se então associado a um fluxo um número adimensional, o número de Reynolds

η

ρ 0 v r Re =




que permite ter um critério para decidir se o fluxo é laminar ou turbulento. O número de

Reynolds aparece também na notação µ

0Re

vr = onde µ é a viscosidade cinemática,

ρ

η µ = .

O critério que obtivemos antes dizem-nos agora que, para valores pequenos donúmero de Reynolds, as forças de viscosidade são suficientemente importantes para

cancelar as componentes da velocidade transversais ao fluxo, e este pode tomar-se como

laminar. Para valores do número de Reynolds da ordem de 1000 ou superiores o

escoamento caracteriza-se pela existência de vortex e, em geral, por um campo de

velocidades muito complexo.

Regime

Re<1000 laminar

1000<Re<1500 instável

Re>1500 turbulento

A viscosidade e a vorticidade que estão sempre presentes num escoamento real são

responsáveis pela existência de forças de resistência que se opõem ao movimento de um

corpo no seio de um fluido e das quais já falamos a propósito da lei de Stokes.

Figura 3.27

Numa situação como a da Figura 3.27 existe um excesso de pressão no ponto A em que o

fluido está em repouso em relação ao obstáculo em relação ao ponto B. Este facto pode

entender-se a partir da equação de balanço de energia aplicada aos pontos A e B

E v pv p B B A A ∆++=+ 22

2

1

2

1 ρ ρ



Capítulo 380

em que E ∆ é a energia dissipada por unidade de volume. A força de resistência RF será

proporcional a esta diferença de pressão e à área da secção transversal do corpo imerso T S .

É possível definir um coeficiente, tal como o número de Reynolds, adimensional, RC ,

chamado coeficiente de resistência, através de

r T 2

r C S v 2 1F ρ =

onde v é a velocidade de escoamento do fluido. O coeficiente RC depende, por um lado, da

forma do objecto e, por outro, do regime de escoamento através do número de Reynolds.

Para números de Reynolds pequenos, a equação anterior coincide com a lei de Stokes.

A partir desta expressão, podemos determinar o trabalho necessário para manter uma

velocidade v . Esse trabalho corresponde a uma potência

r T 3 C S v

2

1

t

W P ρ ==

Aplicação: Compare, para a mesma potência despendida, a relação entre a velocidade

atingida em corrida por um atleta na Cidade do México e a velocidade atingida num estádio ao

nível do mar mardonivelarMexicodoCidadear 82.0 ρ=ρ .

Utilizando a equação anterior em ambas as situações com o mesmo valor de p e dividindo

vem

3MexMex

v

v1

ρ

ρ=

e portanto

068.1v

v3

Mex

Mex ≈ρ

ρ=

3.8. Difusão e Pressão Osmótica

Um dos problemas importantes em biologia é o fluxo através de membranas. Neste ponto

vamos apenas focar dois aspectos: o movimento de um fluido através dos canais da

membrana e a passagem por difusão no fluido que ocupa os poros da membrana de

moléculas ou outras partículas.




Tal como o fluxo através de um tubo é controlado pelo gradiente de pressão entre a

entrada e a saída do tubo, assim também o fluxo através da membrana, considerada

permeável ao fluido, é proporcional à diferença de pressão entre os dois lados da membrana.

Se designarmos por J a quantidade de massa que atravessa a membrana por unidade de

área e por unidade de tempo temos

S

Q J ρ =

e como Q é proporcional a p ∆ , J é também proporcional a p ∆ definindo-se a

permeabilidade da membrana ou coeficiente de filtração, p L , como

(3.14) p

J L p

∆=

A passagem de um fluido viscoso através de uma membrana é bem descrita

considerando-a uma parede impermeável com um certo número de poros cilíndricos e

aplicando a lei de Poiseuille.

Se supusermos uma membrana com poros de raio r e comprimento L igual à

espessura da membrana vem

4 poro 1 r /L 8 R π η =

logo

( )4 poro 1membrana r N /L 8 N /R R π η ==

e

Q r N /L 8 p 4 π η =∆

Usando a definição de fluxo,

p LS 8

r N J

4

∆=η

π ρ

e a permeabilidade da membrana, definida por (3.14), vem

LS 8

r N L

4

p η

π ρ =

No caso de uma membrana semipermeável, isto é, impermeável ao soluto mas não ao

solvente, soluções com concentrações diferentes em ambos os lados da membrana

implicarão um fluxo J de solvente da região I em que a concentração é menor para a região II

em que a concentração é maior. Em termos microscópicos, este efeito é fácil de entender,



Capítulo 382

dado que uma menor concentração na região I significa que o número de partículas de

solvente dessa região que encontram a membrana, e são portanto candidatas a passar à

região II, é maior que o número de partículas de solvente com origem na região II e que

fazem o percurso inverso.

A lei de Fick diz-nos que esse fluxo J é proporcional ao gradiente de concentrações

x

c

∆

∆entre I e II, tendo-se então:

x

c D J

∆

∆−=

onde a constante D se designa por coeficiente de difusão e ∆x é a espessura da membrana.

O fenómeno da difusão dá-se em circunstâncias mais gerais sempre que há

inhomogeneidades nas concentrações de um soluto e é o mecanismo pelo qual essas

inhomogeneidades desaparecem e a concentração se uniformiza. Neste contexto, o fluxo J

em cada ponto é proporcional, com constante de proporcionalidade D , ao gradiente de

concentração nesse ponto.

Em geral, o coeficiente de difusão é proporcional à temperatura. Para uma membrana

semipermeável perfeita, o coeficiente de difusão é dado por

RT L D p = ∆x

onde R=8.314 J 11 −−molK é a constante dos gases, que vamos reencontrar no Capítulo 4.

Para uma partícula se desloca devido a um processo de difusão, o seu deslocamento em

relação à posição inicial está directamente relacionado com o coeficiente de difusão D

mostrando-se que

Dt 2 r 2 =

Define-se então o percurso médio d num tempo t como

Dt 2 d =

Aplicação: Sabendo que as moléculas de glucose levam s1.0 para percorrer uma distância

média de m10µ por difusão, calcule o tempo que levam a percorrer a distância média de cm1 .

m 10 Dt 2 m 10 µ µ = cm 1Dt 2 cm 1 =

s 10 x 1t 10 cm 1

m 10

t

t 5 cm 1

6 2

cm 1

m 10 =⇒=

= − µ µ




Os processos de difusão são normalmente muito lentos e determinam os tempos

característicos de muitas trocas biológicas, ou a extensão em que essas trocas podem ser

realizadas.

Se existe simultaneamente um gradiente de pressão e um gradiente de concentração

entre ambos os lados de uma membrana semipermeável , o fluxo será

x

c D p L J p ∆

∆∆ −=

Um gradiente de concentração equivale assim a um gradiente de pressão do ponto de

vista do movimento do fluido e pode definir-se uma grandeza com as mesmas dimensões da

pressão, proporcional ao gradiente de concentração, a que se chama pressão osmótica π .

Se pensarmos numa membrana semipermeável perfeita, a equação anterior fica

( )c RT p L J p ∆−∆=

escrevendo-se

c RT ∆π ∆ =

A pressão osmótica é a pressão que é necessário realizar no lado em que a solução é mais

concentrada para evitar o fluxo de solvente. Para um valor de pressão superior e este

obter-se-á osmose inversa.

Aplicação: Determine a pressão osmótica de uma solução de açúcar 1/g10 de água a Cº15 .

Considere a massa molar do açúcar igual a g360 .

Pa107.6Pa8.27288314.8RTc 4×=××==π

Tudo o que dissemos pressupõe que a membrana é plana e semipermeável. Se assim não

for a pressão de um dos lados da membrana pode ser equilibrada pela tensão superficial da

própria membrana que adquire uma certa curvatura. Vimos atrás que pela lei de Laplace a

diferença de pressão entre os dois lados de uma interface curva se escreve R /2 p γ ∆ = . Para

uma membrana há que contar com duas interfaces sucessivas.

Aplicação: Uma célula esférica com um raio igual a m2µ tem no seu interior matéria ao qual é

impermeável numa concentração igual a /mo10x1 3− . A tensão de ruptura da membrana é

22 m/N10− . Diga se a membrana se romperá quando ela for colocada em água pura. ( K300=T )

Existirá fluxo de solvente para o interior da célula até que a diferença de pressão hidrostática

iguale a pressão osmótica, π , devido à diferença concentração da matéria. referida :



Capítulo 384

Pa105.2300314.81cRT 3×=××=∆=π

Pela lei de Laplace que relaciona a diferença de pressão hidrostática com o raio e a tensão

superficial de uma membrana esférica, vem:

m/N105.22R 3−×=

π=γ

Portanto, a célula não se romperá..



Termodinâmica 85

CAPÍTULO 4.

TERMODINÂMICA

4.1.Introdução

Até agora tratámos sistemas formados por uma partícula ou um pequeno número de

partículas (cinemática e dinâmica), ou sistemas formados por um meio contínuo, rígido

(estática) ou deformável (fluidos). Na realidade, sabemos desde há 100 anos que a maioria

dos sistemas não está nem num caso nem no outro: são sistemas formados por um número

muito grande de partículas. Um número tão grande que a descrição detalhada do movimento

de cada uma delas, embora possível em princípio, é impossível na prática. Um número de

partículas tão grande que a descrição do sistema como um meio contínuo com uma certa

densidade em cada ponto tem em geral sentido, dado que aquilo que em termos

macroscópicos corresponde a um ponto é na realidade um pequeno volume que contém

ainda um número da ordem de 15 10 ou mais partículas.

Ao estudar um sistema deste tipo do ponto de vista da mecânica dos meios contínuos, tal

como fizemos no capítulo anterior, estamos a deixar de lado todos os aspectos que têm que

ver com a existência desta estrutura microscópica. E isso levou-nos a algumas situações

pouco claras. O que é de facto a energia dissipada por um sistema mecânico com atrito?

Qual a origem da equação de estado, a relação a que fizemos referência no capítulo anterior,

entre a densidade, a pressão e a temperatura que caracteriza cada substância em equilíbrio?E, sobretudo, o que é a temperatura?

O objectivo deste capítulo é o de esclarecer todas estas questões, e enriquecer a nossa

abordagem da realidade com os conceitos e relações que resultam de ter em conta que um

fluido é um sistema de muitas partículas.



Capítulo 486

4.2. Trabalho e Calor: A 1ª Lei da Termodinâmica

Consideremos, para fixar ideias, um gás contido num recipiente munido de um pistão, e

seja este o nosso sistema de muitas partículas.

Figura 4.1

Um determinado estado macroscópico de equilíbrio do gás, isto é, uma situação

estacionária em que o gás está em equilíbrio com uma certa pressão que é a mesma em

cada ponto, corresponde de facto a um grande número de estados microscópicos, diferentes

entre si, mas que correspondem à mesma distribuição de velocidades para as moléculas do

gás.

Se quisermos conhecer a energia total do sistema, temos que ter em conta, para além da

contribuição mecânica macroscópica associada a uma certa distribuição de massa no campo

das forças que a estão a actuar, a contribuição mecânica microscópica que corresponde à

energia cinética das moléculas. Pela mesma razão, uma variação da energia total do sistema

pode ser obtida por dois processos, simultâneo ou alternativamente: modificando os

parâmetros macroscópicos de modo a que o sistema forneça ou receba trabalho; ou

transferindo energia directamente para o movimento desordenado das moléculas,

aumentando a sua energia cinética média. No caso do nosso sistema, o primeiro processo

corresponde a mover o pistão, fornecendo ao sistema uma energia dada por

V p W ∆−=

e o segundo processo corresponde a permitir um fluxo de calor Q através das paredes do

sistema, mantendo fixa a posição do pistão.

Portanto, trabalho e calor são duas maneiras de transferir energia de ou para o sistema.

A primeira já nos é familiar, enquanto que a segunda corresponde a uma transferência de

energia para os graus de liberdade associados à estrutura microscópica do sistema, sem

modificar o valor dos parâmetros mecânicos macroscópicos.

Uma vez identificado o calor como outra forma de transferir energia mecânica, aconservação de energia pode estender-se aos processos que envolvem também trocas de

calor, e temos

Q W U +=∆ (1ª Lei da Termodinâmica)

onde agora representámos por U a energia total do sistema.



Termodinâmica 87

4.3. Temperatura e Equilíbrio Térmico: A 2ª Lei da Termodinâmica

Calor e temperatura são dois conceitos relacionados, e até confundidos devido ao uso

impreciso destes temos na linguagem quotidiana. Vimos já qual o significado físico do calor,

vejamos agora como interpretar a temperatura.

Figura 4.2

Para entender o conceito de temperatura tomemos como sistema modelo um recipiente

contendo um gás dividido por uma parede fixa e diatérmica, isto é tal que os subsistemas 1

e 2 não podem trocar entre si nem volume nem partículas, mas podem trocar energia sob a

forma de calor. É essencial termos em conta no nosso raciocínio o facto de 1, 2 e a união de

1 e 2 serem sistemas macroscópicos com uma estrutura microscópica complexa, no sentido

de serem constituídos por um grande número de partículas.

A cada “macrostado” dos sistemas 1 e 2, caracterizado por certos valores 1U e 2 U das

energias internas de 1 e 2 (a energia interna é o único parâmetro macroscópico de que

depende o estado de 1 e de 2), corresponde um certo número ( ) ( )2 1 U ,U Ω Ω de ”microstados”,

isto é, de configurações microscópicas detalhadas (definidas pelo conjunto das posições e

velocidades de todas as moléculas) que produzem o mesmo efeito médio. Um macrostado de

energia U é tanto mais provável quanto maior for o número ( )U Ω de microstados que o

realizam. Como as configurações microscópicas detalhadas estão constantemente amodificar-se, o macrostado de equilíbrio é aquele para o qual ( )U Ω é máximo, sabendo que

esse máximo, em sistemas de muitas partículas, é extremamente bem definido, isto é, o

estado mais provável é esmagadoramente mais provável que qualquer outro.

Voltemos então ao nosso sistema reunião de dois subsistemas 1 e 2. Seja ( )2 1T U ,U Ω o

número de microstados do sistema global que corresponde a uma certa repartição 2 1 U ,U da

energia interna total U que está fixada, pelos dois subsistemas 1 e 2. Claramente,

( ) ( ) ( )2 2 112 1T U U U ,U Ω Ω Ω =

onde ( ) ( )( )2 2 11 U .resp U Ω Ω representa o número de microstados do sistema 1 (resp. 2)

compatíveis com a energia interna total ( )2 1 U .resp U . Dado que 12 U U U −= , podemos

reescrever esta expressão na forma

( ) ( ) ( )12 111T U U U U ,U −= Ω Ω Ω

Para encontrar o valor 1U que maximiza T Ω vamos procurar um zero da derivada:

1 2



Capítulo 488

( ) ( ) ( ) ( )12 1112 111

T

U U U U U U dU

d 0 −′−−′== Ω Ω Ω Ω

Ω

ou seja, o equilíbrio térmico corresponde a

( ) ( )12 2

111

U U 1

U 1

−′=′ Ω Ω

Ω Ω

Dado um sistema arbitrário, chamamos à função ( )U 1Ω

Ω ′ , que tem as dimensões do

inverso de uma energia, τ /1 . Esta grandeza depende apenas do sistema que estamos a

considerar, e, nesta notação, a condição de equilíbrio térmico escreve-se

(4.1) 2 1 τ τ =

Definamos a temperatura absoluta do sistema como sendo proporcional ao factor τ , mais

precisamente seja

( ) k K T τ

=

onde a constante de proporcionalidade é a constante de Boltzmann, 123-10380658.1 −

= K J xk ,

e a unidade de temperatura é o kelvin K. A temperatura em Kelvin está relacionada com a

temperatura em graus Celsius através da relação

( ) ( ) 15 .273 C º T K T +=

Então, a condição de equilíbrio térmico (4.1) passa a ter o seguinte enunciado que nos é

familiar: o sistema formado por 1 e 2 está em equilíbrio térmico, isto é, o fluxo de calor

através da parede é nulo, quando as temperaturas 1T e 2 T dos dois subsistemas forem

iguais.

No raciocínio anterior, a função ( )U Ω , número de microstados que realiza um

macrostado de energia total U , desempenhou um papel fundamental. Vimos que esta

função é multiplicativa nos subsistemas de um sistema, de modo que se considerarmos o

logaritmo dessa função temos uma grandeza física aditiva cuja maximização constitui o

critério de equilíbrio. Definimos então a entropia S de um sistema em que, à semelhança do

nosso modelo, a energia interna U é o único parâmetro macroscópico variável como

( )U ln k S Ω =

e é imediato reconhecer a relação entre entropia e temperatura

(4.2)( )( ) T

1

U

U k

dU

dS =

′=

Ω

Ω



Termodinâmica 89

Em termos desta grandeza, a condição de equilíbrio termodinâmico entre dois

subsistemas 1 e 2 de um sistema isolado é equivalente a exigir que a entropia total

2 1 S S S += seja máxima. O enunciado da 2ª Lei da Termodinâmica, cujo significado em termos

microscópicos já analisámos, é então o seguinte: o equilíbrio termodinâmico de um sistema

isolado corresponde ao máximo da entropia desse sistema. Dito de outra maneira, esta lei

fixa um sentido para a evolução no tempo de um sistema a partir de um estado inicial A,

para um estado final de equilíbrio B: a entropia de B é maior que a de A, e um sistema

isolado não vai poder voltar ao estado inicial A. Se modificarmos os parâmetros do sistema

por forma a que B deixe de ser um estado de equilíbrio, o sistema evoluirá para um terceiro

estado C, com entropia maior que a de B, e portanto também maior que a de A.

A equação (4.2) permite-nos ainda relacionar a variação da entropia de um sistema com

volume e número de partículas fixo com as trocas de calor desse sistema com o exterior. De

facto,

.Q T

1U

dU

dS S == ∆∆

No caso do sistema formado pelos subsistemas 1 e 2, com temperaturas 1T e 2 T , a

variação da entropia do conjunto dos dois sistemas é dada por

( )

−=

−+=

2 12 1 T

1

T

1Q

T

Q

T

Q S ∆

onde Q é o fluxo de calor que entra no subsistema 1. Portanto 0 S >∆ implica que o calor

flua do sistema com temperatura superior para o sistema a temperatura inferior.

Aumento de entropia significa perda de informação ou de organização interna, na medida

em que sistemas com uma estrutura interna complexa estão em estados pouco prováveis,

aos quais corresponde um número de microstados relativamente pequeno quando

comparado com o número de microstados que realizam o macrostado de equilíbrio.

Pensemos numa biblioteca com os livros organizados por temas. O “número de microstados”

compatível com esta estrutura é o produto das permutações de livros na mesma estante. Se

além disso os livros estiverem em cada tema organizados por ordem alfabética, existe apenas

um “microstado” que realiza o “macrostado” com este nível de organização. Se os livros

forem usados e repostos sem critério, rapidamente a biblioteca se transforma num monte de

livros, dado que o número total de microstados possíveis, que é igual às permutações de

todos os livros, é muito maior que o número de “microstados” compatível com a organização

por temas ou alfabética.

Neste sentido, os sistemas biológicos parecem “contraexemplos vivos” da 2ª lei da

termodinâmica. De facto, não há nenhuma contradição, porque os sistemas biológicos não



Capítulo 490

são sistemas isolados, estão em permanentes trocas com o exterior, para o qual “exportam”

entropia, de modo que a variação da entropia do sistema isolado organismo + resto do

universo é positiva embora a variação da entropia do organismo possa ser nula ou negativa.

Ainda uma palavra de cautela em relação à aplicação indiscriminada dos conceitos

básicos de termodinâmica de que vamos falar aos sistemas biológicos: enquanto que aquivamos procurar as condições de equilíbrio termodinâmico em várias circunstâncias, os

processos que têm lugar nos sistemas biológicos dão-se muitas vezes longe do equilíbrio

termodinâmico. A teoria que vamos desenvolver permite apenas compreender alguns

aspectos de certos fenómenos que são relevantes do ponto de vista da biologia.

Antes de acabar esta secção em que introduzimos o conceito de temperatura, vamos falar

um pouco sobre termómetros. Cada tipo de termómetro utiliza uma determinada

propriedade termométrica da matéria, e o seu funcionamento depende do estabelecimento do

equilíbrio térmico entre o termómetro e o sistema cuja temperatura se pretende medir.

Uma das propriedades termométricas mais utilizadas é o volume. De facto, a maioria dos

sólidos e dos líquidos dilatam-se quando aquecidos, ou seja, mais precisamente, o seu

volume V varia com a temperatura de acordo com a relação

T V

V ∆ β

∆=

onde ( )1K − β é o coeficiente de dilatação térmica. Os termómetros de mercúrio, por exemplo,

funcionam com base neste efeito.

Outros termómetros muito utilizados dependem da variação da resistência de um metal

ou de um semicondutor (termistor) com a temperatura, da variação do campo eléctrico

estabelecido entre dois metais diferentes em função da temperatura (termopar), ou da

variação da pressão de um volume fixo de gás com a temperatura. Mais adiante falaremos

um pouco mais da relação entre pressão e temperatura num gás.

Para medir temperaturas muito elevadas e evitar o contacto necessário para que se

estabeleça o equilíbrio térmico existem pirómetros ópticos, cujo funcionamento se baseia

numa outra propriedade. Todos os corpos emitem energia sob a forma de radiação

electromagnética, isto é, emitem fotões. A quantidade de calor H emitida por unidade de

tempo depende da temperatura do corpo de acordo com a Lei de Stefan

4 T e A t

Q H σ

∆==

onde 4 2 18 K m s J 10 x 67 .5 −−−−=σ é a constante de Stefan-Boltzmann, A é a área do corpo, T

a temperatura e a emissividade, um factor que depende da superfície do corpo. A



Termodinâmica 91

emissividade é maior para corpos que absorvem melhor a radiação que neles incide, e é

menor para os corpos que são bons reflectores, como é de esperar dado que, no equilíbrio, a

radiação absorvida, que verifica uma lei do mesmo tipo, é equilibrada pela radiação emitida.

Assim, 1e = para um corpo negro ideal.

A termografia é um meio de diagnóstico recente que se baseia também neste efeito, e emparticular na dependência da radiação emitida na temperatura, que consiste na comparação

da distribuição de temperaturas nas diversas partes do corpo com uma distribuição padrão.

4.4. Calor Específico e Calor Latente. Transporte de Calor

Como acabamos de ver, se tivermos dois sistemas a temperaturas diferentes em contacto

térmico, vai haver um fluxo de calor do sistema “mais quente” (maior T ) para o sistema

“mais frio” (menor T ), até que se atinge o equilíbrio térmico quando as temperaturas dos

dois subsistemas são iguais. Em geral, portanto, o fluxo de calor que entra para o (resp. sai

do) sistema a temperatura inferior (resp. superior) provoca um aumento (resp. umadiminuição) da temperatura desse sistema.

A relação entre o calor recebido por um sistema formado por uma certa substância e o

aumento da temperatura desse sistema é dada pela capacidade calorifica específica ou

calor especifico c , isto é, tem-se

T c m Q ∆=

onde m é a massa do sistema. No caso de se tratar de um gás, o calor especifico não

depende apenas do tipo de gás, mas também do processo de aquecimento, e, como veremos,

tem um valor diferente conforme o aquecimento é feito mantendo constante a pressão do gás

ou mantendo constante o seu volume.

Uma unidade muito utilizada para medir a energia sob a forma de calor é a caloria, que é

a quantidade de calor que é necessário fornecer a 1g de água para aumentar a sua

temperatura de 15ºC para 16ºC. Tal como o joule, a caloria é uma unidade de energia, e o

factor de conversão é

J 19 .4 cal 1 =

Em certas circunstâncias, um fluxo de calor não provoca variação na temperatura,porque a energia associada é consumida numa modificação da estrutura microscópica do

material. Por exemplo, se fornecermos calor a um recipiente com gelo em fusão, a

temperatura da mistura mantém-se a 0ºC, à medida que a quantidade de água no estado

líquido vai aumentando, e só começa a aumentar a partir do momento em que toda a água

do recipiente se encontra no estado líquido. Define-se calor latente, L , associado a uma

mudança de estado de uma substância como a quantidade de calor que é necessário



Capítulo 492

fornecer a uma unidade de massa dessa substância para que se opere totalmente a

mudança de estado. Portanto, o calor Q que é necessário fornecer para que uma massa m

da substância mude de estado é

Lm Q =

Aplicação: Qual a quantidade de calor necessária para fundir um bloco de gelo de 10Kg que

está inicialmente à temperatura de −10ºC

c cal.Kg K c cal.ggelo de fusao dogelo= =− − −500 79 71 1 1. ,( )

Q x x x cal1410 500 10 5 10= =

Q x x x cal23 479 7 10 10 79 7 10= =, ,

cal 10 x 7 ,84 Q 4 =

Analisemos agora os três mecanismos essenciais de transporte de calor: a radiação, a

convecção e a condução

A radiação térmica, de que já falámos a propósito dos pirómetros ópticos, é um

mecanismo de transporte de calor através do espaço, sob a forma de radiação

electromagnética, distribuída por todo o espectro de frequências, e que não necessita de

nenhum meio como suporte. A Terra recebe energia do Sol mediante este processo, que

como se viu é regido pela lei de Stefan, de acordo com a qual o calor emitido por unidade de

área e de tempo é proporcional à quarta potência da temperatura absoluta a que o corpo se

encontra.

Nos outros dois mecanismos de transporte de calor, a transmissão é feita através de um

meio material, e pode envolver (convecção) ou não (condução) movimento desse meio.

A transmissão de calor por convecção é característica do transporte através de fluidos.

Um corpo a uma temperatura T está em contacto com um fluido a uma temperatura 0 T , e o

fluido está em movimento, natural ou forçado, de maneira a que as camadas em contacto

com o corpo estão constantemente a ser renovadas. É este mecanismo que se usa na

refrigeração dos motores dos carros, em certo tipo de aquecimentos eléctricos domésticos e étambém por este mecanismo que se dão no essencial as perdas de calor para o ambiente do

corpo de um animal de sangue quente. A quantidade de calor H cedida por unidade de

tempo pelo corpo ao fluido com o qual está em contacto é dada por

( )0 T T A h t

Q H −==

∆



Termodinâmica 93

onde A é a área de contacto entre o corpo e o fluido e h é uma constante de

proporcionalidade que depende da situação concreta considerada. Para o caso do corpo

humano no ar em movimento, .K .m .s .Kcal 10 x 7 ,1h 12 13 −−−−=

A transmissão do calor por condução é característica do transporte através de sólidos. O

processo é semelhante ao da convecção, só que neste caso o transporte é feito através doselectrões de condução e das vibrações da rede cristalina que jogam neste caso o papel que as

moléculas do fluido desempenham no transporte por convecção. Nos fluídos a condução de

calor faz-se através das moléculas constituintes mas em condições normais o processo de

convecção é dominante.

