Fisica II - Ingegneria Biomedica - A.A. 2017/2018 - Appello del 13/9/2018

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Nome: Cognome: No Matricola:

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1) Consideriamo le 3 cariche in figura con q1 = 4q, q2 =-2q, q3 = -q, q=1 C; sia a =4 cm.

a) Calcolare le componenti lungo gli assi Ex, Ey del campo elettrico totale generato dalle 3 cariche nel punto P (x = a, y = a)

b) Calcolare l’angolo che la direzione del campo elettrico totale nel punto P forma con l’asse x c) Disegnare con una freccia in figura il campo elettrico totale in P, indicando approssimativamente direzione e verso d) Assumendo nullo il potenziale all’infinito, calcolare il potenziale elettrostatico generato dalle 3 cariche nel punto P

2

29

0

1094

1

C

Nmk

7 7

5

) 0.329 10 0.233 10

) 35.3 ) 0.386 10

x y

o

P

N Na E E

C C

b d V V

1 2 2

4 4ˆ ˆcos(45 ) sin(45 )

2 2

o oq qE k x k y

a a

2 32 2

2ˆ ˆ

q qE k x E k y

a a

2 2ˆ ˆ2 2 2 1TOT

q qE k x k y

a a

2

9 7

2 29 10 0.586 0.329 10

(4 )x

Nm C NE

C cm C

--------------------------------------------------------------------------------- 2) Una sfera conduttiva con carica qs = 3 C e raggio a = 4 cm è posta al centro di due gusci

conduttori sferici concentrici; il primo guscio ha raggio interno b = 9 cm ed esterno c = 10 cm; sul

guscio è presente una carica q1 = 2 C; il secondo guscio ha raggio interno d = 14 cm ed esterno e =

15 cm; su di esso è presente una carica q2 = 1 C.

a) Determinare le cariche Q1,int e Q1,est accumulate sulla superficie interna ed esterna del primo guscio. b) Determinare le cariche Q2,int e Q2,est accumulate sulla superficie interna ed esterna del secondo guscio. c) Calcolare l’intensità del campo elettrico nei punti r = 3 cm, r =7 cm, r = 9.5 cm, r =12 cm, r =14.5 cm, r = 16 cm.

a) Q1,int = -3 C Q1,est = 5 C

b) Q2,int = -5 C Q2,est = 6 C

La sfera e i due gusci sono tutti conduttori, per cui il campo è nullo al loro interno;

7

7 7

3 0 7 0.55 10 ( / ) 9.5 0

)

12 0.3125 10 ( / ) 14.5 0 16 0.211 10 ( / )

r cm E r cm E N C r cm E

c

r cm E N C r cm E r cm E N C

29 7

2 29 10 0.4142 0.233 10

(4 )y

Nm C NE

C cm C

0.233tan( ) 0.7083 35.3

0.329

y o

x

E

E

29 5

2

4 2 43

2 2

9 10 0.17 0.386 104

P

q q q qV k k k k

a a aa

Nm CV

C cm

29 7

2 2

29 7

2 2

29 7

2 2

3 , 9.5 ,14.5 0

37 9 10 0.55 10 ( / )

(7 )

512 9 10 0.3125 10 ( / )

(12 )

616 9 10 0.211 10 ( / )

(16 )

r cm cm cm E

Nm Cr cm E N C

C cm

Nm Cr cm E N C

C cm

Nm Cr cm E N C

C cm

------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 3) Il circuito in figura include una batteria con forza elettromotrice E = 12 V, e 4 condensatori con

capacità C1 = 5 F, C2 = 8 F, C3 = 4 F, C4 = 10 F. a) Calcolare le cariche q1, q2, q3, q4, presenti sui condensatori

b) Calcolare le d.d.p. V1, V2, V3, V4 presenti ai piatti dei condensatori. c) Calcolare l'energia elettrostatica U1, U2, U3, U4 immagazzinata nei condensatori. d) Ricalcolare le cariche q1, q2, q3, q4, dopo che C2 è stato riempito di una sostanza di

costante dielettrica relativa r2 = 4, e C4 riempito di una sostanza con r4 = 6.

e) Ricalcolare i potenziali V1, V2, V3, V4 dopo l'inserimento dei dielettrici f) Ricalcolare l'energia elettrostatica U1, U2, U3, U4 dopo l'inserimento dei dielettrici

SENZA DIELETTRICI:

