Vectores libres

Física IGrado en Ingeniería de

Organización IndustrialPrimer Curso

Antonio González Fernández/Ana Mª Marco Ramírez Curso 2017/2018

Dpto. Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla

Las magnitudes físicas se dividen en escalares, vectores y tensores

Las diferentes magnitudes pueden ser:Escalares

Se caracterizan sólo por un número (con signo)

VectorialesMódulo (cantidad escalar positiva)DirecciónSentido

Tensores de orden superiorRepresentables por matrices

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Todas las leyes físicas poseen homogeneidad en sus expresiones

En todas las ecuaciones debe haber homogeneidad:Los dos miembros son del mismo tipoTodos los sumandos son del mismo tipo

Un escalar nunca puede ser igual a un vectorUn escalar nunca puede sumarse a un vector

Para distinguirlos, es importante incluir las flechas ( ). En los libros, los escalares van en cursiva (A) y los vectores en negrita (A)

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A B C

A B C

A B C

A B C

Correcto Incorrecto

A

Operaciones internas con cantidades escalares: suma y producto

Pueden sumarseEl resultado es un escalarRequiere que los sumandos tengan las mismas unidadesEl resultado tiene las mismas unidades que los sumandosEjemplo: masa de un sistema

Pueden multiplicarseEl resultado es un escalarSus unidades son el producto de las de los factores

La suma y el producto poseen las propiedades asociativa y conmutativa.

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1 2 3

1

n

iV

i

M m m m m M dm

Vector: ente que posee una dirección y un sentido

Es un ente que además de su valor escalar (módulo) posee dirección y sentido. Ej.: Fuerza

Un vector puede darse indicandoMódulo y dos ángulos con los ejes (un ángulo en 2D)Componentes respecto a una base (siempre hay que indicar la base)

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3 2 NF j k

Tipos de vectores

Los vectores pueden ser libres, ligados o deslizantes, dependiendo de la información necesaria para describirlos:

Los ligados requieren dar módulo, dirección, sentido y punto de aplicación (origen) (ej. campo eléctrico)Los deslizantes requieren dar módulo, dirección, sentido y recta soporte, pero no punto de aplicación (pueden deslizarse sobre su recta soporte, definida por el punto de aplicación y la dirección del vector) (ej. fuerzas sobre un sólido rígido)Los libres sólo requieren dar módulo, dirección y sentido (pueden trasladarse de un punto a otro) (ej. resultante del conjunto de fuerzas que actúan sobre un sólido rígido)

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Los vectores pueden sumarse, empleando la regla del paralelogramo

Los vectores pueden sumarse, resultando un vector. Ej. Resultante de dos fuerzas

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Puede emplearse la regla del paralelogramo o poner uno a continuación del otro.Para que se puedan sumar deben ser libres o tener el mismo origenLa suma verifica la propiedad asociativa y la conmutativa

AB

A

B

A BA B

B

A

Los vectores pueden multiplicarse por cantidades escalares

Un vector puede multiplicarse por un número. Ej. fuerza eléctrica sobre una carga puntual

El resultado es otro vectorMisma direcciónMismo sentido, si q>0. Opuesto, si q<0Módulo igual a

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F qE

F q E

A 3A× 3 =

Combinaciones lineales: unen suma y productos por escalares

Reuniendo la suma de vectores y la multiplicación por escalares se obtienen las combinaciones lineales. Ej. Cantidad de movimiento de un sistema

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1 1 2 2 3 3

1

n

i i

i M

p m v m v m v m v p vdm

A B

3B

2A2 3A B

Al expresar las componentes de un vector en función de una base se hace una combinación lineal

2 3A i j k

Normalización

Una vez definido el producto de un vector por un escalar, para obtener un vector unitario con la dirección y sentido de uno dado, basta con dividir dicho vector por su módulo (normalización):

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, 1a

u u ua

Base ortonormal dextrógira

Si en E3 tomamos tres vectores unitarios y ortogonales entre sí, , construimos una base ortonormal: cualquier vector puede escribirse como combinación lineal de los vectores de la base. Los vectores de la base generan todos los demás.

Dados los vectores ortonormales, , que forman una base ortonormal, decimos que se trata de una base ortonormal dextrógira si se cumple la regla de la mano derecha.

