física do ambiente agrícola
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Notas de Aula de Física do Ambiente AgrícolaTRANSCRIPT
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Universidade Federal Rural de Pernambuco
Unidade Acadêmica de Serra Talhada
Curso: Agronomia
Disciplina: Física do Ambiente Agrícola
Professor: Mário Oliveira
Data: 15 /08/2011
1
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Notas
• Aprovação Qualificada: .
• Aprovação Simples: se , pode-se fazer a final:
• A primeira e a segunda verificação serão divididas em duas partes. A primeira parte com 4,0 pontos e a segunda parte com 6,0 pontos.
• Primeira V.A. : 09/05/2011 e 12/05/2011• Segunda V.A.: 16/06/2011 e 20/06/2011• Terceira V.A.: 07/07/2011• V.A. Final: 18/07/2011• Aulas extras: 24/03/2011 (Sala 01 Bloco 03 08:00-10:00), 14/04/2011 (Sala 01 Bloco 03 08:00-
10:00), 19/05/2011 (Sala 02 Bloco 03 08:00-10:00), 26/05/2011 (Sala 01 Bloco 03 08:00-10:00), 02/06/2011(Sala 01 Bloco 03 08:00-10:00)
0,7..3..2..12
1
5/35/25/35/2
AVAVAV aaa
0,3..3..2..12
1 AVAVAV aaa
0,5....3..2..12
1
2
1
FinalAVAVAVAV aaa
2
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Faltas
• 25% é o limite máximo.• O número máximo de faltas é 19.
Listas de Exercícios
https://sites.google.com/site/ensinodefisicanauast/home/listas-de-exercicios
Gabaritos
https://sites.google.com/site/ensinodefisicanauast/home/gabaritos
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Bibliografia
• Fundamentos de Física I,II, IV Halliday e Resnick. Editora L.T.C., 2009, 8a ed..
• Física I, Sears e Zemansky, Addison Wesley, 2006, 10a ed.
• Física, Volume 1, Paul A. Tipler, Gene Mosca, Editora L.T.C., 2006, 5a ed.
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Física do Ambiente Agrícola
Turma: SA3Código da Disciplina: FISC5002
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Movimento Retilíneo
Unidade I
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Movimento
• Quando um objeto ocupa lugares diferentes em tempos diferentes, dizemos que ele está em movimento.
• O movimento mais simples é aquele que acontece sobre uma linha reta. Para simplificar ainda mais, vamos considerar o objeto como um ponto: ponto material (ponto dotado de massa).
• O movimento retilíneo (sobre uma linha reta) é o que vamos tratar no início.
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Posição e Deslocamento
• Posição é uma coordenada do referencial do observador, representada por um vetor que aponta da origem (onde está o observador) até o objeto que estamos estudando (partícula).
• É a trilha deixada pela partícula quando se move de uma posição para outra.
• Sua unidade no S.I. é o metro.
12 xxx Deslocamento 1-D
12 rrr Deslocamento 2-D ou 3-D
8
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Exemplo 4-1
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Solução
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Exemplo 4-2
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Solução
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(b) Podemos obter as seguintes coordenadas para x e y nos seguintes tempos:
Tempo (s) Coordenada x (m) Coordenada y (m)
0 28 30
5 56,25 -10
10 69 -39
15 66,25 -57
20 48 -64
25 14,25 -60
x
y
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Velocidade Média
• Velocidade média é a medida da rapidez de uma partícula em um intervalo de tempo. É obtida através da inclinação da secante que une dois pontos no gráfico da posição em função do tempo. Unidade do S.I.: m/s.
passadofuturo
passadofuturomédia tt
xx
t
xv
Velocidade média 1-D
passadofuturo
passadofuturomédia tt
rr
t
rv
Velocidade média 2-D ou 3-D14
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x
tt1 t2
x1
x2
médiavtan
A velocidade média faz parte da secante à trajetória da partícula.
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Velocidade Escalar Média
• A velocidade escalar média mede a rapidez, mas sem considerar o sentido ou a direção do deslocamento.
• É definida com a razão entre a distância percorrida pelo intervalo de tempo gasto no percurso:
t
percorridaDistânciasmédia
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Exemplo 2-1• Você dirige uma picape ao longo de uma estrada retilínea por 8,4 km a 70
km/h, quando ela para por falta de gasolina. Nos próximos 30 minutos, você caminha ao longo da estrada na direção de um posto de gasolina.
• (a) Qual o deslocamento desde do início da viagem até a chegada ao posto de gasolina?
• (b) Qual é o intervalo de tempo desde do início da viagem até a chegada ao posto de gasolina?
• (c) Qual é a velocidade média do começo da viagem até a chegada ao posto de gasolina? Encontre-a numericamente e graficamente.
• (d) Suponha que para pegar a gasolina, pagar e voltar até o carro; você gaste 45 minutos. Qual é a velocidade escalar média desde do começo da viagem até a volta até o carro
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Solução
18
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19
8,4
10,4
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Velocidade instantânea
• Quando desejamos analisar a rapidez em um instante de tempo, usamos a velocidade instantânea. Ela é dada pela derivada da posição em relação ao tempo ou pela inclinação da tangente no gráfico da posição em função do tempo. Unidade do S.I.: m/s.
t
x
dt
dxv
t
0lim
Velocidade instantânea 1-D
jdt
dyi
dt
dx
t
r
dt
rdv
tˆˆlim
0
Velocidade instantânea 2-D
20
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x
tt1t2
x2
x1
α
Tan(α)=v
A velocidade instantânea faz parte da tangente à trajetória da partícula.
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Velocidade Escalar
• A velocidade escalar instantânea é o módulo da velocidade instantânea:
vs
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Exemplo 2-3
• A posição de uma partícula se movendo em um eixo x é dada por:
• x=7,8+9,2t-2,1t3
• Com x em metros e t em segundos. Qual é a velocidade em t= 3,5 s? A velocidade é constante ou está variando continuamente?
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Solução
24
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Exemplo 4-3
• Para o coelho do Exemplo 4-2, encontre a velocidade no tempo t=15 s.
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Solução
26
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Aceleração• A aceleração média mede o avanço ou recuo da velocidade em um intervalo de tempo. É dada pela inclinação da secante em um gráfico de velocidade contra tempo. Unidade do S.I.: m/s2
12
12
tt
vv
t
va
Aceleração média 1-D
jt
vi
t
v
tt
vv
t
va yx ˆˆ
12
12
Aceleração média 2-D
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t1 t2
v2
v1
α
Tan (α) = amédia
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Aceleração Instantânea• A aceleração instantânea é a medida do avanço ou do recuo da velocidade em certo instante de tempo. Unidade do S.I.: m/s2
t
v
dt
dva
t
0lim
Aceleração instantânea 1-D
jdt
dvi
dt
dv
t
v
dt
vda yx
tˆˆlim
0
Aceleração instantânea 2-D
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v
tt1 t2
v2
v1
α
30
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Exemplo 2-4
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Solução
32
![Page 33: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/33.jpg)
Exemplo 4-4
• Para o coelho do Exemplo 4-2 e 4-3, encontre a aceleração do coelho para t=15s.
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Solução
34
Θ=145o
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Aceleração Constante
Posição inicial.Velocidade inicial.
Velocidade inicial.
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Equação de Torricelli
Velocidade inicialPosição inicial
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Exemplo 2-5
• A cabeça de um pica-pau está se movendo para frente com uma velocidade de 7,49 m/s até o bico encontrar o tronco da árvore. O bico para depois de penetrar o tronco em 1,87 mm. Assuma que a aceleração é constante, encontre o módulo da aceleração em unidades de g.
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Solução
38
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Exemplo 2-6
• A Figura abaixo mostra o gráfico da velocidade v da partícula contra a posição, quando a partícula se move ao longo do eixo x com aceleração constante. Qual é a velocidade da partícula em x=0?
39
8
20
70 x(m)
v (m/s)
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Solução
4050
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41
![Page 42: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/42.jpg)
Exemplo 4-5
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Solução
43
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Queda livre
• Queda livre é quando a partícula, que está sendo estudada, se move somente pela influência da gravidade da Terra.
• Supondo o ar rarefeito, podemos considerar o movimento nas proximidades da superfície da Terra com uma queda livre.
• Próximo ao nível do mar e para regiões planas (planícies e planaltos), podemos dizer que a gravidade da Terra impõe que os objetos se movam com aceleração constante para baixo e de módulo constante igual a g=9,8 m/s2.
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45
![Page 46: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/46.jpg)
Exemplo 2-7• Em 26 de setembro de 1993, Dave Munday foi para o lado canadense das
Cataratas do Niágara equipado com uma bola de aço com um furo de ar para entrada de ar e caiu 48m na direção da água (e das rochas). Assuma que a velocidade inicial foi zero, e despreze a resistência do ar.
• (a) Quanto durou a queda de Munday até atingir a superfície da água?• (b) Munday conseguia contar três segundos até a queda, mas não podia
ver o quanto ele tinha caído a cada segundo. Determine a sua posição no final de cada segundo.
• (c) Qual era a velocidade de Munday quando ele atingiu a superfície da água?
• (d) Qual era a velocidade de Munday no final de cada segundo? Ele podia perceber o aumento da velocidade?
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Solução
47
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48
Tempo(segundo) Posição(metro)
0s 48m
1s 43,1m
2s 28,4m
3s 3,9m
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49
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50
Tempo (segundo)
Velocidade (m/s)
0 0
1 -9,8
2 -19,6
3 -29,4
proporcionais e é difícil distinguir um do outro.
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Exemplo 2-8• Na figura abaixo, um jogador joga uma bola de beisebol para cima com um velocidade de 12 m/s ao longo do eixo y.
• (a) Quanto tempo a bola leva para chegar na sua altura máxima?
51
y
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52
(b) Qual é a altura máxima da bola em relação ao seu ponto de partida?
(c) Quanto tempo a bola leva para atingir a altura de 5m em relação ao seu ponto de partida?
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Solução
• (a) A altura máxima ocorrerá quando a velocidade da bola for nula, pois ela deve parar de subir. Substituindo essa condição na equação para a velocidade em função do tempo:
• (b) Podemos obter a altura máxima usando a equação da posição em função do tempo:
53
gtvv 0 tsmsm 2/8,9/120 sst 224,18,9
12
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54
200 2
tg
tvyy
mssm
ssmy 348,7224,12
/8,9224,1/120 2
2
(c) A equação da posição em função do tempo pode fornecer o tempo necessário para que a bola atinja 5m de altura:
200 2
tg
tvyy 22
2
/8,9/1205 t
smstmm
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55
05.
12.
9,42
seg
t
seg
t
segtousegt
segsegt
916,1532,0
.8,9
782,6
8,9
12.
)9,4(2
59,4414412
![Page 56: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/56.jpg)
Movimento em Duas e Três Dimensões
Unidade II
56
![Page 57: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/57.jpg)
Movimento de Projéteis
• Quando lançamos objetos e os deixamos somente sobre a influência da gravidade da Terra, temos um movimento balístico. A partícula estudada é tida como um projétil.
• Considere a componente horizontal da posição como x e a componente vertical como y.
• O ângulo da velocidade inicial com o eixo x é o ângulo de lançamento do projétil.
57
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x
y
θ0
O movimento horizontal é independente do movimento vertical. O movimento horizontal tem velocidade constante, enquanto oMovimento vertical possui aceleração constante.