1 212 34 3 4 1234 12 34

1 2

3.077 14 17.077C C

C F C C C F C C C FC C

12 1 2 12 3 3 4 4

1234 1234

36.923 48 120

204.923

q q q C C q C C q C C

q C C

E E E

E

11

1

36.9237.385

5

q CV V

C F

22

2

36.9234.615

8

q CV V

C F

3 4 12V V V

2 2

1 1 1

2 2

2 2 2

2 2 2 2

3 3 3 4 4 4

12.5 (7.385 ) 136.345

2

14 (4.615 ) 85.19

2

1 12 (12 ) 288 5 (12 ) 720

2 2

U C V F V J

U C V F V J

U C V F V J U C V F V J

CON I DIELETTRICI:

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1

) 36.923 36.923 48 120

) 7.385 4.615 12 12

) 136.345 85.19 288 720

) 51.89 51.89 48 720

) 10.378 1.622 12 12

) 269.25

a q C q C q C q C

b V V V V V V V V

c U J U J U J U J

d q C q C q C q C

e V V V V V V V V

f U

2 3 47 42.094 288 4320J U J U J U J

1 212 34 1234 12 34

1 2

4.324 64 68.324C C

C F C F C C C FC C

12 1 2 12 3 3 4 4

1234 1234

51.89 48 720

819.89

q q q C C q C C q C C

q C C

E E E

E

1 21 2

1 2

51.89 51.8910.378 1.622

5 32

q qC CV V V V

C F FC

3 4 12V V V

2 2

1 1 1

2 2

2 2 2

2 2 2 2

3 3 3 4 4 4

12.5 (10.378 ) 269.257

2

116 (1.622 ) 42.094

2

1 12 (12 ) 288 30 (12 ) 4320

2 2

U C V F V J

U C V F V J

U C V F V J U C V F V J

4) Un campo magnetico uniforme, d’intensità B = 0.5 T, è diretto lungo l’asse z; un protone (m =

1.710-27 Kg, q = 1.610-19 C) entra nel campo magnetico con velocità iniziale:

a) Calcolare le componenti lungo gli assi Fx, Fy, Fz e l’intensità F della forza di Lorentz che agisce sul protone. b) Calcolare il modulo dell’accelerazione centripeta ac che agisce sul protone c) Calcolare il raggio r dell’orbita circolare compiuta dal protone attorno al campo magnetico d) Calcolare il passo p del moto elicoidale del protone e) Calcolare l’energia cinetica K del protone

Ricordiamo che nel moto circolare uniforme:

La forza di Lorentz agisce soltanto nel piano perpendicolare al campo magnetico, ovvero nel piano

(x,y). Calcoliamo la forza di Lorentz dalla formula generale basata sul prodotto vettoriale:

Dalla forza calcoliamo l’accelerazione centripeta usando la formula di Newton:

Dall’accelerazione centripeta calcoliamo il raggio del moto circolare

6 6 6ˆ ˆ ˆ4 10 6 10 8 10m m m

v x y zs s s

2

c

va

r

19 6 13

19 6 13

2 2 2 13

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ

0 0

1.6 10 6 10 0.5 4.8 10

1.6 10 4 10 0.5 3.2 10

0

5.77 10

x y z y z x z

z

x

y

z

x y z

x y z

F qv B q v v v q v B x q v B y

B

mF C T N

s

mF C T N

s

F

F F F F N

1314

27 2

5.77 103.39 10

1.7 10c

F N ma

m Kg s

2 2 2 12 2 22

14

2

(16 36) 10 /15.34 10

3.39 10

x y

c c

v v v m sr m

ma a

s

Il passo è lo spazio percorso dal protone nella direzione del campo in un periodo; dunque:

Infine l’energia cinetica è:

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

5) Una spira triangolare con resistenza R = 6 e base a = 6 cm, è parzialmente immersa in una

regione (area grigia) di campo magnetico B uniforme perpendicolare alla pagina, di verso uscente. La spira è fissata nella posizione in figura ed immobile. L’intensità del campo magnetico varia nel tempo con la legge:

a) Calcolare intensità e verso (orario oppure antiorario) della corrente iin indotta nella spira agli istanti t = 0.1 s, t = 1 s. b) Calcolare la potenza dissipata sulla spira agli istanti t = 0.1 s, t = 1 s. c) Calcolare in componenti cartesiane le forze F1, F2, F3 che il campo magnetico B(t) esercita sui lati 1, 2, 3 della spira all’istante t = 1 s

L’altezza del triangolo è h=a/2, l’area totale del triangolo è ah/2 = a2/4; la porzione immersa nel campo magnetico è chiaramente metà dell’area totale, dunque A= a2/8

