fisica applicata – lezione...
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Fisica applicata – Lezione 2
Maurizio [email protected]
Dipartimento di FisicaUniversità degli studi di Milano
24 Ottobre 2016
Informazioni sul corso
Come già detto, le slide sono disponibili sul sitohttp://cosmo.fisica.unimi.it/didattica/corsi/
fisica-scienze-propedeutiche/.
Siete pregati di mandarmi una email all’[email protected]: in questo modopotrò contattarvi in caso di necessità (es., se sonocostretto ad annullare una lezione).
Programma del corso
1. Concetti di base:1.1 Fondamenti di matematica1.2 Unità di misura e percentuali1.3 Stime degli ordini di grandezza1.4 Cenni di geometria analitica
2. Cinematica e dinamica3. Energia4. Termodinamica5. Fisica dei fluidi
Parte I
Concetti di base: cenni digeometria analitica
La retta
Si può stabilire una corrispondenza tra equazionialgebriche e figure del piano cartesiano. La figurain questione corrisponde all’insieme di tutti i puntipx , yq del piano per cui l’equazione algebrica èsoddisfatta.
Ad esempio, l’equazione
3 ˆ x “ 4 ˆ y
è associabile a una retta sul piano cartesiano.
Rappresentazione di rette
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
(4, 3)
x
y
Rappresentazione di retteTutte le equazioni che possono essere ricondottealla forma
y “ m ˆ x ` q,
per qualche numero m e q che varia da caso acaso, sono associabili a rette. Per comodità dilinguaggio, si dice che l’equazione è una retta.
Ad esempio, l’equazione precedente 3 ˆ x “ 4 ˆ yè riscrivibile come
y “34
x ,
dove m “ 3{4 e q “ 0.
Rappresentazione di rette
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
x
ym crescente
Rappresentazione di rette
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
x
yq crescente
Rappresentazione di rette
Per rappresentare una retta a partire daun’equazione, è sufficiente individuare due puntiche soddisfano l’equazione: la retta passasicuramente da essi.
Ad esempio, data l’equazione
y “ 2x ´ 1,
la retta passerà dal puntopx “ 0, y “ 2 ˆ 0 ´ 1 “ ´1q e dal puntopx “ 1, y “ 2 ˆ 1 ´ 1 “ 1q.
Esercizi
Rappresentare graficamente le seguenti rette:
y “ 3x ` 1,y “ x ,
2y “ 4x ´ 2,y “ ´x ` 1,y “ 3.
Unità di misura e rette
Se nell’equazione
h “ mt ` q
la quantità t è un tempo misurato in secondi, e laquantità h è una lunghezza misurata in metri, qualè l’unità di misura di m e q?
Unità di misura e rette
Si può applicare l’operatore r¨s agli elementidell’equazione
h “ mt ` q,
tenendo conto delle seguenti proprietà:
ra ` bs “ ras “ rbs,
ras ` rbs “ ras,
rmts “ rms ¨ rts.
Unità di misura e retteQuindi da
h “ mt ` q,
otteniamo
rhs “ rmt ` qs “ rmts “ rqs,
e quindi rhs “ rqs: allora q è una lunghezzamisurata in metri. D’altronde,
rhs “ rmts,
e quindi
rhs “ rms ¨ rts ñ rms “rhs
rts:
la quantità m è una velocità (rms “ m/s).
La parabola
La parabola
Proprietà della parabola
Fuo
co
Direttrice
Ass
e d
i si
mm
etr
ia
Rappresentazione della parabolaSi può dimostrare che una parabola con asse disimmetria verticale ha equazione
y “ ax2` bx ` c,
con a, b e c numeri reali.
I valori di a, b e c sono legati alla posizione delfuoco e della direttrice della parabola. Ovviamentele lettere sono arbitrarie: anche
h “ at2` bt ` c
rappresenta una parabola, con t e h variabili.
Rappresentazione della parabola
1 2
−1
0
1
2
3
−2
−2 −1
a>0
a<0
Il segno del parametro adetermina la concavitàdella parabola.
Rappresentazione della parabola
1 2
−1
0
1
2
3
−2
−2 −1
P
Il parametro b è legato alpunto in cui l’asse disimmetria intersecal’asse x :
P “
ˆ
´b2a
, 0˙
.
Rappresentazione della parabola
1 2
−1
0
1
2
3
−2
−2 −1
c crescente
Il parametro c determinal’intersezione con l’assey (analogamente alparametro q della retta).