58
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59
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Equação de Torricelli:
02,0
2 2 yygvv yy
Eliminando o tempo através do uso da equação para a componente horizontal da posição, podemos obter a equação que determina a forma geométrica da trajetória:
2
00
0000 cos2
tan
v
xxgxxyy
Percebemos que sem a presença da gravidade da Terra (g=0), o projétil seguiria uma linha reta. Entretanto, a trajetória é parabólica. A parábola possui concavidade para baixo e cresce sua concavidade com o aumento da velocidade inicial e da aceleração da gravidade.
(*)
60
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Exemplo 4-6
• Na Figura abaixo, um avião de resgate voa à 198 km/h (=55 m/s) e uma altura constante de 500 m dirigindo-se a um ponto diretamente sobre a vítima, onde uma balsa deve ser lançada.
h
61
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62
(a)Qual deve ser o ângulo da linha de visada do piloto até a vítima, onde a balsa deve chegar?
(b)Quando a cápsula atinge a água, qual deve ser sua velocidade em termos de vetores unitários e na notação módulo e ângulo ?
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Solução
• (a) O ângulo da linha de visada é oposto ao deslocamento horizontal do avião e adjacente à altura do avião, sua tangente é dada pela razão do deslocamento horizontal pela altura do avião. O deslocamento horizontal pode ser calculado através do uso da equação da componente vertical da posição (para encontrar o tempo) e da componente horizontal (para encontrar o deslocamento):
63
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64
2000 2
tg
tsenvyy
22
2
/8,90/555000 t
smsensmm o
sst 101,108,9
000.1
tvxx 000 cos
mssmx o 555,555101,100cos/55
111,1500
555,555tan
m
m
h
x
o48
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65
(b) A equação para a velocidade em função do tempo possui duas componentes. A componente horizontal é constante e a componente vertical varia linearmente com o tempo:
smsmvv ox /550cos/55cos 00
tgsenvvy 00
smssmsensmv oy /990,98101,10/8,90/55 2
jsmismv ˆ/990,98ˆ/55
oesmv 943,60/243,113
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Exemplo 4-7
66
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67
(b) Qual é o alcance máximo das balas de canhão ?
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Solução
• (a) Podemos obter o alcance das balas de canhão com o uso combinado das equações para a componente horizontal em função do tempo e da componente vertical em função do tempo. A componente vertical em função do tempo permite obter o tempo de voo da bala de canhão:
68
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69
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70
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Movimento Circular Uniforme
• Quando uma partícula possui um trajetória em forma de círculo dizemos que seu movimento é circular.
• Se o movimento é realizado percorrendo deslocamentos angulares proporcionais aos tempos gastos para realizá-los, temos um movimento circular uniforme.
• O movimento circular é periódico, devido à forma do fechada do círculo.
• O movimento circular sendo não-reto possui aceleração. Apesar disso o M.C.U. (movimento circular uniforme) possui velocidade de módulo constante (e direção, sentido variáveis)
71
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x
y
θ
R
Partícula se movendo em movimento circular uniforme.
v
r
72
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Para um observador no centro do círculo, temos para um movimento circular uniforme com raio R e período T:
i)Componente x da posição:
ii) Componente y da posição:
T
tRx
2cos
T
tsenRy
2
Esse resultado vem da decomposição do vetor posição em coordenadas cartesianas e da proporção existente entre o ângulo percorrido e o tempogasto para atingir esse ângulo.
73
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Para obter a velocidade, basta efetuar a derivada da posição em relação ao tempo.
Componente x da velocidade:
Componente y da velocidade:
Fazendo o produto escalar com o vetor posição, observamos que o mesmo é nulo. Portanto, o vetor posição e a velocidade são perpendiculares. Um resultado esperado, pois a velocidade faz parte da tangente ao círculo. O módulo da velocidade é dado por:
Comprimento do círculo dividido pelo período.
T
tsen
T
Rvx
22
T
t
T
Rvy
2cos
2
,2
T
Rv
74
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A aceleração pode ser obtida como derivada da velocidade em relação ao tempo:
Componente x da aceleração:
Componente y da aceleração:
A aceleração é centrípeta (aponta para o centro do círculo):
O módulo é dado por:
T
t
R
vax
2cos
2
T
tsen
R
vay
22
R
r
R
va
2
R
va
2
75
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A frequência do movimento circular uniforme é dada por (unidade do S.I. é o hertz):
Tf
1
A velocidade angular do movimento circular uniforme é dada por (unidade do S.I. é rad/s) :
R
vf 2
76
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Exemplo 4-10
• Pilotos de caça sempre se preocuparam em fazer uma volta muito fechada. Quando o piloto sofre os efeitos da aceleração centrípeta, com a cabeça ao longo do centro de curvatura, a pressão sanguínea no cérebro decresce, levando à perda das funções cerebrais. Há vários sinais de aviso. Quando a aceleração centrípeta é 2g ou 3g, o piloto se sente pesado.
77
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78
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Solução
• Como a velocidade muda de sentido durante o loop, temos que o loop corresponde a um semicírculo. Sendo assim, o tempo do loop corresponde a um meio período e o período do M.C.U. é portanto T=48s. Com o período podemos obter o raio da trajetória, mas antes devemos calcular a velocidade escalar:
79
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80
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Movimento Relativo
• As medidas feitas por um observador são, em princípio, diferentes das realizadas por outro observador.
• Considere a relatividade de Galileu, onde temos observadores que se separam um do outro através de uma velocidade constante.
• Temos o observador A (Alex) em repouso sobre o solo e o referencial B(Bárbara) em movimento com velocidade constante, em linha reta horizontal, em relação à Alex (ou ao solo).
81
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Dois Referenciais de Galileu
Alex Bárbara
Objeto
VBA
xOBxOA
82
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Transformações de Galileu
OAOB
OABAOAOB
tt
tvxx
Dicionário das posições e tempos
BAOAOB vvv Dicionário de velocidades
83
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Invariantes
• Tempo (tempo absoluto).• Aceleração.• Força.• Qualquer lei física, e em especial,as fórmulas que representam a lei física.
Um referencial de Galileu é conhecido como referencial inercial, pois deixa as leis de Newton invariantes.
84
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Exemplo 4-11
85
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86
![Page 87: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/87.jpg)
Solução
87
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88
![Page 89: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/89.jpg)
Relatividade 2-D
OBr
OAr
BAv
Objeto
Alex
Bárbara
89
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Transformações de Galileu
OAOB
OABAOAOB
tt
tvrr
Dicionário das posições e tempos.
BAOAOB vvv
Dicionário de velocidades.
Um referencial que não obedece à relatividade de Galileu é conhecido como referencial não-inercial. (Por exemplo, um observador girando em torno de um eixo fixo no espaço).
90
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Exemplo 4-12
91
![Page 92: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/92.jpg)
92
N
L
20o
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Solução
93
![Page 94: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/94.jpg)
94
![Page 95: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/95.jpg)
Força e Movimento
Unidade III
95
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Primeira Lei de Newton
96
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• A primeira Lei de Newton supõe que o observador é inercial (obedece à relatividade de Galileu), e portanto, admite que um observador que se move com velocidade constante em relação à ele é equivalente a esse observador em questão.
• Um observador inercial sempre garante que na ausência de forças temos que a partícula observada se move em linha reta com velocidade constante (M.R.U.) ou permanece em repouso.
• Dessa forma, na ausência de forças a partícula está em equilíbrio. Este equilíbrio pode ser estático, se tivermos repouso (ausência de movimento); ou dinâmico, se tivermos um movimento retilíneo uniforme.
• Um corpo em M.R.U. ou repouso está inerte do ponto de vista da dinâmica.• Quanto mais massa (quantidade de matéria) um corpo tiver, maior será a sua
inércia (tendência a permanecer em equilíbrio).• As outras leis de Newton também exigem que o observador seja inercial.• Força é a causa unidimensional do movimento (puxar, empurrar, etc.)• Força resultante é a soma vetorial de todas as forças.• O efeito combinado de um conjunto de forças é dado pela força resultante.
97
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Segunda Lei de Newton
A força resultante que age sobre um corpo é dada pelo produto da massa do corpo por sua aceleração.Unidade de Força no S.I.: Newton (N).Unidade de massa no S.I.: quilograma (kg)
98
![Page 99: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/99.jpg)
• Devemos fazer um diagrama de corpo livre isolando as forças que atuam sobre o corpo observado.
• Em seguida, devemos somar as forças que atuam sobre o corpo; obtendo a força resultante.
• Resta obter massa ou aceleração do corpo, em questão, dependendo das medidas feitas ou dos dados fornecidos.
• A segunda lei de Newton propõe que o fator entre força (causa do movimento) e aceleração (efeito do movimento) é a massa. Por isso a massa é conhecida como a inércia do corpo (em coordenadas cartesianas).
• Quanto maior a massa, menor será a aceleração adquirida pelo corpo.• Quanto maior a força, maior será a aceleração adquirida pelo corpo.
99
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Exemplo 5-3
100
![Page 101: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/101.jpg)
101
(A) (B) (C)
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Solução
102
![Page 103: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/103.jpg)
103
![Page 104: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/104.jpg)
Exemplo 5-2
• Na vista superior da Figura, uma lata de biscoitos de 2kg é acelerada a 3m/s2 na orientação definida por , em uma superfície horizontal sem atrito. A aceleração é causada por três forças horizontais, das quais apenas duas são mostradas; , de módulo 10N e , de módulo 20N. Qual é a terceira força, , em termos dos vetores unitários e na notação módulo-ângulo?
104
a
1F
2F
3F
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105
50o
a
2F
1F30o x
y
![Page 106: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/106.jpg)
Solução
• A segunda lei de Newton para o problema diz que a soma das três forças é igual ao produto da massa pela aceleração. Esta equação vetorial corresponde a duas equações escalares:
106
yyyy
xxxx
maFFF
maFFF
,3,2,1
,3,2,1
oy
ox
masenFFsenF
maFF
5030
50cos030cos
,320
1
,30
1
oy
o
ox
o
sens
mkgFNNsen
s
mkgFN
5032203010
50cos3230cos10
2,3
2,3
NF
NF
y
x
4,10
5,12
,3
,3
![Page 107: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/107.jpg)
107
jNiNF ˆ4,10ˆ5,123
Em coordenadas cartesianas, a terceira força vale:
Para obter a força em coordenadas polares, devemos calcular o módulo da força e o ângulo que ela faz com o eixo x:
2,3
2,33 yx FFF NF 163
x
y
F
F
,3
,3tan o40
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Força Gravitacional
Terra
108
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Força Normal• Esta é a força que aparece devido
ao contanto entre duas superfícies.
• É perpendicular a superfície onde o corpo observado foi posto.
• Surge para impedir que o corpo, ao permanecer sobre a superfície, acabe deformando a superfície em questão.
• Sua ausência indica que o corpo não está mais sobre a superfície.
109
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Força Elástica
A força elástica é sempre oposta ao deslocamento, de maneira a garantir o retorno da mola à sua posição de equilíbrio.
110
![Page 111: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/111.jpg)
Tensão (Tração)
• Quando prendemos uma corda a um objeto, a corda realiza uma força conhecida como tensão da corda; fazendo o objeto se mover.
• Essa força aponta do objeto para a corda.
111
![Page 112: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/112.jpg)
Resistência do Ar
112
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113
![Page 114: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/114.jpg)
Terceira Lei de Newton
Quando dois corpos interagem, as forças que um corpo realiza sobre outro são iguais em módulo e têm sentidos opostos.
A B
114
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A terceira lei de Newton nos diz como um sistema mecânico se forma. O sistema se forma aos pares como um corpo agindo (ação) e outro reagindo (reação), com forças opostas.Existem duas versões da terceira lei:
Fraca: o par de forças (ação e reação) são opostos, mas não estão nalinha que une os corpos.Forte: o par de força (ação e reação) são opostos e estão na linha que une os corpos.