2( ) ( 4 )tB t e t T

13 13 13

14 2 15

2

) 4.8 10 3.2 10 0 5.77 10

) 3.39 10 ) 15.34 10 ) 1.07 ) 98.6 10

x y z

c

a F N F N F F N

mb a c r m d p m e K J

s

6 2 2 628 10 7.21 10 1.11

1.11 2 15.34 1.07

z x y

vr m mp v T v v v v v v

v s s v

p cm m

27 22 12 15

2

1 1.7 10(16 36 64) 10 98.6 10

2 2

Kg mK mv J

s

2 4 2

2 4 236 102 4 0.75 10 2 4

8 48

t tiin

a B m Ti e e A

R R t s

E

✓ t = 0.1 s B diminuisce iin circola in senso antiorario, in modo da compensare con il

campo indotto la riduzione di B. ✓ t = 1 s B aumenta iin circola in senso orario, in modo da opporre il campo indotto

all’aumento di B

A t=1s la corrente scorre in verso orario; le forze sono perpendicolari ai lati della spira; il lato 2 è esterno al campo, per cui F2=0; il lato 1 è inclinato di 45º rispetto agli assi cartesiani; dunque anche F1 è inclinata di 45º rispetto agli assi; F3 è diretta nel verso dell’asse y positivo

4

4

0.1 1.168 10

)

1 8.084 10

in

in

t s i A

a

t s i A

2 8 2 8

2 8 2

0.1 6 1.364 10 8.185 10

)

1 6 65.35 10 3.92

in

in

t s P Ri A W

b

t s P Ri A W

4 2

4 2

0.1 : 1.168 10 / 2 4 0

1 : 8.084 10 / 2 4 0

t

in

t

in

t s i A dB dt e

t s i A dB dt e

inF i L B

1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆcos(45 ) sin(45 )

2 2

o o

in in in in

a aF i L B x i L B y i B x i B y 2 3

ˆ02

in

aF F i B y

1 222

a aL L 2 4 2 63 10 8.084 10 4 82.2 10

2in

ai B m A e T N

----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6) Consideriamo il circuito in figura con E = 12 V, L = 6 H, R1 = 10 , R2 = 8 R3 = 12 R4 = 15

a) Nell’istante di chiusura del circuito calcolare le correnti i1, i2, i3 , i4 che attraversano le resistenze R1, R2, R3, R4.

b) Nello stesso istante calcolare le d.d.p. V1, V2, V3, V4

ai capi di R1, R2, R3, R4 e la d.d.p. VL ai capi dell'induttore L c) All’istante t = 1.2 s, calcolare la corrente i(t) nel ramo della

batteria, la d.d.p. ai capi dell’induttanza VL(t), e l’energia

immagazzinata U(t)

d) Ricalcolare le correnti i1, i2, i3, i4 nel limite di tempo lungo e) Indicare con frecce in figura il verso delle correnti i1, i2, i3 , i4 calcolate nel tempo lungo

f) Ricalcolare i potenziali V1, V2, V3, V4, VL nel tempo lungo Calcoliamo le resistenze equivalenti, la corrente al tempo infinito, e la costante di tempo caratteristica del circuito RL:

Le espressioni della corrente e della d.d.p. ai capi di L in funzione del tempo sono:

Al tempo t=1.2 s si ha:

6 6

1, 1, 1,

2, 2, 2,

6

3, 3, 3,

lato1: 82.2 10 82.2 10 0

) lato 2 : 0 0 0

lato3: 0 82.2 10 0

x y z

x y z

x y z

F N F N F

c F F F

F F N F

34 234 1234

21627 6.17 ; 16.17

35R R R

/ / 21( ) 1 ( ) ( ) ( )

2L Lt t

Li t i e V t e U t Li t

E

1234

0.371L

Ls

R

3.234L

t

3.23412 0.473LV V e V 3.2340.742 1 0.713i e A A

1234

0.742i AR

E

Come verifica del risultato si consideri che ad ogni istante deve essere soddisfatta l’equazione di Kirchoff:

All’istante iniziale L si comporta come un circuito aperto, ovvero VL compensa la tensione della batteria:

Nel regime stazionario L è un circuito chiuso; applichiamo Kirchoff alla maglia di sinistra:

1 2 3 4) 0 0 0 0a i i i i

1 2 3 4) 0 0 0 0 12Lb V V V V V V E

1234 12LR i V V

1 2V V E 1 0.742i i A 1 1 1 7.42V i R V

2 12 7.42 4.58V V V V

2 22 3 4

2 34

0.5725 0.170V V

i A i i AR R

3 3 3 4 4 42.04 2.55V i R V V i R V

1 2 3 4) 0.742 0.5725 0.17 0.17d i A i A i A i A

1 2 3 4) 7.42 4.58 2.04 2.55 0Lf V V V V V V V V V

2

3 0.713 1.525U H A J