Rappresentazione della parabolaPer rappresentare analiticamente una parabolasono necessari tre punti (per la retta ne bastanodue).
Ad esempio, considerando l’equazione
y “ x2` 2x ´ 1,
si vede facilmente che essa passa per i punti
x y´1 p´1q2 ` 2 ˆ p´1q ´ 1 “ ´20 p0q2 ` 2 ˆ 0 ´ 1 “ ´11 p1q2 ` 2 ˆ 1 ´ 1 “ 2
Rappresentazione della parabola
1 2
−1
0
1
2
3
(1, 2)
−2
−2 −1
(0, −1)
(−1,− 2)
Equazioni di secondo grado
Vediamo ora la connessione tra parabole edequazioni.
Un’equazione è un uguaglianza tra due quantitàdipendenti da variabili, che è vera solo per alcunivalori delle variabili; es.:
x ` 2 “ 3y2´ 1, 3x ` 1 “ 5.
Questo è diverso da un’identità, che è semprevera:
1 m “ 100 cm, 2x ´ x “ x .
Equazioni di secondo grado
Un’equazione di secondo grado è un’equazioneche può essere ricondotta alla forma
ax2` bx ` c “ 0,
dove l’incognita è x .
La somiglianza con l’equazione della parabola èevidente.
Rappresentazione della parabola
1 2
−1
0
1
2
3
−2
−2 −1
Graficamente, lasoluzione dell’equazionecorrisponde alladeterminazione dellecoordinate x dei duepunti in cui la parabolainterseca l’asse delle x(dove y “ 0).
Equazioni di secondo grado
La soluzione dell’equazione
ax2` bx ` c “ 0,
si ottiene cercando di ricondursi alla forma
px ´ αq2
“ β,
perché la seconda forma è immediata:1. Se β “ 0, allora la soluzione è x “ α;2. Se β ă 0, non ci sono soluzioni;3. Se β ą 0, le soluzioni sono x “ ˘
?β{α.
Equazioni di secondo gradoTrasformare
ax2` bx ` c “ 0,
inpx ´ αq
2“ β,
è un buon esercizio di algebra.
È necessario ricordare la formula del quadrato delbinomio:
pa ˘ bq2
“ a2˘ 2ab ` b2,
che applicata al nostro caso diventa
px ´ αq2
“ x2´ 2αx ` α2.
Equazioni di secondo gradoQuesta è la sequenza delle operazioni:
ax2` bx ` c “ 0,
x2`
ba
x `ca
“ 0,
x2` 2
b2a
x `ca
“ 0,
x2` 2
b2a
x `b2
4a2 ´b2
4a2 `ca
“ 0,ˆ
x `b2a
˙2
´b2
4a2 `ca
“ 0,ˆ
x `b2a
˙2
“b2 ´ 4ac
4a2 .
Equazioni di secondo gradoAbbiamo quindi che
α “ ´b2a
, β “b2 ´ 4ac
4a2 .
Le soluzioni dell’equazione
ax2` bx ` c “ 0
dipendono quindi dal segno di β, ossia dal segnodi
∆ ” b2´ 4ac.
Equazioni di secondo grado
A seconda del segno di ∆:1. Se ∆ ă 0, non esistono soluzioni;2. Se ∆ “ 0, allora la soluzione è
x “ ´b2a
;
3. Se ∆ ą 0, allora esistono due soluzioni:
x1{2 “´b ˘
?∆
2a.
Esercizi (1/2)Per le equazioni che corrispondono a parabole,determinare il valore di a, b e c:
0 “ 3x2´ 2x ` 1 ` y ,
x “ 2y2` y ´ 3,
y “ 3 ` x ´ 2x2,
y ` x “ x2,
y ` x2“ x2
´ 2,
y “ x2,
y “ px ` 1q2,
y2“ x2.
Esercizi (2/2)
Rappresentare sul piano cartesiano le seguentiparabole e trovare le intersezioni x1 e x2 con l’assex:
y “ x2,
y “ x2` 2x ` 1,
y “ x2` 2x ´ 3,
y “ x2´ x ,
y “ x2´ 6x ` 5.
Unità di misura e paraboleSe nell’equazione
h “ at2` bt ` c
la quantità t è un tempo misurato in secondi, e laquantità h è una lunghezza misurata in metri, qualè l’unità di misura di a, b e c?