Neste mecanismo, a quantidade de calor que atravessa por unidade de tempo uma secção

de área A de uma barra de comprimento é dada por

2 1 T T A K

t

Q H

−==

∆

onde 1T e 2 T são as temperaturas nos extremos da barra e K é uma constante que depende

do material e se chama condutividade térmica.

4.5. O Factor de Boltzmann e a Equação de Nernst.

Voltemos a considerar a expressão que obtivemos na secção 4.2 e que relaciona a

temperatura com a função ( )U Ω que nos dá o número de microstados que realizam um

determinado macrostado de energia U :

T k 1

dU d 1 =Ω

Ω

Se reescrevermos esta expressão na forma: ,T k

1

dU

d Ω

Ω = e olharmos para esta equação

como uma equação diferencial na função incógnita Ω ‚ é óbvio que a solução é uma função

de U da forma

( ) kT

U

e c U =Ω

onde c é uma constante arbitrária isto é, a função ( )U Ω aumenta exponencialmente com aenergia.

Consideremos dois sistemas 1 e 2 em equilíbrio térmico com 2 1 U U U += constante e

suponhamos que o subsistema 2 é suficientemente grande para que se possa considerar que

a contribuição essencial para o número total de microstados é a do subsistema 2. Então, a

probabilidade associada a uma diminuição 1U da energia total disponível será proporcional

a



Capítulo 494

( ) kT

U

kT

U U

kT

U

2 2

112

e e c e c U

−−

∝==Ω

Este factor kT

U 1

e

−

é em geral designado por factor de Boltzmann.

Pensemos então novamente num sistema com energia interna U em equilíbrio térmico à

temperatura T , mas suponhamos agora que as partículas do sistema estão sujeitas à acção

de um campo exterior cuja energia potencial p E é proporcional à distância medida ao longo

do eixo dos zz , z E p α = . Podemos pensar neste campo como sendo o campo gravítico, ou,

no caso de partículas carregadas, um campo eléctrico constante, que teria o mesmo efeito,

com a diferença de a força que actua as partículas ser proporcional à carga em vez de ser

proporcional à massa.

A energia potencial de uma partícula é energia que é “roubada” à energia interna total do

sistema. Por outras palavras, se uma partícula passar de uma altura z onde tem energia

potencial z E p α = para uma altura superior z z ∆+ , onde a sua energia potencial passa a ser

p p E E ∆+ , o sistema no seu conjunto passa a dispor apenas de uma energia p E U ∆− para

distribuir pelos graus de liberdade associados à sua estrutura microscópica.

Como ( ) kT

U

e U ∝Ω , isto significa que a probabilidade de encontrar uma partícula com uma

energia potencial p E ∆ acima da mínima é proporcional a T k

E p

e

∆−

. Em termos

macroscópicos, esta variação da probabilidade com a energia potencial da partícula vai dar

origem a variações da concentração com a altura. No caso de partículas no campo gravítico,

teremos uma variação de concentração C com a altura z dada por

( ) ( )C z C emgz

kT =−

0

dado que neste caso ( ) ( ) mgz 0 E z E p p += . No caso de iões carregados de cargane , onde n é a

valência do ião e e é a carga do electrão, a energia potencial associada a um campo

eléctrico constante E , entre as paredes de uma membrana, é dada por:

( )z V ne E .elect p =

em que ( ) zE z V = é o potencial eléctrico. Neste caso,

( ) ( )( )

kT

z V ne

e 0 C z C −

=

Do ponto de vista das aplicações ao estudo de membranas carregadas, o que nos

interessa não é a variação detalhada da concentração com a posição, mas apenas a relação

entre as concentrações de equilíbrio junto às paredes exterior e interior da membrana, que é



Termodinâmica 95

( )

kT

V V ne

i

e i e

e C

C −

−

=

onde i e V V − é a diferença de potencial entre a parede exterior e a parede interior. Tomando

logaritmos obtemos a chamada equação de Nernst,

e

i

ie C

Cln

ne

Tk =V-V

À temperatura do corpo, K 310 C º 37 T == , o valor deste coeficiente é de 0 0267. V , para

valência 1. Se, como no caso das paredes dos neurónios, em que vale cerca de 70mV , i e V V −

for positivo, a equação de Nernst implica que no equilíbrio a concentração de iões de sódio e

de potássio, de valência +1 , é maior no interior do que é no exterior, enquanto que a

concentração do ião de cloro, de valência −1 , é maior no exterior do que no interior. Se as

concentrações forem diferentes dos valores de equilíbrio, haverá fluxo difusivo da região de

maior concentração para a de menor concentração, a menos que a membrana seja

completamente impermeável.

Aplicação: Calcular o quociente entre as concentrações de equilíbrio exterior e interior de iões

cloro para a membrana do axónio .

76.13eC

C

107.26

1070

C

Clog 7.26

70

i

e3

3

e

i ==⇔×

×−=

−

−

O factor de Boltzmann e o modelo associado permite ainda compreender por que razão o

coeficiente de difusão D, de que se falou no capítulo anterior, é proporcional à temperatura.Consideremos um gás ou uma solução com uma concentração de equilíbrio que varia com a

altura de acordo com

( ) ( ) kT

zF

e 0 C z C −

=

onde F

é uma força exterior constante vertical e dirigida de cima para baixo. Esta

concentração de equilíbrio é o resultado de dois fluxos que se compensam: um, a que

chamaremos fluxo de deriva‚ é o fluxo devido ao movimento das partículas sob a acção da

força F

e das forças de viscosidade do fluido, o qual como vimos se dá com uma velocidade

constante, v , dada pela lei de Stokes; o outro, a que chamaremos fluxo de difusão, é o

devido apenas à assimetria das concentrações acima e abaixo de uma camada horizontal

qualquer que se quiser considerar.

Seja então uma camada fina à altura z . O fluxo de deriva através desta camada é dado

por



Capítulo 496

( )z C v j der

=

e dirigido segundo o sentido negativo do eixo dos zz , enquanto que o fluxo de difusão é

dado, como já vimos, por

( )dz z dC D j dif =

e está dirigido da maior para a menor concentração, ou seja, no sentido positivo do eixo dos

zz . O equilíbrio corresponde à igualdade entre os dois fluxos, dif der j j = , ou seja,

( )( )z C

D

v

dz

z dC =

e como ( ) ( ) kT

zF

e 0 C z C −

= , temos

D v

kT F =

F

vkT D =

Para esferas de raio r η π r 6

F v = , onde η é a viscosidade do meio e vem

η π r 6

kT D =

Em qualquer caso, D é proporcional a kT , e a constante de proporcionalidade, que se

representa normalmente por µ chama-se mobilidade das partículas consideradas no meio

em que estão.

4.6. Os Gases Ideais

O modelo de gás de que dispomos neste momento consiste num conjunto de partículas

em número da ordem de 1023 , juntamente com uma expressão geral, que é o factor de

Boltzmann, para a probabilidade de que, a uma certa temperatura uma partícula esteja num

estado ao qual corresponde uma energia E acima da energia mínima. Esta distribuição de

probabilidade permite-nos calcular médias para a posição e para a velocidade de cada

partícula. Por outro lado, o nosso modelo fornece uma descrição microscópica para as forças

de pressão que são devidas à transferência de momento linear das partículas quando estas

chocam com a parede do recipiente que contém o gás.

Estamos então em condições de calcular o valor médio dessa transferência de momento

por unidade de tempo e de área, isto é, o valor da pressão do gás, em função do número de



Termodinâmica 97

partículas , do volume V em que estão distribuídas, e da temperatura T , que determina

a forma da distribuição de probabilidade para a velocidade de cada partícula. O resultado

deste cálculo, com a suposição adicional de as moléculas não interagirem entre si e

desprezando a influência do campo gravítico, é o expresso pela equação

V T R n p ou

V T Nk p ==

onde k é a constante de Boltzmann, n o número de moles, a N o número de Avogadro, e

k N R a = . Esta equação exprime a chamada lei dos gases ideais. Este é o exemplo de uma

equação de estado, que embora inicialmente tenha sido formulada como uma lei

fenomenológica, pode ser obtida a partir de primeiros princípios no quadro da física

estatística.

No caso em que as hipóteses básicas em que assenta a dedução desta lei não se verificam

é necessário ter em conta correcções. A lei descreve com bastante exactidão o

comportamento dos gases raros, e em boa aproximação, o da maioria dos gases, desde que

se encontrem longe da condensação, regime em que a interacção entre as moléculas começa

a ser determinante. Por outro lado, se quisermos considerar grandes variações de altura,

isto é, se por exemplo estivermos a considerar o comportamento de gases na atmosfera em

vez do comportamento de um gás contido num recipiente à superfície da Terra é necessário

ter em conta a influência do campo gravítico terrestre. Como já vimos, tomando em

consideração a dependência do factor de Boltzmann na altura, concluímos que a densidade

decresce exponencialmente com a altura. Portanto, a pressão, que pela lei dos gases ideais é

proporcional à densidade, decresce também exponencialmente com a altura.

O modelo que utilizámos para calcular a pressão também permite calcular o valor médio

da energia cinética de uma molécula de qualquer gás, que é kT 2

3 E c = . Como neste cálculo

se desprezam todos os tipos de forças, tanto externas como de interacção entre as

partículas, a energia interna U do sistema é apenas devida à energia cinética das moléculas

e temos

T R n 2

3 U ou kT

2

N 3 U ==

que é uma segunda equação de estado para o gás ideal. Esta equação permite

imediatamente determinar o calor especifico a volume constante, V C . Se fornecermos ao gás

uma certa energia Q sob a forma de calor, temos

T R n 2

3 U Q ∆∆ ==

e portanto



Capítulo 498

R n 2

3

T

Q C v ==

∆

Note-se que, de acordo com a lei dos gases ideais, a pressão aumenta neste processo. Se o

aquecimento for feito a pressão constante, então o volume do gás aumenta dado que

0 V T V

nR T

V

nR p

2 =−= ∆∆∆

ou seja,

V T T V ∆∆ =

e parte do calor fornecido é devolvido ao exterior sob a forma de trabalho realizado pelo

sistema quando o volume se expande. Neste caso,

T R n

2

3 V p Q W Q U ∆∆∆ =−=+=

=+=+= T T

V p T R n

2

3 V p T R n

2

3 Q ∆∆∆∆

T R n 2

5 T R n R n

2

3 ∆∆ =

+=

e portanto o calor específico a pressão constante é .R n 2

5 C p =

Em conclusão, nos gases ideais os calores específicos a pressão e a volume constante

obedecem à seguinte relação

nR C C V p =−

4.7. O Potencial Químico e as Soluções Ideais

Na secção 3, considerámos dois sistemas que podiam trocar calor entre si, e vimos que o

equilíbrio, ou seja, o máximo da entropia, correspondia à igualdade da temperatura dos dois

sistemas. Suponhamos agora dois sistemas em contacto com volume fixo e termicamente

isolados, mas que podem trocar partículas entre si. Repetindo o mesmo raciocínio, podemos

verificar que a condição de equilíbrio entre os subsistemas é agora



Termodinâmica 99

2

2

1

1

dN

dS

dN

dS =

onde 1N e 2 N é o número de partículas dos subsistemas 1 e 2.

Definimos o potencial químico como sendo dado por

N

S T ∂

∂ µ −=

onde a derivada parcial indica que admitimos, em geral a hipótese do sistema ter outros

parâmetros variáveis para além do número de partículas. Então, a condição de equilíbrio

térmico e difusivo entre dois sistemas é

2 1 T T =

2 1 µ µ =

Da mesma maneira que se viu que, partindo de dois sistemas com temperaturas

diferentes em contacto térmico, o calor flui do sistema a temperatura superior para o de

temperatura inferior até que se atinge o equilíbrio, é fácil constatar que o sentido da troca de

partículas que provoca um aumento de entropia é do sistema com maior potencial químico

para o de menor potencial químico.

É então evidente que o potencial químico está relacionado com a concentração. Vejamos

como, voltando a considerar um gás ideal ou uma solução ideal em equilíbrio num campo

exterior, e seja 0 E p >∆ a diferença entre a energia potencial associada ao subsistema 2 e a

associada ao subsistema 1. O quociente entre as concentrações de equilíbrio é

kT

Ep

1

2 e C

C ∆

−

=

kT

E C log C log p

12

∆−=−

ou seja,

( ) ( )2 E C log kT 1E C log kT p 2 p 1 +=+

Mas esta tem que ser a condição de equilíbrio 2 1 µ µ = , pelo que a expressão para o

potencial químico em função da concentração é

p 0

0 E C

C log kT ∆ µ µ +=−



Capítulo 4100

Até agora considerámos o potencial químico devido à presença de apenas uma espécie de

moléculas, isto é, admitimos que o nosso sistema modelo tem um número variável de

partículas, todas iguais. Vamos agora estudar um tipo particular de sistema com dois

componentes, digamos água e soluto, em que o número de moléculas de água, a N , e o

número de moléculas de soluto, S N , podem variar. Sobre o nosso sistema modelo vamos

fazer as seguintes hipóteses: as moléculas de uma e outra espécie são aproximadamente da

mesma forma e tamanho, e as interacções entre moléculas não distinguem entre as duas

espécies. No caso destas hipóteses se verificarem, a solução diz-se ideal. Suporemos ainda

que a solução é diluída, isto é, S a N N >> .

Como as moléculas se supõem de espécies diferentes, mas idênticas do ponto de vista da

maneira como interactuam entre si, a um determinado macrostado caracterizado pelos

valores S a N ,N corresponderão

( ) ( )

! N ! N

! N N N ,N

S a

S a

S a

+=Ω

microstados diferentes, que se obtêm trocando entre si partículas das duas espécies

presentes. Claramente, ( ) 10 N ,N S a ==Ω , de modo que a entropia devida à mistura é

( ) ( ) ! N log k ! N log k ! N N log k N ,N S S a S a S a --+=

ou, usando a aproximação de Stirling para os logaritmos,

( ) ( ) ( ) S S a a S a S a S a N log N k N log N k N N log k N N N ,N S −−++=

S

S a S

a

S a a

N

N N log N k

N

N N log N k

++

+=

Os potenciais químicos a µ e S µ e associados às duas espécies em presença são então

=

++

+−=−=

S

S a S

a

S a a

a a a

N

N N log N

N

N N log N

N kT

N

S T

∂

∂

∂

∂ µ

=

++

+

−

++

−=

S

S a

S S

a

S a

2 a

S

a

a

S a

N

N N

N

1

N

N

N N

N

N

N

N

N N log kT

S a

a

a

S a

N N

N log kT

N

N N log kT

+=

+−=

S a

S

S S

N N

N log kT

N

S T

+=−=

∂

∂ µ



Termodinâmica 101

Para soluções muito diluídas, S a N N >> , a última equação pode escrever-se na forma

a

S S

C

C log kT = µ

onde S C é a concentração de soluto, dado que .S a

S

a

S

a

S

N N

N

N

N

C

C

+≅=

Note-se que esta expressão coincide com a que obtivemos anteriormente quando

considerámos sistemas com apenas uma espécie de partículas.

Vejamos o que se passa nesta aproximação com o potencial químico da água

)1log(logS a

S

S a

a

a

N N

N kT

N N

N kT

+−=

+= µ

(4.3) a

S

S a

S

C

C

kT N N

N

kT −≅+−≅

O modelo que estudámos inclui como únicos parâmetros variáveis os números de

partículas de ambas as espécies e, portanto, as respectivas concentrações relativas. Levando

um pouco mais longe o desenvolvimento do formalismo da termodinâmica é possível mostrar

que em sistemas em que, para além do número de partículas, a pressão também possa

variar, o potencial químico tem um termo adicional que depende da pressão. Numa solução

muito diluída, a única contribuição relevante para a pressão é a pressão da água. Se

considerarmos que a água se comporta como um gás “ideal” do ponto de vista da relação

entre volume e número de partículas a pressão e temperatura constante, a equação (4.3) nocaso geral passa a escrever-se

,C

C kT

V

N

p

a

S

a a −= µ ou ainda

a

S a

C

kTC p −= µ

onde ambas as concentrações são medidas em número de partículas por unidade de volume.

Em resumo, se tivermos duas regiões de um fluido separadas por uma membrana

impermeável, com certos valores 2 S

1S 2 1 C e C , p , p , para as pressões do solvente e concentrações

volúmicas do soluto em cada uma das regiões, a diferença entre o potencial químico dosolvente nas duas regiões é dada por

a

S a

1a

2 a

C

C kT p ∆∆ µ ∆ µ µ

−==−

onde a C é a concentração volúmica do solvente, e a diferença entre o potencial químico do

soluto nas duas regiões é



Capítulo 4102

==−

1S

2 S

S 1S

2 S

C

C log kT µ ∆ µ µ

Tal como a diferença de temperaturas dá origem a um fluxo de calor proporcional a essa

diferença no sentido de estabelecer o equilíbrio térmico, uma diferença no potencial químico

associado a uma determinada espécie dá origem a um fluxo de partículas dessa espécie

proporcional à diferença de potencial químico no sentido de estabelecer o equilíbrio difusivo.

Portanto, se 0 a ≠ µ ∆ e a membrana for permeável ao solvente, haverá um fluxo de solvente

através da membrana proporcional a a µ ∆ (encontrámos já esta situação quando

apresentámos o fenómeno da pressão osmótica numa membrana semipermeável). Se a

membrana for permeável ao soluto, haverá um fluxo de partículas do soluto proporcional a

S µ ∆ também no sentido de estabelecer o equilíbrio, ou seja, da região de maior s µ para a de

menor s µ .



Electricidade 103

CAPÍTULO 5.

ELECTRICIDADE

5.1. Introdução

Dissemos no início do curso que a fisiologia das células nervosas e a compreensão do

fenómeno de propagação dos impulsos nervosos ao longo dos axónios era um dos exemplos

de aplicação da física à biologia. Neste capítulo vamos precisamente retomar este exemplo

nos seus aspectos mais fundamentais, e introduzir os conceitos físicos que intervêm na sua

descrição.

Um nervo é formado por muitas células nervosas, cada uma das quais é capaz de

transmitir impulsos nervosos num sentido determinado, ligadas entre si de maneira a

construir um feixe de um grande número de canais de transmissão independentes. As

células nervosas são muito alongadas e não são simétricas: uma das suas extremidades é a

de entrada do sinal, a outra a de saída, e as duas estão ligadas por uma porção alongada do

corpo da célula, o axónio, ao longo do qual o impulso se transmite quase sem deformação, e

que pode chegar a atingir comprimentos da ordem de um metro como, por exemplo, na

espinal medula.

A extremidade de entrada tanto pode ser um transdutor que transforma por exemplo a

temperatura, ou a tensão mecânica, a que está sujeita, num impulso eléctrico, como uma

junção com outra célula nervosa (sinapse). Na extremidade de saída o axónio ramifica-se

num conjunto de terminações mais finas, cada uma delas ligada ou à extremidade de

entrada de outro neurónio ou a uma célula da fibra muscular que o nervo comanda. O

axónio é um longo cilindro de propriedades semelhantes às de um cabo eléctrico com umdiâmetro que pode atingir a ordem das dezenas ou mesmo centenas de µm , ao longo do

qual os impulsos se propagam a velocidades da ordem dos 1ms − . Esta propriedade de

conduzir os impulsos eléctricos mantém-se no axónio mesmo quando este está isolado do

resto da célula nervosa, e é portanto devida apenas à sua constituição.



Electricidade 105

No essencial um axónio é um cilindro rodeado por uma membrana que separa o fluido

intercelular do fluido extracelular; as concentrações de iões +Na , +K e −Cl são diferentes

nos dois fluidos (Figura 5.2) e, na situação de repouso, existe uma diferença de potencial de

70mV entre o fluido extracelular na vizinhança da parede da célula e o axoplasma. Os

impulsos nervosos são alterações desta diferença de potencial que se propagam ao longo do

axónio, isto é, impulsos eléctricos, e para entender este fenómeno precisamos de conhecer o

que a física nos diz sobre a electricidade.

5.2. Campo Eléctrico e Potencial

Do ponto de vista histórico, a base da electrostática é a lei de Coulomb, que nos diz que

duas cargas 1q e 2 q exercem uma sobre a outra uma força F

dada por

(5.1)r

r

r

q q k F

2

2 1

=

isto é, uma força dirigida ao longo da linha que une as duas cargas, atractiva ou repulsiva

conforme as cargas tenham sinais diferentes ou o mesmo sinal, e de módulo proporcional ao

produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. A

carga mede-se em Coulomb no sistema internacional e a constante k vale 2 2 9 C Nm 10 .9 − ,

no caso de as cargas se encontrarem no vácuo ou no ar. O coeficiente k escreve-se às vezes

sob a forma

0 4

1k

πε =

onde a constante 0 ε é a permitividade eléctrica ou constante dieléctrica do vácuo

(aproximadamente igual à do ar). No caso de outros meios, como veremos em (5.3.), tem-se,

πε 4

1k = onde ε é a permitividade eléctrica ou constante dieléctrica desse meio.

Note-se a analogia entre esta lei de interacção e a lei de interacção gravítica: a constante

de proporcionalidade k corresponde à constante G , e as cargas correspondem às massas,

com a importante diferença de que podem ter o mesmo sinal ou sinais contrários.

Tal como uma massa gera no espaço ao seu redor um campo gravítico, também uma

carga 1q em repouso cria num ponto r

um campo electrostático, dado por

(5.2)r

r

r

q

4

1E

2

1

0

πε =

O campo electrostático no ponto r

define-se como a força por unidade de carga que se

exerceria sobre uma carga situada no ponto r

ou, o que é equivalente, uma carga 2 q

colocada no ponto r

do campo E

é actuada por uma força



Capítulo 5106

r

r

r

q q

4

1E q F

2

2 1

0 2

πε ==

Um outro conceito muito importante em electricidade é o de potencial eléctrico. O

trabalho necessário para levar uma carga eléctrica q de um ponto A a um ponto B na

presença de um campo electrostático E

será

∫ ⋅= r d F W

onde o integral é calculado ao longo do percurso da carga q entre A e B e F

é a força

exterior que anula a força associada ao campo E

. Portanto

∫ ∫ ⋅−=⋅−=⋅= r d E q r d E q r d F W

Tal como o campo gravítico, o campo electrostático é conservativo, o que implica que o

integral anterior é independente do caminho escolhido entre A e B e portanto

( ) ( )[ ]A V B V q W −=

onde V , o potencial eléctrico associado ao campo E

, é a função que verifica

r

V E

∂

∂ −=

Como referimos no Capítulo 2, o símbolor

∂

∂ designa-se por gradiente (representa-se

também por grad). Este operador generaliza a noção de derivada de uma função de uma

variável a funções definidas num plano ou no espaço físico tridimensional. No caso de

problemas em dimensão 1, o gradiente coincide com a derivada habitual,dx

d ; em dimensão

superior, o gradiente é a derivada tomada sobre a direcção ao longo da qual a variação da

função é máxima. Sendo o campo electrostático E

o gradiente do potencial electrostático V ,

a sua direcção será sempre a direcção perpendicular às superfícies equipotenciais, uma vez

que essa é a direcção que maximiza a variação do potencial eléctrico.

Figura 5.3 Linhas de força e equipotenciais para o campo electrostático criado por uma

carga q +

No caso do campo E

criado por uma carga q no espaço tridimensional, tem-se

+q



Capítulo 5108

pólvora, um nervo possa transmitir impulsos mais do que uma vez, pois permite restabelecer

as concentrações iónicas de equilíbrio após a passagem do impulso nervoso.

Aplicação: Para a configuração da Figura 5.4,

Figura 5.4

calcular em que ponto se anula o campo eléctrico, e em que ponto se anula o potencial.

A única região onde o campo total pode ser nulo é à esquerda da carga positiva, dado que

entre as cargas os campos

E1 e

E2 têm o mesmo sentido e à direita da carga q 2 domina o

campo

E2 , dado que q 2 é maior e está mais próximo. Tomando a origem do eixo dos xx na

posição de q 1 temos

( ) 21

1x0

1x

k2

x

k0EE

2221−

=⇔=−

−⇔=+

Para o potencial, vem

( ) ( ) 1xx21x01x

k2

x

k0xVxV 21 −=⇔=−⇔=

−−⇔=+

O campo electrostático E

e a carga q que o gera estão relacionados por uma propriedade

geométrica muito geral. Consideremos uma carga q situada na origem do nosso referencial

Figura 5.5

e calculemos o fluxo φ do campo E

que ela cria através da superfície de uma esfera de raio

r centrada na carga, isto é, o integral

(5.3) ds n E

S

∫ ⋅=

φ

onde n

representa a normal unitária exterior à superfície e o integral é sobre toda a

superfície da esfera. Informalmente podemos pensar que o fluxo φ mede a densidade das

q 1= +1C q 2= -2C

d=1m

O

x

+q



Electricidade 109

linhas de força que atravessam perpendicularmente a superfície. Em cada ponto da

superfície temos

2 0

2 0 r 4

q n

r

r

r

q

4

1n E

πε πε =

⋅=⋅

portanto, o integral é apenas

0 2

0

2 q

r 4

q r 4

ε πε π φ ==

A relação que encontrámos neste caso é verdadeira para qualquer superfície que envolva

qualquer distribuição de cargas em repouso e exprime a lei de Gauss: o fluxo do campo

electrostático através de uma superfície fechada é igual à carga total contida no interior da

superfície dividida por 0 ε .

Esta lei geral dá-nos um instrumento para calcular o campo electrostático criado porcertas geometrias de distribuição da carga que aparecem frequentemente nas aplicações.

Vejamos alguns exemplos.

