Introducción a la mecánica 1

0- HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS BÁSICAS

Suma y resta de vectores

0.1 Un cuerpo realiza un primer desplazamiento en el espacio A = 2i + j – k y a continuación un

segundo desplazamiento B = 2i – 2j + 3k . Halle el desplazamiento total realizado.

R: 4i – j + 2k

0.2 Un velero se desplaza un primer tramo 200 m al Norte y 400 m al Este. En un segundo tramo se

desplaza 300 m al Sur y 100 m al Oeste. Cual ha sido el desplazamiento total ? expresar los

desplazamientos en forma vectorial y representarlo gráficamente

R: ( 300 , -100 ) m

0.3 Un bote de remos debe ir desde el punto A , cuya posición respecto al faro viene dada por las

coordenadas rA = ( 800, -240) m , hasta el punto B dado por: rB = ( 500, 160) m . ¿ Qué

desplazamiento debe realizar ?

R: ( -300 , +400 ) m

0.4 El edificio Burj Khalifa de Dubai, de 828 m de altura, tiene un mirador en el piso 124, a 440 m de

altura sobre lo que supondremos la superficie terrestre. Teniendo en cuenta el radio de la tierra

es 6 3 7 0 k mR y asumiendo un terreno liso, sin accidentes orográficos que limiten la visión, determine

la distancia máxima que se puede divisarse en un día de visibilidad excelente.

R: 75 km

Producto escalar

0.5 Pruebe que los vectores 4 3 A i j k y 2 2 B i j k son perpendiculares.

0.6 Dados los vectores: 2 A i j k ; 2 2 3 B i j k , calcule:

a) Su producto escalar

b) El módulo de ambos

c) El ángulo que forman

d) El vector unitario en la dirección de A : Â

R: a) A·B =-1,0 ; b) |A| = 2,45 , |B| = 4,12 ; c) α = 95,7º ; d) Â = ( 0,82 , 0,41 , - 0,41 )

0.7 Hallar la distancia entre el centro de la plaza mayor del Campus Nord, (cuyas coordenadas UTM

son : 4582282 m Norte, 425789 m Este de la zona 31T) y el monumento a Colón (4580802 m Norte

431242 m Este de la misma zona ) sin considerar la distorsión producida por la curvatura de la Tierra.

R: 5650 m

0.8 Hallar la proyección de los vectores A = ( -21 ,105) m y B = ( 12 , - 60 ) m sobre el vector

C = ( 3 , 4 ) m

R: A//C = 71,4 m ; B//C = -40,8 m

0.9 Hallar el vector unitario perpendicular a A = ( 4,00 , - 7,05 )

Introducción a la mecánica 2

R: ± ( 0,87 , 0,49 )

0.10 Determine un vector de módulo 3 y que sea paralelo al vector 4 , 0 , 3s

R: 91 2 , 0 ,5 5

0.11 Determine un vector de módulo 3 y que sea paralelo al vector 4 , 0 , 3s

R: 91 2 , 0 ,5 5

Producto vectorial

0.12 Sea 2 4 A i j y 2 3 B j k . Determine el vector C A B .

R: 1 2 6 4 C i j k

0.13 Si 3A j , 9 A B i y 1 2 A B , determine B .

R: 4 3 B j k

0.14 Encuentre un vector no nulo y que sea simultáneamente perpendicular a 2 3 4 A i j k y a

B j k .

R: 2 2 i j k

0.15 Sean 1 , 1 , - 1A , 3 , 3 , 2B y 3 , - 1 , - 2C tres puntos que pertenecen a un plano. Determine

un vector unitario N

e perpendicular al citado plano.

R: 2 2N e i j k

Cambio de sistema de referencia

0.16 El punto P se localiza por las coordenadas (3 , 4) m en un sistema de

coordenadas S:

a) calcule la distancia de O a P.

Se dispone de otro sistema de coordenadas S’, que podemos pensar que se ha originado

por traslación de S, de tal manera que las coordenadas de O’ en S son (1 , –2 ) m,

b) localice las coordenadas de los puntos O y P en S’,

c) calcule la distancia de O a P medida en el sistema S’.

R: a) 5 m, b) (–1 , 2 ) m, (2 , 6 ) m c) 5 m

0.17 El punto P se localiza por las coordenadas (3 , 4 ) m en un sistema

de coordenadas S:

Se dispone de otro sistema de coordenadas S’, que podemos pensar que se

ha originado por rotación de S en torno de O. Si se ha rotado, en sentido

antihorario, un ángulo φ = 26º [cos(φ) = 0,90, sen(φ) = 0,44]

a) localice las coordenadas del punto P en S’

b) calcule la distancia de O a P medida en el sistema S’

R: a) (4,5 m, 2,3 m) b) 5 m

r ( P )

y ’

x ’ O ’

P

x

y

O

i

j e1 e2

x

y

x’

y’

φ