Usate lo stesso ragionamento usato per la retta (eil fatto che at2 “ a ¨ t ¨ t) per dimostrare che
1. ras “ m/s2;2. rbs “ m/s;3. rcs “ m.
Parte II
Cinematica e dinamica:posizione, velocità,
accelerazione
Programma del corso
1. Concetti di base2. Cinematica e dinamica
2.1 Posizione, velocità, accelerazione2.2 Moto rettilineo uniforme2.3 Moto rettilineo uniformemente accelerato2.4 Le tre leggi di Newton
3. Energia4. Termodinamica5. Fisica dei fluidi
Cos’è la cinematica
Iniziamo ora la cinematica, il primo degli argomentidi questo modulo di fisica.
La cinematica descrive matematicamente il modoin cui i corpi si muovono nello spazio, ossia il modoin cui la loro posizione cambia col passare deltempo.
La cinematica è pura descrizione: lo studio dellecause del moto è compito della dinamica (chevedremo in seguito).
Posizione
La posizione di un corpo è una misura quantitativadella sua collocazione nello spazio.
Vivendo in uno spazio tridimensionale, laposizione dovrebbe essere indicata usando trecoordinate (destra/sinistra, alto/basso,vicino/lontano). In molte situazioni si può peròsemplificare a una o due coordinate.
Noi tratteremo solo il moto lungo una coordinata (ilpiù semplice).
PosizioneUn corpo che si muove lungo una coordinata sisposta lungo una linea retta. Per identificare la suaposizione basta dunque fissare una posizione diriferimento (il nostro “zero”) e misurare la distanzacon segno del corpo dal riferimento.
0
d1 d2−d1 d2
Posizione0
d(t1)
0
d(t2)
0
d(t3)
0
d(t4)
Posizione
t
d
t1 t2
t3
t4
PosizioneSi dice legge oraria l’equazione che lega laposizione d di un corpo al tempo t :
t
d d
dd
t
tt
Unità di misura della posizione
La posizione d , essendo una misura di lunghezza,si misura col metro e i suoi multipli/sottomultipli.
Ciò significa che nella legge oraria dptq occorreche ci sia consistenza tra le unità di misura deisuoi termini.
Velocità
La velocità è una quantità che indica la rapiditàcon cui un corpo muta la sua posizione nel tempo.
La velocità si misura solitamente in m/s, oppure inkm/h. A seconda dei contesti, si possono trovarealtre unità di misura (mm/anno, km/s, . . . ).
Velocità
Proviamo a rendere quantitativo il concetto intuitivodi velocità, arrivando alla sua definizione fisica.
Consideriamo due automobili, A e B. Devo stabilirequale sia la più veloce. Supponiamo anche che:
1. Con A ho fatto un viaggio di 80 km;2. Con B ho fatto un viaggio di 120 km.
Quale auto è la più veloce?
Velocità
Supponiamo invece che i dati in nostro possessosiano diversi:
1. Un giorno ho usato A per fare un viaggio didue ore;
2. Stamattina con B ho fatto un viaggio di un’ora.Quale auto è la più veloce?
Velocità
È chiaro che per stabilire quanto sia veloceun’automobile non basti sapere la distanzapercorsa oppure il tempo: le due quantità vannocombinate insieme.
Qual è il modo più sensato di combinarle?
VelocitàVediamo quali modi sono sicuramente da evitare:
1. Non possiamo sommare, né sottrarre,distanza e tempo: è un errore;
2. Non possiamo moltiplicare tra loro distanza etempo: non ha senso.
Se ci vogliamo limitare alle operazioni aritmeticheelementari, resta una sola possibilità:
v ”∆d∆t
,
dove ∆ indica la variazione di una quantità.
Velocità media e velocità istantanea
Milano
A B C
Supponiamo che un treno compia un viaggio da Aa C in questo modo:
1. Tra A e B percorre 200 km in 1 h;2. Si ferma 30 min alla stazione B;3. Percorre B Ñ C (50 km) in 30 min.
Quale velocità descrive il suo moto? 200 km/h,100 km/h, oppure 125 km/h?
Velocità media e velocità istantanea
La velocità media è il rapporto tra la distanza totaled e il tempo totale t impiegato per percorrere d :
vmedia “∆d∆t
“dptfineq ´ dptinizioq
tfine ´ tinizio.
La velocità istantanea è la velocità media quandoviene calcolata su un tratto δd il più breve possibile(nel caso del viaggio di un treno, d potrebbeessere pochi metri).