- Campo criado por uma distribuição linear de cargas

Considerando uma distribuição de cargas ao longo de uma linha com uma densidade

linear constantedx

dq =λ , apliquemos a lei de Gauss a um cilindro de raio r cujo eixo

coincide com a linha ao longo da qual a carga se encontra distribuída.

Figura 5.6

Temos então para a carga Q no interior do cilindro

L Q λ =

e para o fluxo do campo eléctrico através da superfície do cilindro

rLE 2 π φ =

+ + +

+ + +E r

L



Capítulo 5110

No cálculo de φ usámos o facto de por simetria, o campo E

só depender do raio e ter a

direcção da normal exterior à sua superfície lateral, de modo que, em particular, o fluxo

através das bases do cilindro é nulo. Usando 0 /Q ε Φ = o campo gerado por esta distribuição

de cargas é

(5.4)r

2 k r

2 4

1rL 2

1L E 0 0

λ λ πε π ε

λ ===

- Campo criado por uma distribuição superficial de carga

Consideremos agora o caso de uma distribuição homogénea de carga ao longo de um

plano, com densidade superficial constanteds

dq =σ . Apliquemos a lei de Gauss ao cilindro

representado na Figura 5.7. Mais uma vez, simplificamos os cálculos usando argumentos de

simetria: o campo tem que ser normal em cada ponto à superfície ao longo da qual a carga

se encontra distribuída.

Figura 5.7

Então temos, para o cilindro da figura

σ S Q =

) E E ( S a b +=φ

Se modificarmos os parâmetros b e a , a carga Q no interior do cilindro continua a ser a

mesma. Portanto, tem que ser E E E a b == , constante, e vem

(5.5) πσ πε ε

σ 2

4

1

2 E

0 0

==

+

+

+

+

+

+

S SE E

a b

+

++

+

+

+

E

a

+

+

+

++

+

b

S



Electricidade 111

Aplicação: Consideremos duas superfícies “infinitas” paralelas, uma com uma distribuição

superficial de carga σ e a outra com uma distribuição superficial de carga −σ , como se

representa na figura 5.8.

Campo devido ao

plano negativo

+

Campo devido ao

plano positivo

=

0

_

_

_

_

_

_ ←

←

←

←

0

0

0

0

ε σ

ε σ

ε σ

ε σ

+

+

+

+

+

+

Campo devido ao

plano negativo

+

Campo devido ao

plano positivo

=

0

I II III

Figura 5.8

Na região entre as duas placas (região II), supondo que a largura dessa região é

suficientemente pequena para que seja válida a aproximação que fizemos de considerar as

placas como superfícies infinitas, o campo é constante e dado pela soma do campo criado por

cada uma das placas, ou seja

0

Eε

σ=

enquanto que nas regiões I e III o campo é nulo.

Suponhamos que este é um bom modelo para a membrana de um neurónio, dado que a

espessura da membrana (da ordem dos nm ) é muito pequena quando comparada com o

tamanho da célula (da ordem dos µm ). Vimos já que o campo eléctrico no interior da membrana

é da ordem de 16 Vm 10 .2 − ou 16 NC 10 .2 − . Substituindo este valor na equação anterior vem que

σ será da ordem de 2 5 2 3 Cm 10 .2 Cm 10 36

2 −−−− ≅π

.

Este valor dá-nos uma primeira estimativa para a concentração superficial de iões na

vizinhança das paredes celulares. Veremos em 5.3 que esta estimativa tem que ser corrigida por

um factor essencial que aqui não tomámos em conta.



Capítulo 5112

- Campo eléctrico criado por um dipolo

É frequente a nível molecular as cargas eléctricas não se apresentarem isoladamente mas

sim em pares de uma carga positiva ( q ) e outra negativa ( q − ), separadas uma da outra por

uma pequena distância d . Chama-se dipolo eléctrico a esta configuração de carga, e

momento dipolar ao produto qd .

Os dipolos eléctricos desempenham um papel muito importante em biologia já que muitas

moléculas biológicas e a própria molécula de água têm este tipo de estrutura. Por outro lado

algumas questões fisiológicas podem ser analisadas em termos de dipolos eléctricos. Por

exemplo, no modelo do batimento cardíaco considera-se que, como resultado global dos

complexos fenómenos de despolarização e repolarização das células nervosas e musculares,

o coração comporta-se como um dipolo eléctrico cuja intensidade e direcção varia ao longo

de cada ciclo. Um electrocardiograma mede a intensidade do campo criado por esse dipolo.

Calculemos o campo e o potencial criados por um dipolo num ponto situado a uma

distância grande quando comparada com a separação entre as cargas (Figura 5.9). O

potencial em A será a soma dos potenciais criados em A pela carga positiva e pela

negativa, i.e.

Figura 5.9

−+−+ −=+=

r

kq

r

kq V V V

Por outro lado, temos

ϕ ϕ sen 2

d r r sen

2

d r r +≅−≅ −+

de modo que

-q

A

dφ

φ

r+

r- +q r

y

x



Electricidade 113

2 2

2 2 r

sen kqd

sen 4

d r

sen kqd V

ϕ

ϕ

ϕ ≅

−

=

onde na última aproximação usamos o facto de ser r d << . Em coordenadas cartesianas,

temos

(5.6) ( )

( )2

3 2 2 y x

y kp y ,x V

+

=

A relação geral V grad E −=

dá imediatamente, aplicando as regras do cálculo vectorial,

(5.7)

−= 2 3 4

e r

1

r

r

r

y 3 kp E

expressão que nos permite calcular o campo criado pelo dipolo em qualquer ponto.Nos pontos situados sobre o eixo dos x ou o eixo dos y da Figura 5.9 podemos no

entanto calcular o campo eléctrico de uma maneira muito simples. Em primeiro lugar, é

óbvio que o eixo dos x , dado por 0 y = , é uma equipotencial. Portanto, a direcção do

gradiente ao longo deste eixo é a direcção vertical (perpendicular às equipotenciais) e

podemos escrever, para um ponto arbitrário do eixo dos x

=∂

∂−=−= 2 e

y

V V grad E

( )2

0 y 2

3 2 2

e

y x

y

y kp

=

+∂

∂−=

2 3 e

r

kp −=

Da mesma maneira, dada a expressão de ( )y ,x V , é claro que as equipotenciais são

simétricas em relação ao eixo dos y de modo que sobre o eixo dos y a direcção do gradiente

é também a direcção vertical. Portanto, num ponto arbitrário do eixo dos y , temos:

( )2 3 2

0 x 2

3 2 2

2 e r

kp 2 e

y x

y

y kp e

y

V V grad E

=

+∂

∂−=

∂

∂−=−=

=

.

Suponhamos agora um dipolo situado num campo uniforme E

, produzido por uma

distribuição de cargas conveniente (Figura 5.10). A energia potencial electrostática U desse



Capítulo 5114

dipolo é a soma dos potenciais electrostáticos de cada uma das cargas do dipolo, de modo

que temos

( ) ( ) ( ) ( )( )−+−+ −=−=+= x V x V q 2 V q 1V q U U U

Figura 5.10

Uma vez que para um campo uniforme 1e E E

= o potencial só depende da variável x e é da

forma ( ) Ex x V −= , temos

( ) ( ) ( ) θ cos 2

d E 2 x x E x V x V −=−−=− −+−+

e vem

θ cos E d q U −=

Definindo o momento dipolar vectorial p

como um vector de módulo qd p = e direcção

igual à do dipolo, orientado da carga negativa para a positiva, podemos escrever

(5.8) E . p U

−=

Portanto, a configuração de energia mínima é aquela em que o dipolo está alinhado com o

campo exterior. De um ponto de vista puramente mecânico, podemos entender o

alinhamento do dipolo p

com o campo E

como o resultado do efeito sobre p

, considerado

como uma barra rígida, do binário ( )−+ F ,F

formado pelas forças que, devido à presença do

campo E

, actuam cada uma das cargas (ver Figura 5.10).

Aplicação: Dois dipolos iguais estão separados de uma distância R , grande quando

comparada com a separação entre as cargas. Calcular a energia do sistema dos dois dipolos

quando estão orientados segundo as configurações indicadas na Figura 5.11.

-F1

-q

+q x+

x _

x0

F1

θ



Electricidade 115

Figura 5.11

O campo exterior a que cada dipolo está sujeito é o campo criado pelo outro dipolo. Então

temos

122121 E.pE.pUUU

−−=+=

onde 2E

(respectivamente 1E

) é o campo criado pelo dipolo 2 (respectivamente 1) no ponto em

que se encontra o dipolo 1 (respectivamente 2)

(a) Neste caso, como vimos

131 eR

kp2E

= , 132 eR

kp2E

−=

e vem, dado que

11 epp

= , 12 epp

−=

3

2

R

kp4U =

(b) Neste caso é

231

1 eR

kpE

−= , 232

2 eR

kpE

−= , 221 eppp

==

e portanto

3

2

R

kp2U =

Note-se que a configuração da alínea (b) corresponde a uma energia menor.

5.3. Polarização de Dieléctricos e Condensadores

Num material condutor, os electrões de valência dos átomos que constituem o material

podem mover-se livremente. Na presença de um campo eléctrico exterior, essas cargas

deslocam-se de modo que, no equilíbrio, o campo eléctrico no interior do condutor é

R

p1 p2 Rp1 p2

(a) (b)

R



Capítulo 5116

nulo - se não fosse, as cargas deslocar-se-iam sob o efeito do campo exterior até que elas

próprias criassem um campo que anulasse exactamente aquele.

Num material dieléctrico as cargas têm alguma mobilidade: não podem mover-se

livremente de modo a cancelar completamente o campo exterior, mas podem produzir um

cancelamento parcial.

Este mecanismo pode entender-se a partir do modelo representado na Figura 5.12.

Figura 5.12

A figura (a) diz respeito à situação em que não há campo exterior aplicado, e a

distribuição electrónica de cada átomo está centrada no núcleo, de modo que qualquer

região grande quando comparada com o raio atómico é electricamente neutra. Na situação

da figura (b), as cargas exteriores são responsáveis pela criação de um campo eléctrico ext E

cuja acção leva a um deslocamento das distribuições electrónicas. Cada átomo passa a ter a

configuração de um dipolo eléctrico e o material comporta-se como um conjunto de dipolos

eléctricos alinhados em relação ao campo exterior. Estes dipolos criam como já vimos um

campo pol E

, proporcional ao momento dipolar p , com a mesma direcção e sentido

contrário. Como o momento dipolar é por sua vez proporcional ao campo exterior ext E

que o

criou, podemos escrever

pol total ext pol E E E p c E

−−=−=−= α α

uma vez que pol ext total E E E

+= .

A equação anterior é equivalente a

totalpol EE

χ−=

ondeα

α χ

−=

1é uma constante chamada susceptibilidade eléctrica do material.

Eext

Epol

(a) (b)

Eext

Epol Etotal



Electricidade 117

Neste exemplo considerou-se um material sem momentos dipolares permanentes. Em

muitos casos, os dipolos eléctricos existem mesmo na ausência de campo exterior, devido ao

tipo das ligações químicas.

O campo total é então

(5.9) ext r

ext ext total E

1

E 1

1

E ) 1( E

ε χ α =+=−=

A constante ε r chama-se constante dieléctrica relativa e é adimensional. A permitividade

eléctrica do material ε é dada por 0r ε ε . A expressão (5.9) mostra que no interior de um

dieléctrico o campo eléctrico é reduzido por factor εr em relação ao campo que existiria no

vácuo.

A constante dieléctrica relativa desempenha um curioso papel do ponto de vista biológico.

A constante dieléctrica relativa da água é bastante alta, da ordem de 80r ≅ε , uma vez que

as moléculas de água são polares e podem reorientar-se facilmente na presença de um

campo exterior, (é por isso que o sal comum e outros compostos iónicos se dissolvem na

água). A constante dieléctrica relativa das membranas é da ordem de 2 nas camadas

bilipídicas e da ordem de 10 nos canais proteicos. Para transferir um ião de um meio com

uma certa constante dieléctrica para outro com uma constante dieléctrica menor é

necessário fornecer trabalho que compense a variação de energia potencial electrostática

devida à variação da permitividade eléctrica. É natural portanto que os canais iónicos nas

membranas sejam proteínas e não lípidos.

Chama-se condensador ao conjunto formado por duas placas paralelas (ou dois cilindros

coaxiais, ou duas esferas concêntricas) uma das quais tem uma carga Q + e outra uma

carga Q − . Vimos já que no caso de duas placas paralelas, o campo eléctrico no exterior é

nulo, e no interior é uniforme e vem dado por

S

Q 4

4

14

4

1E

0 0

π πε

πσ πε

==

onde S é a área das placas. Como o campo é uniforme, o potencial varia linearmente com a

distância entre as placas, de modo que a diferença de potencial V ∆ entre elas é dada por

C

Q Q

S 4

d 4 Ed V

0

===

πε

π ∆

onde d é a distância entre as placas e a constante C , chamada capacidade do condensador,

vale neste caso d /S 0 ε e, em geral, depende da geometria do condensador e da natureza do

dieléctrico, que consideramos neste caso ser o ar. Para um condensador plano arbitrário

com constante dieléctrica ε será



Capítulo 5118

d

S C ε =

A unidade S.I. de capacidade é o farad ( )F de modo que 1Fm − é a unidade S.I. para a

permitividade eléctrica.

Para um valor q da carga de cada uma das placas a diferença de potencial entre elas

será ( ) C /q q V = . Assim, a energia necessária para carregar um condensador com a carga

total Q é

( )∫ ∫ ===

Q

0

Q

0

2

C

Q

2

1dq

c

q dq q V U

A membrana celular é um dos exemplos mais característicos e abundantes de

condensador. Como já vimos, a espessura da membrana é muito menor que as dimensões

da célula, e por isso o seu comportamento é bem descrito por um condensador plano.

Retomemos então o cálculo aproximado da densidade superficial de iões na superfície deuma membrana típica. Suponhamos como anteriormente que a membrana tem nm 40 e que

a d.d.p. entre as paredes é de mV 70 , mas vamos agora ter em conta que a permitividade

eléctrica da membrana é de 111Fm 10 .5 −− , i.e. que a constante dieléctrica relativa da

membrana é de 5,6. De

d

S C ε =

vem

2 3

8

11Fm 10 .25 ,1

10 .4

10 .5

d S

C −−

−

−

=== ε

Como

V C Q ∆=

a carga por unidade de superfície é

2 4 2 3 Cm 10 10 .7 10 .25 ,1V S

C

S

Q −−−−≈≈= ∆

ou seja, a nossa estimativa anterior vem aumentada por um factor de 5,6.

Podíamos também obter esta mesma estimativa a partir de 16 NC 10 .2 d

V E −

== ∆

e usar

depois a fórmula que relaciona o campo eléctrico com a distribuição superficial de carga

tendo em conta a permitividade eléctrica do meio



Capítulo 5120

5

10.5,2.

110.

2,1

50 23

−

σ=

Outra quantidade relevante no caso dos circuitos eléctricos, relacionada com a resistência

e a intensidade de corrente é a potência dissipada. Esta resulta da transferência de energia

dos electrões para os iões do material sob forma de energia térmica. A energia libertada por

uma carga q que se desloca através de uma diferença de potencial V ∆ é

V q W ∆=

Como a potência P é a energia libertada por unidade de tempo

V I V t

q

t

W P ∆∆

∆∆

∆===

Num circuito puramente resistivo

2 RI P =

O problema essencial a resolver num circuito eléctrico é o de conhecer a corrente que flui

através dos seus ramos e a diferença de potencial (d.d.p.) entre quaisquer dos seus pontos.

Para além de saber que nos extremos de uma resistência se verifica a lei de Ohm , e que

através de um condensador não passa corrente (corrente contínua, em regime estacionário),

as regras mais simples para "resolver" um circuito são as de associações em série e paralelo

de resistências e condensadores

Figura 5.13

C1 R1 R2 C2

Req=R1+R2 1/C eq=1/C 1+1/C 2

R1

R2

C1

C2

C eq=C 1+C 2 1/Req=1/R1+1/R2

Resistências

série

paralelo

Condensadores



Electricidade 121

Aplicação: Considerando o circuito

Figura 5.14

Quanto vale a d.d.p. entre a e b ?

Substituindo o circuito pelo circuito equivalente

Figura 5.15

em que

Ω=+= 9RRR 21eq

F2

3

1

6

11

Ceq µ=

+

=

tem-se para a corrente que flui através do ramo resistivo

A29

18I ==

de modo que o potencial em b é

V6Vb =

A carga armazenada em cada condensador é

C36VCQ eq µ==

Portanto, a d.d.p. aos extremos do condensador de F6µ verifica

3ΩΩΩΩ 6ΩΩΩΩ

6µµµµ 3µµµµ

18V 0V1 2

a

b

Re

18V 0V

Ce



Electricidade 123

De acordo com a notação utilizada na representação da fonte de tensão a barra mais

longa representa o polo positivo, de modo que a fonte 1V “favorece” a passagem de corrente

com sentido positivo na malha 1 , enquanto que a fonte 2 V contraria essa passagem. Por

isso em relação ao nosso sentido convencional devemos tomar a d.d.p. aos extremos de 1V

como negativa, e a d.d.p. aos extremos de 2 V como positiva quando analisamos a equação

da malha 1 .

A 1ª lei de Kirchhoff mais não é do que uma consequência do facto de o potencial estar

bem definido em cada ponto: a soma algébrica das d.d.p. encontradas ao longo de qualquer

caminho com início e fim nesse ponto tem que ser zero.

A 2ª lei de Kirchhoff diz-nos que a soma algébrica das correntes que entram em cada

nodo do circuito (ponto onde se encontram 3 ou mais ramos do circuito) tem que ser nula.

O circuito da Figura 5.16 tem quatro nodos, A , B , C e D , e pela 2ª lei de Kirchhoff

aplicada ao nodo A ou ao nodo

I I I 2 1 =−

onde I é a corrente que percorre a resistência 2 R , no sentido que tomamos como positivo

para a malha 1 . Dito de outra maneira, a corrente 1I no nodo A , separa-se em dois ramos,

2 I e I , de modo que a equação

2 1 I I I +=

exprime apenas a conservação da carga. Esta afirmação é tão intuitiva que já a usámos

quando escrevemos a equação das malhas.

De forma similar, no nodo B ou D , temos

3 2 I I I +=

onde I é agora a corrente que percorre a resistência 3 R no sentido que tomamos como

positivo para a malha 3 .

Como referimos, as regras que apresentámos para a associação de resistências e

condensadores em série e em paralelo deduzem-se facilmente das leis de Kirchhoff. Vejamos

por exemplo o caso dos condensadores. Para condensadores colocados em série num braço

de malha, tal como indicado na Figura 5.17

Figura 5.17

queremos determinar a capacidade eq C que substitui os condensadores de capacidades1C e

2 C , sem alterar a d.d.p. entre os pontos A e B . Para que a condição referida se verifique

CeC1 C2

A BA B



Capítulo 5124

2

2

1

1

eq C

Q

C

Q

C

Q +=

onde Q , 1Q e 2 Q denotam as cargas dos condensadores eq C , 1C e 2 C . Dado que 1C e 2 C

são percorridos pela mesma corrente durante a carga (no estado estacionário não passa

corrente através dos condensadores) tem-se Q Q Q 2 1 == , e vem

2 1eq C

1

C

1

C

1+=

Considerando o mesmo problema para condensadores em paralelo

Figura 5.18

Neste caso, tem que ser2

2

1

1

C

Q

C

Q

C

Q == , que é a tensão V entre os pontos A e B . Por

outro lado, como na fase de carga a corrente que atravessa o segmento B A se divide entre

os ramos 1 e 2 temos 2 1 Q Q Q += , de modo que vem

2 1 VC VC VC +=

e portanto

2 1 C C C +=

Aplicação: Consideremos o circuito da Figura 5.19.

Figura 5.19

C1

C2

Ce

A BA B

18ΩΩΩΩ

5ΩΩΩΩ

7ΩΩΩΩ 24ΩΩΩΩ

4ΩΩΩΩ 9ΩΩΩΩ 6V

12V



Electricidade 125

Suponhamos que pretendemos determinar a potência consumida por este circuito. Nesse

caso, o mais cómodo é substituir este circuito por outro equivalente e mais simples (tal como

indicado na Figura 5.20).

1257 R2 =+=

6

9

1

18

1

1 R =

+

=

Figura 5.20

ou ainda

8

12

1

24

1

1 R =

+

=

Figura 5.21

e finalmente

Figura 5.22

A corrente que circula no circuito equivalente da Figura 5.22 verifica

06 I 1212 I 6 =−++

6 I 18 −=

24ΩΩΩΩ

4ΩΩΩΩ

R1

6V

12V

R2

R

4ΩΩΩΩ

6V

12V

6ΩΩΩΩ

12ΩΩΩΩ

6V

12V

6ΩΩΩΩ



Capítulo 5126

3

1 I −= A

isto é, a corrente é de A3

1 no sentido contrário ao que arbitramos. Portanto, a potência

dissipada é

W 29

12

9

6 I R I RP 2

2

2

1 =+=+=

Suponhamos que pretendemos mais informação, por exemplo conhecer qual a corrente que

atravessa a resistência de Ω7 .

Consideremos então a malha

Figura 5.23

As leis de Kirchhoff aplicadas a esta malha dizem-nos que

3

1 I I 21 =+

0 I 12 I 2421

=−

portanto A9

2I2 = .

Consideremos agora o circuito representado na Figura 5.24. Este circuito, que se chama

circuito C R , tem como veremos grande importância em termos biológicos.

Figura 5.24

O circuito consiste apenas numa pilha ligada a uma resistência e a um condensador em

série. Suponhamos que inicialmente o condensador está descarregado, e que ambos os

interruptores estão abertos. No instante em que fechamos o interruptor 1 , a d.d.p. aos

7ΩΩΩΩ

24ΩΩΩΩ

5ΩΩΩΩ

I II1

I2

R

C 2

1



Electricidade 127

R

C

-Q+Q

extremos do condensador é nula de modo que o circuito vai ser percorrido por uma corrente

I dada por

R I ε =

onde ε é a d.d.p. da pilha. À medida que o tempo passa, a passagem de corrente vai fazendo

com que se acumule uma carga Q no condensador (positiva no lado esquerdo da placa,

negativa no lado direito) de modo que ao longo da malha temos

0 C

Q R I =−+ ε

Portanto, à medida que o tempo passa, vai aumentado a tensão aos terminais do

condensador, e diminuindo a corrente que atravessa a resistência R . É possível mostrar

que esta evolução temporal é exponencial, com uma constante de tempo C R =τ .

Figura 5.25

Analiticamente, então temos

τ

t

0 e I I

−

= e

−=

−

τ ε t

e1C Q

onde R

I 0

ε = e C R =τ .

Ao fim de um tempo grande quando comparado com τ a corrente que atravessa o circuito

é praticamente nula, e a tensão aos terminais do condensador é praticamente igual a ε .

Suponhamos agora que num dado instante a partir desta situação tornamos a abrir o

interruptor 1 e fechamos depois o interruptor 2 , passando a ter o circuito da Figura 5.26.

Figura 5.26

ε

tt

I V



Capítulo 5128

C

εεεε

R

F F

S

Neste instante, o circuito é percorrido por uma corrente 0 I dada pela 1ª lei de Kirchhoff

aplicada a esta malha

0 R I 0 =−ε

Ao longo do tempo o condensador, que no instante inicial tinha acumulada uma carga

0 Q , vai descarregar-se, e ao mesmo tempo a corrente que percorre o circuito vai diminuir

sendo as respectivas evoluções temporais dadas por

τ

t

0 e Q Q

−

= e τ

t

0 e I I

−

=

Figura 5.27

Ao fim de um tempo grande quando comparado com τ , a corrente que flui no circuito é

desprezável, e o condensador está praticamente descarregado.

Aplicação: Um modelo simples para o funcionamento de um músculo pode ser o do circuito

representado na Figura 5.28: uma pilha de V1 passa a estar ligada mediante a chegada de um

sinal nervoso a um condensador de F10C 12−=

Figura 5.28

Pretende-se:

(a) Calcular a força que as placas do condensador de 212m10− de área exercem uma

sobre a outra.

(b) Sabendo que o condensador se descarrega lentamente através de uma resistência

Ω=8

m 10R (no sistema biológico esta descarga deve-se a perdas de carga através dos

poros da membrana celular), calcular o tempo de descarga e a energia que se converte

em calor neste processo.

tt

Iv



Electricidade 129

(a) A força F que as placas exercem uma sobre a outra é dada por EQF= , onde

C101.10VCQ 1212 −− === é a carga de cada uma das placas e

A2

Q

2E

οο ε=

ε

σ=

é como vimos o campo eléctrico criado por cada uma das placas. Portanto

N10.57A

Q

4

12

A2

QF 3

2

00

2−=

πεπ=

ε=

Com muitos condensadores em paralelo, dado que as capacidades se somam, pode

chegar-se a valores consideráveis para a força.

(b) O tempo de descarga é como vimos da ordem de CR=τ , ou seja da ordem de

s 10 F 10 10 4 12 8 −−=⋅= Ω τ

Quanto à energia dissipada sob a forma de calor, é dada pela energia do condensador

carregado, a qual como vimos é

J10.5.0C

Q

2

1U 12

2−==

Podemos ainda pensar no circuito equivalente de uma porção da membrana de um

neurónio. Vimos já que as membranas celulares não são homogéneas, são formadas por

camadas bilipídicas atravessadas por poros correspondentes a proteínas. Vimos também que

a permitividade eléctrica dos poros e da membrana adiposa são bastante diferentes, sendo a

constante dieléctrica dos poros muito maior que a da camada bilipídica, que se comporta

como um bom dieléctrico. No modelo de condensador plano,d

S C ε = , onde ε é da ordem de

111 m F 10 .5 −− , como resultado das contribuições para a permitividade eléctrica dos diferentes

elementos constituintes da membrana.

Tal como a permitividade eléctrica, também a resistividade é muito diferente para os

poros e para a membrana bilipídica, tendo-se m 10 7 Ω ρ >> para esta e m 10 7

Ω ρ << para os

poros. As duas componentes da membrana celular devem pois ser consideradas

separadamente na construção de um modelo: obtemos assim um circuito equivalente do tipo

do representado na Figura 5.29, para cada porção de membrana. A resistência p R

representa a resistência equivalente às resistências de todos os poros do troço que estamos

a considerar, ligadas em paralelo.