A terceira lei de Newton é uma expressão da conservação do momento. Um dos princípios mais queridos da Física.
115
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Exemplo 5-4
• A Figura mostra um bloco D (o bloco deslizante) de massa M=3,3 kg. O bloco está livre para se mover ao longo de uma superfície horizontal sem atrito e está ligado, por uma corda que passa por uma polia sem atrito, a um segundo bloco P (o bloco pendente), de massa m=2,1 kg. As massas da corda e da polia podem ser desprezadas em comparação com a massa dos blocos.
116
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117
Enquanto o bloco pendente P desce, o bloco deslizante D acelera para a direita. Determine (a) a aceleração do bloco D, (b) a aceleração do bloco P e (c) a tensão na corda.
M
m
Bloco deslizante D
Bloco pendente P
Superfície sem atrito
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Solução
• Diagrama de corpo livre para o bloco D:
• Diagrama de corpo livre para o bloco P:
118
T
gF
NF
gF
NF
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119
A segunda lei de Newton para o bloco D é dada por (esquecendo o movimento na direção vertical):
A segunda lei de Newton para o bloco P é dada por:
Subtraindo a equação (II) da equação (I), podemos obter o módulo da aceleração dos dois blocos (eles têm o mesmo módulo de aceleração, pois estão unidos por uma corda e perfazem o mesmo deslocamento em um dado intervalo de tempo):
Substituindo na equação (I) obtemos a tensão na corda:
)(IMaT
)(IIammgT
28,3s
mg
mM
ma
gmM
MmT
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Exemplo 5-5
• Na Figura, uma corda puxa para cima uma caixa de biscoitos ao longo de um plano inclinado sem atrito cujo ângulo é
A massa da caixa é m=5kg, e o módulo da força exercida pela corda é T=25N. Qual é a componente a da aceleração da caixa ao longo do plano inclinado?
120
o30
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121
Corda
θ
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Solução
• Diagrama de corpo livre para o bloco:
122
90º-θ
T
gF
x
y
NF
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123
O movimento se dá ao longo do eixo x (paralelo ao plano inclinado) a componente da força gravitacional é negativa e tem módulo dado pelo produto do peso pelo seno da inclinação do plano inclinado. Portanto a segunda lei de Newton para este caso é:
mamgsenT gsenm
Ta
Se a tensão da corda estivesse ausente, a inclinação do plano iria reduzir a aceleração do bloco (comparando com uma queda livre) com um fator dado pelo seno da inclinação do plano inclinado. O valor da aceleração é dado por:
21,0s
ma
Portanto o bloco acelera para cima com uma aceleração de módulo baixo. Na ausência da corda cairia com uma aceleração menor em módulo que a aceleração da gravidade.
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Exemplo 5-7
• A Figura mostra um arranjo no qual duas forças são aplicadas a um bloco de 4kg em um piso sem atrito, mas apenas a força está indicada. Essa força tem módulo fixo, mas o ângulo θ entre ela e o semi-eixo x positivo pode variar. A força é horizontal e seu módulo é constante. A Figura mostra a aceleração horizontal ax do bloco em função de θ no intervalo . Qual é o valor de ax para θ=180º ?
124
1F
2F
o900
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125
θ
1F
0o90o
1
2
3
θ
ax (m/s2)
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Solução
• A segunda lei de Newton para o bloco pode ser aplicada apenas para a direção onde ocorre o movimento (eixo x):
• Podemos usar o primeiro ponto do gráfico para obter:
• O segundo ponto do gráfico fornece uma segunda equação:
• Substituindo a segunda equação na primeira equação, obtemos:
126
maFF 21 cos
)(1221 INFF
)(22 IINF
NF 101
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127
Portanto a aceleração para um ângulo de 180º será:
A aceleração para esse ângulo vale:
m
F
m
Fax
201 180cos
22s
max
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Exemplo 5-9
128
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129
AB
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Solução
• Diagrama de corpo livre para o bloco A:
130
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• Diagrama de corpo livre para o bloco B:
131
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132
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133
![Page 134: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/134.jpg)
Exemplo 6-5
134
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Solução
135
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136
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Atrito
• Atrito é a resistência que uma superfície impõe a um corpo se movendo sobre ela.
• O atrito é tangencial à superfície envolvida.• O atrito é uma força oposta a força (resultante) que atua sobre um corpo, fazendo
com que ele se mova (ou tenha tendência a se mover) sobre uma superfície.• O atrito passa por três etapas. Primeiro, o atrito equilibra a força resultante que
age sobre corpo sobre a superfície. Segundo, o atrito atinge um valor máximo, na iminência do movimento, de módulo proporcional à força normal que age sobre o corpo. Terceiro, quando o corpo se move o atrito reduz seu valor, mas ainda é proporcional à força normal que a superfície impõe sobre o corpo.
• Juntos, atrito e força normal, representam as forças que uma superfície realiza sobre um corpo em contato com ela. A força normal empurra o corpo para fora da superfície e o atrito impede o movimento do corpo sobre a superfície.
137
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Propriedades do Atrito
138
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Exemplo 6-1
Se a roda de um carro estiver travada (impedida de girar) durante uma frenagem de emergência, o carro desliza pela pista. Pedaços queimados de pneus e pequenos trechos derretidos da pista formam as marcas de derrapagem. O recorde de marcas de derrapagem que ocorreu em uma via pública aconteceu em 1960 em um Jaguar na rodovia M1 na Inglaterra – as marcas tinha 290m de comprimento!
139
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140
v=0
290m
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Solução
• Diagrama de corpo livre para o carro:
141
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142
![Page 143: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/143.jpg)
Exemplo 6-3
143
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144
O bloco desliza sobre uma rampa e está preso por várias cordas (apenas uma é mostrada). A rampa é lubrificada com água para diminuir o coeficiente de atrito estático para 0,4. Assuma atrito desprezível no ponto (lubrificado) onde as cordas passam pelo canto superior da rampa. Se cada homem homem no topo da pirâmide puxa com uma força (razoável) de 686 N , quantos homens são necessários para colocar o bloco na iminência do movimento?
y xθ
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Solução
• Diagrama de corpo livre para o bloco:
145
θ
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146
![Page 147: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/147.jpg)
Força Centrípeta
147
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Exemplo 6-7
• Em um apresentação circense de 1901, Allo “Dare Devil” Diavolo apresentou o desafio de fazer uma bicicleta atravessar um loop (Figura). Assumindo que o loop é um círculo de raio R=2,7m, qual é a menor velocidade que Diavolo deve ter no topo do loop para permanecer em contato com a pista?
148
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149
R
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Solução
• Diagrama de corpo livre no topo do loop:
150
Direção centrípeta
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151
![Page 152: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/152.jpg)
Exemplo 6-8
• Até mesmo os aficionados por montanha-russa se amedrontam quando pensam no Rotor, que é essencialmente um grande cilindro oco que está rodando em torno do seu eixo central. Antes de uma volta começar, o participante entra por uma porta lateral e se apoia em uma parede coberta com uma lona. A porta é fechada e quando o cilindro começa a girar, o participante e a parede giram juntos.
152
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153
![Page 154: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/154.jpg)
Solução
• Diagrama de corpo livre para o participante
154
Direção centrípeta
y
sf
gF
NF
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155
(a) A segunda lei de Newton possui duas componentes: a centrípeta e a vertical
A força de atrito estática é sempre menor que o produto do coeficiente de atrito estático pelo módulo da força normal:
Portanto a velocidade mínima será dada por:
R
vmF
Ff
N
gs2
0
sss
sN
Rgv
Rgf
m
RF
m
Rv
,2
smsmmRg
vs
/17,74,0
/8,91,2 2
min
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156
(b) O módulo da força centrípeta é dado pela componente centrípeta da segunda lei de Newton:
N
m
smkg
R
vmFN 200.1
1,2
/17,749
22
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Energia Cinética e Trabalho
Unidade IV
157
![Page 158: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/158.jpg)
6.4 Energia Cinética
158
![Page 159: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/159.jpg)
Exemplo 7-1
• Em 1896 em Waco, Texas, William Crush estacionou duas locomotivas em lados opostos de um ferrovia de 6,4km de comprimento, e as permitiu colidir na velocidade máxima na frente de 30.000 espectadores. Assumindo que cada locomotiva pesava 1,2x106N e que a aceleração foi constante e igual à 0,26 m/s2, qual era a energia cinética total das duas locomotivas imediatamente antes da colisão?
159
![Page 160: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/160.jpg)
Solução
• Podemos usar a Equação de Toriccelli para obter a velocidade das duas locomotivas no instante da colisão:
• A massa de cada locomotiva é dada por:
• A energia cinética total das duas locomotivas é dada por:
160
smvmsmxavv /8,40,102,3/26,0202 32220
2
kgsm
N
g
Pm 5
2
6
1022,1/8,9
102,1
JsmkgmvK 8252 102/8,401022,12
12
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Trabalho de uma força constante e de uma força variável
yFxFW yx
161
cosFdW
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Trabalho (conceito)
• O trabalho é a quantidade de energia necessária para fazer a partícula romper com seu estado de equilíbrio.
• Somente as componentes da força paralelas ao deslocamento contribuem para o trabalho.
• Energia é a capacidade de um sistema físico de mudar ao longo do tempo.
162
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163
![Page 164: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/164.jpg)
Exemplo 7-2• Dois espiões industriais estão deslizando um cofre de massa 225kg,
inicialmente estacionário, de um deslocamento de módulo 8,5m ao longo da horizontal, indo na direção do caminhão deles. O empurrão do espião 001 faz um ângulo de 30o com a horizontal e aponta para baixo e tem módulo 12N; o empurrão do espião 002 tem módulo 10N e faz um ângulo de 40o com a horizontal e aponta para cima. O módulo e a direção das forças não mudam quando o cofre é deslocado horizontalmente, e o atrito entre o cofre e o piso é desprezível.
• (a) Qual o trabalho total feito pelos dois espiões durante o deslocamento do cofre?
• (b) Durante o deslocamento, qual é o trabalho da força gravitacional sobre o cofre e qual o trabalho da força normal do piso sobre o cofre?
• (c) O cofre está inicialmente em repouso, qual é a velocidade final do cofre após do deslocamento?
164
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Solução
• (a) O trabalho realizado pelo espião 001 é dado por:
• O trabalho realizado pelo espião 002 é dado por:
• O trabalho total é a soma do trabalho dos dois espiões:
165
JmNdFdFW 33,8830cos5,812cos 0111
JmNdFW o 11,6540cos5,81022
JWWW 4,15321
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166
(b) O trabalho da força gravitacional é dado por:
O trabalho da força normal é dado por:
Ambos trabalhos são nulos, pois as forças gravitacional e normal são perpendiculares ao deslocamento!
(c) O trabalho total é portanto dado pela soma do trabalho dos dois espiões e é igual a variação da energia cinética (teorema do trabalho e energia cinética):
A velocidade final é dada por:
090cos 0 dFW gg
090cos 0 dFW N
m
WvmmvKW ff
2,0
2
1
2
1 222
sm
kg
J
m
Wv f /17,1
225
4,15322
![Page 167: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/167.jpg)
Trabalho realizado pela força gravitacional
• Como a força gravitacional aponta na direção vertical e é constante, temos:
• A massa da partícula é m, o módulo da aceleração da gravidade é g e y é a altura do objeto.
finalinicialg yygmW
167
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Exemplo 7-6
• Um elevador de massa m=500kg está descendo com velocidade ,quando o cabo de sustentação começa a deslizar fazendo com que o elevador caia com aceleração
• (a) Durante a queda de 12m, qual é o trabalho da força gravitacional sobre o elevador?
