Modelo Lineal Generalizado

Test Exacto de Fisher

Cuando las muestras son pequenas sabemos que el test de 2 y G2 no son bienaproximados por la distribucion 2 y en consecuencia las conslusiones a las que lle-gamos a partir de los pvalores calculados no son confiables.

En ese sentido, el Tests Exacto de Fisher es una solucion a este problema en elcaso de tablas de 2 2.

Consideremos el siguiente ejemplo: 13 individuos fueron operados de la rodilla.Los pacientes fueron clasificados segun la dolencia en rodilla girada o rodilla directay segun el resultado de la operacion en muy bueno o aceptable. La siguiente tablamuestra los resultados obtenidos.

Resultado ni+Rodilla Muy Bueno AceptableDirecta 3 2 5Girada 7 1 8n+j 10 3 13

Table 1: Datos de Operacion de Rodilla

Para estos datos, tenemos que el valor observado del odds ratio es

= 3 12 7 = 0.2143

Si conocieramos los valores marginales, es claro que el valor de la primera casilla(podra ser cualquiera de ellas) determina los valores de los otros 3 casilleros:

Resultado ni+Rodilla Muy Bueno AceptableDirecta 3 5Girada 8n+j 10 3 13

Table 2: Datos de Operacion de Rodilla

Si en realidad = 1, tendramos que la probabilidad de observar un valor n11 enla casilla (1, 1) estara dada por la distribucion multinomial:

P (n11) =

(n1+n11

)(n2+

n+1 n11

)

(n++n+1

)

1

En nuestro caso particular, si = 1 tendramos que la probabilidad de observarn11 = 3 sera (

53

)(87

)

(1310

) = 0.27972

Si quisieramos realizar un test para las hipotesis:

Ho : = 1 vs. H1 : < 1

deberamos computar las probabilidades de todas las tablas que tiene menor queel observado. Recordemos que por la propiedad vista en clase es funcion crecientede n11, por ello las otras tablas favorables a H1 seran aquellas con n11 menor alobservado. En nuestro ejemplo hay solo una posible:

Resultado ni+Rodilla Muy Bueno AceptableDirecta 2 3 5Girada 8 0 8n+j 10 3 13

Table 3: = 0

con probabilidad (52

)(88

)

(1310

) = 0.03497

por lo tanto el pvalor sera

0.27972 + 0.03497 = 0.31469

Si quisieramos realizar un test para las hipotesis:

Ho : = 1 vs. H1 : > 1

deberamos computar las probabilidades de todas las tablas que tiene mayor alobservado. Con el mismo crterio que antes consideraremos las tablas con n11 mayoral observado, que en nuestro caso son

con probabilidad (54

)(86

)

(1310

) = 0.489510

2

Resultado ni+Rodilla Muy Bueno AceptableDirecta 4 1 5Girada 6 2 8n+j 10 3 13

Table 4: = 1.33

Resultado ni+Rodilla Muy Bueno AceptableDirecta 5 0 5Girada 5 3 8n+j 10 3 13

Table 5: =

y con probabilidad (55

)(85

)

(1310

) = 0.19580

por lo tanto el pvalor sera

0.27972 + 0.489510 + 0.19580 = 0.96503

Finalmente, si nos interesase testear

Ho : = 1 vs. H1 : 6= 1

un criterio posible para calcular el pvalor es el de sumar la probabilidad de todaslas tablas cuya probabilidad es menor o igual a la observada.

Las Tablas 3 y 5 son las tablas que tienen la propiedad de tener probabilidadmenor o igual a la tabla obervada (Tabla 1) con una probabilidad asociada igual a0.03497 y 0.19580, respectivamente.

Por lo tanto el pvalor para el test bilateral sera:

0.27972 + 0.03497 + 0.19580 = 0.51047

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