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1 2 3, ,u u u

1 2 3, ,u u u

1 1 2 2 3 3A Au A u A u

Componentes de un vector

Dada la base , formada por tres vectores unitarios ortogonales en las direcciones de los tres ejes cartesiano, cada vector puede escribirse como combinación lineal de dicha base:

Al cambiar de base cambian las componentes, pero NO cambia el vector

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r x y j zk

r x y j z k

r

j

j

y

y

Y

X

Y

X Por eso no se deben indicar los vectores como (x,y,z): hay que indicar siempre la base.

, ,j k

Coordenadas cartesianas de un punto

Dado el punto P, su vector posiciónrespecto al origen de coordenadas puede expresarse en función de los vectores de la base

La posición relativa del punto Qrespecto al P, , sería:

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, ,j k

P x y zr OP p p j p k

Q x y z

x x y y z z

r OQ q q j q k

PQ OQ OP q p q p j q p k

PQ

Producto escalar: operación entre vectores que produce un número

Dos vectores pueden multiplicarse, resultando un escalar (ej. Trabajo realizado por una fuerza constante)

donde α es el ángulo que forman y • El producto escalar se anula si los vectores son

ortogonales.• Si tenemos las componentes en una base ortonormal

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· cosF r F r

F r

·

x y z

x y z

F F i F j F kF r F x F y F z

r x i y j z k

Producto escalar: propiedades

El producto escalar es conmutativoEl producto escalar NO es asociativo

No se puede definir el producto escalar de tres vectoresSe verifica la desigualdad

El producto escalar es lineal (se pueden “quitar paréntesis”)

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· ·A B C A B C

1 2 1 2· · ·F F r F r F r

Producto escalar de los vectores de la base

Para los vectores se cumple:

siendo la delta de Kronecker.Por eso, el producto escalar, componente a componente, de dos vectores, se puede escribir:

siendo (A1,A2,A3) y (B1,B2,B3) las respectivas componentes de los vectores y en la base

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1 2 3, ,u u u

1

0i k ik

i ku u

i k

1 1 2 2 3 3A B AB A B A B

1 2 3, ,u u uA B

ik

Producto escalar: aplicaciones

Módulo de un vector:

Distancia entre dos puntos:

Cosenos directores:

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2 2 2

1 2 3a a a a a a

2 2 2

1 1 2 2 3 3,d P Q PQ PQ q p q p q p

2 2 2

1 2 3

2 2 2

1 2 3

cos 1,2,3

cos cos cos 1

i ii

a u ai

a a a a

Producto escalar: ecuación vectorial del plano

Plano que pasa por el punto P0(x0,y0,z0), de vector posición y es normal al vector

Dado el punto P (x,y,z), perteneciente al plano, con vector posición , entonces

es la ecuación vectorial del plano

Desarrollando, se obtiene la ecuación implícita:

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0 0 0 0r x y j z k

N A Bj Ck

r x yj zk

0 0 0 0N r N r Ax By Cz Ax By Cz D

0 0 0N P P N r r

𝐴𝑃 · 𝐵𝑃 =

Aplicaciones: El arco capaz

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Dado un diámetro 𝐴𝐵 de una circunferencia 𝑐 y un punto 𝑃 de 𝑐, el ángulo 𝐴𝑃𝐵es recto

𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝑃 = 𝑅

𝐴𝐶 = −𝐵𝐶

𝐴𝑃 = 𝐴𝐶 + 𝐶𝑃

𝐵𝑃 = 𝐵𝐶 + 𝐶𝑃 = −𝐴𝐶 + 𝐶𝑃

0

𝐴𝑃

𝐴𝐶

𝐶𝑃𝐵𝑃

𝐵𝐶A

P

BC

−𝑅2 + 𝑅2 == − 𝐴𝐶2+ 𝐶𝑃

2=

= −𝐴𝐶 · 𝐴𝐶 + 𝐴𝐶 · 𝐶𝑃 − 𝐶𝑃 · 𝐴𝐶 + 𝐶𝑃 · 𝐶𝑃 =

𝐴𝐶 + 𝐶𝑃 · −𝐴𝐶 + 𝐶𝑃 =

Producto vectorial: operación entre vectores que produce otro vector

Dos vectores se pueden multiplicar dando como resultado un vector. Ej. momento de una fuerza

Módulo

Dirección: la perpendicular a y a Sentido: el dado por la regla de la mano derecha

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M r F

senM r F r F

Fr

(Área del paralelogramo definido por los vectores)

r

Fα

MM

Producto vectorial: propiedades

El producto vectorial es anticonmutativo

El producto vectorial NO es asociativo

El doble producto vectorial es una combinación lineal de y que veremos más a fondo en su propio apartado.Cumple la propiedad distributiva respecto a la suma