• (b) Durante a queda de 12m, qual é o trabalho sobre o elevador realizado pela tensão no cabo de sustentação?
• (c) Qual é o trabalho resultante sobre o elevador durante a queda?
• (d)Qual é a energia cinética do elevador no fim da queda de 12m?
168
smvi /4
5
ga
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Solução
• (a) O trabalho da força gravitacional é dado por:
• (b) Para obter o trabalho da tensão no cabo, considere a segunda lei de Newton:
• O trabalho da tensão na corda será dado por:
169
JmsmkgygmWg42 1088,512/8,9500
gmTg
mmgTamFT g
5
4,
5,
JmsmkgmgdTdWT420 107,412/8,9500
5
4
5
4180cos
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170
(c) O trabalho total é a soma dos trabalhos da força gravitacional e da tensão no cabo:
(d) A energia cinética final pode ser obtida através do teorema do trabalho e energia cinética, utilizando o trabalho total e a velocidade inicial:
JWWW gT41018,1
if KKKW
JJsmkgWmvK if4422 1058,11018,1/4500
2
1
2
1
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Trabalho da força elástica
• A força elástica é diretamente oposta ao sentido do deslocamento da mola, portanto é uma força variável. Seu trabalho é dado por:
• A constante de mola é k e x é o deslocamento da mola.
22
2
1
2
1finaliniciale xkxkW
171
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Exemplo 7-8
• Na Figura, um pote de cominho de massa m=0,4kg desliza sobre uma superfície horizontal sem atrito com uma velocidade v=0,5m/s. Então atinge uma mola de constante elástica k=750N/m e a comprime. Quando o pote é parado momentaneamente pela mola, de que distância d a mola é comprimida?
172
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173
Sem atrito
mvk
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Solução
• O trabalho da força elástica é dado por:
• A variação da energia cinética é dada por:
• O teorema do trabalho e energia cinética diz que:
174
22222
2
1
2
10
2
1
2
1
2
1kddkkkxkxW fi
22222
2
1
2
10
2
1
2
1
2
1mvmvmmvmvK if
cmmsmmN
kgv
k
mdmvkd 2,1102,1/5,0
/750
4,0,
2
1
2
1 222
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Potência
• A potência média de uma força, atuando durante um intervalo de tempo Δt, é dada pelo razão do trabalho realizado pela força pelo intervalo de tempo:
• A potência instantânea é dada pela derivada do trabalho realizado pela força em relação ao tempo:
• A unidade de potência no S.I. é o Watt (W).
t
WPmédia
dt
dWP
175
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Podemos relacionar a potência média com a força média atuando sobre a partícula e a velocidade média:
Também podemos relacionar a potência instantânea diretamente com a força aplicada sobre a partícula, e a sua velocidade instantânea:
Durante o movimento de uma máquina mecânica (por exemplo, um carro), somente a energia dissipada para o ambiente não é utilizada pela máquina. Podemos definir o rendimento da máquina, η, como a razão entre a potência utilizada, Pu , e a potência total fornecida à máquina, que é soma da potência utilizada com a potência dissipada, Pt = Pu + Pd . Sendo assim,
médiamédiamédiamédiamédia vFvFP
cosFvvFP
t
u
P
P
176
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Exemplo 7-11
• Duas forças constantes agindo sobre uma caixa quando a caixa se desloca para a direita sobre um piso sem atrito. A primeira força é horizontal e aponta no sentido oposto ao da velocidade, com módulo 12N; a segunda força faz um ângulo de 60o com o piso e tem módulo 4N. A velocidade da caixa em certo instante é 3 m/s. Qual é a potência devida à cada força naquele instante e qual a potência resultante? O trabalho total está variando naquele instante?
177
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Solução
• A potência da primeira força é dada por:
• A potência da segunda força é dada por:
• A potência resultante é dada pela soma das duas potências:
• Como a potência é a derivada do trabalho em relação ao tempo, temos que o trabalho não está variando naquele instante.
178
WsmNvFvFP 65,0/3460cos 0222
WsmNvFvFP o 61/32180cos111
0P
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Energia Potencial e Conservação de Energia
Unidade IV
179
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Energia Potencial
180
![Page 181: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/181.jpg)
•O valor numérico da energia potencial depende de um valor de referência escolhido pelo observador. Geralmente o valor da energia potencial na origem (onde está o observador), ou no infinito (muito distante do observador).•Este valor de referência é, geralmente, o número zero.•A energia potencial, assim, se torna uma função da posição atribuindo valores em energia para a possibilidade da partícula passar por a posição observada.•O trabalho é realizado através da extração da energia potencial do sistema; transformando potencial em energia cinética, fazendo a partícula sair de uma posição para outra.
181
![Page 182: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/182.jpg)
A força aplicada sobre a partícula pode ser obtida a partir da energia potencial:
Um mínimo na energia potencial corresponde a um ponto de equilíbrio estável (onde a força sobre a partícula é nula, sem causas para se mover naquele ponto).
Um máximo na energia potencial corresponde a um ponto de equilíbrio instável (onde a força sobre a partícula é nula, sem causas para se mover naquele ponto).
dx
dUF
U
x
U
x182
![Page 183: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/183.jpg)
Exemplo 8-2
• Uma preguiça repousa sobre um galho colocado a 5m acima do solo.
• (a) Qual é a energia potencial gravitacional U do sistema Terra-preguiça se o ponto de referência y=0 é escolhido como sendo (1) o solo, (2) um balcão três metros acima do solo, (3) no galho, (4) 1 m acima do galho? Considere a energia potencial gravitacional como sendo nula em y=0.
• (b) A preguiça desce até o chão. Em cada situação qual á a variação da energia potencial gravitacional do sistema Terra-preguiça durante a descida?
183
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Solução
• (a) (1) Tomando o solo como ponto de referência, temos para a energia potencial gravitacional:
• (2) Considerando o balcão como ponto de referência, a altura da preguiça vale 2m, portanto:
• (3) Tomando o galho como ponto de referência, a altura da preguiça vale 0, portanto:
184
JmsmkgmgyU 985/8,92 2
JmsmkgmgyU 2,392/8,92 2
JsmkgmgyU 00/8,92 2
![Page 185: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/185.jpg)
185
(4) Escolhendo o ponto de referência como estando a um 1m acima do galho, a altura da preguiça vale -1m, portanto:
(b) Para todos os pontos de referência observa-se que a variação na altura da preguiça foi -5m, portanto a variação na energia potencial será a mesma nas quatro situações:
JmsmkgmgyU 6,191/8,92 2
JmsmkgymgU 985/8,92 2
![Page 186: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/186.jpg)
Força conservativa e força dissipativa
• Força conservativa é aquela em que o trabalho em uma trajetória fechada é nulo. Com isso o trabalho da força conservativa independe do caminho. Exemplo: força gravitacional e força elástica.
• Força dissipativa é aquela em que o trabalho em uma trajetória fechada é diferente de zero. Exemplo: força de atrito.
186
![Page 187: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/187.jpg)
Energia Mecânica
• A energia mecânica é a soma da energia cinética com a energia potencial:
• Para partículas submetidas à uma força conservativa, temos um dos princípios mais queridos da Física: a conservação da energia (mecânica)! A energia mecânica não muda com o passar do tempo.
UKEmecânica
finalinicial EE
187
![Page 188: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/188.jpg)
•No caso de forças dissipativas, a energia mecânica não é conservada. Neste caso, ela se transforma em outras formas de energia: calor, som, etc. Sendo assim, a energia mecânica acaba diminuindo, enquanto a energia do ambiente (onde a partícula se encontra) acaba aumentando; através da injeção de energia devida ao trabalho das forças dissipativas.• O trabalho das forças dissipativas é igual a variação da energia mecânica do sistema:
•Apesar da energia mecânica não ser conservada, a energia do sistema : ambiente mais partícula é conservada. Sendo assim, podemos garantir que a energia (total) ainda é conservada.
mecânicaasdissipativ EW
188
![Page 189: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/189.jpg)
Exemplo 8-3
• Uma criança de massa m desce até o solo através de um toboágua à uma altura de 8,5m acima do solo. Assumindo que o toboágua é uma superfície sem atrito devido à água contida nele, obtenha a velocidade da criança quando ela chega ao solo.
189
![Page 190: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/190.jpg)
Solução
• Como não existe atrito no toboágua, a energia mecânica é conservada durante o deslocamento da criança. No alto do toboágua a sua energia mecânica é devida à energia potencial:
• Quando chega no solo, a energia mecânica da criança é devida somente a energia cinética:
190
mghEtopo
2
2
1mvEsolo
![Page 191: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/191.jpg)
191
Como a energia mecânica se conserva, temos a seguinte equação:
solotopo EE
2
2
1mvmgh
smmsmghv /135,8/8,922 2
![Page 192: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/192.jpg)
Exemplo 8-7
• Na Figura, um pacote de pamonha desliza sobre um piso com velocidade . Ele atinge, então, uma mola; comprimindo-a até parar momentaneamente. O caminho até a mola, inicialmente relaxada, é sem atrito, mas a partir do instante em que o pacote começa a comprimir a mola, uma força de atrito de módulo 15N atua sobre o pacote. Se k=10.000 N/m, de que distância d a mola é comprimida pelo pacote?
192
smvi /4
![Page 193: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/193.jpg)
193
Pacote de Pamonha
iv
k
![Page 194: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/194.jpg)
Solução
• Como existe atrito durante a compressão da mola, não podemos assumir que a energia mecânica se conserva. Neste caso o trabalho da força de atrito será igual a variação na energia mecânica. A energia mecânica inicial era devida à energia cinética do pacote:
• A energia mecânica final é devida à energia potencial elástica da mola:
194
2
2
1ii mvE
22
1dkE f
![Page 195: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/195.jpg)
195
O trabalho da força de atrito será dado por:
Este trabalho será igual a variação na energia mecânica:
A equação anterior pode ser escrita na seguinte forma:
Cuja solução será:
A solução negativa foi esquecida pois seria uma solução inválida, pois apontaria uma distensão da mola e não uma compressão. Substituindo os valores:
dfdfW kk
if EEEW
02
1
2
1 22 ik mvdfkd
k
kmvffd ikk
22
cmm
mN
smkgmNNNd 5,5055,0
/000.10
/42)/000.10()15(15 22
![Page 196: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/196.jpg)
Exemplo 8-8
• A figura mostra uma encosta montanhosa e um vale aonde um deslizamento acontece. As rochas tem uma massa total m, caem de uma altura y=H, movem-se de uma distância d1 ao longo de uma encosta de inclinação θ=450 , e depois movem de uma distância d2 ao longo de um vale plano. Qual é a razão , se o coeficiente de atrito cinético tem um valor razoável de 0,6?