Rm

interiorexterior

Cm



Electricidade 131

5.5. Corrente Alterna

A electricidade é fornecida sob a forma de corrente alterna (corrente ac ), devido às

vantagens práticas daí resultantes.

Vamos considerar agora circuitos em que nos elementos activos (fontes de tensão ou

corrente) o sinal é alterno, e analisar o comportamento específico de cada um dos tipos de

elementos passivos que descrevemos (resistências, condensadores e indutores).

Para uma fonte de tensão alterna, a tensão aos seus terminais será alternadamente

positiva e negativa, dada por

( ) t sen V t v ω = ou ( ) t cos V t v ω =

ou seja, com uma variação do tipo sinusoidal, de frequência angular ω e amplitude (valor

máximo) V . Esta tensão alterna vai produzir no circuito uma corrente instantânea, também

alterna, que passa ora num ora noutro sentido.

Considerando um circuito apenas com uma resistência a corrente é deduzida facilmente

tendo em conta que, no caso de uma resistência, se tem

R

t sen V i

R

v i

ω =⇒=

A corrente que passa no circuito pode ser escrita sob a forma

t sen I t sen R

V i ω ω ==

ou seja é a amplitude da corrente vem dada porR V I = .

Verifica-se neste caso que tanto v como i são proporcionais a t sen ω , sendo portanto

ambas funções periódicas que oscilam com a mesma frequência. Verifica-se ainda que as

duas quantidades estão em fase, uma vez que os zeros e máximos das 2 funções ocorrem no

mesmo instante.

Tal como referimos no caso da corrente continua (corrente dc ) os electrões nas colisões

com os iões vão transferir energia para a rede cristalina, a qual vai aparecer sob a forma de

energia térmica. A potência dissipada neste processo é neste caso é

t sen R I R i P 2 2 2 ω ==

sendo a potência média dissipada na resistência dada por

R I 2

1P 2

m =



Capítulo 5132

Em geral a potência média é expressa em termos do valor eficaz da corrente ef I definido

como a corrente constante que libertará a mesma potência

2 ef m RI P =

Logo

2

I I

2

1t sen I i I 2 2 2 2

ef ==

=

= ω

Definindo da mesma forma o valor eficaz da tensão

2

V V ef =

pode escrever-se

R V I ef

ef =

Os aparelhos de medida medem, em geral, valores eficazes; para a tensão da rede, o valor

de V 220 é o valor da tensão eficaz.

Considerando agora um circuito no qual temos uma fonte de tensão alterna e um

condensador, ter-se-á nos pratos do condensador

t sen V v ω =

e ainda

t sen CV Cv q ω ==

Como

dt

dq i =

temos

+==2

t senCV t cosCV i π

ω ω ω ω

No condensador as duas grandezas tensão e corrente são representadas por funções

sinusoidais que têm a mesma frequência mas que não estão em fase. A corrente está



Electricidade 133

avançada de2

π em relação à tensão (o mínimo para t = 0 da tensão, corresponde a um

máximo para a corrente).

Em geral define-se os fasores, I e V

, que são vectores de módulos dados pelos valores

das amplitudes I e V respectivamente e que rodam com uma velocidade angular ω de tal

modo que os valores instantâneos i e v são representados pela projecção do fasor

respectivo sobre o eixo dos xx .

Figura 5.31

Pode dizer-se que no caso de uma resistência os fasores I e V

estão em fase (Figura

5.31), enquanto que no caso de um condensador, o fasor da corrente esta avançado de 90º

(Figura 5.32).

No caso do condensador escrevemos

+=

+=

2 t sen CV

2 t sen I i

π ω ω

π ω

Figura 5.32

I

V

i

v

ωt

ωtV

I

v

i

(a) (b)

I

V

i

v

ωt

ωtV

I

v

i

(a)(b)



Capítulo 5134

A partir de CV I ω = podemos definir uma quantidade equivalente à resistência de uma

simples componente resistiva. Chama-se reactância capacitiva à quantidade

C

1X c

ω =

tal que

c X

V I = e

c

.ef .ef

X

V I =

Verifica-se assim que a corrente aumenta com a capacidade do condensador ou sempre

que a frequência aumentar.

Considerando agora um circuito que possui apenas um indutor como elemento passivo,

para uma tensão alterna

t sen V v ω =

e uma vez que no caso do indutordt

di L v =

dt

di

L

t sen V =

ω

−=

−=−=

2 t sen I

2 t sen

L

V t cos

L

V i

π ω

π ω

ω ω

ω

ou seja, a corrente está atrasada de 2

π

.

Figura 5.33

I

V

i

v

ωt

(a) (b)

ωtV

I

v

i

ωt



Electricidade 135

Define-se neste caso a reactância indutiva L X tal que

L X L

V

X

V I L

L

ω ω

=⇒==

A resistência e as reactâncias capativa e indutiva são casos particulares de uma grandeza

mais geral, a impedância. São válidas as seguintes regras para a determinação das

impedâncias equivalentes

- associação de impedâncias 1Z e 2 Z em série 2 1equiv Z Z Z +=

- associação de impedâncias 1Z e 2 Z em paralelo2 1equiv Z

1

Z

1

Z

1+=

Para um circuito que inclui os três tipos de elementos passivos (condensador, resistência

e indutor), alimentado por uma fonte de tensão alterna tal que t sen V v ω =

Figura 5.34

podemos dizer que vai haver um desfasamento entre a tensão e a corrente que circula nocircuito, ou seja

( )φ ω −= t sen I i

Figura 5.35

R C

vR

L

vC vL

εεεε

i

v

~

I

V

i

v

ωtφ

(a) (b)

ωtV

Iv

i

ωt-φ



Capítulo 5136

E possível determinar i conhecendo as características dos diferentes elementos. Sabemos

que pela lei das malhas

L C R v v v v ++=

sendo

t sen V t sen IR v R r ω ω ==

t cos V 2

t sen IX v L L L ω π

ω =

+= (tensão avançada em relação a corrente)

t cos V 2

t sen IX v C C C ω π

ω −=

−= (tensão atrasada em relação a corrente)

Representando num diagrama os fasores I , R V

, C V

e L V

Figura 5.36

tem-se

( )2 C L

2 R

2 V V V V −+=

e

( )2 C L

2 R V V V V −+=

( )2

L 2 2

C IX IX R I −+=

( )2 C L

2 X X R I −+=

2 2

C

1L R I

−+=ω

ω

VR

VC

VL

V

IVL+VC

v C

v L

v R

v



Electricidade 137

Verifica-se assim que a quantidade

2 2

C

1L R

−+ω

ω é a impedância do circuito

considerado.

Para um circuito apenas com uma resistência e um condensador a impedância do

circuito será

2 2

C

1R

+ ω e para um circuito apenas com um elemento indutivo e um

elemento resistivo a impedância é ( )2 2 L R ω + .

A variação da impedância com a frequência do sinal ac no caso dos elementos

capacitivos e indutivos leva à possibilidade de alterar o sinal ac de saída, nomeadamente a

possibilidade de atenuar ou eliminar ( )t v .

Considerando o circuito representado (circuito CR ) na Figura 5.37

Figura 5.37

tem-se

( )

2 2

circuito do impedancia 12 entrada C

1

R I IZ V V

+=== ω

e

IR V V 34 saida ==

O quociente

2 2

entrada

saida

12

34

C

1R I

RI

V

V

V

V

+

==

ω

vai ser pequeno para baixas frequências, enquanto que para altas frequências

entrada saida V V ≅

Este circuito fornece então um sinal de saída no qual as baixas frequências são

atenuadas relativamente às frequências elevadas, constitui por isso um filtro chamado

passa-alto.

R

C

42

1 3

~



Capítulo 5138

Pelo contrário, no caso de um circuito RC , do tipo do representado na Figura 5.38 tem-se

Figura 5.38

C

I IX V c saida

ω ==

e

2 2

entrada C

1R I V

+=

ω

logo

2 2

entrada

saida

C

1R

C

1

V

V

+

=

ω

ω

e serão os sinais de alta frequência que serão atenuados, constituindo assim um filtro

passa-baixo.

5.6. Transporte de Iões em Membranas Carregadas

No caso de membranas porosas neutras, os únicos factores que determinam a passagem

de partículas de uma determinada natureza, por exemplo átomos de um determinado

composto em solução, são as diferenças de pressão e de concentração de ambos os lados da

membrana, assim como a permeabilidade da membrana. No caso de membranas carregadas,

como por exemplo as membranas dos neurónios, as substâncias cujos fluxos nos interessa

analisar são iões que se encontram em solução no interior e no exterior da parede celular.

Como existe uma d.d.p. entre o exterior e o interior da membrana, um factor determinante

para este fluxo será o campo eléctrico, que será responsável por um fluxo de iões positivos

do exterior para o interior, e de iões negativos do interior para o exterior.

Na realidade, os efeitos mecânicos devidos às eventuais diferenças de pressão entre o

citoplasma e o fluido extracelular são desprezáveis face aos efeitos da presença de um campo

eléctrico. Portanto, o que há que ter em conta, para além destes efeitos, é apenas a difusão

devida ao gradiente de concentração através da membrana. Dadas as concentrações iónicas

de equilíbrio, no caso do sódio e dos iões negativos (excepto o cloro), tanto a diferença de

concentrações como a diferença de potencial geram fluxos no mesmo sentido, de modo que é

C

42

1 3

~R



Electricidade 139

óbvio que, se a membrana do neurónio em repouso fosse permeável a estes iões, o sódio

fluiria para o interior e os iões negativos para o exterior acabando eventualmente por anular

a d.d.p. de repouso. No caso do potássio e do cloro, a partir das concentrações de equilíbrio

não é imediato saber qual o sentido do fluxo se a membrana fosse permeável.

Vamos examinar esta questão com mais detalhe. Como vimos no capítulo 3 e 4, um

gradiente de concentração de uma dada espécie iónica gera um fluxo 1J dado por

dx

dC T K J 1 µ −=

onde µ é a mobilidade desta espécie iónica através da membrana e C é a sua concentração.

No caso da membrana pode tomar-se

C

dx

dc ∆≅

sendo a espessura da membrana e C ∆ a diferença de concentração entre o exterior e o

interior.

Analogamente, a presença de um campo eléctrico E

gera um fluxo

E J 2 ρµ =

onde ρ é a carga por unidade de volume. Para um ião monopositivo (mononegativo),

eC = ρ ( )eC −= ρ , onde e é a carga do electrão e C a concentração em número de

partículas por unidade de volume. Por outro lado

V

dx dV E ∆−≅−=

de modo que

V C e J 2

∆ µ −=

Os dois fluxos equilibram-se quando 0 J J 2 1 =+ , ou seja

0 dx

dV eC

dx

dC KT =−− µ µ e

C

dC

e

kT dV −=

Integrando entre o interior e o exterior da membrana vem

) C /C log( e

kT V V int ext int ext −=−

Reencontramos assim a equação de Nernst, que nos dá a condição de fluxo nulo (equilíbrio

dinâmico), ou seja, diz-nos qual a d.d.p. que é necessário aplicar para anular o efeito de uma

determinada diferença de concentração.



Magnetismo 141

CAPÍTULO 6.

MAGNETISMO

Vamos a seguir estudar o magnetismo cuja importância, a nível da biologia, tem

aumentado bastante nas últimas décadas, com a possibilidade de detectar sinais

magnéticos de intensidade cada vez menor.

A identificação de sinais magnéticos provenientes do coração, do cérebro e de alguns

músculos agora possível devido ao desenvolvimento tecnológico, assim como a possibilidade

de identificação de alguns estados patológicos através de medidas magnéticas, leva à

necessidade do conhecimento das principais noções associadas à “resposta magnética” de

um sistema (comportamento na presença de um campo magnético) e dos principais

conceitos em magnetismo.

6.1. Introdução

A força magnética é conhecida desde a antiguidade - desde a antiguidade que são

conhecidas substâncias naturais (pedras - “loadstones”) com a particularidade de se

atraírem entre si e de atraírem também bocados de ferro. Estas substâncias, inicialmente

encontradas numa região chamada Magnésia, na Turquia, deram origem às designações de

magnetes e magnetismo que hoje utilizamos.

Sabemos hoje que a força magnética não é uma nova força fundamental; é uma

manifestação da força eléctrica no caso de cargas eléctricas em movimento. A unificação

das duas interacções, só estabelecida no séc. XIX, levou à designação deelectromagnetismo, teoria que engloba já as duas classes de fenómenos.



Capítulo 6142

6.2. Campo Magnético

Vimos que uma carga eléctrica cria um campo eléctrico em seu redor, e que este campo

vai exercer uma força noutras cargas eléctricas nele colocadas.

De um modo semelhante, tanto os magnetes permanentes como as correntes eléctricas

criam um outro tipo de campo, um campo magnético que vai actuar sobre outros magnetes

ou correntes.

Em termos gerais pode dizer-se que existe uma relação estreita entre campos eléctricos e

campos magnéticos: a origem de um campo magnético é uma carga em movimento e o efeito

de um campo magnético é o de exercer uma força sobre outras cargas em movimento nele

colocadas.

Falaremos assim em termos gerais de campos electromagnéticos, que em casos

específicos se reduzem a campos eléctricos ou campos magnéticos puros.

Um magnete (por exemplo uma agulha de bússola) livre de rodar em torno de um eixo

vertical orienta-se sempre do mesmo modo; uma das extremidades aponta para o Norte e

outra para Sul, o que resulta do facto do magnete se comportar como possuindo pólos

magnéticos, em extremidades opostas, um pólo Norte e um pólo Sul. Tal como no caso das

cargas eléctricas, vamos ter também repulsão e atracção, respectivamente entre pólos do

mesmo tipo e de tipos diferentes. Vamos ter então uma interacção entre pólos magnéticos

que é semelhante à interacção entre cargas eléctricas, embora no caso magnético as

entidades reais sejam dipolos magnéticos, uma vez que os pólos N e S não existem

separados. Na realidade, cortando um magnete ao meio obtêm-se dois novos magnetes que

se comportam de novo como constituídos por um pólo Norte e um pólo Sul. Não existem

portanto monopolos magnéticos.

Tal como no caso eléctrico é possível interpretar a força magnética como consequência da

existência de um campo magnético, também vectorial, que designaremos por B

, o qual

como qualquer campo vectorial pode ser caracterizado pelas linhas de força, definidas de

tal maneira que o campo B

num dado ponto é dirigido segundo a tangente à linha de força

nesse ponto e tem uma intensidade que é proporcional à densidade de linhas de força que

atravessam uma secção transversal.

O campo magnético em torno de um magnete (dipolo magnético) é tal que as linhas deforça são idênticas às linhas de força do campo eléctrico criado por um dipolo eléctrico.



Magnetismo 143

Figura 6.1

Poderíamos definir o campo magnético de uma forma análoga à que utilizámos para o

campo eléctrico, através da força que um magnete exerceria num pólo norte unitário

colocado nesse ponto. No entanto, essa definição não daria conta da verdadeira natureza

das interacções magnéticas, como veremos no que se segue.

Dissemos atrás que as correntes eléctricas criam um campo magnético e que um campo

magnético actua sobre correntes. De facto, se tivermos um fio condutor rectilíneo no qual

flui uma corrente eléctrica, um magnete (agulha de uma bússola) colocado perto do fio será

deflectido da sua posição N-S, o que indica que há um campo magnético na região em torno

do fio. O campo magnético é tal que se existisse um pólo N livre este mover-se-ia no campo

do mesmo modo que uma carga positiva num campo eléctrico.

Por simetria é fácil verificar que as linhas de campo correspondentes a esta configuração

elementar de corrente são círculos centrados no fio sendo o sentido do campo tal que pode

ser determinado pela chamada regra da mão direita. Veremos que a intensidade do campo

num dado ponto é proporcional à intensidade da corrente que percorre o fio e inversamente

proporcional `distância radial do fio ao ponto considerado.

Figura 6.2

N

S

I



Capítulo 6144

Tal como em electrostática a lei de Gauss relaciona o campo eléctrico com a distribuição

de carga que o gera, em magnetismo é possível deduzir a lei de Ampère, que relaciona o

campo magnético com as correntes eléctricas que o geram.

A lei de Ampère diz-nos que

∑∫ = I d .B 0

c

µ

o que significa que o integral ao longo de qualquer percurso fechado c de d .B (projecção do

vector B

segundo a tangente ao caminho do integral) é proporcional à intensidade total da

corrente que atravessa qualquer superfície delimitada pelo percurso fechado c . A constante

de proporcionalidade 0 µ chama-se a permeabilidade magnética do vazio, e desempenha

neste contexto um papel análogo ao da permitividade eléctrica 0 ε na electrostática. O seu

valor em unidades S.I. é

17 0 TmA 10 .4 −−= π µ

onde o símbolo T representa a unidade S.I. de campo magnético, o Tesla.

Para o caso que referimos anteriormente do campo criado por um fio rectilíneo percorrido

por uma corrente constante I, tal como indicado na figura 6.2, é fácil aplicar a lei de

Ampère. Considerando uma das linhas de campo circulares representadas na figura como

percurso fechado c , tem-se

r 2 B d .B π =∫

dado que B

é tangente em cada ponto à linha c , e pela lei de Ampère

I r 2 B 0 µ π =

o que leva a

r 2

I B 0

π

µ =

A lei de Ampère permite calcular o campo magnético nos casos em que o campo é

uniforme e tem simetria elevada.

No caso genérico, tem-se para o campo criado num ponto P por um pequeno elemento de

fio ∆ , que transporta uma corrente I , um campo magnético B

∆ de módulo

(6.1)

=

2

0

r

sen I

4 B

θ ∆

π

µ ∆



Magnetismo 145

Figura 6.3

que é perpendicular ao plano formado pelo segmento de fio ∆ e pelo vector r

, definido

entre o elemento de fio e o ponto considerado, sendo θ o ângulo entre a direcção de r e a

direcção de ∆ .

O sentido do vector Β ∆

é dado pela regra da mão direita aplicada aos vectores ∆ e r

.

Recordando a definição de produto externo, vemos que a expressão 6.1 se pode escrever na

forma vectorial

(6.2) r r 4

I B

3

0

×= ∆π

µ ∆

que contem toda a informação sobre o módulo, a direcção e o sentido de Β ∆

dada ao longo

deste parágrafo, e que se chama lei de Biot – Savart.

A equação (6.2) permite calcular o campo magnético criado por qualquer configuração de

correntes eléctricas, tendo em conta que o campo magnético total pode ser considerado

como a soma dos campos magnéticos elementares B ∆ .

Aplicando este resultado ao caso simples de um anel circular de raio a , teremos para um

ponto P situado no eixo do anel, os vários elementos de corrente

∆ , que podem ser

definidos todos à mesma distância r de P , criando campos elementares B

∆ que têm a

mesma intensidade e orientações tais que o ângulo, α , que formam com o eixo do anel é o

mesmo para todos eles e verifica

r

a cos =α

Figura 6.4

θ

r

∆ l ∆ B

∆ B P

P’

∆Ir

r’

∆I’

a ∆B

∆B’

∆B+∆B’α

α



Capítulo 6146

Para cada elemento de corrente tem-se

=

2 0

r

sen I

4 B

θ ∆

π

µ ∆

e como neste caso r I ⊥ , 1sen =θ , vem para o valor do campo segundo o eixo do anel

( ) ( ) ( )3

2 0

3 0

3 0

2 0

r 2

Ia a 2

r

Ia

4 r

Ia

4 r

a

r

I

4 cos B B

µ π

π

µ ∆

π

µ ∆

π

µ α ∆ ===

== ∑ ∑∑

O campo tem a direcção do eixo do anel (as componentes perpendiculares ao eixo

cancelam-se aos pares) e é dirigido para fora. Em geral o sentido do campo é dado em função

do sentido da corrente que percorre o anel pela regra da mão direita.

Caracterizando o campo em torno da espira pelas linhas de força respectivas obtém-se

uma configuração que é idêntica à do campo de um magnete (ver Figura 6.5).

Figura 6.5

Uma configuração de corrente que é usada para produzir campos magnéticos no

laboratório é a configuração de fio enrolado em hélice - habitualmente designada por

solenóide. Com esta configuração é possível obter campos razoavelmente uniformes na

região interior do solenóide, desde que o enrolamento seja compacto e uniforme.

Para um solenóide ideal (empilhamento compacto das espiras) infinito ( )d L >> , o campo

no exterior é nulo, e no interior é dirigido segundo o eixo do solenóide, com o sentido

definido pela regra da mão direita, tal como no caso do anel de corrente.

N S



Magnetismo 147

Figura 6.6

Aplicando a lei de Ampère ao percurso fechado 1 2 3 4− − − indicado na Figura 6.7.

Figura 6.7

tem-se, atendendo a que 0 B =

em 3 e que as contribuições dos percursos 2 e 4 se

cancelem mutuamente,

NI B Bd d .B d .B d .B d .B 0

14 2 1

µ ===++= ∫∫ ∫∫∫

onde é o número de espiras que atravessa a área delimitada pelo rectângulo 1 2 3 4− − − ,

e portanto I a corrente total que atravessa essa área. Então

I N

B 0

µ =

e pode dizer-se que para solenóides longos (tais que d L >> ), e sendo o meio no interior do

solenóide o vazio, o campo magnético criado no centro do solenóide é dado por

nI B 0 µ =

ou seja, é o produto da permeabilidade magnética do vazio pelo número de espiras por

unidade de comprimento e pela corrente que as atravessa.

2

3

4

l1



Capítulo 6148

Aplicação: O campo magnético terrestre no polo Norte magnético está dirigido segundo a

vertical de cima para baixo e tem o valor aproximado de G62,0 . Uma das hipóteses que se

considera para a origem do campo magnético terrestre é a de que este seja produzido por uma

corrente eléctrica no núcleo metálico líquido da Terra. Supondo que esta corrente é circular e de

um raio igual ao do núcleo (aproximadamente Km3002 ), determine qual será o seu sentido e a

sua intensidade.

Pelo que acabamos de ver no estudo do campo magnético criado por um anel de corrente, o

sentido da corrente neste núcleo tem que ser o sentido directo (para um observador que olhe

para o plano equatorial da Terra desde o Polo Norte), e a sua intensidade I estar relacionada

com o campo magnético B , o raio da Terra e o raio do anel de corrente a através da equação

B Ia

r= µ0

2

32

Como é

B G T = = × −0 62 0 62 10 4, , , r m≈ ×614 106, e a m≈ ×2 3 106,

temos

A1043I 8×≈

6.3. Força Magnética sobre uma Partícula Carregada

Vimos que o campo magnético pode ser gerado por uma corrente eléctrica. Vamos agora

ver que um campo magnético actua sobre uma partícula carregada em movimento, logo

sobre uma corrente eléctrica (cargas em movimento).

Uma partícula carregada que se desloca num campo magnético é actuada por uma força

(força magnética) que depende da carga, da velocidade da partícula, do campo magnético e

da orientação relativa do campo magnético e da velocidade.

Mais precisamente, para uma partícula de carga q , que se move com uma velocidade v ,

num campo magnético B

, a força magnética que actua sobre a carga, chamada força de

Lorentz, é dada por

(6.3) B v q F ×=

Portanto, a força de Lorentz tem uma direcção que é perpendicular ao plano definido por

v e B

, e para uma carga positiva um sentido que pode ser determinado pela chamada regra

da mão direita (ou do saca-rolhas). Para cargas q + e q − as forças correspondentes têm a

direcção e sentido representados respectivamente em (a) e (b) da Figura 6.8.



Magnetismo 149

a b

Figura 6.8

A equação (6.3) diz-nos também que a intensidade é dada por θ sen qvB F = . A

intensidade da força de Lorentz será máxima e igual a qvB , no caso de v ser perpendicular

a B

( )0 90 =θ , e nula para v paralelo a B

.

A equação (6.3) é em geral utilizada para definir o campo magnético. A unidade do campo

magnético no sistema S.I., o Tesla (T), é definido como o campo magnético tal que a força

magnética que actua uma carga de C 1 que se desloca com uma velocidade de s /m 1

segundo uma direcção perpendicular ao campo magnético é igual a N 1

Am

N .1

s

m C .1

N .1T .1 ==

A unidade cgs correspondente é o Gauss (G), sendo 1G=10-4 T

A partir da definição (6.3) da força de Lorentz, podemos já verificar algumas diferenças

essenciais entre as forças eléctricas e as forças magnéticas:

- a força eléctrica tem a direcção do campo eléctrico e é independente da velocidade da

partícula, a força magnética é perpendicular ao campo magnético e só actua sobre

uma carga em movimento.

- a força eléctrica realiza trabalho sobre a partícula acelerando-a, enquanto que a força

magnética não realiza trabalho (para um campo magnético constante) porque, como F

e v são perpendiculares, tem-se

0 dt v .F s d .F ==

Uma vez que a força magnética não realiza trabalho, a energia cinética de uma partícula

sujeita apenas à acção desta força não é alterada; o valor do módulo do vector velocidade

mantém-se constante, havendo apenas alteração da direcção do vector velocidade. O efeito

do campo magnético vai ser o de alterar a trajectória da partícula carregada.

θv

F

B

v sin θ θv

F

B

v sin θ



Capítulo 6150

Vejamos que a trajectória de uma partícula carregada num campo magnético constante é

uma trajectória circular ou helicoidal.

Consideremos uma partícula de carga positiva que se move num campo magnético com

uma velocidade v que é perpendicular ao campo magnético B

(uniforme), por exemplo tal

como se indica na Figura 6.9.

Figura 6.9

A força magnética vai ser perpendicular a v e B

e tem módulo constante igual a qvB ; à

medida que a força modifica a trajectória da partícula (altera a direcção de v ), F

vai variar

mas o seu módulo mantém-se constante, uma vez que o módulo da velocidade também se

mantém constante; uma tal força - constante em módulo e perpendicular em cada ponto ao

vector velocidade - é uma força centrípeta, levando a partícula a descrever uma trajectória

circular, com velocidade angular constante num plano perpendicular ao campo magnético.