Cumple la propiedad cancelativasiendo t un parámetro real

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r F F r

A B C A B C

A B C

B C

a b c a b a c

x a x b a b tx

Producto vectorial de los vectores de la base

Para la base

Para la base

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1 2 3, ,u u u

, ,j k

1 2 3 2 3 1 3 1 2 i k k iu u u u u u u u u u u u u

0

0

0

j k k j

j k j j j k

k j k j k k

Producto vectorial: expresión a partir de las componentes

El producto vectorial se anula si los vectores son paralelosSi se conocen las componentes cartesianas, puede calcularse mediante un determinante

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x y zx y z

y z x yx z

z y x z y x

i j kr xi y j zk

r F x y zF F i F j F k

F F F

y z x yx zi j k

F F F FF F

yF zF i zF xF j xF yF k

Producto vectorial: ecuación vectorial de la recta

Recta r que pasa por el punto P0(x0,y0,z0) con vector de posición y que va en la dirección del vector

Dado el punto P (x,y,z), perteneciente a la recta, con vector posición , entonces

, ecuación vectorial de la recta.La ecuación paramétrica, usando la propiedad cancelativa:

, siendo un t parámetro real. Y eliminando el parámetro, ecuaciones continuas:

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0 0 0 0r x y j z k

r x yj zk

0 x y zv v v j v k

0 0 0 0 0v P P v r r

0 0||v P P

0 0 0 0 0v r v r r r tv

0 0 0

x y z

x x y y z z

v v v

Producto mixto: unión de un producto escalar y uno vectoriales

Dados tres vectores puede calcularse su producto mixto

Su valor absoluto es igual al volumen del paralelepípedo que tiene por aristas esos tres vectores

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, , ·A B C A B C

CB

A

los tres vectores son coplanarios · 0A B C

||proy Volumen

B CA B C B C A

Producto mixto: propiedades

Permutabilidad cíclica:

Antipermutabilidad cíclica:

Pueden intercambiarse los signos de producto

Puede hallarse como un determinante

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· ·A B C A B C

·

x y z

x y z

x y z

A A A

A B C B B B

C C C

· · ·A B C B C A C A B

· ·A B C B A C

Producto mixto: aplicaciones

Producto mixto de los vectores de una base ortonormal dextrógira, :

En particular,

Dependencia lineal: Si (los tres vectores son coplanarios), entonces se puede poner uno de los tres vectores como combinación lineal de los otros dos.Por tanto, tres vectores, , constituirán una base vectorial de E3 si, y sólo si,

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1 2 3, ,u u u

1 2 3

1 0 0

0 1 0 1

0 0 1

u u u

1j k

0a b c

, ,a b c

0a b c

Producto mixto: ecuación del plano

Ecuación del plano, , que pasa por tres puntos no lineados P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2) y P3(x3,y3,z3). Todo punto P (x,y,z) que pertenezca al plano cumple la ecuación:

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1 1 1

1 1 1 2 1 2 1 2 12 3

3 1 3 1 3 1

0

x x y y z z

PP PP PP x x y y z z

x x y y z z

Doble producto vectorial: definición

Dados tres vectores, es el producto vectorial entre el primero y el vector resultante de multiplicar vectorialmente el segundo y el tercero.El vector que resulta es una combinación lineal del segundo y el tercero, así:

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· ·A B C AC B A B C

· ·A B C C A B AC B C B A

Doble producto vectorial: propiedades

No cumple la propiedad asociativa:

Satisface la identidad de Jacobi:

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0A B C B C A C A B

· ·A B C AC B A B C

· ·A B C C A B AC B C B A

Doble producto vectorial: aplicaciones

Desarrollo del producto escalar de dos productos vectoriales:

Descomposición de cualquier vector en una componente tangencial y otra ortogonal respecto de otro vector no nulo:

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A B C D C D A B C B D A A D B A C B D A D B C

A

V

2A V V V V A V A V V V A V A V V A

2 2 2 2

,t n

A V V A V V A V V A V VA A A

V V V V

t nA A A

Observaciones finales

Los vectores y los escalares son entes diferentes que no deben igualarse ni sumarse

Suma de escalares: escalarSuma de vectores: vector

Al hacer un producto debe observarse qué factores y de que tipo de producto se trata

Producto de escalares: escalarEscalar por un vector: vectorProducto escalar de vectores: escalarProducto vectorial de vectores: vector

Los vectores son independientes de la base

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