196
H
d2
![Page 197: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/197.jpg)
197
y=0
y=HRochas
Vale
d1
d2θ
![Page 198: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/198.jpg)
Solução
• A energia mecânica no início deslizamento é devida apenas a energia potencial gravitacional das rochas:
• A energia mecânica final é nula:
• Para obter a força de atrito na encosta considere o diagrama de corpo livre:
198
mgHEi
0fE
![Page 199: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/199.jpg)
199
NF
gF
kf
θθ
x
y
A segunda Lei de Newton para a componente y é dada por:
De maneira que a força de atrito cinética será dada por:0cos mgFN
cos1, mgf kk
![Page 200: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/200.jpg)
200
Para obter a força de atrito cinético no vale, vamos utilizar o seguinte diagrama de corpo livre:
NF
gF
kfx
y
A segunda Lei de Newton para a componente y é dada por:
Portanto a força de atrito cinético no vale será:
O trabalho da força de atrito será dado por:
0 mgFN
mgf kk 2,
2122,11, cos mgdmgddfdfW kkkk
![Page 201: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/201.jpg)
201
A distância d1 pode ser obtida em termos da altura da encosta, H, através do uso da trigonometria:
De maneira que o trabalho da força de atrito é dado por:
O trabalho da força de atrito é igual a variação na energia mecânica:
Resolvendo a equação anterior para d2/H, nós obtemos:
sen
Hd
d
Hsen 1
1
,
2tan
dH
mgW k
mgHdH
mgEW k
2tan
,
67,045tan
1
6,0
1
tan
110
2 kH
d
![Page 202: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/202.jpg)
Centro de Massa e Momento Linear
Unidade V
202
![Page 203: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/203.jpg)
Centro de Massa
• O centro de massa é a partícula equivalente que substitui todas as partículas de um sistema, possuindo a massa total do sistema de partículas.
• O centro de massa é a média ponderada das posições das partículas, com a massa de cada partícula sendo o peso associado à cada posição da partícula:
n
ii
n
iii
CMn
ii
n
iii
CMn
ii
n
iii
CM
m
zmz
m
ymy
m
xmx
1
1
1
1
1
1 ,,
203
![Page 204: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/204.jpg)
Exemplo 9-1
• Três partículas de massa m1=1,2kg, m2=2,5kg e m3=3,4kg formam um triângulo equilátero de lado a=140 cm. Qual é o centro de massa do sistema?
204
y
x
aa
a
m1 m2
m3
![Page 205: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/205.jpg)
Solução
• As posições das partículas são dadas por:
• Componente x do centro de massa:
205
Partícula Componente x da posição
Componente y da posição
1 0 0
2 a=140cm 0
3 a/2=70cm cma 1202
3
cmkgkgkg
cmkgcmkgkg
mmm
xmxmxmxCM 83
4,35,22,1
704,31405,202,1
321
332211
![Page 206: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/206.jpg)
206
Componente y do centro de massa:
cmkgkgkg
cmkgkgkg
mmm
ymymymyCM 58
4,35,22,1
1204,305,202,1
321
332211
![Page 207: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/207.jpg)
Para o caso de um corpo contínuo, devemos trocar a soma por um integral e as massas pela densidade (“derivada” da massa em relação ao comprimento, área e volume do corpo).
Unidimensional:
Bidimensional:
Tridimensional:
M
dlzz
M
dlyy
M
dlxx CMCMCM
,,
M
dAzz
M
dAyy
M
dAxx CMCMCM
,,
M
dVzz
M
dVyy
M
dVxx CMCMCM
,,
207
![Page 208: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/208.jpg)
Exemplo 9-2
• A Figura mostra um disco de densidade superficial de massa uniforme de raio 2R em que um buraco de raio R foi feito em uma linha de montagem. Utilizando o sistema de coordenadas xy mostrado, encontre a posição do centro de massa do disco.
208
![Page 209: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/209.jpg)
209
x
y
![Page 210: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/210.jpg)
Solução
• Primeiro devemos encontrar o centro de massa de um disco homogêneo. Como a densidade superficial de massa é constante, apenas devemos buscar o centróide (centro geométrico) do disco:
• Portanto o centróide se localiza no centro do disco!
210
0,0
cos
20
2
02
0
2
0
R
drrdrsen
yR
drrdr
x
R
CM
R
CM
![Page 211: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/211.jpg)
211
O centro de massa da placa poderá ser obtido através do centro de massa do disco completo, para isso considere o disco sendo composta pelo disco com o buraco, S, e o buraco, B, D=S+B. Sendo o disco composto por essas duas partículas, nós obtemos a seguinte equação:
Resolvendo as duas equações, nós encontramos a posição do disco com o buraco:
02
)0(2
02
)(2
2
222
2
222
R
RyRRy
R
RRxRRx
SD
SD
03
s
s
y
Rx
![Page 212: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/212.jpg)
A força que atua sobre a partícula equivalente, o centro de massa é a força resultante que atua no sistema de partículas (ou corpo contínuo). A massa do centro de massa é a massa total do sistema de partículas, M; sua aceleração é a derivada segunda da posição do centro de massa em relação ao tempo.
A segunda lei de Newton para o centro de massa é dada por:
onde
,,, ,,,,,, zCMzresyCMyresxCMxres aMFaMFaMF
2
2
,2
2
,2
2
,
1
,,
,
dt
zda
dt
yda
dt
xda
mM
CMzCM
CMyCM
CMxCM
n
ii
212
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Exemplo 9-3
• As três partículas na Figura estão inicialmente em repouso. Cada uma experimenta forças devidas às partículas fora do sistema. As direções estão indicadas, e os módulos são F1 = 6N, F2=12N e F3=14N. Qual a aceleração do centro de massa do sistema, e em que direção ele se move?
213
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214
θ=45o
8kg4kg
4kg
x
y
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Solução
215
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216
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Momento linear
• O momento é relacionado com a capacidade de um ente físico mudar de um lugar para outro (no espaço).
• Para uma partícula pontual (ponto dotado de massa), o momento linear (em um sistema coordenadas cartesiano, referencial de Galileu) é dado por:
vmp
217
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Momento linear do C.M.
• Para um sistema de partículas, o momento do sistema de partículas é o momento do centro de massa (momento da partícula equivalente)
• O momento do centro de massa é a soma dos momentos de cada partícula:
• Para o caso contínuo, o momento do centro de massa (momento do corpo) é dado em termos da densidade de massa:
dt
rdMPvmP CM
CM
n
iiiCM
,1
dVvP
218
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Impulso• O impulso, J, de uma força mede o quanto a força (efetivamente) contribuiu para produzir movimento sobre a partícula em um intervalo de tempo:
• Através da segunda lei de Newton, podemos obter o teorema do impulso momento-linear:
tFdtFJ média
iCMfCMresifres PPJpppJ ,,,
219
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Exemplo 9-5
• Colisão contra o muro de carros de corrida. A Figura é uma vista superior da trajetória de um carro de corrida quando entra em rota de colisão com um muro de proteção. Imediatamente antes da colisão, ele está trafegando com uma velocidade vi=70m/s ao longo de uma linha reta fazendo um ângulo de 30º com o muro. Imediatamente depois da colisão a velocidade era vf=50m/s e fazia um ângulo de 10º
com o muro. A massa do piloto é m=80kg.• (a) Qual é o impulso sobre o piloto devido à colisão?• (b) A colisão dura 14ms. Qual é o módulo da força média que
age sobre o piloto durante a colisão?
220
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Solução
221
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222
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O impulso faz com que a conservação do momento seja quebrada. Sendo assim, somente a presença da força durante aquele intervalo de tempo impede a conservação do momento.
Tipo de Choque Conservação Condição do sistema de partículas
Elástico. Energia Cinética.Momento Linear.
Isolado.Sem forças internas.
Inelástico. Momento Linear. Isolado.Com forças internas.
Choques Mecânicos
223
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Conservação do momento linear
• Se as forças externas que atuam sobre um sistema possuem uma resultante nula, o momento linear é conservado.
• Isto se deve à forma geral da segunda lei de Newton (que admite a mudança da massa com o decorrer do tempo):
finalinicial PP
dt
dt
pdF CM
resres
,
224
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Exemplo 9-6
• Explosão unidimensional. Uma urna de votação de massa m=6kg desliza com velocidade v=4 m/s em um piso sem atrito no sentido positivo de um eixo x. A urna explode em dois pedaços. Um pedaço, de massa m1=2kg, se move no sentido positivo do eixo x com velocidade v1=8 m/s. Qual é a velocidade do segundo pedaço, de massa m2?
225
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Solução
226
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227
![Page 228: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/228.jpg)
Exemplo 9-8
228
![Page 229: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/229.jpg)
229
50o
80o
x
y
A
B
C
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Solução
230
![Page 231: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/231.jpg)
231
![Page 232: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/232.jpg)
Exemplo 9-9
• O pêndulo balístico era usado para medir a velocidade de projéteis antes que os dispositivos eletrônicos fossem inventados. A versão mostrada na Figura era composta por um grande bloco de madeira de massa M=5,4kg, pendurado por duas cordas compridas. Uma bala de massa m=9,5g é disparada contra o bloco e sua velocidade se anula rapidamente. O sistema bloco-bala oscila para cima, com o centro de massa subindo a uma distância h=6,3 cm antes de o pêndulo parar momentaneamente no final da trajetória em arco de circunferência. Qual é a velocidade da bala antes da colisão?
232
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233
h
M
m
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Solução
• Como a velocidade da bala se anula rapidamente, forças internas agem dentro do sistema. Entretanto, as forças externas durante o impacto são nulas (a força gravitacional e a tensão na corda se anulam). Dessa forma, o momento linear é conservado e a energia cinética não é conservada, ou seja, a colisão é inelástica.
234
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235
![Page 236: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/236.jpg)
236
![Page 237: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/237.jpg)
Exemplo 9-11
• Duas esferas metálicas, inicialmente suspensas por cordas verticais, apenas se tocam, como mostra a Figura. A esfera 1, de massa m1=30g, é puxada para a esquerda até a altura h1=8cm e liberada a partir do repouso. Na parte mais baixa da trajetória ela sofre uma colisão elástica com a esfera 2, cuja massa é m2=75g. Qual é a velocidade v1f da esfera 1 imediatamente após a colisão?
237
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238
1
m1
2
m2
h1
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Solução
239
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240
![Page 241: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/241.jpg)
241
![Page 242: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/242.jpg)
Rotação
Unidade VI
242
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Cinemática da rotação• Uma rotação é um movimento que efetua arcos de círculo em torno de um eixo (fixo) no espaço. Para estudar uma rotação devemos utilizar as coordenadas cilíndricas (raio, ângulo e coordenada cartesiana ao longo do eixo). Se durante a trajetória, a partícula mantém seu raio fixo e o plano de rotação também, podemos determinar a posição da partícula através de um ângulo (unidade do S.I. é radiano).
243
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x
y
z
θ
r
Coordenadas cartesianas: (x,y,z)
Coordenadas cilíndricas: (r,θ,z)
Eixo de rotação
244
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Deslocamento angular
• Quando a partícula muda de um ângulo para outro, ela deixa um pequeno rastro em forma de arco de círculo; o deslocamento angular:
Unidade do S.I.: radiano (rad)12
245
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Velocidade Angular
• A velocidade angular média é a razão entre o deslocamento angular realizado e o intervalo de tempo gasta para efetuá-lo:
• A velocidade angular instantânea é a derivada do ângulo em relação ao tempo:
t
dt
d
246
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Aceleração Angular
247
![Page 248: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/248.jpg)
Exemplo 10-1
248
![Page 249: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/249.jpg)
Solução
• (a) Para fazer o gráfico considere a seguinte tabela para a posição angular
249
t(segundos) Θ(radianos)
-3 3,05
0 -1
5,4 3,05
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250
![Page 251: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/251.jpg)
251
Considere a seguinte tabela para a dependência da velocidade angular em relação ao tempo
t(segundos) ω(radianos/segundo)
-3 -2,1
6 2,4
![Page 252: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/252.jpg)
252
(d) O movimento se inicia no segundo quadrante com sentido do movimento dado pelo sentido horário. Segue indo para o quarto quadrante e a partir de 1,2 segundos o sentido do movimento muda para o sentido anti-horário atingindo o primeiro quadrante em 2,8 segundos e depois retornando para o segundo quadrante completando uma volta.