Segno della velocitàLa velocità può essere una quantità positiva, nullao negativa:
1. Se è positiva, il corpo si muove in avanti(rispetto allo zero);
2. Se è negativa, il corpo si muove all’indietro;3. Se è nulla, la distanza del corpo rispetto allo
zero resta sempre uguale.
0
v > 0v < 0
Conversione di unità di misura
Chi guida l’automobile è abituato a misurare levelocità in km/h.
Ma l’unità di misura del Sistema Internazionale(SI) è il m/s. Vediamo come convertire tra questedue unità.
Conversione di unità di misuraIn generale, per convertire da un’unità di misura aun’altra analoga basta ricordare queste proprietà:
1. Una quantità è sempre uguale a se stessa,anche se espressa in unità di misura diverse:
1 m “ 100 cm.
2. Di conseguenza, il rapporto tra una quantità ese stessa è sempre 1:
1 m100 cm
“ 1.
Conversione di unità di misuraPer convertire un’unità di misura in un’altra èquindi sufficiente moltiplicarla per 1, e poi scrivere1 come rapporto tra quantità uguali con le “giuste”unità.
Ad esempio, per convertire 150 cm in metri:
150 cm “ 150 cm ˆ 1 “
“ 150 cm ˆ1 m
100 cm“
“ 150 ˆ1 m100
“
“ 1.50 m.
Conversione di unità di misura
I passaggi per fare queste conversioni sono iseguenti:
1. Si moltiplica per una frazione “vuota”: ¨
¨;
2. Si fa comparire al numeratore o denominatorel’unità che si vuole convertire, e viceversal’unità in cui si vuole convertire;
3. Si inseriscono i numeri che rendono lafrazione uguale a 1;
4. Si svolge il calcolo.
Conversione di unità di misura
Riprendiamo l’esempio di prima:
150 cm “ 150 cm ˆ¨
¨“
“ 150 cm ˆ¨
¨ cm“
“ 150 cm ˆ¨ m¨ cm
“
“ 150 cm ˆ1 m
100 cm“
“ 1.50 m.
Conversione di unità di misuraPer convertire una velocità da km/h a m/s,dobbiamo convertire kmÑm and hÑs:
72 km{h “ 72 km{h ˆ¨
¨ˆ
¨
¨“
“ 72 km{h ˆ¨ h¨
ˆ¨
¨ km“
“ 72 km{h ˆ¨ h¨ s
ˆ¨ m
¨ km“
“ 72 km{h ˆ1 h
3600 sˆ
1000 m1 km
“
“7.2 ˆ 104
3.600 ˆ 103m{s “
“ 20 m{s.
Conversione da km/h a m/sCercate di ricordare almeno un paio di righe diquesta tabella:
10 m{s “ 36 km{h,
20 m{s “ 72 km{h,
30 m{s “ 108 km{h,
40 m{s “ 144 km{h.
È utile per stimare il risultato di una conversione(sono velocità tipiche alle quali viaggiano leautomobili in diverse situazioni).
Accelerazione
Dopo la posizione e la velocità, definiamo oral’accelerazione.
Dei tre concetti, questo è il più complicato. Ma èalla base della dinamica, che è l’argomento cheaffronteremo dopo la cinematica, quindi èimportante capirlo bene.
Accelerazione
L’accelerazione quantifica la variazione di velocitàdi un corpo. Questo è analogo alla velocità, chequantifica la variazione nella posizione del corpo.
In quali contesti la velocità di un corpo puòcambiare? Pensate a degli esempi.
Accelerazione
0
d(t1)
0
d(t2)
0
d(t3)
0
d(t4)
A
B
C
D
Consideriamo un treno cheparte da fermo e via viaprende velocità:
1. A “ 1 min: v “ 0 km{h;2. B “ 2 min: v “ 40 km{h;3. C “ 3 min: v “ 80 km{h;4. D “ 4 min: v “ 120 km{h.
Ogni minuto la sua velocitàaumenta di 40 km/h.
Accelerazione
L’accelerazione è la variazione di velocità inrapporto all’intervallo di tempo:
a ”∆v∆t
.
Nell’esempio del treno, dato che la sua velocitàaumenta di 40 km/h ogni minuto, l’accelerazione è
atreno “40 km{h
1 min“ 40 km{h¨min “ 0.14 m{s2
(verificate a casa che la conversione sia esatta).