O sentido da rotação é neste caso o sentido dos ponteiros do relógio, e seria contrário para

uma carga negativa. À força centrípeta considerada corresponde uma aceleração centrípeta

r

v 2

tal que

r

mv qvB

2

=

o que implica

qB

mv r =

Verifica-se assim que, para um campo magnético B

constante, no caso em que v é

perpendicular a B

, o raio da trajectória é proporcional ao momento linear da partícula

sendo a velocidade angular ou frequência angular ω independente da velocidade da

partícula e do raio da trajectória e dada por

B v

vv

FF

F



Magnetismo 151

m

qB

r

v ==ω

Este principio é usado num tipo de aceleradores de partículas - ciclotrão - e ω é muitas

vezes designada por frequência do ciclotrão.

Se a velocidade inicial da partícula forma um ângulo arbitrário com B

, a trajectória será

uma hélice. Para um campo dirigido segundo x , tal como indicado na Figura 6.10, a

componente segundo x da velocidade permanece constante ( x v constante), enquanto que

y v e z v vão variar. A projecção da trajectória no plano yz é um círculo. As equações que

escrevemos no caso anterior aplicam-se agora se v for substituído por 2 z

2 y v v v +=⊥ .

Figura 6.10

O efeito conjunto das forças eléctrica e magnética sobre partículas carregadas é utilizado

em diversas aplicações, nomeadamente a nível da espectrografia e espectrometria de massa,

em aceleradores e reactores de partículas e ainda em aplicações que conhecemos de todos os

dias, como a televisão, o osciloscópio, etc. É ainda este efeito que explica alguns fenómenos

naturais conhecidos como a Aurora Boreal (Austral).

Um espectrómetro de massa permite separar iões de acordo com a respectiva razão

q /m , desde que todos os iões entrem com a mesma velocidade v num campo magnético

perpendicular a v , usando o facto de nestas circunstâncias a trajectória dos iões ser

circular.

Uma vez que o raio da trajectória descrita é, neste caso, dado por

qB

mv

r =

sendo v e B constantes, é possível determinar q /m , a partir de r .

Esta técnica é usada, em geral, para separar isótopos de uma dada espécie de iões com a

mesma carga, pelo que a razão das massas é obtida directamente a partir da razão dos

raios.

B



Capítulo 6152

Aplicação: Três espécies de iões mononegativos, oxigénio ( ).a.m.u16 , carbono ( ).a.m.u12 e uma

terceira espécie que se pretende identificar, entram num espectómetro de massa com a mesma

velocidade, e descrevem sob a acção da força magnética uma trajectória semicircular antes de

embater numa placa fotográfica. Sabendo que as manchas na placa fotográfica devidas ao

carbono e ao oxigénio estão separadas de cm25,2 e que os iões do elemento desconhecido

produzem manchas situadas a cm16,1 de distância da mancha do carbono, identifique o

terceiro elemento.

Como vimos, dado que a carga q , a velocidade v e o campo magnético B são todos os

mesmos para as três espécies de iões, a razão entre a massa do ião e o raio da trajectória que

descreve é a mesma para as três espécies, isto é, temos

3

3

2

2

1

1

r

m

r

m

r

m==

Em termos de diâmetro, a equação anterior pode escrever-se, tendo em conta a informação

sobre a distância entre as riscas da placa fotográfica.

25,2d

16

16,1d

m

d

12

111 +=

+=

dado que quanto maior for a massa maior é o raio da trajectória, esta relação contém duas

equações,

25,2d

16

d

12

11 +=

que permite determinar 75,6d1 = , e

16,1d

m

d

12

11 +=

a qual, usando o valor de d1 , dá .a.m.u14m = . O elemento desconhecido é portanto o azoto.

Falámos na trajectória de partículas carregadas em campos magnéticos uniformes. Em

campos magnéticos não uniformes, o movimento é mais complexo. Por exemplo, no caso de

uma distribuição de linhas de campo tal que o campo magnético é mais intenso em dois

pontos extremos, sendo mais fraco na região entre eles tal como representado na figura,

configuração designada, em geral, por garrafa magnética, as partículas carregadas

apresentarão um movimento em espiral, podendo oscilar entre as duas extremidades e ficar

aprisionadas no campo magnético.

B



Magnetismo 153

Figura 6.11

As cinturas de Van Allen, descobertas em 1958, são exemplos de partículas carregadas

(electrões e protões) vindas do Sol ou de outros corpos celestes (raios cósmicos), que ficam

aprisionadas no campo magnético terrestre, oscilando entre os pólos. Perto dos pólos a

energia das partículas pode ser suficiente para que estas se escapem e entrem na atmosfera,

provocando a ionização do ar, que vai emitir radiação visível, originando assim o fenómeno

conhecido como Aurora Boreal (Austral).

6.4. Força Magnética sobre um Condutor Percorrido por uma Corrente Eléctrica

Se um campo magnético actua sobre uma partícula carregada em movimento, deveactuar também sobre um condutor que é percorrido por uma corrente eléctrica.

Consideremos uma porção de fio condutor de comprimento e secção recta A , no qual

passa uma corrente I , colocado num campo magnético B

.

Figura 6.12

Existindo uma corrente eléctrica no condutor, cada carga q move-se com uma velocidade

(designada por velocidade de deriva) d v

. Sobre cada carga q é exercida uma força

B v q F d

×=

A força total na porção de condutor considerado obtém-se multiplicando aquela força pelo

número total de cargas nesta porção de condutor, dado por nA , onde n é o número decargas por unidade de volume; vem então

( )( )

nA B v q F d t ×=

que se pode escrever sob a forma

B I F t

×=

Av

q

I

B

l



Magnetismo 155

r 2

I B 2 0

2 π

µ =

e a força 21F

que o condutor 2 exerce sobre o condutor 1 verifica

12 21 F F

−=

sendo a interacção atractiva.

Se as correntes 1I e 2 I fossem de sentidos diferentes, ambas as forças viriam invertidas e

ter-se-ia uma interacção repulsiva.

O Ampère, unidade de corrente no S.I., é definido em geral a partir da expressão anterior:

é a corrente que percorre dois condutores rectilíneos paralelos e infinitos, situados à

distância de 1m quando a força de interacção entre eles é de m /N 10 2 7 −× .

No caso de um fio de secção recta constante com uma forma arbitrária na presença de

um campo B

, pode dizer-se que a força que se exerce sobre um segmento elementar

d será

dada por

B d I F d

×=

Figura 6.14

sendo a força total na porção de fio considerada igual a

∫ ×=

b

a

B d I F

Para um campo magnético constante, tem-se

( )B I B d I F '

b

a

×=×

=

∫

onde '

é o vector que vai do ponto a ao ponto b . Conhecido este resultado verifica-se de

imediato que para um percurso fechado, isto é, no caso de um anel de corrente, qualquer

que seja a sua forma, se tem

0=×= ∫ Bd I F

l

dl I



Capítulo 6156

Figura 6.15

A força magnética total que se exerce sobre um anel de corrente colocado num campo

magnético uniforme é nula. Isto não significa, como veremos, que não haja efeitos mecânicos

devidos à presença de B

.

6.5. Momento Magnético de um Anel Corrente

Como vimos no Capítulo 2, a condição de equilíbrio para um corpo extenso é que se

anulem tanto a força total como a soma dos momentos das forças em relação a um ponto.

Um corpo sujeito a um binário de forças (resultante nula e momento total não nulo) não está

em equilíbrio, pelo que vai rodar.

Como veremos, a contribuição total dos momentos das forças que se exercem sobre um

anel de corrente devido à presença de um campo magnético é em geral não nula, o que vai

dar origem a um movimento de rotação.

Considere-se o caso simples de um anel rectangular de dimensões a, b, no qual circula

uma corrente I , colocado num campo magnético uniforme B

, cuja direcção é a do plano do

anel (ver Figura 6.16)

Figura 6.16

Teremos que a força nos lados de comprimento a é nula (

d e B

são paralelos),

enquanto nos lados de comprimento b se tem

B d IbB F F 2 1 b b

⊥==

Mas, dado o sentido da corrente I , as forças nos dois lados 1b e 2 b terão sentidoscontrários

2 1 b b F F

−=

dl

I

I B

b

a

OB

Fb

Fb

a



Magnetismo 157

Figura 6.17

Assim, se o anel puder rodar em torno de O , uma vez que os momentos em relação a O

das forças1b F

e

2 b F

têm o mesmo sentido, teremos

IAB IabB 2

a

2

a IbB

2

a F

2

a F M

2 1 b b t ==

+=+=

sendo ab A = a área do anel.

No caso genérico em que B

faz um ângulo θ com a normal ao plano do anel, tem-se

B A I M t

×=

sendo A

um vector de módulo igual à área do anel, dirigido segundo a normal ao plano do

anel, e cujo sentido é definido a partir do sentido da corrente pela regra da mão direita.

Então se 0 M t ≠ , o anel roda no campo magnético B

até atingir a posição de equilíbrio

dada por 0 M t = o que ocorre quando o campo B

é perpendicular ao plano do anel dado

que nesse caso A

e B

são paralelos.

Define-se, em geral, o momento magnético de um anel de corrente relativamente ao eixo

do anel, como o vector

) m .A ( A I 2

= µ

Com esta definição de momento magnético pode-se generalizar o que foi demonstrado,

dizendo que um anel de corrente (qualquer que seja a sua forma) de momento magnético µ

,

num campo magnético uniforme B

, fica sujeito a um binário cujo momento em relação ao

eixo é dado por

B M

×= µ

Este resultado é análogo ao que obtivemos para um dipólo eléctrico num campo eléctrico

E

, onde E p

×=τ .

A rotação de um anel de corrente num campo magnético é um efeito equivalente à

rotação de uma agulha de bússola (magnete) num campo magnético. Para uma bobina de

voltas teremos um efeito idêntico, agora com um momento igual a versus o momento

correspondente a cada anel (1 volta).



Capítulo 6158

Vários aparelhos de medida (amperímetros, voltímetros) aplicam directamente este

efeito - uma bobina móvel vai rodar no campo magnético de um magnete fixo, quando

percorrida pela corrente que se quer medir, sendo o movimento respectivo indicado numa

escala (calibrada) por um ponteiro solidário com a bobina.

Os motores eléctricos aplicam também este efeito: o movimento é obtido através domovimento de um anel de corrente; neste caso a corrente é sucessivamente invertida, cada

vez que o anel atinge a posição de equilíbrio.

Sabemos agora que um anel de corrente, qualquer que seja a sua forma, gera um campo

magnético e tem um momento magnético A I

= µ associado, cuja direcção é perpendicular ao

plano do anel. Sob a acção de um campo magnético exterior B

, o anel (o momento

magnético) vai ter tendência a rodar para a posição correspondente a µ

paralelo a B

, de

uma forma análoga ao que acontece no caso de um dipólo eléctrico quando colocado num

campo eléctrico.

De uma forma idêntica ao que mostrámos no caso do dipólo eléctrico, pode mostrar-se

que a energia de interacção de um momento magnético com o campo magnético exterior é

dada por

B .U

µ −=

6.6. Indução Magnética

Vamos ver que assim como um movimento de partículas carregadas leva ao aparecimento

de um campo magnético, também um campo magnético variável leva ao aparecimento de um

campo eléctrico.

O cientista inglês M. Faraday evidenciou experimentalmente em 1831, a possibilidade de

induzir uma corrente eléctrica num circuito eléctrico não ligado a uma bateria, a partir de

um campo magnético que varia no tempo.

A variação do campo magnético obtida quer a partir de um movimento relativo entre o

circuito e um magnete, quer a partir de um campo magnético variável (passagem de corrente

variável num solenóide), induz no circuito uma f.e.m. (tal como se este estivesse ligado a

uma bateria) que leva ao aparecimento de uma corrente eléctrica induzida.

Para analisar este efeito de uma forma quantitativa, é necessário considerar a quantidade

fluxo magnético (através de uma determinada superfície S ), que é proporcional à densidade

das linhas de força que atravessam a superfície considerada, e é dado por

∫∫ ==

S S

m dS cos B dS n .B θ φ



Magnetismo 159

Note-se a analogia entre este conceito e o de fluxo do campo eléctrico através de uma

superfície, introduzido no capítulo 5 a propósito da lei de Gauss da electrostática. No caso

de B

ser constante e da superfície ser plana (n

constante), a expressão anterior reduz-se a

A cos B ds cos B

S

m θ θ φ == ∫

onde A é a área da superfície plana S . No caso particular de B

ser perpendicular a S a

equação anterior fica apenas

BA m =φ

A lei de Faraday da indução, que traduz o fenómeno que referimos atrás, estabelece que

a f.e.m. induzida no circuito é igual à taxa de variação do fluxo magnético através do circuito

considerado.

De facto, tem-se

(6.4) ∫−=−=

A

m dS n .B dt

d

dt

d φ ε

em quedt

d e m φ

ε têm sinal contrário uma vez que a f.e.m. induzida tem uma polaridade tal

que tende a produzir uma corrente cujo fluxo magnético se opõe à variação de fluxo

considerada. Ao enunciado contido na equação (6.4), que completa a lei de Faraday

determinando a polaridade da f.e.m. induzida, chama-se lei de Lenz. Verifica-se então que

se obtém uma força electromotriz sempre que:

1) A intensidade do campo magnético varia no tempo.

2) O ângulo entre as linhas de força do campo e o plano do circuito varia.

3) A área do circuito varia.

Como consequências do fenómeno da indução electromagnética podemos ter o efeito de

auto-indução, que consiste no aparecimento de correntes induzidas num condutor que é

percorrido por uma corrente variável no tempo, ou o efeito de indução (mútua), que consiste

no aparecimento de uma f.e.m. num circuito que está próximo de outro que é percorrido por

uma corrente variável. De um modo geral, num condutor teremos correntes eléctricas

induzidas (correntes de Foucault) sempre que houver variação do fluxo magnético.

Define-se a indutância L , que nos dá uma medida da oposição à variação da corrente,

como



Capítulo 6160

L di

dt

= − ε

A unidade da indutância no S.I. é o Henry, H , eA

s .V .1H .1 = .

Para um indutor (solenóide) de geometria fixa com voltas, tem-se

(6.5) ε φ

= − = −Nd

dtL

di

dtm

onde m φ é o fluxo magnético através de um espira. Recuperamos assim o que dissemos

quando estudámos os circuitos eléctricos: num indutor a relação entre a tensão e a corrente

é dada pordt

di L V = .

A electricidade comercial é gerada com base na indução magnética. Um gerador ac

transforma energia mecânica em energia eléctrica; a f.e.m. é obtida a partir de uma bobina

( anéis) que roda num campo magnético estático.

No transporte de energia eléctrica a grandes distâncias, é importante para limitar as

perdas usar alta tensão e baixa corrente. Por outro lado, por razões de segurança e eficácia,

na estação receptora pretende-se baixa tensão e corrente elevada. A conversão de um tipo de

sinal no outro faz-se utilizando transformadores. Um transformador é constituído no

essencial por duas bobinas, chamadas primária e secundária, com um número de espirasdiferente, enroladas em ferro macio. A bobine primária de p N espiras é a que recebe a

tensão ( )t V p de amplitude p V que se pretende transformar. A bobine secundária de s N espiras é aquela aos terminais da qual se vai buscar a tensão transformada ( )V ts de

amplitude s V . O papel do núcleo de ferro é o de garantir que o fluxo do campo magnético

através de cada uma das espiras da bobine primária ou da secundária é aproximadamente o

mesmo. Temos então, aplicando a equação (6.5) à bobine primária

(6.6) ( )dt

d N

dt

di L t V m

p p

φ ==

enquanto que a mesma equação para a bobine secundária fica

(6.7) ( )dt

d N t V m

s s

φ =

Das equações (6.6) e (6.7) vem para a relação entre as amplitudes

p p

s s V

N

N V =



Magnetismo 161

Portanto, para1 p s N N > temos p s V V > (função de step-up utilizada nas estações

distribuidoras), e para1 p s N N < temos p s V V < (função de step-down utilizada nas estações

receptoras).

Alguns dos sistemas de travagem em metropolitanos ou carros rápidos, assim como

algumas balanças mecânicas, usam o efeito de geração de correntes eléctricas em metais,designadas por correntes de Foucault, obtidas por variação do fluxo magnético.

No entanto, as correntes de Foucault representam, de um modo geral, perdas de energia,

uma vez que dissipam energia sob a forma de calor. É possível reduzir este efeito, quando

indesejável, reduzindo a quantidade de massa metálica de todas as peças que se tenham de

mover em campos magnéticos.

Com a lei de Faraday completamos o nosso resumo sobre as leis e conceitos

fundamentais do electromagnetismo. Toda a teoria do electromagnetismo está contida num

conjunto de 4 equações - as equações de Maxwell. Estas equações constituem uma descrição

completa das interacções entre partículas carregadas e relacionam os campos eléctricos e

magnéticos entre si e com a sua origem, as cargas eléctricas. Esta relação entre campos

eléctricos e magnéticos traduz-se em:

l) uma carga estacionária gera um campo eléctrico;

2) uma corrente estacionária gera um campo magnético;

3) um campo eléctrico variável gera um campo magnético;

4) um campo magnético variável gera um campo eléctrico;

5) um campo eléctrico e um campo magnético variáveis, em simultâneo, produzem uma

onda electromagnética.

6.7. Comportamento Magnético dos Materiais

Vamos ver que o comportamento magnético dos materiais resulta da existência de

correntes microscópicas, isto é, correntes atómicas internas devidas ao movimento dos

electrões nos átomos e dos protões no núcleo.

O modo como os momentos magnéticos correspondentes a essas correntes interagem

entre si e com um campo magnético externo determina o comportamento magnético do

material, isto é, o modo como o material "responde” a um campo magnético. De uma forma

geral, do ponto de vista da resposta magnética, os materiais dividem-se em materiais

diamagnéticos, paramagnéticos e ferromagnéticos. Para entendermos esta resposta

magnética vejamos primeiro como aparecem os momentos magnéticos dos átomos.



Capítulo 6162

Suponhamos um átomo no qual, segundo um modelo clássico (podemos utilizar um tal

modelo uma vez que as previsões neste caso estão em bom acordo com a teoria quântica), os

electrões descrevem orbitas circulares em torno do núcleo.

Um electrão que se move com velocidade constante numa orbita circular de raio r terá

uma velocidade dada porT

r 2 v π = , em que T é o período do movimento de revolução. Este

movimento, movimento orbital, será equivalente a um anel de corrente, com um momento

magnético associado - momento magnético orbital - cujo módulo é dado por

2

r ev r

r 2

ev A i 2 === π

π µ

Figura 6.18

onde e é a carga do electrão, uma vez que

r 2

ev

v

r 2

e

T

q i π π ===

Atendendo a que o momento angular correspondente ao movimento do electrão na orbita

de raio r , momento angular orbital L , é dado em módulo por

r v m L =

verifica-se que o módulo do momento magnético orbital do electrão L m 2

e = µ é proporcional

ao módulo do seu momento angular orbital.

Os vectores µ

e L têm a mesma direcção (perpendicular ao plano da orbita) e sentidos

opostos, no caso do electrão, dado que a um movimento de rotação directo (retrógrado)

corresponde a uma corrente eléctrica que circula no sentido retrógrado (directo). Portanto,

podemos escrever

vµ

L

r



Magnetismo 163

L m 2

e −= µ

A quantificação do momento angular orbital ( ...2 ,1,0 n ,2

h n L ==

π onde h é a constante

de Planck), que conhecemos da física quântica, leva-nos a concluir que o menor valor nãonulo do momento magnético orbital é

m 2

e = µ

ondeπ 2

h =

Esta quantidade m 2

e , habitualmente designada por magnetão de Bohr, é usada em

geral como unidade para o momento magnético.

Além do momento orbital, o electrão tem ainda uma propriedade intrínseca que contribui

também para o momento magnético - o spin. Ainda no quadro de uma descrição clássica, o

electrão pode ser encarado como uma esfera carregada que gira em torno do seu próprio eixo

ao longo do seu movimento em tomo do núcleo. A este movimento corresponderá uma

corrente e um momento magnético, momento magnético de spin, que para um electrão é

B m 2

e µ µ ==

O momento magnético total para o electrão será então dado pela soma dos momentos

magnético orbital e de spin.

Associado ao movimento dos protões e dos neutrões existe também um momento

magnético nuclear. O valor respectivo é, no entanto, cerca de três ordens de grandeza

inferior ao do electrão e é, em geral, desprezado perante aquele. Portanto, o momento

magnético total de um átomo será dado pela soma vectorial dos momentos magnéticos

orbitais e de spin dos vários electrões.

Na maior parte das substâncias, o momento magnético orbital total dos átomos é nulo (ou

muito pequeno), uma vez que o momento magnético orbital de cada electrão é cancelado pelo

momento magnético orbital de outro electrão que descreve a mesma órbita em sentidocontrário. Por outro lado, os electrões emparelham-se com spins (momento angular de spin)

opostos o que resulta também num cancelamento dos respectivos momentos magnéticos de

spin dois a dois.

No entanto, nos átomos com um número ímpar de electrões há no mínimo um electrão

desemparelhado e o momento magnético do átomo será o momento magnético desse

electrão.



Capítulo 6164

Vemos então que só átomos com camadas incompletas e electrões desemparelhados

possuem momento magnético. Podemos esperar que elementos como os elementos de

transição tenham momentos magnéticos elevados uma vez que possuem camadas internas

incompletas.

Considerando então uma substância cujos átomos possuem momento magnético,vejamos de que modo se traduz o efeito da aplicação de um campo magnético.

A grandeza a partir da qual definimos o estado magnético de uma substância é uma

grandeza vectorial, designada por magnetização

, definida como o momento magnético

por unidade de volume.

Se tivermos uma dada substância magnética (cujos átomos possuem momento

magnético) e se aplicarmos a essa substância um campo magnético externo 0 B

, o campo

magnético no interior da substância vai ser

m 0 B B B

+=

em que m B

, o campo produzido pela própria substância magnética, é dado por

M B 0 m

µ =

Tem-se então

M B B 0 0

µ +=

que se escreve normalmente como

) M H ( B 0

+= µ

usando um novo vector H

, designado por intensidade do campo magnético, definido por

M B

H 0

−=

µ

Define-se este vector porque enquanto que o campo magnético ou indução magnética B

depende do meio, o vector intensidade do campo magnético H

só depende do campo exterior

aplicado, ou seja, das chamadas correntes livres.

Na realidade, se considerarmos o campo magnético no interior de um solenóide percorrido

por uma corrente I , tem-se, no caso em que o meio no interior é vácuo

H B B 0 0

µ ==

logo



Capítulo 6166

Para a maior parte das substâncias, substâncias paramagnéticas e diamagnéticas, o

efeito relativamente à modificação do campo magnético não é muito importante ( 0 m µ µ ≈ ), o

que não acontece para as substâncias ferromagnéticas. No caso das substâncias

paramagnéticas e diamagnéticas a susceptibilidade é pequena, positiva no caso das

primeiras e negativa para as segundas, enquanto que para as substâncias ferromagnéticas é

muito elevado, o que traduz a importância do efeito do campo sobre a estrutura interna do

material.

O efeito verificado para o campo magnético no interior do solenóide corresponde ao efeito

do campo sobre a estrutura interna e as propriedades físicas do material; m µ está

relacionada com a susceptibilidade magnética que por sua vez é a constante de

proporcionalidade entre o campo aplicado e a magnetização. No que se segue vamos analisar

esta relação nos três diferentes tipos de material.

6.7.1. Diamagnetismo

Sendo o comportamento magnético das substâncias determinado pela interacção entre os

momentos magnéticos da substância e o campo magnético exterior, em princípio, espera-se

que, no caso de substâncias cujos átomos não possuam electrões desemparelhados, a

aplicação de um campo magnético exterior não dê origem a uma resposta magnética. No

entanto verifica-se que existe um efeito residual consequência do fenómeno de indução

magnética - a variação de um campo magnético aplicado a um circuito induz num condutor

o aparecimento de uma corrente num sentido tal que o campo magnético correspondente se

opõe à variação inicial.

Assim, para um átomo que não possui momento magnético, a aplicação de um campo

magnético leva ao aparecimento de um momento magnético na direcção contrária à do

campo aplicado. Este efeito existe para todo o tipo de átomos, sendo o único efeito do campo

exterior no caso de átomos com camadas completas.

6.7.2. Paramagnetismo e Ferromagnetismo

Para substâncias constituídas por átomos com camadas incompletas, que possuem

momentos magnéticos permanentes, a aplicação de um campo magnético leva os momentos

magnéticos a alinharem-se com o campo exterior. O efeito residual que referimos no

parágrafo anterior, existe evidentemente também neste caso, mas é desprezável perante o

alinhamento dos momentos magnéticos permanentes dos átomos da substância.

Existe assim um efeito de alinhamento com o campo que é obviamente contrariado pela

agitação térmica, ou seja, num material paramagnético

MB

T ∝



Magnetismo 167

onde T é a temperatura absoluta. O alinhamento verificado, que se traduz no valor de ,

resulta de uma “competição" entre o campo magnético e a temperatura, competição que,

como se deduz do que vimos no capítulo 4, é “arbitrada” pelo factor de Bollzmann para estes

sistemas

kT

B.

e

µ −

Num material ferromagnético, verifica-se que a aplicação de um campo relativamente

fraco leva a valores importantes de magnetização. Este facto traduz a existência (mesmo na

ausência de um campo aplicado) de uma interacção entre os electrões responsáveis pelos

momentos magnéticos atómicos, interacção que tende a alinhar os momentos uns em

relação aos outros. A acção do campo magnético vai ser a de alinhar momentos que já se

encontram alinhados entre si. Tem-se um efeito cooperativo que leva a que a resposta

magnética seja muito mais importante.

Devido às características da sua estrutura interna, estes materiais mantêm a orientação

preferencial dos momentos mesmo depois de retirado o campo magnético exterior, o que leva

à sua utilização como magnetes permanentes, pois eles próprios geram um campo

magnético depois de previamente magnetizados.

6.8. Biomagnetismo

Referimos que a aplicação à biologia dos conceitos ligados ao magnetismo se desenvolveu

muito nos últimos anos, em particular, devido à evolução da tecnologia que permite hoje em

dia a detecção de sinais magnéticos (campos magnéticos, magnetizações ou

susceptibilidades magnéticas) muito fracos, do tipo dos associados aos sistemas biológicos.

É possível assim hoje em dia estudar a actividade do coração ou do cérebro a partir da

análise dos campos magnéticos resultantes da actividade eléctrica respectiva, técnicas

habitualmente designadas por magnetocardiografia ou magnetoencefalografia, respectiva-

mente.