![Page 253: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/253.jpg)
Movimento Circular Uniformemente Variado (M.C.U.V.)
253
![Page 254: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/254.jpg)
Exemplo 10-3
254
![Page 255: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/255.jpg)
Solução
255
![Page 256: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/256.jpg)
256
![Page 257: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/257.jpg)
Decomposição em coordenadas polares
257
![Page 258: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/258.jpg)
258
![Page 259: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/259.jpg)
259
![Page 260: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/260.jpg)
Exemplo 10-5
260
![Page 261: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/261.jpg)
261
(a) Que ângulo θP o arco deve subtender para que a seja 4g no ponto P?
(b) Qual é o módulo a da aceleração experimentada pelo passageiro no ponto P e depois de passar pelo ponto P?
P
θP
Ponto de embarque
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Solução
262
![Page 263: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/263.jpg)
263
![Page 264: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/264.jpg)
Momento de Inércia
• Assim como modificamos a causa para uma rotação, devemos modificar a inércia para a rotação.
• A inércia da rotação é dada pela distribuição das massas em torno do eixo de rotação (momento de segunda ordem):
• Partícula pontual:
• Sistema de partículas:
• Corpo contínuo:
2rmI
n
iii rmI
1
2
dVrIdArIdlrI 222 ,,
264
![Page 265: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/265.jpg)
Teorema dos Eixos Paralelos
265
![Page 266: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/266.jpg)
Exemplo 10-6
• A Figura mostra um corpo rígido formado por duas partículas de massa m ligadas por uma barra de comprimento L e massa desprezível.
• (a) Qual é o momento de inércia ICM em relação a um eixo passando pelo centro de massa e perpendicular à barra?
• (b) Qual é o momento de inércia I do corpo em relação a um eixo passando pela extremidade esquerda da barra e paralelo ao primeiro eixo?
266
![Page 267: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/267.jpg)
267
L/2L/2
m mCM
![Page 268: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/268.jpg)
Solução
268
![Page 269: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/269.jpg)
Exemplo 10-7
• Considere uma barra fina, uniforme, de massa M e comprimento L, sobre um eixo x cuja origem está no centro da barra.
• (a) Qual é o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular à barra passando pelo seu centro?
• (b) Qual é o momento de inércia I da barra em relação a um novo eixo perpendicular à barra passando pela extremidade esquerda?
269
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Solução
270
![Page 271: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/271.jpg)
271
![Page 272: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/272.jpg)
Energia Cinética da Rotação
• Uma partícula, sistema de partículas ou corpo contínuo girando em torno de um eixo fixo no espaço possui energia cinética dada por:
• I é o momento de inércia e ω é a velocidade angular.
2
2
1 IK
272
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Torque
• Diante de uma rotação, temos que modificar a causa do movimento de uma força (linear, cartesiana) para o torque :
• O torque, definido pelo produto vetorial, aponta na direção do eixo de rotação.
• Somente forças perpendiculares à direção radial são capazes de modificar uma rotação.
• As coordenadas cilíndricas (r,θ e z), possuem uma coordenada reta. Em razão disso, o torque (causa de uma rotação) é um vetor; como a causa de uma translação (força).
Fr
273
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r
F
Eixo de rotação.
zyx FFF
zyx
kji ˆˆˆ
FrFrsenFr
θ é o ângulo entre o vetor posição e a força.
é o braço de alavanca.
é a componente tangencial da força.
r
F
274
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Segunda Lei de Newton para Rotações
• Com as modificações na inércia e na massa, podemos obter a segunda lei de Newton para rotações:
• Como se vê basta modificar a causa (torque), efeito (aceleração angular) e inércia (momento de inércia).
I
275
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Exemplo 11-3
276
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277
x
y
z
θ
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Solução
278
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279
O torque associado à terceira força é dado por:
kmNimN
N
mm
kjiˆ2,5ˆ3
020
5,106,2
ˆˆˆ
3
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Exemplo 10-9
• A Figura mostra um disco uniforme com massa M=2,5kg e raio R=20cm, montado em uma eixo fixo horizontal. Um bloco de massa m=1,2kg está pendurado em uma corda sem massa que está enrolada na circunferência do disco. Encontre a aceleração do bloco que cai, a aceleração angular do disco e a tensão na corda. A corda não desliza e não há atrito no eixo de rotação.
280
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281
M
m
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Solução
• Diagrama de corpo livre para o disco
282
R
T
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283
A segunda lei de Newton para rotações diz que o torque deve ser igual ao momento de inércia multiplicado pela aceleração angular. O momento de inércia de um disco (em relação a um eixo passando pelo centro de massa) é dado por:
A segunda lei de Newton é dada por:
Diagrama de corpo livre para o bloco:
22
0 02
2
2
1MRrdrd
R
MrI
R
MaTR
aMRRTIRT
2
1
2
1 2
T
gF
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284
Segunda lei de Newton para o bloco:
Reunindo a segunda lei de Newton para o disco e a segunda lei de Newton para o bloco, obtemos:
Portanto, a aceleração do bloco vale
A aceleração angular do disco vale
agmTammgT
gM
m
maagmMa
22
1
228,48,9
25,2
2,1
2,1
s
m
s
mkg
kg
kga
2
2
242,0
8,4
s
rad
msm
R
a
![Page 285: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/285.jpg)
285
A tensão na corda é dada pela segunda lei de Newton para rotações aplicada ao bloco:
Ns
mkgMaT 68,45,2
2
1
2
12
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Trabalho e energia cinética da rotação• O trabalho realizado por um torque sobre uma partícula, sistema de partículas ou corpo contínuo é dado por:
• Este trabalho também obedece ao teorema do trabalho e energia cinética:
• A potência de um dado torque é dada por:
2
1
dW
22
2
1
2
1inicialfinal IIKW
PP médiamédiomédia ,
286
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Exemplo 10-2
• Uma chaminé cilíndrica começa a tombar quando sua base é danificada. Trate a chaminé como uma barra fina de comprimento L=55m (Figura). Qual é a sua velocidade angular ω no instante em que faz um ângulo θ=35º com a vertical?
287
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288
CML
L/2
y
θ
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Solução
289
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290
![Page 291: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/291.jpg)
Rolamento, Torque e Momento Angular
Unidade VII
291
![Page 292: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/292.jpg)
Rolamento como uma combinação de translação e rotação
292
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A Energia Cinética do Rolamento
• Sendo o rolamento a composição de uma translação com uma rotação, a energia cinética do rolamento é composta de duas parcelas (uma para translação e outra para rotação):
22
2
1
2
1CMCM MvIK
293
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Forças do Rolamento• Como a força normal e a força gravitacional atuam no centro de massa do corpo, é preciso a presença da força de atrito dinâmica para garantir o corpo movimento.
• Se o corpo está rolando em um plano horizontal:
• Caso o corpo esteja rolando em um plano inclinado:
RaCM
21MRI
gsena
CMCM
294
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Exemplo 11-2
• Uma bola uniforme, de massa M=6kg e raio R, rola suavemente, a partir do repouso, descendo uma rampa inclinada de ângulo θ=30º.
• (a) A bola desce uma distância vertical h=1,2m para chegar à base da rampa. Qual é a sua velocidade ao chegar à base da rampa?
• (b) Quais são o módulo e a orientação da força de atrito que age sobre a bola quando ele desce a rampa rolando?
295
![Page 296: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/296.jpg)
Solução
296
![Page 297: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/297.jpg)
297
![Page 298: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/298.jpg)
298
![Page 299: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/299.jpg)
Momento Angular
• Devemos modificar a definição do momento para o caso da rotação:
• O momento angular aponta na direção do eixo de rotação e seu sentido é dado pela regra da mão direita aplicada ao vetor posição e momento linear.
• O momento angular é máximo na situação em que vetor posição e momento linear são perpendiculares (movimento circular).
prL
299
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r
p
Eixo de rotação.
L
zyx ppp
zyx
kji ˆˆˆ
prprsenpr
θ é o ângulo entre o vetor posição e o momento.
é a componente do vetor posição perpendicular ao momento.
é a componente tangencial do momento
r
p
300
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Exemplo 11-4
301
![Page 302: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/302.jpg)
302
e passará a 4m do ponto O. Quais são o módulo e a orientação do momento angular total em relação ao ponto O do sistema formado pelas duas partículas?L
2p
1p
2r
1r2r
1r
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Solução
• Como foram dadas as componentes do vetor posição perpendiculares às direções do momentos das partículas podemos calcular o módulo do momento angular de cada partículas como:
• O momento angular da primeira partícula aponta para fora do plano da figura e o segundo aponta para dentro do plano da figura (regra da mão direita). 303
s
mkg
s
mkgmprl
mkg
s
mkgmprl
2
222
2
111
824
21052
![Page 304: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/304.jpg)
304
Como o momento angular da primeira partícula é maior que o da segunda partícula, o momento angular total aponta para fora do plano da figura. O seu módulo é dado por:
s
mkg
s
mkgL
22
2810
![Page 305: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/305.jpg)
Se o corpo, partícula ou corpo contínuo estiver girando em torno de um eixo fixo com velocidade angular constante, podemos relacionar o momento angular diretamente com o momento de inércia:
IL
305
![Page 306: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/306.jpg)
Segunda Lei de Newton para rotações
• O torque resultante que age sobre a partícula, sistema de partículas ou corpo contínuo é igual à derivada em relação ao tempo do momento angular da partícula, corpo contínuo ou sistema de partículas.
dt
Ldres
306
![Page 307: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/307.jpg)
Exemplo 11-5
• Na Figura um pinguim de massa m cai, sem velocidade inicial, do ponto A, a uma distância horizontal D da origem O de um sistema de coordenadas x,y,z. (O sentido positivo do eixo z é para fora do papel.)
• (a) Qual é o momento angular do pinguim em relação ao ponto O?
• (b) Qual é o torque em torno da origem devido à força gravitacional?
307
l
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308
O
D
![Page 309: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/309.jpg)
Solução
309
![Page 310: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/310.jpg)
310
![Page 311: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/311.jpg)
Exemplo 11-6• George Washington Gale Ferris, Jr, um engenheiro civil formado no
Instituto Politécnico Rensselaer, construiu a roda gigante original para a Exposição Mundial de 1893 em Chicago. A roda, uma impressionante construção para a época, tinha 36 carros de madeira, cada um com a capacidade de 60 passageiros, em um círculo de raio 38m. A massa de cada carro ficava em torno de 1,1x104kg. A massa da estrutura da roda vale 6x105kg estava concentrada no aro de metal que sustentava os carros. A roda completava uma volta em 2 minutos.
• (a) Estime o módulo do momento angular da roda, cabines e passageiros quando a roda realizava uma volta completa.
• (b) Se a roda acelerava do repouso até a velocidade desejada em um intervalo de tempo de 5 segundos, estime o módulo do torque resultante que age sobre a roda.
311
![Page 312: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/312.jpg)
Solução
312
![Page 313: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/313.jpg)
313
![Page 314: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/314.jpg)
Conservação do momento angular
• Na ausência de torques externos, o momento angular de uma partícula, corpo contínuo ou sistema de partículas é conservado ao longo do tempo.
finalinicial LL
314
![Page 315: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/315.jpg)
Exemplo 11-8
• Na Figura, uma barata de massa m caminha sobre um disco de massa 6m e raio R. O disco inicialmente gira com velocidade angular ω=1,5 rad/s no sentido anti-horário. A barata está inicialmente no raio r=0,8R, mas depois caminha até a borda do disco. Trate a barata como uma partícula. Qual é a sua velocidade angular final?