Significato dell’accelerazione
Se un corpo ha un’accelerazione a “ 1 m{s2, vuoldire che ogni secondo che passa il corpo aumentala sua velocità di 1 m{s.
Un’accelerazione nulla indica che la velocità ècostante. Ad esempio, un’automobile che viaggiaa 120 km/h in autostrada ha accelerazione nulla.
Accelerazione e decelerazione
Cosa significa quando a ă 0?
Il corpo sta decelerando, ossia la sua velocitàdiminuisce man mano che il tempo passa. Esempidi decelerazione:
§ Premo il pedale del freno mentre viaggio inautomobile;
§ Innesto la retromarcia e premo l’acceleratore.
Esercizi
In ciascuno dei seguenti casi, stabilire il segnodella velocità e dell’accelerazione:
1. Si preme l’acceleratore quando l’automobile èferma all’incrocio;
2. Si preme il freno in un’automobile che staandando in retromarcia;
3. L’automobile sta ferma nel parcheggio;4. Si fa uno scontro frontale contro il muro
(ragazzi, non provateci a casa!).
Il moto rettilineo uniforme
Il moto più semplice è il moto rettilineo uniforme:1. È un moto: quindi è descritto da una legge
oraria;2. È rettilineo: quindi avviene lungo una
coordinata (solitamente si usa x o d per motiorizzontali, e h o y per moti verticali).
3. È uniforme: la velocità con cui avviene il motonon cambia mai. Velocità media e velocitàistantanea coincidono, e l’accelerazione ènulla.
Leggi del moto rettilineo uniforme
La posizione dptq nel moto rettilineo uniforme è
dptq “ v ˆ t ` d0,
dove d0 è la posizione iniziale rispetto allo zero e vla velocità.
La velocità è costante e l’accelerazione è nulla.
Esempio
Se un’automobile viaggia a 120 km/h, dopo 20 mindi viaggio quanta strada ha percorso?
Esempio
Partiamo dalla formula
dptq “ v ˆ t ` d0.
Il valore di d0 non è importante (non si dice dadove parta il viaggio): è intuitivo capire che unatale informazione sarebbe del tutto inutile.
In questi casi per semplicità si pone d0 “ 0(vedremo che non è un errore scegliere altrivalori):
dptq “ v ˆ t .
Esempio
Dal fatto che v “ 120 km{h e t “ 20 min, si arriva alrisultato:
dp20 minq “ 120 km{h ˆ 20 min “
“ 120 km{h ˆ¨ h¨
ˆ 20 min “
“ 120 km{h ˆ¨ h
¨ minˆ 20 min “
“ 120 km{h ˆ1 h
60 minˆ 20 min “
“ 40 km.
Il termine d0
Cosa sarebbe cambiato se avessimo mantenuto iltermine d0 (che abbiamo detto essere inutile)?
Supponiamo che d0 “ 10 km. Il tragitto percorso in20 min non è dp20 minq: questa quantità dà laposizione al termine dei 20 minuti, che include iprimi 10 km (mai percorsi). La distanza percorsa è
dp20 minq ´ dp0q “ pv ˆ 20 min ` d0q ´ p0 ` d0q “
“ v ˆ 20 min,
che è la formula che abbiamo usato prima.
Inversione dell’equazioneData l’equazione
dptq “ v ˆ t ` d0,
è possibile invertirla e trasformarla mediante leregole dell’algebra.
Se un esercizio chiede il tempo di percorrenza,data la distanza percorsa e la velocità, la soluzionesi trova risolvendo l’equazione rispetto a t :
t “dptq ´ d0
v.
AlgebraL’algebra è indispensabile per la fisica!
Per verificare la vostra conoscenza di algebra,trovate l’errore in questa dimostrazione che 2 “ 1:
a “ b
a2“ ab
a2´ b2
“ ab ´ b2
pa ` bqpa ´ bq “ bpa ´ bq
a ` b “ b (siccome a “ b. . . )a ` a “ a
2 “ 1.
Esercizi sul moto rettilineo
La luce si propaga con velocità costantec “ 300 000 km{s. In che tempo percorre unadistanza d “ 5 km? (Esperimento di Galileo).
Esercizi sul moto rettilineoCalcolare la distanza tra la barca e il vulcano(vsuono “ 330 m{s). Quali sono le approssimazioni?
https://www.youtube.com/watch?v=BUREX8aFbMs