A informação obtida a partir destas técnicas é do tipo da obtida a partir das técnicas

baseadas na análise directa da actividade eléctrica, electrocardiografia ou electroence-

falografia, apresentando como vantagem fundamental o facto de serem técnicas não

invasivas. Por outro lado, as técnicas magnéticas permitem a detecção de correntes que

variam muito lentamente no tempo, as quais estão em geral associadas a um

comportamento característico patológico das células. No caso das técnicas de electrografia, a

medida tem que ser insensível a pequenas variações no tempo de modo a eliminar os efeitos

dos potenciais parasitas que aparecem entre os eléctrodos e a pele.



Capítulo 6168

Vimos que o campo magnético numa região do espaço é alterado a partir da matéria: uma

substância diamagnética diminui o valor do campo no interior de um solenóide, enquanto

que uma substância ferromagnética aumenta esse valor.

Algumas medidas magnéticas biológicas baseiam-se na análise das alterações do campo

magnético provocado por um órgão. No caso dos mineiros, é possível estimar a quantidadede poeiras inaladas a partir da chamada magnetopneumografia. Um tipo comum de poeira

inalada pelos mineiros é a magnetite, substância com um comportamento do tipo

ferromagnético; a aplicação de um campo magnético à região do tórax permite alinhar as

partículas inaladas, alinhamento que se mantém em seguida quando o campo é retirado, e

que pode ser quantificado a partir da determinação do campo magnético que por sua vez

origina.

É possível também estimar a quantidade de ferro no organismo a partir de medidas de

susceptibilidade magnética. Uma vez que cerca de um quarto do ferro total no organismo

(3-4g) está armazenado no fígado, e que a susceptibilidade magnética do fígado é proporcio-

nal à quantidade de ferro aí existente, é possível detectar alterações relativamente à quanti-

dade média de ferro (hemocromatose ou hemosiderose) a partir da técnica de susceptometria

magnética.

6.9. Orientação de Organismos

Os conceitos de magnetismo são também importantes quando se considera a orientação

de organismos. Há evidência de que alguns organismos têm processos de orientação que se

baseiam na interacção com campos magnéticos; o estudo destes processos leva portanto à

aplicação das noções que apresentámos relativas à resposta das substâncias a campos

magnéticos.

É possível referir por exemplo, a existência de diferentes tipos de bactérias que possuem

pequenas partículas ferromagnéticas (cristais de magnetite) designadas por magnetossomas.

Estas bactérias (bactérias magnetotácteis), possuindo no seu interior partículas com uma

forte resposta a um campo magnético, vão ter tendência a orientar-se, como um íman, de

acordo com qualquer campo magnético exterior; este facto é verificado no laboratório, sendo

possível constatar que a aplicação de um campo magnético leva a um movimento muito

rápido das bactérias ( )s /m 100 µ .

Como qualquer organismo à superfície da terra, estas bactérias estão sujeitas ao campo

magnético terrestre ( G 7 ,0 T 10 7 5 =×

− ) sofrendo, pela sua constituição, uma influência

importante (tal como uma agulha de bússola), ao contrário da maior parte dos organismos.

Na realidade, as bactérias magnetotácteis, vão se deslocar de acordo com a polaridade dos

magnetossomas respectivos relativamente ao campo magnético terrestre. Sabe-se por

exemplo que no hemisfério Norte estas bactérias se vão deslocar procurando o Norte; em



Magnetismo 169

princípio não parece haver nenhuma vantagem evidente neste movimento mas, sabendo que

estas bactérias vivem em meios com baixo teor em oxigénio, e que o campo magnético

terrestre tem no polo Norte uma inclinação para o interior, entende-se que o movimento

segundo a direcção do campo tem como função levar a bactéria a regiões de baixo teor de

oxigénio; depois de uma perturbação qualquer, este mecanismo de alinhamento tenderá a

levar a bactéria de novo às condições favoráveis. A confirmação desta hipótese reside no

facto de se verificar uma inversão de polaridade magnética (orientação das partículas de

magnetite) no caso das bactérias que vivem no pólo Sul onde o campo magnético terrestre é

dirigido para a superfície. A polaridade invertida leva, neste caso, as bactérias a deslocarem-

se para Sul e mais uma vez para o interior. Em princípio, quando as células destas bactérias

se dividem cada célula filha recebe um cromossoma magnético, mantendo assim a

orientação da célula mãe; ocasionalmente isto pode não acontecer.

Como referimos, a população no hemisfério Norte tenderá a dirigir-se para Norte

enquanto que no hemisfério Sul, a população maioritária terá uma orientação segundo opólo Sul. No entanto, em qualquer dos hemisférios deverá existir uma população minoritária

de bactérias com orientação contrária à definida, população essa que, não estando adaptada

às condições de sobrevivência, tenderá a desaparecer em condições de estabilidade do campo

magnético. Pelo contrário, perante inversões do campo magnético terrestre esta população

minoritária tornar-se-á na população dominante, facto que constitui um dado importante na

análise das possíveis inversões do campo magnético terrestre. (Há evidência de pelo menos

uma inversão do campo magnético terrestre e de que há 500 milhões de anos o pólo Norte

magnético poderia estar situado próximo do Hawai).

Tal como no caso das bactérias magnetotácteis existem também algas que contêm um

número elevado ( ≅ 3000 ) de partículas magnéticas.

Pode referir-se ainda que tanto no caso das abelhas, como no caso dos pombos correios e

de alguns peixes, foram também encontradas na sua constituição partículas magnéticas do

tipo da magnetite. No caso das abelhas pode detectar-se no corpo um momento magnético

transversal, enquanto que nos pombos a magnetite está localizada na cabeça.

A função destas partículas magnéticas não está ainda completamente esclarecida,

embora se tenha especulado bastante sobre a possibilidade de a navegação, no caso das

aves migratórias, ser feita com base no campo magnético terrestre. No laboratório háevidência do efeito da aplicação de um campo magnético; no entanto a variedade de

informação que as aves migratórias utilizam (ventos, posição das estrelas, luz) torna difícil a

definição clara do papel do campo magnético terrestre.



Ondas 171

CAPÍTULO 7.

ONDAS

7.1. Movimento Harmónico Simples - MHS

O movimento harmónico simples (MHS), de que já falámos no Capítulo 2, é um caso

particular de um movimento periódico, que se repete no tempo sempre com as mesmas

características. Vários exemplos do dia a dia podem, em primeira ordem de aproximação, ser

descritos por movimentos harmónicos simples. É o caso do movimento de um ponto de uma

corda de violino que se afaste da sua posição de equilíbrio, do movimento oscilatório de uma

mola, do movimento do pêndulo de um relógio de corda, ou do movimento de um baloiço. Ao

nível microscópico também encontramos exemplos de movimentos harmónicos simples—um

exemplo entre muitos é o das vibrações de uma molécula de um sólido em torno da sua

posição de equilíbrio.

- Movimento de uma mola horizontal: Oscilador harmónico ideal

Quando afastamos uma mola da sua posição de equilíbrio, a mola por si só tenderá a

voltar a essa posição, dando início a um movimento oscilatório que pode ser descrito como

um MHS, na situação ideal em que não haja atrito. Isto deve-se à acção de uma força cuja

intensidade é proporcional ao afastamento da posição de equilíbrio. Se x for o afastamento

da posição de equilíbrio, então kx F −= , onde k é uma constante que representa as

características da mola, e o sinal negativo traduz o facto de o sentido da força ser oposto ao

do deslocamento.

A segunda lei de Newton amF

= assume, neste caso, a forma

kx dt

x d m ma

2

2

−==

ou ainda



Capítulo 7172

(7.1) 0 m

kx

dt

x d 2

2

=+

A teoria das equações diferenciais ordinárias permite integrar a equação anterior e outras

muito mais complicadas. A equação anterior é uma equação diferencial linear de segunda

ordem. Mas mesmo sem sabermos como integrá-la é fácil verificar que a função seno ou afunção cosseno são soluções da equação anterior. Com efeito, a segunda derivada do seno

em ordem ao tempo é proporcional ao próprio seno.

Verifiquemos então que a função ( ) t sen A t x = é solução da equação considerada

t sen A x ω =

t cos A dt

dx ω ω =

t sen A dt

x d 2

2

2

ω ω −=

(7.2) 0 x dt

x d 2

2

2

=+ω

Comparando (7.2) e (7.1), é imediato concluir que ( ) t sen A t x ω = é solução da equação

(7.1) desde que se tenha

m

k 2 =ω

O mesmo raciocínio permitiria verificar que ( ) t cos A t x ω = é também solução da equação.

No entanto, as soluções consideradas não são soluções completamente gerais; na realidade

( ) t cos A t x ω = não será solução no caso em que se considera para 0 t = , 0 x = , do mesmo

modo que ( ) t sin A t x ω = não é solução no caso em que se considera para 0 t = , 0 x ≠ .

Portanto, cada uma das soluções encontradas não pode, por si só, descrever o MHS a

partir de uma posição inicial arbitrária. Mas é fácil ver que qualquer combinação linear

daquelas duas soluções é ainda solução de (7.1), de modo que a solução geral da equação

(7.1) será uma função da forma

( ) t sen b t cos a t x ω ω +=

Fazendo ϕ sen A a = e ϕ cos A b = , podemos escrever a solução anterior na forma

( ) ( )ϕ ω += t sen A t x



Capítulo 7174

=+

= 2

2

kx 2

1

dt

dx m

2

1E

( ) ( ) =+++ ϕ ω ϕ ω ω t sen A 2

k t cos A

2

m 2 2 2 2 2

=2 kA 2

1constante

Para um oscilador real, em que existe uma força de atrito proporcional à velocidade do

oscilador que se opõe ao movimento, há energia que é dissipada e consequentemente uma

diminuição progressiva da amplitude.

A equação do movimento escreve-se neste caso

(7.3)

dt

dx kx

dt

x d m

2

2

α −=+

Comparando com (7.1), vemos que temos agora um termo adicional no segundo membro,

que corresponde a uma força de atrito v F a α −= , proporcional à velocidade e que se opõe ao

movimento. A equação (7.3) pode escrever-se na forma

(7.4) 0 x dt

dx 2

dt

x d 2

2

2

=++ ω λ

onde o coeficiente m 2

α λ = se chama coeficiente de amortecimento. A integração da equação

(7.4) permite concluir que há dois regimes diferentes, correspondentes aos dois tipos de

soluções representados na Figura 7.1.

No caso do atrito ser pequeno ( )022 >− λ ω o atrito modifica ligeiramente a frequência de

vibração; o movimento continua a ser oscilatório mas vai sendo amortecido. Os movimentos

das asas de certos insectos, dípteros e himenópteros, podem ser descritos supondo que as

asas actuam como um oscilador ligeiramente amortecido.

No caso do atrito ser importante ( )022 <− λ ω o atrito destroi as oscilações.

Figura 7.1

sobreamortecido

subamortecido

Criticamente

amortecido

tempo



Ondas 175

- Oscilador sujeito a uma força exterior: ressonância

Verificámos que nos movimentos oscilatórios a equação do movimento faz intervir uma

quantidade 2 ω que é característica do sistema em causa. No caso da mola tem-sem

k 2 =ω .

Até aqui não nos preocupámos em saber qual era a força responsável por iniciar omovimento oscilatório (cujo efeito se faz sentir apenas na determinação das condições

iniciais, posição e velocidade, do problema), e estivemos apenas interessados em estudar as

características desse movimento no caso em que a mola é deixada livre a partir do instante

inicial.

Suponhamos agora que aplicamos uma força exterior ao sistema e suponhamos que essa

força é sinusoidal (esta particularização não é limitativa na medida em que qualquer

excitação se pode escrever como uma sobreposição de funções sinusoidais através do

recurso à análise de Fourier). Seja então uma força exterior da forma t sen F F 10 ω = . Neste

caso a massa é “forçada” a oscilar com uma frequência 1ω que não é a frequência natural dosistema, ω . Em geral, o movimento da partícula e a força exterior estão desfasados, e o

trabalho realizado pela força exterior que é a energia transferida para a vibração, pode ser

positivo ou negativo consoante o intervalo de tempo que se considerar. A energia de vibração

vai então depender da diferença entre ω e 1ω e é tanto maior quanto menor for essa

diferença, isto é, quanto mais próxima da frequência natural do sistema for a frequência da

força exterior aplicada. Estes sistemas têm assim uma capacidade selectiva de absorção de

energia para frequências próximas da sua frequência própria. A este fenómeno chama-se

ressonância e manifesta-se em situações físicas muito diversas.

Aplicação 1: Numa telefonia sintonizada para um determinado posto emissor, o sinal

transmitido pelo circuito receptor tem maior amplitude para a frequência em que o posto emite,

dando então origem a sons com maior intensidade. Isto consegue-se usando circuitos que são

análogos eléctricos do sistema mecânico formado por uma mola com atrito, isto é, circuitos cujo

comportamento é regido por uma equação da forma (7.4), onde a variável ( )x t representa agora

a tensão aos terminais do circuito.

Pelo contrário, ao construir um edifício ou uma ponte, interessa “dessintonizá-lo” das

frequências típicas dos sismos, ou doutros movimentos periódicos. Por exemplo a ponte de

Tacoma, ruiu em 1940 devido aos ventos que induziram oscilações verticais com frequência

próxima de frequências próprias da estrutura. Em França, em 1850, uma ponte suspensa

colapsou devido à passagem de uma coluna militar em formatura.

Aplicação 2: Os otólitos, órgãos auditivos de que são dotados alguns animais e que permitem

captar as ondas sonoras, podem ser representados como osciladores estimulados exteriormente

por ondas acústicas e ligeiramente amortecidos devido à sua imersão num líquido.



Capítulo 7176

7.2. Movimentos Ondulatórios

Até aqui estivemos a discutir o movimento de uma única partícula. Vamos passar a

debruçar-nos sobre o chamado movimento ondulatório, que não é mais que um fenómeno

que consiste no movimento global de um conjunto de partículas que interagem entre si.

Existindo interacção entre as partículas dum dado meio, se uma partícula oscilar o seumovimento comunica-se às partícula vizinhas, que vão entrando progressivamente em

vibração; fala-se então de uma onda, e alguns exemplos do dia a dia são: as ondas na

superfície da água que se formam na sequência de um impacto, as ondas sonoras no ar,

uma corda a vibrar, ou, para tomarmos um exemplo que não é mecânico, uma onda de surto

de gripe! Todos estes exemplos, excepto o último, correspondem à propagação de vibrações

num meio material, e chamamos-lhe por isso ondas mecânicas. Até ao século XIX pensou-se

que todas as ondas pressupunham a existência de um meio material que lhes servisse de

suporte e muito se especulou acerca das propriedades do meio no qual a luz (que como

veremos também é um fenómeno ondulatório) se propagava e que desafiava tenazmentenumerosas tentativas de detecção. Hoje sabemos que assim não é; as ondas

electromagnéticas (luz vísivel, ondas de rádio, sinais de TV, raios X) propagam-se no vácuo,

na ausência de qualquer meio.

Consoante a direcção de vibração é paralela ou perpendicular à direcção de propagação

assim as ondas se designam por ondas longitudinais ou ondas transversais. Podemos assim

dizer que as ondas sonoras são longitudinais uma vez que as partículas vibram na direcção

do propagação e que as ondas electromagnéticas são transversais, uma vez que a direcção

de vibração do campo eléctrico e magnético é perpendicular à direcção de propagação.

Se afastarmos da posição de equilíbrio uma corda presa nas extremidades damos início a

uma onda transversal que se propaga ao longo da corda (corda vibrante). No interior dos

sólidos propagam-se em geral ondas longitudinais e ondas transversais; as primeiras

correspondem a compressões e descompressões e as segundas a tensões laterais. Os sismos

envolvem também a propagação dos dois tipos de ondas (as ondas longitudinais designam-se

por ondas P e são as mais rápidas e as ondas transversais chamam-se ondas S ).

O impulso inicial que dá origem a um fenómeno ondulatório tem duas características que

definem o efeito produzido: a amplitude A e a frequência f (ou o período T ); estas

grandezas são características da fonte emissora. Pelo contrário, o comprimento de onda λ ea velocidade de propagação v são característicos do meio no qual a onda se propaga. A

velocidade de propagação do som no ar é s /m 344 , sendo nos sólidos um pouco maior e na

água cerca de s /m 1460 . Os meios podem ou não ser dispersivos, ou seja podem ou não ter

velocidades de propagação diferentes para diferentes frequências.

Como uma onda corresponde a um meio extenso em movimento, isto é, a um fenómeno

que ocorre no espaço e no tempo, podemos descreve-la matematicamente como uma função



Ondas 177

( )t , xϕ . A perturbação que dá origem à onda encontra-se no instante 0 t = na posição 0 x = .

No instante posterior t encontra-se em vt x = , sendo v a velocidade de propagação. O

comprimento de onda λ λλ λ é a distância mínima entre dois pontos da onda que se

comportem identicamente (dois nodos, dois ventres ou dois cumes sucessivos, ou em geral

dois pontos desfasados de π 2 ). O comprimento de onda é portanto o “período” espacial da

onda, ou seja, o número λ tal que

(7.5) ( ) ( )t ,x t ,x λ ϕ ϕ +=

do mesmo modo que o período T é tal que

(7.6) ( ) ( )T t ,x t ,x += ϕ ϕ

Uma onda é assim um fenómeno periódico no espaço e no tempo.

Para encontrarmos a relação matemática existente entre v , T e λ basta reparar que a

condição de propagação obriga a que a perturbação ϕ tenha o mesmo valor em todos os

pontos ( )t ,x com =− vt x constante, ou seja, é preciso exigir que

( ) ( )vt x t ,x −= ϕ ϕ

Para satisfazer as condições de periodicidade no espaço e no tempo (7.5) e (7.6) é

necessário que se tenha

( ) ( )vt x vT vt x −=−−+ ϕ λ ϕ

pelo que

f

v vT ==λ

ou

f v λ =

Vimos anteriormente que a frequência angular se definia em função da frequência como

T /2 f 2 π π ω ==

ou seja

π 2 T =

Relativamente ao comprimento de onda podemos definir de maneira similar o número de

onda k como



Capítulo 7178

π λ 2k =

A velocidade de propagação vem então dada por

k 2k

2

T v

π

ω π λ ===

7.3. Ondas Progressivas e Ondas Estacionárias

Acabámos de ver que quando a perturbação se propaga no sentido positivo do eixo dos

xx , a onda originada tem a forma

( ) ( ) ( )t x vt x t ,x ω κ ϕ ϕ ϕ −=−=

Se a onda se propagar no sentido negativo a sua representação será

( ) ( ) ( )t x vt x t ,x ω κ ϕ ϕ ϕ +=+=

Tanto a função ( )vt x −ϕ como a função ( )vt x +ϕ são soluções da equação das ondas que

é uma equação do tipo

(7.7) 0 x

v t 2

2 2

2

2

=−∂

ϕ ∂

∂

ϕ ∂

As soluções indicadas representam ondas que se propagam, uma no sentido positivo

outra no sentido negativo do eixo dos xx , com uma velocidade v . Esta velocidade que é

como referimos característica do meio em que a onda se propaga, depende indirectamente

das forças de interacção entre as partículas do meio. Na realidade, no caso de ondas

longitudinais num meio compressível, a velocidade de propagação depende da relação entre

a variação do volume V e a variação da pressão p que a provoca, tendo-se

ρ

κ =v

onde ρ é a densidade e κ é o módulo de elasticidade definido como

ρ

ρ κ

d

dp

dV

dp V =−=

No caso das vibrações transversais de um meio elástico unidimensional, por exemplo uma

corda tensa, a velocidade pode escrever-se como

µ

T v =



Ondas 179

sendo T a tensão na corda e µ a massa por unidade de comprimento.

Qualquer combinação linear de soluções de uma equação linear é ainda solução dessa

equação (usámos já esta propriedade para obter a solução geral da equação (7.1)). Como a

equação das ondas (7.7) é linear, uma solução possível será também a função

( ) ( )vt x vt x ++− ϕ ϕ . Esta solução ocorre sempre que se sobreponham duas ondas com asmesmas características ( ) f ,A deslocando-se em sentidos opostos.

Considerando as ondas sinusoidais ( )t kx sin A 1 ω ϕ −= e ( )t kx sin A 2 ω ϕ += é imediato

verificar que a onda resultante

( ) ( ) ( )t cos kx sin A 2 t ,x 2 1 ω ϕ ϕ ϕ =+=

apresenta zeros que são independentes do tempo t . Uma tal onda designa-se por onda

estacionária. Neste caso não há uma verdadeira propagação do efeito. Nos pontos em que

...,2 ,,0 kx π π = ou seja em que ...,2 /n ...,,,2 /,0 x λ λ λ = 0 =ϕ , e não há vibração e as duas

ondas sobrepõem-se destrutivamente. A estes pontos chamam-se nodos da vibração. Pelo

contrário para os pontos em que2

n kx π π += as ondas sobrepõe-se construtivamente.

Este é o caso das ondas estacionárias que se criam numa corda vibrante com as

extremidades fixas. A condição de extremos fixos obriga a que 0 x = e =x sejam ambos

pontos da forma2

n x λ

= para algum inteiro n . O ponto 0 x = verifica sempre esta condição

com 0 n = ; quando a consideramos para o outro extremo da corda, em =n , obtemos uma

relação entre o comprimento da corda , e o comprimento de onda de uma onda

estacionária nessa corda

2 n λ

=

À onda correspondente a 1n = , de comprimento de onda 2 1 =λ , chama-se onda

fundamental, à frequência associada,

2

v v f

11 ==

λ

frequência fundamental. As outras ondas estacionárias, de comprimentos de onda

n

2 n

=λ , terão frequências

...,2 n ,2

v n f n ==



Capítulo 7180

que se chamam harmónicas da frequência fundamental (a primeira harmónica corresponde

a 2 n = e assim sucessivamente)

Figura 7.2

Aplicação: Diz-se que duas notas musicais diferem de uma oitava se a relação entre as frequências fundamentais correspondentes é de 1 para 2. A nota mais grave de um piano tem

2m de comprimento e corresponde a uma frequência fundamental de 27 5, Hz ; a mais aguda

difere desta de 7 oitavas. Se todas as cordas tivessem a mesma densidade e estivessem

sujeitas à mesma tensão, qual será o comprimento da corda correspondente à corda mais

aguda? O que é que distingue, do ponto de vista físico, um acorde de oitava dos acordes

correspondentes a intervalos menores?

As frequências fundamentais estão relacionadas com os comprimentos das cordas através

da equação

f v

1 2=

Quando comparamos as frequências fundamentais da nota mais grave e da mais aguda, f g1

e f a1 , respectivamente, temos

Frequência

fundamental

1ª harmónica

2ª harmónica

3ª harmónica

n=1

n=2

n=3

n=4

A

A

A A

A A

A A A A

N N N

N N

N



Ondas 181

f

f

a

g1

1

72=

dado que o intervalo entre elas é de 7 oitavas, e cada oitava corresponde a duplicar a

frequência. Portanto, os comprimentos correspondentes, g e a , verificam

22

2

7 = =

v

v

l

la

g

g

a

dado que se supôs que a velocidade de propagação das ondas é a mesma para todas as

cordas, e vem

m2

16a ≅

Da relação f nf nn = =, ,...2 entre a frequência fundamental e as harmónicas eg

1a

1 f 2 f =

entre as frequências fundamentais das duas notas de um acorde de oitava vemos quega

1n

'

1nf 2nf f == , isto é, tanto a frequência fundamental da nota mais aguda como as suas

harmónicas são harmónicas da frequência fundamental da nota mais grave. Isto não acontece

em acordes correspondentes a intervalos menores, dado que nesse caso a razão entre as

frequências fundamentais das duas notas não é um número inteiro.

7.4. Ver, Ouvir e Falar

Na transmissão de informação a distância - e é disso que se trata quando falamos de

fenómenos ondulatórios - temos a considerar a fonte exterior emissora de ondas, o fenómeno

de propagação das ondas no espaço e no tempo, e finalmente a sua recepção. Os dois

sentidos mais utilizados pelos seres humanos no seu relacionamento com o mundo exterior

são a visão e a audição. Os órgãos de recepção, (a retina e a membrana do tímpano),

recebem a perturbação, electromagnética ou sonora (a retina é impressionada e a membrana

vibra) e transmitem essa informação ao sistema nervoso. A capacidade de recepção dos

sentidos no homem é extremamente limitada face à do conjunto dos outros animais, tanto

no que diz respeito à amplitude como à frequência das ondas. Há pois toda uma gama de

sons e luzes que os homens não conseguem identificar, nomeadamente, para além da luz

visível, as ondas de rádio, de TV, as microondas, infravermelhos, ultravioletas, raios X e

raios gama; e, para além das frequências audíveis, os ultra-sons, etc.

Os sons chegam até nós através do ouvido exterior ou tímpano (Figura 7.3). Este actua

como uma membrana de um tambor e transmite as vibrações a um conjunto de ossículos

que, graças a um efeito de ressonância, as amplificam cerca de quinze vezes antes de as

enviarem para a janela oval que se encontra em contacto com o caracol, o qual está por sua



Capítulo 7182

vez mergulhado num líquido chamado perilinfa. As vibrações que chegam ao caracol

propagam-se na membrana basilar e no líquido até serem captadas pelas várias terminações

nervosas que transmitem estas informações ao cérebro através do nervo auditivo. Na

membrana basilar encontra-se situado o órgão de Corti composto de células ciliadas que

transformam as vibrações da membrana em impulsos nervosos. A interacção entre a

membrana basilar e a perilinfa produz o efeito de um pequeno “analisador de Fourier” pois

permite captar as amplitudes e frequências que compõem o som que chega ao ouvido.

Figura 7.3

Os sons que os homens emitem - em particular a fala - resultam da passagem do ar que

vem dos pulmões pelas cordas vocais. A garganta e as cavidades nasal e bucal funcionam

como cavidades ressonantes. Mediante a deformação da cavidade bucal conseguem-se fazer

variar os sons emitidos, através de um mecanismo mais complicado mas no essencial

análogo ao que num instrumento de cordas relaciona a qualidade do som com o

comprimento e a natureza da corda.