315
![Page 316: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/316.jpg)
316
rR
ωi
![Page 317: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/317.jpg)
Solução
317
![Page 318: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/318.jpg)
318
![Page 319: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/319.jpg)
Fluidos
Unidade VIII
319
![Page 320: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/320.jpg)
Propriedades Básicas dos Fluidos• Um fluido é um objeto sem rigidez, suas partes podem se mover
umas em relação às outras.• Dessa forma, para entender um fluido é preciso estudar
quantidades que mostram a variabilidade das diversas partes de um fluido.
• Uma linha de corrente é a trajetória descrita por um ponto do fluido.
• A seção transversal do fluido é o corte feito por um plano atravessando o fluido.
Linha de corrente.
Seção transversal.
320
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Densidade• Para medir a inércia de um fluido devemos utilizar a densidade (e
não a massa) do fluido. A densidade é dada pela derivada da massa (m) em relação ao volume do fluido (V):
• Em geral, a densidade depende de cada parte do fluido. Entretanto, temos o caso de um fluido uniforme com a densidade não apresentando mudança de uma parte para outra do fluido. Neste caso temos a densidade (uniforme) dada pela razão da massa do fluido pelo seu volume:
• Unidade no S.I.: kg/m3
V
mV
0lim
V
m
321
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Pressão• Para analisar a causa do movimento devemos utilizar o
conceito de pressão, que é a causa que faz um pequeno elemento da seção transversal do fluido se mover (ΔA). A pressão é a derivada da força (F) em relação à área (A) da seção transversal do fluido:
• A força (F) utilizada para definir a pressão aponta na direção oposta à normal do fluido!
• Para o caso da pressão ser uniforme (não variar ao longo da seção transversal do fluido), a definição de pressão é dada por:
• Unidade do S.I.: Pascal (Pa).
A
Fp
A
0lim
A
Fp
322
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Exemplo 14-1
• Uma sala de estar tem as dimensões do piso de 3,5m de largura e 4,2m de espessura e uma altura de 2,4m.
• (a) Quanto o ar dentro da sala pesa se a pressão do ar no sala é 1 atm?
• (b) Qual o módulo da força que o ar exerce no topo da sua cabeça, se você considere que a área correspondente vale 0,04 m2?
323
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Solução
324
![Page 325: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/325.jpg)
Hidrostática
• Para um fluido em repouso, sobre a influência da gravidade da Terra; a pressão depende apenas da componente perpendicular à seção transversal do fluido (altura, y, ou profundidade, h) e independe das componentes paralelas à seção transversal do fluido:
• Em termos da profundidade do fluido, temos (p0 é a pressão no topo do fluido):
Princípio de Stevin
2112 yygpp
hgpp 0
325
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Exemplo 14-2
• Um mergulhador novato praticando em uma piscina inala ar suficiente do seu tanque até encher os pulmões até mergulhar até uma profundidade L e retornar à superfície. Ele ignora as instruções e não exala o ar durante a subida. Quando ele atinge a superfície, a diferença entre a pressão do ar nos seus pulmões e a pressão atmosférica é 9,3kPa. De que profundidade partiu?
326
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Solução
327
![Page 328: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/328.jpg)
Exemplo 14-3
328
![Page 329: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/329.jpg)
329
l
d
Água
óleo
Interface
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Solução
330
![Page 331: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/331.jpg)
Princípio de Pascal
• Qualquer variação na pressão nas extremidades do fluido é transmitida a todas as partes do fluido de maneira igual:
• O princípio de Pascal é utilizado no elevador hidráulico, onde aplicamos uma força pequena em uma extremidade para obter uma força grande na outra extremidade:
extpp
11
22 F
A
AF
331
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Princípio de Arquimedes
• Quando um objeto está imerso em fluido, aparece uma força que tenta expelir o objeto do fluido. Esta força é o empuxo, que segundo o princípio de Arquimedes é igual ao peso do líquido deslocado (pelo objeto):
deslocadolíquidolíquidodeslocadolíquido VgmgE
E
332
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Exemplo 14-4
333
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334
y
θ
x
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Solução
335
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336
O módulo do empuxo é dado pelo peso da água deslocada pela prancha:
As componentes da força de arrasto são dadas por:
O módulo da força de arrasto é dado por:
A direção da força de arrasto é dada pelo seguinte ângulo:
NsmmmkgVgE água22323 10509,28,9105,2024.1
NNsmkgEmgF
NsensmkgmgsenF
ya
xa
5,4539,25030cos8,983cos
7,406308,98302
,
02,
NFFF yaxaa 6092,
2,
11,17,406
5,453tan
,
, N
N
F
F
xa
ya
o48
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Flutuação
• Para que um objeto flutue é preciso que a força gravitacional equilibre o empuxo exercido pelo fluido:
• Se a força gravitacional é maior que o empuxo, o objeto afunda dentro do fluido. Caso contrário, o objeto é expelido do fluido!
gFE
E
gF
337
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Exemplo 14-5
338
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Solução
339
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340
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Dinâmica dos fluidos
• Supondo que o fluido é incompressível (sua densidade é uniforme e não muda ao longo do tempo) e não possui vazamentos; temos a seguinte equação para a velocidade (da linha de corrente) e área (da seção transversal do fluido):
Equação da Continuidade
2211 vAvA
341
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Exemplo 14-6
• A água cai de uma torneira afinando sua seção transversal quando cai. A área da seção transversal na boca da torneira é A0=1,2cm2 e a área da seção transversal na parte de baixo é A=0,35cm2. A boca da torneira e o nível inferior estão separados por uma distância h=45mm. Qual é a vazão volumétrica na boca da torneira?
342
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Solução
343
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344
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Equação de Bernoulli
• Com o fluido se movendo, devemos substituir o princípio de Stevin pela equação de Bernoulli (expressão da conservação de energia):
2222
2111 2
1
2
1vygpvygp
345
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Exemplo 14-7
346
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Solução
347
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348
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Exemplo 14-8
• No Velho Oeste, um bandido acerta um tiro em um tanque de água com a tampa aberta, criando um buraco a uma profundidade h abaixo da superfície da água. Qual é a velocidade v da água que está saindo do tanque?
349
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Solução
350
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Temperatura, Calor e Primeira Lei da Termodinâmica
Unidade IX
351
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Introdução
• A termodinâmica trata da dinâmica que um sistema possui ao modificar o arranjo dos seus graus de liberdade internos.
• Para medir a agitação dos graus de liberdade internos, usamos a temperatura. Quente significa que o sistema está muito agitado e frio é a situação oposta.
• O calor é a energia transferida para o sistema que modifica os graus de liberdade internos, sem modificar os graus de liberdades externos; fazendo a temperatura do sistema variar.
• Trabalho é a energia transferida para o sistema capaz de modificar seus graus de liberdade externos.
352
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Lei Zero da Termodinâmica
• Se um corpo está em equilíbrio termodinâmico com um certo corpo e também em equilíbrio termodinâmico com um terceiro corpo. Então o segundo e o terceiro corpos mencionados estarão em equilíbrio entre si.
• A temperatura é portanto uma função do estado do sistema!
353
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Temperatura
• Existem várias escalas de temperatura, mas três são mais usadas no dia-a-dia.
• A escala Kelvin é a mais utilizada em artigos científicos. Seu zero é a menor temperatura que um sistema pode atingir.
• A escala Celsius é muito utilizada na medicina. Seu zero é o ponto de congelamento da água. O valor de 100 é atribuído para o ponto de ebulição da água.
• A escala Fahrenheit modifica os valores do ponto de congelamento da água para 32 e o ponto de ebulição para 212. Muito utilizada nos Estados Unidos.
354
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Escalas de Temperatura
• A relação entre a escala Celsius, Tc, e Kelvin, T; é dada por:
• A relação entre a escala Celsius e Fahrenheit, TF, é dada por:
15,273TTC
CF TT5
932
355
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Exemplo 18-1
• Suponha que você encontre velhos notas científicas que descrevem uma escala de temperatura chamada Z em que o ponto de ebulição da água vale é 650Z e o ponto de congelamento é -14oZ. A qual temperatura da escala Fahrenheit uma temperatura de -98oZ irá corresponder? Assuma que a escala Z é linear, ou seja, o valor de um grau na escala Z é o mesmo em todo o intervalo da escala.
356
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Solução
357
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Dilatação Térmica• Quando um corpo sofre um aumento de temperatura, seu comprimento cresce proporcional ao incremento na temperatura:
• O coeficiente de dilatação linear é α.• O volume do corpo também cresce com o aumento de temperatura:
• O coeficiente de dilatação volumétrica é dado por:
TLL
TVV
3
358
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Exemplo 18-2
Em um dia quente em Las Vegas, um caminhão carregou 37.000L de óleo diesel. Ele encontrou tempo frio no caminho até Payson, Utah, onde a temperatura era 23K abaixo da temperatura em Las Vegas, onde ele entregou sua carga completa. Quantos litros ele entregou? O coeficiente de dilatação volumétrica do óleo diesel é 9,5x10-4oC-1, e o coeficiente de dilatação linear do aço do caminhão é 11x10-6oC-1?
359
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Solução
360
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Capacidade Calorífica
• Quando calor é injetado em um sistema, sua temperatura aumenta. A capacidade calorífica, C, é o fator entre o calor injetado, Q, e a variação de temperatura, ΔT:
• A capacidade calorífica é constante para a maioria dos materiais sólidos e líquidos.
if TTCTCQ
361
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Calor Específico
• Para considerar somente a substância, introduzimos o calor específico; que é a razão entre a capacidade calorífica e a massa do material, m:
• O calor específico é constante para os materiais sólidos ou líquidos.
• O calor específico molar é dado em termos da quantidade de moles (número de moléculas dividido pelo número de Avogrado):
• Unidade do S.I.: J/kg K ou J/mol K.
if TTcmTcmQ
TcnQ molar
362
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Calor Latente
• Durante uma transição de fases, a temperatura do material não muda até uma fase (sólida, líquida, gasosa, etc.) ter se convertido na outra.
• O calor absorvido,Q, durante a transição é dado por:
• A massa do material é m, enquanto L é o calor latente da substância para a transição considerada (calor de transformação).
• Unidade do S.I.: J/kg.
LmQ
363
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Exemplo 18-3
(a) Quanto de calor deve ser absorvido por gelo de massa m=720g à -10oC para se transformar em água líquida a 15oC?
(b) Se você fornecer ao gelo somente 210kJ de energia (em forma de calor), qual é o estado final do gelo e sua temperatura?
364
![Page 365: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/365.jpg)
Solução
365
![Page 366: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/366.jpg)
366
![Page 367: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/367.jpg)
367
![Page 368: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/368.jpg)
Trabalho
• O trabalho mecânico realizado por um gás é dado pela integral da pressão contra o volume do gás:
• Esta é a energia necessária para modificar o volume de um gás (variável externa).
f
i
V
V
dVpW
368
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Primeira Lei da Termodinâmica• A diferença entre o calor introduzido em um sistema e o trabalho
realizado pelo sistema independe do processo pelo qual o sistema passou e é igual a variação da energia interna do sistema (energia devida à agitação dos graus de liberdade internos):
• Para variações diferenciais, temos:
• A energia interna é função do estado do sistema! Mas o calor e o trabalho não são funções do estado do sistema (dependem do processo que o sistema passou)!
if EEWQE int,int,int
dWdQdE int
369
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Processos Termodinâmicos
• Processo adiabático: É aquele (tão rápido) em que não há trocas de calor, Q=0.