A intensidade sonora é medida em geral numa escala logarítmica. De acordo com uma lei

empírica da psicofisiologia (lei de Weber-Fechner) os seres humanos captam as sensações,

tanto as sonoras como as de outros tipos, de maneira que o incremento da sensação s , é

proporcional à variação relativa do estímulo e ,

e

e s ∆

∆ =

relação que, uma vez integrada, nos diz que a sensação é proporcional ao logaritmo do

estímulo. Por isso, é natural a utilização de escalas logarítmicas para a medida de

ossículos

Canal auditivo

tímpanoJanela oval

caracol

Membrana

basilar

Nervo auditivo



Ondas 183

fenómenos físicos do ponto de vista da percepção desses fenómenos como sensações. A

intensidade do som medida em decibéis é dada por

( )2 5

10 10 m /N 10 bar 1,bar 10 .2

p log 20 I =

=

−

onde p é a amplitude das oscilações de pressão associadas à onda sonora. Um som de

db 60 é moderadamente intenso; um som entre db 120 100 − já provoca dor.

7.5. Efeito de Doppler

O efeito de Doppler ocorre sempre que existe movimento relativo entre a fonte emissora

de ondas e o receptor. Todos já notámos que o apito de um comboio parece mais agudo

quando o comboio se aproxima de nós e mais grave quando o comboio se afasta. Este é um

exemplo do efeito de Doppler e o que acontece é que, em consequência do movimento

relativo entre o emissor e o receptor, este vai “ver” a onda com uma frequência diferente.

Duas situações distintas podem ocorrer: ou é o emissor que está fixo e o receptor que se

move, ou pelo contrário é o emissor que se move e o receptor que está fixo.

Consideremos primeiro o caso do receptor móvel. Suponhamos que o receptor se

aproxima do emissor. Ele vai ver a onda a aproximar-se com uma velocidade que é acrescida

da velocidade relativa entre eles, isto é

r v v ' v +=

Em consequência a frequência vai sofrer uma alteração dada por

λ λ r

r

v v ' v f

+==

e como o comprimento de onda não muda e é dado por e f /v =λ , vem imediatamente

e r

r f v

v v f

+=

Se, ao contrário, o receptor se estivesse afastar da fonte emissora, um raciocínio

absolutamente análogo levaria a concluir que

e r

r f v

v v f

−=

Consideremos agora o caso do emissor móvel. Devido ao movimento da fonte, o

comprimento de onda das ondas emitidas vai variar na direcção do movimento. Se o emissor

se estiver a aproximar do receptor fixo é fácil verificar que



Capítulo 7184

e e e r T v −= λ λ

em que o período das ondas está relacionado com a sua frequência e e f /1T = . Então

e

e e r

f

v −= λ λ

ou

( )e e e

e

e r

v v f

1

f

v

f

v

f

v −=−=

Donde

e

e

r f vv

v f

−=

No caso contrário em que o emissor se afastar do receptor um raciocínio análogo levaria a

concluir que

e

e

r f vv

v f

+=

É recorrendo ao efeito de Doppler que a polícia de trânsito identifica os condutores que

ultrapassam os limites permitidos de velocidade. Um aparelho emissor-receptor de

ultra-sons é instalado na berma das estradas. A radiação emitida pelo aparelho vai ser

reflectida no carro, e esta radiação reemitida acabará por ser recebida no detector da polícia.

Nesta situação tem que se aplicar duas vezes o efeito de Doppler: à onda que é recebida pelo

carro, e posteriormente à onda reemitida pelo carro e recebida pelo detector. Uma situação

absolutamente equivalente tem uma aplicação prática importantíssima no domínio da

medicina. Para medir o fluxo sanguíneo arterial recorre-se a um transdutor que emite

ultrasons que são reflectidos nos eritrócitos da corrente sanguínea e são depois

recapturados pelo transdutor.

7.6. Propriedades das Ondas

7.6.1. Dispersão

Vimos anteriormente que se podem formar ondas estacionárias através da soma de duas

ondas iguais, isto é, ondas com a mesma frequência e amplitude, mas propagando-se em

sentidos opostos.

Vamos agora ver o que acontece se somarmos duas ondas sinusoidais de parâmetros k e

ω muito parecidos, mas no entanto diferentes. Somemos então as seguintes ondas



Ondas 185

( ) ( )t x k Asin t ,x 111 ω φ −=

( ) ( )t x k Asin t ,x 2 2 2 ω φ −=

em que 2 12 1 k k , >> ω ω e ω ω ω ≡≈≡≈ 2 12 1 ,k k k . Fazendo

ω ∆ω ω ∆ 2 ,k 2 k k 2 12 1 =−=−

e

∆ω ω ω ∆ω ω ∆∆ −=+=−=+= 2 12 1 ,,k k k ,k k k

obtém-se, para

2 1 φ φ φ +=

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]( ) ( )t kx sin t kx cos A 2

t kx t kx sin t kx t kx sin A t ,x

ω ω ∆∆

ω ∆∆ω ω ∆∆ω φ

−−=

−−−+−+−=

Esta onda pode escrever-se como ( ) ( )t kx sin t ,x A ω φ −= , equação que põe em evidência

que a nova onda pode ser interpretada como uma onda com uma frequência

aproximadamente igual à das ondas originais e com uma amplitude modulada (Figura 7.4).

Pode também considerar-se que a nova onda se propaga com uma velocidade

k /v ω ≈

que se designa por velocidade de fase; devido ao fenómeno da modulação a ondaencontra-se organizada em grupos, sendo a velocidade de grupo dada por

k /u ∆ω ∆≈

(a)

(b)

(c)

(d)

ν1

ν2

t

t

t

t



Capítulo 7186

Figura 7.4

Um meio em que a velocidade de fase, a velocidade de que falámos até agora sem mais

especificações, depende do comprimento de onda diz-se um meio dispersivo. As ondas

electromagnéticas, entre as quais se incluem as ondas luminosas, propagam-se no espaço

vazio com uma velocidade que se representa normalmente por c , e que é uma constanteuniversal igual a 300 000 km/s. No entanto, em qualquer outro meio a velocidade depende

do comprimento de onda, ou, o que é o mesmo, da frequência. Este fenómeno, que se chama

dispersão, foi utilizado inicialmente por Newton no século XVII para, ao fazer passar a luz

solar por um prisma transparente, mostrar que a luz branca era afinal uma sobreposição de

“luzes” de várias cores, as cores primárias que aparecem no arco-íris. Desde então este

fenómeno tem vindo a ser utilizado em numerosos aparelhos que funcionam afinal como

“prismas” altamente sofisticados e que procedem à decomposição dos espectros das ondas

nas suas componentes.

No caso da luz vimos então que no vazio k /c ω = e num meio qualquer k /v ω = e

dk /d u ω = . Enquanto que a velocidade de grupo tem que ser sempre menor que c , pois é a

velocidade que transporta informação e a velocidade interessante do ponto de vista físico, a

velocidade de fase pode ser maior que c . Por exemplo, se fizermos passar raios X por vidro

verifica-se facilmente que a sua velocidade de fase é superior a c , mas não a sua velocidade

de grupo.

7.6.2. Reflexão e Refracção

Sempre que as ondas (ondas incidentes) encontram a separação de dois meios

transparentes (como o ar, água, vidro, etc.) parte da onda é reflectida continuando a

propagar-se no meio inicial (onda reflectida) e parte da onda mergulha no outro meio (onda

refractada ou transmitida). Um espelho funciona como uma superfície quase completamente

reflectora para a luz; a água como uma superfície essencialmente refractora (mas que

reflecte parte da luz incidente).

Quando a luz se propaga, de um ponto A para outro ponto B , fá-lo por forma a

minimizar o tempo gasto no percurso - princípio de Fermat ou de tempo mínimo. Este é um

exemplo de um princípio teleológico em física. Muito usados por Aristóteles nas suas

explicações, este tipo de postulados encontra-se ainda, sob uma forma mais sofisticada, na

física actual.

Obviamente, quando a luz se propaga sempre no mesmo meio, a sua velocidade é sempre

a mesma, e em consequência o menor tempo corresponde ao menor percurso. Assim, na

reflexão é imediato concluir que para que o princípio de tempo mínimo seja satisfeito tem

que se ter o ângulo de incidência igual ao ângulo de reflexão (na Figura 7.5.a)

r i ,OB ' OB ,OB AO === ).



Ondas 187

Contudo, se tivermos dois meios em que as velocidades de propagação sejam diferentes

( )2 1 v e v , então o menor tempo possível não corresponde à menor distância. Por isso, se

estivermos na praia e virmos uma pessoa a afogar-se no mar, para a salvar não devemos

correr e nadar sempre em linha recta de A (posição em que nos encontramos) para B

(posição em que a pessoa em apuros se encontra) mas devemos correr ao longo da praia e

começar a nadar quando estamos quase em frente do ponto B (a velocidade de corrida é

sempre bastante maior que a velocidade que atingimos ao nadar). Encontramo-nos perante o

mesmo fenómeno, ainda que numa situação mesmo dramática, quando a luz passa do ar

para a água ou o vidro.

Consideremos a Figura 7.5.b):

a) b)

Figura 7.5

Os pontos A e B , assim como os pontos ' A e ' B , estão situados sobre um mesmo plano

perpendicular aos raios luminosos, ou seja, estão sobre a mesma frente de onda. Vamosdeduzir a lei da refracção com base no seguinte argumento: como pontos situados sobre a

mesma frente de onda tem que estar em fase, o tempo gasto no percurso ' BB tem que ser

igual ao tempo gasto no percurso ' AA . Como se tem

sini ' AB ' BB =

sinr ' AB ' AA =

a condição de igual tempo de percurso

2 1 v

' AA

v

' BB =

pode escrever-se

2 1 v

sinr ' AB

v

sini ' AB =

A B

O

B’

i r

r

i

A

A’

B’

i

r

r

B

i



Capítulo 7188

e vem

2 1 v

sinr

v

sini =

Se definirmos o índice de refracção de um meio como o quociente entre a velocidade da

luz no vazio e a velocidade da luz nesse meio, então 11 v /c n = e 2 2 v /c n = , e vem

finalmente

1

2

2

1

n

n

v

v

sinr

sini ==

Da expressão anterior, a que se chama lei de Snell-Descartes, conclui-se que a luz ao

passar do ar para a água ou o vidro ou mais geralmente, ao passar dum meio menos

refrangente (velocidade maior, índice de refracção menor) para um meio mais refrangente

(velocidade menor, índice de refracção maior) muda de direcção aproximando-se da normal à

superfície no ponto de incidência.

Quando a luz passa da água para o ar o raio refractado afasta-se da normal, e pode

acontecer que só ocorra reflexão: estamos então perante o fenómeno da reflexão total. A

partir de certo ângulo crítico c i correspondente ao ângulo o c 90 r = , não ocorre refracção e

toda a luz se reflecte. Este fenómeno deduz-se facilmente da lei de Snell-Descartes escrita na

forma

( ) ( )r sin n i sin 21=

onde a constante 21n ,o quociente 12 n / n entre os índices de refracção, depende dos doismeios considerados. Para 1n21 < (passagem a um meio menos refrangente), como ( )r sin

vale no máximo 1 (quando o ângulo de refracção é igual a 90o ), o valor máximo que ( )isin

pode assumir é21n . Portanto, não há transmissão a partir do ângulo critico de incidência c i

dado por 21c nisin = . O fenómeno da reflexão total é usado na preparação em fibras ópticas

para transmitir imagens, ou mais geralmente informação a longa distância sem

amortecimento.

7.6.3. Polarização

O fenómeno da polarização ocorre exclusivamente com ondas transversais, de que as

ondas electromagnéticas, e em particular a luz, são os exemplos mais conhecido. Nas ondas

longitudinais a direcção da vibração que origina a onda - a perturbação - coincide com a

direcção da propagação da onda, tendo por isso uma direcção bem definida. O mesmo não

acontece com as ondas transversais; como a direcção de vibração é diferente da direcção de

propagação, ocorrendo no plano que lhe é perpendicular, em geral não fica especificada

nesse plano nenhuma direcção em especial. Contudo, quando a perturbação ocorre numa



Ondas 189

direcção bem definida a onda diz-se polarizada. Em geral, nas ondas electromagnéticas a

direcção da vibração vai variando no decurso do tempo, mas em determinadas

circunstâncias, por absorção ou por reflexão, é possível polarizá-la.

Na reflexão a luz reflectida é preferencialmente polarizada na direcção paralela à

superfície. Quando se está a conduzir um automóvel, a estrada reflecte a luz solarpolarizada horizontalmente. Por isso, se usarmos óculos polaroids (de eixo vertical)

conseguimos eliminar os reflexos da estrada.

7.6.4. Difracção

Consideremos a seguinte experiência. Coloquemo-nos por trás de uma porta aberta com

alguém dentro da sala mas sem nos ver. Se eu falar, a pessoa - o observador - ouve-me mas

não me vê. Porquê? Comece por se fazer a seguinte comparação. A velocidade da luz é

s /km 000 300 c = . Para luz de frequência Hz10.3 14 , o comprimento de onda é

m 10 10 .3

10 .3 6

14

8 −==λ

No caso de som ( s /m 340 v = ) de frequência Hz400 , o comprimento de onda é

aproximadamente igual a 1 metro. Este comprimento é da ordem de grandeza da largura da

porta, o que evidentemente não é caso para a onda de luz. Por este motivo ouvimos, mas não

vemos: o fenómeno da difracção é importante no caso da onda sonora e é desprezável no

caso da luz. A difracção da luz é importante noutras circunstâncias que passamos a

considerar.

Na experiência da dupla fenda realizada no início do século XIX com o fito de demonstrar

o carácter ondulatório da luz (nessa altura o que estava em causa era o esclarecimento da

natureza da luz) Thomas Young fez incidir uma onda (plana monocromática) num alvo em

que se fizeram dois orifícios muito pequenos próximos um do outro. Os orifícios funcionam

como duas fontes que emitem ondas esféricas, que vão propagar-se para lá do alvo e

sobrepor-se. Ao fenómeno da sobreposição das ondas chama-se interferência. Como se viu

atrás ao falar das ondas estacionárias, em certas regiões há sobreposição construtiva e

noutras destrutiva. Assim, se colocarmos um outro alvo (desta vez sem fendas) para

observar o efeito das interferências longe do primeiro alvo, veremos em vez de duas manchas

claras uma sucessão de faixas claras e escuras.

Antes de passarmos à explicação matemática do efeito ocorrido, devemos fazer aqui um

parênteses e explicar o que se entende por ondas planas e esféricas. Quando as ondas se

propagam, os lugares geométricos dos pontos do espaço em que a onda tem o mesmo valor,

isto é, em que o estado de perturbação é o mesmo, formam aquilo a que se chamam as

superfícies ou frentes de onda. Quando a fonte emissora da radiação é pontual e o meio é



Capítulo 7190

isotrópico (não existem direcções privilegiadas no espaço) então evidentemente as superfícies

de onda serão esféricas - falamos então abreviadamente de ondas esféricas. Se a fonte

emissora se encontra muito distante, podemos assumir que as superfícies de onda são

planas - falamos então abreviadamente de ondas planas, e dizemos que as linhas

perpendiculares às superfícies de onda são os raios. Estes definem a direcção de propagação

da perturbação.

Na experiência de Young o que acontece é que embora a onda incidente seja plana, as

fendas quase pontuais vão funcionar como fontes emissoras de ondas esféricas. Este é um

exemplo da aplicação do chamado princípio de Huygens, enunciado por Huygens no século

XVII e explicado no século XIX por Fresnel - cada ponto da superfície de onda pode ser

considerado como um centro emissor de novas ondas (esféricas).

A difracção do som na experiência que mencionámos no início deste ponto pode explicar-

se facilmente recorrendo ao princípio de Huygens. As ondas planas que chegam à porta

transformam-se nos bordos da porta em ondas esféricas. Isto é, os bordos da porta

provocam um atraso da onda com consequente encurvamento da frente de onda. Este

fenómeno pode acontecer com a luz. E até com electrões.

Voltemos à experiência de Young. Seja d a distância entre as fendas e D a distância do

alvo com fendas ao segundo alvo ( d D >>> ). Ao ponto y do segundo alvo chegam duas

ondas, provenientes de cada uma das fendas, que percorreram distâncias diferentes e por

isso se encontram desfasadas. Atendendo à diferença de grandeza entre d e D podemos

considerar os raios emergentes como paralelos. Então é imediato verificar que (ver

Figura 7.6)

θ sind r r x21

=−=

dθ

θ

r1

r2

D

y

x



Ondas 191

Figura 7.6

A sobreposição construtiva das ondas ocorre nos pontos em que as ondas estiverem em

fase. Isto acontecerá sempre que o caminho percorrido pelas ondas diferir de um número

inteiro de comprimentos de onda, isto é, se

,...2 ,1,0 m m dsin == λ θ

Como D /y sin ≈θ , a condição de máximo pode escrever-se alternativamente como

d

D m y max

λ =

Se em vez de duas fendas tivermos um número muito grande de fendas, a condição de

máximo continua a ser a mesma (vão-se tomando as fendas duas a duas) mas os máximos

aparecem mais nítidos pois quando as várias ondas se encontram em fase o efeito é maior.

Se o número de fendas é muito grande - rede de difracção - obtém-se aquilo a que se chama

um espectro de linhas.

O fenómeno da difracção manifesta-se também no caso de uma única fenda ou de um

obstáculo de dimensões da ordem do comprimento de onda. Vejamos o que acontece quando

uma onda plana que se propaga encontra um obstáculo com uma abertura de tamanho a .

Cada ponto da abertura é o ponto de partida para a propagação de uma onda esférica. Isto

vai dar origem a riscas escuras correspondentes à interferência destrutiva destas várias

ondas. A primeira risca escura ocorre quando a onda que tem origem nas extremidades, ecorresponde, por um raciocínio análogo ao que vimos anteriormente, à igualdade

2 sin

2

a λ θ =

I



Capítulo 7192

Figura 7.7

Em geral, teremos riscas escuras nas zonas que correspondem a ângulos θ tais que

(7.8) ...,2 ,1n ,n asin == λ θ

embora o aspecto da imagem seja o de um número pequeno de riscas, dado que a

intensidade delas decai muito rapidamente com a distância.

O efeito que agora nos interessa é que o tamanho da imagem é diferente do tamanho da

abertura e é dado pela distância entre as duas primeiras riscas escuras. De (7.8) com 1n =

vem

λ ≈D

y a

onde D é a distância ao écran e y a posição da primeira risca escura em relação ao centro

da mancha iluminada da imagem. Portanto

tamanho da imagema

D 2 y 2 λ

≈≈

ou seja, o tamanho da imagem depende da relação entre λ e a . Para ter uma medida deste

efeito independente da distância D a que se encontra o écran, introduz-se o ângulo de

difracção

a D y

d λ θ ≈≈

Para o caso de um orifício circular de diâmetro d , como por exemplo a pupila, a relação

anterior vem afectada de um factor geométrico, e temos para o ângulo de difracção

(7.9)d

2 ,1d

λ θ ≈

Aplicação: O diâmetro d da pupila é da ordem de 510 3. − m , o comprimento de onda λ da luz

visível da ordem de 400 10 9× − m , a distância D da pupila à retina da ordem de 2510 2, . − e a

separação entre as células fotosensíveis da retina é da ordem de 10 5− m . Mostre que uma maior

densidade de células fotosensíveis não se traduziria numa maior acuidade visual, e determine a

separação mínima que a visão humana é capaz de resolver a uma distância de 25cm .

Pela equação (7.9), o ângulo de difracção θd rad≈ −10 4 . Portanto o tamanho das manchas de

difracção da retina é da ordem de

2 10 6D r mdθ ≈ × −



Ondas 193

que é da mesma ordem de grandeza que a separação entre as células fotosensíveis. A

separação mínima que é possível resolver à distância de 25cm é a que corresponde a uma

separação angular da ordem do ângulo de difracção, pelo que vem dada por

θd mm× ≈0 25 0 025, ,



Capítulo 7194



Noções de Óptica Geométrica 195

CAPÍTULO 8.

NOÇÕES DE ÓPTICA GEOMÉTRICA

8.1. Introdução

Designa-se por luz o conjunto de ondas electromagnéticas visíveis (a que é sensível o olho

humano), que compreende ondas electromagnéticas com comprimentos de onda entre

4000 Å e 8000 Å. O ramo da Física que estuda este tipo de ondas designa-se por Óptica.

Nos casos que vamos considerar interessa-nos apenas o comportamento da luz quando

ela se propaga em meios homogéneos e encontra interfaces. É possível realizar um

tratamento simples do comportamento da luz nestas condições, tratamento que se designa

por óptica geométrica.

Um conceito fundamental em óptica geométrica é o conceito de raio luminoso, com o qual

se representa a direcção de propagação da vibração electromagnética que, como vimos

anteriormente, é perpendicular às frentes de onda.

Todos os fenómenos que estudámos no capítulo anterior para as ondas são válidos, em

particular, para a luz. Assim temos reflexão e refracção das ondas luminosas. O uso de

meios com diferentes índices de refracção combinado com interfaces de geometria controlada

(lentes), permite controlar, conformar ou deformar, as imagens dos objectos iluminados por

luz visível. Designa-se por lente um meio limitado por duas interfaces, planas ou curvas. Se

as faces curvas são parte de superfícies esféricas, as lentes dizem-se lentes esféricas. Para

além disso a lente designa-se por lente fina se a sua espessura é muito menor do que as

distâncias associadas às suas propriedades ópticas.

8.2. Formação de Imagens por Lentes Finas

Nesta secção vamos falar das imagens formadas por lentes finas, convexas ou côncavas.



Capítulo 8 196

A modificação do tamanho aparente dos objectos vistos através de lentes deve-se ao facto

de, como vimos no capítulo anterior, os raios luminosos serem desviados ao atravessar a

superfície de separação de dois meios com índices de refracção diferentes. Como se vê na

Figura 8.1, esse desvio tem o efeito de fazer convergir ou divergir os raios incidentes

paralelos, conforme a concavidade da superfície de separação e a relação entre os índices de

refracção dos dois meios. Por convenção, a concavidade de uma superfície é caracterizada do

ponto de vista dos raios nela incidentes, de modo que as superfícies das Figuras 8.1 a) e

8.1 d) são côncavas, enquanto que as das Figuras 8.1 b) e 8.1 c) são convexas.

Figura 8.1

A descrição qualitativa que se resume na Figura 8.1 é consequência imediata do facto de

o desvio dos raios luminosos ao atravessarem a superfície de separação ser no sentido de se

aproximarem da normal a essa superfície quando há transmissão para um meio de maior

índice de refracção, e de se afastarem da normal no caso contrário.

No nosso estudo vamos considerar apenas lentes esféricas o que significa que cada

superfície dessa lente pode ser caracterizada por um único centro de curvatura (centro da

superfície esférica que contém essa superfície). Para além deste ponto podemos caracterizar

cada superfície da lente por alguns elementos geométricos:

- eixo óptico - linha perpendicular à superfície de separação dos meios que passa pelo

centro de curvatura da interface.

f’

(c) Superfície divergente convexa

C

n n’<n n’>n

f’

(d) Superfície divergente côncava

C

n

(a) Superfície convergente côncava

f’

n n’<n

C

f’

(b) Superfície convergente convexa

n

C

n’>n




- foco objecto - ponto do eixo óptico cuja imagem é formada no infinito, o que significa

que qualquer raio luminoso incidente que passa por este ponto se refractará

paralelamente ao eixo óptico.

- foco imagem - ponto do eixo óptico que é imagem de um ponto objecto no infinito, o

que significa que é o ponto de intersecção das direcções de todos os raios luminososque incidem paralelamente ao eixo óptico.

- vértice - ponto de intersecção da interface com o eixo óptico.

Para poder ir além de uma descrição qualitativa, vamos derivar, a partir da lei de

Snell-Descartes, a equação que rege estes fenómenos no caso mais simples: o de raios

luminosos que incidem segundo uma direcção próxima da do eixo óptico numa superfície

convexa esférica que separa um meio com um certo índice de refracção n de um meio com

índice de refracção n ' n > .

Figura 8.2

Consideremos os pontos P e ' P representados na Figura 8.2. O ponto ' P , situado à

distância ' s da superfície sobre a recta que passa por P e pelo centro C da superfície (eixo

óptico), é o ponto onde convergem os raios emitidos em P , situado à distância s .

Queremos determinar a relação entre s , ' s , n , ' n e R , o raio da superfície, pela lei de

Snell-Decartes,

(8.1) ' sin ' n nsin φ φ =

e como estamos a considerar raios próximos do eixo óptico, α , β , φ e ' φ são ângulos

pequenos, de modo que podemos tomar em boa aproximação x sinx ≈ para cada um destes

ângulos. A equação (8.1) fica então

(8.2) ' ' n n φ φ =

Por outro lado, como a soma dos ângulos internos de um triângulo é π , temos

φn

α γφ'

A

C

P’PV

n’>n

dβ

Eixo óptico

s’

R

s



Capítulo 8 198

(8.3.1) ( ) β α φ π φ π β α +=⇒=−++

(8.3.2) ( ) γ φ β π β π φ +=⇒=−++ ' '

(8.3.3)

Substituindo (8.3.2) e (8.3.1) em (8.2), vem

γ φ β +=' n

n e ( ) γ β α β ++=

' n

n

ou seja,

( ) β γ α n ' n ' n n −=+

Como s /d ≈α , ' s /d ≈γ e R /d ≈ β , temos finalmente

(8.4)R

n ' n ' s ' n

s n −=+

Dizemos que a superfície forma uma imagem real se esta corresponde à intersecção dos

raios refractados no segundo meio (tal imagem pode ser projectada num alvo). Por outro lado

dizemos que uma lente forma uma imagem virtual, por oposição a real, se os raios

transmitidos têm direcções que se intersectam num ponto situado no meio de onde provêm

os raios incidentes. De maneira análoga, falamos de um objecto virtual quando os raios

incidentes convergem para um ponto situado no meio onde se propagam os raios luminosos

transmitidos. Adiante veremos alguns exemplos de imagens e objectos virtuais. No exemplo

que estudamos, tanto o objecto, P , como a imagem, ' P , são reais. A equação que acabamos

de deduzir para este caso pode aplicar-se a superfícies convexas ou côncavas, e a imagens e

objectos reais ou virtuais, com as seguintes convenções de sinal:

Superfície convexa 0 R >→

Superfície côncava 0 R <→

Objecto (imagem) real ( ) 0 ' s s >→

Objecto (imagem) virtual ( ) 0 ' s s <→

Antes de prosseguirmos para o estudo das lentes finas, vejamos como aplicação daequação (8.4) um exemplo em que se determina a diferença entre a profundidade real e a

aparente de objectos submersos vistos desde fora da superfície livre da água.