• Processo isovolumétrico: É aquele em que o volume do sistema é mantido constante. O trabalho realizado pelo sistema é nulo, W=0.
• Processo isobárico: É aquele em que a pressão sobre o sistema é mantida constante. Neste caso
• Processo isotérmico: É aquele em que a temperatura é mantida constante.
VpW
370
![Page 371: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/371.jpg)
Exemplo 18-5
Considere que 1kg de água líquida à 100oC pode ser convertida em vapor à 100oC por evaporação na pressão atmosférica padrão. O volume da água varia de 1x10-3m3 como água líquida para 1,671m3 como gás.(a)Quanto trabalho o sistema faz durante esse processo?(b) Quanto energia é transferida para o sistema em forma de calor durante o processo?(c) Qual é a mudança na energia interna do sistema durante o processo?
371
![Page 372: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/372.jpg)
Solução
372
![Page 373: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/373.jpg)
373
![Page 374: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/374.jpg)
Imagens
Unidade X
374
![Page 375: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/375.jpg)
Dois tipos de imagens
• Imagem Real: É a imagem formada do lado oposto ao que está o objeto, considerando o espelho como origem.
• Imagem Virtual: É a imagem formado do mesmo lado em que está o objeto, considerando o espelho como origem.
375
![Page 376: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/376.jpg)
Leis da reflexão
• Quando a luz incide em um meio, podemos distinguir o ângulo de incidência (com a normal à interface, θi) e o ângulo de reflexão (com a normal à interface, θr).
θi θr
376
![Page 377: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/377.jpg)
• O ângulo de incidência e de reflexão são iguais!
• A imagem pode ser formada pelos raios ou por seus prolongamentos.
• A imagem é real, se é formada do mesmo lado do objeto (com a interface na origem).
• A imagem é virtual, se formada do lado oposto ao objeto (com a interface na origem).
• A imagem pode ser ampliada ou reduzida.• Para obter a imagem fazemos os encontros dos raios que vêm das extremidades do objeto. 377
![Page 378: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/378.jpg)
Espelhos Planos
• Os espelhos são superfícies que refletem a maioria da luz que incidem sobre elas!
• Um espelho plano é um espelho com uma superfície plana.
ObjetoImagem
378
![Page 379: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/379.jpg)
• Em um espelho plano a imagem não apresenta ampliação!
• Em um espelho plano a imagem é virtual!• Em um espelho plano, a distância da imagem até o espelho é a mesma distância do objeto até o espelho!
379
![Page 380: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/380.jpg)
Espelhos Esféricos
• É o espelho cuja superfície é uma porção de uma esfera.
• Pode ser côncavo, quando a superfície refletora é formada pela parte de dentro da esfera.
• Pode ser convexo, quando a superfície refletora é formada pela parte de fora da esfera.
380
![Page 381: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/381.jpg)
• Os espelhos esféricos têm a propriedade de convergir/divergir os raios que vêm do infinito (paralelos entre si) para o foco do espelho.
• No caso do espelho côncavo, o espelho converge os raios para o foco. A distância focal é positiva (foco na frente do espelho).
• No caso do espelho convexo, o espelho diverge os raios do foco. A distância focal é negativa (foco atrás do espelho).
Espelho convexo Espelho côncavo
381
![Page 382: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/382.jpg)
• Considerando a distância do objeto ao espelho como p, a distância da imagem ao objeto como i e a distância focal como f. Temos a seguinte equação para os espelhos esféricos:
• O módulo da distância focal é o metade do raio do espelho:
• A altura da imagem, , e altura do objeto h; estão relacionadas por:
•
fip
111
2
rf
´h
p
i
h
h
´
382
![Page 383: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/383.jpg)
• Em um espelho esférico a imagem pode ser virtual ou real.
• Em um espelho esférico a imagem pode ser reduzida ou ampliada.
• Podemos prever esses comportamentos, localizando a posição da imagem em relação ao foco do espelho e seu centro através do encontro dos raios de luz (ou dos seus prolongamentos).
383
![Page 384: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/384.jpg)
Exemplo 34-1
384
![Page 385: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/385.jpg)
Solução
385
![Page 386: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/386.jpg)
386
![Page 387: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/387.jpg)
Leis da Refração
• A refração acontece quando os raios de luz atravessam de um meio para outro!
• Podemos distinguir o ângulo de incidência, θ1, e o ângulo de refração, θ2.
θ1
θ2
387
![Page 388: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/388.jpg)
Lei de Snell
• O índice de refração é a razão da velocidade da luz no vácuo pela velocidade da luz no meio:
• Os ângulos de incidência e refração são relacionados com os índices de refração do meio 1, n1, e meio 2, n2:
v
cn
2211 sennsenn
388
![Page 389: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/389.jpg)
Exemplo 33-3
(a)Na Figura, um feixe de luz monocromático reflete e refrata no ponto A de uma interface de um material 1 com índice de refração n1=1,33 com um material 2 de índice de refração n2=1,77. O feixe incidente faz um ângulo de 50º com a interface. Qual é o ângulo de reflexão no ponto A? Qual é o ângulo de refração nesse ponto?
389
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390
(b) A luz que penetra no material 2 no ponto A atinge o ponto B da interface do material 2 com o material 3, que é o ar, como mostrado na Figura. A interface onde está o ponto B é a paralela à interface onde está o ponto A. Em B, parte da luz reflete e outra parte entra no ar. Qual é o ângulo de reflexão? Qual é o ângulo de refração no ar?
Meio 1
Meio 2
Meio 3
A
B
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Solução
391
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392
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Reflexão Interna Total
• Para ângulos maiores que o ângulo crítico, θc, a luz é totalmente refletida pela interface entre os dois meios. Neste caso a refração não existe, apenas a reflexão! O ângulo crítico é dado por:
1
21
n
nsenC
393
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Exemplo 33-5
A proposta de um anel de diamantes, claro, é brilhar. Parte da arte de cortar um diamante é garantir que toda luz incidente sobre essas superfícies é refletida, garantido o brilho do diamante. A figura mostra um corte transversal de um diamante brilhante, com um raio de luz entrando no ponto A da superfície de cima. Neste tipo de corte, as superfícies de cima e de baixo tem normais que fazem um ângulo de 48,84º. No ponto B, pelo menos parte da luz é refletida e retorna para a superfície de cima, mas parte refrata e pode deixar o diamante. Considere um raio de luz incidente com um ângulo θ1=40o em A. A luz escapa se existe ar (n4 =1) sob a superfície de baixo? A luz escapa se uma superfície gordurosa (n4 =1,63) cobre a superfície? O índice de refração do diamante é ndia =2,419.
394
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395
θ1
θ2
θ3
θ4
48,84o
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Solução
396
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397
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Superfícies Refratoras Esféricas
• Se a interface entre os dois meios é uma porção de esfera, temos uma superfície refratora esférica.
• Se a superfície é côncava, o raio de curvatura é negativo. Se a superfície é convexa, o raio de curvatura é positivo.
• A superfície refratora esférica pode formar uma imagem de um objeto. A imagem pode ser real, se fica do lado oposto ao objeto (em relação à interface); ou virtual, se fica do mesmo lado do objeto (em relação à interface).
398
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• Sendo p, a distância do objeto até a interface, e i, a distância da imagem até a interface; temos:
OI
C
r
nn
i
n
p
n 1221
399
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Exemplo 34-2
Um mosquito jurássico foi descoberto dentro de uma pedra de âmbar, que tem índice de refração 1,6. Uma superfície do âmbar é côncava e tem raio de curvatura 3mm. A cabeça do mosquito está no eixo central da pedra de âmbar e, quando vista ao longo do eixo, aparenta estar enterrada a uma distância de 5mm dentro do âmbar. Qual é a verdadeira distância em que o mosquito está enterrado?
400
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Solução
Como temos uma superfície refratora côncava, o raio de curvatura é negativo e vale r=-3mm. Foi dada a distância da imagem, que é negativa; já que o mosquito está do mesmo lado que a sua imagem (dentro do âmbar): i=-5mm. Dessa forma, a distância do mosquito até o vértice da superfície refratora esférica é dada através da equação:
401
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402
![Page 403: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/403.jpg)
Lentes Delgadas
• Se unirmos duas superfícies refratoras esféricas separadas de uma distância muito pequena, temos uma lente delgada.
• As lentes delgadas podem formar imagens através da convergência dos raios (lente convergente) ou do prolongamento dos raios, ou seja, da divergência dos raios (lente divergente).
403
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• Temos a seguinte equação para as imagens das lentes delgadas:
Lente convergente Lente divergente
fip
111
404
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Equação do Fabricante de Lentes
• A distância focal da lente é dada por (o meio que envolve a lente é o ar):
• Se a distância focal é positiva, a lente é convergente.; caso contrário, a lente é divergente.
• A ampliação da lente é dada por:
21
111
1
rrn
f
p
i
h
hm
´
405
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Exemplo 34-4
Um louva-a-deus está em um eixo central de uma lente delgada simétrica, a 20cm da lente. A ampliação do louva-a-deus vale m=-0,25, e o índice de refração do material da lente é 1,65.(a)Determine o tipo de imagem produzida pela lente, o tipo de lente, se o louva-a-deus está do mesmo lado ou do lado oposto ao ponto focal, de que lado da lente a imagem aparece, e se a imagem é invertida.(b)Quais são os dois raios de curvatura da lente?
406
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Solução
407
![Page 408: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/408.jpg)
408
![Page 409: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/409.jpg)
409
![Page 410: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/410.jpg)
Instrumentos Óticos
O olho• O sistema córnea-cristalino dos olhos focaliza a luz sobre a retina, onde
ela é sentida pelos bastonetes e cones que enviam a informação ao longo do nervo ótico para o cérebro.
• Quando o olho está relaxado, o comprimento focal do sistema córnea-cristalino está em torno de 2,5 cm, que é a distância até a retina.
• Quando os objetos são colocados próximos aos olhos o cristalino varia de forma a diminuir o comprimento focal total, de tal modo que a imagem permaneça focalizada pela retina.
• A menor distância para a qual a imagem pode ser focalizada na retina é chamada de ponto próximo, tipicamente em torno de 25 cm.
410
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• O tamanho aparente de um objeto depende do tamanho da imagem na retina e, portanto, maior o tamanho aparente do objeto.•Quanto mais próximo o objeto, maior sua imagem na retina e, portanto, maior o tamanho aparente do objeto.
411
![Page 412: Física do ambiente agrícola](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022012823/557333ebd8b42a63778b4d68/html5/thumbnails/412.jpg)
Lupa
• Uma lupa simples cria uma imagem virtual cujo tamanho angular é maior do que o tamanho angular θ produzido pelo próprio objeto a uma distância igual a 25 cm , a distância mais próxima do olho para que se tenha um visão confortável.
• A ampliação angular produzida por uma lupa simples é dada pela razão entre o tamanho angular da imagem virtual e o tamanho angular do mesmo objeto nessa distância:
• Para uma lupa simples com distância focal f, obtemos M=(25 cm/f).
M
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Microscópio Ótico
• No microscópio ótico a lente da objetiva forma uma primeira imagem no tubo do instrumento e a ocular forma uma imagem virtual final, geralmente no infinito, da primeira imagem.
• A ampliação angular é dada em termos das distâncias focais da objetiva, f1 e da ocular f2 e da distância da primeira imagem até a objetiva:
2
1
1
25
f
s
f
cmM
413