Aplicação: Achar a profundidade aparente de um peixe que se encontra 100. m abaixo da

superfície da água, supondo que este é observado segundo a vertical.




Podemos aplicar a equação (8.4) com R = ∞ , dado que a superfície de separação dos meios é

plana. Sabemos que s m= 100. , e que os índices de refracção do ar e da água são,

respectivamente, n' .= 100 e n = 133. . Substituindo em (8.4), obtemos s m' .= −0 75 , ou seja, a

imagem é virtual, forma-se na água, e à distância aparente de 0 75. m da superfície.

Figura 8.3

Vamos agora estudar a formação de imagens por lentes finas de superfícies esféricas.

Como nesta aplicação um dos meios é sempre o ar, de índice de refracção igual a 1, vamos

fixar este valor e denotar por n o índice de refracção do vidro. A estratégia a adoptar é a de

aplicar duas vezes a equação (8.4), primeiro aos meios ar-vidro, e depois aos meios vidro-ar,

tendo em conta que o objecto para a segunda transmissão é a imagem que resulta da

primeira. Assim, temos que a imagem correspondente a um objecto situado a uma distância

1s da superfície da lente de raio 1R sobre a qual incidem os raios luminosos se forma àdistância 1' s dessa superfície, sendo

(8.5.1)111 R

1n

' s

n

s

1 −=+ (transmissão ar-vidro)

Essa imagem é o objecto da segunda transmissão, de modo que temos (ver Figura 8.4)

(8.5.2)2 2 2 R

n 1

' s

1

s

n −=+ (transmissão vidro-ar)

onde 2 s e 2 ' s são as distâncias do objecto e da imagem, respectivamente, à superfície dalente de raio 2 R que se encontra do lado dos raios luminosos transmitidos.

Note-se que 1' s e 2 s têm sempre sinais contrários, isto é, se a imagem da primeira

transmissão é real então o objecto da segunda é virtual, e vice-versa. Na situação

representada na Figura 8.4, 1' s é positivo e 2 s é negativo, ou seja, a imagem da primeira

transmissão é real e portanto o objecto da segunda é virtual.



Capítulo 8 200

Figura 8.4

A hipótese de que a lente é fina intervém agora para tomarmos 2 1 s ' s ≈ . Nesta

aproximação, podemos substituir 1' s em (8.5.1) por 2 s − . Somando depois as duas equações

(8.5), obtemos

( )

−−=+

2 12 1 R

1

R

11n

' s

1

s

1

ou simplesmente

(8.6) ( )

−−=+

2 1 R

1

R

11n

' s

1

s

1

onde s e ' s são as distâncias do objecto da primeira transmissão e da imagem da segunda,

respectivamente, medidas em relação ao centro da lente.

Para objectos muito distantes, ∞≈s , 0 s /1 ≈ , e vem

(8.7) ( ) f

1

R

1

R

11n

' s

1

2 1

=

−−=

onde a última igualdade, chamada equação do fabricante de lentes, define a distância focal

f de uma lente fina esférica no ar.

Note-se que desta definição resulta que f pode ser positivo ou negativo, e uma lente

diz-se positiva ou negativa conforme o sinal de f . Em termos da distância focal, a equação

(8.6) fica

(8.8) f

1

' s

1

s

1=+

que é a equação das lentes finas para raios paraxiais, isto é, que incidem aproximadamente

segundo o eixo óptico.

s’1

|s2|




Os pontos sobre o eixo óptico situados à distância f do centro da lente chamam-se

focos. Vamos analisar o caso de uma lente positiva e de uma lente negativa para perceber o

significado destes pontos, assim como o do sinal da distância focal. No primeiro caso,

equação (8.7) diz-nos que raios incidentes paralelos segundo o eixo óptico convergem no foco

' F (ver Figura 8.5), dado que f é positivo. No segundo, os raios incidentes paralelos

convergem no foco F (ver Figura 8.6), dado que f é negativo. Por esta razão, chamam-se

também convergentes as lentes positivas, e divergentes as negativas.

Figura 8.5

F

O

O’

s

f

F’

∞ f f

F

∞

FOO’

|s’|f

s

s=∞ , s’=f s=f , s’=∞

s>f , imagem real s<f , imagem virtual



Capítulo 8 202

Figura 8.6

Na figura 8.5 representa-se também a imagem, calculada a partir da equação (8.7), de

objectos reais situados sobre o eixo óptico de uma lente convergente a distâncias do centro

da lente superiores (b e c) e inferiores (e) ao módulo da distância focal. As primeiras dão

origem a imagens reais, as segundas a imagens virtuais, como resulta imediatamente de

(8.7). Raios incidentes a partir do foco F (Figura 8.5 d) dão origem a raios transmitidos

paralelos, ou seja, a imagem forma-se ‘no infinito’, o que é natural dado que se trata da

situação fronteira entre as duas que referimos antes, as quais correspondem a raios

transmitidos convergentes e divergentes, respectivamente. Na Figura 8.6 faz-se uma análise

semelhante para o caso de uma lente negativa: em (b) determina-se a imagem (virtual) de

pontos situados ‘atrás’ do foco F , e em (c) mostra-se que a imagem de objectos virtuais

situados no foco ' F se forma no infinito.

8.3. Potência de Uma Lente

A potência óptica 0 P de uma lente define-se como o inverso da distância focal

f 1P 0 =

e a unidade mais usada é a dioptria d , com 1m 1d 1 −= . Da equação (8.7) vemos que a

potência óptica de uma lente depende do índice de refracção do vidro de que é feita (é tanto

maior quanto maior for o índice de refracção) e dos raios de curvatura das superfícies (é

tanto maior quanto mais pequeno for o raio de curvatura). Note-se a propósito desta questão

F O’O

s|f|

|s’

s>f , ima em virtual

F’

∞

f

s=∞ , s’=f

F

∞

s=f s’=∞




que, por exemplo no caso de uma lente com a forma da representada na Figura 8.5, a nossa

convenção de sinais implica que se tome 1R positivo e 2 R negativo, de modo que os dois

termos da equação (8.7) que envolvem os raios de curvatura se somam em valor absoluto.

8.4. Amplificação Linear

Vejamos agora como calcular a amplificação linear m de uma lente fina, que se define

como o quociente entre o tamanho ' y da imagem dada pela lente e o tamanho y do objecto

(ver Figura 8.7), tendo em conta a orientação. O raio luminoso representado a partir do

extremo do objecto passa pelo centro da lente, e não é desviado porque, nesta situação, o

desvio devido à primeira transmissão é compensado pelo desvio que ocorre na segunda. O

outro raio luminoso que se representa também não é desviado porque incide segundo a

normal. Temos então

s

y

' s

' y tan =

−=θ

e portanto

(8.9)s

' s

y

' y m −==

Figura 8.7

Note-se que a amplificação pode ser positiva ou negativa, conforme a orientação da

imagem seja a mesma que a do objecto ou não. Neste exemplo, a ampliação é negativa.

Aplicação: Uma máquina fotográfica utiliza uma lente de 50mm de distância focal. Cada

quadro de película mede 24 mm de largura e 35mm de comprimento. Qual deve ser a

distância entre a lente e a película para que a imagem de um objecto situado a 10 0. m de

distância da máquina aparece bem focada? Se o objecto fotografado tem 2 00. m de altura, qual

será a altura da sua imagem na película?

Usando a equação das lentes (8.8) temos que a distância entre a lente e a película para a

qual a imagem aparece focada é s' dada por

y -y’θ

θ

s s’



Capítulo 8 204

1

10

1 1

05+ =

s' .

ou seja, s mm' .= 503 . Pela definição de ampliação, a altura da imagem é dada por y my ' = ,

onde y m= 2 0. e, por (8.9), m s s= − = − × −'/ .503 10 4 , de modo que vem y m' .= −0 01 . O sinal

negativo indica que a imagem é invertida.

Na Figura 8.8 mostra-se um método gráfico para obter as imagens de objectos formadas

por lentes convergentes e divergentes. A construção baseia-se em três raios principais que se

consideram a partir do extremo do objecto: um que passa pelo centro da lente, e portanto

não é desviado, um que é paralelo ao eixo óptico e portanto dá origem a um raio transmitido

que passa por um dos focos, e um terceiro que passa pelo outro foco e que dá origem a um

raio transmitido paralelo ao eixo óptico.

Figura 8.8

8.5. O Olho Humano

Ao contrário do que acontece numa máquina fotográfica, em que a distância da objectiva

à película é um parâmetro variável que permite obter imagens focadas de objectos situados a

distâncias diferentes, no olho humano a distância da pupila à retina é fixa. O parâmetro que

se ajusta para permitir a focagem é a forma do cristalino, através da acção dos músculos

ciliares (Figura 8.9). O cristalino comporta-se como uma lente convergente de forma (e

Objecto real – imagem virtual

F

F’

O

O’

s s’

F F’O

O’

s

|s’|

F’ F

O O’

s

|s’|

Objecto real – imagem real Objecto real – imagem virtual

F’F

O

O’|s|

|s’|

Objecto virtual – imagem virtual




portanto distância focal) variável, de maneira a permitir a focagem na retina de objectos

situados a distâncias diferentes.

Figura 8.9

Na situação em que os músculos ciliares estão relaxados, a tensão nos ligamentos que

sustentam o cristalino é máxima, e o raio de curvatura das superfícies exteriores do

cristalino é máximo. Portanto, a potência óptica é mínima, e a distância focal é máxima e,nos indivíduos com visão normal, igual à distância da pupila à retina. Isto significa que as

imagens de objectos muito distantes são focadas na retina. Para observar objectos situados

a distâncias mais próximas, cuja imagem por lentes convergentes se forma, como vimos, a

uma distância da lente superior à distância focal, é necessário que a distância focal do

cristalino diminua e passe a ser inferior à distância da pupila à retina. Isso consegue-se

através da contracção dos músculos ciliares, que reduz a tensão dos ligamentos que

sustentam o cristalino, aumentando portanto a convexidade das paredes e também a

potência óptica. Este processo tem evidentemente um limite para o qual este processo de

focagem é eficaz, e chama-se ponto próximo à distância mínima focável, que para umindivíduo com visão normal é de cerca de 25cm .

A miopia e a hipermetropia são defeitos de visão que se podem interpretar facilmente em

termos da potência óptica do cristalino. No caso da miopia, o que acontece é que a potência

óptica mínima do cristalino (que corresponde à situação em que os músculos ciliares estão

relaxados) é demasiado grande: a distância focal é inferior à distância da pupila à retina, e

portanto as imagens de objectos afastados formam-se desfocadas na retina. A correcção da

Cristalino (n=1.42)

Humor vítreo (n=1.34)

Córnea

Humor aquoso (n=1.34)

Músculo ciliar

Íris

RetinaCoróide

Nervo óptico

Ponto cego



Capítulo 8 206

miopia faz-se por isso com lentes negativas. No caso da hipermetropia a situação é

simétrica: mesmo com a contracção dos músculos ciliares, a potência óptica é demasiado

pequena (a distância focal é demasiado grande) para permitir focar na retina objectos

próximos, e a correcção faz-se com lentes convergentes.

8.6.

Instrumentos Ópticos

A lupa e o microscópio permitem aumentar o tamanho da imagem formada na retina por

um objecto observado com o auxílio destes instrumentos.

Figura 8.10

(a)

objectoy

d=25cm O

θ θ

(b)Plano focal

objectoy

d=f

Imagemno ∞

O

θ' θ'

imagemy’

(c)

d=25cm

O




A maneira como funciona uma lupa está indicada na Figura 8.10, em que se consideram

duas situações: em (b), o objecto está colocado num foco da lupa, e em (c) encontra-se a uma

distância da lupa inferior à distância focal, situado de tal maneira que a imagem (virtual) se

forma no ponto próximo, e a lupa encontra-se junto à pupila. Na primeira situação, a

amplificação da lente, que se define como o quociente entre os ângulos ' θ e θ

subtendidos pela imagem do objecto na retina quando visto com e sem o auxílio da lupa,

respectivamente, vem dada por

f

d

d /y

f /y ' M =≈=

θ

θ

onde d é o ponto próximo. Note-se que o ângulo θ subtendido pela imagem na retina,

quando visto sem o auxílio da lupa é sempre calculado supondo que o objecto está colocado

no ponto próximo, dado que essa é a situação óptima.

A situação da Figura 8.9 c) é a que permite tirar o máximo partido da lente, tendo-seneste caso

1 f

d M +=

Aplicação: Provar esta última afirmação.

Temos

y

' y

d/ y

d/' y 'M ==

θ

θ=

onde y' denota a altura da imagem virtual formada pela lente, à distância − =s d' da lente.

Aplicando a equação (8.8.) aos pontos onde se encontram o objecto e a imagem, temos

f

1

d

1

s

1=−

ou seja, ( )df /fds += . Por outro lado

s

d

s

's

y

' y ==

de modo que vem finalmente 1f /dM += .

O microscópio óptico representado esquematicamente na Figura 8.11 utiliza um sistema

semelhante ao que descrevemos para a lupa na ocular, e o objecto da ocular é a imagem

formada pela objectiva. A amplificação global é o produto das amplificações conseguidas em

cada um destes processos. Do ponto de vista da óptica geométrica, é possível em princípio



Capítulo 8 208

construir microscópios ópticos com amplificação arbitrariamente grande. No entanto, vimos

já que a difracção estabelece limites à resolução que é possível conseguir com um

instrumento óptico, o que na prática significa que não é possível resolver imagens com

amplificações superiores a 500 .

Figura 8.11

Imagem real (objectiva) = Objecto real

F1

F1’

F2

Imagem virtual (ocular)

Objecto real (objectiva)

OCULAR

OBJECTIVA




Aplicação: Determine em função do comprimento de onda da radiação utilizada a resolução

máxima de um microscópio óptico de distância focal f e objectiva de diâmetro D .

Do capítulo anterior sabemos que o ângulo de difracção dθ é dado por

D22.1d

λ=θ

Como a distância do objecto à objectiva é muito próxima da distância focal f , a resolução d

vem dada aproximadamente por

D

f 22.1f d d

λ=θ≈ .

Por outro lado, da equação (8.7), f é da ordem do raio de curvatura da superfície da lente, e

o raio de curvatura da lente tem que ser maior que o raio da lente 2/D . Portanto, o valor mínimo para d é da ordem de metade do comprimento de onda.



Capítulo 8 210



Radioactividade 211

CAPÍTULO 9.

RADIOACTIVIDADE

9.1. Introdução

Um núcleo atómico é constituído por um conjunto compacto de protões e neutrões, de tal

forma que o volume do núcleo, tomado como esférico, é directamente proporcional ao

número total de partículas constituintes (nucleões). Conhecida esta configuração

dificilmente se entende a existência de núcleos estáveis; sabe-se no entanto, que a

estabilidade dos núcleos é devida à existência de forças nucleares, forças atractivas e de

curto alcance, que se estabelecem entre todos os nucleões, sobrepondo-se às forças

electrostáticas repulsivas entre protões.

Existem aproximadamente 400 núcleos estáveis. Para estes núcleos pode definir-se

uma "energia de ligação", que corresponde à diferença de energia entre as energias

correspondentes aos nucleões separados e os nucleões sob a forma do núcleo considerado,

energia que será necessário fornecer se quisermos separar os nucleões.

Para além dos núcleos estáveis são conhecidas centenas de núcleos instáveis. Um núcleo

instável, que não se encontra no estado de mais baixa energia correspondente ao número de

nucleões respectivo, vai desexcitar-se, num tempo mais ou menos curto, emitindo radiação.

O núcleo diz-se então radioactivo e a desexcitação respectiva constitui o fenómeno da

radioactividade.

9.2. Tipos de Emissão Radioactiva

A emissão radioactiva (resultante de radiação proveniente do núcleo) pode ser de três

tipos:



Capítulo 9 212

- Emissão α αα α

Este processo de desexcitação (declíneo α ) é uma consequência da instabilidade devida à

força de Coulomb, que ocorre em núcleos grandes, de número atómico superior a 82. As

partículas emitidas são partículas pesadas com carga positiva (núcleos de 4He), designadas

por partículas α . O núcleo emite estas partículas, e não um só protão, porque elas sãomuito estáveis do ponto de vista da interacção nuclear a qual domina as ligações no núcleo.

Um elemento que emite uma partícula α perde a sua identidade química, ou seja, o

núcleo progenitor não pertence ao mesmo elemento que o núcleo descendente.

Um elemento X é definido pelo seu número atómico Z (número de protões no núcleo), e

um isótopo de um elemento é definido também pelo número de massa A (número de protões

e de neutrões no núcleo).

De acordo com a notação habitualmente utilizada para representar um nuclido (núcleo

pertencente a um isótopo de um elemento), teremos para a emissão α

X X 4 A 2 Z

A Z

−

−+→ α

núcleoprogenitor 2

4 He núcleodescendente

- Emissão β ββ β

Neste caso as partículas emitidas são electrões ou positrões (antipartícula do electrão com

massa igual à massa do electrão e carga positiva igual em módulo à carga do electrão). No

caso das partículas emitidas serem electrões falamos de declíneo − β , e tem-se

X X A 1Z

A Z +

−+→ β

Para positrões falamos de declíneo + β , e tem-se

X X A 1Z

A Z −

++→ β

O declíneo β corresponde a uma alteração das partículas que constituem o núcleo. No

interior do núcleo o número de neutrões (n ) e protões ( p ) mantém-se estacionário se o

núcleo está no estado fundamental. Se este não está no estado fundamental, e decai poremissão β , o decaimento pode interpretar-se como resultante de uma de duas situações:

- o núcleo emite uma partícula β negativa (um electrão); tem-se

−+→ β p n



Radioactividade 213

- o núcleo emite uma partícula β positiva (um positrão – antipartícula do electrão);

neste caso

++→ β n p

Existe um outro tipo de declíneo designado por captura electrónica que corresponde auma desexcitação análoga à da emissão + β , mas na qual em vez de ser emitida uma

partícula + β , é capturado um electrão da nuvem electrónica do átomo.

- Emissão γ γγ γ

Neste caso as partículas emitidas são fotões de energia elevada (em geral da ordem de

grandeza do MeV) e tem-se

X X A Z

* A Z +→ γ

onde o asterisco representa um estado excitado do núcleo considerado.

Embora menos frequente podemos ainda referir a cisão como modo de declíneo de um

núcleo pesado; neste processo o núcleo separa-se em dois ou mais núcleos com massa

inferior à do núcleo progenitor.

9.3. Evolução Temporal e Actividade

Numa amostra radioactiva, os núcleos excitados decaem em cada instante com uma certa

probabilidade, que é constante. Se designarmos por λ a probabilidade de um núcleo decair

numa unidade de tempo, a probabilidade de um núcleo decair no intervalo de tempo t ∆ é

t ∆λ . Sendo o número de núcleos radioactivos existentes, tomando a fracção de núcleos

que decai nesse intervalo de tempo t ∆ como N /N ∆− (o sinal negativo dá conta da

diminuição do número de núcleos), tem-se

t N

∆λ ∆

=−

Para um intervalo de tempo muito pequeno dt

dt dN

λ −=

que por integração dá

( ) ( ) ( )0 0 t t N ln N ln −−=− λ

Considerando o instante inicial 0 t 0 = tem-se

t 0 e N N λ −

=



Capítulo 9 214

A representação gráfica do número de átomos radioactivos em função do tempo é assim a

característica das variações temporais do tipo exponencial (ver Figura 9.1).

Figura 9.1

A grandeza λ tem dimensões de inverso de tempo e escreve-se normalmenteτ

λ 1= sendo

τ a vida média do núcleo, ou seja, o tempo em que a probabilidade média do núcleo decairse torna igual a 1.

É usual caracterizar um núcleo radioactivo por outro tempo característico. A grandeza

2 /1T ou tempo de meia vida do nuclido, define-se como o tempo em que uma certa

quantidade de nuclidos se reduz a metade. Este tempo, que se relaciona directamente

com τ , representa um parâmetro experimental mais directo. Tem-se

2 /1T 0

0 e N 2

N N

λ −

==

ou seja

2 /1T e 2

1 λ −

=

donde

) 2 ( n 1T 2 /1 =λ

ou ainda

2 ln 2 ln

T 2 /1 τ λ

==

0 2 4 6 8 100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0N/N0

t/ τ

0 2 4 6 8 10

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1N/N

0

t/ τ



Radioactividade 215

Como 693 .0 2 ln = , o tempo de meia vida é sempre inferior à vida média para cada espécie

radioactiva.

Uma fonte radioactiva é um conjunto de núcleos que inclui núcleos radioactivos.

Define-se a actividade de uma fonte radioactiva a como o número de átomos (ou

núcleos) que decai por unidade de tempo

dt

dN a −=

Como

t 0 e N N λ −

=

vem

t

0 e N a λ

λ −

=

e tem-se

N a λ =

Por outro lado 0 0 N a λ = , logo

t 0 e a a λ −

=

ou seja, a actividade de uma fonte radioactiva decai exponencialmente com o mesmo

parâmetro que o número de núcleos radioactivos.

A unidade utilizada para caracterizar a actividade, no sistema internacional, é o

becquerel (Bq) que se define como a actividade de uma fonte em que decai um nuclido por

segundo.

É também frequente expressar a actividade de uma fonte em curie (Ci), unidade que

apareceu com a descoberta da radioactividade e a identificação do primeiro elemento

radioactivo o rádio. Bq 10 7 .3 Ci 1 10 ×= é a radioactividade de um grama de rádio.

9.4. Efeitos Biológicos e Utilização de Isótopos Radioactivos

As partículas emitidas pelos núcleos radioactivos têm, em geral, energias elevadas, o que

significa que quando transferem essa energia para os tecidos biológicos podem destruí-los. O

grau de destruição depende não só da energia associada a cada partícula mas também da

quantidade de partículas absorvidas e do seu tipo. Os cuidados necessários no

manuseamento destes materiais, dependem do tipo de fonte radioactiva.



Capítulo 9 216

Para medir o efeito de um certo tipo de radiação usa-se a grandeza dose, definida como a

energia absorvida por unidade de massa de material. A unidade respectiva no sistema SI é o

gray (Gy ) tendo-se

Kg /J 1Gy 1 =

É frequente utilizar como unidade de dose típica o rad (radiation absorved dose) definido

como

Gy 10 rad 1 2 −=

O efeito de um certo tipo de radiação nos tecidos biológicos é medida a partir da dose

biológica definida como

RBE Dose biológica Dose ×=

em que RBE (Relative Biological Effectiveness) é o número de partículas que produz o

mesmo efeito biológico que uma partícula X , e mede o efeito de destruição biológica, que

cresce com a energia das partículas, a sua massa e a sua carga.

Radiação RBE

X 1.0

β 1.0-1.7

α 10-20

lentos n 4-5

rápidos n 10

pesados iões 20

A unidade utilizada para a dose biológica é o rem (radiation equivalent men), definida

por

RBE rad em Doseremembiológica Dose ×= )()(

A dose típica por pessoa é devida à radioactividade natural (raios cósmicos + elementos

radioactivos) é aproximadamente igual a ano /rem 13 .0 , sendo o limite máximo aceitável

definido pelas organizações internacionais de saúde de ano /rem 5 .0 . No caso de pessoas

cuja actividade profissional envolve a exposição a fontes radioactivas, o limite pode ir até

ano /rem 5 supondo a realização de controles periódicos. Estas doses são supostas ser



Radioactividade 217

absorvidas exteriormente. No caso de ingestão ou inalação os valores devem ser obviamente

muito inferiores.

As radiações provenientes do núcleo podem também ser utilizadas de forma útil.

Salientaremos três dessas formas de utilização, a marcação, os efeitos terapêuticos e a

datação.

A marcação usa o facto de os átomos radioactivos emitirem energia característica, o que

permite detectar a sua localização. São assim utilizados em várias técnicas de diagnóstico e

em biologia. As actividades normalmente utilizadas em tecidos vivos são pequenas e os

nuclidos correspondentes devem ter vidas médias pequenas. Podemos referir como exemplos

Iodo 131 usado para estudar o funcionamento da tiróide

Sódio 24 injectado no sangue permite determinar obstruções do

sistema circulatório medindo a actividade nas várias

zonas do corpo

Bário 137 injectado na veia subcava permite por radiografia

seguir o funcionamento do coração

Carbono 14 usado para estudar fenómenos de transporte em

plantas.

Para efeitos terapêuticos os nuclidos são utilizados para destruir células indesejáveis, o

que se consegue em geral por ionização dos constituintes da célula. Uma das utilizações

mais comuns é no tratamento do cancro, em que se utilizam por vezes implantes

radioactivos.

Finalmente na datação utiliza-se a informação de que dispomos sobre as vidas médias de

nuclidos existentes na Natureza. Por exemplo o urânio 238 tem um período de meia vida

igual a anos 10 5 .4 9 × ; como a formação da Terra ocorreu à anos 10 5 9

× , existe ainda mais

de ¼ da quantidade deste isótopo que existia quando a Terra se formou. Sabendo que o

produto final do declíneo do urânio é o chumbo ( Pb 206 ), supondo que à data de formação

das rochas existiam 0 N átomos de U 238 e que agora existem átomos de U 238 e 1N

átomos de Pb 206 (supondo ainda que todo o chumbo provem do declíneo do urânio), pode

dizer-se que 10 N N N += . Como t 0 e N N λ −

= , em que t mede o tempo desde a formação da

rocha até à actualidade temos



=

N

N ln

1t 0

λ

e portanto a idade da rocha vem dada em função de e 1N por

+

N

N N

ln

1 1

λ

Existem três isótopos naturais, U 238 92 , U 235

92 e Th 232 90 , que ainda se podem encontrar em

quantidades apreciáveis.

No caso dos organismos vivos, o isótopo normalmente utilizado para datação é o carbono

14. O carbono natural é uma mistura de carbono 12 (não radioactivo) e carbono 14

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